Estimering av en enkel ny-keynesiansk modell for norsk økonomi

Transkript

1 Estimering av en enkel ny-keynesiansk modell for norsk økonomi Bjørnar Kivedal Karlsen Institutt for samfunnsøkonomi Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet mai 2008

2 ii

3 Forord Denne oppgaven er skrevet som en avslutning på en mastergrad i samfunnsøkonomi ved Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Veileder har vært professor Gunnar Bårdsen. Jeg vil gjerne takke alle som har kommet med råd og innspill underveis i prosessen. Spesielt vil jeg takke min veileder, professor Gunnar Bårdsen, for hjelpen med å finne et interessant tema å skrive om, og for alle gode råd og innspill underveis i arbeidet. Trondheim, 30. mai Bjørnar Kivedal Karlsen iii

4 iv

5 Innhold Forord i 1 Introduksjon 1 2 Modellen i Røisland og Sveen (2006) 3 3 Bakgrunn for modellen i denne oppgaven Bakenforliggende økonomisk teori Etterspørselssiden Den ny-keynesianske phillips-kurven Den ny-keynesianske phillipskurven i Røisland og Sveen (2006) Valutakursmarkedet Pengepolitikk Modellen i denne oppgaven Data Produksjonsgap og HP-filteret Inflasjon Innenlandsk og utenlandsk rente Valutakurs Økonometrisk teori Rasjonelle forventninger Sannsynlighetsmaksimeringsprinsippet Et enkelt eksempel på estimering ved sannsynlighetsmaksimering Bayesiansk estimering Bayes teorem Et eksempel på en enkel modell estimert med bayesiansk estimering Iterasjonsprosessen ved bayesiansk estimering v

6 6 Resultater Hypotesetest for parameterne Forventede parameterverdier IS-funksjonen Den ny-keynesianske phillipskurven Udekket renteparitet Renteregelen AR(1)-prosessene Resultater fra sannsynlighetsmaksimering IS-funksjonen Den ny-keynesianske phillips-kurven Udekket renteparitet Renteregelen AR(1)-prosessene Fra sannsynlighetsmaksimering til bayesiansk estimering Priorer Resultater fra bayesiansk estimering IS-funksjonen Den ny-keynesianske phillipskurven Udekket renteparitet Renteregelen AR(1)-prosessene Standardavvik Priorer og posteriorer Impulsresponsfunksjoner Etterspørselssjokk Inflasjonssjokk Valutakurssjokk Nytt inflasjonsmål og rentesjokk Impulsresponsfunksjonene i RS i forhold til i modellen i denne oppgaven Simulerte data ved bruk av parameterverdiene fra estimeringene Sannsynlighetsmaksimering Bayesiansk estimering Simulering med priorverdier Konklusjon 59 vi

7 A Utledning av den ny-keynesianske phillips-kurven 65 B Eksempel på løsning av en modell med rasjonelle forventninger 71 C Kode brukt i OxMetrics 75 C.1 MKM-estimering av parameteren for rentegapet D Datasettet 79 E Dynare-kode 83 E.1 Sannsynlighetsmaksimering E.2 Bayesiansk estimering E.3 Impulsresponsfunksjoner vii

8 viii

9 Figurer 4.1 Produksjonsgapet Rimelighetsfunksjonen Iterasjonsprosessen Metropolis-Hastings Priorer og posteriorer Etterspørselssjokk Inflasjonssjokk Valutakurssjokk Nytt inflasjonsmål/rentesjokk ix

10 x

11 Tabeller 6.1 Resultater fra sannsynlighetsmaksimering Resultater fra estimeringene i denne oppgaven sammenlignet med modellene i Argov og Elkayam (2007) og de kaliberte verdiene i Røisland og Sveen (2006) Kalibrerte parameterverdier i RS Resultater fra bayesiansk estimering Resultater fra bayesiansk estimering og sannsynlighetsmaksimering, sett i forhold til piorverdiene D.1 Datasettet som brukes i Dynare xi

12 xii

13 Kapittel 1 Introduksjon Sentralbanker har ofte ansvaret for pengepolitikken i et land, noe som gjerne medfører at de har et mål om lav og stabil inflasjon. Dette er viktig for å sikre pris- og valutakursstabilitet slik at de økonomiske fremtidsutsiktene er forutsigbare, og aktørene i økonomien dermed lettere kan estimere den fremtidige økonomiske situasjonen for å beregne fremtidige kostnader og inntekter. For å gjøre dette er det vanlig blant sentralbankene å bruke en eller flere modeller for å forsøke å beregne hvordan den økonomiske utviklingen kommer til å bli. Norges Bank bruker i dag modellen «NEMO» (Norwegian Economy Model). Dette er en modell som inneholder 33 ligninger, og den brukes for å anslå hvordan den økonomiske utviklingen vil bli i fremtiden slik at sentralbanken kan justere rentenivået for å oppnå målet om en lav og stabil inflasjon (Gjedrem 2001). Den mest vanlige størrelsen på en slik modell er at den inneholder ca strukturelle ligninger og mange identiteter i tillegg (Pagan 2002). Pagan (2002) sier også at en minimal størrelse på en modell i en økonomi der handel og finansiell aktivitet er viktig og hvor man ikke kan se bort fra samhandlinger mellom beholdningstrømninger, er 15 variabler. Modellen i denne oppgaven vil kun inneholde fem variabler, og er derfor mye enklere enn hva som er vanlig å bruke blant sentralbanker. Modellen som vurderes her, er sterkt forenklet i forhold til modellene som vanligvis brukes av sentralbanker, og vi vil se om en slik forenklet modell kan gi gode nok resultater. Dersom den forenklede modellen i denne oppgaven viser seg ikke å gi gode resultater, tilsier det at den ikke bør brukes f.eks. til å fungere som et grunnlag for å beregne pengepolitikk. Hvis resultatene fra den forenklede modellen er gode, vil dette vise at en stor modell ikke er nødvendig for å estimere økonomien. En enkel modell som fungerer som en redusert form av en større modell, vil da inneholde nok informasjon til at den kan brukes for å predikere den økonomiske utviklingen f.eks. for en sentralbank. 1

14 Modellen er basert på et mikroøkonomisk grunnlag, selv om dette ikke beregnes eksplisitt for hele modellen. Dette vil si at aggregert tilbud bestemmes av at bedriftene maksimerer sin profitt, og aggregert etterspørsel bestemmes av husholdningene som maksimerer sin nytte gitt en budsjettfunksjon. På denne måten har aktørene en optimal atferd. Videre inkluderes valutamarkedet gjennom teorien om udekket renteparitet, og modellen lukkes med en enkel renteregel for sentralbanken, som viser hvordan sentralbanken skal reagere på svingninger i økonomien ved å justere renten når det oppstår endringer i pris- og produksjonsnivå. De observerbare variablene som inngår i denne modellen er produksjonsnivå (BNP), prisvekst (inflasjon), rentenivå innenlands og utenlands og valutakurs. Vi vil estimere parameterverdiene til modellen ved bruk av sannsynlighetsmaksimering og bayesiansk estimering. En vurdering av hvor god modellen er, vil gjøres ved å se på hvordan fortegnet til parameterne og størrelsen på parameterne er i forhold til resultater for andre lignende modeller, og i forhold til økonomisk teori. For å se på dynamikken i modellen vil det bli vurdert hvordan de ulike variablene reagerer når de blir utsatt for ulike typer sjokk ved å se på impulsresponsfunksjoner. Modellen som brukes i denne oppgaven er i hovedsak hentet fra Røisland og Sveen (2006) (heretter forkortet RS), slik at resultatene fra estimeringen i denne oppgaven kan sammenlignes med resultatene fra RS som bruker kalibrerte fremfor estimerte parameterverdier. Programmet Dynare vil brukes for å gjennomføre estimeringen av modellen og for å konstruere impulsresponsfunksjonene på bakgrunn av estimeringen. Dette programmet er spesielt utviklet for å simulere og estimere denne type modeller. Estimeringen skjer ved at modellen skrives direkte inn i filen som brukes, og deretter benytter Dynare seg av Matlab for å foreta estimering og simulering av modellen. 2

15 Kapittel 2 Modellen i Røisland og Sveen (2006) Røisland og Sveen (2006) (RS) bruker kalibrerte parameterverdier, mens modellen i denne oppgaven vil gå ut på å estimere parameterverdiene ved hjelp av sannsynlighetsmaksimering og bayesiansk estimering. Likheten mellom RS og modellen her gjør at RS kan brukes som sammenligningsgrunnlag for resultatene som framkommer av estimeringene i denne oppgaven. Modellen fra RS vises gjennom følgende 7 ligninger: y t = y + ρ y (y t 1 y ) α 1 (r l t 1 r ) + α 2 (e t 1 e ) + v t (2.1) π t = ρ π π t 1 + (1 ρ π )E t π t+1 + γ 1 (y t 1 y ) + γ 2 (e t 1 e ) + u t (2.2) e t = E t e t+1 (r t r f t ) + z t (2.3) L t = 1 2 [(π t π ) 2 + λ(y t y ) 2 + ξ( i t ) 2 ] (2.4) v t = ρ v v t 1 + ε v t (2.5) u t = ρ u u t 1 + ε u t (2.6) z t = ρ z z t 1 + εt z (2.7) Ligning (2.1) Ligning (2.1) viser etterspørselssiden i økonomien, og er kjent som IS-funksjonen. y t er logaritmen til samlet produksjon (BNP) og y er logaritmen til potensiell produksjon, som vil si BNP ved normal ressursutnyttelse (Røisland og Sveen 2005). Fotskriften t 1 viser at vi ser på variabelen én periode tilbake i tid. r l t 1 er lange realrenter i forrige periode. Disse er definert som rl t 1 r + (E t r t+k r ), der r t er realrenten i periode t, og E t r t+k viser hva vi i periode t forventer at realrenten skal være i periode t + k. r viser den langsiktige likevektsrealrenten, som vil si det nivået som realrenten tenderer å bevege seg mot over tid (Røisland og Sveen 3

16 2005). Vi har derfor at lange realrenter i dag er hva man i dag forventer at realrenten skal være om k perioder. e t 1 viser logaritmen til realvalutakursen i forrige periode, og e er logaritmen til likevektsrealvalutakursen, som vil si den valutakursen som eksisterer ved fravær av sjokk og ved normal kapasitetsutnyttelse. v t er et etterspørselssjokk, som f.eks. kan være overraskende endringer i finanspolitikken (skatter og offentlige utgifter), husholdningenes spareatferd (som påvirker konsumet) eller bedriftenes investerinsatferd. Parameterne ρ y, α 1 og α 2 måler effekten de ulike variablene har på logaritmen til produksjonsnivået. Differansen mellom to verdier som måles i logaritmer kan tilnærmet skrives som det prosentvise avviket mellom de to verdiene: y t y Y t Y Y (2.8) Dette gjør at logaritmen til en variabel fratrukket logaritmen for likevektsverdien til den variabelen viser prosentvis avvik fra likevekt. Dette kalles ofte et gap, og (y t y ) er derfor produksjonsgapet i periode t. Det samme gjelder for realvalutakursen og lange realrenter, slik at ligning (2.1) dermed viser hvordan produksjonsgapet inneværende periode avhenger av gapet for lange realrenter, realvalutakursgapet og produksjonsgapet i forrige periode. Ligning (2.2) π t er den årlige veksten i konsumprisindeksen (KPI), og er definert som π t = p t p t 4 p t 4 (der en periode er et kvartal). Vi kan også her bruke reglen fra (2.8), slik at π t = ln p t ln p t 4. ρ π viser graden av bakoverskuenhet, og den påvirker også forventet inflasjon neste periode siden vi bruker et vektet gjennomsnitt mellom π t 1 og E t π t+1 for å bestemme dagens inflasjon. Videre viser γ 1 forrige periodes produksjonsgaps påvirkning på inflasjonen i denne perioden. γ 2 viser effekten på inflasjonen av realvalutakursgapet forrige periode. u t er et tilbudsidesjokk, som f.eks. kan være en overraskende økning i pris- eller lønnsnivået. Denne ligningen viser derfor relasjonen mellom inflasjon og produksjon og inflasjon og valutakurs, og er kjent som den ny-keynesianske phillipskurven. 4

17 Ligning (2.3) Ligning (2.3) viser at realvalutakursen bestemmes av forventet realvalutakurs neste periode (E t e t+1 ), differansen mellom innenlandsk og utlandsk realrente (r t r f t ) og et valutakurssjokk (z t ). Ligning (2.4) Ligning (2.4) viser en tapsfunksjon (L) for sentralbanken, som de ønsker å minimere. Tapsfunksjonen avhenger av inflasjonsgapet, produksjonsgapet og endring i nominell rente ( i t = i t i t 1 ). Parameteren λ viser hvorvidt sentralbanken legger mest vekt på stabil produksjon eller stabil inflasjon. En høyere λ-verdi vil gjøre at tapet, L, øker mer ved økt produksjonsgap enn ved økt inflasjonsgap. Grunnen til at avvikene er kvadrert, er at tapet øker både dersom inflasjon og produksjon går under og over det optimale nivået (det optimale nivået er det med toppskrift ). Tapet som vises gjennom L kan f.eks. tenkes på som driftsutgiftene til sentralbanken eller noe annet som gjør at sentralbanken rammes negativt ved en økning i L, slik at de har incentiver til å minimere denne tapsfunksjonen. 1 2 er satt inn for å forenkle uttrykket etter at det deriveres for å minimere funksjonen, og har ingen annen vesentlig funksjon. Ligning (2.5)-(2.7) Disse tre ligningene viser at sjokkene (v t, u t og z t ) også har effekt periodene etter at sjokket har inntruffet. Sjokkene i økonomien antas av RS å beskrives gjennom AR(1)- prosesser, slik at et sjokk har en effekt som er avtagende i de periodene etter at sjokket har inntruffet. ρ v, ρ u og ρ z viser i hvor stor grad sjokkene fortsetter å påvirke økonomien de nærmeste periodene, slik at en økt verdi på ρ v, ρ u eller ρ z medfører at det tar lengre tid før effekten av sjokket dør ut. ε v t, εu t og εt z er uavhengig fordelt med forventning null, og er dermed kun hvit støy som inkluderes i sjokkene. 5

18 6

19 Kapittel 3 Bakgrunn for modellen i denne oppgaven 3.1 Bakenforliggende økonomisk teori Modellen som brukes i denne oppgaven består av et ny-keynesiansk rammeverk. Nykeynesianske modeller (heretter forkortet NKM) kombinerer elementer fra klassiske keynesianske modeller med dynamisk generell likevekt, som er basert på mikroøkonomisk teori. Generell likevekt vil si at flere relaterte markeder er i likevekt samtidig, og dynamikk medfører at variablene i modellen avhenger av den økonomiske situasjonen også i andre perioder enn den som beregnes. Dette kan være både tidligere og fremtidigere perioder. Akkurat som i tradisjonelle keynesianske modeller, blir det i NKM brukt to ligninger; en for etterspørselen (IS-funksjon) og en for inflasjonen (den ny-keynesianske phillipskurven (heretter forkortet NKP)). Kjennetegnene ved nykeynesianske modeller kan summeres i følgende punkter (Carlin og Soskice 2006): Ufullstendig pris- og lønnsfleksibilitet. Dersom arbeidskraft- og/eller produktmarkedene ikke fungerer, vil vi få en ufullstendig pris- og lønnsfleksibilitet. Denne imperfekte konkurransen kan f.eks. komme av at aktørene opptrer som differensierte monopolister (Carlin og Soskice 2006). For bedriftene fører dette til at de ikke oppnår maksimal profitt på kort sikt, siden produktene som blir solgt ikke er perfekte substitutter. Prisen vil da ikke tilsvare marginalkostnaden, som under fri konkurranse. Rasjonell og optimerende intertemporal atferd for alle agenter. Intertemporal atferd vil si at agentene tar hensyn til all fremtid når de tar sine beslutninger, og rasjonalitet går ut på at de tar all tilgjengelig informasjon i 7

20 betraktning. Det at atferden er optimerende, medfører at husholdningene ønsker å maksimere nytten gjennom en optimal kombinasjon av konsum, formue, fritid og arbeidstimer (Walsh 2003), og at bedriftene ønsker å maksimere profitt. Dette vil også utgjøre det mikroøkonomiske grunnlaget til modellen, siden det er en makroøkonomisk modell som utledes med bakgrunn i disse mikroøkonomiske agentene. Rasjonelle forventninger. Med rasjonelle forventninger, menes at den eneste forskjellen mellom det agentene i økonomien forventer og det faktiske utfallet, er en tilfeldig variabel. Dette gjør at agentene ikke systematisk foretar feilvurderinger (Carlin og Soskice 2006). I tillegg vil rasjonelle forventninger medføre at ingen tilgjengelig informasjon går til spille, slik at forventningene om fremtiden avhenger av strukturen til hele det økonomiske systemet (Muth 1961). Illustrasjon av rasjonelle forventninger Full rasjonalitet innebærer at de økonomiske agentene har fullstendig kjennskap til den makroøkonomiske modellen, variablene i modellen og de underliggende sannsynlighetsfordelingene. I praksis kan kravet om full rasjonalitet være et for strengt krav, og vi kan i stedet innføre et krav om at agentene ikke gjør samme feil flere ganger. Dette gjør at tidligere feilvurderinger huskes for alltid. Dersom dette er tilfellet, forventes prediksjonsfeilen til x t+1 (der x t+1 er en variabels verdi i neste periode) å være ukorrelert med tidligere prediksjonsfeil, slik at E t (ε t+1 ε t s ) = 0 (der ε t viser prediksjonsfeilen)(wickens 2008). Vi kan skrive prediksjonsfeilen i periode t + 1 som: ε t+1 = x t+1 E t (x t+1 ), der E t (ε t+1 ) = 0 (3.1) Den beste prediskjonen på ε t+1 basert på tilgjengelig informasjon, blir da at den er null. 3.2 Etterspørselssiden Etterspørselssiden i økonomien utgjør den ny-keynesianske IS-funksjonen, som beskriver forholdet mellom realrenten og produksjonsgapet. Ved inflasjonsstyring brukes renten som et instrument for å kontrollere inflasjonen, gjennom å se på hvordan produksjonsnivået påvirker inflasjonen. Det er derfor viktig å ha et korrekt mål på hvordan renten påvirker produksjonsnivået, siden produksjonsnivået igjen påvirker 8

21 inflasjonen gjennom den ny-keynesianske phillips-kurven (Wickens 2008). Økt rentenivå fører til at produksjonen går ned pga. lavere lønnsomhet på investeringer. Siden vi har en åpen økonomi, må vi i tillegg inkludere valutakursen i ISfunksjonen.En økt valutakurs vil føre til at importerte varer blir dyrere i norske kroner, samtidig som eksporterte varer blir billigere i utenlandsk valuta. Begge deler fører til at etterspørselen etter norske hjemmeproduserte varer øker ved en høyere valutakurs. Vi vil i tillegg ta hensyn til forrige periodes verdi av realvalutakursen og realrenten, fremfor verdiene i inneværende periode. Dette følger av Svensson (2000), som legger vekt på at modellen må fange opp realistiske tidsetterslep i de ulike kanalene for pengepolitikken. For aggregert etterspørsel, får vi dermed følgende funksjon: y t = y + ρ y (y t 1 y ) α 1 (r l t 1 r ) + α 2 (e t 1 e ) + v t (3.2) Denne tilsvarer IS-funksjonen i RS, som vist i ligning (2.1). Konsumetterspørselen (representert gjennom produksjonen, y t ) i periode t antar vi at avhenger av etterspørselen perioden før (y t 1 ) pga. intern eller ekstern vanedannelse (Røisland og Sveen 2006). Intern vanedannelse vil si at husholdningene vurderer verdien av konsumet i en periode opp mot hvor mye de konsumerte perioden før. De ønsker dermed ikke å avvike fra sitt tidligere konsumnivå. Den eksterne vanedannelsen vil si at husholdningene ønsker å ha et konsumnivå som er likt andre husholdninger. Intern og ekstern vanedannelse gjelder også for andre makroøkonomiske variabler som utgjør produksjonsnivået, slik som investeringer, import og eksport. Produksjonsnivået perioden før inkluderes derfor i IS-funksjonen, siden man antar en jevn utvikling i produksjonsnivået. Parameteren ρ y måler i hvor stor grad bakoverskuenheten påvirker produksjonsnivået i inneværende periode. Definisjonen av lange realrenter ble vist på side 3 i forrige kapittel. Realrenten antar vi at er bestemt gjennom Fisher-relasjonen (Fisher 1896), som kan vises som følger: r t = i t E t π t+1, der i t er nominell rente, og E t π t+1 er forventet vekst i konsumprisindeksen (KPI), som er definert som inflasjonen. Grunnen til at lange realrenter brukes er at bl.a. husholdninger, som representerer etterspørselssiden i modellen, tar all fremtid i betraktning ved sine beslutninger, og derfor tar hensyn til lange realrenter fremfor korte realrenter (Røisland og Sveen 2006). Dette har bakgrunn i at husholdningene er rasjonelle og optimerende aktører, noe som er en forutsetning for ny-keynesianske modeller. α 1 måler hvor stor påvirkning renteendringer har på produksjonsnivået. Logaritmen til realvalutakursen i forrige periode, e t 1, er inkludert i IS-funksjonen fordi endringer i valutakursen vrir etterspørselen etter hjemmeproduserte varer slik at produksjonsnivået påvirkes av dette (som forklart over). e måler likevektsvalutakursen, og fungerer som en referanseverdi når man ser på valutakursutviklingen, slik 9

22 at vi ser på hvordan e t 1 e, som viser realvalutakursgapet i forrige periode, påvirker produksjonsgapet. Parameteren α 2 måler hvor sterk etterspørselsvridningen ved valutakursendringer er. 3.3 Den ny-keynesianske phillips-kurven Siden vi har et inflasjonsmål, trenger vi en ligning som bestemmer inflasjonen. Spesielt trenger vi en relasjon mellom inflasjon og produksjonsnivå, slik at vi kan knytte ISfunksjonen i det foregående delkapittelet til inflasjonen og tilbudssiden i økonomien. For å bestemme inflasjonen, vil vi i denne oppgaven bruke den ny-keynesianske phillips-kurven. Bakgrunnen for den ny-keynesianske phillips-kurven var Phillips (1958), som fant en negativ, ikke-lineær korrelasjon mellom endringer i nominell lønn og arbeidsledighetsraten gjennom empiriske resultater fra Storbritannia i perioden Dette ga den opprinnelige phillipskurven. Samuelson og Solow (1960) studerte phillipskurven nærmere. De modifiserte den slik at den viste et forhold mellom inflasjonraten og arbeidsledighetsraten, fremfor mellom nominelle lønnsendringer og arbeidsledighetsrate slik Phillips (1958) gjorde. I tillegg knyttet Samuelson og Solow (1960) denne sammenhengen til pengepolitikk, ved at man kunne bruke phillipskurven som en «meny» der man valgte hvilken kombinasjon av inflasjon og arbeidsledighet langs kurven man ville ha. Ønsket man lavere arbeidsledighet kunne man derfor gjøre dette mot kostnaden økt inflasjon. Friedman (1968) og Phelps (1967) så på hvordan phillipskurven reagerte på endringer i inflasjonsforventningene, og hvorvidt phillipskurven kunne være stabil dersom disse forventningene endret seg. De kom fram til at phillipskurven ikke kunne være gyldig på lang sikt, og utvidet derfor phillipskurven til å inneholde forventet inflasjon. Friedman og Phelps kritikk av den opprinnelige phillipskurven fikk også ytterligere empiriske bevis, da det på 70-tallet kom tilfeller med kombinasjonen høy inflasjon og høy arbeidsledighetsrate. Dette var ikke i overenstemmelse med den opprinnelige phillips-kurven. Phillipskurven, slik Friedman og Phelps så den, ble derfor slik: π = f (u) + π (3.3) I ligning (3.3) er f (u) en funksjon for arbeidsledighetsraten (siden forholdet mellom inflasjon og arbeidsledighet var ikke-lineært). π og π beskriver h.h.v. inflasjon og forventet inflasjon. Videre inkluderte Friedman (1968) og Phelps (1967) et naturlig arbeidsledighetsnivå. Dette arbeidsledighetsnivået var tilfellet dersom den faktiske inflasjonsraten til- 10

23 svarte forventet inflasjon. Phillipskurven kunne derfor formuleres slik: π t = f (u t ) + π t = π t b(u t u ) (3.4) u i (3.4) viser til den naturlige arbeidsledighetsraten, og f (u) = b(u t u ). Dersom u t = u har vi at π t = π, slik at inflasjonen er stabil ved naturlig arbeidsledighet. (3.4) kalles ofte «den modifiserte phillipskurven» eller «forventningsutvidet phillipskurve» (Blanchard 2003). Modigliani og Papademos (1975) introduserte NAIRU-modellen. NAIRU er forkortelse for non-accelrating rate of unemployment, noe som ble vist gjennom u t = u som ga stabil inflasjon i ligning (3.4). Denne modellen var en generalisering av konseptet om naturlig arbeidsledighetsrate (Papademos 2005). Modigliani og Papademos definerte NAIRU som den arbeidsledighetsraten som er slik at dersom arbeidsledigheten er høyere enn den, vil inflasjonen forventes å synke. Med dette trakk de inn både inflasjonsforventninger og andre faktorer, som tilbudssidesjokk, i phillipskurven (Papademos 2005). Den ny-keynesianske phillipskurven (NKP) som brukes i denne oppgaven, kom som en forbedring av NAIRU-modellen. Dette kom av at den naturlige arbeidsledighetsraten viste seg å variere like mye som den faktiske arbeidsledighetsraten (Wickens 2008). NAIRU-modellen og NKP har store likhetstrekk, men den ny-keynesianske modellen inkluderer, i tillegg til rasjonelle forventninger, et mikroøkonomisk grunnlag. Den beskriver også et forhold mellom inflasjon og produksjonsgap, fremfor mellom inflasjon og arbeidsledighetsrate, slik at vi kan inkludere produksjonsgapet direkte i phillipskurven. Tillegg A på side 65 viser hvordan en ny-keynesiansk phillipskurve kan utledes gjennom et mikroøkonomisk grunnlag, og gir følgende ligning for den nykeynesianske phillipskurven: π t = ρ π π t 1 + (1 ρ π )βe t π t+1 + γy t + u t (3.5) ρ π måler graden av bakoverskuenhet og (1 ρ π ) måler graden av foroverskuenhet i prissettingen (Walsh 2003). Likevektsverdien til alle variablene i modellen er null. β er diskonteringsfaktoren som beregner nåverdien av fremtidige tap for en bedrift (den ny-keynesianske phillipskurven utledes fra en tapsfunksjon for en bedrift), og y t viser produksjonsgapet. u t representerer et inflasjonssjokk. Ligning (3.5) ligner mye på NKP i RS (ligning (2.2)), noe som forklares videre i delkapittelet nedenfor. 11

24 3.3.1 Den ny-keynesianske phillipskurven i Røisland og Sveen (2006) Ved å sette β = 1 i (3.5), slik at vi beregner dagens og all fremtidig inntekt ved summering av alle periodene uten å vekte perioder langt inn i fremtiden lavere enn nærliggende fremtidige perioder, kommer vi nærmere ligningen som brukes i RS. Inflasjonsgapet må også beregnes slik at det får en middelverdi på null, som i (3.5). I tillegg bruker RS forrige periodes produksjonsgap og realvalutakursgap i den nykeynesianske phillipskurven. RS antar at forrige periodes forventede realvalutakurs og realrente er tilnærmet lik realisert realvalutakurs og realrente i forrige periode, og kan dermed følge Svenssons (2000) vektlegging av at modellen må fange opp realistiske tidsetterslep i de ulike kanalene for pengepolitikken. Røisland og Sveen (2006) ønsker derfor å ha med forrige periodes produksjonsgap og realvalutakursgap i den ny-keynesianske phillipskurven fremfor inneværende periodes verdier. Dette, sammen med antagelsen om at β = 1, gir følgende ny-keynesianske phillipskurve ut fra (3.5): π t = ρ π π t 1 + (1 ρ π )E t π t+1 + γ 1 (y t 1 y ) + γ 2 (e t 1 e ) + u t (3.6) Vi ser at denne tilsvarer (2.2), dersom π t viser inflasjonsgapet. 3.4 Valutakursmarkedet I modellen i denne oppgaven brukes flytende valutakurs, slik at valutakursen bestemmes i valutamarkedet på bakgrunn av tilbud og etterspørsel etter valutaen. En forutsetning for at vi kan bruke flytende valutakurs i modellen, er at innenlandske og utenlandske obligasjoner må være perfekte substitutter (Wickens 2008). Dette vil si at det ikke vil forekomme store valutatransaksjoner ved spekuleringer i valutakursendringer og kjøp av utenlandske obligasjoner. Udekket renteparitet er et tilfelle vi har dersom det ikke lønner seg å plassere penger i utenlandske obligasjoner, selv om de i utgangspunktet har høyere avkastning enn obligasjoner i hjemlandet. Grunnen til dette er at valutakursen ved obligasjonens utløpstid påvirker avkastningen av en utenlandsk obligasjon. Dersom vi kjøper en utenlandsk obligasjon med ett års løpetid, vil vi først kjøpe utenlandsk valuta til å handle obligasjonen med. Etter ett år vil vi løse inn obligasjonen og veksle tilbake til hjemlandsvalutaen. På denne måten avgjør valutakursen etter ett år netto avkastning på den utenlandkse obligasjonen. Dersom denne nettoavkastningen tilsvarer avkastningen vi ville ha fått ved å investere i en innenlandsk obligasjon (der 12

25 nettoavkastningen ikke påvirkes av valutakursendringer), har vi udekket renteparitet. Det vil i et tilfelle med udekket renteparitet derfor ikke være lønnsomt å kjøpe den utenlandske obligasjonen til fordel for den innenlandske. Udekket renteparitet kan derfor vises gjennom følgende ligning (Wickens 2008): (1 + i t ) = E t [ S t+1 (1 + i f t )] (3.7) S t Venstresiden i (3.7) viser avkastningen ved kjøp av innenlandske (norske) obligasjoner med ett års løpetid til en rente i t, og høyresiden vil vise det samme for en utenlandsk obligasjon, som gir forventet avkastning S t+1 S t (1 + i f t ), der i f t er renten på den utenlandske obligasjonen. Vi har tatt forventninger på høyresiden, siden vi ikke kjenner valutakursen om ett år. Ved å ta logaritmer på (3.7), får vi følgende: Dette kan tilnærmet skrives om til: ln(1 + i t ) = ln(e t [ S t+1 S t ]) + ln(1 + i f t ) (3.8) i t i f t = E t s t+1, der s = ln S (3.9) Overgangen fra (3.8) til (3.9) kan gjøres dersom vi antar at i t og i f t er såpass små verdier at logaritmen til de tilnærmet tilsvarer den faktiske verdien. I tillegg vil sammenhengen for differansen mellom to logaritme-verdier og prosent fra (2.8) på side 4 gi venstresiden i ligning (3.9). Gjennom (3.9) ser vi at renteforskjellen mellom to land bestemmer forventet endring i valutakursen fram til neste periode, og at vi har udekket renteparitet. Siden det kan forekomme avvik fra regelen om udekket renteparitet, kan vi innføre et risikopremiesjokk. Dette sjokket er med for å ta en verdi forskjellig fra null dersom man opplever avvik fra regelen om udekket renteparitet, og kan inkluderes i (3.9). Risikopremie er definert som hvor mye ekstra en investor får betalt i tillegg til forventet avkastning på de utenlandske obligasjonene for å ta risikoen ved å investere i kroner (Rødseth 2000). Vi får følgende sammenheng ved å inkludere risikopremien (z t ) i (3.9): z t = i t i f t E t s t+1 (3.10) Dersom vi flytter om på denne og løser ut E t s t+1, får vi: E t s t+1 s t = i t i f t z t (3.11) 13

26 Vi kan uttrykke (3.11) på realform ved å addere [(E t p f t+1 p f t ) (E tp t+1 p t )] på begge sider av ligning (3.11) (der p f t er prisnivået i utlandet og p t er prisnivået innenlands), som ved å trekke fra og legge til ledd, gir følgende uttrykk for udekket renteparitet med risikopremie på realform: E t e t+1 e t = r t r f t z t (3.12) Med dette ser vi at (3.12) gir ligningen for udekket renteparitet som brukes i RS (ligning (2.3)). For å få ligningen for udekket renteparitet som brukes i RS, kan vi skrive om (3.12) løse ut (3.12) for e t : e t = E t e t+1 (r t r f t ) + z t (3.13) 3.5 Pengepolitikk Pengepolitikken i Norge i dag krever at sentralbanken har et inflasjonsmål, og at de bruker renten som et verktøy for å ha en lav og stabil inflasjon. Det ønskelige målet for inflasjonen er en årsvekst i konsumprisene som over tid er nær 2,5 prosent (Gjedrem 2001). For å modellere hvordan sentralbanken endrer renten ved endringer i økonomien, kan vi enten se på en tapsfunksjon, som i RS, eller en enkel renteregel. Svensson (2002) viser en sentralbank som har optimerende atferd. Dette vil si at de f.eks. kan forholde seg til en tapsfunksjon som må minimeres, der de må vurdere hvordan rentesettingen påvirker inflasjonsgap og produksjonsgap. For å minimere denne tapsfunksjonen må dermed sentralbanken sette en rente som gjør at inflasjonsgapet og produksjonsgapet blir så små som mulig. De er også nødt til å ta en avveining mellom hva som er viktigst av minimalt inflasjonsgap og produksjonsgap. En slik tapsfunksjon kan f.eks. spesifiseres slik: L = 1 2 [(π π ) 2 + λ(y y ) 2 ] (3.14) Her er L et tap som påføres sentralbanken dersom økonomien går utenfor likevekt. Tapet vil da øke dersom inflasjonsgapet eller produksjonsgapet går utenfor likevektsverdiene. λ avgjør i hvor stor grad sentralbanken vektlegger stabil produksjon relativt til stabil inflasjon. Røisland og Sveen (2006) bruker en tapsfunksjon (som vist i ligning (2.4)), der de reoptimerer hver periode (noe som kalles diskresjonær politikk). De har også med at hyppige renteendringer er ugunstig, slik at i t inkluderes i tapsfunksjonen. En enkel renteregel foreslått av Taylor (1993), sier at sentralbanken setter renten slik 14

27 at den nominelle renten øker når inflasjonen øker. Økt produksjonsgap fører også til press i økonomien, slik at sentralbanken i et slikt tilfelle må sette opp renten for at ikke inflasjonen skal øke gjennom økte lønninger som igjen gir økte priser. Denne regelen kan se slik ut: i t = i + β 1 (π t π ) + β 2 (y t y ) + ε r (3.15) Den enkle renteregelen vil være en redusert form av en tapsfunksjon under diskresjonær politikk gjennom at parameterne β 1 og β 2, som forteller h.h.v. i hvor stor grad inflasjonsgapet og produksjonsgapet skal påvirke rentesettingen. ε r kan f.eks. fungere som et ledd der skjønn kan inkluderes i renteregelen. Hvis vi hadde sett på en tapsfunksjon, som (3.14), ville (3.15) vært en ikke-lineær kombinasjon av de andre parameterne i modellen og λ. Vi vil i denne oppgaven i bruke en enkel renteregel som (3.15), der sentralbanken setter renten basert på likevektsrenten, produksjonsgapet og inflasjonsgapet i den inneværende perioden. 3.6 Modellen i denne oppgaven Modellen i denne oppgaven vil bruke modellen fra RS med en enkel renteregel fremfor en tapsfunksjon. I tillegg er det i denne oppgaven lagt til en parameter for rentedifferansen i ligningen om udekket renteparitet fra RS. For å bruke færre variabler enn det som brukes i RS, er noen av variablene erstattet. Alle variablene er uttrykt som gap, slik at de får en middelverdi på null. Likevekten til modellen har vi derfor når alle variablene har en verdi på null. Modellen i RS bruker også gap for en del av variablene, men i RS ses inflasjonsgapet på som avviket fra inflasjonsmålet som er 2,5% slik at π = 2, 5. Siden sentralbanken ikke har operert med et slikt inflasjonsmål gjennom hele perioden vi har data for her, er inflasjonsgapet beregnet slik at det viser avvik fra trend For å uttrykke innenlandsk realrentegap er Fisher-relasjonen (Fisher 1896) brukt. Dette medfører at uttrykket (î t E t ˆπ t+1 ) er satt inn for ˆr t (der ^ over variabelen viser til gapet for variabelen). I tillegg er det brukt realrentegap fremfor gap for lange realrenter i IS-funksjonen, slik at det blir en variabel mindre i ligningssettet. I ligningen for udekket renteparitet, er realvalutakursen erstattet med realvalutakursgapet. Innenlandsk realrente er erstattet med realrentegapet (som igjen er erstattet med differansen mellom nominelt rentegap og forventet inflasjonsgap neste periode, som vist gjennom Fisher-relasjonen i avsnittet over). Utenlandsk realrente er erstattet med utenlandsk realrentegap. Dette vil føre til at ligningen opererer med gjennomsnittsverdier på null for alle variablene, og at den ser på differansen mellom verdienes avvik i prosent fra sine respektive likevektsverdier. I tillegg er det satt inn en parameter 15

28 for rentedifferansen, slik at vi kan se om omgjøringen til gap-verdiene fremfor faktiske verdier har betydning ved at denne parameteren blir forskjellig fra én. Dersom inflasjonen er justert slik at den får en middelverdi på 0, noe som følger av utledningen av NKP siden vi i likevekt da har at π = 0, kan vi skrive NKP som uttrykk for inflasjonsgapet og realvalutakursgapet, og ende opp med samme ny-keynesianske phillipskurve som RS. Ut fra dette kapittelet og modellen i RS, kan modellen som brukes i denne oppgaven beskrives gjennom de 7 ligningene nedenfor, der alle de observerte variablene er beskrevet som prosentvis avvik fra likevektsverdien (gap) gjennom ^ over variabelsymbolet: ŷ t = ρ y ŷ t 1 α 1 (î t 1 ˆπ t ) + α 2 ê t 1 + v t (3.16) ˆπ t = ρ π ˆπ t 1 + (1 ρ π )E t ˆπ t+1 + γ 1 ŷ t 1 + γ 2 ê t 1 + u t (3.17) ê t = E t ê t+1 ω(î t E t ˆπ t+1 ˆr f t ) + z t (3.18) î t = β 1 ˆπ t + β 2 ŷ t + ε r (3.19) v t = ρ v v t 1 + ε v t (3.20) u t = ρ u u t 1 + ε u t (3.21) z t = ρ z z t 1 + εt z (3.22) 16

29 Kapittel 4 Data I denne modellen er det brukt data for fem forskjellige variabler, nemlig produksjonsgapet (ŷ t ), inflasjonsgapet ( ˆπ t ), gap for innenlandsk nominell rente (î t ), utenlandsk realrentegap (ˆr f t ) og realvalutakursgap (ê t). De påfølgende avsnittene vil vise hvordan variablene er hentet og beregnet fra datasettet. 4.1 Produksjonsgap og HP-filteret Figur 4.1 viser at produksjonsgapet er avviket mellom faktisk og potensiell produksjon (målt i logaritmer), og kan uttrykkes som ŷ t = y t y t, der alle variablene er uttrykt i logaritmer. Dette gjør at produksjonsgapet, ŷ er det prosentvise avviket mellom faktisk produksjon og potensiell produksjon. Problemet med å finne produksjonsgapet, er å beregne potensiell produksjon, som ikke er observerbart. Dette kan gjøres ved bruk av Hodrick-Prescott-filteret (HP-filteret). HP-filteret HP-filteret er en univariat metode, noe som vil si at man kun bruker informasjonen fra tidsserien til variabelen man beregner for å finne trenden og gapet. HP-filteret er i tillegg et tosidig filter, noe som vil si at man både ser på verdier for produksjonsnivået før og etter denne perioden for å beregne produksjonsgapet for en periode. Ulempen med dette er at beregningen for produksjonsgapet i starten og slutten av perioden kan bli unøyaktig. HP-filteret finner den verdien på potensiell produksjon som minimerer avviket mellom faktisk og potensiell produksjon, samtidig som det er begrensninger på hvor mye veksten i den potensielle produksjonen kan variere (Bjørnland 2004). Vi kan 17

30 Figur 4.1: Sammenhengen mellom faktisk og potensiell produksjon og produksjonsgapet. Kilde: Bjørnland (2004) uttrykke HP-filteret slik: min T t=1 {(y t y t ) 2 + λ[(y t+1 y t ) (y t y t 1 )]2 }, gitt y t+1, y t,... (4.1) Det første leddet i (4.1) viser avviket mellom faktisk og potensiell produksjon, og det andre leddet endringen i veksten i potensiell produksjon (begge leddene er kvadrert). Hvor mye hensyn man tar til endringer i veksten i potensiell produksjon avgjøres av størrelsen på λ. En stor λ-verdi vil føre til at hp-filteret gir tilnærmet en lineær trend, siden man da ikke tillater variasjoner i veksten i potensiell produksjon (kun konstant vekst tillates). Motsetningen til dette blir når λ = 0, noe som medfører et så lite som mulig avvik mellom potensiell og faktisk produksjon, slik at produksjonsnivået og potensiell produksjon blir identiske, og produksjonsgapet blir lik null. λ = 0 og λ = er dermed spesialtilfeller ved bruk av HP-filteret. Kydland og Prescott (1990) foreslo en verdi for λ på 1600 for kvartalstall i en studie om konjunkturer i den amerikanske økonomien. Denne verdien for λ blir som regel brukt når man skal beregne produksjonsgap fra kvartalsdata, også i denne oppgaven. Produksjonsgapet HP-filteret er brukt på logaritmen til sesongjustert nominelt BNP for Fastlands-Norge for å få verdier for produksjonsgapet (ŷ). 18

31 4.2 Inflasjon Inflasjonen som brukes i modellen er også beregnet ved bruk av hp-filteret for å uttrykke inflasjonen med en middelverdi på null, slik at vi i realiteten får inflasjonsgapet. Inflasjonen er beregnet som fjerdedifferansen til logaritmen til prisnivået, som er tilnærmet lik den årlige prisveksten: π t = p t p t 1 p t 1 log p t log p t 4 (4.2) Her er p er prisnivået, gitt ved sesongjustert konsumprisindeks justert for skatter og energipriser (KPI-JAE). Inflasjonsgapet blir dermed den årlige veksten i KPI-JAE, og ved bruk av HP-filteret vil den få en middelverdi på null. 4.3 Innenlandsk og utenlandsk rente For rentenivået innenlands er det brukt tremåneders nominell rente. Renten er modifisert med HP-filteret slik at den får en middelverdi på null og vi får et uttrykk for det nominelle rentegapet (î). Vi har dermed at det nominelle rentegapet viser prosentvis avvik fra likevektesrenten For det utenlandske rentenivået ser vi kun på realrenten. Det er brukt et vektet gjennomsnitt av tremåneders realrente i USA, EURO-området, Sverige og Storbritannia for å representere utlandet gjennom noen av de viktigste handelspartnerne til Norge. Realrenten er beregnet gjennom HP-filteret, slik at det får en middelverdi på null og uttrykkes som prosentvis avvik fra likevekt. 4.4 Valutakurs Valutakursen, e t, er realvalutakurs for I-44. I-44 er et geometrisk gjennomsnitt av 44 valutakurser, der vektene er beregnet på import fra 44 land som dekker 97 prosent av total norsk import (Norges Bank 1999). Det er tatt HP-filter på logaritmen til realvalutakursen for å få en middelverdi på null, slik at vi uttrykker realvalutakursgapet (ê t ) direkte. Egentlig burde valutakursen og utenlandsk rente gjelde for de samme landene, men pga. mangel på data for realrenten i I-44-landene, er realrenten for et vektet gjennomsnitt av realrenten i USA, Euro-området, Sverige og Storbritannia brukt sammen med realvalutakursen for I-44-landene. 19

32 20

33 Kapittel 5 Økonometrisk teori Modellen i denne oppgaven består av ligninger som skal forklare forholdet mellom produksjonsgapet, utenlandsk og innenlandsk realrentegap, inflasjonsgap og realvalutakursgap. Den beskriver et lineært forhold mellom disse variablene gjennom ligningene, der forholdet mellom variablene uttrykkes gjennom ulike parametre (de små greske bokstavene med unntak av π som beskriver inflasjonen). De økonomiske variablene kan vi observere, men vi er nødt til å estimere parameterne i modellen for å kunne si noe om forholdet mellom variablene. For å estimere parameterverdiene i modellen vil sannsynlighetsmaksimering (heretter forkortet MLE, fra Maximum Likelihood Estimation som sannsynlighetsmaksimering heter på engelsk) og bayesiansk estimering brukes. 5.1 Rasjonelle forventninger For at resultatene fra estimeringen skal være gyldige, må modellen ha en stabil og entydig løsning. Visse betingelser er derfor nødt til å være oppfylt slik at løsningen vi får gir det riktige resultatet. En slik betingelse som vi kan kreve dersom vi har med rasjonelle forventninger å gjøre, er Blanchard-Kahn-betingelsen. Blanchard-Kahn-betingelsen Blanchard-Kahn-betingelsen (Blanchard og Kahn 1980) sier at et ligningssett for f.eks. produksjonsgapet og inflasjonen som inneholder rasjonelle forventninger, har en unik løsning for de to variablene dersom antall egenverdier utenfor enhetssirkelen til koeffisientmatrisen for de autoregressive variablene er lik antall fremoverskuende variabler i ligningsettet. Dette vil si at antall stabile røtter må tilsvare antall fremoverskuende variabler. 21

34 Dersom vi får for mange stabile røtter, vil vi få flere løsninger for samme koeffisient, slik at likevektsløsningen ikke er unik. For mange ustabile røtter medfører at vi ikke får noen likevektsløsning i det hele tatt, siden vi da får et problem med at løsningene er eksploderende. Et analogt tilfelle er dersom vi har en AR(1)-prosess, som f.eks. ligning (3.20), der AR(1)-parameteren er større enn én slik at vi ikke vil få en stabil løsning gjennom at et positivt sjokk på ε v t vil føre til en evig økning i tidsserien v. Hvis antall stabile røtter tilsvarer antall fremoverskuende variabler, er Blanchard- Kahn-betingelsen oppfylt, og vi får kun én likevektsløsning siden vi da har sadelpunktstabilitet (Barnett og Ellison 2005). Gjennom Blanchard-Kahn-betingelsen tester vi derfor om vi kan få ustabile eller multiple løsninger. Et eksempel på Blanchard-Kahn-betingelsen Et eksempel i Walsh (2003, s ) som består av tre ligninger; en IS-funksjon, en phillipskurve og en enkel renteregel, kan belyse dette: x t = E t x t+1 1 σ (i t E t π t+1 ) + u t (5.1) Ligning (5.1) er IS-funksjonen, der ŷ t er produksjonsgapet i periode t. i t viser nominell rente, og vi ser at (i t E t π t+1 ) tilsvarer realrenten gjennom Fisher-regelen som er beskrevet tidligere, slik at ligning (5.1) er en forenklet utgave av IS-funksjonen i ligning (3.16) som brukes i denne oppgaven. Forskjellen på (5.1) og (3.16) er at det er et fremoverskuende ledd for produksjonsgapet fremfor et bakoverskuende, og at valutakursen ikke er inkludert. π t = βe t π t+1 + κx t (5.2) Ligning (5.2) viser en enkel versjon av phillipskurven som brukes i modellen i denne oppgaven (ligning (3.17)). Denne enkle ligningen for phillipskurven har ikke med inflasjonen i forrige periode og valutakursgapet i motsetning til (3.17). i t = δπ t + v t (5.3) En enkel renteregel vises i ligning (5.3). Denne går kun ut på at sentralbanken reagerer på inflasjonen, og er dermed forenklet utgave av renteregelen i ligning (3.19) som er brukt for modellen i denne oppgaven. Ved å sette (5.3) inn i (5.1) får vi følgende: x t = E t x t+1 1 σ (δπ t + v t E t π t+1 ) + u t (5.4) 22

35 Vi løser ut (5.4) og (5.2) for de forventede verdiene for neste periode: E t x t+1 = x t + δ σ π t + 1 σ v t 1 σ E tπ t+1 u t (5.5) Ved å sette (5.6) inn i (5.5), får vi: E t π t+1 = 1 β π t κ β x t (5.6) E t x t+1 = (1 + κ σβ x t) + ( δβ 1 σβ )π t + 1 σ v t u t (5.7) (5.6) og (5.7) sammen på matriseform, gir følgende: [ ] [ E t x t+1 = N E t π t+1 x t π t ] ] + [σ 1 v t u t For (5.8) har vi følgende sammenheng for matrisen N: N = [ 1 + κ σβ κ β (βδ 1) σβ 1 β ] (5.8) (5.9) Blanchard-Kahn-betingelsen sier at både (1 + σβ κ ) og β 1 må ligge utenfor enhetssirkelen, siden vi har to fremoverskuende variabler (E t x t+1 og E t π t+1 ), for at vi skal få en stabil løsning for denne modellen. Ved å se på parameterverdiene kan vi dermed undersøke om Blanchard-Kahn-betingelsen er oppfylt. Et eksempel på løsning av en modell med rasjonelle forventninger er vist i tillegg B på side Sannsynlighetsmaksimeringsprinsippet Ved sannsynlighetsmaksimeringsprinsippet vil man søke etter å finne det settet med parameterverdier som har størst mulig sannsynlighet for å oppnå de observerte data. MLE setter opp en rimelighetsfunksjon (på engelsk kalt likelihood function) som maksimeres for å finne parameterne som gir best resultat. Man vil altså under MLE først observere dataene, og så ut fra dette estimere hvilke parametre som passer best. MLE gir et punktestimat for parameterne med en fordeling som har dette punktet som middelverdi (Kennedy 2003). Dette vil si at en parameter estimeres til å ha en viss verdi (f.eks. θ = 0, 7 der θ er symbolet for parameteren), med et tilhørende standardavvik som viser hvor nøyaktig denne verdien er. 23

36 5.2.1 Et enkelt eksempel på estimering ved sannsynlighetsmaksimering Eksempelet som presenteres her er hentet fra Myung (2003) og fra Hendry og Nielsen (2007). Vi antar at vi har følgende observerte vektor med data: y = (y 1,..., y m ), som er et tilfeldig utvalg fra en populasjon vi ikke kan observere. I tillegg antar vi følgende sannsynlighettetthetsfunksjon: f (y θ) (på engelsk kalt probability density function, heretter forkortet PDF), som viser sannsynligheten for å observere datavektoren gitt parameteren θ. Parameteren θ er også en vektor: θ = (θ 1,...,θ k ). Dersom observasjonene (y i ) er uavhengige av hverandre, kan vi skrive PDF på følgende måte: f (y θ) = f 1 (y 1 θ) f 1 (y 2 θ) f n (y m θ) (5.10) Her er altså PDF for dataene en multiplisering av PDFene for hver enkelt observasjon. Dette har bakgrunn i sannsynlighetsteori. PDF for et binomialt tilfelle med 10 observasjoner og 0,7 i sannsynlighet for suksess kan uttrykkes slik (dette er ved bruk av (5.10) og sannsynlighetsteori): f (y n = 10,θ = 0, 7) = 10! y!(10 y)! (0, 7)y (0, 3) 10 y, (y = 0, 1,..., 10) (5.11) For estimeringen i modellen i denne oppgaven ønsker vi å finne den PDF som med størst sannsynlighet har generert dataene. Dette problemet blir det inverse av å finne f (y θ) (i ligning (5.10)), og kalles rimelighetsfunksjonen (L(θ y)). Denne kan vises gjennom følgende forhold der rollene til y og θ blir omvendte: L(θ y) = f (y θ) (5.12) (5.12) viser at vi ønsker å finne sannsynligheten for å få parameterverdien θ gitt de observerte data. Rimelighetsfunksjonen vises i figur 5.1. Vi ser at funksjonen har et toppunkt for θ=0,7, noe som vil si at parameteren estimeres til 0,7 gjennom MLE. I tillegg ser vi sannsynlighetsfordelingen til parameterestimatet gjennom kurven i figur 5.1, ved at det er størst sannsynlighet for at θ=0,7, mens sannsynligheten er null for at θ<0,2 eller θ>1. Under MLE ønsker vi å maksimere logaritmen til rimelighetsfunksjonen (L(θ y)), slik at vi finner toppunktet på log-rimelighetsfunksjonen. Dette gjøres ved å sette den 24

37 Figur 5.1: Rimelighetsfunksjonen for observert data y=7 og utvalgsstørrelse n=10 som gir θ=0,7 Kilde: Myung (2003). Merk at denne figuren bruker w som navn på parameteren, fremfor θ som brukes i dette kapittelet partiellderiverte av rimelighetsfunksjonen m.h.t. parameterverdien,θ i, lik null: ln L(θ y) θ i = 0 (5.13) Fra (5.13) får vi en eller flere verdier som er maksimums- eller minimumspunkter på rimelighetsfunksjonen. For å bekrefte at det er et maksimumspunkt, må den andrederiverte være negativ siden vi da har at funksjonen er konveks med en topp i dette punktet: 2 ln L(θ y) θ 2 i < 0 (5.14) Hvis vi antar at vi har et tilfelle med en binomisk fordeling, som i eksempelet over der vi har 10 observasjoner og 7 suksesser, kan vi uttrykke rimelighetsfunksjonen på følgende måte (dette blir samme tilfelle som i (5.11), bortsett fra at vi nå kjenner y (dataene), men ikke θ (parameterverdiene)): L(θ n = 10, y = 7) = f (y = 7 n = 10,θ) = 10! 7!3! θ7 (1 θ) 3, (0 θ 1) (5.15) Vi tar logaritmen på begge sider av likhetstegnet i (5.15), siden vi er nødt til å maksimere logaritmen til rimelighetsfunksjonen (log-rimelighetsfunksjonen) for å 25