Inger Bækkevar Anne-Mari Jensen Christina Bauck Jensen Jens Wilhelm Lindstad Anja Saxebøl MØNSTER. Matematikk 1 P-Y

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Inger Bækkevar Anne-Mari Jensen Christina Bauck Jensen Jens Wilhelm Lindstad Anja Saxebøl MØNSTER. Matematikk 1 P-Y"

Transkript

1 Inger Bækkevr Anne-Mri Jensen Christin Buk Jensen Jens Wilhelm Linst Anj Sxeøl MØNSTER Mtemtikk P-Y

2

3 (,) Inger Bækkevr, Anne-Mri Jensen, Christin Buk Jensen Jens Wilhelm Linst, Anj Sxeøl MØNSTER Elektro og tteknologi Mtemtikk P-Y Bokmål

4 (,) Gylenl Norsk Forlg AS. utgve,. opplg ISBN Denne ok er en el v læreverket Mønster. Bok ekker målene i gjelene lærepln i fget mtemtikk P-Y for elektro og tteknologi. Printe in Ltvi y Livoni Print Lt, Rektør: Klus A. Krlson Bilerektør: NTB (Ingri Ellingsen og Merethe Hommelsgår) Design: Mrinne Ceilie Dhl / mesign.no Logoesign: Eggeosis AS / Gunveig Wnvik Sts og lyout: Gmm grfisk AS (Vegr Brekke) Språkkonsulent: Tron Eines Omslgsesign: Lise Mosveen Omslgsile: MirgeC / Moment / Getty Imges Figurer: Gmm grfisk AS (Vegr Brekke / Arnvi Moholt), figurer rete with GeoGer ( og Python ( Illustrsjoner: Nov M. Lie: sie ø, 9ø, 9n,, 6 Snr Wilmnn: sie, Dougls R. Wington: sie 9 Bilekreiteringer: Sie 8: Drioyl / Shutterstok, : Shutterstok, : Lise Åseru / NTB, 7: Gorm Kllest / NTB, : Mskot / Getty Imges, : Shutterstok, 7: Shutterstok, : wikipei.no, : Westen6 / Getty Imges, : Jens Sølverg / Smfoto / NTB, 6: Pnkrtion / E+ / Getty Imges, 6: Shutterstok, 6: Shutterstok, 6: Roertkuehne / istok / Getty Imges Plus, 66: Pete Ark / Moment / Getty Imges, 68: Shutterstok, 69: Shutterstok, 7: Thoms Brun / NTB, 7: Shutterstok, 7ø: Jens Sølverg / Smfoto / NTB, 7n: Shutterstok, 7: Tetr Imges / Getty Imges, 76ø: Shutterstok, 76n: Shutterstok, 79: Shutterstok, 8: Shutterstok, 8: Shutterstok, 86ø: Shutterstok, 86nv: Shutterstok, 86nh: Vine Streno / Coris Doumentry / Getty Imges, 87v: Shutterstok, 87h: Shutterstok, 9v: Luis Alvrez / DigitlVision / Getty Imges, 9h: Shutterstok, 9: Mskot / NTB, : Thomsnres / istok / Getty Imges Plus, : Shutterstok, ø: Shutterstok, n: Shutterstok, : Shutterstok, 6: Olezzo / istok / Getty Imges Plus, 7: Kitthnes / istok / Getty Imges Plus, 8: Mur / E+ / Getty Imges, 9: Shutterstok, : Shutterstok, 8: Mimsy Møller / Smfoto / NTB, : Shutterstok, : Shutterstok, : Steinr Myhr / Smfoto / NTB, 7n: Shutterstok, 7ø: Ygi Stuio / DigitlVision / Getty Imges, : PeopleImges / E+ / Getty Imges, : Trinmn / istok / Getty Imges Plus, n: Shutterstok, : Shutterstok, : Shutterstok, 8: Shutterstok, 6: Shutterstok, 7: Shutterstok, 7: Shutterstok, 76: Shutterstok, 77: Shutterstok, 78: Shutterstok, 9: Shutterstok, 9: Shutterstok, 97: Shutterstok, : Shutterstok, : Shutterstok, : Shutterstok, 9: Shutterstok, h: Bjørn Jørgensen / Smfoto / NTB, v: Shutterstok, : Shutterstok, 6: Shutterstok, 8ø: Frerik Snerg / TT / NTB, 8n: Peter Muller / Cultur / Getty Imges, : Shutterstok, : Kli9 / E+ / Getty Imges, 8: Terje Beniksy / NTB, 9: Monty Rkusen / Cultur / Getty Imges, : Shutterstok, n: Mskot / NTB, 6: Mskot / / istokphoto / Getty Imges, 8: Shutterstok, : Stin Shløsser Møller / Smfoto / NTB, : Zig Plhutr / E+ / Getty Imges, 7ø: Mihil Durovinskiy / px / Getty Imges, 6: SARINYAPINNGAM / istokphoto / Getty Imges, 6n: Lu Kleve-Ruu / Smfoto / NTB, 6ø: Nttkorn Mneert / EyeEm / Getty Imges, 67: RelxFoto.e / istokphoto / Getty Imges, 7: Prmo Bhnri / px / Getty Imges, 77ø: Gorm Kllest / NTB, 77n: Shutterstok Mterilet i enne ok er eskyttet etter ånsverklovens estemmelser. Enhver kopiering, vfotogrfering eller nnen form for eksemplrfrmstilling og tilgjengeliggjøring v mterilet i enne ok er kun tilltt ersom et finnes lovhjemmel eller er inngått særskilt vtle me Gylenl Norsk Forlg AS. Virksomheter som hr inngått vtle me Kopinor, kn kopiere, vfotogrfere osv. innenfor vtlens rmmer (inntil % v oks sietll). Det er ikke tilltt kopiere fr reisøker (engngshefter). Utnytting i stri me lov eller vtle kn meføre ersttningsnsvr og innrgning, og kn strffes me øter eller fengsel. Forftterne hr motttt støtte fr Det fglitterære fon til enne ok. Alle henvenelser om forlgets utgivelser kn rettes til: Gylenl Unervisning Reksjonen for vieregåene skole Postoks 686 St. Olvs plss Oslo E-post: Alle Gylenls øker er prousert i miljøsertifiserte trykkerier. Se

5 (,) Foror Det er ulike læreplner i mtemtikk for hvert enkelt progrmområe på yrkesfglig stuieretning. Denne ok er for eg som hr vlgt elektro og tteknologi. Bok skl hjelpe eg til å lære mtemtikk som u kn få nytte v åe i gliglivet, i progrmfget, i viere utnning og i itt frmtiige yrke. Hvert kpittel strter me en prktisk prolemstilling fr itt progrmområe. Disse kommer u tilke til som en ktivitet i slutten v kpitlet. Her får u rukt mtemtikken u hr lært, smmen me in fgkompetnse fr elektroog tteknologi, til å løse prktiske prolemer. Første kpittel i ok klles Mtemtisk verktøyksse. Dette kpitlet inneholer mtemtikk som u kn kjenne igjen fr tiligere skoleår. Lærestoffet fr kompetnsemålene i fget itt egynner i kpittel, og u kn egynne å reie me ok erfr. Hvis et er et emne u er usikker på, kn u slå opp i verktøykpitlet og finne ut v et u hr glemt eller ikke forstått. Det kn også hene t u ønsker å reie eg gjennom hele eller eler v verktøykpitlet først fori u ønsker å friske opp kunnskp. I læreplnen er et flere kjerneelementer. Ett v em er «Utforskning og prolemløsning». Denne ok er lgt opp for å gi eg go nlening til å unersøke og forske på mtemtiske og prktiske prolemstillinger. Det skl ikke re være rill på metoer og frmgngsmåter. Det skl også være prolemer som utforrer ere, er et er viktig å iskutere, forklre og smreie, og er ere må ruke kretivitet og tiligere erfringer. Det er også ktiviteter me progrmmering som kn stimulere til utforskning til hvert kpittel. Husk t et ofte er flere måter å komme frm til en riktig løsning på. Som vslutning på hvert kpittel er et oppgver me ulike vnskegrer og yrkesrettee oppgver og ktiviteter. Til læreverket hører også Mønster Smrt Øving. Det er et igitlt verktøy som gir eg øvingsoppgver som er tilpsset itt nivå og ine ehov. Her får også læreren oversikt over reiet itt, slik t u kn få så go oppfølging som mulig. Tkk til lærere på elektro og tteknologi ve Askim vieregåene skole for goe smtler og nyttige innspill til ok. Lykke til me læring v mtemtikk! Oslo, juni Inger Bækkevr, Anne-Mri Jensen, Christin Buk Jensen, Jens W. Linst og Anj Sxeøl

6 (,) Innhol Den mtemtiske verktøykss Posisjonssystemet Bli go til å regne! Brøk Prosent Vekstfktor Prolemløsning Oppgver Målenheter Grunnleggene målenheter Målenheter for rel og volum Smmenstte målenheter Det inære tllsystemet Hv hr jeg lært? Test eg selv Aktiviteter Oppgver Formler og likninger Å løse likninger Ulike uttrykksformer Å forstå og lge formler Å ruke formler Formler fr yrkeslivet Å løse likninger me igitle hjelpemiler.. Hv hr jeg lært? Test eg selv Aktiviteter Oppgver

7 (,) Innhol Trigonometri Trigonometriske forhol Finne lenger i rettvinklete treknter Finne vinkler i rettvinklete treknter Enhetssirkelen Arelsetningen Sinuskurver og vekselstrøm Fseforskyvning Effekter ve inuktive elstninger Hv hr jeg lært? Test eg selv Aktiviteter Oppgver Personlig økonomi Lønn og feriepenger Beregning v lønn og sktt Busjett og regnskp Spring Lån Kreittlån Hv hr jeg lært? Test eg selv Aktiviteter Oppgver Python på GeoGer på Exel på Fsit Stikkor

8 (6,) Slik ruker u ok Yrkesretting Mønster EL er skrevet spesielt for elektro og tteknologi, me mnge eksempler og oppgver hentet fr yrkeslivet. Den mtemtiske verktøykss Trenger u å friske opp mtemtikkunnskpene ine? Står u fst i reiet me oppgvene ine? Dette kpitlet gir eg oversikt over noen emner som hr vært tem i mtemtikkunervisningen på tiligere skoletrinn. Utforsk smmen Her finner u ktiviteter som legger til rette for utforskene mtemtikk, iskusjon og smrei. Du kn ruke em irekte eller ve t læreren tilpsser et til grupp som grunnlg for forståelse og yelæring. Tenk gjennom Bok legger til rette for yelæring gjennom å oppmuntre til refleksjon. Merk Her finner u tips, repetisjon og korte oppsummeringer. Eksempler Et rikt utvlg v eksempler i ok viser ulike måter å løse og presentere en oppgve på. Vieo Vieo-ikonet viser t et er en unervisningsfilm i Skolestuio. Filmen forklrer teori, eksempler og løsninger eller viser ruk v igitle verktøy. Viktige setninger De lå oksene inneholer viktige setninger, egreper og efinisjoner. Det som står her, er et viktig t u lærer eg og forstår.

9 (7,) Vrierte oppgver Etter hvert elkpittel er et oppgver er u kn øve på et u nettopp hr lært. I oppgvesmlingen finner u flere oppgver til hvert elkpittel, i tillegg til lnee oppgver og eksmensoppgver. Oppgver som er mer utforrene er mrkert me firknter. Blynt-ikonet viser oppgver u skl løse uten hjelpemiler. Et eget,, ikon viser oppgver som krever t u joer utforskene eller ruker prolemløsningsstrtegi i smrei me nre elever. Læringsstrtegier Gjennom tyelige læringsmål, «Læringslogg» kerst i hvert elkpittel og «Hv hr jeg lært?» til slutt i hovekpitlene, oppforrer vi til å reflektere over egen læring og til å se mønstre og smmenhenger i fget. Gjennomgåene prosjektoppgve I «Prosjekt hjemmekinonlegg» får u mulighet til å lære mtemtikk i smmenheng me reiet itt i prksisfeltet. Aktiviteter Små, åpne yrkesrettee oppgver som gjerne kn gjennomføres tverrfglig me progrmfget itt. Test eg selv Her finner u oppgver fr hele kpittelet. De er elt inn i oppgver u skl løse uten og me hjelpemiler. Oppgvene fungerer got som repetisjon til en kpittelprøve. Digitle verktøy Bkerst i ok finner u korte oppslgsmnuler klt «Exel på», «Python på» og «GeoGer på». Mønster Smrt Øving og Skolestuio Smrt Øving er et ptivt øvingsverktøy som er utviklet til læreverket. Du får igitle øvingsoppgver som er tilpsset itt nivå. I Skolestuio finner u lnt nnet unervisningsvieoer og fullstenige løsningsforslg til lle oppgvene i ok.

10 (8,) DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

11 (9,) Hvorfor et kpittel me «verktøy»? Trenger u å friske opp mtemtikkunnskpene ine? Står u fst i reiet me oppgvene ine? Dette kpitlet vil gi eg oversikt over en el emner som hr vært tem i mtemtikkunervisningen på tiligere skoletrinn. Det er ment som en oppfrisking v kunnskp og som en oversikt u kn slå opp i når u reier me e nre emnene i læreok. Du kn gjerne gå irekte til kpittel. Hvis u kommer til noe u er usikker på, kn u slå opp i verktøykpitlet og finne ut v et u hr glemt eller ikke forstått. Eller knskje ønsker u å friske opp noen v emnene i en mtemtiske verktøykss først? Kpitteloversikt I. Posisjonssystemet lærer u hv plssen som et siffer står på, hr å si for verien til sifferet. Du lærer også om regler for vruning v tll. I. Bli go til å regne! får u noen tips til effektiv hoeregning og en oversikt over regneregler me åe positive og negtive tll. Du lærer også om potenser og kvrtrøtter. I. Brøk lærer u hv en røk kn være, og hvorn vi regner me røker. I. Prosent lærer u hv prosent etyr, og hvorn vi regner me prosent. I. Vekstfktor lærer u hv vekstfktor er, og hvorn vi regner me vekstfktor. I.6 Prolemløsning lærer u å ruke flere ulike metoer for å løse prolemer i mtemtikkoppgver.

12 (,) KAPITTEL DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA. Posisjonssystemet I et tll som estår v flere siffer etter hvernre, vil plssen hvert siffer står på, fortelle hvilken veri et hr. Hv er verien til sifferet i tllene 6, 8 og,? D U S K AL K U N N E vite hvilken veri et siffer hr i et helt tll eller et esimltll vite hvorn u kn gnge eller ele me,, osv. ruke reglene for vruning v tll Oversikt over plssene i titllssystemet 6,7 =, = tusener hunrer tier ener, tiel hunreel tusenel 6,, 7 Hele tll hr ikke noe siffer etter kommet. Tllene k kommet er tieler, hunreeler, tuseneler osv. De klles esimler. Et tll me esimler klles et esimltll. Hvis vi gnger eller eler tll me,, osv., hvner lle sifrene i tllet på nye plsser. Rekkefølgen sifrene hr i tllet, enrer seg ikke. Vi skriver på plsser som lir tomme.,, ¼ ¼ ¼, ¼, Når vi gnger me, lir tllet ti gnger større. Tllet på enerplssen flyttes til tierplssen, og e nre sifrene flyttes slik t rekkefølgen v sifrene eholes., = ¼ ¼, Når vi gnger me, lir tllet hunre gnger større. Tllet på enerplssen flyttes til hunrerplssen., = ¼ ¼ Når vi gnger me, lir tllet tusen gnger større. Tllet på enerplssen flyttes til tusenerplssen.

13 (,) Posisjonssystemet : :, : ¼, ¼, ¼, Når vi eler på, lir tllet ti gnger minre. Tllet på enerplssen flyttes til tielsplssen, og e nre sifrene flyttes slik t rekkefølgen v sifrene eholes. : :, : ¼, ¼, ¼, Når vi eler på, lir tllet hunre gnger minre. Tllet på enerplssen flyttes til hunreelsplssen. Merk Bk en siste esimlen kn vi føye til nuller uten å enre verien til tllet. Tllene,8 og,8 er like store, men et siste er mer nøyktig. Tenk gjennom! Hvor mye lir,? Hvor mye lir,8? Hvor mye lir 67 :? Tenk gjennom! Hv er størst v en hunreel og en tusenel? EKSEMPEL Hvilket tll er størst v, og,? Hvilket tll er størst v,8 og,8? Løsning:, estår v enere, tieler, hunreeler og tuseneler., estår v enere, tieler, hunreeler og tuseneler., er størst fori hunreeler er større enn tuseneler. Vi kn se hvorn e to tllene er plssert på tllinj:,,,,,,,,,,,8 estår v tier, enere, tieler, 8 hunreeler og tuseneler.,8 estår også v tier, enere, tieler, 8 hunreeler (og tuseneler). De to tllene er like store.,

14 (,) KAPITTEL DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA Avruning 76 7,9 Isk sier t hn er 7 m høy. Er hn nøyktig 7 m, eller er hn svært nær? Hvor høy skl vi si hn er hvis hn egentlig er 7,8 m eller 7, m? 7,8 7,7 7,6 7, 7, 7, 7, 7, Vi sier t lle mål som ligger nærmere 7 m enn 7 m og 76 m, skl vrunes til 7 m. Det vil si t lle tll fr og me 7, m til og me 7, m regnes som 7 m. Vi skriver 7, 7 her hr vi runet opp, og 7, 7 her hr vi runet ne. 7 7,9 7,8 7,7 7,6 Først må vi ltså estemme hvor nøyktig tllet vårt skl være. Skl et være hele tusenere, hunrere, tiere? Skl tllet h esimler, og eventuelt hvor mnge? 7, 7, Hvis et første sifferet som står etter et vi vil ehole, er eller minre, runer vi ne. Hvis sifferet er eller større, runer vi opp. 7, 7, 7, 7 EK SEMPEL Run v,96 til et helt tll. Run v,8 til et tll me én esiml. Run v 78 til hele tusenere. Løsning:,96. Det nærmeste tllet etter enerplssen er 9, og runer vi oppover.,8,. Det nærmeste tllet etter tielsplssen er, og runer vi neover. 78. Det nærmeste tllet etter tusenerplssen er 7, og runer vi oppover.

15 (,) Posisjonssystemet Oppgver. Fyll ut sifrene og tllene som mngler, på rett plss i tellen neenfor: tusener (kilo) hunrer (hekto) tier (ek) ener, 98, =, 6, =,... = 8,... =,,... =. Hvilket tll er størst? tiel (esi) hunreel (enti). Skriv opp et esimltll me minst fem siffer. Forklr hvilken plss e ulike sifrene står på. 99,9 eller 99, 7, eller 7,, eller, Skriv et tll som ligger mellom Multipliser tllet me. Forklr hvilken plss sifrene nå står på. 9,98 og,. Løs oppgven uten klkultor: e 89, og 89,,786 f Skriv tre tll som ligger mellom,6 og,8. 7 6, : 9 :. Run v til hele tll:,99,99 Run v til to esimler:,7, Run v til hele tusenere: 6 tusenel (milli) 7 99

16 (,) KAPITTEL DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA. Bli go til å regne! Regn ut i hoet: þ6þþþ8þ7 Regn ut i hoet: þ7þ6þþþ8 Hv er forskjellen på isse to regnestykkene? Hvilket er enklest å regne ut? Hvorfor? Alle hr sine måter å tenke på når e reier me tll. Og u kn llti utvikle metoene ine viere. Du trenger å vite reglene for hvorn et regnestykke skrives, åe for å regne rett, men også for å tste riktig når u løser regnestykket me igitlt verktøy. Det finnes flere goe måter å regne me tll på enn em vi nevner. Knskje u hr noen selv? D U S K AL K U N N E utføre enkle regnestykker som hoeregning lge eg noen strtegier for å regne effektivt på ppir regne me åe positive og negtive tll regne me potenser og kvrtrøtter ruke reglene for regnerekkefølge Å legge smmen tll Noen gnger kn regningen li enklere ersom vi ytter rekkefølgen på leene. Det kn være spesielt nyttig når u regner i hoet. Når vi legger smmen tll kn vi ytte rekkefølge på leene. Du kn lete etter tll som til smmen lir hele tiere, og legge em smmen slik t summeringen til slutt re lir å telle tiere og knskje noen enere. Du kn også ele opp tllene i enere, tiere, hunrere, tusenere osv., og så legge smmen tusenerne for seg, hunrerne for seg, tierne for seg og enerne for seg, før u summerer et hele.

17 (,) Bli go til å regne! EKSEMPEL Regn ut þ þ 6 þ 8 þ. Regn ut 67 þ. Løsning: þ þ 6 þ 8 þ ¼ ð þ 6Þ þ ð þ Þ þ 8 ¼ þ þ 8 ¼ 78 Prentesene er ttt me for å vise hvilke tll vi hr lgt smmen først. Let etter tll som er lette å legge smmen, og ytt rekkefølge på leene. Her viser vi en nnen måte å tenke på. Vi eler tusenere, hunrere, tiere og enere og legger em smmen hver for seg. Leene kn ytte plss: 67 þ ¼ ð þ 6 þ 7Þ þ ð þ þ þ Þ ¼ ð þ Þ þ þ ð6 þ Þ þ ð þ 7Þ ¼ þ þ 8 þ ¼ 9 Å multiplisere tll Et proukt er svret på et gngestykke. Tllene som gnges, klles fktorer. I et gngestykke kn vi ytte plss på fktorene. Hv er enklest å regne i hoet v 8 og 8? Vi hr e smme tre fktorene, men ve å ytte rekkefølge får vi ð Þ 8 ¼ 8. Noen gnger psser et å ele opp et tll i fktorer. For eksempel kn 8 være lettere å regne i hoet hvis vi husker t ¼. D får vi 8 ¼ ð Þ 8 ¼ ð 8Þ ¼ ¼. I et gngestykke kn vi ytte rekkefølge på fktorene. Hvis vi hr flere fktorer, kn vi velge hvilke fktorer vi vil multiplisere først og sist. Skl vi gnge me tosifrete tll, kn et være til hjelp å tenke på prouktet v to tll som et rel.

18 (6,) KAPITTEL DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA EK SEMPEL Regn ut 6 8. Løsning: Vi tegner et rektngel me sier lik 6 og 8. Vi eler 8 i tiere og enere, slik t vi får to rektngler som et er lettere å finne relet v: 8 þ 6 ¼ 8 Merk Du kn tegne 6 8 og 8 6 på smme måte = 8 6 = 6 = 6 8 =? 6 6 EK SEMPEL Regn ut 6 8. Løsning: Vi tegner et rektngel me sier lik 6 og 8. Vi mrkerer t 6 ¼ þ 6 og 8 ¼ þ 8. Regnestykket lir en sum v rektngler: þ þ 8 þ 8 ¼ þ þ 8 ¼ = = 8 8 þ ¼ = =? = 8 = 6 6 = =

19 (7,) Bli go til å regne! Du finner igjen e to utregningene til høyre på figuren i en vnlige skrivemåten vi ruker når vi gnger flersifrete tll me hvernre = = 6 = 8 Når vi skl regne ut,6,8, kn vi forenkle regningen ve å gnge egge fktorene me slik t regnestykket lir 6 8. For t svret til slutt skl li rett, må vi etter utregningen ele på sien vi først gnget me ¼ :,6,8 ¼ 6 8 : ¼ 8 : ¼,8 Potenser og kvrtrøtter Hvis vi i et gngestykke hr flere like fktorer, for eksempel, forenkler vi skrivemåten ve å skrive. Det etyr gnget me seg selv fire gnger: = klles en potens. I ette uttrykket er -tllet grunntll og -tllet eksponent: Eksponent Grunntll Vi ruker potenser i en el formler, for eksempel i relet v et kvrt. Hvis et kvrt hr sielenge lik, er relet ¼ ¼. Merk Sluttsvret får like mnge esimler som fktorene hr til smmen. 7

20 (8,) 8 KAPITTEL DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA Merk Vi kn ruke klkultoren til å finne kvrtrot v et tll. De fleste kvrtrøttene er esimltll som må runes v, for eksempel Noen gnger trenger vi å gå motstt vei: Vi vet hvor stort relet v et kvrt er, men ønsker å finne lengen v siene. Hvis for eksempel et kvrt hr et rel på, sier vi t sielengen i kvrtet er kvrtrot v. pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffi Vi skriver ¼ ¼. Det vil si t kvrtet hr sielenge lik. Kvrtrot v et tll er et positive tllet som gnget me seg selv gir tllet: pffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ pffiffiffiffiffi ¼,7 9...,7. Regnerekkefølgen Rekkefølgen i utregninger: Regn ut inni prentesene. Regn ut lle potenser. Gnge og ele. Legg smmen og trekk fr. EK SEMPEL 6 Regn ut: 9 þ : Løsning: 9 ¼ 9 ¼ 8 þ : ¼ þ ¼ 9 EK SEMPEL 7 Regn ut ð þ Þ ð7 Þ ð8 þ Þ :. Løsning: Vi følger punktene i regelen for regnerekkefølge. Husk t et er gngetegn mellom tll og prenteser: ð þ Þ ð7 Þ ð8 þ Þ : ¼ 7 : ¼ 7 : ¼ 8 6 ¼

21 (9,) Bli go til å regne! Positive og negtive tll På tllinj står e positive tllene til høyre for null og e negtive tllene til venstre. Vi skriver minus forn e negtive tllene. Vi sier t minus er et fortegn. Pluss forn et positivt tll er også et fortegn, men vi skriver vnligvis ikke fortegn forn e positive tllene. Tllene lir større jo lenger mot høyre på tllinj vi kommer. For eksempel er større enn, og er større enn. Tenk gjennom! Hv er størst v eller? Hv er minst v, og 6,? Å legge smmen og trekke fr positive og negtive tll Vi legger til tll ve å telle mot høyre på tllinj. Vi trekker ifr tll ve å telle mot venstre på tllinj. Hv lir 7? Vi egynner i et positive tllet og teller sju enheter mot venstre. D ener vi opp i et negtive tllet, så 7 ¼ Hv lir þ 7? Her egynner vi i et negtive tllet og går sju enheter mot høyre: þ 7 ¼

22 (,) KAPITTEL DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA Hv lir 6 þ? På tllinj ser vi t 6 þ ¼ Vi kn ytte plss på leene i en sum, så vi kn skrive 6 þ ¼ 6. På tllinj neenfor ser vi t vi svret lir også når vi lr leene ytte plss og regner ut Mønsteret i isse eksemplene kn være til hjelp for å hole ree på hv som skjer når vi trekker ifr negtive tll: Merk ¼ ¼ ¼ ¼ ð Þ ¼ ð Þ ¼ ð Þ ¼ 6 ð Þ ¼ þ ð Þ ¼ þ ð Þ ¼ þ Merk ¼ ¼ ð Þ ¼ ð Þ ¼ ð Þ ¼ ð Þ ¼ ð Þ ¼ To ulike tegn etter hvernre gir minus. To minustegn etter hvernre gir pluss. EK SEMPEL En morgen i mrs vr temperturen C. I løpet v noen timer steg en me 7 C. Hv le temeprturen? Løsning: Grestokken er som ei lorett tllinje. Vi kn egynne i C og telle 7 C oppover. C þ 7 C ¼ C Temperturen steg til C. ð Þ ¼ þ ð Þ ¼ þ ð Þ ¼ þ ð Þ ¼ þ ð Þ ¼ þ

23 (,) Bli go til å regne! Multipliksjon me negtive tll Hvis vi skl skrive to tegn (þ,, eller :) etter hvernre, ruker vi prentes. Vi setter prentes runt negtive tll i gngestykker for å unngå misforståelser. Hvis vi for eksempel skl gnge 6 me, skriver vi 6 ð Þ. R E G N E R E G L E R F O R N EG A T I V E T A L L Hvis vi multipliserer et positivt og et negtivt tll, lir svret negtivt. ðþþ ð Þ ¼ ð Þ Hvis vi multipliserer to negtive tll, lir svret positivt. ð Þ ð Þ ¼ ðþþ EKSEMPEL 9 Regn ut: 6 ð Þ ð Þ ð Þ þ Løsning: 6 ð Þ ¼ 6 Her er en fktor positiv og en negtiv. ð Þ ¼ Her er egge fktorene negtive. ð Þ þ ¼ þ þ ¼ þ ¼ Pss på t fortegnene følger tllene hvis leene ytter rekkefølge! Merk De smme fortegnsreglene som gjeler ve gnging (multipliksjon), gjeler også ve eling (ivisjon).

24 (,) KAPITTEL DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA Oppgver.6 Prøv å ytte rekkefølge på leene slik t regningen lir enklere. Knskje u kn løse oppgvene som hoeregning?. Når vi gnger et helt tll me seg selv, sier vi t vi får et kvrttll. Skriv opp e ti første kvrttllene. þ 9 þ 7 9 þ þ 8. Regn ut. Pss på regnerekkefølgen! þ 6 þ þþþþþ6þ7þ8þ9 þ ð Þ e,6 þ,6 þ, ð Þ þ ð þ 8Þ f,96,96 6 þ 6 6 e 8ð Þ þ :.7 Regn ut:,. Regn ut. Pss på regnerekkefølgen! 8, 7,6 þ 6 þ : 8 þ 6 : þ 9 : þ : 8ð Þ 7ð 9Þ ð þ 6Þ þ : ð Þ.8 Regn ut: 6 ð Þ þ ð 7Þ 6, pffiffiffi 9. Hv lir hlvprten v tllene? Klrer u et uten hjelpemiler?.9 Regn ut: e f pffiffiffiffiffi 6 pffiffiffiffiffi 9,6 98 f,6 Hv lir et oelte v tllene? Klrer u et uten hjelpemiler? 9 e,8

25 (,) Brøk. Brøk Vi ruker ilnt røker i gligtle. Vi snkker om et hlvt eple og et kvrt kilo kffe. En hlv og en kvrt er røker. En kvrt etyr en fireel, og et kvrter er en fireels time. Den som kn noter, vet t et finnes helnoter, hlvnoter, fireelsnoter, åtteelsnoter og sekstenelsnoter. Brøkene forteller hvor lenge en tone skl vre. Det er mnge gnger nyttig å kunne ruke røk til å eskrive eler v noe. D U S K AL K U N N E vite hv en røk er gi eksempler på ulike prolemstillinger er vi regner me røk forkorte og utvie røker legge smmen og trekke ifr røker gnge og ele me røker Hv er en røk? En røk estår v to hele tll skrevet over hvernre me en strek i miten. Tllet over streken heter teller, fori en viser hvor mnge røkeler vi hr, en teller røkelene. Tllet uner streken heter nevner, fori en nevner hvilken røkel vi hr. Streken mellom tllene kller vi røkstrek. En røkstrek etyr et smme som et eletegn: teller nevner røkstrek Vi ruker røker i ulike smmenhenger En røk kn rukes om en el v en hel, men en røk kn også rukes om en el v en menge. Vi kn essuten se på en røk som et tll vi kn plssere på tllinj. Derfor er et viktig å forstå hvilken smmenheng vi ruker røkene i.

26 (,) KAPITTEL DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA En røk som en el v en hel Figuren til venstre viser røken. Vi hr frgelgt to femeler v en hel sirkel. Når vi snkker om en hel, kn et være en hel figur, en hel pizz, en hel v et hele. Vi kn ele opp så mye vi ønsker, men elene må være like store. Nevneren forteller hvor mnge eler vi hr elt et hele i. Tr vi to eller flere slike eler, vil telleren fortelle hvor mnge vi hr ttt. sjokole osv. Hvis vi eler en hel opp i fem like store eler, er hver el Hvis vi hr, hr vi hel. Vi skriver ¼. + Hr vi flere enn fem femeler, hr vi mer enn hel. Se e to figurene i mrgen. 8 Vi skriver þ ¼ þ ¼. Tenk gjennom! Hvorn vgjør u om isse røkene er minre enn, lik eller større enn hel? 9,, 7 En røk som en el v en menge Vi kn også ele nre størrelser opp i røkeler. Vi kn ele en klsse, et eløp, en lenge eller hv som helst som kn måles me tll. Vi tenker oss t vi eler størrelsen i like store eler, og t vi tr et ntll v isse elene. v em er jenter, tenker vi oss t vi eler klssen i femeler, vs. t vi eler elevene i fem like store grupper. Det lir tre elever i hver gruppe, og to slike grupper på tre personer utgjør lle jentene. Så et er seks jenter i klssen. Hvis et for eksempel er elever i en klsse, og vi får vite t En røk er et tll som kn plsseres på tllinj Vi skriver en røk me to tll, en teller og en nevner. Det kn vi oppftte som et regnestykke er teller eles på nevner. Dette regnestykket lir lik et helt tll eller et esimltll, og røken er lik ette tllet. Vi kn plssere lle røker på tllinj, slik vi ser noen eksempler på her:,,,6,8, 9,,,6,8 9,,

27 (,) Brøk Brøk og esimltll Brøk og esimltll er to ulike måter å uttrykke en veri på. Hvorn skrives som esimltll? Hvorn skrives, som røk? Når vi skl gjøre om en røk til esimltll uten å ruke klkultor, lønner et seg å gjøre røken om til tieler eller hunreeler hvis et er mulig. til hunreeler, får vi ¼ : D ser vi lettere t esiml tllet må være,. Utvier vi er et smme som. Ikke lle røker er like enkle å gjøre om til esimltll. D kn vi ruke klkultor og huske på t røkstreken er et eletegn (ivisjonstegn): 7 ¼ 7 : ¼,66...,6 Når vi gjør om røker ve å ele teller på nevner, går ivisjonen noen gnger opp. For eksempel er ¼ : ¼,. Anre gnger får vi uenelig mnge esimler, som ¼ : ¼,... Tllet,... er ikke helt nøyktig, for ntll esimler stnser lri. Brøkene hr en forelen t e llti er ekskte. Å skrive tllet som en røk er helt nøyktig. EKSEMPEL Gjør om til esimltll. Løsning uten klkultor: Her utvier vi røken ve å multiplisere me åe over og uner røkstreken, slik t vi får i nevneren: ¼ ¼ ¼, Løsning me klkultor: ¼ : ¼, Merk ¼ : ¼, ¼ : ¼, ¼ : ¼, ¼ : ¼,7

28 (6,) 6 KAPITTEL DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA Like røker kn skrives på mnge måter 6 = + 6 = + 6 = + 6 = + 6 = + 6 = + Brøker kn se svært forskjellige ut og likevel være smme tll. For eksempel er ¼. De to røkene er smme tll fori e representerer 6 en like stor el v en hel. Hvis vi gnger me smme tll i teller og nevner, får vi Hvis vi eler me smme tll i teller og nevner, får vi ¼. 6 : ¼. : 6 ¼, hr vi gnget eller elt me. Det enrer ikke størrelsen på tllet. Sien Merk Når vi gnger me smme tll over og uner røkstreken, sier vi t vi utvier røken. Når vi eler på smme tll over og uner røkstreken, sier vi t vi forkorter røken. Vi kn multiplisere eller iviere me smme tll åe i teller og nevner uten å enre røkens veri., kn vi forkorte eller utvie en til 6 mnge røker som ser ulike ut. Etter å h forkortet røkene ser vi t lle hr verien. Alle røkene er smme tll! Hvis vi tr utgngspunkt i røken Tenk gjennom! Vis hvorn lle isse røkene hr smme veri

29 (7,) Brøk EKSEMPEL Utvi til tolveler. Løsning: Vi må ele opp i tolv like store eler. Skl vi utvie røken til tolveler, må vi multiplisere nevneren me ettersom ¼. Vi multipliserer åe teller og nevner me for t røken ikke skl enre veri: ¼ ¼ Figuren viser t vi eler hver v fireelene i tre like store eler. og er like mye. EKSEMPEL Forkort 6. Løsning: Når vi forkorter røker, forkorter vi så mye som mulig hvis vi ikke hr fått eskje om noe nnet: 6 6:6 ¼ ¼ : 6 Vi kn også gjøre forkortingen i flere trinn: 6 6: : ¼ ¼ ¼ ¼ : : Tenk gjennom! Hv er størst v og? 7 9 7

30 (8,) 8 KAPITTEL DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA EK SEMPEL Hv er minst v og? 7 Løsning: Vi kn smmenlikne røkene ve å tegne em. Ut fr figurene i mrgen ser vi t er en minste røken. En nnen mulighet er å smmenlikne røkene ve å gjøre em om til esimltll: ¼ : ¼, ¼ : 7 ¼,7 7 Ut fr esimltllene ser vi t er en minste røken. En treje mulighet er å utvie egge røkene slik t e får smme nevner: 7 ¼ ¼ 7 ¼ ¼ 7 7 D ser vi tyelig t er minre enn fori er minre enn. 7 Tenk gjennom! Hv skjer me verien til en røk når vi re multipliserer telleren me et tll? Hv skjer me verien til en røk når vi re multipliserer nevneren me et tll? Å legge smmen og trekke ifr røker Merk På klkultoren kn vi legge smmen og trekke ifr røker me ulike nevnere. Klkultoren gjør utomtisk om lle røkene slik t e får smme nevner. Hvis vi skl legge smmen eller trekke ifr røker, må e h smme nevner, fellesnevner. Fellesnevneren er et tll som lle nevnerne i regnestykket går opp i. Vi må oftest utvie røkene for t e skl få smme nevner. Når vi skl legge smmen røker me smme nevner, legger vi smmen tellerne. Nevnerne eholer vi. Hvorn skl vi legge smmen røker som ikke hr smme nevner?

31 (9,) Brøk EKSEMPEL þ. Regn ut Løsning: I ette tilfellet hr egge røkene smme nevner, fireeler, og tellerne forteller hvor mnge fireeler vi hr: þ ¼ ¼ / / + / / = / + / / / / / EKSEMPEL Regn ut þ. Løsning: Vi kn ikke legge smmen treeler og fireeler, så vi må utvie egge røkene slik t e får smme nevner. Båe treeler og fireeler kn eles i tolveler. Til slutt ser vi t vi kn forkorte til sekseler: + = + 6 = = 6 Utregningen følger figuren: 6 : þ ¼ þ ¼ þ ¼ ¼ ¼ : 6 Når vi legger smmen og trekker ifr røker, må e h smme nevner fellesnevneren. Tenk gjennom! Hvorn kn u finne et tll som åe og går opp i? Hv me og 7? Merk Hvis en røk er større enn, kn vi skrive en som et helt tll og en røk. Mellom et hele tllet og røken står et usynlig plusstegn: ¼þ. 9

32 (,) KAPITTEL DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA Å multiplisere me røker Hv får vi hvis vi gnger me? Vi får, som er hlvprten v. Og hvis vi gnger me, får vi, som er en fireel v. Gnger vi me, får vi 7, som er tre fireeler v. EK SEMPEL 6 Regn ut: Løsning: forteller t vi skl finne v. En femel v er. Skl vi h tre femeler, lir et 9. Vi kn skrive regnestykket slik: ¼ ¼9 ¼ Vi kn også skrive smme regnestykke på en nnen måte: : 9 ¼ ¼ ¼9 ¼ : er oss finne tre fireeler v en femel. Vi kn tenke oss t vi eler en femel i fire like store eler. Hver el lir en tjueel,. Vi skl h tre slike eler, ltså. Regnestykket v en firknt og skrvere v en like stor firknt. Vi legger så e to firkntene over hvernre. Områet som åe er frget og skrvert, utgjør v firknten: Vi kn illustrere et me å frge Vi skriver regnestykket slik: ¼ ¼ / =

33 (,) Brøk Når vi multipliserer et helt tll og en røk, setter vi et hele tllet oppå røkstreken. Merk Å finne hlvprten v et tll er et smme som å gnge tllet me. Når vi multipliserer to røker me hvernre, multipliserer vi teller me teller og nevner me nevner. Oppgver. Hvilken røk er frgelgt på figuren? Og hvilken røk er ikke frgelgt?.7 Forkort isse røkene så mye som mulig: e 6.8 Hvilke v røkene er like store?. Hvilke røker neenfor er større enn, lik og minre enn? Hvorn ser u et? Tegn en figur som illustrerer situsjonen. Hvem får mest? Blir et noe igjen?. Ceilie, Mi og Leon skl ele 8 kr. Ceilie skl få, Mi skl få, og Leon skl få resten..6 Plsser røkene på ei tllinje: 9.9 Shirin, I og Jons skl ele en kke. Shirin vil h, I vil h, og Jons vil h. 8 røker som er større enn : røker som er lik : røker som er minre enn : Hvor mnge kroner får hver v em? Hvor stor røkel får Leon?

34 (,) KAPITTEL DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA. Prosent I en vis kn vi lese t 6 v personer hr spist rie på julften. Hvor stor røkel hr spist rie? Kn vi oppgi enne røkelen som en prosentveri? D U S K AL K U N N E forklre hv prosent er uttrykke et tll som en røk, et esimltll og en prosentveri smmenlikne to størrelser og finne ut hvor mnge prosent en ene er v en nre finne en gitt prosent v et tll finne et hele når vi kjenner en estemt prosentel Det er nyttig å kunne uttrykke en nel på ulike måter. Sj, Isk og Elise hr mlt et hus smmen. De skl ele på etlingen for reiet, som er kr. Totlt hr e reiet timer. Sj hr regnet ut t hn skl h % v lønn, og Isk mener hn skl h v lønn. Elise hr reiet timer. Når hun skl finne nelen sin, kn hun sette et opp som en røk. D får hun. Alle eskriver sin nel v lønn, men på ulike måter. Sj ruker prosentverien, mens Isk og Ellen ruker røk. Hvor stor prosentel v lønn skl Elise h? Hv er prosent? Oret prosent etyr hunreel. Sien prosent etyr hunreel, mener vi trettifem hunreeler når vi skriver %. v ruter er frget lå. Anelen lå ruter lir Prosent etyr hunreel. p % er et smme som ¼ %. p.

35 (,) Prosent Når vi skl gjøre om røk til prosent, er et lurt å utvie røken til hunreeler hvis et er mulig: 7 ¼ ¼ ¼ 7 % Dersom et ikke finnes et tll vi kn multiplisere nevneren me for å få, er et fint å ruke en klkultor for å gjøre røken om til esimltll, før vi gjør om til prosent:, ¼, % ¼ % 7 Sien prosent etyr hunreel, kn vi skrive prosenten som hunreeler når vi skl finne esimltllet: Merk ¼ Å multiplisere me % er et smme som å multiplisere me. 8 ¼,8, ¼,, % ¼ % ¼ 8%¼ EKSEMPEL 7 Skriv 6 % og 6 % som esimltll. Løsning: 6 6%¼ ¼,6 6 ¼,6 6 % ¼ For å se smmenhengen mellom prosent og esimltll kn et være nyttig å tegne ei tllinje:,6,6 % % 6% 6 % Merk ¼ ¼ ¼ ¼ ¼, ¼ %, ¼ %, ¼ %, ¼ %, ¼ %

36 (,) KAPITTEL DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA Å finne hvor mnge prosent et tll er v et nnet Hvor mnge prosent jenter er et i klssen? Hvor mnge prosent stemte på Areierprtiet ve siste stortingsvlg? Hvor mnge prosent skl u etle i sktt? Vi ruker ofte egrepet nel om en el v en menge. I svært mnge smmenhenger lir neler oppgitt i prosent. Når vi skl finne hvor mnge prosent et tll er v et nnet, setter vi først opp elen nelen som en røk. Brøken lir. Så gjør vi om røken til esimltll et hele ve å utføre ivisjonen, og gnger me % slik t vi får svret i prosent. Prosentverien ðp %Þ ¼ elen % et hele EK SEMPEL 8 Shirin og Thoms selger juletrær på lørger. En g hr e solgt 8 juletrær til smmen. Shirin hr solgt 79 v em. Hvor stor nel v juletrærne hr Shirin solgt? Oppgi svret i prosent. Løsning: Vi setter opp Shirins nel som en røk og gnger me %: elen 79 % ¼ % ¼, % % et hele 8 Shirin hr solgt % v juletrærne en gen. Prosentverien ¼

37 (,) Prosent Å finne elen v fmilier elil. I et nnet områe hr % v fmilier elil. Hvor mnge eliler er et i hvert v oligområene? I et oligområe hr Å finne elen ve å gå veien om % Når vi skl regne me prosent, er et ofte nyttig å gå veien om % eller %. Tenk gjennom! Hvor mye er %, % og % v kr? Ofte er veien om % en enkleste måten å regne prosent på. Denne metoen er fin å ruke når vi skl regne prosentoppgver og ikke kn ruke igitle hjelpemiler. Vi tenker på smme måte som vi skulle finne røkelen v et tll, men nå er et llti hunreeler vi regner me. Hvis vi skl finne 6 % v kr, finner vi først %. Så multipliserer vi me 6 for å finne 6 % kr ¼ kr kr 6 ¼ 8 kr 6 % v kr er 8 kr.

38 (6,) 6 KAPITTEL DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA EK SEMPEL 9 Finn % v 68 kr. Finn % v 68 kr. Finn % v 68 kr. Løsning: 68 kr ¼ 68 kr % v 68 kr er 68 kr. 68 kr ¼ 68 kr % v 68 kr er 68 kr. 68 kr ¼ 96 kr % v 68 kr er 96 kr Å finne elen ve å ruke esimltllet Vi vil for eksempel finne % v 8 kr. Dersom u hr tilgng på en klkultor, er et ofte mest prktisk å gjøre prosenten om til esimltll og eretter ruke ette for å løse oppgven. Vi vet t % ¼ Merk På klkultoren finner u en prosenttst. Hvis u vil ruke en, kn u skrive inn 8 %. ¼,. Vi multipliserer me esimltllet: 8 kr, ¼, kr Delen ¼ et hele esimltllet Tenk gjennom! Hvorn ville u løst oppgven hvis u skulle gått veien om %?

39 (7,) Prosent EKSEMPEL Ei ukse koster kr, men selges me % rtt. Hvor stor er rtten? Hv lir en nye prisen? Å finne elen ve å ruke esimltll: Løsning: Vi finner hvor mye % er v kr: kr % ¼ kr, ¼ kr Rtten er på kr. Vi kn illustrere prolemet slik: = 8 % % %,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Fr vet vi t t % v kr er kr. Den nye prisen er kr kr ¼ kr. EKSEMPEL En usstur kostet kr, men usselskpet økte prisen me %. Hv le en nye illettprisen? Løsning: Vi finner først hvor mye % er v kr: kr % ¼ kr, ¼ kr Billettprisen økte me kr, så en nye prisen er kr þ kr ¼ kr. Det kn vi illustrere slik: kr ( % prisøkning) % kr kr kr kr kr kr utgjør % v kr % 7

40 (8,) 8 KAPITTEL DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA Å finne et hele Noen gnger får vi opplysninger om en prosentel v et hele. Slike opplysninger kn vi ruke til å finne et hele. For eksempel er. 7 % v Norge ekket me skog. Det utgjør km. Disse opplysningene er nok til t vi kn regne ut relet v hele lnet. Et nnet eksempel kn være stortingsvlget i 7, er Høyre fikk 7 89 stemmer. Det utgjore % v stemmene. D kn vi finne ut hvor mnge personer som stemte ve ette vlget. Hvis vi skl finne et hele når vi kjenner en prosentel, kn vi gå veien om %. EK SEMPEL Å finne et hele: I en norsk kommune går 9 % v efolkningen i grunnskolen. Det er 78 rn i grunnskolen. Hvor mnge mennesker or i kommunen? Løsning: Først finner vi hvor mnge personer % utgjør: personer ¼ 87 personer 9 Når vi vet t 87 personer utgjør %, kn vi finne hele folketllet i kommunen ve å multiplisere 87 me : 87 ¼ 87 Det or 87 personer i kommunen Vi kn også tenke slik: Når vi kjenner størrelsen på elen og skl finne et hele, kn vi t utgngspunkt i esimltllet og løse oppgven som en likning. elen ¼ et hele esimltllet 78 ¼ et hele,9 et hele ¼ 78 ¼ 87,9 I hele kommunen or et 87 personer.

41 (9,) Prosent Oppgver. Utvi isse røkene til hunreeler og gjør em om til esimltll og prosent: 6 e. Plsser tllene neenfor på ei tllinje. Finn et største tllet før u tegner tllinj. %, 8 6,,,,,,, %,,,, % 8. Forklr hvorn vi på ulike måter kn finne %, %, %,, % og 6 % v 7 kg.. Hvor mnge prosent er kr v kr? Hvor mnge prosent er jenter v 8 jenter? Hvor mnge prosent er elever v elever? Hvor mnge prosent er 8 iler v iler?. Ceilie, Mi og Leon elte 8 kr. Ceilie fikk 6 kr, Mi fikk 9 kr, og Leon fikk resten. Hvor mnge prosent v 8 kr fikk hver v em?.6 Løs oppgven uten ruk v klkultor. Bruk gjerne en tegning til hjelp. Finn 7 % v 8 kr. Finn 7 % v kr. Finn % v 67 kr. Finn, % v kr. e Finn 7, % v kr..7 Hvor mnge kroner er % v 7 8 kr? Hvor mnge hus er % v hus? Hvor mnge elever er,7 % v elever? Hvor mnge kroner er, % v, millioner kroner?.8 Elevene på en skole hr smlet inn kr til en klssefest. 6 % v pengene går til mt, og % går til rikke. Hvor mnge kroner ruker e på mt? Hvor mnge kroner ruker e på rikke? Hvor mye hr e igjen til nre utgifter?.9 I en vnntnk er et 67, L vnn. Det utgjør 7 % v volumet. Hvor mnge liter vnn rommer tnken?. Celine og I skl gi noe v et e hr tjent, til en veleig orgnissjon. Celine gir ort 6 kr. Det er % v et hun hr tjent. I gir ort 9 kr. Det er % v et hun hr tjent. Hvem v em hr tjent mest? 9

42 (,) KAPITTEL DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA. Vekstfktor Vekstfktor: Når noe enrer veri, vises ofte enringer som prosentvis økning eller negng. Det kn være en møelforretning som får inn en ny sof som koster mer enn en elre moell, eller t e ønsker å sette ne prisen på en gmmel moell. Om en sof opprinnelig hr kostet kr, hv vil en koste hvis prisen settes opp % eller ne %? EK SEMPEL En forretning selger iler. En ilmoell hr kostet kr, men forretningen tr inn en ny moell som er % yrere. Hvor mye koster e nye ilene? Ronny og Ais ruker hver sin metoe for å regne et ut. Ronny finner først hvor mnge kroner % er. Så legger hn ette eløpet til en opprinnelige prisen. Hn løser oppgven slik: Bilen kostet þ % v kr ¼ Ny pris Ais går ut fr t en opprinnelige prisen vr %, ltså hele eløpet. Så må hun legge til %. Til smmen må en nye prisen være % þ % ¼ % v en opprinnelige prisen. kr kr 9 kr Hun gjør så om til esimltll: % ¼, Ny pris ¼ kr, ¼ 9 kr Begge regner riktig, men Aiss regning lir enklere fori hun ruker et vi kller vekstfktor. Vekstfktoren er tllet hun gnger me, ltså,. Vekstfktoren ve prosentvis økning finner vi ve å t utgngspunkt i en opprinnelige verien, som er %, og legge til enringen i prosent. Vekstfktoren ve prosentvis økning ¼ þ esimltllet for økningen. Hvis p er økningen i prosent, kn vi skrive: p vekstfktoren ¼ þ

43 (,) Vekstfktor EKSEMPEL Ei ukse koster 7 kr, men prisen lir stt ne %. Hv er en nye prisen? Ronny regner på smme måte som i eksempel, men nå trekker hn prisvslget fr en opprinnelige prisen. Ais går nå ut fr t hun må egynne me % og trekke ifr %, slik t en nye prisen lir 9 % v en gmle prisen. Nå regner hn slik: Hun gjør om til esimltll: Buks kostet 7 kr % v 7 kr 7 kr ¼ Ny pris 9 % ¼,9 Ny pris ¼ 7 kr,9 ¼ 67 kr 67 kr Vekstfktoren ve prosentvis negng finner vi ve å t utgngspunkt i en opprinnelige verien, som er %, og trekke fr enringen i prosent. Denne gngen er vekstfktoren,9. Vekstfktoren ve prosentvis negng ¼ esimltllet for negngen. Hvis p er negngen i prosent, kn vi skrive: p vekstfktoren ¼ Ny veri ¼ opprinnelig veri vekstfktor Denne regelen gjeler åe ve prosentvis økning og negng. Tenk gjennom! Hvorfor lir lle vekstfktorene ve prosentvis økning større enn? Hvorfor lir lle vekstfktorene ve prosentvis negng mellom og?

44 (,) KAPITTEL DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA Oppgver. Regn ut for hån. I setter 8 kr i nken. Hvor mye hr hun i nken etter ett år hvis rent er. Zin setter kr i nken. Hvor mye hr hn i nken etter ett år når rent er % %. Fyll ut et som mngler i tellen: Økning i prosent Prosent etter økning Vekstfktor (esimltll) % % þ % ¼ %, % % þ % ¼ %, % % þ % ¼ %, %, %. En sykkel kostet kr. Prisen le stt ne me %. Hvorfor lir et riktig å gnge kr me,9 for å finne en nye prisen? Josef he en timelønn på kr. Så fikk hn en lønnsøkning på %. Hvorfor lir et riktig å gnge kr me, for å finne en nye timelønn? %,7.6 6, %,8. Fyll ut et som mngler i tellen: Negng i prosent Prosent etter negng Vekstfktor (esimltll) % % % ¼ 9 %,9 % % % ¼ 99 %,99 % % % ¼ 7 % En kttunge veier grm ve føselen. I løpet v fem uker forventes et t vekt øker me. 7 %. % 7 % Hvor mye ør kttungen veie etter fem uker? % 6,8 % ¼ 8, %,8

45 (,) Prolemløsning.6 Prolemløsning De fleste prolemene i mtemtikk kn løses me flere ulike metoer. Det er ikke slik t vi må kunne en estemt metoe for å løse et prolem. Hvis u kn løse et prolem på ulike måter og forstår hvorn metoene henger smmen, lir forståelsen og læringen ypere og ere. D U S K AL K U N N E ruke flere ulike metoer til å løse prolemer i mtemtikk se smmenhengen mellom ulike løsninger på smme prolem kunne strte me én måte å løse oppgven på, og ytte over til en nnen hvis en første ikke fører frm Når u skl løse et prolem i mtemtikk, kn et være til hjelp å følge isse punktene: Du må først være sikker på t u forstår prolemet. Forklr et til eg selv eller nre me ine egne or. Plnlegg hvorn u vil løse prolemet. Hvilken metoe vil u ruke? Hvilke opplysninger er et viktig å t hensyn til? Prøv å løse prolemet slik u hr tenkt. Hvis enne metoen ikke fører frm, hr u en nnen metoe u kn ruke? Når u hr løst prolemet, må u se tilke. Kn u kontrollere svret? Kunne u h løst prolemet på en enklere måte? Disse ulike metoene ør u øve på å ruke: Lg en illustrsjon. Du kn ruke gjenstner, tegne eller lge et igrm. Gjett og prøv eg frm. Prøv om løsningen u hr gjettet på, psser. Hvis u må gjette på nytt, må u velge et tll som er større eller minre enn et første u prøve? Sett opp en systemtisk oversikt. Sett opp en tell er u hr oversikt over hvilke lterntive løsninger u prøver, og hvilke løsninger u får i hvert tilfelle. Prøv me en rekke ulike tll og se om u kommer frm til løsningen. Oversett til mtemtikkspråket og lg et regnestykke. Du kn lge en likning som u må løse, eller et uttrykk som u må regne ut. Du kn lese mer om likninger i kpittel.. Merk Det kn t litt ti å løse en oppgve. Du lærer mest når u er utholene og tr eg ti me oppgven. Det er viktigere enn å løse mnge oppgver på kort ti.

46 (,) KAPITTEL DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA Det er viktig for forståelsen t u hr nlening til å snkke me nre uner reiet. Finn in egen måte å forklre hv en oppgve går ut på. Lytt til nres forklringer og prøv å forstå em. Diskuter gjerne hvilken metoe ere synes er mest effektiv. I eksemplene neenfor ser u hvorn prolemer kn løses me ulike metoer. Hvert v eksemplene viser to ulike metoer. Kn u se smmenhengen mellom metoene? EK SEMPEL I en ropseske er et 7 rops: gule, røe og grønne. Det er ett grønt rops mer enn gule rops, og et er tre røe rops mer enn grønne rops. Hvor mnge rops er et v hver frge? Løsning ve å lge en illustrsjon: I ette tilfellet tegner vi. Vi egynner me å sørge for t et er ett grønt rops mer enn gule rops, og t et er tre røe rops mer enn grønne rops. Så kontrollerer vi ntll rops til smmen. Her er et rops. Her er et rops. Her er et 7 rops. Det er fire gule, fem grønne og åtte røe rops i esken. Løsning ve å oversette opplysningene til mtemtikkspråket og lge en likning: Vi velger å l x stå for ntll gule rops. Så oversetter vi fr oppgveteksten: Antll gule rops er x. Antll grønne rops er x þ. Antll røe rops er ð x þ Þ þ ¼ x þ. Det er 7 rops til smmen: x þ ðx þ Þ þ ð x þ Þ ¼ 7

47 (,) Prolemløsning Vi løser likningen: x þ x þ þ x þ ¼ 7 x þ ¼ 7 x ¼ x ¼ x¼ Trekke fr på egge sier Dele på på egge sier Antll gule rops i esken er. Vi setter inn for x og finner ntll grønne og røe rops. Merk Vi kn selv estemme hvilket tll vi vil klle x. Men når vi hr vlgt hv som skl representeres me x, er e nre tllene estemt ut fr et. Grønne rops: xþ¼þ¼ Røe rops: xþ¼þ¼8 Det er fire gule, fem grønne og åtte røe rops i esken. Tenk gjennom! Vi kunne h vlgt ntll grønne rops eller ntll røe rops som x. Hvorn he likningen sett ut? Ville vi fått e smme løsningene? EKSEMPEL 6 En utikk selger to ukser for smme pris som tre skjorter. Ei ukse koster kr. Hvor mye koster ei skjorte? Løsning ve å lge en illustrsjon: I ette tilfellet er et linjestykker som representerer eløpene: kr kr ukse skjorte kr ukse skjorte kr Vi ser t ei skjorte koster kr. 9 kr skjorte 6 kr 9 kr

48 (6,) 6 KAPITTEL DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA Løsning ve systemtisk prøving: Sien to ukser koster 9 kr, må tre skjorter koste et smme. Vi lger en tell som gir oversikt over prisen på tre skjorter, og velger å egynne me kr per skjorte: Pris for ei skjorte 7 Pris for tre skjorter For lite For lite Stemmer Vurering Det er unøvenig å regne viere når vi hr funnet t ei skjorte må koste kr. EK SEMPEL 7 Mi vil kjøpe en ny PC. Den koster 6 kr, men hun får 7 kr i vslg. Hvor mnge prosent utgjør vslget? Løsning ve å gjette og prøve seg frm: % v 6 kr: 6 kr, ¼ 6 kr % er for lite % v 6 kr: 6 kr, ¼ 8 kr % er for mye % v 6 kr: 6 kr, ¼ 67 kr % er litt for lite % v 6 kr: 6 kr, ¼ 78 kr % er litt for mye, % v 6 kr: 6 kr, ¼ 7 kr, % stemmer Avslget utgjør, %. Løsning ve å oversette opplysningene til mtemtikkspråket og lge et regnestykke: Avslget utgjør x %. Vi ruker regelen om t Prosentverien ð x %Þ ¼ elen % et hele 7 % ¼, % ¼, % 6 Avslget utgjør, % v en opprinnelige prisen. x%¼

49 (7,) Prolemløsning Oppgver Velg selv hvilke metoer u vil ruke for å løse prolemene neenfor. Knskje vil u kominere flere strtegier. Tenk til slutt gjennom hv u synes er en enkleste måten å løse prolemet på. Diskuter gjerne me hvernre og smmenlikn løsningsmetoer!.7 Et pr sko koster tre gnger så mye som ei skjorte. Skopret og skjort koster til smmen kr. Hv koster skopret, og hv koster skjort?..8 Brørene Frnk og Roert kjøpte hver sin hustomt. Tomtene vr til smmen på m, men Frnks tomt vr oelt så stor som Roerts. De er enige om t en tomt ør være på minst m. Hr Roert kjøpt en tomt som er stor nok?.9 Zi er gl i yr. Hun hr huner, ktter og kniner. Hun hr tre flere ktter enn huner, og hun hr fem flere kniner enn ktter. Til smmen hr hun 7 yr. Hvor mnge huner, ktter og kniner hr hun? Alln hr en liten tilhenger som tr mksimlt kg lst. Hn skl hente murlokker og tørretong. Hver murlokk veier kg, og en sekk tørretong veier kg. Hn henter fire sekker tørretong. Hvor mnge murlokker kn hn t me på hengeren i tillegg til sekkene me tørretong?. Tony kjøper epler, nner og ppelsiner. Hn kjøper hlvprten så mnge nner som ppelsiner og tre flere epler enn nner. Til smmen kjøper hr 7 frukter. Hvor mnge v hver sort? 7

50 (8,) 8 KAPITTEL DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA Oppgver. Posisjonssystemet. Fyll ut tllene som mngler, på rett plss i tellen: tusener (kilo) hunrer (hekto) tier (ek) ener, 78, ¼,, ¼,... ¼... ¼... ¼ tiel (esi) hunreel (enti) tusenel (milli) 9, 6, 7 7, 7. Hvilket tll estår v enere, 6 tiere og hunrere?.7 Run v til hele tll: Hvilket tll er størst v 7,6 og 7,6? Hvilket tll er minst v, og,?, :. Hvilket tll er størst?, eller, 9,99 eller 9,,9 eller,9.6 Skriv to tll som ligger mellom og 6, og,6, og,6,88 Run v til hele tiere:. Regn ut:,88,,.8 Regn ut: 7 98 :, e :,86 f, :.9 Et tll lir når u eler et på. Hv lir tllet hvis u gnger et me?

51 (9,) Oppgver. Bli go til å regne! Regn ut e følgene oppgvene.. þ6þþ8þ 6 6 þ þ. 6 6 þ þ þ 7 þ.9 þ þ 6 þ ::: þ 8 þ. þ 8 þ ð7 Þ þ ð8 þ Þ þ ð þ Þ. 6 þ þ þ þ 7 68 þ þ þ þ 6,8,8 89,67 þ,,7 e þ. 8 :.6 Lg to tosifrete tll me sifrene 6, 7, 8 og 9 slik t svret lir størst mulig når u gnger e to tllene me hvernre.. Brøk.6 Hvilke røker er frgelgt på figurene neenfor? Tom rukte et siffer tre gnger og lget et tosifret og et ensifret tll. D hn gnget e to tllene me hvernre, fikk hn 7. Hvilket siffer rukte hn i e to tllene? 8 þ 9 9 ð Þ þ pffiffiffiffiffiffiffiffi þ 9.6 ð6 þ Þ þ þ þ ð7 þ Þ :.7 Hv er hlvprten v 68 8,6 Hv er et oelte v 6,.6 Hvilke v isse røkene er lik 8 6 6? 9

52 (,) KAPITTEL DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA.6 Plsser røkene på tllinj: 7.6 Skriv isse røkene i stigene rekkefølge: Hvor mnge elever gikk et i klssen til Tore? 6. Prosent.6 Forkort røkene mest mulig: , ¼ :::::::: % 9 ¼ :::::::: %, ¼ :::::::: %.7 Tegn en figur som illustrerer %. 7 6 þ.7 Hvor mnge prosent er v?.67 Regn ut. Bruk gjerne tegning til hjelp: 8.7 Gjør om til prosent: ¼ :::::::: %.66 Regn ut. Bruk gjerne tegning til hjelp: 8 þ þ 6 6 þ Tore gjore en spørreunersøkelse i klssen om skolemt og fikk svr v lle. Hn fnt ut t v elevene i klssen he me skolemt hjemmefr, kjøpte mt i kntin, mens en elev verken he me mt eller kjøpte noe i kntin. Hvor mnge prosent er 7 v? Hvor mnge prosent er v? Hvor mnge prosent er v?.7 Finn % v kr. Finn % v kr..68 Lilly, Simon og Siri lekte me klinkekuler. Lilly he v lle klinkekulene, og Simon he. Hvor stor el he Siri v lle klinkekulene? Finn % v kr. e Finn, % v kr. Finn % v kr. % % e, % 8 % % f, % Siri he 6 klinkekuler. Hvor mnge he Lilly og Simon?.7 Gjør om til esimltll og røker:.7 Finn % v 88. Finn % v 88. Finn % v 88. e Finn 7 % v 88. Finn % v 88. f Finn, % v 88.

53 (,) Oppgver.76 Tom og Evert reiste me toget. Etter t e he kjørt km, s Tom t e he tilkelgt % v turen. Hvor lng vr hele strekningen e skulle reise?.77 Mi vil kjøpe en ny PC. Den koster 6 kr, men hun får 7 kr i vslg. Hvor mnge prosent utgjør vslget?.78 Ain og Sofi solgte vfler på irettsgen. Ain solgte for 6 kr. Det utgjore % v inntektene. Hvor mye solgte e for til smmen?.79 Ve stortingsvlget 7 fikk Høyre 7 89 stemmer. Det utgjore % v stemmene. Hvor mnge personer stemte ve ette vlget?.8 Diskuter frmgngsmåten in me e nre i grupp. Kontroller svrene ve å ruke klkultor. Hv er enkleste frmgngsmåte på oppgvene når u ruker klkultor?. Vekstfktor.8 En moiltelefon kostet kr. Etter en ti får forretningen inn en ny moell som er % yrere. Hv koster en nyeste moellen? Ronny regnet slik: Moiltelefonen kostet: þ % v kr ¼ kr,: Ny moell koster: Hvor mnge prosent v et norske flgget er røt? Hvor mnge prosent er hvitt? Og hvor mnge prosent er lått? Kontroller til slutt: Hvor mnge prosent lir et til smmen?.8 Tegn fem figurer me sirkler som vist på figuren øverst i neste splte. Antll sirkler på figurene skl være,,, og. Frgelegg noen v sirklene på e fem figurene. Finn hvor stor røkel som er frgelgt på hver v figurene ine, og hv ette tilsvrer i esimltll og i prosent. Klrer u å finne lle svrene uten å ruke klkultor? kr kr 9 kr Vis hvorn u kn gjøre smme utregning ve å ruke vekstfktor..8 Fyll ut et som mngler i tellen: Økning i prosent Prosent etter økning Vekstfktor (esimltll) % % þ % ¼ %, % % þ :::::: % ¼ ::::::: % 7 % :::::: % þ 7 % ¼ ::::::::: % % þ % ¼ :::::::: %,

54 (,) KAPITTEL DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA.8 Ni he en hun som veie 7, kg. Så le hunen syk, og vekt gikk ne me %. Hv veie hunen etter vekttpet?.88 Ronny kunne h regnet slik: Hunen veie: 7, kg % vekttp ¼ 7, kg, ¼, kg, kg, kg Hunen veier nå: Vis hvorn u kn regne ut et smme ve hjelp v vekstfktor.,8 En fmilie skl reise me tog og esøke esteforelrene. Orinær pris per person er 89 kr. De finner informsjon om rtter på siene til Vy. Fmilien estår v to forelre, tvillinger på ni år og en sønn som er stuent. Hvor mye må e etle til smmen? Prøv å løse oppgven ve hjelp v vekstfktor.,9 Reisene som får rtt:.8 Fyll ut et som mngler i tellen: Negng i prosent Prosent etter negng % % % ¼ 8 % Vekstfktor (esimltll) % % ::::::: % ¼ :::::::: % 6 % % ::::::: % ¼ :::::::: % Brn år: grtis % 9 % Brn 6 7 år: prosent rtt ¼ %,8.86 Regn ut ve å ruke vekstfktor: Josef setter 8 kr i nken. Hvor mye hr hn i nken etter ett år når rent per år er %, %.87 Jone hr en ettermigsjo er hn får kr per time. Så settes timelønn opp me, %. Hv lir en nye timelønn hns? Prøv å løse oppgven me vekstfktor. Stuent: prosent rtt.89 Prisen på en vre lir stt ne me %. Deretter lir prisen stt opp igjen me %. Vil en nye prisen li lik, større enn eller minre enn en gmle? Forklr hvorn u tenker.

55 (,) Oppgver.6 Prolemløsning.9 Olg rukte % v sprepengene sine på en moiltelefon. D he hun 6 8 kr igjen. Hvor mnge penger he hun før hun kjøpte telefonen?.9 Arelet v et rektngel er m. Lengen er 6 m. Hv er reen v rektnglet?.9 Even er oelt så gmmel som O. Til smmen er e 9 år. Hvor gmle er e?.9 Kristin spiser % v en pizz. Dgen etter spiser hn hlvprten v et som er igjen. Hvor stor el v pizzen hr hn igjen nå?.9 Lil skl kjøpe fôr til hunen sin og smmenlikner tiluene i to utikker. Den ene utikken selger 6 kg hunefôr for 67 kr. Den nre utikken tr 6 kr for 6 kg hunefôr, men nå hr e stt ne prisen %. I hvilken utikk får Lil et este tiluet?.9 Evelyn, Ntlie og Lur smmenlikner skonumrene sine. Ntlies sko er to nummer større enn Evelyns. Og Lurs sko er ett nummer større enn Ntlies. Når e legger smmen skonumrene sine, får e. Hvilket skonummer hr hver v jentene?.96 Aners, Bjørn og Chrlie selger kkeokser til inntekt for klssen. Chrlie hr solgt oelt så mnge som Bjørn. Aners hr solgt tre flere enn Bjørn. Til smmen hr e solgt 7 kkeokser. Hvor mnge okser hr hver v em solgt?.97 Et tll pluss to treeler v tllet er. Hvilket tll er et?.98 Mro hr suer og høner. Til smmen hr yr øyne og 7 ein. Hvor mnge suer og hvor mnge høner hr Mro?

56 (,) MÅLENHETER

57 (,) Elektrisk nlegg i en ettroms leilighet Det elektriske nlegget i en ettroms leilighet skl plnlegges. Leiligheten skl h en sovesof, et spiseor og en kjøkkenenk me ønsket utstyr. Det totle strømehovet for leiligheten skl eregnes, og et skl gjøres et overslg over hvor mnge meter lening som skl strekkes. For å t opprget må u kunne gjøre eregninger me ulike målenheter. I ette kpitlet lærer u hvorn slike eregninger kn gjennomføres. I ktivitet. kn u prøve eg på ette opprget. Kpitteloversikt I. Grunnleggene målenheter lærer u om målenheter vi ruker i gliglivet, etyningen v å være nøyktig, og hvorn vi velger egnet målenhet. I. Måling v rel og volum lærer u hvilke målenheter som rukes til rel og volum, og hvorn vi velger pssene enheter. I. Smmenstte målenheter får u eksempler på smmenstte målenheter og hvorn e kn rukes, i hvergen og i et frmtiig yrke. I. Det inære tllsystemet lærer u om smmenhengen mellom titllssystemet, et inære tllsystemet og et heksesimle tllsystemet. KOMPETANSEMÅL Mål for opplæringen er t eleven skl kunne tolke og ruke smmenstte målenheter i prktiske oppgver og velge egnet målenhet

58 (6,) 6 KAPITTEL MÅLENHETER. Grunnleggene målenheter Vi ruker målenhetene som en nturlig el v språket. Det er ikke feil å si t vi hr hoppet fr -millimeteren, men vi gjør oss ere forstått om vi sier t vi hr hoppet fr -meteren. Hvilke målenheter for lenge, msse og volum kjenner u til? Hvorn ør vi presentere store og små tll slik t nre lett forstår em? D U S K AL K U N N E tolke og ruke e vnligste målenhetene gjøre om mellom ulike målenheter velge pssene enheter i målinger U T F O R S K SA M M E N Volum måler vi vnligvis i liter. Hvilke nre målenheter kjenner ere til, og når rukes e? Hvilke måleverktøy ruker ere? Lg en oversikt over måleutstyr ere ruker, og hv e måler. Hv heter verktøyet? Hv måler u? Grunnenhet Avleete enheter Brukes når jeg skl esilitermål volum liter (L) ml, l måle ingreienser når jeg lger mt SI et internsjonle enhetssystemet Gjennom historien hr folk og ln lget målenheter som e hr htt ruk for. For eksempel rukte vi i Norge lengemål som len, fot og tommer. Men selv om flere ln rukte smme nvn på lengemålene, kunne e h ulik veri i forskjellige ln. En norsk fot vr for eksempel litt lengre enn en engelsk fot. Det er mer effektivt når lle ruker e smme målesystemene. Etter hvert le et vettt et system som e fleste ln i veren hr innført. Systemet klles SI. Systemet hr efinert sju grunnenheter, lnt nnet kg (kilogrm), m (meter) og s (sekun). Anre målenheter er efinert ut fr isse sju grunnenhetene.

59 (7,) Grunnleggene målenheter Omgjøring v enheter i titllssystemet Målenhetene i SI-systemet henger nøye smmen me titllssystemet. millimeter er for eksempel smme lenge som entimeter. «Milli» og «enti» klles prefikser. Et prefiks er første elen v et or og gir oret en egen mening. Omgjøring v enheter: «Hekto» er et prefiks som etyr. Når vi skl kjøpe kjøttpålegg i ferskvreisken, kn vi estille hektogrm, ltså grm, spekeskinke. Når vi skl skrive store eller små tll, kn et li mnge nuller. For å gjøre skrivemåten enklere ruker vi prefikser. Tellen neenfor gir en oversikt over noen prefikser: Prefiks Forkortelse Tll Nvn ter gig meg kilo hekto ek T G M k h illion millir million tusen hunre ti esi enti milli mikro nno piko m m n p / / / / / / EKSEMPEL Skriv milliliter me liter som målenhet. Skriv 7 hektogrm me grm som målenhet. Skriv, meter me esimeter som målenhet. Løsning: milliliter er tusenels liter. L ¼, L ml ¼ 7 hektogrm er 7 hunre grm. 7 hg ¼ 7 g ¼ 7 g, meter er tiels meter., m ¼ m ¼ m tiel hunreel tusenel millionel millirel illionel Merk For eksempel er kg ¼ g, l ¼ = L ¼, L og m ¼ = m ¼, m. 7

60 (8,) 8 KAPITTEL MÅLENHETER Når vi skl gjøre om mellom enheter, kn vi ruke en omgjøringstell som hjelper oss til å hole styr på e ulike enhetene. Omgjøringstell for lengemål Målenheter for lenge mil = km mil km km = m (hm) (m) m m m mm m = m = m = mm m = m = mm m = mm Noen v målenhetene, som hektometer (hm) og ekmeter (m), lir sjelen rukt. EK SEMPEL Gjør om 6 millimeter til meter ve hjelp v omgjøringstell. Løsning: I 6 mm står sifferet på enerplssen. Vi setter sifrene inn i tellen slik t hvner på millimeterplssen. D hvner sifferet på enerplssen for meter. mil km (hm) (m) m m m mm 6 6 mm ¼,6 m Omgjøringstell for msse Målenheter for msse kg hg (g) g (g) g mg kg = hg = g hg = g g = mg tonn = kg Noen v målenhetene, som ekgrm (g) og esigrm (g), lir sjelen rukt.

61 (9,) Grunnleggene målenheter EKSEMPEL Gjør om 8 grm til milligrm ve hjelp v omgjøringstell. Merk I gligtle snkker vi om vekt til en gjenstn, men riktig egrepsruk i mtemtikken er å snkke om mssen til en gjenstn. En vekt er måleutstyret vi måler mssen me. Løsning: Når vi setter inn 8 g i tellen, ser vi t vi må føye til tre nuller for å få et siffer på plssen til milligrm. Msse hg (g) g (g) g mg 8 g 8 8 g ¼ 8 mg Omgjøringstell for litermål Målenheter for volum (kl) hl (l) L = l = l = ml l = l = ml L l l ml Noen v målenhetene, som kiloliter (kl) og ekliter (l), lir sjelen rukt. EKSEMPEL Gjør om 87 milliliter til liter. Løsning: Sifferet 7 setter vi på enerplssen for ml. D må et stå på plssene for L og l. Volum hl (l) 87 ml L l l ml ml ¼,87 L Huskeregel for omregning v enheter Vi kn også ruke trppetrinnsmoellen til å huske overgngene mellom enhetene for lenge, msse og volum. Gnge me for hvert trinn ne km (hm) (m) Hvor mnge esimeter er m? Vi går ett trinn ne i trpp. D må vi gnge me : m ¼ m ¼ m Hvor mnge grm er, kg? Vi går tre trinn ne og gnger me tre gnger:, kg ¼, g ¼, g ¼ g Hvor mnge liter er l? Vi går to trinn opp og eler på to gnger: l ¼ : L ¼, L kg m hg m (g) (kl) m mm g hl (g) (l) (g) L mg l l Dele på for hvert trinn opp ml 9

62 (6,) 6 KAPITTEL MÅLENHETER Enheter for ti Vi forholer oss lle til tien og klokk. Men vi tenker ikke llti over t når vi regner om mellom sekuner, minutter og timer, ruker vi sekstitllssystemet. I hvergen holer vi stort sett oren på ntll timer, minutter og sekuner. Blnt nnet vet vi t ett minutt etter kl..9 lir klokk., og vi får en ny g på kleneren. Hvilke strtegier kn vi ruke når vi skl regne me ti? Den internsjonle enheten for time er h, men i Norge rukes ofte t også. Merk minutt = 6 sekuner time = 6 minutter = 6 sekuner Tenk gjennom! Hvor mnge minutter er, timer? Jrle hr joet fr kl. 8. til kl... Hn vil finne ut hvor mnge timer ette er. D kn vi ikke re trekke e to tllene fr hvernre, slik vi gjør me tll i titllssystemet. Vi må regne timene for seg og minuttene for seg. En måte er å si t fr 8. til. er et timer. Men så må vi trekke fr et kvrter. Det vil si t Jrle hr joet i timer minutter. Eller vi kn si t fr 8. til. er et timer. Så må vi legge til minutter. kl. 8. kl.. EK SEMPEL Fri hr regnet ut t et tr,8 timer å reise fr Hmr til Sognefjellshytt. Hun hr plnlgt å reise kl. 8.. Omtrent når vil hun være frmme? Hvor mnge timer og minutter er,8 timer? Når vil hun helt presist være frmme?

63 (6,) Grunnleggene målenheter Løsning: Et overslg vil være å tenke t,8 timer er nesten timer. Det vil si t hun er frmme litt før kl.. hvis hun reiser kl. 8..,8 timer ¼ t þ,8 t,8 t må regnes om til minutter. Vi ersttter t i regnestykket me 6 min, sien et er like størrelser:,8 t ¼,8 t ¼,8 6 min ¼ 8 min,8 t ¼ t 8 min timer etter kl. 8. er klokk.. Så må vi legge til 8 minutter: minutter etter kl.. er klokk., og turen tr en 8 minutter. Hun er frmme kl..8. Dette stemmer r me overslget. Når klokk er.8, er et minutter igjen til kl... Når vi skl gjøre om minutter til timer, eler vi ntll minutter på 6. timer ¼, t. minutter er ltså en hlv time. 6 min ¼ timer ¼, t. minutter er ltså en fireels time, et kvrter. 6 min ¼ Å velge målenhet Vi må vurere hvilke målenheter et er fornuftig å ruke når vi skl presentere ulike målinger. Når et går strøm gjennom en leer, vil høy resistns i leeren gi minre strøm i kretsen. Resistnsen R i en leer måles i ohm ( ). Vi kn for eksempel måle t resistnsen R i en motstn er 67. Vi ser t ette er en stor resistns, og t et ville vært ere å kominere målenheten me et prefiks: 67 = 67 ¼ 67 k ¼ 67 k Når vi velger målenhet i svret, må vi også t i etrktning t en liten målenhet som milliohm (m ) gir inntrykk v større målesikkerhet enn en større enhet som kiloohm (k ). 6

64 (6,) KAPITTEL MÅLENHETER EK SEMPEL 6 Amun, I, Truls og Omr skl måle omkretsen v tomt er Omr or. De måler hver sin lenge. Amun måler 7 mm, I måler m, Truls måler 8 m, og Omr måler m. m 8 m 7 m m 6 Regn ut omkretsen v tomt. Hv slgs målenhet ør omkretsen oppgis i? Løsning: Før vi kn legge smmen e ulike lengene, må vi gjøre om lle lenger til smme målenhet: m 7 mm þ m þ 8 m þ m ¼,7 m þ, m þ 8, m þ m ¼, m m Omkretsen v tomt er m. Det er vnskelig å måle så lnge vstner nøyktig i millimeter og entimeter. Vi velger erfor å gjøre om lle lengene til meter og rune v. Å oppgi en lenge i hele meter er ikke svært nøyktig. Når vi konkluerer me t omkretsen er m, mener vi t omkretsen er mellom, m og, m. Oppgver. Gjør om til millimeter: m,67 m 7, m,68 m. Gjør om: e,8 m. Hvilken enhet er en riktige? ma til mpere k til ohm 8 9 mw til kilowtt. Fyll ut et som mngler i tellen: Hmmeren er 6,8... lng. Lenge Moiltelefonen er re. m Bllen hr imeter,... mm ¼... m Boret er 7... høyt.... m ¼... m e Glsset me melk hr volumet... mil f Tomten veier km ¼... m mil km (hm) (m) m ¼... m m m mm ¼... m 7

65 (6,) Grunnleggene målenheter. Fyll ut et som mngler i tellen: Msse g kg hg ¼... kg (g) g 6 g g mg 9 mg ¼... g... kg ¼... g hg ¼... kg... g ¼... mg A ma ¼... ma, A ¼... ma 7 ma ¼... A, A ¼... ma ma ma 7 ma ¼... ma.7 Gjør om:, kg til grm mg til kilogrm,6 hg til kilogrm ml til liter 7 ml til entiliter m þ,7 km 8, m þ mm þ,6 m g þ, kg, g þ 7 mg e ml þ, L f, l þ, L þ l min s til sekuner t min til minutter, t til minutter min til timer. Timelønn til Jrle er kr. Hn får etlt for hver påegynt hlvtime. Hvor mye får hn etlt hvis hn joer fr kl. 9. til kl..?. Mrtin hr målt resistnsene i en strømkrets til,7 k, 9 og 78 m. Hv er en smlee resistnsen hvis motstnene er koplet i serie?. Legg smmen:.8 Gjør om:. Gjør om:.6 Fyll ut et som mngler i tellen: Strømstyrke.9 Legg smmen. Velg selv hvilken målenhet u vil oppgi svret i:,6 l til liter,7 m þ,8 m þ mm þ mm 8 mm þ, m þ,78 mm,7 L þ,86 l þ, l þ, ml L Æ R I N G S L O G G. Lg en oversikt over ulike målenheter for lenge og forklr smmenhengen mellom em. Lg et eksempel me en vlgt lenge, er lengen er uttrykt i lle e ulike målenhetene. Hvilke målinger kommer u til å gjøre i itt frmtiige yrke? 6

66 (6,) 6 KAPITTEL MÅLENHETER. Målenheter for rel og volum Måling v lenge, rel og volum henger smmen. Se for eg et svømmesseng. Vi ruker lengemål for å si noe om lengen og reen v ssenget. Vnnoverflten ekker et rel, og når vi skl finne ut hvor mye vnn et er i ssenget, snkker vi om ssengets volum. D U S K AL K U N N E forstå om en målenhet viser en lenge, et rel eller et volum gjøre om mellom ulike målenheter for rel og volum U T F O R S K SA M M E N Prøv å lge en oks som rommer kkurt én liter. Dere trenger: ppp sks tpe linjl litermål puffet ris, solsikkefrø e.l. Tegn en figur som likner en neenfor. Dere estemmer målene på siene. (Det finnes mnge løsninger.) Når ere er fornøy, klipper ere ut figuren og retter en til en oks. Fyll oksen me puffet ris eller lignene og kontrollmål me litermålet. Hvis oksen ikke rommer en liter, må ere gjøre enringer. Presenter for e nre hvorn ere tenkte ere lget oksen. Til slutt: Hvilken gruppe rukte minst ppp til oksen?

67 (6,) Målenheter for rel og volum Målenheter for rel Et rel måles i kvrtenheter. Et kvrt er lle siene er meter, klles en kvrtmeter, m. Et kvrt er lle siene er esimeter, hr relet m. Hvor mnge m er et plss til i m? m ¼ ð mþ ¼ m m = m m m = m Vi vet t m = mm. For å gjøre om fr m til mm må vi gnge me : Huskeregel for relenheter m ¼ ð mmþ ¼ mm Vi vet t km = m. For å gjøre om fr km til m må vi gnge me to gnger: km km ¼ ð mþ ¼ m (hm) Gnge me for hvert trinn ne (m) m m m For å huske overgngen mellom relenhetene kn vi ruke trpp i mrgen. L oss si t vi hr et rel på m. Hvor mnge kvrtmeter er et? For å gjøre om fr m til m må vi gå ett trinn oppover i trpp. D må vi ele på : m ¼ : m ¼ m Tenk gjennom! Hvor mnge kvrtentimeter er et i en kvrtmeter? mm Dele på for hvert trinn opp 6

68 (66,) 66 KAPITTEL MÅLENHETER EK SEMPEL 7 Målenheter for rel: Hvor mnge kvrtentimeter er 9 m? Hvor mnge kvrtmeter er 86 m? Løsning: m ¼ m D er m ¼ ð mþ ¼ m og 9 m ¼ 9 m ¼ 9 m. Eller vi kn ruke trpp me huskeregelen: Når vi gjør om fr m til m, må vi gnge me. 9 m ¼ 9 m m ¼ m m ¼ m ¼, m og 86 m ¼ 86, m ¼,86 m. D er m ¼ Eller vi kn ruke trpp me huskeregelen: Når vi gjør om fr m til m, må vi ele på to gnger. Det vil si å ele på ¼ : 86 m ¼ 86 : m ¼,86 m EK SEMPEL 8 I en runkjøring skl et lges et runt lomstere. Rien i sirkelen skl være 8 m. Hvor mnge kvrtmeter er relet v lomstereet? Løsning: Arelet v en sirkel finner vi me formelen A ¼ r : A ¼ ð8 mþ 6 m For å gjøre om fr m til m må vi ele på to gnger, ltså ele på ¼ : A ¼ 6 : m ¼,6 m, m Arelet v lomstereet er, m.

69 (67,) Målenheter for rel og volum Målenheter for volum Når vi skl måle rominnholet v en gjenstn, må vi kjenne størrelsen v en flte i tillegg til høyen på gjenstnen. Vi måler i tre imensjoner (D). En liten terning er lle siene er m, klles en kuikkentimeter (m ). På figuren ser u en større terning er lle siene er m ( m). Bunnen v enne oksen kn ekkes me små kuikkentimeter-terninger. Vi kn legge ti lg me små terninger for å fylle hele oksen. Til smmen rommer oksen små terninger eller kuikkentimeter. Alle sielengene i en store terningen på figuren er m. Vi kn erfor si t m er et smme som m. m m m På smme måte kn vi finne hvor mnge kuikkesimeter (m ) vi får plss til på kuikkmeter (m ). Vi kn tenke oss en terning på m. Hver v siekntene er m, og volumet er ð mþ ¼ m Vi lger en trpp me huskeregler for volum, tilsvrene en vi lget for rel. Der vi gnget lengeenheten me, gnger vi relenheten me og volumenheten me. Huskeregel for volumenheter km (hm) Gnge me for hvert trinn ne (m) m m Huskeregelen sier t m ¼ mm, og t m ¼ m ¼ m. m Dele på for hvert trinn opp mm 67

70 (68,) 68 KAPITTEL MÅLENHETER EK SEMPEL 9 Hvor mnge kuikkentimeter er, m? Hvor mnge kuikkesimeter er m? Løsning: Når vi gjør om fr m til m, må vi gnge me to gnger, ltså gnge me ¼ :, m ¼, m ¼ m Når vi gjør om fr m til m, må vi ele på : m ¼ : m ¼, m EK SEMPEL Petter skl støpe en pltting som skl være 7 m lng, m re og m tykk. Hvor mnge kuikkmeter etong må hn regne me å ruke? Løsning: Petter tegner en skisse til hjelp: m 7 m m Sien vi skl finne ntll kuikkmeter, gjør vi om lle målene til meter før vi regner ut: Volumet lir,7 m, m, m ¼,7 m, m. Petter må regne me å ruke litt mer enn, m me etong.

71 (69,) Målenheter for rel og volum Vi kn måle volum åe me kuikkmål og litermål. I utforskingsoppgven lget ere en oks som rommet liter. Omgjøringsreglene for litermål finner u i forrige elkpittel. En kuikkesimeter er et smme som en liter, m = L. l ¼ L l ¼ L ml ¼ L EKSEMPEL Hytt til Ev og Chrlie ligger lngt til fjells. De hr ikke innlgt vnn, men en vnntnk som tr m. De fyller tnken ve å hente vnn i en ekk me ei øtte som tr L. Hvor mnge øtter må e hente før tnken er full? Løsning: Sien L = m, gjør vi om volumet i tnken til kuikkesimeter. m ¼ m ¼ L L : L ¼ Det trengs øtter vnn for å fylle tnken. Merk L m ¼ m ml ¼ Sien L ¼ m, må isse to rommålene være like store: ml ¼ m 69

72 (7,) 7 KAPITTEL MÅLENHETER Oppgver. Hv er riktig målenhet? Arelet v en pult er 6... Arelet v unnen i en kopp er 6,6... Arelet v en stue er... Volumet til et iltteri er Hvor mnge kvrtentimeter er m?. Drøft hvem som hr et mest relistiske overslget: Petter mener t rommet hns er. m, Hvor mnge kvrtmillimeter er, m? mens I mener t volumet er. m. m þ,7 km Petter mener t spiseoret på kjøkkenet er 67 mm þ, m þ 6 m. m, mens I mener et er. m., m þ 7, m Petter mener t relet v tommelneglen hns er. mm, mens I mener t en er. mm..6 Tegn en figur som er 6 m. Hvor mnge kvrtmeter er m? Petter mener t ei øtte hr volumet, m, og I mener t rommet hennes er.,8 m..9 Legg smmen. Velg selv hvilken målenhet u vil oppgi svret i: m. Hvor mnge kvrtentimeter er relet? Tegn en figur som er Hvor mnge kvrtmillimeter (mm ) er figuren? Tenk eg t figuren u hr tegnet, er grunnflten til en figur me høye m.. Hvilket volum er minst? m, m mm. Legg smmen volumene. Velg selv hvilken målenhet u vil oppgi svret i:, m þ 679 m Hvor mnge kuikkentmeter (m ) er figuren? m þ 6, m Hvor mnge kuikkmillimeter (mm ) er figuren? mm þ 6,7 m L Æ R I N G S L O G G. Lg en oversikt over e mest rukte målenhetene for rel og volum. Finn et prktisk eksempel på noe som hr et rel og noe som hr et volum. Uttrykk relet og volumet i ulike målenheter. Hvilke målenheter ruker u i hvergen, og hvilke kn u få ruk for i itt frmtiige yrke?

73 (7,) Smmenstte målenheter. Smmenstte målenheter Når vi måler frt, måler vi meter per sekun, m/s, eller kilometer per time, km/t. Vi må kominere to målenheter for å lge en målenhet for frt. D U S K AL K U N N E vite hv en smmenstt målenhet er regne me smmenstte målenheter velge pssene enheter i målinger gjøre om mellom ulike smmenstte målenheter U T F O R S K SA M M E N I enne ktiviteten skl ere måle frten til ulike gjenstner som er i evegelse. Du trenger: måleån og stoppeklokke Mål vstnen mellom to tyelige punkter. Det kn være to lyktestolper lngs veien to trær i skogen to linjer i gymslen to stoler i klsserommet Nå skl u t tien på åtte ti ting som psserer mellom e to punktene. Det kn være iler, syklister, meelever, trillene ller eller lekeiler Lg en tell og før inn resulttene ine: Gjenstn Avstn i meter Ti i sekuner Frt i meter/sekun 7

74 (7,) 7 KAPITTEL MÅLENHETER SI-systemet hr re sju grunnleggene enheter. Anre målenheter er vleet v em. Det vil si t flere målenheter kn komineres, og på en måten efinerer vi krft, trykk, energi, effekt osv. For eksempel er målenheten for kselersjon m=s, og målenheten for trykk er psl (P), er P ¼ kg=ðm s Þ. Smmenstte målenheter er målenheter er vi kominerer flere enheter. Puls Vi måler hjerterytmen i hjerteslg per minutt («ets per minute», pm). Du kjenner pulsen på innsien v hånleet eller på hlspulsårene. Du kn telle mens u følger me på klokk. Hvis u teller i sekuner, kn u gnge resulttet me 6 sien et er 6 sekuner i et minutt. Du kn for eksempel telle slg på sekuner. D er pulsen in 6 pm ¼ pm. Et grovt nslg på hv mkspulsen in skl ligge på, er minus in ler. Hv vil være et nslg på mkspulsen in? Hvilepuls er pulsen u hr når u hviler eller sover, en kn måles om morgenen før u står opp. Tenk gjennom! Hvor mye utgjør et på målingen hvis u teller ett slg feil på sekuner smmenliknet me ett slg feil på sekuner? EK SEMPEL John målte pulsen rett etter en intens treningsøkt. Hn telte slg på hlspulsår i løpet v sekuner. Hvor høy vr pulsen hns? Løsning: Vi gnger ntll slg i sekuner me 6, ettersom pulsen ngis i slg per minutt, ltså per 6 sekuner: 6 ¼ 98 Pulsen til John vr 98 pm like etter treningsøkt.

75 (7,) Smmenstte målenheter Frt Frt er efinert som hvor lngt en gjenstn kn evege seg i løpet v en gitt tisenhet. Frt ¼ strekning ti Enheten for frt er en smmenstt enhet. Vi snkker oftest om m=s eller km=t. En ktt eveger seg en meter på ett sekun. Hvor mnge kilometer vil en evege seg på en time? km ¼ meter time ¼ 6 min ¼ 6 6 s ¼ 6 s Hvis ktten går m på ett sekun, eveger en seg 6 m på 6 sekuner. Vi velger å utvie røken ve å gnge me 6 over og uner røkstreken for å få time som nevner: m=s ¼ m 6 6 m,6 km ¼ ¼ ¼,6 km=t s 6 6 s t Når vi skl gjøre om fr m=s til km=t, gnger vi me,6. Når vi skl gjøre om fr km=t til m=s, eler vi på,6.,6 er et forholstll som eskriver forholet mellom m=s og km=t. EKSEMPEL Johnnes hr som mål å løpe m på uner min. Hvor fort må hn løpe? Angi frten i km=t. Løsning: Vi gjør først om minutter til timer: t ¼, t 6 strekning m km Frt ¼ ¼ ¼ km=t ti, t, t min ¼ Johnnes må løpe rskere enn km=t for å nå målet sitt. Frt: 7

76 (7,) 7 KAPITTEL MÅLENHETER Strømstyrke Merk ¼ 6 ¼ 9 ¼ ¼, 6 ¼, 9 ¼, Vi måler elektrisk strøm i mpere. Symolet for mpere er A. Når en elektriske strømmen gjennom tverrsnittet v en leer er mpere, psserer et en lning på oulom, C, per sekun gjennom tverrsnittet. Merk 6, 8 ¼ 6 og,6 9 ¼, 6 oulom er 6, 8 elementærlninger. En elementærlning er lik lningen til et proton. Et elektron hr like stor, men motstt lning, så en elektrisk strøm på oulom er svært mnge elektroner. Elementærlningen hr symolet e og verien, C. Når vi gnger et tll me 9, etyr et t kommet skl flyttes 9 plsser til venstre. Vi ser t en elementærlning er svært liten. A¼ C C ¼ s s EK SEMPEL Monik måler t strømmen gjennom en lysioe er millimpere ðmaþ. Hvor mnge elementærlninger psserer gjennom lysioen per sekun? Løsning: C og ma ¼, A, psserer et, C per sekun gjennom s leeren. Sien et er 6, 8 elementærlninger per oulom, får vi Sien A ¼, C 6, 8 elementærlninger ¼,8 7 elementærlninger C Det psserer,8 7 elementærlninger gjennom leeren per sekun.

77 (7,) Smmenstte målenheter Tenk gjennom! Unersøk hvorn u på enklest måte kn skrive 6, 8 på klkultor eller PC. Energiruk Vi måler ofte energiruken i kilowttimer ðkwhþ. Vi eregner energiruken ut fr effekten til et elektriske pprtet og ntll timer et elektriske pprtet lir rukt. Effekten måles i kilowtt (kw). Bruker vi et pprt på kw i én time, ruker vi kwh. Tilsvrene ruker pprtet kwh på to timer. EKSEMPEL Louis hr en 7 W mikroølgeovn. Hn ruker en. minutter om gen. Hvor mye energi ruker mikroølgeovnen i løpet v ett år? Løsning: 7 W ¼,7 kw For å regne ut ntll timer per år, gnger vi ruken per g me ntll ger i året: minutter 6 ¼, timer 6 minutter=time,7 kw, h kwh Mikroølgeovnen ruker kwh i løpet v ett år hvis en er i ruk minutter om gen. Internett-frt En nnen smmenstt enhet er megit per sekun ðmit=sþ. I tmskinen er én it en minste regneenheten. En it hr enten verien eller, for eksempel gitt som mgnetisering i en v to retninger eller som måling v spenning eller ingen spenning. En yte er efinert som åtte iter og gir en kominsjon v åtte ettll eller nuller, for eksempel. Til å egynne me rukte vi yte til å eskrive okstver og nre tegn. I g hr en gått over til koer på 6 iter eller mer for å få mulighet til å eskrive flere tegn. meg er en million, så me Mit=s lir et overført en million iter per sekun. 7

78 (76,) 76 KAPITTEL MÅLENHETER EK SEMPEL 6 Jons hr estilt reån me en frt på Mit/s. Hvor mnge iter kn overføres per sekun? Hvor mnge megyte kn overføres per sekun? Hvor lng ti tr et å lste ne en film på GB? Løsning: Det kn overføres iter per sekun. iter : 8 iter=yte ¼ 8 7 yte ¼ 8,7 MB Det kn overføres 8,7 MB per sekun. GB MB ¼ s 8,7 MB=s 8,7 MB=s Det tr sekuner å lste ne GB. Mssetetthet Mssetetthet er også en smmenstt enhet. Tettheten sier hvor mye msse vi hr ve en gitt volumenhet. Tettheten til luminium er,7 g/m. Det vil si t hvis vi hr m me luminium, vil en h mssen,7 g. Hr vi m me luminium, lir mssen ti gnger større, ltså 7 g.

79 (77,) Smmenstte målenheter Tenk gjennom! Hvor mnge kilogrm vil m luminium veie når m = m? EKSEMPEL 7 Tettheten til stål er 7,8 g=m. Hvor mye veier 8 m stål? Hv er tettheten til stål i kg=m? Løsning: 7,8 g=m 8 m ¼ 6, g 8 m stål veier 6, g. 7,8 g, kg kg ¼ 7,8 ¼ 7,8 ¼ 78 kg=m m, m m Tettheten til stål er 78 kg=m. Oppgver. Konr prøver å finne ut hv hvilepulsen hns er. Hn teller slg på sekuner.. Verensrekoren på mrton er t min 9 s. Et mrtonløp er 9 m lngt. Hv er hvilepulsen? Hvor stor frt må mn hole for å klre ette? Kristin trener til Berlin mrton. Hun hr som mål å hole et tempo på, min=km. Hvor lng ti kommer hun til å ruke totlt me ette tempoet?. Kine og Mihel kjører il. Kine holer en frt på 6 km=t, mens Mihels frt er 8, m=s. Hvem v em kjører fortest?. Det er 6, 8 elementærlninger i en oulom. Hvor stor er strømstyrken når, C psserer et tverrsnitt i en leer i løpet v 8 sekuner? Hvor mnge oulom er, 9 elementærlninger? 77

80 (78,) 78 KAPITTEL MÅLENHETER.6 Lus hr en W lyskster..8 Mon hr estilt reån me frten Mit=s. Hvor mnge kilowttimer ruker en på fem reisger når en er i ruk 6, timer om gen? Hvor mnge iter kn overføres per sekun? Hvor mnge megyte kn overføres per sekun? Hvor mye koster energien til lmp når prisen er, kr=kwh? Hvor lng ti tr et å lste ne en film på,7 GB? Hv må frten være for t et skl t ett minutt å lste ne,8 GB?.7 Tettheten til sink er 7 kg=m. Hvor mye veier, m sink? Hvor mye veier m sink?.9 Når vi måler elektrisk effekt, måler vi hvor mye energi, i joule ðjþ, som lir overført hvert sekun. Enheten for effekt er wtt ðwþ. W ¼ J=s. Hvor mnge wtt hr en vrmeovn hvis en gir fr seg 7 J på 9 sekuner? Hvor mnge kilowtt hr en kompressor når en ruker 67,8 MJ på, timer? L Æ R I N G S L O G G. Hv er en smmenstt målenhet? Forklr me egne or. Kn u komme på flere smmenstte målenheter enn e som er nevnt i kpitlet? Hvilke smmenstte målenheter ruker u til glig, og hvilke kn u komme til å ruke i yrket u utnner eg til?

81 (79,) Det inære tllsystemet. Det inære tllsystemet I en tmskin er tll, tekst, iler og ly igitlisert. Denne informsjonen kn åe lgres og overføres mellom ulike enheter. Men hvorn er et mulig? D U S K AL K U N N E lese og skrive et tll i et inære tllsystemet (totllssystemet) lese og skrive et tll i et heksesimle tllsystemet (sekstentllssystemet) U T F O R S K SA M M E N Tellen viser veriene til e fem første toerpotensene: Fyll ut resten v tellen. Hvorn vil ere forklre me or hvorn tllene enrer seg? Tegn en tell som neenfor. Det skl være mnge nok rer til t ere får plss til lle tllene fr til i titllssystemet. Skriv lle tll som summer v toerpotenser, slik et er gjort for tllene 7 og 8. Mrker me e toerpotensene ere hr rukt, og for em ere ikke hr rukt: Titllssystemet Sum v toerpotenser Let etter mønster i tllene i totllssystemet: Mrker ettllene i hver kolonne, for eksempel me ulike frger. Ser ere noe mønster i hvor ettllene står i e fem kolonnene? Hvor mnge ettll står et i hver kolonne? Hvorn ville mønsteret h fortstt om vi utviet me flere kolonner? Skriv opp fem ulike tll ve hjelp v ettll og nuller (totllssystemet). L e nre finne ut hvilke tll ette er i titllssystemet. Merk Vi efinerer ¼. 79

82 (8,) 8 KAPITTEL MÅLENHETER Vi sier t tll og nre tegn lgres i en tmskin i inærformt. Oret «inær» kommer fr ltin og etyr «to og to». Når noe er inært, hr et to eler. I et inære tllsystemet er et to siffer: og. Det inære tllsystemet er erme et totllssystem. En it er ett siffer i totllssystemet. En yte er en serie på åtte iter. Ofte rukes to yte for å eskrive et tll eller et tegn. D får et inære tllet 6 siffer. For å reusere ntll siffer når vi skriver et inære tllet, kn vi ruke et heksesimle tllsystemet. D lir fire siffer i totllssystemet skrevet me ett siffer. Det heksesimle systemet er et sekstentllsystem. Merk I et inære tllsystemet skrives tllet fr titllssystemet som. Sifrene i et heksesimle tllsystemet er,,,,,, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E og F. Her er A ¼, B ¼, C ¼, D ¼, E ¼ og F ¼. Dette henger smmen me t et firesifret tll i et inære tllsystemet er tllene fr til. I titllssystemet ruker vi ti ulike siffer:,,,,,, 6, 7, 8 og 9. I et inære tllsystemet ruker vi to ulike siffer: og. I et heksesimle tllsystemet ruker vi 6 ulike siffer:,,,,,, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E og F. På sie ser u en oversikt over plssene i titllssystemet. I titllssystemet viser sifferet på enerplssen ntll enere, vs. ntll ð¼ Þ. Det neste sifferet står på tierplssen og viser ntll tiere, vs. ntll ð¼ Þ. Sifferet på hunrerplssen viser ntll hunrere, vs. ntll ð¼ Þ. titusenerplss hunrerplss tierplss tusenerplss enerplss Totllssystemet er yg opp på tilsvrene måte. Vi kn for eksempel se på tllet : Det kerste sifferet gir ntll enere ( ), et neste gir ntll toere ( ), et treje gir ntll firere ( ), et fjere gir ntll åttere ( ), osv. er ener, toer, firere og åtter. I titllssystemet gir ette þ þ þ 8 ¼

83 (8,) Det inære tllsystemet I titllssystemet I totllssystemet 8 þ þ þ ¼ 8 þ þ þ ¼ 6 þ þ þ þ ¼ sekstener-plss åtter-plss firer-plss toer-plss ener-plss På tilsvrene måte vil tllet i totllssystemet være lik 8 þ þ þ ¼ i titllssystemet. Og i totllssystemet er et smme som i titllssystemet. EKSEMPEL 8 Hvorn skriver vi 8 i et inære tllsystemet? Hvorn skriver vi et inære i titllssystemet? Løsning: Vi må egynne til venstre i tellen for å finne en høyeste toerpotensen som skl me. Det lir ¼. Så ser vi hvilke nre toerpotenser vi må h me for å få 8 til smmen. Det lir ¼ og ¼ fori 8 ¼ þ þ. Totllssystemet 7 6 I titllssystemet lir potensene: i totllssystemet er : 8 ¼ 7 þ 6 þ þ þ þ þ þ ¼ þ þ ¼ 8 8 er i et inære tllsystemet. Totllssystemet 7 6 I titllssystemet lir potensene: Det inære tllet er : Det inære tllet gir þ þ þ þ þ ¼ þ 8 þ þ ¼ Det inære tllet er tllet i titllssystemet Sekstentllssystemet hr smme oppygning: Titllssystemet Sekstentllssystemet ¼ 9¼9 = ¼ 6 þ 87 ¼ 6 þ 8 6 þ 6 ¼ 96 þ 6 þ 6 þ 9 B B 8 FC 6 96-plss F 6 6-plss 6 6-plss 6 ener-plss 8 9 B B C 8

84 (8,) 8 KAPITTEL MÅLENHETER EK SEMPEL 9 Hvorn skriver vi tllet 9 i et inære tllsystemet i et heksesimle tllsystemet Løsning: Vi må egynne til venstre i tellen og se hvilke tll i totllssystemet vi kn legge smmen for å få 9: Totllssystemet 7 6 I titllssystemet lir potensene: i totllssystemet er : 9 ¼ 6 þ þ þ þ þ þ ¼ 6 þ 6 þ 8 þ þ 9 skrevet i totllssystemet lir. Den høyeste potensen v 6 som finnes i 9, er 6. 6 ¼ 8, så vi setter i kolonnen for 6. Vi hr igjen 9 8 ¼. I sekstentllssystemet er D ¼. Sekstentllssystemet I titllssystemet lir potensene: 6 6 D 9 i sekstentllssystemet er D: 9 ¼ 6 þ 6 ¼ 8 þ 9 skrevet i et heksesimle tllsystemet lir D. Tenk gjennom! Hvorn skriver vi i et inære tllsystemet og i et heksesimle tllsystemet? Hv lir et heksesimle tllet FF i et inære tllsystemet? Hvilket tll i titllssystemet er én høyere enn FF? Et igitlt hjelpemiel kn hjelpe eg til å kontrollere t u hr regnet rett. I klkultoren til Winows kn u velge klkultorversjonen «Progrmmering». Her ser u hvorn tllet 76 i titllssystemet skrives som 6E i et heksesimle tllsystemet og som i et inære tllsystemet. Klkultoren viser også hv tllet lir i åttetllssystemet, som vi ikke hr omtlt her.

85 (8,) Det inære tllsystemet Oppgver. Hvilke v isse tllene kn skrives som toerpotenser?.7,, 6, 8, 6,, 8,, 6,, 68, 6,. Skriv tllene 6, 6, 66 og 67 som inære tll.. Skriv isse tllene som inære tll: 7 9. Hvorn skriver vi 8 i et inære tllsystemet? Hvorn skriver vi 8 i et heksesimle tllsystemet? En IP-resse er elt opp i fire grupper me tll. Vi regner hver gruppe v siffer for seg. I hver gruppe er et åtte siffer i et inære tllsystemet, slik t et inære tllet erme kn gå fr til. Det gir tllene fr til i titllssystemet. er et største inære tllet som hr åtte siffer. (8 ¼ 6 hr ni siffer:.). Skriv isse inære tllene i titllssystemet og i et heksesimle tllsystemet:. Gjør om isse heksesimle tllene til titllssystemet: Gjør om isse to IP-ressene til inære tll og til heksesimle tll: B C7 B Skriv isse tllene fr titllssystemet som heksesimle tll: Gjør om isse inære veriene til tll i titllssystemet: : : : 8 8 : : : 8 L Æ R I N G S L O G G. Hvorfor ruker tmskinene et inære tllsystemet? Velg eg to ulike tll i titllssystemet vårt og skriv em i et inære tllsystemet og i sekstentllssystemet. 8

86 (8,) 8 KAPITTEL MÅLENHETER H V A HA R J E G LÆ R T? Gå smmen i pr og lg en liste eller et tnkekrt over e viktigste mtemtiske ieene og metoene ere hr lært i kpitlet. Prøv også å få me stikkor om hv ieene og metoene kn rukes til i gliglivet eller i itt frmtiige yrke. Del ieene me resten v klssen. Som hjelp til å komme i gng kn ere lese læringsloggene.,.,. og. og se over «regeloksene» i kpitlet. Stemmer påstnene? m=s er smme frt som 9,6 km=t. Avgjør om påstnene neenfor stemmer. Sørg for t u kn forklre hvorfor e stemmer eller ikke. Arel kn måles i mm, m, m, m og km. 6 Hvis u teller 7 pulsslg på sekuner, er pulsen på pm. 7 Når en elektriske strømmen gjennom tverrsnittet v en leer er mpere, psserer et oulom gjennom tverrsnittet i løpet v, sekuner. mm og, m er smme lenge. g og, kg er smme msse. L og m er smme volum. Prosjekt hjemmekinonlegg Utforming v nlegget Et hjemmekinonlegg estår v ulike enheter som TV-skjerm, forsterker og ulike høyttlere. Bestem eg for hv slgs enheter u kunne tenkt eg i et hjemmekinonlegg. Gi en eskrivelse v e ulike enhetene i nlegget: millimeter, tommer, skjermkontrst, oppløsning, frgepunkter, lysstyrke, wtt, B, GB og Hz.

87 (8,) Test eg selv Test eg selv.8 Gjør om m til millimeter.. Tettheten til sink er 7 g=m. Gjør om km til meter. Hvor mye veier, m sink? Gjør om m til esimeter. Om lg hvor mnge kuikkesimeter utgjør kg sink?.9 Gjør om kg til grm. Gjør om mg til grm. Gjør om tonn til kilogrm.. Gjør om til kiloohm (kω). Gjør om 7 ma til millimpere (ma). Gjør om, MW til kilowtt (kw).. Det er 6, 8 elementærlninger i en oulom. Hvor stor er strømstyrken når,8 C psserer et tverrsnitt i en leer i løpet v 6 sekuner? Hvor mnge oulom er,8 9 elementærlninger?. Gjør om 67 m til kvrtesimeter. Gjør om, km til kvrtmeter. Gjør om mm til kvrtentimeter.. Gjør om m til kuikkentimeter. Gjør om, m til kuikkesimeter. Gjør om 6 L til kuikkmeter.. Vinstyrken som klles «full storm», ligger mellom, m=s og 6, m=s. Hv lir veriene hvis vi oppgir vinstyrken i km=t?.6 Alex hr kjøpt seg ny PC me lgringsplss på GB. Hn tenker å ruke GB til lgring v vieofilmer. I leiligheten sin hr hn reånhstighet GB. Hvor mnge megyte kn hn lste ne på ett sekun? Hvor mnge GB kn hn lste ne på ett minutt? For å nslå hvor mye vieofilm hn kn lgre, lger hn en film på sekuner. Den får størrelse 6 kb. Omtrent hvor mnge timer film vil hn kunne lgre på GB? 8

88 (86,) 86 KAPITTEL MÅLENHETER Aktiviteter Tilke til strt. Elektrisk nlegg i en ettroms leilighet Del : Lg en tegning v leiligheten og plnlegg hv leiligheten skl h v elektriske pprter og elysning. Del : Unersøk hvilke pprter som vil kreve mest strøm. Gjør et overslg over hvor mnge mpere strømkursen til leiligheten ør kunne levere. Finn ut hv som er vnlig kpsitet på et elektrisk nlegg for en leilighet. Del : Hvor mnge lmper trengs i leiligheten? Hvor mnge wtt vil e ruke til smmen? Det elektriske nlegget i en ettroms leilighet skl plnlegges. Leiligheten skl h en sovesof, et spiseor og en kjøkkenenk me ønsket utstyr. Det totle strømehovet for leiligheten skl eregnes, og et skl gjøres et overslg over ntll meter lening som skl strekkes. Del : Lg et forslg til hvorn e elektriske leningene skl strekkes i leiligheten. Beregn omtrent hvor mnge meter kel som trengs.. Måleutstyr på elektro. Utviklingen v tmskiner Gi en eskrivelse v ulike målenheter som rukes til forskjellige typer utstyr i elektrofget. Noter ne viktige trinn i utviklingen v tmskiner fr 98 og frm til i g. Bruk egnee målenheter i omtlen v e ulike komponentene. Stikkor: Skjerm, hoveprosessor (CPU), RAM og lgringsplss. Stikkor: skjerm, hoveprosessor (CPU), RAM og lgringsplss.

89 (87,) Aktiviteter. Omgjøring mellom enheter.8 SI-enheter Finn eksempler på ulike enheter som uttrykker smme fenomen, for eksempel t åe entimeter og millimeter eskriver lenge. Lg et progrm eller et oppsett i et regnerk, er u kn legge inn en størrelse og få progrmmet/regnerket til å uttrykke størrelsen me en nnen enhet. Eksempler på slike omgjøringer kn være fr tommer til millimeter og fr psl til r. T for ere en oversikt over SI-enheter. Lg en tell over e ti målenhetene u kn est. Smmenlikn me e nre i klssen. Forklr for hvernre hvilke enheter ere eventuelt hr stt opp som nre ikke hr ttt me..9 Elektronisk rift v lysstoffrør. Frtsmåling Lg et progrm som mottr vstn i meter og ti i sekuner fr rukeren. Progrmmet skl uttrykke frten til gjenstnen i meter per sekun og i kilometer per time..6 Årlig strømforruk Frekvensen i strømnettet vårt er Hz. Unersøk hv elektronisk rift v lysstoffrør er, og hvorn et påvirker hvor mnge gnger i sekunet et lysstoffrør tennes og slokkes.. Forruk til elil Det skl lges en veileningsrosjyre for førstegngskjøpere v leilighet og eneolig. Gi eksempler på hvor mnge wtt ulike elektriske pprter ruker. Anslå en årlige energiruken for isse pprtene. Unersøk forventet årlig elektrisitetsforruk hvis vi or i en eneolig eller en leilighet..7 Mssetetthet Forklr hv vi mener me t mssetettheten til et mterile måles i g=m eller kg=m. Stuer ulike mteriler ere ruker på elektrofg, og sorter em etter økene mssetetthet. Unersøk hvor mnge kilowttimer en elil som kjører km per år, vnligvis ruker.. Blu-ry og DVD Finn ut hv som er forskjellen på en lu-ry-plte og en DVD-plte. Hv hr et å si for lgringskpsiteten på e to enhetene? Hvorn påvirker ulik lgringskpsitet kvliteten og lengen på filmene som kn lgres? 87

90 (88,) 88 KAPITTEL MÅLENHETER Oppgver. Grunnleggene målenheter.7 Uten å løfte lynten fr rket skl u egynne lngt nee på et rk og r en strek, m opp, 8 mm til høyre,, m ne, 7,8 m mot venstre, 6, m ne og, m mot høyre. Smmenlikn og se om ere hr tegnet en smme figuren.. Hvor mnge minutter er to timer og et kvrter? Hvor mnge timer er minutter? Hvor mnge sekuner er et i minutter? Hvor lng ti går et mellom kl. 9. til kl..?. Fyll ut et som mngler i tellen: Lenge mil km (hm) m m m m mm,8 m ¼... m.8 Mohmme skl strekke en kel fr tklmp til en stikkontkt på golvet. Strekningen kn eles opp i tre: m,,8 m og, m. Vil en kel på, m være lng nok? I et nnet rom skl Mohmme henge opp fire tklmper etter hvernre me lik vstn. Lengen v tket er, m. Avstnen til veggen for en første lmp skl være 9 m, og tilsvrene skl en siste lmp være 9 m fr motstt vegg. Hvor mnge millimeter lir et mellom hver lmpe? 99 mm ¼... m... m ¼... m mil Hvorn ør hn kominere ulike motstner for å lge en seriekopling me totlresistns,9 k?... km ¼... m Skriv 7 esiliter me liter som enhet. Skriv kilometer me meter som enhet. 7 g g g mg 6 7 L l l ml. Fyll ut et som mngler i tellen: Msse kg hg (g) 8 9 8,6 g ¼... kg 9 mg =... g g ¼... kg... g ¼... mg. Fyll ut et som mngler i tellen: Volum. Skriv 6 milligrm me grm som enhet. 8 ¼... m... kg ¼... g.9 Sivert hr en oks motstner me resistnsene, og, k. 7 l (kl) ¼... L hl (l) 8, l ¼... l... ml ¼... l, hl ¼... L... l ¼... hl

91 (89,) Oppgver m þ, km mg þ, g.6 Hvor mnge kuikkentimeter er, kuikkesimeter? mm þ,7 m e, L þ l Hvor mnge kuikkentimeter er kuikkmeter? g þ, kg f ml þ l Hvor mnge kuikkmeter er kuikkesimeter?. Legg smmen:.6 En g kom Lil i rnehgen kl. 7.. Kl.. le hun hentet. Hvor lenge vr Lil i rnehgen en gen?.7 Hvor mnge wtt (W) er MW? En konenstor hr kpsitnsen mf (mikrofr). Gjør om til millifr..8 En engelsk mil er gitt ve mile = 69, m. Hvor mnge engelske mil er et i én mil?. Målenheter for rel og volum.9 Et solellepnel hr relet 66 m. Omtrent hvor mnge solellepnel får plss på.6 To noer smmenlikner tomtene sine. Den ene sier t relet v tomt hns er m. Noen sier t tomt hns er m, og t e to tomtene er like store. Hr hn rett?.6 Susnne hr regnet ut t en server me lengen 6 mm, reen 7 mm og høyen 867 mm hr et volum på 98 6 mm. Hvor mnge kuikkmeter svrer et til?.6 En rikkekrtong hr et volum på, l, og en nnen krtong hr volumet ml. Hvilken krtong hr størst volum?.66 Hvor mnge kuikkmeter er m? Hvor mnge kuikkentimeter er mm? Hvor mnge kuikkesimeter er, m? et tk me relet m?.6 Noh trenger liter frostvæske og hr funnet fem flsker som inneholer l, ml,, l,, liter og l. Hr hn nok?.6 Hvor mnge kvrtesimeter er kvrtmeter? Hvor mnge kvrtentimeter er, kvrtmeter? Hvor mnge kvrtmillimeter er kvrtentimeter?.67 Legg smmen relene: m þ m m þ, m, km þ m m þ L.68 Legg smmen volumene: m þ m, m þ m 89

92 (9,) 9 KAPITTEL MÅLENHETER. Smmenstte målenheter.69 Legg smmen relene: m þ,7 km 6, m þ 8 mm þ, m 7 m þ 9,8 m.7 Ell målte pulsen sin. Hun tlte 6 slg på hlspulsår i løpet v ti sekuner. Hv vr pulsen hennes? Gi svret i «ets per minute», pm..7 Brn i rnehgen tegner kort, er hvert kort skl h et rel på m. Kortene skl skjæres ut v et stykke krtong på m. Hvor mnge kort er et mulig å få v enne krtongen?.7 Line kjøper tøy for å sy en uk og seks servietter. Arelet v uken skl være, m, og hver serviett skl h et rel på m. Hvor mye stoff trenger Line til smmen?.7 mm neør etyr et lg me mm vnn på en horisontl flte. Hvis et en g fller mm neør, hvor mnge liter utgjør et på en fotllne på 7 m?.7 A-formt er en spesiell form på ppirrk. Et A-rk måler m. Arkets form er slik t om vi eler et i to, får vi to rk me smme form, men me hlve størrelsen, A. A-rk er hlvprten v A, osv. Hvor mnge kvrtentimeter er et A-rk?.7 Oliver kjørte meter på sekuner. Finn frten målt i kilometer per time ðkm=tþ..76 En il kjører me frten km=t. Hv er frten i meter per sekun ðm=sþ?.77 Trn inneholer lnt nnet vitmin D. Det er mg=ml vitmin D i trn, et vil si mikrogrm vitmin D per milliliter trn. Det nefles t vi tr mg vitmin D hver g. Hvor mnge milliliter trn må vi t hver g for å ekke gsehovet?.78 Strømmen gjennom en lysioe er millimpere ðmaþ. Hvor mnge mpere er ma? Hvor mnge lysioer kn lyse smtiig hvis totlstrømmen skl være minre enn, A? Hvor mnge elementærlninger psserer gjennom lysioen per sekun når et er 6, 8 elementærprtikler i en oulom? A A A A m A A A Hvor mnge lysioer vil til smmen gi,68 7 elementærlninger per sekun?.79 Gro rukte t min på en iltur fr Ålesun til Lillehmmer. Dette er en strekning på 6 km. Hvor stor gjennomsnittsfrt holt hun på turen?

93 (9,) Oppgver.8 Lun pusser opp stu i huset sitt. Hun hr regnet ut t relet v veggene er. m. Hun må mle to strøk. På mlingsspnnet står et t vi kn regne me et mlingsforruk på 8 m =L. Hvor mnge liter mling trenger hun? Mlingen selges i spnn på,7 L og L. Hvor mye mling ør hun kjøpe?.8 knop er en frt på nutisk mil (8 m) per time. Hurtigruten går me. 6 knop. Hvor mnge kilometer per time svrer et til?.8 Bevegelsesmengen p til et ojekt lir målt i kg m=s, ltså mssen m v ojektet målt i kilogrm gnget me frten v målt i meter per sekun: p¼m v Hvor mnge meter per sekun er 6 km=t? Hvor stor evegelsesmenge hr en lsteil på 7, tonn som kjører i 6 km=t? Hvor stor frt målt i kilometer per time måtte en il me mssen 6 kg htt for å få smme evegelsesmenge som lsteilen?.8 Mssetettheten til luminium er,7 g=m.. Det inære tllsystemet.8 Skriv leren in i et inære og i et heksesimle tllsystemet..86 Skriv føselsåret itt i et inære og i et heksesimle tllsystemet..87 Skriv e ti neste tllene i enne tllfølgen:,,, 8, 6, Skriv tllene,, og som inære tll..89 Skriv isse tllene fr titllssystemet som inære tll: 7.9 Hvorn skriver vi 8 fr titllssystemet i et inære tllsystemet? Hvorn skriver vi 8 fr titllssystemet i et heksesimle tllsystemet?.9 Skriv isse inære tllene i titllssystemet og i et heksesimle tllsystemet: Hv lir mssetettheten målt i kg=m? Hv er volumet v kg luminium?.8 Et hustk er yg for å tåle en viss menge snø. Gmmel snø veier. kg=m, mens våt snø veier. kg=m. Et hustk er yg for å tåle kg=m. Hvor stor snøye me gmmel snø kn tket tåle?. Hvor stor ye me våt snø kn tket tåle? 6.9 Gjør om isse heksesimle tllene til titllssystemet: B 8 D F 78.9 Skriv som heksesimle tll:

94 (9,) 9 KAPITTEL MÅLENHETER Titllssystemet.9 Smmenhengen mellom inære og heksesimle tll: 7 Binære tll 8 Heksesimle tll 6 Titllssystemet = Vi ser t ¼ 6, ¼ 6 og 8 ¼ = += Når vi går fr totllssystemet til sekstentllssystemet, vil erme e fire første sifrene i totllssystemet gi tllet på enerplssen i sekstentllssystemet, e fire neste sifrene gir tllet på sekstenerplssen i sekstentllssystemet, osv. Tllet 9 i titllssystemet er i totllssystemet. Hvis vi eler sifrene i grupper på fire og fire, kn vi skrive og. Vi gjør om til titllssystemet: er, er, og i sekstentllssystemet er og lik og D = = D Det heksesimle tllsystemet Det inære tllsystemet Bruk systemet ovenfor og utvi tellen til å omftte tllene til og me 8. Gjør om fr inære til heksesimle tll ve hjelp v systemet: Tllet i totllssystemet er ltså et smme som D i sekstentllssystemet. Denne tellen kn hjelpe eg til å se mønsteret mellom e ulike tllsystemene: Titllssystemet Det inære tllsystemet Det heksesimle tllsystemet Titllssystemet Det inære tllsystemet Det heksesimle tllsystemet B C D E F A

95 (9,) Oppgver Blnee oppgver.9.96 Ms hr en GB minnepinne og skl lste ne filmer fr kmeret sitt. Hn hr lstet ne en film på min s som opptr 8 kb. Hvor mnge minutter me vieo kn hn lgre på minnepinnen? Hvor mnge gigyte trenger hn for å lgre to timer me film?.97 Før u gjør enne oppgven, ør u h gjort oppgve.7. Når vi kopler en PC til et nettverk, må vi oppgi en IP-resse, for eksempel Viere oppgir vi en sunettmske, for eksempel... Sunettmsken forteller hvor stort nettverket vårt er. Antll iter i msken som inneholer sifferet, vgjør størrelsen på nettet vårt. Sien vi kn skrive tll opp til, vil et si t et er åtte iter i msken, og t et er 6 resser i nettet. Disse ressene går fr til Første resse i IP-nettet, , er ressen til selve nettet vårt. Skriv enne ressen me inære tll. Ofte vil en første rukre ressen, , settes på ruteren i nettverket. Skriv enne ressen me heksesimle tll. Den siste ressen, , er reservert for sening. Senes noe til enne ressen, vil lle mskiner i nettet mott informsjonen. Skriv ressen me heksesimle tll. I 9 rpporterte Sttnett SF t e runt om i hele lnet fikk henvenelser om å plnlegge tsentre me spørsmål om kpsitet for tilknytning til strømnettet. Alle henvenelsene utgjore smlet en effekt på litt uner 7 MW. Hvor mnge kilowtt er 7 MW? Hvor mnge kilowttimer ðkwhþ vil en slik effekt gi i energiruk på ett øgn? Hvor mnge terwttimer ðtwhþ svrer et til i løpet v ett år? Hvor mnge terwttimer vil energiruken li hvert år hvis hlvprten v prosjektene reliseres, og e re tr i ruk hlvprten v en forespurte effekten? 9

Basisoppgaver til 2P kap. 1 Tall og algebra

Basisoppgaver til 2P kap. 1 Tall og algebra Bsisoppgver til P kp. Tll og lger. Potenser. Nye potenser. Store og små tll. Stnrform. Tllsystemer. Femtllsystemet. Totllsystemet.7 Prosentregning me vekstfktor.8 Renteregning Ashehoug www.lokus.no Ashehoug

Detaljer

a 5 (2 + 8) d 5 (2 + 8) 4 g b 3 5 (2 + 8) e h 3 ( ) j Begrunn hvorfor du ikke får samme svar på oppgave b og g.

a 5 (2 + 8) d 5 (2 + 8) 4 g b 3 5 (2 + 8) e h 3 ( ) j Begrunn hvorfor du ikke får samme svar på oppgave b og g. Mtemtikk for ungomstrinnet KAPITTEL 4 TALL OG ALGEBRA MER ØVING Oppgve 1 Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller e ulike okstvene? Se på uttrykket O = 2π. Hv står e ulike symolene for? Forklr hv

Detaljer

Mer øving til kapittel 1

Mer øving til kapittel 1 Mer øving til kpittel 1 KAPITTEL 1 TALL OG TALLREGNING Oppgve 1 Finn svret ve hoeregning. Velg to v oppgvene og forklr hvilken strtegi u hr rukt. 27 + 38 e 160 70 i 130 4 35 + 75 f 19 5 j 6 7,5 58 + 42

Detaljer

Tillegg til kapittel 2 Grunntall 10

Tillegg til kapittel 2 Grunntall 10 8.09.0 Kvrtsetningene Tillegg til kpittel Grunntll 0 Ne læringsmål i reviert lærepln 0 Mål for et u skl lære: kunne ruke kvrtsetningene til å multiplisere to prentesuttrkk kunne fktorisere ve å ruke kvrtsetningene

Detaljer

Oppgave 2 Betydningen til hvert enkelt siffer er bestemt av sifferets plassering eller posisjon. Tallet 4321 betyr

Oppgave 2 Betydningen til hvert enkelt siffer er bestemt av sifferets plassering eller posisjon. Tallet 4321 betyr KAPITTEL 1 TALL OG TALLREGNING FLERE UTFORDRINGER Oppgve 1 Du hr sifrene A 1 3 5 7 9 og B 2 4 6 8 Ve å ruke tre v sifrene i enten A eller B skl u lge ett tll så nærme 500 som mulig. Du kn re ruke ett siffer

Detaljer

Oppgaver i matematikk, 9-åringer

Oppgaver i matematikk, 9-åringer Oppgver i mtemtikk, 9-åringer Her er gjengitt e frigitte oppgvene fr TIMSS 2003. For 4. klsse enyttes nå etegnelsen mønstre for et som i 1995 le omtlt som lger. Oppgvene er innelt i isse emnene: Tll Geometri

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2013

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2013 Tll i rei Påygging terminprøve våren 2013 DEL 1 Uten hjelpemiler Hjelpemiler: vnlige skrivesker, psser, linjl me entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Skriv tllene på stnrform. 1 0,000 00015 2 19,6 millirer

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2014

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2014 Terminprøve våren 014 Tll i rei Påygging terminprøve våren 014 DEL 1 Uten hjelpemiler Hjelpemiler: vnlige skrivesker, psser, linjl me entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 1 Skriv tllet Skriv tllet 6 3,15

Detaljer

... ÅRSPRØVE 2014...

... ÅRSPRØVE 2014... Delprøve 1 Ashehoug ÅRSPRØVE 014 9. trinn.... ÅRSPRØVE 014... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemiler (39 poeng) Alle oppgvene i el 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver er et en regnerute. Her skl

Detaljer

2P kapittel 1 Tall og algebra Løsninger til oppgavene i læreboka

2P kapittel 1 Tall og algebra Løsninger til oppgavene i læreboka P kpittel 1 Tll og lger Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 1.1 ( ) Oppgve 1. 8 = 8 8 = = = 00 ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) = 1 ( ) = =() = 7 Oppgve 1. 81 = 9 9 = 9 81= = 1= = = ( ) ( ) = = Oppgve 1. 8 = 1

Detaljer

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato 5: Alger Pln resten v året: - Kpittel 6: Ferur - Kpittel 7: Ferur/mrs - Kpittel 8: Mrs - Repetisjon: April/mi - Eventuell offentlig eksmen: Mi - Økter, prøver, prosjekter: Mi - juni For mnge er egrepet

Detaljer

YF kapittel 1 Tall Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 1 Tall Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 1 Tll Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 10,, 0, 1,, 5,,, 0 Oppgve 10 Tllet 5 står til høyre for tllet på tllinj. Altså er 5>. Tllet 5 står til venstre for tllet 1 på tllinj. Altså er 5

Detaljer

ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL

ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL Anne Rsch-Hlvorsen Oddvr Asen Illustrtør: Bjørn Eidsvik 7B NY UTGAVE ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL CAPPELEN DAMM AS, 2011 Mterilet i denne publiksjonen er omfttet v åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt

Detaljer

Kapittel 4 Tall og algebra Mer øving

Kapittel 4 Tall og algebra Mer øving Kpittel 4 Tll og lger Mer øving Oppgve 1 d Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller de ulike okstvene? Se på uttrykket A = 2π. Hv står de ulike symolene for? Forklr hv vi mener med en vriel og en

Detaljer

1T kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka T kpittel Alger Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve. 0 8 ( 0) + 0 + ( 0) 0 8 Oppgve. 7 ( ) + + ( ) 7 Oppgve. ( ) + Oppgve. 0 ( ) 0 ( 0) ( ) 0 ( 0) : ( ) 0 : ( ) Oppgve. ( ) ( ) ( ) (,) ( ) (,) 9 Oppgve.

Detaljer

S1 kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka

S1 kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka Løsninger til oppgvene i ok S kpittel Alger Løsninger til oppgvene i læreok. 8 ( ) 5 9. e = = 9 = = 8 5 = = 0 = 0 0 0 = 000 =. e Ashehoug www.lokus.no Sie v Løsninger til oppgvene i ok..5..7 = = + 5 =

Detaljer

Oppgave 1 Diagrammet nedenfor viser hvordan karakteren var fordelt på en norskprøve.

Oppgave 1 Diagrammet nedenfor viser hvordan karakteren var fordelt på en norskprøve. Mtemtikk for ungomstrinnet KAPITTEL 5 STATISTIKK OG SANNSYNLIGHET MER ØVING Oppgve 1 Digrmmet neenfor viser hvorn krkteren vr forelt på en norskprøve. 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 Hvor mnge fikk krkteren 4?

Detaljer

Oppgave 5 Et rektangel har en omkrets på 24 cm 2. Hva blir arealet? Dersom lengdene på sidene skal ha heltallige svar, hvor mange løsninger får du?

Oppgave 5 Et rektangel har en omkrets på 24 cm 2. Hva blir arealet? Dersom lengdene på sidene skal ha heltallige svar, hvor mange løsninger får du? KAPITTEL 3 GEOMETRI Mer øving kpittel 3 I e første oppgvene skl u gjøre om enheter på en lgeriske måten. Det vil si t når u skl gjøre om mellom relenheter skl u gå veien om å gjøre om mellom lengeenheter.

Detaljer

Kapittel 5 Statistikk og sannsynlighet Mer øving

Kapittel 5 Statistikk og sannsynlighet Mer øving Kpittel 5 Sttistikk og snnsynlighet Mer øving Oppgve 1 Digrmmet nefor viser hvorn krkteren vr forelt på en norskprøve. 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 Hvor mnge fikk krkteren 4? Hvor mnge elever er et i klssen?

Detaljer

Brøkregning og likninger med teskje

Brøkregning og likninger med teskje Brøkregning og likninger med teskje Dette heftet gir en uformell trinn for trinn gjennomgng v grunnleggende regler for brøkregning og likninger. Dette er sto som vi i FYS 000 egentlig forventer t dere

Detaljer

... JULEPRØVE 9. trinn...

... JULEPRØVE 9. trinn... .... JULEPRØVE 9. trinn.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver

Detaljer

STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET

STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET Mer øving til kpittel 4 STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET Oppgve 1 Under ser du resulttet v ntll kinoesøk for en klsse de siste to måneder: 1, 3, 5, 4, 2, 7, 1, 1, 4, 5, 3, 3, 4, 0, 1, 3, 6, 5,

Detaljer

Terminprøve Matematikk for 1P 1NA høsten 2014

Terminprøve Matematikk for 1P 1NA høsten 2014 Terminprøve Mtemtikk for 1P 1NA høsten 2014 DEL 1 Vrer 1,5 time Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler. Forsøk på lle oppgvene selv om du er usikker

Detaljer

Oppgaver i matematikk, 13-åringer

Oppgaver i matematikk, 13-åringer Oppgver i mtemtikk, 13-åringer Her er gjengitt e frigitte oppgvene fr TIMSS 2003. Oppgvene er innelt i isse emnene: Tll Geometri Alger Dtrepresentsjon og snnsynlighet Målinger Proporsjonlitet Emnetilhørighet

Detaljer

Kapittel 2 Mer om tall og tallregning Mer øving

Kapittel 2 Mer om tall og tallregning Mer øving Kpittel Mer om tll og tllregning Mer øving Oppgve Plsser isse tllene på ei tllinje:,, 9,, Skriv røkene i stigene rekkefølge. Skriv lle tllene som esimltll Oppgve Skriv en røk og fortell hv som er teller,

Detaljer

1 Tallregning og algebra

1 Tallregning og algebra Tllregning og lger ØV MER. REGNEREKKEFØLGE Oppgve.0 6 d) ( : 6) Oppgve. ( ) ( ) ()() ( ) ( ) ( ) () (6 ) () d) ( ) 7() ( ) Oppgve. 6 ( ) d) Oppgve. Med ett ddisjonstegn, ett sutrksjonstegn, ett multipliksjonstegn

Detaljer

6 Brøk. Matematisk innhold Brøk i praktiske situasjoner Brøk som del av en mengde. Utstyr Eventuelt ulike konkreter, som brikker og knapper

6 Brøk. Matematisk innhold Brøk i praktiske situasjoner Brøk som del av en mengde. Utstyr Eventuelt ulike konkreter, som brikker og knapper Brøk I dette kpitlet lærer elevene om røk som del v en helhet, der helheten kn være en mengde, en lengde eller en figur, og de skl lære om røk som del v en mengde. De skl lære å finne delen når det hele

Detaljer

Mer om algebra. Sti 1 Sti 2 Sti 3 500, 501, 503, 504, 505, 511 513, 514, 515, 516, 517, 519, 520, 521, 525 531, 534, 535, 538

Mer om algebra. Sti 1 Sti 2 Sti 3 500, 501, 503, 504, 505, 511 513, 514, 515, 516, 517, 519, 520, 521, 525 531, 534, 535, 538 5 Mer om lger Kompetnsemål: Mål for opplæringen er t eleven skl kunne regne me rsjonle og kvrtiske uttrykk me tll og okstver og ruke kvrtsetningene til å fktorisere lgeriske uttrykk løse likninger, ulikheter

Detaljer

Terminprøve Matematikk Påbygging høsten 2014

Terminprøve Matematikk Påbygging høsten 2014 Terminprøve høsten 2014 Terminprøve Mtemtikk Påygging høsten 2014 DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Regn ut 3 3 3 4 1 3 3 2

Detaljer

... JULEPRØVE

... JULEPRØVE Ashehoug JULEPRØVE 2014 9. trinn.... JULEPRØVE 2014.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres

Detaljer

Faktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11.

Faktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11. Fktorisering Per G. Østerlie Senter for IKT i utdnningen per@osterlie.no 11. mi 013 1 Hv er fktorisering? Vi må se på veret å fktorisere. Hv er det vi skl gjøre når vi fktoriserer? Svret er: å lge fktorer.

Detaljer

Kapittel 3. Potensregning

Kapittel 3. Potensregning Kpittel. Potensregning I potensregning skriver vi tll som potenser og forenkler uttrykk som inneholder potenser. Dette kpitlet hndler blnt nnet om: Betydningen v potenser som hr negtiv eksponent eller

Detaljer

1T kapittel 2 Likninger

1T kapittel 2 Likninger Løsninger til oppgvene i ok T kpittel Likninger Løsninger til oppgvene i ok. 6+ 8 6 8 + 5 5 5 6 VS 6 8 HS 6 ( 6) + 8 6 + 8 8 Sien VS HS når 6, er 6 en løsning på likningen. ( + ) 6 + 6 6 VS HS ( + ) 5

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG(Sensor) I TMA4140 og MA0302

LØSNINGSFORSLAG(Sensor) I TMA4140 og MA0302 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Sie 1 v 6 LØSNINGSFORSLAG(Sensor) I TMA4140 og MA0302 12. esemer 2006 Oppgve 1 ) Skriv ne efinisjonen på en tutologi. Svr: En tutologi

Detaljer

Mer øving til kapittel 3

Mer øving til kapittel 3 Mer øving til kpittel 3 KAPITTEL 3 FUNKSJONER Oppgve 1 Tegn et koordintsystem og merk v punktene (1, 5) d (3, 2) ( 2, 3) e ( 3, 5) (4, 0) f (0, 4) Oppgve 2 Hvilke koordintpr hr de ulike punktene i koordintsystemet?

Detaljer

Temahefte nr. 1. Hvordan du regner med hele tall

Temahefte nr. 1. Hvordan du regner med hele tall 1 ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK SNART MATTE EKSAMEN Hvordn du effektivt kn forberede deg til eksmen Temhefte nr. 1 Hvordn du regner med hele tll Av Mtthis Lorentzen mttegrisenforlg.com Opplysning: De nturlige

Detaljer

Nytt skoleår, nye bøker, nye muligheter!

Nytt skoleår, nye bøker, nye muligheter! Nytt skoleår, nye øker, nye muligheter! Utstyret dere trenger, er som i fjor: Læreok lånes v skolen vinkelmåler, --9 og - -9-treknter, psser, lynt, viskelær, penn, A-rk til innføring og A klddeok. Og en

Detaljer

Eksempeloppgaver 2014 Løsninger

Eksempeloppgaver 2014 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 19 millirder 9 10 = 19 10 = 1,9 10 0,089 10 = 8,9 10 10 = 8,9 10 Oppgve 6 6 8 Prosentvis

Detaljer

VEILEDNING HALVÅRSPRØVE. Bjørnar Alseth Gunnar Nordberg Henrik Kirkegaard Mona Røsseland INNHOLD. Innledning/ gjennomføring side 2 3

VEILEDNING HALVÅRSPRØVE. Bjørnar Alseth Gunnar Nordberg Henrik Kirkegaard Mona Røsseland INNHOLD. Innledning/ gjennomføring side 2 3 Bjørnr Alseth Gunnr Norderg Henrik Kirkegrd Mon Røsselnd 4 HALVÅRSPRØVE VEILEDNING INNHOLD Innledning/ gjennomføring side 2 3 Veiledning oppgve for oppgve side 4 21 Fsit med poengeregning side 22 24 Veiledning

Detaljer

S1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

S1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka S1 kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok E1 995 995 5 + 5 (995 5) (995 + 5) + 5 990 1000 + 5 990 000 + 5 990 05 E E (61+ 9) 51 49) (51+ 49) 61 9 (61 9) 51 49 ( 100 100 11 1997 00 199

Detaljer

S1 kapittel 4 Logaritmer Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 4 Logaritmer Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgvene i ok S kpittel 4 Logritmer Løsninger til oppgvene i ok 4. Vi leser v fr tllet 4 på y-ksen og ser t vi får den tilhørende verdien,6 på -ksen. lg 4,6 Vi leser v fr tllet,5 på y-ksen

Detaljer

BARN og DIGITALE MEDIER 2012 Foreldreundersøkelsen, 1-12 år

BARN og DIGITALE MEDIER 2012 Foreldreundersøkelsen, 1-12 år BARN og DIGITALE MEDIER 2012 Forelreunersøkelsen, 1-12 år Weunersøkelse 1500 forelre me rn i leren 1-12 år Bkgrunnsinformsjon Kjønn Mnn Kvinne Aler (netrekksmeny?) Hr u rn i leren mellom 1-12 år? (FILTER:

Detaljer

Fag: Matematikk 1T-Y for yrkesfag for elever og privatisterr. Eksamensdato: 16. januar 2012

Fag: Matematikk 1T-Y for yrkesfag for elever og privatisterr. Eksamensdato: 16. januar 2012 Loklt gittt eksmen Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for yrkesfg for elever og privtisterr Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 16. jnur 2012 Antll sider i oppgven: 7 inklusiv forside og opplysningsside Del 1: oppgve 1-5

Detaljer

Juleprøve trinn Del 1. Navn: Del 1 Aschehoug JULEPRØVE trinn. Informasjon for del 1

Juleprøve trinn Del 1. Navn: Del 1 Aschehoug JULEPRØVE trinn. Informasjon for del 1 Juleprøve 2015 10. Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 Prøvetid Hjelpemidler i del 1 Andre opplysninger Frmgngsmåte og forklring 5 timer totlt Del 1 og del 2 lir delt ut smtidig. Del 1 skl leveres inn seinest

Detaljer

3.7 Pythagoras på mange måter

3.7 Pythagoras på mange måter Oppgve 3.18 Vis t det er mulig å multiplisere og dividere linjestykker som vist i figur 3.. Bruk formlikhet. 3.7 Pythgors på mnge måter Grekeren Pythgors le født på Smos 569 og døde. år 500 f. Kr. Setningen

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Melk: 2 14,95 2 15 30 Potet: 2,5 8,95 2,5 9 22,5 Ost: 0,5 89,95 0,5 90 45 Skinke: 0, 2 199

Detaljer

Årsprøve trinn Del 1. Navn: Informasjon for del 1

Årsprøve trinn Del 1. Navn: Informasjon for del 1 Årsprøve 2015 9. trinn Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 Prøvetid: Hjelpemidler på del 1: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: 5 timer totlt. Del 1 og Del 2 skl deles ut smtidig Del 1 skl du levere

Detaljer

1 Algebra. 1 Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig: a) 2(a + 3) (3 + 3a) b) 2(1 a) + a(2 + a) c) 1 + 2(1 3a) + 5a d) 4a 3ab 2(a 5b) + 3(ab 2b)

1 Algebra. 1 Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig: a) 2(a + 3) (3 + 3a) b) 2(1 a) + a(2 + a) c) 1 + 2(1 3a) + 5a d) 4a 3ab 2(a 5b) + 3(ab 2b) Alger Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig c 5 d 5 Multipliser ut og gjør svrene så enkle som mulige c c c c d e f g h 5 i Regn ut 5 Regn ut og vis frmgngsmåten 5 c Regn ut og vis frmgngsmåten 5

Detaljer

Andre funksjoner som NAND, NOR, XOR og XNOR avledes fra AND, To funksjoner er ekvivalente hvis de for alle input-kombinasjoner gir

Andre funksjoner som NAND, NOR, XOR og XNOR avledes fra AND, To funksjoner er ekvivalente hvis de for alle input-kombinasjoner gir 2 1 Dgens temer Dgens temer hentes fr kpittel 3 i Computer Orgnistion n Arhiteture Kort repetisjon fr forrige gng Komintorisk logikk Anlyse v kretser Eksempler på yggelokker Forenkling vh. Krnugh-igrm

Detaljer

YF kapittel 10 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 10 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 10 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok Uten hjelpemidler Oppgve E1 5 + 5 + 6 11 5 + 4 (5 + ) 5 + 4 7 10 6 + 8 d + ( + 1) 5 + 4 5 + 16 5 + 10 5 4 + 4 4 + 8 1 + + + + + + + + 49 49

Detaljer

2 Tallregning og algebra

2 Tallregning og algebra Tllregning og lger KATEGORI. Regnerekkefølge Oppgve.0 Regn uten digitlt hjelpemiddel. + ( + ) ( ) Oppgve. Regn uten digitlt hjelpemiddel. Oppgve. Regn ut med og uten digitlt hjelpemiddel. + (7 + ) ( 9)

Detaljer

Årsprøve 2014 10. trinn Del 2

Årsprøve 2014 10. trinn Del 2 2 Årsprøve 2014 10. trinn Del 2 Informsjon for del 2 Prøvetid: Hjelpemidler på del 2: Vedlegg: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: Veiledning om vurderingen: 5 timer totlt Del 2 skl du levere

Detaljer

MATEMATIKKPRØVE 11. FEBRUAR.

MATEMATIKKPRØVE 11. FEBRUAR. MATEMATIKKPRØVE 11. FEBRUAR. Nvn: Klsse: DELPRØVE 1 uten lommeregner og p (41 poeng) Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver er det en regnerute. Her skl du føre oppgven oversiktlig

Detaljer

Navn: Klasse: Ekstrahefte 2. Brøk

Navn: Klasse: Ekstrahefte 2. Brøk Nvn: Klsse: Ekstrhefte Brøk Brøk Oppg. ) Finn største felles fktor (sff) for teller og nevner ved å fktorisere. Bruk dette til å forkorte røken. 0 6 ) Finn minste felles multiplum (mfm) for nevnerne ved

Detaljer

1 c 6. 1 c 2. b Olav får 1500 kr. Trine får 3000 kr. c 4 Oppgave 39 165,50 kr 6 Oppgave 40 a 0 b 28 c 9 d F.eks. 15 8 e

1 c 6. 1 c 2. b Olav får 1500 kr. Trine får 3000 kr. c 4 Oppgave 39 165,50 kr 6 Oppgave 40 a 0 b 28 c 9 d F.eks. 15 8 e Fsit Fsit I gng igjen Oppgve 0 Oppgve > < > < Oppgve 9 Oppgve 6 6 Oppgve = < < < Oppgve 6 0 0 0 0 Oppgve 7 6 6 6 Oppgve 0,7 000 Oppgve 9 0,09 700 0,79 7 Oppgve 0 0, 0, 0, 0, Oppgve 0,07 0,7,,7 Oppgve Oppgve

Detaljer

Nøtterøy videregående skole

Nøtterøy videregående skole Til elever og forestte Borgheim, 1. ugust 2018 Viktig info om vlg v mtemtikkfg for elever på vg1 studiespesilisering I vg1 får elevene vlget mellom to ulike mtemtikkfg. Mtemtikk 1T (teoretisk) og Mtemtikk

Detaljer

Integrasjon. et supplement til Kalkulus. Harald Hanche-Olsen 14. november 2016

Integrasjon. et supplement til Kalkulus. Harald Hanche-Olsen 14. november 2016 Integrsjon et supplement til Klkulus Hrl Hnhe-Olsen 14. novemer 2016 Dette nottet er ment som et supplement og elvis lterntiv til eler v kpittel 8 i Tom Linstrøm: Klkulus (åe 3. og 4. utgve). Foruten et

Detaljer

Mer øving til kapittel 2

Mer øving til kapittel 2 Mer øving til kpittel 2 KAPITTEL 2 GEOMETRI OG MÅLING Oppgve 1 Oppgve 2 Oppgve 3 Anne hr vært på ferie til sine esteforeldre fr 28. juni til 9. ugust. Hvor mnge dger hr hun vært på ferie? Fr hun kom hjem

Detaljer

Eneboerspillet. Håvard Johnsbråten

Eneboerspillet. Håvard Johnsbråten Håvrd Johnsråten Eneoerspillet Når vi tenker på nvendelser i mtemtikken, ser vi gjerne for oss Pytgors læresetning eller ndre formler som vi kn ruke til å eregne lengder, reler, kostnder osv. Men mer strkte

Detaljer

Fag: Matematikk 1T-Y for elever og privatister. Antall sider i oppgaven: 8 inklusiv forside og opplysningsside

Fag: Matematikk 1T-Y for elever og privatister. Antall sider i oppgaven: 8 inklusiv forside og opplysningsside Loklt gitt eksmen 2012 Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for elever og privtister Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 25. mi Antll sider i oppgven: 8 inklusiv forside og opplysningsside Eksmenstid: Hjelpemidler under eksmen:

Detaljer

9 Potenser. Logaritmer

9 Potenser. Logaritmer 9 Potenser. Logritmer Foret utregingene nedenfor: 5 5 c 6 7 d e 5 f g h i Regn ut og gjør svrene så enkle som mulige: c y y d e f g h i j y y + y + y + + y Prisen på en motorsg vr kr 56 i 99. Vi regner

Detaljer

Juleprøve trinn Del 1 Navn:

Juleprøve trinn Del 1 Navn: Juleprøve 2014 10. Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 1 Prøvetid 5 timer totlt. Del1 og Del 2 skl deles ut smtidig. Del 1 skl du levere innen 2 timer. Hjelpemidler i del 1 Andre opplysninger Del 2 skl du

Detaljer

1P kapittel 3 Funksjoner

1P kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 3.1 Origo hr koordintene (0, 0). Vi finner koordintene til punktene ved å lese v punktets verdi på x-ksen og y-ksen. A =

Detaljer

Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 Integrlregning Mål for opplæringen er t eleven skl kunne gjøre rede for definisjonen v estemt integrl som grense for en sum og uestemt integrl som ntiderivert eregne integrler v de sentrle funksjonene

Detaljer

Innledning. Kategori Regnerekkefølge. 1.2 Bokstavregning og parenteser

Innledning. Kategori Regnerekkefølge. 1.2 Bokstavregning og parenteser Innledning Ktegori. Regnerekkefølge Oppgve.0 Regn uten lommeregner. b) ( ) d) ( ) Oppgve. Regn uten lommeregner. b) d) Oppgve. Regn ut med og uten lommeregner. b) ( ) d) ( 9) Oppgve. Regn ut med lommeregner.

Detaljer

R1 kapittel 1 Algebra

R1 kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgvene i ok R1 kpittel 1 Alger Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 1.1 1 8 4 ( ) 15 5 (4 ) 7 1 7 ( ) d ( )( ) ( 4)( ) ( ) ( 4) ( )( 1) Oppgve 1. 49 7 ( 7)( 7) 5 5 5 5 1y 75 (4y 5) ( y) 5

Detaljer

2 Symboler i matematikken

2 Symboler i matematikken 2 Symoler i mtemtikken 2.1 Symoler som står for tll og størrelser Nvn i geometri Nvn i mtemtikken enyttes på lignende måte som nvn på yer og personer, de refererer eller representerer et tll eller en størrelse,

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Vrisjonsredden er differnsen mellom største og minste verdi. Største verdi vr 20 poeng. Minste

Detaljer

Praktiske opplysninger til rektor. Fag: MATEMATIKK 1TY for yrkesfag Fagkode: MAT1006 Eksamensdato: Antall forberedelsesdager: Ingen

Praktiske opplysninger til rektor. Fag: MATEMATIKK 1TY for yrkesfag Fagkode: MAT1006 Eksamensdato: Antall forberedelsesdager: Ingen Loklt gitt eksmen 2013 Prktiske opplysninger til rektor Fg: MATEMATIKK 1TY for yrkesfg Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 30.5.2013 Antll foreredelsesdger: Ingen Forhold som skolen må være oppmerksom på: Eksmenen

Detaljer

! Brukes for å beskrive funksjoner i digitale kretser. ! Tre grunnleggende funksjoner: AND, OR og NOT

! Brukes for å beskrive funksjoner i digitale kretser. ! Tre grunnleggende funksjoner: AND, OR og NOT Dgens temer Boolsk lger! Brukes for å eskrive funksjoner i igitle kretser! Dgens temer hentes fr kpittel 3 i Computer Orgnistion n Arhiteture! Kort repetisjon fr forrige gng! Komintorisk logikk! Tre grunnleggene

Detaljer

Basisoppgaver til Tall i arbeid P kap. 1 Tall og algebra

Basisoppgaver til Tall i arbeid P kap. 1 Tall og algebra Bsisoppgver til Tll i reid P kp. 1 Tll og lger 1.1 Regning med hele tll 1. Brøk 1.3 Store og små tll 1.4 Bokstvuttrykk 1.5 Likninger 1.6 Formler 1.7 Hverdgsmtemtikk 1.8 Proporsjonlitet Bsisoppgver 1.1

Detaljer

Fasit. Grunnbok. Kapittel 5. Bokmål

Fasit. Grunnbok. Kapittel 5. Bokmål Fsit Grunnok 8 Kpittel 5 Bokmål Kpittel 5 5.1 Figurtll: 8, 13, 18, 23, 28 19 etsjer 5.2 Figurtll: 1, 7, 10, 13, 16, 19 3 c Figurtllet er 3 gnger figurnummeret pluss 1. d Figurtllet er 5 gnger figurnummeret

Detaljer

DELPRØVE 2 (35 poeng)

DELPRØVE 2 (35 poeng) DELPRØVE 2 (35 poeng) På denne delprøven er lle hjelpemidler tilltt. Alle oppgvene i del 2 skl føres på eget rk. Før svrene oversiktlig, slik t det går tydelig frm hvordn du hr løst oppgvene. Bruk penn.

Detaljer

1T kapittel 1 Tall og algebra Løsninger til innlæringsoppgavene

1T kapittel 1 Tall og algebra Løsninger til innlæringsoppgavene T kapittel Tall og algera Løsninger til innlæringsoppgavene. a 8 + ( ) 8 ( ) +. a Temperaturen er C. Så reuseres en me C. Da lir temperaturen C C 8 C Temperaturen er C. Så reuseres en me x. Da lir temperaturen

Detaljer

Regn i hodet. a) 15 : 3 = b) 24 : 6 = c) 36 : 4 = d) 48 : 8 = Regn i hodet. a) 21 : 3 = b) 28 : 7 = c) 49 : 7 = d) 64 : 8 =

Regn i hodet. a) 15 : 3 = b) 24 : 6 = c) 36 : 4 = d) 48 : 8 = Regn i hodet. a) 21 : 3 = b) 28 : 7 = c) 49 : 7 = d) 64 : 8 = 10 Divisjon 2 1 Regn i hodet. ) 15 : 3 = b) 24 : 6 = c) 36 : 4 = d) 48 : 8 = 2 Regn i hodet. ) 21 : 3 = b) 28 : 7 = c) 49 : 7 = d) 64 : 8 = 3 ) 39 : 3 = b) 56 : 4 = c) 96 : 8 = d) 98 : 7 = 4 Gi svret med

Detaljer

Øvingsforelesning 9: Minimale spenntrær. Daniel Solberg

Øvingsforelesning 9: Minimale spenntrær. Daniel Solberg Øvingsforelesning 9: Minimle spenntrær Dniel Solerg Pln for gen Gjennomgng v øving 8 Minimle spenntrær Kruskl Disjoint Set Forest Prim Noen utvlgte eksmensoppgver 3 Minimle spenntrær Hv er et minimlt spenntre?

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 10 % v 60 er 0,1 60 = 6. Prisen øker d med 6 kr. Vren vil derfor koste 60 kr + 6 kr = 70

Detaljer

Flere utfordringer til kapittel 1

Flere utfordringer til kapittel 1 Flere utfordringer til kpittel 1 KAPITTEL 1 TALL OG TALLREGNING Oppgve 1 Forklr forskjellen på rsjonle og irrsjonle tll. Hv kjennetegner dem? Hvordn kn vi se t et tll er rsjonlt eller irrsjonlt? Skriv

Detaljer

Løsningsforslag til Obligatorisk oppgave 2

Løsningsforslag til Obligatorisk oppgave 2 Løsningsforslg til Oligtorisk oppgve INF1800 Logikk og eregnrhet Høsten 008 Alfred Brtterud Oppgve 1 Vi hr lfetet A = {} og språkene L 1 = {s s } L = {s s inneholder minst tre forekomster v } L 3 = {s

Detaljer

Microsoft PowerPoint MER ENN KULEPUNKTER

Microsoft PowerPoint MER ENN KULEPUNKTER Mirosoft PowerPoint MER ENN KULEPUNKTER INNHOLDSFORTEGNELSE: Opprette en ny presentsjon: «Ml» vs. «tomt skll» Bilder: Sette inn ilder fr Google ildesøk. Bilder: Sette inn llerede lgrede ilder. Bilder:

Detaljer

Fasit. Oppgavebok. Kapittel 5. Bokmål

Fasit. Oppgavebok. Kapittel 5. Bokmål Fsit Oppgvebok 8 Kpittel 5 Bokmål KAPITTEL 5 5.1 8, 10, 1 b Antll pinner i en figur er figurnummeret gnget med. 5. 14, 17, 0 b gnger figurnummeret pluss. c 14, 17, 0, 5. Figur 1 4 5 Antll pinner 5 8 11

Detaljer

x 1, x 2,..., x n. En lineær funksjon i n variable er en funksjon f(x 1, x 2,..., x n ) = a 1 x 1 + a 2 x a n x n,

x 1, x 2,..., x n. En lineær funksjon i n variable er en funksjon f(x 1, x 2,..., x n ) = a 1 x 1 + a 2 x a n x n, Introduksjon Velkommen til emnet TMA45 Mtemtikk 3, våren 9 Disse nottene inneholder det vi gjennomgår i forelesningene, og utgjør, smmen med lle øvingene, pensum for emnet Læreoken nefles som støttelittertur

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Vrisjonsredden er differnsen mellom største og minste verdi. Største verdi vr 20 poeng. Minste

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i INF2270

Løsningsforslag til eksamen i INF2270 Løsningsforslg til eksmen i INF2270 Omi Mirmothri (oppgve 1 4) Dg Lngmyhr (oppgve 5 6) 13. juni 2014 Eksmen 2270 V2013 - Fsit 1) Konverter følgene tll til inært. Vis utregning (5%). (43)es 43 / 2 = 21

Detaljer

Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra

Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra Smmendrg kpittel 1 - Aritmetikk og lgebr Regneregler for brøker Utvide brøk: Gng med smme tll i teller og nevner. b = k b k Forkorte brøk: del med smme tll i teller og nevner. b = : k b : k Summere brøker:

Detaljer

OPPLÆRINGSREGION NORD. Skriftlig eksamen. MAT1001 Matematikk 1P-Y HØSTEN 2011. Privatister. Yrkesfag. Alle yrkesfaglige utdanningsprogrammer

OPPLÆRINGSREGION NORD. Skriftlig eksamen. MAT1001 Matematikk 1P-Y HØSTEN 2011. Privatister. Yrkesfag. Alle yrkesfaglige utdanningsprogrammer OPPLÆRINGSREGION NORD LK06 Finnmrk fylkeskommune Troms fylkeskommune Nordlnd fylkeskommune Nord-Trøndelg fylkeskommune Sør-Trøndelg fylkeskommune Møre og Romsdl fylke Skriftlig eksmen MAT1001 Mtemtikk

Detaljer

Sem 1 ECON 1410 Halvor Teslo

Sem 1 ECON 1410 Halvor Teslo Løsningsforslg til seminr i ECON : Internsjonl økonomi.seminruke V ) Den økonomien vi her står ovenfor produserer re to goder, tø og vin. Altså vil lterntivkostnden for den ene vren nødvendigvis måles

Detaljer

RAMMER FOR SKRIFTLIG EKSAMEN I MATEMATIKK 1P-Y OG 1T-Y ELEVER 2015

RAMMER FOR SKRIFTLIG EKSAMEN I MATEMATIKK 1P-Y OG 1T-Y ELEVER 2015 RAMMER FOR SKRIFTLIG EKSAMEN I MATEMATIKK 1P-Y OG 1T-Y ELEVER 015 Utdnningsrogrm: Yrkesfg Fgkoder: MAT1, MAT6 Årstrinn: Vg1 Ogveroduksjon: En lokl ogvenemnd lger ogver til ordinær eleveksmen og sommerskolen.

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler Eksmen høsten 013 Løsninger Eksmen høsten 013 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 150 sider Vi finner først hvor mnge

Detaljer

FASIT, tips og kommentarer

FASIT, tips og kommentarer FASIT, tips og kommentrer JULEKALENDER 8.- 10- trinn Nivå 1 og Nivå 2. Tips til orgnisering: Kn jobbes med i gruppe, to og to eller individuelt. Spre rbeidet med klenderen i mttetimene i desember, eller

Detaljer

Del 2. Alle oppgaver føres inn på eget ark. Vis tydelig hvordan du har kommet frem til svaret. Oppgave 2

Del 2. Alle oppgaver føres inn på eget ark. Vis tydelig hvordan du har kommet frem til svaret. Oppgave 2 Del 2 Alle oppgver føres inn på eget rk. Vis tydelig hvordn du hr kommet frem til svret. Oppgve 1 Figuren viser sidefltene til et prisme. Grunnflten og toppflten mngler. ) Hvilken form må grunn- og toppflten

Detaljer

Eksamen høsten 2015 Løsninger

Eksamen høsten 2015 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1, 4 4 = = 6 0, 4 4 Du kn innt mksimlt 6 g slt per dg. 00 0,8 0,8, 4 100 = = Én porsjon pizz

Detaljer

S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka S kpittel 6 Derivsjon Løsninger til oppgvene i ok 6. c y x y x = = = = y x 4 5 9 4 y 5 6 x 4 = = = = y x y x = = = = 7 ( 5) 6 ( ) 8 6. f( x ) f( x ) 5 7 x x ( ) 4 = = = = 6. T( x) = 0,x +,0 T T = + = (0)

Detaljer

R1 kapittel 7 Sannsynlighet. Kapitteltest. Oppgave 1. Oppgave 2. Oppgave 3. Del 1 Uten hjelpemidler. Løsninger til oppgavene i boka

R1 kapittel 7 Sannsynlighet. Kapitteltest. Oppgave 1. Oppgave 2. Oppgave 3. Del 1 Uten hjelpemidler. Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgvene i ok R1 kpittel 7 Snnsynlighet Løsninger til oppgvene i ok Kpitteltest Del 1 Uten hjelpemidler Oppgve 1 De fem lppene kn ordnes i rekkefølge på 5! = 15 = forskjellige måter. Vi kn

Detaljer

YF kapittel 8 Rom Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 8 Rom Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 8 Rom Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 809 Vi skl gå ett hkk mot venstre, og deler derfor med 10. 40 dl = (40 :10) L = 4 L Vi skl gå to hkk mot venstre, og deler derfor med 10 10 = 100.

Detaljer

Eksamensdato: 25. mai. I del 3 skal du gjøre oppgavene for ditt utdanningsprogram.

Eksamensdato: 25. mai. I del 3 skal du gjøre oppgavene for ditt utdanningsprogram. Lokl gitt eksmen 2012 Eksmen Fg: Mtemtikk 1P for yrkesfg for elever og privtister Fgkode: MAT1001 Eksmensdto: 25. mi Del 1: oppgve 1-5 Del 2: oppgve 6-11 Del 3: oppgve 12-13 I del 3 skl du gjøre oppgvene

Detaljer

Forkunnskaper i matematikk for fysikkstudenter. Trigonometri. Omregning mellom grader og radianer skjer etter formelen nedenfor:

Forkunnskaper i matematikk for fysikkstudenter. Trigonometri. Omregning mellom grader og radianer skjer etter formelen nedenfor: Forkunnskper i mtemtikk for fysikkstudenter.. Vinkelmål. Vinkler måles trdisjonelt i grder. Utgngspunktet er d t en hel sirkel deles i 6 like store deler, der her del klles en grd. En grd kn deles inn

Detaljer

Årsprøve trinn Del 1. Navn: Informasjon for del 1. Del 1 skal du levere innen 2 timer.ere innen 2 timer. Del 2 leverer du innen 5 timer.

Årsprøve trinn Del 1. Navn: Informasjon for del 1. Del 1 skal du levere innen 2 timer.ere innen 2 timer. Del 2 leverer du innen 5 timer. Årsprøve 2015 10. trinn Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 Prøvetid: Hjelpemidler på del 1: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: 5 timer totlt. Del 1 skl du levere innen 2 timer.ere innen 2 timer.

Detaljer

1T kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka T kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i lærebok Uten hjelpemidler E b c E b c Vi gnger vnlige tll med vnlige tll og tierpotenser med tierpotenser. Til slutt omformer vi svret så vi får et tll

Detaljer

Integrasjon Skoleprosjekt MAT4010

Integrasjon Skoleprosjekt MAT4010 Integrsjon Skoleprosjekt MAT4010 Tiin K. Kristinslund, Julin F. Rossnes og Torstein Hermnsen 19. mrs 2014 1 Innhold 1 Innledning 3 2 Integrsjon 3 3 Anlysens fundmentlteorem 7 4 Refernser 10 2 1 Innledning

Detaljer