Divide-and-Conquer. Lars Vidar Magnusson
|
|
- Bjørn-Erik Fosse
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Divide-and-Conquer Lars Vidar Magnusson Kapittel 4 Maximum sub-array problemet Matrix multiplikasjon Analyse av divide-and-conquer algoritmer ved hjelp av substitusjonsmetoden
2 Divide-and-Conquer Algoritmer Divide (Del/Split) problemet opp i et antall delproblemer som er mindre instanser av samme problem. Conquer (Beseir/Hersk) delproblemene ved å løse dem rekursivt. Når delproblemen er små nok kan de løses enkelt. Combine (Kombiner) løsningene for delproblemene til en løsning for det orginale problemet.
3 Divide-and-Conquer Algoritmer Recursive Case Når delproblemene er store nok til å måtte deles opp ytterligere Base Case Når delproblemene er blitt små nok stopper rekursjonen opp (bottoms out)
4 Recurrences Recurrences (gjentagelser) er ligninger som beskriver en funksjon ved hjelp av seg selv på mindre input. Recurrences går hånd i hånd med divide-and-conquer algoritmer. Under er recurrence-ligningen for Merge-Sort som vi har hevdet er Θ(n log n). { Θ(1) if n = 1 T (n) = 2T (n/2) + Θ(n) if n > 1 Vi skal se på tre metoder for å løse recurrences i.e. finne asymptotiske grenser for løsningen.
5 Maximum-Subarray Problemet Å finne maksimum subarray (delarray) av en array med positive og negative tall kalles maximum-subarray problemet. Kan benyttes for å finne beste tidspunkt for å kjøpe og selge aksjer i aksjehandel. Kan løses brute-force ved å teste alle ( n 2) mulige varianter, men vi skal se om ikke vi kan finne en mer effektiv algoritme ved hjelp av divide-and-conquer.
6 Find-Maximum-Subarray Å finne maksimum-subarray i en array kan deles i to ved å dele input i to, slik vi gjorde med Merge-Sort. Vi får da en av tre muligheter Maksimum subarray ligger i venstre halvdel Maksimum subarray ligger i høyre halvdel Maksimum subarray ligger mellom de to delene Vi kan sjekke de to første enkelt ved hjelp av rekursjon, men den siste trenger en egen hjelpefunksjon.
7 Find-Max-Crossing-Subarray Find-Max-Crossing-Subarray(A, low, mid, high) 1 left-sum = 2 sum = 0 3 for i = mid downto low 4 sum = sum + A[i] 5 if sum > left-sum 6 left-sum = sum 7 max-left = i 8 right-sum = 9 sum = 0 10 for j = mid + 1 to high 11 sum = sum + A[j] 12 if sum > right-sum 13 right-sum = sum 14 max-right = j 15 return (max-left, max-right, left-sum + right-sum)
8 Analyse av Find-Max-Crossing-Subarray Vi kan enkelt finne de asymptotiske grensene for Find-Max-Crossing-Subarray ved å telle løkker. Vi har to løkker som begge itererer gjennom en andel av hele input. Siden løkkene kommer etter hverandre og ingen av de avbrytes under spesielle vilkår så er Find-Max-Crossing-Subarray = Θ(n).
9 Find-Maximum-Subarray Find-Maximum-Subarray(A, low, high) 1 if high == low 2 return (low, high, A[low]) 3 else mid = (low + high)/2 4 (left-low, left-high, left-sum) = Find-Maximum-Subarray(A, low, mid) 5 (right-low, right-high, right-sum) = Find-Maximum-Subarray(A, mid + 1, high) 6 (cross-low, cross-high, cross-sum) = Find-Max-Crossing-Subarray(A, low, mid, high) 7 if left-sum right-sum and left-sum cross-sum 8 return (left-low, left-high, left-sum) 9 elseif right-sum left-sum and right-sum cross-sum 10 return (right-low, right-high, right-sum) 11 else return (cross-low, cross-high, cross-sum)
10 Analyse av Find-Maximum-Subarray Når vi skal analysere Find-Maximum-Subarray holder det ikke å telle løkker. Vi må i stedet benytte oss av recurrences til å finne de asymptotiske grensene.
11 Analyse av Find-Maximum-Subarray I basis tilfellet, når n = 1, vil bare de første linjene av algoritmen kjøres i.e. T (1) = Θ(1). De to rekursive kallene tar begge halvparten av orginalinput i.e 2T (n/2). Kallet til Find-Max-Crossing-Subarray vil som vi fant tidligere kjøre på Θ(n) tid. Vi ender da opp med følgende recurrence-ligning. { Θ(1) if n = 1 T (n) = 2T (n/2) + Θ(n) if n > 1 Dette er den samme ligningen som vi fikk for Merge-Sort i.e. Find-Maximum-Subarray = Θ(n log n).
12 Matrix Multiplikasjon Matrix multiplikasjon mellom to 2 2 matriser A og B. [ ] [ ] a11 a A = 12 b11 b B = 12 C = AB a 21 a 22 b 21 b 22 Vi kan finne koeffisientene i matrisen C kan finnes ved å løse følgende ligning c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j Generelt for n n matriser kan vi finne c ij med følgende ligning. n c ij = a ik b kj k=1 Siden det er n 2 koeffisienter i en n n matrise ender vi da opp med at Square-Matrix-Multiply = Θ(n 3 ).
13 Square-Matrix-Multiply-Recursive For å gjøre oppgaven litt enklere så sier vi at vi bare jobber med n n matriser hvor n {2 x : x N}. En multplikasjon av to n n matriser kan da gjøres ved å dele en matrise opp i 4 stykk n/2 n/2 delmatriser. A = ( ) A11 A 12 A 21 A 22 B = ( ) B11 B 12 B 21 B 22 C = ( ) C11 C 12 C 21 C 22 Delmatrisene settes så sammen igjen etter multiplikasjonen. ( ) ( ) ( ) C11 C C = 12 A11 A = 12 B11 B 12 C 21 C 22 A 21 A 22 B 21 B 22
14 Square-Matrix-Multiply-Recursive Square-Matrix-Multiply-Recursive(A, B) 1 n = A.rows 2 let C be a new n n matrix 3 if n == 1 4 c 11 = a 11 b 11 5 else partition A, B, and C 6 C 11 = Square-Matrix-Multiply-Recursive(A 11, B 11 ) +Square-Matrix-Multiply-Recursive(A 12, B 21 ) 7 C 12 = Square-Matrix-Multiply-Recursive(A 11, B 12 ) +Square-Matrix-Multiply-Recursive(A 12, B 22 ) 8 C 21 = Square-Matrix-Multiply-Recursive(A 21, B 11 ) +Square-Matrix-Multiply-Recursive(A 22, B 21 ) 9 C 22 = Square-Matrix-Multiply-Recursive(A 21, B 12 ) +Square-Matrix-Multiply-Recursive(A 22, B 22 ) 10 return C
15 Analyse av Square-Matrix-Multiply-Recursive Vi har i basis-tilfellet n = 1 en kjøretid T (1) = Θ(1). I det rekursive tilfellet deles hver av de to n n matrisene opp i fire n/2 n/2 matriser og vi gjør 8 rekursive kall i.e. 8T (n/2). Vi må legge sammen resultatene fra de rekursive kallene, hver med n 2 /4 elementer i.e. hver av de fire addisjonene krever Θ(n 2 ) tid. Algoritmen har utelatt et viktig element, delingen av matrisene. Dette kan gjøres i enten konstant tid (Θ(1)) ved hjelp av indekser, eller i kvadratisk tid (Θ(n 2 )) ved hjelp av kopiering.
16 Analyse av Square-Matrix-Multiply-Recursive Utifra hva vi kom frem til på forrige slide så får vi følgende recurrence-ligning. { Θ(1) if n = 1 T (n) = 8T (n/2) + Θ(n 2 ) if n > 1 Som vi snart skal se gir dette en total kjøretid er Θ(n 3 ) som ikke er bedre enn direkte multiplikasjon. Legg merke til at vi kan fjerne konstante ledd i asymptotiske leddene men ikke i leddene som refererer til seg selv (T (n)) i recurrence-ligningen.
17 Strassen s Matrix Multiplikasjon Kjøretiden til den rekursive algoritmen for matrisemultiplikasjon kan forbedres fra Θ(n 3 ) til Θ(n log 7 ). Dette gjøres ved å redusere antallet nødvendige rekursive kall fra 8 til 7 ved å dele opp matrisen på en annen måte. Dette kalles Strassen s metode for matrisemultiplikasjon og er nøye dokumentert i boka.
18 Løse Recurrences med Substitusjonsmetoden Substitusjonsmetoden er den mest primitive av de tre metodene vi dekker i kurset, og kan derfor også oppfattes som den vanskeligste. Den kan beskrives med to enkle steg 1 Gjett på formen til løsningen e.g. Θ(n log n) 2 Bruk matematisk induksjon til å finne konstanter og vise at løsningen virker. Vi kan bruke substitusjonsmetoden til å finne både øvre og nedre grenser. En kraftig metode, men er svært avhengig av analytikers evne til å gjøre gode gjetninger.
19 Eksempel på Substitusjonsmetoden La oss bruke substitusjonsmetoden for å finne en øvre grense for T (n) = 2T (n/2) + n. Vi gjetter på at denne gjentagelsen er O(n log n). Da må vi bevise at T (n) cn log n for en eller annen positiv konstant c. T (n) 2(c( n/2 ) log( n/2 )) + n cn log(n/2) + n = cn log n cn log 2 + n = cn log n cn + n cn log n Dette holder for c 1.
20 Eksempel på Substitusjonsmetoden Det andre kravet i matematisk induksjon er at grensetilfellen må være oppfylt. Dette kan noen ganger bli et problem. Et eksempel er basistilfellet T (1) = 1. T (1) > 1 log 1 = 0 Dette oppfyller ikke kravet om at T (n) cn log n, men definisjonene av de asymptotiske grensene tillater at vi prøver oss med større verdier for n 0. La oss prøve n 0 = 2 i stedet. Vi setter først inn i likningen. T (2) = 2T (1) + 2 = 4 Dette oppfyller kravet, siden T (2) cn log n = 2c er gyldig for c 2.
21 Vanskeligheter med Substitusjonsmetoden Mye av vanskelighetene med substitusjonsmetoden går ut på å gjette riktig. Erfaring hjelper Begynn med løse grenser og jobb innover Siden vi jobber med matematisk induksjon kan vi ikke lenger være slappe med konstanter og lavere-ordens ledd. Alt må være formelt.
Divide-and-Conquer II
Divide-and-Conquer II Lars Vidar Magnusson 1712014 Kapittel 4 Analyse av divide-and-conquer algoritmer ved hjelp av rekursjonstrær Analyse av divide-and-conquer algoritmer ved hjelp av masterteoremet Løse
DetaljerQuicksort. Lars Vidar Magnusson Kapittel 7 Quicksort Randomisert Quicksort Analyse av Quicksort
Quicksort Lars Vidar Magnusson 29.1.2014 Kapittel 7 Quicksort Randomisert Quicksort Analyse av Quicksort Om Quicksort Quicksort er en svært populær sorteringsalgoritme. Algoritmen har i verstefall en kjøretid
DetaljerØvingsforelesning 3: Splitt og hersk. Daniel Solberg
Øvingsforelesning 3: Splitt og hersk Daniel Solberg Plan for dagen Vi går raskt gjennom øving 2 Splitt og hersk Algoritmer: Mergesort Quicksort Binærsøk Rekurrenser, masse rekurrenser 2 Splitt og hersk
DetaljerLO118D Forelesning 2 (DM)
LO118D Forelesning 2 (DM) Kjøretidsanalyse, matematisk induksjon, rekursjon 22.08.2007 1 Kjøretidsanalyse 2 Matematisk induksjon 3 Rekursjon Kjøretidsanalyse Eksempel Finne antall kombinasjoner med minst
DetaljerLøsningsforslag for Obligatorisk Oppgave 1. Algoritmer og Datastrukturer ITF20006
Løsningsforslag for Obligatorisk Oppgave 1 Algoritmer og Datastrukturer ITF20006 Lars Vidar Magnusson Frist 310114 Den første obligatoriske oppgaven tar for seg de fem første forelesningene, som i hovedsak
DetaljerSortering i Lineær Tid
Sortering i Lineær Tid Lars Vidar Magnusson 5.2.2014 Kapittel 8 Counting Sort Radix Sort Bucket Sort Sammenligningsbasert Sortering Sorteringsalgoritmene vi har sett på så langt har alle vært sammenligningsbaserte
DetaljerOm Kurset og Analyse av Algoritmer
Om Kurset og Analyse av Algoritmer Lars Vidar Magnusson 8.1.2014 Praktisk informasjon om kurset Hva er en algoritme? (kapittel 1) Hvordan analysere en algoritme? (kapittel 2) Praktisk Informasjon Introduction
DetaljerSpenntrær, oppsummert: Kruskal: Traverserer ikke. Plukker kanter i hytt og vær Prim: Legger alltid til den noden som er nærmest treet
Spenntrær, oppsummert: Kruskal: Traverserer ikke. Plukker kanter i hytt og vær Prim: Legger alltid til den noden som er nærmest treet 1 A B D C Prim: Kruskal: AB, BD, DC DC, AB, BD 2 0 + 1 + + n 1; antall
DetaljerGrådige algoritmer. Lars Vidar Magnusson Kapittel 16. Aktivitetvelgingsproblemet Huffmankoder
Grådige Algoritmer Lars Vidar Magnusson 12.3.2014 Kapittel 16 Grådige algoritmer Aktivitetvelgingsproblemet Huffmankoder Ideen bak Grådige Algoritmer Ideen bak grådige algoritmer er å løse optimaliseringsproblem
DetaljerIntroduksjon til Algoritmeanalyse
Introduksjon til Algoritmeanalyse 26. August, 2019 Institutt for Informatikk 1 Hvordan skal vi tenke i IN2010? Effektive løsninger Hvordan skalérer problemet og løsningen? 2 Terminologi Betegnelse Problem
DetaljerNinety-nine bottles. Femte forelesning. I dagens forelesning: Mest matematiske verktøy. Først: Asymptotisk notasjon. Så: Rekurrensligninger.
I dagens forelesning: Mest matematiske verktøy. Først: Asymptotisk notasjon. Så: Rekurrensligninger. Hva slags kjøretid har denne sangen? Hvordan kan du formulere det som en rekurrensligning? Ninety-nine
DetaljerHeapsort. Lars Vidar Magnusson Kapittel 6 Heaps Heapsort Prioritetskøer
Heapsort Lars Vidar Magnusson 24.1.2014 Kapittel 6 Heaps Heapsort Prioritetskøer Sorterings Problemet Sorterings problemet er et av de mest fundementalske problemene innen informatikken. Vi sorterer typisk
DetaljerPG4200 Algoritmer og datastrukturer Forelesning 3 Rekursjon Estimering
PG4200 Algoritmer og datastrukturer Forelesning 3 Rekursjon Estimering Lars Sydnes, NITH 22.januar 2014 I. Rekursjon commons.wikimedia.org Rekursjon i naturen En gren er et tre som sitter fast på et tre.
DetaljerAnalyse av Algoritmer
Analyse av Algoritmer Lars Vidar Magnusson 10.1.2014 Asymptotisk notasjon (kapittel 3) Kompleksitetsklasser Uløselige problem Asymptotisk Notasjon Asymptotisk analyse innebærer å finne en algoritmes kjøretid
DetaljerLøsnings forslag i java In115, Våren 1998
Løsnings forslag i java In115, Våren 1998 Oppgave 1 // Inne i en eller annen klasse private char S[]; private int pardybde; private int n; public void lagalle(int i) if (i==n) bruks(); else /* Sjekker
DetaljerRekursjon. Binærsøk. Hanois tårn.
Rekursjon Binærsøk. Hanois tårn. Hvorfor sortering (og søking) er viktig i programmering «orden» i dataene vi blir fort lei av å lete poleksempel internett «alt» er søking og sortering alternativer til
DetaljerLars Vidar Magnusson Kapittel 13 Rød-Svarte (Red-Black) trær Rotasjoner Insetting Sletting
Rød-Svarte Trær Lars Vidar Magnusson 21.2.2014 Kapittel 13 Rød-Svarte (Red-Black) trær Rotasjoner Insetting Sletting Rød-Svarte Trær Rød-Svarte trær (red-black trees) er en variasjon binære søketrær som
Detaljerdeeegimnoorrrsstt Sjette forelesning
deeegimnoorrrsstt Sjette forelesning 1 2 Rebus. Hva er dette? Svar: Kvadratiske sorteringsalgoritmer :-> Som vanlig relativt abstrakte beskrivelser her. Ta en titt på pseudokode i boka for mer detaljert
Detaljeralternativer til sortering og søking binære trær søketrær Ikke-rekursiv algoritme som løser Hanois tårn med n plater
Dagens temaer Sortering: 4 metoder Hvorfor sortering (og søking) er viktig i programmering Sortering når objektene som skal sorteres er i et array 1. Sorterering ved bruk av binærtre som «mellomlager»
DetaljerLøsningsforslag for Obligatorisk Oppgave 2. Algoritmer og Datastrukturer ITF20006
Løsningsforslag for Obligatorisk Oppgave 2 Algoritmer og Datastrukturer ITF20006 Lars Vidar Magnusson Frist 28.02.14 Den andre obligatoriske oppgaven tar for seg forelesning 5, 6, og 7 som dreier seg om
DetaljerDagens temaer. Sortering: 4 metoder Søking: binærsøk Rekursjon: Hanois tårn
Dagens temaer Sortering: 4 metoder Hvorfor sortering (og søking) er viktig i programmering Sortering når objektene som skal sorteres er i et array 1. Sorterering ved bruk av binærtre som «mellomlager»
DetaljerLars Vidar Magnusson
B-Trær Lars Vidar Magnusson 5.3.2014 Kapittel 18 B-trær Standard operasjoner Sletting B-Trær B-trær er balanserte trær som er designet for å fungere bra på sekundære lagringsmedium e.g. harddisk. Ligner
DetaljerINF2220: Time 12 - Sortering
INF0: Time 1 - Sortering Mathias Lohne mathialo Noen algoritmer Vi skal nå se på noen konkrete sorteringsalgoritmer. Gjennomgående i alle eksempler vil vi sortere tall etter tallverdi, men som diskutert
DetaljerAlgdat - øvingsforelesning
Algdat - øvingsforelesning Dynamisk programmering Nils Barlaug Dagens plan 1. 2. 3. 4. Praktisk og dagens plan LF øving 8 a. Teori b. Praksis Dynamisk programmering a. Introduksjon b. Rod Cutting c. Matrise-multiplikasjon
DetaljerGrunnleggende Grafalgoritmer
Grunnleggende Grafalgoritmer Lars Vidar Magnusson 19.3.2014 Kapittel 22 Representere en graf Bredde-først søk Grafer i Informatikken Problem med grafer går ofte igjen i informatikkens verden, så det å
Detaljern/b log b n = (lg n) a log b n = n log b a
Masterteoremet 1 T (n) = at (n/b) + f(n) Antall «barn»: Størrelse per «barn»: «Høyde»: a n/b log b n = (lg n) Rota har f(n) arbeid; hver løvnode har en konstant mengde arbeid. Hva vil dominere totalen?
DetaljerHøgskoleni østfold EKSAMEN. 4 dobbeltsidige ark med notater Lars Magnusson
Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode: ITF 20006 Emne: Algoritmer og Datastrukturer Dato: 22.05.2015 Eksamenstid: kl 09.00 til kl 13.00 Hjelpemidler: Faglærer: 4 dobbeltsidige ark med notater Lars Magnusson
DetaljerKjøretidsanalyse. Hogne Jørgensen
Kjøretidsanalyse Hogne Jørgensen Program Presentasjon/tips til Øving 5 Kompleksitetsanalyse Kahoot Rekurrensligninger Kahoot 2 Øving 5 Veibygging i Ogligogo Finne dyreste kant i minimalt spenntre Prim
DetaljerØvingsforelesning 6. Sorteringsalgoritmer. Kristian Veøy
Øvingsforelesning 6 Sorteringsalgoritmer Kristian Veøy veoy@stud.ntnu.no 26.09.08 1 Spørsmål fra øvingsgruppene Må jeg kunne python på eksamen? (Nei) Er det lurt å gjøre alle programmeringsøvingene? (Ikke
DetaljerSøking i strenger. Prefiks-søking Naiv algoritme Knuth-Morris-Pratt-algoritmen Suffiks-søking Boyer-Moore-algoritmen Hash-basert Karp-Rabin-algoritmen
Søking i strenger Vanlige søkealgoritmer (on-line-søk) Prefiks-søking Naiv algoritme Knuth-Morris-Pratt-algoritmen Suffiks-søking Boyer-Moore-algoritmen Hash-basert Karp-Rabin-algoritmen Indeksering av
DetaljerDijkstras algoritme. Her finnes det også (minst) en riktig rekkefølge for Relax, men den må vi oppdage litt etter hvert.
Her finnes det også (minst) en riktig rekkefølge for Relax, men den må vi oppdage litt etter hvert. Tenk vann som sprer seg i rør: Vi behandler krysningspunktene i den rekkefølgen de fylles. Det må gi
DetaljerINF1010 notat: Binærsøking og quicksort
INF1010 notat: Binærsøking og quicksort Ragnhild Kobro Runde Februar 2004 I dette notatet skal vi ta for oss ytterligere to eksempler der rekursjon har en naturlig anvendelse, nemlig binærsøking og quicksort.
DetaljerLogaritmiske sorteringsalgoritmer
Logaritmiske sorteringsalgoritmer Logaritmisk sortering Rekursive og splitt og hersk metoder: Deler verdiene i arrayen i to (helst) omtrent like store deler i henhold til et eller annet delingskriterium
DetaljerTuringmaskiner.
Turingmaskiner http://www.youtube.com/watch?v=e3kelemwfhy http://www.youtube.com/watch?v=cyw2ewoo6c4 Søking i strenger Vanlige søkealgoritmer (on-line-søk) Prefiks-søking Naiv algoritme Knuth-Morris-Pratt-algoritmen
DetaljerPython: Rekursjon (og programmering av algoritmer) Python-bok: Kapittel 12 + teoribok om Algoritmer
Python: Rekursjon (og programmering av algoritmer) Python-bok: Kapittel 12 + teoribok om Algoritmer TDT4110 IT Grunnkurs Professor Guttorm Sindre Læringsmål og pensum Mål Forstå, og kunne bruke, algoritmer
DetaljerDynamisk programmering
Dynamisk programmering Metoden ble formalisert av Richard Bellmann (RAND Corporation) på 50-tallet. Programmering i betydningen planlegge, ta beslutninger. (Har ikke noe med kode eller å skrive kode å
DetaljerAlgoritmer - definisjon
Algoritmeanalyse Algoritmer - definisjon En algoritme er en beskrivelse av hvordan man løser et veldefinert problem med en presist formulert sekvens av et endelig antall enkle, utvetydige og tidsbegrensede
DetaljerLøsningsforslag for eksamen i fag TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Tirsdag 9. desember 2003, kl
TDT4120 2003-12-09 Stud.-nr: Antall sider: 1/7 Løsningsforslag for eksamen i fag TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Tirsdag 9. desember 2003, kl. 0900 1500 Faglig kontakt under eksamen: Arne Halaas,
DetaljerKap. 4: Ovenfra-ned (top-down) parsering
Kap. 4: Ovenfra-ned (top-down) parsering Dette bør leses om igjen etter kapittelet: First og Follow-mengder Boka tar det et stykke uti kap 4, vi tok det først (forrige foilbunke) LL(1)-parsering og boka
DetaljerMatriseoperasjoner. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September 22, 2009
Matriseoperasjoner E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 22, 2009 Addisjon av matriser Hvis A = [a ij ] og B = [b ij ] er matriser med samme størrelse, så er summen A + B matrisen
DetaljerINF2220: Time 8 og 9 - Kompleksitet, beregnbarhet og kombinatorisk søk
INF0: Time 8 og 9 - Kompleksitet, beregnbarhet og kombinatorisk søk Mathias Lohne mathialo Rekursjonseksempel Eksempel Finn kjøretid for følgende program: (Ex11 b) 1 float foo(a) { n = Alength; 3 4 if
DetaljerLøsningsforslag for utvalgte oppgaver fra kapittel 3
Løsningsforslag for utvalgte oppgaver fra kapittel 3 3.3 1 Demo innsettingssortering..................... 1 3.5 1 Demo velgesortering........................ 2 3.5 2 Velgesortering...........................
DetaljerRekursiv programmering
Rekursiv programmering Babushka-dukker En russisk Babushkadukke er en sekvens av like dukker inne i hverandre, som kan åpnes Hver gang en dukke åpnes er det en mindre utgave av dukken inni, inntil man
DetaljerPG4200 Algoritmer og datastrukturer forelesning 3. Lars Sydnes 29. oktober 2014
PG4200 Algoritmer og datastrukturer forelesning 3 Lars Sydnes 29. oktober 2014 Plan Måling av kjøretid (delvis repetisjon) Matematisk analyse av kjøretid Presentasjon av innlevering 1 I Innlevering 1 Innlevering
DetaljerØvingsforelesning 6. Sorteringsalgoritmer. Martin Kirkholt Melhus Basert på foiler av Kristian Veøy 30/09/14 1
Øvingsforelesning 6 Sorteringsalgoritmer Martin Kirkholt Melhus martme@stud.ntnu.no Basert på foiler av Kristian Veøy 30/09/14 1 Agenda l Spørsmål fra øving 4 l Sortering l Presentasjon av øving 6 30/09/14
DetaljerEn implementasjon av binærtre. Dagens tema. Klassestruktur hovedstruktur abstract class BTnode {}
En implementasjon av binærtre Dagens tema Eksempel på binærtreimplementasjon Rekursjon: Tårnet i Hanoi Søking Lineær søking Klassestruktur hovedstruktur abstract class { class Person extends { class Binaertre
DetaljerAlgoritmer - definisjon
Algoritmeanalyse Algoritmer - definisjon En algoritme* er en beskrivelse av hvordan man løser et veldefinert problem med en presist formulert sekvens av et endelig antall enkle, utvetydige og tidsbegrensede
DetaljerDynamisk programmering Undervises av Stein Krogdahl
Dynamisk programmering Undervises av Stein Krogdahl 5. september 2012 Dagens stoff er hentet fra kapittel 9 i læreboka, samt kapittel 20.5 (som vi «hoppet over» sist) Kapittel 9 er lagt ut på undervisningsplanen.
DetaljerTDT4105 Informasjonsteknologi, grunnkurs
1 TDT4105 Informasjonsteknologi, grunnkurs Matlab: Sortering og søking Anders Christensen (anders@idi.ntnu.no) Rune Sætre (satre@idi.ntnu.no) TDT4105 IT Grunnkurs 2 Pensum Matlab-boka: 12.3 og 12.5 Stoffet
DetaljerDagens stoff er hentet fra kapittel 9 i læreboka, samt kapittel 20.5 (som vi «hoppet over» sist)
Dynamisk programmering Undervises av Stein Krogdahl 5. september 2012 Dagens stoff er hentet fra kapittel 9 i læreboka, samt kapittel 20.5 (som vi «hoppet over» sist) Kapittel 9 er lagt ut på undervisningsplanen.
DetaljerLO118D Forelesning 12 (DM)
LO118D Forelesning 12 (DM) Trær 15.10.2007 1 Traversering av trær 2 Beslutningstrær 3 Isomorfisme i trær Preorden-traversering 1 Behandle den nåværende noden. 2 Rekursivt behandle venstre subtre. 3 Rekursivt
DetaljerForelesning 4 torsdag den 28. august
Forelesning 4 torsdag den 28. august 1.10 Rekursjon Merknad 1.10.1. Hvert tall i sekvensen 1, 2, 4, 8, 16,... er to ganger det foregående. Hvordan kan vi beskrive sekvensen formelt? Vi kan ikke skrive
DetaljerINF Algoritmer og datastrukturer
INF2220 - Algoritmer og datastrukturer Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF2220, forelesning 13: Dynamisk programmering (Ifi, UiO) INF2220 H2017, forelesning 13 1 / 30 Dagens plan Dynamisk
Detaljer"behrozm" Oppsummering - programskisse for traversering av en graf (dybde først) Forelesning i INF februar 2009
Rekursiv programmering BTeksempel Datastruktur I klassen Persontre (rotperson==) Rekursjon Noen oppgaver/problemer er rekursive «av natur» Eksempel på en rekursiv definisjon Fakultetsfunksjonen
DetaljerLongest. increasing. subsequence. Betingelser. Matrise- common. Grådig vs. DP. Forside. Intro. Fibonacci-tall. Memoisering DP
og dynamisk Matrisemultiplikasjomultiplikasjon programmering Matrise- Åsmund Eldhuset og Dette er to ganske like teknikker for å lage algoritmer De kan brukes på svært mange tilsynelatende forskjellige
DetaljerQuicksort. Fra idé til algoritme.
Quicksort Fra idé til algoritme. Quicksortalgoritme algoritmeidé 1. Del arrayen i to deler, slik at alle elementer i den ene delen er mindre enn alle elementer i den andre delen. Q U I C K S O R T A L
DetaljerEn algoritme for permutasjonsgenerering
Innledning La oss tenke oss at vi har en grunnskole-klasse på 25 elever der enkelte av elever er uvenner med hverandre. Hvis uvenner sitter nær hverandre blir det bråk og slåssing. Er det mulig å plassere
DetaljerLineære ligningssystemer og gausseliminasjon
Kapittel Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon Vi skal lære en metode for å finne og beskrive alle løsninger av systemer av m lineære ligninger med n ukjente. Oppvarming Her er et eksempel på et
DetaljerForelesning 14. Rekursjon og induksjon. Dag Normann februar Oppsummering. Oppsummering. Beregnbare funksjoner
Forelesning 14 og induksjon Dag Normann - 27. februar 2008 Oppsummering Mandag repeterte vi en del om relasjoner, da spesielt om ekvivalensrelasjoner og partielle ordninger. Vi snakket videre om funksjoner.
DetaljerLineære ligningssystemer og gausseliminasjon
Kapittel Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon Vi skal lære en metode for å finne og beskrive alle løsninger av systemer av m lineære ligninger med n ukjente Oppvarming Her er et eksempel på et
DetaljerINF 4130 / / Dagens foiler hovedsakelig laget av Petter Kristiansen Foreleser Stein Krogdahl Obliger:
INF 4130 / 9135 29/8-2012 Dagens foiler hovedsakelig laget av Petter Kristiansen Foreleser Stein Krogdahl Obliger: Tre stykker, som må godkjennes. Frister: 21. sept, 26. okt, 16. nov Andre, «nærliggende»
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 14: Rekursjon og induksjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 27. februar 2008 Oppsummering Mandag repeterte vi en del om relasjoner, da spesielt
DetaljerLøsnings forslag i java In115, Våren 1996
Løsnings forslag i java In115, Våren 1996 Oppgave 1a For å kunne kjøre Warshall-algoritmen, må man ha grafen på nabomatriseform, altså en boolsk matrise B, slik at B[i][j]=true hvis det går en kant fra
DetaljerRekursjon. Hanois tårn. Milepeler for å løse problemet
Rekursjon. Hanois tårn. Milepeler for å løse problemet Hanois tårn. Milepeler for å løse problemet Forstå spillet Bestemme/skjønne hvordan spillet løses Lage en plan for hva programmet skal gjøre (med
DetaljerKONTINUASJONSEKSAMEN I FAG ALGORITMER OG DATASTRUKTURER
KONTINUASJONSEKSAMEN I FAG 0 ALGORITMER OG DATASTRUKTURER Onsdag 7 august 99 kl0900-00 Faglig kontakt under eksamen: Bjørn Olstad/Øystein Grøvlen, tlf 7/70 Alle trykte og håndskrevne hjelpemidler tillatt
DetaljerLøsningsforslag for Obligatorisk Oppgave 3. Algoritmer og Datastrukturer ITF20006
Løsningsforslag for Obligatorisk Oppgave 3 Algoritmer og Datastrukturer ITF20006 Lars Vidar Magnusson Frist 28.03.14 Den tredje obligatoriske oppgaven tar for seg forelesning 9 til 13, som dreier seg om
DetaljerSorteringsproblemet. Gitt en array A med n elementer som kan sammenlignes med hverandre:
Sortering Sorteringsproblemet Gitt en array A med n elementer som kan sammenlignes med hverandre: Finn en ordning (eller permutasjon) av elementene i A slik at de står i stigende (evt. avtagende) rekkefølge
DetaljerRepetisjon. MAT1030 Diskret Matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Forelesning 15: Rekursjon og induksjon. Roger Antonsen
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 15: og induksjon Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Repetisjon 11. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-10 20:38) MAT1030 Diskret Matematikk
DetaljerAlgoritmer og Datastrukturer IAI 21899
Eksamen i Algoritmer og Datastrukturer IAI 21899 Høgskolen i Østfold Avdeling for informatikk og automatisering Torsdag 30. november 2000, kl. 09.00-14.00 LØSNINGSFORSLAG 1 Del 1, Binære søketrær Totalt
DetaljerDynamisk programmering
Dynamisk programmering Metoden ble formalisert av Richard Bellmann (RAND Corporation) på 5-tallet. Programmering i betydningen planlegge, ta beslutninger. (Har ikke noe med kode eller å skrive kode å gjøre.)
DetaljerHashtabeller. Lars Vidar Magnusson Kapittel 11 Direkte adressering Hashtabeller Chaining Åpen-adressering
Hashtabeller Lars Vidar Magnusson 12.2.2014 Kapittel 11 Direkte adressering Hashtabeller Chaining Åpen-adressering Dictionaries Mange applikasjoner trenger dynamiske sett som bare har dictionary oparsjonene
DetaljerHomogene lineære ligningssystem, Matriseoperasjoner
Homogene lineære ligningssystem, Matriseoperasjoner E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 22, 2010 Antall løsninger til et lineær ligningssystem Teorem Et lineært ligningssytem har
DetaljerINF 4130 Oppgavesett 3, 20/ m/løsningsforslag
INF 4130 Oppgavesett 3, 20/09-2011 m/løsningsforslag Oppgave 1 1.1 Løs oppgave 20.19 (B&P), (a) er vist på forelesningen og kan vel bare repeteres, men løs (b). (a) er altså løst på forelesningen. (b)
DetaljerRekursjon som programmeringsteknikk
Rekursjon Kap.7 Sist oppdatert 15.02.10 Rekursjon som programmeringsteknikk 10-1 Rekursiv tenkning Rekursjon er en programmeringsteknikk der en metode kan kalle seg selv for å løse problemet. En rekursiv
DetaljerMinimum Spenntrær - Kruskal & Prim
Minimum Spenntrær - Kruskal & Prim Lars Vidar Magnusson 4.4.2014 Kapittel 23 Kruskal algoritmen Prim algoritmen Kruskal Algoritmen Kruskal algoritmen kan beskrives med følgende punkter. Vi har en en sammenkoblet
DetaljerINF1010 Sortering. Marit Nybakken 1. mars 2004
INF1010 Sortering Marit Nybakken marnybak@ifi.uio.no 1. mars 2004 Dette dokumentet skal tas med en klype salt og forfatter sier fra seg alt ansvar. Dere bør ikke bruke definisjonene i dette dokumentet
DetaljerINF2220: Forelesning 1. Praktisk informasjon Analyse av algoritmer (kapittel 2) (Binær)trær (kapittel )
INF2220: Forelesning 1 Praktisk informasjon Analyse av algoritmer (kapittel 2) (Binær)trær (kapittel 4.1-4.3 + 4.6) PRAKTISK INFORMASJON 2 Praktisk informasjon Kursansvarlige Ragnhild Kobro Runde (ragnhilk@ifi.uio.no)
DetaljerKap.4 del I Top Down Parsering INF5110 v2005. Arne Maus Ifi, UiO
Kap.4 del I Top Down Parsering INF5110 v2005 Arne Maus Ifi, UiO Innhold Motivering Boka gir først parsering uten First/Follow-mengder og så innfører dem. Vi tar teorien først First og Follow-mengder Fjerning
DetaljerHvorfor sortering og søking? Søking og sortering. Binære søketrær. Ordnet innsetting forbereder for mer effektiv søking og sortering INF1010 INF1010
Hvorfor sortering og søking? Man bør ha orden i dataene umulig å leve uten i informasjonssamfunnet vi blir fort lei av å lete poleksempel internett alt er søking og sortering alternativer til sortering
DetaljerMattespill Nybegynner Python PDF
Mattespill Nybegynner Python PDF Introduksjon I denne leksjonen vil vi se litt nærmere på hvordan Python jobber med tall, og vi vil lage et enkelt mattespill. Vi vil også se hvordan vi kan gjøre ting tilfeldige.
DetaljerMengder, relasjoner og funksjoner
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 15: og induksjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Mengder, relasjoner og funksjoner 9. mars 2010 (Sist oppdatert: 2010-03-09 14:18) MAT1030
DetaljerALGORITMER OG DATASTRUKTURER
Stud. nr: Side 1 av 6 NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet BOKMÅL Fakultet for informasjonsteknologi, matematikk og elektroteknikk Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap AVSLUTTENDE
DetaljerGrunnleggende Datastrukturer
Grunnleggende Datastrukturer Lars Vidar Magnusson 7.2.2014 Kapittel 10 Stakker og køer Lenkede lister Pekere og objekter Trerepresentasjoner Datastrukturer Vi er i gang med tredje del av kurset hvor vi
Detaljer4 Matriser TMA4110 høsten 2018
Matriser TMA høsten 8 Nå har vi fått erfaring med å bruke matriser i et par forskjellige sammenhenger Vi har lært å løse et lineært likningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet og gausseliminere
DetaljerMorfologi i Binære Bilder
Morfologi i Binære Bilder Lars Vidar Magnusson February 26, 2018 Delkapittel 9.1 Preliminaries Delkapittel 9.2 Dilation and Erosion Delkapittel 9.3 Opening and Closing Delkapittel 9.4 The Hit-or-Miss Transformation
DetaljerHva er en algoritme? INF HØSTEN 2006 INF1020. Kursansvarlige Ragnar Normann E-post: Dagens tema
va er en algoritme? Vanlig sammenligning: Oppskrift. nput lgoritme NF1020 - ØSTEN 2006 Kursansvarlige Ragnar Normann E-post: ragnarn@ifi.uio.no Output Knuth : tillegg til å være et endelig sett med regler
DetaljerINF5110, onsdag 19. februar, Dagens tema: Parsering ovenfra-ned (top-down)
INF5110, onsdag 19. februar, 2014 Dagens tema: Kapittel 4 Parsering ovenfra-ned (top-down) Vi har med alle foilene til kap. 4 her, også de som ble gjennomgått mot slutten av forelesning 7. februar Pensum
DetaljerITF20006 Algoritmer og datastrukturer Oppgavesett 7
ITF Algoritmer og datastrukturer Oppgavesett 7 Av Thomas Gabrielsen Eksamen Oppgave. ) Det tar konstant tid å hente et gitt element fra en tabell uavhengig av dens størrelse, noe som med O-notasjon kan
DetaljerMorfologi i Binære Bilder III
Morfologi i Binære Bilder III Lars Vidar Magnusson March 28, 2017 Delkapittel 9.5 Some Basic Morphological Algorithms Boundary Extraction (Grenseuthenting) Vi kan hente ut grensen til et sett (boundary)
DetaljerLars Vidar Magnusson
Binære Søketrær Lars Vidar Magnusson 14.2.2014 Kapittel 12 Binære Søketrær Søking Insetting Sletting Søketrær Søketrær er datastrukturer som støtter mange dynamiske sett operasjoner. Kan bli brukt både
DetaljerMAT Oblig 1. Halvard Sutterud. 22. september 2016
MAT1110 - Oblig 1 Halvard Sutterud 22. september 2016 Sammendrag I dette prosjektet skal vi se på anvendelsen av lineær algebra til å generere rangeringer av nettsider i et web basert på antall hyperlinker
DetaljerLØSNINGSFORSLAG, EKSAMEN I ALGORITMER OG DATASTRUKTURER (IT1105)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap Side 1 av 8 Faglig kontakt under eksamen: Magnus Lie Hetland LØSNINGSFORSLAG, EKSAMEN I ALGORITMER OG DATASTRUKTURER
DetaljerDatastrukturer for rask søking
Søking Søkeproblemet Gitt en datastruktur med n elementer: Finnes et bestemt element (eller en bestemt verdi) x lagret i datastrukturen eller ikke? Effektiviteten til søkealgoritmer avhenger av: Om datastrukturen
DetaljerComputational Geometry
Computational Geometry Grafisk Databehandling 1. Convex hull konveks innhyling 2. Nærmeste par av punkter Convex hull La P være en mengde punkter i et k-dimensjonalt rom, P R k. (Vi skal for enkelthets
DetaljerAlgoritmer og datastrukturer Kapittel 1 - Delkapittel 1.8
Delkapittel 1.8 Algoritmeanalyse Side 1 av 12 Algoritmer og datastrukturer Kapittel 1 - Delkapittel 1.8 1.8 Algoritmeanalyse 1.8.1 En algoritmes arbeidsmengde I Delkapittel 1.1 ble det definert og diskutert
DetaljerTo geometriske algoritmer, kap. 8.6
INF 4130, 18. november 2010 To geometriske algoritmer, kap. 8.6 Computational Geometry Stein Krogdahl Hovedkapittelet t (kap. 8) dreier seg generelt om devide-and-conquer eller splitt og hersk : Splitt
DetaljerKompleksitetsanalyse Helge Hafting 25.1.2005 Opphavsrett: Forfatter og Stiftelsen TISIP Lærestoffet er utviklet for faget LO117D Algoritmiske metoder
Helge Hafting 25.1.2005 Opphavsrett: Forfatter og Stiftelsen TISIP Lærestoffet er utviklet for faget LO117D Algoritmiske metoder Innhold 1 1 1.1 Hva er en algoritme?............................... 1 1.2
DetaljerEuklids algoritmen. p t 2. 2 p t n og b = p s 1. p min(t 2,s 2 )
For å finne største felles divisor (gcd) kan vi begrense oss til N, sidenfor alle a, b Z, harvi gcd(a, b) =gcd( a, b ). I prinsippet, dersom vi vet at a = p t 1 kan vi se at 1 p t 2 2 p t n og b = p s
DetaljerPalindrom - iterativt
1 TDT4105 Informasjonsteknologi, grunnkurs Matlab: Sortering og søking Kunnskap for en bedre verden Amanuensis Terje Rydland Kontor: ITV-021 i IT-bygget vest (Gløshaugen) Epost: terjery@idi.ntnu.no Tlf:
DetaljerHeap* En heap er et komplett binært tre: En heap er også et monotont binært tre:
Heap Heap* En heap er et komplett binært tre: Alle nivåene i treet, unntatt (muligens) det nederste, er alltid helt fylt opp med noder Alle noder på nederste nivå ligger til venstre En heap er også et
Detaljer