( ) = ( ) = ( ) = + = ( ) = + =

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "( ) = ( ) = ( ) = + = ( ) = + ="

Transkript

1 6. Lineær modell I modell A (foregående side) la vi til grunn en tanke om like stor tilvekst pr. tidsenhet. Vi kan lage tabell: År År etter Antall elever År År etter Antall elever 250 og tegne graf: Oppgave 6.2 f 0 00 f 0 00 f f f ( ) = ( ) = ( ) = + = ( ) = + = ( ) = + = ( ) = + = ( ) = + = ( ) = + = f f f Her ser vi to måter elever har tenkt på for å finne ut hvor mange elever det er til enhver tid. Som lærer ønsker du at elevene skal finne en formel som er slik at de kan regne ut elevtallet et gitt år uten å måtte regne ut elevtallet alle foranliggende år. Hvordan kan du hjelpe de to elevene til å finne en slik formel? Vi har ikke trukket streker mellom punktene vi har plottet inn i figur 6., det betyr at vi ser på dette som en diskret funksjon. Elevtallet øker sjelden slik i løpet av skoleåret. KAPITTEL 6 69

2 Vi har mange eksempler på denne typen funksjoner (at noe vokser jevnt) som er kontinuerlige.. Ved innkjøp av epler til kr. 9,00 per kg. kan vi se på prisen vi betaler som en funksjon av antall kg. vi kjøper. Vi kan f.eks. kjøpe 3,62 kg. Definisjonsmengden vil være [ 0,. 2. Hvis vi kjører med jevn fart vil veien vi har tilbakelagt være en funksjon av tiden. 3. Et kar fylles med vann fra en kran, trykket er konstant. Vi kan se på vannmengden i karet som en funksjon av tiden. I disse tilfellene vil den matematiske beskrivelsen stemme helt overens med den virkelige situasjonen, men vi kan selvsagt stille spørsmål ved 2. Hvor realistisk er det at vi kjører med helt jevn fart? Kanskje ligger det en idealisering inne allerede? Flere eksempler? Oppgave 6.3 Tegn grafen til. og 2. Hvordan vil du beskrive dem? Vi sier at dette er lineære funksjoner fordi grafen blir ei rett linje. I eksempelet med elevtallet som øker jevnt ser vi at kryssene vi har tegnet inn ligger på ei rett linje, derfor er dette også en lineær funksjon. Formelen i elevtall-eksempelet: f( x) = 5x + 00, Df = N Formelen i eplekjøp-eksempelet: f( x) = 9 x, D f = [0, I elevtall-eksempelet er a = 5 og b = 00. I eplekjøp-eksempelet er a = 9 og b = 0. Vi kan også tenke oss funksjoner hvor a = 0, f.eks. en skole med stabilt elevtall, der vi ser på elevtall som funksjon av tiden, d.v.s. f x ( ) = 00. Oppgave 6.4 Se på situasjonene beskrevet nedenfor. Formuler funksjonssammenhenger med ord, finn formler, bestem definisjonsmengde og verdimengde og tegn grafer. a) Per plukker jordbær for en bonde, han tjener 3 kr. per kurv. b) Liv skal arrangere rekefest, hun beregner /2 kg. reker per person. 70 ALGEBRA OG FUNKSJONSLÆRE

3 c) Kl en kveld er temperaturen 0 ºC og temperaturen synker med ºC i timen fram til kl Hva kjennetegner disse funksjonene? Beskriv fellestrekk ved grafene. ( ) =, hvor a er kon- Alle disse funksjonene får formler av typen f x ax stant. Grafene blir rette linjer som går gjennom origo (0, 0). Slike funksjoner kalles for proporsjonaliteter og har den egenskapen at forholdet mellom funksjonsverdi og x-verdi er konstant: ( ) = a. a kalles proporsjonalitetskonstanten. f x x Vi sier at to størrelser er proporsjonale, eller at f( x) er proporsjonal med x, når det er slik at hvis x dobles, dobles f x ( ) også, ( ) hvis x tredobles, tredobles f x o.s.v. Eksempel 6. Vei i km Bensin i liter 0,35 0,7,05,4 3,5 Vi ser på bensinforbruk som funksjon av veilengde. Dobles kmlengden, dobles bensinforbruket. Proporsjonalitetskonstanen blir 0, 35 0, 7 = = = 5 0 0, 07 a gir oss økning per enhet langs førsteaksen. (Plukker jeg en jordbærkurv mer, tjener jeg 3 kr. mer o.s.v ) Vi kaller a stigningstallet til linja f( x). Det betyr at hvis jeg fra et punkt på linja beveger meg en enhet mot høyre langs førsteaksen, må jeg bevege meg a enheter langs andreaksen for å finne igjen funksjonsverdien. KAPITTEL 6 7

4 y h(x)=ax a f(x)=(/2)x /2 g(x)= x x På figuren har vi anskueliggjort stigningstallet ved å tegne inn rettvinklede trekanter. Se på trekanten som viser: «enhet mot høyre langs førsteaksen fører til /2 enhet langs andreaksen». Vi kan like godt trekke en annen trekant: «2 enheter langs førsteaksen fører til enhet langs andreaksen» Eller : «0 enheter langs førsteaksen fører til 5 enheter langs andre» Alle rettvinklede trekanter som vi kan tegne med grafen som hypotenus vil bli formlike. Forholdet mellom vertikal og horisontal katet vil være stigningstallet a. (Her er a = 0, 5) Vi går tilbake til eksemplet med elevtallet der vi har funnet at funksjonen f( x) = 5x + 00 er en modell for hvordan elevtallet kan ha utviklet seg. Dette er ikke en proporsjonalitet. Forholdet mellom f( x) og x blir: f ( x ) 00 = 5 +, som vil forandre seg når x forandres. Også i slike funksjoner sier vi at a er stigningstallet. Vi vet at x x øker vi x med øker funksjonsverdien med a. I elevtall-eksempelet tilsvarer dette: Hvert år øker elevtallet med 5. At forandringen er konstant vil si det samme som at vi har en jevn utvikling. Stigningstallet sier noe om hvor bratt linja er: stor a gir en graf som stiger raskt liten positiv a gir en graf som stiger langsomt a = 0 gir en graf som er parallell med førsteaksen negativ a gir en graf som synker 72 ALGEBRA OG FUNKSJONSLÆRE

5 b i formelen forteller om hvor grafen skjærer andreaksen. Når b = 0 har vi en proporsjonalitet og grafen går gjennom origo. I elevtalleksempelet er b = 00 og grafen skjærer andreaksen i punktet (0, 00). I mange eksempler vil b være en fast avgift e.l. For eksempel strømregningen: Vi betaler kr. 695 i nettleie per år og 37 øre per kwh. Totalprisen blir en funksjon av antall kwh: f( x) = 0, 37x Selv om ( ) =, gene- vi ikke bruker strøm må vi betale de 695 kronene: f relt har vi at f( 0) = b. I likningen f( x) = ax + b, sier vi at a og b er parametre, de bestemmer funksjonen. Forandrer vi på a og/eller b får vi en annen funksjon. Vi har til nå bare sett på funksjoner som har positive tall og 0 i definisjonsmengden. I matematikken opererer vi ofte med funksjoner der definisjonsmengden er alle tall på tallinja, R, eller alle hele tall, Z. I mange praktiske situasjoner blir definisjonsmengden begrenset til positive tall (R + eller Z + ). Om bokstaver, parametre og variable. To samtaler som illustrasjon: Det er ikke lett å begrunne bokstavregning for elevene: Elev, 8.kl: Hvorfor må vi regne med bokstaver? Lærer forsøker seg urolig: Fordi da kan vi lage regnestykker som kan gjelde alle tall. Du kan velge hvilket tall du vil i stedet for bokstavene. Eleven avbryter: Så bruk tall da vel! Student : Noen ganger sier du parametre, noen ganger variable. Jeg vet at a- er og b-er brukes i parametre- og at x-er og y-er brukes for variable. Men? Lærer: Parametrene er konstante når funksjonen er bestemt. Når vi varierer x får vi funksjonsverdiene. (Huskeregel: v for valg og for variable). Student : Men likevel, jeg forstår ikke helt forskjellen mellom de to Lærer forsøker en gang til, men merker selv at han gjentar seg. Studenten ser tomt på ham. Student 2: Når du velger en x får du en y (eller en f( x) ) ikke sant? Og vi kan tegne en graf. x og y er variable. Og når de varierer får vi liksom et bilde av funksjonen. Student : Ja det forstår jeg, men KAPITTEL 6 73

6 Student 2: Og så har vi noen familier av funksjoner. En familie er de rette linjene. De har alle formelen f x ax b ( ) = +. Når vi har valgt tallverdi for a og for b har vi valgt ei rett linje. Vi har bestemt funksjonen. Det er uendelig mange funksjoner som er rette linjer i samme familie Student : En funksjon har en graf. Det betyr altså at en funksjon aldri har en parameter i formelen parametrene er der bare før vi har bestemt hvilken funksjon det er. Vi vet bare familien dersom vi har a eller b Lærer stille: Takk, begge to. Oppgave 6.5 Vi kan tenke oss at vi sparer kr. 500 i måneden. Vi har kr 7500, i banken, og sier at t = 0 er i dag. Vi ser på innestående som en funksjon av tiden, t. (Her ser vi bort fra rentene) Finn et uttrykk for f( t). Hvordan tolker du f( 2 )? Hva blir definisjonsmengden her? Å finne formelen for ei rett linje Vi kan finne formelen for en lineær funksjon dersom vi har grafen. Vi vet at formelen er av typen f( x) = ax + b. b kan vi lese av som skjæringspunktet mellom grafen og andre-aksen. Når vi skal finne a må vi ta utgangspunkt i et punkt på grafen, bevege oss en enhet langs første-aksen og se hvor langt vi må bevege oss langs andreaksen før vi møter grafen igjen. Se eksempelet under. y l l x ( ) = + For linja l 2 ser vi at b = 2 og a = 2. Dette gir f x 2x 2. Det er ikke alltid like enkelt å lese av korrekte verdier på en graf. Da kan vi benytte oss av at vi vet at forholdet mellom forandring i funksjonsverdi og forandring i x-verdi er konstant for lineære funk- 74 ALGEBRA OG FUNKSJONSLÆRE

7 sjoner. Det betyr at vi kan velge to punkt som er lette å lese av på grafen. For linja l 2 velger vi punktene (0, 4) og (6, 2). Vi ser at når x øker med 6 avtar f x ( ) med 2. Forholdet blir da: = =. Dette er a-en vi søker. Vi ser 6 3 av figuren at vi kunne valgt andre punkt, da ville vi fått en trekant formlik med den vi valgte. Vi kjenner til at forholdet mellom tilsvarende sider i to formlike trekanter er det samme, vi får altså samme a uansett hvilke to punkter vi velger. b leser vi av grafen til å være 4. Formelen her blir g( x) = x Å finne formel for ei linje når vi kjenner et punkt og stigningstallet Vi kan nå tegne linja og finne formelen ved å se på grafen. Vi kan også finne formelen uten å tegne graf først. Eksempel 6.2 Vi vet at punktet (2, 4) ligger på ei linje som har 2 som stigningstall. Vi skal finne en formel av typen ax + b. Her kjenner vi allerede a, i tillegg kjenner vi et par sammenhørende verdier. Vi vet da at f( 2) = 4, dette bruker vi slik: f( 2) = ( 2) 2 + b = 4, vi løser denne likningen med hensyn på b, og finner at b = 8, og altså: f( x) = 2x + 8. Generelt: Kjenner vi et punkt x, y ved å sette: y = ax + b b = y ax ( ) og stigningstallet a finner vi b og vi har formelen. Alternativt kan vi bruke den såkalte ettpunktsformelen: y y = a( x x ) KAPITTEL 6 75

8 Å finne formelen for ei linje når vi kjenner to punkt på linja Eksempel: Vi vet at punktene (, 3) og (5, 9) ligger på ei linje. Vi kan nå finne stigningstallet ved å se på forholdet mellom forandring i funksjonsverdi og forandring i x-verdi. Her: = 4 = 2 = a Kjenner vi stigningstallet a, finner vi skjæringspunktet med andreaksen, b som i eksempelet foran. Det er det samme hvilket av de to punktene vi bruker i utregningen. ( ) og ( x y ) finner vi a Generelt: Hvis vi kjenner punktene x, y 2, 2 slik: a y2 y =. Alternativt kan vi bruke topunktsformelen: x x 2 y y y y = 2 ( x x x x ) 2 Oppgave 6.6 f( x) = 5x + 0 Finn en praktisk situasjon som kan beskrives med denne formelen. Tegn funksjonens graf. Hva betyr stigningstallet i situasjonen du har valgt? Bestem definisjonsmengden. Hvis vi ser bort fra den valgte situasjonen, hva vil du da si om definisjonsmengden? Oppgave 6.7 Anders har sommerjobb som bærplukker, han har en fast daglønn og får i tillegg en fast sats per kilo bær han plukker. En dag plukket han 50 kg. bær og tjente 300 kr, dagen etter plukket han 65 kg bær og tjente 360 kr. Se på daglønn som en funksjon av kg plukkede bær og tegn dette inn i et koordinatsystem. Finn en formel som uttrykker denne sammenhengen, og gjør greie for hva de ulike tallene/symbolene i formelen uttrykker. Hva er funksjonens definisjonsmengde? Oppgave 6.8 Lisbeth og Rune er på biltur. De sitter i baksetet og noterer hvor langt de kjører. kvarter: 2 km, 2 kvarter: 28 km, 3 kvarter: 53 km, 4 kvarter: 73 km, 5 kvarter: 83 km, 6 kvarter: 83 km, 7 kvarter: 00 km, 8 kvarter: 23 km. 76 ALGEBRA OG FUNKSJONSLÆRE

9 Tegn inn tallene i et koordinatsystem. Sett et kvarter lik cm langs x-aksen og 0 km lik cm langs y-aksen. a) Hva tenker vi hvis vi trekker en sammenhengende graf mellom punktene? Hvilke forutsetninger gjør vi når vi tegner rette linjer som bilde/ modell for bilturen? b) Trekk rette linjestykker mellom punktene, vi får i alt 8 linjestykker. Bestem stigningstallet for hvert av dem. Dette stigningstallet er uttrykk for fart, finn benevning for farten. c) Hva er gjennomsnittsfarten for hele turen? Tegn inn grafen vi får om farten hadde vært konstant hele tiden. Les av diagrammet når farten var over eller under gjennomsnittsfarten. d) Kan vi finne en metode slik at vi direkte ut fra diagrammet kan lese av når fartsgrensen på 80 km/t ble overskredet? I oppgave 6.8 har vi arbeidet med den deriverte til funksjonen Stigningstallet er et uttrykk for farten, det er den deriverte til funksjonen. Den deriverte er konstant for den rette linja. Den er like bratt hele tida, eller farten er konstant. Noen vil kjenne igjen skrivemåten: f'. Vi har at f'( x) = a når f( x) = ax + b. Mer om derivasjon i kapittel0. Oppgave 6.9 Vi ser på tilbakelagt vei som funksjon av tiden. Grafen ved km 200 siden av er en illustrasjon av dette. Bestem funksjonens formel, og forklar de enkelte ledd. Hvor stor fart har bilen, hvordan leser du av farten? timer Oppgave 6.0 a) Ei rett linje går gjennom punktet (5, 7) og har stigningstall 2,5. Tegn og finn likningen for linja. b) Ei rett linje går gjennom punktene (2, 5) og (5, ). Tegn denne og bestem funksjonsforskriften. c) Ei rett linje går gjennom punktene ( 2, 4) og (3, 3,5). Tegn og finn formel. d) Ei linje er parallell med den i b) men går gjennom punktet (3, 2). Kan du finne likningen for denne? KAPITTEL 6 77

10 Oppgave 6. Tabellen under viser hvor stor prosentdel heltidsansatte kvinner i skolen utgjør av alle heltidsansatte i skolen i tidsrommet Tegn dette inn i et koordinatsystem. Lag en lineær modell for dette. Vurder modellen din. Synes du den er god? Med utgangspunkt i modellen du har laget: Hva vil du si om utviklingen videre fremover? År %-del 39,5 42,2 43,3 44, 44,7 45,6 46,4 Oppgave 6.2 Nedenfor ser du et utklipp fra en brosjyre om bilutleie. Du skal leie en bil for helgen. Du har da to ulike pristilbud å velge mellom. Illustrer de to tilbudene grafisk i et koordinatsystem. Personbiler Pris- DAG WEEKEND UKE gruppe 00 km Fri km 250 km Fri km 700 km Fri km Over km A ,95 Fri km dagspriser er fallende ved lengre leieforhold Bruk illustrasjonen til å bestemme for hvilke kjørelengder de to tilbudene er best. Finn formel for hvert av tilbudene. Hvordan fungerer den grafiske fremstillingen som en hjelp til å vurdere lønnsomheten her? Er det andre måter du heller ville gjort dette på? Oppgave 6.3 Du tar på deg å sortere og distribuere noen reklamehefter for et firma. Innenfor visse rammer får du selv påvirke lønnsbetingelsene. Du får en fast pris for oppdraget og en sum per hefte i tillegg. Sett opp tre forslag til lønnsavtaler. Se på summen du får utbetalt som funksjon av antall hefter. Hold avtalene opp mot hverandre, diskuter lønnsomhet. Viser noen av avtalene direkte proporsjonalitet i forholdet mellom lønn og antall hefter? Forklar hvordan en slik funksjon vil være. Hvis du ikke allerede har gjort det, tegn grafer og finn formler. Alle disse grafene vil bli rette linjer, kan du forklare hvorfor det blir slik? 78 ALGEBRA OG FUNKSJONSLÆRE

11 Oppgave 6.4 Du arbeider i klasse og du vil bruke oppgave 6.3 til å arbeide med formalisering. Lag en oppgavetekst der du først lar eleven regne ut lønn etterhvert som du varierer antall brosjyrer. Led dem videre til å utvikle/se sammenheng med funksjonsformelen. Vær nøye med å skrive denne oppgaven ut slik du vil legge den fram for elevene. 6.2 Eksponentiell modell Når vi har arbeidet med den rette linja har vi tenkt additivt, vi har lagt til like stor verdi for like lange tidsintervall (x-verdier). I en eksponentiell modell tenker vi multiplikativt, vi multipliserer med like stor verdi for like lange tidsintervall (x-verdier). Arbeidsoppgave Oppgaven under kan arbeides med av barn fra klasse og oppover til studenter. Den er hentet fra materialet: Leik med tall, Caspar forlag. KAPITTEL 6 79

6.2 Eksponentiell modell

6.2 Eksponentiell modell Oppgave 6.14 Du arbeider i 7. 8. klasse og du vil bruke oppgave 6.13 til å arbeide med formalisering. Lag en oppgavetekst der du først lar eleven regne ut lønn etterhvert som du varierer antall brosjyrer.

Detaljer

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner Test, 4 Funksjoner Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjonstyper... 14 4.4 Vekstfart og derivasjon... 0 4.5 Drøfting av funksjoner på grunnlag av egenskaper hos den

Detaljer

Grafer og funksjoner

Grafer og funksjoner Grafer og funksjoner Fredrik Meyer Sammendrag Vi går raskt igjennom definisjonen på hva en funksjon er. Vi innfører også begrepet førstegradsfunksjon. Det forutsettes at du husker hva et koordinatsystem

Detaljer

Formler, likninger og ulikheter

Formler, likninger og ulikheter 58 3 Formler, likninger og ulikheter Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse

Detaljer

På reise Nivå: Formål: Program: Henvisning til plan: 8. klasse Matematikk i dagliglivet: Tall og algebra: Grafer og funksjoner:

På reise Nivå: Formål: Program: Henvisning til plan: 8. klasse Matematikk i dagliglivet: Tall og algebra: Grafer og funksjoner: På reise Nivå: 8. og 9. klasse Formål: Arbeide med lineære funksjoner og verktøyprogram Program: Regneark, kurvetegningsprogram Henvisning til plan: 8. klasse Matematikk i dagliglivet: registrere og formulere

Detaljer

8 Likninger med to ukjente rette linjer

8 Likninger med to ukjente rette linjer 8 Likninger med to ukjente rette linjer 8. Likninger med to ukjente Per vil teste kameratens matematiske kunnskaper. Han forteller at han har ni mnter med en samlet verdi på 40 kroner i lommeboken sin.

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

Stigningstall og konstantledd, løsningsforslag

Stigningstall og konstantledd, løsningsforslag Stigningstall og konstantledd, løsningsforslag Oppgave: Løsningsforslag Listen [1] Oppgave Oppgave 1 a) Skriv ned stigningstallet og konstantleddet i de tre funksjonene under. 1. f(x) = x + Stigningstall

Detaljer

Kvalifiseringstjenesten Tentamen matematikk GS3 22. 04. 2013

Kvalifiseringstjenesten Tentamen matematikk GS3 22. 04. 2013 Tentamen matematikk GS3 Mandag 22. april 2013 DEL 1 Excel Oppgave 1. Hans låner 90 000 kr i banken til 4 % rente pr år. Nedbetalingstiden for lånet er 6 år. a) Lag tabellen nedenfor i Excel. År % rente

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T Løsningsforslag heldagsprøve våren 00 T DEL OPPGAVE a) Regn ut x x x x x x x x x x 9x x x x x 6x x x x 6x x 6x b) Løs likninga x x 6 x x 6 x x 6 x x 6 x x x x c) Løs likningssettet ved regning x y x y

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Mer øving

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER

SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8A Kapittel A GEOMETRI LINJE, LINJESTYKKE OG STRÅLE linje stråle linjestykke VINKLER VINKELBEIN OG TOPPUNKT En vinkel har et toppunkt. Denne vinkelen

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk 2008

Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-

Detaljer

Funksjoner med GeoGebra

Funksjoner med GeoGebra Funksjoner med GeoGebra Wallace Anne Karin 2015 G e o G e b r a 5. 0 Innhold Oppsett for arbeid med funksjoner... 2 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 4 Flytt inntastingsfeltet øverst... 4

Detaljer

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009 Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne

Detaljer

Matematikk for yrkesfag

Matematikk for yrkesfag John Engeseth Odd Heir BOKMÅL fo re nk Håvard Moe l t e Særtrykk Matematikk for yrkesfag Innhold 1 Tall Vi øver på å legge sammen og trekke fra 4 Regning med positive og negative tall 5 Vi øver på å gange

Detaljer

Odd Heir John Engeseth Håvard Moe Ørnulf Borgan BOKMÅL. Matematikk 1P. forenklet

Odd Heir John Engeseth Håvard Moe Ørnulf Borgan BOKMÅL. Matematikk 1P. forenklet Odd Heir John Engeseth Håvard Moe Ørnulf Borgan BOKMÅL Matematikk P forenklet 0 Funksjoner Funksjoner Koordinatsstemet Andreaksen (-aksen) På figuren til venstre ser du et vanlig koordinatsstem. Den vannrette

Detaljer

1P kapittel 5 Funksjoner Utvalgte løsninger oppgavesamlingen

1P kapittel 5 Funksjoner Utvalgte løsninger oppgavesamlingen 1P kapittel 5 Funksjoner Utvalgte løsninger oppgavesamlingen 50 a Vi ser at grafen har et toppunkt i (11, 380). Det var altså flest besøkende 11. juni. Antall besøkende var da 380. b Vi ser at grafen har

Detaljer

Oppgave 2 Løs oppgavene I og II, og kryss av det alternativet (a, b eller c) som passer best. En funksjon er ikke deriverbar der:

Oppgave 2 Løs oppgavene I og II, og kryss av det alternativet (a, b eller c) som passer best. En funksjon er ikke deriverbar der: Oppgave a) Si kort hva deriverte til en funksjon forteller oss. Hva handler deriverbarhet om? b) Er f (x) = deriverbar for alle reelle x-verdier? x Bestem deriverte til f i sin definisjonsmengde. c) Tegn

Detaljer

Regning som grunnleggende ferdighet Ny GIV! Møre og Romsdal

Regning som grunnleggende ferdighet Ny GIV! Møre og Romsdal Regning som grunnleggende ferdighet Ny GIV! Møre og Romsdal Hefte med praktiske eksempler Tone Elisabeth Bakken Molde, 29.januar 2013 Ønsker du beskrivelse av og informasjon om flere metoder, - ta kontakt!

Detaljer

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2013

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2013 Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2013 DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (2 poeng) I en klasse er det 20 elever. Nedenfor ser du hvor mange dager hver av elevene var borte fra skolen i løpet av et

Detaljer

Utforsking av funksjonsuttrykk og de tilhørende grafene ved hjelp av GeoGebra

Utforsking av funksjonsuttrykk og de tilhørende grafene ved hjelp av GeoGebra Anne-Mari Jensen Utforsking av funksjonsuttrykk og de tilhørende grafene ved hjelp av GeoGebra Innledning I ungdomsskolen kommer funksjoner inn som et av hovedområdene i læreplanen i matematikk. Arbeidet

Detaljer

Funksjoner 1T, Prøve 2 løsning

Funksjoner 1T, Prøve 2 løsning Funksjoner 1T, Prøve løsning Del 1 Tid: 60 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave 1 I koordinatsystemet ovenfor er det tegnet fire rette linjer, j, k, m og n. Finn likningen for hver av de fire linjene.

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål Eksempel på løsning 010 Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk T Eksamen 30.11.009 Bokmål MAT1008 Matematikk T HØSTEN 009 Eksempel på løsning med vekt på bruk av digitale verktøy Hva er en

Detaljer

Grafer og funksjoner

Grafer og funksjoner 14 4 Grafer og funksjoner Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder omforme en praktisk problemstilling

Detaljer

Algebra Vi på vindusrekka

Algebra Vi på vindusrekka Algebra Vi på vindusrekka Utsagn... 2 Åpne utsagn... 3 Den ukjente... 4 Likhetstegnet... 5 Likninger... 6 Løs likninger... 7 Matematiske uttrykk... 8 Formel... 9 Tilordning... 10 Funksjon... 11 Koordinatsystem...

Detaljer

Basisoppgaver til 1P kap. 5 Funksjoner

Basisoppgaver til 1P kap. 5 Funksjoner Basisoppgaver til 1P kap. 5 Funksjoner 5.1 Funksjoner og grafer 5.2 Førstegradsfunksjoner 5.3 Lineær vekst 5.4 Proporsjonalitet 5.5 Andregradsfunksjoner 5.6 Mer om funksjoner Basisoppgaver 5.1 Funksjoner

Detaljer

Rette linjer og lineære funksjoner

Rette linjer og lineære funksjoner Rette linjer og lineære funksjoner 3.1 Læreplanmål 1 4.1 Rette linjer 2 4.2 Digital graftegning 6 4.3 Konstantledd og stigningstall 13 4.4 Grafisk avlesning 19 4.5 Digital løsning av likninger 26 4.6 Funksjonsbegrepet

Detaljer

Eksempeloppgave 2014. Fotball. René Descartes. MAT0010 Matematikk Eksempel på eksamen våren 2015 Del 2. Ny eksamensordning

Eksempeloppgave 2014. Fotball. René Descartes. MAT0010 Matematikk Eksempel på eksamen våren 2015 Del 2. Ny eksamensordning Eksempeloppgave 2014 MAT0010 Matematikk Eksempel på eksamen våren 2015 Del 2 Fotball Ny eksamensordning Del 1: 2 timer (uten hjelpemidler) Del 2: 3 timer (med hjelpemidler) René Descartes II Minstekrav

Detaljer

Funksjoner og grafiske løsninger

Funksjoner og grafiske løsninger 8 1 Funksjoner og grafiske løsninger Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse

Detaljer

R1 Eksamen høsten 2009 Løsning

R1 Eksamen høsten 2009 Løsning R1 Eksamen, høsten 009 Løsning R1 Eksamen høsten 009 Løsning Del 1 Oppgave 1 3 a) Deriver funksjonen f( x) 5e x f( x) 5e 3 15e 3 x 3x b) Deriver funksjonen gx x 3 ln x x x g( x) 3x ln x x 3 x 3ln 1 3 c)

Detaljer

4 Funksjoner og andregradsuttrykk

4 Funksjoner og andregradsuttrykk 4 Funksjoner og andregradsuttrkk KATEGORI 1 4.1 Funksjonsbegrepet Oppgave 4.110 Regn ut f (0), f () og f (4) når a) f () = + b) f () = 4 c) f () = + 5 d) f () = 3 3 Oppgave 4.111 f() = + + 1 4 3 1 0 1

Detaljer

NyGIV Regning som grunnleggende ferdighet Akershus

NyGIV Regning som grunnleggende ferdighet Akershus NyGIV Regning som grunnleggende ferdighet Akershus Hefte med praktiske eksempler Tone Elisabeth Bakken 16.januar 014 Ønsker du beskrivelse av og informasjon om flere metoder, - ta kontakt! tone.bakken@ohg.vg.no

Detaljer

Terminprøve Sigma 1T høsten 2009

Terminprøve Sigma 1T høsten 2009 Terminprøve Sigma 1T høsten 2009 Prøvetid 5 klokketimer for Del 1 og Del 2 til sammen. Vi anbefaler at du ikke bruker mer enn to klokketimer på Del 1. Du må levere inn Del 1 før du tar fram hjelpemidler.

Detaljer

Funksjoner oppgaver. Innhold. Funksjoner S1

Funksjoner oppgaver. Innhold. Funksjoner S1 Funksjoner oppgaver Innhold.1 Funksjoner.... Lineære funksjoner... 5 Ettpunktsformelen.... 9 Skjæringspunkt mellom rette linjer. Nullpunkt for en funksjon... 11.3 Andregradsfunksjon... 1.4 Tredjegradsfunksjon...

Detaljer

Kapittel 5. Lineære funksjoner

Kapittel 5. Lineære funksjoner Kapittel 5. Lineære funksjoner Funksjon er et av de viktigste begrepene i matematikken. Funksjoner handler om sammenhengen mellom to størrelser. I dette kapitlet repeterer vi stoffet om lineære funksjoner

Detaljer

Eksamen 21.05.2013. Del 1. MAT0010 Matematikk. Del 1 + ark fra Del 2. Bokmål

Eksamen 21.05.2013. Del 1. MAT0010 Matematikk. Del 1 + ark fra Del 2. Bokmål Eksamen 1.05.013 MAT0010 Matematikk Del 1 Skole: Bokmål Kandidatnr.: Del 1 + ark fra Del Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Framgangsmåte og forklaring: 5 timer totalt: Del

Detaljer

Oppgavesett med fasit

Oppgavesett med fasit TIL ENT3R ELEVENE Oppgavesett med fasit Tommy Odland Sist oppdatert: 1. november 2013 http://is.gd/ent3rknarvik http://tommyodland.com/ent3r 1 INNHOLD 1 Om dette dokumentet 3 1.1 Formål og oppbygging..................................

Detaljer

12 Areal. Vekst under grafer

12 Areal. Vekst under grafer 12 Areal. Vekst under grafer 1 a) Framstill denne funksjonen grafisk: f(x) = 3x + 2 b) Regn ut f(4) og f(3). f (4) f (3) Regn deretter ut. Forklar hva du finner ut. 4 3 f (5) f (2) c) Regn ut. Kommenter

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging Kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene

Tall i arbeid Påbygging Kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene Tall i arbeid Påbygging Kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene 3.1 a Koordinatene til origo er (0, 0). b Vi leser av førstekoordinaten langs x-aksen og andrekoordinaten langs y-aksen for

Detaljer

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a f( x) = 4x+ 0 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[-4x+0,-5,5]. Grafen viser at [ 0, 40] V =. f b gx ( ) =,5x+ 10 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[,5x+10,-10,4].

Detaljer

Løsningsforslag til Eksamen 2P vår 2008

Løsningsforslag til Eksamen 2P vår 2008 Løsningsforslag til Eksamen P vår 008 Delprøve 1 OPPGAVE 1 a) Avlesning av grafen viser at 50 stoler koster 40.000 kroner. Gjennomsnittskostnaden per stol blir da: 40000 = 800 kroner. 50 b) c) = = 4,46

Detaljer

SINUS R1, kapittel 5-8

SINUS R1, kapittel 5-8 Løsning av noen oppgaver i SINUS R1, kapittel 5-8 Digital pakke B TI-Nspire Enkel kalkulator (Sharp EL-506, TI 30XIIB eller Casio fx-82es) Oppgaver og sidetall i læreboka: 5.43 c side 168 5.52 side 173

Detaljer

Løsning av typeoppgaver og eksamensoppgaver med Microsoft Mathematics, WordMat og GeoGebra. Av Sigbjørn Hals

Løsning av typeoppgaver og eksamensoppgaver med Microsoft Mathematics, WordMat og GeoGebra. Av Sigbjørn Hals Løsning av typeoppgaver og eksamensoppgaver med Microsoft Mathematics, WordMat og GeoGebra Av Sigbjørn Hals 1 Innhold Innledning... 3 Typeoppgave 1... 3 Oppgaven... 3 Fremgangsmåten... 4 Løsningen... 4

Detaljer

Talsnes ONE - 995850168 Enhver form for mangfoldiggjørelse av hele eller deler av innholdet av dette materiale er i henhold til norsk lov om

Talsnes ONE - 995850168 Enhver form for mangfoldiggjørelse av hele eller deler av innholdet av dette materiale er i henhold til norsk lov om 1 Eksponentielt vekst: En størrelse vokser eller avtar med en fast prosent per tidsenhet. Eulers tall e: En matematisk konstant, e=2,7 1828.. ln a gir det tallet du må opphøye Eulers tall e i for å få

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

1 Funksjoner og grafiske løsninger

1 Funksjoner og grafiske løsninger Oppgaver Funksjoner og grafiske løsninger KATEGORI. Rette linjer Oppgave.0 Vi har gitt likningene for noen rette linjer. Fll ut tabellene og tegn de rette linjene i hvert sitt koordinatsstem. a) = 3 0

Detaljer

Funksjoner med og uten hjelpemidler

Funksjoner med og uten hjelpemidler Funksjoner med og uten hjelpemidler Plan for i dag og i morgen Dag 1: 09.00-11.45 Del 1: teori. 11.45-12.30 Lunsj 12.30-13.15 Del 2: bruk av GeoGebra. 13.15-15.15 Oppgaveregning, del 1. Dag 2: 09.00-10.45

Detaljer

Eksamen REA3026 Matematikk S1. Nynorsk/Bokmål

Eksamen REA3026 Matematikk S1. Nynorsk/Bokmål Eksamen 28.05.2008 REA3026 Matematikk S1 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: 5 timer:

Detaljer

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Eksamen.05.009 REA30 Matematikk R Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del : Hjelpemidler på Del : Bruk av kilder: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: 5

Detaljer

Lineære funksjoner - Elevark

Lineære funksjoner - Elevark Lineære funksjoner - Elevark -Navn: Oppgave 1 a) Hva koster det å reise for to personer? b) Hvor mange kan reise for 160 kr? c) Hva koster en billett? d) Vi kaller antall personer for x, og utgiftene for

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve 1T 19.05.2011 DEL 1 OPPGAVE 1. a1) Regn ut 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 1 10 32 22 22.

Løsningsforslag heldagsprøve 1T 19.05.2011 DEL 1 OPPGAVE 1. a1) Regn ut 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 1 10 32 22 22. c) Løs likningen 6 4 x 4 x 6 4 x 4 x Løsningsforslag heldagsprøve 1T 19.05.011 DEL 1 OPPGAVE 1 a1) Regn ut 10 8 3 3 10 8 3 3 10 8 1 10 3 a) 3 5 4 5 3 5 5 4 5 3 5 5 3 5 5 4 5 1 3 5 1 5 1 1 3 1 5 1 3 3 5

Detaljer

3. Løs oppgavene ved hjelp av likning a. Summen av tre tall som følger etter hverandre er 51. Hvilke tre tall er det?

3. Løs oppgavene ved hjelp av likning a. Summen av tre tall som følger etter hverandre er 51. Hvilke tre tall er det? Likninger av første grad med en ukjent 1. Løs følgende likninger x 3 + 4x a. + = 16 2x 7 2 x 1 x + 3 b. + 2 = 0 x x 2 1 1 1 c. (2x + 3) (3 4x) = (4x 7) 3 2 6 d. 2 x + 3( 2 x) = 3 2. Lag en likning som

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 4 110 Funksjoner og andregradsuttrykk Studentene skal kunne benytte begrepet funksjoner og angi definisjonsmengde og verdimengde til funksjoner regne med lineære funksjoner og andregradsfunksjoner og bestemme

Detaljer

Oppgave 1. Del A. (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. som desimaltall. 3x 6

Oppgave 1. Del A. (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. som desimaltall. 3x 6 Oppgave 1 (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. (ii) Skriv 314 100 og 4 5 (iii) Forkort brøkene som desimaltall. 12 15 og 3x 6 9x. (iv) Sorter disse seks tallene

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 1 1,8 10 0,0005 Oppgave (3 poeng) A B C D E F G H I J K L På tallinjen ovenfor er det merket av 1 punkter. Hvert av tallene

Detaljer

Matematikk GS3 Temaer våren 2013 DEL 1: GEOMETRI. 1. Måleenheter. 1.1 Lengdeenheter. 1.2 Arealenheter. Eksempel 1: Gjør om 5 m til dm, cm og mm

Matematikk GS3 Temaer våren 2013 DEL 1: GEOMETRI. 1. Måleenheter. 1.1 Lengdeenheter. 1.2 Arealenheter. Eksempel 1: Gjør om 5 m til dm, cm og mm Matematikk GS3 Temaer våren 2013 DEL 1: GEOMETRI 1. Måleenheter 1.1 Lengdeenheter Eksempel 1: Gjør om 5 m til dm, cm og mm m dm 5 m = 5 10 dm = 50 dm m cm 5 m = 5 10 10 cm = 5 10 2 cm = 500 cm m mm 5 m

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold Funksjonstegner... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 3 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 4 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Mer øving

Detaljer

Løsningsforslag for eksempeloppgave REA3026 Matematikk S1 - April 2007. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for eksempeloppgave REA3026 Matematikk S1 - April 2007. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for eksempeloppgave REA3026 Matematikk S1 - April 2007 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i S1 er gratis, og det er

Detaljer

Høsten 2015 Bokmål. Prøveinformasjon. Prøvetid: Hjelpemidler på Del 1 og Del 2: Framgangsmåte og forklaring: Del 1 (32,5 poeng) Del 2 (29 poeng)

Høsten 2015 Bokmål. Prøveinformasjon. Prøvetid: Hjelpemidler på Del 1 og Del 2: Framgangsmåte og forklaring: Del 1 (32,5 poeng) Del 2 (29 poeng) Høsten 2015 Bokmål Navn: Gruppe: Prøveinformasjon Prøvetid: Hjelpemidler på Del 1 og Del 2: Framgangsmåte og forklaring: 5 timer totalt. Del 1 og Del 2 blir utdelt samtidig. Del 1 skal du levere innen

Detaljer

Løsningsforslag for 1P høsten 2015

Løsningsforslag for 1P høsten 2015 Løsningsforslag for 1P høsten 015 Dette løsningsforslaget er mest en veiledning til hvordan oppgaven kan løses og forstås. Noen av forklaringene som er gitt kan greit utelates i en besvarelse. Del 1 Oppgave

Detaljer

Delprøve 1. 8 f) Regn ut. Forklar hvor i Pascals trekant du finner denne binomialkoeffisienten. 6

Delprøve 1. 8 f) Regn ut. Forklar hvor i Pascals trekant du finner denne binomialkoeffisienten. 6 Delprøve 1 OPPGAVE 1 a) Deriver funksjonen ( ) = + 3 f x 3x x 7 b) Bestem den gjennomsnittlige veksthastigheten til funksjonen f( x ) = 3 x fra x = 0 til x = 3. c) Skriv så enkelt som mulig x 3 + x 9 3x

Detaljer

Bokmål. Eksamensinformasjon

Bokmål. Eksamensinformasjon Eksamen 27052010 REA022 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på del 1: Hjelpemidler på del 2: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: 5 timer: Del

Detaljer

Eksempeloppgåve/ Eksempeloppgave 2009

Eksempeloppgåve/ Eksempeloppgave 2009 Eksempeloppgåve/ Eksempeloppgave 2009 MAT1011 Matematikk 1P Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Bruk av kilder: Vedlegg: Framgangsmåte:

Detaljer

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Oppgave 1 Løs ulikheten x + 6 5 x + 2 Strategien er å

Detaljer

Oppgave 1 a) Tegn grafene til de tre funksjonene nedenfor i samme koordinatsystem i GeoGebra

Oppgave 1 a) Tegn grafene til de tre funksjonene nedenfor i samme koordinatsystem i GeoGebra kompetansemålet: Funksjoner - undersøkje funksjonar som beskriv praktiske situasjonar, ved å fastsetje nullpunkt, ekstremalpunkt og skjeringspunkt og tolke den praktiske verdien av resultata. Oppgave 1

Detaljer

2T kapittel 3 Modellering og bevis Løsninger til innlæringsoppgavene

2T kapittel 3 Modellering og bevis Løsninger til innlæringsoppgavene T kapittel 3 Modellering og bevis Løsninger til innlæringsoppgavene 3.1 a Modellen gir følgende verdier for årene i oppgaven: År 1955 1985 015 Folketall (millioner) 3,5 4, 4,8 b Setter vi inn for = 00

Detaljer

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009 Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne

Detaljer

I Katalog velger du: Ny eksamensordning i matematikk våren 2015

I Katalog velger du: Ny eksamensordning i matematikk våren 2015 CAS teknikker H-P Ulven 10.12.2014 Innledning Våren 2015 gjelder nye regler for bruk av digitale hjelpemidler: Når det står "Bruk CAS", så må kandidaten bruke CAS, og når det står "Bruk graftegner", så

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 9A og 9B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 9A Kapittel A GEOMETRI Regulære mangekanter Når alle sidene er like lange og alle vinklene er like store i en mangekant, sier vi

Detaljer

Eksamen 1P, Høsten 2011

Eksamen 1P, Høsten 2011 Eksamen 1P, Høsten 2011 Del 1 Tid: 2 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (18 poeng) a) Bjørn skal lage havregrøt. Han har 6 dl

Detaljer

Faktor terminprøve i matematikk for 9. trinn

Faktor terminprøve i matematikk for 9. trinn Faktor terminprøve i matematikk for 9. trinn Våren 2013 bokmål Navn: Gruppe: Informasjon Oppgavesettet består av to deler hvor alle oppgaver skal besvares. Del 1 og del 2 blir delt ut samtidig, men del

Detaljer

Kapittel 8. Inntekter og kostnader. Løsninger

Kapittel 8. Inntekter og kostnader. Løsninger Kapittel 8 Inntekter og kostnader Løsninger Oppgave 8.1 (a) Endring i bedriftens inntekt ved en liten (marginal) endring i produsert og solgt mengde. En marginal endring følger av at begrepet defineres

Detaljer

Eksamen REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål

Eksamen REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål Eksamen 29.11.2011 REA302 Matematikk R2 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer. Del 2 skal leveres

Detaljer

Eksamen 23.11.2011. MAT1011 Matematikk 1P. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 23.11.2011. MAT1011 Matematikk 1P. Nynorsk/Bokmål Eksamen 23.11.2011 MAT1011 Matematikk 1P Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Framgangsmåte: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer.

Detaljer

Kapittel 9. Funksjoner

Kapittel 9. Funksjoner Kapittel 9. Funksjoner Funksjon er et av de viktigste begrepene i matematikken. Funksjoner handler om sammenhengen mellom to størrelser. Dette kapitlet handler blant annet om: Hva en funksjon er. Lineære

Detaljer

Eksamen 31.05.2011. REA3028 Matematikk S2. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 31.05.2011. REA3028 Matematikk S2. Nynorsk/Bokmål Eksamen 1.05.2011 REA028 Matematikk S2 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer. Del 2 skal leveres

Detaljer

Eksamen REA3024 Matematikk R2

Eksamen REA3024 Matematikk R2 Eksamen 03.1.009 REA304 Matematikk R Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : Bruk av kilder: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen:

Detaljer

Lineære funksjoner. Skjermbildet

Lineære funksjoner. Skjermbildet Lineære funksjoner I dette opplæringsløpet lærer du å tegne funksjoner i GeoGebra samt å bruke verktøy til å løse oppgaver som dreier seg om funksjoner. Alle oppgavene handler om lineære funksjoner. I

Detaljer

Eksempeloppgåve / Eksempeloppgave

Eksempeloppgåve / Eksempeloppgave Eksempeloppgåve / Eksempeloppgave Matematikk S1 April 007 Programfag i studiespesialiserande program / Programfag i studiespesialiserende program Elevar/Elever Privatistar/Privatister Oppgåva ligg føre

Detaljer

2P kapittel 2 Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene

2P kapittel 2 Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene P kapittel Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene.1 a c d e y = 4x+ 1 Stigningstallet er 4. Konstantleddet er 1. Linja skjærer altså y-aksen i punktet (0,1). y = 3x 4 Stigningstallet er 3. Konstantleddet

Detaljer

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN I MATEMATIKK 10. TRINN SKOLEÅR 2014-2015

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN I MATEMATIKK 10. TRINN SKOLEÅR 2014-2015 Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN I MATEMATIKK 10. TRINN SKOLEÅR 2014-2015 Periode 1: UKE 34 UKE 39 Tema: Tall og algebra Kunne skrive tall på ulike måter. Skrive veldig store og små tall

Detaljer

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATTE 10.TRINN SKOLEÅR 2015-2016. Side 1 av 9

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATTE 10.TRINN SKOLEÅR 2015-2016. Side 1 av 9 Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATTE 10.TRINN SKOLEÅR 2015-2016 Side 1 av 9 Periode 1: UKE 34-UKE 39 Tall og Algebra Analysere sammensatte problemstillinger, identifisere

Detaljer

Løsning eksamen 1T våren 2010

Løsning eksamen 1T våren 2010 Løsning eksamen 1T våren 010 Oppgave 1 a) 4 3 1 y - -1 1 3 4 5 6-1 x - -3-4 Nullpunktet er gitt ved f ( x) 0 x 30 x 3 3 x 1, 5 Dette ser vi stemmer med grafen. Den skjærer x-aksen i x = 1,5. b) x x 8x

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Eksamen 25.05.2011. MAT1015 Matematikk 2P. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 25.05.2011. MAT1015 Matematikk 2P. Nynorsk/Bokmål Eksamen 25.05.2011 MAT1015 Matematikk 2P Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Framgangsmåte: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer.

Detaljer

Eksamen 19.05.2010. MAT1011 Matematikk 1P. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 19.05.2010. MAT1011 Matematikk 1P. Nynorsk/Bokmål Eksamen 19.05.2010 MAT1011 Matematikk 1P Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer. Del 2 skal leveres inn senest etter 5 timer. Hjelpemidler

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

10 Funksjoner. Men vi kan skrive dette enklere rent matematisk. Hvis vi kaller lønnen for L og antall timer for t, kan vi skrive LðtÞ ¼70 t

10 Funksjoner. Men vi kan skrive dette enklere rent matematisk. Hvis vi kaller lønnen for L og antall timer for t, kan vi skrive LðtÞ ¼70 t 10 Funksjoner En funksjon er i matematisk forstand en (entydig) sammenheng mellom to eller flere variabler. Hvis Mari, som er en skoleelev på 16 år, har en lørdagsjobb og tjener kr 70 per time, vil hennes

Detaljer

Eksempelsett R2, 2008

Eksempelsett R2, 2008 Eksempelsett R, 008 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f x x cosx f x cosx x s x f x cosx 6x sinx

Detaljer

10 Funksjoner. Lineære funksjoner

10 Funksjoner. Lineære funksjoner 10 Funksjoner Lineære funksjoner 1 En bedrift skal produsere postkasser og kalkulerer med faste kostnader på 15 000 kroner og variable kostnader på 50 kroner per kasse. a) Hva koster det totalt å produsere

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008

Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008 Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008 eksamensoppgaver.org September 14, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i R1 er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Nasjonale prøver. Matematikk 10. trinn Oppgave 2

Nasjonale prøver. Matematikk 10. trinn Oppgave 2 Nasjonale prøver 2005 Matematikk 10. trinn Oppgave 2 Skolenr.... Elevnr.... Gutt Omslag_skriv_mate_10.indd 1 Jente Bokmål 15. mars 2005 03-02-05 12:54:02 Alt du gjør, skal skrives i dette heftet. Når

Detaljer

Scooter/moped Motorsykkel Thales

Scooter/moped Motorsykkel Thales Eksamen 20.05.2011 MAT0010 Matematikk 10. årstrinn (Elever) Del 2 Scooter/moped Motorsykkel Thales Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 2: 5 timer totalt. Del 1 og Del 2 skal

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Skriv tallet 2460000 på standardform. b) Regn ut: 3 3 3 2 81 4 + 12 5 + 8 + 4 3 c) Løs likningssystemet: 2x y = 3 x+ 2y = 4 d) Løs ulikheten: 2 2x + 2x+ 4 0 e) Løs

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (18 poeng) a) Skriv på standardform 0,000 533 b) Regn ut 1) 8 2 2 2) 2 2 3 3 2 c) Politiet har gjennomført en fartskontroll i 30 km-sonen utenfor skolen. Resultatene er

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL Uten hjelpemidler Oppgave (8 poeng) a) Løs likningene ) 7 + + = 6 3 6 ) = 0 b) Løs likningssystemet y= y+ = 3 c) ) Løs likningen 3 = 4 ) Finn en formel for når y = a b d) Vi har gitt funksjonen: (

Detaljer

Eksempeloppgave 2008. REA3024 Matematikk R2. Bokmål

Eksempeloppgave 2008. REA3024 Matematikk R2. Bokmål Eksempeloppgave 008 REA04 Matematikk R Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del : Hjelpemidler på Del : Bruk av kilder: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: 5 timer:

Detaljer

Koordinatsystem med levende funksjoner trinn 90 minutter

Koordinatsystem med levende funksjoner trinn 90 minutter Lærerveiledning Passer for: Varighet: Koordinatsystem med levende funksjoner 8. - 10. trinn 90 minutter Koordinatsystem med levende funksjoner er et skoleprogram hvor elevene får fysisk og praktisk erfaring

Detaljer