Hva er matematisk kompetanse?

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Hva er matematisk kompetanse?"

Transkript

1 Moa Røsselad Hva er matematisk kompetase? Norge har ok e gag kommet dårlig ut i udersøkelser som viser elevers kompetase i matematikk. Vi leter etter årsaker, og vi prøver å fie de riktige veie framover. Før vi ka ees om e hesiktsmessig strategi for å gjøre orske bar og uge bedre i matematikk, bør vi diskutere hva det iebærer å ha matematisk kompetase. Noe meer at bare elevee ka de fire regigsartee (les algoritmee) år de går ut bareskole, må vi være forøyde. Adre meer at det viktigste er at elevee er kreative og klarer å fie løsiger på problemløsigsoppgaver ute take på e riktig fremgagsmåte. Heldigvis er det mage som meer at det er viktig at elevee behersker flere ulike kompetaser i matematikk, me da treger vi e bevisstgjørig omkrig hva det vil si å ha matematiske kompetase. I Damark har de kommet et stykke på vei i dette arbeidet. I 2000 satte de i gag prosjektet Kompeteceudviklig og Matematiklærig, der målet var å prøve å skape e felles forståelse for hva det vil si å beherske matematikk. Moa Røsselad er ettverkskoordiator ved Matematikkseteret, moa.rosselad@hjemme.o 12 matematikkbeherskelse, og hvorda dette ka påvirke matematikkudervisige og gjøre de bedre. Arbeidet ble ledet av Moges Niss, professor ved Roskilde Uiversitetsseter, og i 2002 kom rapporte Kompetacer og matematiklærig [5] fra det daske Udervisigsmiisteriet. Rapporte er grulag for mi beskrivelse av de matematiske kompetasee. Det har også vært ispirasjoskilde til de asjoale prøvee i matematikk i Norge. I disse prøvee blir elevee testet i ulike oppgavetyper, og de blir vurdert ut i fra e beskrivelse av matematiske kompetaser. Etter prøvee skal lærere lage e profil over hver elev og for klasse som helhet. Profile beskriver hvilket ivå elevee har i de ulike kompetasee. Kompetasebegrepee jeg gjør rede for her ligger til gru for arbeid med de asjoale prøvee. De daske rapporte veder seg bort fra de tradisjoelle, pesumbaserte beskrivelse av matematikkfaget. I stedet foreslår de at hesikt og utbytte med udervisig karakteriseres ved hjelp av åtte kompetaser som e øsker at elevee skal utvikle. De åtte kompetasee er: Takegag-, Resoemet-, Kommuikasjo-, Problembehadlig-, Modellerig-, Represetasjo-, Symbol og 1/2005 tagete

2 formalisme- og Hjelpemiddelkompetase. Dee kompetasebaserte beskrivelse av matematikkfaget øsker jeg å belyse gjeom to artikler her i Tagete. De siste artikkele kommer i Tagete r 2 (2005). Jeg velger å kytte beskrivelse av kompetasee opp mot udervisig gjeom å vise hvilke type aktiviteter og situasjoer som ka være med å stimulere utviklige av kompetasee hos elevee. Skal de asjoale prøvee bli et hjelpemiddel for lærere, vil det være helt vesetlig at lærere har e god forståelse for hva de ulike kompetasee står for. Det vil også være av betydig at lærere tar kompetasebeskrivelsee med i i klasserommet, som grulag for udervisige slik at det får praktiske kosekveser i orsk skole. I dee artikkele tar jeg for meg takegags-, resoemets- og kommuikasjoskompetase. I de siste artikkele beskriver jeg problembehadligs-, modellerigs-, hjelpemiddel-, represetasjos-, symbol- og formalismekompetase. Der belyser jeg oe problemstilliger i forhold til å bruke kompetasebeskrivelsee som grulag for vurderig, slik det blir gjort i forbidelse med de asjoale prøvee i matematikk. E kompetasebeskrivelse av matematisk faglighet Hvorfor er det så ødvedig å foradre på vår tradisjoelle måte å se matematikkfaget på? Hvorfor lage de asjoale prøvee så kompliserte, der e må forholde seg til mage ye begreper, som disse matematiske kompetasee? Skolematematikke har vært preget av et fokus på produktet og de riktige fremgagsmåte, og e har arbeidet for å få større fokus på prosessdimesjoe i faget. Vi ser det tydelig at L97 uderstreker betydige av elevaktivitet, der elevee skal kostruere si ege kuskap. Vi er å blitt mer opptatte av hvorda elevee bruker si matematiske kompetase, hvilke strategier de velger for å løse oppgaver og problemer og hvilke begrepsforståelse de har. Også i PISA-udersøkelse (Programme for Iterastioal Studet Assessmet) har prosessdimesjoe i faget gruleggede betydig. Her blir det uderstreket at det kreves ulik matematisk kompetase for å løse forskjellige typer matematiske problemer. PISA fokuserer altså i lagt større grad på et mer itegrert spektrum av kuskaper, ferdigheter og holdiger e det som har vært valig i tester til å. E legger vekt på elevees eve til å tolke iformasjo og trekke slutiger på basis av kuskap og ferdigheter som de har, og på hvorda elevee bruker kuskaper og ferdigheter i gitte sammeheger (Bergem [1]). I PISA brukes tre kompetaseklasser Oppgavee er delt i i tre kategorier etter hvilke kompetaser de krever: Reproduksjosklasse: Oppgavee er kyttet til elevers bruk av faktakuskaper og stadardalgoritmer. E ka også fie ekle problemløsigsoppgaver her, me kotekste er matematisk og fremgagsmåte (algoritme) gitt. Forbidelsesklasse: Her skal elevee se forbidelser og kue sette samme iformasjo som grulag for problemløsige. Elevee må da ha eve til å se sammeheger mellom ulike deler av matematikke for å løse oppgavee, og de skal kue bruke ulike represetasjoer. tagete 1/

3 Refleksjosklasse: Her er oppgavetypee mer sammesatte e ved forrige klasse og krever at elevee i tillegg har eve til å utvikle origiale løsigsstrategier. Kompetase kjeeteges ved at elevee selv må fie fram til hva som er oppgaves matematiske problem, og vise eve til kritisk tekig, aalyse og refleksjo (Lie m.fl. [2]). Når de overordede målee i matematikk ku tydeliggjør hvilke matematiske emeområder som skal læres, er det vaskelig å klargjøre hva matematikkudervisig skal gå ut på. Vi vet at det er lagt mer gjeomgripede forhold e pesumbeherskelse som gjør seg gjeldede i matematisk faglighet. Fare blir at e reduserer matematisk faglighet til rette og feile svar, oe som igje fører til et for lavt ambisjosivå for udervisige. E kompetasebeskrivelse av faget går lagt mer direkte på selve udervisige, for da vil e også sette fokus på ferdigheter som vaskelig lar seg teste i e skriftlig prøve. Lærere bør dermed sette flere krav til si udervisig, for eksempel bruke mer tid på kommuikasjo, der elevee får forklare hvorda de teker og forstår. E slik reduksjo av matematikkompetase ka sammeliges med å idetifisere språkbeherskelse med e liste over ordforråd og grammatiske regler e skal gjekjee og kue. Norsklærere har større ambisjoer for udervisige e at elevee bare lærer dette. De øsker at elevee skal forstå stoffets oppbyggig og idre sammeheg, og ikke mist være skapede og aalyserede i faget i forhold til et magfold av sjagrer og stilarter. E ka selvsagt uderstreke at dette ikke går ute et ordforråd og grammatikk, me ige vil heller mee at det i seg selv er ok for språkbeherskelse (Niss [4]). På samme måte blir det med matematikke. 14 Å ha matematisk kompetase kjeeteges ved å ha vite om, å forstå, utøve, avede og kue ta stillig til matematikk og matematisk virksomhet i et magfold av sammeheger. Dette impliserer aturligvis e magfoldighet av kokret vite og kokrete ferdigheter ie forskjellige matematiske områder, me matematisk kompetase ka ikke reduseres til disse forutsetigee. Beskrivelse av kompetasee Takegagskompetase Dee kompetase består først og fremt i det å være klar over hvilke typer spørsmål som er karakteristisk for matematikk, selv å kue stille slike spørsmål og ha blikk for hvilke typer av svar som ka forvetes. Matematisk takegag omfatter bevissthet rudt hvilke spørsmål som er karakteristiske for matematikk. Det vil også si å kjee, forstå og kue bruke matematiske begreper, kue abstrahere og geeralisere og kue skille mellom påstader, atagelser og bevis. For gruskole vil dette gjelde elemetær matematikk, det vil si grubegrepee for størrelse, tall og rom som det er aturlig at de respektive aldersgrupper befatter seg med (se NSMO [3]). Dee kompetase vil komme til sye gjeom dialog mellom elevee og mellom elevee og lærer. Elever med god takegagskompetase ka stille spørsmål som Fies det et tall som både er partall og oddetall? Hva betyr brøk egetlig? Hvorfor blir svaret større e det vi deler med år e deler med et tall midre e 1? Dee kompetase heger øye samme med resoemetskompetase, og til tider ka det være vaskelig å skille dem fra hveradre. Disse to kompetasee, samme med kommuikasjoskompetase blir også slått samme til e kompetaseprofil i de asjoale prøvee fra /2005 tagete

4 Slik jeg ser det, vil dee kompetase være e betydigsfull lærerkompetase. Det er viktig at lærere har eve til å stille gode spørsmål til elevee, spørsmål som får elevee til å reflektere. Ved hjelp av læreres ledede spørsmål klarer elevee selv å resoere seg frem til svar som gir isikt og forståelse. Her tror jeg vi har mye å lære, for vi har ofte e hige etter å gi elevee svaree med e gag de spør. Kaskje vi lagt oftere skulle stille spørsmål tilbake til elevee, og så la dem få tid til å teke og gjere komme med ye mer reflekterte spørsmål? Eksempelet med figurtall (edefor) viser læreres takegagskompetase i si dialog med elevee. Resoemetkompetase Kompetase i matematisk resoemet ieholder å kue teke ut og gjeomføre uformelle og formelle resoemeter, kue omforme resoemeter og atagelser til gyldige bevis og kue følge og bedømme matematiske resoemeter og forstå hva et bevis er (Niss m.fl. [5], s. 54). Dee kompetase er aktiv år e elev klarer å bedømme holdbarhete av e matematisk påstad, det iebærer også å overbevise seg selv og adre om evetuell gyldighet av dee. Det dreier seg både om regler og setigers riktighet, me også avgjørelse om at gitte svar på spørsmål, oppgaver eller problemer er korrekte og tilstrekkelige. Resoemetskompetase er de som aktiverer hvilke operasjoer e skal bruke i e regeoppgave, hvis dee aktiverige stiller krav til oppfisomhet, aalyseeve eller overblikk. Dee kompetase heger øye samme med både modellerigs- og problemløsigskompetase, og vi ka si at resoerigskompetase er disse kompetasees juridiske side, de som vurderer om svaret er rett eller galt (ibid. s. 210). Å forstå et resoemet er for eksempel å kue forstå utsag som: Toe har flere dukker e Kie, og Kie har flere dukker e Marit. Da har Toe flere dukker e Marit. Eksempel på å kue følge og forholde seg til et elemetært matematisk resoemet er: Utsag: Berit og Ae bor heholdsvis 1,5 og 2 km fra skole, så de må bo 3,5 km fra hveradre. Resoemet: Nei, det treger de ikke. Det ka jo være de bor på samme vei til skole, og da vil det bare være 0,5 km mellom dem. På baretriet vil elevees resoemeter være ituitive og uformelle eller kokrete, basert på spesifikke opptelliger, utregiger eller tegiger. Det er derfor ikke forvetet at de skal gjeomføre oe bevisførsel i e streg betydig av begrepet. Eksempelet som følger viser både takegags- og resoemetskompetase gjeom e aktivitet med figurtall. Arbeid med figurtall et udervisigsopplegg som legger til rette for utviklig av takegag- og resoemetskompetase. E fjerde klasse arbeider med figurtall. Lærere har satt elevee i gag med å lage ulike figurer ved hjelp av små kvadratiske brikker. Først skal elevee lage e figur der de ikke får bruke mer e 8 biter. Neste steg blir å lage e oelude tilsvarede figur, me de skal være større. Det iebærer at de må bruke flere brikker. Så skal de lage e tredje figur, som igje er større e de forrige, me lik i form. Lærere ber elevee fie ut hvor mage brikker de har brukt i hver figur. Kari og Lucie har fuet ut at de har brukt tagete 1/

5 8 biter i første figur, 25 biter i adre figur og 52 biter i tredje figur. Lærere observerer jetee i arbeidet, og kommer å med oe spørsmål: Ka dere fie ut hvor mage biter dere treger til fjerde figure, ute å legge de med biter? Nei, går det a? svarer jetee tvilede. Jo, jeg tror det! sier lærere og går et stykke ua jetee for å se hvorda de griper problemet a alee. Jetee diskuterer e stud seg i mellom før de spør: Ka vi få tege figure i stedet? Jetee får ruteark og teger de fjerde figure. De teller atall biter og kommer til 89. Så kommer lærere igje med ye spørsmål: Ka dere å fie ut hvor mage biter dere treger til de femte figure, og dee gage ute å tege de? Jetee ser rådville ut, så lærere kommer med et ytt tips: Hvis dere skriver ed alle tallee dere har fuet til å i et skjema, blir det litt mer oversiktelig. Lærere hjelper jetee i gag med å lage e tabell: 16 Figur r Atall biter Vokser med Hva forteller tallee dere? Ka dere fie oe møster i dem? Lærere trekker seg ok e gag litt i bakgrue, og lar jetee resoere seg frem på egehåd. Jetee begyer å studere tallee: Hvor mye større blir tallee fra figur til figur? Ka det være at figuree hele tide vokser med 10 mer e forrige gag? Det går ikke så veldig lag tid før de kommer med e hypotese: Mo tro om ikke det este figure vokser med 47? Lærer, vi tror at de femte figure vil ha 136 biter. De klarer este ikke sitte stille på stolee, og de este roper ut. Ka vi få tege å? Lærere syes det er e glimrede ide, og berømmer jetee for deres fremragede matematiske resoemet og fremgagsmåte. Det tar heller ikke lag tid før de forøyd ka kostatere at femte figur virkelig består av 136 biter. Går det a å fie ut hvor mage brikker dere treger til de 10. figure? spør lærere. Lucie støer litt: Da treger vi store ark til å tege på. Treger vi å fortsette å tege, tro? spør Kari. Hvis vi vet hvorda figuree vokser, ka vi kaskje rege det ut ute å tege? Jetee fier seg e kalkulator og går i gag med å fylle ut tabelle. Time er over for legst og deres medelever er gått ut, og lærere går til lusj. Da hu kommer tilbake, sitter jetee med store smil, og de ka fortelle at de tiede figure vil ha 521 biter! 1/2005 tagete

6 Kommuikasjoskompetase Kompetase i kommuikasjo ieholder det å kue sette seg i i og tolke adres matematikkholdige skriftlige, mutlige eller visuelle utsag og tekster. Det er å kue uttrykke seg om matematiske forhold på ulike måter og på forskjellig ivå av teoretisk og tekisk øyaktighet, både skriftlig, mutlig og visuelt for forskjellige kategorier av mottakere (ibid., s. 60). Vi ka gjere si at dee kompetase er todelt, i og med at kommuikasjoe skjer mellom avsedere og mottakere. På dee måte består dee kompetase dels i å forstå og tolke adre sie matematikkholdige tekster, både visuelle, skriftlige (f. eks.i bøker og i oppgaver) og mutlige (eks. lærere gir e grublis mutlig). Dette vil da betege de mottakede side av kommuikasjoskompetase. I tillegg treger elevee dee kompetase år de selv skal formidle sie matematiske kuskaper, for eksempel år de skal gjøre rede for et matematisk resoemet, Hvorda tekte du å? Hvorda kom du frem til svaret? og dette ka de gjøre skriftlig, mutlig eller visuelt gjeom f. eks. tegiger. Dette viser uttrykksside av kommuikasjoskompetase. Eksempler på vurderig av kommuikasjoskompetase hos to 4. klassiger Klasse jobber med problemløsigsoppgaver, såkalte grubliser, og lærere går rudt og sakker med elevee. Hu prøver å få elevee til å formidle hvorda de forstår oppgavee og hva de teker år de løser dem. Sissel klarer til e viss grad å forklare hva hu teker, me det er i et ekelt og dagligdags språk. Hu bruker lite et matematisk språk, som for eksempel sier hu ikke eere og tiere, me ord som begye bakerst år hu skal forklare hvorda hu teker i addisjosstykker. Hu er også i stor grad avhegig av kokreter for å forstå og forklare hva hu gjør. Hu viser dårlig begrepsforståelse, oe som igje reduserer hees muligheter til å forstå og sette seg i i de matematiske tekstee. Se eksempel fra dialoge mellom hee og lærer da hu arbeider med oppgave: Du har 80 kr og så kjøper du to flasker brus til 15 kr stykk. Hvor mye peger har du igje? Sissel resoerer: Jeg tar e tikroig, og så e til og så Hu er veldig usikker og lærer spør hvor mage tiere det er i 80. Det er , ei, Hu teger å 8 sirkler på papiret. Lærer hjelper videre og gjetar oppgave med at hu skal kjøpe to brus til 15 kr. Nå er hu veldig usikker, me sier forsiktig: Da ka jeg i hvert fall ta bort e tikroig Og så, ja, å må jeg teke tror du det går a til å ta kroer også? Nei, jeg forstår ikke hvorda jeg skal gjøre dette, sier hu fortvilt. Jeg klarer det ikke! Lærer hjelper hee videre, med å gjeta oppgave. Du har 80 kr og så skal du kjøpe deg brus. Hvor mye må du betale i kioske for bruse? Jeg må betale 20 kr eller blir det mer? Nå forslår lærer at hu teger ed pegee. Hu teger ed e tier og fem kroestykker og sier videre: så tar jeg e tier til Ka jeg veksle e tikroig, tror du? Til slutt klarer hu å fie frem til at det blir 30 kr, og teller seg frem til at hu da vil ha 50 kr igje av de 80. Lars på si side viser stor kompetase i kommuikasjo. Ha forklarer løsigee sie på e tydelig måte, og ha bruker et matematisk språk i sie forklariger. Ha sier blat aet hudreplass, og ha bruker helt aturlig tiere og eere. Lars har heller ige problemer med å forstå iholdet i problemløsigsoppgavee, og ha viser god begrepsforståelse. På oppgave Du har 4 poser med kjærligheter. tagete 1/

7 Det er 8 kjærligheter i hver pose. Hvor mage kjærligheter har du? viser ha at ha både har flere mulige løsigsmetoder og at ha klarer å formidle hvorda ha teker: Ha sier: er 32! Ha skriver ed 8 4 = 32 mes ha forklarer: Det er 8 i hver pakke og så er det 4 pakker, det blir 32. Jeg kue også ha skrevet det slik: = 32. Me jeg tekte slik: (8 + 8 = 16) = 32. Eksemplee illustrerer at dialoge med lærer er verdifull år vi skal vurdere elevee si matematiske kompetase. For å få et fullgodt bilde av kompetasee til elevee våre, er det ikke tilstrekkelig med e to timers prøve. Me dette vil jeg komme ærere i på i de este artikkele. Litteraturliste [1] Bergem, O. C. (2002) Utviklig av matematikkoppgaver i PISA. Hovedfagsoppgave levert til Istitutt for læreutdaig og skoleutviklig ved UiO. [2] Lie, S, Kjærsli, M, Roe, A og Turmo, A; Nasjoal hovedrapport PISA 2000: Godt rustet for framtida? Norske 15-årigers kompetase i lesig og realfag i et iterasjoalt perspektiv. Acta Didactica 4/2001 [3] Nasjoalt seter for matematikk i opplærige (NSMO); Iformasjo om de Nasjoale Prøver i matematikk. [4] Niss, M (1999). Kompetecer og uddaelsesbeskrivelse, Uddaelse 9: Damark [5] Niss, M, Jese, T. H. (2002) Utdaelsesstyrelses temahefter r ; Kompetacer og matematiklærig. Udervisigsmiisteriet, Købehav (fortsatt fra side 6) kubee. Følger ellers samme prisipp som for i tredje rekka. Setter X = Z 4, Y = ( Z + 1) 4. Formele blir da: Y = X + 3Z Z + 3Z Z + Z + Z + 3Z + 3Z Y = X + 4Z + 6Z + 4Z + 1 Løser vi ut Z får vi formele: Y = X + 4( X ) + 6( X ) + 4( X ) + 1. E geerell løsig Etter hvert begyte jeg å udre meg om det fates e geerell løsig for tall opphøyd i hva som helst. Jeg hadde begyt å teke på det allerede år jeg holdt på med kubikkrekka, me å så jeg e viss likhet mellom dee og formele for tall opphøyd i fjerde potes. Jeg prøvde med mage geerelle uttrykk ute å lykkes. Til slutt iså jeg at løsige var eklere e jeg hadde trodd. Ved å bruke de samme defiisjoer for Y og Z som tidligere, og år er aturlige tall, får vi: 2 Y = ( Z + 1 ). Da X = blir Z = X. Får da de geerelle likige: Z Y = ( X + 1 ). 18 1/2005 tagete

Hva er matematisk kompetanse?

Hva er matematisk kompetanse? Mona Røsseland Hva er matematisk kompetanse? Norge har nok en gang kommet dårlig ut i undersøkelser som viser elevers kompetanse i matematikk. Vi leter etter årsaker, og vi prøver å finne den riktige veien

Detaljer

Forkunnskaper i matematikk for fysikkstudenter. Derivasjon.

Forkunnskaper i matematikk for fysikkstudenter. Derivasjon. Defiisjo av derivert Vi har stor ytte av å vite hvor raskt e fuksjo vokser eller avtar Mer presist: Vi øsker å bestemme stigigstallet til tagete til fuksjosgrafe P Q Figure til vestre viser hvorda vi ka

Detaljer

Mer om utvalgsundersøkelser

Mer om utvalgsundersøkelser Mer om utvalgsudersøkelser I uderkapittel 3.6 i læreboka gir vi e kort iførig i takegage ved utvalgsudersøkelser. Vi gir her e grudigere framstillig av temaet. Populasjo og utvalg Ved e utvalgsudersøkelse

Detaljer

Påliteligheten til en stikkprøve

Påliteligheten til en stikkprøve Pålitelighete til e stikkprøve Om origiale... 1 Beskrivelse... 2 Oppgaver... 4 Løsigsforslag... 4 Didaktisk bakgru... 5 Om origiale "Zuverlässigkeit eier Stichprobe" på http://www.mathe-olie.at/galerie/wstat2/stichprobe/dee

Detaljer

EKSAMEN Løsningsforslag

EKSAMEN Løsningsforslag ..4 EKSAMEN Løsigsforslag Emekode: ITF75 Dato: 6. desember Eme: Matematikk for IT Eksamestid: kl 9. til kl. Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt ihold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer:

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Våren 2012

Eksamen REA3028 S2, Våren 2012 Eksame REA3028 S2, Våre 2012 Del 1 Tid: 2 timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave 1 (24 poeg) a) Deriver fuksjoee 1) 3 f x x 2x 3 2) 2 2

Detaljer

Kapittel 8: Estimering

Kapittel 8: Estimering Kaittel 8: Estimerig Estimerig hadler kort sagt om hvorda å aslå verdie å arametre som,, og dersom disse er ukjete. like arametre sier oss oe om oulasjoe vi studerer (dvs om alle måliger av feomeet som

Detaljer

Plan for fagdag 3. Plan: Litt om differanse- og summefølger. Sammenhengen a n a 1 n 1 i 1

Plan for fagdag 3. Plan: Litt om differanse- og summefølger. Sammenhengen a n a 1 n 1 i 1 Pla for fagdag 3 R2-18.11.10 Pla: Litt om differase- og summefølger. Sammehege a a 1 1 i 1 d i. Geometriske resoemet. Arbeidsoppgaver. Differase- og summefølger Regresjo med lommereger Differaser er ofte

Detaljer

Kapittel 10 fra læreboka Grafer

Kapittel 10 fra læreboka Grafer Forelesigsotat i Diskret matematikk torsdag 6. oktober 017 Kapittel 10 fra læreboka Grafer (utdrag) E graf er e samlig pukter (oder) og kater mellom puktee (eg. odes, vertex, edge). E graf kalles rettet

Detaljer

Eksamen REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål

Eksamen REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål Eksame 6.05.010 REA304 Matematikk R Nyorsk/Bokmål Bokmål Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : Vedlegg: Framgagsmåte: Veiledig om vurderige: 5 timer: Del 1 skal leveres

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Våren 2012

Eksamen REA3028 S2, Våren 2012 Eksame REA08 S, Våre 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (4 poeg) a) Deriver fuksjoee ) f f ) g e 4 4 4 g e e 4 g e e g e

Detaljer

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Eksame 20052009 REA3024 Matematikk R2 Nyorsk/Bokmål Bokmål Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Bruk av kilder: Vedlegg: Framgagsmåte: Veiledig om vurderige: 5 timer:

Detaljer

Differensligninger Forelesningsnotat i Diskret matematikk Differensligninger

Differensligninger Forelesningsnotat i Diskret matematikk Differensligninger Differesligiger Forelesigsotat i Diskret matematikk 017 Differesligiger I kapittel lærte vi om følger og rekker. Vi studerte både aritmetiske og geometriske følger og rekker. Noe følger og rekker er imidlertid

Detaljer

Avsnitt 8.1 i læreboka Differensligninger

Avsnitt 8.1 i læreboka Differensligninger Diskret Matematikk Fredag 6. ovember 015 Avsitt 8.1 i læreboka Differesligiger I kapittel lærte vi om følger og rekker. Vi studerte både aritmetiske og geometriske følger og rekker. Noe følger og rekker

Detaljer

Fagdag 2-3mx 24.09.07

Fagdag 2-3mx 24.09.07 Fagdag 2-3mx 24.09.07 Jeg beklager at jeg ikke har fuet oe ye morsomme spill vi ka studere, til gjegjeld skal dere slippe prøve/test dee gage. Istruks: Vi arbeider som valig med 3 persoer på hver gruppe.

Detaljer

Leseforståelse og matematikk

Leseforståelse og matematikk Leseforståelse og matematikk av guri a. ortvedt To studier av sammehege mellom leseforståelse og løsig av tekstoppgaver viser at ekelte elever ka mislykkes i oppgaveløsige fordi de tolker språket i oppgavee

Detaljer

Eksempeloppgave 2014. REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)

Eksempeloppgave 2014. REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Eksempeloppgave 2014 REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksame våre 2015 etter y ordig Ny eksamesordig Del 1: 3 timer (ute hjelpemidler) Del 2: 2 timer (med hjelpemidler) Mistekrav til digitale verktøy

Detaljer

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 12. desember 2008

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 12. desember 2008 Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL. desember 8 EKSAMEN I MATEMATIKK, Utsatt røve Modul 5 studieoeg Tid: 5 timer Ogavesettet er å sider (ikludert formelsamlig).

Detaljer

Eksamen 20.05.2009. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 20.05.2009. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål Eksame 20052009 REA3024 Matematikk R2 Nyorsk/Bokmål Nyorsk Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Bruk av kjelder: Vedlegg: Framgagsmåte: Rettleiig om vurderiga: 5 timar:

Detaljer

OM TAYLOR POLYNOMER. f x K f a x K a. f ' a = lim x/ a. f ' a z

OM TAYLOR POLYNOMER. f x K f a x K a. f ' a = lim x/ a. f ' a z OM TAYLOR POLYNOMER I dette otatet, som utfyller avsitt 6. i Gullikses bok, skal vi se på Taylor polyomer og illustrere hvorfor disse er yttige. Det å berege Taylor polyomer for håd er i prisippet ikke

Detaljer

Eksamen 21.05.2013. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 21.05.2013. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål Eksame 21.05.2013 REA3024 Matematikk R2 Nyorsk/Bokmål Nyorsk Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: 5 timar: Del 1 skal leverast i etter 2 timar. Del 2 skal leverast

Detaljer

Totalt Antall kandidater oppmeldt 1513 Antall møtt til eksamen 1421 Antall bestått 1128 Antall stryk 247 Antall avbrutt 46 % stryk og avbrutt 21%

Totalt Antall kandidater oppmeldt 1513 Antall møtt til eksamen 1421 Antall bestått 1128 Antall stryk 247 Antall avbrutt 46 % stryk og avbrutt 21% TMA4100 Høste 2007 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Kommetarer til eksame Dette dokumetet er e oppsummerig av erfarigee fra sesure av eksame i TMA4100 Matematikk

Detaljer

EKSAMEN Løsningsforslag

EKSAMEN Løsningsforslag 7. jauar 7 EKSAMEN Løsigsforslag Emekode: ITF75 Dato: 4. desember 6 Hjelpemidler: - To A4-ark med valgfritt ihold på begge sider. Emeav: Matematikk for IT Eksamestid: 9. 3. Faglærer: Christia F Heide Kalkulator

Detaljer

FØLGER, REKKER OG GJENNOMSNITT

FØLGER, REKKER OG GJENNOMSNITT FØLGER, REKKER OG GJENNOMSNITT Espe B. Lagelad realfagshjoret.wordpress.com espebl@hotmail.com 9.mars 06 Iledig E tallfølge er e serie med tall som kommer etter hveradre i e bestemt rekkefølge. Kvadrattallee

Detaljer

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK Temahefte r Hvorda du reger med poteser Detaljerte forklariger Av Matthias Loretze mattegriseforlag.com Opplsig: E potes er e forkortet skrivemåte for like faktorer. E potes består

Detaljer

Statistikk og økonomi, våren 2017

Statistikk og økonomi, våren 2017 Statistikk og økoomi, våre 07 Obligatorisk oppgave 6 Løsigsforslag Oppgave E terig kastes 0 gager, og det registreres hvor mage 6-ere som oppås i løpet av disse 0 kastee. Vi ka kalle atall 6-ere i løpet

Detaljer

Norsk 10.trinn

Norsk 10.trinn Period e - uke Itesiv uke 39 og e time i uka gjeo m reste av skoleår et Eme/Hovedo mråde (K-06) Nyorsk Ugdomslitteratur Språk og kultur Skriftlige tekster Kompetasemål (K-06) Delmål/lærigsmål (settes på

Detaljer

Eksempeloppgave 2014. REA3026 Matematikk S1 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)

Eksempeloppgave 2014. REA3026 Matematikk S1 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Eksempeloppgave 04 REA306 Matematikk S Eksempel på eksame våre 05 etter y ordig Ny eksamesordig Del : 3 timer (ute hjelpemidler) Del : timer (med hjelpemidler) Mistekrav til digitale verktøy på datamaski:

Detaljer

Matematikk for IT. Oblig 7 løsningsforslag. 16. oktober

Matematikk for IT. Oblig 7 løsningsforslag. 16. oktober Matematikk for IT Oblig 7 løsigsforslag. oktober 7..8 a) Vi skal dae kodeord som består av sifree,,,, 7. odeordet er gldig dersom det ieholder et like atall (partall) -ere. Dee løses på samme måte som..:

Detaljer

Metoder for politiske meningsmålinger

Metoder for politiske meningsmålinger Metoder for politiske meigsmåliger AV FORSKER IB THOMSE STATISTISK SETRALBYRÅ Beregigsmetodee som brukes i de forskjellige politiske meigsmåliger har vært gjestad for mye diskusjo i dagspresse det siste

Detaljer

Fotball krysser grenser (konfirmanter Ålgård og Gjesdal)

Fotball krysser grenser (konfirmanter Ålgård og Gjesdal) 1 Fotball krysser greser (kofirmater Ålgård og Gjesdal) Øsker du e ide til et praktisk rettet prosjekt/aksjo der kofirmater ka bidra til de fattige dele av verde? Her har du et ferdig opplegg for hvorda

Detaljer

IN3030 Uke 12, v2019. Eric Jul PSE, Inst. for informatikk

IN3030 Uke 12, v2019. Eric Jul PSE, Inst. for informatikk IN3030 Uke 12, v2019 Eric Jul PSE, Ist. for iformatikk 1 Hva skal vi se på i Uke 12 Review Radix sort Oblig 4 Text Program Parallellizig 2 Oblig 4 Radix sort Parallelliser Radix-sorterig med fra 1 5 sifre

Detaljer

EKSAMEN løsningsforslag

EKSAMEN løsningsforslag 05.0.08 EKSAMEN løsigsforslag Emekode: ITF0705 Dato: 5. desember 07 Hjelpemidler: - To A4-ark med valgfritt ihold på begge sider. Emeav: Matematikk for IT Eksamestid: 09.00 3.00 Faglærer: Christia F Heide

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO. De forskningsintensive universitetenes rolle. UiOs innspill til Forskningsmeldingen 2009

UNIVERSITETET I OSLO. De forskningsintensive universitetenes rolle. UiOs innspill til Forskningsmeldingen 2009 UNIVERSITETET I OSLO Kuskapsdepartemetet Postboks 8119 Dep Postboks 1072, Blider 0032 Oslo 0316 OSLO Dato: 02.01.2009 Vår ref.: 2008/20593 Deres ref.: Telefo: 22 85 63 01 Telefaks: 22 85 44 42 E-post:

Detaljer

Terminprøve R2 Høsten 2014

Terminprøve R2 Høsten 2014 Termiprøve R Høste 04 Del Tid: 3 timer Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave (6 poeg) E flate i rommet er gitt ved likige: x 4x y 6y z 8z 0 0 a) Vis at puktet P3, 5, ligger på flate b) Vis at dette er e kuleflate

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen 9. desember 2013

TMA4245 Statistikk Eksamen 9. desember 2013 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksame 9. desember 2013 Oppgave 1 I kortspillet Blackjack får ma de høyeste geviste hvis de to første kortee ma

Detaljer

MA1101 Grunnkurs Analyse I Høst 2017

MA1101 Grunnkurs Analyse I Høst 2017 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag MA0 Grukurs Aalyse I Høst 07 Løsigsforslag Øvig..b) Vi skriver om 7 = 4 4 7 Korollar.. gir at 7 4 er irrasjoal (side vi vet 7 4 er

Detaljer

Eksamen S2, Høsten 2013

Eksamen S2, Høsten 2013 Eksame S, Høste 013 Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler. Oppgave 1 (4 poeg) Deriver fuksjoee 1 x a) fx b) gx 5x 1 5 c) hx x e x 3 Oppgave (5 poeg)

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen mai 2017

TMA4245 Statistikk Eksamen mai 2017 TMA445 Statistikk Eksame mai 07 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsskisse Oppgave a Når vi reger ut disse tre sasylighetee må ma huske på at de mulige verdiee

Detaljer

8 + 2 n n 4. 3n 4 7 = 8 3.

8 + 2 n n 4. 3n 4 7 = 8 3. Seksjo 4. Oppgave (). Fi greseverdiee: 8 a) 4 + 4 7 b) 4 +7 5 c) + 7 4 ( ) d) 5 4 44 + 5 4 e) 5 + si() e +6 5 Løsig. Vi vil bruke samme metode som i Eksempel 4..5 fra boke i disse oppgavee. Når vi skal

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høst 04 Løsigsforslag Øvig 3 Review Exercises, side 454 Vi starter med å tege e figur av e skål med va: z A(z)

Detaljer

Konfidensintervall. Notat til STK1110. Ørnulf Borgan, Ingrid K. Glad og Anders Rygh Swensen Matematisk institutt, Universitetet i Oslo.

Konfidensintervall. Notat til STK1110. Ørnulf Borgan, Ingrid K. Glad og Anders Rygh Swensen Matematisk institutt, Universitetet i Oslo. Kofidesitervall Notat til STK1110 Ørulf Borga, Igrid K. Glad og Aders Rygh Swese Matematisk istitutt, Uiversitetet i Oslo August 2007 Formål E valig metode for å agi usikkerhete til et estimat er å berege

Detaljer

Kap. 9: Inferens om én populasjon. Egenskaper ved t-fordelingen. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere. I Kapittel 8 brukte vi observatoren

Kap. 9: Inferens om én populasjon. Egenskaper ved t-fordelingen. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere. I Kapittel 8 brukte vi observatoren 2 Kap. 9: Iferes om é populasjo I Kapittel 8 brukte vi observatore z = x μ σ/ for å trekke koklusjoer om μ. Dette krever kjet σ (urealistisk). ST0202 Statistikk for samfusvitere Bo Lidqvist Istitutt for

Detaljer

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>.

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>. 1 ECON130: EKSAMEN 013 VÅR - UTSATT PRØVE TALLSVAR. Det abefales at de 9 deloppgavee merket med A, B, teller likt uasett variasjo i vaskelighetsgrad. Svaree er gitt i

Detaljer

Eksamen REA3028 Matematikk S2. Nynorsk/Bokmål

Eksamen REA3028 Matematikk S2. Nynorsk/Bokmål Eksame 9.11.013 REA308 Matematikk S Nyorsk/Bokmål Nyorsk Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del : 5 timar: Del 1 skal leverast i etter timar. Del skal leverast i seiast

Detaljer

S2 kapittel 1 Rekker Løsninger til innlæringsoppgavene

S2 kapittel 1 Rekker Løsninger til innlæringsoppgavene Løsiger til ilærigsoppgavee kapittel Rekker Løsiger til ilærigsoppgavee a Vi ser at differase mellom hvert ledd er 4, så vi får det este leddet ved å legge til 4 Det este leddet blir altså 6 + 4 = 0 b

Detaljer

Registrarseminar 1. april 2003. Ingrid Ofstad Norid

Registrarseminar 1. april 2003. Ingrid Ofstad Norid Registrarsemiar 1. april 2003 Igrid Ofstad Norid Statistikk 570 har fått godkjet søkad om å bli registrar ca. 450 registrarer er aktive i dag 2 5 ye avtaler hver uke på semiaret deltar både registrarer

Detaljer

Rapport GPS prosjekt - Ryggeheimen sykehjem, Rygge

Rapport GPS prosjekt - Ryggeheimen sykehjem, Rygge Rapport GPS prosjekt - Ryggeheime sykehjem, Rygge Bruk av GPS på sykehjem Elisabeth Refses/ Siv Skaldstad Tidspla:1/3 10 1/10 10. Orgaiserig: Styrigsgruppe: Åse Nilsse, Ove Keeth Kvige, Elisabeth Breistei,

Detaljer

Econ 2130 uke 15 (HG) Poissonfordelingen og innføring i estimering

Econ 2130 uke 15 (HG) Poissonfordelingen og innføring i estimering Eco 130 uke 15 (HG) Poissofordelige og iførig i estimerig 1 Poissofordelige (i) Tilærmig til biomialfordelige. Regel. ( Poissotilærmelse ) Ata Y ~ bi(, p) E( Y ) = p og var( Y ) = p(1 p). Hvis er stor

Detaljer

AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE

AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE Eme: Diskret matematikk Gruppe(r): Emekode: FO 019A Dato: 12.12.200 Faglig veileder: Ulf Uttersrud Eksamestid: 9-14 Eksamesoppgave består av: Atall sider

Detaljer

Obligatorisk oppgave nr. 3 i Diskret matematikk

Obligatorisk oppgave nr. 3 i Diskret matematikk 3. obligatoriske oppgave i Diskret matematikk høste 08. Obligatorisk oppgave r. 3 i Diskret matematikk Ileverigsfrist. ovember 08 Oppgave er frivillig og tregs ikke leveres, me hvis dere leverer de ie

Detaljer

Detaljert løsningsveiledning til ECON1310 seminaroppgave 9, høsten der 0 < t < 1

Detaljert løsningsveiledning til ECON1310 seminaroppgave 9, høsten der 0 < t < 1 Detaljert løsigsveiledig til ECON30 semiaroppgave 9, høste 206 Dee løsigsveiledige er mer detaljert e det et fullgodt svar på oppgave vil være, og mer utfyllede e e valig fasit. De er met som e guide til

Detaljer

-drøfte verdivalg og aktuelle temaer i samfunnet lokalt og globalt: sosialt og økologisk ansvar, teknologiske utfordringer, fredsarbeid og demokrati

-drøfte verdivalg og aktuelle temaer i samfunnet lokalt og globalt: sosialt og økologisk ansvar, teknologiske utfordringer, fredsarbeid og demokrati Fagpla i KRLE. Plae er veiledede, det ka bli edriger uderveis. 9.tri UKE TEMA ARBEIDSMÅTER OG INNHOLD 34-37 Meesker ettigheter, fredsarbei d og demokrati. -drøfte etiske spørsmål kyttet til meeskeverd

Detaljer

Løsning eksamen R1 våren 2010

Løsning eksamen R1 våren 2010 Løsig eksame R våre 00 Oppgave a) ) f ( ) l f ( ) ' l l l l f ( ) (l ) ) g( ) 4e g( ) 4 e ( ) 4 e ( ) g( ) 4( ) e b) ( ) 4 4 6 P ) P() 4 4 6 8 6 8 6 0 Divisjo med ( ) går opp. 4 4 6 : ( ) 8 4 4 8 6 8 6

Detaljer

X = 1 5. X i, i=1. som vil være normalfordelt med forventningsverdi E( X) = µ og varians Var( X) = σ 2 /5. En rimelig estimator for variansen er

X = 1 5. X i, i=1. som vil være normalfordelt med forventningsverdi E( X) = µ og varians Var( X) = σ 2 /5. En rimelig estimator for variansen er Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalte oppgaver 11, blokk II Løsigsskisse Oppgave 1 a) E rimelig estimator for forvetigsverdie µ er gjeomsittet X = 1 X i, som

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Våren 2010

Eksamen REA3028 S2, Våren 2010 Eksame REA308 S, Våre 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave 1 (6 poeg) a) Deriver fuksjoee: 1) f xx lx ) gx 3 e x b) Gitt

Detaljer

Eksamen R2, Høsten 2010

Eksamen R2, Høsten 2010 Eksame R, Høste 00 Del Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (6 poeg) a) Deriver fuksjoee ) f l f ( ) l l (l ) ) g( ) si cos f si

Detaljer

8 (inkludert forsiden og formelsamling) Tegne- og skrivesaker, kalkulator, formelsamling (se vedlagt).

8 (inkludert forsiden og formelsamling) Tegne- og skrivesaker, kalkulator, formelsamling (se vedlagt). Eksamesoppgave våre 011 Ordiær eksame Bokmål Fag: Matematikk Eksamesdato: 10.06.011 Studium/klasse: GLU 5-10 Emekode: MGK00 Eksamesform: Skriftlig Atall sider: 8 (ikludert forside og formelsamlig) Eksamestid:

Detaljer

3 Svangerskapsomsorgen

3 Svangerskapsomsorgen 3 Svagerskapsomsorge 3 - TIGRIS 1 Ihold 1 Svagerskapsomsorges asvar for rusmiddel problematikk hos gravide og i småbarsfamilier.................................................... 3 1.1 Målsettiger.............................................................

Detaljer

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130 1 HG Revidert april 014 Oversikt over kofidesitervall i Eco 130 Merk at dee oversikte ikke er met å leses istedefor framstillige i Løvås, me som et supplemet. De ieholder tabeller med formler for kofidesitervaller

Detaljer

FORFATTER(E) Jan-W. Lippestad og Trond Harsvik OPPDRAGSGIVER(E) Rikstrygdeverket. Nanna Stender, Mari K. Rollag og Kristian Munthe

FORFATTER(E) Jan-W. Lippestad og Trond Harsvik OPPDRAGSGIVER(E) Rikstrygdeverket. Nanna Stender, Mari K. Rollag og Kristian Munthe SINTEF RAPPORT TITTEL SINTEF Uimed Postadresse: Boks 124, Blider 0314 Oslo Besøksadresse: Forskigsveie 1 Telefo: 22 06 73 00 Telefaks: 22 06 79 09 Foretaksregisteret: NO 948 007 029 MVA Evaluerig av hevisigsprosjektet

Detaljer

Terminprøve R2 Høsten 2014 Løsning

Terminprøve R2 Høsten 2014 Løsning Termiprøve R Høste 04 Løsig Del Tid: 3 timer Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave (6 poeg) E flate i rommet er gitt ved likige: x 4x y 6y z 8z 0 0 a) Vis at puktet P3, 5, ligger på flate Puktet P3, 5, ligger

Detaljer

Forventningsverdi. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Forventningsverdi. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V Sasylighetsregig og kombiatorikk Forvetigsverdi Sasylighetsfordelige til e tilfeldig variabel X gir sasylighete for de ulike verdiee X ka ata Forvetig, varias og stadardavvik Tilærmig av biomiske

Detaljer

3 Svangerskapsomsorgen

3 Svangerskapsomsorgen 3 Svagerskapsomsorge 3 - TIGRIS 1 Ihold 1 Svagerskapsomsorges asvar for rusmiddel problematikk hos gravide og i småbarsfamilier...3 1.1 Målsettiger...3 1.2 Verdigrulag og holdiger...3 1.3 Forakrig i lovverk

Detaljer

Kommentarer til oppgaver;

Kommentarer til oppgaver; Kapittel - Algebra Versjo: 11.09.1 - Rettet feil i 0, 1 og 70 og lagt i litt om GeoGebra-bruk Kommetarer til oppgaver; 0, 05, 10, 13, 15, 5, 9, 37, 5,, 5, 59, 1, 70, 7, 78, 80,81 0 a) Trykkfeil i D-koloe

Detaljer

Faglærer går normalt én runde gjennom lokalet. Ha evt. spørsmål klare!

Faglærer går normalt én runde gjennom lokalet. Ha evt. spørsmål klare! Side 1 av 6 Noe viktige pukter: (i) (ii) (iii) (iv) Les hele eksamessettet øye før du begyer! Faglærer går ormalt é rude gjeom lokalet. Ha evt. spørsmål klare! Skriv svaree die i svarrutee og levér i oppgavearket.

Detaljer

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 16. mai 2008

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 16. mai 2008 Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL 6. mai 008 EKSAMEN I MATEMATIKK Modul 5 studiepoeg Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 8 sider (ikludert formelsamlig). Hjelpemidler:

Detaljer

Globalisering og ny regionalisme

Globalisering og ny regionalisme Parterforum 1. November 2013 Globaliserig og y regioalisme Kosekveser for Norge og orsk offetlig sektor Kjell A. Eliasse Ceter for Europea ad Asia Studies Norwegia Busiess School - BI Kjell A Eliasse,

Detaljer

2T kapittel 3 Modellering og bevis Utvalgte løsninger oppgavesamlingen

2T kapittel 3 Modellering og bevis Utvalgte løsninger oppgavesamlingen T kapittel 3 Modellerig og bevis Utvalgte løsiger oppgavesamlige 301 a Sitthøyde i 1910 blir 170,0 171, 4 170,7. I 1970 blir de 177,1 179, 4 178,3. b Med som atall år etter 1900 og y som sitthøyde i cetimeter

Detaljer

2 Algebra R2 Oppgaver

2 Algebra R2 Oppgaver 2 Algebra R2 Oppgaver 2 Tallfølger 2 22 Tallrekker 8 23 Uedelige geometriske rekker 5 24 Iduksjosbevis 20 25 Eksamesoppgaver 2 Øvigsoppgaver Stei Aaese og Olav Kristese/NDLA Eksamesoppgavee er hetet fra

Detaljer

AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE

AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE Eme: Diskret matematikk Gruppe(r): Eksamesoppgave består av: Atall sider (ikl forside): 5 Emekode: FO 9A Dato: 69 Atall oppgaver: Fagasvarlig: Ulf Uttersrud

Detaljer

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130 HG April 00 Oversikt over kofidesitervall i Eco 30 Merk at dee oversikte ikke er met å leses istedefor framstillige i Løvås, me som et supplemet. Løvås ieholder mage verdifulle kommetarer og eksempler.

Detaljer

Tallsystemer. Læringsmål. Posisjonstallsystemer. Potensregning en kort repetisjon 123 = = 7B 16. Forstå posisjonstallsystemer

Tallsystemer. Læringsmål. Posisjonstallsystemer. Potensregning en kort repetisjon 123 = = 7B 16. Forstå posisjonstallsystemer Forstå posisjostallsystemer Lærigsmål Tallsystemer Kue biærtall og heksadesimale tall Kue kovertere mellom ulike tallsystemer: Ti 3 = = 7B 6 (Kapittel 6 + 7.-7.3) Kue ekel regig med biærtall addisjo multiplikasjo

Detaljer

Oppgave 1. (i) Hva er sannsynligheten for at det øverste kortet i bunken er et JA-kort?

Oppgave 1. (i) Hva er sannsynligheten for at det øverste kortet i bunken er et JA-kort? ECON EKSAMEN 8 VÅR TALLSVAR Oppgave Vi har e kortstokk beståede av 6 kort. På av disse står det skrevet JA på forside mes det står NEI på forside av de adre kortee. Hvis ma får se kortet med bakside vedt

Detaljer

Kapittel 9: Mer kombinatorikk

Kapittel 9: Mer kombinatorikk MAT00 Disret Matemati Forelesig : Mer ombiatori Roger Atose Istitutt for iformati, Uiversitetet i Oslo Kapittel 9: Mer ombiatori 5. april 009 (Sist oppdatert: 009-04-5 00:06) MAT00 Disret Matemati 5. april

Detaljer

MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019

MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag MA0 Grukurs i aalyse II Vår 09 9 Vi har rekke Dette er e geometrisk rekke som beskrevet på side 50 i læreboka, med x (side ) Spesielt

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Våren 2011

Eksamen REA3028 S2, Våren 2011 Eksame REA08 S, Våre 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeg) a) Deriver fuksjoee ) f 5 f 6 5 ) g g ) h l 9 9 6 4 h l

Detaljer

Dersom vi skriver denne reaksjonslikningen ved bruk av kjemiske tegn: side av likningen har vi ett hydrogen mens vi har to på høyre side.

Dersom vi skriver denne reaksjonslikningen ved bruk av kjemiske tegn: side av likningen har vi ett hydrogen mens vi har to på høyre side. Støkiometri (megdeforhold) Det er særs viktig i kjemie å vite om megdeforhold om stoffer. -E hodepie tablett er bra mot hodesmerter, ti passer dårlig. -E sukkerbit i kaffe fugerer, 100 er slitsomt. -100

Detaljer

B Bakgrunnsinformasjon om ROS-analysen.

B Bakgrunnsinformasjon om ROS-analysen. RI SI KO- O G SÅRBARH ET SANALYSE (RO S) A Hva som skal utredes Beredskapog ulykkesrisiko(ros) vurderesut fra sjekklistefra Direktoratetfor samfussikkerhetog beredskap.aalyse blir utført ved vurderigav

Detaljer

STK1100 våren 2017 Estimering

STK1100 våren 2017 Estimering STK1100 våre 017 Estimerig Svarer til sidee 331-339 i læreboka Ørulf Borga Matematisk istitutt Uiversitetet i Oslo 1 Politisk meigsmålig Spør et tilfeldig utvalg på 1000 persoer hva de ville ha stemt hvis

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2016

TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalt øvig 11 Løsigsskisse Oppgave 1 a) E rimelig estimator for forvetigsverdie µ er gjeomsittet X = 1 X i, som vil være ormalfordelt

Detaljer

Algebra S2, Prøve 2 løsning

Algebra S2, Prøve 2 løsning Algebra S, Prøve løsig Del Tid: 90 mi Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave I rekkee edefor får du oppgitt a og e rekursiv formel for a. Du skal. skrive opp de fire første leddee og avgjøre om rekka er aritmetisk,

Detaljer

Kap. 9: Inferens om én populasjon

Kap. 9: Inferens om én populasjon 2 ST0202 Statistikk for samfusvitere Bo Lidqvist Istitutt for matematiske fag Ka. 9: Iferes om é oulasjo Hvis σ er ukjet bytter vi ut σ med s i Ny observator blir t = x μ s/ z = x μ σ/ der s = Σx 2 (Σx)

Detaljer

Kraftforsyningsberedskap. Roger Steen Seniorrådgiver Beredskapsseksjonen NVE, rost@nve.no

Kraftforsyningsberedskap. Roger Steen Seniorrådgiver Beredskapsseksjonen NVE, rost@nve.no Kraftforsyigsberedskap Roger Stee Seiorrådgiver Beredskapsseksjoe NVE, rost@ve.o Beredskapsasvar Olje- og eergidepartemetet har det overordede asvaret for ladets kraftforsyig. Det operative asvaret for

Detaljer

Løsningsforslag R2 Eksamen 04.06.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag R2 Eksamen 04.06.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsigsforslag R2 Eksame 6 Vår 04.06.202 Nebuchadezzar Matematikk.et Øistei Søvik Sammedrag De fleste forlagee som gir ut lærebøker til de videregåede skole, gir ut løsigsforslag til tidligere gitte eksameer.

Detaljer

Estimering 1 -Punktestimering

Estimering 1 -Punktestimering Estimerig 1 -Puktestimerig Dekkes av kap. 8, 9.1-9.3 og 9.15/9.14. Vi har til å settpå e rekke forskjellige sasylighetsfordeliger og sett hvorda disse ka brukes til å modellere mage forskjellige typer

Detaljer

Tema. Statistikk og prøvetakning. Hvorfor måle mer enn en gang? Fordelinger en innledning. Hvorfor måle mer enn en gang

Tema. Statistikk og prøvetakning. Hvorfor måle mer enn en gang? Fordelinger en innledning. Hvorfor måle mer enn en gang Tema Statistikk og prøvetakig Marti Veel Svedse Trodheim, 31. jauar 017 Hvorfor måle mer e e gag praktisk tilærmig til statistikk Basis statistiske begreper Best. r 450 krav/veiledig til måliger Eksempler

Detaljer

Årsplan i norsk - 2. klasse 2015-2016

Årsplan i norsk - 2. klasse 2015-2016 Årspla i orsk - 2. klasse 2015-2016 Atall timer pr uke: 8 timer Lærere: Elise Gjerpe Solberg og Gro Åkerlud Læreverk: Tuba Luba C og D hefter Arbeidsbok: «Jeg ka» og «ABC2 Elle» av Ae Lise Gjerdrum Nettsted:

Detaljer

1 TIGRIS Tidlig intervensjon i forhold til rusmiddelbruk i graviditet og småbarnsperiode

1 TIGRIS Tidlig intervensjon i forhold til rusmiddelbruk i graviditet og småbarnsperiode 1 TIGRIS Tidlig itervesjo i forhold til rusmiddelbruk i graviditet og småbarsperiode 1 - TIGRIS 1 Ihold 1 Bakgru for prosjektet........................................... 5 2 Prosjektkommuer....................................................

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2009

TMA4240 Statistikk Høst 2009 TMA440 Statistikk Høst 009 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer b4 Løsigsskisse Oppgave Øsker å fie 99% kofidesitervall for µ µ år vi atar ormalfordeliger

Detaljer

Numeriske metoder: Euler og Runge-Kutta Matematikk 3 H 2016

Numeriske metoder: Euler og Runge-Kutta Matematikk 3 H 2016 Numeriske metoder: Euler og Ruge-Kutta Matematikk 3 H 06 Iledig Differesiallikiger spiller e setral rolle i modellerigsproblemer i igeiør viteskap, matematikk, fsikk, aeroautikk, astroomi, damikk, elastisitet,

Detaljer

n 2 +1) hvis n er et partall.

n 2 +1) hvis n er et partall. TMA445 Statistikk Vår 04 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer, blokk II Oppgave Mediae til et datasett, X, er de midterste verdie. Hvis vi har stokastiske

Detaljer

2.1 Polynomdivisjon. Oppgave 2.10

2.1 Polynomdivisjon. Oppgave 2.10 . Polyomdivisjo Oppgave. ( 5 + ) : = + + ( + ):( ) 6 + 6 8 8 = + + c) ( + 5 ) : = + 6 6 d) + + + = + + = + + + 8+ ( ):( ) + + + Oppgave. ( + 5+ ):( ) 5 + + = + ( 5 ): 9 + + + = + + + 5 + 6 9 c) ( 8 66

Detaljer

Når du er i tvil om hva som bør gjøres! ETIKK FOR INGENIØRER OG TEKNOLOGER. Etikk som beslutnings- verktøy. Oppgaver til diskusjon

Når du er i tvil om hva som bør gjøres! ETIKK FOR INGENIØRER OG TEKNOLOGER. Etikk som beslutnings- verktøy. Oppgaver til diskusjon ETIKK FOR INGENIØRER OG TEKNOLOGER Når du er i tvil om hva som bør gjøres! Etikk som beslutigs- verktøy Nyttige verktøy for å hådtere arbeidshverdages dilemmaer Oppgaver til diskusjo Vi går fora vi har

Detaljer

OPPGAVE 4 LØSNINGSFORSLAG OPPGAVE 5 LØSNINGSFORSLAG UTVIKLING AV REKURSIV FORMEL FOR FIGURTALL SOM GIR ANDREGRADSFUNKSJONER

OPPGAVE 4 LØSNINGSFORSLAG OPPGAVE 5 LØSNINGSFORSLAG UTVIKLING AV REKURSIV FORMEL FOR FIGURTALL SOM GIR ANDREGRADSFUNKSJONER OPPGAVE 4 LØSNINGSFORSLAG Tallfølge i f) rektageltallee. Her er de eksplisitte formele R = ( +1) eller R = +. Dette er e adregradsfuksjo. I figurtallsammeheg forutsetter vi at de legste side er (øyaktig)

Detaljer

Estimering 1 -Punktestimering

Estimering 1 -Punktestimering Estimerig 1 -Puktestimerig Dekkes av kap. 8, 9.1-9.3 og 9.15/9.14. Vi har til å settpå e rekke forskjellige sasylighetsfordeliger og sett hvorda disse ka brukes til å modellere mage forskjellige typer

Detaljer

Eksamen REA3028 Matematikk S2. Nynorsk/Bokmål

Eksamen REA3028 Matematikk S2. Nynorsk/Bokmål Eksame 20.05.2009 REA3028 Matematikk S2 Nyorsk/Bokmål Nyorsk Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Bruk av kjelder: Vedlegg: Framgagsmåte: Rettleiig om vurderiga: 5

Detaljer

Introduksjon. Hypotesetesting / inferens (kap 3) Populasjon og utvalg. Populasjon og utvalg. Populasjonsvarians

Introduksjon. Hypotesetesting / inferens (kap 3) Populasjon og utvalg. Populasjon og utvalg. Populasjonsvarians Hypotesetestig / iferes (kap ) Itroduksjo Populasjo og utvalg Statistisk iferes Utvalgsfordelig (samplig distributio) Utvalgsfordelige til gjeomsittet Itroduksjo Vi øsker å få iformasjo om størrelsee i

Detaljer

Fakultet for teknologi, kunst og design Teknologiske fag Eksamen i: Diskret matematikk

Fakultet for teknologi, kunst og design Teknologiske fag Eksamen i: Diskret matematikk Fakultet for tekologi, kust og desig Tekologiske fag Eksame i: Diskret matematikk Målform: Bokmål Dato: 9. ovember 017 Tid: Atall sider (ikl. forside): 9 Atall oppgaver: 6 Tillatte hjelpemidler: Forhådsgodkjet

Detaljer