Dedekind introduserer nå en spesiell klasse snitt som han kaller rasjonale snitt:

Transkript

1 DE IRRASJONALE TALLENE EUDOXUS TESTAMENTE. Dedekind s snitt. Vi så tidligere at de greske matmatikerene kom til klarhet over at ikke alle forhold kunne beskrives som de vi kaller rasjonale tall dvs at de størrelsene som inngår i forholdet, har et felles mål. De fant til sin overraskelse at noen linjestykker er inkommensurable. Som vi husker gjorde Eudoxus en fantastisk innsats for å bringe klarhet over dette og han kom ganske langt, men de greske matematikerne manglet det algebraiske verktøyet som er nødvendig. De irrasjonale tallene forble i flere hundreår fremdeles et gåtefullt objekt. Det skulle bli to matematikere som på 18 tallet klarte å behandle disse på en tilfredsstillende måte 1. Den ene av dem var den tyske matematiker Richard Dedekind ( ). Dedekind introduserte det som kalles Dedekind snitt. Vi skal gi en liten ide om hovedpunktene i hans teori, som for øvrig er inspirert av nettopp Eudoxus. Dedekind definerer et snitt A i. A inneholder minst ett rasjonalt tall, men ikke alle rasjonale tall ii. Dersom A og β er et rasjonalt tall og β <, så vil β A iii. A inneholder ikke noe største rasjonalt tall Punkt i. sier oss at A ikke inneholder alle rasjonale tall, punkt ii. sier oss at om ett rasjonalt tall er inneholdt i A, så er også alle tall mindre enn dette inneholdt i A. Punkt iii. er litt vanskeligere å få tak på, men ser vi på mengden av alle tall mindre enn (men ikke lik)et gitt tall, kan denne opplagt ikke inneholdt noe største tall. Med litt moderne språkbruk kan vi betegne Dedekind snitt som åpne mengder de inneholder ikke noe øvre grensepunkt. Det som etter hvert skal vise seg, er at for noen snitt er grensepunktet et rasjonalt tall, for andre et irrasjonalt tall. Vi innser uten videre at om χ A, må < χ. I motsatt fall ville χ A etter pkt ii. Dedekind introduserer nå en spesiell klasse snitt som han kaller rasjonale snitt: Dersom δ er et rasjonalt tall og A er en mengde av alle rasjonale tall slik at < δ. er A et snitt og δ er det minste av alle tall som ikke er inneholdt i A. Vi innfører notasjonen A = δ* Dette er ikke så innlysende, men det følger av at for ethvert, kan vi danne et tall større enn og mindre enn δ, og som derfor er inneholdt i A. A har dermed intet største tall (iii). Vi viser dette ved: a + (1) < ' = δ < δ 1 Dedekind: Stetigkeit und irrationale Zahlen Dedekind: Stetigkeit und irrationale Zahlen Terminologien her er litt forvirrende. Dedekind snitt må ikke blandes sammen med snitt (interception) av to mengder et Dedekind snitt er en såkalt tett eller kompakt åpen mengde definert ved et øvre grensepunkt.

2 Siden vi opplagt ikke kan ha δ < δ, har vi δ A. Og da vi vet at ethvert tall mindre enn δ er inneholdt i A, må δ være det minste av tallene som ikke tilhører A. Ut fra definisjonen av snitt definerer nå Dedekind aritmetiske operasjoner for disse, og viser at den assosiative og kommutative loven gjelder for addisjon og multiplikasjon. I og med at han definerer et identitetselement for addisjon, *, er mengden av Dedekind snitt en kommutativ gruppe med hensyn på addisjon. Han definerer videre multiplikasjon og innfører et identitetselement for denne og har dermed at mengden av snitt utgjør en tallkropp. Dermed kan han behandle mengden av snitt som et tallsystem. I og med dette og definisjonen av en ordningsrelasjon (A < B dersom det finnes et rasjonalt tall slik at B og A), vil mengden av rasjonale snitt (en undermengde av alle snitt) kunne behandles på samme måte som rasjonale tall, dvs vi kan like gjerne tenke på det rasjonale snittet * som det rasjonale tallet *. I fremstillingen videre kalles Dedekind snitt bare for reelle tall der snitt (tall) som ikke er rasjonale, kalles irrasjonale tall. Vi skal ikke gå i detaljer i resten av fremstillingen, men poenget nå ligger i at han definerer to snitt A og B slik at i. Det finnes ikke noe reelt tall som er inneholdt i A eller B ii. Verken A eller B er tomme iii. Dersom A og β B, har vi < β Han viser ut fra dette at det nå eksisterer ett og bare ett reelt tall χ slik at χ for alle A og χ β for alle β B. Dermed har han vist at mengden av alle snitt, dvs mengden av alle reelle tall er komplett, de rasjonale og irrasjonale tallene fyller tallinjen. 4 Vi må tillegge her at Dedekind senere sa at det var studier av Eudoxus som hadde ledet ham inn på tankegangen ovenfor. 4 Professor Audun Holme har i sin bok Matematikkens historie I, gått inn på Eudoxus forsøk på å komme til klarhet over det vi i dag ville kalle irrasjonale tall. Holme bruker moderne notasjon og belyser dette fra en litt annen synsvinkel enn vi har gjort i kompendiet.

3 Georg Cantor hvordan måle de uendelige? Det skulle imidlertid vise seg at flere problemer gjensto før man kom til full klarhet over tallenes egenskaper. Allerede den italienske fysikeren og astronomen Galileo Galilei i 168 fremsatte noe som fortonte seg som et paradoks. Det var en korrespondanse mellom ledd i to uendelige følger: følgen av naturlige tall og følgen av tilhørende kvadrattall: n n. Dette sto i et par hundre år som et uhåndterlig problem for matematikerne. Med moderne terminologi ville vi si at Galilei etablerte en 1-1 korrespondanse mellom mengden av naturlige tall og en delmengde av denne. Paradokset ligger i at mengden av naturlige tall synes å ha flere elementer enn delmengden, mens 1-1 korrespondansen synes å bety at de har like mange. Gottfried Leibniz som sammen med Newton grunnla infinitesimalregningen, foreslo at man kun holdt seg til endelige tallmengder; i så fall ville paradokset forsvinne. La oss som eksempel betrakte mengden av alle naturlige tall, {1,,,.} og mengden av alle partall {, 4, 6,.}. Uten å tenke nærmere over dette vil vi si at det må være flere elementer i den første enn i den andre mengden som jo er en delmengde av den første. Nå er det imidlertid slik at vi kan koble hvert element i den andre mengden til et element i den første ved forskriften n n. Sett på denne måte ville man kanskje si at det er like mange elementer i den første som i den andre. Vi skal gjøre forvirringen enda større. La oss ta for oss et vanlig koordinatsystem og betrakte flaten som inneholder alle tall med første komponent i intervallet <1> og annen komponent i samme intervall. Igjen, uten å tenke nærmere over det ville vi si at de må være flere punkter i denne flaten enn på linjen <1>. For hvert tall på denne linjen må vi kunne oppreise et linjestykke med størrelse < 1> som jo inneholder uendelig mange punkter. Nå er det imidlertid igjen slik at vi for hvert punkt på flaten, la oss eksempelvis ta punktet (16..,.58 ), kan konstruere et tall,.5186 ved å ta annethvert siffer fra hver av koordinatene. Dette tallet befinner seg selvsagt på linjen < 1>. Dette gjør oss umiddelbart noe forvirret. Forvirringen ligger i at vi bruker begreper som større og mindre enn når vi snakker om mengder med uendelig mange begreper. Det var blant annet denne forvirringen den tyskdansk-russiske matematiker Georg Cantor ( )ryddet opp i med sin Mengdeteori der han innfører kategorisering av uendelige mengder 5. Vi starter med eksemplet vi valgte, mengden av naturlige tall og mengden av partall. Disse kan bringes i en korrespondanse til hverandre slik at vi kan knytte hvert element i den ene mengden til den andre. Dette gjelder for alle mengder der elementene er ordnede multipler av de naturlige tallene. Derfor kalles disse mengdene tellbare 6. Betydningen av dette begrepet blir snart klart. 5 Begrepet mengde var for så vidt allerede innført av den tsjekkiske matematiker Bernhard Bolzano i verket Paradoxien des Unendlichen som ble utgitt i 1851 tre år etter hans død. 6 Det forunderlige er at indiske matematiker fra Jaina i det 4 århundre var inne på lignende ideer.

4 Likeledes kan mengden av hele tall bringes i en korrespondanse med mengden av naturlige tall. Derimot er det ikke helt klart hvordan mengden av rasjonale tall kan bringes i en slik korrespondanse. Er mengden av alle rasjonale tall tellbar? For å vise dette gjør vi bruk av to ideer. Først organiserer vi de rasjonale tallene i en todimensjonal tabell, ikke ulik gangetabellen, der tellere står langs den vannrette og nevnere langs den loddrette. Hvert rasjonale tall vil nå stå oppført (minst én gang) i tabellen. Deretter teller vi tallene, men vi teller dem diagonalt, som vist nedenfor. Dermed vil disse tallene komme i en (tellbar) rekkefølge. Hva så med de reelle tallene? Demonstrasjonen vår ovenfor der vi tilordnet hvert tall i flaten med et tall på intervallet på tallinjen, viser ikke tellbarhet bare korrespondanse. Cantor viste at mengden av de reelle tallene ikke er tellbar. Siden vi kan inndele de reelle tallene i rasjonale og irrasjonale tall, og mengden av de rasjonale er tellbar, er konklusjonen at de irrasjonale må utgjøre en ikke tellbar mengde. Ideen bak Cantor s bevis for dette, som i prinsippet er et kontradiksjonsbevis, skal vi kort skissere her. Vi tar for enkelhets skyld for oss en delmengde av de reelle tallene, reelle tall mellom og 1. Vi antar nå at denne mengden av reelle tall er tellbar, dvs vi kan ordne disse tallene i en rekkefølge som korresponderer med de naturlige tallene. Vi skriver for det n-te tallets k-te desimalsiffer:. Dermed blir ordningen: {,, A,..} nk A1 A A =, Nå konstruerer vi et nytt tall som er inneholdt i denne mengden. Dette tallet konstruerer vi slik at det på n-te desimalplass er forskjellig fra det n-te tallet, A n, i den ordnede mengden. Tallet er gitt som: B =, β β β β β 5 Dette tallet er ulikt det første tallet siden 11 β1, det er ulikt det andre siden β osv generelt gjelder at mm β m. Dermed er tallet B ulikt alle tallene A n i den gitte mengden. Følgelig kan denne (tellbare) mengden ikke inneholde alle de reelle tallene i det aktuelle intervallet. Konklusjonen er at mengden av de reelle tallene og da spesielt de irrasjonale tallene er en ikke tellbar mengde. Nå er imidlertid både mengden av naturlige tall og mengden av irrasjonale tall uendelige mengder. Men åpenbart er der en viss forskjell. Den ene mengden er tellbar og den andre ikke. Vi skal imidlertid vokte oss noe for å bruke beskrivelser som større enn eller mindre enn når vi behandler uendelige mengder. En vanlig mengde har kardinaltall 5 dersom den har fem elementer. Cantor innførte betegnelsen transfinite kardinaltall for sine uendelige mengder. Han betegnet dem med ℵ Alef, det første bokstaven i det jødiske alfabetet. Tellbare mengder ble nå kalt, ℵ (Alef ). Mengden

5 av alle reelle tall ble nå kalt ℵ 1 (Alef 1) eller C 7 som står for kontinum. Mengder som har samme transfinite kardinaltall sies ofte å ha samme kardinalitet. Cantor viste videre at mengden av alle funksjoner med verdimengde {1} på en linje var av C en annen kategori enn mengden av reelle tall og ble kalt ℵ (Alef ) eller. Et n-dimensjonalt rom som f eks vårt tredimensjonale rom, har også samme kardinalitet som mengden av alle reelle tall, C. Cantor klarte også å vise at det gikk an å regne med de transfinite kardinaltallene som med vanlige tall, men regnereglene ble noe annerledes når det gjelder definisjonen av potenser. For addisjon og multiplikasjon fant han at Alef + Alef = Alef Alef Alef = Alef Imidlertid innførte matematikerne nå to nye kategorier for de reelle tallene, algebraiske og transcendente tall. Algebraiske tall er løsninger av algebraiske ligninger. Mengden av alle algebraiske tall er tellbar, det henger sammen med at algebraiske ligninger kan ordnes i mengder etter grad og innenfor hver mengde kan løsningene ordnes i tellbare delmengder osv. Opplagt er de rasjonale tallene en delmengde av de algebraiske. De transcendente tallene derimot er de reelle tallene som ikke er algebraiske. Tall som e og π er eksempler på transcendente tall. At e er et transcendentalt tall ble vist av Hermité i 187 og for π ble dette vist av π Lindemann i 188. Av et kjent teorem følger at e også er transcendentalt. Videre vet man at e minst ett av tallene eπ og e + π er transcendental, men det er fortsatt ikke kjent om e eller π e π eller π er transcendentale. Det forunderlige er at mengden av transcendentale tall ikke er tellbar. Cantor studerte desimalutviklinger av tall der vi har at rasjonale tall kan skrives som periodiske desimalbrøker. Det er forholdsvis lett å vise at en periodisk desimalbrøk kan skrives som et rasjonalt tall. Vi viser dette eksemplifisert for et tilfelle der perioden utgjør brøkdelen, andre tilfelle betyr bare en modifikasjon av metoden. Vi tar eksempelvis, Siden perioden her et på tre siffer, multipliserer vi med Kaller vi tallet x, har vi nå: () 1x x = 45,4545.-,4545 = 4 1 og trekker tallet fra tallet vi da får. som gir oss: () 999x = 4 dvs 4 x = 999 Vi skal senere illustrere hvorfor et rasjonalt tall kan skrives som en periodisk desimaltall og tar da for oss en ekte brøk. Vi finner desimalutviklingen ved systematiske divisjoner der resten etter noen operasjoner vil være et multiplum av 1 1 osv. Etter en viss serie vil vi få tilbake den resten vi da startet med og så vil serien gjenta seg. Maksimalt kan perioden være én mindre enn nevner (divisor). 7 Må ikke forveksles med C som betegnelse for mengden av komplekse tall.