Eksamensoppgaver i Reguleringsteknikk 1 og Dynamiske systemer.

Transkript

1 Eksamensoppgaver i Reguleringsteknikk 1 og Dynamiske systemer. Eksamensoppgaver med løsningsforslag Redigert versjon av 00h, 00utsatt, 01h og 01utsatt samt disse eks. i Dynamiske systemer: 0h 0uts. 03 og 03 uts. 04h 04uts. 05 og 05 uts. 06 og 06 uts. Rolf Ingebrigtsen DS/EOSaml/13/11/007 Side EO.1 Rolf Ingebrigtsen

2 Innledning. Oppgavene i dette heftet er egentlig laget til faget Dynamiske Systemer på vt - 6 stp - slik det var fram til våren 004. Denne høsten er faget utvidet til 9 stp, med et utvidet pensum. Nytt er en økt fokus på den matematiske innholdet (komplekse tall og laplacetransformasjon), og noen emner er nye/utvidet (Bl.a. tilstandsromanalyse, transportforsinkelse, sammensatt frekvensrespons, stabilitet, impulsrespons). Eksamensoppgavene i dette heftet gir derfor ikke et fullstendig bilde av hva som er viktig i faget i dag og hva som kan bli gitt til høstens eksamen. Heftet inneholder dessuten omredigerte oppgaver gitt i et enda eldre fag, Reguleringsteknikk 1. De har vært utsatt for en viss redigering. Denne samlinga består av fire redigerte eksamensoppgaver i Reguleringsteknikk 1, og fire gitt i Dynamiske Systemer. Eksamenstid for samtlige oppgavesett før 006 er 3 klokketimer. Tillatte hjelpemidler var læreboka og bare den; sjølsagt sammen med fysiske og matematiske tabeller samt kalkulator. Dessuten er alle oppgavene utstyrt med et tillegg, som er en tabell med laplacetransformasjoner. Dette arket er sløyfet i de tre første oppgavesettene, og du finner det som vedlegg 1 helt bakerst, på s. EO.5. DS/EOSaml/13/11/007 Side EO. Rolf Ingebrigtsen

3 Om å løse eksamensoppgaver Hovedformålet med en eksamensbesvarelse er å dokumentere faglig kompetanse, vise at du forstår og kan løse problemer og oppgaver, og sist, men ikke minst: At du kan presentere løsningen på en logisk og forståelig måte. En førsteklasses eksamensbesvarelse inneholder derfor ikke bare svar, men også tekst som etablerer en sammenhengende, logisk flyt gjennom hele besvarelsen. (Da vil oppgavens innhold - stort sett - framgå av besvarelsen.) Derfor er det viktig å også legge vekt på formelle sider i presentasjonen av løsninga di. Momenter: Oppgavetolkning der oppgaven er diffus Figurer, som klargjør problemstillingen Definisjon av egne symboler, (gjerne i figur) Begrunnelser og forklaringer (korte men gode!) for o valg av løsningsmetoder o valg av kretsløsninger og eventuelle komponenter og komp.typer og verdier o eventuelle verdier/typer som ikke er direkte basert på utregninger. o utregninger. Ved utregninger er hovedregelen Formelsvar Innsetting av tall OG evt. SI-enheter evt. mellomsvar med flere siffer svar med fornuftig * ant. siffer OG evt. SI-enhet. Legg vekt på klarhet, oversikt, lesbarhet, lay-out NB! Bokreferanser hører normalt ikke hjemme i en eksamensbesvarelse, men siden oppgavesettene i boka mangler vedlegg med dataark for komponenter, så er det i dette heftet naturlig å gjøre det likevel. * Det vil si maks ved overslagsregning, og -3 ellers, avhengig av de konkrete tallene og den aktuelle nøyaktigheten. På neste side ser du hvordan førstesida på en eksamensoppgave i dette faget ser ut. DS/EOSaml/13/11/007 Side EO.3 Rolf Ingebrigtsen

4 Eksamen 5. desember 000 (Redigert) Oppgave 1 (8%) Gitt et system der pådraget u(t) påvirker utgangen y(t) slik: y'(t) = u(t) - b y(t) a)5% Ut i fra differensiallikninga foran kan vi straks si at den statiske forsterkningen fra u til y er (1/b). Hvordan ser vi det? b)5% Tegn elementært (detaljert) blokkdiagram for differensiallikninga. c)5% Finn transferfunksjonen mellom u og y. I resten av oppgaven skal du bruke b = 0,5 d)6% Skisser responsen på et sprang med høyde 1 (enhetssprang). NB! Denne skissen skal være laget slik at den viser systemets orden, statisk forsterkning og tidskonstant! e)7% Vi sender inn pådraget u(t) = 5sint. Finn et matematisk uttrykk for det stasjonære utsignalet y(t)! Oppgave (4%) I figuren til høyre er det vist et system der væskenivået y i en beholder påvirkes av innstrømmen q og utstrømmen v. Innstrømmen q kommer fra en inntappingsventil V 1 som styres av et pådrag u, (som regnes i %) og vi regner med at q = K v u, der K v = 3,5 (cm 3 /s)/%. Beholderen B har tverrsnittsarealet A = 70cm. Utstrømmen v fra beholderen har vi ingen kontroll over, og den er således å betrakte som en forstyrrelse. a)10% Sett opp prosessmodellen (ligningene) for systemet, og tegn elementært (detaljert) blokkskjema. b)6% Vis at det elementære blokkskjemaet i a) kan omformes (manipuleres) og tegnes slik som vist til høyre. c)8% Skissér bodediagram (både forsterkning og fase) for prosessen med u som inngang og y som utgang. v(s) u(s) V Innstrøm q [cm 3 /s] y [cm] A=70 cm Utstrøm v [cm 3 /s] 1 sa K 1 sa 1 B + Pådrag u (%) - y(s) Oppgave 3 (8%) Figuren til høyre viser et tilbakekoplet system som består av en avviksberegner som opererer på referansen r og målingen y, etterfulgt av en P-regulator med forsterkning K p. Regulatorutgangen u(s) er prosesspådrag, og y(s) er en utsignalet fra prosessen. a)6% Finn transferfunksjonen fra referansen r(s) til utgangen y(s). b)6% Hvor stor må K p til regulatoren være for at den relative dempingsfaktoren ζ skal bli 0,5? I resten av oppgaven skal du bruke K p = 0,5. c)8% Beregn polene for det tilbakekoplede systemet, og tegn dem inn i s-planet. d)8% Skisser responsen y etter et sprang i r med høyde 10 (det kreves ikke stor nøyaktighet). r(s) - e(s) K p u(s) s( s + 1) y(s) DS/EOSaml/13/11/007 Side EO.4 Rolf Ingebrigtsen

5 Eksamen 7. februar 001 (Redigert) Oppgave 1 (14%) Gitt et system der pådraget u(t) påvirker utgangen y(t) slik: y(t) = u(t) - 5y'(t) a)7% Tegn elementært (detaljert) blokkdiagram for differensiallikninga foran. b)7% Finn transferfunksjonen mellom u og y, og beregn responsen på et sprang med høyde 1 (enhetessprang) på inngangen. Oppgave (4%) 6 Et system har transferfunksjonen h( s) = mellom pådraget u(t) og utgangen y(t). s + a)8% Skisser responsen på et sprang med høyde 1 (enhetssprang). NB! Denne skissen skal være laget slik at den viser systemets orden, statisk forsterkning og tidskonstant! b)8% Skisser bodediagram (både forsterkning og fase) for prosessen. NB! Også denne skissen skal være laget slik at den viser alle systemets egenskaper. c)8% Vi sender inn pådraget u(t) = sin5t. Finn et matematisk uttrykk for det stasjonære utsignalet y s! Oppgave 3 (16%) I figuren til høyre er det vist et system der spenningen u UT (t) påvirkes av innspenningen u I (t). u I (t) R 1 C R u UT (t) a)8% Sett opp differensiallikninga for systemet! b)8% Beregn tidskonstant og statisk forsterkning når R 1 = R = 100kΩ, og C = 1,00µF. Oppgave 4 (30%) Figuren til høyre viser et tilbakekoplet system som består av en avviksberegner som opererer på referansen r og målingen y, etterfulgt av en P-regulator med forsterkning K p. Regulatorutgangen u(s) er prosesspådrag, og y(s) er en utsignalet fra prosessen. r(s) e(s) - K p u(s) 1 s( s + ) y(s) a)6% Finn transferfunksjonen fra referansen r(s) til utgangen y(s). b)6% Hvor stor må K p til regulatoren være for at den relative dempingsfaktoren ζ skal bli ½? c)10% Vi lar K p = 4. Skisser responsen y etter et sprang i r med høyde. Det skal være enheter tegnet inn på aksene. d)8% Beregn hvordan real- og imaginærdelen til polene for det tilbakekoplede systemet flytter seg i s-planet når K p varierer mens polene er komplekse. DS/EOSaml/13/11/007 Side EO.5 Rolf Ingebrigtsen

6 Eksamen høst 001. (Redigert). Oppgave 1 (18%) Inn på et system kommer et signal u(t), og ut av systemet kommer utgangssignalet y(t). Differensiallikninga for systemet er : y(t) = u(t) - 4y (t). a)7% Tegn detaljert blokkdiagram for systemet. b)5% Finn transferfunksjonen mellom u og y. c)6% Hva er den statiske forsterkningen og tidskonstanten for dette systemet. u(t) System y(t) Oppgave (1%) Et system har transferfunksjonen h(s) = 1/(10s+) a)6% Finn et matematisk uttrykk for responsen y(t) til systemet når inngangssignalet er et sprang med høyde 10. b)8% Skisser responsen på et sprang med høyde. NB! Denne skissen skal være laget slik at den viser systemets orden, statisk forsterkning og tidskonstant! c)7% Vi sender inn pådraget u(t) = sint. Finn et matematisk uttrykk for det stasjonære utsignalet y(t)! Oppgave 3 (11%) I figuren til høyre er det vist et system der væskenivået y(t) i en beholder påvirkes av innstrømmen v(t) og utstrømmen q(t). Utstrømmen q(t) styres ved hjelp av en avtappingsventil V 1 som styres av et pådrag u(t), (som regnes i %) og vi regner med at q(t) = K v u(t), der K v =,5 (cm 3 /s)/%. Beholderen B har tverrsnittsarealet A = 70cm. Innstrømmen v(t) inn i beholderen har vi ingen kontroll over, og den er derfor å betrakte som en forstyrrelse. a)6% Sett opp prosessmodellen (ligningene) for systemet. b)5% I en typisk arbeidssituasjon er u = 40%, og y = 50 cm (konstant). Hvor stor er vannstrømmen inn (v) da? Innstrøm v [cm 3 /s] V 1 B A=70 cm y [cm] Pådrag u (%) Utstrøm q [cm 3 /s] Oppgave 4 (8%) Figuren til høyre viser et direkte tilbakekoplet system som består av en avviksberegner som opererer på referansen r og målingen y, etterfulgt av en P-regulator med forsterkning K p. e(s) u(s) K p - s(4s + 1) Regulatorutgangen u(s) er prosesspådrag, og y(s) er utsignalet fra prosessen. DS/EOSaml/13/11/007 Side EO.6 Rolf Ingebrigtsen r(s) y(s)

7 a)5% Regulatorforsterkningen settes lik 1. Finn transferfunksjonen fra referansen r(s) til utgangen y(s). b)8% Beregn polene for det tilbakekoplede systemet, og tegn dem inn i s-planet. c)8% Skisser responsen y(t) etter et sprang i r med høyde 10. d)7% Hvor stor må K p til regulatoren være for at den relative dempingsfaktoren ζ skal bli 0,5? Oppgave 5 (%) (Er utenfor pensum i Dyn. Syst., og ikke tatt med her) Utsatt eksamen høst 001. (Redigert). Oppgave 1 (15%) Inn på et system kommer et signal u(t), og ut av systemet kommer utgangssignalet y(t). Differensiallikninga for systemet er : y(t) = 3u(t) - 5y (t). a)7% Hva er den statiske forsterkningen og tidskonstanten for dette systemet. b)8% Tegn detaljert blokkdiagram for systemet. u(t) System y(t) Oppgave (6%) Et system har innsignalet u(t) og utsignalet y(t). Transferfunksjonen mellom inngang og utgang h(s) = 3/(5s+) a)6% Finn et matematisk uttrykk for responsen y(t) til systemet når inngangssignalet er et enhetssprang. b)5% Finn ei differensiallikning for dette systemet! c)8% Skisser responsen på et sprang med høyde. NB! Denne skissen skal være laget slik at den viser systemets orden, statisk forsterkning og tidskonstant! d)7% Vi sender inn pådraget u(t) = 3sint. Finn et matematisk uttrykk for det stasjonære utsignalet y(t)! Innstrøm q 1 [cm 3 /s] Oppgave 3 (1%) I figuren til høyre er det vist et system der væskenivået y(t) i en beholder påvirkes av innstrømmen q 1 (t) og utstrømmen q (t). Når y stiger med 5,0 cm, så øker q med = 45,0 cm 3 /s, og vi antar at disse størrelsene er proporsjonale. Beholderen B har tverrsnittsarealet A = 54cm. Vi betrakter q 1 som innsignal og y som utsignal. a)6% Sett opp prosessmodellen (ligningene) for systemet. b)6% I en typisk arbeidssituasjon er q 1 konstant og lik 180 cm 3 /s, mens y er konstant. Hvor stort blir dette stasjonære væskenivået? V B A=54 cm y [cm] Utstrøm q [cm 3 /s] DS/EOSaml/13/11/007 Side EO.7 Rolf Ingebrigtsen

8 Oppgave 4 (16%) Et system av. orden har statisk forsterkning 4 og polene p 1, p = -3 ± 4j. a)5% Omtrent hvilken båndbredde vil dette systemet ha? b)5% Beregn den relative dempningsfaktoren ζ! c)6% Systemet har ingen nullpunkter. Hva er transferfunksjonen da? Oppgave 5 (15%) Figuren til høyre viser et direkte tilbakekoplet system som består av en avviksberegner som opererer på referansen r og målingen y, etterfulgt av en P-regulator med forsterkning K p. Regulatorutgangen u(s) er prosesspådrag, og y(s) er utsignalet fra prosessen. b)9% Hvor stor må K p til regulatoren være for at systemet skal være kritisk dempet? a)6% Hva skjer med den statisk forsterkning og båndbredde når regulatorkonstanten K p øker? Oppgave 6 (16%) - Gitt et reguleringssystem som vist i figuren til høyre. Bodediagrammet for prosessen H p er vist i figuren under, og der kan du avlese alt du trenger for å løse oppgavene. r(s) r(s) e(s) u(s) 1 K p - s(s + 1) K p Prosess H p (s) y(s) y(s) H p (jω) db [db] 10.0 h p (jω) [grader] Forsterkning 0 [db] Fase [grader] frekvens [rad/s] NB! Når du besvarer spørsmålene må du gjøre rede for hvordan svarene framkommer ut i fra kurvene. a)6% Hva er den statiske forsterkningen, og knekkfrekvensen for prosessen? c)5% Har denne prosessen komplekse eller reele poler? b)5% Utgår, ikke pensum etter 004. DS/EOSaml/13/11/007 Side EO.8 Rolf Ingebrigtsen

9 Eksamen høst 00 (Første i Dynamiske systemer): Oppgave 1 (6%) Et system har transferfunksjonen H(s) = 5/(4s+) a)7% Finn et matematisk uttrykk for responsen til systemet når inngangssignalet er et sprang med høyde 4. b)7% Skissér responsen i y på et sprang med høyde 4 i inngangssignalet. NB! Denne skissen skal være laget slik at den viser systemets orden, tidskonstant og statisk y-verdi! c)1% Vi sender inn pådraget u(t) = sin(t/). Finn et matematisk uttrykk for det stasjonære utsignalet y(t)! Oppgave (35%) Figuren til høyre viser et tilbakekoplet system som består av en summasjon (avviksberegner) som opererer på referansen r og utgangen y, etterfulgt av en P-regulator med forsterkning K p og en prosess med transferfunksjonen /(s(s+1)) Regulatorutgangen u(s) er prosesspådrag, og y(s) er en utsignalet fra prosessen. a)7% Finn transferfunksjonen H yr (s) fra referansen r(s) til utgangen y(s) uttrykt ved K p. b)16% Beregn polene for det tilbakekoplede systemet når K p =. Hvor stor er den relative dempingsfaktoren da? c)1% Hvor stor må K p til regulatoren være for at systemet skal få samme type frekvensrespons som et butterworthfilter? Hvor stor blir båndbredden da? r(s) u(s) System e(s) u(s) K p - s( s + 1) y(s) y(s) Oppgave 3 (39%) En fisk som vi kaller for Wanda ble fanget i fjor ne' på stranda. Nå bor den i "bur", og er nok litt sur, for'n står på menyen på manda'! Varmeelement u(t) [W] Akvarium med m = 45 kg vann y(t) [ºC] Q(t) [W] v(t) [ºC] Et akvarium inneholder m = 45 kg vann (pluss Wanda), og varmes opp ved hjelp av et varmeelement som tilføres en elektrisk effekt u. Temperaturen i vannet er y, og omgivelsestemperaturen er v. Den er lavere enn vanntemperaturen, og derfor blir det et varmetap Q fra akvariet og ut til omgivelsene. Dette varmetapet er proporsjonalt med temperaturforskjellen, og da kan vi skrive: (3-1) (y v) = R θ Q der R θ = 0,0 K/W Vi regner med 0 o C som nullpunkt for temperatur, og da er den termiske energien i vannet lik E = m c y, der c er spesifikk varmekapasitet på 4, kj/(kg K). Vi ser bort fra den termiske energien i akvarieveggene og i Wanda. Størrelsene u, y, v og Q varierer med tida (de er funksjoner av tida). DS/EOSaml/13/11/007 Side EO.9 Rolf Ingebrigtsen

10 a) 7% Sett opp og begrunn differensiallikninga for dette systemet. NB: Bruk de symbolske størrelsene m, c og R θ uten å sette inn verdier enda! I resten av oppgaven skal du helst bruke det du har gjort i punkt a), eventuelt gå ut i fra differensiallikninga under: Ay'(t) + y(t) = B u(t) + v(t) (A = 3, s ; B = 0,0 K/W ) b)8% Tegn detaljert blokkskjema for systemet. c)10% For de laplacetransformerte størrelsene kan vi skrive: y(s) = H yu (s) u(s) + H yv (s) V(s) Finn H yu (s) og H yv (s) uttrykt ved de symbolske størrelsene m, c og R θ (evt. A og B). d)14% Systemet er i en statisk situasjon med konstant elektrisk effekt, konstant omgivelsestemperatur på v s = 10 o C, og konstant vanntemperatur på y s = 5 o C. Så synker plutselig omgivelsestemperaturen v til 0 o C, der den igjen holder seg konstant. (Den elektriske effekten forandrer seg ikke.) Hvor lang tid tar det før vanntemperaturen har sunket til 0 o C? Utsatt eksamen høst 00 (13. februar 003): Oppgave 1 (35%) Et system har transferfunksjonen H(s) = 5/(s+) a)7% Finn et matematisk uttrykk for responsen til systemet når inngangssignalet er et sprang med høyde 4. b)7% Finn en differensiallikning for dette systemet! c)7% Tegn detaljert blokkskjema! Det skal inneholde én integrasjonblokk og to forsterkningsblokker! d)14% Bruk arket i vedlegget etter oppgavesettet og skissér det asymptotiske bode-diagrammet for amplitydeforsterkningen og fasen til dette systemet. (Bruk db (desibel) per delstrek på vertikalaksen for amplitydeforsterkningen, og 30 o. per delstrek for fasen.) Glem ikke å skrive på kandidatnummer! u(s) System y(s) Oppgave (3%) Figuren til høyre viser et tilbakekoplet system som består av en summasjon (avviksberegner) som opererer på referansen r og utgangen y, etterfulgt av en P-regulator med forsterkning K p og en prosess med transferfunksjonen 4/(s(s+1)) Regulatorutgangen u(s) er prosesspådrag, og y(s) er en utsignalet fra prosessen. r(s) e(s) u(s) 4 K p - s( s + 1) y(s) a)7% Finn transferfunksjonen H yr (s) fra referansen r(s) til utgangen y(s) uttrykt ved K p. DS/EOSaml/13/11/007 Side EO.10 Rolf Ingebrigtsen

11 b)7% Hvor stor er den relative dempingsfaktoren når K p = 1? c)11% Regn ut toppverdien til responsen og hvor lenge det går før den blir nådd! d)7% Tegn sprangresponsen til dette systemet når spranghøyden er,5. Bruk cm som enhet på den horisontale aksen! Oppgave 3 (33%) En varmtvannstank inneholder m = 10 kg vann. Varmtvannstanken er isolert for å redusere varmetapet til omgivelsene, og den varmes opp ved hjelp av et varmeelement som tilføres en elektrisk effekt u. Temperaturen i vannet er T, og omgivelsestemperaturen er T v, som er lavere enn vanntemperaturen. Derfor blir det et varmetap Q fra tanken og ut til omgivelsene, og det er proporsjonalt med temperaturforskjellen: Q = k (T T v ) der k =,8 W/K Vi regner med 0 o C som nullpunkt for temperatur, og da er den termiske energien i vannet lik E = m c T, der c er spesifikk varmekapasitet på 4, kj/(kg K). Vi ser bort fra den termiske energien i veggene til tanken. Størrelsene u, T, T v varierer med tida (de er funksjoner av tida). a) 5% I en typisk situasjon er omgivelsestemperaturen T v konstant lik 15 o C, og varmtvannstemperaturen T er konstant lik 75 o C. Hvor stor er den elektriske effekten u i varmeelementet da? b) 14% Sett opp, og begrunn differensiallikninga for varmtvannstemperaturen y uttrykt ved de symbolske størrelsene u, v, m, c og k foran, og vis at tidskonstanten for dette systemet er 50 timer. Siste del av oppgaven handler om hva som skjer når varmeelementet slås helt av mens tilstanden til systemet er som i punkt a). c)7% Skissér temperaturforløpet i en figur der du har satt mål på aksene! (Bruk 10 timer som enhet på tidsaksen) d)7% Regn ut hvor lang tid det går etter at varmeelementet er slått av før vanntemperaturen ikke lenger er over 5 o C. DS/EOSaml/13/11/007 Side EO.11 Rolf Ingebrigtsen

12 Vedlegg : Fag: LO356E Dato: Kand.nr. DS/EOSaml/13/11/007 Side EO.1 Rolf Ingebrigtsen

13 Eksamen høst 003 (10. desember 003): Oppgave 1 (6%) Et system har inngangssignalet u(t) og utgangssignalet y(t), som er knyttet sammen med hverandre slik: 3y(t) = 5u(t) - 6 y'(t) a)7% Tegn detaljert blokkskjema! (Det skal inneholde én integrasjonblokk, en summasjon og tre forsterkningsblokker!) b)7% Finn transferfunksjonen fra u(s) til y(s)! c)1% Skissér y(t) etter et sprang med høyde 6 i u(t). Sett enheter på aksene! Skissen skal vise systemets orden og den statiske y-verdien etter spranget. u(t) System y(t) Oppgave (6%) Figuren til høyre viser et lavpassfilter med induktans L = ½, kondensator C = 1/8 (uten enheter) og motstand R. u L R C y a)1%sett opp (utled) differensiallikningen(e) for dette systemet, og vis at transferfunksjonen blir: 0 V H ( s) = s 16 + R s + 16 b)7% Hvilken verdi må R ha for at dette skal være et butterworthfilter? c)7%vi sender inn pådraget u(t) = 5sin4t. Hvor stor blir amplityden til det stasjonære utgangssignalet y(t) dersom R =? Oppgave 3 (17%) a)7% Et system har transferfunksjonen H(s) = 10/(s+a) For hvilke verdier av a er dette et ubetinget stabilt system? H(jω) db [db] Forsterkning 0 [db] b)10%i figuren til høyre er det skissért et bodediagram for et annet system. Finn dette systemets transferfunksjon ut i fra bodediagrammet! Oppgave 4 (31%) For en spenningsstyrt, ankerdrevet elektromotor betrakter vi ankerspenningen u(t) og lastmomentet T L (t) som inngangsvariabler, mens rotasjonsfarten y(t) er utgangsvariabel frekvens [rad/s] Når vi ser bort fra ankerinduktansen og friksjonen, kan vi sette opp ligningene (1.1) og (1.) under: Fase [grader] H(jω) [grader] DS/EOSaml/13/11/007 Side EO.13 Rolf Ingebrigtsen

14 (1.1) u(t) = K e y(t) + R i(t) u(t): Ankerspenningen i(t) : Ankerstrømmen y(t) : Rotasjonsfarten (rad/s) (1.) J y (t) = K T i(t) - B y(t) - T L (t) J : Ankerets treghetsmoment K T : Momentkonstanten B : Dempekonstanten K e : Spenningskonstanten R : Ankerresistansen T L (t) : Lastmomentet Parameterverdier: R =,6 Ω; K e = 0,019 V/(rad/s); B =, Nm/(rad/s). Vi vil regne motoren som tapsfri. a)7% Forklar kort hvordan man kan gå fram for å måle spenningskonstanten K e! b)10%for de laplacetransformerte variablene kan vi uttrykke y(s) slik vha inn-variablene: y(s) = H yu (s). u(s) + H ytl (s). T L (s) når T L (0) og u(0) = 0. Bruk utrykkene (1.1) og (1.) foran til å finne transferfunksjonene H yu (s) og H ytl (s)! c)7% Vi regner med et statisk lastmoment på T Ls = 0,0065 Nm. Hva blir den statiske rotasjonsfarten y s med konstant ankerspenning u s = 10,0 V? d)7% I situasjonen i c) foran økes plutselig lastmomentet på motoren til en ny, fast verdi (dvs det kommer et sprang i T L ). Rotasjonsfarten y(t) synker da slik som vist i figuren til høyre. Bruk denne figuren sammen med det du gjorde under punkt b) til å finne treghetsmomentet J for denne motoren!. Figur : Tidsforløp for y(t) ved sprang i T L ved t = rad/s 340 rad/s Utsatt eksamen høst 003 (16. februar 004): t=0 0, 0,4 0,6 0,8 Tid (s) Oppgave 1 (6%) Et system har inngangssignalet u(t) og utgangssignalet y(t), som er knyttet sammen med hverandre slik: y(t) + 3 y'(t) = 6u(t) a)7% Tegn detaljert blokkskjema! (Det skal inneholde én integrasjonblokk og tre forsterkningsblokker!) b)7% Finn transferfunksjonen fra u(s) til y(s)! c)1% Vi sender inn pådraget u(t) = sin t. Da vil det stasjonære utgangssignalet y(t) være av typen y(t) = Y a sin(t+φ). Beregn Y a og φ! u u(t) L System R C y(t) y 0 V DS/EOSaml/13/11/007 Side EO.14 Rolf Ingebrigtsen

15 Oppgave (33%) Figuren til høyre viser et lavpassfilter med induktans L, kondensator C og motstand R. a)1%sett opp (utled) differensiallikningen(e) for dette systemet, og vis at når vi setter inn 1 for L og C, så blir transferfunksjonen H yu (s) fra u til y: H yu ( s) = s + 1 s / R + 1 b)7% Hvilken verdi må R ha for at den relative dempingsfaktoren skal være 0,5? c)14%vi lar R =. I en situasjon der u = y = 0, gjør innsignalet u et sprang fra 0 til 10 V. Hvor lang tid går det da før responsen y(t) når sin høyeste verdi, og hvor stor er denne maksimumsverdien? H(jω) db [db] 0.0 Forsterkning 0 [db] 0 H(jω) [grader] Oppgave 3 (10%) I figuren til høyre er det tegnet et bodediagram for et system. Kan dette systemet være et. ordens butterworthfilter? Begrunn svaret ut i fra figuren til høyre! Oppgave 4 (31%) I et lite kraftverk drives en turbin rundt av en vannstråle fra ei dyse. Vannstrømmen q styres av en ventil, som er elektrisk styrt. Det elektriske ventilpådraget kalles u(t), og vi regner med at vannstrømmen q(t) bestemmes slik: q(t) = K u (u(t) u min ) Proporsjonalitetsfaktoren er K u = 0,037 m 3 /(s V). u er i området 1,000V 5,000 V, og u min = 1,000V Kraftmomentet fra vannstrålen på turbinen er: T t (t) = K 1 q(t) - K (y(t) - y 0 ) der y er omdreiningsfarten på turbinakslingen (omdr./s) og konstantene er: K 1 =, kg/(ms) K = 15,0 N m s y 0 = 50,0 omdr./s Denne turbinen driver en elektrisk vekselspenningsgenerator som leverer spenning til en last. Belastningsmomentet fra generatoren på turbinen er T L (t) ( N m ). Treghetsmomentet til de roterende delene er J = 30 (kg m ). a)7% Den typiske arbeidssituasjonen er at y holdes konstant på 50,0 omdr./s mens generatoren belaster med det konstante lastmomentet 70Nm. Hvor stor må u være da? b)1% Vis at transferfunksjonen H L (s) = y(s)/t L (s) = -1/(sJ + K ) frekvens [rad/s] d)1% Etter en lang periode med statiske variable og y s = 50 omdr./s -1, får lastmomentet T L en momentan økning på 100 Nm (sprang). Skissér responsen på utgangen! Fase [grader] DS/EOSaml/13/11/007 Side EO.15 Rolf Ingebrigtsen

16 Eksamen høst 004 (10. desember 004): Oppgave 1 (3%) Et system har inngangssignalene u(t) og v(t). Utgangssignalet er y(t). Disse tre signalene er knyttet sammen med hverandre slik: k y'(t) = [u(t) - v(t)] - y(t)/ der k er en konstant a)8% Tegn detaljert blokkskjema! Det skal inneholde én integrasjonblokk, to forsterkerblokker og to summasjonssymboler! b)8% Finn transferfunksjonen fra u(s) til y(s)! Konstanten k velges slik at systemets tidskontant blir 5? Hvor stor verdi har k da? c)9% Konstanten k velges som i b). Skissér y(t) etter et enhetssprang i u(t). Skissen skal ha enheter på aksene, den skal vise systemets orden og vise dets statiske forsterkning. d)7% Vi sender inn det stasjonære pådraget u s (t) = 10 sin (t/). Hvor stor blir amplityden til det stasjonære utgangssignalet y s (t)? Oppgave (19%) a)8% Et system har blokkskjemaet som er vist i figuren til høyre. Finn transferfunksjonen for dette systemet fra u(t) til y(t)! (Hint: Start med den innerste sløyfa) 1/8 b)11% En vannkjele har et innebygd elektrisk varmeelement som avgir effekten u. Kjelen har et varmetap til omgivelsene på U ( = 1,5 W/K). Vannet i kjelen har massen m v ( = 1,00 kg), og metallet den er laget av, stål, har massen m k = 0,15 kg. Den spesifikke varmekapasiteten for disse stoffene kaller du for c v (= 4, kj/(k kg) for vann ) og c k (= 500J/(K kg) for stål ). Lag en matematisk modell for denne kjelen, der vanntemperaturen er y og omgivelsestemperaturen er v. Alle variablene u, v og y er funksjoner av tida t. Oppgave 3 (%) Et system har transferfunksjonen H ( s) = der k er en konstant s + k s + (1/ 4) a)8% Finn den statiske forsterkningen til dette systemet, og finn knekkfrekvensen for systemets frekvensrespons. b)7% Skissér asymptotene for systemets bodediagram inn i figuren i vedlegg bakerst. (Bare for amplitydeforsterkningen!) c)7% Hvilken verdi må k ha for at dette systemet skal ha frekvensrespons som et butterworthfilter? Oppgave 4 (7%) For en spenningsstyrt, ankerstyrt elektromotor betrakter vi ankerspenningen v(t) og lastmomentet T L (t) som inngangsvariabler, mens rotasjonsfarten ω(t) er utgangsvariabel. u(t) - u(t) v(t) System - k y(t) y(t) Når vi ser bort fra tørrfriksjonen, kan vi sette opp uttrykkene (1.1) og (1.) under: DS/EOSaml/13/11/007 Side EO.16 Rolf Ingebrigtsen

17 (1.1) L i (t) = v(t) - K e ω(t) - R i(t) v(t): Ankerspenningen i(t) : Ankerstrømmen L : Ankerinduktansen K e : Spenningskonstanten R : Ankerresistansen ω(t) : Rotasjonsfarten (rad/s) (1.) J ω (t) = K T i(t) - B ω(t) - T L (t) T L (t) : Lastmomentet J : Ankerets treghetsmoment K T : Momentkonstanten B : Dempekonstanten a)14% Sett opp en tilstandsmodell av typen: x'(t) = Ax(t) + Bu(t) og y(t) = Cx(t) + Du(t) for dette systemet, der du lar ankerstrøm og rotasjonsfart være tilstandsvariable. Som svar på denne oppgaven skal du oppgi matrisene A, B, C, og D, uttrykt ved systemparametrene. b)5% Beskriv kort hvordan systemets poler kan finnes når du kjenner svarene i punkt a). (Det er ikke meningen at du skal utføre noen beregninger..) c)8% Sett opp en matematisk modell som gjelder for motoren når vi betrakter ankerstrømmen i(t) og lastmomentet T L (t) som uavhengige (inn-)variabler, mens rotasjonsfarten ω(t) og vinkelposisjonen θ(t) til motorakslingen er utgangsvariabel! 0.0 A db(ω) [db] frekvens [rad/s] DS/EOSaml/13/11/007 Side EO.17 Rolf Ingebrigtsen

18 Utsatt eksamen høst 004 (16. februar 005): Oppgave 1 (37%) Et system har inngangssignalene u(t) og v(t). Utgangssignalet er y(t). Disse tre signalene er knyttet sammen med hverandre slik: y'(t) + v(t) = u(t) - k y(t) der k er en konstant vi kan velge fritt a)7% Finn transferfunksjonen fra u(s) til y(s)! b)8% Tegn detaljert blokkskjema! Det skal inneholde én integrasjonblokk, to forsterkerblokker og ett eller to summasjonssymboler! c)15% Hvor stor verdi må konstanten k ha dersom systemets tidskontant skal bli, og hva blir da systemets pol? Hva er sammenhengen mellom polen for dette systemet og systemets båndbredde? d)7% Vi lar v(t) = 0, og u(t) = sin t. Hvor stor blir amplityden til det stasjonære utgangssignalet y s (t)? Oppgave (%) Et system av. orden har relativ demping lik 0,5, og statisk forsterkning lik 10. Knekkfrekvensen er 0,50 rad/s. Det har ingen nullpunkter. a)15% Skissér dette systemets respons på et sprang med høyde 1. NB! Sett enheter på koordinataksene! Skissen skal være i samsvar med opplysningene over. b)7% Finn systemets transferfunksjon! u(t) v(t) System y(t) Oppgave 3 (18%) En varmtvannsbereder (tank) har et innebygd elektrisk varmeelement som avgir effekten u. Vannet i berederen har massen m v, og den er konstant fordi det kommer kaldt vann inn etterhvert som varmt vann strømmer ut. Temperaturen på det kalde vannet som kommer inn, er v, varmvannstemperaturen er y, begge måles i grader celsius. Selve tanken er laget av stål og har massen m s. Vi regner med at varmvannet og veggene til tanken har samme temperatur. Ytterst ligger et lag med isolasjonmateriale slik at vi kan se bort fra varmetapet til omgivelsene. Den spesifikke varmekapasiteten for vann og stål kaller du for hhv. c v og c s. a)10%lag en matematisk modell for denne kjelen, der alle variablene u, v og y er funksjoner av tida t. b)8% Hvor lang tid tar det å varme opp vann fra 4 C opp til driftstemperaturen på 75 C, når varmeelementet avgir u = 500 W, m v = 10 kg, m s = 16 kg, og de spesifikke varmekapasitetene er c v = 4, kj/(k kg) for vann og c s = 500J/(K kg) for stål. DS/EOSaml/13/11/007 Side EO.18 Rolf Ingebrigtsen

19 Oppgave 4 (3%) Tre ulike elektriske kretser med induktans L, motstand R og kondensator C er vist i figuren u L R R R C C C 0 V 0 V 0 V Krets 4.1 Krets 4. Krets 4.3 over. Innspenningen er u = u(t) og utspenningen y = y(t), begge er funksjoner av tida. Vi kaller strømmen inn i kretsen for i(t) og kondensatorspenningen for u C (t), også de er funksjoner av tida. a)7% For hvilken kretsene i figuren kan vi sette opp disse 3 likningene: 1) u(t) y(t) = L i'(t) ) C u C '(t) = i(t) 3) y(t) = u C (t) + R i(t) Husk å begrunne svaret ditt! b)16% Likningene i a) skal brukes til å lage en tilstandsrommodell for det aktuelle systemet. Følgende tilstandsvariabler skal benyttes: x 1 (t) = u C (t) og x (t) = i(t) Modellen skal ha denne formen: y u x'(t) = Ax(t) + Bu(t) og y(t) = Cx(t) + Du(t) L Som svar på denne oppgaven skal du finne matrisene A, B, C, og D, uttrykt ved systemparametrene R, L og C. y u L y Eksamen høst 004 (5. desember 005): Oppgave 1 (0%) Et system har transferfunksjonen H(s) = 5/(8s + ) fra inngangen u til utgangen y. a)8% Finn et uttrykk for y(t) etter enhetssprang i u(t), når y(0) = 1. b)1% Hvor stor er båndbredden til dette systemet? Tegn den asymptotiske frekvensresponsen (Bode-diagram) for systemet i vedlegg! Skissér også selve amplitydeforsterkningen samme sted. Oppgave (0%) Et system har inngangsvariablene u(t) og v(t). Utgangsvariablen er y(t), mens z(t) er en intern variabel inne i systemet. Disse variablene er knyttet sammen med hverandre slik: y(t) = z(t) - v(t) z'(t) = 4[u(t) - y(t)/] a)10% Tegn detaljert blokkskjema! b)10% Finn transferfunksjonen fra u til y! Hvor stor blir systemets tidskonstant og statiske forsterkning? u(t) v(t) System y(t) DS/EOSaml/13/11/007 Side EO.19 Rolf Ingebrigtsen

20 Oppgave 3 (%) Et system har transferfunksjonen H s) = s ( 4 + k s + 8 a)1% Hvilken k-verdi gir kritisk demping, og hvilken gir et butterworth-filter? Kan k velges slik at systemet blir ustabilt? (Husk begrunnelse.) b)10% På inngangen til systemet sender vi inn det stasjonære innsignalet u(t) = sint Finn et uttrykk for det stasjonære utsignalet y s (t) Oppgave 4 (48%) For en spenningsstyrt, ankerstyrt elektromotor betrakter vi ankerspenningen u(t) og et lastmoment T L (t) som inngangsvariabler, mens rotasjonsfarten ω(t) er utgangsvariabel. Når vi ser bort fra tørrfriksjonen, kan vi sette opp uttrykkene (1.1) og (1.): (1.1) L i (t) = u(t) - K e ω(t) - R i(t) (1.) J ω (t) = K T i(t) - B ω(t) - T L (t) Motorakslingen går til et reduksjonsgir med utveksling n = 1/00. Vinkelposisjonen til akslingen ut fra reduksjonsgiret er θ UT(t), som altså er mye mindre enn vinkelen θ (t)til motorakslingen. u(t): Ankerspenningen i(t) : Ankerstrømmen ω(t) : Rotasjonsfarten (rad/s) T L (t) : Lastmomentet L : Ankerinduktansen K e : Spenningskonstanten R : Ankerresistansen J : Ankerets treghetsmoment K T : Momentkonstanten B : Dempekonstanten Vi regner med at vi kan se bort fra treghetsmomentet i girboksen, og for denne spesielle motoren regner vi med å kunne gjøre disse forenklingene: L a 0 og K = K e = K T a)1% Bruk forenklingene foran og finn to differensiallikninger (av 1. orden) som beskriver dette systemet! For denne motoren er R a =,5Ω, K = 0,00 Nm/A og B = 5, Nms/rad b)8% Motoren går uten last og med ankerspenningen 10,0V. Hvilken rotasjonsfart har den da når vi regner med et konstant friksjonsmoment på T f = 0,015Nm? c)8% Responstiden (tidskonstanten) fra u(t) og til ω(t) måles til 0,18 s. Beregn treghetsmomentet J til de roterende delene! d)0% Sett opp en tilstandsmodell av typen: u(t) x'(t) = Ax(t) + Bu(t) og y(t) = Cx(t) + Du(t) for dette systemet, der du lar og rotasjonsfart ω(t) til motorakslingen og vinkelposisjonen θ(t) til akslingen ut fra reduksjonsgiret være de tilstandsvariable. Utgangsvektoren y(t) består av θ(t) og i a (t). Motor Reduksjonsgir Som svar på denne oppgaven skal du oppgi matrisene A, B, C, og D, uttrykt ved systemparametrene til motor og girboks. ω(t) θ(t) θ UT (t) T UT (t) DS/EOSaml/13/11/007 Side EO.0 Rolf Ingebrigtsen

21 Utsatt eksamen høst 005 (. februar 006): Oppgave 1 (19%) Et system har transferfunksjonen H(s) = 6/(s + 3) fra inngangen u til utgangen y. a)7% Beregn et uttrykk for y(t) etter enhetssprang i u(t), når y(0) = 0. b)1% Tegn den asymptotiske frekvensresponsen både for frekvens og fase (Bode-diagram) for systemet i vedlegg! Gi en kort begrunnelse for figurene! Oppgave (%) Et system har transferfunksjonen 4 H ( s) = fra u 1 (s) til y(s)! s + s + 4 a)15% La y(0) = 0, og skisser enhetssprangresponsen i nederste figur i vedlegg. Sett de enhetene du bruker på aksene, og forklar kort hvordan du går fram! b)7% Et annet system er av samme orden som foran, har samme knekkfrekvens og samme statiske forsterkning, men er et butterworthfilter. Hvilken transferfunksjon har dette filteret? Begrunn svaret! Oppgave 3 (35%) Et system har inngangsvariablene u 1 (t) og u (t). Utgangsvariablen er y(t), mens x 1 (t) og x (t) er interne variabler inne i systemet. Disse variablene er knyttet sammen med hverandre slik: x 1 '(t) = 4[u 1 (t) - x (t)] x (t) + x '(t) = x 1 (t) - u (t) y(t) = x (t) a)6% Gå ut fra differensiallikningene foran, og finn den statiske forsterkningen fra u 1 til x! Svaret skal begrunnes. b)14% Tegn et detaljert blokkskjema, og forklar kort hvorfor det blir slik du har tegnet! c)15% Systemet foran kan beskrives med en tilstandsmodell av typen: x'(t) = Ax(t) + Bu(t) og y(t) = Cx(t) + Du(t) Bestem matrisene A, B, C, og D., og vis hvordan du gjør det! Oppgave 4 (4%) For en spenningsstyrt, ankerstyrt elektromotor betrakter vi ankerspenningen u(t) og et lastmoment T L (t) som inngangsvariabler, mens rotasjonsfarten ω(t) er utgangsvariabel. For en slik motor kan vi sette opp uttrykkene (1.1) og (1.): (1.1) L i (t) = u(t) - K e ω(t) - R i(t) (1.) J ω (t) = K T i(t) - B ω(t) - T L (t) - T f u(t): Ankerspenningen i(t) : Ankerstrømmen ω(t) : Rotasjonsfarten (rad/s) T L (t) : Lastmoment T f : Friksjonsmoment L : Ankerinduktansen K e : Spenningskonstanten R : Ankerresistansen J : Ankerets treghetsmoment K T : Momentkonstanten B : Dempekonstanten For denne motoren er R =,5Ω, L = 0, K e = K T = K = 0,00 Nm/A og B = 5, Nms/rad DS/EOSaml/13/11/007 Side EO.1 Rolf Ingebrigtsen

22 a)16% Motoren går uten last og med ankerspenningen 1,0V. Beregn den statiske rotasjonsfarten og ankerstrømmen til motoren, når vi regner med et konstant friksjonsmoment på T f = 0,005Nm! b)8% Vi tenker oss to identiske likestrømsmotorer av samme typen som foran. Begge kjører uten last. Den ene, motor A er spenningsstyrt, mens den andre, motor B, er strømstyrt. Da viser det seg at motor A reagerer raskere på endring i ankerspenning enn B reagerer på endring i ankerstrøm. Hvorfor? Eksamen høst 004 (1. november 006): 5 timer. Oppgave 1 (31%) Et system har transferfunksjonen H(s) = 5/(8s + ) fra inngangen u til utgangen y. a)9% Hva er systemets tidskonstant og statiske forsterkning? Forklar kort(!) hvordan den statiske forsterkningen for en varmtvannstank kan bestemmes ved hjelp av målinger! b) 10% Finn et uttrykk for y(t) etter enhetssprang i u(t), når y(0) = 1, og skissér denne responsen. Sett mål på aksene! b)1% Hvor stor er båndbredden til dette systemet? Tegn den asymptotiske frekvensresponsen (Bode-diagram) for systemet i vedlegg! Skissér også selve amplitydeforsterkningen samme sted. Sett mål på aksene! Oppgave (16%) Et system har inngangsvariablene u(t) og v(t). Utgangsvariablen er y(t), mens z(t) er en intern variabel inne i systemet. Disse variablene er knyttet sammen med hverandre slik: z'(t) = 3[u(t) - y(t)/] u(t) v(t) System y(t) y(t) = z(t) - v(t) a)8% Tegn detaljert blokkskjema! b)8% Beregn transferfunksjonene fra u til y og fra v til y! Oppgave 3 (33%) Et system har transferfunksjonen der a er en parameter vi kan velge fritt. H s) = s ( 0 + a s + 8 a)8% Hvilken a-verdi gir kritisk demping, og hvilken gir butterworth-karakteristikk? b)8% Vi lar a = 8, og sender det stasjonære innsignalet u(t) = sint inn på inngangen til systemet. Finn et uttrykk for det stasjonære utsignalet y s (t)! c)1% Parameteren a velges nå slik at den relative dempingsfaktoren ζ = 0,5. Skissér systemets respons på et sprang med høyde 0,8. Sett mål på aksene! d)5% Kan parameteren a velges slik at systemet blir ustabilt? (Husk begrunnelse.) DS/EOSaml/13/11/007 Side EO. Rolf Ingebrigtsen

23 Oppgave 4 (0%) For en spenningsstyrt, ankerstyrt elektromotor betrakter vi ankerspenningen v(t) og lastmomentet T L (t) som inngangsvariabler, mens rotasjonsfarten ω(t) er utgangsvariabel. Når vi ser bort fra tørrfriksjonen som oppstår når rotoren roterer, kan vi sette opp uttrykkene (1.1) og (1.) under: (1.1) L i (t) = v(t) - K e ω(t) - R i(t) v(t): Ankerspenningen i(t) : Ankerstrømmen L : Ankerinduktansen K e : Spenningskonstanten R : Ankerresistansen ω(t) : Rotasjonsfarten (rad/s) (1.) J ω (t) = K T i(t) - B ω(t) - T L (t) T L (t) : Lastmomentet J : Ankerets treghetsmoment K T : Momentkonstanten B : Dempekonstanten a) 8% Du får utlevert en liten motor av denne typen, og skal finne momentkonstanten K T eksperimentelt og slik at tørrfriksjonsmomentet i motoren virker inn på resultatet. Forklar hvordan du vil gå fram, og hvilke beregninger som må gjøres! b) 1% Sett opp en tilstandsmodell (med vektorer og matriser) av typen: x'(t) = Ax(t) + Bu(t) og y(t) = Cx(t) + Du(t) for dette systemet, der du lar ankerstrøm og rotasjonsfart være tilstandsvariable. Som svar på denne oppgaven skal du vise framgangsmåten og oppgi matrisene A, B, C, og D, uttrykt ved systemparametrene til motoren. Utsatt eksamen høst 005 (. februar 006): 5 timer Oppgave 1 (36%) Et system har inngangssignalene u(t) og v(t). Utgangssignalet er y(t). Disse tre signalene er knyttet sammen med hverandre slik: y'(t) + v(t) = u(t) - k y(t) der k er en konstant vi kan velge fritt a)6% Finn transferfunksjonen fra u(s) til y(s)! b)7% Tegn detaljert blokkskjema! Det skal inneholde én integrasjonblokk, to forsterkerblokker og ett eller to summasjonssymboler! c)13% Hvor stor verdi må konstanten k ha dersom systemets tidskontant skal bli, og hva blir da systemets pol? Hva er sammenhengen mellom polen for dette systemet og systemets båndbredde? d)10% Vi lar v(t) = 0, og u(t) = sin t. Beregn et uttrykk for det stasjonære utgangssignalet y s (t)? Oppgave (4%) Et system av. orden har relativ demping lik 0,5, og statisk forsterkning lik 10. Knekkfrekvensen er 0,50 rad/s. Det har ingen nullpunkter. a)1% Skissér dette systemets respons på et sprang med høyde 1. NB! Sett enheter på koordinataksene! Skissen skal være i samsvar med opplysningene over. b)6% Finn systemets transferfunksjon! u(t) v(t) System y(t) DS/EOSaml/13/11/007 Side EO.3 Rolf Ingebrigtsen

24 c)6% Et. ordens system med samme statiske forsterkning og knekkfrekvens har butterworthkarakteristikk. Hva er transferfunksjonen til dettesystemet? Begrunn svaret! Oppgave 3 (14%) En varmtvannsbereder (tank) har et innebygd elektrisk varmeelement som avgir effekten u. Vannet i berederen har massen m v, og den er konstant fordi det kommer kaldt vann inn etterhvert som varmt vann strømmer ut. Gjennomstrømningen w regnes som konstant. Temperaturen på det kalde vannet som kommer inn, er v, varmvannstemperaturen er y, begge måles i grader celsius. Selve tanken er laget av stål og har massen m s. Vi regner med at varmvannet og veggene til tanken har samme temperatur. Ytterst ligger et lag med isolasjonmateriale slik at vi kan se bort fra varmetapet til omgivelsene. Den spesifikke varmekapasiteten for vann og stål kaller du for hhv. c v og c s. a)8%lag en matematisk modell for denne kjelen, der alle variablene u, v og y er funksjoner av tida t. b)6% Hvor lang tid tar det å varme opp vann fra 4 C opp til driftstemperaturen på 75 C, når varmeelementet avgir u = 500 W, m v = 10 kg, m s = 16 kg, og de spesifikke varmekapasitetene er c v = 4, kj/(k kg) for vann og c s = 500J/(K kg) for stål. Vi går ut i fra at vannforbruket er null. Oppgave 4 (6%) L R L L u y u y u R R C C 0 V 0 V Krets 4.1 Krets 4. Krets 4.3 C y 0 V Tre ulike elektriske kretser med induktans L, motstand R og kondensator C er vist i figuren over. Innspenningen er u = u(t) og utspenningen y = y(t), begge er funksjoner av tida. Vi kaller strømmen inn i kretsen for i(t) og kondensatorspenningen for u C (t), også de er funksjoner av tida. a)6% For hvilken kretsene i figuren kan vi sette opp alle disse 3 likningene: 1) u(t) y(t) = L i'(t) ) C u C '(t) = i(t) 3) y(t) = u C (t) + R i(t) Begrunn svaret! b)14% Likningene i a) skal brukes til å lage en tilstandsrommodell for det aktuelle systemet. Følgende tilstandsvariabler skal benyttes: x 1 (t) = i(t) og x (t) = u C (t) Modellen skal ha denne formen: x'(t) = Ax(t) + Bu(t) og y(t) = Cx(t) + Du(t) Som svar på denne oppgaven skal du finne matrisene A, B, C, og D, uttrykt ved systemparametrene R, L og C. c)6% Beregn systemets statiske respons fra u s og til y s, der u s og y s er statiske verdier av vektorene u(t) og y(t)! DS/EOSaml/13/11/007 Side EO.4 Rolf Ingebrigtsen

25 Vedlegg 1: Tabell over Laplacetransformasjoner Tidsfunksjon Laplacetransform 1 f(t) F(s) k 1. f(t) + k. g(t) k 1. F(s) + k. G(s) 3 f(t-τ) F(s). e -τs 4 f '(t) sf(s) + f(0) 5 t f( τ ) dτ 1 0 s F( s) 6 δ(t) 1 7 K K s 8 t 1 s 9 K T e t T 10 K( 1 e t T ) 11 K T T e t T1 e t T ( ) K T T T e t T1 T e t T 1 + ( 1 ) 1 K st +1 K s( st +1) K ( st + 1)( st + 1) 1 K s( st + 1)( st + 1) 1 T1 T K( st K( 1 e t T 1 + 1) + ) T s( st + 1) K 1 e ςω t 0 1 ς cos( 1 ς ω 0t ϕ) ϕ = Arcsin ς 15 Sluttverditeoremet: lim sf( s) = lim f ( t) s 0 t 1 s ( s ω ) + ς s ω Noen formler for. ordens systemer: Poler: p 1, = -α ± jβ ω o = p 1, Oversvingtiden: π T max = ω 1 ς 0 Oversvingfaktoren: e ςπ 1 ς DS/EOSaml/13/11/007 Side EO.5 Rolf Ingebrigtsen