GeoGebra. Tor Espen Kristensen. 1 Innstallering av GeoGebra 2. 2 Litt om programmets oppbygning 2. 3 Funksjoner i GeoGebra 3

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "GeoGebra. Tor Espen Kristensen. 1 Innstallering av GeoGebra 2. 2 Litt om programmets oppbygning 2. 3 Funksjoner i GeoGebra 3"

Transkript

1 GeoGebra Tor Espen Kristensen Februar 2009 Innhold 1 Innstallering av GeoGebra 2 2 Litt om programmets oppbygning 2 3 Funksjoner i GeoGebra 3 4 Skjæringspunkt mellom to grafer 7 5 Arealet under en graf 9 6 Kopiere til Word 12 7 Nyheter i neste versjon 13 Regnearket Regresjon GeoGebra er et program som kobler sammen geometri, algebra og funksjoner. Det er et dynamisk geometri-program, grafplotter og etter hvert computeralgebra systen(cas). Således er det et program som passer perfekt for videregående skole. I dette lille heftet skal vi jobbeoss 1

2 gjennom noen eksempler som viser nytteverdien av programmet. Jeg vil ikke her ta stilling til om dette er den beste måten å løse de ulike oppgavene eller hva som er læringseffekten av å gjøre det ene eller det andre. Her vil vi kun kose oss med selve programmetog løsningene av en del oppgaver. 1 Innstallering av GeoGebra Selve programmet finner du på nettsiden Om du har java innstallert, så er det bare til å trykke på. Dersom du ikke har java installert må du gå til nettsiden 2 Litt om programmets oppbygning GeoGebra er bygget opp rundt flere felt. Det er et felt for inntasting av kommandoer, funksjonsuttrykk, tall, etc. Dette kaller vi for inntastingsfeltet eller kommandofeltet. Det største feltet kaller vi for geometrivinduet. Det er her du kan se grafer, geometriske figurer etc. Så har vi algebravinduet. Her ser vi likninger for kurver, funksjonsuttrykk, tallverdier osv. Ovenfor disse har vi verktøylinjen. Her finner vi ulike konstruksjonsverktøy (tegning av linjer, linjestykker, sirkler, normaler etc.) og en del andre verktøy som måling av lengder, areal, innsetting av tekst etc. 2

3 3 Funksjoner i GeoGebra Eksempel 1 Vi har gitt funksjonen f(x)=x 3 2x+1 x [0,4] a) Plott grafen til f i et koordinatsystem b) Finn eventuelle nullpunkt til f c) Finn eventuelle topp-/bunnpunkt til grafen til f. Løsning: a) Dersom vi skriver funksjonsuttrykket inn i inntastingsfeltet, vil vi få tegnet grafen uten begrensinger på x-verdiene: Dersom vi ønsker å plotte grafen for x-verdier i et bestemt intervall, kan vi bruke kommandoen Funksjon[funksjon, a, b]. I vårt eksempel skriver vi inn:. Vivildafånoeslikt: 3

4 Etproblemmeddennegrafeneratviikkefårsealle y-verdiene. Viønskerderforåzoome litt ut på y-aksen og zoome inn litt på x-aksen. Den enkleste måten å gjøre dette på, er å holde Ctrl nede mens du flytter markøren over aksen. Holder du da venstre musetast nede (mensdusamtidigholder Ctrl nede),vildukunnedraiaksenslikatduentenfårstrukket denutellertrukket densammen.resultatetkandaseslikut: b) Vi skal finne nullpunktene. Det er to måter å gjøre dette på i GeoGebra. For polynomfunksjoner er det nok å skrive i inntastingsfeltet Nullpunkt[f]. Vi vil da få tre punkt som 4

5 svar,a,bogc.dissekanvileseavialgebravinduet.detenepunktetera=( 1,62,0).Dette erikkemedidefinisjonsmengdentil f.svaretpåoppgavenerderforat f hartonullpunkt: x=0,62ogx=1.skulleviønskefleredesimaler,kamvifådetvedåklikkepåinnstillinger i menylinjen og velge antall desimaler: Viviserdenandremåtenåfinnenullpunkt ieksempel2. c) Topp-/bunnpunkt kan vi finne ved å bruke kommandoen Ekstremalpunkt. Vi skriver inn:. Vi får da tegnet inn et punkt E på grafen til f. Grafen har med andreordet bunnpunkt(0,8165, 0,0887).Vi måselvsagtikke glemmeatgrafen ogsåhar to toppunkt. Ett for x= 0og ett for x= 4.Vi kan lett regne ut funksjonsverdiene til f i disse punkta ved å skrive inn f(0) og f(4) i inntastingsfeltet. Vi leser da av i algebravinduet at f(0)=1(detståra=1)og f(4)=57(b=57).grafenharaltsåtotoppunkt:(0,1)og(4,57). Eksempel2 Finnnullpunktene tilfunksjonen g(x)= x 2 2x+5. Løsning: Vi skriver i inntastingsfeltet:. Vi får da plottet grafen. Forsøker vi så å skrive Nullpunkt[g], vi ingen ting skje når vi trykker enter. Dette vil nemlig bare fungere for polynomfunksjoner. Men vi kan skrive inn Nullpunkt[g, 3]. Tretallet er her et tall i nærhetene av nullpunktet. Nå kan vi trykke enter og lese av koordinatene til punktet A som bletegnet. Viseratfunksjonenharnullpunkt for x=2. EnannenmåteåfinnenullpunkteteråvelgeetverktøypåverktøylinjensomheterSkjæring mellom to objekter. Se figur 1. Når dette verktøyet er valgt klikker du først på grafen til g og deretter på x-aksen. Da vil du få nullpunktet tegnet inn. Figur1 Skjæringmellomtoobjekter.Foråfårulletneddeandreverktøyenemåduklikkepådenlille trekanten nede i høyre hjørne. 5

6 Oppgave 1 Gitt funksjonen f(x)=x 4 3x 3 +2, x [0,2] a) Plott grafen til f i et koordinatsystem b) Finn eventuelle nullpunkt til f c) Finn eventuelle topp-/bunnpunkt til grafen til f. GeoGebra kan også derivere funksjoner. Har du skrevet inn en funksjon f(x) i inntastingsfeltet, er det bare til å skrive f (x) i inntastingsfeltet og GeoGebra deriverer f. Du kan også derivere en funksjon f(x) ved å bruke kommandoen derivert[f]. Eksempel3 Deriverfunksjonen f(x)=x 3 sin(x). Løsning: Viskriverinn:.Passpååskrivegangetegnmellom x^3og sin(x).detvil sistjerne *.Vikandaleseavsvaretialgebravinduet: Viharaltsåfunnetat f (x)=3x 2 sin(x)+x 2 cos(x). Oppgave 2 Deriver funksjonene a) f(x)= x2 +1 x 3 1 b) g(x)= x 2 2x c) h(x)=10 x Oppgave3 Funksjonen g ergittved g(x)= 2x2 1 x+1 a) Tegn grafen til g i et koordinatsystem b) Tegndenderiverte g (x)isammekoordiantsystem c) Finn topp-/bunnpunkt til funksjonen. Eksempel4 Finnvendepunktettilfunskjonen f(x)=x 3 2x+1ogfinnlikningentiltangenten i vendepunktet. 6

7 Løsning: Vi kan selvsagt finne vendepunkt ved å se hvor den dobbeltderiverte skifter fortegn. Men for polynomer fins det en egen kommando som heter vendepunkt. Vi skriver derfor først inn funksjonen f ogskriverså vendepunkt[f]. Vifinnerdaat f harvendepunktia=(0,1). Vifinnertangententil f iavedåskrive.vifårdategnetinntangenten i geometrivinduet og kan lese av likningen i algebravinduet: Viseratlikningentiltangenten er y= 2x+1. Oppgave 4 Gitt tredjegradsfunksjonen f(x)=x 3 2x 2 5x+6 a) Finn nullpunktene til f. b) FinnmidtpunktetDtiltoavnullpunktene AogBogfinntangentensomtangerer f overd. Detvilsiattangenten tangerer f i(d, f(d))der d er x-koordinatentil D.Foråskriveinn dette punktet skriver du (x(d), f(x(d))) i inntastingsfeltet. Du kan finne midtpunkt ved å velge verktøyet«midtpunkt eller sentrum». Se figur 2. c) Hvakandusiomdennetangenten? 4 Skjæringspunkt mellom to grafer Eksempel 5 Løs likningssystemet 2x 3y= 1 5x+2y=26 7

8 Figur 2 Du kan finne midtpunkt til to punkt med dette verktøyet. Løsning: Vi skriver inn likningene en etter en i inntastingsfeltet. Når vi trykker enter vil linjene som likningene representerer bli tegnet i koordinatsystemet i geometrivinduet. Vikannåvelge«Skjæringmellomtoobjekt»påverktøylinjen,klikkeførstpådenenelinjen,så den andreogfå markertinnskjæringspunktet A=(4,3). Detvil siat x= 4 og y=3.det fins også en egen kommando for skjæring mellom to kurver, nemlig Skjæirng:. Menhuskatdersomduskalbrukedennepågrafertilandreobjekterennpolynomer,såmådu i tillegg skrive inn et punkt i nærheten av et søkt skjæringspunkt. Eksempel6 Gittfunksjonene f(x)=sin(x)og g(x)= x 1. a) Tegngrafentil f og g isammekoordinatsystem b) Finn skjæringspunktet til grafene. Løsning: Vi skriver inn funksjonene i GeoGebra og skriver inn i inntastingsfeltet Skjæring[f,g,(2,1)]. Viharvalgt(2,1)sometpunktsomliggerinærhetenavdetsøkteskjæringspunktet.Vikanda lese av skjæringspunktet i algebravinduet: A =(1,935, 0,935). 8

9 Figur 3 Skjæring mellom to grafer nær punktet(2,1). Vi ser at A =(1,935, 0,935) i algebravinduet. Oppgave 5 Løs likningssettene a) x y=9og3x+5y=11 b) y=x 2 2ogx 2 + y 2 =8 5 Arealet under en graf ViskalhersepåhvordanvikanbrukeGeoGebratilåberegnearealetunderengraf. Eksempel7 Hvaerarealetundergrafentil f(x)=0,1x 2 +1fra x=0til x=6? Nedenfor har vi tegnet inn grafen til f. Vi har også tegnet inn en del rektangler som ligger akkuratovergrafentil f.dissegirengodtilnærmingtilarealetundergrafen. 9

10 Figur 4 Kommandoen SumOver[f, 0, 6, 6] gir en tilnærmet verdi for arealet under grafen. Vi kunne gjort dette enda bedre ved å ta flere rektangler. Vi kunne også beregnet arealet ved å tegne rektanglene inn slik at de ligger under grafen. På figuren under har vi beregnet en tilnærmet verdi for arealet ved å bruke flere rektangler og ved å ta gjennomsnittet mellom øvre sumognedresum. Figur5 KommandoenSumOver[f,0,6,12]ogSumUnder[f,0,6,12]girbeggeentilnærmetverdifor arealet under grafen. Gjennomsnittet av disse gir en ganske god tilnærming. Kommandoene SumOver[f, a, b, n] og SumUnder[f, a, b, n] fungerer slik at de beregner arealettilnrektanglerfraatilbsomhenholdsvisertegnetoverogundergrafentilf. 10

11 Dersom vi nå lar n i beregningene ovenfor bli veldig stor, det vil si at vi får uendelig mange rektangler,såvidiferansenmellomdeøvreogdenedrerektanglenegåmotnullogvikanfinne arealet under grafen. Dette gjelder for kontinuerlige funksjoner. Denne grensen kaller vi for integralettil f fraatilbogvinotererdetteslik: b a f(x)dx I S2 skal vi kunne beregne slik arealet ved hjelp av digitale hjelpemidler. Kalkulatoren er et slikt.dufinnegodeframgangsmåterfordetteilæreboka.hervilvivisehvordanvikanbruke GeoGebra til å beregne dette integralet. Eksempel8 Beregnarealetunder f fra0til6. Vi har allerede funnet en god tilnærming for dette arealet ved å bruke SumOver og SumUnder. Her vil vi bruke en kommando som heter Integral[f, a, b]. Denne beregner altså arealet under grafentilffra x= a til x=b.idettetilfellet fårvi 0 6 fdx=13.2 Figur6 KommandoenIntegral[f,0,6]girossarealetunder f frax=0til x=6. Eksempel 9 Finn arealet avgrenset av grafen til f, x-aksen, x= 0 og x= 2 til funksjonen f(x)=x 3 3x 2 +2x. 11

12 KommandoenIntegral[f,0,2]girossidettetilfellet0somsvar.Kandettestemme?Detsom skjeridettetilfelleteratdeterlikestortarealsomliggeroverx-aksensomunder.vimåderfor deleopp integralet fra x= 0til x= 1 og fra x= 1 til x= 2. Det sisteintegralet blir negativt, så derformåvitrekkedettefradetførste.vifår detsøkteareal= 0 1 x 3 3x 2 +2xdx 1 2 x 3 3x 2 +2xdx =Integral[f, 0,1]-Integral[f, 1,2]=0.25 ( 0.25) =0.5 MerkatviførstharskrevetinniGeoGebra f(x)=x 3 3x 2 +2x. Figur7 Arealetbegrensetav f, x-aksen,x=0og x=2tilfunksjonen f(x)=x 3 3x 2 +2x. 6 Kopiere til Word DersomdubrukerWord(ellerandretekstbehandlere)ogønskeråfåengrafinnietdokument, erdetbaretilåtrykkepå Ctrl + Shift + C.Duvildafåraltdetduserigeometrivinduet kopierttilutklipstavlen.nåerdetbaretilålimedetinniwordderdumåtteønskedet. 12

13 Figur 8 Under Fil/Eksporter får du flere valg for hvordan du vil eksportere geometrivinduet. Merk at du også kan eksportere arbeidsarket som nettside! 7 Nyheter i neste versjon I skrivende stund er neste versjon av GeoGebra like rundt hjørnet. Denne har en god del forbedringer, og du kan allerede må bruke denne versjonen. Du finner den ved å gå til www. geogebra.org og så klikke på«kommende versjoner» i venstemargen. På siden du da får opp velger du GeoGebra Pre-Release. Deviktigstenyheteneidenneversjonen(versjon3.2nårdenerferdig)erat Den har fått et eget regneark-vindu Du kan symbolbehandle uttrykk(f.eks. RegnUT[(x-3)^2] Du kan regne ut standardavvik, median og liknende GeoGebra kan nå utføre regresjoner. Regnearket Du får opp regnearket ved å enten klikke på Vis/Regneark på menylinjen eller ved å klikke Ctrl + Shift + S.Nårduharfåttoppdettevindueterdetbaretilåføreinntallicellenei regnearket. 13

14 Eksempel10 Viskaltegneoppethistorgramutfrafølgendetall: Løsning: 2,3,2,4,1,3,5,3,5,6,3,4,4,6,6,3,4,6,5 Vi skriver tallene inn i kollone A, markerer tallen (svarter), høyreklikker og velger «Lag liste». DavilalledissetalleneblilagretienlisteL 1. 14

15 Vi kan nå gjøre beregninger på listen, slik som for eksempel Middelverdi[L_1]. Vi skal nå tegne et histogram.vi ønsker at breddenskalværefra og med1til 2, fra og med2til 4 ogfra ogmed4til6.daskriverviinnkommandoen.resultatetserdupå figur9 Figur 9 Du kan tegne hisogram ved å bruke kommandoen Histogram[]. Oppgave 6 Vi har følgende tall: 2,3,3,2,5,4,6,5,5,5,2,1,4,5,6,5,2 a) Førtalleneinnienkollonneiregnearketoglagenlisteavtallene. b) Hva er middelverdien? c) Hva er stadardavviket? Bruk kommandoen StandardAvvik[] d) Tegn et histogramover tallen. La breddenværefra ogmed 1 til 2, fra og med 2til 5 ogfra ogmed5til6. Eksempel 11 Simuler 20 terningkast og lag søylediagram over alle utfallene. Løsning: For å løse denne oppgaven bruker vi kommandoen A1TilfeldigMellom[1,6]=. Vi vil da få et tilfeldigtallskrevetinnicellea1iregnearket.vikandaautokopieredennecellenvedåklikkepå firkanteninedrehøyrehjørneicellea1ogdra19raderned. 1 Etteratduharfått20tilfeldigetall 1 Iskrivende stundfungererdetteikkeivista. Dumåherkopiereoglimeinniformelennedtilduhar20kast. 15

16 mellom1og6(inkludert1og6),kandumarkeredisse20tallene,høyreklikkeoglageliste.denn kan du nå regne ut middelverdi, median, standardavvik, etc. Du kan også tegne søylediagram: Figur 10 Simulering av 20 terningkast. Vi har også valgt å vise Konstruksjonsforklaring (under Vismenyen). Når du simulerer slike tilfelige tall, så kan du be GeoGebra om å regne gjøre kaste på nytt ved å trykke keystrokef9. Regresjon Eksempel 12(Fra eksempelsett 2 til 2P) Den nøyaktigaste måten å finne makspulsen på, er ågjennomføreeinfysisktest. Detbetyr ipraksisåpressesegmaksimaltfor åsjåkor høgpuls determoglegåoppnå.fempersonarhar gjennomførteinsliktest. Resultataserduitabellen nedanfor. Alder Makspuls Viskalbrukeregresjontilåfinneensammenhengmellommellommakspulsyogalderx.Vi førertallainniregnearket,lagerenliste(l 1 )ogskriversåinnkommandoen:. Vi får da fram en linje sompasserpunkta ganske bra.her møter vi en liten utfordring. Vi ser atlikningen forlinjaer3941x+5966y= mensviskullehahatt y=...dettekanvifå om vi høyreklikker på likningen for linja i algebravinduet og velger «Likning y=ax+b». Vi får daat y= 0,66x

17 Oppgave 7 Samanhengen mellom kostnaden K(x) i kroner ved produksjon av en vare og tallet på produserte enheter x er gitt i tabellen nedenfor. x K(x) a) Brukregresjonogfinn en godmodellfor K(x). IGeoGebra kanduvelgemellom RegExp, RegLin, RegLinx, RegLog, RegLogsit, RegPly, RegPot og RegSin b) FinnK (300) 17

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 1.1 Innstillinger................................... 5 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Hvordan forandrer jeg på innstillingene langs aksene, slik at hele grafen viser? Dette kan du gjøre på seks ulike måter:

Hvordan forandrer jeg på innstillingene langs aksene, slik at hele grafen viser? Dette kan du gjøre på seks ulike måter: Spørsmål og svar om GeoGebra, versjon 3.0 bokmål. Jeg har lastet ned en installasjonsfil fra www.geogebra.org og installert programmet, men får det ikke til å fungere. Hva kan dette skyldes? Den vanligste

Detaljer

GeoGebra i 1T. Grafer. Å tegne grafen til en funksjon. GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10.

GeoGebra i 1T. Grafer. Å tegne grafen til en funksjon. GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10. 2 Grafer Å tegne grafen til en funksjon Akser Rutenett Avrunding GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10. Funksjonen får automatisk navnet f. Hvis grafen ikke vises, kan du høyreklikke i grafikkfeltet

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus 1P. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus 1P. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus 1P av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 GeoGebra som kalkulator. Eksempel side 55... 3 Omforming av formler. Side 82 i læreboka... 4 Rette linjer. Side 89 i læreboka...

Detaljer

KORT INNFØRING I GEOGEBRA

KORT INNFØRING I GEOGEBRA Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER... 9 ØVELSE 2. TEGNE GRAFER TIL RASJONALE FUNKSJONER... 11 ØVELSE 3. LIKNINGSLØSNING... 15 ØVELSE 4. TANGENTER OG MAKS OG MIN

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 1 og 2 GeoGebra-øvelser i funksjonslære Av Peer Sverre Andersen Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER...

Detaljer

Spørsmål og svar om GeoGebra, versjon 2.7 bokmål

Spørsmål og svar om GeoGebra, versjon 2.7 bokmål Spørsmål og svar om GeoGebra, versjon 2.7 bokmål Jeg har lastet ned en installasjonsfil fra www.geogebra.org og installert programmet, men får det ikke til å fungere. Hva kan dette skyldes? Den vanligste

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 1.1 Menyer..................................... 4 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Plotting av grafer og funksjonsanalyse

Plotting av grafer og funksjonsanalyse Opplæringshefte i GeoGebra Innholdsfortegnelse: Plotting av grafer og funksjonsanalyse... 2 Oppgave 1... 2 Oppgave 2... 4 Oppgave 3... 8 Å plassere et bilde i GeoGebra... 8 Oppgave 4... 8 Vektorregning

Detaljer

SINUS R1, kapittel 5-8

SINUS R1, kapittel 5-8 Løsning av noen oppgaver i SINUS R1, kapittel 5-8 Digital pakke B TI-Nspire Enkel kalkulator (Sharp EL-506, TI 30XIIB eller Casio fx-82es) Oppgaver og sidetall i læreboka: 5.43 c side 168 5.52 side 173

Detaljer

Lær å bruke GeoGebra 4.0

Lær å bruke GeoGebra 4.0 Lær å bruke GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold: Generelt om GeoGebra... 2 Innstillinger... 2 Likninger og ulikheter... 5 Implisitte likninger... 5 Ulikheter... 9 Statistikkberegninger i regnearket...

Detaljer

Hurtigstart. Hva er GeoGebra? Noen fakta

Hurtigstart. Hva er GeoGebra? Noen fakta Hurtigstart Hva er GeoGebra? En dynamisk matematisk programvare som er lett å ta i bruk Er egnet til læring og undervisning på alle utdanningsnivå Binder interaktivt sammen geometri, algebra, tabeller,

Detaljer

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 1P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 1P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy Sinus 1P Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy GeoGebra 4.0 og 4.2 wxmaxima Microsoft Mathematics WordMat TI-Nspire CAS 1 Innhold Litt om programmene... 4 GeoGebra

Detaljer

2.1 Regnerekkefølge. 3.4 Rette linjer med digitale verktøy 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42

2.1 Regnerekkefølge. 3.4 Rette linjer med digitale verktøy 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42 Sinus T uten grafisk kalkulator Dette dokumentet oversetter kapittelet Lommeregnerstoff i Sinus T boka til Cappelen Damm til Excel- og GeoGebrastoff.. Regnerekkefølge ( + ) (6+ ):+ CTRL+J Bytter mellom

Detaljer

GeoGebra. Menylinje Angreknapp. Verktøylinje. Aktivt verktøy med mørkeblå kant. Innstillinger. Algebrafelt. Velge oppsett.

GeoGebra. Menylinje Angreknapp. Verktøylinje. Aktivt verktøy med mørkeblå kant. Innstillinger. Algebrafelt. Velge oppsett. GeoGebra Menylinje Angreknapp Verktøylinje Aktivt verktøy med mørkeblå kant Innstillinger Algebrafelt Grafikkfelt Inntastingsfelt Velge oppsett GEOGEBRA SOM FUNKSJONSTEGNER OPPSETT FLYTTE TEGNE- FLATEN,

Detaljer

Kurs. Kapittel 2. Bokmål

Kurs. Kapittel 2. Bokmål Kurs 9 Kapittel 2 Bokmål 1 av 9 Kurs i GeoGebra Funksjoner og grafer I dette kurset skal vi se nærmere på hvordan vi kan bruke GeoGebra som en graftegner. Grunnleggende innstillinger Når vi skal bruke

Detaljer

Funksjoner med GeoGebra

Funksjoner med GeoGebra Funksjoner med GeoGebra Wallace Anne Karin 2015 G e o G e b r a 5. 0 Innhold Oppsett for arbeid med funksjoner... 2 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 4 Flytt inntastingsfeltet øverst... 4

Detaljer

GeoGebra på vgs. Versjon 3.0

GeoGebra på vgs. Versjon 3.0 GeoGebra på vgs. Versjon 3.0 Bokmål Lær å bruke et gratis program for graftegning, funksjonsanalyse og dynamisk geometri. av Sigbjørn Hals GeoGebra på vgs. Innhold: HVA ER GEOGEBRA?... 3 HVOR KAN JEG FÅ

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus 1T. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus 1T. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus 1T av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Faktorisering. Side 55 i læreboka... 3 Rette linjer. Side 73 i læreboka... 3 Digital løsning av likninger. Side 77 i læreboka...

Detaljer

2.1 Regnerekkefølge. 2.4 Brøkregning. 3.6 Rette linjer 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42

2.1 Regnerekkefølge. 2.4 Brøkregning. 3.6 Rette linjer 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42 Dette dokumentet oversetter kapittelet Lommeregnerstoff i Sinus 1P boka til Cappelen Damm til Excel- og GeoGebrastoff. Se brukerveiledningen i Lokus for perspektivtegning med GeoGebra..1 Regnerekkefølge

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 2 Regning 4 2.1 Tallet e...................................... 4 3 Sannsynlighetsregning

Detaljer

Brukermanual i GeoGebra

Brukermanual i GeoGebra Brukermanual i GeoGebra for Vg1T, Vg1P, Vg2T, Vg2P, R1 og R2. GeoGebra er et program for Geometri og AlGebra. GeoGebra er en dynamisk matematisk programvare, som binder sammen geometri, algebra og utregninger.

Detaljer

GeoGebra 3.2. for. ungdomstrinnet

GeoGebra 3.2. for. ungdomstrinnet GeoGebra 3.2 for ungdomstrinnet av Sigbjørn Hals 1 Innhold: Hva er GeoGebra?... 3 Hvor kan jeg få tak i dette programmet?... 3 Hvordan kommer jeg i gang med å bruke programmet?... 4 Å hente og legge til

Detaljer

Hjelp til GeoGebra. Offisiell manual for 3.0. Norsk, bokmål

Hjelp til GeoGebra. Offisiell manual for 3.0. Norsk, bokmål Hjelp til GeoGebra Offisiell manual for 3.0 Norsk, bokmål Markus Hohenwarter og Judith Preiner www.geogebra.org, august 2007 Hjelp til GeoGebra 3.0 Sist forandret: 1. august, 2007 GeoGebra Website: www.geogebra.org

Detaljer

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål Eksempel på løsning 010 Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk T Eksamen 30.11.009 Bokmål MAT1008 Matematikk T HØSTEN 009 Eksempel på løsning med vekt på bruk av digitale verktøy Hva er en

Detaljer

GeoGebra. brukt på eksamensoppgaver i 10. kl. Sigbjørn Hals

GeoGebra. brukt på eksamensoppgaver i 10. kl. Sigbjørn Hals GeoGebra brukt på eksamensoppgaver i 10. kl. Sigbjørn Hals Innhold Hva er GeoGebra?... 2 Hvilken nytte har elevene av å bruke GeoGebra?... 2 Hvor finner vi GeoGebra?... 2 Oppbyggingen av programmet...

Detaljer

Figur 62: Faktorisering kan lett gjøres ved å skrive inn uttrykket og så klikke på verktøyet for faktorisering.

Figur 62: Faktorisering kan lett gjøres ved å skrive inn uttrykket og så klikke på verktøyet for faktorisering. 11 CAS i GeoGebra Fra og med versjon 4.2 får GeoGebra et eget CAS-vindu. CAS står for Computer Algebra System og er en betegnelse for programvare som kan gjøre symbolske manipuleringer. Eksempler på slike

Detaljer

Grafisk løsning av ligninger i GeoGebra

Grafisk løsning av ligninger i GeoGebra Grafisk løsning av ligninger i GeoGebra Arbeidskrav 2 Læring med digitale medier 2013 Magne Svendsen, Universitetet i Nordland Innholdsfortegnelse INNLEDNING... 3 GRAFISK LØSNING AV LIGNINGER I GEOGEBRA...

Detaljer

GEOGEBRA (Versjon 5.0.150.12.september 2015)

GEOGEBRA (Versjon 5.0.150.12.september 2015) 1 INNFØRING GEOGEBRA (Versjon 5.0.150.12.september 2015) Østerås 12. september 2015 Odd Heir 2 Innhold Side 3-10 Innføring i GeoGebra 10-12 Utskrift 12-13 Overføring til Word 13-15 Nyttige tips 15-16 Stolpediagram

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka P. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka P. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka P av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Eksponentiell vekst. Side 45 i læreboka... 3 Søylediagram. Side 50-52 i læreboka... 4 Kurvediagram. Side 55-56 i læreboka...

Detaljer

Hva er nytt i GeoGebra 3.0? Sigbjørn Hals

Hva er nytt i GeoGebra 3.0? Sigbjørn Hals Hva er nytt i GeoGebra 3.0? Sigbjørn Hals 1 Dersom du vil ha en fullstendig oversikt over det som er nytt i versjon 3.0, kan du gå til denne nettsida: http://www.geogebra.org/static/geogebra_release_notes_prerelease.txt

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus 2P. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus 2P. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus 2P av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Linjediagram. Side 46 i læreboka... 3 Søylediagram. Side 57 i Læreboka... 5 Histogram. Side 81 i læreboka... 6 Lineær regresjon.

Detaljer

Kurs. Kapittel 2. Bokmål

Kurs. Kapittel 2. Bokmål Kurs 8 Kapittel 2 Bokmål D.8.2.1 1 av 4 Introduksjon til dynamisk geometri med GeoGebra Med et dynamisk geometriprogram kan du tegne og konstruere figurer som du kan trekke og dra i. I noen slike programmer

Detaljer

Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy

Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy 1 Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy Graftegner Det skal gå klart fram av den grafiske framstillingen hvilken skala og hvilken enhet som er brukt, på hver av aksene. Det er en

Detaljer

Eksempel på løsning 2011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 2010 Bokmål

Eksempel på løsning 2011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 2010 Bokmål Eksempel på løsning 011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 010 Bokmål MAT1013 Matematikk 1T, Høst 010 Del 1 Uten hjelpemidler Kun vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål

Detaljer

GEOGEBRA (3.0) til R1-kurset

GEOGEBRA (3.0) til R1-kurset GEOGEBRA (3.0) til R1-kurset INNHOLD Side 1. Konstruksjon 2 1.1 Startvinduet 2 1.2 Markere punkter 3 1.3 Midtpunkt 4 1.4 Linje mellom punkter 5 1.5 Vinkelrett linje 6 1.6 Tegne en mangekant 6 1.7 Høyden

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P Emne Underkapittel Graftegning 2.1 Linje gjennom to punkter 2.1 Å finne y- og x-verdier 2.1 Lineær regresjon 2.3 Andregradsfunksjoner 2.4 Polynomregresjon 2.4 Eksponential-

Detaljer

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. TI-NspireCAS

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. TI-NspireCAS Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-NspireCAS Innhold 1 Om TI-NspireCAS 4 1.1 Applikasjonene................................. 4 1.2 Dokumenter...................................

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO99A Matematikk Ordinær Eksamen Dato 8. mai 8 Tidspunkt 9. - 14. Antall oppgaver 4 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 Deriver følgende

Detaljer

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009 Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne

Detaljer

GEOGEBRA (Versjon 5.0.233.0 6. mai 2016)

GEOGEBRA (Versjon 5.0.233.0 6. mai 2016) 1 KURSHEFTE INNFØRING GEOGEBRA (Versjon 5.0.233.0 6. mai 2016) Østerås 8. mai 2016 Odd Heir 2 Innhold Side 3-13 Innføring i GeoGebra 13-14 Funksjonsanalyse 14-16 Utskrift 17-18 Overføring til Word 18-20

Detaljer

Menylinje og de vanligste funksjonene. Her gjør du de tilpasningene du trenger.

Menylinje og de vanligste funksjonene. Her gjør du de tilpasningene du trenger. GeoGebra GeoGebra 1 GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Ved hjelp av dette programmet kan du framstille forskjellige geometriske figurer, forskjellige likninger (likningssett) og ulike funksjonsuttrykk,

Detaljer

Klarer dere disse abel-nøttene fra 2011?

Klarer dere disse abel-nøttene fra 2011? 2: Lineære funksjoner VG1-T - teoretisk retning En del av dere synes nok at innføringa i kapittel 1 er i vanskeligste laget. Trass i at vi stort sett har repetert foreløpig, ser jeg at dere merker overgangen

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Høsten 2012

Eksamen REA3028 S2, Høsten 2012 Eksamen REA308 S, Høsten 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (6 poeng) Deriver funksjonene 3x x a) gx 3 3x x 3x

Detaljer

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a f( x) = 4x+ 0 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[-4x+0,-5,5]. Grafen viser at [ 0, 40] V =. f b gx ( ) =,5x+ 10 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[,5x+10,-10,4].

Detaljer

Funksjoner med og uten hjelpemidler

Funksjoner med og uten hjelpemidler Funksjoner med og uten hjelpemidler Plan for dagen Del 1: 09:00-11:45 Lunsj: 11:45-12:15 Del 2: 12:15-14:30 Eksamensinformasjon: 14:30-15:00 Plan for tiden før lunsj Økt 1: 09:00-09:45 Økt 2: 10:00-10:45

Detaljer

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 2P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 2P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy Sinus 2P Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy GeoGebra 4.0 og 4.2 wxmaxima Microsoft Mathematics WordMat TI-Nspire CAS 1 Innhold Litt om programmene... 4 GeoGebra

Detaljer

Del 1. Generelle tips

Del 1. Generelle tips Innhold Del 1. Generelle tips... 2 Bruk en "offline installer"... 2 Øk skriftstørrelsen... 3 Sett navn på koordinataksene... 3 Vis koordinater til skjæringspunkt, ekstremalpunkt m.m.... 4 Svar på spørsmålene

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Casio fx-9860

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Casio fx-9860 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx-9860 Innhold 1 Om lommeregneren 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

GeoGebra på vgs. Versjon 2.7

GeoGebra på vgs. Versjon 2.7 GeoGebra på vgs. Versjon 2.7 Nynorsk Lær å bruke eit gratis program for grafteikning, funksjonsanalyse og dynamisk geometri. av Sigbjørn Hals GeoGebra på vgs. Innhald: KVA ER GEOGEBRA?... 3 KVAR KAN EG

Detaljer

Velg mellom disse kommandoene: Dersom[, , ] Funksjon[, , ]

Velg mellom disse kommandoene: Dersom[<Vilkår>, <Så>, <Ellers>] Funksjon[<Funksjon>, <Start>, <Slutt>] 442 Grafer Å tegne grafen til en funksjon Nullpunkter Velg mellom disse kommandoene: Dersom[, , ] Funksjon[, , ] GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt

Detaljer

Opplæringshefte i GeoGebra. for mellomtrinnet og. ungdomstrinnet

Opplæringshefte i GeoGebra. for mellomtrinnet og. ungdomstrinnet Opplæringshefte i GeoGebra for mellomtrinnet og ungdomstrinnet av Sigbjørn Hals Bokmål 1 Innhold: Del 1. Generell informasjon om GeoGebra...3 Kva er GeoGebra?...3 Kvar kan eg få tak i dette programmet?...3

Detaljer

Løsningsforslag for 2P våren 2015

Løsningsforslag for 2P våren 2015 Del 1 Oppgave 1 Sortert i stigende rekkefølge blir det: 4 5 6? 10 12 Medianen, som er 7, skal ligge midt mellom de to midterste tallene 6 og det ukjente tallet, som derfor må være 8. Oppgave 2 Opprinnelig

Detaljer

Lineære funksjoner. Skjermbildet

Lineære funksjoner. Skjermbildet Lineære funksjoner I dette opplæringsløpet lærer du å tegne funksjoner i GeoGebra samt å bruke verktøy til å løse oppgaver som dreier seg om funksjoner. Alle oppgavene handler om lineære funksjoner. I

Detaljer

Funksjoner, likningssett og regning i CAS

Funksjoner, likningssett og regning i CAS Funksjoner, likningssett og regning i CAS MKH, TUS 2014, GeoGebra 4.4 Innholdsfortegnelse Funksjoner og likningssett i GeoGebra... 2 Introduksjon til lineære funksjoner... 2 Oppgave om mobilabonnement...

Detaljer

I Katalog velger du: Ny eksamensordning i matematikk våren 2015

I Katalog velger du: Ny eksamensordning i matematikk våren 2015 CAS teknikker H-P Ulven 10.12.2014 Innledning Våren 2015 gjelder nye regler for bruk av digitale hjelpemidler: Når det står "Bruk CAS", så må kandidaten bruke CAS, og når det står "Bruk graftegner", så

Detaljer

Løsningsforslag matematikk S1 V14

Løsningsforslag matematikk S1 V14 Løsningsforslag matematikk S1 V14 Oppgave 1 Bruker ABC-formelen: ABC-formelen gir x = 2 x = 3 x 2 + 3x 3 = 3 2x x 2 + 5x 6 = 0 x = b ± b 2 4ac 2a lg(x + 2) = 2 lg x lg(x + 2) = lg x 2 10 lg(x+2) lg x2

Detaljer

Hjelp til GeoGebra. Offisiell manual for 3.0. Norsk, nynorsk

Hjelp til GeoGebra. Offisiell manual for 3.0. Norsk, nynorsk Hjelp til GeoGebra Offisiell manual for 3.0 Norsk, nynorsk Markus Hohenwarter og Judith Preiner www.geogebra.org, august 2007 2 Hjelp til GeoGebra 3.0 Sist endra: 1. august, 2007 GeoGebra Website: www.geogebra.org

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Casio fx 9860

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Casio fx 9860 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx 9860 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Tallet π.....................................

Detaljer

Lær å bruke wxmaxima

Lær å bruke wxmaxima Bjørn Ove Thue og Sigbjørn Hals Lær å bruke wxmaxima Et godt og gratis CAS-verktøy med enkelt brukergrensesnitt. Oppdatert versjon, november 2009 Lær å bruke wxmaxima. Eksempler fra Sinus-bøkene fra Cappelen

Detaljer

Prøve i R2 Integrasjonsmetoder

Prøve i R2 Integrasjonsmetoder Del 1 Hjelpemidler: ingen 1 Oppgave 1 Prøve i R Integrasjonsmetoder Caspar W. Hatlevik 19. oktober 1 Finn de ubestemte integralene og regn ut det bestemte integralet a. x + x + 1dx b. e 4x + x dx c. 1

Detaljer

Utforsking av funksjonsuttrykk og de tilhørende grafene ved hjelp av GeoGebra

Utforsking av funksjonsuttrykk og de tilhørende grafene ved hjelp av GeoGebra Anne-Mari Jensen Utforsking av funksjonsuttrykk og de tilhørende grafene ved hjelp av GeoGebra Innledning I ungdomsskolen kommer funksjoner inn som et av hovedområdene i læreplanen i matematikk. Arbeidet

Detaljer

Løsningsforslag for eksempeloppgave REA3026 Matematikk S1 - April 2007. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for eksempeloppgave REA3026 Matematikk S1 - April 2007. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for eksempeloppgave REA3026 Matematikk S1 - April 2007 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i S1 er gratis, og det er

Detaljer

GeoGebra 4.2 og 5.0. for Sinus R2 2008

GeoGebra 4.2 og 5.0. for Sinus R2 2008 GeoGebra 4.2 og 5.0 (med litt hjelp av wxmaxima) for Sinus R2 2008 av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 4 Kapittel 1... 4 Ubestemte integral. Oppgave 1.30 c, side 19... 4 Bestemt integral og sum

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Casio fx 9860

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Casio fx 9860 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx 9860 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Kvadratrot....................................

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. TI-Nspire CAS

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. TI-Nspire CAS Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-Nspire CAS Innhold 1 Om TI-Nspire 4 2 Regning 4 2.1 Noen forhåndsdefinerte variabler......................

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX Privatister 10. desember 2003. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX Privatister 10. desember 2003. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk MX Privatister 10. desember 003 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i MX er gratis, og det er lastet

Detaljer

03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS

03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS 03.10.2013 Manual til GeoGebra Ungdomstrinnet Ressurs til Grunntall 8 10 Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS Innhold Verktøy... 4 Hva vinduet i GeoGebra består av...

Detaljer

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner Test, 4 Funksjoner Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjonstyper... 14 4.4 Vekstfart og derivasjon... 0 4.5 Drøfting av funksjoner på grunnlag av egenskaper hos den

Detaljer

Skolelaboratoriet for matematikk, naturfag og teknologi. Kurshefte i GeoGebra. Ungdomstrinnet

Skolelaboratoriet for matematikk, naturfag og teknologi. Kurshefte i GeoGebra. Ungdomstrinnet Skolelaboratoriet for matematikk, naturfag og teknologi Kurshefte i GeoGebra Ungdomstrinnet Astrid Johansen - NTNU Skolelaboratoriet - 29.10.2013 GeoGebra Geometri og algebra Dynamisk geometriverktøy Algebraisk

Detaljer

Eksempler på bruk av IKT i matematikk i videregående skole

Eksempler på bruk av IKT i matematikk i videregående skole Eksempler på bruk av IKT i matematikk i videregående skole FORORD Formålet med dette heftet er å vise noen anvendelser av digitale hjelpemidler til å løse matematikk oppgaver i videregående skole. Du kan

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Våren 2013

Eksamen REA3022 R1, Våren 2013 Eksamen REA30 R1, Våren 013 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Formlene for arealet A av en sirkel og volumet

Detaljer

Lær å bruke GeoGebra 4. Karlstad, 19.04.12 Sigbjørn Hals

Lær å bruke GeoGebra 4. Karlstad, 19.04.12 Sigbjørn Hals Lær å bruke GeoGebra 4 Karlstad, 19.04.12 Sigbjørn Hals Lær å bruke GeoGebra 4 Innhaldet i denne økta: 1. Kort presentasjon av nye verktøy i GeoGebra 4 2. Jobbing med sjølvinstruerande hefte 3. Spørsmål

Detaljer

Eksamen 28.11.2013. REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 28.11.2013. REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål Eksamen 8.11.013 REA30 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del : 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter timar. Del skal leverast

Detaljer

Modul nr. 1649 Funksjoner med GeoGebra

Modul nr. 1649 Funksjoner med GeoGebra Modul nr. 1649 Funksjoner med Tilknyttet rom: Newton ENGIA - Statoil energirom - Ofoten 1649 Newton håndbok - Funksjoner med Side 2 Kort om denne modulen Denne modulen handler om matematiske funksjoner

Detaljer

Løsning av typeoppgaver og eksamensoppgaver med Microsoft Mathematics, WordMat og GeoGebra. Av Sigbjørn Hals

Løsning av typeoppgaver og eksamensoppgaver med Microsoft Mathematics, WordMat og GeoGebra. Av Sigbjørn Hals Løsning av typeoppgaver og eksamensoppgaver med Microsoft Mathematics, WordMat og GeoGebra Av Sigbjørn Hals 1 Innhold Innledning... 3 Typeoppgave 1... 3 Oppgaven... 3 Fremgangsmåten... 4 Løsningen... 4

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i REA3026 Matematikk S1-08.05.2008. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for eksamen i REA3026 Matematikk S1-08.05.2008. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for eksamen i REA306 Matematikk S1-08.05.008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i S1 er gratis, og det er lastet ned

Detaljer

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2 Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 1. juni 2012 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 2 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

Manual for wxmaxima tilpasset R2

Manual for wxmaxima tilpasset R2 Manual for wxmaxima tilpasset R Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, også regner symbolsk. Det vil si at den kan forenkle uttrykk,

Detaljer

Talsnes ONE - 995850168 Enhver form for mangfoldiggjørelse av hele eller deler av innholdet av dette materiale er i henhold til norsk lov om

Talsnes ONE - 995850168 Enhver form for mangfoldiggjørelse av hele eller deler av innholdet av dette materiale er i henhold til norsk lov om 1 Eksponentielt vekst: En størrelse vokser eller avtar med en fast prosent per tidsenhet. Eulers tall e: En matematisk konstant, e=2,7 1828.. ln a gir det tallet du må opphøye Eulers tall e i for å få

Detaljer

Lær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat. Av Sigbjørn Hals

Lær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat. Av Sigbjørn Hals Lær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat Av Sigbjørn Hals 1 Innhold Hva er matematikktillegget for Word?... 2 Nedlasting og installasjon av matematikktillegget for Word...

Detaljer

S1 kapittel 3 Lineær optimering

S1 kapittel 3 Lineær optimering S kapittel 3 Lineær optimering Løsninger til oppgavene i boka 3. a b c d Aschehoug www.lokus.no Side av 66 3. a b c d Aschehoug www.lokus.no Side av 66 3.3 Løsninger til oppgavene i boka Ulikhetene i oppgave

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008

Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008 Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008 eksamensoppgaver.org September 14, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i R1 er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets

Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets 2 Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets Eksamensoppgaver 0 Innholdsfortegnelse INTRODUKSJON GEOGEBRA...

Detaljer

2P kapittel 2 Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene

2P kapittel 2 Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene P kapittel Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene.1 a c d e y = 4x+ 1 Stigningstallet er 4. Konstantleddet er 1. Linja skjærer altså y-aksen i punktet (0,1). y = 3x 4 Stigningstallet er 3. Konstantleddet

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Microsoft Excel

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Microsoft Excel Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Microsoft Excel Innhold 1 Om Excel 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning................................... 4 2.2

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Maple

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Maple Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Maple Innhold 1 Om Maple 4 1.1 Tillegg til Maple................................ 4 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Eksamen R1 Høsten 2013

Eksamen R1 Høsten 2013 Eksamen R1 Høsten 013 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene f x e a) 3 x b) gx x ln3x c) hx x

Detaljer

Løsning eksamen S1 våren 2008

Løsning eksamen S1 våren 2008 Løsning eksamen S1 våren 008 Del. Oppgaver løst med pc og enkel lommeregner. Noen gode grunner til å lære å utnytte pc-en effektivt på eksamen: I eksamensinformasjonen står det: Der oppgaveteksten ikke

Detaljer

Skoleprosjekt i MAT4010: Derivasjon

Skoleprosjekt i MAT4010: Derivasjon Skoleprosjekt i MAT4010: Derivasjon Marie Vaksvik Draagen, Anne Line Kjærgård og Cecilie Anine Thorsen 20. mars 2014 1 Innhold 1 Introduksjon 3 1.1 Oppgavebeskrivelse................................. 3

Detaljer

Geometri med GeoGebra

Geometri med GeoGebra Geometri med GeoGebra Del 1 Bli kjent med GeoGebra GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Det vil si at vi kan gjøre en del endringer på figurene vi tegner, uten å måtte tegne dem på nytt, figuren endres

Detaljer

Løsningsforslag eksamen R2

Løsningsforslag eksamen R2 Løsningsforslag eksamen R Vår 010 Oppgave 1 a) f (x) = x cos(3x) f (x) = x cos(3x) + x ( sin(3x) 3) = x cos(3x) 3x sin(3x) b) 1. Bruker delvis integrasjon med u = 5x og v = 1 ex slik at u = 5 og v = e

Detaljer

Løsningsforslag R1 Eksamen. Høst 28.11.2011. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag R1 Eksamen. Høst 28.11.2011. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag R1 Eksamen 6 Høst 28.11.2011 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA6526 16.05.2008. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA6526 16.05.2008. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA656 16.05.008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for eksamen i matematikke 3MX er gratis, og

Detaljer

Grafer og funksjoner

Grafer og funksjoner Grafer og funksjoner Fredrik Meyer Sammendrag Vi går raskt igjennom definisjonen på hva en funksjon er. Vi innfører også begrepet førstegradsfunksjon. Det forutsettes at du husker hva et koordinatsystem

Detaljer

Manual for wxmaxima tilpasset R1

Manual for wxmaxima tilpasset R1 Manual for wxmaxima tilpasset R1 Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, også regner symbolsk. Det vil si at den kan forenkle uttrykk,

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T TI-84

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T TI-84 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-84 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Tallet π.....................................

Detaljer