Integral Kokeboken. sin(πx 2 ) sinh 2 (πx) dx = 2. 1 log x. + log(log x) dx = x log(log x) + C. cos(x2 ) + sin(x 2 ) dx = 2π. 1 k t.

Transkript

1 Integrl Kokeboken sinπ sinh π 4 log + loglog loglog + C cos + sin π t e Γt k k t Γtζt rcsin + rccos π + C

2 Integrl fr R til Z π 6 sec y dy ln 3 i 64 The integrl sec y dy From zero to one-sith of pi Is the log to bse e Of the squre-root of three Times the sity-forth power of i Abstrkt I dette heftet så tr vi et dypdykk ned i knskje den mest fundmentle delen v klkulus. Vi skl se på kunsten å integrere. Der derivsjon ser på forndringer, fokuserer integrsjon på å studere reler. Bk denne enkle tnken v å finne relet v figurer og under funksjoner, gjemmer noen v de nydeligste problemene innen mtemtikk seg. Studiet v disse problemene er selve kjernen i dette dokumentet. Dokumentet her ikke er noe forsøk på å være en komplett smmling v lle integrl som eksisterer. For en slik formelsmling nbefles heller []. Heftet er mer en smmling v fvoritt integrlene og metode til forftter. Jeg vil gjerne tkke lle som hr vært til hjelp for både å finne problemer og hjelpe forftter å løse disse.

3 . Oppgvesmmling I Integrl + 3 sin / 5 n ln sin cos e e n π e ln e ln + sin cos ln n R log sin π dy ln π π e + + ln sin/e! e e + e + e +π sin /4 e y ln sine sin ln e loge e e m n ln ln n 3 e e +e ln 3 m n π e 6 4 sin sin π/3n tnn 4 e sin e cos e ln + π/ π/6 + tn + + 3

4 π 3 + ln sin 59. π sin + sin + b ln 4 4 log + log cossin cos + e 3+ln n ln ln log5 log 5 + ln ln.. Oppgver. Finn integrlet v cos sin + sin cos.. Er 3 større, mindre eller lik 4? 3. Utfordrning: L f være en funksjon slik t f er integrerbr på [, 3]. f. 3 f + f for lle [, 3] Bestem integrlet 3 f 4. Løs differensillikningen [ ] y log + gitt t y5 y4 9. e e 5. Bestem integrlet v Ved å bruke en kjent derivsjonsregel 6. Integrlregning er meget nyttig innen sttistikk, og i denne oppgven kommer noen mer eller mindre teoretiske eksempler. En funksjon klles en snnsynlighetstetthet, eller snnsynlighetsfunksjon dersom f, f. Det kreves og selvsgt t f beskrives snnsynligheten for en hendelse, men det ts for gitt i resten v denne oppgven.

5 Finn k uttrykt ved slik t f blir en snnsynlighetstetthet { k cos + når f π π ellers To sentrle begrep innen sttistikk er forventningsverdi og vrins. For en kontinuerlig fordelig er forventingsverdien til en snnsynlighetstetthet er gitt som E f og beskriver det mest snnsynlige utfllet til funksjonen. Vrinsen er hvor nært sentrert funksjonen er omkring funksjonen gitt som Vr E f. b Bestem forventingsverdien og vrinsen til f. Klrer du ikke å finne E, kn du nt t E når du regner ut vrinsen. Tilsvrende om du ikke fnt rett k, kn du nt t k. c Vis t vrinsen også kn skrives som Vr E E, ved å t utgngspunkt i likning.. 7. Vis t relet under funksjonen er lik 8 5, dersom er en 5 positivt og reell konstnt. 3 + ln ln 8. Bestem følgende integrl Finn relet begrenset v f, g + n. Der n er et reelt tll. Hv er den minste verdien n kn h for t relet skl være definert?. Finn t slik t t t. Gi en geometrisk tolkning v likningen.. Gitt t B f 5, C B A f 5 og A C f Hv kn du si om f? Finnes det noen eksempler på funksjoner med disse egenskpene?. Vis eller motbevis følgende ulikhet I B > I A + I C Der A, B og C er definert som I A +, I B +, I C + 3

6 3. Vis t er lik C. 4. Bruk to ulike metoder til å integrere h e med hensyn på. Der er en vilkårlig positiv konstnt og e betegner eksponensilfunksjonen. 5. Bevis følgende smmenhenger b c d e f b b f f f f b b f f f + f fb + f + f e fe + C f f ln[f] + C 6. Finn 7. L 4 + ved tegning. I : 3!!3!4! 3, d er I + b der, og b er to heltll. Regn ut + b. 8. Bestem integrlet 3 + vi to ulike metoder. 9. Vi definerer f, g cosπ, sinπ fg. Regn ut +, og. Finn relet mellom f sin og g sin fr til nπ hvor n er et positivt heltll.. Regn ut e /γ hvor γ er definert som. Hvilken verdi må α og β h for å minimere 3. Bestem integrlet + + ln β α + 6? der n er et positivt tll større enn. ln n 4

7 Figur : Det hvite relet representerer brten. 4. Finn et reellt tll som oppfyller e + e En mustsj-liknende form er lget, ved å se på relet mellom f sin og g cos på et psselig intervl. Se figur?? Bestem relet v brten. 6. Finn området vgrenset v n og n i første kvdrnt når n > Hv skjer når n <? Hv skjer i spesiltilfellene når n og n? 7. Dersom ψ 8. Vis t ρ + ρ og ρ >, hv er d eψ lik? ϕ ψ e e ϕ e ψ, der ψ og ϕ er enholdsvis minste og største løsning v. 9. Vi lr fn e n. Regn ut f... f4, klrer du å se noe mønster? Bevis mønsteret ditt vi induksjon. 5

8 3. I denne oppgven skl vi se nærmere på følgende ulikhet og hvor nære uttrykkene egentlig er. log < /. Vis t ulikheten holder for lle < t <. + t + + > t +. b Den geometriske ritmetriske ulikheten er gitt som y log log y > y der >. Bevis ulikheten, hvor det kn være fordelktig å / b b Figur smmenlikne relene v trpesene fr figur, med relet under f /. c Bevis likning.. Hvor du kn fritt benytte deg v tidligere resultter, uvhengig v om du hr klrt oppgvene eller ei. 3. Vi lr η være et oddetll og ser på funksjonen f η e η+ i første kvdrnt. Hv er d relet vgrenset v f og linjen? 6

9 II

10 . Introduksjon II I denne delen vil vi hovedsklig dykke dypere ned i temer vi llerede hr besøkt, men også lære noen nye eksotiske teknikker for å beregne spesielt hårete integrl. Det som forventes v leseren på dette tidspunktet er en grundig forståelse for de elementære integrsjonsteknikkene som ble gjennomgått i del I. For å kunne løse mnge v integrlene som kommer videre må disse elementære teknikkene sitte helt ut til fingerspissene. Hvor i forrige del fleste integrlene kunne bli løst vi et steg En smrt substitusjon, en delbrøkoppsplting, en frekk fktorisering osv vil vi se fremmover t integrlene krever flere steg for å bli løst. Mnge v løsningene vil virke merkelige og noen vil virke som de er ttt rett ut v det blå. Men husk t bk hvert skritt som fører mot en løsning ligger et stort mskineri. Ofte er grunnen til t vi bruker en så merkelig substitusjon eller delvis integrsjon enkel. Det fungerer. Fremmgngsmåten blir en blnding v å h sett liknende problem før, og prøve en rekke velkjente triks og knep. Og det er også målet med denne delen; og lære bort lle disse merkelige substitusjonene og metodene for å beregne integrl, slik t du selv kn nvende dem. For etter å h sett smme smrte trikset nok gnger, blir det ikke lengre et triks men en nyttig teknikk. Som før nbefles det på det stereste å prøve seg på oppgvene i heftet, disse er håndplukket blnt hundrevis v problemer. Eneste måte å bli bedre til å integrere er fktisk å integrere selv. Så nå bretter vi opp ermene og tr v oss silkehnskene, for det er på tide å bli seriøse.. Bevis.3 Symmetri og nyttige smmenhenger Målet med denne delen er å se på hvordn integrl og funksjoner kn forenkles ved hjelp v symmetri. Det første vi skl se på er definisjonen v hv en symmetrisk funksjon er. Definisjon.. En funksjon f klles symmetrisk omkring c dersom f c f c for lle. En funksjon f klles nti-symmetrisk omkring c dersom f c f c for lle. Definisjon.. En funksjon f klles for en likefunksjon eller jevnfunksjon dersom funksjonen er symmetrisk omkring origo. f f En funksjon f klles odde eller for en oddefunksjon dersom funksjonen er ntisymmetrisk omkring origo. f f 8

11 y y Et plot v to odde funksjoner b Et plot v to like funksjoner Figur 3: Pictures of nimls En grfisk fremstilling v odde og like funksjoner er vist i??. Eksempelis så er, cos, e og eksempel på jevne funksjoner. Tilsvrende så er 3, sin, e og eksempel på odde funksjoner. Odde og like funksjoner hr mnge nyttige egenskper hvor de viktigste egenskpene er smmlet i tbell 4. Under så er O en forkortelse for en odde funksjon, og L er en forkortelse for en likefunksjon. Videre så er E enten odde eller likefunksjon, og E er motstt v E. Så E E O betyr det smme som t O L O og L O O. Tilslutt minnes Tbell : Noen egenskper til odde og like funksjoner. E + E E E E L E/E L E/E O E E O O O O E L L L E L det på t betyr. Gitt to funksjoner f og g så er f g f g. Om en ser på figuren eller tegner virker det som relet v en likefunksjon er likt på høyre og venstre side v origo. Tilsvrende for en oddefunksjon, bre t områdene hr motstt fortegn. Selvsgt gitt t området er symmetrisk. Dette stemmer fktisk, men før vi viser det l oss t et litt nnet eksempel med hensyn på symmetri. Eksempel.. Se på funksjonen f Det ønskes å vises t relet under f og f grfisk. Altså f f Ved å se på figur figur 4 så er det rimelig åpenbrt t området under funksjonene er like. Arelet under fr til er en treknt med grunnlinje og høyde dermed så er 9

12 y Figur 4: f og f i smme figur. Tilsvrende for er dette og en treknt med grunnlinje og høyde så Eksemepelet ovenfor vr veldig konstruert og pedntisk. Men det stiller et viktig spørsmål, gjelder dette for lle funksjoner? Svret er heldigvis j, og kn generliseres til følgende proposisjon Proposisjon.. Ant t f er en vilkårlig funksjon, og,b er to reelle tll d er b f + b b f. Bevis. Igjen kn dette visuliserer med t f blir rotert omkring linjen + b/ og det er derfor logisk t relet er uforndret. Begynner med å se på venstre side v likheten b f Ved å bruke substitusjonen +b u så er du. Videre er u b, og d u så b f b f + b u b f + b u du og beviset fullføres ved å bytte integrsjonsvribelen tilbke til. Dette enkle beviset fører direkte til t Korollr.. Gitt t f er en likefunksjon, g er en oddefunksjon og t er en positiv konstnt. D er f f og g

13 Som det overltes leser å vise. Her er det nok å putte inn i proposisjon. og benytte seg v definisjonen v en odde og like-funksjon. En direkte konsekvens v dette korollrer er følgende. Korollr.. Gitt t f er en symmetrisk funksjon omkring c, g er en ntisymmetrisk funksjon omkring c og t er en positiv konstnt. D er c+ c f c+ f og c+ c g Som kn vises ved å benytte substitusjonen u c, egenskpene til en symmetrisk funksjon og korollr.. L oss heller t et eksempel for å se hvor nyttig symmetriegenskper kn være Eksempel.. Putnm 987: B 4 log9 J log9 + log3 + Nå er + b 6 så ved å benytte seg v proposisjon. får en direkte t 4 log9 6 4 log3 + log9 6 + log3 + 6 log3 + + log9 Meget pent. Ved å t gjennomsnittet v uttrykkene får en t J 4 log9 log9 + log log3 + log log9 Dermed forenkler integrnden drmtisk og en står igjen med J 4 log9 + log + 3 log9 + log L oss rette fokus mot de kjente å kjære trigonometriske funksjonene våre. Vi vet llerede t π π [ ] π sin cos sin π 4 Der det ble benyttet t sin cos cos, og enhetsformelen cos +sin. Dette er et integrl som dukker mye opp både i fysikk og flervribel nlyse, men hv med integrlet v cos, kn vi bruke resulttet på noen måte? Ved å se på figur figur 5 så er cos og sin smme funksjon, bre t cosinus er forskjøvet med en hlvperiode ltså π sin cos Der virker det for logisk t relet under sinus og cosinus er det smme. Dette viste du vel llerede fr før, men ved å sette inn i proposisjon. fås direkte t π sin π sinπ π cos

14 y π π 3π π Figur 5: f og f i smme figur. Interessnt, siden relet under v funksjonene er like så er π sin π sin + cos π π Stilig! Teknikken fungerer ikke bre på lle intervll, men lle multipler v π/. Altså er nπ/ sin nπ/ cos nπ/ nπ 4 Men dette er knskje kjent fr før? L oss ngripe problemet på en mer grfisk måte. Ved å se nærmere på intervlet til π. Legg merke til symmetrien fr y O π π Figur 6: f og f i smme figur. til π/ i figur 6. Funksjonen f sin deler kvdrtet vgrenset v y, y og, π/ i nøyktig to på figuren. Slik t relet under f er nøyktig hlvprten v relet til kvdrtet. Altså π/ sin π π 4 Dette er helt tilsvrende som å bestemme relet v en treknt, den er nøyktig hlvprten v kvdrtet. For å få smme resultt som før kn en dele opp integrlet i n kvdrt hver med rel π/. Nøyktig det smme rgumentet kn og benyttes på cos. Hvordn kn en være sikker på dette? Svret finner vi i følgende theorem

15 Theorem.. Ant f er kontinuerlig på [, b] og t f + f + b er konstnt for lle [, b] d er b + b f b f b [ ] f + fb Bevis. Beviset her tilegnes Roger Nelsen [4, s39-4], og er mildt sgt pent. Merk t teoremet kn vises utelukkende ved å betrkte figur 7. Men litt lgebrtrening f + fb y f f +b fb f + b/ b Figur 7: Bevis for teoremet uten ord. hr ldri skdet noen. For å beregne integrlet dissekeres det på midten b f c f + b c f Hvor c +b/. L oss nå bruke substitusjonen u +b på siste integrl. Når c så er u c og når b så u slik t b f c c f c f + b f + f + b b Hvor en l merke til t c [ + b ]/ b /. Videre ble det brukt t f + f + b C, hvor C er en konstnt. For å bestemme konstnten kn hvilken som helst verdi mellom og b benyttes. Velges eller b fås C f + fb Derimot om en velger f c fås + b C f C 3

16 Integrlet kn dermed skrives som b + b f b f som vr det som skulle vises. b [ f + fb ] En ser t om f sin eller f cos så er f + fπ/ konstnt så π/ sin π/ cos π/ [ f + fπ/ ] π 4 som stemmer med tidligere resultter. L oss t et noe vnskeligere eksempel vslutningsvis Eksempel.3. Putnm 987: B π/ + tn. Dette er en v de vnskeligste oppgvene som hr vært gitt på en Putnm eksmen. Ved å tegne funksjonen får en noe som likner på figur 8. Allerde nå y π/4 π/ Figur 8: Bevis for teoremet uten ord. burde en kjenne igjenn teknikken. Området under funksjonen er hlvprten v rektngelet. Slik t det forventes t π/ + tn π π 4. Putnm er en den mest prestisjefylte mtemtikkonkurnsen for studenter i USA og Knd. Konkurrnsen består v spørsmål, med mks poengsum. Oppgven som er vist her klrte bre 3 v 43 deltkre å få 3 eller mer poeng på 4

17 For å være sikre på dette sjekkes det t f f+b er konstnt. tnπ/ cot / tn slik t f + fπ/ + tn + + / tn tn tn + tn + tn + tn Dermed så er f + f + b konstnt for lle [, π/]. Arelet under f er dermed nøyktig hlvprten v kvdrtet med høyde og bredde π/. Fr teorem. hr en ltså t π/ + tn π/ [ f + ] lim f π π/ 4. Der f og den siste grensen blir, siden tn går mot uendelig når π/ dermed vil / tn. I oppgven ovenfor vr figuren en god indeksjon på symmetrien. L oss vslutningsvis t et eksempel som i utgngspunktet virker motstriende mot tidligere resultter. Eksempel.4. Her skl vi studere følgende integrl A π/ L som definere funksjonen f som + cos f + cos Ved å se på figur 9 ser det ut som t integrlet fyller opp nøyktig hlvprten v det stiplede området. Så ntklsen om t relet er à π f + fπ/ π + 4 virker ikke urimelig. Dessverre så er g f + fπ + cos + + sin ikke konstnt på intervllet. Ved å se på den deriverte kn en se t g duver g skte mellom + og 6 slik t g [g, gπ/] [.44,.4495]. Så f fπ er kk så nære å være konstnt, men det hjelper dessverre ingenting. Ved direkte utregning så er fktisk π/ + cos.9 > π Så selv om det ser ut som funksjonen hr pen symmetri, må en teste om f + f + b er konstnt. Problemet i denne oppgven er t + cos hr pen symmetri, mens ikke hr det. En konvolusjon v en symmetrisk og ikke symmetrisk funksjon er ikke symmetrisk. 5

18 .5 y.5 π/4 π/ Figur 9: Den røde kurven viser funksjonen f + cos. ddendum: Integrlet som ble studert i denne oppgven ikke er mulig å beregne nlytisk og betegnes som et elliptisk integrl v ndre grd. Men å vise dette overltes som en rtig oppgve til leser. Oppgver 3. rctne 33. Beregn integrlet π/ + tn, hvor er en konstnt. Eksisterer integrlet for lle? Hv med grensetilfellene ± og? e sin 37. Et komplett elliptisk integrl v ndre grd kn skrives på fomen Vis t integrlet Ek π/ π/ k sin + cos 6

19 kn uttrykkes vi E. L oss t en liten digresjon til numerisk integrsjon. For å beregne et integrl kn en dele opp intervlet i n deler og konstruere et trpes på hver del. D ender en opp med t T n b f h n [ ] f + fb + h f k hvor n er ntll intervl, h b /n, og k + hk. En øvre grense for feilen i metoden er gitt som Error b 3 n M k Hvor M er den største verdien f ξ hr på intervllet. b Bestem hvor mnge intervl n som trengs for å være helt sikker på t π/ + cos > π Diverse substitusjoner.4. Euler substitusjon.4. Generelle vbildninger En vbildning mping, er stort sett det smme som en substitusjon. I hvertfll for det som studeres i dette dette dokumentet. Der formålet med en substitusjon er å forenkle integrnden, er formålet med en vbildning å forenkle grensene. Veldig grovt sett. Mer formelt L oss si du hr et integrl fr, som du gjerne vil h til,. Hvilken substitusjon må du d benytte? Etter litt tenking vil du knskje komme opp med. Men sinπ/ fungerer og, om en snur om grensene. Poenget er t vbildningene ikke er unike, og kommer i mnge former. I denne delen skl følgende korthånd notsjon bli benyttet, b b f hvor f er en vilkårlig funksjon som eksisterer på omårdet. Under er en kort list v nyttige vbildninger. Ant t og b er reelle tll. Merk vbildningene ovenfor kn både snus,, og deles opp,,,. Eksempelvis så er b f F b F F F b b f 7

20 A B t,, /, b, b+ b + b, b b, + b c d, b c, d b + d cb b,, /,, +,, π rctn/4,, / +,, ep,, + / En v de mest brukte integrl omskrivingene er å mppe, på,. Dette gjøres ved å dele opp integrlet f f + f, For deretter å bruke substitusjonen t / på det siste integrlet. Nå er dt / og integrlet blir f f f + Som kn bli benyttet på uttllige integrl. f f dt t.4.3 Weierstrss substitusjon.5 Integrsjon v brøker.6 Delvis integrsjon I denne delen skl vi igjen besøke delvis integrsjon uv uv u v, med tilhørende smrte knep og metoder. Som oppfriskning ts et lite eksempel, som kommer igjen flere gnger senere Proposisjon.. e α sin β e α cos β eα α + β [ α sin β β cos β ] + C eα α + β [ β sin β + α cos β ] + C Bevis. Resulttet ovenfor kn vises noe enklere ved hjelp v kompleks nlyse. Men dette blir først sett på litt senere. Tr først for oss første integrl, og kller 8

21 det for I. En delvis integrsjon gir d I e α sin β α eα sin β e α α β cos β Der u sin β og v e α /α. Ved å bruke delvis integrsjon tter en gng blir nå integrlet I α eα sin β β [ e α α α cos β + β ] e α sin β α Legg merke til t en ender opp med det originlet integrlet I på høyre side v likningen. Ved å skrive ut og forenkle I α eα sin β β α eα cos β β α I Ved å gnge begge sider med α og legge til β I på begge sider fås α + β I e α α sin β e α β cos β Deles begge sider på α + β får en som ønsket t e α sin β eα [ ] α sin β β cos β + C α + β helt tilsvrende regning kn benyttes for å vise det ndre integrlet. Å gjennskjenne integrlet på høyre side er et velkjent indinertriks, og kommer ofte til nytte..6. Delvis knselering Ant t en skl integrere en funksjon som på kn deles opp til f g + h. Tnken er nå å bruke delvis integrsjon på h slik t integrlet v g blir forkortet bort. [ ] g + h g + r g r Det spiller selvsgt ingen rolle om det er g eller h som blir utstt for den delvise integrsjonen. Dette forutsetter t h kn skrives som et produkt v to funksjoner u og v, på en slik måte t g u v. Dette blir forhåpentligvis klrere i det neste eksempelet Eksempel.5. L oss se på det ubestemte integrlet v funksjonenen f + e Integrlet består v summen v to funksjoner hvor det ikke er mulig å integrere noen v delene lene. Leser oppfordres til å prøve delvis integrsjon direkte, ulike substitusjoner eller ndre metoder. Resulttet vil dessverre være nedslående ingen v metodene biter på dette integrlet. Løsningen blir heldigvis å dele integrlet opp I + e e + e, 9

22 og benytte delvis integrsjon på siste leddet med u ep og v. D er u ep og v. Ikke minst så er u v ep. [ ] I e + e e e + C Hvilken delvis integrsjon som fungerer er noe som kommer med erfring. L oss se på et noe vnskeligere eksempel Eksempel.6. I y + y dy L oss begynne å dele integrlet opp i to deler + y y I + y dy + y dy + d + y dy + y dy + y dy y + y dy En kn nå rimelig enkelt benytte seg v delvis integrsjon på siste leddet. Her er u y og v / + y. I + y dy + y + y + y dy y + y + C. For å se omskrivningen v integrlet kn en se t C Vi eksempelvis u +, og t /u /u. Slik t y + y d dy + y Merk og t knseleringen ikke vr nødvendig, siden / + y ikke er spesielt vnskelig å integrere. Poenget er t den delvise knseleringen forenklet utregningen. Merk t å bruke delvis knselering er helt tilsvrende som å bruke produktregelen og kjerneregelen bklengs. Som eksempel kunne en løst oppgvene ovenfor på følgende måte f + e e + e e Der produktregelen ble benyttet i siste overgng. Tilsvrende d y + y + y dy y y d dy + y + y d dy y + y Er mn ikke svært erfren kn dog det å legge merke til disse tingene være svært vnskelig. Det er derfor delvis knselering i mnge tilfeller kn være vell så nyttig.

23 Oppgver. I e sin + e cos. Gitt t π e beregn følgende integrl 3 e. 3. I log + loglog 4. I + 3 e 5. I 3π π sin log cos.6. Eksponentilfunksjonen Ant t du er blitt ttt til fnge v en ond verdensleder og får ikke dr hjem før du hr bestemt følgende integrl e.3 Er du noenlunde stø på de grunnleggende integrsjonsteknikkene begynner du vel llerede nå og bite negler og skjelve. For den normle fremgngsmåten er delvis integrsjon, hvor i hver delvise integrsjon derives polynomdelen slik t den tilslutt forenkles til en konstnt. Metoden fungerer, men kn og føre til svært mnge delvise integrsjoner og er svært lngtrekkelig. I oppgven ovenfor trengs det eksempelvis 4 delvise integrsjoner for å beregne integrlet. Etter omstendig og monoton regning, kn svret skrives som e 4 e + C Legg merke til t polynomet på venstre og høyre side er v lik grd. Dette gjør det rimelig å gjøre følgende ntkelse Integrlet v e over R betegnes ofte som det gussiske integrlet og vil bli vist på ulike måter i Del III. 3 Integrlet v e over R betegnes ofte som forventingsverdien til den gussiske funksjonen e og et hint for å løse det er selvsgt delvis integrsjon. Men nok fotnoter nå.

24 Proposisjon.3. Integrlet v pe kn lltid skrives på formen pe qe,.4 der p og q hr smme grd. Bevis. L oss strte med funksjonen f qe, hvor p er et vilkårlig polynom. Derivsjon gir oss d t f q e + qe [ q + q ] e pe Der p q + q. Legg merke til t p og q begge er polynomer v smme grd. Ved å integrere p hr en nå t pe f qe + C Hvor p og q selvsgt hr smme grd. L oss benytte oss v proposisjonen på et litt enklere eksempel Eksempel.7. I e Polynomet v grd, og det er derfor må også svret inneholde et polynom v grd to. Vi gjør derfor følgende nstz e + b + ce + C Ved å derivere begge sider v likningen fås e [ + b + c + + b + c ] e + [b + ] + [b + c] e Ved nå og nt t høyre og venstre side er like må lle koeffisientene være like. Dette gir følgende likninger b + b + c Første likning gir t. Neste likning gir t b, og siste likning gir t c b. Dermed så er e + e e + C En bytter ltså ut å løse n-delvise integrsjoner med å løse n + likningsett. Siden det finnes mnge svært rske og nøyktige måter å løse disse på er det ofte å foretrekke. Ved hjelp v guss-elliminisjon kn likninsettet ovenfor løses som følger hvor en kn lese mer om dette i enhver lineær lgebrbok.

25 Oppgver. e e +b 3. L oss se på en svk generlisering v oppgven. Ved å sette inn generelle uttrykk for polynomene kn likning.4 skrives som 4. e n k n k k e c k k + C, hvor k er kjente konstnter og k for lle k og tilsvrende for c k. Målet blir nå å uttrykke koeffisientene c n ved hjelp v n. Vis t ved å følge smme fremgngsmåte som i eksempel.7 ender en opp med n k k n k k c n n + c k + kc k. Dette er et likningsett som kn løses, vis t koeffisientene c n kn defineres rekursivt som k c n k n k n kc n k k,,, n. Hv er initsilbetingelsen? Test ut itersjonen på likning.3. Dersom e i stedet hdde vært på formen e +b er det mulig å nå definere c n rekursivt, hv blir i såfll rekursjonen? e n,.6.3 Tbell integrsjon n N I forrige del ble det sett på ulike måter å slippe å gjennomføre delvis integrsjon på. Eksempelvis tkket være t e men hv med integrler på formen π 3 cos Her kn en ikke lengre nt hv svret skl bli d cos og sin deriverte hr en periode på fire og ikke en. Delvis knselering vil heller ikke fungere her, og selvsgt er vi for lte til å bruke vnlig delvis integrsjon..7 Trigonometrske funksjoner I denne delen vil det bli sett på en rekke spenstige trigonometriske integrl, men først tr vi og viser en nyttig trigonometrisk identitet. Proposisjon.4. rctn + rctn π 3

26 Bevis. En måte å vise t f π/ er å se t den deriverte er null. d f / + +. Integrsjon gir d t f C R\{}, der C er vilkårlig konstnt. For å bestemme konstnten så er f rctn. Legg merke til t tnπ/4 så er rctn π/4 d rctn y per definisjon er inversen v tn y. Dermed så er f f π/, siden f er konstnt. Alterntivt kn og identiteten og vises ved å betrkte følgende figur α C tn γ / γ rctn tn α / α rctn α + γ + π π γ A som er et søtt lite bevis. B α + γ π rctn + rctn π Eksempel.8. Eksempel.9. π π/ sin + cos logsin.8 Logritmiske funksjoner I forrige del ble det sett på integrl på formen p log der løsningen vr reltivt enkel. Benytt delvis integrsjon og sett u log og v P, der P p. p log log P P Hvor det siste integrlet er mye enklere å løse. Men hv med integrl på formen b R log Der er R er en rsjonl funksjon på formen q/p med p og q som polynomer. Eksempel.. b log + + b 4

27 .9 Ulike tips og knep.9. Nyttig funksjonllikning Lemm.. Gitt t R er en rsjonell funksjon slik t R R og f en vilkårlig funksjon, d holder følgende Rf Bevis. Vi deler opp integrlet som følger Rf R f + f/ Rf + Rf Rf + Rf R/y y R f + f/ f/y dy Ryf/y dy og i nest siste overgng y / benyttet og t R/y/y Ry. Dette fullfører beviset. Fr dette følger følgende vidunderlige theorem. Theorem.. Gitt t R er en rsjonell funksjon som tilfredstiller funksjonllikningen R R, d holder følgende R R.5 R log.6 R b + R rctn π 4 R.7 R.8 Bevis. Velger å vise likning.7 og.8, hvor de to første likningene blir overltt til leser. Merk t lle likningene vises på smme måte ved å benytte 5

28 lemm.. Ved å bruke lemmet med f / b + fås R b + R b + + / b + b b R b + + b + b R R. Beviset for siste likning gjøres nesten tilsvrende igjen ved bruk v lemm. nå med f rctn. R rctn π R rctn + rctn R π 4 R. Der likning.5 og rctn +rctn / π/ ble benyttet fr proposisjon.4. Dette theoremet kn benyttes til å tygge igjennom en betrktelig ndel v vnskelige integrl. Eksempelvis så Eksempel.. π/ dθ + tn θ b + + b + π 4 Der substitusjonen u tn θ ble brukt i første overgng og likning.7 ble benyttet i ndre. Selvsgt tilfredstiller R / +, funksjonllikningen R// R..9. Integrl pr I denne delen skl vi se nærmere på et v fvorittintegrlene til forftter. Teknikken som benyttes er reltivt enkel å forstå; nt en hr to integrl J f og K g som hver for seg er vnskelig å beregne. Målet blir nå å konstruere et likningsett v to uvhengige lineærkombinsjoner v J og L u J + L u J + K på en slik måte t likningsettet er enklere å løse enn J og K hver for seg. Eksempel.. Integrlene som ønskes å beregne er J cos log og K sin log 6

29 som en hr sett før, kn delvis knselering være gull verdt. Dette gis en sjngse og en beregner J + K J + K cos log + sin log Det brukes nå delvis integrsjon på sin log med u sin log og v, så v og u / cos log. Innstt fås d [ ] cos log cos log + sin log sin log + C Tilsvrende for tilfellet for J K kn integrlet skrives som J K cos log sin log ved smme fremmgngsmåte som før benyttes delvis integrsjon på cos log. Hvor u cos log, u / sin log og v, v. [ ] sin log sin log + cos log cos log + C Ved å bruke disse to opplysningene hr en ltså likningssettet sin log J + K cos log J K Ved å t gjennomsnittet v likningene får en J og ved å t I II/ hr en også Dermed hr en t K sin log + cos log sin log cos log I II cos log sin log + sin log sin log cos log + C cos log + D som vr det en ønsket å beregne. Merk t det finnes mnge lterntive måter å beregne integrlet på. Ved å sette u log fås J e sin og K e cos. Herfr kn en enten benytte delvis integrsjon på gmmlemåten på hvert integrl. En kn benytte teknikken med integrl-pr på J og K. Ellers kn en og skrive om J og K til kompleks form. Merk t lle disse metodene krever noe mer innsts enn metoden ovenfor Dessverre finnes det ikke mnge integrler denne metoden er nyttig for, og derfor ender den opp som mer et stillig triks enn en nyttig teknikk. 7

30 . Bestemte integrl uten ntideriverte I løpet v del II hr en rekke problemtiske integrl blitt løst ved hjelp v smrte substitusjoner og omskrivninger. Mesteprten v disse hr vært mulig siden integrlene vi hr sett på er bestemte integrl. Derimot så er integrlene ikke + tn og 3 + tn mulig å uttrykke ved elementære 4 funksjoner. For bestemmte integrl eksisterer det en komplisert lgoritme 5 som kn fortelle om integrlet kn uttrykkes som en sum v elementære funksjoner. Eksempelvis gir lgoritmen overrskende svr som ln + ln + + ln + ln + ln + + ln + C 4 En elementær funksjon er en funksjon v en vribel smmenstt v en endelig sum v eksponensiler logritmer og polynomer smmenstt v opersjonenen + og 5 Algoritmen er kjent som Risch-lgoritmen og ble konstruert v Robert Henry Risch i

31 . Oppgvesmmling II π π/.. Integrl cos sin cos + sin + sin + e π π/ π/ sin 3 θ sin θ + sin θ dθ 7/ sinlog ln e + e sin cos + sin + cos + + n sinh + cosh cosh sinh sin + cos csc sin ln π/ cos π + e sin sin sin f f + f π/ cos + b sin log 3 log 3 sin sin + sinlog 6 + y log 4 log 4 π/4 π/ cos ln e log tn tn tn tn π 8 3 cos 4 sin π 3π π π sin rctn e + cos 9

32 .. Oppgver. Vis t integrlene I er ulike.. Beregn dobbeltintegrlet y + y dy og I + + K dt t, hvor R. Og vis t løsningen kn skrives som K rcsinh + log + + C, bl ved å bruke definisjonen sinh [ep + ep] /. 3. Drøft integrlet π sin θ dθ r + R Rr cos θ, for tilfellene når r > R > og R > r >. y + y dy 4. En definisjon v nturlige logritmen er gitt som relet under /t fr t til t. log : t dt. Vis t definisjonen er ekvivlent med den vnlige definisjonen: log d log log r r log log b log + log b 5. Gitt t og b er to reelle tll slik t + b 5 og tn θ b b 3 b Vis t cos θ kn skrives som en ndregrdslikning med hensyn på. Finn også cos θ uttrykt ved. 6. Vis t t må være periodisk for t t e sin t e cos + t 3

33 7. Løs integrlet med og uten bruk v substitusjonen cos θ. 8. Americn Mthemticl Monthly # 457 Vinkelen Θ er definert utifr følgende figur Θ O b vis t den gjennomsnittlige verdien for Θ er gitt som b b Θ π 4 b b + der < < b. Virker utrykket logisk for grensetilfellene og b? Argumenter. Hint: Der det kn være fordelktig å uttrykke vinkelen som rccosf hvor f er en funksjon v. u Θ og v b/ + b. 9. Ant t en hr en beholder som er fyllt med en liten mengde vnn. Vi øker så temperturen i beholderen. Målet er studere hvordn det molre metningstrykket heretter klt dmptrykket vrierer som en funksjon v en rekke kjente prmeter. For å gjøre dette lger en en enkel model ved hjelp v Clusius-Clpeyron s ligning dp dt S V Denne beskriver hvor rskt dmptrykket forndrer seg, ltså dp/ dt Her er S forndring i entropien 6 og gitt som S n L f /t hvor L f er smeltevrme når vnn går over til dmp, n er ntll mol og T er temperturen. Videre så er V forndringen i volumet og gitt som V V g V e. Hvor V g er gssvolumet og V e er væskevolumet. Tilnærmelsen V V g kn benyttes d det nts en hr mye mer gss enn væske. Gssen nts å følge ideel gsslov pv nrt, hvor n er mol, R er gsskonstnten og T er temperturen. Vis t Clusius-Clpeyron s ligning kn omskrives til d log p L f dt T R 6 Entropi gir et mål på hvor mye uorden eller kos som er i et system 3

34 Det å nt t smeltetemperturen L f ikke vhengig v tempereturen er gnske tåpelig. I stedet så er det rimelig å nt t L f vtr lineært med temperturen for lve temperturer. 8 K < T < 44 K. L f T α βt. Bruk vnnets trippelpunkt som refferense P 6 P ved T 73.6 K og uttrykket for smeltevrmen til å vise t pt kn skrives som pt K T µ ep{ Z/T } og krtlegg dermed konstntene Z, K og µ.. Gitt funksjonen f rccos + rcsin. Vis t f og bestem integrlet, f D hvor D er hele definisjonsmengden til f. Altså lle lovlige -verdier.. Vis t Hv blir integrlet? L f og g være to integrerbre funksjoner på [ 8, 8] og l I 4 8 4f 8g g 4f. Vis t I, og bestem når det oppgvis t f er en likefunksjon, g er en oddefunksjon og gjennomsnittsverdien v f og g på [, 8] er. 3. L f være en kontinuerlig funksjon og f eksisterer. Vis t f f 4. Beregn integrlet +, hvor. 5. L f være en strengt voksende og kontinuerlig deriveerbr funksjon på [, 5] slik t: f og f5. Ant t der f betegner inversen til f. 5 f f 7, bestem integrlet 3

35 6. Bestem 7. Vis t π/ e sin n π/, hvor n N. e sin n b b b b holder for lle relle tll,b med b > Bruk følgende integrl + til å vise t 7 videre t < + < for, til å vise t 7 63 < π < 7 6 > π. Benytt 9. Bestem følgende integrl I φ rctn + φ Hvor φ er det gylne snittet, gitt som φ 4 sin3π/ + 5. Vis og t følgende ulikhet holder /3 < I < /. Hvor det kn være fornuftig å benytte seg v tilnærmingene fr forrige opgve.. Beregn integrlet epπ sinln n noen noen n slik t integrlet blir et heltll?. Vi lr D hvor m Q 4/3 3/4, hvor n er et heltll. Finnes det Vis t ed kn skrives på formen m. En hr tidligere sett t f cos + når π ellers π π Er en snnsynlighetsfordeling. Altså t integrlet over R er lik. I denne oppgven blir det sett nærmere på den moment-genererende funksjonen til fordelingen f. Den er gitt som M f t e t f for en kontinuerlig snnsynlighetsfordeling og kommer igjen i mnge smmenhenger. Vis t den momentgenererende funksjonen til f kn skrives som M f t π sinhπρ ρ + ρ 33

36 Der ρ t/. Vis videre t Hvor E lim Mf t E og lim Mf t Vr t t f og Vr Stemmer resulttet generelt? Argumenter. 3. Vis t b + + b er null for lle, b R 4. Vis t dersom N er et nturlig tll så er + π 4 E f. 5. Vis de fire likhetene n log m log + rctn n rctn m /m /n log + + log rctn m rctn, n holder for lle reelle positve tll, n, m som tilfredstiller nm n + m Gitt t α er en spiss vinkel, vis t Iα + cos α + Test om uttrykket stemmer for grensetilfellet α. 7. Gitt t 4c b π / vis t hvor / π b/. / b/ + b + c 5, α sin α. 8. Dette blir et v de ytters få ubestemt integrlene som studeres i denne delen. L og bestem integrlene f f og f. 34

37 9. Dersom f, f 3 og f 5, bestem 3. Vis t log + I f og bruk dette til å bestemme I log + b 3. I denne oppgven studeres følgende integrl I R log, hvor R er en rsjonl funksjon. Ant t integrlet konvergerer. Vis t hvis R tilfredstiller funksjonllikningen R R, så er I. b Bestem integrlene J : log + + og K : rctn Integrlet π/ π/6 b. sin 3 cos3 kn skrives som Bestem b + b b L f og g være to funksjoner som hr kontinuerlige første og ndrederiverte på [5, 7]. Ant videre t funksjonene er integrerbre på intervlet. Beregn I : 7 5 fg når det oppgis følgende: i f, f > for lle [5, 7]. ii Funksjonen f/g hr kritiske punkt i 5 og 7. iii For lle [5, 7] så er g /f. iv g g f[g ] for lle [5, 7]. 34. L oss t end en liten digresjon til numerisk integrsjon. For å beregne et integrl kn en dele opp intervlet i n deler og konstruere et trpes på hver del. Dette gir følgende formel T n h n [ ] f + fb + h f k k 35

38 og b er henholdsvis nedre og øvre grense, n er ntll intervl, h b /n, og k + hk. L oss bruke trpesmetoden til å beregne integrlet A b f gitt t integrlet er begrenset, og f er en kontinuerlig funksjon. I tillegg opplyses det om t f + f + b, er konstnt for lle i intervlet. Vis t lim T l l T T l T l N 3 b f T 35. Vis t kπ π cosn u + du k cosm u + du holder for lle heltll n, m og k. Hvor n, m kn men ikke nødvendigvis er like. Oppfølger: Vis t kπ π cos u + du k cos u + du Hvor igjen k er et heltll. 36. Bestem og b slik t I b [ sin rccos ] oppnår sin mksimle verdi. Hvor stor kn I bli? 37. Vis t dersom f coslog og g sinlog + coslog så er [ 38. Bestem integrlet e A 39. Vis t f g ] 4e, der A ! !. 8t 4t + dt 4. I denne oppgven skl en studere nærmere Ω konstnten 7, og noen v dens egenskper. Omeg konstnten er definert slik t den oppfyller Ωe Ω. 7 Omeg funksjonen betegnes og ofte som LmbertW, og en lengre rtikkel finnes på wikipedi 36

39 Vis t Ω konstnten er unikt definert. Vis ltså t likningen e hr nøyktig en løsning I resten v oppgven skl en se nærmere på funksjonene f og g log. b Vis t skjæringspunktene mellom f og g er henholdsvis og e Ω. c Vis t relet vgrenset v f, g, og kn uttrykkes vi Ω konstnten som A 6 eω + 9 e3ω 6Ω + 9Ω 3 Hvor det kn bli nyttig å benytte seg v definisjonen til Ω. d Omeg konstnten kn og defineres rekursivt vi Ω n+ + Ω n + e Ωn med strtverdi Ω. Bruk strtverdien Ω og to itersjoner til å nslå integrlet. En bedre strtverdi er Ω log, bruk denne og t e 8/3 til å nslå integrlet. Benytt nå en itersjon. 4. Gitt t og b / log /, der b >. Vis t I : b f A log + log + B og krtlegg dermed konstntene A og B. Her er f er implisitt gitt som + fe f, f >. Hint: Det kn lønne seg å benytte delvis integrsjon for å oppnå for deretter å bruke substitusjon. 4. I denne oppgven skl en så vidt være innom kvntefysikk. Merk t ingen forkunnskper utover integrsjon er nødvendig. Oppgven dreier seg i prksis om Crbon-4 dtering, men som sgt fokuserer en her på det mtemtiske. Når et C 4 tom henfller, brytes ned skiller det ut blnt nnet ut en α prtikkel, lf-stråling. Denne α prtikkelen hr d et potensil V r Ze 4πɛ r Rdien til prtikkelen er gitt som r, mens strålingen fr prtikkelen når til til rdien r r, Energien til prtikkelen en d være E V r Ze 4πɛ r og tilslutt så er hvor mye stråling som blir vgitt fr prtikkelen gitt som T ep r m [ V r E ] dr ħ r 37

40 Vis t en kn skrive V r Er /r og t log T kn uttrykkes som log T me r ħ r /r Videre så ønsker en å undersøke hvordn log T øker når E vtr. b Forklr hvordn en kn skrive om integrlet til I r /r og, beregn integrlet ekskt. r/r, c For lettere regning kn en benytte seg v en frekk tilnærming. Det første integrlet er lik π/, og for det ndre integrlet hr en t < r /r slik t fktoren bidrr tilnærmet ingenting, så. Bestem nå et tilnærmet uttrykk for I og log T. d Tilslutt leker en oss litt med lgebr. Vis t [ log T Z ] K E K Zr hvor verdiene for K og K er henholdsvis K π e mc og K 4 4πɛ ħc e mc 4πɛ ħc ħc 38

41 III

42 . Introduksjon III I første del dyppet du forsiktig tærne ned i innsjøen v integrsjonsteknikker. Mens i ndre del lærte du, og forhåpentligvis mestret en rekke teknikker for å holde deg flytende. Men jeg håper du er god til å holde pusten for nå skl vi dykke dypt, dypt ned i mørket v integrsjonsmetoder. Denne delen vil h fokus på to hovedområder, spesielle funksjoner og spesielle teknikker. Videre vil du finne flere eksempler på hvor disse to områdene virker i skjønn hrmoni for å løse vnskelige integrl. Vi vil studere rekkeutvikling, kompleks nylyse, integrltegnet, omskrivninger til dobbel integrler og mye mer. [3]. Viktige konstnter I denne seksjonen blir et knippe viktige konstnter ttt opp. Det er viktig å huske på t det å oppgi svret som ζ3 eller Γ/4 ikke er noe forskjellig fr et svr som π eller e. Forskjellen kommer i hv en legger i et elementært uttrykk. Herfr blir et pr konstnter nevnt, som forftter mener er elementære... Euler Mscheroni konstnten γ Euler s konstnt ble først introdusert v Leonrd Euler i 734 som γ : lim logn n Grunnen til t konstnten ofte omtles som Euler Mscheroni er t selv om det vr Euler som først studerte grensen vr det Lorenzo Mscheroni 75 8 som fr 79 skrev flere utdypende ppir om konstnten, og dermed grunnlget for videre studier. Nøyktig når notsjonen γ, ble kom i bruk er uvist, men det som er sikkert er t nvnet er vlgt grunnet konstntens nære relsjon til Gmmfunksjonen Γz zeγz n [ + z e z/n].9 n hvor beviset kommer vi tilbke til senere. Formelen gir oss og med en gng relsjonen Γ ψ γ. Det er fortstt ukjent om γ er et lgebrisk eller trncendentlt. Fktisk vet en ikke engng om γ er irrsjonelt, selv om det er sterke ntkelser om det. Foruten om å være nært tilknyttet gmmfunksjonen spiller og funksjonen en viktig rolle innen Anlyse Bessel funksjoner, eksponensil-integrl, summer, osv, og dukker og hyppig opp i Tllteori. Det er liten tvil om t selv om konstnten ikke er like kjent som π eller e så er den en v de ller viktigste mtemtiske konstntene vi hr i dg. 4

43 Integrl-representsjoner v gmm γ e log 4 log log e log H e e + k e k > log + Som eksempel velger vi her å vise følgende Eksempel.. γ log log e log Bevis. For å bevise følgende trengs definisjonen v Γ som dessverre kommer først senere og er gitt som Γ Merker oss t ved å derivere likningen fås d Γ Γ t e t dt t e t log t dt e t log t dt. Dersom vi nå benytter oss v substitusjonen log/t i likning. fås Γ log log. Å vise t Γ γ kn gjøres ved å studere se på logrtimen v likning.9, også derivere. Men for øyeblikket overltes dette til leser. Vi hr ltså γ Γ log log e log som vr det vi ønsket å vise. Vi kommer tilbke til Γ når vi diskuterer digmm-funksjonen... Ctln s Konstnt G

44 Ctlns konstnt er nvngitt etter Eugène Chrles Ctln og er definert som G : Konstnten dukker hyppig opp i problemer innne kombintorikk, og inneholder mnge fine identiter. Det er ikke kjent hvorvidt G er irrsjonell, eller trncendentl og noen gnger betegnes og konstnten som Ctln. Noen viktige identiter G β π/4 π/4 n n n + rctn t dt t π/4 log cot t dt logsin t dt dy + y log t + t dt t dt sin t cos t π/4 rctn e t dt π/4 log t + t log tn t dt logcos t dt hvor β er Dirichlet bet funksjonen. Eksempel.. I Del II ble følgende resultt bevist ved å bruke t log + b π b log b log + Dette så vi ved å legge merke til t relet fr til vr like stort som fr til. Noe merkelig vr t verdien v disse integrlene ldri ble vist! Fr tbellen over ser vi t integrlene er lik G, og dette viser vi nå med rekkeutvikling. Bevis. 4

45 ..3 Glisher Kinkelin konstnten.3 Spesilfunksjoner.3. Gmmfunksjonen Det finnes mnge funksjoner innen mtemtikk som bre er definert for hele tll. Eksempelvis så kn summmen v de n første nturlige tllene skrives som T : N N T n n n + n ved hjelp v enkel lgebr kn summen skrives på lukket form som k T n nn +. Nå er formelen bre gyldig for nturlige tll. Men likevel gir formelen en mulig definisjon v hv det vil si og legge smmen de 5 første nturlige tllene. En nturlig fortsettelse til det å legge smmen de n første tllene, vil være å gnge smmen de n første tllene T : N N T n n k n n n! k Det ble lenge lett etter et lukket uttrykk for produktet slik som likning. gir en nturlig utvidelse for ddisjon v de nturlige tllene. Motivsjonen er ltså å gi mening til n! når n ikke er et heltll. Leonrd Euler viste heldigvis t det vr mulig å konstruere en slik funksjon som følger Definisjon.. For, definer Γ + : t e t dt Vi ønsker først å vise t denne funksjonen virkelig er en utvidelse v fkultetsfunksjonen, vi delvis integrsjon fås Γ + t e t dt [ t e t] t e t dt Γ Hvor e t vokser rskere enn t, > slik t t e t når t. Ved å nt t n N fås Γn + nγn nn Γn n n... Γ n! Γ og det er trivielt å vise t Γ. Det mngler selvsgt å vise t Gmm funksjonen er konvergent for lle men det ligger utenfor hv dette dokumentet prøver på. I stedet vil vi fokusere på viktige egenskper til funksjonen, enn å være helt formelle. 43

46 y Å finne funksjoner slik t f og t f + f er ikke spesielt vnskelig og det finnes hele funksjonsgrupper som tilfredstiller disse krvene. Eksempelvis hr vi F Γ d Γ log Γ eller f e gz [ z n ] + z e z/m m Hvor i siste definisjon så er g lle funksjoner som tilfedstiller gz + gz γ + kπi k Z. Som en rtig kuriositet fås gmmfunksjonen ved å velge den enkleste funksjonen g som gz γz. End mer tåpelige eksempler inneholder eksempelvis / < < G < 3 3 < 4. Så hvorfor velges utvidelsen v fkultetfunksjonen til å være kkurtt lik definisjon.? Svret på spørsmålet får en knskje fr t gmmfunksjonen er logritmisk konveks. At en funksjon er konveks betyr dette t funksjonen er synkende for lle verdier. Eventuelt dr et linjestykke mellom to vilkårlige punkt på funksjonen, d vil lle punkt på linjestykket ligge over funksjonen. Dette kn Figur : er konveks d lle punkter på den rød linjen ligger over funksjonen. formelt skrives som Definisjon.. En funksjon f :, b R er klt konveks hvis for ethvert pr, y, b så gjelder ulikheten for lle λ,. f λ + λy λf + λfy For å gi litt trening i å bruke gmmfunksjonen velger vi å bevise t den er logritmisk konveks. Til det trengs følgende ulikhet Lemm.. Hölder s ulikhet. L p,q være to positive reelle tll slik t p + q. D for lle integrerbre funksjoner f, g : [, b] R, så hr vi b /p b b fg f p g q /q 44

47 Bevis. L p, og p + q Γ p + y q. Herfr ser vi på t /p+y/q e t dt t /p t y/q t /p t /q e t/p e t/q dt siden p + q t e t /p t y e t /q dt /p /p t e t dt t y e t dt Γ /p Γy /q. Dersom vi nå lr λ /p og dermed γ /q. Så hr en t λ,, og Γ λ + λy Γ λ Γy λ [ log Γ λ + λy ] log [Γ λ Γy λ] λ log Γ + λ log Γy. for enhver, y,. At log Γ er konveks følger dermed direkte fr definisjon.. Hv dette i prksis vil si for gmmmfunksjonen er t vi kn etblere en rekke ulikheter, og egenskper til gmmfunksjonen d den oppfører seg reltivt sett pent. Knskje det viktigste egenskpen er t gmmfunksjonen er den eneste funksjonen som hr disse egenskpene. Altså Theorem.. Bohr Mollerup Gitt en funksjon f :,, som tilfredstiller. f. f + f 3. log f er konveks. D følger det t f Γ,. Gjennom utledningen til Bohr Mollerup teoremet følger blnt nnet følgende resultt. [ n! n z ] Γz lim.3 n zz +... z + n Hvor førstnevnte ulikhet krediteres til Euler, ved å bruke likning.3 kn følgende theorem utledes Theorem.. Weiserstrss produktet er definert som Γz : zeγz n z ep z n n.4 for lle z C forutenom z N. Altså polene,,... til gmmfunksjonen. 45

48 som et bedre kjent som et v Weierstrss produktene, her følger et kort bevis Bevis. Vi tr utgngspunkt i likning.3 og ser på inversen. [ ] zz + z + n Γz lim n n z n n n z + k z lim n n z k k n n log n z lim e z e z/k + z e z/k n k k k z lim n e z log n e z+/+/3+... z lim n e zhn logn ze γz n n k + z e z/n n + z k n k + z e z/k k e z/k Hvor H n er de n første tllene i den hrmoniske serien. det ndre Weiestrssproduktet definerer sin π og er gitt som sin πz πz z n n.5 Som kn bevises formelt vi Weierstrss fktoriserings teorem ellers kn en nt t sin πz kn skrives som et produkt v lle sine nullpunkter, ved å gnge smmen røttene på en smrt måte fås teoremet. For nå tr vi det for gitt t likning.5 stemmer, og ønsker heller å vise følgende teorem. Theorem.3. Euler s refleksjons formel For lle,, så holder identeiteten ΓzΓ z π sinπz.6 Å vise denne smmenhengen uten Weierstrss produktene er noe trsig, men kn gjøres ved å skrive om høyresiden til et integrl som løses vi kompleks nlyse eller å vise t φ ΓΓ oppfyller en bestemt differensillikning hvor løsningen gir oss resulttet. Bevis. Ved å t utgngspunkt i likning.4 så hr vi t Γ zγz zγ zγz og Γz Γ ze γz z ep z ze γz + z z ep n n n n n n {[ z e γz e γz + z ] e z/n} {[ z ] e z/n} n n n 46

49 Etter å skrive ut og bruke en del elementære forenklingen kn produktet skrives som Γz Γ z z z n Γz Γ z z n n z Ved nå å smmenlikne med likning.5 så hr vi Γz og resulttet følger direkte. Γ z sinπ π Ved å bruke resulttet ovenfor kn vi eksempelvis utlede følgende Lemm.. Den gussiske funksjonen e u integrert over R er lik π. e u du π Bevis. Ved å sette z / inn i likning.6 fås Γ Γ n π sin π Γ π Herfr ser vi t Γ/ π. Videre ved å bruke selve definisjonen v gmmfunksjonen så hr vi t Γ t / e t dt e u du e u du Vi substitusjonen t u. Å kombinere dette resulttet med uttrykket for Γ/ fullfører beviset. Som er et svært viktig resultt innen sttistikk og snnsynlighetsregning. Til slutt regner vi ut to siste integrl herfr blir resten v resulttene knyttet til gmmfunksjonen ttt i oppgvedelen. Vi ønsker å vise følgende Vi hr tidligere sett t de logritmiske egenskpene til gmmfunksjonen er svært viktige. Bl gir hr vi et resultt som sier t Theorem.4. Stirrlings pproimsjon Gitt følgende grense lim n n πn n e n så er n n n! πn e for store n. 47

50 Stirrlings pproimsjon eller formel, kn og skrives som, logn! πn + n log n n. Resulttet kn selvsgt generliseres for gmmfunksjonen. Et forenklet bevis for overnevnte finnes i oppgvesmmlingen under. Vi velger heller å prøve å vise følgende Proposisjon.. log Γ log π Bevis. Beviset begynner med å skrive følgende integrl På den ene siden kn integrlet deles opp, slik t log ΓΓ log ΓΓ.7 log Γ + log Γ log Γ. log Γ log Γy dy Alterntivt kn integrlet og skrives om ved å bruke Eulers refleksjonsformel, så log ΓΓ log log π π sinπ log π + log log sinπ For å se det siste integrlet kn substitusjonen y π bli brukt så d fås log sinπ π π log sin y dy som er et stndrd integrl som hr blitt beregnet flere gnger før. Ved smmenlikning hr en nå t log ΓΓ som vr det vi ønsket å vise. log ΓΓ log Γ log π + log log Γ log π 48

51 Oppgver. I denne oppgven skl vi krtlegge en tilnærmelse til Γ, også bedre kjent som Stirrling s formel. Vi utvikler bre rekken til ndre ledd, d videre utvikling krever mer rbeid. Bestem et lukket uttrykk for S N log i, og videre vis t S tilnærmet er en Riemnsum til integrlet S C i n log. Bruk uttrykket for S og integrlet til å bekrefte t N N N! C e for store N, der C er konstnt.. I denne oppgven er ikke integrsjon i fokus. Men heller det å bli mer stø i å bruke Γ funksjonen. Unsett er det sterkt nbeflt å prøve seg på følgende oppgver. Vi tr tter en gng og dypper fingrene ned i kvntevnnet, merk som vnlig t målet å lære mtemtikken og ikke fysikken, men litt forklring trengs likevell. Et kvntifisert mgnetisk moment hr kvntetilstnder som betegnes med verdiene s ±. Avhengig v om det mgnetiske momentet peker med eller mot påstt mgnetfelt. Tenkt på en mgnet med + og. Vi betrkter et stort ntll N slike mgnetiske moment. Hvor N + hr verdien s + og N. Videre så er N + + N N. Tilslutt så er det totle mgnetiske momentet gitt som m N + N /N. Målet med blir å bestemme Entropien S uorden eller kvntevillskpen til systemet. Stefn-Boltzns lov t entropien i et slikt mgnetisk system er gitt som N! S k log N!N +! Bruk uttrykket for Entropen og Stirllings formel se forrige oppgve til å vise t entropien S kn skrives som S Nk [ A B + m log + m C m log m ] og krtlegg dermed konstntene A, B og C. 3. Bestem følgende integrl I e e b ρ+ der,b positive konstnter, og ρ <. Integrlet refferes noen gnger til som et generlisert frullni integrl, der det klssiske frullni integrlet fås ved å studere grensetilfellet ρ, som vi skl studere senere. 49

52 4. Definer følgende funksjoner f : log Γ + t og g : t log, vis differnsen mellom f og g er høyst en konstnt, og krtlegg konstnten. Bestem dermed integrlet log Γ + t..3. Betfunksjonen Integrlet som vi studerte i forrige seksjon er også kjent som Euler s ndre integrl og i denne seksjonen skl vi se nærmere på Euler s første integrl, knskje bedre kjent som betfunksjonen og er definert som følger Definisjon.3. For lle, y > så defineres B, y t t y dt Tilsvrende som for gmmintegrlet er det viktig å vite t integrlet virkelig er konvergent for lle, y >. Eksempelvis om < så vil integrnden gå mot uendelig når vi nærmer oss origo. Tilsvrende så vil integrnden blåse opp for t når y <. bet- og gmmfunksjonen er svært nært knyttet til hverndre og vi hr følgende resultt. Theorem.5. For lle, y > så hr vi relsjonen B, y ΓΓy Γ + y Beviset overltes til leser Se oppgvene, d igjen gir det god trening i både bevisføring, lgebr, og å komfortbel med bet og gmmfunksjonens egenskper. Velger heller å vise følgende Eksempel.3. B, b Bevis. Tr utgnspunkt i definisjonen B, b t t b dt t dt.8 + t +b Benytter oss v substitusjonen t/ t som gir t [,. b + + som vr det en ønsket å vise. t + t +b 5