OPPGAVE 1 MA Universitetet i Agder Institutt for matematiske fag EKSAMEN. Emnekode: MA-202 Emnenavn: Statistikk 2

Transkript

1 Universitetet i Agder Institutt for matematiske fag MA EKSAMEN Emnekode: MA-202 Emnenavn: Statistikk 2 Dato: 24. mai 2012 Varighet: Antall sider inkl. forside: 7 Tillatte hjelpemidler: Merknader: Alle skrevne, trykte og kopierte. Kalkulator (også alfanumerisk) Minnet trenger ikke være tømt Nynorskteksten er identisk med bokmålsteksten i setningsbygning og ordval med unntak av ord og uttykk gitt i slutten av oppgåvesettet OPPGAVE 1 En ny behandlingsmetode skal sammenlignes med en tradisjonell metode for å se om det er forskjell på forventningene. 15 personer er trukket tilfeldig med 10 til nadisjonell metode og 5 til ny metode., X2,..., X10 er måleresultatene med den tradisjonelle behandlingen, og 172,, Y5 er måleresultatene med den nye behandlingsmeltoden.resultater: 36, 31, 33, 38, 29, 35, 33, 36, 28, 41 21, 39, 19, 26, 31 Nedenfor er det vist deler av en analyse utført vha. SPSS (der noen av resultatene er tatt bort) t-test for E ualit of Means df Si. (2-tailed IMean Difference Std. Error Difference E ual variances assumed E ual variances not assumed 1,776 5,023,136 6,800 3,829 a) Estimer forventning og varians for de to behandlingsmetodene. Sett opp Hoog H1til det som skal undersøkes. Per ønsker å gjennomføre testen på 5% nivå ved bruk,aven vanlig to-utvalgs test der han antar at variansene er like. Gjør nødvendige beregninger og,kom med en konklusjon. Kari ønsker å bruke resultatene fra datautskriften i sin test. Hva blir hennes konklusjon. Hvilken av testmetodene har du mest tiltro til i denne Situasjonen.Begrunn kort.

2 OPPGAVE 2 MA En blodtest kan brukes som en første indikasjon på om personer har en spesiell sykdom. Vi definerer her sensitivitet som:p= sannsynligheten for at en syk person får positivt utslag på testen. Vi definerer spesifisitet som: r = sarmsynligheten for at en frisk person får negativt utslag på testen. 100 syke personer og 200 friske personer har tatt testen. Resultatene ble: Positiv Negativ Sum Syk Frisk Estimerp og r ved bruk av denne undersøkelsen. Lag et 95% konfidensintervall for forskjellen mellom spesifisitet og sensitivitet, dvs, for r p. (i) Lag 95% konfidensintervall for sensitivitetenp. (ii) En mer regnekrevende metode starter med uttrykket p z < P <z 0.95 der q =1 - p n og z = Z Dette uttrykket kan skrives om til (du trenger ikke vise dette) r - - \ 2 4 z2 j34z2 Z4,, z 2 pqz z P+ + p+ + E' - 2n n 4n 2n n 4n P p 0.95 n n ) Sett inn verdier fra denne undersøkelsen og regn ut nedre og øvre grense til dette konfidensintervallet. Sett opp Hoog H1til en test for å se omp er mindre enn 0,85. Du får oppgitt at ved bruk av 5% nivå kan forkastningsområdet settes opp som Forkast Hodersom Z = P < \1130(1 Po) 100 Hva erpo i vår test? Vis ved regning at dette forkastningsområdet ved våre verdier innsatt alternativt kan settes opp som Forkast 110dersom j, < 0,7913 Gir vår undersøkelse forkastning av nullhypotesen? Finn P(jo < 0,7913) dersomp virkelig er lik 0,8 (Hin-LStandardiser på nytt og bruk normaltilnærming) Begrunn at dette svarer til styrken i alternativetpi = 0,8. OPPGAVE 3 I dette datasettet skal vi se på sigarettforbruket i 48 amerikanske stater i perioden Vi har i også variable for blant annet pris, inntekt og avgifter. Variable for hver stat: Y = gjennomsnittlig antall sigarettpakker pr. person i de ulike statene P = pris (i $) inkludert avgifter pr sigarettpakke i de ulike statene Tax = avgifter (i cent) pr sigarettpakke i de ulike statene In = total person-inntekt i de ulike statene Pop = populasjon i de ulike statene

3 MA Der hvor det er henvisning til et spesielt år er dette året en del av variabelnavnet. I første omgang skal vi se på året Korrelasjoner mellom de ulike variablene er gitt nedenfor: Correlations Y95 P95 Tax95 In95 Po 95 Y95 Pearson Correlation 1 -,629 -,590 -,334 -,306 Si. (2-tailed),000,000,020,034 P95 Pearson Correlation -,629 1,964,346,298 Si. 2-tailed,000,000,016,040 Tax95 Pearson Correlation -,590,964 1,325,284 Si. 2-tailed,000,000,024,050 1n95 Pearson Correlation -,334,346,325 1,993 Si. 2-tailed,020,016,024,000 Pop95 Pearson Correlation -,306,298,284 i,993 1 Sig. (2-tailed),034,040,050,000 a) Hva forteller fortegnene til de forskjellige korrelasjonene om sammenhengen mellom forbruk Y og de ulike variablene i 1995? Hvor stor blir forklaringskraften R2til en modell som pnsker å se på forbruket ut fra prisen på sigaretter? Hva kan ut fra korrelasjonen mellom Tax95 og P95 siiom sammenhengen mellom avgift og pris? Vi får nå utført regresjonsanalysen nedenfor: Model R R S uare Ad'usted R S uare Std. Error o the Estimate 1,645a,415,361 19, a. Predictors: (Constant), Pop95, Tax95, P95, In95 Coefficientsa Unstandardized Coefficients Standardized Coeffici nts Collinearit Statistics Model B Std. Error Beta t Si. Tolerance VIF 1 (Constant) 231,006 51,543 4,482,000 P95 -,825,462 i -,835-1,788,081,062 16,029 Tax95,316,578 ',245,546,588,067 14,850 1n95 2,234E-8,000,136,119,906,010 95,927 Po 95-1,074E-6,000 1-,262 -,234,816,011 92,551 a. Dependent Variable: Y95 b) Hvilke variable har fått endret fortegnene på koeffisienten i forhold til sammenhengen i a)? Nevn andre ting som gjør at det er problemer knyttet ftl denne analysen. Hva kan du si om sammenhengen mellom populasjonsstørrelsen Pop95 og In95? Begrunn hvordan dette kan ha betydning for V/F-faktører. Nevn en annen måte som inntekten kunne vært modefiert bedre på?

4 3 nye variable defineres ved hjelp av logaritmer: LnY95 =In(Y95) LnP95 = In(P95) LnIn05 ln(in95) Deler av to regresjonsanalyser med disse variablene er gitt neklenfor: MA Model R R S uare Ad'usted R S uare Std. Error 'iofthe Estimate 1,640a,410,384, ,637b,406,393,18962 Predictors: (Constant), Ln1n95,LnP95 Predictors: (Constant), LnP95 Coefficientsa Model Unstandardized Coefficients B Std. Error Standardized Coefficients Beta t Si. Collinearit Statistics Tolerance V1F 1 (Constant) 10,936 1,145 9,550,000 LnP95-1,175,228 -,617-5,149,000,913 1,095 Ln1n95 -,016,028 -,068 -,564,576,913 1,095 2 (Constant) 10,850 1,126 9,632,000 LnP95-1,213,216 -,637-5,604,000 1,000 1,000 a. Dependent Variable: LnY95 c) Sett opp de to estimerte regresjonsmodellene (regresjonslinjene). Transformer de to likningene slik at du får de på formøn f = Hva forteller de to analysene om hvordan vi kan estimcre endringen i sagerettforbruket i en stat dersom denne staten ønsker å øke avgiftene med 1%? Vurder fordeler og ulemper ved disse to regresjonsana1ysenenår hensikten med analysen er å se på hva som kan gjøres for å få ned sigarettforbruket. Resten av oppgaven skal sammenligne årene 1985 og FOrstoppgis 2 regresjonslinjer og et plott over data der regresjonslinjene tegnet inn. (Her er Tax på x-aksen og Y på y-aksen) Model R R S uare Ad'usted R S uare Std. Error of he Estimate 1,375a,140,122 lb, a. Predictors: Constant, Tax85 2,590b,348,334 19, b. Predictors: (Constant), Tax95 Coefficients Unstandardized Coefficients Model B Std. Error Standardized Coefficients Beta t Si. 1 (Constant) 166,015 16,306 10,181,000 Tax85-1,264,461 -,375-2,740, De endent Variable: Y85 2 (Constant) 143,291 9,887 14,493,000 Tax95 -,759,153 -,590-4,953, Dependent Variable: Y95

5 MA , , , , Y95 Tax95 o Y85 Tax85 Y95 Tax95 Y85 Tax85 Y95 Tax95;Y95 Tax95;Y95 Tax95: R2 Linear = 0,348 Y85 Tax85;Y85 Tax85;Y85 Tax85: R2 Linear = 0.140, , , , , , ,0000 d) Sett opp de to regresjonslinjene. Estimer sigarettforbruket: ved Tax95 = 50 ved Tax85 = 40 Estimer hvordan sigarettforbruket i en stat har endret seg dersom staten har økt sin Tax med 10 fra et utgangspunkt på 40 i Kan vi ut fra plottet ovenfor si noe om hvordan de enkelte statene har endret sine Tax avgifter? Vi ønsker nå å analysere data som paneldata. Følgende nye variable er definert: Y_diff = Y95 Y85 og Tax_diff = Tax95 Tax85. Først får vi SPSS til å plotte data. I plottet er det også tegnet inn regresjonslinjer til en lineær modell, 1 en invers modell der er forklaringsvariabel og en kvadratisk modell der Tax_diff og Tax_diff (Tax_diff)2er forklaringsvariable. Noen mål på tilpasning for disse modellene er også tatt med. For den lineære modellen har vi etter plottet også tatt med utskrifter fra en vanlig regresjonsanalyse Dependent Variable:Y diff ry and Parameter Estimates Parameter Estimates E uation R S uare F dfl df2 Si. Constant b1 b2 Linear,449 37, ,000-10,720 -,553 inverse,283 18, ,000-37, ,138 Quadratic,450 18, ,000-9,801 -,623,001 The independent variable is Tax_diff.

6 10,00,00 Y_diff O Observed Linear Inverse Quadratie MA ,00-20,00-30,00-40, ,00,00 20,00 40,00 60,00 Tax_diff 60,00 b Model R R S uare Ad'usted R S uare Std. Error of the Estimate 1,6703,449,437 9,03325 Predictors: (Constant), Tax_diff Dependent Variable: Y_diff Coefficientsa Unstandardized Coefficients Standardized Coefficients Model B Std. Error Beta Si. 1 (Constant) -10,720 2,772-3,868,000 Tax diff -,553,090 -,670-6,128,000 a. Dependent Variable: Y_diff Sammenlign de tre regresjonslinjene og vurder hvor godt de passer til data. Hva forteller plottet om typiske endringer i avgifter for ulike stater? Regn ut forklaringskraft justert for frihetsgrader for den kvadratiske modellen. Hvilken av de estimerte modellene ovenfor får høyest R2adj? Lag et 95% konfidensintervall for fil i den lineære modellen. Gi en vurdering av residualplottet nedenfor. Dette er hentet fra den lineære modellen. 3, ,0000 1,0000 Residual,0000-1,0000 Standardized -2,0000-3, ,00 40,00 60,00 80,00 Tax_diff

7 MA Gi en tolkning av de to ê -verdiene i den lineære modellen. Estimer endring i sigarettforbruket i en stat om denne staten endrer sine avgifter med 10. I d) brukte vi teoretiske modeller: Y951= flo+ fii.tax95, + u, og Y851= fio+ fir Tax851+ u, for stat i. (*) Ved bruk av paneldata kan vi anta at vi har en teoretisk modell som har med en variabel Z, som varierer for de ulike statene uten at denne varierer over tid. Teoretiske modeller med Z inkludert kan settes opp som Y951=flo1995+ fil.tax951+ fi2z,+ /4/1995 og Y851= fio fil.tax85, +162Z,+ U/1985 Variabelen Z i (**) kan ses på som en utelatt variabel i modellene i (*). Nevn et konkret eksempel på en slik variabel som kan tenkes å variere fra stat til stat uten at den varierer over tid. Hva slags problemer kan en utelatt variabel gi i en regresjonsanalyse? Subtraher de to teoretiske modellene i (**) fra hverandre (dvs. finn Y95, Y851). Nevn noen fordeler ved å analysere et datasett som dette ved hjelp av paneldata for to tidsperioder. Nynorsktekst: Nynorskteksten er identisk med bokmålsteksten i setningsbygning og ordval med unntak av: Bokmål undersøkes beregninger begrunn sannsynlighet undersøkelse regnekrevende beregnet sammeheng ønsker øke Nynorsk = undersøkjas = utrekningar = grunngje = sannsyn = undersøking = reknekrevjande = rekna ut = samanheng = ynskjer = auke