Geometrisk optikk. = (n 1) 1 R 1 R 2 I. INNLEDNING. A. Sfæriske speil og tynne linser

Transkript

1 Geometrisk optikk Dag Kristian Dysthe Fysisk institutt, UiO (Dated: 3 mai 206) I denne øvingen vil dere lære om grunnleggende geometrisk optikk for avbilding med tynne, tykke og sammensatte linser Dere vil også lære om forstørrelse, oppløsningsevne og den enkleste form for kvantitativ billedbehandling med Matlab I INNLEDNING Avbilding blir stadig mer brukt i dagliglivet, i mange eksperimentelle naturvitenskaper og i industrien Årsaken til dette er at elektroniske brikker for å registrere lys i mange punkter på en liten flate blir stadig billigere, raskere og bedre For at bildet som registreres på den elektroniske brikken skal være av nytte må avbildingen ha samme innbyrdes geometriske forhold som i det objektet som avbildes Geometrisk optikk handler grovt sagt om hvordan man kan bruke linser til å avbilde Vi skal i denne oppgaven studere hvordan man danner forstørrede bilder på en skjerm, på en elektronisk avbildingsbrikke eller på netthinnen i øyet Målet med oppgaven er at dere skal være i stand til å lage deres egen kikkert og mikroskop Dere lærer også det som skal til for å feks modifisere en kikkert eller et mikroskop til å bruke et webkamera til avbilding til PC II TEORI For å holde orden på fortegnene i ligningene benytter vi følgende konvensjoner: Lyset sendes inn mot linsen fra venstre side Objektavstander regnes som positive når objektet (O) ligger på venstre side av linsen Bildeavstander regnes som positive når bildet (I) ligger til høyre for linsen Krumningsradier (R) regnes som positive når krumningssenteret ligger til høyre for skjæringspunktet mellom kuleflaten og aksen En vinkel regnes som positiv når strålens helning med hensyn på aksen (eller mhp krumningsradien) er positiv Punkter på oversiden av aksen har positiv avstand fra aksen Disse konvensjonene er det en fordel å holde seg til også når man tegner skisser av linsesystem Vår beskrivelse av strålegangen gjennom linsen forutsetter at strålene danner små vinkler med aksen og at alle avstander som måles på tvers av aksen er små (det paraksiale området) A Sfæriske speil og tynne linser Figur : Bildedannelse med tynn linse (øverst) og med konkavt, sfærisk speil (nederst) En linse er et optisk system begrenset av to eller flere brytende flater med en felles akse En brytende flate kan være plan eller krum De krumme flatene er som oftest sfæriske Linser kan være enkle eller sammensatte En enkel linse har bare to brytende flater Young and Freedman Kap presenterer teorien for sfæriske speil og tynne linser For både krumme speil og tynne linser gjør vi tilnærmingen at linsens eller speilets tykkelse er veldig liten i forhold til de andre avstandene i det optiske systemet Vi vil minne om tre ligninger som er utledet der: Et sfærisk speil danner et bilde av et objekt når følgende forhold er oppfylt (se Figur ): s + s = 2 R, () der s er objektavstanden, dvs avstanden fra objektet til speilflaten, s er billedavstanden, dvs avstanden fra speilflaten til bildet og R er krumningsradien til speilet Linsemakerlikningen brukes til å beregne fokallengden f til en tynn linse fra krumningsradiene til de to linseoverflatene R og R 2 : f ( = (n ) R R 2 ), (2)

2 2 der n er brytningsindeksen til linsen En tynn linse danner et bilde av et objekt når følgende forhold er oppfylt: s + s = f, (3) C Sammensatte linser Vi begrenser oss til å beskrive sammensetning av tynne linser (for en tynn linse faller hovedpunktene sammen med linsens sentrum) der s er objektavstanden, s er billedavstanden og f er fokallengden til linsen Ligning (3) kalles avbildingsformelen Avbildingsformelen er så enkel og lett og huske at vi gjerne skulle kunne bruke den også for tykke linser og sammensatte linser som kameralinser eller mikroskopobjektiv Figur 3: Avbildning ved hjelp av to tynne linser B Tykke linser, deres hovedplan og kardinalpunkt Figur 2: Tykke linser og deres kardinalpunkter Når linsens tykkelse, t, ikke er liten i forhold til andre lengder som feks krumningsradien så regnes linsen som tykk I appendiks er det utledet fra Snells lov hvordan man kan komme frem til linsemakerformelen for tykke linser: f ( = (n ) ) t + (4) R R 2 nr R 2 Figur 2 viser en tykk linse og de definisjonene vi trenger for å bruke avbildingsformelen (3) Linsens to flater krysser den optiske aksen i linsens verteks V og V 2 Hovedplanene, H i, til en tykk linse finnes i avstanden δ i fra verteks V i : δ δ 2 = = ( n)tf nr 2 (n )tf nr Fra hovedplanene H i finner man brennpunktene F i som ligger i avstanden f fra hovedplanene Posisjonene av H i i forhold til V i og av F i i forhold til H i er angitt med vektorer for positive avstander δ i og f Hovedpunktene og brennpunktene kalles linsas kardinalpunkter Når objektavstanden s og billedavstanden s regnes fra hovedplanene hhv H og H 2 kan vi igjen bruke avbildingsformelen (3) Fig 3 viser to tynne linser med felles akse Linsene har brennviddene f og f 2 Avstanden mellom dem er t Et objekt befinner seg i punktet P i avstanden a fra den første linsen Hvis den andre linsen var fjernet, ville det dannes et bilde i punktet P i en avstand b fra den første linsen Dette bildet blir et objekt for den andre linsen Objektavstanden er a = t b Når lyset fra P har passert begge linsene, dannes det et bilde i punktet Q i avstanden b fra den andre linsen Vi benytter linseformlene a + b = f og a + b = f 2 Størrelsene a og b eliminers Vi får en relasjon mellom objektavstanden a og bildeavstanden b som kan skrives på formen der ab αla βlb Lt = 0 α = t f β = t f 2 L = f f 2 f + f 2 t (5) Vi har gått ut fra at t f + f 2 Relasjonen mellom a og b kan også skrives på formen + a + δ b = + δ 2 f Ved sammenlikning av koeffisienter får vi f = L, δ = tf f 2, og δ 2 = tf f (6) (løsningen f = L er uinteressant) Linsesystemets hovedplan H i er plassert i avstandene δ i fra linsene i og brennpunktene F i er plassert i avstanden f fra hovedplanene Som for tykke linser kan vi nå

3 3 bruke avbildingsformelen (3) når s og s regnes fra hovedplanene Ved å definere hovedpunktene til tykke linser og sammensatte linser kan vi altså bruke samme avbildingsformel uansett hva linsen består av Vi kan nå undersøke linsers forstørrelse og oppløsningsevne for en generell avbilding og siden overføre det på ethvert linsesystem D Lateral forstørrelse og vinkelforstørrelse Når et objekt avbildes som pilen i figur så ser man at den optiske aksen og linjen fra enden av pilene gjennom linsens sentrum danner to trekanter med felles vinkler Forholdet mellom høydene til objekt og avbilding er derfor lik forholdet mellom avstanden fra objekt- og billedplan til linsen Dette forholdet kaller vi den laterale forstørrelsen, m: m = s s En mer formell utledning av den laterale forstørrelsen finnes i appendix Forstørrelsen vi opplever når vi ser på et objekt gjennom en lupe eller gjennom et mikroskop kan ikke uttrykkes med den laterale forstørrelsen fordi bildet på netthinnen ikke er et bilde vi kan måle høyden av Da uttrykker vi forstørrelsen med vinkelforstørrelsen, hvor stor vinkel i synsfeltet vårt objektet opptar Et objekt med høyde y Figur 4: Øyets synsvinkel befinner seg i avstanden s 0 fra øyet, se Fig?? Synsvinkelen betegnes med φ og vi har tan φ = y s 0 Vi lar nå s 0 være den minste avstand som gir et skarpt bilde på netthinnen En konveks linse med brennvidde f plasseres nær øyet Objektet plasseres til høyre for linsens første brennpunkt Linsen danner et virtuelt bilde av objektet Figur 5: Observasjon av virtuelt bilde med øyet Øyet ser det virtuelle bildet under en vinkel φ, som vist i figur?? og vi har Vinkelforstørrelsen er m = tan φ tan φ = s 0 s = s 0 tan φ = y s = y s ( f ) ( s = s 0 f + ) s Vi ser at m blir maksimal når s er minimal, dvs når s = s 0 Da blir vinkelforstørrelsen m = s 0 f + E Oppløsningsevne Oppløsningen til et avbildingssystem, dvs hvor små strukturer i objektet kan man skjelne i bildet kan grovt sagt være begrenset av tre faktorer: kvaliteten til optikken oppløsningsevnen til sensoren i billedplanet diffraksjon Den siste begrensningen er gitt av lysets bølgenatur og uttrykkes feks ved den minste vinkelen, ϑ mellom to punktformede objekter der man skille dem fra hverandre: sin ϑ = 22 λ D, Der λ er lysets bølgelengde, og D er diameteren til linsen din Dette kalles diffraksjonsbegrensningen til linsas oppløsningsevne For eksempel, hvis dere har en linse med diameter 40mm og avbilder et objekt som er 000m unna så kan dere med grønt lys (550nm) ikke skille små ting som er nærmere hverandre enn ca 2cm uansett hvor god linsa di er F Sfærometer Speilets krumningsradius kan måles ved hjelp av et sfærometer Dette består av et måleur og en ring med kjent indre og ytre diameter Måleuret er montert i ringens sentrum Sfærometeret settes på et objekt med sfærisk overflate (se figur??) slik at den indre eller ytre ringen definerer omkretsen på en kulekalott Måleuret benyttes til å bestemme høyden h til sentrum av kulekalotten Kuleflatens radius R beregnes ved hjelp av uttrykket R = ρ2 + h 2, 2h der ρ er ringens radius Måleurets nøyaktighet er bedre enn avlesningsoppløsning Hvis du leser av til nærmest 00 mm er oppløsningen bedre enn ±00 mm - den er ±00/sqrt2 mm[? ]

4 4 linsens overflate Benytt linsens tykkelse t = 295 ± 05 mm og glassets bryningsindeks (n=53 ± 007) sammen med den funne verdi for R til a beregne kardinalpunktenes (Hi og Fi ) posisjoner La linsens plane side vende mot lyskilden Ma l sammenhørende verdier av objektavstand s, bildeavstand s0 og lateral forstørrelse m for 5 0 forskjellige objektavstander (Tips: Skriv dem inn som vektorer i Matlab) Benytt ma leresultatene til a beregne linsens brennvidde f med usikkerhet Sammenlikn (med usikkerheter) de ma lte verdier av m med forholdet s0 /s Benytt de funne verdier for f og R til a beregne glassets brytningsindeks Hvordan stemmer det med oppgitt brytningsindeks? C Konkav linse Vi benytter en konveks hjelpelinse (med hvit plastinnfatning) som plasseres slik i forhold til lyskilden at det dannes et reelt bilde bak linsen Bildets posisjon P noteres Sa plasseres den konkave linsen (ogsa med hvit plastinnfatning) mellom den konvekse linsen og punktet P I forhold til den konkave linsen blir bildet i P et virtuelt objekt med negativ objektavstand s Bestem den tilhørende bildeavstand s0 Tegn en skisse med angivelse av posisjonene til de komponenter som benyttes Beregn brennvidden, f, til den konkave linsen Gjenta ma lingene med en annen objektavstand D Figur 6: Sfærometer pa en linse med konveks overflate III LABORATORIEØVING A Sfærisk speil Bestem speilets krumningsradius (med usikkerhet) ved hjelp av et sfærometer Konveks linse brukt som forstørrelsesglass (lupe) Dere skal na betrakte et lite objekt med og uten lupe Ma l hvor nært dere klarer a se objektet skarpt, s0, for ett av øynene Benytt deretter en linse med kjent brennvidde f og ma l objektavstanden s med lupen Vi viste at vinkelforstørrelsen kan uttrykkes ved m = s0 /s eller m = s0 /f + Stemmer disse to verdiene (med usikkerhet) av vinkelforstørrelse overens? Et standardøye har s0 = 250 mm Hva betyr det hvis ditt øye avviker mye fra dette? 2 Bestem krumningsradien (med usikkerhet) ved optiske ma linger E B Plankonveks linse Benytt den store, tykke plankonvekse linsen Bestem krumningsradien R til den sfæriske del av Et teleobjektiv Oppgaven ga r ut pa a undersøke et system som besta r av en bikonveks linse med brennvidde 200 mm og en bikonkav linse med brennvidde -200 mm med en avstand pa 00 mm (Dere har regnet pa dette i prelabben) Tegn en skisse av linsesystemet, bestem kardinalpunktenes (Hi og

5 5 F i, i =, 2) posisjoner og tegn dem inn i skissen Hvorfor er denne sammensatte linsen velegnet som teleobjektiv? F Kikkert (Kepler) Vi skal lage en enkel kikkert ved hjelp av teleobjektivet fra Oppgave?? og en bikonveks linse med brennvidde 50 mm som okular Objektivet danner et reelt, invertert og forminsket mellombilde av et fjernt objekt Okularet gir et forstørret, men virtuelt bilde av mellombildet Kikkertens vinkelforstørrelse er tilnærmet lik forholdet mellom brennviddene til objektivet og okularet Plasser et lysende objekt i noen meters avstand fra kikkerten Oppsøk mellombildets posisjon ved hjelp av en mattskive Fjern så mattskiven, og still inn okularet slik at dere ser et skarpt bilde av objektet Tegn en skisse av oppstillingen Angi komponentenes posisjoner Gjør rede for strålegangen gjennom kikkerten Vend kikkerten mot testplakaten på veggen 2 rom borte Hvordan må okularet flyttes for å se testplakaten klart? Hvor tynne linjer klarer dere å skille? G Oppløsningsevne Dere skal nå bytte ut øyet som ser i kikkerten med et elektronisk kamera som er koblet til datamaskinen med USB og styrt med programmet IC Capture Plasser kameraet med linse der øyet var og fokuser på testplakaten igjen Når dere har stilt så skarpt som dere klarer tar dere et stillbilde av et område som inneholder flere forskjellige linjeavstander (som utsnittet vist i Figur??) Åpne bildet i et bildefremvisningsprogram (dobbeltklikk på bildet) og zoom inn på de fineste strukturene dere klarer å skille Hva er oppløsningsevnen nå? Nå skal dere fjerne okularet til kikkerten og objektivet som sitter på kameraet (husk å sette på deksler på objektivet) Plasser kameraet i det reelle mellombildets posisjon[? ] og undersøk oppløsningsevnen igjen >> A=imread(filnavn); >> figure(), imagesc(a) zoom inn for {\aa} finne passende koordinater >> figure(2), plot(a(635,300:650)) Hva skjer med amplityden til intensitetsvariasjonen over stripene etterhvert som linjeavstanden (og tykkelsen) blir mindre? Om nødvendig kan Matlab-funksjonen imrotate rotere bildet litt Vis i journalen (og eventuelt rapporten) hvilken del av bildet (med en linje eller rektangel) du bruker for å studere intensitetsvariasjonen Heng en blender på den første linsen for å halvere blenderåpningen til kikkerten Ta et nytt bilde og sjekk om oppløsningsevnen til avbildingssytemet er blitt dårligere Er avbildingssystemet deres (belysning, linser og kamera) diffraksjonsbegrenset, begrenset av pixeloppløsningen til kameraet eller begrenset av dårlige optiske komponenter? H Mikroskopet (ekstraoppgave, hvis det er tid) Vi lager et enkelt mikroskop ved hjelp av to bikonvekse linser Som objektiv benyttes en linse med brennvidde f = 20 mm Som okular benyttes en linse med brennvidde f 2 = 50 mm Objektivet danner et reelt bilde (mellombilde) av objektet Okularet gir et virtuelt bilde av mellombildet Benytt et lite objekt Tegn en skisse med angivelse av posisjonene til de komponenter som benyttes Vis at mikroskopets vinkelforstørrelse er lik produktet av objektivets laterale forstørrelse og okularets vinkelforstørrelse I Avvik (ekstraoppgave, hvis det er tid) Benytt en bikonveks linse Velg en fast objektavstand Bruk grønt lys Sammenlikn posisjonen til randstrålenes bilde med posisjonen til sentralstrålens bilde ( sfærisk avvik) 2 Velg en fast objektavstand Sammenlikn posisjonene til de bildene dere får med hhv rødt og blått lys ( kromatisk avvik) IV PRELABOPPGAVER Figur 7: Utsnitt av plakat for test av oppløsningsevne Tallene, n, over og under stripene angir tettheten av striper Periodisiteten eller avstanden mellom midten av to svarte striper på plakaten som er hengt opp er λ 8/n mm Åpne bildene i Matlab, zoom inn på et område med vertikale linjer og plott lysintensiteten for en linje (ykoordinat 635, x-koordinat fra 300 til 650 i eksempelet nedenfor) Kort informasjon Disse oppgavene må løses før dere skal på laben Besvarelsen skal leveres gjennom en flervalgsprøve på Fronter Denne finner du i fellesrommet, under mappen Prelab Maksimal uttelling er 20 poeng, grense for bestått er 5 poeng Prelaboppgavene må være levert og bestått før labdagen Disse oppgavene skal sørge for at dere har lest og forstått oppgaveteksten før dere kommer på laben, slik at arbeidet der blir mest mulig effektivt

6 6 Dere vil trenge noen datasett for å gjøre beregningene i oppgavene under Disse ligger i en mappe kalt skript og filer til bruk på lab og prelab Denne finner dere i øvingsmappen i fellesrommet på Fronter, samme sted som dere fant denne oppgaveteksten Du trenger følgende filer til disse oppgavene: kikkert uten okular med blenderjpg Oppgavene C 680 mm D 933 mm 5 For de målte verdiene i spørsmålet over: Hva er den relative usikkerheten i målingen av brennvidden? 2 poeng A 3% B 5 mm C 8% D 5 mm Figur 8: Tre enkle linser Figur?? viser tre enkle linser, 2 og 3 Hva slags linse er? poeng A bikonkav B bikonveks C plankonkav D plankonveks 6 Du plasserer en linse med brennvidde f=200mm til venstre for en linse med brennvidde f2=-200mm Avstanden mellom linsene er 00mm Ved hjelp av ligningene (5) og (6) i teksten, beregn brennvidden til den sammensatte linsen poeng A 00 mm B 000 mm C 400 mm D 400 mm 7 Hva er avstanden fra verteks (posisjon til linse ) til første hovedplan? poeng A 00 mm B 200 mm C 200 mm D 400 mm 2 Hva slags linse er 2? poeng A bikonkav B bikonveks C plankonkav D plankonveks 3 Hva slags linse er 3? poeng A bikonkav B bikonveks C plankonkav D plankonveks 4 Du har plassert en linse med ukjent brennvidde f i avstand s = 400 ± mm fra et objekt Ved hjelp av en mattskive finner du avbildingen av objektet i billedavstanden s = 280 ± 5 mm Hva er brennvidden til linsen din? 2 poeng A 20 mm B 65 mm 8 Hva er avstanden fra verteks 2 (posisjon til linse 2) til andre hovedplan? poeng A 00 mm B 200 mm C 200 mm D 400 mm 9 Last inn bildet kikkert uten okular med blenderjpg i Matlab vha kommandoene imread Hva er pixeloppløsningen[? ] til kameraet som tok bildet? 2 poeng A B C D Hva er forskjellen på største og minste intensitet i bildet du har åpnet? Hint: Bruk funksjonene min og max i Matlab 2 poeng

7 7 A 256 B 75 C 5 D 85 Vis bildet i Matlab med imshow Bildet viser et utsnitt av en testplakat (som i figur?? i oppgaveteksten) der den øverste raden med vertikale streker har en bestemt linjeavstand mellom hver av de tykke strekene og den nederste raden har gradvis endring av linjeavstanden Tallene, n, over og under de to radene med vertikale linjer angir linjeavstanden l = 8/n mm på testplakaten Åpne en ny figur og plott intensitetene langs den nederste raden med vertikale striper: Hvis bildet ligger i matrisen A bruker du kommandoen pplot(mean(a(50:250,:))) Hva er den minste linjeavstanden på testplakaten som er oppløst i dette bildet? Mao: hvor tette striper kan du skille før det bare blir grått eller perioden i plottet ikke blir pålitelig? 3 poeng A 5 mm B 5 mm C 0 mm D mm 3 Ut i fra fortegnet til h er denne linsen konkav eller konveks? poeng A konkav linse B konveks linse 4 Hvilken diameter til sfærometerets ring er i kontakt med linsens overflate? poeng A ringens indre diameter B ringens ytre diameter Denne prelabben dekker ikke alt dere skal gjøre på labben Dere vil trenge å ha lest teorien nøye før dere gjør laboppgaven! Tillegg A: En enkel linses kardinalpunkter Fig?? viser en enkel, bikonveks glasslinse i luft Glasset har brytningsindeks n Linsens sfæriske overflater har krumningsradiene R og R 2 Linsens akse går gjennom overflatenes krumningssentre Aksen skjærer overflatene i punktene V og V 2 2 Hva er krumningsradius (med usikkerhet) til en linse målt med en sfærometer? Linsens krumningsradius kan måles ved hjelp av et sfærometer De sfærometerne vi skal bruke består av et måleur og en ring med kjent indre og ytre diameter Måleuret er montert i ringens sentrum Sfærometeret settes på et objekt med sfærisk overflate Slik at den indre eller ytre ringen definerer omkretsen på en kulekalott Måleuret benyttes til å bestemme avstanden h fra linsens kule-flate til sentrum av kulekalotten Kule-flatens radius R beregnes ved hjelp av uttrykket R = (ρ 2 + h 2 )/(2h), (7) der ρ er ringens radius Hva er krumningsradius R (og usikkerhet) for en linse der sfærometerets ring i kontakt med linsens overflate har diameter 2ρ = 280 ± 0 mm og h måles til h = 030 ± 00 mm? Skriv gjerne et skript som kaller en fuksjon R(rho,drho,h,dh) slik at disse kan gjenbrukes i laboratorieøvlesen (sammenlign gjerne usikkerheten begregnet med differanse- og deriverte-metodene som et kryss-sjekk på ditt arbeid) poeng A 335±3 mm B 330±0 mm C 327± mm D 325 ± 5 mm Figur 9: Strålegang gjennom bikonveks linse Et objekt i punktet P på linsens akse avbildes i punktet Q Forlengelsen av strålen AB skjærer aksen i punktet P Vi ønsker å bestemme sammenhengen mellom avstanden a = P V og avstanden b = V P Innfallsvinkelen ϕ og brytningsvinkelen ϕ er knyttet sammen ved ligningen sin ϕ = n sin ϕ Dette er Snells lov Luftens brytningsindeks er satt lik, linsens brytningsindeks er n Vinkelen u er gitt ved (a + R ) sin u = R sin ϕ I følge ovenstående konvensjoner skal vinkelen u regnes som negativ Derfor er eller Endelig har vi u + (π ϕ) + ϕ u = π u = u + ϕ ϕ (b R ) sin u = R sin ϕ

8 8 Ligningene viser at avstanden b er uavhengig av vinkelen u i det paraksiale området Vi finner b = nar (n )a R På samme måte kan vi bestemme sammenhengen mellom avstanden a = V 2 P og avstanden b = V 2 Q Avstanden a = (b t), der t = V V 2 er linsens aksiale tykkelse, er negativ Punktet P er et virtuelt objekt for linsens andre overflate Krumningsradien R 2 er også negativ Vi finner b = a R 2 (n )a + nr 2 Punktet H som ligger i avstanden δ fra V, kalles linsens første hovedpunkt Punktet H 2 som ligger i avstanden δ 2 fra V 2 kalles linsens andre hovedpunkt Lengden f kalles linsens brennvidde Brennpunktene F og F 2 er plassert i en brennviddes avstand fra hvert sitt hovedpunkt, se Fig?? Hovedpunktene og brennpunktene kalles linsens kardinalpunkter Objektavstanden s er lik avstanden mellom objektet i punktet P og H Bildeavstanden s er lik avstanden mellom H 2 og bildet i punktet Q Størrelsene s, s og f tilfredsstiller avbildingsformelen s + s = f Størrelsene a, b, a og b er knyttet sammen ved 3 ligninger Vi eliminerer a og b og sitter igjen med en relasjon mellom a, b, t, R, R 2 og n Hvis linsetykkelsen t kan neglisjeres, får vi a + b = f ( = (n ) ), R R 2 der f er den tynne linsens brennvidde I alminnelighet er a og b knyttet sammen ved likningen Figur 0: Linsens kardinalpunkter ab + αla + βlb + γlt = 0 (A) der α = t nr n β = t nr 2 n γ = n(n ) L = (n )t + R R 2 nr R 2 Vi har forutsatt at t n(r R 2 )/(n ) slik at /L 0 Relasjonen?? mellom a og b ovenfor kan skrives på formen a + δ + b + δ 2 = f, Tillegg B: Linsens hovedplan I Fig?? er det tegnet et objekt P Q med høyde y i en avstand s fra første hovedplan (planet gjennom H vinkelrett på aksen) Det tilhørende bildet P Q med høyde y befinner seg i avstanden s fra andre hovedplan (planet gjennom H 2 vinkelrett på aksen) Det er tegnet tre stråler som går ut fra punktet Q på objektet Den ene strålen går til å begynne med parallelt med aksen og treffer linsens første kuleflate i punktet A Strålen fortsetter til punktet D på den andre kuleflaten og passerer så andre brennpunkt F 2 på sin vei til Q Linjen QA forlenges til punktet B på første hovedplan Linjen DF 2 forlenges til punktet C på andre hovedplan Vi ønsker å sammenligne avstandene H B og H 2 C som impliserer ab + (δ 2 f)a + (δ f)b + δ δ 2 (δ + δ 2 )f = 0 (A2) Når vi sammenlikner koeffisientene i likning?? og likning??, får vi δ δ 2 = = f = ( n)tf nr 2 (n )tf nr L n Figur : Hovedplanenes egenskaper Fig?? viser at H 2 C = y f s f

9 9 Men slik at H 2 C = y s s y y = m = s s f s f = y s f s f ( f ) s = y = H B i overensstemmelse med at m når s 0 Dette resultat viser at punktet C ligger på forlengelsen av strålen QA Når strålen fra Q gjennom F behandles på samme måte, kan det vises at H B = H 2 C Den tredje strålen fra Q er rettet mot H Denne strålen kalles i enkelte bøker for hovedstrålen Den treffer linsen i punktet K, skjærer aksen i punktet L i avstanden R t/(r R 2 ) fra V og forlater linsen i punktet M Forlengelsen av linjen MQ treffer andre hovedplan i H 2 For øvrig er linjen H 2 Q parallell med linjen QH fordi y /s = y/s Tillegg C: Den laterale forstørrelse Linjen forlenges til den skjærer linjen som er trukket vinkelrett på aksen gjennom punktet P Punktene P og P er de samme som i Fig?? Av Fig?? fremgår det at m = y y = b R a + R Ved hjelp av likningene som ble stilt opp i forbindelse med Fig??, utledes relasjonen b R = sin u a + R n sin u I det paraksiale området er for øvrig Derfor er au = bu m = b na i det paraksiale området Den tilsvarende faktor m 2 y /y for den andre kuleflaten kan beregnes på samme måten Her er y høyden på bildet i punktet Q på Fig?? Vi finner m 2 = nb a Linsens laterale forstørrelse er derfor lik m = bb aa = s s Figur 2: Beregning av m = y /y når s og s er forskjellige fra 0 Når s = s = 0, blir m = Hovedplanene kalles derfor konjugerte enhetsplan ( conjugate planes of unit magnification ) Linsens laterale forstørrelse m er lik produktet av to faktorer m og m 2 som er knyttet til linsens sfæriske overflater I Fig?? er det tegnet et objekt med høyde y i punktet P Fra objektets øverste punkt trekkes en linje gjennom den første overflatenes krumningssenter C Acknowledgments Denne teksten bygger på en oppgavetekst i geometrisk optikk som har vært i bruk på Fysisk institutt siden 990- tallet [] Se feks Variance på web-siden [2] Finn evt først posisjonen til mellombildet med en mattskive [3] resolution