Introduksjon av algebra i den norske skole

Transkript

1 Intrduksjn av algebra i den nrske skle - En sammenligningsstudie av læreres intrduksjn g frståelse av algebra på ungdmstrinnet g i den videregående skle Øystein Krvik Veileder Claire Vaugelade Berg Masterppgaven er gjennmført sm ledd i utdanningen ved Universitetet i Agder g er gdkjent sm del av denne utdanningen. Denne gdkjenningen innebærer ikke at universitetet innestår fr de metder sm er anvendt g de knklusjner sm er trukket. Universitetet i Agder, [2013] Fakultet fr teknlgi g realfag Institutt fr matematiske fag

2 i

3 Frrd Det er mange sm frtjener en takk fr å ha vært gde støttespillere underveis i prsessen med å skrive denne ppgaven. Spesielt vil jeg takke min veileder Claire Vaugelade Berg, sm hele tiden har veiledet meg i riktig retning. Uten henne er det ikke sikkert at jeg hadde blitt ferdig med ppgaven. Hun har lagt ned en innsats sm er langt utver det frventede, ne hun skal vite har blitt satt str pris på. Videre vil jeg takke både ansatte g studenter ved UiA sm hjalp meg i ppstarten av ppgaven. Kllegaene ved Kpervik VGS sm villig stilte pp g svarte på piltspørreskjemaet g km med gde tilbakemeldinger sm var verdifulle i utarbeidingen av spørreskjemaet skal gså ha en str takk. Takk gså til alle avdelingsledere, rektrer g andre i ledelsen ved de ulike sklene landet rundt, sm tk seg tid til å høre på meg presentere arbeidet g sendte spørreundersøkelsen videre til sine lærere i matematikk. En spesiell takk gså til alle lærerne sm svarte på spørreundersøkelsen, dere er kjernen i ppgaven g uten dere ville ikke ppgaven blitt ne av. Helt til slutt må jeg takke g kanskje unnskylde meg venfr min kne Line g våre tre barn, sm har hldt ut med en stresset mann sm fte har kmmet med sine hjertes sukk ver å sitte fast i ppgaven. En mann sm kanskje ikke alltid har vært tilstrekkelig til stede, hverken fysisk eller mentalt. Kpervik, desember 2013 Øystein Krvik ii

4 iii

5 Sammendrag Hvedtema fr ppgaven er intrduksjn av algebra. Jeg har blant annet sett på hvrdan lærere ser på frhldet mellm ett syntaktisk g ett semantisk fkus, frhldet mellm prsedural g knseptuell kunnskap, vergangen mellm ungdmssklen g videregående g bruken av lærebken i undervisningen. Frskningsspørsmålene jeg har stilt er sm følger: 1. Hvilken ppfatning av algebra har matematikklærere på ungdmssklen, g i den videregående skle? a. Hvilken ppfatning har læreren av elevenes kmpetanse i algebra? b. Hva legger læreren vekt på i sin intrduksjn av algebra? c. I hvr str grad styrer lærebken matematikk d. Hvilke ppfattelser har læreren av vergangen mellm ungdmssklen g den videregående skle? 2. Finnes der en sammenheng mellm lærerne i ungdmssklen g lærerne i videregående skle sin ppfatning av algebra i den nrske skle, med tanke på punktene venfr? Studiet baserer seg på empirisk frskning i frm av spørreskjema. Dette er et spørreskjema sm er sendt ut til lærere i ungdmssklen g i den videregående skle i Nrge. Videre er studien en induktiv studie g metden sm den baserer seg på er interpretivistisk. Resultatene til studien antyder at lærerne i den nrske skle anser elevenes kmpetanse innen algebra sm lav, der det er det semantiske aspektet de har størst prblemer med. Det kmmer gså frem at undervisningen har et syntaktisk g prseduralt fkus, men at det i ungdmssklen tyder på at der er en endring ver til det semantiske fkus. Svarene i spørreundersøkelsen antyder videre at der er ett manglende samarbeid mellm ungdmssklen g videregående, g at dette er med på g vanskeligjøre vergangen mellm nivåene. Studien viser gså lærebken har en sentral rlle i nrske klasserm. Oppgaven peker på at det å bedre samarbeidet mellm ungdmssklen g videregående, i tillegg til å fkusere sterkere på frhldet mellm det syntaktiske g det semantiske, g det prsedurale g knseptuelle, sm blant annet kan gjøres ved å endre lærebøkene i denne retning, vil kunne øke elevenes frståelse av g kmpetanse innen emnet algebra. iv

6 Summary The theme fr this study is intrductin f algebra. I have fcused n hw teachers deals with the relatinship between a syntactic and a semantic fcus, the relatinship between prcedural and cnceptual knwledge, the transitin frm lwer secndary schl t higher secndary schl, and the use f textbks in the teaching f algebra. My research questins are: 1. What persnal understanding f algebra des teacher in mathematics in the lwer secndary schl and in higher secndary schl have f the subject algebra? a. What understanding des the teacher have regarding the students cmpetence in algebra? b. What des the teacher emphasize when he/her intrduces algebra? c. In what scale des the mathematic textbk guide the lessns in mathematics? d. What understandings des the teacher have when it cmes t the transitin frm lwer secndary schl t higher secndary schl? 2. Is there any cherence between the persnal understandings f teachers in lwer secndary schl and teachers in the higher secndary schl, regarding the mentined items? This study is based n an empirical research in frm f a questinnaire. The questinnaire has been sent t teachers in lwer secndary schls and higher secndary schls all acrss Nrway. Further n the study is an inductive study and based upn an interpretative methd. The study indicates that teachers in the Nrwegian schl cnsider the students cmpetence as lw, where it is the semantic aspect that they struggle the mst with. Further n the study als indicate that the teaching f algebra has a fcus n syntactic and prcedural prcedures. Hwever, it seems like the lwer secndary schl has started a change int a semantic fcus. The answers frm the questinnaire als indicate that there is a lack f cllabratin between teachers in lwer secndary schl and teachers in the higher secndary schl, and that this has a negative influence n the transitins between the schls. The study pints ut that a strnger cllabratin between the different schls, in additin t a strnger fcus n the relatinship between the syntactical and the semantically aspects, and the relatinship between prcedural and cnceptual knwledge culd make it easier fr the students t enhance their understanding and cmpetence in the subject f algebra. This can amng thers be achieved by changes in the textbks. v

7 Innhld Innledning Mine studier, arbeidserfaringer g frutsetninger fr å skrive ppgaven Prblemstilling g frskningsspørsmål Dispsisjn, avgrensinger g verveielser Teretisk bakgrunn Hvrdan ser man på frhldet aritmetikk g algebra Semitiske representasjner Syntaktiske g semantiske aspekter Kgnitive hindringer Knseptuell g prsedural kunnskap i matematikk Knseptuell kunnskap Prsedural kunnskap Frhldet mellm knseptuell g prsedural kunnskap Knseptuelt eller prseduralt fkus i sklen? Algebra ne sm kmmer «etter aritmetikken» Pre-algebra Aritmetikk sm ett spesialtilfelle av algebra Early algebra Læreren eller lærebken hvem styrer Elevenes kmpetanse Overgangen mellm ungdmssklen g videregående skle Metde Valg av frskningsdesign Utvalg Etiske refleksjner Frhld sm ble avklart med sklen g infrmantene Annymisering Utarbeidelse av spørreskjema Analyse av datamaterialet Generalisering Reliabilitet Validitet Kritikk av studiet Kritikk av metde vi

8 Kritikk av spørreskjema Presentasjn g analyse av resultater Kjønn g antall Alder Organisering av undervisning Hva er de viktigste grunnleggende ferdighetene elevene bør ha med seg fra ungdmssklen til videregående? Hva legger du vekt på i din undervisning av algebra? Lærerens ppfatning av elevenes kmpetanse i føring av algebrappgaver Lærerens ppfatning av elevenes kmpetanse i regnerekkefølgen Lærerens ppfatning av elevenes kmpetanse i begreper Lærerens ppfatning av elevenes kmpetanse i frståelse av algebra Hvilken lærebk blir brukt i Lærebkens påvirkning av undervisningen Terminplaner g arbeidsplaner Gjennmgang av teri g eksempler Oppgaver, differensiering g arbeidsmetder Frhldet mellm frståelse g regning Manipulering av symbler eller aritmetisk regning? Hvilke type ppgaver bruker lærerne ved intrduksjn av algebra? Lærernes ppfatning av vergangen mellm ungdmssklen g den videregående skle Knklusjn Avslutning Pedaggiske implikasjner Videre frskning Litteratur Appendiks Vedlegg 1- Spørreskjema Vedlegg 2 Svar på spørreskjema vii

9 1.0 Innledning I denne ppgaven har jeg tenkt å se på algebra hs lærere på ungdmstrinnet g i den videregående skle i Nrge. Det er ett kjent faktum at elever i den nrske sklen stadig skårer svakere g svakere i matematikkfaget (L. S. Grønm et al., 2012; PISA, 2013) g spesielt har en funnet ut at emnet algebra er ne elevene synes er vanskelig (Amelie, 2012). Sm lærer selv ser jeg at elever kmmer med veldig ulik frståelse av algebra fra ungdmssklen. Mer presist kan en si at elevene kmmer med lite frståelse men med en rekke regler de kan, men dessverre ikke alltid kan bruke. Så krt sagt så sitter jeg med den ppfattelsen at de fleste elevene sm kmmer pp til ss fra ungdmssklen husker en masse regler, et mindretall vet å bruke dem g kun et fåtall har frståelsen med bruken av symbler. Flere frskere har funnet ut at den faktren sm påvirker elevens læring mest er læreren (Kjensli, 2009). Jeg ønsker da å se på hvilken frståelse lærere på ungdmstrinnet g i den videregående skle har av algebra, da dette må ha en påvirkning av elevenes frståelse. Videre vil jeg se på m der eksisterer en sammenheng eller eventuelt en mangel på sammenheng av frståelse mellm lærere på disse trinnene. Et ønske må j være at ungdmssklen frbereder elevene på den måten de skal jbbe videre med dette på videregående. Og mtsatt, at videregående skle griper tak i det sm blir fkusert på i ungdmssklen g bygger videre på dette. På en slik måte vil elevene føle en prgresjn g sammenheng i det de gjør. 1.1 Mine studier, arbeidserfaringer g frutsetninger fr å skrive ppgaven Jeg er født g ppvkst på Karmøy, en øy like utenfr Haugesund i Rgaland fylke. Det er vel drøyt å si at interessen fr matematikk dukket pp i tidlig alder, men det viste seg frt at dette med tall behersket jeg g regnet den ene ekstrabken etter den andre på barnesklen. Dette var nk mer ett resultat av knkurranseinstinkt enn matematikkinteresse. Videre på ungdmssklen g grunnkurs (nå VG1) på videregående så frtsatte det med gde karakterer, frem til VG1 (nå VG2) der jeg gikk lei. Etter dette studerte jeg ett år med religin på Universitetet i Stavanger før ferden gikk videre til Kristiansand g Universitetet i Agder. Her studerte jeg til bachelr i idrett. 1

10 Da jeg i tidlig alder bestemte meg fr å bli lærer så visste jeg at m jeg studerte ett år med matematikk så ville mulighetene fr å få jbb øke betraktelig. Planen var kun å ta ett årsstudium, g det gjrde jeg gså. Men når jeg siden skulle ta pedaggikken fr allmennlærere så valgte jeg å studere matematikk ved siden av, da jeg nå hadde fått interessen fr faget igjen. Det ene matematikkfaget førte til det andre, helt til jeg her i dag sitter g skriver på masterppgaven. Jeg har j i min tid sm student hatt flere vikariater på ungdmsskler i tillegg til praksis på både videregående skle g ungdmsskle. De t siste årene har jeg jbbet i fast 100 % stilling sm matematikklærer ved Kpervik videregående skle på Karmøy. Sm student g nå sm lærer er det ett emne sm har interessert meg mer enn andre, g sm jeg selv mener er det klart viktigste emnet i matematikken, nemlig algebra. Jeg vil si at jeg ser det på samme måte sm Gunnhild Skjørdal Jahr skriver i sin masterppgave m tidlig algebra: Algebraen ser ut til å rganisere matematikken (Jahr, 2011). Det er derfr naturlig at denne ppgaven tar fr seg nettpp prblematikken rundt algebrafrståelsen til lærere i den nrske skle. 1.2 Prblemstilling g frskningsspørsmål Ett naturlig fkus når det gjelder algebra hs lærere må være å se på m lærere i Nrge (her ser jeg at jeg ikke kan gjøre en så vid ppgave at jeg kan generalisere, men kanskje få en pekepinn) har en bestemt måte å fkusere algebraundervisningen på. Etter å ha lest mye frskningslitteratur m emnet algebra, ser jeg at vi kan dele inn i t ytterfløyer sm skal bli nærmere presentert under teridelen av ppgaven. 1: Algebra g aritmetikk hører naturlig sammen, g bør undervises samtidig. 2. Algebra g aritmetikk er t ulike emner i matematikken, g bør undervises separat. Ett annet element sm kan være både interessant g viktig å se på når en studerer læreres frståelse av algebra er ne sm jeg har diskutert flittig med mine kllegaer. Det gjelder m en må bygge pp frståelsen til elevene før de kan lære seg å løse algebraiske ppgaver. Eller m en må gjøre mtsatt å fkusere først på det å lære elevene å løse algebraiske ppgaver før en kan frstå hva sm ligger bak. Kanskje er det ikke svart/hvitt g at en blanding der frståelse g regning går hånd i hånd vil være det beste? 2

11 Persnlig har jeg tr på at de fleste lærere, spesielt i lavere trinn ikke har gjrt seg pp nen tanker m dette, da mange nk bare følger lærebken slavisk. Dette er ikke ment sm en kritikk mt disse lærerne, men jeg trr dette kmmer av at mange lærere underviser i matematikk i grunnsklen, uten egentlig å ha de frutsetningene sm kreves fr å undervise i faget. Jeg har selv vært i praksis g vikariert på ulike ungdmsskler g sett lærere sm er veldig usikre i faget. Dette er på ingen måte dårlige lærere, men lærere sm er satt til å undervise i fag sm de hverken ønsker å undervise i eller har nk kmpetanse i. I slike tilfeller vil det være lett å fkusere på å følge lærebken slavisk, g da blir lærebkens frståelse av algebra verført til læreren. Samtidig skal en ikke være så sikker på at lærere i den videregående skle skiller seg så mye fra dette, da gså mange der synes faget er vanskelig å eksperimentere med, g velger den trygge løsningen, nettpp lærebken. Kanskje tar jeg gså helt feil, men jeg håper at jeg med denne ppgaven kan belyse ne av dette. Sm nevnt tidligere så kmmer nrske elever dårlig ut på tester i matematikk, g særlig i emnet algebra. Jeg synes det vil være interessant å se på hvrdan lærerne ser på elevenes kmpetanse i algebra, g hvrdan dette samsvarer med større studier sm PISA g TIMSS. Tar jeg så utgangspunkt i disse vernevnte tankene så har jeg kmmet til t frskningsspørsmål sm jeg ønsker å knsentrere ppgaven rundt. Frskningsspørsmål 1. Hvilken ppfatning av algebra har matematikklærere på ungdmssklen, g i den videregående skle? a. Hvilken ppfatning har læreren av elevenes kmpetanse i algebra? b. «Hva legger læreren vekt på ved intrduksjn av algebra?» c. I hvr str grad styrer lærebken matematikk d. Hvilke ppfattelser har læreren av vergangen mellm ungdmssklen g den videregående skle? 2. Finnes der en sammenheng mellm lærerne i ungdmssklen g lærerne i videregående skle sin ppfatning av algebra i den nrske skle, med tanke på punktene venfr? 3

12 I ett frsøk på å få belyst dette så har jeg sendt ut ett spørreskjema til lærere sm underviser i matematikk på disse trinnene. Dette er et semistrukturert spørreskjema sm frhåpentligvis gir meg utdypende skriftlige svar. Disse skal da videre tlkes g til slutt sammenlignes. Finnes der sammenhenger mellm frståelse av algebra mellm de sm underviser på samme nivå g mellm de sm underviser på ulike nivå, eller er der en mangel på en slik sammenheng i frståelse? 1.3 Dispsisjn, avgrensinger g verveielser Oppgaven er lagt pp til først en intrduksjn av masterppgavens tema. Videre går jeg gjennm litt tidligere frskning på mråder sm går inn under algebra, undervisning g frståelse av algebra. Etter dette kmme metdedelen der jeg begynner med å beskrive ulike metder jeg kunne valgt, før jeg går gjennm metdene sm jeg brukte fr å skaffe det empiriske materiale g hvrfr. I tillegg blir det frklaringer til spørreskjemaet sm legger hvedgrunnlaget fr ppgaven. Så kmmer en seksjn sm tar fr seg resultatene sm kmmer ut av spørreskjemaene. Videre blir det analyse g diskusjn av resultatene g validiteten til resultatene før jeg avslutter med en ppsummering av hva ppgaven har gitt av svar g pedaggiske implikasjner. I utgangspunktet hadde jeg tenkt å gjennmføre en rekke dybdeintervjuer av et utvalg lærere gjennm ett semistrukturert intervju. Jeg er verbevist m at dette ville gitt meg de beste enkeltsvarene, g ville hatt mulighet til å sikre at jeg fikk svar på nøyaktig det jeg spør m, ne sm jeg ikke er sikret når det gjelder spørreskjema, siden det her alltid vil være muligheter fr feiltlkning av spørsmålene. Grunnen til at jeg gikk brt ifra dette er tdelt. Den ene grunnen er at dette hadde blitt et alt fr mfattende arbeid fr en 30 studiepengs masterppgave. Den andre grunnen er at jeg da hadde fått ett færre antall lærere til å svare, ne sm ville være negativt fr denne ppgaven hvr hvedpenget er å sammenligne. Færre lærere g mer dybde kunne være nyttig fr en annen ppgave med ett annet fkus. Jeg kan gså nevne at jeg i utgangspunktet ønsket flest mulig lærere til å svare på spørreskjemaet, men dette avgrenset seg naturlig, da det er begrenset med matematikklærere g hvr mange av de sm ønsker å svare på et slikt mfattende spørreskjema. 4

13 2.0 Teretisk bakgrunn I dette kapittelet vil jeg vise til den terien sm analysen av resultatene mine vil bygge på. Spørreskjemaet sm er besvart av lærerne gir ett rikt datamateriale sm kan være med på å belyse mange spørsmål. Ikke alle disse spørsmålene vil bli behandlet i dette studiet, da jeg skal hlde meg til å svare på frskningsspørsmålene mine. Fr å kunne gi svar på disse spørsmålene har jeg plukket ut følgende sm analysen g knklusjnen min skal bygges på. 1. Knseptuell g prsedural kunnskap 2. Semitiske representasjner (syntaktisk g semantisk) 3. Pre algebra g early algebra 4. Lærebkens påvirkning av undervisning 5. Overgangen mellm ungdmsskle g videregående skle 6. Elevenes kmpetanse Selve teridelen vil bli delt inn i t hveddeler. Den første delen vil dekke de tre øverste punktene venfr, da disse tre er tett knyttet pp mt hverandre g utgjør basisen i ppgaven. Dette er aspekter sm går direkte på algebra sm emne. De tre siste punktene vil samles under en egen del g er aspekter sm ikke går direkte på emnet algebra. Dette er likevel aspekter sm påvirker algebraundervisningen g er derfr viktige fr ppgaven. Punktene 1, 2 g 3 skal hjelpe meg å svare på frskningsspørsmål 1b. Legger læreren fkuset på knseptuell eller prsedural kunnskap g hvrdan vektlegges det syntaktiske g det semantiske aspektet av algebraen i undervisningen, både med tanke på tilrettelegging av undervisningen, ppgaver g arbeidsmetder. Og ser læreren på algebra sm en del av aritmetikken, eller sm ne sm kmmer «etter». Punkt 4 skal være med å gi svar på frskningsspørsmål 1c sm går på hvilken påvirkning lærebken har på elevenes møte med algebra g hvrdan de jbber med stffet. Punkt 5. skal hjelpe meg å svare på frskningsspørsmål 1d, m vergangen mellm ungdmsskle g videregående. Er dette en vergang sm vil være enkel g naturlig fr elevene, eller eksisterer der mmenter sm vanskeligjør denne vergangen? Punkt 6. skal belyse hva jeg mener med elevenes kmpetanse g dermed besvare frskningsspørsmål 1a. I analysen vil jeg underveis flette inn sammenligninger mellm hva lærere på ungdmstrinnet svarer kntra hva lærere i den videregående skle svarer. 5

14 Del 1 Teri m emnet algebra 2.1 Hvrdan ser man på frhldet aritmetikk g algebra Sm Schliemann, Carraher g Brizula (2007) skriver i bken Bringing Out the Algebraic Character g Arithmetic så er det t ulike syn på algebra sm i disse tider har blitt veldig diskutert. Den ene siden, med det tradisjnelle synet er at algebra er ne sm kmmer etter aritmetikk. Det er ikke vanskelig å finne argumenter fr at dette er en riktig måte å se det på. Aritmetikk er enkelt, algebra er vanskelig. Aritmetikk er m det spesifikke, algebra er m det generelle. Aritmetikk finnes i alle kulturer, mens algebra bare dukker pp i nen. I tillegg er det mange sm stiller seg spørsmålet m unge elever kan lære seg algebra g m det i det hele tatt er viktig eller nyttig at de lærer algebra i ung alder (Schliemann, W.Carraher, & Brizuela, 2007). Dette er gså det synet sm gjennmsyrer det fleste sklesystem i verden, inkludert Nrge. Tanken er at det finnes nen sammenhenger mellm de t grenene, sm fr eksempel visse ideer, teknikker g representasjner. De sm støtter pp m denne måten å tenke på frhldet mellm aritmetikk g algebra snakker derfr m å bygge en br mellm disse grenene. Se figur 1.1. Figur 1.1: Figur sm illustrerer det å bygge br mellm aritmetikk g algebra. (Schliemann et al., 2007) Denne delen sm verlapper vil være fundamentet fr bren. De sm støtter denne tanken, tenker seg at denne brbyggingen må skje en plass i slutten av aritmetikkundervisningen g begynnelsen av algebraundervisningen. Denne brbyggingen skjer gjerne gjennm prealgebra kurs (se eget avsnitt m pre-algebra), sm blir gitt ett til t år før en tradisjnelt intrduserer algebra (Schliemann et al., 2007). 6

15 Dette er den tanken sm har vært rådende til nå, g sm nevnt tidligere g sm er kjent fr de fleste, så er algebrafrståelsen til barn generelt svært dårlig. Men finnes der en annen måte å se dette på? I det siste har flere g flere tatt til rdet fr å intrdusere algebra tidligere i sklegangen g se aritmetikk sm en del av algebra. Se figur 1.2 Figur 1.2: Figur sm illustrerer aritmetikk sm en del av algebra. (Schliemann et al., 2007) Knseptet med å intrdusere algebra tidligere g se på aritmetikk sm en spesiell gren av algebra går under navnet early algebra (se eget avsnitt m early algebra) g det er ikke meningen at dette skal være vanlig algebra sm bare blir innført tidligere. Det er ikke engang nødvendig med algebraisk ntasjn, da dette ikke er synnymt med algebraisk tenking (Schliemann et al., 2007). Det kan være snakk m å kjenne igjen mønster, frmalisere g generalisere aritmetikk. Early algebra handler ikke m når algebra skal bli intrdusert, men hva, hvr g hvrdan. Ett av argumentene handler m at når elevene gjentatte ganger ver de pp til syv første år i sklen, lærer én spesiell frståelse av likhetstegnet, så blir det vanskeligere å intrdusere algebra sm har en litt annen måte å se likhetstegnet på. De fleste elever er vante med å se g gdta at 2+7=9, men ikke at 4+5 = 3+6 eller at x+3 = 2+5. Så etter år med kun en frståelse av likhetstegnet så må de nå mstille seg, ne sm gjør intrduksjn av algebra enda mer skremmende. Tanken med early algebra er at likhetstegnet skal settes i mange sammenhenger helt fra starten av, sm fr eksempel tegn på ekvivalens, frhld, symmetri g mfrming. Det er dermed ikke sagt at alle aritmetiske ideer, knsepter g teknikker er algebraiske, men at hver har et algebraisk ptensiale. Ser vi på tallet 327 så kan vi skrive dette sm (3 x 100) + (2 x 10) + (7 x 1), sm igjen kan skrives på den generelle frmen (a x 100) + (b x 10) + (c x 1). Ser man det slik så er kanskje ikke aritmetikk g algebra t eksklusive kategrier (Schliemann et al., 2007). 7

16 I den nrske skle i dag er det frtsatt slik at algebra med sine bkstaver g symbler ikke blir intrdusert før i ungdmssklen. Jeg er redd fr at måten dette blir presentert på gjør at elevene får en pplevelse av at de skal lære ne helt nytt. Grunnen til at jeg har med presentasjnen av disse måtene å se på frhldet mellm algebra g aritmetikk er frdi jeg ønsker å se på hvrdan lærerne ser på dette frhldet. Videre vil jeg se på hvrdan de velger å gå frem i vergangen mellm den aritmetiske regningen sm elevene er vante med g til algebra. Er det frtsatt slik i den nrske skle at vi ser på aritmetikk g algebra sm t ulike grener, eller har vi kmmet til at aritmetikk må ses på sm spesiell algebra? Under diskusjnen m sammenhengen mellm aritmetikk g algebra så møter vi flere begreper. De viktigste er semitiske representasjner, sm består av en syntaktisk g en semantisk del, g så ha vi begrepet kgnitive hindringer. Jeg ønsker derfr først å belyse hva sm menes med disse begrepene. Dette med kgnitive hindringer g semitiske representasjner vil en kunne argumentere fr at hører nøye sammen. Grunnen til at jeg velger å fkusere på kgnitive hindringer kmmer av argumentene sm blant annet (Linchevski & Herscvics, 1996) har mt å innføre algebra fr tidlig i skleløpet, der det blir argumentert ut fra et Piagetisk syn m at elevene ikke er kgnitivt klare fr dette. På den andre siden har vi blant annet (Masn, Graham, & Jhnstn-Wilder, 2005) sm hevder at barn er klar fr algebra i en mye yngre alder enn antatt. Videre i ppgaven vil begrepene syntaktisk g semantisk, i tillegg til begrepet kgnitiv være begreper sm går igjen g er viktige fr ppgaven g vanskelighetene med å lære algebra. Jeg ønsker derfr i de t neste delkapitlene å belyse hva sm ligger bak disse begrepene. 2.2 Semitiske representasjner I mtsetning til fr eksempel fysikk, kjemi g bilgi der bjektene sm skal studeres er tilgjengelige på ulike måter, så er matematiske bjekter sm tall, funksjner, gemetriske funksjner g vektrer ikke like tilgjengelige. Den eneste måten vi har til å få tilgang til disse på g kunne gjøre perasjner med dem, er gjennm å intrdusere tegn g semitiske representasjner (Duval, 2006). De antall perasjner sm kan gjøres er avhengige av de mulige semitiske transfrmasjner sm er tilgjengelige. Det er denne transfrmasjnen mellm representasjner sm fr mange elever utgjør dørterskelen fr frståelsen gjennm hvert steg i sklegangen (Berg, 2009). Berg (in press) peker på viktigheten av at lærerstudenter engasjeres i aktiviteter der de blir utfrdret i ulike semitiske representasjner, 8

17 g der de trenger å bevege seg mellm disse (Berg, in press). Dette virker frnuftig, fr m vi skal klare å bedre elevene på ungdmssklen g videregående når det kmmer til frståelse g bruk av semitiske representasjner, så må vi begynne med lærerne. En arbeidsgruppe fra JMC (Jint Mathematical Cuncil f the United Kingdm) skriver i en rapprt at det algebraiske språket er nødvendig fr å utvikle bevisstheten rundt matematiske bjekter g frhld. Videre skriver de at uten ett tilstrekkelig fkus på dette symblske, altså det semantiske aspektet av språket, så vil viktige deler sm algebraiske likheter ikke kunne bli lært (Sutherland et al., 1997). I samme rapprt kan en lese at det i de siste årene har skjedd en endring i fkuset på algebra i sklen. Det har blitt mer fkus på prblemløsing g at der er et økt fkus på å relatere løsninger til elevenes ikke-frmelle metder, mens rllene til symblene har blitt neglisjert. Sm eksempler drar de frem at en jbber med å kjenne igjen mønstre g finne løsninger ved hjelp av prøving g feiling. Dette er matematiske fremgangsmåter, men ikke algebraiske (Sutherland et al., 1997). I algebra benyttes sm nevnt en mengde tall g symbler sm mange vil si utgjør et eget språk. Disse symblene, meningen g bruken av dem kaller vi fr semilgi. Semitikk er læren m tegn g tegnbrukende atferd (Svendsen, 2011). Vi regner Ferdinand de Saussure sm grunnleggeren av denne læren, selv m en kan spre den helt tilbake til antikkens tenkere sm Platn g Aristteles. I følge Saussure har tegn t sider, den signifikante siden sm består av ne knkret, altså et lydbilde eller et materiale. Og på den andre siden har vi den signifikate siden sm tar fr seg selve begrepet eller meningen bak lydbilde eller materiale (Svendsen, 2011). Saussure hevder gså at der ikke er nen naturlig frbindelse mellm det signifikante g det signifikate. La ss se på et eksempel: Der er ingen naturlig frbindelse mellm lydene sm utgjør x g y g betydningen av x g y i sm symbliserer variabler (Svendsen, 2011). Variabel regnes her sm en bkstavbetegnelse på et vilkårlig element i en mengde, der det mtsatte er en knstant. Eksempelvis har vi likningen y = x + 5. Her er 5 en knstant, x en variabel g y er en variabel sm er avhengig av x. Videre sier Saussure at tegnene ikke får ne mening gjennm ne materielt, men ved å være kntraster til ne (Svendsen, 2011). Igjen til et tilfelle i algebraen. Der er ingen naturlig frbindelse med tegnet x g meningen variabel, men x står i kntrast med fr eksempel tegnet k sm står fr knstanten. Disse tegnene kan gså ha ulik betydning i ulike sammenhenger, slik at de alltid må tlkes i den sammenhengen de er gitt i (Gguen, 2005). 9

18 Det en kan lese ut ifra dette er at der ligger en hindring mellm det å kunne tegnene fr ne å det å kunne meningen bak tegnet. Det er her vi kmmer inn på kgnitive hindringer. Viktigheten av det semitiske aspektet i algebraen står gså sentralt i lærerutdanningen i Nrge, da det blir nevnt i de nasjnale retningslinjene fr grunnskleutdanningen at studentene skal ha kunnskap m den betydningen semitiske representasjnsfrmer har i matematikk, g hvilke utfrdringer sm er knyttet til verganger mellm representasjnsfrmer (Kunnskapsdepartementet, 2010a) Syntaktiske g semantiske aspekter Ett av målene med denne ppgaven er å se på hvrdan lærere i den nrske sklen frhlder seg til emnet algebra, i tillegg har jeg nevnt under kapittel 1.2 at jeg er litt usikker på m lærere ser på det sm viktigst å lære frståelse av algebra før de lærer seg mekanisk regning eller m det er mtsatt. Under kapittel 2.1 kunne vi lese at algebra kan ses på sm ett eget språk, g hvert språk består av syntaks g semantikk. Hvilket syn en har på dette med rekkefølge av frståelse g mekanisk regning, vil ha en naturlig påvirkning på hvrdan en fkuserer på nettpp disse syntaktiske g semantiske aspektene. Jeg vil derfr her presentere litt mer utfyllende m nettpp disse aspektene. Algebra er et nyttig verktøy fr å løse mange av livets praktiske prblemer. Fr å løse disse prblemene sm er versatt til algebra så har vi en mengde regler sm kan benyttes. Når vi bruker disse reglene sier vi fte at vi driver symblmanipulasjn. Symblmanipulasjn g bruken av regler er det vi kaller det syntaktiske aspektet ved algebra. Men sm nevnt tidligere så har alle disse symblene g tegnene en mening, denne meningen bak symblene er det vi kaller fr det semantiske aspektet av algebra. Et viktig peng her er at matematiske bjekter aldri må bli frvekslet med de semitiske representasjnene sm blir brukt, fr de semitiske representasjnene er bare en vei vi bruker fr å få tilgang til de matematiske bjektene (Duval, 2006). Oldenburg, Hdgen g Küchemann (2013) skriver at selv m frskning på undervisning i algebra er kmmet langt, så er der mangelfull kunnskaper m studentenes prgresjn g læring. Spesielt nevner de frhldet mellm den syntaktiske frståelsen g den semantiske frståelsen (Oldenburg, Hdgen, & Küchemann, 2013). I en studie gjennmført av Oldenburg (2009) argumenterer han fr at en kan lage tester sm måler g skiller mellm det syntaktiske g det semantiske. Ved hjelp av disse testene fant han ut at en kan ppnå en viss kmpetanse på det ene mrådet, samtidig sm en er svak på det 10

19 andre. Men fr å kunne ppnå en dypere frståelse kreves det kmpetanse innen begge mrådene (Oldenburg, 2009). Hvrdan kan vi så skille mellm disse, g vite m det er det syntaktiske eller semantiske sm skaper en eventuell hindring fr eleven. Oldenburg, Hdgen g Küchemann (2013) sier at vi kan se på algebra sm et språk, g sm alle andre språk kan vi da snakke m syntaks g semantikk. Dette må da gjelde alle deler av algebraen, både ved kmmunikasjn g prblemløsing. Siden algebra er sm et språk, så vil en hver frm av algebraisk tenking invlvere både det syntaktiske g det semantiske aspektet, det vil derfr være vanskelig å skille disse klart fra hverandre. De hevder likevel å kunne skille mellm ppgaver der det vil være mest passende å bruke en syntaktisk fremgangsmåte, g ppgaver der det vil være mest passende å bruke en semantisk fremgangsmåte (Oldenburg et al., 2013). Ut ifra det de skriver så kan en si at dette skillet finner en ved at ferdig ppsatte regnestykker sm (x + y) 2 kan løses ved ren syntaktisk fremgangsmåte, frdi en her ikke trenger å vite ne m betydningen, men kun ett sett med regler. En ppgave sm tar fr seg et praktisk tilfelle, der en må representere virkeligheten ved hjelp av symbler, vil være en ppgave sm krever en semantisk fremgangsmåte. Andre ppgaver igjen vil være ppgaver der begge fremgangsmåtene kan benytte. Ser vi på å utvide 5(x+2) så kan denne løses både ved hjelp av en syntaktisk g semantisk fremgangsmåte. Løser vi denne med tanke på den distributive lv a (b + c) g løser fra dette, så fkuserer vi med tanke på det syntaktiske aspekt. Ser vi på dette sm et uttrykk fr ett areal, så er vi inne på det semantiske aspektet (Oldenburg et al., 2013). Videre sier de hvilken fremgangsmåte en sm elev velger å bruke kan endre seg. I g med at den algebraiske frståelsen til elevene vil endre seg så kan ppgaver sm før krevde en semantisk fremgangsmåte av eleven, etter hvert gå ver til å bli løst på en ren syntaktisk måte. De trekker gså frem muligheten fr at fremgangsmåtene elevene velger å benytte kan være påvirket av lærerens fkus i undervisningen (Oldenburg et al., 2013). Claire Marie Berg har i sitt dktrgradsarbeid satt fkus på det syntaktiske aspektet g det semantiske aspektet ved algebra. Berg drar gså inn begrepet algebraisk tenking, g presenterer algebraisk tenking sm ppdagelse av matematisk struktur, mens algebra kan sees sm et matematisk språk sm er brukt til å uttrykke ppdagede strukturer/mønstre. Siden algebra er et språk gir det mening til symblene (semantisk aspekt) g det har regler fr 11

20 symblmanipulasjn (syntaktisk aspekt) (Berg, 2009, in press). Hun antyder samtidig at i den nrske skle så fkuseres det mye på det syntaktiske aspektet g mindre fkus på det semantiske. Om det skulle være slik at lærerne fkuserer på det syntaktiske, så er det heller ikke ne rart m elevene gjør dette. Terien nevnt venfr er viktig fr ppgaven min, da jeg med denne ppgaven ønsker å få frem m det er slik at lærerne i den nrske skle velger ppgaver sm favriserer en semantisk eller syntaktisk løsning når de velger ppgaver ved intrduksjn av algebra. Samtidig ønsker jeg å se på m disse ppgavene er med på å fremme transfrmasjnen av matematiske bjekter til semitiske representasjner. Jeg har gså en persnlig antakelse m at flere lærere frveksler de matematiske bjektene med de semitiske representasjnene sm (Duval, 2006) advarer mt. 2.3 Kgnitive hindringer Kgnitiv, det sm har med erkjennelse, ppfatning g tenkning å gjøre. I filsfi g psyklgi pptrer fte uttrykket «kgnitiv» sm mtsetning til det følelsesmessige eller intuitive. I ne smalere frstand kan uttrykket gså betegne det sm har med kunnskap å gjøre (Kjøll, Tranøy, & Malt, 2013). Slik jeg ser det da, så kan en krt si at kgnitive hindringer vil si å ha prblemer med å tilegne seg kunnskaper på grunn av svikt i ppfatningen g tenkningen. Sm nevnt under semitiske representasjner så brukes det mange tall, symbler g tegn i algebraen. Hver g en av disse kan ha ulik betydning i ulike kntekster, samtidig sm de har en entydig betydning i spesifikke situasjner. Det er vergangen mellm å kunne de ulike talla, symblene g tegnene g det å kunne betydningen, meningen g dermed bruken av disse i ulike sammenhenger sm kan skape kgnitive hindringer. Barns prblemer med algebra har blitt vist å kunne deles inn i tre deler. Den første er meningen av bkstaver, den andre er vergangen til et sett av knvensjner frskjellig fra de i aritmetikken g den tredje er gjenkjenning g bruk av struktur (Kieran, 1989). Kgnitive hindringer er tilpasningsprblemer g misfrståelser i kunnskapsstrukturen g kan bare vervinnes ved at eleven lykkes med å lage endringer i sin mentale struktur g fremkaller en mrganisering av frståelse. Piaget viser til t ulike prsesser sm knyttes til disse hindringene, assimilasjn g akkmdasjn. Assimilasjn er når eleven frstår ne nytt ved å 12

21 knytte det til allerede kjent kunnskap. Akkmdasjn er når eleven pplever at ny kunnskap ikke stemmer med eksisterende kunnskap, g da kan denne kunnskapen enten avvises eller en kan endre kunnskapen slik at den passer inn med den nye kunnskapen (Skaalvik & Skaalvik, 2005). Disse kgnitive hindringene har en tendens til å inntreffe ved innføring av algebra. Algebra er et kjempestrt emnemråde med mange feller sm fte kan føre til kgnitive hindringer hs elever (Ortn, 2004). Mange elever sier at det er når bkstavene dukker pp i matematikken, at det begynner å bli vanskelig (Druhard & R.Tepp, 2004). I frhld til aritmetikken sm virker veldig knkret kan algebraiske uttrykk virke mer abstrakte. Elever har vanskeligheter med å frstå hvrfr de skal regne med bkstavuttrykk istedenfr tall sm de har et frhld til utenfr klassermmet. Den matematiske teksten gir ikke lenger mening (Selnes, 2010). Linchevski g Herscvics (1996) skriver at tidligere frskning viser at elever fte har ett begrenset syn på algebraiske uttrykk. Deres fkus på løsningen til en algebraisk ligning er mer relatert til den rituelle løsningsmetden, enn den er relatert til meningen bak perasjnene (Linchevski & Herscvics, 1996). Algebra blir sett på sm en abstrakt frm fr matematikk g har sm mål å generalisere. Prblemet her er i følge Linchevski g Herscvivs (1996) at fr majriteten av elevene er det nettpp det abstrakte med algebraen sm gjør at algebra skiller seg fra deres frståelse g kunnskaper. Dette fører igjen til en kgnitiv hindring sm kan være vanskelig å kmme ver. Fr disse elevene anbefaler de en mer bit fr bit tilnærming. Når det kmmer til deres intrduksjn til algebra er det bare når de ppnår en høyere generell frståelse av ligninger, løsninger g prsedyrer at de kan se verdien av en mer generell løsningsprsess. Om en slik generell løsningsprsess blir presentert fr tidlig, g/eller en intrduserer løsningsmetder sm fr de ikke gir mening g sm de har mer primitive måter å løse på, så vil elevene enten benytte seg av den allerede kjente måten å løse det på, eller så vil elevene la være å benytte seg av denne metden (Linchevski & Herscvics, 1996). 13

22 2.4 Knseptuell g prsedural kunnskap i matematikk Knseptuell g prsedural kunnskap i matematikk er temaer sm har vert mye diskutert pp gjennm årene. Hvrdan bør elever lære matematikk, hvilken kunnskap er viktigst g m en skal fkusere mest på ferdigheter eller frståelse er spørsmål sm går igjen. Det har vært mange ulike inngangsvinkler på disse spørsmålene, sm fr eksempel Resnick (1982) sm bruker det syntaktiske g semantiske sm inngangsvinkel. Diskusjnene m knseptuell g prsedural har de siste årene endret seg litt. Den største frskjellen ligger i at knseptuell kunnskap g prsedural kunnskap histrisk sett har blitt sett på sm t separate deler, mens en nå har fkus på frhldet mellm dem (Hiebert & Lefevre, 1986). Hva ligger så i begrepene knseptuell g prsedural kunnskap? Knseptuell kunnskap Knseptuell kunnskap handler m å ha kunnskap sm har tette g rike frhld til hverandre, mer presist ett nettverk av kunnskap. En enhet av knseptuell kunnskap kan ikke være en islert bit av infrmasjn, da det per definisjn kun kan være en del av knseptuell kunnskap m den sm innehar kunnskapen gjenkjenner kunnskapen i sammenheng med andre biter av infrmasjn. Skal man utvikle ny knseptuell kunnskap, så gjøres dette ved å knstruere flere sammenhenger mellm biter av infrmasjn. Disse nye sammenhengene kan knstrueres enten ved å kble sammen allerede eksisterende biter av infrmasjn eller ved å kble allerede eksisterende kunnskap sammen med nylig lært kunnskap (Hiebert & Lefevre, 1986). Det er ikke bare enkle enheter av infrmasjn g kunnskap sm kan kbles sammen, en kan gså kble sammen tidligere uavhengige nettverk. I denne kblingen mellm nettverk ligger der en dramatisk g signifikant kgnitiv rerganisering (Hiebert & Lefevre, 1986). Det vil si at her kreves det gde g velutviklede kgnitive frutsetninger hs individet. Nen ganger vil kblingen mellm enkeltstående infrmasjn være på et mer abstrakt nivå enn infrmasjnene hver fr seg. Dette kaller en det reflektive nivået. Kblinger på dette nivået vil være mindre knyttet pp til spesifikke kntekster g kjennetegnes best ved at en gjenkjenner lignende kjerneelementer i infrmasjnen sm på verflaten kan virke frskjellige (Hiebert & Lefevre, 1986). 14

23 2.4.2 Prsedural kunnskap Hiebert g Lefevre (1986) definerer prsedural kunnskap sm ne sm består av t deler. Den ene delen består av det frmelle matematiske språket. Den andre delen består av algritmer g regler fr å kunne gjennmføre matematiske ppgaver. Den første delen krever at en har kjennskap til symblene sm behøves fr å representere matematiske ideer, g at en har kjennskap til de syntaktiske reglene sm gjelder ved matematiske ntasjner. Legg merke til at selv m en har kunnskap m symbler g syntaktiske regler, trenger en ikke å være i besittelse av frståelsen eller meningen bak. Den andre delen består sm nevnt av regler, algritmer g prsedyrer sm trengs fr å løse matematiske ppgaver. Dette er steg fr steg instruksjner sm beskriver hvrdan en ppgave skal løses (Hiebert & Lefevre, 1986). Når en kmmer til ppgaveløsning så skjer følgende. Den første prsedyren pererer på en input g prduserer ett resultat sm gjenkjennes av neste prsedyre i sekvensen. På denne måten beveger sekvensen seg fra prblemet til svaret. Prsedyrer der input g resultat er visuelle symbl mønstre har fått navnet «visuelt-mdererte sekvenser». Slike prsedyrer utgjør mesteparten av sklematematikken. At ppgaver i sklematematikk sm ftest invlverer symblmanipulasjn prsedyrer er et viktig faktum sm ikke må undervurderes (Hiebert & Lefevre, 1986) Frhldet mellm knseptuell g prsedural kunnskap Gd matematisk kunnskap inkluderer signifikante g fundamentale frhld mellm knseptuell g prsedural kunnskap. Studenter er ikke fullt ut kmpetente i matematikk m der er mangler i en av kunnskapene, eller m der er en mangel i kblingen mellm dem. Om disse ikke er kblet, så kan elevene enten ha en gd intuitiv følelse fr matematikken, men ikke klare å løse prblemet, eller at eleven klarer å løse prblemet, men ikke frstå hva han/hun gjør. Om prsedyrer er knyttet til de underliggende prinsippene sm de er bygd på, vil prsedyrene virke frnuftige. Da er det mulig å frstå hvrdan g hvrfr prsedyrene virker. (Hiebert & Lefevre, 1986). 15

24 Hiebert g Lefevre (1986) nevner at det å linke knseptuell g prsedural kunnskap kan effektivere bruk av prsedyrer på tre ulike måter: 1. Det frbedrer representasjnene g frenkle prsedurale krav 2. Overvåker valg av prsedyrer g utførelser 3. Fremmer verføringer g redusere antall prsedyrer sm trengs Det virker sm m prblemer sm løses ved mangler av knseptuelle representasjner, g sm bare løses ved hjelp av puggede prsedyrer, er mer utsatt fr feil enn prblemer sm er rike i knseptuelle representasjner (Hiebert & Lefevre, 1986) Knseptuelt eller prseduralt fkus i sklen? Klassermsundervisning i algebra intrduserer elevene fr det frmelle symblske språket i matematikken. Om elevene kbler symblene sammen med de knseptuelle referansene, så vil symblene gi mening g være kraftfulle verktøy fr å kmmunisere matematikk. Dessverre ser mange elever på symbler sm meningsløse tegn på ett papir, dette frdi symblene er separert fra den knseptuelle kunnskapen. De ser på det å løse en matematisk histrie, sm ne separat fra å løse den matematiske setningen sm hører til (Hiebert & Lefevre, 1986). Hiebert g Lefevre (1986) skriver at frem til skleårene så utvikler knseptuell g prsedural kunnskap seg nesten synkrnt. Men når de møter sklematematikken med sine symbler, så brytes den dynamiske interaksjnen. Dette begrunner de i sklens knvensjnelle instruksjner, der fkus ligger på det prsedurale nivå. 2.5 Algebra ne sm kmmer «etter aritmetikken» Piagets stadieteri sier at barn pp til år ikke har mulighet til å tenke abstrakt. Fra alderen 7 til 11 år er barn i det Piaget kaller det knkret-perasjnelle stadiet. Her er barnet i stand til å klassifisere g serierdne, men det er først på det frmelt-perasjnelle stadiet sm barnet ppnår i års alderen at barnet blir i stand til å tenke hyptetisk-deduktivt, med abstrakte mdeller, prprsjnalitet, variabler etc. Dette er tankeprsesser sm teksten i mange lærebøker frutsetter at elevene mestrer, g er nødvendige i algebra (Sjøberg, 1998). Aldersangivelsene er mtrentlige g det vil si at flere elever ikke vil ppnå dette frmeltperasjnelle stadiet før i en alder av år, sm tilsvarer ungdmssklealder i Nrge. Meier (2009) refererer til Küchemann (1981) sm gså nevner Piagets stadieteri, men han 16

25 velger å gå så langt at han hevder at flertallet av skleelevene er på et knkret stadium g vil aldri nå det abstrakte stadiet sm kreves fr å kunne lære algebra. Meier skriver at dette synet har vært sterkt rådende i nrsk pedaggikk g er frtsatt utbredt blant matematikklærere på ungdmssklen (Meier, 2009). Han refererer gså til et intervju der en lærer på ungdmssklen sier: Det er ikkje alle elevane i tiande klasse sm har nk frutsetninger fr å kunne klare å frstå algebra. (Meier, 2009). Linchevski & Livneh (1999) skriver at vi ikke må undervurdere de kgnitive hindringene. Studier viser at det å rettferdiggjøre algebraiske sammenhenger sm generalisert numeriske sammenhenger ikke er lett fr barn/ungdm å frstå. Videre sier de at den klassiske måten å intrdusere algebra på, ved å kble den til aritmetikk, er ganske tvilsm (Linchevski & Livneh, 1999). Linchevski g Livneh sier at det er nødvendig fr elever å ha en viss strukturell sans fr å kunne drive suksessfull symblmanipulasjn. Uten en høyt utviklet frståelse av de strukturelle egenskapene ved aritmetikken, så vil algebra være vanskelig å frstå (Linchevski & Livneh, 1999). Dette ser en igjen linker pp til at aritmetikken må kmme først, g når frståelsen der er høy nk, kan en innføre algebra. Det er dette synet på algebra sm har ført til at aritmetikk blir intrdusert fra første klasse, mens algebra ikke blir intrdusert før på ungdmssklen, der den detter i hdet på nen, sm en str stein. Plutselig blir algebraen intrdusert g en skal lære seg betydningen av mange symbler, g kunne perere g manipulere utrykk med variabler, knstanter etc. Dette mener Vinje-Christensen (2005) at kmmer inn alt fr tidlig (Vinje-Christensen, 2005). Det at dette kmmer inn så tidlig g så vldsmt kan være grunnen til det sm Margrethe Naalsund (sm har skrevet masterppgave Why is algebra s difficult?) at ganske mange elever ser på algebra sm meningsløs manipulasjn av symbler, der de ikke frstår hvrfr de skal følge de reglene sm gjør, g med denne manglende frståelsen blir det gså vanskelig å lære. Naalsund gjrde gså funn sm viser at elever i 8.klasse i Nrge gjør mange misppfatninger sm har rt i tallregning g at de i 10. klasse brukte frmelle prsedyrer, men gjrde mange feil sm tydet på fravær av dypere frståelse (H. Ø. Jacbsen, 2012). Dette kan igjen knyttes til Piagets stadieteri, g elevenes mangel på frutsetninger fr dypere frståelse. Frskningen til Herscvics g Linchevski (1994) sier ne av det samme. De sier at mange lærere ikke er klare ver disse kgnitive hindringene, g lar ikke elevene få nk tid på seg. De trenger tid til å knstruere en gd intuitiv frståelse av algebra, g finne en måte å slå disse 17

26 algebraiske handlingene sammen med de før-algebraiske ideene sm de har utviklet gjennm barnesklen (Herscvics & Linchhevski, 1994). Her kmmer Herscvivs g Linchevski (1994) inn på ett nytt begrep, pre-algebra Pre-algebra Grunnlaget fr å kunne regne med symbler finner vi i elevenes erfaringer med å regne med tall. Tanken bak pre-algebra er at en del av elevenes prblemer med algebra skyldes at de allerede har prblemer med tallregning. En ønsker da å jbbe med disse prblemene før en kmmer til algebra, fr å unngå at prblemene frsterkes når en kmmer til elevenes møte med algebra. Tiltak sm settes i gang fr å frberede elevene på algebra, kaller vi fr prealgebra (Høines, Rinvld, & Selvik, 2007). Frskningsgruppen fra Jint Mathematical Cuncil har kmmet frem til at det bør gjennmføres såkalte før-algebraiske ppgaver fra g med når elevene begynner på barnesklen. Samme frskningsgruppe skriver gså at dagens undervisningspraksis har en tendens til å fkusere på rett svar (les prblem-løsning g ikke-frmelle metder) mer enn ett fkus på de fremgangsmåtene g prsedyrene sm blir brukt. Det er helt klart at det i algebra er det siste sm er viktigst. En må sørge fr å legge et mer fkus på å gi ppgaver sm fremmer algebraiske aktiviteter (Sutherland et al., 1997). Meningen bak pre-algebra er at en skal begynne med algebra tidligere enn nå, selvsagt i en mindre skala, men slik at når en kmmer ungdmssklealder så skal mye av dette være kjent. Ser en til Amerika, så er der mange skler sm tilbyr såkalte pre-algebra kurs. Meier (2009) skriver at m en ser på aritmetikk sm ne knkret, g sm er fr alle, mens algebra sm abstrakt g bare fr nen, så vil det kunne føre til at lærere i all hvedsak vil fkusere på ren prsedyrelæring, med den begrunnelse at da vil gså svake elever få muligheten til å bestå eksamen (Meier, 2009). 18

27 2.6 Aritmetikk sm ett spesialtilfelle av algebra Tradisjnelt har intrduksjnen av sklealgebra til elevene vært dminert av fkuset på å bruke g kunne perere med litterale systemer. Dette gjrde en ved å intrdusere symblske kder i frm av bkstaver sm std fr tall. Måten en arbeidet med dette på var å jbbe med algebrauttrykk sm std utenfr en praktisk situasjn. Slik var det frem til rundt 1960 i England (Sutherland et al., 1997). Det samme kan man se igjen i det nrske sklesystemet. Etter dette gikk det ver til å være et sterkt fkus på at algebra skulle bli presentert sm et språk til å representere strukturer, ne sm førte til at de det ved mange skler var gjennm sett terier at elevene møtte algebra fr første gang. Hans Freudenthal en kjent matematiker fra Tyskland, sm blant annet var med på grunnleggingen av The institute fr the Develpment f Mathematical Educatin i Utrecht, hevdet at dette nye fkuset på matematikken hadde katastrfale følger fr undervisningen av algebra (Sutherland et al., 1997). Chevallard, en annen kjent matematiker hevder at det vi mistet med den nye refrmen var nettpp sammenhengen mellm aritmetikk g algebra (Sutherland et al., 1997). Algebra i den nrske sklen, g i mange andre land blir ikke intrdusert før langt ut i sklegangen. I Nrge er det først på 8.trinn (første året på ungdmstrinnet) at elevene blir intrdusert fr algebra. Dette blir av mange sett på sm en av grunnene til at elever sliter med nettpp dette emnet, da dette kan være en av flere grunner til at mange elever ser på aritmetikk g algebra sm t uavhengige deler. Ikke alle frskere ser ut sm de er enige i Piagets stadieteri. Masn et. al. (2005) refererer til Gattegn (1970), sm sier det at før barn begynner på sklen så har de lært et språk. Og at det å lære et språk krever et abstrakt knsept g at man derfr kan gå ut ifra at elever helt ned i barnesklen er mestere i abstraksjn g erg vil har mulighet til å tilegne seg algebraisk tankegang (Masn et al., 2005). Blantn (2008) nevner fire viktige aspekter sm en må ha klart fr seg når en jbber med barn g algebraisk tenkemåte. Det første er å sørge fr at barna lærer flere måter å systematisere representasjner av algebra, det andre er å stille spørsmål sm ppfrdrer til algebraisk tenking, nummer tre er å høre på g bygge pp under elevenes tenking g til slutt hjelpe elevene med å utvikle g frsvare sine generaliseringer. Når det kmmer til representasjnene av algebra sier Blantn (2008) at j yngre elevene er, j mer fysiske g knkrete må de være (Blantn, 2008). Dette bygger igjen på Piagets stadieteri. 19

28 Flere har sett dette g det er blant annet gjrt mange frsøk på å treffe elever på lavere trinn. Blant disse finner vi The TERC-Tufts Early Algebra Prject, sm har jbbet med en studie i ver ti år (University, 2013). Disse har kmmet frem til det de kaller fr early algebra, dette er ikke det samme sm pre-algebra Early algebra Early algebra er ikke det samme sm algebra tidlig. Med dette mener en at det ikke er meningen å flytte algebraundervisningen sm vi kjenner den ned til barnesklen, men å frberede elevene på barnesklen på møte med algebra. Fr sm Carraher, Shliemann g Schwartz (2007) skriver så vil det å flytte algebraundervisningen sm den er i dag ned på barnesklen være en katastrfe. Fr hvrfr skal ne sm virker meningsløst fr vksne, kunne virke meningsfullt flere år før (D. Carraher, Schliemann, & Schwartz, 2007)? Ved early-algebra intrduserer en frmelle ntasjner gradvis, fr gså her må en intrdusere symbler, ntasjner etc. sm elevene i begynnelsen ikke vil frstå. Men m en intrduserer dette smart g bare litt av gangen, så er meningen at elevene skal bli vante med at de blir intrdusert fr ne de med en gang ikke vil frstå, men vil frstå med tiden. Det er ikke meningen at early-algebra skal være et eget emne i læreplanen på barnesklen, frdi meningen med early-algebra er å få frem den algebraen sm allerede ligger i den læreplanen vi har. Det handler m at læreren må hjelpe til med å bringe frem det algebraiske ved den eksisterende matematikken sm blir gjennmført på barnesklene nå (D. Carraher et al., 2007). Lins g Kaput (2004) gir ss eksempelet: = 78 Dette er rent aritmetisk utrykk der både 78 g 49 kan ses på sm quasi-variabler, sm indikerer at ett nummer (her 78) blir ufrandret m en tar ett annet tall g legger til eller trekker fra (her 49). Her kan en frt bli fristet til å videreføre dette til algebra g uttrykket a b + b = a, men det er ikke meningen. Meningen her er å få elevene til å frstå at denne setningen tilhører en type tallsetning sm er sann fr hvilket sm helst tall sm blir lagt til eller trukket ifra. Hvedideen er elevene skal bli kjent med variabler lenge før de blir intrdusert fr frmell algebra (Lins & Kaput, 2004). Et argument sm Carraher g Schliemann (2007) bruker fr å støtte pp m tidlig-algebra er at man i tidligere kulturer, før algebraiske ntasjner ble ppfunnet, allerede kunne løse algebraiske prblem. Derfr tenker 20

29 de gså at elever i barnesklen kan jbbe med variabler g aritmetiske regler før de begynner med symblsk g frmell algebra (D. W. Carraher & Schliemann, 2007). Lannin, Barker g Twnsend (2006) referer til Kaputt (1999) sm kmmer med følgende anbefalinger fr å utvikle algebraisk knsepter i barnesklen. 1. Begynne tidlig, ved å bygge på elevenes ufrmelle kunnskap. 2. Integrere algebra med andre emner. 3. Inkludere flere frmer fr algebraisk tenking 4. Bygge på elevenes naturlige språk g kgnitive evner 5. Oppmuntre til aktiv læring Selv m målet er at elevene ved tiden skal kunne frmell algebra, så anbefaler Kaputt å fkusere på viktigheten av å bygge elevenes frståelse av algebraiske ideer gjennm den ufrmelle algebrakmpetansen sm de bringer med seg inn i klassermmet (Lannin, Barker, & Twnsend, 2006) 21

30 Del 2 Lærebken, elevenes kmpetanse g vergangen mellm ungdmssklen g videregående. 2.7 Læreren eller lærebken hvem styrer I følge prfessr Thmas Nrdahl så er det læreren sm utgjør den fundamentale frskjellen mellm gdt g dårlig læringsutbytte (Kjensli, 2009). Dette høres ut sm en naturlig g riktig tanke. Det å ha en gd frmidler må være bedre enn en mindre gd enn, men hva når det sm frmidles er det samme, g det er ne annet enn læreren sm har fkuset? I følge Jhnsen (1993) så har lærebøkene hatt g har frtsatt en sterk psisjn i klassermmet (Jhnsen, 1993). Strand (1995) trekker frem matematikk sm ett fag der lærebken står ekstra sterkt. Dette begrunnes i at matematikk regnes sm ett prgresjnsbasert fag, der lærebken følges fra perm til perm (Strand, 1995). Frskningen til Bachmann (2004) støtter pp m dette. Da han undersøkte hvilke fag læreren ftest benyttet lærebken i, km matematikk ut sm ett av fagene der denne ble benyttet hyppigst. Bachmann (2004) frtsetter med at lærebøkene brukes på mange mråder i planlegging g undervisning. Dette gjelder både hvrdan de skal presentere stffet, utvalg av undervisningsstff g skriftlige ppgaver (Bachmann, 2004). Studier av Selander g Skjelbred (2004) støtter pp m den viktige rllen til lærebken g deler bruken av den inn i tre deler. 1. Lærebken sm kunnskapsfrmidler 2. Oppgaver til elevarbeid (både på sklen g hjemme) 3. Kntrll (kntrllsamtaler g prøver) (Selander & Skjelbred, 2004) Det kmmer altså klart frem at lærebken er sentral i undervisningen g styrer mye av det sm skjer i klassermmet. Dette trenger på ingen måte å bety at lærerens rlle ikke er viktig, det trenger heller ikke å rkke med påstanden til Thmas Nrdahl m læreren sm den fundamentale frskjellen mellm gdt g dårlig læringsutbytte. Det dette derimt sier ne m, er at måten ppgavene i lærebken er lagt pp, vil på en eller annen måte påvirke elevenes innlæring av nytt stff, g dermed gså påvirke hvrdan elever lærer seg algebra. Kngelf (2011) har gått i dybden på lærebøker i matematikk g sett på hvrdan disse ppgavene er lagt pp. 22

31 I artikkelen «What characterises the heuristic appraches in mathematics textbks used in lwer secndary schls in Nrway?» skrevet av Kngelf (2011) kan vi lese at læreren fte bruker lærebken sm hvedkilde når han/hun planlegger sin undervisning, både når det kmmer til innhld, ideer til intrduksjn g elevenes aktiviteter. Videre blir det referert til Reys, Reys and Chávez (2004) sm skriver at valg av lærebk fte bestemmer hva lærere vil undervise, hvrdan de vil undervise det g hvrdan elevene vil lære (Reys, Reys, & Cháves, 2004). Vi kan gså lese at Garner (1992) hevder at lærebken er hvedkilden fr elevene, når det kmmer til å tilegne seg kunnskap, g at lærebken kan erstatte læreren sm den viktigste kilden til infrmasjn (Garner, 1992). Dette støttes pp av Jhannesen (2006) sm har funnet ut at elever nesten utelukkende jbbet med ppgaver i lærebken når de jbbet individuelt, at dette var mtrent 50 % av tiden g at eksemplene g prblemene hvedsakelig km fra lærebken (Jhanssn, 2006). Dette frsterker inntrykket av hvr viktig lærebken i dagens skle er, g det bekrefter at de fremgangsmåtene lærebken legger pp til når det kmmer til løsning av ppgaver vil ha en sterk påvirkning på elevene. Kngelf (2011) har sett på hvilke heuristiske fremgangsmåter ppgaver i nrske lærebøker i matematikk på niende trinn har fkus på. De ni heuristiske fremgangsmåtene fr å løse ppgaver på sm han har tatt utgangspunkt finner du øverst på neste side 23

32 De ni heuristiske fremgangsmåtene 1. Se etter mønster: Identifisere mønstre i det gitte prblem, basert på bservasjner av vanlige karakteristikker. 2. Lage en systematisk tabell: Knstruere en systematisk liste eller tabell sm innhlder de ulike mulighetene i en gitt situasjn. 3. Lage visualisering: Lage en visualisering ut fra tilgjengelig infrmasjn, fr å visualisere prblemet. 4. Gjette g sjekke: Gjøre en frnuftig gjetting av svaret, fr så å sjekke m det er krrekt. Om nødvendig gjøres dette flere ganger. 5. Løse deler av prblemet: Dele et prblem inn i flere delprblemer, så løse dem en etter en fr til slutt løse det riginale svaret. 6. Arbeide bakver: Tilnærme seg ett prblem fra svaret eller løsningen, fr så å jbbe seg bakver fr å finne hvilke vilkår sm må ppfylles. 7. Tenk på et tilsvarende prblem: Bruke metder eller resultater fra relaterte prblem, eller tenke på ett tilsvarende prblem løst før, fr å løse prblemet. 8. Frenkle prblemet: Endre de kmplekse tallene eller situasjnene i prblemet til ne enklere, uten å endre prblemet matematisk. 9. Endre din ppfatning av ppgaven: Tilnærme seg ppgaven fra en annen vinkel (Kngelf, 2011) Resultatene av funnene ser en i tabellen øverst på neste side. 24

33 De ni heuristiske fremgangsmåtene Figur 1.3: Diagram sm viser frdelingen av de heuristiske fremgangsmåtene sm blir benyttet ved løsning av ppgaver i de ulike lærebøkene i matematikk (Kngelf, 2011) Resultatene til Kngelf (2011) viser at mange av ppgavene blir løst ved hjelp av en eller flere heuristiske fremgangsmåter, men at der er tre fremgangsmåter sm går igjen flest ganger, disse er «å lage en visualisering», «løse deler av prblemet» g «endre innfallsvinkel». Kngelf (2011) peker på at det karakteristiske med bøkene var den manglende diskusjnen rundt fremgangsmåter, g at dette gjør det utfrdrende å undervise g lære dette i sklen. De heuristiske fremgangsmåtene virker tilfeldige, ne han begrunner med at ingen av bøkene behandler eller nevner prblemløsning. Kngelf (2011) legger vekt på hvr viktig prblemløsning er g at eksperimentering, utfrskning, kreativitet g refleksjn sm er viktige ingredienser i prblemløsing gså er viktige elementer i en persns matematiske kunnskap. Han trekker frem Singapre g Finland sm land sm satser på prblemløsning g sm gså screr høyt på internasjnale tester sm blant annet TIMSS (Kngelf, 2011). 25

34 Ser vi på resultatene i lys av knsept g prsedyrer, så ser en at «å løse deler av prblemet» sm dekker ver 50 % av fremgangsmåtene, er en fremgangsmåte der en benytter seg av prsedyrer sm er satt sammen g blir en løsning av prblemet. Fremgangsmåter sm å relatere ppgaven til ne annet kjent, frenkle prblemet g se etter mønster sm kjennetegner en prsedural kunnskap er fremgangsmåter sm praktisk talt ikke blir brukt. I følge Kngelf (2011) er det slik at siden lærebøkene ikke eksplisitt g systematisk tilnærmer seg ulike heuristiske fremgangsmåter, så kan en heller ikke frvente at lærere eller elever gjør dette. Dette fører til at prblemløsning blir tilsidesatt av tradisjnelle sklematematiske fremgangsmåter. Kngelf (2011) knkluderer med at det er pp til læreren m en variasjn av heuristiske fremgangsmåter vil bli lært, da lærebken feiler i nettpp dette (Kngelf, 2011). 2.8 Elevenes kmpetanse I spørreundersøkelsen sm er besvart av lærerne, blir lærerne bedt m å vurdere elevenes kmpetanse på ulike mråder innenfr algebra. Disse vurderingene utgjør en viktig del av studiet g er med på å danne grunnlaget mitt fr å kunne svare på deler av frskningsspørsmålene mine. Men hva menes med kmpetanse, hvilke kmpetanser er jeg ute etter g hvrdan skal jeg rangere dem? I stre nrske leksikn kan en lese at kmpetanse er evne eller kvalifikasjn til fr eksempel å uttale seg, inneha en stilling eller treffe en beslutning (snl.n, 2009). Denne definisjnen er fr vid g trengs å knkretiseres til min studie. Arbeidsdepartementet skiller mellm t hvedmråder, frmell g reell kmpetanse. Frmell kmpetanse blir definert sm dkumenterte kvalifikasjner ut fra bestemte kriterier, mens reell kmpetanse blir definert sm de faktiske kunnskaper g ferdighetene en innehar (Arbeidsdepartementet, 1986). Da jeg er ute etter å avdekke lærernes syn på elevenes faktiske kmpetanse så vil det være naturlig å fkusere på elevenes reelle kmpetanse. Arbeidsdepartementet skriver videre at med reell kmpetanse menes den kmpetanse sm kan nyttes i aktuelle prblemløsningsarbeid, g innbefatter relevante kunnskaper g ferdigheter slik at en kan utføre adekvate handlinger (Arbeidsdepartementet, 1986). Det er nettpp dette med å kunne anvende kunnskap fr å løse ppgaver, både teretiske g praktiske sm jeg er ute etter å måle elevenes kmpetanse i. 26

35 Flere enn meg har funnet interesse i å måle elevenes kmpetanse i matematikk. Stre studier sm PISA (pisa.n) g TIMSS (timss.n) er eksempler på dette. Disse studiene tester enkeltelevers kmpetanse g ønsker å klassifisere denne kmpetansen. Dette krever sm står i PISA rapprten «på rett spr» at kmpetansenivåinndelingene er gjensidig utelukkende (Kjærnsli & Re, 2010). I denne studien er målet å se på lærernes subjektive vurdering av elevgrupper, slik at det fr meg er naturlig at nivåene går flytende ver i hverandre. Den kanskje største frskjellen mellm nivåinndelingen i denne studien i frhld til PISA, er at PISA definerer hver enkelt matematisk kmpetanse sm ett nivå. Det vil si at de rangerer fr eksempel evnen til å ha matematisk innsikt høyere enn de rangerer evnen til å gjøre matematiske beregninger. Ser en på terien presentert tidligere i dette kapittelet så ser en at det i nyere tid blir lagt mer vekt på å se sammenhengen mellm knseptuell g prsedural kunnskap g viktigheten av balansen mellm disse. Jeg ønsker derfr å presentere en ny g alternativ nivåinndeling til PISA g TIMSS allerede eksisterende nivåinndelinger. Jeg har tatt utgangspunkt i begge disse studiene sine nivåinndelinger av kmpetanse, men gjrt endringer slik at jeg får med de frutsetninger sm ligger i min studie. Denne nivåinndelingen sm du finner på neste side er en viktig del av studie, da denne ikke behandler syntaktisk g semantisk kmpetanse g prsedural g knseptuell kmpetanse sm individuelle kmpetanser, men ser på disse sm avhengige av hverandre. 27

36 Elevers kmpetansenivå innen algebra: Svært lav Eleven har prblemer med å frstå enkle matematiske ntasjner g begreper. Elevene klarer ikke å hente ut relevant matematisk innhld fra tekster g gjør enkle prsedyre feil. Nkså lav Eleven frstår enkle matematiske ntasjner g begreper, har prblemer med å hente ut relevant matematisk innhld fra tekster. Eleven klarer videre å følge g løse ppgaver ved faste prsedyrer. Nkså høy Eleven frstår de fleste matematiske ntasjner g begreper g klarer å hente ut matematisk infrmasjn fra enkle tekster å gjøre m til matematiske setninger. Eleven har få prblemer med å løse ppgaver etter faste prsedyrer. Svært høy Eleven har svært gd kjennskap til matematiske ntasjner g begreper. Eleven har ingen eller få prblemer med å hente ut matematisk innhld fra tekster g gjøre m til matematiske setninger. Elevene har høye knseptuelle g prsedyre kunnskaper g evner å kble disse fr å løse ppgaver på en mest mulig hensiktsmessig måte. 2.9 Overgangen mellm ungdmssklen g videregående skle Overgangen mellm ungdmssklen g videregående skle ppleves fr mange elever sm vanskelig. Ny klasse, nye fag, mange må flytte hjemmefra g ikke minst så pplever mange at det nå blir mye tyngre faglig. Kunnskapsdepartementet skriver at mtrent en fjerdedel av de sm slutter i videregående skle, slutter allerede det første året. Det å sikre en gd vergang mellm ungdmsskle g videregående er derfr viktig fr å frebygge frafall. Det er mange grunner til frafall dette året, g en av grunnene er svake karakterer, deriblant i matematikk. Et intervju med t andreklassinger ved Bdø videregående skle km det gså tydelig frem at vergangen mellm ungdmssklen g videregående ppleves sm veldig str, g at mange går ned i karakter når de går ver i videregående skle (Martinsen, 2013). Da det fr lærere på videregående skle ikke alltid er like lett å vite hvrdan elevene ligger an i fagene når de kmmer fra ungdmssklen, så er det nå innført kartleggingsprøver i blant annet regning. Dette er gjrt blant annet frdi lærerne i den videregående skle skal kunne 28

37 vite hva elevene har fått med seg g ikke fått med seg fra ungdmssklen g kan bygge videre på dette. Da det i følge kunnskapsdepartementet fremgår at flere ungdmsskler har svakere kbling til videregående skle enn det sm kan frventes, vil disse prøvene derfr være viktige verktøy g fr mange det eneste de har å bygge på når det kmmer til elevenes kmpetanse fra ungdmssklen (Kunnskapsdepartementet, 2010b). Strategiplanen «Et felles løft fr realfagene» (Kunnskapsdepartementet, 2006) kmmer det frem at sklene i Nrge ikke klarer å levere nk kmpetanse i realfag (deriblant matematikk) til å møte samfunnets behv. I rapprten «Realfag, naturligvis evaluering av strategiplanen, delrapprt 3» (Utdanningsdirektratet, 2007) vises det til at lærere ikke har den felles den blant annet matematiske kmpetansen sm skal til fr å følge undervisningen på grunnkurs (nå VG1) i videregående. Det pekes på at dette blant annet kan skyldes frventet nivå ut fra definerte læreplaner. Da Kunnskapsløftet LK06 ble innført, fulgte der gså med en læreplan sm dekker hele det 13-årige skleløpet. Kunnskapsløftet legger pp til at det er hver enkelte skle sitt ansvar å knkretisere læreplanen ned til undervisningsinnhld g undervisningsmåter. Det lkale læreplanarbeid krever mye arbeid, faglig kunnskap g at der eksisterer en sammenheng mellm nivåene, ikke minst mellm ungdmsskle g videregående skle. Men m det er slik at lærere legger pp undervisningen sin etter lærebken sm nevnt i tidligere kapittel, g følger lærebken fra perm til perm med dens eksempler g ppgaver, vil ikke da det lkale læreplanarbeidet være brtkastet, g det eneste lærerne på videregående trenger å vite, er hvilken lærebk de har benyttet? I masterppgaven Matematikk i vergangen mellm ungdmssklen g videregående skle av Bente Sllid, har Sllid fulgt et samarbeidsmøte mellm matematikklærere fra ungdmssklen g videregående. Her kmmer det frem at lærerne ikke var enig i påstanden sm km frem i rapprten Realfag, naturligvis evaluering av strategiplanen, delrapprt 3 (Utdanningsdirektratet, 2007) m at der finnes et frventningsmessig misfrhld mellm lærerne på ungdmssklen g lærerne på videregående. Studiet viser likevel at det blant lærerne på begge nivå ses nytten av samarbeid. Spesielt arbeid med læreplaner g samrdning av læreplaner ses på sm en viktig ting å ta pp på slike møter (Sllid, 2009). Denne ppgaven tar gså spesielt pp algebra sm en av hvedutfrdringene fr mange elever, g peker på spesifikke ferdigheter sm sviktende kunnskaper i tallregning g elevenes frståelse av likhetstegnet sm en perand istedenfr et tegn fr likeverdighet, sm mmenter 29

38 sm vanskeligjør algebrauttrykk. Fkus på regneregler g føring av ppgaver nevnes sm mmenter sm kan bedre dette. Lærerne på ungdmssklen var pptatt av det krevdes gde matematikklærere gså i barnesklen. Dette ble grunnet i at matematikk er bygget pp med en lgisk struktur, der læringen skjer mment fr mment g der det frutsettes at frrige mment er innlært før en begynner på neste. Har da elevene mangler i mange av disse mmentene fra barnesklen så vil de falle av allerede ved ungdmssklen (Sllid, 2009). Undervisningsmessig peker hun på at det blant deltakerne i undersøkelsen er en ppfatning m at undervisningsmetdene på ungdmssklen g i den videregående skle er ganske frskjellige. Oppfatningen bygger på at mens det på ungdmssklen ppleves viktig å variere undervisningen g bruke praktiske prsjekt, så er det i den videregående skle mer vanlig med tradisjnell tavleundervisning (Sllid, 2009). 30

39 3.0 Metde I dette kapittelet skal jeg redegjøre fr de valgene sm jeg har gjrt før jeg begynte på ppgaven g underveis i ppgaven. I en slik ppgave sm dette, sm er begrenset både av tid g mfang så er det flere valg sm blir tatt sm dessverre svekker ppgaven. En kan nevne antall svar på spørreundersøkelsen sm det sm kanskje har lidd mest på grunn av begrenset mfang g tid. Det blir kntinuerlig gjrt valg sm påvirker ppgaven, g det vil være umulig å få med alle disse valgene i dette kapittelet, så jeg skal knsentrere meg m de viktigste, de sm danner rammen til ppgaven 3.1 Valg av frskningsdesign Oppgaven er basert på empirisk frskning. Med empirisme mener en at en pparbeider seg kunnskap g finner sannheten kun ved hjelp av erfaringer g gjennm gjentatte frsøk, sm gir samme svar. Metden må gså kunne utprøves av andre i senere tid (Filtpia, 2009). Dette betyr samtidig at jeg ikke kan gi nen definitive knklusjner på bakgrunn av mim studie, da dette bare er gjrt en gang, dette kmmer jeg tilbake til. Mine empiriske data i denne studien vil være svarene på en spørreundersøkelse. Dette er en induktiv studie, der jeg frmer terien etter mine innsamlede data (se fig 3.1). Metden sm ppgaven er basert på er en såkalt interpretivistisk metde. Dette er en metde sm står i kntrast til den mer kjente g brukte psitivsmen. Psitivistisk metde mener at en studerer den ssiale verden gjennm de samme prinsippene, prsedyrene g eths sm naturvitenskapen. Interpretivism står sm sagt sm en mtpl til dette, da de mener at mennesker g deres institusjner er fundamentalt annerledes enn naturvitenskapen. Phenmenlgy er en filsfi under interpretivismen sm er pptatt av hvrdan individer gjør mening av verden rundt dem. Det vil her være frskerens mål å fange de subjektive meningene av ssial handling. Frskeren må få tak i flks sunne frnuft g tlke deres handlinger g ssiale verden fra deres synspunkt (Bryman, 2008). Disse ulike frtlkningsnivåene innen deduktiv tilnærming har (D. I. Jacbsen, 2005) delt inn i tre ulike nivå. 31

40 Figur 1.4: Mdell ver de ulike frtlkningsnivåene ved en induktiv tilnærming (Jacbsen, 2005) Det å ta et interpretativt ståsted kan bety at frskeren kan kmme frem til veldig verraskende resultater, i det minste verraskende m frskeren stiller seg fra et eksternt ståsted, altså utenfr den spesielle ssiale knteksten sm blir studert. Når frskeren skal presentere resultatene sine, så er det ikke bare å gjengi tlkningene til deltakerne i den ssiale settingen, men det skjer en dbbel tlkning. Det vil si at frskeren prøver å tlke de tlkningene sm kmmer fra medlemmene i den ssiale gruppen (Bryman, 2008). All frskning blir sm hvedregel delt inn i en av t hvedkategrier, kvantitativ eller kvalitativ frskning. Den interpretativ metden sm blir brukt i denne studien faller under den kvantitative. Jacbsen (2005) har laget en tabell sm viser når en bør benytte seg av kvantitativ metde g når en bør benytte seg av kvalitativ metde. 32

41 Figur 1.5: Oversikt ver når kvantitativ g kvalitativ metde bør anvendes, samt sterke g svare sider ved de t tilnærmingene (D. I. Jacbsen, 2005). Det er en vanlig antagelse at det bare er gjennm kvalitativ frskning at en kan studere mening. Men en ser mer g mer at frskere sm bruker kvantitativ frskning gså er ute etter å finne mening. En måte å frbedre muligheten fr å finne mening gjennm kvantitativ frskning, er ved å bruke attitudinal questiins. Dette vil si først å gjennmføre en pen frmat spørreskjema, g på bakgrunn av svarene der lage et clsed frmat spørreskjema (Bryman, 2009). Dette er gså fremgangsmåten sm er gjennmført i denne ppgaven. Se kapittel Utvalg Da jeg med denne studien ønsker å sammenligne lærere på ungdmstrinnet, med lærere i den videregående skle, var det naturlig å innhente svar fra lærere innen begge undervisningsnivåene. Jeg har kntaktet flere hundre lærere g fått 80 svar. 41 av svarene kmmer fra lærere på ungdmstrinnet, g 39 svar kmmer fra lærere på videregående skle. Målet med utvalget var å treffe en så spredt gruppe sm mulig. Dette har jeg gjrt ved at jeg ikke har kntaktet lærerne persnlig, men latt dette gå gjennm de ulike sklenes ledelse. På 33