Talsnes ONE Enhver form for mangfoldiggjørelse av hele eller deler av innholdet av dette materiale er i henhold til norsk lov om

Transkript

1 1

2 Eksponentielt vekst: En størrelse vokser eller avtar med en fast prosent per tidsenhet. Eulers tall e: En matematisk konstant, e=2, ln a gir det tallet du må opphøye Eulers tall e i for å få a. Det fører til at: ln a = x e x = a e ln a = a ln a n = n ln a ln(a b) = ln(a) + ln(b) ln ( a ) = ln(a) ln(b) b 2

3 Grenseverdi: Funksjonsuttrykket f(x) nærmer seg grenseverdien G når x nærmer seg g. Matematisk kan dette skrives som lim x g f(x) = G Kontinuerlig funksjon: En funksjon er kontinuerlig hvis grafen til funksjonen ikke har noen Derivasjon: brudd/gjør noen hopp. Den deriverte er et uttrykk for stigningstallet til tangenten til funksjonen. f (x 1 ) = lim Δx 0 f(x 1 + Δx) f(x 1 ) Δx f (x 1 ) er altså signingstallet til funksjonen f(x) i punktet (x 1, f(x 1 )) f(x) = k f (x) = 0 f(x) = x n f (x) = n x n 1 f(x) = k g(x) f (x) = k g (x) f(x) = g(x) + h(x) f (x) = g (x) + h (x) f(x) = g(x) h(x) f (x) = g (x) h (x) f(x) = 1 f (x) = 1 x x 2 f(x) = x f (x) = 1 2 x F(x) = f(u) F (x) = f (u) u, hvor u = g(x) f(x) = u(x)v(x) f (x) = u (x)v(x) + u(x)v (x) f(x) = u(x) f (x) = u (x)v(x) u(x)v (x) v(x) v(x) 2 3

4 f(x) = e x f(x) = e x f(x) = e g(x) f(x) = e g(x) g (x) f(x) = ln(x) f (x) = 1 x f(x) = ln(g(x)) f (x) = 1 g(x) g (x) y = f (x 1 )(x x 1 ) + y 1 Siden den deriverte sier noe om stigningstallet til funksjonen kan vi ut ifra den deriverte se om funksjonen vokser eller avtar. Hvis den deriverte har et positivt stigningstall er funksjonen voksende. Hvis den deriverte har et negativt stigningstall er funksjonen avtagende. Sagt matematisk: f (x) 0 f(x) er voksende f (x) 0 f(x) er avtagende Vi kan derfor tegne opp fortegnslinjen til den deriverte ut ifra en funksjon 4

5 Hvis f (x 1 ) = 0 betyr det at funksjonen hverken stiger eller synker i punktet (x 1, f(x 1 )) Dette kan deles inn i tre tilfeller: maksimumspunkt, minimumspunkt og sadelpunkt Maksimumspunkt: Ingen punkter rett til høyre eller til venstre for punktet er større. Dette skjer hvis den deriverte endres fra positiv til negativ. Minimumspunkt: Ingen punkter rett til høyre eller til venstre for punktet er mindre. Dette skjer hvis den deriverte endrer seg fra negativ til positiv. Sadelpunkt: Den deriverte er null, men har samme fortegn både til høyre og til vestre for nullpunktet. 5

6 og er Det vil si at vi har et ekstremalpunkt hvis f (x) = 0 og f (x) skifter fortegn hvor den deriverte er null. Et er det punktet som har for hele definisjonsområdet til funksjonen. Altså det høyeste punktet når man tegner opp grafen.. Et globalt minimumspunkt er det punktet med den minste funksjonsverdien i definisjonsområdet. Et i definisjonsområdet til funksjonen.. Motsatt for lokale minimumspunkter. er et maksimumspunkt, men det finnes a- Globalt minimumspunkt fordi a er et endepunkt som er det minste punktet for hele definisjonsområdet b- Globalt maksimumspunkt fordi b har ingen større punkter enn seg selv lokalt, og er det største punktet for hele definisjonsområdet. c- Lokalt minimumspunkt fordi c har ingen mindre punkter enn seg selv lokalt, men punktet a har en mindre funksjonsverdi d- Lokalt maksimumspunkt fordi d er et endepunkt og har ingen større punkter enn seg selv lokalt, men punktet b har en høyere funksjonsverdi. 6

7 Vendepunkter: En funksjon f(x) har et vendepunkt i det punktet hvor f (x) = 0 f (x), eller den dobbeltderiverte er den deriverte av den deriverte, altså (f (x)) Hvis f (x) < 0 er f(x) konkav Hvis f (x) > 0 er f(x) konveks Som regel er alle eksamensoppgaver lagt opp til å følge en naturlig fremgangsmetode hvor du bruker resultatet i oppgave a videre i oppgave b. Hvis du står fast eller du tilsynelatende mangler noen opplysninger kan denne fremgangsmetoden være grei å huske på: 1. Skriv ned alle opplysningene 2. Finn f(x) = 0 3. Finn f (x) og f (x) 4. Sett f (x) og f (x) lik 0 5. Tegn fortegnslinje 6. Finn ekstremalpunkter og vendepunkter 7. Putt noen verdier inn for f(x) 8. Skisser grafen 7

8 : Anti-derivasjon er det samme som integrasjon. Integrasjon er altså den motsatte operasjonen av derivasjon. : f(x)dx = F(x) + C F (x) = f(x) (u(x) ± v(x))dx = u(x) dx ± v(x) dx k f(x)dx = k f(x) dx x n dx = x n+1 + C n 1 n x + 1 dx e ax dx = = ln x + a + C e ax a + C b f(x)dx = [F(x)] b a = F(b) F(a), hvor F(x) = f(x)dx a Arealet mellom f(x) og x-aksen, som er avgrenset av x-verdiene a og b er gitt ved: b A = f(x)dx = [F(x)] b a = F(b) F(a) a Det vil med andre ord si at arealet mellom x-aksen og f(x) = x 2 mellom x=1 og x=2 er gitt ved: 2 A = x 2 dx = [ x3 3 ] = = 7 3 8

9 Hvis funksjonsverdien krysser x-aksen i integrasjonsområdet må integralet deles opp i flere integraler og det må tas absoluttverdien for å få det korrekte arealet. Med absoluttverdi menes å ta den positive verdien av uttrykket. For eksempel 2 = 2 = 2 Hvis vi skal finne arealet A mellom f(x) og x-aksen i intervallet a til c og f(x) = 0 når x=b blir arealet A b A = f(x)dx a c + f(x) dx b = A 1 + A 2 Dette må gjøres på grunn av at areal som er på undersiden av x-aksen blir regnet som negativt areal. 4 Hvis A 2 = f(x) dx 1 positiv verdi. i bildet ovenfor vil vi få at A 2 < 0. Vi må derfor ta absoluttverdi for å få en 9

10 : Hvis K(x) er kostnadsfunksjonen er K (x) grensekostnadsfunksjonen. Den forteller noe om hvor mye det koster å produsere en enhet til. : Hvis I(x) er inntektsfunksjonen er I (x) grenseinntektsfunksjonen. Den forteller noe om hvor mye inntekten øker ved å selge en enhet til. Profitten er størst når K (x) = I (x). Altså når grenseinntekten er like grensekostnaden Elastisiteter forteller noe om hvor mye en størrelse endrer seg avhengig av en annen størrelse. forteller hvor mye etterspørselen endrer seg hvis prisen endrer seg 1 %. Momentan elastisitet av etterspørselen x mhp prisen p: E p = x (p) p x(p) Hvis E p = 2 betyr det at hvis prisen økes med 1 % vil etterspørselen synke med 2 %. 10

11 Funksjoner med to ukjente kan skrives på formen z = f(x, y) Vi kan dermed tegne opp funksjonen z i tre dimensjoner. Hver verdi av x og y vil korrespondere til en verdi for z. Vi får dermed en tredimensjonal funksjon. Eksempel: z = f(x, y) = x 2 + y 2 Når man skal partiell derivere en funksjon bestående av flere variabler (for eksempel x og y), så deriverer du kun med hensyn på den ene og holder alle andre ledd konstant (dersom du skal partiell derivere med hensyn på x skal du se på y som en konstant). Ved partiell derivasjon skal du derfor behandle alt du ikke deriverer med hensyn på, som konstant og derivere på vanlig måte. Stasjonære punkter: Vi har et stasjonært punkt for f(x, y) når f x = f y = 0 Hvis (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )) er et stasjonært punkt kan følgende test bestemme hva slags stasjonært punkt det er: f xx (x 0, y 0 ) = A, f xy (x 0, y 0 ) = B, f yy (x 0, y 0 ) = C Hvis AC B 2 > 0 og A > 0 min Hvis AC B 2 > 0 og A < 0 max Hvis AC B 2 < 0 Sadelpunkt Hvis AC B 2 = 0 fungerer ikke testen 11

12 I 3-D er dette eksempler på de ulike stasjonære punktene: Minimumspunkt Maksimumspunkt Sadelpunkt f(x, y) skal maksimeres/minimeres under bibetingelsen g(x, y) = c 1. Skriv opp Lagrange-funksjonen F(x, y) = f(x, y) λ[g(x, y) c] (λ er en konstant) 2. Finn de stasjonære punktene til F(x, y) ved å sette F x = 0 og F y = 0 3. Skriv opp de tre ligningene 4. Løs ligningene med hensyn på x og y. f x (x, y) λg x (x, y) = 0 f y (x, y) λg y (x, y) = 0 g(x, y) = c 12

13 Vi har en hvis a n+1 = k, hvor k er en konsant for rekken: a n a 1 + a 2 + a a n Rekken er et eksempel på en geometrisk rekke siden 3 = 9 = Summen av de n første leddene i en geometrisk rekke er gitt av: S n = a 1 k n 1 k 1, hvor a 1er rekkens første ledd. Nåverdi er dagens verdi av en fremtidig kontantstrøm. For å regne ut nåverdi av et fremtidig beløp gitt en diskonteringsrente og et antall terminer kan man bruke : K n K 0 = (1 + r) n, hvor K n er det fremtidige beløpet, r er rentesatsen og n er antall terminer. Motsatt kan vi regne ut hvor mye et beløp K 0 vil vokse til gitt et rentesats r og n antall terminer ved å bruke : K n = K 0 (1 + r) n Hvis du setter K kroner inn på en konto hvert år i n år med en terminrenten r vil sluttverdien A n rett etter siste innbetaling være: A n = K (1 + r)n 1 r 13

14 Annuitetslån: Et annuitetslån er et lån hvor man betaler faste terminbeløp. Det vil si at renter n + avdrag n = fast terminbeløp Formelen for å regne ut hvis K 0 = lånebeløp r = terminrenten n = antal terminer, og første tilbakebetaling begynner en termin etter låneopptak er: K = K 0 (1 + r)n r (1 + r) n 1 Nåverdien K 0 av en fremtidig kontantstrøm med faste innbetalinger kan beregnes med formelen: K 0 = K (1 + r)n 1 (1 + r) n r, Hvor K er den faste uttak per termin, n er antall terminer og r er termin renten. 14

15 En lineær ligning er på formen ax + by = c. Ligningens grafiske avbildning blir en rett linje og kalles derfor for en lineær ligning. Et ligningssett bestående av flere lineære ligninger kan være på formen: a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 Et slikt ligningssett har en entydig løsning hvis nøyaktig en x og en y gjør at begge ligningene er riktige. Grafisk vil dette se slikt ut: Et ligningssett har uendelig mange løsninger hvis grafene ligger oppå hverandre. Det vil si at for alle x og alle y hvor den ene ligningen stemmer, vil den andre ligningen også stemme. Et ligningssett har ingen løsninger hvis grafene er to parallelle linjer. Siden parallelle linjer aldri krysser hverandre vil de si at det finnes ingen x eller y hvor begge ligningene stemmer. 15

16 Determinanter: Alle ligningssett har en tilhørende determinant. 4x 3y = 6 5x + 2y = 10 Har den tilhørende determinanten: Determinanten består altså av koeffisientene foran x, og y-ene i ligningssettet. Man kan regne ut en 2x2 determinant ved å bruke følgende pil-system: 4 3 = 4 2 ( 3) 5 = Vi ser derfor at ligningssystemet A har en entydig løsning siden A 0 x + 2y = 2 3x + 2y + z = 1 x + z = 3 Har den tilhørende determinanten: x3 determinanter: Måten man regner ut en 3x3 determinant på er ved å skrive opp samme determinant rett tilhøyre for den opprinnelige og bruke følgende pil-system: A = = 2 0 Huskeregelen: Ned mot høyre er positiv, ned mot venstre er negativ. 16

17 Vi kan løse et ligningssett med tre ligninger og tre ukjente ved å bruke Cramers regel. Hvis ligningssettet A er på formen: a x1 x + a y1 y + a z1 z = b 1 a x2 x + a y2 y + a z2 z = b 2 a x3 x + a y3 y + a z3 z = b 3 Da finner vi x, y og z ved: x = B 1 A y = B 2 A, z = B 3 A a x1 a y1 a z1 b 1 a y1 a z1 a x1 b 1 a z1 a x1 a y1 b 1 der A = ( a x2 a y2 a z2 ), B 1 = ( b 2 a y2 a z2 ) B 2 = ( a x2 b 2 a z2 ) B 3 = ( a x2 a y2 b 2 ) a x3 a y3 a z3 b 3 a y3 a z3 a x3 b 3 a z3 a x3 a y3 b 3 17