Bacheloroppgave i GLU 5-10

Transkript

1 Kommunikasjon i matematikktimen av Nora Heger Voldner 913 Veileder: Bodil Kleve, matematikk Bacheloroppgave i GLU 5-10 G5BAC3900 Institutt for grunnskole- og faglærerutdanning Fakultet for lærerutdanning og internasjonale studier Høgskolen i Oslo og Akershus 23/04, 2015 Antall ord: 7448

2 Kommunikasjon i matematikktimen Innhold Sammendrag... 3 Nøkkelord... 3 Problemstilling... 4 Innledning... 4 Bakgrunnslitteratur... 5 Definisjoner av forståelse... 5 Definisjoner av matematiske sammenhenger... 5 Helklassesamtalen... 6 Ulike måter å ha dialog i matematikk... 7 Mattelæreres tilnærming til faget Metode Funn Syn på helklassesamtalen Sammenhenger mellom matematikken og livet utenfor skolen IRE-mønster i samtalene Å legge opp spor Oppgaveparadigmet Avslutning Litteraturliste

3 Sammendrag I denne oppgaven tar jeg for meg hvordan lærere kan benytte helklassesamtalen for å styrke elevenes relasjonelle forståelse for temaet de lærer om. Jeg har observert tre forskjellige lærere i tre timer og gjort et intervju med den ene læreren. Jeg forsøker også å knytte lærerens samtalemønster sammen med deres innstilling til faget. I observasjonene mine har jeg sett to lærere som viser flere ganger at de har et syn på matematikk som et sett med regler som skal overføres fra lærer til elev. Disse lærerne har også samtaler i timene som gjenspeiler dette matematikksynet. De bruker IRE-mønster i stor grad, og stiller elevene spørsmål preget av å skulle kontrollere elevenes forståelse. Nøkkelord Matematikk, helklassesamtale, relasjonell forståelse, matematikksyn, muntlige ferdigheter 3

4 Problemstilling Hvordan kan en lærer bruke kommunikasjon i matematikk for å styrke elevenes forståelse for emnet? Innledning I denne oppgaven vil jeg se på hvordan man som lærer kan styrke elevers forståelse i matematikk gjennom kommunikasjon med elevene i helklassesamtalen. Jeg tar utgangspunkt i observasjon av tre timer med tre lærere, og et intervju med en av lærerne. Timene jeg observerte fulgte ganske like mønstre for kommunikasjon med elevene, og jeg har sett på hvordan de bruker og hvordan de ikke bruker kommunikasjon med elevene som et verktøy for å oppnå forståelse. Jeg har også forsøkt å knytte dette til lærernes matematikksyn. Helklassesamtalen kan benyttes på mange områder i matematikken for å styrke elevers forståelse. Det er en måte å utnytte mangfoldet i en klasse, og man kan dra nytte av at elever ser forskjellige ting. Jeg har plukket ut tre sekvenser, en fra hver time, som jeg mener på hver sin måte understreker disse lærernes matematikksyn og hvordan dette preger deres samtaleform. Ettersom timene jeg har observert har vært preget av såpass like mønstre mener jeg at det har liten effekt å sammenlikne de ulike lærerne, og at det er mer interessant å se de tre lærerne opp mot teoretiske rammeverk. Skemp (1976) påpekte at ulike syn på forståelse kan medføre at lærere underviser ulike typer matematikk i klasserommene. Nesten 30 år seinere viser Beswick (2005) at det fortsatt er et problem at lærere og lærerstudenter knytter ulike og motstridende innhold til begrepet forståelse. I denne oppgaven ønsker jeg å se på hvordan samtalen i klasserommet gjenspeiler lærerens syn på forståelse i matematikk. 4

5 Navnene jeg har brukt i oppgaven er ikke informantenes ekte navn. Bakgrunnslitteratur Definisjoner av forståelse R. Skemp (1976) skiller mellom to ulike måter å forstå matematikk på, relasjonell og instrumentell forståelse. Svært enkelt forklart går instrumentell forståelse utpå å forstå hva man skal gjøre for å løse et problem, mens relasjonell forståelse går utpå å forstå hvorfor en metode vil løse et problem (Skemp, 1976). Ofte benyttes bare begrepet forståelse uten å skille mellom de to ulike typene forståelse, videre i oppgaven har jeg skrevet inn «(relasjonell)» før «forståelse» i de tilfellene jeg mener at det er nærliggende å anta at forfatteren eller informanten har ment relasjonell forståelse. I en undersøkelse der elever ble spurt om deres forståelse av matematikk kategoriserer M. Goos elevers svar på hvordan de vet at de har forstått noe i matematikk i fem ulike nivåer. Elevene svarer at de forstår noe i matematikk når (i) de får riktig svar, (ii) de får en følelsesmessig reaksjon (blir interessert, føler seg trygge), (iii) det de gjør gir mening (passer med tidligere kunnskap, de forstår hvorfor de bruker en regel), (iv) de kan overføre kunnskapen til nye felter, (v) de kan forklare til andre. Av disse er (i) og (ii) instrumentell forståelse, mens de tre andre er relasjonell forståelse (Goos, 1995). Definisjoner av matematiske sammenhenger Å undervise matematikk for forståelse blir ofte knyttet sammen med å fokusere på å knytte matematiske sammenhenger (Mousley, 2004). J. Mousley peker på at begrepet sammenhenger ofte blir brukt med ulikt innhold uten at det blir definert hva som er innholdet i begrepet. Hun definerer tre ulike innhold for begrepet «sammenhenger» som er de som oftest blir brukt: (a) sammenhenger elever knytter mellom ny informasjon og eksisterende forståelse, (b) 5

6 sammenhenger mellom ulike matematiske ideer og representasjonsformer, og (c) sammenhenger mellom det som læres på skolen og matematiske aspekter i hverdagslivet (Mousley, 2004). Det å knytte sammenhenger mellom ulike matematiske ideer (b) blir trukket fram som det å koble ulike skjemaer innen matematisk kunnskap til hverandre. Det å gjøre disse sammenkoblingene vil henge tett sammen med relasjonell forståelse, da disse sammenkoblingene først kan gjøres dersom man har en forståelse for hvordan og hvorfor de ulike skjemaene virker. Mousley viser videre til Hierbert, Carpenter et. al. som sier at elevenes forståelse for et tema vil være bestemt av hvor mange og sterke sammenhenger eleven har mellom ulike matematiske ideer og representasjoner. De peker videre på at kommunikasjon og refleksjon er avgjørende for å utvikle denne typen forståelse og sammenhenger (gjengitt i: Mousley, 2004). Helklassesamtalen Ettersom forståelsen er en mental prosess som foregår inne i elevenes hoder kan det være vanskelig å vurdere hvorvidt en elev har relasjonell eller instrumentell forståelse for et tema basert på oppgaver eleven løser. Det er også mulig at elevene har relasjonell forståelse, men benytter instrumentelle regler på rutineoppgaver. I følge Skemp (1976) vil den beste måten å finne ut elevenes forståelse i en læringssituasjon være gjennom å snakke med dem. Men han påpeker også at det i et klasserom med mange elever kan være vanskelig å få tid til å snakke med alle elevene (Skemp, 1976). Å benytte seg av helklassesamtale vil være en måte å få diskutert matematiske problemer med mange elever på en gang, men det å gjennomføre en produktiv helklassesamtale er ekstremt vanskelig, og det krever et sett av ulike pedagogiske evner fra lærerens side (Boaler i: Boaler & Humphreys, 2005, s. 49). 6

7 Muntlighet i klasserommet er vektlagt i norsk skole i alle fag gjennom grunnleggende ferdigheter, og om muntlig ferdigheter i matematikk heter det at elevene skal resonnere omkring ideer i matematikk, og de skal kunne gjøre seg opp en mening, stille spørsmål og argumentere omkring matematiske problemer (læreplan i matematikk fellesfag, 2013). Men muntlighet, eller kommunikasjon alene er ikke nok, det finnes mange måter å kommunisere i matematikk-klasserommet, og måten det blir kommunisert på vil gjenspeile matematikken. Ulike kommunikasjonsformer vil understreke ulike former for læring og forståelse, og samtalen vil henge tett sammen med hvilken type læring som foregår i klasserommet (Alrø & Skovsmose, 2005). Ulike måter å ha dialog i matematikk Gjennom et utvalg ledet av Mogens Niss ble KOM-rapporten utarbeidet i Denne deler matematisk kompetanse inn i åtte ulike kompetanser som er fordelt i de to hovedkategoriene «å kunne spørre og svare i, med og om matematikk» og «å kunne håndtere matematikkens språk og redskaper». Under den sistnevnte finner vi underkategorien kommunikasjonskompetanse. Denne kompetansen innebærer å sette seg inn i og fortolke matematikk framstilt av andre og å selv kunne formidle matematikk. Under den andre hovedkategorien er resonnementskompetansen. Her er kjernen å kunne resonnere matematisk, både gjennom å forstå eller utvikle matematiske resonnementer, og gjennom å bedømme holdbarheten av matematiske påstander (gjengitt i: Skott, Hansen & Jess, 2008, s ). Disse to kompetansene lar seg for eksempel kombinere gjennom en samtale der elever kommuniserer sine matematiske tolkninger eller resonnementer mens andre elever aktivt tar stilling til holdbarheten av disse. Det er flere fordeler som blir trukket fram ved at elever får diskutert og argumentert for sine synspunkter i matematikken. 7

8 Kleve og Solem argumenterer for at elever gjennom diskusjonen får oppdaget flere sider ved matematikken, og at de på denne måten kan oppnå en forståelse som går utover den instrumentelle. Gjennom å diskutere matematiske problemer får elevene forståelse for at matematikk er mer enn et sett med regler (Kleve & Solem, 2014). M. Goos trekker fram at det at elever forsvarer sine egne ideer og utforsker medelevers resonnering og synsvinkler kan lage en nærmeste utviklingssone som går to veier (mellom to elever), og beriker og utvikler tenkingen til alle elevene. Goos peker også på at det at elever gir forklaringer på hva de tenker har en dobbel effekt, på den ene siden manifesterer elevene sin egen forståelse, de kan også gjennom forklaringsprosessen utvikle ny forståelse gjennom å koble nye ideer til tidligere kunnskap (Goos, 1995). Evnen til å kunne forklare matematikk til andre trekkes fram som en type forståelse (v) av M. Goos. Denne typen forståelse tillegger hun ekstra tyngde, fordi det ikke bare er evnen til å kunne forklare for andre, men også en aktivitet som er med på å skape forståelse hos den som forklarer (Goos, 1995). Verdien av å ha samtale om matematikk i klasserommet er påpekt flere steder. Muntlighet i matematikk er også understreket i læreplanen. Likevel er det en trend i både norsk og internasjonal sammenheng at man i større grad går bort fra muntlige aktiviteter til fordel for flere skriftlige øvelser (Solem & Ulleberg, 2013). Det at elevene jobber mer individuelt med oppgaver betegnes av Alrø og Skovsmose (2005) som oppgaveparadigmet. I denne måten å jobbe med matematikk på er det ett og bare ett riktig svar på en oppgave, og samtalen mellom elev og lærer vil derfor gi et bestemt kommunikasjonsmønster der læreren stiller et spørsmål, en elev svarer, og læreren evaluerer hvorvidt dette svaret var korrekt eller ikke. Målet med denne samtalen vil være for læreren og kontrollere at eleven får til oppgaven. 8

9 Det finnes en rekke ulike verktøy for å kunne analysere samtalen om matematikk i klasserommet. Et av disse identifiserer ulike deler av matematisk kunnskap en lærer innehar og benytter i et klasserom. Dette er kategorisert i «kunnskapskvartetten» som består av fire dimensjoner: -Grunnlag (foundation): matematisk kunnskap læreren innehar, -Overføring (transformation): lærerens evne til å gjøre sin kunnskap tilgjengelig for elevene, -Sammenhenger (connection): lærerens evne til å knytte sammenhenger mellom ulike matematiske elementer og -Handlingsberedskap (contingency): evnen til å oppdage og utnytte sjanser i klasserommet som ikke er planlagt for (Rowland, Huckstep & Thwaites, 2005). Disse dimensjonene står i forhold til hverandre og bygger på hverandre som vist på modellen under. Handlingsberedskap handler om lærerens evne til å gå bort fra planen, og respondere på elevenes egne ideer (Kleve & Solem, 2014). En erfaren lærer vil ta høyde for og planlegge for at det oppstår slike øyeblikk. Kleve og Solem argumenterer også for at en erfaren lærer kan planlegge såkalte «contingent moments» gjennom å stille gode spørsmål og legge til rette for klasseromsdiskusjoner (Kleve & Solem, 2014). (gjengitt i: Kleve & Solem, 2014) 9

10 En annen måte å analysere samtalen i klasserommet på er å se på hvilke spørsmål læreren stiller. Både lærerens spørsmålsform og spørsmålstype er med å avgjøre hvilke bidrag elevene kommer med i mattetimene (Solem & Ulleberg, 2013). Det finnes ulike modeller for å analysere spørsmål som stilles i matematikklasserommet. Flere av disse skiller mellom åpne og lukkede spørsmål, eller høyere og lavere ordens spørsmål (Boaler & Humphreys, 2005). Solem og Ulleberg har utviklet en modell for å analysere hvilke faglige spørsmål som blir stilt i klassesamtalen i matematikk. Denne modellen tar form som et aksekors der en akse omhandler lærerens posisjon og strekker seg mellom læreren vet og læreren vet ikke svaret. Den andre aksen handler om lærerens hensikt med spørsmålet, og strekker seg fra orienterende til påvirkende hensikt (Solem & Ulleberg, 2013). 10

11 Denne modellen skaper fire ulike områder (A, B, C, D), og i en samtale vil det være naturlig å veksle mellom spørsmål fra de ulike områdene. Solem og Ulleberg fremhever at modellen er utviklet til å analysere klassesamtalen, ikke for at spørsmål i klasserommet bør fordeles på en bestemt måte. Det er likevel slik at samtaler av undersøkende og utforskende karakter (læreren vet ikke svaret, påvirkende hensikt, D) er mangelvare i skolen, og Solem og Ulleberg hevder at denne typen spørsmål er nødvendige for å etterleve målene i LK06. Mange mattetimer er preget av skriftlige oppgaver, og i den delen som består av samtaler mellom lærer og elev er denne samtalen i stor grad preget av et IRE-mønster der læreren initierer (I), elevene responderer (R) og læreren evaluerer (E) elevenes svar (Solem & Ulleberg, 2013). Alrø og Skovsmose (2005) beskriver et liknende samtalemønster som de kaller GHLT (gjett hva læreren tenker). Dette samtalemønsteret knytter de direkte til oppgaveparadigmet, og det tradisjonelle klasserommet. Denne måten å samtale på kan ifølge Alrø og Skovsmose føre til en mekanisk læringsstil der elevene blir mer opptatt av å gjette hvilket svar læreren ønsker enn av å forstå det matematiske innholdet. Fokuset i timer preget av oppgaveparadigmet vil være å skille mellom riktige og gale svar. (Alrø & Skovsmose, 2005). I samtaler preget av IRE og GHLT er elevenes respons minimal, og elevene svarer forsiktig gjennom spørsmål, avvisning av sitt eget svar, avvisning av spørsmålet, gjennom å be om hjelp, vilkårlig gjetting, ekko-svar, taushet eller ved å beskjeftige seg med noe annet (Alrø & Skovsmose, 2005). Både Solem og Ulleberg og Alrø og Skovsmose understreker at det ikke er en bestemt type samtale eller spørsmål fra læreren som er bedre enn de andre, men begge framhever også at undersøkende virksomhet er mangelvare i skolen og kan medføre en type læring som rommer mye. 11

12 Mattelæreres tilnærming til faget Fra en undersøkelse om effektive lærere (Askew, Brown, Rhodes, Wiliam & Johnson, 1997) deles mattelæreres orientering inn i tre ulike typer basert på hvilke tilnærminger de har til faget, dette er «ideal-typer» og ikke mønstre som man kan lese lærere fullstendig inn i. Sammenhenger (Connectionist) Dette synet går ut på både å validere elevenes metoder, og å lære bort effektive metoder basert på å knytte matematiske sammenhenger. Lærere som har denne orienteringen i sin undervisning mener at alle elever har mentale strategier for å kunne løse problemer når de kommer til timen, og lærerens ansvar er å hjelpe elevene med å gjøre disse strategiene mer effektive. Denne orienteringen baserer læring på en dialog mellom lærer og elever der målet er å utforske hverandres forståelse. Dialogen kan foregå på ulike måter, gjennom diskusjon i mindre grupper eller helklassesamtaler. Overføring (transmission) Dette er lærere som har en overbevisning basert på at premisset for å lære, og grunnlaget i matematikken er en samling av rutiner og prosedyrer. Lærere med denne overbevisningen vil være opptatt av å lære bort en rekke rutiner, en for hver type oppgave. Denne læreren fokuserer på å lære bort metoder gjennom en tydelig forklaring, og vil legge mer vekt på det å lære bort enn det å lære. Typisk for denne læreren er også det å knytte matematikken fra skolen til problemer man kan møte i den virkelige verden. Denne orienteringen vil også ofte føre til en læringsstil der læreren legger opp spor for elevene så det elevene vil få bruk for tas opp på forhånd av læreren. Oppdagelse (discovery) Lærere med denne overbevisningen vil mene at premisset for læring, og synet på matematikk baserer seg på at elevene selv må oppdage matematiske sammenhenger. Lærere med denne orienteringen forholder seg til alle 12

13 metoder for å løse oppgaver på som like gode uavhengig av hvor effektive de er. (Askew et al., 1997). Undersøkelsen viste at lærere som hadde en overbevisning basert på sammenhenger hadde større sannsynlighet for å være svært effektive lærere innen matematikk, og fem lærere utpekte seg som svært effektive og tydelig opptatt av sammenhenger. Av disse fem lærerne var det fire som sa at de spesielt forsøkte å vektlegge elevenes forståelse for emnet de jobbet med (Askew et al., 1997). B. Kleve analyserer i sin doktorgrad (2007) hvordan tre lærere med ulikt syn på læring legger opp sin undervisning. I beskrivelsen av en lærer som er typisk opptatt av overføring beskriver hun hvordan timene hans ofte følger et fast mønster, med en del av timen som er helklassesamtale, og en del av timen som er individuelt arbeid. Helklassesamtalen til denne læreren starter alltid med en monolog der læreren prater uten forstyrrelser og forteller hva som skal skje denne timen, henviser til elevenes forkunnskaper og motiverer for dagens arbeid. Så stiller læreren noen overgangsspørsmål som omhandler enten faktakunnskaper eller prosesskunnskaper, disse markerer en overgang til elevene at de nå er invitert til å delta i samtalen. Videre følger en forelesningsfase der læreren samhandler med elevene, men likevel kontrollerer retningen samtalen tar. (Kleve, 2007). Både synet på matematikk som et sett med rutiner og det store fokuset på å jobbe med oppgaver passer godt overens med det Alrø og Skovsmose kaller oppgaveparadigmet. Det å se på matematikk som et sett med regler og rutiner henger også sammen med et instrumentelt syn på matematikken, der forståelsen av hva som skal gjøres blir viktigere enn å forstå hvorfor dette virker. 13

14 Metode I denne oppgaven har jeg observert to mattetimer med to ulike lærere på 10. trinn (Anne og Lise), og en mattetime med en lærer (Kari) på 6. trinn. Timene jeg var i på tiende trinn var to timer som var relativt likt oppbygget, med en felles oppstart og etter hvert individuelt arbeid med oppgaver mens læreren gikk rundt og hjalp til. Denne timen skulle elevene begynne å jobbe med et nytt kapittel i matteboka. Kapittelet de skulle begynne på var «økonomi», og timen gikk utpå å snakke om lønn, skatter og avdrag og å gjøre oppgaver hvor de måtte bruke prosentregning. Her har jeg fokusert på de delene av timen som har foregått i plenum. På 6. trinn har jeg observert en time der elevene jobbet med oppgaver og gikk opp til læreren når de hadde spørsmål. Denne læreren har jeg også gjennomført et intervju med i etterkant hvor hun har fortalt om sine tanker rundt helklassesamtalen, og samtalen med elever i matematikk. Mitt fokus i denne oppgaven er helklassesamtalen, og det er derfor ikke så aktuelt med observasjonene jeg gjorde i 6. klasse, da elevene satt og jobbet individuelt hele timen, og det ikke var noe helklassesamtale. Jeg har likevel valgt å ta med et av funnene jeg gjorde i denne klassen, da jeg kunne se et samtalemønster mellom lærer og elever som jeg syns var relevant for oppgavens problemstilling. Observasjon som metode for å innhente data egner seg godt når målet er å finne ut hva en lærer gjør i klasserommet, og ikke bare hva læreren sier at han eller hun gjør (Dalland, 2000). Fordi min problemstilling handler om å se på hvordan lærere løser situasjoner i klasserommet er det mest relevant å se på hva de faktisk gjør, og ikke hva de sier at de gjør Det er naturlig når man gjennomfører en observasjon at det melder seg spørsmål man ønsker å stille til den man har observert. Det er derfor naturlig å gjennomføre både observasjon og intervju med den samme informanten (Dalland, 2000). Det at jeg ikke har fått et intervju med 14

15 Anne og Lise, og ikke har fått en relevant observasjon av Kari er en svakhet ved denne oppgaven. Et intervju med Anne og Lise kunne gitt meg mulighet til å høre om valgene de hadde tatt i løpet av timen var bevisste, og hva som var deres tanker rundt det å snakke med hele klassen. På samme måte ville en observasjon av en time der Kari gjennomførte en helklassesamtale gitt meg mulighet til å sett hvorvidt hun etterlevde de prinsippene hun framhevet i intervjuet. Gjennom å observere og intervjue kan man i større grad få mulighet til å se på lærerens intensjoner opp mot praksis. Intervjuet som metode er en situasjon der intervjuobjektet selv har kontroll over hvordan han eller hun vil framstille seg selv og egen praksis. I motsetning er observasjon en metode der den som blir observert har liten kontroll over egen framstilling (Dalland, 2000). Funn Syn på helklassesamtalen I de to tiendeklassene jeg har observert snakket jeg litt med lærerne i forkant av undervisningen, og fortalte hvilke deler av timen jeg skulle se på. I denne samtalen fortalte begge lærerne meg at de i liten grad benyttet helklassesamtale som en del av sin undervisning, og at ved oppstarten av et nytt kapittel var den eneste timen de benyttet denne samtaleformen. Lærerne forteller meg at de finner det mest effektivt at elevene jobber selvstendig. Dette begrunner de forskjellig. Anne sier at dette er et valg hun har tatt av praktiske grunner, hun sier at hun ikke har tid til å komme gjennom alt stoffet på noen annen måte. Dessuten mener hun at dette er den måten elevene lærer mest på, og trekker fram repetering og gjentatt øvelse som argumenter. Lise begrunner det store fokuset på individuelt arbeid med oppgaver med at hun på denne måten kan gi elevene tilpasset opplæring. Ved at elevene kan velge mellom 15

16 oppgaver fra tre ulike vanskelighetsgrader mener hun at elevene får jobbet på sitt nivå, og hun får mere tid til å hjelpe de som trenger det. I intervjuet med Kari får jeg imidlertid et annet syn på det å gi tilpasset opplæring til alle elevene når hun skal fortelle om fordeler med helklassesamtalen. «Det viktigste med den samtalen er å få fram ulike strategier. Om det har noe med tallsystemer å gjøre, eller om det har med regnemetoder å gjøre, eller om det har med metoder for konstruksjon og tenkemåter å gjøre. Målet med en sånn type samtale er jo å få fram mangfoldet. Det er veldig, veldig viktig. Vi som mennesker vi tenker jo veldig ulikt. ( ) når læreren står og viser en metode så har jo læreren skjønt den metoden og vil jo da fremstille den utfra sin måte å tenke på. Og da favner man sjeldent over mer enn kanskje en tredel av klassen. Kanskje ikke det engang. Målet med en sånn samtale må jo være å få frem at det er mulig å tenke på andre måter. Og at det er like riktig». Kari fremhever her at det å benytte helklassesamtalen gir henne muligheten til å nå flere elever, da det er sannsynlig at andre elever har tenkt annerledes enn henne. Ved å si at elevene kan ha en annen strategi enn det hun selv har sier hun også at elevene møter til timen med verktøy for å løse oppgaver fra før av. Dette vitner om at Kari kan ha en orientering som på dette området er i tråd med det Askew et al(1997) knytter til sammenhenger. I sine begrunnelser for hvordan de velger å organisere undervisningen sin er det ingen av lærerne som vurderer om det å kommunisere i matematikk er et mål i seg selv. Dette er både for å etterleve de muntlige ferdighetene som er slått fast i læreplanen, og å øve på den matematiske kompetansen kommunikasjonskompetanse. Men også fordi elevene kan utvikle sin relasjonelle forståelse for et tema gjennom å forklare det for andre (Goos, 1995). Det store fokuset på oppgaveløsning vil også gjøre det vanskelig for læreren å vite hvilken type forståelse elevene har for matematikken. Gjennom oppgaveløsingen vil læreren bare 16

17 kunne se hvorvidt en elev har valgt riktig metode for å løse en oppgave (instrumentell forståelse), og ikke hva som er begrunnelsen for metodevalget. Sammenhenger mellom matematikken og livet utenfor skolen Timene til både Anne og Lise er bygget opp etter samme mønster, og dette er ganske likt det mønsteret Kleve (2007) beskriver at den læreren som var opptatt av å overføre kunnskap fra lærer til elev også fulgte. I begge klassene starter læreren med en monolog der de forteller om hva de skal jobbe med, og hvordan de skal jobbe med dette kapittelet i matteboka. Temaet i de to timene omhandlet økonomi, og i kapittelet i matteboka var det lagt opp til å i stor grad knytte sammenhenger til elevenes hverdag. Disse sammenhengene var lærerne også svært opptatt av, og særlig Anne klarte gjennom å knytte sammenhenger mellom matematikken de hadde og hverdagslivet å vekke elevenes engasjement. Etter at Anne har hilst på elevene, bedt dem finne fram bøker og introdusert dagens tema legger hun opp til samtale med hele klassen. Hun legger opp til at elevene skal delta, og hun bruker seg selv som eksempel når hun forklarer hvorfor hun i sin privatøkonomi pleier å bruke kredittkort i stedet for sitt vanlige bankkort. Anne: «jeg for eksempel pleier å betale med kredittkortet mitt når jeg skal betale med kort, og det er fordi jeg bruker [lokalbank] og med det kortet koster det meg to kr hver gang jeg trekker kortet, og det gidder jeg jo ikke betale så derfor» Trond: (avbryter) «Hvorfor har du den banken da?» Anne: «det er fordi jeg har et lån i den banken, så derfor må jeg også ha kort der» Mari: (mumler): «Endelig matte vi får bruk for» Anne: «Hva sa du, Mari?» 17

18 Mari: «Jeg sa at endelig skal vi ha noe i matte som vi har bruk for senere» I denne sekvensen bruker Anne eksempler fra sitt eget dagligliv for å gjøre matematikken relevant for elevene. Når vi ser at en av elevene også uttaler at endelig skal de ha matematikk som de får bruk for er dette et tegn på at hun har lyktes i dette. Også i fortsettelsen av timen fortsetter hun å vise elevene ved å bruke eksempler fra sitt eget liv. Hun har med seg en powerpoint med bilder av sin egen lønnsslipp som hun viser fram for å forklare hvordan de ulike trekkene påvirker hennes økonomiske hverdag. Det er tydelig at Anne ønsker å bygge opp sammenhenger mellom kunnskapen elevene skal tilegne seg på skolen og det virkelige liv. Det å bygge opp sammenhenger mellom det virkelige liv og matematiske ideer blir av Cathy Humphreys trukket fram som selve kjernen i matematiske ferdigheter (Boaler & Humphreys, 2005, s. 11). Av de forskjellige definisjonene av sammenhenger i matematikken er det å trekke sammenhenger mellom det daglige livet og matematiske ideer den tredje mest vanlige sammenhengen (Mousley, 2004). Det å bygge opp sammenhengen mellom livet utenfor skolen og matematikken elever lærer på skolen kan hjelpe elever med å bygge opp nettverk av kunnskap, og å sette kunnskapen de tilegner seg på skolen i en kontekst (Mousley, 2004). Også Lise fokuserer i sin time på å trekke sammenkoblinger mellom det virkelige livet og matematikken elevene lærer på skolen. Når hun trekker sammenhenger til den virkelige verden viser hun til eksempler hun henter fra skoleboka. Hun forklarer elevene at det de skal ha om i dette kapittelet er svært relevant, og at dette er sånt de vil få bruk for blant annet når de skal ta opp lån. Som eksempel på problemstillinger de må forholde seg til som låntagere viser hun til en side i boka der det står beskrevet ulike typer lån og renter. Elevene virker ikke spesielt engasjerte, og de svarer når hun stiller dem et spørsmål, men utover dette er det ingen som rekker opp hånda eller avbryter henne. 18

19 Anne, som viste fram sin lønnsslipp og tok seg selv som utgangspunkt for samtalen oppnådde imidlertid mye større grad av engasjement hos elevene. Elevene avbryter henne og stiller spørsmål som for eksempel «Hvorfor har du valgt den banken?», eller «hvor mange års ansiennitet har du?». Det kan se ut som om det vekker elevenes engasjement nettopp det at læreren inviterer elevene inn i sin virkelighet. I kunnskapskvartetten deles matematisk kunnskap opp i fire ulike deler, der grunnlag ligger til grunn for å kunne benytte de andre delene av matematisk kunnskap. Denne typen kunnskap gir seg blant annet til syne i graden av etterlevelse etter matteboka (Kleve & Solem, 2014). Anne går utenom matteboka for å oppnå større grad av engasjement hos elevene, mens Lise benytter eksempler og oppgaver fra boka gjennom hele timen. Dette kan være et tegn på at Anne har større trygghet på sitt matematiske grunnlag. Begge lærerne jobber gjennom hele timen mye med å knytte det de lærer på skolen sammen med elevenes hverdag. Gjennom å jobbe med kunnskaper elevene har fra dagliglivet kan man oppnå å gi de matematiske begrepene en ramme for å konstruere et effektivt nettverk av kunnskap, forståelse og ferdigheter (Mousley, 2004). Lærerne i begge klassene kan gjennom å koble dagliglivets kunnskap sammen med det de skal lære i dette kapittelet oppnå en mer sammensatt kunnskap om for eksempel prosentregning. Fordelene ved å knytte sammenhenger mellom dagliglivet og skolematematikken kan være flere. Det kan virke motiverende på elevene og det kan knytte bånd mellom lærer og elev. C. Humphrey (2005) mener at denne sammenhengen er selve kjernen i matematikk, og Mousley (2004) peker på viktigheten av å knytte sammenhenger for å oppnå en dypere forståelse for faget. Det er likevel ikke nødvendigvis slik at det å knytte denne typen sammenhenger vil føre til en relasjonell forståelse for matematikken. Beswick (2005) peker på at den tredje typen sammenhenger beskrevet av Mousley (2004), det å knytte sammenhenger mellom 19

20 matematikken og dagliglivet, ikke kan forstås som relasjonell forståelse, selv om dette kan ha fortrinn. Askew et al (1997) trekker fram i sin beskrivelse av ulike overbevisninger at det er typisk for lærere som er opptatt av læring som overføring at de i stor grad fokuserer på nettopp sammenhenger mellom livet utenfor skolen og skole-matematikken. Denne orienteringen legger vekt på matematikk som et sett med regler, og fokuserer i liten grad på hvorfor reglene virker (relasjonell forståelse) En av elevene utbryter «endelig matte vi får bruk for» i timen når hun forstår hva som skal være temaet for mattetimen. Dette er et utsagn som vitner om at temaet virker motiverende på henne, og nettopp det at sammenhengen mellom det virkelige livet og matematikken på skolen blir gjort tydelig gir eleven en følelsesmessig reaksjon. Denne typen følelsesmessige reaksjoner betegnes av Goos (1995) (ii) og er ikke nødvendigvis et tegn på relasjonell forståelse. Det kan naturligvis likevel hende at eleven utvikler relasjonell forståelse for temaet. IRE-mønster i samtalene Når timen i klassen til Lise er nesten ferdig samler hun oppmerksomheten mot tavla og skal oppsummere. Alle elevene bes slå opp på en bestemt side og se på en oppgave sammen. Lise: «( ) se på denne oppgaven: Lotte har 80 kr. i timelønn, også får hun 25 % ekstra når hun jobber overtid. Så på lørdag jobber hun 4 timer med vanlig lønn, og tre timer overtid. Se på oppgaven sammen med læringspartnerne deres» [Elevene jobber i 5 min, Lise skriver på tavla: a) lønn vanlig lørdag: b) lønn med overtid 1 time: lønn med overtid 3t: c) Lotte får utbetalt: ] etter at 20