TMA4240 Statistikk Høst 2012

Transkript

1 TMA424 Statistikk Høst 212 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving blokk II Oppgave 1 Oppgave 11.3 fra læreboka. Oppgave 2 Oppgave fra læreboka. Oppgave 3 Oppgave fra læreboka. Oppgave 4 Mosjonisten En 4-åring startet med løpetrening for 9 år siden, og har hvert år siden deltatt i samme mosjonsløp. Anvendt tid, i minutter, er gitt i tabellen nedenfor. år i alder x i tid y i Det oppgis at 9 i=1 x i = 369, 9 i=1 y i = 36.37, 9 i=1 (x i x) 2 = 6, 9 i=1 (y i ȳ) 2 = og 9 i=1 (x i x)(y i ȳ) = 9 i=1 (x i x)y i = 2.7. Vi skal anta at observasjonene kan ses på som realisasjoner av uavhengige normalfordelte variable Y 1,...,Y 9, hvor E(Y i ) = α+βx i og Var(Y i ) = σ 2. a) Skriv opp de vanlige forventningsrette estimatorene ˆα, ˆβ og ˆσ 2 for α, β og σ 2. Regn ut estioving11-oppg-b 1. august 212 Side 1

2 matene for α og β for de gitte dataene. Plott datasettet og den estimerte regresjonslinjen. Det oppgis at estimatet for σ 2 er b) Regn ut et uttrykk for variansen til estimatoren ˆβ. Gjennomfør en test av H : β = mot H 1 : β, på signifikansnivå 1%. Hva blir den praktiske fortolkningen av testen over? Løperen ønsker å predikere anvendt tid på mosjonsløpet neste gang (alder x = 46 år). c) Regn ut predikert tid. Det oppgis at Var(ˆα + ˆβx ) = σ 2 ( 1 n + (x x) 2 n i=1 (x i x) 2 ). Utled et 9% prediksjonsintervall for Y ved x = 46 år. Hva blir intervallet med de oppgitte data? Hvis løperen ber deg predikere anvendt tid om 1 år (alder 6 år), hva vil du svare da? Oppgave Dette er en Matlab-oppgave som omhandler lineær regresjon. Matlabkoden linearreg.m, tilgjengelig fra emnets hjemmeside, utfører lineær regresjon basert på definisjonen i kapittel 11. De tre datasettene gir resultater fra tre andre mosjonister. Prøv gjerne å bruke programmet for å se på resultatene til mosjonisten i forrige oppgave også. 1. Spesifiser modellantagelsene for lineær regresjon. 2. Last ned de tilgjengelige filene og kjør koden. Eventuelt kan du se på plottene som er lagt ved denne øvingen. Figur 1 viser resultatet for datasett 1. Forklar hva de tre plottene viser. Hva er tolkningen av et residualplot? Hva kan du si om datasettet basert på plottene? Hvordan stemmer dette med modellantagelsene? 3. Figur 2 viser resultatet for datasett 2. Hvordan er dette datasettet forskjellig fra det forrige? Kommenter resultatet i forhold til modellantagelsene. Er det passende med lineær regresjon for dette datasettet? Forklar. 4. Figur 3 viser resultatet for datasett 3. Hva kan du si om datasettet basert på de tre plottene? Sammenlign residualplottene for datasett 1 og 3. Hva er den største forskjellen mellom dette datasettet og datasett 1?

3 Oppgave 6 Trykkfasthet av murblokker Ved en bedrift produseres en spesiell type murblokker, og vi skal i denne oppgaven se på trykkfastheten, Y, til murblokkene. Med trykkfasthet menes det maksimale trykket en murblokk kan utsettes for uten at den skades. Anta at Y er normalfordelt med forventningsverdi µ = E(Y), gitt i MPa (1 6 Pascal), og standardavvik σ = SD(Y) =.21 MPa. a) Anta i dette punktet at µ = 2.1 MPa. Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt murblokk har en trykkfasthet som er høyere enn 1.83 MPa, dvs. P(Y > 1.83)? Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt murblokk har en trykkfasthet som avviker mindre enn.3 MPa fra forventningsverdien µ = 2.1 MPa? Vi ser på måling av trykkfasthet for n = 24 tilfeldig valgte murblokker fra produksjonen. Hva er sannsynligheten for at den minste målingen vil være lavere enn 1.83 MPa? Bedriften har startet produksjon av en ny type murblokker, som de mener har forventet trykkfasthet µ = 2.4 MPa. Anta at det er kjent at standardavviket til trykkfastheten til de nye murblokkene er σ =.21 MPa. Bedriften ønsker å undersøke om det er grunn til å tro at forventet trykkfasthet for den nye typen murblokker er lavere enn 2.4 MPa. b) Formulér dette som en hypotesetest ved å definere nullhypotese og alternativ hypotese. Sett opp en testobservator og finn forkastningsområdet til testen, når vi ønsker å benytte signifikansnivå α =.. Hva blir konklusjonen på testen, når vi har observert trykkfasthet til n = 24 murblokker, og gjennomsnittlig trykkfasthet ble 2.3 MPa? Bestem teststyrken til den alternative hypotesten H 1 : µ = 2.3 MPa for signifikansnivå. og n = 24 observasjoner.

4 % prediction interval Residual plot.98 Normal Probability Plot Probability Figur 1: Resultater for datasett 1

5 % prediction interval Residual plot.98 Normal Probability Plot Probability Figur 2: Resultater for datasett 2

6 % prediction interval Residual plot.98 Normal Probability Plot Probability Figur 3: Resultater for datasett 3