Alle Teller! May Renate Settemsdal Nasjonalt Senter for Matematikk i Opplæringa. Novemberkonferansen nov-15

Transkript

1 Alle Teller! May Renate Settemsdal Nasjonalt Senter for Matematikk i Opplæringa Novemberkonferansen nov-15

2 Håndboka Digitale prøver

3 Alle Teller Forfatter: Professor Alistair McIntosh, University of Tasmania Alistair McIntosh har arbeidet med tallforståelse og talloppfatning gjennom et langt liv som forsker og lærer. Han var med i den kjente Cockroff-komiteen på 1980-tallet, og har arbeidet både i England, USA, Sverige og Norge. Oversatt og bearbeidet til norsk: Ingvill Merete Stedøy- Johansen og May Renate Settemsdal 26-nov-15 3

4 Hva er boka Alle teller? 1. Lærerveiledning for innføring av nøkkelbegreper 2. Forklaring på hvordan og hvorfor misforståelser og misoppfatninger oppstår. Masse konkrete eksempler for alle begrepene 3. Forslag til hvordan undervisningen bør legges opp ved innføring av nye begreper 4. Kartleggingsmateriale for å avdekke misforståelser og misoppfatninger (inklusive vurderingsskjema, temaoversikt, målformuleringer etter nivå, veiledning til oppfølgende intervju) 5. Lærerveiledning for hvordan undervisningen kan legges opp for elever og elevgrupper som har utviklet misforståelser og misoppfatninger. 26-nov-15 4

5 Elevsyn, læringssyn og fagsyn En overbevisning om at elever kan og vil lære! Dyp respekt for de som skal lære, og det de har å bidra med! Undervisningen må bygge på elevenes erfaringer fra skole og egne liv. Lærerens rolle er å tilrettelegge for at elevene skal bygge opp egne erfaringsreferanser. Det har ingen verdi å kunne bruke regnereglene mekanisk hvis en ikke forstår hva som ligger bak! 26-nov-15 5

6 Divisjon av brøker (sitat fra håndboka) For de fleste elever er mul.plikasjon av brøker ikke vanskelig. Divisjon av brøker er noe helt annet. Det er vik.g å akseptere at for de fleste elever er ikke divisjon med brøk en nødvendig ferdighet for å klare seg i dagliglivet. De=e er e=.lfelle hvor det kan være fristene å la elevene lære en regel framfor å arbeide med at elevene skal forstå begrepene og sammenhengene. Hvis de=e bare skal læres for å klare noen oppgaver her og nå, kan det forsvares. Hvis en tenker på behovene.l elever som ikke har de beste forutsetningene.l å lære matema.kk, kan det være et valg blant tre muligheter hvor ingen av dem er helt.lfredss.llende: Undervise for at eleven skal forstå, men være klar over at det vil gå sakte, kanskje bare gi delvis suksess, og innse at de=e ikke er helt nødvendige kunnskaper for denne eleven. Undervise for at eleven skal forstå opp.l et visst nivå, og så lære ham/henne regelen. Lære eleven regelen. Spesielle anbefalinger Undervis for forståelse, bruk trinnene som er beskrevet over. I de fleste.lfeller er målet å bygge opp en bedre forståelse for brøk vik.gere enn å lære å dividere brøker.

7 NIM To og to spiller sammen. 21 pinner i en haug på bordet. Hver spiller trekker 1 eller 2 pinner, annenhver gang. Hvem klarer å ta den siste/de to siste pinnene?

8 Møte med nye begreper Varierte arbeidsmåter Tid.l fordypning og.d.l at begrepet modnes Bli i stand.l å bruke det i nye situasjoner Konkreter og ulike representasjoner

9 Begrepene må innføres slik at de er logisk å bygge videre på Hvis ikke kan det lede.l misforståelser og misoppfatninger

10 Eksempel med mul.plikasjon Addisjon må være godt innarbeidet først Mange lærebøker har ensidig fokus på å innføre mul.plikasjon som gjenta= addisjon Det er problema.sk for elevene når tallområdet utvides.l desimaltall og brøk

11 Hvor mange terninger?

12 Det er 6 terninger langs den ene kanten og 8 terninger langs den andre kanten Det kan vi skrive slik: eller Eller 8 6 eller 6 8

13 Alterna.ver.l gjenta= addisjon? 3,4 5,2 Hvordan forklare de=e med gjenta= addisjon? Hva betyr å legge sammen 3,4 med seg selv 5,2 ganger?

14 Mul.plikasjon som areal

15 Ved telling ser elevene at produktet er ca 18 (15 hele ruter og resten kan bygges.l omtrent 3 hele) La elevene jobbe med mul.plikasjon både som gjenta= addisjon og som areal

16 Bygge videre på

17 4. Desimaltall 4.1 Desimalnotasjon inkludert penger og måling (5,6,7) Introduksjon Barn møter desimaltall for første gang før de lærer om det på skolen. Enn så lenge har vi desimaltall i forhold til priser og penger, selv om elevenes erfaringer på dette området er langt fattigere i dag enn den gang vi hadde ettøringer, toøringer, femøringer, tiøringer og tjuefemøringer. Elevene kan se en pris som er skrevet som 6,50 kr og høre at det blir uttalt som seks kroner og femti øre. De hører det sjelden uttalt som seks komma fem, eller seks komma fem null kroner. Seinere kan de høre at 6,70 meter blir uttalt som seks meter og sytti (centimeter). Kommaet mellom heltallene og desimalene blir skrevet, men det blir sjelden brukt i dagligtalen, med unntak av enkelte sportsresultater (poeng, tider i sekunder, tideler og hundredeler etc). Det kan oppleves forvirrende når eleven taster inn 6,50 på lommerekneren, og det kommer opp i vinduet som 6,5. 26-nov-15 17

18 Misforståelser og misoppfatninger Barns misoppfatninger knyttet til desimaltall (og de favner vidt og kan vare livet ut) skyldes ofte to ting: 1) elevers kunnskap om og erfaringer med hele tall blir generalisert og brukt feil i forhold til desimaltall. 2) erfaringer fra dagliglivet, inkludert bruk av penger og måling gir en overfladisk fornemmelse av hva desimaltall handler om med en eller to desimaler. Det første forholdet vil bli nærmere omtalt i det neste avsnittet, mens vi tar for oss de misforståelsene som skyldes desimaltall i forhold til penger og måling av ymse slag i dette kapitlet. Se for deg de problemene som kan oppstå som en følge av at vi leser 6,50 kr og hører det uttalt som seks kroner og femti (øre). 26-nov-15 18

19 1) Vi leser 6,50 (og tenker på det) som om det var satt sammen av ikke ett, men to separate tall, seks og femti. 2) Vi leser desimaldelen som femti ikke som fem null. Denne fremgangsmåten (som er riktig når det gjelder penger) kan forårsake misoppfatninger for elever. Mange elever tror at sifrene på hver side av kommaet ikke har noe med hverandre å gjøre. Det er en fare at elever tror at tallene til høyre for kommaet er et annet sett av hele tall. Disse misoppfatningene forårsaker ingen problemer og kommer ikke til overflaten når man holder på med penger og ulike typer måling. Det er viktig at læreren er klar over at å bruke penger og måling til å forstå desimaltall er nyttig i noen sammenhenger, mens det i andre sammenhenger blir en kilde til misoppfatninger. Læreren må være oppmerksom på dette og understreke likhetene og ulikhetene mellom desimaltall og penger/måling. 26-nov-15 19

20 Eksempler Eleven sier Veggen er ni meter og førti høy, ikke ni meter og førti centimeter Lommerekneren sier fire komma fem: det betyr fire kroner og fem øre. 26-nov-15 20

21 Bakgrunn Vi vil ikke si at å lese 6,50 kr som seks (kroner) og femti er galt. Det er naturligvis en helt dagligdags forkortelse for seks kroner og femti øre og å lese det som seks komma fem null kroner høres ganske kunstig ut. Det som egentlig har skjedd er at vi har oversatt et beløp, uttrykt som kroner til to beløp uttrykt som kroner og øre. På den måten kan vi si femti i stedet for fem null. Dette kan imidlertid lett føre til misoppfatning slik at tallene 6,54 og 6,504 begge kan bli uttalt seks komma femtifire. Vi må være tydelige på om vi uttaler et beløp eller et mål som to ulike enheter (sju meter og førti centimeter) eller som en enkelt enhet sju komma fire meter eller sju hundre og førti centimeter. For å rydde opp i misforståelsene, må elevene få forståelse for at kommaet er en indikator på hvor man kan finne det hele sifferet, og at desimalene har mindre verdi enn enerne. 26-nov-15 21

22 Generelle anbefalinger Det er nyttig å bruke enhver anledning en har til å bruke desimaltall fra barnets omgivelser: pris på varer i butikken og i aviser, bensin, lengdemål, vekt og hulmål, tidtaking i forhold til sportsøvelser eller sport på TV. Hensikten med å gjøre det slik vil være at barnet forstår at desimaltall er en del av deres og familiens liv. Den nøyaktige notasjonen av desimaltall kan være av mindre betydning på dette stadiet. Vær litt forsiktig med bare å bruke penger når du skal introdusere og forklare desimaltall, og vær oppmerksom på både likheter og forskjeller mellom penger og andre typer desimaltall. Hvis hensikten er å lære om desimaltall er det nødvendig å bruke ulike fysiske og visuelle modeller med desimaltall og også eksempler som operer med ulikt antall siffer bak kommaet. Derfor er Base 10-materiell, papir- og plastikkpenger, linjaler og målbånd, tidtaking på TV (friidrett, svømming, dykking...), som alle legger vekt på litt ulike aspekt ved desimaltallene og strukturen, godt egnet til å gi et reelt bilde. Når et desimalmål leses som to hele tall i en klassesituasjon, må læreren insistere på at begge enhetene er uttrykt: fire kroner og femti øre, eller sju liter og fire desiliter,; eller fire komma fem null kroner og sju komma fire liter. 26-nov-15 22

23 Spesielle anbefalinger Lag snutter fra sportsbegivenheter på video som viser tidtaking, og diskuter hva tidene betyr. Bruk Base 10-materiell eller annet konkretiseringsmateriell til å oversette tallsymboler til mer visuelle bilder. Synliggjør begge formene for penge- og målingsrepresentasjoner (desimaltall og ikke desimaltall) side om side. 26-nov-15 23

24 Viktig å vite Testene skal kartlegge forståelse (i liten grad ferdigheter). Kartleggingstestene er på elevnivå, for å finne ut mer om hver enkelt elevs forståelse. Testene skal brukes over tid for å kartlegge enkeltelevers utvikling og framgang. Testene skal ikke brukes for å sammenligne elever eller klasser med hverandre. Testresultatene skal gi læreren grunnlag for å tilpasse undervisningen til den enkelte elev og til elevgrupper. For at testresultatene skal gi læreren ytterligere informasjon om elevens forståelse, skal testene følges av elevintervju. 26-nov-15 24

25 Hvordan skal testene gjennomføres? Testene kan brukes på ulike måter av ulike elever og lærere. Det er viktig å ha som utgangspunkt at dette er tester som er laget for at læreren skal kunne legge opp en undervisning som gir flest mulig elever størst mulig utbytte av læringsarbeidet. Anbefalinger: - Testene gjennomføres årlig ved begynnelsen av skoleåret - Elevene får bruke den tiden de trenger - Elevene skal svare så godt de kan, og ikke la oppgaver stå ubesvart (se flere anbefalinger s i håndboka) 26-nov-15 25

26 26-nov-15 26

27 26-nov-15 27

28 26-nov-15 28

29 Sp m Underkapittel 8 4.2, 4.4 Kommentarer. Spørsmålet tester om eleven: Kan relatere desimaltall til et skravert område. Det skraverte området er akkurat mindre enn en halv eller 0,5, slik at bare svar C er et rimelig svar. Undersøk elevens tenkemåte hvis han/hun svarer noe annet Kan se sammenhengen mellom litt vanskeligere desimaltall og det skraverte området. Det skraverte området er mindre enn en firedel eller 0,25. Derfor er bare A et rimelig svar. Undersøk elevens tenkemåte hvis han/hun svarer noe annet Kan gjenkjenne om et desimaltall eller en brøk er nærmest null, en halv eller en hel. Dette er en god indikasjon på tallforståelse. Undersøk elevens tenkemåte hvis han/hun svarer feil Kan ordne desimaltall i rekkefølge. Dette forutsetter god forståelse for desimaltall. Misoppfatninger gjør at noen tror at de i A sammenlikner 6 med 3, og 7 med 52 i B Kan ordne desimaltall etter størrelse Forstår betydningen av halve og kvarte. Elevene har ofte god forståelse av en halv og en kvart før de forstår andre brøker. Undersøk elevens tenkemåte hvis han/hun svarer feil , 5.3, 5.4 Forstår brøk som del av en mengde. 26-nov-15 29

30 26-nov-15 30

31 26-nov-15 31

32 Digitale tester Administratrator: Elev: 26-nov-15 32

33 Nivå 4, oppgave 10 Her står svar- alterna.vene

34 Til diskusjon Hva tror dere elevene svarer her? Foreslå flere alterna.ver. Hva tror dere elevene som har svart de ulike alterna.vene har tenkt?

35

36

37 Hva sier håndboka (sitat fra kap 3.3) Misforståelser og misoppfatninger Barn har misforståelser angående posisjonssystemet på mange nivå. Mest aku= og vanlig er misoppfatninger kny=et.l posisjonssystemet for desimaltall. De=e vil vi se nærmere på i kapi=el 4. Men også posisjonssystemet og notasjon for hele tall kan by på problemer. Noen barn vil på et.dlig stadium ha problemer med å se en mengde objekter som en enhet, for eksempel at en mengde (med kanskje. objekter) skal bli se= på som (og skrevet med tallsymbol) 1. Når denne barrieren er overvunnet, så vil tall med to siffer bare by på rela.vt små problemer. Unntaket er det å telle med.eroverganger (se 2.4), og det at elevene snur på tallene (for eksempel 41 i stedet for 14 ). Det tredje sifferet kan by på problemer i forhold.l forståelse. Å overse=e ordene to hundre og fire.l tallsymbol kan være en stor u`ordring for noen barn. Det å kunne se at 4 i 427 ikke bare er 4 hundre, men også 40.ere eller 400 enere er noe mer komplisert. De fleste barn forstår at 37 kan bli se= som , men noen finner det mye mer vanskelig å endre tallene i hodet for å se at 37 også er , eller Når de=e er forstå=, kan elevene rekne fleksibelt i hodet. Evnen.l å se hvor tallene (sånn omtrent) skal plasseres på en åpen tall- linje er veldig vik.g. Da blir det avgjørende å se hva det vik.gste tallet vil være (for eksempel 3 i 378) for å bestemme størrelsen på tallet og dermed også tallets plass når det gjelder for eksempel tallet 378.

38 Generelle anbefalinger Å forstå posisjonssystemet er en lang prosess som krever mange og gjentagende erfaringer for at det skal feste seg som kunnskap. Det er ikke en enkelt erfaring eller serie av erfaringer som vil sørge for den dype forståelsen, men hyppige og varierte ak.viteter som tar i bruk ulike Hlnærminger og representasjoner som gir ny innsikt. Forslagene nedenfor viser modeller som alle på en eller annen måte er nycg, men som ikke alene gir det fulle og hele bildet: Bruk Base 10- materiale (kuber, plater, staver og enere) En meterstav markert med cen.meter (Cuisenairestavene med lengde 10 cm er nycge i forbindelse med de=e). Et målbånd markert med meter og cen.meter.

39 En tall- linje på veggen i klasserommet som går.l 100 og senere.l Plassering eller markering av tall på en åpen tall- linje (de=e kan være klistremerker på tall- linja på tavla eller veggen, eller tall som blir hengt opp på ei klessnor). For flere detaljer se ak.viteten B Åpen tall- linje i del D av Håndboka. Ekte penger eller lekepenger med 1kr, 10kr og 100kr. Lommerekner Kilometerteller Hundrekartet De=e konkre.seringsmateriellet krever planlagte ak.viteter hvor elevene bruker konkretene, se=er ord på hva de gjør og tar vare på og skriver ned resultatet.

40 Intervju I tillegg til de skriftlige testene, skal det gjennomføres elevintervjuer av enkeltelever. Det beste er om lærer intervjuer alle elvene sine. Intervjuene går ut på å velge ut noen oppgaver fra testene (5 7 oppgaver), noen som eleven har svart rett på, og noen hun/han har svart feil på. Spør eleven Hvordan tenkte du da du løste denne oppgaven? 26-nov-15 40

41 Huskeregler for elevintervju Et intervju er ikke en undervisningssituasjon. Hovedhensikten er å finne ut hvordan eleven har tenkt. Eleven skal stå for snakkingen fordi intervjuet skal avsløre hvordan eleven tenker. Oppmuntre eleven til å forklare og beskrive, selv om det går tregt Læreren bryter bare inn for å forsikre seg om at hun/ han har forstått hva eleven mener. 26-nov-15 41

42 Under intervjuet skal ikke læreren prøve å hjelpe eleven til å finne riktig svar, passende strategier eller korrekt måte å tenke på. Prøver læreren å hjelpe, vil hun/han ikke lære noe om elevens tenkemåte. Lærerens rolle er å lytte! I intervjusituasjonen må læreren oppføre seg som en vitenskapsmann: hvert svar er ikke først å fremst å bli betraktet som riktig eller galt, godt eller dårlig, men som interessant eller informativt. Gale svar er med på å gi informasjon om hva eleven har misforstått eller har problemer med og er derfor like nyttige for læreren som et rett svar. 26-nov-15 42

43 Brukernavn: Passord: søylediagram

44 Nivå 8, oppgave 12 Her står svar- alterna.vene

45 Til diskusjon Hvilke svaralterna.ver er tror dere er gi=? Hva tror dere elevene som har svart de ulike alterna.vene har tenkt? Her står svar- alterna.vene

46 Nivå 8, oppgave 12

47

48

49 Posisjonssystemet Tegn 3 x3 ruter på et ark, under hverandre. May triller.er- terning. Plasser sifferet terningen viser i ei av rutene. De=e blir tre tresifrede tall. Når de adderes skal summen bli nærmest mulig 1000.

50 Tegn linje Tegn ei linje som er 8 mm Tegn ei linje som er 12 cm Bruk linjal og finn de eksakte målene på linjene. Finn forskjellen mellom det du gje=a og det du målte