Kompendium av Amir Hashemi, HiB. Notater, eksempler og oppgaver med fasit/løsningsforslag Institutt for Matematikk og Statistikk, UiT, Høsten 2012

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Kompendium av Amir Hashemi, HiB. Notater, eksempler og oppgaver med fasit/løsningsforslag Institutt for Matematikk og Statistikk, UiT, Høsten 2012"

Transkript

1 Forkurs i mtemtikk til MAT-, ugust Kompendium v Amir Hshemi, HiB. Notter, eksempler og oppgver med fsit/løsningsforslg Institutt for Mtemtikk og Sttistikk, UiT, Høsten

2 Innhold Forord... Kpittel Test deg selv... Oppgver Selvtest... Fsit Selvtest... Kpittel Grunnleggende emner Tlllinjen og reelle tll Mengder og tllmengder Intervller Regnerekkefølge Bokstvregning og brøkregning Prentesregler Brøkregning og brudden brøk Fktorisering Fellesnevner Absoluttverdi Potenser med heltllige eksponenter Kvdrtsetningene Geometrisk rekke Summetegnet....4 Aritmetisk rekke... Oppgver Kpittel... Fsit Kpittel... 4 Kpittel Funksjoner, ligninger og ulikheter Hv er en funksjon? Grfen til en funksjon Noen viktige begrep Noen funksjoner Førstegrdsfunksjoner f() b Ligninger Førstegrdsligninger Andregrdsligninger b c Andregrdsfunksjoner f () b c.... Inverse funksjoner.... Rsjonle ligninger.... Irrsjonle ligninger.... Ulikheter..... Enkle ulikheter Doble ulikheter Grfisk løsning Rsjonle ulikheter... 6 Oppgver Kpittel... 7 Fsit Kpittel... 9 Kpittel Eksponentielle funksjoner og logritmer.... Eksponentiell vekst.... Logritmer f log og f ln.... Regneregler for logritmer...

3 .4 Den nturlige logritmefunksjonen y e og y ln er inversfunksjoner Eksponentile og logritmiske ligninger Ligningen b Noen eksponentilligninger Noen logritmiske ligninger... 5 Oppgver Kpittel... 6 Fsit Kpittel... 7 Kpittel 4 Trigonometri i grder og rdiner Vinkelmål: grder og rdiner Rettvinklet treknt Trekntberegninger Trigonometri i rdiner Noen kjente vinkler Grfene til sinus, cosinus og tngens Trekntberegninger (trigonometri i grder) Trigonometriske formler Beskrivelse v et periodisk fenomen ved hjelp v en cosinus- /sinuskurve Den periodiske funksjonen: f() t cost bsint Ligninger på formen: sin( ) b der Ligninger på formen: cos( ) c der Oppgver Kpittel Fsit Kpittel Kpittel 5 Grenseverdi og kontinuitet Grenseverdi f( ) 5. Grenseverdi lim g ( ) 5. Ensidig grense lim og lim Kontinuitetsbegrepet f( ) 5.5 Noen ord om grenseverdi når lim g ( ) 5.6 Asymptoter Tllet e... 6 Oppgver Kpittel Fsit Kpittel Vekstrte Definisjon, vekstrte Tolkninger Derivsjonsformler og derivsjonsregler Viktige derivsjonsregler Den deriverte til og r Den deriverte med hensyn til : d d 6.8 Oversikt over derivsjonsformler og -regler Derivert, nnenderivert og funksjonsdrøfting Mksimum og minimum Ligningen til tngenten og linerisering... 7 iii

4 Oppgver Kpittel Fsit Kpittel Kpittel 7 Integrsjon Det bestemte integrlet som rel Det bestemte integrlet Det ubestemte integrlet Integrsjonsformler Regneregler for bestemt og ubestemt integrl Integrsjon ved substitusjon Delvis integrsjon Noen nvendelser v det bestemte integrlet... 8 Oppgver Kpittel Fsit Kpittel Kpittel 8 Vektorer i rommet Hv er en vektor? Vektorlgebr Sklr produkt Vektor produkt Ligningen til en linje i rommet Ligningen til et pln i rommet Avstnden fr et punkt til et pln Projeksjonen v en vektor på en nnen vektor Noen kommentrer Oppgver Kpittel Fsit Kpittel Ikonbeskrivelser: Innhold Definisjon Eksempel Løsning Kommentr, hint, bemerk, husk Vnskelig oppgve Eventuelle kommentrer eller meldinger om feil i nottene ts imot med tkk: Følgende link blir oppdtert ved eventuelle kommentrer eller feil:

5 Forord Å lære mtemtikk er som å lære et nnet språk; ved første øyekst virker det uforståelig og vnskelig, men etter hvert vil du oppleve t det blir grdvis lettere. Mnge begreper i mtemtikken er forbundet og bygger på hverndre. Å forstå innholdet i et bestemt begrep, vil dermed hjelpe deg til å forstå mnge ndre. Å være usikker og frustrert i rbeidet med stoffet er en nturlig del v læringsprosessen. Husk t læring ikke bre skjer ved god innsts, men også ved intens konsentrsjon. Dette heftet er et oppsummeringsnott fr noen utvlgte grunnleggende emner i mtemtikk. Enkelte eksempler er ment som utfyllende forklring til lærestoffet og viser hvordn lærestoffet blir benyttet til å løse konkrete oppgver. For hvert kpittel finner du en oppgvedel etterfulgt v fsit/løsningsforslg. Når du skl lære et nytt emne er det ikke nok å få tk i hvordn ting skl gjøres. Det er like viktig å spørre seg hvorfor og prøve å forstå hvordn ting henger smmen. D blir det lettere å lære. Jo bedre du forstår mtemtikken, desto lettere er det å bruke den til å løse ktuelle problemer i ndre fgfelt. Det er svært viktig t du leser nøye gjennom oppgvene før du prøver å løse dem. Hvis du står fst i en oppgve, les heller gjennom lærestoffet enn å se på fsit/løsningsforslg. I kpittel kn du teste og se om du innehr tilstrekkelig med bsisferdigheter i mtemtikk. Heftet er orgnisert på følgende måte: Kpittel : Test deg selv (elementære regneferdigheter) Del : Algebr Kpittel : Grunnleggende emner Del : Funksjonslære Kpittel : Funksjoner, inversfunksjoner, ligninger og ulikheter Kpittel : Eksponentielle funksjoner og logritmer Kpittel 5: Grenseverdi og kontinuitet Kpittel 6: Derivsjon, funksjonsdrøfting og en del nvendelser Del : Kpittel 4: Trigonometri Kpittel 7: Integrsjon og en del nvendelser Kpittel 8: Vektorlgebr Amir Mssoud Hshemi Mtemtisk institutt, UiB Mi Copyright Forftter

6

7 Kpittel : Test deg selv Kpittel Test deg selv Før du begynner å lese nottene og t forkurset, kn du teste deg selv i grunnleggende emner. Oppgver Selvtest Oppgvene skl løses uten bruk v klkultor. Oppgve. Regn ut ) b) 444 c) 5 4 Oppgve. Regn ut. ) 5 b) 8 c) Oppgve. 5 6 d) 4 :6 7 Regn ut. 5 7 ) b) 8 5 Oppgve.4 c) : 5 5 Regn ut. 56 ) 5 64 b) c) Oppgve.5 Regn ut. ) 5 b) 5 9 c) 6 4 d) Oppgve.6 Multipliser og trekk smmen. b b b b b) ) b b ( b) d) b b ( b) b( b ) b c)

8 Forkurs i mtemtikk - UiT Oppgve.7 Skriv så enkelt som mulig. ) 6b b 6( b) b) 6b9b 9b Oppgve.8 Bruk kvdrtsetningene og regn ut. ) b) c) Oppgve.9 d) Fktoriser uttrykkene. ) 4 b) 8 c) t 8 d) Oppgve. Fktoriser uttrykkene ved hjelp v nullpunktene. ) 4 b) c) 5 d) y y 8 Oppgve. Forkort brøkene. ) b) 6 c) d) y 4y 4y

9 Kpittel : Test deg selv Fsit Selvtest. ) 78 b) c) -. ) b) 4 5 c) 5 d). ) 7 6 b) c) 6.4 ) 49 4 b) 9 c) 6.5 ) 5 4 b) 5 c) 6 9 d).6 ) b b) 4 c) 6( b b ) d).7 6b b ( b b ) ( b) ( b) b ) 6(b) (b) ( b) 6b9b (b) b b) 9b ( b) ( b) b.8 ) ( 5) b) c) d) ) b) 9 9 c) tt d). ) b) c) 5 d) y4y 7. ) b) c) y d) y

10 Forkurs i mtemtikk UiT Kpittel Grunnleggende emner Dette kpittelet er en repetisjon v grunnleggende konsepter og prinsipper. Vi oppsummerer emner som: - Tllmengder, intervll - Bokstvregning og brøkregning - Regler for potensregning - Absoluttverdi - Geometriske og ritmetiske rekker. Tllinjen og reelle tll Reelle tll er mengden v de tll som tilsvrer lle punkter på en uendelig lng tllinje og betegnes eller R.. Mengder og tllmengder En mengde inneholder visse objekter, klt elementer. Elementene kn i prinsippet være hv som helst, for eksempel tll, personer, biler eller ndre mengder. M: er et element i mengden M M : et element er ikke i mengden M En mengde kn være tom. Den tomme mengden blir betegnet med Ø. Kjente tllmengder: Mengden v lle nturlige tll: N {,,, } Mengden v lle hele tll: Z {,,,,,,,, } p Mengden v lle rsjonle tll: Q { p og q er hele tll, q } q Mengden v lle reelle tll: R inneholder lle tll på reelle tllinjen Et reelt tll som ikke er rsjonlt klles irrsjonlt, for eksempel: Eksempel. Noen rsjonle tll:,8,,, 5 7 Noen irrsjonle tll:, 4

11 Kpittel. Intervller Intervller er deler v tllinjen. Et intervll kn være lukket eller åpent: Intervllet, Intervllet er åpent og kn skrives som:, Intervllet er hlvt lukket/hlvåpent og kn skrives som: [,, eller [, Åpent intervll Intervll notsjon Grfisk frmstilling, er lukket og kn skrives som: ( b, b ( ) b, ) R, ( tilhører reelle tll) Hlvt åpent intervll Intervll notsjon Grfisk frmstilling [, [ b [ b, [ ) b, ] Lukket intervll Intervll notsjon Grfisk frmstilling b [ b, ] [ ] ] b.4 Regnerekkefølge Kunnskper om smmenheng mellom regneopersjonene er svært viktig i lgebr. I smmenstte uttrykk kn mn regne ut uttrykket i følgende rekkefølge:. Regn ut lle prenteser. Regn ut potenser. Multipliser eller divider 4. Legg smmen eller trekk fr 5

12 Forkurs i mtemtikk UiT Eksempel. Regn ut uten klkultor: 5 7(5 ) ( ) ( ) Prenteser og potenser: Multipliser: Legg smmen: Bokstvregning og brøkregning Algebr er for mnge det smme som bokstvregning. I mtte brukes bokstver spesielt i formler, ligninger og ulikheter, identiteter og funksjonsuttrykk. Et ledd er et ledd, der er koeffisient, er vribel og er eksponent. To ledd tskilles fr hverndre med + eller : En fktor ( ) består v fktorer. To fktorer tskilles fr hverndre med gngetegn: y. Regneregler Kommuttiv lov Assositiv lov Distributiv lov Motstte og inverse tll Addisjon Multipliksjon bb bb ( bc) ( b) c ( bc) ( b) c ( ) ( bc) b c der Tllet og : 6

13 Kpittel.6 Prentesregler b cb c b( c d) c d bc bd.7 Brøkregning og brudden brøk b c b c Husk: b c b c c c Husk: b d b d b b c c : c d d Husk: : c d d d c c c d c c d c d d : Husk: b c d d : b d b c bc c b d b c bc d.8 Fktorisering Fktorisering er en prosess der mn deler opp et mtemtisk uttrykk som for eksempel en ligning eller et tll i mindre enheter (fktorer) som kn gnges smmen for å få det opprinnelige uttrykket. Eksempel : 5 6 ( ) Eksempel : 4b b 8b 4b b b.9 Fellesnevner Fellesnevner Fellesnevner er det minste tllet som er delelig med lle nevnerne. Eksempel : Eksempel : ( ) En brudden brøk består v en brøk i telleren, en brøk i nevneren og en hovedbrøkstrek mellom dem. For mer info kn du lese her: 7

14 Forkurs i mtemtikk UiT Absoluttverdi Absoluttverdien eller tllverdien til et reelt tll er den numeriske verdien til tllet uten hensyn til fortegnet. Den geometriske tolkningen v bsoluttverdi kn være vstnd på tllinjen. Grfen til y : Husk: Absoluttverdien v kn tolkes som vstnden fr til på tllinjen. Tilsvrende vil y bli vstnden mellom og y på tllinjen. Dermed hr vi t de som tilfredsstiller ligningen er lle tll slik. Noen regneregler som gjelder: b b ( b ) b b Det kn vises: b b b b Eksempel. ) Beregn: 7 b) Løs ligningen c) Tegn grfen til y ) b) c) y ( ). Grfen er vist her: Eksempel.4 Løs ligningene og ulikheten: ) 5 b) 5 ) 5 8 b) R eller R, c) c) 8

15 Kpittel. Potenser med heltllige eksponenter n n klles potens (potensledd) og er definert som: der er grunntll og n er et nturlig tll og klles eksponent. Hvis, kn vi skrive n og n Regneregler n gnger n n n m n m n b b m n n mn n n b b n m nm m n p q p q Husk: n n n n Kvdrtrot skrives slik: og. n te rot skrives n og kn noteres: n n Eksempel.5 Skriv så enkelt som mulig: ) ) b) b) 5 4 ( ). Kvdrtsetningene b bb (. og. kvdrtsetning) b b b (. kvdrtsetning). Geometrisk rekke Kjennetegnet til en geometrisk rekke er t forholdet mellom to påfølgende ledd er konstnt. k n (kvotient) n n Summen v de n første leddene i rekken er: S = + k + k + k n k og kn utledes som S, husk t n er ntll ledd i rekken. k 9

16 Forkurs i mtemtikk UiT Geometrisk rekke, ledd n n k k er rekkens kvotient Summen v de n første leddene i en n k geometrisk rekke S k Summen v en uendelig geometrisk rekke (konvergent) s k Rentesrenteformelen p K n K ( ) n n Gjelder for k. Hvis k = er, S n Gjelder for k S = når Verdien K n om n år v et beløp K i dg Eksempel.6 Ved den første injeksjonen gir dosen 5 enheter. Psienten skl få injeksjoner med en ukes mellomrom. ) Hvor mye skl injeksjonen økes slik t den siste dosen er enheter? b) Hvor mnge enheter mottr psienten i løpet v de injeksjonene? ) ( p ) n Kn K p 9 p /9, 5( ) (,),684 p,684 eller 68,4 %. b) Vi ønsker å bestemme summen til ledd i en geometrisk rekke: 9 (,4) 4 S = (,4) + 5(, 4) + 5(, 4) 5,75 enheter,4.. Summetegnet Summetegnet kn hjelpe oss til å omskrive en sum som følger en bestemt regel: n i i Eksempel.7 n 4 5 Skriv summen () () () ved hjelp v summetegnet. Regn ut summen. 4 5 () () () () i () eller () () () () i i Summen er d lik: 4 () () () () 696 i Bemerk: + k + k + k n n i i ( k) i ( n ) k k

17 Kpittel Eksempel.8 Bestem summen til den geometriske rekken: 5 64 For å bestemme n (ntll ledd i rekken) kn vi benytte: n k n 64 8 n n 7 8 n 5 8 Summen er d lik: Bemerk: + k + k + n n i k i ( k) ( n k ) k i.4 Aritmetisk rekke Kjennetegnet til en ritmetisk rekke er t differnsen mellom lle to påfølgende ledd er konstnt. n n d Summen v de n første leddene i en ritmetisk rekke er gitt ved: n n n i ( d) ( d) ( ( n) d) ( n ) ( ( n) d) i Eksempel.9 Bestem summen til den ritmetiske rekken: Differnsen d kn bestemmes: d For å bestemme n (ntll ledd i rekken) kn vi benytte: n ( n ) d 4( n) 49 5 n n Summen er d lik: (5 49) 4 n n Bemerk: i ( d) ( d) ( ( n) d) ( n ) i

18 Forkurs i mtemtikk UiT Oppgver Kpittel Oppgvene skl løses uten bruk v klkultor. Oppgve. Regn ut ) 4 4 b) 44 c) 5 4 Oppgve. Regn ut. ) 6 b) 5 c) Oppgve d) :6 Regn ut. ) 4 b) c) : Oppgve.4 Regn ut. ) 5 b) b b b b c) 5 5 Oppgve.5 Regn ut. ) b) c) 4 Oppgve.6 Multipliser og trekk smmen. b) ) b b b b( b) c) b b ( b) d) 4

19 Kpittel Oppgve.7 Skriv så enkelt som mulig: ) 4 4b b ( b) b) 4b4b 4b Oppgve.8 Bruk kvdrtsetningene og regn ut. ) b) ( ) d) c) Oppgve.9 Fktoriser uttrykkene. ) 9 b) Oppgve c) 4t 9 d) 6 9 Fktoriser uttrykkene ved hjelp v nullpunktene. ) 5 4 b) c) d) b b 6 Oppgve. Forkort brøkene. 9 ) 6 b) c) d) y 9y 9y Oppgve. Skriv så enkelt som mulig ( ) : 4 ) b) ( ) c) 4 d) Oppgve. Bestem summene: 4 8 ) 9 7 der b) Oppgve.4 ) Løs ligningen: ( ). b) Tegn grfen til y. c) Bestem største verdien til f() 5.

20 Forkurs i mtemtikk UiT Fsit Kpittel. ) b) c). ) b) c) 5 7 d) 9. ) ) 5 b) b) b b b 9 b 5b b.5 ) ( ) b) c).6 ) b) 4 c) c) 4( b ) b d).7 ) b b) b b b) 4 c) 6( ) d) ( ).9 ) ( ) b) (7)( 7) c) (t)(t ) d) ( ). ) ( )( 4) b) ( )( ) c) ( 4)( ) d) ( b)( b ). 6 y 9y y( y) y ) b) c) d) 4 9y ( y)( y) y..8 ) 6 ) b) ( ) 4 c) 7 94 ( ) ( ) ( ) c) d) n n ( ) 4 8 k. ) S S lim 9 7 k n n n ( ) k b) der S lim k n.4 ) b) y der n lim( ) n c) Største verdien er 5 for. 4

21 Kpittel Kpittel Funksjoner, ligninger og ulikheter Her skl vi t for oss sentrle begreper knyttet til funksjoner og deretter studere ligninger og ulikheter.. Hv er en funksjon? En funksjon f er en regel som tilordner ethvert element,, fr en mengde klt definisjonsmengde, til et entydig bestemt element, y, i en mengde klt verdimengde: y f( ) der D f og y V f og y klles henholdsvis uvhengig vribel og vhengig vribel. Krvet for t en relsjon y f () er en funksjon er: For enhver i definisjonsmengden finnes én og bre én y i verdimengden: y y Vertikllinjetesten: En linje prllell med y-ksen skjærer funksjonskurven høyst i ett punkt. Eksempel. y er en funksjon, mens y ikke tilfredsstiller definisjonen til en funksjon (grfen til y som er vist litt tykkere hr bre ett skjæringspunkt med en vertikl linje, mens y hr to).. Grfen til en funksjon L f være en funksjon. Mengden v lle tllpr (, f( )) som vi får ved å l gjennomløpe definisjonsmengden til f, klles grfen til funksjonen y f(). Eksempel. Grfen til y f( ) er vist her: Som vi ser, er denne relsjonen en funksjon. 5

22 Forkurs i mtemtikk UiT Noen viktige begrep Monotoni (i) En funksjon f er voksende dersom: f( ) f( ) (ii) En funksjon f er strengt voksende dersom: f( ) f( ) (iii) En funksjon f er vtgende dersom: f( ) f( ) (iv) En funksjon f er strengt vtgende dersom: f( ) f( ) Kontinuitet En funksjon y f( ) er kontinuerlig dersom grfen er smmenhengende. I kpittel 5 skl vi studere kontinuitetsbegrepet nærmere. En entydig funksjon For enhver y i verdimengden finnes én og bre én i definisjonsmengden. Vi kn bruke den såklte horisontllinjetesten til å studere entydighet. Horisontllinjetesten En linje prllell med -ksen skjærer funksjonskurven høyst i ett punkt. Smmenstte funksjoner For eksempel: y kn nses som y g( ) der g ( ). Oppdelte funksjoner En funksjon som er uttrykt ved hjelp v flere funksjonsuttrykk i forskjellige intervller. For eksempel: f( ) Odde og jmne funksjoner, og symmetriegenskper (er foreløpig ikke pensum) 6

23 Kpittel.4 Noen funksjoner n Polynomfunksjoner: f( ) n (polynom v n te grd) (for eksempel førstegrds- og ndregrdsfunksjoner) f( ) Rsjonle funksjoner: y ( g ( ) ), der f og g er polynomfunksjoner g ( ) Eksponentilfunksjoner: y, Logritmefunksjoner: y log, der,. (for eksempel briggske logritmer, y log og nturlige logritmer, y ln ) Trigonometriske funksjoner: y sin, y cos, y tn, y csin( ),.5 Førstegrdsfunksjoner f() b En førstegrdsfunksjon er en funksjon der funksjonsuttrykket er v første grd og kn skrives på formen: y b, der klles stigningstll og b er konstntleddet. Ettpunktsformelen: y y ( ) (en rett linje med stigningstll som går gjennom punktet (, y ) ) y y y y Topunktsformelen: (en rett linje gjennom punktene (, y) og (, y) der stigningstllet d blir Grfen til y b, der klles stigningstll og b konstnt ledd, er en rett linje. funksjonen er strengt voksende. funksjonen er strengt vtgende. funksjonen er konstnt: y b. y y ).6 Ligninger En ligning består v to mtemtiske uttrykk som er stt lik hverndre, der uttrykkene inneholder minst én ukjent. Den ukjente betegnes ofte. Når ett ledd (i en ligning) flyttes fr en side v likhetstegnet til den ndre, må vi skifte fortegn (, ) på leddet. En ligning som lltid er oppfylt, unsett vlg v den ukjente, klles en identitet. For eksempel ( ) ( ). 7

24 Forkurs i mtemtikk UiT Førstegrdsligninger Når vi skl løse førstegrdsligninger må vi prøve å smle -ene på en side og tllene på den ndre siden. Men for å få til det må vi legge til eller trekke fr det smme tllet på begge sider, eller multiplisere eller dividere lle ledd på begge sider med det smme tllet. Eksempel. Løs ligningene: ) b) c) ( ) 4 5 ) b) c) ) ( 5 4 5( ) ( ) Andregrdsligninger b c Vi hr å gjøre med en ndregrdsligning når en ligning hr en ukjent som er opphøyd i. Den skrives ofte på denne formen: b c, der, b og c er reelle tll og. Løsningene til ndregrdsligningen: b c kn skrives som:, b b 4c Hvis b, kn ligningen Hvis c, kn ligningen b c b c b c 4 foskjellige reelle løsninger 4 dobbel løsning 4 ingen reell løsninger c c h løsningene, b b h løsningene, En ndregrdsfunksjon nullpunkt(er): f ( ) b c som hr nullpunkt, kn fktoriseres med dens b c ( )( ), der og kn bestemmes ved:, b b 4c 8

25 Kpittel Det er hovedskelig tre tilfeller v ligningene: Ingen konstntledd c b ( b) eller b eller b Ingen førstegrdsledd b c c c c Generell b c b b 4c b b 4c b 4 c 4 : reelle løsninger Eksempel 4 ( 4) eller 4 eller ( ) 4 ( 6) 5 ( ) 4 ( 6) eller b 4 c 4 : en dobbel løsning Eksempel.4 Løs følgende ndregrdsligning 4 4 SVAR: Bruker bc-formelen. Her er = 4, b = og c = ( 4) 484, Dette gir de to løsningene 4 og 9

26 Forkurs i mtemtikk UiT Eksempel.5 Løs ligningene: ) 4 b) 5 c) 5 ) b) 4 5 ( 5) 4( 4) c) Andregrdsfunksjoner f () b c Dersom, smiler grfen, mens grfen er sur når. Skjæringspunkt med y-ksen er ( =, y = c ). b b 4c Nullpunktene til grfen (skjæringspunkt med -ksen) er (, y ). Husk t ndregrdsfunksjonen kn fktoriseres hvis den hr løsning(er): b c ( )( ) Grfen er symmetrisk om linjen: b. For å tegne grfen til en ndregrdsfunksjon kn vi tenke slik: ) Er grfen sur eller smiler den? b b b b ) Bestem symmetrilinjen: og f ( ). Fktisk er punktet: (, y f ( ) ) koordintene til mksimumspunktet ( ) eller minimumspunktet ( ). ) Bestem eventuelle nullpunkt. 4) Bestem skjæringspunktet med y-ksen (, c ).

27 Kpittel Eksempel.6 Tegn grfen til y 4 ) Nullpunktene : 4 og dermed er b 4 ) Symmetrilinjen:. ) grfen smiler og dermed er (, f ()) (, 4() ) loklt minimum.. Inverse funksjoner En invers funksjon til en funksjon y f( ) der D f og y V f er en relsjon som tilordner y-verdien tilbke til -verdien. Dermed er: y f ( ) der D f V og f V f Df Krvet for t en funksjon hr en invers funksjon er t funksjonen er entydig (monoton). Husk: f ( f( )) og f( f ( )) Hvordn kn vi bestemme den inverse funksjonen til y f( )? ) Bestem med hensyn til y. ) Bytt om og y. Eksempel.7 Bestem den inverse funksjonen til y f ( ) gitt ) Finner uttrykt ved y: y og siden, får vi: y ) Bytter om og y: y dermed er: y f ( ) Bemerk: D Vf [, f og V Df [, f.

28 Forkurs i mtemtikk UiT Rsjonle ligninger En brøk er ikke definert når nevneren er null. I rsjonle uttrykk må vi derfor psse på t nevneren ikke blir null. I uttrykket ( ) er nevneren null når og når. Det er ikke mulig å sette inn eller i uttrykket. Derfor må vi forutsette og når når vi regner med dette uttrykket. Slike forutsetninger er svært viktige når vi løser ligninger der den ukjente er med i nevneren. ( betyr ikke lik, i motsetning til =, som betyr lik ) Eksempel.8 Løs ligningene: ) b) ( ) ) ( ), ( ) ( ) ( ) b) flyttes til venstre side og fellesnevneren er ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 A Bemerk: A ( B ) B. Irrsjonle ligninger Vi skl studere noen enkle irrsjonle ligninger på formen: b c d Eksempel.9 Løs ligningene: ) b) 5 ) Begge sider kvdreres: Mn får d ndregrdsligningen: ( ) OK! 4( )

29 Kpittel b) Leddet med kvdrtroten ønsker vi å h lene på én side v ligningen. Ligningen må først skrives på formen: 5 Begge sider kvdreres: 5 Høyre side utvides ved hjelp v. kvdrtsetning: 5 Mn kn d sette opp ndregrdsligningen: 8 Ligningen hr reelle løsninger som må settes på prøve: Umulig ( 4)( 7) OK!. Ulikheter Ulikheter er et mtemtisk oppsett med opplysninger om hv som er større, mindre, større og lik, eller mindre og lik noe nnet. Minst ett v leddene består v en eller flere ukjente. Hv er de viktigste reglene ved løsing v en ulikhet? Reglene når du regner med ulikheter er nesten de smme som når du regner med ligninger. Det kn dderes og subtrheres med smme tll på begge sider. Det kn også multipliseres og divideres med et positivt tll på begge sider. Men hvis det skl multipliseres eller divideres med et negtivt tll, må ulikhetstegnet snus for t ulikheten skl stemme. Å løse en ulikhet er å finne de verdier v som gjør ulikheten snn. Hv må mn psse på når mn løser ulikheter? Når mn løser ulikheter må mn psse på å snu ulikhetstegnet når mn multipliserer eller dividerer med negtive tll. Regel : Legge til / trekke fr det smme tllet på begge sider. Eksempel: ulikhet 6 hr smme løsninger som ulikheten 8 (Den ndre ulikheten ble hentet fr den første ved å legge på begge sider.) Regel : Hvis vi bytter sidene i ulikhetene, endrer vi retningen på ulikhetstegnet. Eksempel: ulikhet hr smme løsninger som ulikheten. (Vi hr byttet side og vendte `` '' til en `` ''). Sist, men ikke minst, den opersjonen som er kilden til lle problemer med ulikheter: Regel : Multiplisere / dividere med smme positive tll på begge sider. Regel b: Multiplisere / dividere med smme negtive tll på begge sider og endre retningen på ulikhetstegnet. Betrkt ulikhetene med, b, og c der c (c er negtiv): b c bc b c bc

30 Forkurs i mtemtikk UiT Her skl vi se på noen eksempler med Enkle ulikheter: p ( ),,, Doble ulikheter m () p p( () n () Rsjonle ulikheter p ( ) q ( ),,,.. Enkle ulikheter Ulikheter der deler v (i første) inngår, løses som en ligning. Ulikheten settes på stndrdform slik t du hr på den ene siden. Det vil si t lle ledd med smles på venstre side og trekkes smmen, og t lle tll smles på høyre side og trekkes smmen. Eksempel. Løs ulikhetene: ) 6 b) ) 6 b) Eksempel. Løs ulikheten: 4. Det trekkes 4 fr begge sider Begge sider deles med Løsningsmengden til ulikheten er d: { } eller [, ). - 4

31 Kpittel Eksempel. Løs ulikheten: 6 Andregrdsligningen kn fktoriseres: ( )( ). Fortegnsskjem: ( )( ) Løsning Løsning Løsningsmengden til ulikheten er d: { },, eller.. Doble ulikheter En dobbel ulikhet på formen: A b B kn løses ved å gjøre lle prosesser i lle tre deler v ulikheten. Prosessene kn vnligvis gjøres i følgende rekkefølge: subtrksjon/ddisjon, multipliksjon/divisjon. Eksempel. Flersidige ulikheter Løs ulikheten: 8 Metode : Det dderes på begge sider 9 Metode : Deler i ulikheter og 8 9 Snittet mellom disse er : { } eller,. 5

32 Forkurs i mtemtikk UiT Grfisk løsning Ulikheten f() g() kn omskrives som f() g(). Løsningen er lle -verdier der y f() g(), det vil si der grfen til y f() g() er ovenfor y-ksen. Eksempel.4 - Grfisk løsning Løs 4 5 grfisk. Ulikheten skl først omskrives som 45 Tegn grfen til y 4 5 og bestem mengden v -verdier der y : Løsning: { 5} eller, Rsjonle ulikheter Her skl vi se på noen eksempler der ulikheten hr én eller flere rsjonle uttrykk. En rsjonl ulikhet kn skrives på formen: P ( ) Q ( ), P ( ) Q ( ), P ( ) Q ( ) eller P ( ) Q ( ) der nevneren Qer ( ) forskjellig fr null ( Q ( ) ) og hr en vribel. Eksempel.5 Løs ulikheten:. Fortegnsskiftepunkt: Nullpunkt fåes der telleren er lik null:. Bruddpunkt fåes der nevneren =, dvs Løsning Løsning: { } eller,,. 4 betegner bruddpunkt. 6

33 Kpittel Oppgver Kpittel Oppgve. Hvilken v følgende uttrykk for y f( ) beskriver en funksjon? 4 ) y b) y c) y Oppgve. ) Gitt f( ). Bestem f (), f (), f ( ) og f( ) b) Gitt f( ) og g ( ) der. Bestem f( g( )) og g( f( )) 5. Hv kn vi si om f og g? 6 Oppgve. Gitt f( ). Bestem definisjonsmengden og verdimengden til til f. Bestem Sett opp funksjonen g ( ) f ( ). f ( ). Oppgve.4 Gitt f( ). Hv er definisjonsmengden til f? Tegn grfen til f( ). Oppgve.5 Grfen til en funksjon er vist her: ) Bestem f ( ) og f (). b) Er funksjonen kontinuerlig 7 i punktene og? Oppgve.6 Tegn grfen til f( ) der. Oppgve.7 Løs ligningene: ) 45 b) 4 Oppgve.8 Løs ligningene: ) 5 b) 5 b b b c) c) f( g( )) og g( f( )) klles smmenstt funksjon. Disse kn også skrives som f o g og go f. 6 Se kpittel. Inverse funksjoner. 7 Se kpittel 5.4 Kontinuitet. 7

34 Forkurs i mtemtikk UiT Oppgve.9 Løs ligningene: ) b) 6 c) 5 4,5 Oppgve. Løs ligningene: ) 5 b) ( ) 8 c) y 7y Oppgve. Løs ligningene: b) ) 6 c) Oppgve. Løs ligningene ) 9 b) Oppgve. Løs ulikhetene: ) 54 b) c) 5 d) e) 5 f) g) h) 6 Oppgve.4 Løs ulikhetene: ) 4 b) 4 4 c) 4 e) f) 8

35 Kpittel Fsit Kpittel Oppgver. ) J b) Nei. fordi y c) J ( ). f (), f (), f ( ) og f( ) f( g( )) f( ) og g( f( )) g( ) tilsier t f og g er inverse funksjoner.. D { R } (lle reelle tll slik t er minst ) f V { yr y } (lle reelle tll y slik t er mer eller lik ) f g ( ) der. f ( )..4 Df { R } lle reelle tll unnttt. f( ) (tegn grfen til linjen y der punktet (, ) ikke ligger på grfen..5 f ( ) og f (). Funksjonen er kontinuerlig i men ikke i..6 f( ).7 ) b).8 ) 5 b) 4 5 c).9 ),5 b) 5 c),75. ) 5 b) 4 c) yy 4. ) b) c) c) b. ) Innsetting viser t løsningen 7 psser. b) Det siste er åpenbrt umulig, siden 44. Ligningen hr ingen løsning. )

36 Forkurs i mtemtikk UiT 6 b) c) 48 d) e) f) g) h) i) j) ) Løsning: { 4} eller Løsning, 4, Løsning b) eller c) - eller

37 Kpittel Tllinjedigrm: ( )( ) Løsning: eller eller d) Her vet vi t er positiv siden ldri kn bli negtiv. Altså kn vi multiplisere begge sider v ulikheten med : Setter opp fortegnsskjem, og får eller. e) eller. Vi bruker tllinjedigrm: Konklusjonen er t 4 f). Her finner vi røttene i nnengrdspolynomet i telleren: 8, slik t. og. Tllinjedigrm: ( )( ) Løsning Løsning Konklusjonen er t 8 betegner bruddpunkt.

38 Forkurs i mtemtikk UiT Kpittel Eksponentielle funksjoner og logritmer Her skl vi studere eksponentielle funksjoner som kn beskrive en eksponentiell vekst og lære oss hvordn vi kn benytte logritmer til å løse eksponentilligninger. Vi skl også oppsummere t y e og y ln er inverse funksjoner.. Eksponentiell vekst Når en størrelse øker/synker med en fst prosent over like store tidsrom, klles endringen en eksponentiell vekst/reduksjon. Eksponentiell vekst når For eksempel 5 f c y Eksponentiell reduksjon når For eksempel y7 ( ) c p der er vekstfktor og kn skrives om og p klles rentefot (gitt i %). Eksempel: For en verdi som Vokser Vokser med %,, med % Synker Synker med %,,8 For en verdi som vokser med % Eksempel. Ved. jnur 98 vr jordens befolkning 4, millirder. Vi regner med t folketllet vokser med c. % pr. år. Sett opp en funksjon som beskriver folketllet t år etter året 98. t Modellering ved hjelp v eksponentilfunksjonen: f t c. Vi ønsker å bestemme c og. Vi kn betrkte året 98 som t og dermed er f 4, f() c c 4, Vekstfktoren er,, og funksjonen blir: f t 4, (,) t (millirder) som bestemmer folketllet t år etter året 98. I forrige eksempel, hvis vi skulle bestemme hvor lenge det tr før jordens befolkning hr blitt 4,9 millirder. Det vil si vi skl bestemme t når: t 4, (,) 4,9 Her vi kn benytte logritmer. Jeg løser denne ligningen her, men du kn se på løsningen etter du hr lært om logritmer: t ln(4,9 4,) (, ) 4, 9 4, tln(, ) ln(4, 9 4,) t 9 ln(, )

39 Kpittel. Logritmer f log og ln f Logritmen til et tll med grunntll b er den eksponenten som grunntllet må opphøyes i for å få tllet b: b log der og b b Grunntllet b klles også bsis for logritmen. Tllet b er ntilogritmen. Logritmer med grunntll lik eulertllet klles nturlige logritmer, mens briggske logritmer bruker grunntllet. Dersom vi skl bestemme eksponenten i ligningen b, benytter vi logritmer. Senere skl vi se t b log b log ln b log (se oppgve.) b log b ln b Når gjelder: y log y Ti-logritmer (Briggske logritmer): y log y Nturlige logritmer y e ln y log, log, ln e, ln Bemerk t er vertikl symptote for log f ( lim log ). Noen nyttige regler A log( ) A A ln( e ) A log A A ln A e A. Regneregler for logritmer A n logablog A log B log log A log B log A n log A B der A og B

40 Forkurs i mtemtikk UiT Eksempel. Skriv så enkelt som mulig: ) log b) log c) log, d) log e) Fsit: ) b) c) d),5 e) log7 7 log.4 Den nturlige logritmefunksjonen Dersom grunntllet i logritmen er e, klles logritmen den nturlige logritmen. y e og y ln er inversfunksjoner. lim e og lim e ( y er horisontl symptote for y e ) lim ln og ( er vertikl symptote for y ln ).5 y e og y ln er inversfunksjoner Når gjelder: y log y og dette kn bety t y log er inversfunksjonen til y f() f () log f() e f () ln.6 Eksponentile og logritmiske ligninger.6. Ligningen b Generelt Eksempel. b 7 ln( ) ln( b) ln lnb ln b ln ln( ) ln(7) ln ln 7 ln 7 ln 4

41 Kpittel.6. Noen eksponentilligninger Her skl vi se på noen eksponentilligninger som kn løses ved hjelp v forskjellige frmgngsmåter. Eksempel.4 Løs ligningene: ) 5 e b) e e ) e 5 5 e ln(5/) (ln(5 / ) ) b) e e Velger hjelpevribelen: u e u e e u som gir: u u ln ln e be c kn løses ved å velge u e : u bu c (ndregrdsligning).6. Noen logritmiske ligninger Eksempel.5 Løs ligningene: ) ln( ) b) ln( ) ln( ) ln() c) ln( ) ln() ) ln( ) e e b) ln( ) ln( ) ln(4) ln( ) ln(4) c) ln( ) ln() ln( ()) ( ), Bemerk: kn ikke være løsning, fordi. 5

42 Forkurs i mtemtikk UiT Oppgver Kpittel Oppgve. Skriv så enkelt som mulig: ) e e e b) e 5e e Oppgve. k Eksponentilfunksjonen gitt ved: f( ) c kn skrives som f( ) c e. Bestem k. Oppgve. Folketllet i en bygd ved. jnur vr 5. Vi regner med t bygdens befolkning vokser med c. % pr. år. ) Sett opp en funksjon som beskriver folketllet t år etter året. b) Hv er folketllet til bygd i slutten v 5 etter denne modellen. Oppgve.4 t år etter t en orgnisme døde, er ndelen v rdium redusert til p % v mengden i den levende orgnismen. Hlveringstiden er c.6 år. Sett opp en eksponentilfunksjon som beskriver pt () målt i %. Oppgve.5 Skriv så enkelt som mulig uten å bruke klkultor: ) ln e ln b) ln e c) ln ln ln d) ln ln ln 4 e) ln e f) ln ln ln Oppgve.6 Skriv så enkelt som mulig: ) ln e b) Oppgve.7 Løs ligningene: ln e c) e ln ln5 ) e 5 b) 5 e c) 5 e 7 6

43 Kpittel Oppgve.8 Løs ligningene: ) e e b) e e Oppgve.9 Løs ligningene: ) ln b) ln ln 9 c) 6 d) 5 7 Oppgve. Vis t log ln b log. b log b ln b Fsit Kpittel. ) e b) ln. Vi vet t : e. ln ln ( e ) e dermed er k ln.. ) Nt ( ) 5 (,) t b) t 6.4 t ln 6 N(6) 5 (,) 79 6 pt ( ) ( ) eller pt ( ) e.5 ) b) c) d) ln e) f).6 ) b) c) ) ln 5 b) ln c) ln ) ln b) Hvis mn multipliserer begge sider med e, får mn smme ligning som i del ) ln 9.9 ) e b) e 5 7 ln ln 6 c) d) 5 ln 7 ln 5 ln ln ln. b ln( ) ln( b) ln lnb ln b Def. b log b ln b log( ) log( b) log logb log b log 7

44 Forkurs i mtemtikk UiT Kpittel 4 Trigonometri i grder og rdiner Trigonometri (fr gresk trigonon = tre vinkler og metro = måling) er en gren innenfor mtemtikken som studerer forholdet mellom vinkler og sider i en rettvinklet treknt. Trigonometri nvendes i mtemtikk, stronomi og lndmåling, men også innen felter som ikke er direkte forbundet med dette, som meknikk og frekvensnlyse (lyd, lys, optikk, kvntemeknikk). Det er uenighet om trigonometrien er en egen mtemtisk gren eller om den er underlgt geometrien. I nturen gjentr det seg noen fenomener over en bestemt tidsperiode. Hr mn informsjon om fenomenet i denne tidsperioden, kn mn bruke trigonometriske funksjoner til å beskrive fenomenet over flere tidsperioder. 4. Vinkelmål: grder og rdiner Vinkelmålet rdin er en SI-enhet definert som buelengde delt på rdius. Det klles også for bsolutt vinkelmål. Andre vinkelmål er grder, som knskje er mest kjent. 6 grder tilsvrer π rdiner. Omregningsformelen er: 8 r d r d 8 der r er vinkelen regnet i rdien og d vinkelen regnet i grder (engelsk: degrees). Eksempel 4. Omgjør, 45, 6, 9 og 6 grder til rdiner. rd Vi vet t: 8 o rd o, dermed er:, 45 6 o rd, 6 4 o rd,9 o rd o,6 rd 4. Rettvinklet treknt En rettvinklet treknt er en treknt hvor én v de tre vinklene er 9 grder, og hvor Pythgors setning gjelder: b c Forholdet mellom ktetene og hypotenusen kn defineres ved hjelp v sinus og cosinus: b sin A cos A c c sin A tn A b cos A 8

45 Kpittel 4 4. Trekntberegninger Cosinussetningen: b c bccos( A) Sinussetningen: sin( A) sin( B) sin( C) b c Se oppgve Trigonometri i rdiner Enhetssirkel, sinus, cosinus og tngens Figuren til venstre viser de grunnleggende definisjonene v de trigonometriske (cos, sin ) funksjonene. Enhetssirkel (en sirkel med rdius med sin sentrum i origo) Cosinus-ksen (horisontlksen) Sinus-ksen (vertiklksen) cos Skjæringspunktet mellom denne linjen og enhetssirkelen hr d koordintene: cos, sin. sin tn. cos Med utgngspunkt i denne definisjonen (og Pytgors' setning) får vi t: sin cos Ved hjelp v enhetssirkelen kn vi sette opp følgende: sin sin cos cos tn tn sin sin cos cos tn tn Det gjelder også t: cos sin( ) sin cos( ) Det kn vises t grfen til en sinusfunksjon og en cosinusfunksjon hr fseforskjell. 9

46 Forkurs i mtemtikk UiT 4.5 Noen kjente vinkler Vinkel Rdiner sin cos tn o o o 9 8 o Grfene til sinus, cosinus og tngens Sinusfunksjon Cosinusfunksjon Tngensfunksjon y sin y cos y tn Legg merke til t perioden til sin og cos er, mens for tn er den : sin sin( ), cos cos( ), tn tn( ) Husk: Grfen til en sinusfunksjon og en cosinusfunksjon hr fseforskjell: cos sin( ) eller sin cos( ) 4

47 Kpittel Trekntberegninger (trigonometri i grder) Cosinussetningen: b c bccos( A) Sinussetningen: sin( A) sin( B) sin( C) b c 4.8 Trigonometriske formler Grunnleggende formler: sin cos tn sin cos cot tn Trigonometriske formler for y sin( y) sincos y cos siny, cos( y) cos cos y sinsiny tn tny tn( y) tn tny Trigonometriske formler for sin sincos cos cos sin cos sin Andre formler: cosu cosv (cos(u v) cos(u v)) sinusin v (cos(u v) cos(u v)) sinu cosv (sin(u v) sin(u v)) Eksempel 4. Finn ekskte verdier for: ) sin 5 6 (Hint: Bruk tbell i delkpittel 4.5) ) b) c) b) tn 5 4 c) cos 5 4

48 Forkurs i mtemtikk UiT 4.9 Beskrivelse v et periodisk fenomen ved hjelp v en cosinus- /sinuskurve yc Ccos ( t t) og yc Csin ( t t) T T der: C er middelverdi (likevektslinje), er C mplitude, T er periode og sirkelfrekvens er gitt ved. t T klles krofse. Noen eksempler for å studere disse prmetrene: yccsin ( ) C =, C, T Amplitude C er fordoblet Sirkelfrekvens er fordoblet y sin y sin og y sin y sin og y sin C Likevektslinje C Akrofse t C =, C, og t y sin og y sin y sin og ysin( ) y sin ( ) Eksempel 4. Grfen til en periodisk funksjon er tegnet her. Funksjonen kn uttrykkes ved: yccsin ( ) Bestem de ukjente prmetrene C, C, T og sirkelfrekvens ved T C =, C =, og. T 4 cos( /) sin( ) eller sin( / ) cos( ) 4

49 Kpittel 4 4. Den periodiske funksjonen: f() t cost bsint Omforming til funksjonen som en cosinusfunksjon: costbsint Ccos ( t t ) der C b og tn( t) b Husk t ( C, t ) er polrkoordintene til punktet (, b), og dermed hører t til smme kvdrnt som punktet (, b). Eksempel 4.4 Gitt funksjonene: ) f() t cost sint b) f() t cost sint Skriv dem på formen Ccos ( t t) og tegn grfen. ) C b og b tn( t) t t 6 f( t) cos ( t ) og grfen blir d: b) C b og b tn( t) t t f() t cos ( t ) og grfen blir d: 4

50 Forkurs i mtemtikk UiT 4. Ligninger på formen: sin( ) b der. b b Vi skl løse ligningen: sin( ) b eller sin( ) og dermed sin ( ) (Her kn du bre tste SHIFT SINUS( b ) eller INV SINUS( b ) på klkultoren. Du må først sjekke t klkultoren et innstilt på Rdin.) Vi må huske t sin( ) lltid sin( ) omløp ( ), eller: b gir to vinkler og i første b sin ( ) og b sin ( ) De generelle løsningene med uendelig mnge vinkler er d: b b n sin ( ) og n sin ( ) der n,,, Ligningen sin( ) der som forklring. 6 løses på tilsvrende måte. Her er enhetssirkelen tegnet Eksempel 4.5 Løs ligningene når ) 6sin b) 7sin c) 7sin 44

51 Kpittel 4 ) 6sin sin 6 sin ( ) ( 6 sin ( ) er en kjent vinkel. Se tbell i 4.5) Hvis det ikke vr ngitt, ville løsningene være: 5 n og n 6 6 b) 7sin sin 7 sin ( ), 879, 9 7, 9,85 Hvis det ikke vr ngitt, ville løsningene være:, 9 n og,85 n der n,,, c) 7sin sin ( ), 879 (, 879) 5, (, 879), 4 Hvis det ikke vr ngitt, ville løsningene være: 6 n og, 4 n der n,,, 4. Ligninger på formen: cos( ) c der. c Vi skl løse ligningen: cos( ) c eller cos( ) c cos ( ) Her kn du bre tste SHIFT COSINUS( c ) eller INV COSINUS( c ) på klkultoren. Du må først sjekke t klkultoren er innstilt på Rdin. c Vi må huske t når cos( ) lltid cos( ) gir to vinkler i første omløp ( ) c c cos ( ) og cos ( ) De generelle løsningene med uendelig mnge vinkler er d: c c n cos ( ) og n cos ( ) der n,,, eller c., n cos ( ) 45

52 Forkurs i mtemtikk UiT Eksempel 4.6 Løs ligningene når ) 6cos b) 7cos c) 7cos ) 6cos cos 6 cos ( ) ( cos ( ) er en kjent vinkel. Se tbell i 4.5) 5 Hvis det ikke vr ngitt, ville løsningene være: 5 n og n b) 7cos cos 7 7 cos ( ), 79, 8,8 5,5 Hvis det ikke vr ngitt, ville løsningene være:, 8 n og 5,5 n der n,,, c) 7cos 7 cos ( ), 4,,4,7 4, Hvis det ikke vr ngitt, ville løsningene være: n og 4, n der n,,, 46

53 Kpittel 4 Oppgver Kpittel 4 Oppgve 4. L være en vinkel i. kvdrnt. Finn (uten å bruke klkultor) sin og cos når: ) tn b) tn c) tn 5 Oppgve 4. Løs ligningene: ) 5 cos =, [, b) sin + =, [, c) 4 tn + =, [, Oppgve 4. 7 ) Gitt cosv og v [7, 6 ]. Bestem sin v og tn v. 5 b) Vis t cos ( ) 4 sin ( ) cos sin 6 8 c) Gitt cos v og v [, ]. Bestem sin v og sin v, cos v og tn v. 7 Oppgve 4.4 I treknt ABC er vinkel B = 8.5, = 74. og b = 9.5 ) Finn de øvrige sidene og vinklene i treknten. b) Finn lengden v vinkelhlveringslinjen fr vinkel C. Oppgve 4.5 I en treknt ABC er følgende oppgitt. Du skl regne ut lle de tre sidene og de tre vinklene. ) = 4,7 cm, c=6,9 cm og C 56. b) c = 7, cm, A 5 og C 7 c) B 48, =8, cm og c= 6, cm Oppgve 4.6 I treknt ABC er AB =.9, BC = 6.4, vinkel C =.5, og vinkel A er stump. Bestem vinkelen A. 47

54 Forkurs i mtemtikk UiT Oppgve 4.7 Figuren viser treknt ABC, hvor vinkel C er stump. Målene fremgår v figuren. ) Bestem vinkel C. b) Bestem relet v treknten ABC. Oppgve 4.8 Figuren viser en treknt ABC, hvor vinkel A = 5.8 og AB = 5.5. Arelet v treknten er 4.4. Bestem AC og BC. Oppgve 4.9 En byggegrunn hr form som en firknt ABCD, hvor vinkel A = 8, vinkel B = 6, vinkel C = 5, AD = m og AB = 5 m. ) Tegn en modell v byggegrunnen, og bestem lengden f digonlen BD. b) Bestem relet v byggegrunnen. Oppgve 4. En treknt ABC er bestemt ved t = 9, b = og c =. ) Bestem størrelsen v vinkel A. b) Bestem relet v treknt ABC. Oppgve 4. I treknt ABC er vinkel A = 6., AC = 5. og BC =.. Vinkel C er stump. ) Bestem vinklene B og C. b) Bestem AB. c) Bestem lengden v medinen m c. Oppgve 4. En byggegrunn hr form som en firknt ABCD. Tre v sidene hr følgende lengder: AB = 5.7 m, BC = 5. m og CD =.8 m. Lengden v digonlen AC er målt til 8. m. Endelig er vinkel D målt til 94. ) Bestem vinkel B. b) Bestem byggegrunnens rel. 48

55 Kpittel 4 Oppgve 4. På figuren ses en treknt ABC, hvor M er midtpunktet v siden AC. De kjente målene fremgår v figuren. Videre opplyses det t vinkel ABM er stump. ) Beregn vinkel ABM og AC. b) Beregn BC og vinkel B i treknten ABC. c) Beregn relet v treknt ABC. Oppgve 4.4 Figuren viser en skisse v en gvlkonstruksjon i et sommerhus. De kjente målene fremgår v figuren. ) Bestem lengden v bjelkene AB og BD. b) Bestem lengden v bjelken BC smt vinkel BCD. Oppgve 4.5 Figuren viser en firknt ABCD hvor digonlen BD er inntegnet. De kjente firkntens mål fremgår v figuren. ) Beregn BD b) Beregn vinkel D i treknt BDC. c) Beregn CD. d) Beregn AC. Oppgve 4.6 Gitt treknten på figuren til høyre.. Vis t bcoscc cos B b. Bruk så sinusproporsjonen til å vise t sin Asin Bcos CsinC cos B Oppgve 4.7 I treknten ABC er AB=7 cm, BC=4 cm og AC= 6 cm. Hlveringslinjen for vinkel C deler AB i stykkene og y. Beregn disse stykkene. Gjent utregningen når AB=c, BC= og AC=b. 49

56 Forkurs i mtemtikk UiT Oppgve 4.8 I treknten ABC er C 9, A og AB=s. Hlveringslinjen for C deler AB i to stykker. Beregn disse stykkene uten å bruke tilnærmingsverdier. Oppgve 4.9 Gitt en treknt ABC med sidelengder 4, 5.5, og 8 enheter. Finn vinkelene til treknten. Oppgve 4. ) Bruk grfene til sin, cos og tn til å vise t: sin sin cos cos sin sin cos cos b) Vis de smme smmenhengene ved hjelp v enhetssirkelen og definisjonene v sin og cos. Oppgve 4. ) Benytt 45 o + o = 75 o til å finne ekskte verdier for sin 75 o og cos 75 o. o o o b) Benytt 45 =5 til å finne ekskte verdier for sin 5 o og cos 5 o. Oppgve 4. ) Tegn grfen til funksjonen: f 4 cos( ), [,4] Funksjonen forteller hvor høyt sol står på himmelen et sommerdøgn et sted nord for polrsirkelen. Vi kller denne høyden over horisonten for solhøyden og måler den i grder. b) Finn solhøyden kl. 4. og kl. 6.. c) Når vr solhøyden o? d) Når stod sol på det høyeste? Hvor høyt stod sol d? Oppgve 4. Skriv funksjonene nedenfor på formen f Ccos v : ) f sin 4cos b) f cos sin Oppgve 4.4 Grfen til en funksjon på formen ycsin( ( )) er gitt: () (b) Bestem c,, og. 5

57 Kpittel 4 Fsit Kpittel 4 4. ) Du kn tenke deg en rettvinklet treknt der lengden til kteten motstående for vinkelen er og hosliggende er, det vil si tn. Lengden til hypotenusen er d ( ). Vi få d sin og cos. Vi kn bruke smme metode for del b) og c) b) c) sin og cos. 5 sin og cos. 4. ) 5 cos = 5cos cos 5 Vi bruker klkultoren og får frm den ene løsningen.,6 Den ndre løsningen finner vi ved å tegne enhetssirkelen. =,6 = 5, De to løsningene på ligningen er =,6 og = 5, 5

58 Forkurs i mtemtikk UiT b) sin + =, [, sin sin Vi tegner enhetssirkelen og finner to løsninger.. Vi får to -6-9-treknter der AOP = og BOP =. Av symmetrigrunner får vi d løsningene: De to løsningene på ligningen er 4 5 eller c) 4 tn + =, [, 4tn 9 tn 4 Klkultoren gir løsningen,5 Den generelle løsningen er d,5 n 5 og 4. Ettersom løsningen skl være i første omløp, må [,. n = =,5 +,4 =,99 n = =,5 +,4 = 5, Løsningene er d : =,99 og = 5, 5

59 Kpittel ) cosv og v [7, 6 ] 5 Enhetsformelen gir cos v sin v eller sin v cos v sin v sin v Ettersom v [7, 6 ], er sin v negtiv. Det gir sin v 5 Definisjonen v tn v gir b) c) sin v tn v = cos v cos( ) 4sin( ) 6 (cos cos sin sin ) 4(sin cos cos sin ) 6 6 (cos ( ) sin ) 4(sin cos ) cos sin sin cos cos sin 8 cos v og v [, ] 7 cos v sin v eller sin v cos v sin v sin v Ettersom v [, ], er sin v positiv. Det gir 7 5 sin v sin v sin v cos v ( ) cos v sin v sin v 89 4 tnv cos v

60 Forkurs i mtemtikk UiT 4-4 ) A = 5.5, C = 45., c = 66. b) v c = ) c sinc 4.7 sin A sin , A 4.4 sin C sin A c 6.9 B b c c 6.9cm b sin B sin cm sin B sin C sin C sin 56 b) c c 7,cm sin A sin cm sin A sin C sin C sin 7 B csin B 7.cm sin 57 b 6.cm sin C sin 7 c) b c c cos B cos cm b sin B 8. sin 48 sin A.99, A8 sin A sin B b 6. C b c Sinussetningen gir sin B sin, b c C. Dermed blir sin A sin B sin C sin A sin A sin B sinc ccos BbcosC cosc cos B. Vi dividerer denne likheten med sin A sin A og multipliserer sin A: sin Asin Bcos CsinC cos B. Siden sin( BC) sin(8 BC) sin A, følger t sin( BC) sin Bcos C sinccos B 4.6 ) A = ) C = b) rel ) AC =., BC =

61 Kpittel ) BD = 5.8 m b) m 4. ) A = 47. b) rel ) B = 47., C = 6.7 b) AB = 6.5 c) m c =.5 4. ) B = 97.5 b) ) vinkel AMB = 6.5, AC =.9 b) BC = 5., B =.4 c) ) AB =.4 m, BD =.4 m b) BC = 5.5 m, vinkel BCD = ) BD = 7. b) vinkel BDC = 8.4 c) CD =.9 d) AC = ) Det er lett å vise ved hjelp v figuren bcoscc cos B c b) Det fremgår ved å dele begge sider b: cosc cos B b b sin sin sin Vi vet t sin A c sin C og dermed er: og. b c b sin B b sin B sin A sinc cosc cos B sin B sin B sin Asin Bcos CsinC cos B 4.7 Se figuren til høyre. Ifølge setningen om delingsforhold og 6 hlveringslinje er y, vi får dermed 4 y. Vi hr også y 7.. D må 5 y y y, og vi får y 4, Når AB=c, BC= og AC=b, må y c og AC b og y BC c c b c og y,. b b b b y. D må b y c 55

62 Forkurs i mtemtikk UiT 4.8 I denne treknten er AB=s, BC s, AC s. Setningen om vinkelhlveringslinjenes deling v den motstående siden i en treknt gir d / AC AD AD og herv AD s AD, AD / BC BD s s AD 4.9 s AD s s BD AB AD s Vi setter = 5.5, b= 8, og c= 4, Vi finner vh cosinussetningen: Her lønner det seg å omforme b c bccos slik t vi får lene på den ene b c 8 4 5,5 49,75 siden: cos bc cos (,78) 8,74 Vi bruker sinusproporsjonen for å finne sin sin c sin 4sin(8, 74) sin, 46 c 5,5 sin, 46 sin,46 7,4 o og dermed: o o o 8 (8,74 7, 4 ),86 4. ) Det fremgår ved å tegne grfene og se t disse er like. b) Det fremgår ved å tegne enhetssirkelen og tegne inn vinklene og se t deres sin og cos er like. 4. ) sin 75 o 6 4 cos75 o 6 b) 4 sin5 o 6 4 cos5 o ) o og 5 o b) Kl.. (kl. 4.) c) Ved midntt (.), kl. 6. og kl. 8.. d) Høyeste: kl ) C 5, v tn, 645, 49 4 b) C, 5 v tn 4.4 ) y5 sin b) y5sin (,5) eller y5sin 56

63 Kpittel 5 Kpittel 5 Grenseverdi og kontinuitet 5. Grenseverdi L y f( ) være en funksjon som er definert om et punkt, men ikke nødvendigvis i selve. Når vribelen går mot punktet, dersom funksjonen nærmer seg en verdi A, skriver mn: lim f( ) A Noen regneregler for grenser Ant t lim f( ) A, lim g ( ) B. D gjelder følgende: lim f( ) g( ) A B lim ( ) ( ) f g AB f( ) A lim ( B ) g ( ) B f( ) 5. Grenseverdi lim g ( ) f( ) I dette vsnittet skl vi se nærmere på tilfellet når lim og i delkpittel 4.5 når g ( ) f( ) lim. Dersom det er mulig, kn vi fktorisere telleren og nevneren med ( ). g ( ) Ellers kn L'Hôpitls regel benyttes. 9 Nedenfor følger noen eksempler. Eksempel 5. Bestem grenseverdiene: 4 ) lim b) lim c) lim d) lim sin 5 9 e) lim f) lim 9 sin 5 sin 5 Fsit: ) 4 b) c) d) lim lim5 5 e) 6 f) 5 sin lim sin lim b b tn lim tn lim b b sin sin lim lim b b b 9 57

64 Forkurs i mtemtikk UiT 5. Ensidig grense lim og lim For å undersøke kontinuitet til noen funksjoner som f( ) eller f( ) 4 er det nødvendig å studere grenseverdiene på høyre og venstre side. Eksempel 5. Bestem grenseverdiene: ) lim b) lim c) lim( ) Fsit: ) b) Eksisterer ikke( ) c) Eksisterer ikke( ) 5.4 Kontinuitetsbegrepet En funksjon y f( ) er kontinuerlig i punktet dersom grenseverdien eksisterer om dette punktet og er lik funksjonsverdien: lim f( ) f( ) Eksempel 5. Undersøk om følgende funksjoner er kontinuerlige i det ngitte punktet: 5 5 ) f( ) i b) g ( ) i 5 Fsit: ) J b) Nei (grenseverdi eksisterer ikke) 58

65 Kpittel Noen ord om grenseverdi når f( ) lim g ( ) n n n n ( n ) n n n lim lim m m b m bm m bm b b ( bm ) m n m n nm n lim nm bm bm nm når grenseverdien går mot, sier mn t grenseverdien ikke eksisterer. Eksempel 5.4 Bestem grenseverdiene: ) lim b) lim c) 5 lim 4 8 d) lim 9 Fsit: ) b) c) d) 5.6 Asymptoter Asymptoter til grfen for y f( ) er rette linjer, som ikke kn skjelnes fr grfen i det fjerne. Vi skl se nærmere på tre typer symptoter: y y Vertikl symptote: y Horisontl symptote: y Vertikl symptote: y Skrå symptote: y 59

66 Forkurs i mtemtikk UiT Eksempel 5.5 Bestem eventuelle symptoter til: 5 ) y b) y c) y d) y 4 Fsit: ), y b) y c), y d), y Eksempel 5.6 Bestem grenseverdiene: 9 ) lim( ) ( ) b) lim c) lim d) lim( ) ( ) 7 5 n Fsit: ) (Eksisterer ikke) b) c) d) n n n 5.7 Tllet e Tllet e klles Eulers konstnt (Eulertllet) etter den sveitsiske mtemtikeren Leonhrd Euler og Npiers konstnt etter den skotske mtemtikeren John Npier. Konstnten e ble først omtlt i 68 i en tbell i tilleggsnottet til et verk om logritmer v John Npier. Selve konstnten vr ikke inkludert, men en rekke nturlige logritmer ble beregnet. Den første kjente nvendelsen v konstnten, d representert med en b, vr i en brevveksling mellom Gottfried Leibniz og Christin Huygens i 69 og 69. Noen mener t e står for "eksponentiell", siden tllet e er det nturlige vlget til grunntll i en eksponentilfunksjon. Leonhrd Euler strtet å bruke bokstven e om konstnten i 77, og den ble først brukt som e i Eulers Mechnic som ble publisert i 76 som er tilnærmet lik: e,788 Oppdgelsen v konstnten i seg selv krediteres Jkob Bernoulli, som forsøkte å finne verdien til det følgende uttrykket, som kn brukes som en definisjon v e: n lim e, 788 n n Euler-tllet kn også uttrykkes ved: e!! 6

Forkurs i matematikk. Kompendium av Amir Hashemi, UiB. Notater, eksempler og oppgaver med fasit/løsningsforslag 1

Forkurs i matematikk. Kompendium av Amir Hashemi, UiB. Notater, eksempler og oppgaver med fasit/løsningsforslag 1 Forkurs i mtemtikk Kompendium v Amir Hshemi, UiB. Notter, eksempler og oppgver med fsit/løsningsforslg Mtemtisk Institutt UiB Innhold Sist oppdtert 07. juni 0 i Forord... Kpittel 0 Test deg selv... Oppgver

Detaljer

Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra

Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra Smmendrg kpittel 1 - Aritmetikk og lgebr Regneregler for brøker Utvide brøk: Gng med smme tll i teller og nevner. b = k b k Forkorte brøk: del med smme tll i teller og nevner. b = : k b : k Summere brøker:

Detaljer

Brøkregning og likninger med teskje

Brøkregning og likninger med teskje Brøkregning og likninger med teskje Dette heftet gir en uformell trinn for trinn gjennomgng v grunnleggende regler for brøkregning og likninger. Dette er sto som vi i FYS 000 egentlig forventer t dere

Detaljer

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato 5: Alger Pln resten v året: - Kpittel 6: Ferur - Kpittel 7: Ferur/mrs - Kpittel 8: Mrs - Repetisjon: April/mi - Eventuell offentlig eksmen: Mi - Økter, prøver, prosjekter: Mi - juni For mnge er egrepet

Detaljer

1T kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka T kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i lærebok Uten hjelpemidler E b c E b c Vi gnger vnlige tll med vnlige tll og tierpotenser med tierpotenser. Til slutt omformer vi svret så vi får et tll

Detaljer

1T kapittel 6 Geometri Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 6 Geometri Løsninger til oppgavene i læreboka T kpittel 6 Geometri Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 6. Vi ruker pytgorssetningen. h 5 + 6 h 5 + 36 h 6 h ± 6 Hypotenusen er 6. Vi ruker pytgorssetningen. h, 4 + 6,7 h h 5, 076 + 45, 04 50, 047

Detaljer

R2 - Heldagsprøve våren 2013

R2 - Heldagsprøve våren 2013 Løsningsskisser HD R R - Heldgsprøve våren 0 Løsningsskisser Viktigste oppsummeringer: Må skrive med penn på eksmen! Slurv og regnefeil, både med tll og bokstver, er hovedproblemet. Beste måten å fikse

Detaljer

Temahefte nr. 1. Hvordan du regner med hele tall

Temahefte nr. 1. Hvordan du regner med hele tall 1 ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK SNART MATTE EKSAMEN Hvordn du effektivt kn forberede deg til eksmen Temhefte nr. 1 Hvordn du regner med hele tll Av Mtthis Lorentzen mttegrisenforlg.com Opplysning: De nturlige

Detaljer

Integrasjon Skoleprosjekt MAT4010

Integrasjon Skoleprosjekt MAT4010 Integrsjon Skoleprosjekt MAT4010 Tiin K. Kristinslund, Julin F. Rossnes og Torstein Hermnsen 19. mrs 2014 1 Innhold 1 Innledning 3 2 Integrsjon 3 3 Anlysens fundmentlteorem 7 4 Refernser 10 2 1 Innledning

Detaljer

Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 Integrlregning Mål for opplæringen er t eleven skl kunne gjøre rede for definisjonen v estemt integrl som grense for en sum og uestemt integrl som ntiderivert eregne integrler v de sentrle funksjonene

Detaljer

M2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon

M2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon M, vår 008 Funksjonslære Integrsjon Avdeling for lærerutdnning, Høgskolen i Vestfold. pril 009 1 Arelet under en grf Vi begynner vår diskusjon v integrsjon, på smme måte som vi begynte med derivsjon, ved

Detaljer

1 Tallregning og algebra

1 Tallregning og algebra Tllregning og lger ØV MER. REGNEREKKEFØLGE Oppgve.0 6 d) ( : 6) Oppgve. ( ) ( ) ()() ( ) ( ) ( ) () (6 ) () d) ( ) 7() ( ) Oppgve. 6 ( ) d) Oppgve. Med ett ddisjonstegn, ett sutrksjonstegn, ett multipliksjonstegn

Detaljer

2 Symboler i matematikken

2 Symboler i matematikken 2 Symoler i mtemtikken 2.1 Symoler som står for tll og størrelser Nvn i geometri Nvn i mtemtikken enyttes på lignende måte som nvn på yer og personer, de refererer eller representerer et tll eller en størrelse,

Detaljer

3.7 Pythagoras på mange måter

3.7 Pythagoras på mange måter Oppgve 3.18 Vis t det er mulig å multiplisere og dividere linjestykker som vist i figur 3.. Bruk formlikhet. 3.7 Pythgors på mnge måter Grekeren Pythgors le født på Smos 569 og døde. år 500 f. Kr. Setningen

Detaljer

1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Vinkelsummen i mangekanter. 1.2 Vinkler i formlike figurer

1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Vinkelsummen i mangekanter. 1.2 Vinkler i formlike figurer Oppgver 1 Geometri KTGORI 1 1.1 Vinkelsummen i mngeknter Oppgve 1.110 ) I en treknt er to v vinklene 65 og 5. Finn den tredje vinkelen. b) I en firknt er tre v vinklene 0, 50 og 150. Finn den fjerde vinkelen.

Detaljer

S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka S kpittel 6 Derivsjon Løsninger til oppgvene i ok 6. c y x y x = = = = y x 4 5 9 4 y 5 6 x 4 = = = = y x y x = = = = 7 ( 5) 6 ( ) 8 6. f( x ) f( x ) 5 7 x x ( ) 4 = = = = 6. T( x) = 0,x +,0 T T = + = (0)

Detaljer

... JULEPRØVE 9. trinn...

... JULEPRØVE 9. trinn... .... JULEPRØVE 9. trinn.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver

Detaljer

Kapittel 3. Potensregning

Kapittel 3. Potensregning Kpittel. Potensregning I potensregning skriver vi tll som potenser og forenkler uttrykk som inneholder potenser. Dette kpitlet hndler blnt nnet om: Betydningen v potenser som hr negtiv eksponent eller

Detaljer

ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL

ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL Anne Rsch-Hlvorsen Oddvr Asen Illustrtør: Bjørn Eidsvik 7B NY UTGAVE ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL CAPPELEN DAMM AS, 2011 Mterilet i denne publiksjonen er omfttet v åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt

Detaljer

Del 2. Alle oppgaver føres inn på eget ark. Vis tydelig hvordan du har kommet frem til svaret. Oppgave 2

Del 2. Alle oppgaver føres inn på eget ark. Vis tydelig hvordan du har kommet frem til svaret. Oppgave 2 Del 2 Alle oppgver føres inn på eget rk. Vis tydelig hvordn du hr kommet frem til svret. Oppgve 1 Figuren viser sidefltene til et prisme. Grunnflten og toppflten mngler. ) Hvilken form må grunn- og toppflten

Detaljer

EKSAMEN. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 2 sider formelark)

EKSAMEN. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 2 sider formelark) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Mtemtikk FAGNUMMER: REA EKSAMENSDATO: 5. desember 6 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning. TID: kl. 9... FAGLÆRER: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside

Detaljer

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrsjon Som kjent kn vi regne ut (bestemte) integrler ved nti-derivsjon. Dette resulttet er et v de viktikgste innen klkulus; det heter tross

Detaljer

YF kapittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 601 Vi skl gå ett hkk mot høyre, og gnger derfor med 10. 14 cm 14 10 mm 140 mm c Vi skl gå to hkk mot høyre, og gnger derfor med 10

Detaljer

S1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

S1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka S1 kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok E1 995 995 5 + 5 (995 5) (995 + 5) + 5 990 1000 + 5 990 000 + 5 990 05 E E (61+ 9) 51 49) (51+ 49) 61 9 (61 9) 51 49 ( 100 100 11 1997 00 199

Detaljer

1T kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgavene i læreboka 1T kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 3.1 Origo er skjæringspunktet mellom førsteksen og ndreksen. Koordintene til origo er ltså (0, 0). Førstekoordinten til punktet A er 15, og

Detaljer

Fag: Matematikk 1T-Y for elever og privatister. Antall sider i oppgaven: 8 inklusiv forside og opplysningsside

Fag: Matematikk 1T-Y for elever og privatister. Antall sider i oppgaven: 8 inklusiv forside og opplysningsside Loklt gitt eksmen 2012 Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for elever og privtister Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 25. mi Antll sider i oppgven: 8 inklusiv forside og opplysningsside Eksmenstid: Hjelpemidler under eksmen:

Detaljer

Faktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11.

Faktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11. Fktorisering Per G. Østerlie Senter for IKT i utdnningen per@osterlie.no 11. mi 013 1 Hv er fktorisering? Vi må se på veret å fktorisere. Hv er det vi skl gjøre når vi fktoriserer? Svret er: å lge fktorer.

Detaljer

R1 kapittel 8 Eksamenstrening

R1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgvene i ok R kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i ok Uten hjelpemidler Oppgve E Hvis er et nullpunkt for De mulige nullpunktene for P, er konstntleddet 8 delelig med. P er

Detaljer

E K S A M E N. Matematikk 3MX. Elevar/Elever Privatistar/Privatister. AA6524/AA6526 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET

E K S A M E N. Matematikk 3MX. Elevar/Elever Privatistar/Privatister. AA6524/AA6526 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET E K S A M E N UTDANNINGSDIREKTORATET Mtemtikk 3MX Elevr/Elever Privtistr/Privtister AA654/AA656 8. desember 004 Vidregånde kurs II / Videregående kurs II Studieretning for llmenne, økonomiske og dministrtive

Detaljer

Fasit. Grunnbok. Kapittel 2. Bokmål

Fasit. Grunnbok. Kapittel 2. Bokmål Fsit 9 Grunnbok Kpittel Bokmål Kpittel Lineære funksjoner rette linjer. ƒ(x) = 4x + 5 ƒ() = 3 ƒ(4) = ƒ(6) = 9.6 ƒ(x) = -x b ƒ(x) = x b ƒ(x) = (x + ) 3 ƒ() = ƒ(4) = 8 ƒ(6) = 4 ƒ(x) = x 4 ƒ() = - ƒ(4) =

Detaljer

Kalkulus 2. Volum av et omdreiningslegeme. Rotasjon rundt x-aksen

Kalkulus 2. Volum av et omdreiningslegeme. Rotasjon rundt x-aksen Klkulus Klkulus Volum v et omdreiningslegeme Rotsjon rundt x-ksen På figuren nedenfor hr vi skrvert området vgrenset v grfen til den kontinuerlige funksjonen y = f( x) og x-ksen fr x= til x=. Når vi roterer

Detaljer

RAMMER FOR SKRIFTLIG EKSAMEN I MATEMATIKK 1P-Y OG 1T-Y ELEVER 2015

RAMMER FOR SKRIFTLIG EKSAMEN I MATEMATIKK 1P-Y OG 1T-Y ELEVER 2015 RAMMER FOR SKRIFTLIG EKSAMEN I MATEMATIKK 1P-Y OG 1T-Y ELEVER 015 Utdnningsrogrm: Yrkesfg Fgkoder: MAT1, MAT6 Årstrinn: Vg1 Ogveroduksjon: En lokl ogvenemnd lger ogver til ordinær eleveksmen og sommerskolen.

Detaljer

R2 eksamen våren 2014. (19.05.2014)

R2 eksamen våren 2014. (19.05.2014) R Eksmen V04 R eksmen våren 04. (9.05.04) Løsningsskisser (Versjon 3.0.4) Del - Uten hjelpemidler Oppgve ) fx sinu; u 3x Kjerneregel: f x f uu x cosu3 3 cos3x b) e x e x med kjerneregel som i ) Produktregel:

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

Tom Lindstrøm. Tilleggskapitler til. Kalkulus. 3. utgave. Universitetsforlaget,

Tom Lindstrøm. Tilleggskapitler til. Kalkulus. 3. utgave. Universitetsforlaget, Tom Lindstrøm Tilleggskpitler til Klkulus 3. utgve Universitetsforlget, Oslo 3. utgve Universitetsforlget AS 2006 1. utgve 1995 2. utgve 1996 ISBN-13: 978-82-15-00977-3 ISBN-10: 82-15-00977-8 Mterilet

Detaljer

Integral Kokeboken. sin(πx 2 ) sinh 2 (πx) dx = 2. 1 log x. + log(log x) dx = x log(log x) + C. cos(x 2 ) + sin(x 2 ) dx = 2π. x s 1 e x 1 dx = Γ(s)

Integral Kokeboken. sin(πx 2 ) sinh 2 (πx) dx = 2. 1 log x. + log(log x) dx = x log(log x) + C. cos(x 2 ) + sin(x 2 ) dx = 2π. x s 1 e x 1 dx = Γ(s) Integrl Kokeboken 4 3 4 6 8 log sinπ sinh π 4 + loglog loglog + C cos + sin π s e Γs n n s Γsζs π + sin +cos log + cos i Del I. Brøk................................... Trigonometriske funksjoner.....................

Detaljer

Årsprøve 2014 10. trinn Del 2

Årsprøve 2014 10. trinn Del 2 2 Årsprøve 2014 10. trinn Del 2 Informsjon for del 2 Prøvetid: Hjelpemidler på del 2: Vedlegg: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: Veiledning om vurderingen: 5 timer totlt Del 2 skl du levere

Detaljer

Nytt skoleår, nye bøker, nye muligheter!

Nytt skoleår, nye bøker, nye muligheter! Nytt skoleår, nye øker, nye muligheter! Utstyret dere trenger, er som i fjor: Læreok lånes v skolen vinkelmåler, --9 og - -9-treknter, psser, lynt, viskelær, penn, A-rk til innføring og A klddeok. Og en

Detaljer

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. HansPetterHornæsogLarsNilsBakken. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 4 sider formelark)

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. HansPetterHornæsogLarsNilsBakken. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 4 sider formelark) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Mtemtikk EMNENUMMER: REA4 og REA4f EKSAMENSDATO: 9. desember 0 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning og Flexing. TID: kl. 9.00 3.00. FAGANSVARLIG: HnsPetterHornæsogLrsNilsBkken

Detaljer

TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD

TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD Abstract. Oppgaven tar for seg utvalgte temaer innenfor trigonometri, og retter seg mot lærere som skal undervise i fagene 1T og R2. Date: May 7,

Detaljer

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 1

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 1 Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R kapittel A. c) tan + sin0 + d) sin60 tan0 A. B. A y sin0 0 sin0 cos0 y 0 y cos0 C 60 D cos AD 0 6 B AD 0 cos 0 CD AD B.6 A tan60 CD BD BD BD tan60 6 AB AD

Detaljer

2 Tallregning og algebra

2 Tallregning og algebra Tllregning og lger KATEGORI. Regnerekkefølge Oppgve.0 Regn uten digitlt hjelpemiddel. + ( + ) ( ) Oppgve. Regn uten digitlt hjelpemiddel. Oppgve. Regn ut med og uten digitlt hjelpemiddel. + (7 + ) ( 9)

Detaljer

Vurderingsveiledning 2010

Vurderingsveiledning 2010 Vurderingsveiledning 00 Mtemtikk, sentrlt gitt eksmen Studieforberedende og yrkesfglige utdnningsrogrm Kunnsksløftet LK06 Bokmål Vurderingsveiledning til sentrlt gitt skriftlig eksmen 00 Denne veiledningen

Detaljer

Kapittel 4 Tall og algebra Mer øving

Kapittel 4 Tall og algebra Mer øving Kpittel 4 Tll og lger Mer øving Oppgve 1 d Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller de ulike okstvene? Se på uttrykket A = 2π. Hv står de ulike symolene for? Forklr hv vi mener med en vriel og en

Detaljer

OPPLÆRINGSREGION NORD. Skriftlig eksamen. MAT1001 Matematikk 1P-Y HØSTEN 2011. Privatister. Yrkesfag. Alle yrkesfaglige utdanningsprogrammer

OPPLÆRINGSREGION NORD. Skriftlig eksamen. MAT1001 Matematikk 1P-Y HØSTEN 2011. Privatister. Yrkesfag. Alle yrkesfaglige utdanningsprogrammer OPPLÆRINGSREGION NORD LK06 Finnmrk fylkeskommune Troms fylkeskommune Nordlnd fylkeskommune Nord-Trøndelg fylkeskommune Sør-Trøndelg fylkeskommune Møre og Romsdl fylke Skriftlig eksmen MAT1001 Mtemtikk

Detaljer

Terminprøve Matematikk for 1P 1NA høsten 2014

Terminprøve Matematikk for 1P 1NA høsten 2014 Terminprøve Mtemtikk for 1P 1NA høsten 2014 DEL 1 Vrer 1,5 time Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler. Forsøk på lle oppgvene selv om du er usikker

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler Eksmen høsten 013 Løsninger Eksmen høsten 013 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 150 sider Vi finner først hvor mnge

Detaljer

YF kapittel 10 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 10 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 10 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok Uten hjelpemidler Oppgve E1 5 + 5 + 6 11 5 + 4 (5 + ) 5 + 4 7 10 6 + 8 d + ( + 1) 5 + 4 5 + 16 5 + 10 5 4 + 4 4 + 8 1 + + + + + + + + 49 49

Detaljer

1P kapittel 3 Funksjoner

1P kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 3.1 Origo hr koordintene (0, 0). Vi finner koordintene til punktene ved å lese v punktets verdi på x-ksen og y-ksen. A =

Detaljer

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009 Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være

Detaljer

Integrasjon av trigonometriske funksjoner

Integrasjon av trigonometriske funksjoner Integrsjon v trigonometriske funksjoner øistein Søvik 3. november 15 I dette dokumentet skl jeg vise litt ulike integrsjonsteknikker og metoder for å utforske integrlene v (cos x) og (sin x). De bestemte

Detaljer

Vurderingsrettleiing Vurderingsveiledning Desember 2007

Vurderingsrettleiing Vurderingsveiledning Desember 2007 Vurderingsrettleiing Vurderingsveiledning Desember 007 Mtemtikk sentrlt gitt eksmen Studieforberedende og yrkesfglige utdnningsrogrm Kunnsksløftet LK06 Vurderingsveiledning til sentrlt gitt eksmen i Kunnsksløftet

Detaljer

HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for ingeniørutdanning

HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for ingeniørutdanning HØGSKOLEN I BERGEN Aveling for ingeniørutnning FAG : FOA192 Vieregåene nlyse og iskret mtemtikk KLASSAR : Mnge DATO : 21. mi 212 TAL PÅ OPPGÅVER 5 TAL PÅ SIDER 2 VEDLEGG Hjelpesetningr HJELPEMIDDEL Csio

Detaljer

Fakultet for realfag Ho/gskolen i Agder - Va ren 2007

Fakultet for realfag Ho/gskolen i Agder - Va ren 2007 Msteroppgve i mtemtikkdidktikk Fkultet for relfg Ho/gskolen i Agder - V ren 2007 Integrl og integrsjon Roger Mrkussen Roger Mrkussen Integrl og integrsjon Msteroppgve i mtemtikkdidktikk Høgskolen i Agder

Detaljer

Eneboerspillet. Håvard Johnsbråten

Eneboerspillet. Håvard Johnsbråten Håvrd Johnsråten Eneoerspillet Når vi tenker på nvendelser i mtemtikken, ser vi gjerne for oss Pytgors læresetning eller ndre formler som vi kn ruke til å eregne lengder, reler, kostnder osv. Men mer strkte

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 9A og 9B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 9A Kapittel A GEOMETRI Regulære mangekanter Når alle sidene er like lange og alle vinklene er like store i en mangekant, sier vi

Detaljer

Analyse og metodikk i Calculus 1

Analyse og metodikk i Calculus 1 Analyse og metodikk i Calculus 1 Fredrik Göthner og Raymi Eldby Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet 3. desember 01 1 Innhold Forord 3 1 Vurdering av grafer og funksjoner 4 1.1 Hva er en funksjon?.........................

Detaljer

I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden http://www.hig.no/toel/allmennfag/emnesider/rea1042

I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden http://www.hig.no/toel/allmennfag/emnesider/rea1042 Ukeoppgver, uke 43, i Mtemtikk, Substitusjon. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfg Mtemtikk Ukeoppgver uke 43 I løpet v uken blir løsningsforslg lgt ut på emnesiden http://www.hig.no/toel/llmennfg/emnesider/re4

Detaljer

Fremdriftsplan for sommerkurset 2014 Planen er ment som et utgangspunkt, kan justeres underveis

Fremdriftsplan for sommerkurset 2014 Planen er ment som et utgangspunkt, kan justeres underveis Oldervoll m.fl. Sinus matematikk, Forkurs grunnbok, Cappelen Jerstad m.fl. Rom-Stoff-Tid, Forkurs grunnbok, Cappelen. Øving: EN/MMT (D3-11), PD (D3-15), EA/DA (D3-17) Fremdriftsplan for sommerkurset 2014

Detaljer

9 Potenser. Logaritmer

9 Potenser. Logaritmer 9 Potenser. Logritmer Foret utregingene nedenfor: 5 5 c 6 7 d e 5 f g h i Regn ut og gjør svrene så enkle som mulige: c y y d e f g h i j y y + y + y + + y Prisen på en motorsg vr kr 56 i 99. Vi regner

Detaljer

om vurdering av eksamensbesvarelser 2014

om vurdering av eksamensbesvarelser 2014 Eksmensveiledning om vurdering v eksmensbesvrelser 014 Mtemtikk. Sentrlt gitt skriftlig eksmen Studieforberedende og yrkesfglige utdnningsrogrm Kunnsksløftet LK06 Bokmål Innhold 1 Vurdering eksmensmodell

Detaljer

Sensorveiledning Oppgaveverksted 4, høst 2013 (basert på eksamen vår 2011)

Sensorveiledning Oppgaveverksted 4, høst 2013 (basert på eksamen vår 2011) Sensorveiledning Oppgveverksted 4, høst 203 (bsert på eksmen vår 20) Ved sensuren tillegges oppgve vekt 0,2, oppgve 2 vekt 0,4, og oppgve 3 vekt 0,4. For å bestå eksmen, må besvrelsen i hvert fll: gi minst

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk 2 Fysikk 2 Torsdag 2. desember 2004

Løsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk 2 Fysikk 2 Torsdag 2. desember 2004 NTNU Side 1 v 7 Institutt for fysikk Fkultet for nturvitenskp og teknologi Dette løsningsforslget er på 7 sider. Løsningsforslg til eksmen i TFY417 Fysikk Fysikk Torsdg. desember 4 Oppgve 1. Kvntemeknikk

Detaljer

Litt av matematikken bak solur

Litt av matematikken bak solur Anne Bruvold Revidert mrs 005 Bkgrunn Min interesse for solur le vekket d jeg i 000 skulle holde et lite foredrg om kjeglesnitt og under foreredelsen v dette kom over rtikler som kolet kjeglesnitt med

Detaljer

6: Trigonometri. Formlikhet bør kanskje repeteres. Og Pytagoras læresetning. Se nettsidene! Oppgaver Innhold Dato

6: Trigonometri. Formlikhet bør kanskje repeteres. Og Pytagoras læresetning. Se nettsidene! Oppgaver Innhold Dato Plan for hele året: - Kapittel 7: Mars - Kapittel 8: Mars/april 6: Trigonometri - Repetisjon: April/mai - Økter, prøver, prosjekter: Mai - juni Ordet geometri betyr egentlig jord- (geos) måling (metri).

Detaljer

om vurdering av eksamensbesvarelser 2015

om vurdering av eksamensbesvarelser 2015 Eksmensveiledning om vurdering v eksmensbesvrelser 015 Mtemtikk. Sentrlt gitt skriftlig eksmen Studieforberedende og yrkesfglige utdnningsrogrm Kunnsksløftet LK06 Ny eksmensordning fr og med våren 015

Detaljer

NORGES LANDBRUKSHØGSKOLE Institutt for matematiske realfag og teknologi EKSAMEN I FYS135 - ELEKTROMAGNETISME

NORGES LANDBRUKSHØGSKOLE Institutt for matematiske realfag og teknologi EKSAMEN I FYS135 - ELEKTROMAGNETISME NORGES LANDBRUKSHØGSKOLE nstitutt for mtemtiske relfg og teknologi EKSAMEN FYS135 - ELEKTROMAGNETSME Eksmensdg: 12. desember 2003 Tid for eksmen: Kl. 14:00-17:00 (3 timer) Tilltte hjelpemidler: B2 - Enkel

Detaljer

Terminprøve Matematikk Påbygging høsten 2014

Terminprøve Matematikk Påbygging høsten 2014 Terminprøve høsten 2014 Terminprøve Mtemtikk Påygging høsten 2014 DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Regn ut 3 3 3 4 1 3 3 2

Detaljer

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger Høgskolen i Agder Avdeling for realfag MA40: Analyse - Notat om differensiallikninger Dato: Høsten 2000 Merknader: Dette notatet kommer i tillegg til 4.2 og 6. i læreboka. Ma 40: Analyse skal inneholde

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER

SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8A Kapittel A GEOMETRI LINJE, LINJESTYKKE OG STRÅLE linje stråle linjestykke VINKLER VINKELBEIN OG TOPPUNKT En vinkel har et toppunkt. Denne vinkelen

Detaljer

R2 2010/11 - Kapittel 4: 30. november 2011 16. januar 2012

R2 2010/11 - Kapittel 4: 30. november 2011 16. januar 2012 R 00/ - Kpittel 4: 0. noemer 0 6. jnr 0 Pln for skoleåret 0/0: Kpittel 5: 6/ 6/. Kpittel 6: 6/ /. Kpittel 7: / /4. Prøer på eller skoletime etter hert kpittel. Én heildgsprøe i her termin. En del prøer

Detaljer

Tempoplan: Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra

Tempoplan: Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra Tempoplan: Kapittel 5: /1 1/. Kapittel 6: 1/ 1/. Kapittel 7: 1/ 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra Algebra omfatter tall- og bokstavregninga i matematikken. Et viktig grunnlag for dette

Detaljer

Komplekse tall og komplekse funksjoner

Komplekse tall og komplekse funksjoner KAPITTEL Komplekse tall og komplekse funksjoner. Komplekse tall.. Definisjon av komplekse tall. De komplekse tallene er en utvidelse av de reelle tallene. Dvs at de komplekse tallene er en tallmengde som

Detaljer

Litt av matematikken bak solur

Litt av matematikken bak solur Anne Bruvold Revidert oktoer 003 Bkgrunn Min interesse for solur le vekket d jeg i 000 skulle holde et lite foredrg om kjeglesnitt og under foreredelsen v dette kom over rtikler som kolet kjeglesnitt med

Detaljer

Løsninger til oppgaver i boka

Løsninger til oppgaver i boka Løsninger til oppgver i ok Kpittel 1 Alger Løsninger til oppgver i ok 1.9 d På ildet ser vi t den lengste siden i tkåpningen er omtrent så lng som den korteste. Om vi kller den korteste siden for x, hr

Detaljer

... ÅRSPRØVE 2014...

... ÅRSPRØVE 2014... Delprøve 1 Ashehoug ÅRSPRØVE 014 9. trinn.... ÅRSPRØVE 014... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemiler (39 poeng) Alle oppgvene i el 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver er et en regnerute. Her skl

Detaljer

Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 2005

Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 2005 Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 5 Beregn grenseverdien Oppgave 1 (x 1) ln x x x + 1 Svar: Merk at nevneren er lik (x 1), så vi kan forkorte (x 1) oppe og nede og får (x 1) ln x ln x

Detaljer

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform 1 10 Tall og tallregning Studentene skal kunne gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall definere og benytte de anerkjente skrivemåtene for åpne, halvåpne og lukkede intervaller

Detaljer

Løsningsforslag til øving 4

Løsningsforslag til øving 4 1 Oppgve 1 FY1005/TFY4165 Termisk fysikk Institutt for fysikk, NTNU åren 2015 Løsningsforslg til øving 4 For entomig gss hr vi c pm = 5R/2 og c m = 3R/2, slik t γ = C p /C = 5/3 Lngs dibten er det (pr

Detaljer

Regelbok i matematikk 1MX og 1MY

Regelbok i matematikk 1MX og 1MY Regelbok i matematikk 1MX og 1MY Utgave 1.4 Skrevet av Bjørnar Tollaksen. Hele regelboka er et sammendrag av læreboka. Dette er ment som et supplement til formelheftet, ikke en erstatning. Skrivefeil kan

Detaljer

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon.

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon. Innledning til Matematikk Hans Petter Hornæs, hans.hornaes@hig.no Det er ofte vanskelig å komme i gang et fag. Innledningsvis er det gjerne en del grunnleggende begreper som må på plass. Mange studenter

Detaljer

Arne B. Sletsjøe. Kompendium, MAT 1012

Arne B. Sletsjøe. Kompendium, MAT 1012 Arne B. Sletsjøe Kompendium, MAT 2 Forord Dette kompendiet dekker nlysedelen v pensum i kurset MAT 2 ved Universitetet i Oslo. Kurset bygger på MAT og legger mer vekt på nvendelser v teorien enn på dens

Detaljer

Repetisjon i Matematikk 1, 4. desember 2013: Komplekse tall og Derivasjon 1

Repetisjon i Matematikk 1, 4. desember 2013: Komplekse tall og Derivasjon 1 Repetisjon i Mtemtikk, 4. desember 0: Komplekse tll og Derivsjon Komplekse tll. Regn ut og skriv på normlform i 5 + i b 8 i 7 + 5i c 5 + i 6 i. Regn ut og skriv på normlform d 4 i + i e i 5 + 4i eiπ 6

Detaljer

2P kapittel 5 Eksamenstrening

2P kapittel 5 Eksamenstrening P kpittel 5 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i ok Uten hjelpemidler E1 3 4 0 3+ 4+ 0 7 = = = = 5 5 5 ( ) ( ) c d 7 5 3 3 3 3 6 4 3 6 4 3 3x x = 3 x x = 3 x x = 3 x = 3 x = 7x 1, 10 5,0 10 = 1, 5,0

Detaljer

Kalkulus 1. Et sentralt begrep i kalkulus (matematisk analyse) er grensebegrepet. Ofte ser vi på grenser for funksjoner eller grenser for tallfølger.

Kalkulus 1. Et sentralt begrep i kalkulus (matematisk analyse) er grensebegrepet. Ofte ser vi på grenser for funksjoner eller grenser for tallfølger. Kalkulus 1 Grenser Et sentralt begrep i kalkulus (matematisk analyse) er grensebegrepet. Ofte ser vi på grenser for funksjoner eller grenser for tallfølger. Vi sier at funksjonen f(x) har en grense f(a)

Detaljer

wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue

wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, også regner symbolsk. Det vil si

Detaljer

1T kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka T kpittel Alger Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve. 0 8 ( 0) + 0 + ( 0) 0 8 Oppgve. 7 ( ) + + ( ) 7 Oppgve. ( ) + Oppgve. 0 ( ) 0 ( 0) ( ) 0 ( 0) : ( ) 0 : ( ) Oppgve. ( ) ( ) ( ) (,) ( ) (,) 9 Oppgve.

Detaljer

Krasjkurs MAT101 og MAT111

Krasjkurs MAT101 og MAT111 Krasjkurs MAT101 og MAT111 Forord Disse notatene ble skrevet under et åtte timer (to firetimers forelesninger) i løpet av 10. og 11. desember 2012. Det er mulig at noen av utregningene ikke stemmer, enten

Detaljer

Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne gurene.

Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne gurene. Innlevering FO99A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Fredag oktober 01 kl 1:00 Antall oppgaver: 16 Løsningsforslag 1 Finn volum og overateareal til følgende gurer Tegn

Detaljer

Forord. Molde, august 2011. Per Kristian Rekdal. Copyright c Høyskolen i Molde, 2011.

Forord. Molde, august 2011. Per Kristian Rekdal. Copyright c Høyskolen i Molde, 2011. 1 13. august 011 Forord Høgskolen i Molde gjennomfører forkurs i matematikk for studenter som har svakt grunnlag i dette faget, eller som ønsker å friske opp gamle kunnskaper. Formål: Målet med forkurset

Detaljer

Oppgave N2.1. Kontantstrømmer

Oppgave N2.1. Kontantstrømmer 1 Orientering: Oppgvenummereringen leses slik: N står for nettsiden, første siffer står for kpittelnummer og ndre for oppgvenummer. Oppgve N2.1. Kontntstrømmer En edrift vurderer å investere 38 millioner

Detaljer

6 Brøk. Matematisk innhold Brøk i praktiske situasjoner Brøk som del av en mengde. Utstyr Eventuelt ulike konkreter, som brikker og knapper

6 Brøk. Matematisk innhold Brøk i praktiske situasjoner Brøk som del av en mengde. Utstyr Eventuelt ulike konkreter, som brikker og knapper Brøk I dette kpitlet lærer elevene om røk som del v en helhet, der helheten kn være en mengde, en lengde eller en figur, og de skl lære om røk som del v en mengde. De skl lære å finne delen når det hele

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2013

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2013 Tll i rei Påygging terminprøve våren 2013 DEL 1 Uten hjelpemiler Hjelpemiler: vnlige skrivesker, psser, linjl me entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Skriv tllene på stnrform. 1 0,000 00015 2 19,6 millirer

Detaljer

SINUS R1, kapittel 5-8

SINUS R1, kapittel 5-8 Løsning av noen oppgaver i SINUS R1, kapittel 5-8 Digital pakke B TI-Nspire Enkel kalkulator (Sharp EL-506, TI 30XIIB eller Casio fx-82es) Oppgaver og sidetall i læreboka: 5.43 c side 168 5.52 side 173

Detaljer

Eksempeloppgave 2014. REA3024 Matematikk R2 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)

Eksempeloppgave 2014. REA3024 Matematikk R2 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Eksempeloppgave 014 REA04 Matematikk R Eksempel på eksamen våren 015 etter ny ordning Ny eksamensordning Del 1: timer (uten hjelpemidler) Del : timer (med hjelpemidler) Minstekrav til digitale verktøy

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO929A Matematikk Prøve-eksamen Dato 13. desember 2007 Tidspunkt 09.00-1.00 Antall oppgaver Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 a) Likningen

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T Løsningsforslag heldagsprøve våren 00 T DEL OPPGAVE a) Regn ut x x x x x x x x x x 9x x x x x 6x x x x 6x x 6x b) Løs likninga x x 6 x x 6 x x 6 x x 6 x x x x c) Løs likningssettet ved regning x y x y

Detaljer

Ma1101. Part I. 1 Grunnleggende. 1.1 Noen symboler. 1.2 Tallene. 1.3 Noen algebraiske lover

Ma1101. Part I. 1 Grunnleggende. 1.1 Noen symboler. 1.2 Tallene. 1.3 Noen algebraiske lover Prt I M1101 1 Grunnleggende 1.1 Noen symboler Union A B i A og/eller B Snitt A B i både A og B Element i B er et element i B Undersett A B A er et undersett v B Skikkelig undersett A B A er et undersett

Detaljer