Working Paper ANO 2002/3. Estimering av indikatorer for volatilitet. Kjetil Johan Rakkestad. Avdeling for verdipapirer og internasjonal finans

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Working Paper ANO 2002/3. Estimering av indikatorer for volatilitet. Kjetil Johan Rakkestad. Avdeling for verdipapirer og internasjonal finans"

Transkript

1 ANO 00/3 Oslo februar 00 Workng Paper Avdelng for verdpaprer og nernasjonal fnans Esmerng av ndkaorer for volale av Kjel Johan Rakkesad

2 Workng papers fra Norges Bank kan beslles over e-pos: eller ved henvendelse l: Norges Bank Abonnemensservce Posboks 79 enrum 007 Oslo elefon elefaks Fra 999 og senere er publkasjonene lgjengelge som pdf-fler på wwwnorges-bankno under "Publser" Workng papers nneholder forsknngsarbeder og urednnger som vanlgvs kke har få sn endelge form Hensken er blan anne a forfaeren kan moa kommenarer fra kolleger og andre neressere ynspunker og konklusjoner arbedene sår for forfaernes regnng Workng papers from Norges Bank can be ordered by e-mal: posen@norges-bankno or from Norges Bank ubscrpon servce POBox 79 enrum N-007 Oslo Norway el Fax Workng papers from 999 onwards are avalable as pdf-fles on he bank s web se: wwwnorges-bankno under "Publshed" Norges Bank s workng papers presen research projecs and repors no usually n her fnal form and are nended ner ala o enable he auhor o benef from he commens of colleagues and oher neresed pares Vews and conclusons expressed n workng papers are he responsbly of he auhors alone IN IBN

3 EIMERING AV INDIKAORER FOR VOLAILIE Kel Johan Rakkesad Avdelng for Verdpaprer og nernasjonal fnans Norges Bank Februar 00 ammendrag Noae omhandler ulke meoder for esmerng av volalesndkaorer for fnanselle akva De gs en presenasjon av de enklese sasske volalesndkaorene baser på avkasnngsserer for fnanselle prser sam meoder for vekng av daa og skalerng av ndkaorer Mer avansere meoder og modeller som ARCH og GARCH omales men udypes kke Vdere gjennomgås mplse volalesndkaorer baser på opsjonsprser I llegg l Black-choles mpls volale gs en presenasjon av ulke meoder for esmerng av rskonøyrale sannsynlghesfordelnger kkord: Volale mpls volale opsjonsprser mplse sannsynlghesfordelnger JEL klassfserng: C0 G3 akk l Knu Eeg Arld Lund Gabrela Mundaca Johannes A kjelorp Bjørne yversen Ben Vale og ndre Weme for verdfulle nnspll og kommenarer

4 INNLEDNING 3 AIIKE VOLAILIEINDIKAORER 3 Hsorsk varans og sandardavvk 4 Vekng av observasjonene 5 3 kalerng 9 4 GARCH -modeller 4 ARCH 4 GARCHpq 3 IMPLIIE VOLAILIEINDIKAORER 4 Om dervaer nnledende eor 4 ermnkonraker: Forward og fuureskonraker 4 3 Opsjoner 5 4 Arbrasjeprsng 5 4 Prsng av forward og fuureskonraker 6 4 Prsng av opsjoner 7 5 Black-choles modellen 7 5 Varaner av Black-choles formel 6 Black-choles mpls volale 3 6 Impls volale som ndkaor 5 3 IMPLIIE ANNYNLIGHEFORDELINGER 5 3 Volalessmle og Black-choles 7 3 Esmerngseknkker 7 33 En dskre meode: Rskonøyrale hsogrammer 8 34 Dreke nerpolerng av callprsfunksjonen 9 35 Inerpolerng av volalessmlkurven hmko 993 mfl 9 36 Esmerng av opsjonens underlggende prosess 9 37 Paramersk lnærmng av den mplse ehesfunksjonen 30 4 OPPUMMERING 3 5 LIERAUR 3

5 INNLEDNING Indkaorer for volale fnanselle markeder er av neresse for Norges Bank gjennom senralbankens arbed med både moneær og fnansell sable I dag produseres de slke ndkaorer baser på ulke fnanselle akva flere avdelnger banken De produseres både sasske og mplse volalesndkaorer for valuakurser rener oljeprs og egenkapalnsrumener De mplse volalesndkaorene er mosenng l de sasske ndkaorene baser på dervaprser og kke på prsdaa fra prmærmarkedene Indkaorer for mpls volale gjenspeler markedsakørenes syn på fremdg uskkerhe og er således mer fremadskuende enn de sasske ndkaorene I den senere d er de også a bruk meoder for å esmere mplse sannsynlghesfordelnger baser på opsjonsprser Dsse kan anvendes l å esmere markedes oppfanng av renngen på de mplse volalesndkaorene Formåle med dee noae er å g en samle fremsllng av de mes anvende volalesndkaorene og hovedrekkene de meodske grunnlage for dsse Innholde er sor grad baser på Alexander 998 Bahra 997 og Rocknger 00 Noae er organser slk a v kapel omhandler eor og anvendelser av sasske volalesndkaorer Kapel omhandler mplse volalesndkaorer Kaple gr også en kor gjennomgang av eoren for dervaer og dervaprsng Kapel 3 beskrver ulke meoder for å esmere mplse sannsynlghesfordelnger baser på opsjonsprser I kapel 4 gs en kor oppsummerng AIIKE VOLAILIEINDIKAORER Volale kan defneres på ulke måer Vanlgvs omaler man volale som en parameer for sørrelsen på flukuasjonene en sere av fnanselle daa For å kunne operere med en press defnsjon av begrepe er man derfor nød l å besemme hvlken meode man ønsker å benye for å måle dsse flukuasjonene Valge av meode vl blan anne være avgjørende for hvlken sørrelsesorden og måleenhe volalesparameeren har Hvlken meode de er mes hensksmessg å benye er avhengg av hvlken sammenheng man skal anvende parameeren De vkge er a man omale og bruk av en parameer er klar på hvlken varan av begrepe man refererer l og benyer De er også mulg å g en kke-paramersk defnsjon av begrepe En vanlg kke-paramersk defnsjon av volale er a den sokasske varabelen x er mer volal enn den sokasske varabelen y dersom P x c P y c for alle verder av en konsan c der Pz angr sannsynlgheen for e ufall z Denne defnsjonen er le anvendelg prakss og de er derfor vanlgs å operere med en paramersk defnsjon De kan vses a defnsjonen ovenfor er ekvvalen med a x y de vl s a varabelen x har sørre varans enn varabelen y hvs x og y har symmerske sannsynlghesfordelnger Den vanlgse måen å defnere volale er ved varansen eller sandardavvke l de varablene man beraker I dee noae vl varablene represenere dsserer av fnanselle daa slk a parameeren angr sørrelsen på flukuasjonene dsserene 3

6 Hsorsk varans og sandardavvk Ana a v beraker en sere r av fnanselle daa eren kan for eksempel represenere de daglge avkasnngsallene for en aksje V er neresser e urykk for volaleen ved dspunke for de foregående n dagene En enkel meode for å fnne en parameer for volaleen aksjeavkasnngen denne peroden er å beregne den hsorske varansen eller de hsorske sandardavvke for seren denne peroden Hvs den gjennomsnlge avkasnngen peroden er r fnner v varansen over de sse n dagene g ved r r n n andardavvke for avkasnngsallene for de sse n dagene blr dermed Av formelen ovenfor ser v a måleenheen for varansen er lk kvadrae av måleenheen l avkasnngsallene andardavvke får dermed samme måleenhe som avkasnngen Hvs avkasnngen for eksempel måles prosen oppgs derfor også prosen Beregnng av såkal n-perodsk hsorsk volale eller ved hver dspunk dsseren gr opphav l en dssere av volalesesmaer Volalesesmaer beregne som slke gldende sandardavvk har radsjonel vær benye som prognose eller e forecas på volaleen en fremdg perode Vanlgvs benyer man de sse n observasjonene som grunnlag for e esma over den eerfølgende peroden av lengde n Dee nnebærer a man benyer lange hsorske serer for å predkere volaleen på lang sk Bakgrunnen for dee er a langskge volalesprognoser skal være upåvrke av korvarge opphopnnger av volale Dee er dermo noe man ønsker å a hensyn l ved korskge volalesprognoser Ved korskge prognoser har derfor den enkle esmerngsmeoden klare svakheer den alle n observasjonene den hsorske peroden som danner grunnlage for prognosen har samme vek vl eksreme verder påvrke prognosen lke mye uavhengg av om de lgger kor eller lang lbake d For eksempel vl en enkel dag med eksrem høy avkasnng for en aksje øke de nese n volalesprognosene for aksjen selv om markede er rolg både før og eer denne dagen Ved bruk av denne meoden vl derfor de korskge prognosene gjennomgående være kunsg høye rolge peroder og for lave peroder re eer en perode med høy volale E anne vesenlg aspek ved esmerng på bakgrunn av lk vekede hsorske observasjoner er a man esmerer en konsan parameer dsseren som berakes varerer over d men parameeren som esmeres er den konsane ubengede varansen l observasjonene dsseren Kvaleen og pressjonen på esmae vl avhenge av lengden på den hsorske dsseren man benyer men man esmerer uanse den samme underlggende parameeren Innenfor denne modellen har man alså kun en mulghe for å påvrke resulae å varere analle observasjoner som benyes ved esmerngen E le anall observasjoner vl g sore varasjoner esmaene ved ulke dspunker og omvend Varasjonen volalesesmaene kan dermed uelukkende berakes som e resula av uvalgsfel Ved bruk av denne meoden vl resulae være upåvrke av en evenuell omsokkng rekkefølgen av observasjonene som benyes og ar dermed kke hensyn l dynamske egenskaper ved dsseren 4

7 Eksempel Hsorsk volale for oalndeksen ved Oslo Børs Fgur vser n-dagers hsorsk volale for daglge avkasnngsall for oalndeksen ved Oslo Børs peroden 8 februar 999 l 8 ma 000 ved ulke verder av den gldende hsorske esmerngsperoden n Av fguren ser v a esmaene som er baser på lange 50 % Fgur Hsorsk volale Oslo Børs oalndeks feb ma 000 dagsall 00 % 50 % 0 dagers perode 0 dagers perode 30 dagers perode 50 dagers perode 00 % 050 % 000 % hsorske dsperoder gr en glaere kurve Dee er naurlg sden v nkluderer e sørre anall observasjoner ved hver beregnng Dermed vl esmaene være mndre påvrke av sore flukuasjoner nnenfor den dsperoden hver esma er baser på Følgelg vl de ulke kurvenes opp- og bunnpunker være forskjøve forhold l hverandre Ved å esmere på bakgrunn av en kor dsperode ser v a volalesesmaene reagerer raskere på flukuasjoner den underlggende dsseren Vekng av observasjonene Meoden som er beskreve ovenfor lordner hver observasjon uvalge samme vek uanse hvor uvalge observasjonen er plasser En slk meode nnebærer for eksempel a e avkasnngsall for en aksje vl påvrke den esmere volalesparameeren lke mye uavhengg om de er n dager gammel eller om de er avkasnngsalle for foregående dag For å fange opp dynamkken dsseren bedre kan man lordne observasjonene ulke veker En vanlg meode er å benye såkal eksponenell vekng Eksponenell vekng gjøres ved a observasjonene gs veker som avar eksponenel med avsanden d fra esmerngsdspunke Hvs v for eksempel skal esmere volaleen på bakgrunn av en dssere med lengde n og lordner den nyese observasjonen en vek 0 gs de 3 4 n foregående observasjonene eksponenel avakende veker Den førse observasjonen uvalge får dermed mns vek Hvs v beraker en dssere x kan en slk esmaor urykkes ved 5

8 x n n x x 3 x n n n 0 x der 0 Ved å benye eksponenel vekede gldende gjennomsn EWMA gs alså de sse observasjonene dsseren en høyere vek enn de førse I eksempele med avkasnngsall for en aksje beyr dee a sore endrnger aksjens avkasnng nær ford har sor påvrknng på den esmere volaleen Eersom den går vl dsse endrngene ha mndre og mndre påvrknng på esmae Hvor rask påvrknngen fra de nyese observasjonene avar er avhengg av sørrelsen på vekngsparameeren Jo lavere verd vekngsparameeren har jo raskere avar påvrknngen e fgur Omvend vl esmerng med en høy -verd nnebære a observasjoner som lgger lang lbake d får sor nnvrknng på esmae EWMA meoden for esmerng av volale benyes blan anne Value a Rsk programpakken RskMercs fra JP Morgan og her anvendes en - verd på Fgur Eksponenel vekede observasjoner Dagsall 450 % 400 % 350 % 300 % 0 dg Uveke 0 dg vek dg vek 07 0 dg vek % 00 % 50 % 00 % 050 % 000 % Eksempel ammenlgnng av vekede og uvekede volalesparamere Fgur 3 vser EWMA med en -verd på 094 sammenlgne med en dssere av uvekede volalesparamere Esmerngsperoden er 0 dager I fgur 4 er esmerngsperoden uvde l 0 dager mens fgur 5 vser EWMA og uvekede daa baser på en esmerngsperode på 50 dager V ser a forskjellene mellom EWMA og uvekede daa er relav små når esmerngsperoden er kor I lfelle med 0 dagers vndu er de knap synlge forskjeller mens parameerne avvker noe mer fra hverandre når man benyer 0 dagers hsorsk vndu Forskjellene gjør seg gjeldende ved a EWMA parameerne reagerer Exponenally Weghed Movng Average 3 = 094 benyes for VaR beregnnger med dshorson 0 dager For VaR esmaer med én måneds dshorson benyer Rskmercs = 097 6

9 noe raskere på endrnger avkasnngsallene Paramerene som er baser på uvekede daa holder seg høye en lengre perode eer a de har vær sore flukuasjoner dsseren for avkasnngsallene Dee blr veldg ydelg når v øker den hsorske esmerngsperoden l 50 dager Her og lfelle med 0 dagers peroder ser v også a EWMA meoden gr høyere 300 % Fgur 3 EWMA og uvekede daa 0 dagers esmerngsperode 50 % EWMA 094 Uveke 00 % 50 % 00 % 050 % 000 % parameerverder enn meoden som er baser på uvekede observasjoner peroder med høy volale A de uvekede parameerne varerer mndre skyldes neopp a alle observasjonene nnenfor esmerngsperoden eller lke mye Ved nngangen l en perode med sore flukuasjoner vl parameerne derfor holdes nede av de eldre og lavere avkasnngsallene Fgur 4 EWMA og uvekede daa 0 dagers esmerngsperode 50 % 00 % EWMA 094 Uveke 50 % 00 % 050 % 000 %

10 den hsorske peroden På samme måe ser v a parameerne som eerfølger en perode med høy volale fremsår som kunsg høye hel l avkasnngsallene med sore flukuasjoner er uenfor den hsorske esmerngsperoden I fgur 5 ser v for eksempel a de sore uslage avkasnng som fan sed sluen av augus 999 gr høye uvekede volalesparameere hel frem l mden av okober 999 alså en perode på om lag 50 dager EWMAparameerne reagerer dermo raskere og lgger ved nngangen l desember 999 beydelg lavere 00 % Fgur 5 EWMA og uvekede daa 50 dagers esmerngsperode 80 % 60 % 40 % EWMA094 Uveke 0 % 00 % 080 % 060 % 040 % 00 % 000 % V ser av urykke lknng a summen av vekene er en endelg sum av en geomersk rekke med n ledd ummen av vekene nngår nevneren på samme måe som n nngår lfelle med gldende gjennomsn og lk vekng av observasjonene Ved bruk av EWMA for lange dsserer benyer man ofe en lnærmng l formelen lknng den nevneren brøken l vensre urykke konvergerer mo /- når n kan man for sore verder av n sede for formelen l høyre benye formelen: 4 n 0 x V skal se senere a denne formelen har mange lkhesrekk med en såkal IGARCH modell uen konsanledd Hvs man for eksempel benyer denne meoden på en dssere av avkasnngsall for en aksje med gjennomsnlg avkasnng r 0 får v a x r formel : 4 Felen forhold l å benye den eksake formelen vl avhenge både av sørrelsen på og n perodelengden n Formel gr lavere parameerverder sden nevneren er mndre enn F eks vl man for n=50 og =094 observere a formel gr 47 prosen høyere parameerverder enn formel 8

11 n 0 r 3 V kan så omskrve lknngen l e rekursv urykk: r n 0 r r n 0 r n r r r n 0 r n r r De er formelen r som vanlgvs benyes l å beregne vekede hsorske volalesesmaer V ser a e esma som beregnes ved den påvrkes mer eller mndre grad av korskge bevegelser avkasnngsallene avhengg av sørrelsen på koeffsenen Denne koeffsenen kalles derfor ofe for reaksjonskoeffsenen Koeffsenen foran den laggede varansen er vekngsparameeren I denne sammenheng kan den berakes som en vedvarenheskoeffsen sden sørrelsen på denne påvrker hvor sor grad e esma er påvrke av de foregående esmaene I en EWMA modell er de o koeffsenene kke uavhengge - ver mo så vl summen av dem alld være lk én men v skal se a uavhengghe kan være lfelle en mer generell GARCH modell 3 kalerng om nevn ovenfor er de esmerngsmeodene som hl er omal baser på a man esmerer en konsan volalesparameer lk se kan man s a de hsorske meodene med og uen vekng kun er esmerngsmeoder og kke e prognoseverkøy Hvs man lkevel vl lage en prognose baser på en enkel hsorsk esmerngsmeode må man gjøre anagelsen om a dagens volalesesma er den bese prognosen på volaleen fremden Dee gjøres vanlgvs ved å la dagens esmere verd for éndags-volaleen være prognosen for éndagsvolaleen for hver av de eerfølgende dagene Under denne forusenngen kan man på bakgrunn av volaleen over en dshorson på én dag s noe om volaleen over lengre dshorsoner V kan alså skalere opp éndags-esmae l å være esma for en dshorson på for eksempel dager Hvordan denne skalerngen kan gjøres avhenger av hvlke anagelser man har gjor om den dsseren man beraker Hvs man for eksempel esmerer volaleen l en dssere av fnanselle daa som anas å være uavhengge og ha densk sannsynlghesfordelng vl varansen over en dshorson på -dager være ganger varansen over en dshorson på én dag andardavvke kan dermed skaleres opp lsvarende ved å mulplsere éndags-sandardavvke med Bruk av regelen om skalerng med kvadraroen av den vl være ekvvalen med anagelsene en Black-choles modell om a volaleen er konsan fremden I en Black-choles modell er volalesparameeren de annualsere sandardavvke l den underlggende dsseren modellen Ved en annualserng og en anagelse om 50 handledager per år - vl skalerngsfakoren være 50 hvs man skalerer éndags-volaleer og 50 / hvs man ar ugangspunk volaleen over en dshorson på dager A regelen om skalerng med kvadraroen av den mplserer konsan volale ser man ved å berake følgende urykk Ann -dagers volale 50 / 50 Ann -dags volale 9

12 Fgur 6 Avkasnng Oslo Børs oalndeks 500 % 000 % 500 % 000 % -500 % Dagsall Ukesall Månedsall -000 % V ser alså a en slk skalerng mplserer a de kke spller noen rolle hvlken dshorson man ar ugangspunk når man skal skalere volalesesmaene l annualsere verder eller med andre ord a volalessrukuren er konsan over d Dee er en klar begrensnng ved denne ypen modeller Emprsk har man observer a volaleen fnanselle serer har en endens l å hope seg opp nnenfor korere dsperoder De kan derfor argumeneres for å benye såkale bengede volalesparamere som varerer over d åkale GARCH modeller esmerer slke bengede paramere Eksempel 3 kalerng Fgur 6 vser avkasnngsall for oalndeksen på Oslo Børs baser på forskjellge dsnervaller Uke- og månedsallene er beregne løpende slk a man ved hver dspunk ser henholdsvs sse uke og sse måneds avkasnng V ser a flukuasjonene dsserene er sørre jo lengre dsperode v måler avkasnngen over Hvs v for eksempel skal esmere den årlge volaleen for oalndeksen er sørrelsen på skalerngsfakoren derfor avhengg av hvlken dshorson eller skala v benyer når v måler avkasnngen Undersøkelser av avkasnngsserer for ulke dshorsoner vser mdlerd a skalerng av volalesparamere med roen av den såkal normalskalerng kke sammenfaller med de 05 man observerer emprsk kjelorp m fl Å skalere med er ekvvalen med å benye en skalerngsfakor på 05 5 I undersøkelser av dsserer for aksjer og aksjendekser fnner man som ofes skalerngsfakorer som lgger høyere enn dee For de flese fnanselle dsserer lgger skalerngsfakoren mellom 055 og 065 Fgur 7 vser en sammenlgnng mellom emprske avkasnngsall for Oslo Børs oalndeks ved ulke 5 I forbndelse med R/-analyse kalles skalerngsfakoren for Hurs-eksponenen R/-analyse sår for Reskaler Varasjonsbreddeanalyse Rescaled Range Analyss og er en skalerngsanalyse som beregner hvordan sørrelsen på flukuasjonene en dssere endrer seg når dshorsonen øker e kjelorp 998 0

13 dshorsoner og skalerng fra dagsall med skalerngsfakorer på 05 og 06 6 V ser a kurven som svarer l en skalerngsfakor på 06 lgger beydelg nærmere de emprske volalesesmaene Fgur 7 45 % 40 % Emprsk 35 % 30 % kalerngsfakor =05 kalerngsfakor =06 Volale 5 % 0 % 5 % 0 % 5 % 0 % dshorson dager De er hovedsakelg o grunner l a man observerer høyere skalerngsfakorer enn 05 for fnanselle avkasnngsserer For de førse fremvser de underlggende fnanselle prsserene ofe sørre drf enn en vanlg random walk prosess og for de anne har de emprske sannsynlghesfordelngene for slke serer vs seg å ha ykkere haler enn normalfordelngen Begge dsse effekene bdrar l a en skalerng med roen av dshorsonen gr for lave volalesesmaer 4 GARCH -modeller GARCH er en forkorelse for Generalzed Auoregressve Condonal Heeroscedascy Heeroscedascy beyr neopp varerende varans slk a condonal heeroscedascy sår for benge varerende varans En dssere som har den egenskapen a den nnmellom peroder med lav volale vser korere peroder med sore flukuasjoner eller høy volale ser man a den fremvser benge heeroskedasse om nevn vser de flese fnanselle serer en slk oppførsel For eksempel vl man ofe se en opphopnng av volale en dssere av prser forbndelse med offenlggjørng av ny nformasjon l akørene markede Auoregressve beyr regresjon på seg selv og vser l måen benge heeroskedasse modelleres GARCH modeller E vesenlg momen for å forså GARCH modeller er forskjellen mellom ubenge og benge volale Ubenge volale er en konsan parameer som esmeres på bakgrunn av alle observasjonene dsseren Benge volale er en sokassk prosess som varerer over d avhengg av volaleen dsperoden foru for esmae 6 akk l Johannes kjelorp som uføre beregnngene e for øvrg kjelorp 996

14 For å llusrere forskjellen kan man enke seg a man skal generere o dsserer ved å rekke observasjoner fra beseme sannsynlghesfordelnger I lfelle med ubenge volale rekker man observasjoner fra den samme fordelngen ved hver dspunk Man rekker alså observasjoner fra en og samme sannsynlghesfordelng uavhengg av rekkefølgen reknngene Dermed vl observasjonene være uavhengge og densk fordel Innenfor e rammeverk med benge volale kan man dermo enke seg a man ved hver dspunk rekker observasjoner fra forskjellge sannsynlghesfordelnger Fordelngene man rekker observasjoner fra varerer over d avhengg av verden de foregående reknngene De beyr alså a man eer en perode med høy volale vl rekke observasjoner fra en sannsynlghesfordelng som har e sor sandardavvk og omvend Observasjonene er således kke uavhengge og heller kke nødvendgvs densk fordel Volalesesmaer som esmeres ved bruk av en slk modell vl derfor seg selv være sokasske prosesser sden de benges av verden l de foregående observasjonene dsseren De fnnes en rekke varasjoner av GARCH modeller og e grundg sudum av dsse vl falle uenfor formåle med dee noae De kan lkevel være nyg å g e par eksempler på noen enkle varaner Grunnleggende for de enklese GARCH modellene er a den forvenede bengede avkasnngen modelleres ved en lknng på formen r k der k er en konsan og er en sokassk varabel som angr den uforvenede avkasnngen Varabelen er dermed e urykk for de forvenede avvke avkasnng sden konsanledde k urykker den forvenede avkasnngen Lknngen for avkasnngen kan uvdes med ulke forklarngsvarabler for å gjøre modellen mer sofsker men man må forskre seg om a esmerngsprosedyren konvergerer I vanlge GARCH modeller anas å være benge normalfordel 7 med benge varans I llegg l lknngen som beskrver den gjennomsnlge bengede avkasnngen nneholder en GARCH modell en eller flere lknnger som beskrver den bengede varansen De ulke GARCH modellene avvker hovedsak fra hverandre ved a lknngene for den bengede varansen er spesfser på ulke måer eller ved forskjellge forusennger om fordelngen l varabelen Ved å a kvadraroen av de bengede varansparameerne som fremkommer av GARCH modellen og annualsere dsse på vanlg måe kommer man fram l e volalesesma som varerer med den l forskjell fra de hsorske meodene som er beskreve dlgere er de ulke esmaene ved hver dspunk kke en prognose for volaleen over alle fremdge dshorsoner Ved førs å esmere parameerne GARCH modellen kan v alså konsruere dynamske volalesesmaer med den egenskapen a de vender lbake l gjennomsne slk man observerer a ofe er lfelle med fnanselle dsserer 4 ARCH Den enklese formen for en GARCH modeller er en såkal ARCH Auoregressve Condonal Heeroscedascy modell Den kan urykkes ved a den bengede varansen modelleres ved lknngen 7 De er også vanlg å ana a varabelen følger en -fordelng

15 0 0 0 p 0 p p 4 Bengelsene på koeffsenene skrer a den bengede varansen er posv Modellen har e mnne på p-observasjoner og varansesmae varerer over d avhengg av kvadrae av de foregående verdene av de uforvenede avkasnngsallene Effeken av dee er a en sor bevegelse markede nnenfor modellens mnne de sse p observasjonene vl g e høyere volalesesma Med andre ord vl modellen beskrve e mønser der sore flukuasjoner en dssere eerfølges av sore flukuasjoner 4 GARCHpq En generalserng av ARCH modellen er å legge l q auoregressve ledd lknng 4 slk a man nkluderer en veke sum av de foregående volalesesmaene: p 0 p 0 p q 0 q q 5 I lknng 5 har modellen e mnne på p og q dsperoder med hensyn l henholdsvs avkasnngsall og varans De er vanlg å benye p= q= slk a modellen bare har e mnne på én dsperode: En slk varan beegnes GARCH Dersom man llegg seer 0 og ser v a GARCH modellen er lk den EWMA-modellen v berake lknng 3 avsn 8 Forskjellen er mdlerd a v her kan ha uavhengge koeffsener foran leddene modellen I en EWMA-modell husker v a summen av koeffsenene alld var lk én Koeffsenene GARCHpq modellene kan varere men man må vanlgvs oppg bengelser på dsse ufra hensyne l konvergens I eksempele med GARCH modellen kan man vse a koeffsenene må lfredsslle lknngen Ved bruk av GARCH modeller for fnanselle daa fnner man ofe verder av på omkrng 07 mens verdene av parameeren vanlgvs er lavere enn 05 ørrelsen på dsse parameerene nnvrker på hvordan modellen reagerer ved ulke uslag dsseren modellen anvendes på En høy -verd vl medføre a de ar lang d før e sor uslag den bengede volaleen dør u På samme måe vl en høy -verd medføre a modellen reagerer rask på sore bevegelser dsseren Parameeren besemmer de langskge gjennomsne volalesprognosene konvergerer mo 8 Egenlg er kke dee veldefner sden modellen kke konvergerer når V har her å gjøre med en kke-sasjonær GARCH modell som kalles en Inegraed GARCH modell IGARCH 3

16 IMPLIIE VOLAILIEINDIKAORER om nevn nnlednngen skller mplse volalesndkaorer seg fra sasske ndkaorer ved a førsnevne kke er baser på prsdaa fra prmærmarkedene Implse volalesndkaorer er ulede fra dervaprser og angr således prssllernes anslag for volaleen dervaes underlggende nsrumen lke ndkaorer kan være nyge sden de gjenspeler markedsakørenes syn på den fremdge uskkerheen e nsrumen I kapel 3 gjennomgår v hvordan man kan fnne den mplse volaleen l en opsjon og hvordan man kan olke denne parameeren Kapel 4 omhandler meoder og eor for å ulede mplse sannsynlghesfordelnger fra e se dervaprser Den mplse sannsynlghesfordelngen l e se opsjonsprser gr e urykk for markedes vurderng av renngen på den fremdge uskkerheen opsjonenes underlggende den mplse ndkaorer baserer seg på dervaprser fnner v de hensksmessg å førs g en kor presenasjon av eoren for prsng av dervaer Om dervaer nnledende eor E derva kan defneres som e fnansel nsrumen hvs verd avhenger av verden av e anne underlggende nsrumen Dervaer kan konsrueres på en rekke ulke måer og således generere ulke konansrømmer benge av verden av de underlggende nsrumene dervae er knye l Konsruksjon og prsng av dervaer er uførlg beskreve en rekke lærebøker 9 og de faller uenfor målsengen med dee noae å gå nn på dee emae hele sn bredde De er mdlerd nødvendg a leseren kjenner l oppbygnngen av de mes ubrede ypene dervaer og noen senrale begreper og meodske prnspper for prsng av dsse ermnkonraker: Forward og fuureskonraker De enklese ypene av dervakonraker er såkale ermnkonraker De er hovedsak o yper ermnkonraker: Forward- og fuureskonraker En forwardkonrak er en avale om e fremdg kjøp eller salg av e underlggende nsrumen l en forhåndsbesem prs Den forhåndsbeseme prsen kalles konrakens uøvelsesprs eller forwardprs dsperoden fra konraken nngås l den forfaller ugjør konrakens løped og besemmes ved konraksnngåelse E eksempel på bruk av en forwardkonrak kan være en bedrf som skal forea en bealng en uenlandsk valua fremden Bedrfen kan da velge å nngå en forwardkonrak om kjøp av valuaen l en aval vekslngskurs for å elmnere kursrskoen knye l bealngen Verden av en forwardkonrak vl avhenge av prsendrngene konrakens underlggende nsrumen Ved prsendrnger de underlggende nsrumene vl de derfor oppså en fordrng/gjeldspossjon mellom parene konraken Fram l konrakens forfall vl en av parene konraken således være usa for kredrsko En måe å redusere denne kredrskoen på er å forea daglge oppgjør av konraken Verden av konraken fassees da l dagens markedsverd og gjøres opp ved a de foreas bealnger mellom parene konraken En forwardkonrak som gjøres opp daglg på denne måen kalles en fuureskonrak eller bare en fuures I avsn 4 nedenfor vl v gå nærmere nn på hvordan man fasseer verden av slke konraker 9 e for eksempel Hull 997 Björk 998 eller Wlmo 998 4

17 3 Opsjoner En opsjon er en konrak som gr nnehaveren en re men kke en plk l å kjøpe eller selge e underlggende nsrumen l en forhåndsbesem prs på eller nnen e dspunk fremden 0 En opsjon skller seg således fra en ermnkonrak ved a en opsjon kke er en bndende avale for nnehaveren av konraken En opsjon som gr nnehaveren en re l å kjøpe e underlggende nsrumen kalles en kjøpsopsjon eller en call-opsjon lsvarende kalles en reghe l å selge e underlggende nsrumen en salgsopsjon eller en pu-opsjon For nnehaveren av en kjøpsopsjon vl konansrømmen ved forfallsdspunke kunne urykkes ved max K0 der K er den forhåndsbeseme uøvelsesprsen og er prsen på opsjonens underlggende nsrumen ved forfallsdspunke De lsvarende urykke for en salgsopsjon er max K 0 En kjøpsopsjon ses å være n he money hvs man på e dspunk har a K lsvarende ser man a opsjonen er ou of- eller a he money dersom henholdsvs K eller K De omvende vl være lfelle for en salgsopsjon Man skller mellom o hovedyper av kjøps- og salgsopsjoner åkale europeske opsjoner gr nnehaveren en re l å kjøpe eller selge underlggende på e besem fremdg dspunk En opsjon som llegg gr nnehaveren regheen l å uøve konraken på e valgfr dspunk nnen konraken forfaller kalles en amerkansk opsjon 4 Arbrasjeprsng Arbrasje er e nøkkelbegrep ved prsng av dervaer En arbrasjemulghe kan defneres som en mulghe for å realsere en sreng posv gevns som er både kosnads- og rskofr E enkel eksempel på en arbrasjemulghe kan være o valuabanker som lbyr ulke kurser markede: En bank lbyr salg av dollar l kurs 9 NOK/UD mens en annen lbyr salg av kroner l kurs 90 NOK/UD En akør markede kan da gå l den ene valuabanken med 9 NOK og kjøpe én UD for så å selge denne l den andre valuabanken for 90 NOK Vedkommende har dermed skre seg en kosnads- og rskofr gevns Å fnne en arbrasjemulghe e lkvd og ransparen marked vl mdlerd ofe være svær vanskelg Under forusenng av a akørene er rasjonelle vl e prsblde som avdekker en arbrasjemulghe e lkvd og ransparen marked rask endre seg slk a arbrasjemulgheen elmneres De er derfor rmelg å ana a de e lkvd marked kke fnnes arbrasjemulgheer Anagelsen om fravær av arbrasjemulgheer er selve kjernen den såkale Arbrasjeprsngseoren AP Med dee som ugangspunk kan man komme fram l prsmodeller for en rekke yper dervaer 0 lsvarende påar usederen av konraken seg en plk l å kjøpe eller selge de underlggende nsrumene l den forhåndsbeseme prsen 5

18 4 Prsng av forward og fuureskonraker E hovedrekk ved anvendelsen av arbrasjeprsngsmodeller er a man konsruerer poreføljer som med skkerhe genererer denske konansrømmer den konansrømmene er denske må prsen på poreføljene være lke Hvs dee kke var lfelle vlle man ha en arbrasjemulghe De er mdlerd nødvendg å gjøre vsse anagelser uover bengelsen om fravær av arbrasje I de enklese modellene for prsng av dervaer er de vanlg å gjøre følgende anagelser: Alle akører kan forea nn- og ulån l samme rene Renesasen er konsan La være prsen på de underlggende nsrumene for en forwardkonrak med uøvelsesprs/forwardprs F 0 ved den [ 0 ] og r >0 den konsane rskofre renen For nnehaveren av en forwardkonrak vl konansrømmen ved forfallsdspunke være F 0 V kan fnne verden på forwardkonraken ved å berake o ulke poreføljer En porefølje besående av forwardkonraken og en porefølje som besår av underlggende og lån av r F e 0 V har dermed følgende poreføljesraeger: Verd ved =0 Konansrøm ved = A Forwardkonrak 0 F0 B Kjøp av underlggende 0 r Lån av F e r F e F den begge sraeger gr samme konansrøm ved forfall = må de også ha samme verd r ved =0 Dermed har v a 0 F e r 0 = 0 F0 0e De samme resonnemene kan gjenas for alle dspunker [ 0 ] slk a v kan see opp følgende formel for forwardprsen F r e E dreke resula som fremkommer av lknngen ovenfor er a forwardprsen konvergerer mo prsen på konrakens underlggende ved forfall: r lm F lme En alernav måe å komme fram l dee urykke for forwardprsen er å berake konrakens underlggende dreke fremfor å berake konansrømmene Man kan enke seg 6

19 a man har o mulge handlngssraeger for å skaffe seg de underlggende nsrumene ved den = En mulghe er å kjøpe de underlggende nsrumene og se med dee l r forfall Kosnaden ved forfall av denne sraegen er 0 e Alernav kan man nngå en forwardkonrak med forwardprs F 0 den begge sraegene nnebærer a man moar de underlggende nsrumene med verd ved forfall må de kose de samme og følgelg r er F 0 0e og r F e 4 Prsng av opsjoner I mosenng l forward og fuureskonraker nnebærer e kjøp av en opsjonskonrak a man kjøper seg reghe uen a man er forplke l å benye seg av regheen ved forfall For denne regheen bealer kjøperen en prs den såkale opsjonspremen eller opsjonsprsen De fnnes hovedsak o måer å ulede sørrelsen på denne premen En lnærmngsmåe er å sare med å spesfsere en sassk modell for prsen på opsjonens underlggende og u fra denne modellen ulede de sasske egenskapene ved opsjonsprsen Både opsjonen og dens underlggende er dermed ana å følge en spesfkk sokassk prosess med ulke parameere Man konsruerer dereer en porefølje besående av opsjonen og dens underlggende slk a rskoen poreføljen er nøyralser Hvs prnsppe om fravær av arbrasjemulgheer skal være oppfyl må avkasnngen på denne poreføljen være lk den rskofre renen Ved å konsruere en slk porefølje ender man opp med en parell dfferensallknng PDE som opsjonsprsen må lfredsslle Løsnngen av denne lknngen gr oss prsen på opsjonen Alernav kan man ulede prsen på en opsjon ved bruk av mer avansere maemaske meoder Dee nnebærer a man omskrver den sokasske prosessen for opsjonens underlggende ved å endre sannsynlghesmåle slk a prosessen blr en såkal marngal En sokassk prosess kalles en marngal dersom den forvenede verden av prosessen framden er lk prosessens nåværende verd De underlggende sannsynlgheene for den omformede prosessen kalles marngalsannsynlgheer eller rskonøyrale sannsynlgheer Man beraker dereer den neddskonere verden av den fremdge konansrømmen som opsjonen gr ved forfall og beregner opsjonspremen som forvennngen av denne konansrømmen med hensyn l de rskonøyrale måle Begge de ovennevne framgangsmåene gr den berøme Black og choles 973 formelen dersom man spesfserer opsjonens underlggende l å følge en spesfkk sokassk prosess 3 5 Black-choles modellen Black og choles 973 formelen er uvlsom den mes anvende formelen for prsng av opsjoner og andre dervaer Rammeverke som formelen uledes kalles ofe for Black- choles modellen I modellen anas opsjonens underlggende å være en konnuerlg funksjon E sannsynlghesmål er en funksjon P : [0] som lordner e ufall en vss sannsynlghe Marngalegenskapen kan urykkes maemask ved E[ j j ] j 3 En såkal geomersk brownsk bevegelse med konsan volalesparameer 7

20 av den men de kan være hensksmessg å a ugangspunk en dskre modell for å få e nuv blde av modellen La være verden av e fnansel nsrumen ved den { 0 N} Hvs man anar a den konnuerlge beregnede avkasnngen r ln / er normalfordel kan man skrve r der ~ N0 Dee er ekvvalen med a r ~ N Alernav kan man skrve r ln ln som gr a e e Man ser da a følger en lognormal fordelng sden logarmen l er normalfordel Ved å berake avkasnngen r på o eerfølgende dspunker og + fnner man a r r ~ N dersom avkasnngen på o dspunker anas å være uavhengge Urykke ovenfor ndkerer a både forvennngsverden og varansen øker lneær med den Dee er ekvvalen med å s a sandardavvke øker med kvadraroen av den Hvs man nå seer P ln er de derfor naurlg å ana a man vl ha følgende sammenheng konnuerlg d Ledde dp d d d er lveksen l de man kaller en Brownsk bevegelse eller en Wener prosess: dw d En Wener prosess eller en Brownsk bevegelse kan så defneres som en aggreger samlng av slke lvekser: 4 W W0 dw s 0 En vkg egenskap ved en Brownsk bevegelse er a de er en marngal og a hvs prosessen ved e dspunk har verden x er sannsynlghesfordelngen for prosessen ved den g ved normalfordelngen N x Dee nnebærer a varansen er økende med kvadraroen av den akkura som den dskree modellen annsynlghesehesfunksjonen for en Brownsk bevegelse er g ved q x y exp{ y x } 4 Wener prosessen har egenskapene a ved sarpunke =0 er W 0 W lveksene er uavhengge banene er konnuerlge og W ~ N0 8

21 P Fra defnsjonen av prosessen P ln kan man fnne e urykk for prosessen e Ved å anvende de såkale Ios lemma 5 fnner man a må lfredsslle lknngen d / d dw For å gjøre noasjonen enklere skrver man ofe bare d d dw En prosess som lfredssller denne lknngen kalles en ofe en geomersk brownsk bevegelse Prsen på en opsjon kan urykkes som en funksjon av e underlggende nsrumen som er en løsnng av lknngen ovenfor Hvs v for eksempel lar C være prsen på en europesk kjøpsopsjon 6 ved den kan v ved hjelp av Ios lemma fnne e urykk for dfferensale l denne prsen Idéen l Black og choles 973 var som nevn ovenfor a man ved å konsruere en porefølje besående av opsjonen og de underlggende nsrumene l opsjonen kunne konsruere en porefølje som var rskofr raegen bak en slk porefølje er a man selger kjøpsopsjonen og kjøper C enheer av de underlggende nsrumene l opsjonen Hvs v lar V være verden av denne poreføljen ved den har v a C V C den v allerede har urykke for dfferensale l prsen dc kan v fnne e urykk for dv og vse a denne poreføljen er rskofr Eer en del beregnnger fnner v a C C dv d den urykke for dv kke nneholder ledde dw må poreføljen være rskofr dsnervalle d E rskofr akvum B kan modelleres ved db rbd der r > 0 er rskofr rene I følge prnsppe om fravær av arbrasje må v følgelg ha a B V og v ender opp med de som ofe kalles Black-choles lknngen: C C C r rc Ved å løse denne lknngen under randbengelsene C 0 0 og C max K0 ender v opp med den berøme Black og choles 973 formelen Den førse bengelsen ser 5 Ios lemma gr e urykk for en dfferensale P eksponenalfunksjonen e P f P e df l en avbldnng P 6 E analog resonnemen kan gjøres hvs man har en europesk salgsopsjon f Avbldnngen er her 9

22 a opsjonen kke har noen verd dersom de underlggende nsrumene anar verden 0 på e dspunk før opsjonen forfaller Dee kan olkes som en suasjon der man har en kjøpsopsjon på en aksje e selskap som går konkurs Den andre bengelsen er smpelhen e urykk for konansrømmen l kjøpsopsjonen ved forfallsdspunke = Black og choles løse lknngen ved å omskrve lknngen slk a den ble e spesallfelle av en lknng hvs løsnng allerede var kjen nnen fyskken I dag er de vanlg å anvende løsnngsmeoden l Feynman og Kac V skal kke gå gjennom løsnngen dealj dee noae men en løsnngssksse er l sor hjelp når v senere skal se på mplse sannsynlghesfordelnger om nevn ovenfor har v a hvs en Brownsk bevegelse ved e dspunk har verden x fnner v sannsynlgheen for a den skal ha verden y ved den fra normalfordelngen N x De vl s a sannsynlgheen besemmes av areale under ehesfunksjonen q x y De kan vses a q x y lfredssller lknngen y x exp{ } q q 0 og a e lknende resula også gjelder for en geomersk brownsk bevegelse V har nemlg a hvs prosessen lfredssller d d dw vl sannsynlgheen for a den har verden ved den være g ved en ehesfunksjon q som lfredssller q q q 0 De kan vses a funksjonen E[ max K0 ] max K0 q d også er en løsnng av denne lknngen 7 : 0 Hvs v så reurnerer l Black-choles lknngen ser v a vensresden denne er nesen lk som lknngen ovenfor: C C C r rc En vesenlg forskjell er a er bye u med den rskofre renen r og a høyresden er lk rc De er derfor naurlg å ana a v alernav kan modellere prosessen ved lknngen d r d dw og a en løsnng av Black-choles lknngen har form av den 7 Legg merke l a har form av en benge forvennng 0

23 bengede forvennngen med llegg av en dskonerngsfakor Den eksake løsnngen av Black-choles lknngen vser seg å være neopp dee: C e r 0 E [ max K0 ] e r max K0 q d 0 Noasjonen E ndkerer a lknngen som beskrver opsjonens underlggende er endre l å være d r d dw annsynlgheen for å gå fra l va d r d dw kalles ofe for rskonøyral 8 Funksjonen q urykke for prsen C er den lognormale rskonøyrale ehesfunksjonen q ln m exp{ } m hvor m ln r Ekvvalen kan v s a logarmen l er normalfordel med følgende rskonøyrale sannsynlghesfordelng ved forfall : ln ~ N[ln r ] V ser alså a opsjoner kan prses som om markedsakørene var rskonøyrale Parameeren Black-choles modellen er den enese parameeren som er påvrke av markedsakørenes rskopreferanser og de er vkg å legge merke l a Black-choles lknngen kke nneholder denne parameeren Dee er grunnen l a heller kke løsnngen av lknngen nneholder Dee beyr mdlerd kke a modellerngen av opsjonens underlggende kke er nfluer av markedsakørenes rskopreferanser I lknngen d d dw vl være sørre jo mer rskoaverse markedsakørene er 9 Inusjonen bak a dee lkevel kke påvrker prsen på opsjonen er a både neddskonerngen og modellerngen av opsjonens underlggende påvrkes av markedsakørenes rskopreferanser mosa renng og a effeken på opsjonsprsen således elmneres Ved å beregne verden av negrale urykke for C lknngen ovenfor fnner man den velkjene Black og choles 973 formelen for en europesk kjøpsopsjon: r C d Ke d hvor d [ln / K r ] / 8 Rskonøyral beyr a modellen er upåvrke av akørenes rskopreferanser E eksempel på rskonøyrale sannsynlgheer er sannsynlgheen for gevns Loo 9 den forvene avkasnng er høyere deso sørre rskopremen er

24 d [ln / K r ] / og x er den kumulave ehesfunksjonen l en normalfordelng Inpuparameerne formelen er opsjonens d l forfall verden av opsjonens underlggende ved den den rskofre renen r uøvelsesprsen K og volaleen opsjonens underlggende den fram l forfall De er vkg å legge merke l a den enese av dsse parameerne som må esmeres av prsslleren er volalesparameeren den man for en g opsjonsprs kan ulede denne parameerens verd kalles parameeren ofe for opsjonens mplse volale Esmerng av denne parameeren er nærmere omal nedenfor 5 Varaner av Black- choles formel Black-choles formelen ovenfor gjelder for en europesk kjøpsopsjon med e underlggende nsrumen som kke ubealer dvdende og som er beskreve ved d d dw Modellen kan mdlerd le uvdes l å gjelde opsjoner med andre yper underlggende Med ugangspunk resulae fra avsn 4 om a en forward- eller fuureskonrak r F e vl ha samme verd som den underlggende konraken ved forfall dvs F følger de a konansrømmen ved forfall for en opsjon på en forward- eller fuureskonrak vl være densk med konansrømmen for en opsjon dreke på de underlggende nsrumene Dermed kan man le omskrve Black-choles formelen ovenfor l å gjelde opsjoner på forward- eller fuureskonraker: r C e [ F d K d ] hvor d [ln F / K ] / d [ln F / K ] / Denne varanen av Black-choles formelen kalles ofe for Black-76 formelen Formelen anvendes ofe for å prse ndeksopsjoner sden dsse ofe er opsjoner på fuureskonraker på ndeksen Black-76 formelen kan på en enkel måe uvdes l å gjelde valuaopsjoner Hvs v lar E være en valuakurs ved den defner som mengde nnenlandsk valua per uenlandsk D F r r D F valua kan en fuureskonrak på E urykkes ved F e der r og r er parameere for henholdsvs nnenlandsk og uenlandsk rene Ved å anvende Black-76 formelen med denne fuureskonraken som underlggende kan v see opp følgende urykk for prsen på en valuaopsjon:

25 r r r C e [ E e d K d ] D D F hvor D F d [ln E / K r r ] / D F d [ln E / K r r ]/ Formelen kalles ofe for Garman-Kohlhagen formelen 6 Black-choles mpls volale Den enese parameeren Black-choles formel som kke kan observeres dreke er volalesparameeren For å beregne opsjonsprsen er man derfor nød l å fnne e esma for denne parameeren Fra avsn 5 har v a en opsjons underlggende Black- choles modellen er beskreve ved prosessen d d dw og a dee nnebærer a underlggende er lognormal fordel ved forfall: ln ~ N[ln r ] For å esmere volalesparameeren må 0 man derfor a ugangspunk logarmske avkasnngsall for opsjonens underlggende En enkel meode er å benye esmaoren r ln s r * der s r er sandardavvke l de logarmske avkasnngsallene r over en dsperode lsvarende opsjonens løped og måleenheen anall år Parameeren Black-choles formel kan alså olkes som de annualsere sandardavvke l opsjonens underlggende akvum gjennom opsjonens løped ypske verder for parameeren er % pro anno om de fremgår av avsn 5 er Black-choles modellen en konnuerlg dsmodell slk a de eksake urykke for er sandardavvke l den konnuerlg beregnede avkasnngen l opsjonens underlggende akvum løpe av e år Eksempel vser hvordan man kan esmere for oalndeksen ved Oslo Børs på bakgrunn av allene for ndeksen fra l 3 mars er her en dskre dssere slk a 0 n s r n n r r 3

26 Fremfor å esmere ved å la s r være de hsorske sandardavvke over en dsperode lsvarende opsjonens løped kan man naurlgvs anvende mer avansere esmerngsmeoder lk de som er beskreve for sasske volalesndkaorer kapel Hvlke meoder som er mes hensksmessge vl blan anne avhenge av opsjonens løped og underlggende For en dskusjon av dee se Hull 998 Uheldgvs er de kke mulg å nverere Black-choles formel slk a man kan fnne den mplse volalesparameeren dreke når man kjenner opsjonsprsen C I sede er man nød l å benye en erav løsnngsprosedyre der man gjeer en verd av og så beregner hvlken verd opsjonen har med denne verden av den opsjonsprsen er voksende varabelen - deso høyere volale deso høyere verd har opsjonen kan man gjee seg fram l den rkge verden av den mplse volaleen I prakss gjennomføres løsnngsprosedyren enkel ved hjelp av e daaprogram Eksempel Esmerng av for oalndeksen på Oslo Børs Dao engnngskurs Relav kurs Log Avkasnng Avkasnng Indekspoeng dag/foreg dag LNrel kurs 0mar mar mar mar mar mar mar mar mar mar mar mar mar mar mar mar mar mar mar mar mar mar andardavvk Esmer volale Kolonne fre fra vensre abellen vser de daglge logarmske avkasnngsallene r ln 4

27 og esmae beregnes ved å skalere opp sandardavvke av dsse Hvs v anar a v har 50 handledager på Oslo Børs løpe av e år blr 50 slk a s * % per år Kolonne fem vser vanlge avkasnngsall beregne som ndeksens relave veks fra dag l dag og v kan se a allkolonne fre og fem er lnærme lke Bakgrunnen for dee er a Ln for små verder av de kursendrngene den de o beregnngsmeodene kke avvker særlg grad kan man sammenlgne mpls volale med annualser sassk volale uen a felmargnene får særlg beydnng 6 Impls volale som ndkaor Impls volale er en prognose for volaleen l en opsjons underlggende nsrumen dsperoden frem l opsjonens forfall elv om man også kan esmere nsrumenes volale over den samme dsperoden ved hjelp av sasske meoder slk de er beskreve kapel og ovenfor må mpls volale berakes på en annen måe Grunnen er a både meodene som benyes og daaene som esmae er baser på er forskjellg fra lfelle med vanlge sasske meoder Bakgrunnsdaaene ved beregnng av mpls volale er opsjonsprser mens de sasske meodene som er beskreve ovenfor ar ugangspunk dsserer av prsene på e akvum I prakss vl prssllerne kke kun søe seg l esmerngsprosedyrer som vs eksemple ovenfor Impls volale vl også nkorporere prssllernes ndvduelle forvennnger knye l volaleen opsjonens underlggende gjennom opsjonens løped Impls volale er derfor spesel neressan som ndkaor for framdg uskkerhe ulke markeder den man de flese opsjonsmarkeder observerer ulk mpls volale for opsjoner med samme underlggende akvum men ulke nnløsnngsprser kan de være hensksmessg å anvende e veke sn av dsse for å fnne en samle ndkaor for fremdg volale underlggende Hvlke veker man skal velge er kke rvel men sden opsjonsprsen er mer følsom for volalesendrnger jo nærmere opsjonen er a he money vl de være naurlg å veke de mplse volalesparameerne dereer e Hull IMPLIIE ANNYNLIGHEFORDELINGER I avsn 5 så v a prsen på en europesk kjøpsopsjon kunne skrves som C e r 0 E [ max K0 ] e r max K0 q d der 5

28 6 } ln exp{ m m q er den rskonøyrale lognormale ehesfunksjonen for opsjonens underlggende A q er lognormal er som nevn ulede fra forusenngen om a lfredssller lknngen dw d r d E resula fra Breeden og Lzenberger 978 gr oss mdlerd e urykk for q dreke fra urykke for opsjonsprsen Ved å berake den parell dervere av opsjonsprsen C fnner v K r d q K q K K e K C som gr a r K q e K C V har med andre ord a den annendervere av opsjonsprsen evaluer punke K gr oss sannsynlgheen for a opsjonens underlggende skal befnne seg dee punke ved forfall Hvs v har opsjonsprser for flere uøvelsesprser kan v derfor ulede hele ehesfunksjonen q uen på forhånd å ha spesfser noen modell for opsjonens underlggende ehesfunksjonen q eksraher fra e se opsjonsprser på denne måen kalles en rskonøyral mpls ehesfunksjon eller en rskonøyral mpls sannsynlghesfordelng En nyg observasjon er a v ved å berake fuures/forward prser kan fnne forvennngsverden den rskonøyrale fordelngen beskreve av q La F være prsen på en forwardkonrak med underlggende ved den den konraken kan berakes som e nsrumen som ubealer F ved forfall kan verden av konraken urykkes ved ] [ 0 F E e r Og sden verden av konraken må være lk 0 har v a r d q E F F E e ] [ 0 ] [ 0 0 som vser a forwardprsen er lk forvennngsverden l den rskonøyrale fordelngen I en suasjon med konsan rene vl dsse være lke

29 3 Volalessmle og Black-choles E resula av anagelsene Black-choles modellen er a den mplse volalesparameeren er uavhengg av uøvelseskursen K Dee følger av a lknngen som beskrver opsjonens underlggende d r d dw kke er påvrke av parameeren K Hvs man beraker mplse volaleer for opsjoner 3 som en funksjon av ulke uøvelsesprser vl denne funksjonen være en re lnje Emprske undersøkelser vser mdlerd a dee kke er lfelle uder av opsjonsprser ulke markeder vser a grafen l en slk funksjon vanlgvs er en konveks kurve Kurven omales ofe som volalessmle Den vser a akørene markede prser opsjoner som er mye ou of he money eller n he money l en høyere volale enn opsjoner med uøvelsesprs nær og a anagelsene Black-choles modellen kke er oppfyl De emprske funnene ndkerer dermed a markedsakørene foruseer en annen beskrvelse av opsjonens underlggende enn den geomersk brownske bevegelsen som lgger l grunn Black-choles modellen Ekvvalen kan v s a anagelsen om a opsjonens underlggende er lognormal fordel ved forfall kke er konssen med den mplse ehesfunksjonen man fnner ved å sudere markedes prsng av opsjonene Graden av konvekse volalessmlkurven angr hvor sor grad den mplse ehesfunksjonen avvker fra anagelsen om lognormale Vdere ndkerer graden av konvekse hvor sor sannsynlghe markedsakørene lordner eksreme ufall for Med andre ord vl en konveks volalessmlkurve mplsere a markede lordner en opsjons underlggende en mer ykkhale ehesfunksjon enn den lognormale Helnngen på volalessmlkurven vl reflekere skjevheen den mplse ehesfunksjonen En posv helnng nnebærer a den mplse ehesfunksjonen er mer posv skjevfordel enn den lognormale ehesfunksjonen man vlle fnne på bakgrunn av en re volalessmlkurve 3 Esmerngseknkker Enhver varasjon volalessmlkurven vl alså gjenspeles en endrng den mplse ehesfunksjonen om vs ovenfor kan man ved hjelp av Breeden og Lzenbergers 978 resula eksrahere den mplse ehesfunksjonen ved å berake e se opsjonsprser med samme forfallsdao og ulke uøvelsesprser For å fnne e god esma for hele ehesfunksjonen er man mdlerd avhengg av å ha opsjonsprser for e relav sor anall uøvelsesprser I mange opsjonsmarkeder er dee dessverre kke mulg slk a man er vunge l å anvende andre eknkker for å esmere den mplse ehesfunksjonen Man kan dele nn de ulke esmerngseknkkene fre hovedkaegorer: Man gjør anagelser om den sokasske prosessen som beskrver opsjonens underlggende og uleder den mplse ehesfunksjonen fra denne Den paramerske formen l den mplse ehesfunksjonen spesfseres på forhånd og parameerne esmeres ved å mnmere dfferansen mellom de observere opsjonsprsene og de prsene som genereres av den spesfsere ehesfunksjonen Man esmerer en paramersk form på prsfunksjonen C enen dreke eller va volalessmlkurven og anvender dereer Breeden og Lzenbergers resula for å fnne ehesfunksjonen 3 Med samme løped for e g underlggende nsrumen 7

Tillegg nr 1 til Grunnprospekt datert 27. mai 2015 i henhold til EU's Kommisjonsforordning nr 809/2004

Tillegg nr 1 til Grunnprospekt datert 27. mai 2015 i henhold til EU's Kommisjonsforordning nr 809/2004 Tllegg nr 1 l Grunnprospek daer 27. ma 2015 henhold l EU's Kommsjonsforordnng nr 809/2004 Tlreelegger Oslo, 25. jun 2015 Uarbede samarbed med DNB Markes 1 av 7 Ord med sor forboksav som benyes llegg l

Detaljer

Hva påvirker gjeldsveksten i husholdningene?

Hva påvirker gjeldsveksten i husholdningene? Hva påvrker gjeldsveksen husholdnngene? Dag Hennng Jacobsen, konsulen Avdelng for fnansnsusjoner, og Bjørn E. Naug, senorrådgver Forsknngsavdelngen 1 Husholdnngenes gjeld har øk med 10 11 prosen per år

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk

Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Insu for maemaske fag Eksamensoppgave TMA44 Saskk Faglg konak under eksamen: John Tyssedal, aakon akka. Tlf.: John Tyssedal: 4645376. Tlf: aakon akka: 97955667. Eksamensdao: 7..4 Eksamensd (fra-l): 9.-3.

Detaljer

Notater. Mona Irene Andersen og Annette Kalvøy. Prisindeks for telekommunikasjonstjenester 2009/26. Notater

Notater. Mona Irene Andersen og Annette Kalvøy. Prisindeks for telekommunikasjonstjenester 2009/26. Notater 2009/26 Noaer Mona Irene Andersen og Annee Kalvøy Noaer rsndeks for elekommunkasjonsjeneser Avdelng for nærngssaskk/seksjon for ranspor-, reselvs- og IKT-saskk Innhold. Innlednng... 2 2. Inernasjonale

Detaljer

Kostnadsindeks for buss

Kostnadsindeks for buss Noaer Documens 28/213 Fw Wolday Kosnadsndeks for buss Slurappor for dokumenasjon av uvklngsoppdrage Noaer 28/213 Fw Wolday Kosnadsndeks for buss Slurappor for dokumenasjon av uvklngsoppdrage Sassk senralbyrå

Detaljer

Teoretisk og numerisk prising av korrelasjonsavhengige kredittderivater

Teoretisk og numerisk prising av korrelasjonsavhengige kredittderivater ORGES HADELSHØYSKOLE Bergen, 7.jun.2007 Teoresk og numersk prsng av korrelasjonsavhengge kreddervaer av Tor Åge Myklebus og Alex Shun We L Veleder: Knu Krsan Aase Maserurednng Fnansell Økonom ORGES HADELSHØYSKOLE

Detaljer

Oppgaver. Hypotesetesting testing av enkelthypoteser. Forelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011

Oppgaver. Hypotesetesting testing av enkelthypoteser. Forelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011 Forelesnng 4 og 5 MET359 Økonomer ved Davd Kreberg Vår 11 Oppgaver lle MC-oppgaver er merke u fra vanskelghesgrad på følgende måe: * Enkel ** Mddels vanskelg *** Vanskelg ypoeseesng esng av enkelhypoeser

Detaljer

Øvingsoppgaver. Innledende oppgaver. Alle oppgaver er merket ut fra vanskelighetsgrad på følgende måte: * Enkel ** Middels vanskelig *** Vanskelig

Øvingsoppgaver. Innledende oppgaver. Alle oppgaver er merket ut fra vanskelighetsgrad på følgende måte: * Enkel ** Middels vanskelig *** Vanskelig Øvngsoppgaver Alle oppgaver er merke u fra vanskelghesgrad på følgende måe: * Enkel ** Mddels vanskelg *** Vanskelg Innledende oppgaver Oppgave 1.1* Den esmere varansen l varabelen y er lk 39,. Toal varasjon

Detaljer

Pengepolitikk i teori og praksis

Pengepolitikk i teori og praksis Pengepolkk Pengepolkk eor og prakss 6. mars 8 Krsne Høegh-Omdal og Kar Due-Andresen Pengepolsk avdelng Agenda. Pengepolkken Norge. Teor for pengepolsk analyse. Modeller for pengepolkk Norges Bank. Pengepolkken

Detaljer

Oppgave 1 ECON 2130 EKSAMEN 2011 VÅR

Oppgave 1 ECON 2130 EKSAMEN 2011 VÅR ECON 30 EKSAMEN 0 VÅR Oppgave E bedrf øsker å fordele koraker e vesergsprosjek hel lfeldg på 3 frmaer, A, B og C. Uvelgelse skjer ved loddrekg. Loddrekge er slk a hver av frmaee A, B og C, har e mulghe

Detaljer

FYS3140 KORT INTRODUKSJON TIL KONTINUERLIGE GRUPPER

FYS3140 KORT INTRODUKSJON TIL KONTINUERLIGE GRUPPER FYS340 KORT INTRODUKSJON TIL KONTINUERLIGE GRUPPER I en konnuerlg gruppe avhenger hver eleen av e se av paraere a, a 2, a r, slk a e vlkårlg eleen ar foren G(a, a 2, a r ) Anall paraere r er gruppens densjon

Detaljer

I analysen rapporteres følgende resultater basert på data for 90 regioner:

I analysen rapporteres følgende resultater basert på data for 90 regioner: Eksamen SØK3001 Vår 2011 Bokmål Oppgave 1 I en emprsk undersøkelse benyes førs verrsnsdaa for å esmere sammenhengen mellom regonale bolgprser og regonal nnek En av relasjonene som esmeres er g ved (1)

Detaljer

Anvendelser. Kapittel 12. Minste kvadraters metode

Anvendelser. Kapittel 12. Minste kvadraters metode Kapttel Anvendelser I dette kaptlet skal v se på forskjellge anvendelser av teknkke v har utvklet løpet av de sste ukene Avsnttene og eksemplene v skal se på er derfor forholdsvs uavhengge Mnste kvadraters

Detaljer

TMA4240/4245 Statistikk Eksamen august 2016

TMA4240/4245 Statistikk Eksamen august 2016 Norges teknsk-naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag TMA44/445 Statstkk Eksamen august 6 Løsnngssksse Oppgave a) Ved kast av to ternnger er det 36 mulge utfall: (, ),..., (6, 6). La Y

Detaljer

ØVINGER 2017 Løsninger til oppgaver

ØVINGER 2017 Løsninger til oppgaver ØVINGER 017 Løsnnger tl oppgaver Øvng 1 7.1. Med utgangspunkt de n 5 observasjonsparene (x 1, y 1 ), (x, y ),..., (x 5, y 5 ) beregner v først mddelverdene x 1 5 Estmert kovarans blr x 3. ȳ 1 5 s XY 1

Detaljer

Appendiks 1: Organisering av Riksdagsdata i SPSS. Sannerstedt- og Sjölins data er klargjort for logitanalyse i SPSS filen på følgende måte:

Appendiks 1: Organisering av Riksdagsdata i SPSS. Sannerstedt- og Sjölins data er klargjort for logitanalyse i SPSS filen på følgende måte: Appendks 1: Organserng av Rksdagsdata SPSS Sannerstedt- og Sjölns data er klargjort for logtanalyse SPSS flen på følgende måte: Enhet År SKJEBNE BASIS ANTALL FARGE 1 1972 1 0 47 1 0 2 1972 1 0 47 1 0 67

Detaljer

Alternerende rekker og absolutt konvergens

Alternerende rekker og absolutt konvergens Alternerende rekker og absolutt konvergens Forelest: 0. Sept, 2004 Sst forelesnng så v på rekker der alle termene var postve. Mange av de kraftgste metodene er utvklet for akkurat den typen rekker. I denne

Detaljer

Forelesning 2 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011

Forelesning 2 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011 Forelesg MET359 Økoomer ved Davd Kreberg Vår 0 Dverse oppgaver Oppgave. Aa følgede o varabler: gpa: (Grade Po Average) Gjeomsskaraker for amerkaske sudeer. gpa fes ervalle [0;4], hvor 0 er lavese gjeomsskaraker

Detaljer

Kollektivt eller individuelt salg av TVrettighetene

Kollektivt eller individuelt salg av TVrettighetene Kollekv eller ndvduel salg av TVregheene for norsk Telga Rkard Bjørsvk Maserogave Maserogaven er lever for å fullføre graden Maser samfunnsøkonom Unversee Bergen, Insu for økonom Jun 2010 Forord Forord

Detaljer

Eksamensoppgåve i TMA4240 Statistikk

Eksamensoppgåve i TMA4240 Statistikk Insu for maemaske fag Eksamensoppgåve TMA44 Saskk Fagleg konak under eksamen: John Tyssedal, aakon akka. Tlf. John Tyssedal: 4645376. Tlf. aakon akka: 97955667. Eksamensdao: 7.. 4 Eksamensd (frå-l): 9:-3:

Detaljer

Fritt sykehusvalg. En teoretisk analyse av konkurranse i det norske sykehusmarkedet* Elin Aasmundrud Mathiesen

Fritt sykehusvalg. En teoretisk analyse av konkurranse i det norske sykehusmarkedet* Elin Aasmundrud Mathiesen Fr sykehusvalg En eoresk analyse av konkurranse de norske sykehusmarkede* av Eln Aasmundrud Mahesen Sen Rokkan sener for flerfaglge samfunnssuder Unversesforsknng Bergen Jun * Hovedogave samfunnsøkonom

Detaljer

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>.

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>. ECON13: EKSAMEN 14V TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller lkt uansett varasjon vanskelghetsgrad. Svarene er gtt >. Oppgave 1 Innlednng. Rulett splles på en rekke kasnoer

Detaljer

MA1301 Tallteori Høsten 2014

MA1301 Tallteori Høsten 2014 MA1301 Tallteor Høsten 014 Rchard Wllamson 3. desember 014 Innhold Forord 1 Induksjon og rekursjon 7 1.1 Naturlge tall og heltall............................ 7 1. Bevs.......................................

Detaljer

Fast valutakurs, selvstendig rentepolitikk og frie kapitalbevegelser er ikke forenlig på samme tid

Fast valutakurs, selvstendig rentepolitikk og frie kapitalbevegelser er ikke forenlig på samme tid Makroøkonom Publserngsoppgave Uke 48 November 29. 2009, Rev - Jan Erk Skog Fast valutakurs, selvstendg rentepoltkk og fre kaptalbevegelser er kke forenlg på samme td I utsagnet Fast valutakurs, selvstendg

Detaljer

må det justeres for i avkastningsberegningene. se nærmere nedenfor om valg av beregningsmetoder.

må det justeres for i avkastningsberegningene. se nærmere nedenfor om valg av beregningsmetoder. 40 Metoder for å måle avkastnng Totalavkastnngen tl Statens petroleumsfond blr målt med stor nøyaktghet. En vktg forutsetnng er at det alltd beregnes kvaltetsskret markedsverd av fondet når det kommer

Detaljer

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i <<< >>>.

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i <<< >>>. ECON30: EKSAMEN 05 VÅR - UTSATT PRØVE TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller lkt uansett varasjon vanskelghetsgrad. Svarene er gtt

Detaljer

(iii) Når 5 er blitt trukket ut, er det tre igjen som kan blir trukket ut til den siste plassen, altså:

(iii) Når 5 er blitt trukket ut, er det tre igjen som kan blir trukket ut til den siste plassen, altså: A-besvarelse ECON2130- Statstkk 1 vår 2009 Oppgave 1 A) () Antall kke-ordnede utvalg: () P(Arne nummer 1) = () Når 5 er bltt trukket ut, er det tre gjen som kan blr trukket ut tl den sste plassen, altså:

Detaljer

Rotasjonsbevegelser 13.04.2015

Rotasjonsbevegelser 13.04.2015 Roasjonsbevegelser 3.04.05 Mveseksamen: resulaer leges u nese uke løsnngsforslag på semesersden koneeksamen bare for sudener med begrunne fravær kke nødvendg å så på mveseksamen for å gå opp l slueksamen

Detaljer

Sparing gir mulighet for å forskyve forbruk over tid; spesielt kan ujevne inntekter transformeres til jevnere forbruk.

Sparing gir mulighet for å forskyve forbruk over tid; spesielt kan ujevne inntekter transformeres til jevnere forbruk. ECON 0 Forbruker, bedrft og marked Forelesnngsnotater 09.0.07 Nls-Henrk von der Fehr FORBRUK OG SPARING Innlednng I denne delen skal v anvende det generelle modellapparatet for konsumentens tlpasnng tl

Detaljer

Sensorveiledning UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT. ECON 1310 Obligatorisk øvelsesoppgave våren 2012

Sensorveiledning UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT. ECON 1310 Obligatorisk øvelsesoppgave våren 2012 Sensorveiledning UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT ECON 3 Obligaorisk øvelsesoppgave våren 22 Ved sensuren illegges alle oppgavene lik vek For å få godkjen besvarelsen må den i hver fall: gi mins

Detaljer

Løsningskisse for oppgaver til uke 15 ( april)

Løsningskisse for oppgaver til uke 15 ( april) HG Aprl 01 Løsnngsksse for oppgaver tl uke 15 (10.-13. aprl) Innledende merknad. Flere oppgaver denne uka er øvelser bruk av den vktge regel 5.0, som er sentral dette kurset, og som det forventes at studentene

Detaljer

INF3400 Del 5 Statisk digital CMOS

INF3400 Del 5 Statisk digital CMOS INF400 Del 5 Sask dgal MOS Elmore forsnkelsesmodell modell: modell NANDN: NAND 1 9 Forsnkelsesmodell: N 1 j 1 j 1 NAND Ulegg 7 10 1 Parassk dsforsnkelse: V kaller dffusjonskapasanser for parasske kapasanser

Detaljer

Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og litt om heltallskorreksjon (som i eksempel 5.18).

Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og litt om heltallskorreksjon (som i eksempel 5.18). Econ 2130 HG mars 2012 Supplement tl forelesnngen 19. mars Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og ltt om heltallskorreksjon (som eksempel 5.18). Regel 5.19 ser at summer, Y = X1+ X2 + +

Detaljer

Oppgaver. Multiple regresjon. Forelesning 3 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011

Oppgaver. Multiple regresjon. Forelesning 3 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011 Forelesnng 3 MET359 Økonometr ved Davd Kreberg Vår 0 Oppgaver Alle oppgaver er merket ut fra vanskelghetsgrad på følgende måte: * Enkel ** Mddels vanskelg *** Vanskelg Multple regresjon Oppgave.* Ta utgangspunkt

Detaljer

Simpleksmetoden. Initiell basistabell Fase I for å skaffe initiell, brukbar løsning. Fase II: Iterativ prosess for å finne optimal løsning Pivotering

Simpleksmetoden. Initiell basistabell Fase I for å skaffe initiell, brukbar løsning. Fase II: Iterativ prosess for å finne optimal løsning Pivotering Lekson 3 Smpleksmetoden generell metode for å løse LP utgangspunkt: LP på standardform Intell basstabell Fase I for å skaffe ntell, brukbar løsnng løse helpeproblem hvs optmale løsnng gr brukbar løsnng

Detaljer

Notater. Bjørn Gabrielsen, Magnar Lillegård, Berit Otnes, Brith Sundby, Dag Abrahamsen, Pål Strand (Hdir)

Notater. Bjørn Gabrielsen, Magnar Lillegård, Berit Otnes, Brith Sundby, Dag Abrahamsen, Pål Strand (Hdir) 2009/48 Notater Bjørn Gabrelsen, Magnar Lllegård, Bert Otnes, Brth Sundby, Dag Abrahamsen, Pål Strand (Hdr) Notater Indvdbasert statstkk for pleeog omsorgstjenesten kommunene (IPLOS) Foreløpge resultater

Detaljer

Bevegelse i én dimensjon

Bevegelse i én dimensjon Beegelse én dmensjon 19.1.217 FYS-MEK 111 19.1.217 1 Gruppeundersnng begynner onsdag, 25.januar. hp://www.uo.no/suder/emner/mana/fys/fys-mek111/17/plan217.hm Oppgaer og forelesnngene legges u på semesersden.

Detaljer

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i <<< >>>.

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i <<< >>>. ECON: EKSAMEN 6 VÅR - UTSATT PRØVE TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller lkt uansett varasjon vanskelghetsgrad. Svarene er gtt

Detaljer

Bevegelse i én dimensjon

Bevegelse i én dimensjon Beegelse én dmensjon 21.1.215 FYS-MEK 111 21.1.216 1 Gruppeundersnng og daalab begynner mandag, 25.januar. hp://www.uo.no/suder/emner/mana/fys/fys-mek111/16/plan216web.hm Oppgaer og forelesnngene legges

Detaljer

Bevegelse i én dimensjon

Bevegelse i én dimensjon Beegelse én dmensjon 16.1.218 FYS-MEK 111 16.1.218 1 Gruppeundersnng begynner rsdag, 23.januar. hp://www.uo.no/suder/emner/mana/fys/fys-mek111/18/plan218.hm Oppgaer og forelesnngene legges u på semesersden.

Detaljer

Generell støymodell for forsterkere (Mot Kap.2)

Generell støymodell for forsterkere (Mot Kap.2) Geerell øymdell fr frerkere (M Kap.) år e frear øyaalyer av re yemer vl de være uprakk å aalyere med dealjere øymdeller fr alle mulge øyklder. velger ede å bruke freklede mdeller m repreeerer flere mulge

Detaljer

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet Dynamsk programmerng Metoden ble formalsert av Rchard Bellmann (RAND Corporaton på -tallet. Programmerng betydnngen planlegge, ta beslutnnger. (Har kke noe med kode eller å skrve kode å gøre. Dynamsk for

Detaljer

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet Dynamsk programmerng Hvlke problemer? Metoden ble formalsert av Rchard Bellmann (RAND Corporaton) på -tallet. Har ngen tng med programmerng å gøre. Dynamsk er et ord som kan aldr brukes negatvt. Skal v

Detaljer

Infoskriv ETØ-1/2016 Om beregning av inntektsrammer og kostnadsnorm for 2015

Infoskriv ETØ-1/2016 Om beregning av inntektsrammer og kostnadsnorm for 2015 Infoskriv Til: Fra: Ansvarlig: Omseningskonsesjonærer med inneksramme Seksjon for økonomisk regulering Tore Langse Dao: 1.2.2016 Vår ref.: 201403906 Arkiv: Kopi: Infoskriv ETØ-1/2016 Om beregning av inneksrammer

Detaljer

Investering under usikkerhet Risiko og avkastning Høy risiko. Risikokostnad prosjekt Snøskuffe. Presisering av risikobegrepet

Investering under usikkerhet Risiko og avkastning Høy risiko. Risikokostnad prosjekt Snøskuffe. Presisering av risikobegrepet Investerng under uskkerhet Rsko og avkastnng Høy rsko Lav rsko Presserng av rskobegreet Realnvesterng Fnansnvesterng Rsko for enkeltaksjer og ortefølje-sammenheng Fnansnvesterng Realnvesterng John-Erk

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Utsatt eksamen : ECON130 Statstkk 1 UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamensdag: 15.0.015 Sensur kunngjøres senest: 0.07.015 Td for eksamen: kl. 09:00 1:00 Oppgavesettet er på 4 sder Tllatte hjelpemdler:

Detaljer

Generell likevekt med skjermet og konkurranseutsatt sektor 1

Generell likevekt med skjermet og konkurranseutsatt sektor 1 1 Jon Vsle; februar 2018 ECON 3735 vår 2018 Forelesnngsnotat #1 Generell lkevekt med skjermet og konkurranseutsatt sektor 1 V betrakter en økonom med to sektorer; en skjermet sektor («-sektor») som produserer

Detaljer

Løsningsskisse til eksamen i TFY112 Elektromagnetisme,

Løsningsskisse til eksamen i TFY112 Elektromagnetisme, Løsnngssksse tl eksamen TFY11 Elektromagnetsme, høst 003 (med forbehold om fel) Oppgave 1 a) Ved elektrostatsk lkevekt har v E = 0 nne metall. Ellers bruker v Gauss lov med gaussflate konsentrsk om lederkulen.

Detaljer

Fourieranalyse. Fourierrekker på reell form. Eksempel La. TMA4135 Matematikk 4D. En funksjon sies å ha periode p > 0 dersom

Fourieranalyse. Fourierrekker på reell form. Eksempel La. TMA4135 Matematikk 4D. En funksjon sies å ha periode p > 0 dersom TMA435 Matematkk 4D Foureranalyse Fourerrekker på reell form En funksjon ses å ha perode p > dersom f(x + p) = f(x) () for alle x defnsjonsmengden tl f. Den mnste p slk at () holder, kalles fundamentalperoden

Detaljer

Løsningsforslag øving 10 TMA4110 høsten 2018

Løsningsforslag øving 10 TMA4110 høsten 2018 Løsnngsforslag øvng TMA4 høsten 8 [ + + Projeksjonen av u på v er: u v v u v v v + ( 5) [ + u v v u [ 8/5 6/5 For å fnne ut om en matrse P representerer en projeksjon, må v sjekke om P P a) b) c) [ d)

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen : ECON35/45 Elemenær økonomer Exam: ECON35/45 Inroducory economercs Eksamensdag: Fredag 28. november 28 Sensur kunngjøres: 5. desember 28 Dae of exam: Frday,

Detaljer

Bevegelse i én dimensjon (2)

Bevegelse i én dimensjon (2) Beegelse én dmensjon 6..5 Gruppeundersnng begynner denne uken. Oppgaer fnner du på semesersden: hp://www.uo.no/suder/emner/mana/fys/fys-mek/5/maerale/maerale5.hml FYS-MEK 6..5 Beegelseslgnnger V sarer

Detaljer

Eksamen i emne SIB8005 TRAFIKKREGULERING GRUNNKURS

Eksamen i emne SIB8005 TRAFIKKREGULERING GRUNNKURS Sde 1 av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Fakultet for bygg- og mljøteknkk INSTITUTT FOR SAMFERDSELSTEKNIKK Faglg kontakt under eksamen: Navn Arvd Aakre Telefon 73 59 46 64 (drekte) / 73

Detaljer

Analyse av strukturerte spareprodukt

Analyse av strukturerte spareprodukt NORGES HANDELSHØYSKOLE Bergen, Høst 2007 Analyse av strukturerte spareprodukt Et Knderegg for banknærngen? av Ger Magne Bøe Veleder: Professor Petter Bjerksund Utrednng fordypnngs-/spesalområdet: Fnansell

Detaljer

IT1105 Algoritmer og datastrukturer

IT1105 Algoritmer og datastrukturer Løsnngsforslag, Eksamen IT1105 Algortmer og datastrukturer 1 jun 2004 0900-1300 Tllatte hjelpemdler: Godkjent kalkulator og matematsk formelsamlng Skrv svarene på oppgavearket Skrv studentnummer på alle

Detaljer

C(s) + 2 H 2 (g) CH 4 (g) f H m = -74,85 kj/mol ( angir standardtilstand, m angir molar størrelse)

C(s) + 2 H 2 (g) CH 4 (g) f H m = -74,85 kj/mol ( angir standardtilstand, m angir molar størrelse) Fyskk / ermodynamkk Våren 2001 5. ermokjem 5.1. ermokjem I termokjemen ser v på de energendrnger som fnner sted kjemske reaksjoner. Hver reaktant og hvert produkt som nngår en kjemsk reaksjon kan beskrves

Detaljer

Samfunnsøkonomi andre avdeling, mikroøkonomi, Diderik Lund, 18. mars 2002

Samfunnsøkonomi andre avdeling, mikroøkonomi, Diderik Lund, 18. mars 2002 Samfunnsøkonom andre avdelng, mkroøkonom, Dderk Lund, 8. mars 00 Markeder under uskkerhet Uskkerhet vktg mange (de fleste? markeder Uskkerhet omkrng framtdge prser og leverngsskkerhet (f.eks. om leverandør

Detaljer

NA Dok. 52 Angivelse av måleusikkerhet ved kalibreringer

NA Dok. 52 Angivelse av måleusikkerhet ved kalibreringer Sde: av 7 orsk akkredterng Dok.d.: VII..5 A Dok. 5: Angvelse av måleuskkerhet ved kalbrernger Utarbedet av: Saeed Behdad Godkjent av: ICL Versjon:.00 Mandatory/Krav Gjelder fra: 09.05.008 Sdenr: av 7 A

Detaljer

EKSAMEN ny og utsatt løsningsforslag

EKSAMEN ny og utsatt løsningsforslag 8.. EKSAMEN n og utsatt løsnngsorslag Emnekode: ITD Dato:. jun Hjelpemdler: - To A-ark med valgrtt nnhold på begge sder. Emnenavn: Matematkk ørste deleksamen Eksamenstd: 9.. Faglærer: Chrstan F Hede -

Detaljer

DET KONGELIGE FISKERI- OG KYSTDEPARTEMENT. prisbestemmelsen

DET KONGELIGE FISKERI- OG KYSTDEPARTEMENT. prisbestemmelsen DET KONGELIGE FISKERI- OG KYSTDEPARTEMENT Fskebãtredernes forbund Postboks 67 6001 ALESUND Deres ref Var ref Dato 200600063- /BSS Leverngsplkt for torsketrálere - prsbestemmelsen V vser tl Deres brev av

Detaljer

Notater. Marie Lillehammer. Usikkerhetsanalyse for utslipp av farlige stoffer 2009/30. Notater

Notater. Marie Lillehammer. Usikkerhetsanalyse for utslipp av farlige stoffer 2009/30. Notater 009/30 Notater Mare Lllehammer Notater Uskkerhetsanalyse or utslpp av arlge stoer vdelng or IT og metode/seksjon or statstske metoder og standarder Innhold 1. Bakgrunn og ormål.... Metode....1 Fastsettelse

Detaljer

FAUSKE KOMMUNE INNSTILLING: Sammendrag: TIL KOMMNE. II Sak nr.: 097/12 I DRIFTSUTVALG REFERATSAKER I PERIODEN SAKSPAPIR. orientering.

FAUSKE KOMMUNE INNSTILLING: Sammendrag: TIL KOMMNE. II Sak nr.: 097/12 I DRIFTSUTVALG REFERATSAKER I PERIODEN SAKSPAPIR. orientering. ' SAKSPAPIR FAUSKE KOMMUNE JouralpostID: 12/8728 I Arkv sakld.: 12/2060 Sluttbehandlede vedtaksnstans: Drftsutvalget II Sak nr.: 097/12 I DRIFTSUTVALG I I Saksansvarlg: Bert Vestvann Johnsen Dato: 17.10.2012

Detaljer

Auksjoner og miljø: Privat informasjon og kollektive goder. Eirik Romstad Handelshøyskolen Norges miljø- og biovitenskapelige universitet

Auksjoner og miljø: Privat informasjon og kollektive goder. Eirik Romstad Handelshøyskolen Norges miljø- og biovitenskapelige universitet Auksjoner og mljø: Prvat nformasjon og kollektve goder Erk Romstad Handelshøyskolen Auksjoner for endra forvaltnng Habtatvern for bologsk mangfold Styresmaktene lyser ut spesfserte forvaltnngskontrakter

Detaljer

Statistikk og økonomi, våren 2017

Statistikk og økonomi, våren 2017 Statstkk og økonom, våren 7 Oblgatorsk oppgave Løsnngsforslag Oppgave Anta at forbruket av ntrogen norsk landbruk årene 987 99 var følgende målt tonn: 987: 9 87 988: 8 989: 8 99: 8 99: 79 99: 87 99: 9

Detaljer

NÆRINGSSTRUKTUR OG INTERNASJONAL HANDEL

NÆRINGSSTRUKTUR OG INTERNASJONAL HANDEL NÆRINGSSTRUKTUR OG INTERNASJONAL HANDEL Norman & Orvedal, kap. 1-5 Bævre & Vsle Generell lkevekt En lten, åpen økonom Nærngsstruktur Skjermet versus konkurranseutsatt vrksomhet Handel og komparatve fortrnn

Detaljer

Alderseffekter i NVEs kostnadsnormer. - evaluering og analyser

Alderseffekter i NVEs kostnadsnormer. - evaluering og analyser Alderseffekter NVEs kostnadsnormer - evaluerng og analyser 2009 20 06 20 10 20 10 20 10 21 2011 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 R A P P O R T 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20

Detaljer

DEN NORSKE AKTUARFORENING

DEN NORSKE AKTUARFORENING DEN NORSKE AKTUARFORENING _ MCft% Fnansdepartementet Postboks 8008 Dep 0030 OSLO Dato: 03.04.2009 Deres ref: 08/654 FM TME Horngsuttalelse NOU 2008:20 om skadeforskrngsselskapenes vrksomhet. Den Norske

Detaljer

Seleksjon og uttak av alderspensjon fra Folketrygden

Seleksjon og uttak av alderspensjon fra Folketrygden ato: 07.01.2008 aksbehandler: DH Seleksjon og uttak av alderspensjon fra Folketrygden Dette notatet presenterer en enkel framstllng av problemet med seleksjon mot uttakstdpunkt av alderspensjon av folketrygden.

Detaljer

Bevegelse i én dimensjon (2)

Bevegelse i én dimensjon (2) Beegelse én dmensjon..4 Gruppeundersnng begynner denne uken. Oppger fnner du på semesersden: hp://www.uo.no/suder/emner/mn/fys/fys-mek/4/merle/merle4.hml FYS-MEK..4 Sudenrepresenner for FYS-MEK kurse lbkemeldng

Detaljer

SNF-rapport nr. 23/05

SNF-rapport nr. 23/05 Sykefravær offentlg og prvat sektor av Margt Auestad SNF-prosjekt nr. 4370 Endrng arbedsforhold Norge Prosjektet er fnansert av Norges forsknngsråd SAMFUNNS- OG NÆRINGSLIVSFORSKNING AS BERGEN, OKTOBER

Detaljer

Flerpartikkelsystemer Rotasjonsbevegelser

Flerpartikkelsystemer Rotasjonsbevegelser lerparkkelsysemer Roasjonsbevegelser.4.6 Resulaer fra mveseksamen på semesersen: hp://www.uo.no/suer/emner/mana/fys/ys-mek/v6/beskjeer/fysmekmev6resula.pf YS-MEK.4.6 lerparkkelsysemer j y k neokraf på

Detaljer

Eksamen i LOG530 Distribusjonsplanlegging

Eksamen i LOG530 Distribusjonsplanlegging Fas Eksamen LOG530 Dsrbusjonsplanleggng Onsdag 3. jun 2009 Kl. 09:00-13:00 Hjelpemdler: A+KD Oppgave 1 a) 4 1 5 10 6 2 11 7 3 8 12 9 Symboler P = {1, 2, 3} er mengden av produsener L = {4, 5, 6, 7, 8,

Detaljer

Sluttrapport. utprøvingen av

Sluttrapport. utprøvingen av Fagenhet vderegående opplærng Sluttrapport utprøvngen av Gjennomgående dokumenterng fag- og yrkesopplærngen Februar 2012 Det å ha lett tlgjengelg dokumentasjon er en verd seg selv. Dokumentasjon gr ungedommene

Detaljer

Geometriske operasjoner

Geometriske operasjoner Geometrske operasjoner INF 23 27.2.27 Kap. 9 (samt 5.5.2) Geometrske operasjoner Affne transformer Interpolasjon Samregstrerng av blder Endrer på pkslenes possjoner ransformerer pkselkoordnatene (x,) tl

Detaljer

MASTER I IDRETTSVITENSKAP 2012/2014. Individuell skriftlig eksamen. MAS 402- Statistikk. Tirsdag 9. oktober 2012 kl. 10.00-12.00

MASTER I IDRETTSVITENSKAP 2012/2014. Individuell skriftlig eksamen. MAS 402- Statistikk. Tirsdag 9. oktober 2012 kl. 10.00-12.00 MASTER I IDRETTSVITESKAP 0/04 Indvduell skrftlg eksamen MAS 40- Statstkk Trsdag 9. oktober 0 kl. 0.00-.00 Hjelpemdler: kalkulator Eksamensoppgaven består av 9 sder nkludert forsden Sensurfrst: 30. oktober

Detaljer

STK desember 2007

STK desember 2007 Løsnngsfrslag tl eksamen STK0 5. desember 2007 Oppgave a V antar at slaktevektene tl kalkunene fra Vrgna er bserverte verder av stkastske varabler X, X 2, X, X 4 sm er uavhengge g Nµ, σ 2 -frdelte, g at

Detaljer

Fleksibelt arbeidsliv. Befolkningsundersøkelse utført for Manpower September 2015

Fleksibelt arbeidsliv. Befolkningsundersøkelse utført for Manpower September 2015 Fleksbelt arbedslv Befolknngsundersøkelse utført for Manpower September 2015 Prvate gjøremål på jobben Spørsmål: Omtrent hvor mye td bruker du per dag på å utføre prvate gjøremål arbedstden (n=623) Mer

Detaljer

Masteroppgave i statistikk. GAMLSS-modeller i bilforsikring. Hallvard Røyrane-Løtvedt Kandidatnr. 160657

Masteroppgave i statistikk. GAMLSS-modeller i bilforsikring. Hallvard Røyrane-Løtvedt Kandidatnr. 160657 Masteroppgave statstkk GAMLSS-modeller blforskrng Hallvard Røyrane-Løtvedt Kanddatnr. 160657 UNIVERSITETET I BERGEN MATEMATISK INSTITUTT Veleder: Hans Julus Skaug 1. Jun 2012 1 GAMLSS-modeller blforskrng

Detaljer

SNF-rapport nr. 19/07

SNF-rapport nr. 19/07 Analyse av strukturerte spareprodukt Et Knderegg for banknærngen? av Ger Magne Bøe SNF-prosjekt nr. 7000 SAMFUNNS- OG NÆRINGSLIVSFORSKNING AS BERGEN, OKTOBER 2007 Dette eksemplar er fremstlt etter avtale

Detaljer

INF 2310 Digital bildebehandling

INF 2310 Digital bildebehandling IN 3 Dgal bldebehandlng SEGMENTERING VED TERSKLING Global hsogram-baser ersklng Varabel og mulvarabel ersklng Lokal adav ersklng GW:.3 l grundgere enn boka 3 8.5.4 IN 3 Om ensum fra ka. Kael boka nroduserer

Detaljer

Årbeidsretta tiltak og tjenester

Årbeidsretta tiltak og tjenester skal være ledende og framtdsrettet nnen tlrettelagt arbed og arbedsrelatert opplærng Hallngdal Å R S R Å P P O R T 2 0 5 Årbedsretta tltak og tjenester INNHOLD SIDE Innlednng Om : Eerforhold og lokalserng

Detaljer

Høst 95 Test-eksamen. 1. Et legeme A med masse m = kg påvirkes av en kraft F gitt ved: F x = - t F y = k t 2 = 5.00N = 4.00 N/s k = 1.

Høst 95 Test-eksamen. 1. Et legeme A med masse m = kg påvirkes av en kraft F gitt ved: F x = - t F y = k t 2 = 5.00N = 4.00 N/s k = 1. Hø 95 Te-ekaen. E legee ed ae =.4 kg pårke a en kraf F g ed: F = - F = k = 5.N = 4. N/ k =.N/ llegg rker ngdekrafen nega -renng. a Bee reulankrafekoren. b Ved den = er legee ro orgo. Fnn pojon og haghe

Detaljer

Kapitalbeskatning og investeringer i norsk næringsliv

Kapitalbeskatning og investeringer i norsk næringsliv Rapport Kaptalbeskatnng og nvesternger norsk nærngslv MENON-PUBLIKASJON NR. 28/2015 August 2015 av Leo A. Grünfeld, Gjermund Grmsby og Marcus Gjems Thee Forord Denne rapporten er utarbedet av Menon Busness

Detaljer

av Erik Bédos, Matematisk Institutt, UiO, 25. mai 2007.

av Erik Bédos, Matematisk Institutt, UiO, 25. mai 2007. Om den diskree Fourier ransformen av Erik Bédos, Maemaisk Insiu, UiO,. mai 7. Vi lar H beegne indreproduk romme som besår av alle koninuerlige komplekse funksjoner definer på inervalle [, π] med indreproduke

Detaljer

Eksamen ECON 2200, Sensorveiledning Våren Deriver følgende funksjoner. Deriver med hensyn på begge argumenter i e) og f).

Eksamen ECON 2200, Sensorveiledning Våren Deriver følgende funksjoner. Deriver med hensyn på begge argumenter i e) og f). Eksamen ECON 00, Sensorvelednng Våren 0 Oppgave (8 poeng ) Derver følgende funksjoner. Derver med hensyn på begge argumenter e) og f). (Ett poeng per dervasjon, dvs, poeng e og f) a) f( x) = 3x x + ln

Detaljer

Makroøkonomi - B1. Innledning. Begrep. Mundells trilemma 1 går ut på følgende:

Makroøkonomi - B1. Innledning. Begrep. Mundells trilemma 1 går ut på følgende: Makroøkonom Innlednng Mundells trlemma 1 går ut på følgende: Fast valutakurs, selvstendg rentepoltkk og fre kaptalbevegelser er kke forenlg på samme td Av de tre faktorene er hypotesen at v kun kan velge

Detaljer

Norske CO 2 -avgifter - differensiert eller uniform skatt?

Norske CO 2 -avgifter - differensiert eller uniform skatt? Norske CO 2 -avgfter - dfferensert eller unform skatt? av Sven Egl Ueland Masteroppgave Masteroppgaven er levert for å fullføre graden Master samfunnsøkonom Unverstetet Bergen, Insttutt for økonom Oktober

Detaljer

AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE

AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE AVDELING FO INGENIØUTDANNING EKSAENSOPPGAVE Emne: INSTUENTELL ANALYSE Emnekode: SO 458 K Faglig veileder: Per Ola ønning Gruppe(r): 3KA, 3KB Dao: 16.0.04 Eksamensid: 09.00-14.00 Eksamensoppgaven Anall

Detaljer

i kjemiske forbindelser 5. Hydrogen har oksidasjonstall Oksygen har oksidsjonstall -2

i kjemiske forbindelser 5. Hydrogen har oksidasjonstall Oksygen har oksidsjonstall -2 Repetsjon 4 (16.09.06) Regler for oksdasjonstall 1. Oksdasjonstall for alle fre element er 0 (O, N, C 60 ). Oksdasjonstall for enkle monoatomske on er lk ladnngen tl onet (Na + : +1, Cl - : -1, Mg + :

Detaljer

EKSAMEN Løsningsforslag

EKSAMEN Løsningsforslag . desember 6 EKSAMEN Løsnngsorslag Emnekode: ITD Emnenavn: Matematkk ørste deleksamen Dato:. desember 6 Hjelpemdler: - To A-ark med valgrtt nnold på begge sder. - Formelete. - Kalkulator som deles ut samtdg

Detaljer

Oppvarming og innetemperaturer i norske barnefamilier

Oppvarming og innetemperaturer i norske barnefamilier Ovarmng og nnetemeraturer norske barnefamler En analyse av husholdnngenes valg av nnetemeratur Henrette Brkelund Masterogave samfunnsøkonom ved Økonomsk Insttutt UNIVERSITETET I OSLO 13.05.2013 II ) Ovarmng

Detaljer

Notater. Asif Hayat og Terje Tveeikrem Sæter. Prisindeks for rengjøringsvirksomhet 2008/49. Notater

Notater. Asif Hayat og Terje Tveeikrem Sæter. Prisindeks for rengjøringsvirksomhet 2008/49. Notater 2008/49 Notater Asf Hayat og Terje Tveekrem Sæter Notater Prsndeks for rengjørngsvrksomhet Avdelng for nærngsstatstkk/seksjon for bygg- og tjenestestatstkk Innhold 1. Innlednng... 2 2. Internasjonale

Detaljer

Potensiell energi Bevegelsesmengde

Potensiell energi Bevegelsesmengde Poensell energ eegelsesengde 2.3.23 YS-MEK 2.3.23 konsera kraf kraf so bare ahenger a possjon arbed ahenger bare a sar- og slupossjon, kke a een ello arbed er null hs sar- og slupossjon er densk kan fnne

Detaljer

KVIKKSØLVEKSPONERING VED DENTALLABORATORIER. Nils Gundersen og Arve Lie HD 807/790814

KVIKKSØLVEKSPONERING VED DENTALLABORATORIER. Nils Gundersen og Arve Lie HD 807/790814 KVIKKSØLVEKSPONERING VED DENTALLABORATORIER Nls Gundersen og Arve Le HD 807/790814 KVIKKSØLVEKSPONERING VED DENTALLABORATORIER Nls Gundersen og Arve Le HD 807/790814 l SAMMENDRAG: Rapporten omhandler bruk

Detaljer

RAPPORT. Utvalgte emner i Statnetts håndbok i samfunnsøkonomisk analyse 2014/07. Haakon Vennemo og Kristine von Simson

RAPPORT. Utvalgte emner i Statnetts håndbok i samfunnsøkonomisk analyse 2014/07. Haakon Vennemo og Kristine von Simson RAPPORT 2014/07 Uvalge emner Sanes håndbok samfunnsøkonomsk analyse Haakon Vennemo og Krsne von Smson Rapporel Dokumendealer Vsa Analyse AS Rappor nummer 2014/07 Rapporel Uvalge emner Sanes håndbok samfunnsøkonomsk

Detaljer

NEMO en ny makromodell for prognoser og pengepolitisk analyse

NEMO en ny makromodell for prognoser og pengepolitisk analyse NEMO en ny akroode for prognos og pengeposk anayse Lef Brubakk og Toy Sveen, Økonosk avdeng, Norges Bank* Makroøkonoske ode e av fe vkøy so brukes anays av norsk økono og pengepokken. I denne arkkeen beskrv

Detaljer

Oversikt 1. forelesning. ECON240 Statistikk og økonometri. Utdanning og lønn. Forskning. Datainnsamling; utdanning og inntekt

Oversikt 1. forelesning. ECON240 Statistikk og økonometri. Utdanning og lønn. Forskning. Datainnsamling; utdanning og inntekt Overskt. forelesnng ECON40 Statstkk og økonometr Arld Aakvk, professor Insttutt for økonom Hva er statstkk og økonometr? Hvorfor studerer v fagområdet? Statstkk Metoder, teknkker og verktøy tl å produsere

Detaljer

lillllllilllllllllllllllll it[illt lil] lll

lillllllilllllllllllllllll it[illt lil] lll HELSE &O# Ma 2005 K 54 TRE JENTER HAR TESTET - DE VIRI(ER! San Barsnes Smonsen: ' ' I r ' \ I I -........ I... f '.-'. --::jjj' ';:'j:' \f [ ] I-a;--7A -n4 LY " r1._ " r O Anne Esaheh ok baren med $hape.up

Detaljer

Styring av romfartøy STE6122

Styring av romfartøy STE6122 Syring av romfarøy STE6122 3HU -. 1LFNODVVRQ Høgskolen i Narvik Høs 2000 Forelesningsnoa 8 1 6W\ULQJ RJ UHJXOHULQJ DY RULHQWHULQJ,, Nødvendig med nøyakig syring og/eller regulering av orienering i en rekke

Detaljer

X ijk = µ+α i +β j +γ ij +ǫ ijk ; k = 1,2; j = 1,2,3; i = 1,2,3; i=1 γ ij = 3. i=1 α i = 3. j=1 β j = 3. j=1 γ ij = 0.

X ijk = µ+α i +β j +γ ij +ǫ ijk ; k = 1,2; j = 1,2,3; i = 1,2,3; i=1 γ ij = 3. i=1 α i = 3. j=1 β j = 3. j=1 γ ij = 0. UNIVERSITETET I OSLO Det matematsk-naturvtenskapelge fakultet Eksamen : Eksamensdag: 7. jun 2013. Td for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på 8 sder. Vedlegg: Tllatte hjelpemdler: STK2120 LØSNINGSFORSLAG

Detaljer