Bedre kalibrerte prognoser med ensembleteknikker

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Bedre kalibrerte prognoser med ensembleteknikker"

Transkript

1 Bedre kalibrerte prognoser med ensembleteknikker John Bjørnar Bremnes Kraftrelatert hydrologi, meteorologi og klima, Trondheim,

2 Oversikt 1. Bedre oppløsning i LAMEPS (2006) 2. Kalibrering ved hjelp av statistiske metoder (2006) 3. Hvordan kombinere prognoser fra flere værmodeller til ett kalibrert produkt (2007) 4. Nytten av lange rekjøringer av numeriske værmodeller (2007)

3 5. Statistisk kalibrering av multi-ensembler (2008) 6. Statistisk kalibrering av månedsvarsler (2008) 7. Statistisk kalibrering på steder uten observasjoner (2009?)

4 Del 2 Kalibrering ved hjelp av statistiske metoder

5 Statistiske metoder A. Metoder anvendt på ensemblemedlemmer (separat) 50 medlemmer => 50 nye medlemmer Ingen teoretiske grunner til kalibrert ensemble Metoder Lokal kvantil-til-kvantil transformasjon (LQQT) Regresjon etterfulgt av LQQT Skalering B. Kalibrering av hele ensemblet Statistiske modeller godt teoretisk fundament Metode Bayesian Processor of Forecast (BPF)

6 A. Metoder anvendt på ensemblemedlemmmer 1. Kvantil-til-kvantil transformasjon (LQQT) Idè Nye ensemblemedlemmer skal ha samme fordeling/klima som observasjonene Estimering Sortèr observasjoner og modelldata (separat) Estimèr sammenheng vha. lokal lineær regresjon

7 2. Kvantil-til-kvantil transformasjon med flere variable (REG+LQQT) Bakgrunn Idè LQQT kan bare brukes med en prediktor Andre prediktorer kan gi ekstra informasjon Reduser antall variable til 1 vha. regresjon Metode Multippel lineær regresjon ny predikert nedbør Anvend LQQT på de nye prediksjonene av nedbør

8 3. Skalering Sum observert nedbør / sum modellnedbør Værtype-avhengig skalering bedre For en gitt værsituasjon: Summèr bare over lignende historiske tilfeller Med vekting avhengig av graden av likhet Skalering anvendt på hvert medlem nytt ensemble

9

10 B. Kalibrering av hele ensembler Bayesian Processor of Forecast (BPF) Alle variable transformeres til standard normal fordeling (ala LQQT) Bayes regel anvendes: X Y og Y Y X X Y multivariabel lineær regresjon Y er standard normal fordelt Parametre estimeres for transformerte data Sannsynlighetsfordeling presenteres på ordinær skala (mm)

11 CRPS er relativ til ECMWF EPS (100%) Lav CRPS best (0 optimal)

12 Konklusjoner (del 2) Statistiske metoder er bedre enn rå EPS Store lokale variasjoner Forbedring avtar med prognoselengde Inntil 50% bedre for døgn +1 Inntil 20% bedre for døgn +9 Metoder anvendt på hvert medlem Gir god score, men ikke nødvendigvis kalibrerte prognoser BPF best Gir godt kalibrerte prognoser

13 Del 3 Hvordan kombinere prognoser fra flere værmodeller til ett kalibrert produkt

14 Utgangspunkt og idè Flere værmodeller og prognoser tilgjengelig To vinklinger 1. Hvordan kombinere all info til en prognose? α 1 EC* + α 2 EPS* + α 3 LAMEPS* EC* = statistisk modell med EC som input Vektene α avhengig av værsituasjon 2. Hvordan velge den beste? For hver dag/værsituasjon

15 BPF med lineær regresjon 1. For hvert modellsystem (EC, EPS, LAMEPS) Tilpass en BPF-modell Beregn score for hvert tilfelle (dag) Anvend lineær regresjon Score vs. alle prediktorer 2. To mulige prognoser Lineær kombinasjon av BPF-modeller α 1 EC* + α 2 EPS* + α 3 LAMEPS* α-ene er predikert score (normalisert) BPF-modell med best score

16 BPF med probabilistisk nevrale nettverk 1. For hvert modellsystem (EC, EPS, LAMEPS) Tilpass en BPF-modell Beregn score for hvert tilfelle (dag) 2. Tilpass nevralt nettverk Beste BPF-modell vs. alle prediktorer 3. To mulige prognoser Lineær kombinasjon av BPF-modeller α 1 EC* + α 2 EPS* + α 3 LAMEPS* α i er sannsynlighet for at BPF-modell nr. i er best BPF-modell med høyest sannsynlighet

17 BPF med optimering av kvantil-score 1. For hvert modellsystem (EC, EPS, LAMEPS) Tilpass en BPF-modell Beregn et sett av kvantiler for hvert tilfelle (dag) 2. Tilpass lineære kvantil regresjonsmodeller Observasjon vs. predikerte kvantiler fra BPF-modellene 3. Kombinert prognose Lineær kombinasjon av BPF-modeller α 1 EC* + α 2 EPS* + α 3 LAMEPS* α-ene er normaliserte koeffisienter fra regresjonsmodellene

18 Eksperiment Data 9 stasjoner Modeller: EC (1), EPS (51), LAMEPS (21) Prognoser: 00+30,+54t Bare nedbør brukt som prediktorer Konklusjoner (del 3) BPF med 1 modell nesten like god som med alle 3 Kombinere litt bedre enn å velge beste BPF De statistiske metodene omtrent like gode EC like informativ som ensembler

19 Rapporter met.no report 04/2007 Improved calibration of precipitation forecasts using ensemble techniques. Part 2: Statistical calibration methods met.no note 02/2008 Improved calibration of precipitation forecasts using ensemble techniques. Part 3: Statistical calibration of multiple ensembles met.no note 03/2008 Improved calibration of precipitation forecasts using ensemble techniques. Part 4: On the use of reforecasts in statistical calibration

I enkel lineær regresjon beskrev linja. μ y = β 0 + β 1 x

I enkel lineær regresjon beskrev linja. μ y = β 0 + β 1 x Multiple regresjon Her utvider vi perspektivet for enkel lineær regresjon til også å omfatte flere forklaringsvariable.det er fortsatt en responsvariabel. Måten dette gjøre på er nokså naturlig. Prediktoren

Detaljer

Statistikk og dataanalyse

Statistikk og dataanalyse Njål Foldnes, Steffen Grønneberg og Gudmund Horn Hermansen Statistikk og dataanalyse En moderne innføring Kapitteloversikt del 1 INTRODUKSJON TIL STATISTIKK Kapittel 1 Populasjon og utvalg 19 Kapittel

Detaljer

Multippel regresjon. Her utvider vi perspektivet for enkel lineær regresjon til også å omfatte flere forklaringsvariable x 1, x 2,, x p.

Multippel regresjon. Her utvider vi perspektivet for enkel lineær regresjon til også å omfatte flere forklaringsvariable x 1, x 2,, x p. Multippel regresjon Her utvider vi perspektivet for enkel lineær regresjon til også å omfatte flere forklaringsvariable x 1, x 2,, x p. Det er fortsatt en responsvariabel y. Måten dette gjøre på er nokså

Detaljer

Kort overblikk over kurset sålangt

Kort overblikk over kurset sålangt Kort overblikk over kurset sålangt Kapittel 1: Deskriptiv statististikk for en variabel Kapittel 2: Deskriptiv statistikk for samvariasjon mellom to variable (regresjon) Kapittel 3: Metoder for å innhente

Detaljer

Sentralverdi av dataverdi i et utvalg Vi tenker oss et utvalg med datapar. I vårt eksempel har vi 5 datapar.

Sentralverdi av dataverdi i et utvalg Vi tenker oss et utvalg med datapar. I vårt eksempel har vi 5 datapar. Statistisk behandling av kalibreringsresultatene Del 4. v/ Rune Øverland, Trainor Elsikkerhet AS Denne artikkelserien handler om statistisk behandling av kalibreringsresultatene. Dennne artikkelen tar

Detaljer

(a) For regresjon brukes vanligvis kvadratisk tap: L(y, ŷ) = (y ŷ) 2. Den optimale prediktor basert på input variable x er da Ŷ = E[Y x].

(a) For regresjon brukes vanligvis kvadratisk tap: L(y, ŷ) = (y ŷ) 2. Den optimale prediktor basert på input variable x er da Ŷ = E[Y x]. FORMELSAMLING TIL STK2100 (Versjon Mai 2017) 1 Tapsfunksjoner (a) For regresjon brukes vanligvis kvadratisk tap: L(y, ŷ) = (y ŷ) 2. Den optimale prediktor basert på input variable x er da Ŷ = E[Y x]. (b)

Detaljer

SOS1120 Kvantitativ metode. Regresjonsanalyse. Lineær sammenheng II. Lineær sammenheng I. Forelesningsnotater 11. forelesning høsten 2005

SOS1120 Kvantitativ metode. Regresjonsanalyse. Lineær sammenheng II. Lineær sammenheng I. Forelesningsnotater 11. forelesning høsten 2005 SOS1120 Kvantitativ metode Regresjonsanalyse Forelesningsnotater 11. forelesning høsten 2005 Per Arne Tufte Lineær sammenheng I Lineær sammenheng II Ukelønn i kroner 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016

TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 En bedrift produserer elektriske komponenter. Komponentene kan ha to typer

Detaljer

10.1 Enkel lineær regresjon Multippel regresjon

10.1 Enkel lineær regresjon Multippel regresjon Inferens for regresjon 10.1 Enkel lineær regresjon 11.1-11.2 Multippel regresjon 2012 W.H. Freeman and Company Denne uken: Enkel lineær regresjon Litt repetisjon fra kapittel 2 Statistisk modell for enkel

Detaljer

Usikkerheit i Hydrologiske Prognoser basert på Ensemble. Kossen i hule heite skal vi gjere dette????

Usikkerheit i Hydrologiske Prognoser basert på Ensemble. Kossen i hule heite skal vi gjere dette???? Usikkerheit i Hydrologiske Prognoser basert på Ensemble Kossen i hule heite skal vi gjere dette???? Innhald Glasskula.kva var no dette. Usikkerheit i prognosar kvifor bry seg med dette Bruk av meteorologiske

Detaljer

Utvalgsfordelinger; utvalg, populasjon, grafiske metoder, X, S 2, t-fordeling, χ 2 -fordeling

Utvalgsfordelinger; utvalg, populasjon, grafiske metoder, X, S 2, t-fordeling, χ 2 -fordeling Kapittel 8 Utvalgsfordelinger; utvalg, populasjon, grafiske metoder, X, S 2, t-fordeling, χ 2 -fordeling TMA4240 H2006: Eirik Mo 2 Til nå... Definert sannsynlighet og stokastiske variabler (kap. 2 & 3).

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK2120 Statistiske metoder og dataanalyse 2. Eksamensdag: Fredag 7. juni 2013. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er

Detaljer

Hvordan estimere vannføring i umålte vassdrag?

Hvordan estimere vannføring i umålte vassdrag? Hvordan estimere vannføring i umålte vassdrag? Hege Hisdal, E. Langsholt & T.Skaugen NVE, Seksjon for hydrologisk modellering Bakgrunn Ulike modeller Et eksempel Konklusjon 1 Bakgrunn: Hva skal vannføringsestimatene

Detaljer

Inferens i regresjon

Inferens i regresjon Strategi som er fulgt hittil: Inferens i regresjon Deskriptiv analyse og dataanalyse først. Analyse av en variabel før studie av samvariasjon. Emne for dette kapittel er inferens når det er en respons

Detaljer

MIST Meteorologisk Informasjon for Statkraft -overordnet sluttrapport

MIST Meteorologisk Informasjon for Statkraft -overordnet sluttrapport no. 9/2013 Meteorologi MIST Meteorologisk Informasjon for Statkraft -overordnet sluttrapport Thor Erik Nordeng Prosjektleder met.no report Title MIST Meteorologisk Informasjon for Statkraft -overordnet

Detaljer

Statistisk inferens: 9.14: Sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren 8.5: Fordeling til gjennomsnittet 9.4: Konfidensintervall for µ (σ kjent)

Statistisk inferens: 9.14: Sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren 8.5: Fordeling til gjennomsnittet 9.4: Konfidensintervall for µ (σ kjent) TMA440 Statistikk H010 Statistisk inferens: 9.14: Sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren 8.5: Fordeling til gjennomsnittet 9.4: Konfidensintervall for µ (σ kjent) Mette Langaas Foreleses mandag 11.oktober,

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4255 Anvendt statistikk

Eksamensoppgave i TMA4255 Anvendt statistikk Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4255 Anvendt statistikk Faglig kontakt under eksamen: Anna Marie Holand Tlf: 951 38 038 Eksamensdato: 3. juni 2016 Eksamenstid (fra til): 09:00-13:00

Detaljer

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2006 Løsninger til regneøving nr. 8 (s. 1) Oppgaver fra boka:

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2006 Løsninger til regneøving nr. 8 (s. 1) Oppgaver fra boka: MOT30 Statistiske metoder, høsten 2006 Løsninger til regneøving nr. 8 (s. ) Oppgaver fra boka: Oppgave.5 (.3:5) ) Først om tolking av datautskriften. Sammendrag gir følgende informasjon: Multippel R =R,

Detaljer

Tilleggsoppgaver for STK1110 Høst 2015

Tilleggsoppgaver for STK1110 Høst 2015 Tilleggsoppgaver for STK0 Høst 205 Geir Storvik 22. november 205 Tilleggsoppgave Anta X,..., X n N(µ, σ) der σ er kjent. Vi ønsker å teste H 0 : µ = µ 0 mot H a : µ µ 0 (a) Formuler hypotesene som H 0

Detaljer

Kapittel 3: Studieopplegg

Kapittel 3: Studieopplegg Oversikt over pensum Kapittel 1: Empirisk fordeling for en variabel o Begrepet fordeling o Mål for senter (gj.snitt, median) + persentiler/kvartiler o Mål for spredning (Standardavvik s, IQR) o Outliere

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk

Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Mette Langaas a, Ingelin Steinsland b, Geir-Arne Fuglstad c Tlf: a 988 47 649, b 926 63 096, c 452 70 806

Detaljer

Nr. 14/2017 ISSN X METEOROLOGI Bergen, MET info. Ekstremværrapport. Hendelse: Vidar 12. januar 2017

Nr. 14/2017 ISSN X METEOROLOGI Bergen, MET info. Ekstremværrapport. Hendelse: Vidar 12. januar 2017 MET info Nr. 14/2017 ISSN 1894-759X METEOROLOGI, 20.01.2017 Ekstremværrapport Hendelse: Vidar 12. januar 2017 Foto: Wenche Orrebakken, Klar tale.no Foto: Haugesundsavis Sammendrag Under ekstremværet Vidar,

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK 1000 Innføring i anvendt statistikk. Eksamensdag: Torsdag 1. juni 2006. Tid for eksamen: 09.00 12.00. Oppgavesettet er på

Detaljer

Griddede atmosfære- og havprognoser Klimadataseminar, CIENS 16. oktober 2007

Griddede atmosfære- og havprognoser Klimadataseminar, CIENS 16. oktober 2007 Griddede atmosfære- og havprognoser Klimadataseminar, CIENS 16. oktober 2007 Eivind A. Martinsen Innhold Litt om numeriske prognosemodeller Hva kjøres av prognosemodeller ved met.no Hva skjer fremover

Detaljer

Modellvalg ved multippel regresjon notat til STK2120

Modellvalg ved multippel regresjon notat til STK2120 Modellvalg ved multippel regresjon notat til STK2120 Ørulf Borgan februar 2016 I dette notatet vil vi se litt nærmere på hvordan vi kan velge ut hvilke forklaringsvariabler vi skal ha med i en regresjonsmodell.

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 13: Lineær regresjon og korrelasjon

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 13: Lineær regresjon og korrelasjon ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 13: Lineær regresjon og korrelasjon Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag http://wiki.math.ntnu.no/st0202/2012h/start 2 Kap. 13: Lineær korrelasjons-

Detaljer

EKSAMEN I FAG TMA4260 INDUSTRIELL STATISTIKK

EKSAMEN I FAG TMA4260 INDUSTRIELL STATISTIKK Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 12 Faglig kontakt under eksamen: Bo Lindqvist Tlf. 975 89 418 EKSAMEN I FAG TMA4260 INDUSTRIELL STATISTIKK Onsdag

Detaljer

Nye kilder til meteorologidata

Nye kilder til meteorologidata Nye kilder til meteorologidata Ivar Seierstad Teknologidagene 12. okt 2011 Forutsigbarhet som funksjon av værsituasjon Høy prediktabilitet for ensemblemidlet Lav prediktabilitet for ensemblemidlet ECMWF

Detaljer

Meteorologisk vurdering av planlagt luftsportsenter i Sørum kommune

Meteorologisk vurdering av planlagt luftsportsenter i Sørum kommune MET report no. 01/2017 ISSN 2387-4201 Climate Meteorologisk vurdering av planlagt luftsportsenter i Sørum kommune Harold Mc Innes, Jostein Mamen, Knut Helge Midtbø Title: Meteorologisk vurdering av planlagt

Detaljer

Kap. 6.1: Fordelingen til en observator og stok. simulering

Kap. 6.1: Fordelingen til en observator og stok. simulering Kap. 6.1: Fordelingen til en observator og stok. simulering Data, observatorer og relaterte fordelinger. Stokastisk simulering. Illustrasjon: - Sammenligning av jury bedømmelser i idrett. Fra data til

Detaljer

Mål på beliggenhet (2.6) Beregning av kvartilene Q 1, Q 2, Q 3. 5-tallssammendrag. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Mål på beliggenhet (2.6) Beregning av kvartilene Q 1, Q 2, Q 3. 5-tallssammendrag. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Mål på beliggenhet (2.6) Kvartiler: Deler de ordnede dataene inn i fire like store deler: ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 1. kvartil Q 1 : 25% av dataene

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 13: Lineær korrelasjons- og regresjonsanalyse Kap. 13.1-13.3: Lineær korrelasjonsanalyse. Disse avsnitt er ikke pensum,

Detaljer

Prøveeksamen STK vår 2017

Prøveeksamen STK vår 2017 Prøveeksamen STK2100 - vår 2017 Geir Storvik Vår 2017 Oppgave 1 Anta en lineær regresjonsmodell p Y i = β 0 + β j x ij + ε i, j=1 ε i uif N(0, σ 2 ) Vi kan skrive denne modellen på vektor/matrise-form:

Detaljer

Godt Vann Drammen Værstasjonenes betydning i varsling

Godt Vann Drammen Værstasjonenes betydning i varsling Godt Vann Drammen Værstasjonenes betydning i varsling Juleseminar 3.desember 2015 Lars Grinde, Meteorologisk institutt, Klimaavdelingen 07.12.2015 Meteorologisk institutt Kommunenes og METs felles mål

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Mål på beliggenhet (2.6) Kvartiler: Deler de ordnede dataene inn i fire like store deler: 1. kvartil Q 1 : 25% av dataene

Detaljer

Forskningsresultater som brukes og synes ved Norsk Regnesentral

Forskningsresultater som brukes og synes ved Norsk Regnesentral www.nr.no www.nr.no Forskningsresultater som brukes og synes ved Norsk Regnesentral André Teigland Forskningssjef SAMBA Mathilde Wilhelmsen NR er et forskningsinstitutt Privat stiftelse Anvendt oppdragsforskning

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016

TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 Ei bedrift produserer elektriske komponentar. Komponentane kan ha to typar

Detaljer

DESEMBER Eiendom Norges boligprisstatistikk

DESEMBER Eiendom Norges boligprisstatistikk DESEMBER 2016 Eiendom Norges boligprisstatistikk INNHOLD Hovedpunkter 2 Prisutviklingen 4 Volum - antall solgte boliger 7 Omsetningstid 8 Usolgte boliger 10 Boligtyper, prisutvikling 11 Datagrunnlag og

Detaljer

Eiendomsmeglerbransjens boligprisstatistikk

Eiendomsmeglerbransjens boligprisstatistikk DESEMBER 215 Eiendomsmeglerbransjens boligprisstatistikk INNHOLD Hovedpunkter 2 Prisutviklingen 4 Antall solgte boliger 7 Omsetningstid 8 Antall aktive annonser 1 Boligtyper, prisutvikling 12 Datagrunnlag

Detaljer

Generelle lineære modeller i praksis

Generelle lineære modeller i praksis Generelle lineære modeller Regresjonsmodeller med Forskjellige spesialtilfeller Uavhengige variabler Én binær variabel Analysen omtales som Toutvalgs t-test én responsvariabel: Y en eller flere uavhengige

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1120 Statistiske metoder og dataanalyse 2. Eksamensdag: Mandag 30. mai 2005. Tid for eksamen: 14.30 17.30. Oppgavesettet er

Detaljer

Befolkning og velferd ECON 1730, H2016. Regresjonsanalyse

Befolkning og velferd ECON 1730, H2016. Regresjonsanalyse Netto innfl. Befolkning og velferd ECON 1730, H2016 Regresjonsanalyse Problem: Gitt planer for 60 nye boliger i kommunen neste år, hvor mange innflyttere kan vi forvente? Tabell Vestby kommune Nye boliger

Detaljer

Desember 2014. Eiendomsmeglerbransjens boligprisstatistikk

Desember 2014. Eiendomsmeglerbransjens boligprisstatistikk Desember 214 Eiendomsmeglerbransjens boligprisstatistikk Ved all publisering av data, figurer o.l. fra denne statistikken, skal Eiendom Norge, Finn.no, og Eiendomsverdi oppgis som kilde Innhold Hovedpunkter

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010

TMA4240 Statistikk H2010 TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 9.4: Konfidensintervall for µ 8.7: Student-t fordeling 8.6: Fordeling til S 2 Mette Langaas Foreleses onsdag 13.oktober, 2010 2 Estimering Mål: finne sannheten

Detaljer

Forelesning 7 STK3100

Forelesning 7 STK3100 ( % - -! " stimering: MK = ML Forelesning 7 STK3100 1 oktober 2007 S O Samuelsen Plan for forelesning: 1 Generelt om lineære modeller 2 Variansanalyse - Kategoriske kovariater 3 Koding av kategoriske kovariater

Detaljer

November 2014. Eiendomsmeglerbransjens boligprisstatistikk

November 2014. Eiendomsmeglerbransjens boligprisstatistikk November 214 Eiendomsmeglerbransjens boligprisstatistikk VED ALL PUBLISERING AV DATA, FIGURER O.L. FRA DENNE STATISTIKKEN, SKAL EIENDOM NORGE, FINN.NO, OG EIENDOMSVERDI OPPGIS SOM KILDE INNHOLD Hovedpunkter

Detaljer

Forelesning 8 STK3100/4100

Forelesning 8 STK3100/4100 Forelesning STK300/400 Plan for forelesning: 0. oktober 0 Geir Storvik. Lineære blandede modeller. Eksempler - data og modeller 3. lme 4. Indusert korrelasjonsstruktur. Marginale modeller. Estimering -

Detaljer

Januar 2015. Eiendomsmeglerbransjens boligprisstatistikk

Januar 2015. Eiendomsmeglerbransjens boligprisstatistikk Januar 215 Eiendomsmeglerbransjens boligprisstatistikk VED ALL PUBLISERING AV DATA, FIGURER O.L. FRA DENNE STATISTIKKEN, SKAL EIENDOM NORGE, FINN.NO, OG EIENDOMSVERDI OPPGIS SOM KILDE INNHOLD Hovedpunkter

Detaljer

Februar 2015. Eiendomsmeglerbransjens boligprisstatistikk

Februar 2015. Eiendomsmeglerbransjens boligprisstatistikk Februar 215 Eiendomsmeglerbransjens boligprisstatistikk VED ALL PUBLISERING AV DATA, FIGURER O.L. FRA DENNE STATISTIKKEN, SKAL EIENDOM NORGE, FINN.NO, OG EIENDOMSVERDI OPPGIS SOM KILDE INNHOLD Hovedpunkter

Detaljer

Beregning av kvartilen Q 1 (example 2.12) Mer repetisjon. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Beregning av kvartilen Q 1 (example 2.12) Mer repetisjon. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Beregning av kvartilen Q 1 (eample 2.12) Data: 76 74 82 96 66 76 78 72 52 68 86 84 62 76 78 92 82 74 88 84 Utvalgsstørrelse n = 20 Step 1: Ranger fra minste til største: 52 62 66 68 72 74 74 76 76 76

Detaljer

Modellering av fart for vanlig sykkel og elsykkel

Modellering av fart for vanlig sykkel og elsykkel Modellering av fart for vanlig sykkel og elsykkel 17. februar 2017 Nina Hulleberg (TØI), nhu@toi.no Innhold Bakgrunn Litteraturgjennomgang hva er gjort tidligere? Modellering Hva er modellering? Modellering

Detaljer

Kapittel 2: Hendelser

Kapittel 2: Hendelser Kapittel 2: Hendelser FENOMEN Eksperiment Utfall Utfallsrom Eksperiment. Utfall. Eksperiment Utfall Hendelse Sannsynlighet: egenskaper, gunstige vs. mulige, relativ frekvens Sannsynlighet for mer enn en

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010 (19)

TMA4240 Statistikk H2010 (19) TMA4240 Statistikk H2010 (19) Hypotesetesting 10.1-10.3: Generelt om statistiske hypoteser 10.5: Ett normalfordelt utvalg Mette Langaas Foreleses mandag 25.oktober, 2010 2 Estimering og hypotesetesting

Detaljer

Forelesning 17 Logistisk regresjonsanalyse

Forelesning 17 Logistisk regresjonsanalyse Forelesning 17 Logistisk regresjonsanalyse Logistiske regresjons er den mest brukte regresjonsanalysen når den avhengige variabelen er todelt Metoden kan brukes til å: teste hypoteser om variablers effekt

Detaljer

Rekrutteringsfunksjoner for sild, torsk og lodde

Rekrutteringsfunksjoner for sild, torsk og lodde Rekrutteringsfunksjoner for sild, torsk og lodde Sild 0 50 100 150 200 250 300 Beverton-Holt Ricker linear regression paa log-skala 0 2 4 6 8 10 12 14 Gytebimoasse (millioner tonn) Torsk 0 5 10 15 20 25

Detaljer

Logistisk regresjon 2

Logistisk regresjon 2 Logistisk regresjon 2 SPSS Utskrift: Trivariat regresjon a KJONN UTDAAR Constant Variables in the Equation B S.E. Wald df Sig. Exp(B) -,536,3 84,56,000,25,84,08 09,956,000,202 -,469,083 35,7,000,230 a.

Detaljer

Modellering av Customer Lifetime Value og hvordan bruke det Øystein Sørensen Data Scientist

Modellering av Customer Lifetime Value og hvordan bruke det Øystein Sørensen Data Scientist Modellering av Customer Lifetime Value og hvordan bruke det Øystein Sørensen Data Scientist Customer Lifetime Value (CLV) Diskontert nåverdi av hele det fremtidige kundeforholdet CLV for alle kunder gir

Detaljer

HØGSKOLEN I STAVANGER

HØGSKOLEN I STAVANGER EKSAMEN I: MOT310 STATISTISKE METODER VARIGHET: 4 TIMER DATO: 27. FEBRUAR 2004 TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR, TABELLER OG FORMLER I STATISTIKK (TAPIR FORLAG) OPPGAVESETTET BESTÅR AV 3 OPPGAVER PÅ 5

Detaljer

Bakgrunn. Data. Sammendrag Modellering av reisehensikts- og døgnfordelinger for togreiser

Bakgrunn. Data. Sammendrag Modellering av reisehensikts- og døgnfordelinger for togreiser Sammendrag Modellering av reisehensikts- og døgnfordelinger for togreiser TØI rapport 1558/2017 Forfattere: Stefan Flügel, Rikke Ingebrigtsen, Nina Hulleberg Oslo 2017 81 sider Hvorfor personer reiser

Detaljer

Hva bør gjøres når en evaluering ikke kan anvende beste metode?

Hva bør gjøres når en evaluering ikke kan anvende beste metode? Hva bør gjøres når en evaluering ikke kan anvende beste metode? Trafikdage ved Aalborg Universitet 22-23 august 2011 Rune Elvik Professor ved Aalborg Universitet og forskningsleder ved Transportøkonomisk

Detaljer

Introduksjon til statistikk og dataanalyse. Arild Brandrud Næss TMA4240 Statistikk NTNU, høsten 2013

Introduksjon til statistikk og dataanalyse. Arild Brandrud Næss TMA4240 Statistikk NTNU, høsten 2013 Introduksjon til statistikk og dataanalyse Arild Brandrud Næss TMA4240 Statistikk NTNU, høsten 2013 Introduksjon til statistikk og dataanalyse Hollywood-filmer fra 2011 135 filmer Samla budsjett: $ 7 166

Detaljer

SENSORVEILEDNING FOR EKSAMENSOPPGAVEN I SVSOS107 VÅREN 2003

SENSORVEILEDNING FOR EKSAMENSOPPGAVEN I SVSOS107 VÅREN 2003 SENSORVEILEDNING FOR EKSAMENSOPPGAVEN I SVSOS107 VÅREN 003 Oppgave 1 Tabell 1 gjengir data fra en spørreundersøkelse blant personer mellom 17 og 66 år i et sannsynlighetsutvalg fra SSB sitt sentrale personregister.

Detaljer

JANUAR 2016. Eiendom Norges boligprisstatistikk

JANUAR 2016. Eiendom Norges boligprisstatistikk JANUAR 2016 Eiendom Norges boligprisstatistikk INNHOLD Hovedpunkter 2 Prisutviklingen 4 Antall solgte boliger 7 Omsetningstid 8 Antall aktive annonser 10 Boligtyper, prisutvikling 12 Datagrunnlag og metode

Detaljer

Eiendomsmeglerbransjens boligprisstatistikk

Eiendomsmeglerbransjens boligprisstatistikk JULI 215 Eiendomsmeglerbransjens boligprisstatistikk INNHOLD Hovedpunkter 2 Prisutviklingen 4 Antall solgte boliger 7 Omsetningstid Antall aktive annonser 8 1 Boligtyper, prisutvikling 12 Datagrunnlag

Detaljer

Forelesning 18 SOS1002

Forelesning 18 SOS1002 Forelesning 8 SOS002 Bruk av regresjonsmodeller til å predikere verdier? Hvordan kan vi predikere timelønn ut fra denne lineære regresjonsmodellen? B SEB Beta t Sig. t Kvinner(kvinne=, mann=0) -4,0 0,96-0,23-4,66

Detaljer

Eiendomsmeglerbransjens boligprisstatistikk

Eiendomsmeglerbransjens boligprisstatistikk APRIL 215 Eiendomsmeglerbransjens boligprisstatistikk INNHOLD Hovedpunkter 2 Prisutviklingen 4 Antall solgte boliger 7 Omsetningstid 8 Antall aktive annonser 1 Boligtyper, prisutvikling 12 Datagrunnlag

Detaljer

Eiendomsmeglerbransjens boligprisstatistikk

Eiendomsmeglerbransjens boligprisstatistikk MAI 215 Eiendomsmeglerbransjens boligprisstatistikk INNHOLD Hovedpunkter 2 Prisutviklingen 4 Antall solgte boliger 7 Omsetningstid 8 Antall aktive annonser 1 Boligtyper, prisutvikling 12 Datagrunnlag og

Detaljer

2.2 Korrelasjon. Våre øyne ikke gode til å bedømme hvor sterk en sammenheng er Trenger kvantitativt mål på sammenheng Korrelasjon et slikt mål

2.2 Korrelasjon. Våre øyne ikke gode til å bedømme hvor sterk en sammenheng er Trenger kvantitativt mål på sammenheng Korrelasjon et slikt mål 2.2 Korrelasjon Våre øyne ikke gode til å bedømme hvor sterk en sammenheng er Trenger kvantitativt mål på sammenheng Korrelasjon et slikt mål Korrelasjon Korrelasjon: Kvantitativt mål på lineær sammenheng

Detaljer

Utforsking av sjeldne og ukjente belastninger i ekstremt vær: Betydning av eksperimentelle studier

Utforsking av sjeldne og ukjente belastninger i ekstremt vær: Betydning av eksperimentelle studier Utforsking av sjeldne og ukjente belastninger i ekstremt vær: Betydning av eksperimentelle studier Carl Trygve Stansberg, Trondheim 1 Uvær - Store bølger Oseberg GBS plattform (Nordsjøen), Nov 2006 (Kilde:

Detaljer

NOVEMBER Eiendom Norges boligprisstatistikk

NOVEMBER Eiendom Norges boligprisstatistikk NOVEMBER 2016 Eiendom Norges boligprisstatistikk INNHOLD Hovedpunkter 2 Prisutviklingen 4 Volum - antall solgte boliger 7 Omsetningstid 8 Usolgte boliger 10 Boligtyper, prisutvikling 11 Datagrunnlag og

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1110 Statistiske metoder og dataanalyse 1 Eksamensdag: Mandag 30. november 2015. Tid for eksamen: 14.30 18.00. Oppgavesettet

Detaljer

Eksamensoppgåve i TMA4255 Anvendt statistikk

Eksamensoppgåve i TMA4255 Anvendt statistikk Institutt for matematiske fag Eksamensoppgåve i TMA4255 Anvendt statistikk Fagleg kontakt under eksamen: Anna Marie Holand Tlf: 951 38 038 Eksamensdato: 3. juni 2016 Eksamenstid (frå til): 09:00-13:00

Detaljer

MOT 310 Statistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen høst 2006, s. 1. Oppgave 1

MOT 310 Statistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen høst 2006, s. 1. Oppgave 1 MOT 310 Statistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen høst 2006, s. 1 Oppgave 1 a) Normalantakelse: Målingene x 1,..., x 21 og y 1,..., y 8 betraktes som utfall av tilfeldige variable X 1,..., X 21

Detaljer

NORCEM A.S FoU Avd. RAPPORT NR. GRADERING Åpen 9D4/03017 OPPDRAG

NORCEM A.S FoU Avd. RAPPORT NR. GRADERING Åpen 9D4/03017 OPPDRAG RAPPOR NR. OPPDRAG NORCEM A.S FoU Avd. 9D4/03017 UNDERSØKELSE AV SAMMENHENGEN MELLOM KARAKERISIKA FOR BEONG MED HENSYN IL FAREN FOR ALKALI REAKSJONER OG ENDENS IL RISSDANNELSER OPPDRAGSGIVER/ REKVIREN

Detaljer

Benchmarking av distribusjon alternative modeller

Benchmarking av distribusjon alternative modeller Benchmarking av distribusjon alternative modeller Endre Bjørndal, NHH Johannes Klein, NHH / Bergen Energi Næringspolitisk verksted EnergiNorge, 27/9-2011 www.nhh.no Disposisjon Innledning Dagens modell

Detaljer

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2006 Løsninger til regneøving nr. 7 (s. 1) Oppgaver fra boka: n + (x 0 x) 2 σ2

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2006 Løsninger til regneøving nr. 7 (s. 1) Oppgaver fra boka: n + (x 0 x) 2 σ2 MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2006 Løsninger til regneøving nr. 7 (s. 1) Oppgaver fra boka: Oppgave 11.27 (11.6:13) Modell: Y i = α + βx i + ε i der ε 1,..., ε n u.i.f. N(0, σ 2 ). Skal finne konfidensintervall

Detaljer

Eksamensoppgåve i TMA4240 Statistikk

Eksamensoppgåve i TMA4240 Statistikk Institutt for matematiske fag Eksamensoppgåve i TMA4240 Statistikk Fagleg kontakt under eksamen: Mette Langaas a, Ingelin Steinsland b, Geir-Arne Fuglstad c Tlf: a 988 47 649, b 926 63 096, c 452 70 806

Detaljer

L12-Dataanalyse. Introduksjon. Nelson Aalen plott. Page 76 of Introduksjon til dataanalyse. Levetider og sensurerte tider

L12-Dataanalyse. Introduksjon. Nelson Aalen plott. Page 76 of Introduksjon til dataanalyse. Levetider og sensurerte tider Page 76 of 80 L12-Dataanalyse Introduksjon Introduksjon til dataanalyse Presentasjonen her fokuserer på dataanalyseteknikker med formål å estimere parametere (MTTF,, osv) i modeller vi benytter for vedlikeholdsoptimering

Detaljer

Trondheim Roar Inge Hansen Storm Weather Center

Trondheim Roar Inge Hansen Storm Weather Center Trondheim 18.11.28 Roar Inge Hansen Storm Weather Center roar.hansen@storm.no Statistikk Eksempler på statistiske parametre for verifisering av prognoser: 1. Bias 2. Standardavvik / Root mean square 3.

Detaljer

Oppgave 1: Feil på mobiltelefoner

Oppgave 1: Feil på mobiltelefoner Oppgave 1: Feil på mobiltelefoner a) Sannsynlighetene i oppgaven blir P (F 1 F 2 ) P (F 1 ) + P (F 2 ) P (F 1 F 2 ) P (F 1 ) + 1 P (F2 C ) P (F 1 F 2 ) 0.080 + 0.075 0.006 0.149 P (F 1 F 2 ) P (F 1 F 2

Detaljer

JUNI Eiendom Norges boligprisstatistikk

JUNI Eiendom Norges boligprisstatistikk JUNI 2016 Eiendom Norges boligprisstatistikk INNHOLD Hovedpunkter 2 Prisutviklingen 4 Volum - antall solgte boliger 7 Omsetningstid 8 Usolgte boliger 10 Boligtyper, prisutvikling 11 Datagrunnlag og metode

Detaljer

JULI Eiendom Norges boligprisstatistikk

JULI Eiendom Norges boligprisstatistikk JULI 2016 Eiendom Norges boligprisstatistikk INNHOLD Hovedpunkter 2 Prisutviklingen 4 Volum - antall solgte boliger 7 Omsetningstid 8 Usolgte boliger 10 Boligtyper, prisutvikling 11 Datagrunnlag og metode

Detaljer

OKTOBER Eiendom Norges boligprisstatistikk

OKTOBER Eiendom Norges boligprisstatistikk OKTOBER 2016 Eiendom Norges boligprisstatistikk INNHOLD Hovedpunkter 2 Prisutviklingen 4 Volum - antall solgte boliger 7 Omsetningstid 8 Usolgte boliger 10 Boligtyper, prisutvikling 11 Datagrunnlag og

Detaljer

AUGUST Eiendom Norges boligprisstatistikk

AUGUST Eiendom Norges boligprisstatistikk AUGUST 2016 Eiendom Norges boligprisstatistikk INNHOLD Hovedpunkter 2 Prisutviklingen 4 Volum - antall solgte boliger 7 Omsetningstid 8 Usolgte boliger 10 Boligtyper, prisutvikling 11 Datagrunnlag og metode

Detaljer

Noen Statistiske utfordringer ved analyse av PROM

Noen Statistiske utfordringer ved analyse av PROM Noen Statistiske utfordringer ved analyse av PROM Kyrre Breivik Uni Research Helse, RKBU-Vest RKBU-Vest Pasientrapporterte data Flere statistiske utfordringer ved analyse av PROM (f.eks. missing, validitet,

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2016

TMA4240 Statistikk Høst 2016 TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving 12 Denne øvingen består av oppgaver om enkel lineær regresjon. De handler blant

Detaljer

regresjonsmodeller multippel logistisk regresjon logistisk regresjon prediksjon vs assosiasjon den logistisk funksjonen (2)

regresjonsmodeller multippel logistisk regresjon logistisk regresjon prediksjon vs assosiasjon den logistisk funksjonen (2) Innføring i medisinsk statistikk del 2 regresjonsmodeller Hvorfor vil man bruke regresjonsmodeller? multippel logistisk regresjon. predikere et utfall (f.eks. sykdom, død, blodtrykk) basert på et sett

Detaljer

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011 Løsninger til regneøving nr. 7 (s. 1) Oppgaver fra boka: n + (x 0 x) 2 1. n + (x 0 x) 1 2 ) = 1 γ

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011 Løsninger til regneøving nr. 7 (s. 1) Oppgaver fra boka: n + (x 0 x) 2 1. n + (x 0 x) 1 2 ) = 1 γ MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011 Løsninger til regneøving nr. 7 (s. 1) Oppgaver fra boka: Oppgave 11.25 (11.27, 11.6:13) Modell: Y i = α + βx i + ε i der ε 1,..., ε n u.i.f. N(0, σ 2 ). Skal nne

Detaljer

Statistisk behandling av kalibreringsresultatene Del 3. v/ Rune Øverland, Trainor Elsikkerhet AS

Statistisk behandling av kalibreringsresultatene Del 3. v/ Rune Øverland, Trainor Elsikkerhet AS Statistisk behandling av kalibreringsresultatene Del 3. v/ Rune Øverland, Trainor Elsikkerhet AS Denne artikkelserien handler om statistisk behandling av kalibreringsresultatene. Denne artikkelen har kalibreringskurve

Detaljer

n n i=1 x2 i n x2 n i=1 Y i og x = 1 n i=1 (x i x)y i = 5942 og n T = i=1 (x i x) 2 t n 2

n n i=1 x2 i n x2 n i=1 Y i og x = 1 n i=1 (x i x)y i = 5942 og n T = i=1 (x i x) 2 t n 2 TMA4245 Statistikk Vår 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalte oppgaver 12, blokk II Denne øvingen består av oppgaver om enkel lineær regresjon. De handler

Detaljer

Loven om total sannsynlighet. Bayes formel. Testing for sykdom. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Loven om total sannsynlighet. Bayes formel. Testing for sykdom. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Loven om total sannsynlighet La A og Ā være komplementære hendelser, mens B er en annen hendelse. Da er: P(B) P(B oga)+p(b ogā) P(B A)P(A)+P(B Ā)P(Ā) ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist

Detaljer

SOS3003 Anvendt statistisk dataanalyse i samfunnsvitenskap Forelesingsnotat 08. Erling Berge Institutt for sosiologi og statsvitenskap NTNU

SOS3003 Anvendt statistisk dataanalyse i samfunnsvitenskap Forelesingsnotat 08. Erling Berge Institutt for sosiologi og statsvitenskap NTNU SOS3003 Anvendt statistisk dataanalyse i samfunnsvitenskap Forelesingsnotat 08 Erling Berge Institutt for sosiologi og statsvitenskap NTNU Erling Berge 2004 1 Manglande data Forelesing VIII Allison, Paul

Detaljer

Ridge regresjon og lasso notat til STK2120

Ridge regresjon og lasso notat til STK2120 Ridge regresjon og lasso notat til STK2120 Ørulf Borgan februar 2016 I dette notatet vil vi se litt nærmere på noen alternativer til minste kvadraters metode ved lineær regresjon. Metodene er særlig aktuelle

Detaljer

STK juni 2016

STK juni 2016 Løsningsforslag til eksamen i STK220 3 juni 206 Oppgave a N i er binomisk fordelt og EN i np i, der n 204 Hvis H 0 er sann, er forventningen lik E i n 204/6 34 for i, 2,, 6 6 Hvis H 0 er sann er χ 2 6

Detaljer

Alle snakker om været. Klimautvikling til i dag og hva kan vi vente oss i fremtiden

Alle snakker om været. Klimautvikling til i dag og hva kan vi vente oss i fremtiden Alle snakker om været. Klimautvikling til i dag og hva kan vi vente oss i fremtiden Den Norske Forsikringsforening 21/11 2007 John Smits, Statsmeteorolog Men aller først litt om Meteorologisk institutt

Detaljer

Oppdatert referanseperiode for kraftproduksjon

Oppdatert referanseperiode for kraftproduksjon 03.07.2012 / NVE 200903388-6 Oppdatert referanseperiode for kraftproduksjon Innhold Bakgrunn... 1 Trender og klimaendringer... 1 Økt nedbør i Norge... 3 Klimaendringer og tilsig... 3 Ny referanseperiode

Detaljer

j=1 (Y ij Ȳ ) 2 kan skrives som SST = i=1 (J i 1) frihetsgrader.

j=1 (Y ij Ȳ ) 2 kan skrives som SST = i=1 (J i 1) frihetsgrader. FORMELSAMLING TIL STK2120 (Versjon av 30. mai 2012) 1 Enveis variansanalyse Anta at Y ij = µ + α i + ɛ ij ; j = 1, 2,..., J i ; i = 1, 2,..., I ; der ɛ ij -ene er uavhengige og N(0, σ 2 )-fordelte. Da

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4267 Lineære statistiske modeller

Eksamensoppgave i TMA4267 Lineære statistiske modeller Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4267 Lineære statistiske modeller Faglig kontakt under eksamen: Mette Langaas Tlf: 988 47 649 Eksamensdato: 4. juni 2016 Eksamenstid (fra til): 09.00

Detaljer

Beregning av arbeidsforbruk i jordbruket for Produktivitetskommisjonen

Beregning av arbeidsforbruk i jordbruket for Produktivitetskommisjonen Norsk institutt for landbruksøkonomisk forskning (NILF) Klaus Mittenzwei 12.02.2015 Beregning av arbeidsforbruk i jordbruket for Produktivitetskommisjonen Arbeidsforbruk i jordbruket er beregnet på grunnlag

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4267 Lineære statistiske modeller

Eksamensoppgave i TMA4267 Lineære statistiske modeller Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4267 Lineære statistiske modeller Faglig kontakt under eksamen: Tlf: Eksamensdato: August 2014 Eksamenstid (fra til): Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidler:

Detaljer