Det viktigste dataelementet som MATLAB benytter, er matriser, som også gjerne betegnes arrays.
|
|
- Inga Tonje Paulsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Kapittel 5 Matriseoperasjoner Det viktigste dataelementet som MATLAB benytter, er matriser, som også gjerne betegnes arrays. I det etterfølgende vil begrepet vektor bli benyttet enkelte steder som betegnelse på en matrise som bare har 1 kolonne eller bare 1 linje. Vektor kan også betegnes én-dimensjonalt array. Spesielle funksjoner for matriser (arrays) listes opp med kommandoen help elmat. 5.1 Representasjon av data med matriser (arrays) Hvordan lage matriser Vi kan konstruere matriser ved å bruke blank (space) for å skille mellom elementene i en linje (eller mellom kolonnene) og semikolon for å skille mellom linjene. Et eksempel er A=[1 2;3 4] A =
2 54 LærMATLABtrinnfortrinn Alternativt kan vi skille elementene i en linje med komma: A=[1,2;3,4] som gir samme A som ovenfor. Linjer kan også skilles med return(-tasten) slik: A=[1 2 (return) 3 4] med samme resultat. Et matriseelement kan godt være et uttrykk (her: 2+4): C=[1 2;3 2+4] C = En matrise i form av en linjevektor kan konstrueres slik: linvek=[2:4] linvek = En matrise i form av en kolonnevektor kan konstrueres som den transponerte av en linjevektor (transponering utføres altså med fnutt ): kolvek=[2:4] kolvek = 2 3 4
3 Lær MATLAB trinn for trinn 55 Element-inkrementet kan være forskjellig fra 1: v1=[2:.5:4] v1 = Element-inkrementet kan være negativt: v2=[4:-1:2] v2 = MATLAB-funksjonen linspace definerer en linjevektor med et gitt antall elementer med lik element-avstand: vlin=linspace(0,1,5) vlin = MATLAB-funksjonen logspace definerer en linjevektor med et gitt antall elementer med lik logaritmisk element-avstand. La oss konstruere en vektor med 5 elementer fra og med 0 til og med 1: vlog=logspace(0,1,5) vlog = Vi kan konstruere en matrise ved hjelp av eksisterende matriser eller vektorer. La oss som eksempel lage en matrise K hvis kolonner er de to vektorene x hhv. y:
4 56 LærMATLABtrinnfortrinn x=[1,2,3] ; y=[4,5,6] ; K=[x,y] K = Og så kan vi lage en matrise L som består av x i første rad og y i andre rad: L=[x;y] L = Noen spesielle matriser En identitetsmatrise av orden 3 konstrueres med idmat=eye(3) idmat = En 3x2 ener-matrise (bestående av bare 1-ere) konstrueres med enermat=ones(3,2) enermat =
5 Lær MATLAB trinn for trinn En 2x3 null-matrise konstrueres med nullmat=zeros(2,3) nullmat = En diagonalmatrise med elementene 1, 2 og 3 på diagonalen konstrueres med diagmat=diag([1,2,3]) diagmat = Hererentom matrise: tom=[] tom = [] Merk at en tom matrise eksisterer som en hvilken som helst annen matrise, men den inneholder altså ingen elementer. Et eksempel på bruk av en tom matrise er for å fjerne deler av en matrise: P=[1 2;1 2],P(:,1)=[];P Her blir hele 1. kolonne i B fjernet.
6 58 LærMATLABtrinnfortrinn P = P = Hva er dimensjonen? Dimensjonen for matrisen nullmat definert ovenfor finnes med [m,n]=size(nullmat) m = n = 2 3 En linje- eller kolonnevektors lengde kan finnes med length(vlin) ans = 5 Adressering av matriseelementer Vi kan adressere et matriseelement slik: w=a(1,2) w = 2 Vi kan gi et bestemt matriseelement verdi slik:
7 Lær MATLAB trinn for trinn 59 A(1,2)=7 A = Som utgangspunkt for de etterfølgende oppgaver, skal vi konstruere følgende (3x3)-matrise: B=[ ; ; ] B = Vi kan adressere øvre høyre (2x2)-undermatrise slik: B1=B(1:2,2:3) B1 = Vi kan adressere kolonne 2 i B slik: B2=B(:,2) B2 = Alle elementene i en matrise kan ramses opp i en vektor slik:
8 60 LærMATLABtrinnfortrinn Balt=B(:) Balt = Merk at i MATLAB benyttes 1 som laveste element-indeks i vektorer. Prøv Balt(0)??? Index into matrix is negative or zero. Mens Balt(1) gir ans = Matriseberegninger Vi skal gjøre oss kjent med noen grunnleggende funksjoner for matriseberegninger eller -operasjoner. Aktuelle funksjoner listes opp med help elfun. Noen av disse funksjonene kan anvendes på matriser, men de fleste kan anvendes kun på skalare størrelser eller element-for-element i matriser (elementvise beregninger beskrives nedenfor). Addisjon, subtraksjon og multiplikasjon av matriser forgår på vanlig måte, men matrisene må selvsagt ha riktige (kompatible) dimensjoner, ellers gir
9 Lær MATLAB trinn for trinn 61 MATLAB feilmelding. La oss som utgangspunkt for de etterfølgende beregninger utføre clear, A=[1 2;3 4], B=[5 6;7 8] A = B = A og B adderes slik: addmat=a+b addmat = A og B multipliseres slik: multmat=a*b multmat = Elementvise beregninger MATLAB kan utføre elementvise beregninger med matriser (og vektorer). Som utgangspunkt for de etterfølgende oppgaver definerer vi følgende to vektorer: x=[1,2,3], y=[4,5,6]
10 62 LærMATLABtrinnfortrinn x = y = MATLAB utfører elementvise beregninger når et punktum er skrevet foran operatoren. Her er et eksempel på elementvis multiplikasjon: elmult=x.*y elmult = svarende til at elmult(1)=x(1)*y(1), elmult(2)=x(2)*y(2), osv. Hvis vi prøver x*y (uten punktum foran *-operatoren) gir MATLAB feilmelding siden x og y ikke kan multipliseres med vanlig matrisemultiplikasjon. Her er et eksempel på elementvis divisjon: eldiv=x./y eldiv = svarende til at eldiv(1)=x(1)/y(1), eldiv(2)=x(2)/y(2), osv. Elementvise beregninger er svært nyttige dersom du skal utføre en matematisk operasjon på alle elementene i en vektor (eller generelt matrise). Her er et eksempel der det beregnes sinus av hvert element i vektoren x: sinvektor=sin(x)
11 Lær MATLAB trinn for trinn 63 sinvektor = svarende til sinvektor=[sin(x(1),sin(x(2)), sin(x(3)]. 5.3 Flerdimensjonale matriser (arrays) Flerdimensjonale matriser er en generalisering av 2-dimensjonale matriser eller arrays ved at dimensjonen kan være være vilkårlig stor. Figur 5.1 illustrerer et 3-dimensjonalt array. De tre dimensjonene utspennes slik: side (page) (1,1,3) (1,2,3) (2,1,3) (2,2,3) kolonne (column) (1,1,2) (1,2,2) (2,1,2) (2,2,2) rad (row) (1,1,1) (1,2,1) (2,1,1) (2,2,1) Figur 5.1: Illustrasjon av et 3-dimensjonalt array. Radene utgjør 1. dimensjon Kolonnene utgjør 2. dimensjon Sidene (eng. page) utgjør 3. dimensjon
12 64 LærMATLABtrinnfortrinn (For en mulig 4. dimensjon kunne vi kanskje snakke om bok.) La oss som eksempel lage et 2x2x2-array (3-dimensjonalt array): A3(:,:,1)=[ ; ]; A3(:,:,2)=[ ; ]; A3 A3(:,:,1) = A3(:,:,2) = Flerdimensjonale arrays benyttes i MATLAB til bl.a. å lagre frekvensresponsdata (3 dimensjoner: amplitude, fase, frekvens).
18. (og 19.) september 2012
Institutt for geofag Universitetet i Oslo 18. (og 19.) september 2012 Litt repetisjon: Array En array er en variabel som inneholder flere objekter (verdier) En endimensjonal array er en vektor En array
DetaljerForelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2
Forelesning 22 M0003, Mandag 5/-202 Invertible matriser Lay: 2.2 Invertible matriser og ligningssystemet x b Ligninger på formen ax b, a 0 kan løses ved å dividere med a på begge sider av ligninger, noe
DetaljerMatriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler:
Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Tallene i en matrise kalles matriseelementer eller bare elementer. En matrise har
DetaljerØving 2 Matrisealgebra
Øving Matrisealgebra Gå til menyen Edit Preferences... og sett Format type of new output cells til TraditionalForm hvis det ikke allerede er gjort. Start med to eksempelmatriser med samme dimensjon: In[]:=
DetaljerKap. 5 Egenverdier og egenvektorer
Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Egenverdier, egenvektorer og diagonaliserbarhet er sentrale begreper for kvadratiske matriser. Mye er kjent fra tidligere, skal repetere dette og gå videre. Sammenhengen
Detaljer11. september Institutt for geofag Universitetet i Oslo. GEO En Introduksjon til MatLab. Kapittel 5 (del 2) Ada Gjermundsen
, Institutt for geofag Universitetet i Oslo 11. september 2012 Litt repetisjon: Array, En array er en variabel som inneholder flere objekter (verdier) En endimensjonal array er en vektor En array med to
DetaljerMatriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler:
Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Tallene i en matrise kalles elementer. En matrise har rader (vannrett, horisontalt)
DetaljerTall, vektorer og matriser
Tall, vektorer og matriser Kompendium: MATLAB intro Tallformat Komplekse tall Matriser, vektorer og skalarer BoP(oS) modul 1 del 2-1 Oversikt Tallformat Matriser og vektorer Begreper Bruksområder Typer
DetaljerMatriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler:
Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Tallene i en matrise kalles matriseelementer eller bare elementer. En matrise har
DetaljerMatriseoperasjoner. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September 22, 2009
Matriseoperasjoner E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 22, 2009 Addisjon av matriser Hvis A = [a ij ] og B = [b ij ] er matriser med samme størrelse, så er summen A + B matrisen
DetaljerHomogene lineære ligningssystem, Matriseoperasjoner
Homogene lineære ligningssystem, Matriseoperasjoner E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 22, 2010 Antall løsninger til et lineær ligningssystem Teorem Et lineært ligningssytem har
DetaljerMatematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 2 Løsningsforslag
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 2 Løsningsforslag Oppgave 1 Vektorer a) Variablene i MATLAB kan være tall, vektorer eller matriser. Vi kan for eksempel gi vektoren x = [1, 0, 3] på denne
DetaljerMatriser og Kvadratiske Former
Eivind Eriksen Matriser og Kvadratiske Former 15 mars 2012 Handelshøyskolen BI Innhold 1 Matriser og vektorer 1 11 Matriser 1 12 Matriseaddisjon 2 13 Matrisesubtraksjon 3 14 Skalarmultiplikasjon 3 15
DetaljerMatematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 2 Løsningsforslag
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon Løsningsforslag Oppgave 1 Vektorer a) Variablene i MATLAB kan være tall, vektorer eller matriser. Vi kan for eksempel gi vektoren x = [1, 0, 3] på denne
DetaljerForelesning 28: Kompleksitetsteori
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 28: Kompleksitetsteori Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 28: Kompleksitetsteori 12. mai 2009 (Sist oppdatert: 2009-05-13
DetaljerEn innføring i MATLAB for STK1100
En innføring i MATLAB for STK1100 Matematisk institutt Universitetet i Oslo Februar 2017 1 Innledning Formålet med dette notatet er å gi en introduksjon til bruk av MATLAB. Notatet er først og fremst beregnet
DetaljerTDT4105 Informasjonsteknologi, grunnkurs. Introduksjon til programmering i Matlab. Rune Sætre / Anders Christensen {satre, anders}@idi.ntnu.
1 TDT4105 Informasjonsteknologi, grunnkurs Introduksjon til programmering i Matlab Rune Sætre / Anders Christensen {satre, anders}@idi.ntnu.no 2 Frist for øving 1: Fredag 11. Sept. Noen oppstartsproblemer
DetaljerBYFE/EMFE 1000, 2012/2013. Numerikkoppgaver uke 33
BYFE/EMFE 1000, 2012/2013 Numerikkoppgaver uke 33 Oppgave 2 Litt aritmetikk a) Her har vi skrevet ut det som kommer opp i Octave-vinduet når vi utfører operasjonene. octave-3.2.4.exe:9> 2+2 4 octave-3.2.4.exe:10>
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk. Kompleksitetsteori. Forelesning 29: Kompleksitetsteori. Dag Normann KAPITTEL 13: Kompleksitetsteori. 7.
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 29: Dag Normann KAPITTEL 13: Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 7. mai 2008 MAT1030 Diskret matematikk 7. mai 2008 2 Meldinger: Det blir hovedsaklig tavleregning
DetaljerMatematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 1. Løsningsforslag
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 1 Løsningsforslag Oppgave 2 Litt aritmetikk a) Her har vi skrevet ut det som kommer opp i kommandovinduet når vi utfører operasjonene. >> 2+2 4 >> 3-2
DetaljerGauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts.
Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno En matrise vil normalt være radekvivalent med flere echelonmatriser; med andre
DetaljerForelesningsnotat i Diskret matematikk 27. september 2018
Kvadratiske matriser Hvis en matrise A er kvadratisk kan den multipliseres med seg selv. Vi skriver vanligvis A 2 istedenfor AA, A 3 istedenfor AAA, osv. Spesielt er A 1 = A. Enhetsmatriser, også kalt
DetaljerMAT 1110 V-06: Løsningsforslag til Oblig 1
MAT V-6: Løsningsforslag til Oblig Oppgave : a) Antall sykler i stativet X rett før påfyllingen i måned n + er lik 4% av antall sykler i X måneden før, pluss % av antall sykler i Y måneden før, pluss %
DetaljerMatematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 1. Løsningsforslag
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 1 Løsningsforslag Oppgave 2 Litt aritmetikk a) Her har vi skrevet ut det som kommer opp i kommandovinduet når vi utfører operasjonene. > 2+2 4 > 3-2 1
DetaljerTDT4105 Informasjonsteknologi, grunnkurs (ITGK)
1 TDT4105 Informasjonsteknologi, grunnkurs (ITGK) Introduksjon til programmering i Matlab Rune Sætre satre@idi.ntnu.no 3 Læringsmål og pensum Mål Lære om programmering og hva et program er Lære om hvordan
DetaljerMATLAB-skript. Kapittel 4. 4.1 Innledning. 4.2 Lage og kjøre skript
Kapittel 4 MATLAB-skript 4.1 Innledning Et MATLAB-skript (heretter bare kalt skript) er en tekstfil som inneholder MATLAB-uttrykk. Kjøring av skriptet er ekvivalent med å utføre kommandoene fra MATLABs
DetaljerTDT4105 Informasjonsteknologi, grunnkurs. Introduksjon til programmering i Matlab. Rune Sætre / Anders Christensen {satre,
1 TDT4105 Informasjonsteknologi, grunnkurs Introduksjon til programmering i Matlab Rune Sætre / Anders Christensen {satre, anders}@idi.ntnu.no 2 Frist for øving 1: Fredag 16. Sept. Noen oppstartsproblemer
DetaljerMAT1120 Plenumsregningen torsdag 26/8
MAT1120 Plenumsregningen torsdag 26/8 Øyvind Ryan (oyvindry@i.uio.no) August 2010 Innføring i Matlab for dere som ikke har brukt det før Vi skal lære følgende ting i Matlab: Elementære operasjoner Denere
DetaljerMer om likninger og ulikheter
Mer om likninger og ulikheter Studentene skal kunne utføre polynomdivisjon anvende nullpunktsetningen og polynomdivisjon til faktorisering av polynomer benytte polynomdivisjon til å løse likninger av høyere
DetaljerNyGIV Regning som grunnleggende ferdighet
NyGIV Regning som grunnleggende ferdighet Yrkesfaglærere Hefte med utdelt materiell Tone Elisabeth Bakken 3.april 2014 På denne og neste fire sider er det kopier fra Tangentens oppgavehefte: MATEMATISKE
DetaljerSensorveiledning Oppgave 1
Sensorveiledning Oppgave 1 Figuren er riktig, og kandidaten skisserer en måte å jobbe med dette på som kan fungere for en elev. Figuren eller forklaringen er riktig. Unøyaktigheter ved håndtegning godtas.
DetaljerMAT1030 Forelesning 30
MAT1030 Forelesning 30 Kompleksitetsteori Roger Antonsen - 19. mai 2009 (Sist oppdatert: 2009-05-19 15:04) Forelesning 30: Kompleksitetsteori Oppsummering I dag er siste forelesning med nytt stoff! I morgen
DetaljerUtkast til løsningsforslag til eksamen i emnet MAT 121 - Lineær algebra Utan ansvar for feil og mangler Mandag 31. mai 2010, kl. 09-14.
Utkast til løsningsforslag til eksamen i emnet MAT 2 - Lineær algebra Utan ansvar for feil og mangler Mandag 3. mai 2, kl. 9-4. Oppgave En bisverm flyr mellom to kuber, A og B, på dagtid, og hver bi blir
DetaljerØving 4 Egenverdier og egenvektorer
Øving Egenverdier og egenvektorer En egenvektor til en matrise A er løsning av likningen A.x = Λ x hvor Λ er en konstant. Det betyr at virkningan av å multiplisere en matirse med en vektor gir en ny vektor
DetaljerMAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 2
MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 2 Contents 1 OPPGAVE 2 2 OPPGAVE 2 Eksempler 4.1 Oppgave 1............................... 4.2 Oppgave 2............................... 5 4 Formatering av svarene
DetaljerTDT4105 Informasjonsteknologi, grunnkurs (ITGK)
1 TDT4105 Informasjonsteknologi, grunnkurs (ITGK) Introduksjon til programmering i Matlab Rune Sætre satre@idi.ntnu.no 2 Læringsmål og pensum Mål Lære om programmering og hva et program er Lære å designe
DetaljerLineær uavhengighet og basis
Lineær uavhengighet og basis NTNU, Institutt for matematiske fag 19. oktober, 2010 Lineær kombinasjon En vektor w sies å være en lineær kombinasjon av vektorer v 1, v 2,..., v k hvis det finnes tall c
DetaljerForelesning 9 mandag den 15. september
Forelesning 9 mandag den 15. september 2.6 Største felles divisor Definisjon 2.6.1. La l og n være heltall. Et naturlig tall d er den største felles divisoren til l og n dersom følgende er sanne. (1) Vi
Detaljer4 Matriser TMA4110 høsten 2018
Matriser TMA høsten 8 Nå har vi fått erfaring med å bruke matriser i et par forskjellige sammenhenger Vi har lært å løse et lineært likningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet og gausseliminere
DetaljerLøsningsforslag til seminar 4 Undervisningsfri uke
Løsningsforslag til seminar 4 Undervisningsfri uke Iman Ghayoornia February 22, 2016 Oppgave 2.1 Se Excel-filen som er tilgjengelig på emnesiden. Hvis du lurer på hvordan jeg fikk verdiene i cellene så
DetaljerLineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.
Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Første utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. Selv om løsningen av lineære likingsystem i prinsippet er elementært blir det fort
DetaljerHypotesetesting. Notat til STK1110. Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo. September 2007
Hypotesetesting Notat til STK1110 Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo September 2007 Teorien for hypotesetesting er beskrevet i kapittel 9 læreboka til Rice. I STK1110 tar vi bare for
DetaljerLineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning
Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable
DetaljerI dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer.
Kapittel 2 Matriser I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer. 2.1 Definisjoner og regneoperasjoner
DetaljerIntroduksjon til Matlab. Håvard Berland
Introduksjon til Matlab Håvard Berland INSTITUTT FOR MATEMATISKE FAG NTNU 2003 INNHOLD iii Innhold 1 Introduksjon 1 2 Oppstart av MATLAB 1 3 Skalarer, vektorer og matriser 1 4 Grunnleggende operasjoner
DetaljerMAT1120 Repetisjon Kap. 1, 2 og 3
MAT1120 Repetisjon Kap. 1, 2 og 3 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Fra kap. 1 repeterer vi: Matriser Vektorer og lineære kombinasjoner Lineæravbildninger
DetaljerHefte med problemløsingsoppgaver. Ukas nøtt 2008/2009. Tallev Omtveit Nordre Modum ungdomsskole
Hefte med problemløsingsoppgaver Ukas nøtt 2008/2009 Tallev Omtveit Nordre Modum ungdomsskole 1 Ukas nøtt uke 35 Sett hvert av tallene fra 1-9 i trekanten under, slik at summen langs hver av de tre linjene
DetaljerLøsningsforslag B = 1 3 A + B, AB, BA, AB BA, B 2, B 3 C + D, CD, DC, AC, CB. det(a), det(b)
Innlevering BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Fredag 05. februar 2016 kl 14:00 Antall oppgaver: 5 Løsningsforslag 1 Vi denerer noen matriser A [ 1 5 2 0 B [ 1
DetaljerØving 5 Diagonalisering
Øving 5 Diagonalisering En matrise A er diagonaliserbar dersom den er similær med en diagonalmatrise, dvs. det eksisterer en invertibel matrise P og diagonal matrise D slik at P.D.P -1. I øving 4 lærte
DetaljerEmnekode: LV121A Dato: 03.03.2005. Alle skrevne og trykte hjelpemidler
II ~ høgskolen i oslo Emne: Programmering i C++ Gruppe(r): EksamensoppgavenAntall sider (inkl. består av: forsiden):5 Emnekode: LV121A Dato: 03.03.2005 Antall oppgaver:3 Faglig veileder: Simen Hagen Eksamenstid:
DetaljerTMA4140 Diskret matematikk Høst 2011 Løsningsforslag Øving 7
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av?? TMA4140 Diskret matematikk Høst 011 Løsningsforslag Øving 7 7-1-10 a) Beløpet etter n 1 år ganges med 1.09 for å
DetaljerInnledning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne
8 1 Innledning Mål for opplæringen er at eleven skal kunne løse likninger, ulikheter og likningssystemer av første og andre grad og enkle likninger med eksponential- og logaritme funksjoner, både ved regning
DetaljerMatriser. Kapittel 4. Definisjoner og notasjon
Kapittel Matriser Vi har lært å løse et lineært ligningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet gausseliminere den ved hjelp av radoperasjoner på matrisen Vi skal nå se nærmere på egenskaper
DetaljerMAT1030 Forelesning 28
MAT1030 Forelesning 28 Kompleksitetsteori Dag Normann - 5. mai 2010 (Sist oppdatert: 2010-05-05 12:44) Forelesning 28: Kompleksitetsteori Introduksjon Da er vi klare (?) for siste kapittel, om kompleksitetsteori!
DetaljerKapittel 1. Potensregning
Kapittel. Potensregning I potensregning skriver vi tall som potenser og forenkler uttrykk som inneholder potenser. Dette kapitlet handler blant annet om: Betydningen av potenser som har negativ eksponent
DetaljerKap. 5 Egenverdier og egenvektorer
Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Egenverdier, egenvektorer og diagonaliserbarhet er sentrale begreper for kvadratiske matriser. Mye er kjent fra tidligere, skal repetere dette og gå videre. Sammenhengen
DetaljerFortsettelses kurs i Word
Fortsettelses kurs i Word Lynkurs fra Kristiansand folkebibliotek Innholdsfortegnelse Formål med dagens kurs... 2 Sette inn forsider... 2 Sette inn tabeller... 2 Topptekst Bunntekst Sidetall... 2 Sett
Detaljer1 Gauss-Jordan metode
Merknad I dette Kompendiet er det gitt referanser både til læreboka og til selve Kompendiet Hvordan å gjenkjenne dem? Referansene til boka er 3- tallede, som Eks 3 Vi kan også referere til 22, kap 22 eller
DetaljerMAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen
MAT-1004 Vårsemester 017 Prøveeksamen Contents 0.1 Forord................................. 1 1 OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 6 4 OPPGAVE 7 5 OPPGAVE 10 6 OPPGAVE 11 7 OPPGAVE 11 8 OPPGAVE 1 9 Formatering av
DetaljerMatematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Matriser. Løsningsforslag
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Matriser Løsningsforslag Oppgave 1 Redusert trappeform og løsning av lineære likningssystemer a) Totalmatrisa blir Vi tilordner dette i MATLAB: 5 1 1
DetaljerMatematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 7 Numerisk derivasjon
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 7 Numerisk derivasjon Vi skal se at der er ere måte å regne ut deriverte på i tillegg til de derivasjonsreglene vi kjenner fra før Men ikke alle måtene
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
DetaljerRepetisjon: høydepunkter fra første del av MA1301-tallteori.
Repetisjon: høydepunkter fra første del av MA1301-tallteori. Matematisk induksjon Binomialteoremet Divisjonsalgoritmen Euklids algoritme Lineære diofantiske ligninger Aritmetikkens fundamentalteorem Euklid:
Detaljer10 Radrommet, kolonnerommet og nullrommet
Radrommet kolonnerommet og nullrommet La A være en m n matrise Vi kan beskrive matrisen ved hjelp av dens rader r A r r i R n r m eller dens kolonner A [ c c c n ci R m Definisjon (se Def 7 i boka) For
DetaljerHydrostatikk/Stabilitet enkle fall
Avdeling for Ingeniørutdanning Institutt for Maskin- og Marinfag Øving 1 Hydrostatikk/Stabilitet enkle fall Oppgave 1 Et kasseformet legeme med følgende hoveddimensjoner: L = 24 m B = 5 m D = 5 m flyter
DetaljerElementær Matriseteori
Elementær Matriseteori Magnus B. Botnan NTNU 3. august, 2015 Kursinfo - Foreleser: Magnus B. Botnan http://www.math.ntnu.no/~botnan/ - Hjemmeside: https: //wiki.math.ntnu.no/tma4110/2015h/forkurs/start
DetaljerKodestil i C++ Introduksjon. Navnekonvensjoner. Globale variabler. Simen Hagen 26.9.2003
Kodestil i C++ Simen Hagen 26.9.2003 Introduksjon I store programmeringsprosjekter er det viktig at koden har et konsistent utseende og at alle bruker en felles stil på koden. Alle som skriver kode har
DetaljerMATLABs brukergrensesnitt
Kapittel 3 MATLABs brukergrensesnitt 3.1 Brukergrensesnittets vinduer Ved oppstart av MATLAB åpnes MATLAB-vinduet, se figur 1.1. MATLAB-vinduet inneholder forskjellige (under-)vinduer. De ulike vinduene
DetaljerTid: uke 34-41, periode 1.
Tid: uke 34-41, periode 1. Tema mål Kjennetegn på Tall Forstå plassverdisystemet for hele tall desimaltall, være Kjenner til enerplass, tierplass Eleven er noe usikker på Kunne forstå plassverdisystemet
DetaljerÅrsplan i matematikk 5.klasse 2015/16
Årsplan i matematikk 5.klasse 2015/16 Emne/Innhold Uke Presisering Læremidler Kompetansemål Hele tall 34- Tall og algebra Multi s. 4-10 Multi 5a Kap 1 39 Bestemme tallverdien til sifrene i tall med opp
DetaljerMAT Onsdag 7. april Lineær uavhengighet (forts. 1.8 Underrom av R n, nullrom, basis MAT Våren UiO. 7.
MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom MAT 2 Våren 2 UiO 7. april 2 / 23 MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom Minner om:.7 Lineær (fortsettelse) Definisjon. To vektorer u og v i R n kalles lineært avhengige dersom
DetaljerMAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen
MAT-4 Vårsemester 7 Prøveeksamen Contents. Forord................................. OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 7 4 OPPGAVE 8 OPPGAVE 6 OPPGAVE 7 OPPGAVE 8 OPPGAVE 9 Formatering av svarene 4 9. Rasjonale tall.............................
DetaljerTMA Kræsjkurs i Matlab. Oppgavesett 1/3
TMA4123 - Kræsjkurs i Matlab. Oppgavesett 1/3 22.02.2013 Dette oppgavesettet omhandler grunnleggende Matlab-funksjonalitet, slik som variabler, matriser, matematiske funksjoner og plotting. Den aller viktigste
Detaljer(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer
5 Vektorrom Et vektorrom er en mengde V med tre algebraiske operasjoner (addisjon, negasjon og skalærmultiplikasjon) som tilfredsstiller de 10 betingelsene fra Def. 4.1.1. Jeg vil ikke gi en eksamensoppgave
DetaljerTall og tallregning. Kursdag Nord-Gudbrandsdalen sept. 2013 Svein Torkildsen Anne-Gunn Svorkmo
Tall og tallregning Kursdag Nord-Gudbrandsdalen sept. 2013 Svein Torkildsen Anne-Gunn Svorkmo Å telle -Hovedideer Elementary & middle school mathematics av John Van De Walle (2010) Å telle forteller hvor
DetaljerMatematisk julekalender for 5. - 7. trinn, 2008
Matematisk julekalender for 5. - 7. trinn, 2008 Årets julekalender for 5.-7. trinn består av 9 enkeltstående oppgaver som kan løses uavhengig av hverandre. Alle oppgavene gir et tall som svar, og dette
DetaljerMultiplikasjon. Lær og øv på multiplikasjonstabellene! treningsopplegg som. tar hensyn til den musikkloke eleven! Et alternativt treningsopplegg som
Multiplikasjon Lær og øv på multiplikasjonstabellene! Et alternativt treningsopplegg som tar hensyn til den musikkloke eleven! Et alternativt treningsopplegg som gjør eleven selvstendig! Jeg er! Jeg vil!
DetaljerØvingsforelesning TDT4105 Matlab
Øvingsforelesning TDT4105 Matlab Øving 2. Pensum: Funksjoner, matriser, sannhetsuttrykk, if-setninger. Benjamin A. Bjørnseth 8. september 2015 2 Innhold Funksjoner Matriser Matriseoperasjoner Sannhetsuttrykk
DetaljerPRIMTALL FRA A TIL Å
PRIMTALL FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til primtall P - 2 2 Grunnleggende om primtall P - 2 3 Hvordan finne et primtall P - 5 Innledning til primtall
DetaljerVeileder for bruk av LMG-kalender (for riktig legemiddelbruk i sykehjem)
Veileder for bruk av LMG-kalender (for riktig legemiddelbruk i sykehjem) Noen tips for gjennomføring av måling 01.01 Andel langtidspasienter som har hatt LMG siste halvår. Tabellen under viser et eksempel
Detaljer19. september Institutt for geofag Universitetet i Oslo. GEO En Introduksjon til MatLab. Kapittel 8 (del 2) Ada Gjermundsen
Institutt for geofag Universitetet i Oslo 19. september 2012 Repetisjon: Generell formel for Når vi jobber med matriser bruker vi ofte (men ikke alltid) dobbel for-løkke Dette er først og fremst fordi
DetaljerÅrsplan matematikk for 6. trinn Multi
Årsplan matematikk for 6. trinn Multi Ukenr Antall uker Kapittel Faktorer som faller på dager / timer med matematikk 34 39 6 1 Tall og regning 40 42 2 2 Sannsynlighet 43 48 6 3 Desimaltall 49 1 4 4 Geometri
DetaljerLineær algebra-oppsummering
Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:
DetaljerALGORITMER OG DATASTRUKTURER
Eksamen i ALGORITMER OG DATASTRUKTURER Høgskolen i Østfold Avdeling for Informatikk og Automatisering Onsdag 11.desember, 1996 Kl. 9.00-15.00 Tillatte hjelpemidler: Alle trykte og skrevne. Kalkulator.
DetaljerMAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 6
MAT-4 Vårsemester 7 Obligatorisk øving Contents OPPGAVE Hvordan å løse oppgaven? 4 Formatering av svarene 9. Rasjonale tall............................. 9. Matriser og vektorer.........................
DetaljerTiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver.
Kapittel 4 Anvendelser av lineære likningssystemer Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver 4 Populasjonsdynamikk
DetaljerLæringsmål og pensum. Hva er en variabel?
1 2 Læringsmål og pensum TDT4105 Informasjonsteknologi grunnkurs: Uke 36 Introduksjon til Matlab Arbeidsområdet, variabler, tilordning, uttrykk, tekst og koding, vektorer, matriser, skript og I/O Asbjørn
DetaljerARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK
ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK Temahefte nr Hvordan du regner med brøk Detaljerte forklaringer Av Matthias Lorentzen mattegrisenforlag.com Opplysning: Et helt tall er delelig på et annet helt tall hvis svaret
DetaljerRegneregler for determinanter
Regneregler for determinanter E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag 6. oktober, 2010 Triangulær matriser En kvadratisk matrise A = [a ij ] kalles øvre/nedretriangulær hvis a ij = 0 når i >
Detaljer7.4 Singulærverdi dekomposisjonen
7.4 Singulærverdi dekomposisjonen Singulærverdi dekomposisjon til en matrise A er en av de viktigste faktoriseringene av A (dvs. A skrives som et produkt av matriser). Den inneholder nyttig informasjon
Detaljer4.4 Koordinatsystemer
4.4 Koordinatsystemer Minner om at B = { b 1, b 2,..., b n } kalles en basis for et vektorrom V dersom B er lineært uavhengig og utspenner V. I samme vektorrom kan vi innføre ulike koordinatsystemer ;
DetaljerTMA4110 Matematikk 3 Eksamen høsten 2018 Løsning Side 1 av 9. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer:
TMA4 Matematikk 3 Eksamen høsten 8 Løsning Side av 9 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 8 5 4 8 3 36 8 4 8 8 8 Den siste matrisen her er på redusert trappeform, og
DetaljerKryptogra og elliptiske kurver
Kryptogra og elliptiske kurver Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo Gjesteforelesning, 7. november 2007 Eivind Eriksen (Høgskolen i Oslo) Kryptogra og elliptiske kurver 1 / 23 Plan: 1 Generelt om kryptogra
DetaljerPython i MEK1100. Feltteori og vektoranalyse
Python i MEK1100 En oversettelse fra Matlab til Python av deler av kompendiet Feltteori og vektoranalyse av Bjørn Gjevik og Morten Wang Fagerland 2014 oversettelse ved Karsten Trulsen med bistand fra Susanne
DetaljerØvingsforelesning i Matlab (TDT4105)
Øvingsforelesning i Matlab (TDT4105) Øving 1. Frist: 11.09. Tema: matematiske uttrykk, variabler, vektorer, funksjoner. Benjamin A. Bjørnseth 2. september 2016 2 Oversikt Praktisk informasjon Om øvingsforelesninger
DetaljerLineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.
Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Andre utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. I prinsippet er det enkelt, men det blir fort veldig mange regneoperasjoner som
Detaljer