Kompetansemål: Stig 1 Stig 2 Stig Einingar for lengd og areal 2.2 Målegrannsemd 200, 201, 202, 206, , 211, 212, 213, 215

Transkript

1 2 Geometri Kompetnsemål: Mål for opplæring er t eleven skl kunne ruke formlikskp og Pytgors' setning til erekningr og i prktisk reid løyse prktiske prolem som gjeld lengd, vinkel, rel og volum ruke vrierte måleiningr og målereiskpr, og nlysere og drøfte presisjon og målenøyktigheit tolke og frmstille reidsteikningr, krt, skisser og perspektivteikningr knytte til yrkesliv, kunst og rkitektur lge og kjenne tt mønster v like eller ulike former som kn fylle heile plnet STIGFINNREN Stig 1 Stig 2 Stig Einingr for lengd og rel 2.2 Målegrnnsemd 200, 201, 202, 206, , 201, 202, 203, 204, 206, , 201, 204, 205, 206, 207, Formlikskp 209, 211, 212, 213, , 211, 212, 213, 214, 215, , 211, 213, 214, 215, 216, 218, rel og omkrins v plne figurr 2.5 Rettvinkl trekntr Pytgors 2.6 Krt og reidsteikningr 220, 221, 223, 224, 225, 231, 232, 243, 245, 246, , 221, 222, 224, 225, 226, 229, 232, 234, 235, 237, 243, 245, , 222, 224, 227, 229, 230, 232, 234, 237, 241, 242, 244, 245, Volum og volumeiningr 249, 250, 251, 252, 253, 2.8 Overflte v romfigurr 256, 263, Meir om utrekning v volum 249, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 263, , 255, 256, 257, 260, 262, 263, 264, Perspektivteikning 272, 273, 274, 277, 278, 272, 274, 276, 277, 278, 272, 274, 277, Regulære mngekntr 2.12 Former som kn fylle plnet 282, , , 284, 286 Rett eller gle?: s. 55 lnd oppgåver (289 X2.4): s. 56 Utvlde løysingr: s. 141 Grunnleggjnde ferdigheiter: Munnlege ferdigheiter: 200, 209, 210, 214, 220, 221, 222, 272 Skriftlege ferdigheiter: 200, 209, 210, 214, 220, 221, 222, 242, 248, 272 Leseferdigheiter: 214, 242, 247, 290, 292 Digitle ferdigheiter: 277, 293, 294 Interktive oppgåver: Lokus.no

2 30 Kpittel 2: Geometri 2.1 Einingr for lengd og rel 2.2 Målegrnnsemd 200 Korleis tenkjer du når du skl gjere om frå éi lengdeeining til ei nn frå éi releining til ei nn Vel sjølv nokre tleksempel som illustrerer forklringne dine. 201 Kor mnge dm 2 er 400 cm 2? Kor mnge m 2 er 6000 mm 2? c Kor mnge cm 2 er 0,15 dm 2? d Kor mnge cm 2 er 0,004 m 2? 202 Eit område på 0,4 kvdrtkilometer lei lgt ut til eit tomteområde.. 15 % v området lei rukt til vegr og frirel. Det lei i lt lgt ut 350 tomter. Kv vr gjennomsnittleg tomtestorleik? 203 På sjøen reknr ein gjerne frten i knop. 1 knop er det sme som éi nutisk mil per time, og éi nutisk mil er 1852 m. Kor mnge kilometer per time er éin knop? Kor mnge meter per sekund er éin knop? For å fortelje kor mykje ensin ein il ruker, oppgir vi forruket i liter per mil. Ein moderne fmilieil ruker 0,65 liter per mil. Kor mykje ensin ruker ilen på 150 km? Kor lngt kn ilen køyre på ein tnk som rommr 50 liter? I US måler ein vegstrekningr i miles. Volum måler ein i gllons. 1 mile = 1609 m og 1 US gllon = 4,546 liter. Når ein oppgir ensinforruket i US, oppgir ein kor lngt ilen kn køyre på éin gllon. c Korleis vil du oppgi ensinforruket (miles per gllon) til ein venn i US når det i Noreg lir oppgitt til 0,65 liter per mil? (Eksmen 1M- våren 1998) I Englnd lir pund og unser (pounds nd ounces) frmleis rukte som einingr 1 for vekt. 1 l = 1 pound = 454 g. 1 oz = 1 ounce = 16 l. Kor mnge grm er 1 oz? Lis vr i London. Ho kjøpte ein oks hermetiske mndrinr med nettovekt 13 oz og ein oks nns med nettovekt 2 l 30 oz. Finn nettovektene i kilogrm. Frtsgrensene i Englnd lir oppgitt i mi/h, miles per hour (som ofte er forkort mph). 1 mile (mi) = 1609 m. c Ein ilturist kjem til eit skilt som viser t frtsgrens er 40 mph. Kor mykje er det i km/h? d Ein ritisk turist i Noreg kjem til eit skilt som viser 50 km/h. Kor mykje er det i mph?

3 Kpittel 2: Geometri 31 * 206 Det tilrådde lufttrykket i eit ildekk er ( 200 ± 10)kP. kp står for kilopscl. Kv er det største tilrådde lufttrykket? Kv er det minste tilrådde lufttrykket? Ei lengd er målt til 25,2 m med ein reltiv feil på 2 %. Finn øvre og nedre grense for lengd. c relet v ei tomt lir oppgitt til ( 930 ± 5)m. Kor stor er den reltive feilen? d Vi måler lengd v ei slette til ( 280 ± 2)m og reidd til ( 60 ± 1) m. Korleis ør vi oppgi relet? e Du skl kjøpe eit måleinstrument som måler vstndr frå 50 til 100 m. Du kn velje mellom Supervstnd og Esyruk. Supervstnd hr ein solutt feil på ± 1 m. Esyruk hr ein reltiv feil på ± 1,5 %. Kv for eit instrument vil du velje? 207 I utikken får du oppgitt t reidd på eit kjøleskp er 60,0 cm. Kv kn du då gå ut frå t den verkelege reidd ligg mellom? Kv for ei v desse lengdene er oppgitt med flest gjeldnde siffer: 1 0,040 m 2 0,0400 m 3 0,00040 m c Vi skl rekne ut relet v eit rektngel. Lengd er målt til 3,25 m og reidd til 1,9 m. Rekn ut relet. d Ky ruker 46 sekund på å springe 284 meter. Kor lngt spring hn på eitt minutt dersom hn held den sme frten? 208 Ein mskin skl frmstille pinnr med lengd ( 1270 ± 30) mm. Ei kontrollmåling v dei 24 første pinnne gv dette resulttet, målt i millimeter: Kor mnge pinnr hdde godkjend lengd? 2.3 Formlikskp 209 Kv tyder det t to figurr er formlike? Kv må du vite om ein treknt når du skl teikne ein ny treknt som er formlik med? c Kv må du vite om ein firknt D når du skl teikne ein ny firknt som er formlik med D?

4 32 Kpittel 2: Geometri 210 Trekntne og DEF er formlike. F 4 2 D 3 E Lrs skulle finne lengd v EF. Hn fekk 5 til svr. Er dette rett svr? Korleis trur du Lrs hr tenkt? Kommenter. * 211 Trekntne er formlike. 10 cm 6 cm y 3 cm x 4 cm Rekn ut sidene x og y. Rekn ut relet v egge trekntne. c Kv er forholdet mellom rel v trekntne? For to formlike mngekntr veit vi t forholdet mellom to tilsvrnde sider er 3. d 1 Finn relet v den største mngeknten dersom relet v den minste er 25 cm 2. 2 Finn relet v den minste mngeknten dersom relet v den største er 117 cm Ein solrik dg kstr eit tre ein skugge på 45 m. Treet står på ei pln flte. Ved sid v treet står det ein loddrett stur på 1,4 m. Sturen kstr ein skugge på 3,5 m. Rekn ut kor høgt treet er. 213 Eit negtiv hr mål 2,2 cm 3,4 cm. Det skl lgst eit fotogrfi v negtivet. Lngsid skl vere 24 cm. Kor lng lir kortsid? Ein plkt hr mål 64 cm 94 cm. Plkten skl forminskst slik t den kortste sid lir 36 cm. Kor lng lir den lengste sid?

5 Kpittel 2: Geometri Gunnr skl forklre Odd korleis Odd kn finne vstnden mellom to punkt og som ligg på kvr si side v ei elv. Gunnr teiknr denne skiss: E D Odd hr prolem med å forstå metoden til Gunnr. ruk skiss og lg ei forklring til Odd på den metoden Gunnr ruker. 215 D E Forklr kvifor treknten er formlik med treknten ED. Finn lengd v DE når = 9,0 cm, = 6,0 cm og E = 4,0 cm. 216 På figuren hr vi t = 3,0 cm, = 6,3 cm og = 7,0 cm. D Forklr kvifor treknten er formlik med treknten D. Finn lengd v D og lengd v D.

6 34 Kpittel 2: Geometri 217 2,5 cm 1,5 cm D E Rekn ut. 3,1 cm 5,2 cm D 2,0 cm 3,7 cm Rekn ut D. 218 D S I trpeset D er prllell med D. Digonlne og D skjer kvrndre i S. = 6 cm, D = 4 cm, S = 2 cm og DS = 3 cm. Vis t trekntne S og DS er formlike. Rekn ut S og S. 219 På figuren er linj DE prllell med. Vis t trekntne og DE er formlike. Kv er forholdet mellom høgdene i trekntne DE og? c Kv er forholdet mellom omkrinsne v trekntne? d Kv er forholdet mellom rel v trekntne? D 20 E 50 40

7 Kpittel 2: Geometri rel og omkrins v plne figurr 2.5 Rettvinkl trekntr Pytgors 2.6 Krt og reidsteikningr 220 Korleis ser eit rektngel ut? Kn eit rektngel vere eit kvdrt? Kn eit kvdrt vere eit rektngel? c Teikn eit trpes, set på mål og rekn ut relet v trpeset. Finst det ndre trpes som hr like stort rel? Dersom du meiner j, teikn nokre slike trpes. d Per skl løyse ei geometrioppgåve som egynner slik: «I ein firknt er to og to sider like lnge.» Då må firknten vere eit rektngel, seier Per. Hr hn rett? 221 c d e f Kv for ein v trekntne er rettvinkl? Kv kjenneteiknr ein rettvinkl treknt? Kv for ein v trekntne er likesid? Kv kjenneteiknr ein likesid treknt? Kv for ein v trekntne er likeeint? Kv kjenneteiknr ein likeeint treknt? Kn ein likeeint treknt også vere rettvinkl? Kn ein likeeint treknt også vere likesid? Kn ein likesid treknt også vere likeeint? 222 I ein treknt er vinklne 30, 60 og 90. Kv veit du om lengd v sidene i treknten? I ein treknt er vinklne 45, 45 og 90. Kv veit du om sidene i denne treknten? c I ein likeeint treknt er éin v vinklne 50. Kor store kn dei ndre vinklne vere? d ruk pssr og linjl og konstruer ein treknt når 1 = 8 cm, = 90 og =12cm 2 = 12 cm, = 45 og = 60 3 = 90, = 9 cm og =12cm e Skriv ei ruksrettleiing for dei tre konstruksjonne i oppgåve d.

8 36 Kpittel 2: Geometri 223 Ein vernd hr form som eit trpes. Dei to prllelle sidene er 4,0 m og 2,5 m lnge. vstnden mellom dei (reidd på vernden) er 1,8 m. Teikn ein figur som viser korleis vernden kn sjå ut. Rekn ut relet v vernden. * 224 Eit ovlt ord er sett smn v ein rektngulær del og to hlvsirkelform delr. Den rektngulære delen v ordet er 1,40 m lng og 1,10 m rei. Rekn ut relet v det ovle ordet. Rekn ut omkrinsen v det ovle ordet. c Kor mnge gjester er det plss til rundt ordet dersom vi reknr med t det trengst c. 60 cm ordplss per gjest? 225 Ein hgeflekk hr denne form: 4,4 m 5,0 m 7,0 m 4,6 m Det skl setjst opp eit enkelt gjerde rundt hgen. Kor mnge meter gjerde trengst det? Finn relet v hgen. Kor mnge måtr kn du finne relet på?

9 Kpittel 2: Geometri 37 Ein korridor hr denne form: 8,0 m 1,5 m 6,3 m 2,0 m c Det skl leggjst teppe i korridoren. Teppet kostr 285 kr per m 2 inklusiv legging. Kor mykje vil det koste å leggje teppe i korridoren? 226 4,0 m 2,0 m c 8,0 m 0,5 m 4,0 m 0,75 m Rekn ut relet v figurne. 227 Kv skjer med relet v eit rektngel dersom vi gjer lengd 10 % større og smtidig gjer reidd 10 % mindre? 2,0 cm 2,0 cm Teikn eit kvdrt som hr doelt så stort rel som kvdrtet på figuren.

10 38 Kpittel 2: Geometri D F E D og EF er kvdrt. c Forklr geometrisk t relet v EF på figuren er doelt så stort som relet v D. d Sjå oppgåve c. Vis det sme ved rekning. 228 E D På figuren er = 7,0 cm, D = 6,0 cm og E = 6,5 cm. Finn lengd v m 25 m 45 m Ein fmilie skl gjødsle plenen. Dei reknr med t det går med 2,4 kg gjødsel per 100 m 2. Plenen hr tilnærm form som eit trpes. Mål ser du på figuren. Kor mykje gjødsel går det med?

11 Kpittel 2: Geometri Figuren viser flt som lir dekt v vindugsviskren på ein il. Viskrrmen er 52 cm lng, og viskrldet er 53 cm. Viskrrmen er fest midt på viskrldet. Viskren dreier ein vinkel på 120. Kor stor flte dekkjer hn? cm 52 cm 231 x 5,0 cm 4,5 cm 3,2 cm z 5,4 cm 4,0 m y Rekn ut den ukjende sid i trekntne. 5,0 cm * 232 2,6 m c d e 15,2 m Figuren viser eit tre som er knekt. Kor høgt vr treet? Lrs hr ein stige som er 6,5 m lng. Hn plsserer foten v stigen 2,5 m frå veggen. Kor høgt opp på veggen når stigen? (Teikn figur.) Pmel sym 65 utover, vinkelrett på strnd. Deretter sym ho 160 m prllelt med strndknten. Til slutt sym ho kortste vegen tilke til utgngspunktet. Vi reknr med t strndknten er rettlinj. Finn ut kor lngt ho hr sumt til smn på denne symjeturen. Heime hos Tove er kjellrdør 1,05 m rei og 210 cm høg. Tove hr kjøpt ei plte som er 2,40 m rei og 2,30 m høg. Kjem ho til å få plt inn gjennom kjellrdør? Finn lengd v digonlne i eit rektngel med sider 12 cm og 16 cm. 233 Rekn ut relet og omkrinsen v trpeset. Kv lir relet og omkrinsen dersom vi eheld vinklne, men dolr lengd v sidene i oppgåve? D 3,4 m 3,2 m 5,5 m

12 40 Kpittel 2: Geometri 234 Rekn ut D på figuren. D 5,0 m 2,0 m 4,0 m 235 Finn lengdene v x og y på figuren. 3,0 cm y 7,0 cm 4,0 cm x y 2,5 cm x 2,5 cm 5,6 cm 236 Undersøk om treknten er rettvinkl når sidene i treknten er 15, 20 og 25 16, 20 og 26 c 10, 24 og 26 * 237 Jn Olv hr kjøpt eit fjernsynspprt med 32 widescreen. 32 h 32 er lengd v digonlen, og widescreen tyder t fjernsynspprtet er lg på å t imot progrm som lir sende i formtet 16 : 9. Formtet lir oppgitt som : h. Det tyder ltså t : h= 16 : 9. Rekn ut reidd og høgd på skjermen. På nyre fjernsynspprt er det mogleg å yte mellom ulike iletformt. Mnge fjernsynsprogrm lir frmleis sende i stndrdformtet 4: 3. Jn Olv stiller om formtet til 4: 3. Hn får då ei svrt stripe på kvr side v iletet. Kor rei er denne strip?

13 Kpittel 2: Geometri m S 2 m Den minste ogen frå til på figuren er ein del v ein sirkel med sentrum i. Den største ogen er ein del v ein sirkel med sentrum i S. Rekn ut relet v området mellom og den minste sirkelogen frå til. Rekn ut relet v det skrverte området. 239 Rekn ut. 5,0 cm Ein edderkopp som sit i hjørnet i øskj på figuren, vil krype til hjørnet. Kor lng er den kortste vegen edderkoppen kn krype? 20 cm 30 cm 40 cm

14 42 Kpittel 2: Geometri 241 Per hr lg ein reiskp til å kontrollere rette vinklr. Reiskpen er form som ein treknt med ekstr støtte D. Sjå figuren nednfor. D er midtpunktet på, ogd er like lng som D. D D = D = D Per måler ikkje lengdene v og, for hn meiner t lir ein rett vinkel i lle høve, erre D, D og D er like lnge. Men hn greier ikkje heilt å forklre dette. Korleis vil du forklre t lir ein rett vinkel? (Eksmen 1M- husten 1997) 242 Det finst fleire evis for pytgorssetning. Eitt v evis tek utgngspunkt i denne figuren: c c c c Set opp to uttrykk for relet v det store kvdrtet og ruk det til å evise pytgorssetning. Finn fleire evis for pytgorssetning. Du kn for eksempel søkje på pythgoren theorem proof på Internett.

15 Kpittel 2: Geometri Krtutsnittet nednfor er i målestokk 1 : Gnsdlen jørkelngen Målestokk 1 : Løken Kor lngt er det i luftlinje frå Gnsdlen til Løken? Kor lngt er det i luftlinje frå Gnsdlen til jørkelngen? 244 Teikn ei skisse v omslget på mtemtikkok i målestokk 1 : 3. Finn frm ein inders eller ein nnn liten gjenstnd. Teikn ei skisse v gjenstnden i målestokk 2 : Til høgre er det eit krt over ntrktis. Gi eit overslg over relet v ntrktis ved hjelp v målestokken på krtet. Vis kv du gjorde, og forklr korleis du gjorde overslget. (PIS) N T R K T I S Sørpolen Menziesfjellet km

16 44 Kpittel 2: Geometri reidsteikning viser plnløysing v første etsje i ei hytte. Kor stor er grunnflt v hytt (inklusiv yttervegger)? Kor mnge kvdrtmeter er soverommet på? c Kv målestokk er rukt? d Korleis ser drumehytt di ut? Lg ei reidsteikning som viser ei tenkt plnløysing v første etsje i drumehytt. Hugs å setje mål på reidsteikning. 247 Lrs skl snikre ein okreol. Reolen skl vere 2,05 m høg, 1,2 m rei og 25 cm djup. Det skl vere like stor vstnd mellom hyllene i reolen, og det skl vere plss til øker som er 30 cm høge. Lrs hr kjøpt inn mterilr som er 15 mm tjukke. Lg nokre reidsteikningr som Lrs kn ruke. Vel ein høveleg målestokk og set mål på teikningne. 248 Du skl tinge eit nytt ord til spisestov hos ein møelsnikkr. Snikkren er om å få nokre skisser v ordet med mål. Vel form og storleik på ordet og teikn nokre skisser i ein høveleg målestokk. 2.7 Volum og volumeiningr 2.8 Overflte v romfigurr 2.9 Meir om utrekning v volum 249 Nednfor ser du nokre måltl med eining. Du kn leggje smn nokre v dei. Kv for nokre kn du leggje smn? Kv lir summen? 3,0 dm 3,5 liter 2 dl 1,8 dm 3 2,5 dm2

17 Kpittel 2: Geometri Når vi lkkerer eit golv, lir lkklget om lg 0,05 mm tjukt. Kor mnge liter lkk treng vi til eit golv som er 5,6 m lngt og 4,4 m reitt? 251 Eit rett prisme hr ei kvdrtisk grunnflte med side 1,5 dm. Høgd i prismet er 25 cm. Teikn figur v prismet i utrett tilstnd. Set mål på figuren. Rekn ut volumet og overflt v prismet. 252 Ei rund kkeform hr ein indre dimeter på 20 cm og er 6,0 cm høg innvendig. Kor stort volum hr form? Ein kjele hr form som ein sylinder med indre dimeter på 24 cm. Vi fyller 7,5 liter vtn i kjelen. Vtnet står då 1,5 cm under knten. otnen er 10 mm tjukk. Kor høg er kjelen? c Eit litermål hr form som ein sylinder med indre dimeter på 11,0 cm. Kor lngt er det frå otnen og opp til merket for 3 dl? 253 Ein vskepulverpkke er 14 cm lng, 5,0 cm rei og 13 cm høg. Teikn figur v pkken og set på mål. Rekn ut overflt v pkken. c Kor mnge desiliter vskepulver er det plss til i pkken? 254 I 1872 estemte English Footll ssocition t fotllen skulle vere kuleform, og t omkrinsen skulle vere mellom 68,6 cm og 71,1 cm. Dette gjeld den dg i dg. Rekn ut den største og den minste overflt ein fotll kn h. 255 Ein kokosolle hr form som ei hlvkule med dimeter 7,0 cm. Finn overflt og volumet v kokosollen. * Ein juskrtong hr rektngelform grunnflte med sider 9,5 cm og 6,3 cm. Kor høg må krtongen vere for å romme 1 liter jus? Kor mykje jus er det i krtongen når jusen står 10,5 cm over otnen? Du skl uke nten lengd eller reidd eller høgd i prismet med 1 cm. Høgd 3 cm reidd 4 cm Lengd 8 cm Kv må du endre på for t uken i volumet skl li minst mogleg størst mogleg

18 46 Kpittel 2: Geometri 258 Du skl lge ein ehldr som rommr c. 2 liter. Du kn fritt velje form på ehldren. Teikn skisse v nokre ehldrr. Set mål på skissene cm 16 cm 3 cm Er det plss til 0,5 liter drikke i dette egeret? 50 cm 50 cm 260 Figuren viser den utrett sideflt i ei kjegle. Finn rdien og høgd i kjegl. c Kv lir overflt v heile kjegl? Figuren viser ei rettvkort kjegle. Volumet er gitt ved 1 V = πh R + R r + r ( ) r h der r og R er rdine i endefltene. Rekn ut volumet v ei rettvkort kjegle når r = 30, cm, R = 40, cm og h = 55, cm. Ein lomstervse hr form som vist på figuren. Finn volumet v lomstervsen i liter. c Kontroller formelen ovnfor ved å setje r = R. Kn du finne ein nnn måte å kontrollere formelen på? 4,5 cm R 5 cm 10 cm 3,5 cm

19 Kpittel 2: Geometri Figuren viser fem tennisllr i ein sylinderform ehldr. Dimeteren på tennisllne (og ehldren) er 6 cm. Kor stor er overflt v ehldren? Kor stor del v volumet v ehldren er tomrom? c Korleis kn du finne svret på spørsmålet i med eit forsøk med vtn? 262 Eit sseng hr form som ei omvendt kjegle med rdius 1,50 m og djupn 1,00 m. 1,50 m ssenget lir fylt med vtn frå ein hgeslnge. 1,00 m Vtnet står på for fullt heile tid. Det tek 24 minutt å fylle ssenget heilt opp. Rekn ut vstnden frå ssengknten og ned til otnen v ssenget. Finn volumet v ssenget. c Kor lng tid tek det til før vtnet står 50 cm høgt? d Kv for ein v grfne skildrr est korleis vsshøgd stig? Grunngi svret. vsshøgd vsshøgd vsshøgd tid tid tid * 263 I ein rett, firknt pyrmide er grunnflt eit kvdrt med side 6,0 cm. Høgd i pyrmiden er 5,0 cm. Punktet D ligg slik t D = D. Toppunktet ligg rett over midtpunktet E i grunnflt. Rekn ut høgd i sideflt ( på figuren). Rekn ut overflt v pyrmiden. c Rekn ut lengd v. h E D 264 I ei rett kjegle er rdien 8,0 cm og høgd 15 cm. Rekn ut sideknten s. Finn overflt v kjegl. h s r

20 48 Kpittel 2: Geometri 265 I ein rett sylinder er høgd lik rdien i grunnflt. Vis t overflt er gitt ved 2 O= 4 πr. 266 h 36 cm 27 cm 54 cm Når vi skjer ort den øvste delen v ei kjegle slik figuren viser, får vi ei vkort kjegle. Ein lmpeskjerm hr form og mål som den vkort kjegl på figuren. Dei to sirklne som vgrensr toppen og otnen v kjegl, hr dimetrne 27 cm og 54 cm. Sideknten er 36 cm. Finn høgd på lmpeskjermen. Finn høgd på kjegl. c Rekn ut kor mnge dm 2 stoff som går med til skjermen. 267 Det skl støypst ein sylinderform etongkum. otnen og veggene hr den sme tjukn. 1,45 m 1,80 m 268 1,60 m Kor mnge kuikkmeter etong går med til støyping? Eit grensemerke estår v ein sylinder med ei kjegle på toppen. Mål ser du på figuren. Rekn ut volumet v grensemerket. Rekn ut sideknten i kjegl. c Rekn ut overflt v grensemerket. 50 cm 30 cm 70 cm

21 Kpittel 2: Geometri Figuren viser ein mskindel. Delen er eit prismeform jernstykke med ei sylinderform utoring. Lengd v jernstykket er 30 cm. Endefltene er kvdrtiske med sider 15 cm. Dimeteren i utoring er 8,0 cm. Finn volumet v metllet i mskindelen. Skriv ei ruksrettleiing som fortel kv vi må måle når vi skl rekne ut volumet v ei utoring v sme form som i oppgåve. Skriv også med ord korleis ein skl rekne ut volumet v metllet. 270 Med kor mnge prosent ukr volumet v ei kule dersom rdien lir 10 % større? 271 Grunnflt i ein pyrmide er eit rektngel med sider 40 cm og 30 cm. Kvr v dei fire sidekntne i pyrmiden er 50 cm lnge. Vi tenkjer oss t vi klipper lngs sidekntne og rettr ned sidefltene slik t vi får ein pln figur. Lg ei teikning v den plne figuren. Rekn ut relet v den plne figuren Perspektivteikning 272 ilet i oppgåve 273 og 274 viser nokre v dei grunnprinsipp vi ruker i perspektivteikning. Kv for prinsipp er det? 273 Kopier iletet og estem forsvinningspunkt. Lg ei perspektivteikning v huset.

22 50 Kpittel 2: Geometri 274 Kopier iletet og estem forsvinningspunkt. Lg ei perspektivteikning v husrekkj. 275 Du står og ser nedover ein lng, rett veg. Det er fortu på egge sider og hus i vriernde høgder og reidder. På figuren hr vi teikn inn linjer som svrer til vegreidd og fortusreidd. Fullfør teikning. 276 FP 1 FP 2 Teikning viser hjørnet på ei mellomlderorg. Forsvinningspunkt er nær org. Det svrer til t teiknren står nær org. Lg ei ny teikning der du lèt forsvinningspunkt vere lenger frå org. Då får du frm korleis org ser ut på lng vstnd. Teikn inn nokre fleire detljr.

23 Kpittel 2: Geometri Det finst mnge enkle teikneprogrm som høver godt for å lge perspektivteikningr. For eksempel finn du progrmmet Pint i Microsoft Windows. Pint lir vnlegvis opn med Strt - lle progrm - Tilehør. På fgnettstden på Lokus.no finn du ei kort ruksrettleiing med eksempel. ruk eit teikneprogrm og lg nokre perspektivteikningr. Du kn for eksempel egynne med å lge ei teikning som i eksempel 4 på side 106 i læreok. 278 Gjer først oppgåve 2.63 på side 100 i læreok. Sjå på svr dine på spørsmål e. Tenk deg så t du står og ser ortover ein lng, rett veg. Lngs vegknten er det lysmster. Lysmstene er like høge, og det er like stor vstnd mellom dei. Korleis skl du teikne dette i perspektiv? E FP D Dette er yrjing på teikning. Vi egynte med å velje plssering v dei to første mstene ( og D). Legg merke til korleis vi fnn ut kvr den tredje mst skl plsserst. Skriv ei kort forklring til teikning ovnfor. Kv for eit prinsipp i perspektivteikning er det vi får frm med denne teknikken? Teikn inn nokre fleire lysmster. c Denne teknikken kn du også ruke dersom du skl teikne ei husrekkje med like reie hus som ligg lngs ei rett gte. Lg ei slik teikning. d Kn du tenkje deg ndre situsjonr der du kn få ruk for denne teknikken?

24 52 Kpittel 2: Geometri 2.11 Regulære mngekntr 2.12 Former som kn fylle plnet 279 Trpeset på figuren er sett smn v tre regulære trekntr med side lik 1. Kor lnge er sidene i trpeset? Undersøk kor mnge ulike prllellogrm du kn setje smn ved å ruke opptil 12 trekntr, lle regulære med side lik 1. Kor lnge er sidene i desse prllellogrmm? c Forklr korleis du gjekk frm for å løyse prolemet i oppgåve. 280 Teikn eit kvdrt og finn sentrum i kvdrtet. Kll sentrum i kvdrtet O. Slå ein sirkel med sentrum i O og med rdius lik vstnden frå O til eitt v hjørn i kvdrtet. Kvr ligg dei ndre hjørn i kvdrtet? Kvdrtet i oppgåve er innskrive i sirkelen. lle regulære mngekntr kn innskrivst i ein sirkel. Vi seier også t sirkelen er omskriven kvdrtet. Konstruer ein regulær treknt, finn sentrum i treknten og kontroller t treknten kn innskrivst i ein sirkel. 281 S Du skl konstruere ein regulær seksknt med sideknt 4 cm. ruk figuren og skriv ei forklring på korleis du kn gå frm for å konstruere seksknten. Konstruer seksknten.

25 Kpittel 2: Geometri For å løyse denne oppgåv treng du pssr og linjl. På figuren ser du ein metode vi kn ruke når vi skl dekkje ei flte med regulære trekntr. Teikn v og utvid figuren nedover. Skriv ei forklring på frmgngsmåten. Frgelegg nokre v trekntne slik t du får frm eit mønster. 283 Del eit rk opp i like store rektngel (ruk lynt). ruk teknikken frå figuren ovnfor og lg ditt eige mønster. Til slutt kn du viske ut lyntstrekne. 284 Teikn v og utvid figuren nedover. Kv tyder skrivemåten (3,6,3,6)? ruk figuren til å lge mønsteret (3,6,3,6). ruk frgr for å få frm mønsteret. 285 t ei form tessellerer, vil seie t ho kn rukst til å fylle plnet. På side 116 i læreok ser du to tesselleringsteknikkr: I eksempel 5 hr vi rukt teknikken med prllellforskyving. I eksempel 6 hr vi rukt teknikken med rotsjon om eit hjørnepunkt.

26 54 Kpittel 2: Geometri Her ser du endå ein teknikk vi kn ruke: c Vel ein v metodne og lg ei tessellering. Prøv å lge ei tessellering der du kominerer nokre v desse metodne. Det finst mnge fleire metodr enn dei vi hr vist. Søk på tesselltion og sjå kv du finn! 286 På figuren nednfor ser du tre regulære trekntr og to regulære firkntr som møtest i eit punkt (hr felles hjørne). Hjørnekominsjonen kn vi skrive (3,3,3,4,4). Vi egynner lltid med det lågste tlet når vi skl skildre ein hjørnekominsjon. (Sjå òg side 113 i læreok.) Korleis vil du skildre denne kominsjonen? Lg hjørnekominsjonne (3,6,3,6) og (3,3,6,6). c Undersøk om kominsjonne i oppgåve kn fylle plnet. 287 Lg eit mønster v trekntr og firkntr der du erre ruker frgr for å få frm mønsteret.

27 Kpittel 2: Geometri Mønsteret på figuren hr vi lg ved å gjent ein estemt hjørnekominsjon. Hjørnekominsjonen kn gjentkst i det uendelege. Kominsjonen kn ltså dekkje heile plnet. Kv for ein hjørnekominsjon er det? I det mønsteret vi får, er det mnge symmetrilinjer, men mnge v dei er prllelle. Det ser du tydeleg når du teiknr vidre på figuren. Kor mnge symmetrilinjer finn du som ikkje er prllelle? Rett eller gle? 1 Ein likeeint treknt kn ikkje vere rettvinkl. 2 Når rdien i ein sylinder lir dol, lir volumet dol. 3 Dersom sidene i ein treknt er 2,4 cm, 4,6 cm og 5,2 cm, er éin v vinklne cm 3 er det sme som 5 ml. 5 I ein regulær 12-knt er summen v vinklne I treknt er sidene 6 cm, 15 cm og 20 cm. I treknt er sidene 9 cm, 18 cm, og 23 cm. Trekntne er då formlike. 7 Lrs hr målt ei lengd til 5,0 m. Per hr målt den sme lengd til 5,00 m. Målingne er like nøyktige. 8 I lle trekntr er det slik t éi v sidene er den lengste sid. 9 2,4 m 2 er det sme som mm Eit krt i målestokk 1 : 5000 inneheld fleire detljr enn eit krt i målestokk 1 : Volumet v rette kjegler og pyrmidr er gitt ved formelen G står for relet v grunnflt. 12 Ein regulær treknt er det sme som ein likesid treknt. 13 V G = h 3. Vi fyller kjegl med vtn og tømmer vtnet frå kjegl over i sylinderen. Dersom vi gjer dette tre gonger, er sylinderen full. 14 lle rektngel som hr sme rel, hr også sme omkrins. 15 I perspektivteikning er det slik t lle rette linjer som i røynd er prllelle, går smn i eit forsvinningspunkt.

28 56 Kpittel 2: Geometri lnd oppgåver 289 Ol sel mrsipnkuler i to storleikr: Dei store kulene hr ein dimeter på 2,0 cm og kostr 2 kr per stykk. Dei små kulene hr ein dimeter 1,5 cm og kostr 1 kr per stykk. Rekn ut volumet v kulene. Finn ut om du får mest mrsipn for pengne ved å kjøpe store kuler eller c ved å kjøpe små kuler. Kor mnge prosent dyrre er den eine typen mrsipnkuler enn den ndre når du tek omsyn til kor mykje mrsipn du får for pengne? Kulene lir også selde i øskjer. Du kn få øskjer med 64 små kuler og øskjer med 27 store kuler. lle kulene er dekte v eit tynt lg med sjokolde som er like tjukt på lle kulene. d I kv for ei v øskjene er det mest sjokolde? 290 Kjeldesortering v vfll er vnleg i lle kommunr i lndet. ehldrne for innsmling v gls hr form som ein sylinder med ei hlvkule oppå. Dimeteren i sylinderen og hlvkul er 90 cm. Vis t ein slik ehldr hr eit volum på 1,2 m 3. Ein ehldr er plssert i eit distrikt der ein reknr med t det kvrt døgn lir kst gls som fyller eit volum på 50 liter. Kor ofte ør kommunen tømme ehldren? Kommunen disponerer eit lite område der ein ønskjer å plssere slike ehldrr. Området er kvdrtisk med rel 4,0 m 2. c Vis ved rekning og ved geometriske vurderingr t det er plss til minst to ehldrr på området. 291 Ein fmilie hr lg ein vssehldr som dei ruker når dei skl dusje. ehldren er sett smn v ein sylinder og ei kjegle, sjå figuren. Dimeteren i sylinderen og i kjegl er 30 cm. Høgd i sylinderen og i kjegl er 20 cm. (Mål er innvendige.) Kor mnge liter vtn rommr ehldren? Rekn ut overflt v tnken. Ol fyller ehldren heilt full med vtn før hn dusjr. Etter dusjen stod vtnet h = 31 cm høgt (sjå figuren). Kor mykje vtn hdde Ol rukt? c Ein dg vr vsshøgd 8 cm. Kor mnge liter vtn vr det tt i ehldren? 30 cm 20 cm 20 cm h

29 Kpittel 2: Geometri I eit gruppereid i mtemtikk får ei gruppe elevr i oppgåve å lge ein pyrmide v ppp. Det skl vere ein rett pyrmide med kvdrtisk grunnflte. Grupp får utdelt ei kvdrtisk ppplte med sideknt 50 cm. Delne til pyrmiden skl skjerst ut v denne plt. Elevne skl ltså skjere ut ei kvdrtisk grunnflte og fire likeeinte trekntr til sideflter. Pyrmiden skl oppfylle desse krv: Sml rel v dei fem delne skl vere meir enn hlvprten v det sml relet v plt. Volumet v den ferdige pyrmiden skl vere minst to liter. Korleis vil du skjere ut delne slik t krv lir oppfylte? Gjer utrekningr, teikn figur og vis t løysing di oppfyller krv. 293 Dette reknerket reknr ut volumet v ein sylinder. I cell 10 ligg formelen =pi()*4^2*6. (Legg merke til korleis vi skriv inn π.) Lg dette reknerket. På verktylinj hr du fleire knppr, éin som ukr tlet på desimlr, og éin som reduserer tlet på desimlr. Finn desse knppne. Klikk i rute 10. Deretter klikkr du på knppen for å redusere tlet på desimlr til du får volumet med to desimlr. c ruk reknerket til å rekne ut volumet når høgd er 10,0 cm og rdien er 8,0 cm. d ruk reknerket til å undersøkje kv som skjer med volumet v sylinderen dersom 1 høgd er konstnt og rdien lir dol 2 høgd er konstnt og rdien lir hlvert 3 rdien er konstnt og høgd lir dol 4 rdien er konstnt og høgd lir hlvert e Svr på spørsmål i oppgåve d ved å ruke formelen for volumet v ein sylinder. (ltså utn å rekne med tl.)

30 58 Kpittel 2: Geometri 294 Volumet v ein sylinder er 50 cm 3. Finn rdien når høgd er 2,0 cm. ruker du reknerket frå førre oppgåve, vil du sikkert finne svret med «prøve og feile»-metoden. Men kvifor ikkje l reknerket gjere «prøve og feile»-joen for deg? Klikk på «Verktøy» og «Målsøking». Du får no dilogoksen ovnfor. Volumet er i celle 10, og volumet skl h verdien 50 cm 3. Vi skl finne rdien, og det er ltså innhldet i celle 4 som skl endrst. Klikkr vi OK, får vi t rdien må vere 2,82 cm for t volumet skl li 50 cm. Reknerket hr ltså løyst likning πr 2 2 = 50 for oss. T frm reknerket frå oppgåve 293. Følg instruksne ovnfor og kontroller t rdien lir 2,82 cm. Øv deg på å ruke målsøkingsverktyet. Dersom rdien er 8,0 cm, kv må høgd vere for t volumet skl li 125 cm 3? Lg fleire slike oppgåver. 295 Lg eit reknerk som reknr ut volumet v ei kjegle. Ein kroneis estår v ei kjegle med ei hlvkule på toppen. 1 Lg eit reknerk som reknr ut volumet v isen når du skriv inn høgd og dimeteren til kjegl (ltså ikkje den h som er merkt v på figuren). 2 Lg eit reknerk som reknr ut volumet når du skriv inn høgd på heile iskremen (h på figuren) og dimeteren til hlvkul (d på figuren). h d X2.1 Ev hr 48 meter ståltråd. v ståltråden skl ho lge eit strumgjerde rundt eit eiteområde. Ho kn velje mellom desse formene på eiteområdet: Likesid treknt Sirkel Kvdrt Kv for ei form gir størst rel, og kv for ei form gir minst rel? Kor stor er skilnden i prosent mellom det største og det minste relet? (Eksmen 1MX husten 2004)

31 Kpittel 2: Geometri 59 X2.2 Teikn ein regulær åtteknt med side lik 5 cm. Vis korleis vi kn flisleggje eit golv ved å ruke regulære åttekntr smn med ein nnn type mngeknt. c 5 cm 5 cm 5 cm Vis på figuren t er tilnærm lik 3,5 cm. Finn så relet v åtteknten. (Eksmen 1MY husten 2003) X2.3 På figuren er relet v den store sirkelen delt i fire like store delr. Vis det ved rekning. (Eksmen 1MX våren 2004, endr) X2.4 Ei edrift vil pkke 24 sylindriske ppirrullr i øskjer. For å spre utgifter ønskjer edrift å pkke ppirrullne slik t volumet v øskj lir minst mogleg. Ppirrullne hr dimeter 1 dm og høgd 4 dm. Vis ved rekning kv for eit v lterntiv nednfor som gir minst volum v øskj. (Eksmen 1MX husten 2005)