Løsningsforslag til oppgavene i avsnitt 1.15

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Løsningsforslag til oppgavene i avsnitt 1.15"

Transkript

1 til oppgver... til oppgvene i vsnitt.... August 00, oppgve Linjestykket er gitt Gitt et kvdrt ABCD der AB. Punktet E på BC og punktet F på CD ligger slik t AE BF. AE og BF skjærer hverndre i M. Konstruer kvdrtet ABCD. Beregningene i resten v oppgven skl være ekskte (uten tilnærmingsverdier) og uttrykkes ved. b. Finn lengden v AM, BE og CE. c. Vis t firknt MECF er syklisk og konstruer omsirkelen d. Punktet Q ligger på AD slik t BQ hlverer ABD. Finn lengden v AQ, DQ og BQ. e. AC skjærer omsirkelen til firknt MECF i punktet P. Finn lengden v AP. f. Finn lengden v CM.. b. Hvis BE x + x, herv, er x, x AE. Men d er BAE FBC 0 og AMB 90 og MB, c. MECF er syklisk, fordi FME + FCE AQ AQ AB d. Vi hr QD AQ BD AQ ( ) +, herv AQ AQ, AM, CE ( ). MA- Geometri 6

2 til oppgver. e. Vi beregner A s potens med hensyn på omsirkelen til MECF på to måter: AP AC AM AE, så AM AE AP. AC f. Vi nedfeller normlen fr M på BC med fotpunkt G. BGM hr vinklene 0,60,90, og d blir 0 ( ) CM MG + GC CM Mi 00, oppgve Gitt sirkelen S og korden AB på S. L C være et vilkårlig punkt på S forskjellig fr A og B og slik t lengden AC er større enn lengden BC. L M være midtpunktet på sirkelbuen ACB. L E ligge på linj gjennom AC slik t C ligger mellom A og E og CEBC. L BEC θ og S omsirkelen til ABE.. Uttrykk BCA og BMA ved θ. Grunngi svret. b. Grunngi t sentrum til S er M. Ant nå t D er fotpunktet for normlen fr M, og l F være midtpunktet på AB. c. Vis t D er fotpunktet for normlen fr M hvis og bre hvis AD DC + CB. d. Vis t DF er prllell med hlveringslinj til BCA.. Siden BCCE, er CEB likebeint, og d må CBE CEB θ. D er ACB 80 ECB θ. ACB og BMA er periferivinkler over smme bue i S, så BMA ACB θ. b. Siden M skl hlvere buen ACB, må M ligge på midtnormlen på AB. BMA er likebeint, så MAB ABM 90 θ ACM det siste fordi ABM og ACM er periferivinkler over smme bue i S. Men d er MCG 60 4θ + 80 θ + 90 θ 90 θ MCB og MEC blir d kongruente, og MC må være midtnormlen på BE. M ligger d på midtnormlen til både AB og BE og må derfor være omsenteret til AEB. c. AME er likebeint, og forpunktet for normlen fr M på AE hlverer derfor AE, og det er det eneste punktet D slik t AD DE DC + CE DC + CB. AF AD d. Vi hr AB DB. D er FD og BE prllelle, og vi må h ADF AEB θ. D er FD prllell med hlveringslinj for ACB, som jo er θ. MA- Geometri 7

3 til oppgver.... Mi 00, oppgve. Linjestykket er gitt: I kvdrtet ABCD er sid lik. Punktene P og Q ligger på henholdsvis AB og BC slik t AP BQ. Konstruer kvdrtet ABCD og vis hvordn du finner P og Q ved konstruksjon. Trekk linjene AC, AQ og DQ. Beregningene i resten v oppgven skl være ekskte (uten tilnærmingsverdier) og uttrykkes ved. b. Regn ut AC, DP og DQ c. DP og AQ skjærer hverndre i punktet R. Vis t treknt ARP og treknt ABQ er formlike. Regn ut AR. d. Digonlen AC skjærer DQ i punktet S. Regn ut DS og SQ. e. Konstruer omsirkelen til treknt CDQ. Omsirkelen skjærer AC i punktet T. Begrunn hvorfor sirkelen også går gjennom R. Regn ut AT.. Se figuren til høyre. Vi strter med å trekke et linjestykke AB med lengde. Så oppreiser vi normler på AB i A og B, og vsetter AD og BC. Så trekker vi DC. Vi konstruerer så P slik t AP AB, og vsetter BQAP. b. AC + DP AQ + 0 DQ + c. ABQ og APD er kongruente, så APD AQB. BAQ er felles for ABQ og ARP, og disse er derfor formlike. D er AR BQ / AP, AR AP AQ 0 / d. Digonlen AC hlverer vinkelen C. Derfor er DS DC. D må DS DR og SQ CQ. SQ DQ 0 0 e. DQ må være en dimeter i omsirkelen, fordi C 90. DRQ ARP 90, fordi APR og ABQ er formlike. Derfor må R ligge på omsirkelen. A s potens med hensyn på omsirkelen på to måter: / 9 AT 9 0 AT AC AR AQ 0 9 0, MA- Geometri 8

4 til oppgver...4. Mi 00, oppgve Et linjestykke er gitt.. I et trpes ABCD er AB og CD de prllelle sidene, og AB, BC, ABC 60. Digonlen BD deler digonlen AC i forholdet :.. Konstruer trpeset. I resten v oppgven skl svrene uttrykkes ekskt ved hjelp v, ikke ved tilnærmingsverdier. b. Beregn vstnden fr hjørnet C til sid AB. c. Beregn lengden v digonlen AC. d. Finn lengden v CD. e. Finne lengden v digonlen DB. f. Kll digonlenes skjæringspunkt for E. Finn lengdene v DE og EB. g. Finn til slutt AED og lengden v AD.. b. Vi nedfeller normlen fr C på AB med fotpunkt F. Pythgors setning på FBC gir FC BC FB c. Pythgors setning på AFC gir AC AF + FC + 7, AC 7. d. ABE DEC, fordi AB DC. D må DC EC BC AB AE AB, DC AB. e. Av d. følger t DBC er likebeint, og BDC ABD 0 og dermed BCD 0. BD DC Sinussetningen på DBC gir d, C DBC ( DBC ) sin sin sin C DC sin0 BD (Alterntivt: sin rettvinklede treknter med vinkler 0,60 og 90, og d må DB 4 ). DE EB DE f. Siden ABE ECD, er, så EB. D må 4 6 ED DB EB DB DBC kn settes smmen v to MA- Geometri 9

5 til oppgver. ( BEC ) sin ( EBC ) sin g. Sinusproporsjonen på EBC gir, herv BC EC BC sin ( BEC) sin ( AED) sin 0 4 7, AED Arcsin( 4 7) 7. EC 7 ( BEC) gir cos ( AED) og cos ( AED) sin 7 4 Cosinussetningen på AED gir d cos AD AE DE AE DE AED AD FC Det betyr t AD AB. (Alterntivt kn du bruke cosinussetningen på ABD, der ABD 0 : AD AB + BD AB BD cos ABD 9 + 8, AD Mi 000, oppgve. Linjestykket er gitt: I treknten ABC er ACBC, og D er midtpunktet på AB. CD er, og rdien i innsirkelen er. Kll sentrum i innsirkelen for O. Konstruer treknten. Beregningene i resten v oppgven skl være ekskte (uten tilnærmingsverdier) og uttrykkes ved. b. Innsirkelen tngerer AC i punktet E. Regn ut CE. c. Vis t treknten EOC og trekntene DBC er formlike. Regn ut sidene i treknten ABC. d. Den rette linjen gjennom A og O skjærer BC i punktet F. Regn ut BF og FC. e. Høyden CD skjærer sirkelen i et punkt K. Regn ut AK. f. L er det ndre skjæringspunktet mellom AK og sirkelen. Regn ut korden KL.. Vi strter med å trekke en vnnrett linje og oppreise en norml i et punkt D. Så vsetter vi DK og DC. Vi hlverer DK, og finner O. Så slår vi innsirkelen med rdius / og sentrum i O. Vi konstruerer så tngentene fr C til innsirkelen. Forlengelsene skjærer den første vnnrette linj i A og B. b. Vi beregner C s potens m.h.p. innsirkelen på to måter: CE CK CD, CE c. DCB ACD, fordi O ligger på hlveringslinj for C, og CDB DEC 90. Derfor er EOC DBC DCA. Det gir MA- Geometri 0

6 til oppgver., DB OE og AB DB.Videre ser vi t ADO og DB OE DC DC EC EC AOE er kongruente, så AC AE + EC AD + EC DB + EC + BC AB d. Vinkelhlveringslinj AF deler BC i smme forhold som, ltså er BF AB BC BF AC og herv BF AC BC AB BF AB og AB BC BF AC + AB + e. Pythgors setning på AKD gir AC FC BC BF og 0 AK AD + DK +. 6 f. Vi beregner A s potens m.h.p. innsirkelen på to måter: AL AK AE, herv AE AD AL 6 AK AK 6 6 6, LK AK AL Mi 000, oppgve 4 Treknt ABC er gitt. Normlen fr punktet C på sid AB skjærer punktet AB i punktet D. Omsirkelen til treknt ABC hr sentrum O og dimeter CE, slik figuren viser.. Vis t ADC og EBC er formlike b. Ant t i ABC er A større enn B. Vis t d gjelder DCE A B.. CAB BEC, fordi de er periferivinkler over smme bue BC. ADC 90, fordi CD er normlen på AB, og EBC 90 fordi den er periferivinkel over buen EC, som er 80 fordi CE er en dimeter. Det følger t ADC og EBC er formlike. b. Vi forlenger normlen CD til skjæring med omsirkelen i F, dimeteren OF til skjæring i G, og trekker linj GE, som skjærer AB i H, og AG. OEG og CFO er begge likebeinte, og FGE FCE som perferivinkler over smme bue FE. De er dermed kongruente og likebeinte, så OEG OGE OFC CAG, det siste fordi de er periferivinkler over smme bue. Det følger t FC EG, og AHG BDC, jfr. figuren. Men d er BAG B, og DCB FCB CAG A B MA- Geometri

7 til oppgver...7. Mi 996, oppgve 4 Gitt en treknt ABC og en sirkel S gjennom C, som hr sentrum O. CO skjærer AB i F. Sirkelen S skjærer BC i D, AC i E og CF i G.. L CF være norml på AB. Vis t d er FAC EGC og t ABC og DEC er formlike. Vis t firknt ABDE hr en omsirkel. b. Omvendt, l firknt ABDE h omsirkel. Vis t d er ABC formlig med DEC. Undersøk om CF i dette tilfellet er norml på AB. c. Formuler en setning på grunnlg v punkt ) og b), som gir en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for t firknt ABDE hr en omsirkel. Knytt formuleringen til retningen til tngenten til S i C.. GEC og GDC er begge 90, fordi de begge spenner over dimeteren GC i sirkelen S. Derfor er AFC GEC og CE CF FBC GDC. Men d er og CD CF CE CB CG CB, og derfor CD CA. D er ABC og EDC formlike, siden C er felles. Videre er EAB + EDB CDE + EDB 80, og det medfører t ABDE hr omsirkel. CG AC b. Hvis omvendt ABDE er syklisk, er A 80 EDB EDC og B 80 AED DEC, og det viser t ABC DEC, siden de hr C felles. EGC EDC, fordi de er periferivinkler over smme bue EC. Men d er A + FGE 80, og AFGE er syklisk. Men d er AFC 80 AEG 90. c. Siden CF er en dimeter er en dimeter i S og dermed norml til tngenten til S i C, kn vi si det slik: Gitt en firknt ABDE, der skjæringspunktet mellom AE og BD er C. ABDE er syklisk hvis og bre hvis tngenten til omsirkelen til EDC i C er prllell med AB...8. Mi 999, oppgve 4 En sirkel er omskrevet en firknt ABCD, og digonlene AC og BD står normlt på hverndre i punktet P. Ei linje gjennom P står smtidig normlt på ei v sidene i firknten. For eksempel står ei linje gjennom P normlt på side BC i punktet F. Denne normlen PF skjærer AD i punktet G. Se figuren.. Vis t DPG GDP. MA- Geometri

8 til oppgver. b. Vis t AGGD... BCA BDA som periferivinkler over smme bue AB. DPG BCA, fordi DP AC og PG CF, vinkelbein står prvis normlt på hverndre. Men d er DPG BCA BDA GDP. b. CBD CAD som periferivinkler over smme bue DC. APG FPC som den tredje vinkel i to rettvinklede treknter med BCP felles. Men d er APG PAG og derfor AG PG GD, siden PDG også er likebeint...9. Mi 00, oppgve Linjestykket er gitt: Gitt et trpes ABCD der AB CD. AB, og vstnden mellom de prllelle linjene er. BAD 60. Normlen til AB i B skjærer CD i E, og BC skjærer AE i forholdet : målt fr A. Normlen til AB i A skjærer CD i F.. Konstruer trpeset ABCD. Beregningene i resten v oppgven skl være ekskte (uten tilnærmingsverdier) og uttrykkes ved. b. Finn lengden v AD, BC og CD. c. AE og BC skjærer hverndre i punktet H. Finn lengdene v AH og HE. d. Konstruer omsirkelen til treknt ADF, og finn lengden v rdius i omsirkelen. Konstruer innsirkelen til treknt ABE, og finn lengden v rdius i innsirkelen. e. Punktet T ligger på omsirkelen til treknten ADF, på buen AD, slik t CT er tngent til omsirkelen. Finn lengden v CT. f. AD og BC skjærer hverndre i punktet G. Finn lengden v CG.. MA- Geometri

9 til oppgver. b. Vi strter med å konstruere et rektngel ABEF, der AB, BE, og konstruerer BAD 60. Hvis BC skl dele AE i forholdet :, må H ligge på hlveringslinj for ABE, siden AB : BE :. Så vi konstruerer hlveringslinj for ABE og finner C. Pythgors setning på ADF gir AD AF ( AD) +, så 4 AD AF, AD. Vinklene i BEC er 4,4, 90, så CEBE og BC, CD FE CE. c. Vi hr HE AE +, og siden H eler AE i forholdet :, må AH, d. Omsenteret må ligge midt på AD, så rdius er R AD. Innsirkelens rdius r finner vi ved å uttrykket relet A v ABE på to måter: A A r AB + BE + EA r + + r +, herv ( ) r +. og e. C s potens med hensyn på omsirkelen på to måter: ( ) CT CD CF, CT AB DC f. ABG og DCG er formlike, fordi AB og CD er prllelle. D er og AB CG DC BG DC ( BC + CG), herv BG CG CG AB DC DC BC, ( + ) DC BC CG AB DC + ( 6 )..0. Mi 007, oppgve Et kvdrt ABCD hr side lik s, som du velger selv. E er midtpunktet på AB og F er midtpunktet på BC. Digonlen BD skjærer AF i H. DE skjærer AF i G. I oppgven skl du bruke ekskte verdier og ikke ersttte røtter med tilnærmingsverdier. De ulike lengdene skl uttrykkes ved s.. Tegn kvdrtet. Regn ut AF. b. Hvorfor er trekntene AEG og AFB formlike? Regn ut lengden v AG, GF og DG. c. Hvor store er vinklene ABD og DBC? Regn ut AH og HF. d. Hvorfor vil CE gå gjennom H? MA- Geometri 4

10 til oppgver.. Pythgors setning på ABF s gir AF s + s b. ABF og AED er åpenbrt kongruente, og ABF er bildet v AED rotert 90 om I, DE, AF AD, AB 90, som er skjæringspunktet mellom digonlene. D må så AGE 90. Siden dessuten BAF er felles for AEG og AFB, så må disse trekntene h de smme vinklene og derfor være formlike. Alterntivt: AED ABF, fordi sidene er prvis like. AED AEG AFB. Dessuten er BAF felles for AEG og ABF, og disse må derfor være formlike. AG AB s D må s og herv AG AE AF s AE s s og GF AF AG s. Videre er s s 0 s s 0 s GE AE AG s og DG DE GE s s. 0 c. ABD og DBC er begge 4, fordi BD er digonlen i kvdrtet ABCD.. Digonlen BD hlverer vinkelen B, setningen om delingsforholdet for hlveringslinj for AH AB en vinkel i en treknt gir for vinkelen B i treknten ABF:. D må HF BF s s AH AF s og HF AF s 6 d. I ABC er BI og AF mediner som skjærer hverndre i H. CE er den siste medinen, og denne må d også gå gjennom H, siden medinene skjærer hverndre i ett punkt. Det betyr t C, H og E må ligge på linje.... Mi 007, oppgve Gitt en sirkel med rdius r og sentrum i S.: I denne sirkelen skl det innskrives en firknt ABCD, der disse krvene skl være oppfylt: AB skjærer v en bue på 90. Digonlen AC er dimeter i sirkelen. Digonlen BD skjærer digonlen AC i E, slik t AE : EC :. I lle utregninger nedenfor skl du bruke ekskte verdier, ikke tilnærmingsverdier, lle uttrykt ved r.. Konstruer sirkelen og firknten. b. Hvorfor er DB hlveringslinje for D? Regn ut lengden v sidene i firknten. c. Hv blir sidene i SBE? d. Regn ut DE. L høyden fr B på AD skjære AD i T, og høyden fr B på DC skjære DC (forlenget) i R. e. Hvorfor vil RT gå gjennom S? MA- Geometri

11 til oppgver.. Se figuren til høyre. b. Siden AC er dimeter i sirkelen, er D 90, og siden buene AB og BC begge er 90, er periferivinklene CAB og CDB begge 4. Derfor er DB hlveringslinje for vinkelen D. Sidelengdene: + AB BC r r r ( r) ( ) DC AD DC DC + + DC 4 gir CD r, AD r c. r og SE AE AS r r r d. Vi uttrykker E s potens mhp. sirkelen på to måter: DE EB DE EC AE r r r EB r + r og SB r 0 r og herv: 8 9 r 4 DE r r 0 e. R, S og T er fotpunktene for normlene fr B på sidene i treknten ADC. Siden B ligger på omsirkelen til DCA, følger v setning.. (s. 78 i NG) t R, S og T er kollineære.... Mi 994, oppgve Gitt et punkt P på en sirkel C og en linje L som ikke skjærer sirkelen C. Konstruer sirkler gjennom P som tngerer L og C. Ant t to slike sirkler tngerer L i T og T. Vis t tngenten til C i P går gjennom midtpunktet på T T. 0 Sentrum i en sirkel som tngere C i P, må ligge på rdien OP, der O er sentrum i C. For t sirkelen skl tngere L, må sentrum også ligge like lngt fr tngenten gjennom P som fr L, ltså på hlveringslinj for en v vinklene mellom L og tngenten gjennom P. Vi hr AP AT, APQ AQT og AQ er felles for APQ og ATQ, som dermed blir kongruente. Tilsvrende er BPQ BTQ 90, PQB BQT og BQ er felles MA- Geometri 6

12 til oppgver. for BPQ og BQT, som dermed blir kongruente. Men d er TQ PQ QT, dvs. Q hlverer TT.... Mi 997, oppgve Gitt et punkt S i plnet og en linje l som ikke går gjennom S. Normlen fr S på l skjærer l i G. R er rotsjon om S en vinkel v. Ant t R v ( l) l ' S.. Hvorfor er vinkelen mellom l og l lik v: l, l ' v? Utenpå de tre sidene i den spissvinklede treknten ABC er det tegnet tre likesidede treknter AC ' B, BA' C og CB ' A. b. Vis, for eksempel ved å se på en rotsjon om A med rotsjonsvinkel v 60, t CC ' BB ' C ' C, BB ' 60. Kll skjæringspunktet mellom C C og BB for F. Vis og t t omsirkelen til AC ' B går gjennom F. F klles trekntens Fermtpunkt. c. Vis t AFC 0, og t firknten AFCB er syklisk (dvs. t den hr en omsirkel). Hvorfor er også CFB 0, og firknten BA CF også syklisk? Ant t symmetrisentrene i de tre likesidede trekntene AC ' B, BA' C og CB ' A er P, Q og R henholdsvis. d. Hvorfor er PQ normlt på BF? Hvorfor er PQR likesidet?. De to mrkerte vinklene med toppunkt i hhv. S og H hr vinkelbein som står prvis normlt på hverndre, og er dermed like. Når figuren roteres 60 om A, vil C vbildes på B, og C vil vbildes på B. Derfor vil CC vbildes på B B. Disse må derfor være like lnge, siden rotsjoner er isometrier. Det følger C ' C, BB ' 60. Vi d v oppgve ) t kn så t utgngspunkt i 60 rotsjoner om B og C og bevise t AA C C og B ' B, AA' AA', C ' C 60 Dermed er AFB + AC ' B 80, og det betyr t AC ' BF er syklisk, eller ekvivlent t F ligger på omsirkelen til AC ' B. b. AFC AFB ' + B ' FC og AB ' C + AFC 80, så AFCB ' er også syklisk. At BA' CF er syklisk, vises på smme måte. c. Vi ser på omsirklene til BA' CF og AC ' BF. Disse hr sentrum i hhv. Q og P, og v S MA- Geometri 7

13 til oppgver. begge går gjennom F og B. FB blir derfor en felles korde, og må derfor stå normlt på linj gjennom sentrene, jfr. stndrdkonstruksjonen for midtnormlen på et linjestykke. Tilsvrende blir PR AA' og RQ CC '. Siden AA, BB og CC dnner en vinkel på 60 med hverndre, vil også sidene i PQR gjøre det ifølge oppg ). Derfor er PQR likesidet...4. Mi 999, oppgve Gitt et linjestykke med lengde : I en sirkel med sentrum O og rdius er det innskrevet en likebeint treknt ABC. AC og BC er de like lnge sidene, og C 4.. Konstruer et linjestykke med lengde. Konstruer treknten ABC (Hr du ikke konstruert linjestykket med lengden, kn du måle lengden v og i selve konstruksjonen v treknten ABC bruke tilnærmingsverdien for rdius). Kll fotpunktet for høyden fr C på AB for D b. Finn sidene i trekntene ABC uttrykt ved. Forlengelsen v CD skjærer sirkelen i E. Punktet F ligger på sirkelen slik t AF er dimeter. c. Vis t firknten AEFC er et rektngel og t dette hr like stort rel som firknten AEBC. Forlengelsen v AE og forlengelsen v BC skjærer hverndre i G. Hlveringslinj til vinkel AGC skjærer AC i H. d. Finn forholdet mellom AH og HC.. konstrueres som hypotenusen i en rettvinklet treknt med kteter og. For å konstruere ABC trekker vi en dimeter gjennom et punkt på en sirkel med rdius og konstruerer to linjer som dnner vinkelen. med denne dimeteren ved å hlvere en rett vinkel gnger. Disse skjærer sirkelen i A og B, foruten i C. b. DB er ktet i en rettvinklet treknt med vinklene 4, 4 og 90 og hypotenus. Derfor er DB og AB.Pythgors setning gir videre MA- Geometri 8

14 til oppgver. ( ) ( ) ( 4 ) AC BC AP + PC og AC BC +.6. c. Alle vinklene i AEFC er periferivinkler over buer på 80 og dermed rette. AEFC er AEBC AEC EBC AEFC AEC + ECF. derfor et rektngel. Vi hr + og Men EBC og ECF er kongruente og hr derfor smme rel. Det følger t AEBC AEFC. BG d. EGB hr vinklene 4, 4 og 90, så EG. AGC hr også vinklene 4, 4 GA BG AH AG og 90, så. GH hlverer AGC, så. GC EG HC GC... Mi 00, oppgve 4 Gitt en sirkel med kordene PR og QR, der PR er den korteste, slik figuren viser. S er midtpunktet på buen fr P til Q vi R, og normlen fr S på QR skjærer QR i T. Punktet V ligger på forlengelsen v QR slik t VTTQ og slik t R er mellom V og T.. Fullfør konstruksjonen ut fr opplysningene ovenfor. Trekk PS, PQ, QS, SV og PV. Vis t trekntene VTS og QTS er kongruente. b. Vis t RPS RVS og t SPQ SQP. c. Vis t treknt PSV er likebeint og t PR RT TQ +.. VTS og QTS er begge rettvinklede, TS er felles, og VTTQ. D er VTS og QTS kongruente. b. RPS QTS som periferivinkler over smme bue, og VQS RVS, fordi VTS QTS. Men d er RPS RVS. SPQ SQP, fordi PS SQ. c. Punkt. gir t SVSQ, og b. gir t SQSP. D er SVSP, så PSV er likebeint. D er SPV SVP, og PVR VPR, og VR PR. D er PR+RTVR+RTVTTQ. MA- Geometri 9

15 til oppgver...6. Mi 006, oppgve Gitt en sirkel med rdius r. På en dimeter AB ligger et punkt C slik t BC. Konstruer figuren nedenfor og tngentene fr C til sirkelen. b. Tngeringspunktene er D og E. Beregn vstnden CD uttrykt ved r. c. Finn lengden v korden DE. d. Korden DE skjærer AB i F. Finn lengden v FB. r. Se figuren til høyre b. C s potens m.h.p sirkelen på to måter: CE CD CB CA, r r + r r 4 r CE. Alterntivt: Pythgors på OCD : DC OC OD 4 r + r r r c. OFD OCD gir OC OD OD og DC DE DE d. Pythgors på OFD FB r r r DC OD r r DE r OC r gir ( ) OF OD FD r r r og MA- Geometri 40

16 til oppgver...7. Mi 006, oppgve 4 I en treknt ABC er AB4, BC og AC der er linjestykket nedenfor. Alle lengder i oppgven skl uttrykkes ved hjelp v.. Konstruer treknten. b. Finn relet v ABC og A. c. Hlveringslinj for B skjærer AC i D, og normlen på denne hlveringslinj gjennom B skjærer forlengelsen v AC i E. Finn lengdene v AD, DC og CE. d. Konstruer innsirkelen til ABC, og finn rdien i denne. e. Konstruer omsirkelen til ABC, og finn rdius i denne. f. L midtpunktet på BC være F, og trekk AF. L skjæringspunktet mellom BD og AF være G, og trekk CG til skjæring med AB i punktet H. Vis så hvordn Cevs setning kn brukes til å finne lengdene v AH og HB. g. Beregn vstnden mellom innsenteret og omsenteret ved hjelp v Eulers setning.. Se figuren til høyre. b. Herons formel med s 4 + +, 9 s AB 4, 9 s BC, 9 s AC gir relet Cosinussetningen på BC AC AB AB AC ABC gir cos A og herv cos A, A 9. Alterntivt kn du finne relet ved hjelp v A : Når cos A, er sin A og relet c. Setningen om innvendig og utvendig delingsforhold for hlveringslinj for en vinkel i en AD AB 4 treknt gir, så d må AD AC og DC AC DC BC AE AB CE CB 4 Utvendig:, så CE AC. 8 MA- Geometri 4

17 til oppgver. d. Vi beregner relet v ABC ved hjelp v innrdien: r e. Sinussetningen gir CB 8 8 R, og derfor R. sin A s r r. Det gir 9 4 AH BF CD AH f. Cevs setning gir, herv AH HB. D må HB FC DA HB 8 4 AH AB og HB AB. g. Eulers setning (s. 98 i kompendiet) gir d 8 0 d R r R September 006, oppgve. Bruk svrrket til oppgve. T utgngspunkt i den øverste treknten ABC, der B er rett. Konstruer en prllell med AB gjennom C, og vsett et punkt E på denne prllellen slik t CBCE, og slik t A og E ligger på hver sin side v BC. Trekk linj AE, og kll skjæringspunktet med BC for F. Konstruer en prllell med AB gjennom F, og kll skjæringspunktet med AC for G. Konstruer til slutt en prllell med BC gjennom G, og kll skjæringspunktet med AB for H. (Du skl ikke skrive forklring til konstruksjonen.) b. Hvorfor er ABF og ECF formlike? c. Hvorfor er ABC og GFC formlike? d. Bruk b) og c) til å bevise t FBGF, slik t HBFG er et kvdrt. Vi skl nå generlisere konklusjonen i oppgve d) til å gjelde treknter ABC som ikke nødvendigvis er rettvinklede. T utgngspunkt i den nederste figuren på svrrket til oppgve, der det er tegnet en vilkårlig spissvinklet treknt ABC. Konstruer normlen fr C på AB. L fotpunktet for normlen være D. Konstruer en prllell med AB gjennom C, og vsett et punkt E på denne slik t CECD, og slik t E og A ligger på hver sin side v CD. Trekk AE, og kll skjæringspunktet med BC for F. Trekk en prllell med AB gjennom F, og kll skjæringspunktet med AC for G. Trekk en prllell med CD gjennom G, og kll skjæringspunktet med AB for H. Trekk endelig en prllell med CD gjennom F, og kll skjæringspunktet med AB for I. e. Vis t HIFG er et kvdrt. (Vink: Se på AFG og AEC smt på AIF og AJE, der J er fotpunktet for normlen fr E på AB.) MA- Geometri 4

18 til oppgver.. Se figuren til høyre b. AFB CFE som toppvinkler, og BAF FCE som smsvrende vinkler når AE skjærer prllellene AB og CE. D er ABF CFE. c. ACB er felles for ABC og GFC, fordi AB GF. D må ABC GFC. BF CF d. Av b) følger t, og v c) følger t AB CE GF CF CF BF GF AB BC CE. Av disse følger så t AB AB og BF GF e. AFG AEC gir gir IF AF JE AE eller herv FG IF, og AIF AJE FG AF EC AE. D blir IF AF CE AE, og FG IF EC CE..9. September 006, oppgve Gitt to sirkler, C med rdius r og sentrum O, og C med rdius r og sentrum Q, som berører hverndre utvendig, og slik t r > r. I tillegg til den felles tngenten gjennom berøringspunktet hr de to sirklene en nnen fellestngent som hr tngeringspunkter P på C og T på C. Bruk svrrk nr. til oppgve... Trekk opp QR PT slik t R ligger på OP, og bevis t PT 4r r (Vink: Bruk Pythgors). Forklr hvordn dette kn brukes til å konstruere et linjestykke med lengden PT, gitt r og r. QS QS + r + r b. L S være skjæringspunktet mellom tngenten PT og linj OQ. Vis t. r r c. Vis hvordn resulttene ovenfor kn brukes til å konstruere fellestngenten til to sirkler som berører hverndre utvendig. Bruk svrrk nr. til oppgve. d. Konstruer fellestngentene til to vilkårlige sirkler med forskjellige rdier som ikke skjærer eller berører hverndre. Jfr. svrrk nr. til oppgve. (Vink: Bevis en likhet som tilsvrer den i oppgve b.). Pythgors setning på OQR gir PT RQ OQ OR r + r r r 4r r. Det betyr t PT er mellomproporsjonlene mellom r og r, slik t PT kn konstrueres slik som på figuren ovenfor. MA- Geometri 4

19 til oppgver. b. QST OSP gir QS OS QS QS + r + r QT OP eller r r c. Vi konstruerer først normlene i O og Q. Vi trekker en linje gjennom de to skjæringspunktene med sirklene til skjæring med OQ. Fr dette punktet konstruerer vi tngenten til en v sirklene. d. r PS OS OQ + QS Vi hr, r TS QS QS og konstruerer punktet S på smme måte som tidligere. Punktet S konstrueres tilsvrende ved å r OS ' konsttere t, så vi r S ' Q trekker AB og finner skjæringspunktet S med OQ...0. September 006, oppgve 4 Gitt et kvdrt ABCD. L E, F, G og H være punkter på hhv, CD, AB, DA og BC. Vis t hvis GH står normlt på EF, så er GH og EF like lnge. Ant t GH står normlt på EF. Vi nedfeller normlen fr E på AB med fotpunkt J og normlen fr G på BC med fotpunkt I. D er HGI og FEJ vinkler som hr bein som står prvis normlt på hverndre. Dessuten er FJE GIH 90 og GI EJ. Det betyr t GHI og EFJ er kongruente, og dermed må GH EF. MA- Geometri 44

1.14 Oppgaver. Løsningsforslag

1.14 Oppgaver. Løsningsforslag til oppgaver i avsnitt.4.4 Oppgaver..4. Konstruer tangenten til en sirkel fra et punkt utenfor sirkelen..4. A og B er to punkter i planet. Konstruer det geometriske stedet for toppunktet til en vinkel

Detaljer

1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Vinkelsummen i mangekanter. 1.2 Vinkler i formlike figurer

1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Vinkelsummen i mangekanter. 1.2 Vinkler i formlike figurer Oppgver 1 Geometri KTGORI 1 1.1 Vinkelsummen i mngeknter Oppgve 1.110 ) I en treknt er to v vinklene 65 og 5. Finn den tredje vinkelen. b) I en firknt er tre v vinklene 0, 50 og 150. Finn den fjerde vinkelen.

Detaljer

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene 6.1 a Det geometriske stedet er en sirkellinje med sentrum i punktet og radius 5 cm. 6. Vi ser at koordinataksene er vinkelhalveringslinjene for

Detaljer

GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD

GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD Abstract. Dette kompendiet er laget for et etterutdanningskurs i geometri, og det gir bakgrunn for og supplerer forelesningene i kurset samtidig som det inneholder relevante

Detaljer

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til kapitteltesten i læreboka

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til kapitteltesten i læreboka R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til kapitteltesten i læreboka 6.A a ABC DEC fordi C er felles i de to trekantene. AB DE, og da er BAC = EDC og ABC = DEC. Vinklene i de to trekantene er parvis like store,

Detaljer

Fasit. Oppgavebok. Kapittel 2. Bokmål

Fasit. Oppgavebok. Kapittel 2. Bokmål Fsit Oppgveok Kpittel 2 Bokmål Kpittel 2 Treknteregning 2.1 75 c 50 e 50 70 d 80 f 53 2.2 B og D er rettvinklet A og C er likeeint 2.3 8,9 m 2.4 J Nei c J 2.5 10,4 cm 6,4 cm c 8,9 cm 2.6 ---- 2.7 115 m

Detaljer

1T kapittel 6 Geometri Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 6 Geometri Løsninger til oppgavene i læreboka T kpittel 6 Geometri Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 6. Vi ruker pytgorssetningen. h 5 + 6 h 5 + 36 h 6 h ± 6 Hypotenusen er 6. Vi ruker pytgorssetningen. h, 4 + 6,7 h h 5, 076 + 45, 04 50, 047

Detaljer

Fasit. Oppgavebok. Kapittel 4. Bokmål

Fasit. Oppgavebok. Kapittel 4. Bokmål Fsit 9 Oppgvebok Kpittel 4 Bokmål Kpittel 4 Geometri og beregninger Arel og omkrets 4.1 54 m b 106 m 4.2 162 m2 b 484 m2 4.3 26,0 cm2 b 22,5 cm2 c 20,0 cm2 d De tre rektnglene hr lik omkrets, 21 cm 4.4

Detaljer

Geometri R1. Test, 1 Geometri

Geometri R1. Test, 1 Geometri Test, 1 Geometri Innhold 1.1 Formlikhet... 1 1.2 Pytagoras setning... 8 1.3 Setningen om periferivinkler og Thales setning... 15 1.4 Geometriske steder... 21 1.5 Skjæringssetninger i trekanter... 25 1.6

Detaljer

Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A.

Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A. R1 kapittel 5 Geometri Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A. 5. a Vi bruker GeoGebra

Detaljer

Oppgave 5 Et rektangel har en omkrets på 24 cm 2. Hva blir arealet? Dersom lengdene på sidene skal ha heltallige svar, hvor mange løsninger får du?

Oppgave 5 Et rektangel har en omkrets på 24 cm 2. Hva blir arealet? Dersom lengdene på sidene skal ha heltallige svar, hvor mange løsninger får du? KAPITTEL 3 GEOMETRI Mer øving kpittel 3 I e første oppgvene skl u gjøre om enheter på en lgeriske måten. Det vil si t når u skl gjøre om mellom relenheter skl u gå veien om å gjøre om mellom lengeenheter.

Detaljer

3.7 Pythagoras på mange måter

3.7 Pythagoras på mange måter Oppgve 3.18 Vis t det er mulig å multiplisere og dividere linjestykker som vist i figur 3.. Bruk formlikhet. 3.7 Pythgors på mnge måter Grekeren Pythgors le født på Smos 569 og døde. år 500 f. Kr. Setningen

Detaljer

Geometri R1, Prøve 2 løsning

Geometri R1, Prøve 2 løsning Geometri R, Prøve løsning Del Tid: 90 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave Gitt punktene A,, B 0, og D,6 a) Bestem koordinatene til AB og lengden til AB AB 0, 8, AB 8 68 7 A, B og D er hjørner i parallellogrammet

Detaljer

Oppgaver i kapittel 6

Oppgaver i kapittel 6 Oppgaver i kapittel 6 603, 604, 606, 607, 608, 609, 610, 616, 619, 68, 630, 63, 633, 641 Jeg har ikke laget figurer på alle oppgavene, men det bør dere gjøre! 603 u og 70 er begge periferivinkler til v,

Detaljer

Geometri R1, Prøve 1 løsning

Geometri R1, Prøve 1 løsning Geometri R, Prøve løsning Del Tid: 60 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave Til høyre ser du en sirkel med sentrum i S. B ligger på sirkelperiferien og punktene Aog Cer skjæringspunkt mellom sirkelen med

Detaljer

5.5.1 Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger. Løsningsforslag + + = =

5.5.1 Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger. Løsningsforslag + + = = til oppgavene i avsnitt 55 til oppgaver i avsnitt 55 551 Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger cos( u + v) sin( u + v) cosu sin u u+ v u = sin( u v) cos( u v) sin

Detaljer

Bevis i Geometri. 23. April, Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo

Bevis i Geometri. 23. April, Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 23. April, 2012 Matematikk - å regne - å resonnere/argumentere Geometri -hvorfor? Argumentasjon og bevis, mer enn regning etter oppskrifter.

Detaljer

Løsningsskisser til oppgaver i Kapittel 2: Trigonometri

Løsningsskisser til oppgaver i Kapittel 2: Trigonometri Løsningsskisser til oppgver i Kpittel : Trigonometri.07 Treknten i figuren hr: (Alle mål i cm.) grunnlinje: g 5 1 høyde: h Tilhørende sirkelsektor spenner over vinkelen v, der cosv 5 v 1.159 Arel Treknt

Detaljer

YF kapittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 601 Vi skl gå ett hkk mot høyre, og gnger derfor med 10. 14 cm 14 10 mm 140 mm c Vi skl gå to hkk mot høyre, og gnger derfor med 10

Detaljer

Geometri 1T, Prøve 2 løsning

Geometri 1T, Prøve 2 løsning Geometri 1T, Prøve løsning Del 1 Tid: 60 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave 1 Gitt trekanten til høyre. a) Bestem sin B, cos B og tanb. 4,9 sinb 0,70, 7,0 5,0 cosb 0,71, 7,0 Du får oppgitt at sinb i

Detaljer

5.4 Konstruksjon med passer og linjal

5.4 Konstruksjon med passer og linjal 5.4 Konstruksjon med passer og linjal OPPGAVE 5.40 Analyse: Vi skal konstruere trekanten til høyre. Vi starter da med å konstruere en rettvinklet trekant med kateter lik 7 cm og 3 cm. Forlenger så hypotenusen

Detaljer

MA2401 Geometri Vår 2018

MA2401 Geometri Vår 2018 MA2401 Geometri Vår 2018 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag 8.1 5 Vi skal vise følgende: hvis γ 1 = C(O 1, r 1 ) og γ 2 = C(O 2, r 2 ) er to sirkler som skjærer

Detaljer

Mer øving til kapittel 2

Mer øving til kapittel 2 Mer øving til kpittel 2 KAPITTEL 2 GEOMETRI OG MÅLING Oppgve 1 Oppgve 2 Oppgve 3 Anne hr vært på ferie til sine esteforeldre fr 28. juni til 9. ugust. Hvor mnge dger hr hun vært på ferie? Fr hun kom hjem

Detaljer

R1 kapittel 6 Vektorer. Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgavene i boka

R1 kapittel 6 Vektorer. Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgavene i boka R1 kpittel 6 Vektorer Løsninger til oppgvene i ok Løsninger til oppgvene i ok 6.1 Tilfellene, e og f er vektorstørrelser fordi de hr retning. Tilfellene, og d er sklrer fordi de ikke hr retning. 6. d e

Detaljer

Del 2. Alle oppgaver føres inn på eget ark. Vis tydelig hvordan du har kommet frem til svaret. Oppgave 2

Del 2. Alle oppgaver føres inn på eget ark. Vis tydelig hvordan du har kommet frem til svaret. Oppgave 2 Del 2 Alle oppgver føres inn på eget rk. Vis tydelig hvordn du hr kommet frem til svret. Oppgve 1 Figuren viser sidefltene til et prisme. Grunnflten og toppflten mngler. ) Hvilken form må grunn- og toppflten

Detaljer

YF kapittel 7 Flate Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 7 Flate Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 7 Flte Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 701 Vinkel C er en rett vinkel. Altså er C = 90. c AB er motstående side til den rette vinkelen i treknten. Derfor er AB ypotenus. AC er osliggende

Detaljer

Mellomprosjekt i MAT4010: Trekanter i planet

Mellomprosjekt i MAT4010: Trekanter i planet Mellomprosjekt i MAT4010: Trekanter i planet Anne Line Kjærgård, Cecilie Anine Thorsen og Marie Vaksvik Draagen 6. mai 2014 1 Innhold 1 Trekanter i plangeometri 3 2 Oppgavebeskrivelse 3 3 Generelle egenskaper

Detaljer

b, og de er dermed like lange. 3) Ettersom trekantene er kongruente, er alle rettvinklet, og vinklene mellom sidekantene i det ytre området er 90.

b, og de er dermed like lange. 3) Ettersom trekantene er kongruente, er alle rettvinklet, og vinklene mellom sidekantene i det ytre området er 90. 5.9 Bevis OPPGAVE 5.90 a) For å vise at den ytre figuren er et kvadrat, må vi vise 1) at sidekantene faktisk er fire rette linjestykker (ingen «knekk» der to trekanter møtes) ) at alle sidekantene er like

Detaljer

R1-6.1-6.4 Geometri. I Figuren viser et trapes ABCD, hvor CAB 30, DBC 40, BDC 30. Geometri. Løsningsskisse

R1-6.1-6.4 Geometri. I Figuren viser et trapes ABCD, hvor CAB 30, DBC 40, BDC 30. Geometri. Løsningsskisse R1-6.1-6.4 Geometri Løsningsskisse I Figuren viser et trapes ABCD, hvor CAB 30, DBC 40, BDC 30 a) Hvilke kongruente trekanter finner du her? b) Hvilke formlike trekanter finner du her? c) Finn alle vinklene

Detaljer

1.9 Oppgaver Løsningsforslag

1.9 Oppgaver Løsningsforslag til Oppgaver 19 19 Oppgaver 191 (Eksamen i grunnskolen 1993) a I et parallellogram ABCD er avstanden mellom de parallelle sidene AB og CD 5,0 cm Konstruer parallellogrammet når siden AB=9,0 cm og A = 45

Detaljer

Tangens, sinus og cosinus Arealformel for trekanter Trigonometri

Tangens, sinus og cosinus Arealformel for trekanter Trigonometri Fasit Innhold.1 Grunnleggende begreper og sammenhenger.....mangekanter og sirkler... 5.3 Formlikhet... 7.4 Pytagoras setning... 8.5 Areal... 9.6 Trigonometri 1... 10 Tangens, sinus og cosinus... 11 Arealformel

Detaljer

MA-132 Geometri Torsdag 4. desember 2008 kl Tillatte hjelpemidler: Alle trykte og skrevne hjelpemidler. Kalkulator.

MA-132 Geometri Torsdag 4. desember 2008 kl Tillatte hjelpemidler: Alle trykte og skrevne hjelpemidler. Kalkulator. Institutt for matematiske fag EKSAMEN i MA-1 Geometri Torsdag 4. desember 008 kl. 9.00-14.00 Tillatte hjelpemidler: Alle trykte og skrevne hjelpemidler. Kalkulator. Bokmål Oppgave 1 Gitt et linjestykke.

Detaljer

Jan Erik Gulbrandsen Arve Melhus 10A. Matematikk for ungdomstrinn. Matematikk for ungdomstrinnet. Fasit. Grunnbok 10A

Jan Erik Gulbrandsen Arve Melhus 10A. Matematikk for ungdomstrinn. Matematikk for ungdomstrinnet. Fasit. Grunnbok 10A Jan Erik Gulbrandsen Arve Melhus Matematikk for ungdomstrinn Matematikk for ungdomstrinnet 0A Fasit Grunnbok 0A FASIT TIL KAPITTEL A GEOMETRI A Konstruer speilbildet av endepunktene til linjestykkene og

Detaljer

Eksamen våren 2016 Løsninger

Eksamen våren 2016 Løsninger DEL Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve,8,8 (,8 ) 3,6 3, 6 3, 6,5 5, (5, ) Oppgve 3, 5 Vi ser på tllinj t,5 tilsvrer punkt F. Vi ser

Detaljer

NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE

NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE Oppgavesettet består av 6 (seks) sider. NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE Matematikk R1 GEOMETRI OG VEKTORER Tillatte hjelpemidler: Alle Varighet: Ubegrenset Dato: 10.4 (Innleveringsfrist) Fagansvarlig:

Detaljer

Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 11. oktober 2014

Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 11. oktober 2014 Oppgaver MAT2500 Fredrik Meyer 11. oktober 2014 Oppgave 1. La ABCD og A BC D være to parallellogrammer med felles vinkel ABC = A BC. Vis at linjene gjennom DD, A C og AC er konkurrente. Løsning 1. Det

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010

Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010 Eksamen REA30 R1, Høsten 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (0 poeng) a) Deriver funksjonene 1) f x x e x e x

Detaljer

Geometri R1, Prøve 1 løysing

Geometri R1, Prøve 1 løysing Geometri R, Prøve løysing Del Tid: 60 min Hjelpemiddel: Skrivesaker Oppgåve Til høgre ser du ein sirkel med sentrum i S. B ligg på sirkelperiferien og punkta Aog Cer skjeringspunkt mellom sirkelen med

Detaljer

Eksamensoppgave i MA2401/MA6401 Geometri

Eksamensoppgave i MA2401/MA6401 Geometri Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA2401/MA6401 Geometri Faglig kontakt under eksamen: Frode Rønning Tlf: 7355 0256 Eksamensdato: 21. mai 2014 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte

Detaljer

GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD

GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD 1. Innledning Dette er kompendiet i Euklidsk plangeometri leder til beviser av Pappos setning og Pascals setning. En rekke kjente setninger er vist underveis, med argumenter

Detaljer

1P kapittel 4 Lengder og vinkler

1P kapittel 4 Lengder og vinkler Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 4 Lengder og vinkler Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 4.1 6 MW 6 1 000 000 W 6 000 000 W 7,5 MW 7,5 1 000 000 W 7 500 000 W c 8 000 000 W 8 1 000 000 W 8 MW d 14

Detaljer

1 Tallregning og algebra

1 Tallregning og algebra Tllregning og lger ØV MER. REGNEREKKEFØLGE Oppgve.0 6 d) ( : 6) Oppgve. ( ) ( ) ()() ( ) ( ) ( ) () (6 ) () d) ( ) 7() ( ) Oppgve. 6 ( ) d) Oppgve. Med ett ddisjonstegn, ett sutrksjonstegn, ett multipliksjonstegn

Detaljer

Eksamen MA-104 Geometri, 22. mai 2006

Eksamen MA-104 Geometri, 22. mai 2006 Eksamen M-0 Geometri,. mai 006 Oppgave På svarark er tegnet en figur sett ovenfra og fra siden. Figuren består av en trekant som ligger i grunnplanet, samt et rett linjestykke DE ( flaggstang ) som står

Detaljer

R1 - Eksamen H Løsningsskisser. Del 1

R1 - Eksamen H Løsningsskisser. Del 1 Oppgave R - Eksamen H0-30..00 Løsningsskisser Del ) Produktregel: f x e x xe x e x x ) Kjerneregel: g x 3 u, u x g x 3 u x 3x x P 3 6 6 6 6 0 Trenger ikke polynomdivisjon, kan faktorisere direkte: x x

Detaljer

1 Geometri R2 Løsninger

1 Geometri R2 Løsninger 1 Geometri R Løsninger Innhold 1.1 Vektorer... 1. Regning med vektorer... 1 1.3 Vektorer på koordinatform... 9 1.4 Vektorprodukt... 35 1.5 Linjer i rommet... 46 1.6 Plan i rommet... 55 1.7 Kuleflater...

Detaljer

Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i MA-132 Geometri høsten 2008.

Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i MA-132 Geometri høsten 2008. Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i M-12 Geometri høsten 2008. Oppgave 1 a. Vi starter med å utføre abri-versjoner av standardkontruksjoner for de oppgitte vinklene. (t problem med abri er at

Detaljer

Test, 2 Geometri. 2.1 Grunnleggende begreper og sammenhenger. 1T, Geometri Quiz løsning. Grete Larsen

Test, 2 Geometri. 2.1 Grunnleggende begreper og sammenhenger. 1T, Geometri Quiz løsning. Grete Larsen Test, Geometri Innhold.1 Grunnleggende begreper og sammenhenger... 1. Mangekanter og sirkler... 6.3 Formlikhet... 10.4 Pytagoras setning... 16.5 Areal... 1.6 Trigonometri 1... 7.7 Trigonometri... 35 Grete

Detaljer

1 Å konstruere en vinkel på 60º

1 Å konstruere en vinkel på 60º 1 Å konstruere en vinkel på 60º Vi skal konstruere en 60º vinkel med toppunkt i A. Høyre vinkelbein skal ligge langs linja l. Slå en passende sirkelbue om A. Sirkelbuen skjærer l i et punkt B. Slå en sirkelbue

Detaljer

Institutt for matematiske fag EKSAMEN i MA-132 Geometri Fredag 7. desember 2007 kl Løsningsforslag. Bokmål

Institutt for matematiske fag EKSAMEN i MA-132 Geometri Fredag 7. desember 2007 kl Løsningsforslag. Bokmål Institutt for matematiske fag EKSAMEN i MA-3 Geometri Fredag 7. desember 007 kl. 9.00-4.00 Løsningsforslag. Bokmål Oppgae Gitt et linjestykke. La a ære lengden a dette linjestykket. (Alternatit: Tegn ditt

Detaljer

R2 kapittel 4 Tredimensjonale vektorer

R2 kapittel 4 Tredimensjonale vektorer Løsninger v oppgvene i ok R kpittel 4 Tredimensjonle vektorer Løsninger v oppgvene i ok 4. Vi tegner punket A i xy-plnet. Vi mrkerer plsseringen v A med linjestykker ut fr punktene (4,0,0) på x-ksen og

Detaljer

Løsningsforslag uke 42

Løsningsforslag uke 42 Løsningsforslag uke 42 Oppgave 2 (Eksamen 2008). La,, være hjørnene i en trekant i planet, og la de motstående sidene ha lengdene a, b, c. Punktet D på linjen er slik at D står normalt på. La være det

Detaljer

2 Symboler i matematikken

2 Symboler i matematikken 2 Symoler i mtemtikken 2.1 Symoler som står for tll og størrelser Nvn i geometri Nvn i mtemtikken enyttes på lignende måte som nvn på yer og personer, de refererer eller representerer et tll eller en størrelse,

Detaljer

Eksamen REA 3022 Høsten 2012

Eksamen REA 3022 Høsten 2012 Eksamen REA 0 Høsten 01 Del 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) f x x 1 f '( x) x 1 f ' x 8x b) g x x x 1 g( x) x x 1 1 1 g( x) x x x x 1 g x x x x c) hx x e h x x e x e x x

Detaljer

Geometri oppgaver. Innhold. Geometri R1

Geometri oppgaver. Innhold. Geometri R1 Geometri oppgaver Innhold 1.1 Formlikhet... 2 Formlike trekanter... 2 Kongruente trekanter... 9 1.2 Pytagoras setning... 10 1.3 Setningen om periferivinkler og Thales setning.... 11 1.4 Geometriske steder...

Detaljer

Geometri løsninger. Innhold. Geometri R1

Geometri løsninger. Innhold. Geometri R1 Geometri løsninger Innhold. Formlikhet... Formlike trekanter... Kongruente trekanter... 5. Pytagoras setning... 6.3 Setningen om periferivinkler og Thales setning.... 8.4 Geometriske steder... 5.5 Skjæringssetninger

Detaljer

Fasit. Grunnbok. Kapittel 2. Bokmål

Fasit. Grunnbok. Kapittel 2. Bokmål Fasit Grunnbok Kapittel 2 Bokmål Kapittel 1 Trekantberegning 2.1 a Likesidet trekant b Rettvinklet trekant c Likebeint trekant d Rettvinklet og likebeint trekant 2.2 a 9,4 cm b 5 cm c 4,5 cm 2.3 2.11 Korteste

Detaljer

Løsningsforslag. Høst Øistein Søvik

Løsningsforslag. Høst Øistein Søvik Eksamen R Løsningsforslag Høst 0..0 Øistein Søvik Del Oppgave a ) ) f x x ex Her bruker vi regelen som sier at uv ' u ' v uv ' u x, u ' og v e x, v ' e x f ' x ex x ex f ' x x ex f ' x x e x Oppgave )

Detaljer

FASIT, tips og kommentarer

FASIT, tips og kommentarer FASIT, tips og kommentrer JULEKALENDER 8.- 10- trinn Nivå 1 og Nivå 2. Tips til orgnisering: Kn jobbes med i gruppe, to og to eller individuelt. Spre rbeidet med klenderen i mttetimene i desember, eller

Detaljer

Navn på hjørner og sider i trekanter Tangens, sinus og cosinus Arealformel for trekanter Trigonometri 2...

Navn på hjørner og sider i trekanter Tangens, sinus og cosinus Arealformel for trekanter Trigonometri 2... Løsninger Innhold.1 Grunnleggende begreper og sammenhenger.....mangekanter og sirkler... 7.3 Formlikhet... 11.4 Pytagoras setning... 16.5 Areal... 1.6 Trigonometri 1... 7 Navn på hjørner og sider i trekanter...

Detaljer

5.A Digitale hjelpemidler i geometri

5.A Digitale hjelpemidler i geometri 5.A Digitale hjelpemidler i geometri Geometri handler om egenskapene til punkter, linjer og figurer i planet og i rommet. I alle tider har blyant og papir samt passer og linjal vært de viktigst hjelpemidlene

Detaljer

OPPGAVER I GEOMETRI REDIGERT AV KRISTIAN RANESTAD

OPPGAVER I GEOMETRI REDIGERT AV KRISTIAN RANESTAD OPPGAVER I GEOMETRI REDIGERT AV KRISTIAN RANESTAD Oppgaver merket med * er vanskeligere enn de andre. OPPGAVE 1 a) Bevis at en firkant har en omskrevet sirkel hvis og bare hvis motstående vinkler er supplementære

Detaljer

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2.9 Løsningsforslag til oppgavene i avsnitt Løsningsforslag. a. b.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2.9 Løsningsforslag til oppgavene i avsnitt Løsningsforslag. a. b. .9 til oppgavene i avsnitt.9.9. Regn ut (a) k ( i + j ), () ( i k ) ( j + 3k ), (c) ( i j + 3k ) ( 3i + j k ) a. k ( i + j ) = 0,0,,,0 = 0 + 0 + 0 = 0. ( i k ) ( j k ) ( ) + 3 =, 0, 0,,3 = 0 + 0 + 3 =

Detaljer

Navn på hjørner og sider i trekanter Tangens, sinus og cosinus Arealformel for trekanter Trigonometri 2...

Navn på hjørner og sider i trekanter Tangens, sinus og cosinus Arealformel for trekanter Trigonometri 2... Løsninger Innhold.1 Grunnleggende begreper og sammenhenger.....mangekanter og sirkler... 8.3 Formlikhet... 1.4 Pytagoras setning... 17.5 Areal... 3.6 Trigonometri 1... 9 Navn på hjørner og sider i trekanter...

Detaljer

Eksamen våren 2018 Løsninger

Eksamen våren 2018 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 5x+ y = 4 x+ 4y = 6 Vi multipliserer likningen 5x+ y = 4 med på egge sider og får 10x+ 4y

Detaljer

1T kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka T kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i lærebok Uten hjelpemidler E b c E b c Vi gnger vnlige tll med vnlige tll og tierpotenser med tierpotenser. Til slutt omformer vi svret så vi får et tll

Detaljer

... JULEPRØVE 9. trinn...

... JULEPRØVE 9. trinn... .... JULEPRØVE 9. trinn.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver

Detaljer

Løsning eksamen R1 våren 2009

Løsning eksamen R1 våren 2009 Løsning eksamen R1 våren 009 Oppgave 1 a) 1) f( ) ( 1) 4 f ( ) 4( 1) ( 1) 4( 1) 8 ( 1) ) g ( ) e 3 3 3 g( ) e ( e ) 1 e e ( ) 1e e (1) e b) ( ) lim lim lim ( ) 4 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) ( )

Detaljer

Del 1. Oppgave 1 (5 poeng) Oppgave 2 (4 poeng) Oppgave 3 (5 poeng) ( ) 2 e x. f x x x. Deriver funksjonene. Løs likningene

Del 1. Oppgave 1 (5 poeng) Oppgave 2 (4 poeng) Oppgave 3 (5 poeng) ( ) 2 e x. f x x x. Deriver funksjonene. Løs likningene Del 1 Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) b) f ( ) e g( ) ln e 1 c) h( ) 1 Oppgave (4 poeng) Løs likningene a) b) e 7e 8 0 ln( 5 1) ln(3 ) 0 Oppgave 3 (5 poeng) Gitt vektorene a, 3 og b 5, 3 a)

Detaljer

MA2401 Geometri Vår 2018

MA2401 Geometri Vår 2018 MA2401 Geometri Vår 2018 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 6 4.5 1 La ABC være en trekant, og la D være et punkt på AB slik at A B D. Utsagnet

Detaljer

R1 kapittel 8 Eksamenstrening

R1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgvene i ok R kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i ok Uten hjelpemidler Oppgve E Hvis er et nullpunkt for De mulige nullpunktene for P, er konstntleddet 8 delelig med. P er

Detaljer

Utsatt eksamen i MA-104 Geometri 27. september 2006

Utsatt eksamen i MA-104 Geometri 27. september 2006 Utsatt eksamen i M-04 eometri 7 september 006 ppgave n bygård (et kvartal) med flatt tak har i grove trekk form som et rett prisme med en prismeformet åpning (plass) i midten Sett ovenfra ser det omtrent

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 f( ) + f + ( ) 4 g ( ) ln( ) 1 g ( ) h ( ) ( 1) h ( ) ( 1) 4 1 ( 1) Oppgve er en fktor i P

Detaljer

1 Geometri R2 Oppgaver

1 Geometri R2 Oppgaver 1 Geometri R2 Oppgaver Innhold 1.1 Vektorer... 2 1.2 Regning med vektorer... 15 1.3 Vektorer på koordinatform... 19 1.4 Vektorprodukt... 22 1.5 Linjer i rommet... 27 1.6 Plan i rommet... 30 1.7 Kuleflater...

Detaljer

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 2

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 2 Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R kapittel B. a Da ABC er 90, blir AC + 8. Siden CAE er 90, blir CE + 8 7. b Vinkelen mellom CE og grunnflata blir vinkel ACE. tan ACE som gir at vinkelen blir

Detaljer

Morleys teorem, Eulerlinja og nipunktsirkelen

Morleys teorem, Eulerlinja og nipunktsirkelen Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Morleys teorem, Eulerlinja og nipunktsirkelen til MA2401 Geometri: Morleys teorem, Eulerlinja og nipunktsirkelen I dette notatet

Detaljer

Trekanter er mangekanter med tre sider. Vi skal starte med å bli kjent med verktøyet som brukes til å tegne mangekanter.

Trekanter er mangekanter med tre sider. Vi skal starte med å bli kjent med verktøyet som brukes til å tegne mangekanter. Trekanter GeoGebra er godt egnet til å tegne trekanter og eksperimentere med dem. Vi skal nå se på hvordan vi kan tegne trekanter når vi kjenner en eller flere sider eller vinkler. Vi skal også se på hvordan

Detaljer

1.8 Digital tegning av vinkler

1.8 Digital tegning av vinkler 1.8 Digital tegning av vinkler Det går også an å tegne mangekanter digitalt når vi kjenner noen vinkler og sider. Her tegner vi ABC når A = 50, AB = 6 og AC = 4. I GeoGebra setter vi først av linjestykket

Detaljer

MA2401 Geometri Vår 2018

MA2401 Geometri Vår 2018 MA2401 Geometri Vår 2018 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 7 4.8 1 La ABC være en trekant og E et punkt i det indre av BC. Vi skal vise

Detaljer

Løsningsforslag til del 2 av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6

Løsningsforslag til del 2 av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6 Geometri Del Løsningsforslag til del av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6 Oppgave.1 a Lengden til golvet på tegningen blir: 400 cm 8cm Bredden til golvet på tegningen blir: 300

Detaljer

(+ /$0 &&&" 1&& 2 3 &$%+ 2 4 $%+ 5

(+ /$0 &&& 1&& 2 3 &$%+ 2 4 $%+ 5 !"#$$%% &%$$'$!"#$'$(&$'&))'!$ *$ +! " #$%& ' $&%!)'&##!(&%!)'&))'!$ *$ () *+%+ $ $),% $ -. #,&)-&%!).#,$$)%&%!)$%&)%$)&)$'")$% &%$$'&"%! &%!)$)"%,&)% '$!"#$/ (+ /$0 &&&" *+%$ " 1&& 2 )$02 0!#!&)%'")!'$,$'&"%1$)%-&%!)2

Detaljer

Eksamen høsten 2016 Løsninger

Eksamen høsten 2016 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 1: 5x y : x y 9 Fr likning : y x+ 9 Innstt i likning 1 gir det 5x (x+ 9) 5x 4x 18 9x 18 x

Detaljer

OPPLÆRINGSREGION NORD. Skriftlig eksamen. MAT1001 Matematikk 1P-Y HØSTEN 2011. Privatister. Yrkesfag. Alle yrkesfaglige utdanningsprogrammer

OPPLÆRINGSREGION NORD. Skriftlig eksamen. MAT1001 Matematikk 1P-Y HØSTEN 2011. Privatister. Yrkesfag. Alle yrkesfaglige utdanningsprogrammer OPPLÆRINGSREGION NORD LK06 Finnmrk fylkeskommune Troms fylkeskommune Nordlnd fylkeskommune Nord-Trøndelg fylkeskommune Sør-Trøndelg fylkeskommune Møre og Romsdl fylke Skriftlig eksmen MAT1001 Mtemtikk

Detaljer

MAT 1110: Løsningsforslag til obligatorisk oppgave 2, V-06

MAT 1110: Løsningsforslag til obligatorisk oppgave 2, V-06 MAT : Løsningsforslg til obligtorisk oppgve, V-6 Oppgve : ) Hvis = (,,...) og = (,,...) er to vektorer, vil kommndoen >> plot(,) tegne rette forbindelseslinjer mellom punktene (, ), (, ) osv. For å plotte

Detaljer

Eksamen 1T våren 2011

Eksamen 1T våren 2011 Eksamen 1T våren 011 Oppgave 1 a) 1) ) 7 6 00 000 =,6 10 0,04 10 =,4 10 4 b) c) x x + 6x= 16 + 6x 16 = 0 6 ± 6 4 1 ( 16) 6 ± 6 + 64 6 ± 100 6 ± 10 x = = = = = ± 5 1 x = 8 eller x = x x xx > 0 ( 1) > 0

Detaljer

VEDLEGG 5. 1 Støy og skyggekast. 1.1 Resultater støy

VEDLEGG 5. 1 Støy og skyggekast. 1.1 Resultater støy VEDLEGG 5 Ifølge regelverket skal støynivået ved helårsboliger og fritidsboliger ikke overstige den anbefalte grenseverdien på Lden 45 db. Dersom det vurderes som nødvendig for vindkraftverkets realiserbarhet

Detaljer

Navn på hjørner og sider i trekanter Tangens, sinus og cosinus Arealformel for trekanter Trigonometri 2...

Navn på hjørner og sider i trekanter Tangens, sinus og cosinus Arealformel for trekanter Trigonometri 2... Oppgaver Innhold 2.1 Grunnleggende begreper og sammenhenger... 2 2.2.Mangekanter og sirkler... 6 2.3 Formlikhet... 8 2.4 Pytagoras setning... 12 2.5 Areal... 15 2.6 Trigonometri 1... 18 Navn på hjørner

Detaljer

R2 - Heldagsprøve våren 2013

R2 - Heldagsprøve våren 2013 Løsningsskisser HD R R - Heldgsprøve våren 0 Løsningsskisser Viktigste oppsummeringer: Må skrive med penn på eksmen! Slurv og regnefeil, både med tll og bokstver, er hovedproblemet. Beste måten å fikse

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 10 % v 60 er 0,1 60 = 6. Prisen øker d med 6 kr. Vren vil derfor koste 60 kr + 6 kr = 70

Detaljer

... JULEPRØVE

... JULEPRØVE Ashehoug JULEPRØVE 2014 9. trinn.... JULEPRØVE 2014.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres

Detaljer

E.1: Kunne regne ut areal av formlike figurer når målestokken er oppgitt, med omgjøring av enheter E.2: Kunne anvende regelen om samsvarende

E.1: Kunne regne ut areal av formlike figurer når målestokken er oppgitt, med omgjøring av enheter E.2: Kunne anvende regelen om samsvarende 11. mai 2014 INNHOLD INNHOLD... 2 INNLEDNING... 4 STEGARK... 5 GJENNOMGANG AV HVERT STEG... 11 NIVÅ A: FINNE LENGDER I FORMLIKE FIGURER NÅR MÅLESTOKKEN ER OPPGITT13 A.1: En figur, hvor minst en lengde

Detaljer

Eksamensoppgave i MA2401/MA6401 Geometri: LF

Eksamensoppgave i MA2401/MA6401 Geometri: LF Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA2401/MA6401 Geometri: LF Faglig kontakt under eksamen: Christian Skau Tlf: 979 65 057 Eksamensdato: 14. mai 2018 Eksamenstid (fra til): 09:00-13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte

Detaljer

INNHOLD SAMMENDRAG GEOMETRI

INNHOLD SAMMENDRAG GEOMETRI INNHOLD GEOMETRI... 3 LINJE, STRÅLE OG LINJESTYKKE... 3 VINKEL... 3 STUMP, SPISS OG RETT VINKEL... 3 TOPPVINKLER... 4 NABOVINKLER... 4 SAMSVARENDE VINKLER... 4 OPPREISE EN NORMAL FRA ET PUNKT PÅ EN LINJE...

Detaljer

Fag: Matematikk 1T-Y for elever og privatister. Antall sider i oppgaven: 8 inklusiv forside og opplysningsside

Fag: Matematikk 1T-Y for elever og privatister. Antall sider i oppgaven: 8 inklusiv forside og opplysningsside Loklt gitt eksmen 2012 Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for elever og privtister Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 25. mi Antll sider i oppgven: 8 inklusiv forside og opplysningsside Eksmenstid: Hjelpemidler under eksmen:

Detaljer

Løsningsforslag kapittel 3

Løsningsforslag kapittel 3 Løsningsforslag kapittel 3 Innhold Oppgave 3.2... 2 Oppgave 3.4... 2 Oppgave 3.8... 3 Oppgave 3.14... 5 Oppgave 3.17... 6 Oppgave 3.23... 7 Oppgave 3.29... 8 Oppgave 3.35... 9 Oppgave 3.38... 10 Oppgave

Detaljer

3.4 Geometriske steder

3.4 Geometriske steder 3.4 Geometriske steder Geometriske steder er punkter eller punktmengder som følger visse kriterier; dvs. ligger på bestemte steder i forhold til andre punkter eller punktmengder. Av disse kan man definere

Detaljer

Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB = 3, BC = 6, CD = 8 og DE = 4.

Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB = 3, BC = 6, CD = 8 og DE = 4. Oppgave Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB =, BC = 6, CD = 8 og DE =. Hva er minste mulige verdi for AE? A 0 B C D E 5 Tegn! Start med å tegne ei lang rett linje, plasser

Detaljer

( ) ( ( ) ) 2.12 Løsningsforslag til oppgaver i avsnitt

( ) ( ( ) ) 2.12 Løsningsforslag til oppgaver i avsnitt . til oppgaver i avsnitt... Regn ut (a) i j k, (b) j k i, (c) k ì j, (d) k j -j k -i (e) i i 0, (f) j j 0 Vektorene i, j og k danner et høyre-system, så derfor er i j k, j k i, k ì j, k j -j k -i. i i

Detaljer

( ) DEL 1 Uten hjelpemidler. Oppgave 1. Oppgave 2. Px ( ) er altså delelig med ( x 2) hvis og bare hvis k = 8. f x x x. hx ( x 1) ( 1) ( 1) ( 1)

( ) DEL 1 Uten hjelpemidler. Oppgave 1. Oppgave 2. Px ( ) er altså delelig med ( x 2) hvis og bare hvis k = 8. f x x x. hx ( x 1) ( 1) ( 1) ( 1) DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Oppgave 1 a f x x x f ( x) = 6x+ 6 ( ) = 3 + 6 c 3 gx ( ) = 5ln( x x) 1 3 g ( x) = 5 3 ( x x )

Detaljer

Eksamen høsten 2016 Løsninger

Eksamen høsten 2016 Løsninger DEL Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve f x x x f ( x) = 4x 5 ( ) = 5 6 gx ( ) = xln x Vi deriverer med produktregel: g ( x) = ln x+

Detaljer