KodeX Innhold. Repetisjonsoppgaver Etter hvert emne er det repetisjonsoppgaver. I tillegg er det ekstra repetisjonsoppgaver i ressurspermen.

Transkript

1 5 Forord Forord L reverket KodeX er utarbeidet etter et matematikkforsök pô So emyrtoppen skole 2003^2006. De positive erfaringene med emnebasert undervisning er blitt til l reverket KodeX. KodeX er emnebasert med re hovedemner hvert Ôr. PÔ 8. trinn er det statistikk, tall og tall re, brök, prosent og promille og matematikken rundt oss som er hovedemnene. PÔ 9. trinn starter vi med algebra, etterfulgt av likninger og ulikheter. Her har ogsô geometrien fôtt sin plass. OgsÔ dette Ôret runder vi av med matematikken rundt oss. Det siste Ôret har emnene kombinatorikk, sannsynlighetsregning og funksjoner fôtt störst oppmerksomhet, men vi glemmer ikke matematikken rundt oss pô dette trinnet heller. Det blir ogsô en större del med repetisjon til eksamen i den siste boka for 10. trinn. BÔde konkretisering, lek, spill, aktiviteter, oppgaver og diskusjoner er metoder som tas i bruk for Ô nô môlet om en helhetlig matematisk kompetanse hos elevene. Ved Ô fordype seg i ett emne om gangen fôr elevene en grunnleggende forstôelse for nettopp dette emnet. F rre emner per Ôr gir ogsô l reren mulighet til bedre Ô tilpasse oppl ringen til den enkelte elev, slik at alle utfordres pô sitt eget nivô. Mange av de virkelighetsn re og varierte oppgavene gir elevene ere innfallsvinkler, dessuten utfordringer som de har tid og mulighet for Ô löse. Tverrfaglige prosjekter, ogsô innenfor teknologi og design, gir elevene en mulighet til Ô bruke matematikken i praksis. Det er min intensjon og mitt Önske at bôde l rere og elever vil la seg inspirere av KodeX. Som matematikkl rer vet jeg at matematikk er göy. L rerverket KodeX gir ogsô elevene en mulighet til Ô oppdage dette. I arbeidet med bökene har jeg fôtt gode og konstruktive tilbakemeldinger fra de eksterne konsulentene Karen Topphol, Astri Herzeth, Hanne Katrine Fostvedt og HÔvard Broberg. I arbeidet med ressurspermen har Astri bidratt med utfordringsoppgaver. Jeg vil sv rt gjerne ha bôde positive og negative tilbakemeldinger om erfaringene med l reverket. Med vennlig hilsen Annette S. Christensen

2 6 KodeX Innhold KodeX Innhold Inndeling av emnene I Kodex 8A og 8B lô fokus pô de grunnleggende ferdighetene i matematikk.ved hjelp av virkelighetsn re oppgaver skulle forstôelsen bygges opp. I Kodex 9A og 9B bruker vi det elevene l rte i 8. klasse, til Ô utforske nye omrôder av matematikken.ved hjelp av konkreter og kjente formler fra barneskolen introduseres algebra, og i emnet om likninger utfordres elevene til selv Ô nne regnereglene. I geometri kan de utfolde seg bôde med passer, linjal og geometriprogram pô data, mens emnet matematikken rundt oss bygger videre pô kjent sto fra 8. klasse og hverdagslivet til elevene eller foreldrene. OgsÔ i Ôr innledes hvert hovedemne med et oppslag og avsluttes med faktasider, repetisjonsoppgaver og avtaltoppgaver. Eleven skal selv vurdere om det er hensiktsmessig Ô bruke et hjelpemiddel til Ô löse oppgaven eller ikke. Oppgavemerkingen gir bare en pekepinn pô hvilke oppgaver som egner seg for elevgruppa. Det er ikke meningen at alle de svakeste elevene skal gjöre alle oppgavene som er merket med rkant. Her mô l reren plukke ut. I noen av de vanskeligste underdelemnene har jeg ogsô utelatt oppgaver pô rkantnivô. I oppgaver som er merket med ere symboler, er vanligvis a- og b-oppgavene de enkleste. Symbolmerkingen er den samme som ikodex8aog8b. De enkleste oppgavene. Disse oppgavene er litt vanskeligere. PÔ 9. trinn er trekant- og sirkeloppgavene gjerne slôtt sammen. Hensikten er at elever som jobber pô dette nivôet, skal strekke seg litt lenger. OgsÔ i Ôr nnes det oppgaver pô videregôende nivô blant disse oppgavene. Trengs det ere utfordringer, nnes de i ressurspermen. Faktasider I bökene blir fakta uthevet i rosa faktabokser. Disse boksene er samlet med annet relevant fagsto pô de rosa faktasidene etter hvert emne. Faktasidene er ogsô tilgjengelige pô nettsiden Repetisjonsoppgaver Etter hvert emne er det repetisjonsoppgaver. I tillegg er det ekstra repetisjonsoppgaver i ressurspermen. Avtaltoppgaver Avtaltoppgavene i bökene skal ivareta l replanens krav om större praktisk aktivitet: Matematikkfaget i skolen medverkar til Ô utvikle den matematiske kompetansen som samfunnet og den einskilde treng. For Ô oppnô dette mô elevane fô höve til Ô arbeide bôde praktisk og teoretisk. (KunnskapslÖftet, midlertidig trykt utgave, september 2005, s. 53) Mange av avtaltoppgavene er ideer til tverrfaglige prosjekter og oppgaver innenfor teknologi og design. Dette gir elevene rikelig mulighet til Ô bruke matematikken i praksis. Oppgavene kan med fordel omarbeides og tilpasses slik at elevene föler n rhet og eierskap til problemstillingene. Bare da kan prosjektene bli vellykket. Avtaltoppgavene er bôde teoretiske, praktiske og teoripraktiske. Oppgavene egner seg ogsô til bruk i programfag. Avtaltoppgavene skal gjöres i samrôd med l reren.

3 7 Ressurspermen Innhold Generell del I den generelle delen er pilotprosjektet pô So emyrtoppen skole, avdeling FlÖysbonn, beskrevet. Her nnes ogsô en beskrivelse av l replanen i matematikk, i tillegg til den pedagogiske begrunnelsen for Ô lage et emnebasert l reverk. Forslag til aktiviteter Basert pô de pedagogiske prinsippene i KodeX og erfaringer med bruk av konkreter og ulike vinklinger av det matematiske stoffet, har jeg samlet et utvalg aktiviteter som du som l rer kan plukke fra til bruk i undervisningen. Tempoplaner I ressurspermen nnes en tempoplan for hvert emne. Emnene er strukturert etter skoleôret: algebra og likninger og ulikheter för jul, môling og geometri og matematikken rundt oss etter jul. Tempoplanen er laget for 3 45 minutter i uka, men er bare veiledende. Elevene er forskjellige, og det mô en ta hensyn til nôr en legger opp emnene. Utfordringer For at elevene skal ha mulighet til Ô fordype seg i matematikk, er det ogsô i Ôr ekstra utfordrende oppgaver pô videregôende nivô i ressurspermen. Trigonometri har fôtt sin naturlige plass her, men for en grundig oppl ring viser vi til böker for videregôende skole. Delemneprøver Ved hjelp av delemneprövene kan elevene nne ut hva de kan,oghvademôövemerpôi hvert enkelt delemne. Elevene kan teste og rette selv, eller l reren kan rette og se om elevene har fôtt med seg det viktigste. Slike korte 10^15 minutters pröver kan pô et tidlig tidspunkt gi l reren et vink om eleven har forstôtt delemnet. FÔr eleven feil pô en emnepröve eller til tentamen, kan det ofte v re vanskelig Ô nne ut om det er en misoppfatning som ligger til grunn for feilen, eller bare en misforstôelse. Er det en misforstôelse som ligger til grunn, kan feilen lett korrigeres ved hjelp av forklaringer og eksempler. Er det en misoppfatning, mô den avl res, og sto et mô innl res pô nytt. De este oppgavene pô en delemnepröve er bygd opp slik at a-oppgavene er de enkleste, mens det blir mer krevende i deloppgavene b, cogd. MÔlene pô arbeidsplanen bör stemme overens med det som testes pô delemneprövene. Emneprøver EmneprÖvene er ment som tretimerspröver som l reren retter. PrÖvene skal v re en forsmak pô tentamen. De tester kunnskapen eleven har tilegnet seg i emnet. I enkelte oppgaver skal elevene selv velge mellom to vanskelighetsgrader. I andre oppgaver er det basisferdigheter og kunnskaper fra tidligere emner som testes. Fasit til delemne- og emneprövene stôr bakerst i ressurspermen. Ressurspermen Innhold

4 8 Ressurspermen Innhold Innføringer Den matematiske samtalen er viktig. For Ô Öve seg i Ô prate matematikk hadde elevene mine hver 14. dag en problemlösingsoppgave som hjemmelekse. Etter hver innlevering plukket jeg ut tre elever som hadde löst oppgaven pô forskjellige môter. Disse besvarelsene kopierte jeg over pô lysark. SÔ skulle elevene selv forklare klassen ved hjelp av matematiske ord og begreper hvordan de hadde löst oppgaven. Ikke bare kk elevene trent pô Ô kommunisere matematikk, men alle kk i tillegg til matematiske ord og begreper presentert mange ulike lösningsstrategier av sine medelever. Etter hvert bygde elevene seg opp en stor mengde lösningsstrategier. Eksempler pô innföringsoppgaver nner du i ressurspermen.

5 9 Pilotprosjekt på Sofiemyrtoppen skole Hva er vitsen med Ô pröve Ô l re dette i Ôr igjen? Jeg prövde Ô l re det i 8. klasse. Jeg gjorde et nytt forsöki9.klasse.nôgidderjegikkepröveigjen. Jeg skjönner det ikke! Det eneste jeg skjönner, er at jeg ikke skjönner matte! Vi har aldri tid til Ô l re oss noe ordentlig. Med en gang jeg synes jeg nesten har forstôtt noe, gôr vi videre til et nytt emne. HvaervitsenmedÔfÖlgemednÔrjegvetatjegikke rekker Ô forstô et emne för vi begynner pô et nytt! Da elever i avgangsklassen min i 2003 kom med disse uttalelsene, forstod jeg at nô môtte jeg gjöre noe med undervisningen min. Mange av elevene klarte ikke Ô fô grunnleggende forstôelse og kunnskap i et emne för vi hastet videre til neste. Idrettsdager, tentamen, ekskursjoner og prosjekter spiste opp de fô timene vi hadde til matematikk. Undervisningen min bar preg av hastige gjennomganger og tavleundervisning. Det ble liten tid til ferdighetstrening og Ô jobbe med konkreter og forstôelse. Undervisningssituasjonen var sô stressende og skapte sô stor frustrasjon hos enkelte elever at de utviklet matematikkvegring. Slik kunne jeg ikke ha det. Jeg hadde hatt store visjoner om matematikkundervisningen da jeg begynte Ô jobbe i ungdomsskolen. Matematikk er moro, og det Önsket jeg at elevene mine ogsô skulle forstô. Matematikk er noe som angôr oss alle, men det kom ikke fram i undervisningen, som var preget av oppgavelösning fra boka. Var denne stressede undervisningssituasjonen bra for elevene? Noe môtte gjöres. Jeg Önsket Ô legge til rette slik at elevene skulle fô arbeide pô sitt eget nivô med virkelighetsn re oppgaver i lengre tid. Fokuset ville jeg skulle v re den enkelte elevs utvikling, ferdigheter og forstôelse, mer enn det gjaldt Ô komme gjennom boka. For Ô fô til dette trengte jeg mer tid, og da môtte jeg bort fra spiralprinsippet.ved Ô redusere antall emner fra omtrent ti til re ville jeg fô bedre tid til fordypning i hvert emne. En slik fordypning forutsatte at elevene i löpet av et Ôr tilegnet seg pensum i hvert emne som fra för var lagt til 8., 9. og10. trinn. Siden emnene i matematikk bygger pô hverandre og gôr i hverandre, var det viktig Ô ta emnene i riktig rekkefölge. Etter nöye vurderinger bestemte jeg meg for Ô dele matematikken inn i ni emner. Ett av emnene valgte jeg Ô la gô igjen hvert Ôr. 8. klasse:. Statistikk. Tall og tall re. BrÖk, prosent og promille. Matematikken rundt oss 9. klasse:. Algebra. Likninger og ulikheter. MÔling og geometri. Matematikken rundt oss 10. klasse:. Kombinatorikk og sannsynlighetsregning. Funksjoner. Matematikken rundt oss. Repetisjon I tillegg til emnene la jeg vekt pô repetisjon, först fra barneskolen og sô fra emnene etter hvert som vi hadde gôtt gjennom dem. Flere morsomme matematikkaktiviteter la jeg ut som avtaltoppgaver, oppgaver som elevene kk lov til Ô gjöre etter avtale med meg. Pilotprosjekt på Sofiemyrtoppen skole

6 10 Pilotprosjekt på Sofiemyrtoppen skole Da jeg startet med emnebasert undervisning hösten 2003, fantes det ingen matematikkböker som var lagt opp slik. Jeg môtte selv lage emnehefter til elevene. Det var ikke fô sene kveldstimer jeg satt oppe og kopierte, klipte, limte og laget oppgaver. Alle prövene môtte jeg ogsô lage selv, fordi de gamle prövene var basert pô spiralprinsippet. Det var sv rt tidkrevende Ô skulle lage alt undervisningsmateriell selv, men lönn for strevet kk jeg da jeg sô hvordan elevene koste seg med faget. Det ble ogsô mye mindre stress rundt undervisningen. Ble den ene dagen spist opp av en idrettsdag eller tentamen, hadde vi mer tid Ô ta av. Det ble tid til smô matematiske godbiter som gjorde matematikken mer levende og praktisk. Konkretiseringsmateriale ble en naturlig del av undervisningen, det samme gjaldt diskusjoner og ferdighetsspill.vi kk tid til Ô gô ut og môle bôde fart og tid, telle biler, rulle snöballer, lage faktaplakater, og vi gjennomförte teknologi og design-prosjekter.vi hadde tid til innföringer og muntlige framföringer der elevene forklarte for klassen hvordan de hadde löst innföringsoppgavene sine. Men pensumet var ikke redusert, sô vi hadde fortsatt en god del vi skulle gjennom i hvert emne. Forskjellen var at nôr elevene först hadde l rt et emne godt, var det ikke nödvendig Ô bruke sô mye tid pô Ô huske og repetere emnet fra sist gang det ble gjennomgôtt. Linjene og sammenhengene i matematikken ble mye tydeligere for elevene nôr de kunne bygge ny kunnskap pô godt forankret gammel kunnskap. Holder en pô sôpass lenge med ett emne i matematikk, er det viktig Ô variere undervisningen slik at elevene ikke gôr lei. Avtaltoppgaver, oppgaver innenfor teknologi og design, repetisjonsoppgaver, spill osv. kan v re med pô Ô krydre undervisningen og Öke forstôelsen for matematikk. Litt uforutsigbarhet i undervisningen kan gjöre timene mye mer spennende. Som en litt svak elev uttrykte det i 10. klasse: Jeg er veldig glad for at jeg gôr pô denne skolen. Hadde jeg hatt vanlig undervisning, hadde jeg droppet matten for lenge siden. FÖr likte jeg ikke matte. NÔ synes jeg det er ok.vi gjör sô mye forskjellig i timene, og sô fôr jeg tid til Ô regne og forstô en ting för vi begynner pô noe nytt. Den störste utfordringen for meg var nok Ô vôge Ô la de elevene som hadde problemer med matematikk, slippe Ô gjöre hele pensum. For eksempel tok jeg bort oppgavene om brök med ere ledd i teller eller nevner for denne elevgruppa. I stedet kunne de konsentrere seg om Ô addere, subtrahere eller multiplisere enklere bröker. Da jeg torde Ô gi slipp og stole pô egne erfaringer og vurderinger, ble ogsô disse elevene mer tilfredse og gjorde mer. De opplevde mestring pô sitt eget nivô. En annen utfordring var Ô nne morsomme aktiviteter og oppgaver til de elevene som viste stor forstôelse for emnet og raste gjennom det. Her gjorde vi bruk av videregôende matematikk, men det var ikke alltid like lett. Mye var nytt for meg, og noe var gôtt i glemmeboka, sô her môtte jeg lese meg opp för jeg kunne formidle det videre til elevene. I 8. klasse var det ogsô vanskelig Ô nne oppgaver som ikke tok for seg mer enn elevene hadde forutsetning for Ô greie Ô löse. Etter hvert som emnene ble bearbeidet, kk elevene Ökte kunnskaper. De kunne fordype seg i blant annet större likninger og trigonometri, som er pensum pô videregôende. Etter tre Ôr intervjuet jeg elevene mine og spurte hvordan de syntes det hadde v rt med emnebasert undervisning. De var alle enige om at det Ô fô vise medelevene hvordan de hadde tenkt under innföringene, var noe av det gjeveste. Da fölte de at de hadde kunnet bidra i undervisningen og kk en bekreftelse pô at de hadde forstôtt og kanskje til og med

7 11 tenkt noen tanker og funnet en lösningsmetode de var alene om. Ellers satte de mest pris pô tiden de kk til hvert emne, det at de kk tid til Ô forstô et emne helt för vi gikk over til det neste. Noen av elevene oppdaget ogsô etter hvert sammenhengene i matematikken, og da kunne ingenting stanse dem. Da kullet mitt gikk ut i 2006, var det ingen av elevene som hatet matematikk. De likte matematikk. Mange elever ble sô glade i faget at de valgte fordypning pô videregôende skole. Jeg hadde oppnôdd det jeg Önsket. Den nye l replanen 2006 ber oss tone ned spiralprinsippet, fordype oss mer i hvert emne og legge vekt pô ferdigheter, forstôelse og anvendelse. Det var nettopp dette vi gjorde i pilotprosjektet pô So emyrtoppen skole, avdeling FlÖysbonn.Vi tjuvstartet med den nye l replanen i 2003, og erfaringene er blitt til dette emnebaserte l reverket KodeX. BÔde metodene og oppgavene er utprövd pô og av elever. De har v rt mine beste kritikere og l remestere. Pilotprosjekt på Sofiemyrtoppen skole

8 12 Kunnskapsløftet 2006 Kunnskapsløftet 2006 Dagens teknologiske samfunn krever mennesker med gode matematikkunnskaper. Matematikk griper inn i omrôder som blant annet medisin, Ökonomi, teknologi, kommunikasjon, energi og konstruksjon. IngeniÖrene mô ha gode matematiske kunnskaper for Ô bygge skyhöye bygninger, og forskerne trenger de samme kunnskapene for Ô kunne löse problemet med blant annet forurensning. Morgendagens ingeniörer og forskere er dagens elever, og det er vi l rere som skal formidle kunnskap, hjelpe dem til forstôelse i faget, vise dem hvordan de kan anvende matematikken i nye og utfordrende situasjoner. Det har den nye l replanen tatt höyde for. Den nye l replanen er KunnskapslÖftet Et löfte om kunnskap, Ô löfte kunnskap eller en forventning om kunnskap? L replanen gir l rerne mer frihet, mer tillit og mer ansvar. Eleven skal stô i sentrum.vi skal bort fra reproduksjon. NÔ snakker vi om kompetanse innenfor faget, helhetlig matematisk kompetanse. Men hva er helhetlig matematisk kompetanse? Mona RÖsseland fra Nasjonalt senter for matematikk i oppl ringen uttrykker det slik: ha matematisk kompetanse kjennetegnes ved Ô ha viten om, Ô forstô, utöve, anvende og kunne ta stilling til matematikk og matematisk virksomhet i et mangfold av sammenhenger. (Mona RÖsseland: Hva er matematisk kompetanse?,tangenten nr. 1^2, 2005) Denne reformen er et veiskille, et ideologisk skifte, fra grunnskole til grunnutdanning. Skolen skal nô ses i et helhetlig 13-Ôrig löp. PÔ ungdomsskolen deler en faget i fem hovedomrôder med kompetansemôl innenfor hvert hovedomrôde. Hvert kompetansemôl omfatter tre komponenter, ferdigheter, forstôelse og anvendelse, som til sammen utgjör den helhetlige matematiske kompetansen. L replanen krever at elevene skal ha grunnleggende ferdigheter innenfor hvert av hovedomrôdene i matematikk. I tillegg skal elevene ha forstôelse for det de l rer, og kunne anvende l rdommen i nye situasjoner. Til sammen skal dette gi elevene en helhetlig matematisk kompetanse. Et eksempel: I kompetansemôlet etter 10. klasse innenfor hovedomrôdet tall og algebra er et môl for oppl ringen at eleven skal kunne samanlikne og rekne om heile tal, desimaltal, brökar, prosent, promille og tal pô standardform, og uttrykkje slike tal pô varierte môtar Det betyr blant annet at elevene skal ha ferdigheter til Ô regne med prosent. De skal ogsô ha forstôelse for hva prosent er, og kunne anvende prosentregning for eksempel i dagliglivet. Elevene trenger tid til Ô Öve pô ferdighetene, tid til Ô forstô og tid til Ô anvende det de har l rt i praksis. For Ô ivareta dette har l replanen tonet ned spiralprinsippet.ved Ô tone ned spiralprinsippet og la skolen og l reren selv bestemme nôr og hvordan et hovedomrôde skal innl res, fôr l reren mulighet til Ô tilpasse metoden og innholdet av undervisningen til sin elevgruppe. Med bedre tid fôr ogsô elevene anledning til Ô bruke det de har l rt i nye situasjoner, slik at l rdommen sitter bedre. L replanen er individorientert. I forordet kan vi lese: Alle elever og l rlinger er likeverdige, men ingen av dem er like. Oppl ringen skal fremme sosial mobilitet og gi alle like muligheter for videre utdanning og arbeid. Hvis alle elever behandles likt, skaper skolen större ulikhet. ta hensyn til forskjeller er skolens

9 13 störste utfordring. Videre kan vi lese i innledningen til l replanens generelle del at oppl ringen skal tilpasses den enkelte. Det skal altsô legges til rette for at elevene skal kunne arbeide pô sitt eget nivô.viser eleven ferdigheter utover det som er forventet pô eget Ôrstrinn, skal de oppmuntres til Ô arbeide med matematikk pô et höyere nivô. Tilsvarende skal undervisningen tilpasses nedover dersom det er behov for det. Tilpasset oppl ring er med andre ord et stikkord ogsô for denne l replanen. Som i alle andre fag skal elevene ogsô i matematikk ha grunnleggende ferdigheter. De grunnleggende ferdighetene er integrert i kompetansemôlene. De grunnleggende ferdighetene er en del av fagkompetansen. De er ogsô med pô Ô utvikle fagkompetansen. I matematikk kan vi ifölge l replanen forstô de grunnleggende ferdighetene slik:. kunne uttrykkje seg munnleg i matematikk inneber Ô gjere seg opp ei meining, stille spörsmôl, argumentere og forklare ein tankegang ved hjelp av matematikk. Det inneber o' gôvere med i samtalar, kommunisere idear og dröfte problem og löysingsstrategiar med andre.. kunne uttrykkje seg skriftleg i matematikk inneber Ô löyse problem ved hjelp av matematikk, beskrive og forklare ein tankegang og setje ord pô oppdagingar og idear. Ein lagar teikningar, skisser, gurar, tabellar og diagram. I tillegg nyttar ein matematiske symbol og det formelle sprôket i faget.. kunnelesei matematikk inneber Ô tolke og dra nytte av tekstar med matematisk innhald og med innhald frô daglegliv og yrkesliv. Slike tekstar kan innehalde matematiske uttrykk, diagram, tabellar, symbol, formlar og logiske resonnement.. kunne rekne i matematikk utgjer ei grunnstamme i matematikkfaget. Det handlar om problemlöysing og utforsking som tek utgangspunkt i praktiske, daglegdagse situasjonar og matematiske problem. For Ô greie det mô ein kjenne godt til og meistre rekneoperasjonane, ha evne til Ô bruke varierte strategiar, gjere overslag og vurdere kor rimelege svara er.. kunnebrukedigitaleverktöyi matematikk handlar om Ô bruke slike verktöy til spel, utforsking, visualisering og publisering. Det handlar o' gomô kjenne til, bruke og vurdere digitale hjelpemiddel til problemlöysing, simulering og modellering. I tillegg er det viktig Ô nne informasjon, analysere, behandle og presentere data med hövelege hjelpemiddel, og vere kritisk til kjelder, analysar og resultat. Kunnskapsløftet 2006

10 14 De åtte kompetansene De åtte kompetansene For Ô kunne tilpasse den danske oppl ringen i matematikk til endringene i kultur og samfunn, bestilte Det Danske Undervisningsministeriet en rapport om kompetanser og matematikkl ring. Rapporten ble ferdig i 2002 og kk tittelen Kompetencer og matematikl ring ^ ideer og inspirasjon til udvikling af matematikundervisning i Danmark. Arbeidet med rapporten ble ledet av Mogens Niss, professor ved Roskilde Universitetscenter i matematikk og matematikkdidaktikk. I rapporten gjör forfatterne greie for de Ôtte kompetansene som de mener mô v re gitt for at elevene skal kunne oppnô en helhetlig matematisk kompetanse. Rapporten har fôtt stor anerkjennelse i Norden, og vi kan nne igjen rapportens konklusjoner i KunnskapslÖftet 2006 og i de nasjonale prövene. Nasjonalt senter for matematikk i oppl ringen har i tillegg til l replanen lagt rapporten til grunn nôr de har utarbeidet de tre komponentene som en kan dele matematikkfaget inn i for Ô oppnô helhetlig matematisk kompetanse: Ferdigheter: representasjons-, symbol- og formalismekompetanse ForstÔelse: resonnements-, tankegangs- og kommunikasjonskompetanse Anvendelse: modellerings- og problemlösingskompetanse Hjelpemiddelkompetansen er gjennomgôende i alle komponentene. Kompetansene er tett knyttet til hverandre. De overlapper delvis, men ikke desto mindre har de hver sin identitet. Ferdigheter ha ferdigheter i matematikk inneb rer for eksempel Ô kunne multiplikasjonstabellen, kunne de re regneartene og kjenne til begrepene og symbolene vi bruker i matematikk. Automatisering av ferdigheter frigir oppmerksomhet til ny l ring ( J.R. Anderson: Cognitive Psychology and Its Implications, 1990). Kan vi multiplikasjonstabellen godt, er det for eksempel ingen sak Ô faktorisere tallene slik at forkortingen av bröker gôr lett. Automatisering av ferdigheter er ogsô viktig for livskunnskapen. I dagens samfunn mô vi kunne lese tabeller og grafer i aviser eller böker, regne ut rabatter, lôn, rente og fremmed valuta osv. Det nytter ikke Ô môtte slô opp i en bok hver gang. NÖkkelen til automatisering er Övelse (Ellis og Hunt: Fundamentals of Cognitive Psychology, 1993, s. 65). Elevene mô Öve pô bôde multiplikasjonstabellen, divisjonsstykker og andre oppgaver for Ô bli gode i regning. Det nytter ikke Ô bare ta opp boka et par ganger i uka. Nedenfor gir vi et kort sammendrag av representasjonskompetansen og symbolog formalismekompetansen de nert av Nasjonalt senter for matematikk i oppl ringen og av Mona RÖsseland i artikkelen Hva er matematisk kompetanse? (Tangenten nr. 1^2, 2005). Representasjonskompetanse En representasjon er noe som kommer i stedet for eller stötter opp om en situasjon eller et begrep. En representasjon kan for eksempel v re konkreter, en tegning, symboler eller en tabell som hjelper eleven til Ô synliggjöre noe som ikke er synlig med en gang. En representasjon skal hjelpe eleven til Ô

11 15 systematisere, huske og kommunisere matematiske begreper. Elever som har höy representasjonskompetanse, kan se sammenhengen mellom bilde, symbol og virkelighet. Symbol- og formalismekompetanse Symbol- og formalismesprôket er det formelle sprôket i matematikken. Elever som har höy symbol- og formalismekompetanse, avkoder lett symbol- og formalismesprôket og oversetter mellom symbolsprôk og dagligtale eller omvendt. De har ogsô full oversikt over de matematiske spillereglene. Forståelse Marit Holm, spesialpedagog og försteamanuensis ved Universitetet i Oslo, har uttalt at elevene mô gô gjennom re nivôer for Ô kunne bygge opp forstôelse og regneferdighet i alle emner. Dette begrunner hun med at personer bare er i stand til Ô re ektere over det som gir mening, og til Ô tenke matematikk med begreper som er forstôtt:. Konkret nivô: objekter, môlebônd, vekt, papir, geometriske gurer osv.. Halvkonkret nivô: bilder, tegninger, gurer. Halvabstrakt nivô (forestillingsnivô): illustrasjoner, diagrammer, tabeller, kart, prikker, streker osv.. Abstrakt nivô: tall, tegn, matematiske uttrykk, algebra, formler, sprôk osv. For Ô oppnô forstôelse i faget kan det v re til stor hjelp Ô arbeide med konkreter. Forskning viser at straks vi slutter Ô bruke konkreter i undervisningen, faller ere elever av.vi mô derfor gô veien om konkreter nôr vi skal oversette til et matematisk symbolsprôk. Her kommer et kort sammendrag av resonnements-, tankegangs- og kommunikasjonskompetansen de nert av Nasjonalt senter for matematikk i oppl ringen og av Mona RÖsseland i artikkelen Hva er matematisk kompetanse? (Tangenten nr. 1^2, 2005). Resonnementskompetanse Har en elev höy resonnementskompetanse, er eleven i stand til Ô tenke ut og gjennomföre uformelle og formelle resonnementer, planlegge en strategi for Ô löse en oppgave i to til tre steg og formidle til en medelev hva han har gjort. Han kan ogsô fölge resonnementene til andre, omforme resonnementer og antakelser til gyldige bevis og forstô hva et bevis er. Denne kompetansen henger sammen med bôde modellerings- og problemlösingskompetansen. Tankegangskompetanse Matematisk tankegang omfatter bevissthet rundt hvilke spörsmôl som er karakteristiske for matematikk, det Ô kunne stille matematiske spörsmôl og ha blikk for hvilke typer svar som forventes. Kommunikasjonskompetanse Kommunikasjonskompetanse vil si Ô kunne sette seg inn i og tolke andres matematikkholdige skriftlige, muntlige eller visuelle utsagn og tekster. Elever med höy kommunikasjonskompetanse bruker matematikksprôket aktivt. De forklarer egne lösninger for andre, stiller avklarende spörsmôl til andres forklaringer og trekker konklusjoner. De deltar aktivt i matematiske diskusjoner. Anvendelse Elevene skal ikke bare ha ferdigheter innenfor matematikk og forstô matematikkens spilleregler, de skal ogsô kunne bruke kunnskapene de har tilegnet seg. Gjennom virkelighetsn re oppgaver og problem- De åtte kompetansene

12 16 De åtte kompetansene lösingsoppgaver skal de kunne anvende det de har l rt, vurdere ere metoder og undersöke om det de har funnet ut, holder môl. Teknologi og design-oppgaver er oppgaver som egner seg godt nôr matematikken skal settes ut i praksis. I slike oppgaver skal elevene gjerne overföre en ide til arbeidstegning og videre til praktisk arbeid. Da er det ere omrôder av matematikken som blir berört. Nedenfor gir vi et kort sammendrag av modellerings- og problemlösingskompetansen de nert av Nasjonalt senter for matematikk i oppl ringen og av Mona RÖsseland i artikkelen Hva er matematisk kompetanse? (Tangenten nr. 1^2, 2005). Modelleringskompetanse inneha modelleringskompetanse vil si Ô kunne kjenne igjen og bruke matematikk i situasjoner utenfor klasserommet og matematikktimen. Elever med höy modelleringskompetanse kan oversette et matematisk problem fra dagliglivet til matematikk, vurdere ere metoder for Ô löse problemet, vurdere lösningen og oversette tilbake til virkeligheten. Eleven kan ogsô vurdere gyldigheten av en modell og si noe om kvaliteten pô modellen. Problemløsingskompetanse ProblemlÖsingskompetanse vil si Ô kunne nne fram til og formulere matematiske problemstillinger, löse problemstillingene og etter hvert ogsô kunne löse dem pô forskjellige môter. Elever med höy problemlösingskompetanse bygger ny matematisk kunnskap gjennom problemlösing. Matematisk löser de problemer som môtte dukke opp, har et rikt utvalg av lösningsalternativer og re ekterer bevisst over matematikken i problemlösingen. Hjelpemiddelkompetanse Hjelpemiddelkompetanse er den siste kompetansen. Den inngôr i alle de andre kompetansene. For at eleven skal ha god hjelpemiddelkompetanse mô han vite om og kunne bruke de ulike hjelpemidlene hensiktsmessig. Med hjelpemidler mener vi blant annet blyant, viskel r, linjal, vinkelhake, gradskive, passer, regelbok, lommeregner og pc.

13 17 KodeX Pedagogisk bakgrunn Emnebasert undervisning L replanen krever at undervisningen skal ha tydelig progresjon, ingen direkte gjentakelser av môl, og gi elevene en helhetlig matematisk kompetanse. For Ô imötekomme kravene i KunnskapslÖftet har KodeX tonet ned spiralprinsippet. Med re emner per Ôr fôr elevene bedre tid til Ô fordype seg i ett emne om gangen, og l reren fôr större frihet til velge hvor lenge hun vil holde pô med et emne, og hvilken metode hun vil bruke i innl ringen av nytt fagsto. Fire emner i Ôret gir elevene mulighet til Ô oppnô gode basisferdigheter i hvert delemne i faget. Gode basisferdigheter er viktig for Ô fô forstôelse og kunne se sammenhengene og linjene i faget. Tid til Ô fordype seg i hvert emne gir ogsô trygghet. NÔr en gir elevene tid til Ô l re sto et pô varierte môter, fôr elevene mulighet til Ô nne sammenhengene og lösningene selv. Vi konstruerer vôr egen subjektive kunnskap. (Gunn Imsen: Elevens verden,1996, s. 33) De varierte arbeidsmôtene i KodeX bidrar ogsô til at elevene kan l re pô ulike môter. I de praktiske oppgavene blir teorien prövd ut. Her möter elevene mange utfordringer, og de mô selv nne ut hvordan de skal löse dem. Etter praktiske utfordringer trenger elevene trening. Mange og varierte oppgaver sörger for dette i KodeX. Den matematiske samtalen, spill og lek er ogsô med pô Ô gjöre matematikken levende for elevene. De åtte kompetansene I KodeX har jeg lagt spesiell vekt pô at alle de Ôtte kompetansene blir ivaretatt. Mange oppgaver av samme type skal sörge for at ferdighetene sitter.varierte metoder og oppgaver skal sörge for forstôelsen, og med virkelighetsn re tekstoppgaver og praktiske oppgaver fôr elevene tatt i bruk det de har l rt. Emnene Emnene i matematikk bygger pô hverandre. Det er ikke tilfeldig nôr vi underviser i hva. Ferdighet og forstôelse for tall og tall re mô ligge i bunnen. Har ikke elevene ferdigheter i og forstôelse for tall, har de ikke noe Ô bygge videre pô. Det er heller ikke slik at noen elever kan slippe enkelte emner. Alle elevene trenger Ô l re alle emner, men i ulik grad. Den videre progresjonen i bökene er laget med tanke pô at elevene skal forstô helheten i matematikken, forstô at det hele henger sammen. Delemner som ble grundig gjennomgôtt i 8. klasse, bygges det nô videre pô i 9. og 10. klasse. Elevene fôr bruk for det de l rte i fjor. FÖr hvert delemne bör môlet for oppl ringen presiseres. Det er viktig at elevene vet hva som forventes av dem, og delemneprövene kan v re et hjelpemiddel i sô môte. I l replanen under hovedomrôdet Tall og algebra stôr det blant annet: MÔl for oppl ringa er at eleven skal kunne behandle og faktorisere enkle algebrauttrykk, og rekne med formlar, parentesar og brökuttrykk med eitt ledd i nemnaren. Dette er et av de overordnete môlene. Det overordnete môlet mô sô brytes ned til mindre delmôl og oversettes slik at elevene kan forholde seg til dem. Dette mô gjöres med alle de overordnete môlene for de ulike hovedomrôdene. KodeX Pedagogisk bakgrunn

14 18 KodeX Pedagogisk bakgrunn Differensierte oppgaver og bruk av konkreter L resto et mô tilpasses elevenes forutsetninger og funksjonsnivô. UnÖdige detaljer og höyt teoretisk nivô skal velges vekk og erstattes med mer Övingssto pô det fundamentale planet for den svakeste elevgruppa (Marit Holm: Matematikkvansker og prinsipper for oppl ringen, i Mathema 2000). KodeX har ogsô i Ôr mange, varierte og di erensierte oppgaver. Noen steder er det lagt opp til bruk av konkreter, mens l rer og elev mô velge selv andre steder. Jeg har med hell brukt konkreter mye i min undervisning. Jeg gôr ikke inn i et klasserom uten fyrstikker, plastikknonstop eller terninger i lommene. SÔ lenge konkreter hele tiden er tilgjengelig, er terskelen for Ô be om Ô fô bruke dem mye lavere for elevene. Men mist ikke fokuset: Vi skal ikke leke matematikk bare for lekens skyld. Som l rer mô du hele tiden ha môlet med aktiviteten i fokus. Forslag til aktiviteter nnes under et eget kapittel i ressurspermen. Tekstoppgaver I dagliglivet möter vi hele tiden tall, tekster, tabeller og diagrammer vi mô avkode. Det er en naturlig del av dagliglivet. Elevene mô l re seg Ô avkode tekst for Ô kunne ta del i samfunnet.tekstoppgavene i bökene er laget med tanke pô nettopp dette. Elevene skal lese og nne den relevante informasjonen för de bearbeider den. Forskning viser at elever som strever med tekstoppgaver, ikke nödvendigvis strever med matematikk. Det kan like godt v re at de ikke har l rt Ô avkode en tekst. nne relevant informasjon i en tekst skal elevene ha l rt i 4. eller 5. klasse. Kan ikke eleven dette i 9. klasse, bör det settes inn tiltak. Oppgaver som egner seg for data For Ô oppnô en helhetlig matematisk kompetanse skal elevene selv kunne velge hvilke hjelpemidler det er hensiktsmessig Ô bruke i hver oppgave. Et hjelpemiddel er ikke bare en pc og et dataprogram, men ogsô en linjal, gradskive, passer, blyant eller lommeregner. I bökene er oppgavene derfor ikke merket med et ikon for nôr det egner seg Ô bruke et hjelpemiddel, det mô elevene selv vurdere. Mange av geometrioppgavene i boka kan löses ved hjelp av et geometriprogram, men det er ikke dermed sagt at det er enklere Ô bruke et geometriprogram i alle oppgavene. PÔ nettsidene nnes Övingsoppgaver til geometriprogrammet GeoGebra. GeoGebra kan lastes ned gratis fra Internett. Avtaltoppgaver En titt pô avtaltoppgavene etter hvert emne kan gi en ide om aktiviteter som kan egne seg som igangsetter eller som avslutning pô et delemne eller emne. Teknologi og designprosjektet Rommet mitt er et gjennomprövd prosjekt som passer ekstra bra som en avslutningsoppgave i 9. klasse. Her fôr elevene utfolde seg bôde med det de har l rt i geometri og i matematikken rundt oss. En fullstendig prosjektbeskrivelse nnes pô Begrepsbok/glosebok l re begreper vil ifölge Gagne' si Ô laet verbalt uttrykk (ord) stô i stedet for en gruppe ting eller hendelser som har noe felles (Gunn Imsen: Elevens verden,1996, s. 261). I matematikk er begreper viktig. MatematikksprÔket er et eget sprôk pô lik linje med andre fagsprôk. For eksempel ligger det mye mer i begrepet kvadrat enn i ordet rkant.

15 19 Dette mô elevene l re. De mô l re matematikksprôket for Ô fô en grunnleggende forstôelse og glede av matematikk. Kan de terminologien, slipper de Ô bruke energi pô Ô nne ut hva som ligger i det ordet eller det begrepet. Den beste môten Ô l re dette pô er Ô pugge. BÔde ord og begreper mô pugges. Jeg har gode erfaringer med Ô skrive ord og begreper inn i en glosebok og ha glosepröve i matematikk. Ellers er ordleker og spill ogsô en n môte Ô drille inn ordene pô. Homogene grupper Det kan se ut til at elever tör Ô prate mer i homogene grupper. De föler seg ikke sô dumme eller som outsidere nôr de er i gruppe med elever pô samme faglige nivô. NÔr en jobber lenge med hvert emne, blir det mer ro over undervisningen. Mens de andre elevene arbeidet med sitt, tok jeg derfor av og til ut homogene grupper. Det kunne v re at de sterke elevene Önsket Ô komme seg litt videre, eller at de svake elevene trengte litt ekstra forklaring. I homogene grupper var de blant likemenn og hadde mulighet til Ô spörre hverandre eller l reren uten Ô v re redde for Ô v re for inke eller for dumme. Gruppene jeg tok ut, endret seg hele tiden. Selv om en elev forstod et emne lett, var det ikke sikkert han var like sterk i et annet emne. Dette môtte jeg vurdere hele tiden. DelemneprÖvene var til god hjelp i di erensieringen av elevene. KodeX Pedagogisk bakgrunn