Eksamensoppgaver med fasit til eksamen i matematikk skriftlig for GLU1-7

Transkript

1 Eksamensoppgaver med fasit til eksamen i matematikk skriftlig for GLU1-7 Her følger samtlige eksamensoppgaver som er gitt til skriftlig eksamen i matematikk for GLU1-7 fra og med våren 2011 til og med høsten Fasit følger til slutt for alle del 1-oppgavene. For flere av eksamensoppgavene i del 2 kan det være mange ulike, men godkjente løsninger. Vi har derfor (stort sett) valgt å lage fasit bare til de oppgavene som gir konkrete beregninger o.l. som utgangspunkt for svar. Finner dere feil i fasiten, eller i teksten ellers, er det fint om dere melder fra til Geir.Martinussen@hioa.no eller James.Gray@hioa.no Oppgavesamling: Vi har laget ei oppgavesamling som inneholder mange øvingsoppgaver relatert til både del 1 og del 2 til skriftlig eksamen. I oppgavesamlinga inngår også artikler/notater om brøkregning og figurtall. For brøk legges det spesiell vekt på forståelse, og på måter å illustrere på. For figurtall viser vi blant annet flere ulike måter å regne ut eksplisitt formel på. Oppgavesamlinga er nå til salgs i bokhandelen, Akademika. Vi ønsker dere lykke til både med oppgaveløsning og med skriftlig eksamen i Ma1! Mars 2016 Hilsen James og Geir 1

2 Eksamensoppgaver Del 1 til matematikkeksamen skriftlig Den skriftlige eksamen i matematikk er to-delt. Hver del må bestås for at eksamen samlet sett skal være bestått. Ved bestått eksamen fastsettes karakteren på bakgrunn av prestasjonen på eksamenens Del 2. Del 1 Grunnleggende matematikk Del 1 består av grunnleggende oppgaver innenfor tallregning, måling og geometri. Her vektlegges først og fremst at du kan komme frem til rett svar ved en korrekt utregning. Det spørres ikke etter detaljerte forklaringer. Siden Del 1 består av svært grunnleggende oppgaver, stilles det også svært strenge krav for å bestå Del 1. Alle deloppgaver gir 1 poeng. Totalt 20 poeng. Grensen for å bestå Del 1 er 85 % (17 av 20 poeng). Del 2 - Dybdeforståelse i matematikk og matematikkdidaktikk Hensikten med Del 2 er å gi deg mulighet til å vise matematikkfaglig og matematikkdidaktisk dybdeforståelse. Ved sensuren vil det blant annet bli lagt vekt på klarhet, resonnement og valg av relevante eksempler. Det forventes at du viser at du kan bruke din kunnskap i matematikk i en undervisningssammenheng. Del 2 vurderes med kriteriene for bokstavkarakter som er beskrevet i fagplanen for Matematikk. 2

3 Vår Skriv riktig tall i ruta: 314 = Hvilket siffer står på hundredelsplassen i tallet 23,5684? 3. Regn ut: 101,02 4, Regn ut og skriv resultatet som brøk. Forkort så mye som mulig Regn ut: Regn ut: 12,4 3,6 7. Skriv følgende desimaltall i stigende rekkefølge: 0,12 0,212 0,1201 0,012 0,102 0, Skriv følgende brøker i stigende rekkefølge: Hvilket regneuttrykk gir størst resultat: 2,5 3 eller 3,5 2? 10. Regn ut arealet av en rettvinklet trekant med kateter 4 cm og 8 cm. 11. Regn ut omkretsen til en rombe med sider på 6 cm hg smågodt koster 36 kr. Hva koster 1 hg smågodt? 13. En bukse koster 600 kr etter at det er gitt 25 % avslag. Hva kostet buksen før avslaget? a. 750 kr b. 800 kr c. 850 kr 14. Hvor mye er 20 % av 2,5 millioner? 15. Skriv 0,75 som brøk. 16. Tegn en trekant som har areal 5 cm Regn ut volumet av et rett, trekantet prisme med grunnflate 12 cm 2 og høyde 2 cm. 18. Hvor mange dm 2 er det i 12,5 m 2? 19. Hva er mest av 0,14 m og 14 dm? 20. Tegn en firkant som har like lange sider og minst to vinkler som er Hva heter figuren? 3

4 Høst Skriv riktig tall i ruta: 1025 = Hvilke tall peker pilene A, B og C på? 3. Regn ut: 215,01 25, Regn ut og skriv resultatet som brøk. Forkort så mye som mulig. 5. Regn ut: 185, Regn ut: 124 0,001 (1 2 3 : 5 6 ) ( ) 7. Skriv følgende desimaltall i stigende rekkefølge: 8. Skriv følgende brøker i stigende rekkefølge: 0,41 0,041 0,4103 0,1041 0,401 0,4 9. Skriv med tallsymboler: trettifem tusendeler. 10. Skriv med ord tallet Pia sier: «Hvis en trekant og en firkant har samme omkrets, da har firkanten større areal enn trekanten». Har Pia rett? 12. Skriv et tall mellom 0,5 og 0, En bukse koster 300 kr etter at det er gitt 70 % avslag. Hva kostet buksen før avslaget? a. 750 kr b. 800 kr c kr 14. Hvor mye er 40 % av 1,2 millioner? 15. En 1,5 liters flaske brus koster 18,90 kr, mens en 0,33 liters flaske koster 8,90 kr. Hvilken av de to varene har lavest literpris? 16. Når prisen øker fra 400 kr til 420 kr, øker den med hvor mange prosent? 17. Regn ut volumet av et rett, kvadratisk prisme med høyde 8 cm og grunnflate med side 3 cm. 18. En bil brukte 4,2 l bensin på 5 mil. Hvor mye bruker den på 100 km? 19. Hva er mest av 0,025 m 2 og 250 cm 2? Tegn to forskjellige rektangler med omkrets 24 cm. 4

5 Vår Skriv riktig tall i ruten: 3,04 = , Hvilket tall er størst: tjuetre hundredeler eller fire tideler? 3. Regn ut: 215,02 4,1 + 1, Regn ut og skriv resultatet som brøk. Forkort så mye som mulig. 5. Regn ut: 483: 2,1 6. Regn ut: 19, ( ) 7. Skriv følgende desimaltall i stigende rekkefølge: 0,402 0,42 0,375 1,2 0,85 8. Hvis det er mulig, gi eksempel på en brøk som er større enn 3 7 men mindre enn Berits pensjon er 60 % av det hun hadde som lønn før hun pensjonerte seg. Hvis Berit mottar kr pensjon, hvor mye pleide hun å få i lønn? 10. Hvilket tall er en hundredel større enn 0,397? 11. Tegn et rektangel med omkrets 12 cm og areal mindre enn 6 cm Er det sant at ethvert parallellogram er et rektangel? 13. Avgjør om regneuttrykkene (21 27): 90 og 21 (27: 90) gir samme resultat. 14. Skriv korrekt teller i ruten, slik at de to brøkene er likeverdige: 2 6 = Rund av tallene til nærmeste tier: På hvilket tall peker pilen? 17. Regn ut volumet til en kube som har sidelengde 1 cm Hvor mange mm 2 er det i 9,5 cm 2? 19. Hva er mest av 0,33 l og 33 dl? 20. I en trekant er to av vinklene 74 0 og Hvor stor er den tredje vinkelen? 5

6 Høst Hvor mye er en tredel av en femdel? Gi svaret på brøkform. 2. Skriv de tre neste tallene i rekken: 3,93 3,95 3, Regn ut: Skriv 0,25 som brøk. 5. Regn ut: Regn ut: 18,2 1,2 7. Skriv desimaltallet som har kun to sifre forskjellige fra null: sju på tierplassen og fem på tidelsplassen. 8. Gi eksempel på en brøk som er større enn 1 7 men mindre enn Skriv 87 % som desimaltall. 10. Regn ut: (3 5,5) Tegn to forskjellige rektangler, begge med areal 5 cm Hvor mange grader er vinkelsummen i en firkant? 13. Avgjør om regneuttrykkene (36: 180): 30 og 36: (180 30) gir samme resultat. 14. Hvilket tall er størst, eller? Hvor mye er en femdel av tre millioner? 16. Vis på en tallinje korrekt plassering for følgende tre tall: Regn ut volumet til et prisme med høyde 3 cm, og som har kvadratisk grunnflate med sidelengder 2 cm. 18. Hvor mange cm 2 er det i 2,05 dm 2? 19. Skriv 330 desiliter som liter. 20. Skriv tallet ,005 med bokstaver. 6

7 Vår Skriv riktig tall i rutene: 38,42 = Skriv følgende desimaltall i stigende rekkefølge: 0,641 0,64 0,604 0,6 0, Skriv det neste tallet i tallfølgen: 0, 3 0,6 0,9 4. Regn ut: 1001,04 2, Regn ut: Regn ut: 0,24 0,04 7. Skriv 4 som desimaltall og som prosent På figuren under ser vi at en brøkdel av rektangelet er fargelagt. Gjør brøkdelen om til desimaltall. Dere skal skrive både brøken og desimaltallet. 9. Hasse kjøper 0,8 kg mandler til 46 kr pr. kg. Hvor mye skal Hasse betale? 10. Et tre som er 2,6 m høyt har i løpet av ett år vokst med 30 %. Hvor høyt var treet for ett år siden? 11. Regn ut: 6 ( ) 12. Hvilken brøk er størst, eller 58 59? 13. Regn ut og forkort hvis det er mulig: Regn ut og forkort hvis det er mulig: 9 4 : Regn ut og forkort hvis det er mulig: ( 1 : ) Et kvadrat har et areal på 25 cm 2. Hvor lange er sidene i kvadratet? 17. Hvor mange dl er det i 3 dm 3? 18. Regn ut: 2 kg + 4 hg + 30 g. Oppgi svaret i gram. 19. Et prisme har volum på 0,1 m 3 og en grunnflate med areal på 20 dm 2. Hva er høyden i prismet? 20. I en trekant er grunnlinjen 5 cm og høyden 4 cm. Regn ut arealet. 7

8 Høst Skriv riktig tall i svarruten: 6,7 = Skriv et tall mellom 0,45 og 0, Adder 0,3 til 9, Regn ut: 782 : Regn ut: 0,2 0,3 6. Skriv 7 % som brøk og som desimaltall. 7. På figuren til høyre ser vi at en brøkdel av et rektangel er fargelagt. Hvilken brøkdel er det, og hvor mange prosent tilsvarer det? 8. Hva er kiloprisen for biff dersom 0,6 kg koster 180 kr? 9. I fjor kjøpte Niklas en klokke til 780 kroner. Nå har han sett at den koster hele 819 kroner. Hvor stor er den prosentvise økningen i prisen? 10. I en klasse på 30 elever var det en dag 6 elever som var fraværende. Hvor stor prosentandel av elevene var tilstede i klassen den dagen? 11. Regn ut: (12 2 3) : Ordne disse tallene i stigende rekkefølge: 3, 98, 7, 1, Regn ut og forkort hvis mulig: 14. Regn ut og forkort hvis mulig: = = 15. Regn ut og forkort hvis mulig: 1 2 : ( ) = 16. Et rektangel har et areal på 56 cm 2. Rektangelet er 8 cm langt. Hvor bredt er rektangelet? 17. Hvor mange cm 2 er det i 0,6 dm 2? 18. Hvor mange minutter er 0,4 timer? 19. Regn ut: 4 dl + 2,3 l + 17,8 cl. Oppgi svaret i dl. 20. I en rett sirkulær kjegle er arealet av grunnflaten 30 dm 2 og høyden 1 m. Regn ut volumet til kjeglen. Gi svaret i liter. 8

9 Vår Skriv de tre neste tallene i rekken: 9,907 9,908 9, Hvilket tall er størst: trettitre tusendeler eller fire hundredeler? 3. Regn ut: Regn ut: 0, , Regn ut: Regn ut: 8,02 0,9 7. En klokke koster 680 kr, men prisen blir satt ned med 15 %. Hva blir den nye prisen? 8. Prisen på en bukse økte fra 100kr til 250kr. Hvor mange prosent økte prisen? 9. Regn ut: (5 7,5) (4.5 2,5) Regn ut: (1 + 9) Gi eksempel på en brøk som er mellom 1 2 og Hvor mye er en fjerdedel av en seksdel? Gi svaret på brøkform. 13. Skriv 0,3 som brøk. 14. Regn ut: 15. Regn ut: = 3 2 : 3 = 16. En terning har side 1cm. Hva er volumet av terningen? 17. Et rektangel har areal 48 cm 2. Den ene siden er 12 cm, hvor lange er de tre andre sidene? 18. Regn ut volumet til en sylinder med høyde 3 cm, og radius lik 2 cm i grunnflaten. 19. En pose med tomater veier 9 hg og 20 g. Hvor mye mangler det på at den skal veie 1 kg? 20. Hvor mange cm 2 er det i 14,01 dm 2? 9

10 Høst Skriv det neste tallet i tallfølgen: 0,4 0,6 0,8 2. Skriv følgende desimaltall i stigende rekkefølge: 0,321 0,32 0,302 0,3 0, Skriv riktig tall i rutene: 69,82 = Skriv 2 som desimaltall og som prosent Regn ut: Regn ut: 3 ( ) 7. Regn ut: 905,08 9, Regn ut: 0,64 0,08 9. I en dropspose er det bare røde og gule drops. 2 av dropsene i posen er røde. De andre 12 5 dropsene er gule. Hvor mange drops er det i posen? 10. Noah kjøper 0,8 kg epler til 25 kr pr. kg. Hvor mye skal Noah betale? 11. Anna kjøper en sykkel på salg og får 30 % avslag. Hun betaler 2500 kr for sykkelen. Hva var prisen før hun fikk rabatt? 12. Regn ut og forkort hvis det er mulig: ( 1 2 : ) Regn ut og forkort hvis det er mulig: I en trekant er grunnlinjen 9 cm og høyden 2 cm. Regn ut arealet. 15. Hvilken brøk er størst, eller 67 68? 16. Regn ut og gjør om svaret til uekte brøk: 7 8 : Hvor mange dl er det i 0,3 dm 3? 18. I et rektangel er de korte sidene 1 cm kortere enn de lange sidene. Rektangelet har et areal på 20 cm 2. Hva er omkretsen på rektangelet? 19. Regn ut: 2 l + 8 dl + 90 ml. Oppgi svaret i desiliter. 20. En terning har volum på 1 m 3. Hvor lange er sidene i terningen? 10

11 Vår Skriv riktig tall i ruta: 348,5 = Regn ut: 300,6 258,8 3. Regn ut: 252: 1,2 4. Regn ut: 2,3 (20 % av 2,3) 5. Kari har 8 kg småsjokolader som skal pakkes i poser. Hver pose skal inneholde 0,25 kg. Hvor mange poser får hun fylt opp? 6. Hvilke tall peker pilene A, B og C på? Du kan selv velge om du vil skrive tallene som desimaltall eller brøk. 7. Hvilken brøk er størst, eller? Begrunn svaret Skriv desimaltallet 2,81 som uekte brøk. 9. Regn ut og skriv svaret enten som desimaltall eller brøk: 3 + 0,7 + 0,2 0,1 = Regn ut og forkort hvis mulig: Regn ut og forkort hvis mulig: Regn ut og forkort hvis mulig: ( ) : Regn ut: 8 9 (20 3) 14. Hvor mye er 20 % av 4 kg. Oppgi svaret i gram. 15. Prisen på en vare som kostet 240 kr gikk opp med 60 kr. Finn prisstigningen i prosent. 16. Prisen på en bukse ble satt ned med 30 %. Prisavslaget var på 270 kr. Hva var opprinnelig pris på buksa? 17. Et rett prisme har et rektangel som grunnflate. Lengden på dette rektangelet er 10 cm og bredden 8 cm. Høyden til prismet er 1 dm. Finn volumet til prismet. 18. I et rektangel er lengden dobbelt så lang som bredden. Omkretsen av rektangelet er 24 cm. Finn arealet av rektangelet. 19. Hvor mange ml er 0,6 dl? 20. Regn ut: 1,07 km m. Oppgi svaret i km. 11

12 Høst Adder 0,2 til tallet 5,88 og skriv svaret. 2. Regn ut. Du kan selv velge om du vil skrive svaret som desimaltall eller brøk: ,3 3. Regn ut: Regn ut: 8,4 : 0,21 5. Regn ut: 0,5 0,2 6. Aslak skal kjøpe 0,7 kg kjøttdeig. Kjøttdeigen koster 90 kr pr kg. Hvor mye må Aslak betale? 7. Hvis det er mulig, finn en brøk som er større enn 1 3, men mindre enn Skriv følgende desimaltall i stigende rekkefølge: 0,4 3,2 0,08 0,124 0,12 0,42 0,4 9. Skriv 0,3 som brøk og som prosent. 10. Petters høyde våren 2014 var 160 cm. Et år senere hadde han strukket seg til 168 cm. Hvor mange prosent hadde han vokst dette året? 11. Etter en lønnsøkning på 8 % har Kari nå en timelønn på 216 kr. Hva var timelønnen hennes før lønnsøkning? 12. Regn ut og forkort hvis mulig: Regn ut og forkort hvis mulig: Regn ut og forkort hvis mulig: Regn ut: ( ) ( ) 16. Hvor mye er 10 % av 2,4 tonn. Oppgi svaret i kilogram. 17. Finn arealet til en trekant med grunnlinje 2 dm og høyde 12 cm. 18. Arealet av et kvadrat er 25 cm 2. Hvor stor omkrets har kvadratet? 19. Hvor mange cm 2 er det i 5,9 dm 2? 20. Regn ut: 546 g+0,3 kg + 1,154 kg. Oppgi svaret i kilogram. 12

13 Eksamensoppgaver Del 2 til matematikkeksamen skriftlig Den skriftlige eksamen i matematikk er to-delt. Hver del må bestås for at eksamen samlet sett skal være bestått. Ved bestått eksamen fastsettes karakteren på bakgrunn av prestasjonen på eksamenens Del 2. Del 1 Grunnleggende matematikk Del 1 består av grunnleggende oppgaver innenfor tallregning, måling og geometri. Her vektlegges først og fremst at du kan komme frem til rett svar ved en korrekt utregning. Det spørres ikke etter detaljerte forklaringer. Siden Del 1 består av svært grunnleggende oppgaver, stilles det også svært strenge krav for å bestå Del 1. Alle deloppgaver gir 1 poeng. Totalt 20 poeng. Grensen for å bestå Del 1 er 85 % (17 av 20 poeng). Del 2 - Dybdeforståelse i matematikk og matematikkdidaktikk Hensikten med Del 2 er å gi deg mulighet til å vise matematikkfaglig og matematikkdidaktisk dybdeforståelse. Ved sensuren vil det blant annet bli lagt vekt på klarhet, resonnement og valg av relevante eksempler. Det forventes at du viser at du kan bruke din kunnskap i matematikk i en undervisningssammenheng. Del 2 vurderes med kriteriene for bokstavkarakter som er beskrevet i fagplanen for Matematikk. Denne seksjonen består av eksamen del 2 fra og med Her kan du øve på liknende oppgaver som vil komme i del 2. 13

14 Vår 2011 Oppgave 1 7-tallsystemet er et posisjonssystem på lik linje med vårt 10-tallsystem. a. Sett opp de 35 første tallene i 7-tallsystemet og oversett følgende tall til 7-tallsystemet: b. Regn ut i 7-tallsystemet i = ii = iii = iv : 16 7 = Oppgave 2 a. Hva er en regulær mangekant? Sett navn på regulær trekant og regulær firkant. Beskriv forskjeller og likheter i egenskapene til firkantene: i. Rektangel og regulær firkant ii. Rombe og regulær firkant b. En elev sier til en medelev: En kan si at et parallellogram er et rektangel. Medeleven er uenig i dette. Du som lærer overhører samtalen og bryter inn. Hva sier du til elevene? Begrunn svaret ditt. c. Fig 1 Fig 2 Fig 3 i. Hva heter figur 1, 2 og 3? ii. Definer hva vi mener med hjørne, kant og flate. d. Tegn en terning i fugleperspektiv. Vis alle hjelpelinjer i tegningen din. e. Hvordan vil du forklare for barn hva speilsymmetri er? Vis hvordan du vil speile bokstaven L om en linje. f. Forklar hvorfor alle kvadrat er formlike med hverandre. 14

15 Oppgave 3 Figuren nedenfor viser de tre første hundetallene, tall i en tallfølge som utvikler seg etter en bestemt regel. a. Finn antall svarte ruter i det tredje hundetallet, H 3. Beskriv med ord utviklingen av figurtallene i denne følgen. Bruk ord som er forståelig for en som har gode matematiske kunnskaper, men som ikke kjenner til figurtall. b. Finn en eksplisitt formel for figurtallene i denne følgen, og forenkle formelen så mye som mulig. Forklar din resonnement, og sjekk at din formel stemmer for de tre første hundetallene. c. Tegn opp de tre første figurtallene med formel F n = 2T n + K n+1, hvor T n er det n-te trekanttallet, og K n er det n-te kvadrattallet. Forenkle formelen så mye som mulig. Oppgave 4 a. Forklar kort hva vi mener med diagnostisk undervisning. b. Hvilket svaralternativ er rett i oppgave i? Ta utgangspunkt i ett av de gale svaralternativene og forklar hvordan elevene som svarer dette alternativet kan ha tenkt. i. Hva betyr sifferet 8 i 0,6080? A. 8 hundredeler B. 8 tideler C. 80 hundredeler D. 8 tusendeler E. 80 tusendeler Oppgave 5 a. Guro går på 1. trinn. Hun sliter med tallsymbolene fra 5 og oppover. Tallsymbolene er abstrakte og Guro trenger hjelp til å forstå meningen bak tallsymbolene. Hvordan kan du som lærer hjelpe Guro? b. Hva vil det si å kunne telle? Hvordan kan du som lærer finne ut om elevene dine kan telle? c. Vis 3 ulike strategier Kasper på 2. trinn kan bruke på regnestykket =. Forklar hva som er fordelen med de ulike strategiene. d. Vis ved bruk av tom tallinje følgende regnestykker: i = ii = e. Løs oppgaven 32 = + 17 og forklar hvorfor oppgaven er prealgebraisk. 15

16 Høst 2011 Oppgave 1 5-tallsystemet er et posisjonssystem på lik linje med vårt 10-tallsystem. a. Oversett følgende tall til 5-tallsystemet: i. 25 ti ii. 785 ti b. Oversett følgende tall til 10-tallsystemet. i. 100 fem ii fem c. Regn ut i 5-tallsystemet (uten å oversette til 10-tallsystemet): i. 444 fem fem = ii. 43 fem 34 fem = iii. 24 fem 343 fem = iv fem 11 fem = Oppgave 2 a. Diagnostisk oppgave i. Når bruker en diagnostiske oppgaver i undervisningen og hva er formålet (skriv ii. ca. en halv side)? Gi et eksempel på en oppgave som er diagnostisk og en som ikke er det. b. Hvilket svaralternativ er rett i oppgave i og hvorfor? i. Hva betyr sifferet 2 i 0,2060? A. 2 hundredeler B. 2 tideler C. 206 hundredeler D. 2 tusendeler E hundredeler Oppgave 3 a. Hva vil det si å ha god tallforståelse opp til tallet 10 (skriv ca. en halv side)? b. Tenk deg at du som lærer skal vise hvordan man kan regne ut regnestykkene i-iv ved hjelp av 3 ulike metoder. Du skal bruke den tomme tallinja, grupperingsmodellen og standardalgoritmen (du skal bruke alle tre metodene på alle fire regnestykkene). Du skal vise elevene dine hvordan de kan bruke de ulike metodene så enkelt og effektivt som mulig. a = b = c = d = Oppgave 5 (Oppgave 4 er på neste side) a. Tegn opp de fire første figurtallene i en tallfølge der figurtall nr. 1 består av kvadrattall nr. 1 og trekanttall nr. 2. Figurtall nr. 2 består av kvadrattall nr. 2 og trekanttall nr. 3 osv. b. Finn en eksplisitt formel for figurtallene i denne følgen, og forenkle formelen så mye som mulig. 16

17 Oppgave 4 a. Fullfør figuren nedenfor ved å fargelegge så få ruter som mulig slik at mønsteret dannet av de svarte rutene blir speilsymmetrisk om linjen m. Dersom mønsteret du kommer til har flere symmetrier, beskriv disse symmetriene. b. Gi eksempel på en aktivitet knyttet til geometri, som kan organiseres slik at den spenner over mist to forskjellige van Hiele nivåer av geometrisk forståelse. Hvilke to nivåer tenker du på, og hvorfor mener du at aktiviteten passer for begge? c. Bruk en av kongruenssetningene for å begrunne at diagonalene i et kvadrat er like lange. d. En lærer planlegger undervisning om prismebegrepet. Gjør kort rede for tre aspekter som bør ivaretas, slik at elevene skal få et godt utviklet prismebegrep. e. Tegn i ettpunktsperspektiv en enkel trapp med to trinn (slik som den i figuren nedenfor). Du bestemmer selv hvor du betrakter trappen fra. Vis alle hjelpelinjer i tegningen din. f. Mangekantene nedenfor skal klassifiseres etter bestemte kriterier. Gi tre eksempler på mulige klassifiseringskriterier. Dine eksempler må vise en progresjon fra enkle kriterier, til mer avanserte eller sammensatte. 17

18 Vår 2012 Oppgave 1 a. Hvilke sifre brukes i firetallsystemet? Forklar kort hvordan firetallsystemet er bygget opp. Skriv opp de atten første tallene i firetallsystemet. b. Gjør utregningene nedenfor i firetallsystemet: i fire fire ii fire 1332 fire iii. 232 fire 213 fire iv fire : 2 fire Oppgave 2 Nedenfor ser du de tre første rottetallene. a. Hvordan vil du beskrive utviklingen for elever? b. Tegn den fjerde figuren. c. Finn eksplisitt formel for rottetall nummer n, R n. Formelen skal forenkles mest mulig. Oppgave 3 Vi tenker oss at den høye pipa utenfor står på et vannrett underlag. Videre tenker vi oss at sola en gang på ettermiddagen gjør at skyggen av pipa er tretti meter lang. Dersom vi setter en fire meter høy stang ved siden av pipa, vil den kaste en skygge på seks meter. a. Hvor høy er pipa ut fra forutsetningene ovenfor? b. Beskriv kort en annen måte vi kunne målt høyden av pipa på. Oppgave 5 (Oppgave 4 på neste side) a. Skriv bokstaven L og avsett et punkt utenfor bokstaven. Roter bokstaven om dette punktet, 90 mot klokken. b. Gi eksempel på en aktivitet med klassifisering av geometriske former. Vis tydelig hvilke former du ønsker å bruke og begrunn dine valg. Gjør kort rede for hensikten med en slik aktivitet. c. Tegn et rett rektangulært prisme i froskeperspektiv. Vis alle hjelpelinjer i tegningen din. 18

19 Oppgave 4 Noen elever har en misoppfatning om at høyden i en trekant må være et linjestykke tegnet vertikalt fra trekantens hjørne som er plassert høyest på arket. a. Nedenfor ser du to oppgaver. Avgjør for hver av dem om de er diagnostiske for denne misoppfatningen eller ikke det. Begrunn svaret ditt. Oppgave A: Regn ut arealet av trekanten nedenfor. Oppgave B: Regn ut arealet av trekanten nedenfor. b. Hvordan du kan legge til rette for at en elev med den misoppfatningen opplever en kognitiv konflikt? Oppgave 6 a. Regn ut ved å bruke tre forskjellige metoder, hvorav nøyaktig én metode må være bruk av den tomme tallinjen. Drøft kort de tre metodene med utgangspunkt i utregningene dine. b. En elev regner slik: Kommenter svaret, og gjør kort rede for hvordan du kunne hjelpe denne eleven. c. Bruk en vanlig tallinje (ikke tom tallinje) til å regne ut følgende regnestykker: i ii d. Elever i første klasse skal lære at addisjon er kommutativ. Hvordan kan læreren legge til rette for det? Hvilken annen egenskap ved addisjon bør disse elevene kjenne til? 19

20 Høst 2012 Oppgave 1 Regn ut i sekstallsystemet: a. 101 seks seks seks b. 45 seks 123 seks c. 123 seks 45 seks d seks : 5 seks Oppgave 2 Nedenfor er de tre første «Trapestallene»: T 1 T 2 T 3 a. Tegn figur nummer fire. b. Gi en begrunnelse for at figurene er kalt «Trapestall». c. Regn ut eksplisitt formel. Oppgave 3 a. Konstruer en firkant ABCD, der alle sidene er 8 cm. Vinkel A er 60 grader. b. Hva kalles figuren? (Har den flere navn?) c. Konstruer normalen fra D på AB. d. Kall skjæringspunktet mellom normalen og AB for E. Begrunn at AE er 4 cm. Oppgave 4 En elev regner slik: a. Gi eksempel på et annet regnestykke læreren kan gi denne eleven for å kunne slå fast om dette svaret skyldes en misoppfatning eller en tilfeldig feil. b. Hvordan du kan legge til rette for at denne eleven skal oppleve en kognitiv konflikt? c. Til oppgaven skal du skrive tre forskjellige tekstoppgaver som illustrerer forskjellige additive strukturer. 20

21 Oppgave 5 a. Skriv en liste over egenskapene til parallellogrammer. Egenskapene skal omhandle sider, diagonaler og vinkler. b. Skriv en definisjon for begrepet parallellogram. Definisjonen skal være i form av nødvendige og tilstrekkelige betingelser. c. I læreplanen LK06 står det spesifisert at etter 4. årstrinn skal elevene kunne «bruke ikkje-standardiserte måleiningar og forklare føremålet med å standardisere måleiningar». Ta utgangspunkt i begrepet areal, forklar hva som menes med ikkestandardiserte og standardiserte måleenheter og beskriv en aktivitet som kan bidra til at elevene oppdager hensikten med standardisering. Oppgave 6 a. En elev kan telle til hundre og kan skrive tallsymbolene for tallene fra null til ni. Skriv kort et forslag til hvordan en lærer kan introdusere denne eleven for skrivemåten for flersifrede tall på en meningsfylt måte. b. En lærer ber elevene sine om å regne i hodet. Skriv ned to forskjellige eksempler på hvordan elevene kan gå fram, og bruk disse eksemplene som utgangspunkt for å omtale hoderegningsstrategier. c. Hvordan kan man arbeide med likninger tidlig på barnetrinnet? Begrunn kort svaret ditt. 21

22 Vår 2013 Oppgave 1 a. Hvor mange rundinger vises i figuren nedenfor? Skriv antallet i ti-, seks- og totallsystemet. For hvert av disse tallsystemene tegn rundingne over på ditt ark og vis hvordan gruppering etter grunntallet danner grunnlaget for skrivemåten. b. Regn ut uten å gjøre om til titallsystemet: i. 21 fire + 13 fire ii to 111 to iii fem : 13 fem c. Vis en av utregningene du gjorte i oppgave b. ved hjelp av konkreter. Oppgave 2 Husk at vi bruker notasjonen K n for kvadrattall nummer n, T n for trekanttall nummer n. a. To studenter jobber med å finne en eksplisitt formel for «pacmantallene», et visuelt tallmønster illustrert nedenfor. Per skriver at antall prikker i n-te pacmantall er K n+1 + T n + n(n + 1) mens Pål skriver at det er 2 K n T n 1. Sjekk om de kan være på riktig spor ved å regne ut hva de to formlene gir for det tredje pacmantallet og å sammenlikne med antall prikker i tredje figuren. b. Finn selv en eksplisitt formel for i n-te pacmantall, og forenkle det så mye som mulig. c. Bruk av visuelle tallmønstre (figurtall) er omtalt i pensumlitteraturen som «en lovende metode for å føre elevene inn i algebra». Lag et konkret eksempel på en aktivitet i prealgebra som tar utgangspunkt i visuelle tallmønstre. Begrunn kort (maksimum halv side) hvorfor denne aktiviteten forbereder elevene til arbeid med algebra. Oppgave 3 a. Lag tre forskjellige regnefortellinger til subtraksjonstykket 9 5 = 4 hvor du i hver fortelling varierer på hvilke tall som er ukjent. De tre regnefortellingene skal illustrere tre forskjellige additive strukturer. Spesifiser hvilke additive strukturer du velger å bruke i hvert tilfelle. 22

23 b. I LK06 står det at elevene skal kunne etter 4.årsteg «utvikle og bruke ulike reknemetodar for addisjon og subtraksjon av flersifra tal både i hovudet og på papiret». Hvordan vil du som lærer ivareta dette kompetansemålet med utgangspunkt i følgende oppgave: ? Vis og forklar tre ulike måter å løse oppgaven på uten å bruke standardalgoritmen. Den ene av måtene skal være ved bruk av tom tallinje. c. Hvilken misoppfatning har Ola som løser addisjonsoppgaver slik: 5,9 + 2,2 = 7,11? Hvordan kan diagnostisk undervisning brukes for å hjelpe elever som Ola? Oppgave 4 a. Dersom det er mulig, skal du tegne et eksempel på en firkant som tilfredsstiller beskrivelsen. Tegningen din må være nøyaktig. Hvis det ikke er mulig å gi et eksempel, da skal du forklare hvorfor. i. En firkant som ikke er konveks og som ikke er en drake ii. En rombe som ikke er et parallellogram iii. Et trapes som også er en drake iv. Et rektangel som ikke er et kvadrat b. Lag en oppgave som omhandler tredimensjonale former. Oppgaven skal være av samme type som oppgaven over, men skal ha kun to underpunkter i-ii. Du skal også løse din egen oppgave, men her kan eksemplene gis som skisser (ikke nøyaktige tegninger) supplert av en kort forklaring. c. Betrakt hvert av flaggene nedenfor og finn alle symmetriene. Du kan skissere flaggene over på ditt ark hvis du trenger en illustrasjon når du beskriver symmetriene. Flagg A Flagg B Flagg C Oppgave 5 a. Konstruer ABE når AB = 8,0 cm, vinkel A = 30 og vinkel B = 60. Hvilken type trekant har du konstruert? b. Begrunn hvorfor BE blir 4,0 cm og regn ut AE. c. Konstruer normalen fra E på AB. Normalen treffer AB i F. ABE er en del av firkanten ABCD der diagonalene skjærer hverandre i E. CE = 4,2 cm og CD er parallell med AB. d. Konstruer resten av firkanten og skriv forklaring til hele konstruksjonen. e. Bevis at ABE er formlik med CDE. 23

24 Høst 2013 Oppgave 1 a. Regn ut i oppgitt tallsystem, uten å gjøre om til titallsystemet: i. 25 syv + 14 syv ii. 100 seks 22 seks iii. 203 fem 13 fem b. Skriv 2013 i åttetallsystemet. Skriv ditt eget fødselsår i samme tallsystem. Finn differansen i åttetallsystemet. Regn om differansen til titallsystemet. Hvordan kan du vurdere om dette stemmer? Oppgave 2 a. Løs oppgaven: på to ulike måter uten å bruke standardalgoritmen. Den ene av måtene skal være ved bruk av tom tallinje. b. Forklar løsningene eleven har brukt i oppgaven nedenfor. Hvilke misoppfatninger har elever som løser slike oppgaver på denne måten? Hvordan ville du jobbe med elever som har slik misoppfatning? = 223 c. En elev har oppgaven: på følgende måte: Hvordan kan denne eleven ha tenkt? Er dette en algoritme som alltid vil fungere? Oppgave 3 a. ABC er en likesidet trekant der AB = 6 cm. Konstruer trekanten og beskriv kort hvordan du går fram. Høyden fra C treffer AB i punktet D og høyden fra A treffer BC i punktet E. De to høydene skjærer hverandre i punktet F. b. Konstruer de to høydene og finn punktet F. c. Regn ut CD. d. Argumenter for at ADF og CEF er formlike. 24

25 Oppgave 4 a. Vi bruker notasjonen K n for kvadrattall nummer n. Du jobber med figurtall, og sammenlikner løsningen din med løsningen til en medstudent. Der hvor du skrev K n+1 skrev din medstudent K n + 1. Kan begge ha rett? Begrunn. b. Figur A viser de tre første plassene N 1, N 2, og N 3 i et visuelt tallmønster. Hvordan ser N 4 ut hvis dette mønsteret fortsetter? Figur A c. Finn en eksplisitt formel for antall prikker i N n og forenkle formelen så mye som mulig. Hvor mange prikker er det i N 17? 25

26 Oppgave 5 Bruk ruteark for denne oppgaven. Besvar oppgavene a og b og diskuter i hvert tilfelle om oppgaven er en lukket oppgave med entydig fasitsvar eller er en åpen oppgave. a. Kopier Figur B på ditt ark. Bruk rutene for å gjennomføre følgende sekvens av kongruensavbildninger, du trenger ikke forklare ytterlige fremgangsmåten for avbildning. Speil bokstaven L om linje c. Roter det du får om punkt O, 90 med klokka. Speil resultatet om linje d. Figur B b. Figur C viser bokstaven L skrevet to steder på ruteark. Hvis det er mulig, finn en sekvens med kongruensavbildninger som tar L-bokstaven nederst i Figur C opp på L-bokstaven øverst i Figur C. Figur C 26

27 Oppgave 6 a. Sant eller usant? For hver av påstandene nedenfor bestem sannhetsverdien og begrunn kort. i. Enhver firkant med diagonaler som danner rette vinkler med hverandre er en rombe. ii. Noen romber er rektangler. iii. Ethvert parallellogram har diagonaler som er like lange. iv. Alle prismer har parallellogrammer som grunnflater. b. Skriv selv to påstander knyttet til hovedområdet måling, avgjør om de er sanne eller ikke. Med utgangspunkt i dine eksempler, drøft kort hva som kan være den hensikten med å bruke slike oppgaver som går ut på å vurdere om en påstand er sann. 27

28 Vår 2014 Oppgave 1 a. I hvilke tallsystem blir hvert av regnestykkene nedenfor riktig (det er ulikt tallsystem i hver deloppgave)? i = 23 ii. 4 4 = 20 iii = 3 b. Regn ut uten å gjøre om til titallsystemet: i. 412 fem fem ii tre 212 tre iii. 26 syv 43 syv c. Løs ligninene under: i x = 143 2x ii. 2x + 5x = 17 x d. Vis hvordan en ved hjelp av grupperingsmodell og lineær modell kan regne ut følgende oppgaver: i ii Oppgave 2 Nedenfor er det tegnet to sirkler A og B. Diameteren i A er lik radius i B. Omkretsen til B er større enn omkretsen til A. Hva kan du si om omkretsen til B i forhold til omkretsen til A? Den er dobbelt så lang Den er tre ganger så lang Den er fire ganger så lang Den er lengre, men det kan ikke bestemmes nøyaktig hvor mye lengre a. Svar på oppgaven over og begrunn svaret ditt. b. En elev har regnet ut følgende: 1,3 + 2,8 = 3,11. Forklar hvordan eleven trolig har tenkt. Forklar hva diagnostiske oppgaver er. c. Hvordan kan du lage en aktivitet som kan bidra til å skape en kognitiv konflikt knyttet til elevsvaret i oppgave b. 28

29 Oppgave 3 S 1 S 2 S 3 Ovenfor ser du de tre første satellitt-tallene. a. Kan du med dine egne ord forklare hvordan figuren vokser? b. Hvor mange prikker inneholder S 6? c. Hva blir eksplisitt formel til S n? d. Tegn de tre første figurene som hører til denne eksplisitte formelen H n = 2K n + T n+1. Oppgave 4 a. Konstruer en firkant ABCD der AB er 6 cm, BAC = 30 og B = 60. CD er parallell med AB. Oppreis en normal fra A. b. Hvor lang er AC? Rund av svaret til nærmeste hele tall. c. Hva kalles denne firkanten? Regn ut omkretsen. d. Vis at ABC er formlik med ΔACD. Oppgave 5 a. Hvilke symmetriegenskaper har figuren nedenfor? b. Tegn en trekant som vist under og speil den om en skrå linje som ikke er parallell med noen av trekantens sider. 29

30 Høst 2014 Oppgave 1 a. I hvilke tallsystem blir hvert av regnestykkene nedenfor riktig (det er ulikt tallsystem i hver deloppgave)? i = 13 ii = 10 iii = 14 b. Regn ut uten å gjøre om til titallsystemet: i. 211 fire fire ii tre 222 tre iii. 24 seks 13 seks c. Løs ligningene under. Ligningene er i 5-tallsystemet. i. 4 fem + X = 14 fem ii. X + 11 fem = 132 fem iii. 2 fem X = 11 fem d. Regn ut følgende oppgaver ved hjelp av tom tallinje og begrunn hoppene dine. i ii Oppgave 2 En elev regner ut følgende: 0,6 + 0,6 = 0,12. a. Forklar hvordan eleven trolig har tenkt. b. Beskriv hvordan du som lærer kan skape en kognitiv konflikt hos eleven. c. Forklar hvilken rolle slike kognitive konflikter har i diagnostisk undervisning. Oppgave 3 a. Konstruer en firkant ABCD, der AB = 8cm. C ligger like langt fra A som fra B og 5 cm fra AB. D ligger 4 cm fra AC og 5 cm fra A. CAD er spiss. b. Hvor lang er BC? Begrunn svaret ditt. c. Regn ut omkretsen og arealet til ABCD. 30

31 Oppgave 4 Figurene nedenfor er laget med fyrstikker. a. Beskriv utviklingen i figurtallene. b. Finn ut antall fyrstikker i F 6. c. Finn den eksplisitte formel til F n. Oppgave 5 a. Hvilke symmetrier inneholder figuren nedenfor? b. Hvordan vil du beskrive en regulær åttekant? c. Regn ut hjørnevinkelen i en regulær åttekant. d. Lise på 3. trinn påstår at en rombe er et parallellogram. Har Lise rett i det? Begrunn svaret ditt. 31

32 Vår 2015 Oppgave 1 a. Forklar oppbyggingen av et posisjonssystem, der du bruker sekstallsystemet som eksempel, og bruker tallet 251 seks for å illustrere. b. Regn ut 234 seks + 42 seks. Vi utregning. Kontroller deretter svaret ved å regne om til titallsystemet. c. Regn ut hva 243 ti blir i sekstallsystemet. Vis utregning. Oppgave 2 a. Illustrer tallfølgen 1, 5, 9, 13, som utviklingen av figurtall. Tegn figurer som kan illustrere de tre første tallene i følgen. b. Finn en eksplisitt formel for tallfølgen i a. oppgaven. Forklar hvordan du tenker. c. En student, Nils, har illustrert de tre første tallene i en tallfølge som «Nilstall». Se under. Hvordan vil du beskrive utviklingen av figurtallene til Nils med ord? d. Finn en eksplisitt formel for «Nilstall» nummer n, og forenkle formelen så mye som mulig. Oppgave 3 a. Redegjør kort for hvilke ferdigheter barn må ha for å kunne telle meningsfullt. b. Vis tre ulike tellestrategier barn vil kunne bruke for å finne summen av 4 og 6. c. Hvordan kan vi jobbe med likninger på barnetrinnet? Ta med eksempler på oppgaver og redegjør for hvorfor der er viktig å jobbe med likhetstegnets betydning. Skriv maksimum 1,5 sider på denne deloppgaven. d. Løs likningssettet under på to ulike måter. x + y = 8 2x + 4y = 26 32

33 Oppgave 4 a. Tegn et linjestykke AB = 7 cm. Finn de punktene (ved konstruksjon) som ligger like langt fra A som fra B. Hvilke(t) geometrisk(e) sted(er) har du bruk for å gjøre denne konstruksjonen? b. Kall de punktene du fant i oppgave a. for C og D. Se på firkanten ABCD. Har denne firkanten et spesielt navn? Begrunn svaret ut fra definerende egenskaper. Er denne figuren også et spesialtilfelle av andre geometriske figurer? Begrunn i så fall dette. Oppgave 5 a. Konstruer en trekant ABC der AB = 8 cm, vinkel B = 60 og vinkel C = 90. b. Hvor lang er BC? Begrunn svaret. Regn ut lengden til AC. c. Nedfell normale fra C til AB og kall skjæringspunktet mellom normalen og AB for D. Forklar hvorfor trekant ABC er formlik med trekant CBD. d. Regn ut lengden til CD. e. Finn forholdet mellom arealet av trekant BCD og trekant ABC. 33

34 Høst 2015 Oppgave 1 a. I et posisjonssystem med tre som basis (tretallsystemet), skriv en oversikt over alle de hele tallene fra 1 tre til 1000 tre. b. Legg sammen 112 tre og 211 tre og illustrer med enten abakus eller multibasemateriell. c. Regn ut i femtallsystemet: i) 302 fem 33 fem ii) 302 fem 34 fem d. Gjør om 236 ti til femtallsystemet. Forklar fremgangsmåten. Oppgave 2 a. En tallfølge er gitt som: F n = K n+1 + 2T n + 4n der K n+1 er kvadrattall (n + 1) og T n er trekanttall nummer n. Tegn tre figurer som kan illustrere de tre første tallene i tallfølgen F. Det må være mulig å se fra figurene hvilke deler som du mener hører til trekanttallene og hvilke deler du mener hører til kvadrattallene. b. De eksplisitte formlene for kvadrattallene og trekanttallene kan skrives som henholdsvis K n = n 2 n(n + 1) og T n =. 2 Finn den eksplisitte formelen til figurtall F n uttrykt ved n og forenkle uttrykket så mye som mulig. Oppgave 3 a. Vis hvordan du ville brukt den tomme tallinje til å regne ut i ii Spesifiser hvilke kunnskaper som kreves for metodene du valgte å bruke i hvert av tilfellene. b. En elev har besvart to oppgaver slik: 7,37 + 4,41 = 11,78 og 4,72 + 2,44 = 6,116. Drøft hvilke misoppfatning(er) eleven kan tenkes å ha? Hva vil du forvente at eleven vil få som svar på oppgaven 9,24 + 1,86? c. Hvordan vil du tilrettelegge for at eleven i b. -oppgaven skal oppleve en kognitiv konflikt og hvordan vil du kunne hjelpe denne eleven videre til en økt forståelse av slike oppgaver? d. Løs likningen 5 + x+3 2 = 9 på to ulike måter. Eksempelvis algebraisk metode, «hold - over» metoden eller «skålvekt» -metoden. Oppgave 4 a. Konstruer en likesidet trekant der sidene er 6 cm. Forklar hvordan du har tenkt. b. Hvilke egenskaper har en likesidet trekant? Tegn også inn symmetrilinjene til trekanten. c. Forklar hvorfor minste katet alltid er halvparten av hypotenusen i en trekant. I en trekant er den korteste kateten 3 cm. Hvor lange er de to andre sidene i trekanten? d. Konstruer en trekant ABC der AB = 7 cm, vinkel B = 60 og avstanden fra C til AB er 3 cm. Hvilke(t) geometrisk(e) sted(er) har du brukt? 34

35 Oppgave 5 a. To elever, Anders og Lisa, jobber med å klassifisere ulike figurer. Anders hevder at figuren under er en trekant mens Lisa mener det er en firkant. Ut fra disse utsagnene beskriv elevenes kompetanse i lys av Van Hieles teori. b. Kopier trekant ABC, linja m og punktet P over til innleveringsarket ditt. Kopien trenger ikke å være helt nøyaktig. Speil trekanten om linja m og kall speilbildet A B C. Dette skal gjøres med passer og linjal. c. Drei trekant A B C 30 om punktet P. Med urviseren. Dette skal gjøres med passer og linjal. 35

36 Fasit til eksamensoppgaver del 1: Vår ) 1 2) 6 3) 96,389 4) 1 5) ) 44,64 7) 0,012 0,1002 0,102 0,12 0,1201 0, ) 2,5 3 10) 16 cm 2 11) 24 cm 12) 12 kr 13) 800 kr 8) ) 0,5 millioner (eller ) 15) 3 (eller en annen likeverdig brøk) 4 16) (eller en annen trekant som har areal 5 cm 2 ) 17) 24 cm 3 18) 1250 dm 2 19) 14 dm = 1,4 m 20) Kvadrat Høst ) 0 2) A: 0,3 = 3 10 B: 0,7 = 7 10 C: 1,3 = = ) 189,379 4) ) 13,25 6) 0,124 7) 0,401 0,041 0,1041 0,4 0,41 0,4103 8) ) Enmilliardtomillionerethundreogtjuetretusen 11) Nei (gi mot eksempel) 12) 0,55 (m.fl.) 13) 1000 kr 14) 0,48 millioner (eller ) 15) Den på 1,5 liter 16) 5 % 9) 0,035 = ) 72 cm 3 18) 8,4 liter 19) Like mye 20) (m. fl.) Vår ) 0,01 2) ) 212,155 4) ) 230 6) 288 7) 0,0375 0,402 0,42 0,85 1,2 8) uendelig mange, f. eks 35 = 1 9) kr 10) 0,407 11) f.eks ) Nei (begrunn hvorfor) 13) Like (lag eksempel med «enklere» tall) 14) 3 15) ) ) 1 8 cm3 18) 950 mm 2 19) 33 dl = 3,3 L 20) 39 Høst ) ) 3,99 4,01 4,03 3) ) = 1 4 5) 30 6) 15,17 7) 70,5 8) 15 = 3 og uendelig mange flere 9) 0,87 10) 12 11) f.eks ) ) Like (lag eksempel med «enklere» tall) 14) 79 15) 0,6 millioner (= ) 80 16) 17) 12 cm 3 18) 205 cm 2 19) 33 L 20) trehundreogfiretusenogtolvogfemtusendeler Vår ) 0,1 og 0,01 2) 0,069 0,6 0,604 0,64 0,641 3) 1,2 4) 998,389 5) ) 6 7) 0,8 = 80 % 8) 6 = 0,6 10 (3 = 0,6) 9) 36,80 kr 10) 2 m 5 11) ) 58 (begrunn) 13) 5 (= ) 14) (= 5 1 ) 15) 6 (= 1 1 ) 16) 5 cm ) 30 dl 18) 2430 g 19) (0,1 m 3 = 100 dm 3 ) h = 5 dm 20) 10 cm 2 36

37 Høst ) 0,7 2) 0,455 (og mange flere) 3) 10,06 4) 34 5) 0,06 6) 7 = 0,07 7) 7 = 70 % 8) 300 kr ) 5 % 10) 24 = 8 = 0,8 = 80 % (tilstede) 11) 3 12) ) 1 14) 17 15) ) 7 cm 17) 60 cm 2 18) 24 minutter 19) 28,78 dl 20) 100 dm 3 = 100 L Vår ) 9,910 9,911 9,912 2) ) ) 2, ) 250 6) 7,218 7) 578 8) 150 % 9) 17 10) 10 3 = ) 3 og uendelig mange flere 12) 1 13) 3 14) (12) 15) (3) 6 16) 1 cm 3 17) 4 cm,4 cm og 12 cm 18) 12π 19) 80 g (0,8 hg, 0,08 kg) 20) 1401 cm 2 Høst ) 1 2) 0,031 0,3 0,302 0,32 0,321 3) 1 og 1 (eller 0,1 og 0,01) 4) 0,4 = 40 % ) ) 60 7) 895,759 8) 8 9) 20 10) 20 kr 11) 3571 kr 12) ) 19 14) 9 20 cm2 15) Vår ) ) 3 dl 18) 18 cm 19) 28,9 dl 20) 1 m 1) 10 2) 41,8 3) 210 4) 1,84 5) 32 6) A = 0,1 B = 0,3 C = 1,2 7) 10 (begrunn) 11 8) ) 1,32 = 10) ) 8 12) 13) ) 800 g 15) 25 % ) 900 kr 17) 800 cm 3 = 0,8 dm 3 18) 32 cm 2 19) 60 ml 20) 2,00 km Høst ) 6,08 2) 0,6 eller 3 3) ) 40 5) 0,1 6) 63 kr 7) f. eks ) 3,2, 0,4, 0,08, 0,12, 0,124, 0,4, 0,42 9) 3 = 30 % 10) 5 % 10 11) 200 kr 12) 7 13) 14 14) 3 15) ) 240 kg 17) 1,2 dm 2 = 120 cm ) 20 cm 19) 590 cm 2 20) 2,0 kg Fasit til eksamensoppgaver del 2: Vår a) 1 syv, 2 syv, 3 syv, 4 syv, 5 syv, 6 syv, 10 syv, 11 syv, 12 syv, 13 syv, 14 syv, 15 syv, 16 syv, 20 syv, 21 syv, 22 syv, 23 syv, 24 syv, 25 syv, 26 syv, 30 syv, 31 syv, 32 syv, 33 syv, 34 syv, 35 syv, 36 syv, 40 syv, 41 syv, 42 syv, 43 syv, 44 syv, 45 syv, 46 syv, 50 syv 35 ti = 50 syv 985 ti = 2605 syv b) i syv ii. 604 syv iii syv iv. 265 syv 2. c) i. Figur 1: Kjegle, figur 2: pyramide, figur 3: rett rektangulært prisme 3. a) H 3 = 39 b) K n + 2R n + 2n = 3n 2 + 4n c) F n = 2T n + K n+1 = (n + 1)(2n + 1) = 2n 2 + 3n b) D 5. e) 15 37

38 Høst a) i. 25 ti = 100 fem ii. 785 ti = fem b) i. 100 fem = 25 ti ii fem = 388 ti c) i fem ii. 4 fem iii fem iv. 212 fem 2. b) B 4. a) Figuren er speilsymmetrisk om de linjene som er tegnet inn. Figuren har rotasjonssymmetri med vinkel 90, 180 og 270 om P. c) Vi ser på trekantene ΔABC og ΔBCD i figuren. Siden at ABCD har vi at AB = BC, BC = CD og ABC = BCD = 90. Derfor gir kongruenssetningen SVS at trekantene ΔABC og ΔBCD er kongruente. Altså er diagonalene like lange. 5. b) K n + T n+1 = 3n2 +3n+2 2 = 3 2 n n + 1 Vår a) Sifre som brukes i firetallsystemet: 0 fire, 1 fire, 2 fire, 3 fire Atten første tallene: 1 fire, 2 fire, 3 fire, 10 fire, 11 fire, 12 fire, 13 fire, 20 fire, 21 fire, 22 fire, 23 fire, 30 fire, 31 fire, 32 fire, 33 fire, 100 fire, 101 fire, 102 fire b) i fire ii. 330 fire iii fire iv fire 2. b) c) T n + K n+1 + n = 3n2 +7n+2 = n2 + 7 n a) 20 m 4. a) Oppgave A er diagnostisk for denne misoppfatningen, og B er ikke det. 38

39 5. a) Høst a) 1010 seks b) seks c) 34 seks d) 123 seks 2. a) b) Formen til hver figur er et trapes c) R n+1 + T n = 3n2 +7n+4 = n2 + 7 n + 2. (Kan også bruke T 2 n+1 + K n+1 eller R n+1 + T n til å finne eksplisitt formel.) 3. b) Rombe som er et spesielt tilfelle av et trapes, en drage, og et parallellogram. d) Vi ser på trekanten ΔAED. Siden EAD = 60 og DEA = 90, er ADE = 180 ( ) = 30. Altså er AD = 2 AE. Derfor er AE = 8 cm = 4 cm a) Motstående sider er parvis parallelle. Motstående sider er parvis like lange. Motstående vinkler er parvis like store. Diagonalene deler hverandre på midten. b) Et parallellogram er et firkant der motstående sider er parvis like lange. Vår a) 15 ti = 23 seks = 1111 to b) i. 100 fire ii. 110 to iii. 230 fem 2. a) Per: K T 3 + 3(3 + 1) = K 4 + T = = 34 2 Pål: 2 K T 3 1 = 2 K T 2 = = 34 2 b) K n+1 + T n + n(n + 1) = 2K n T n 1 = 5n2 +7n+2 = n2 + 7 n a) i. F.eks. et parallellogram som ikke er en rombe ii. umulig iii. En rombe iv. Et rektangel som har sider med ulike lengder. c) Flagg A: ingen symmetrier Flagg B: speilsymmetri om en vertikallinje midt på flagget Flagg C: speilsymmetri om en vertikal- og horisontallinje midt på flagget, og rotasjonssymmetri gjennom 180 om et punkt midt på flagget. 5. a) En rettvinklet trekant. b) BE er korteste katet i en trekant der hypotenusen er 8,0 cm. AE = 4 3 cm 6,9 cm e) AEB = CED fordi de er toppvinkler. Dessuten er EBA = EDC og BAE = DCE fordi de er samsvarende vinkler ved parallelle linjer. Derfor er ABE formlik med CDE. 39

40 Høst a) i. 42 syv ii 34 seks iii 3144 fem b) 3735 åtte 3. c) 3 3 5,2 cm d) FDA = CEF = 90 fordi AE og CD er høyder. Dessuten er AFD = EFC fordi de er toppvinkler. Derfor er ADF og CEF formlike. 4. a) K n+1 = (n + 1) 2 = n 2 + 2n + 1 K n + 1 = n Disse uttrykkene er ikke ekvialente. b) N 4 c) N n = T n K n+1 = 3n2 +5n+4 = n2 + 5 n N 17 = a) b) f.eks. forskyv opp 5 ruter, roter 90 med klokka om P. I oppgave b) er det blant annet også mulig å gjennomføre en sekvens tilsvarende i a). 6. a) i. Usant: Dette holder også for drager som ikke er romber. ii. Sant: Dette holder for kvadrater. iii. Usant: Dette holder ikke for f.eks. romber som ikke er kvadrater. iv. Usant: Et prisme kan ha f.eks. et trekant som grunnflate. Vår a) i. sekstallsystemet ii. åttetallsystemet iii. femtallsystemet b) i fem ii tre iii syv c) i. x = 40 ii. x = 17 8 = a) Den er dobbelt så lang: Hvis radius til B er r, så er omkrets av B lik 2πr og omkrets av A lik πr. 3. b) 60 c) S n = K n + 4n = n 2 + 4n 40

41 d) 4. b) 5 c) Trapes. Omkretsen er ca. 16,1 cm. (AB = 6 cm, BC = 3 cm, CD = 4,5 cm, AD 2,6 cm) d) BAC = 30, CBA = 60, ACB = = 90 ADC = 90 fordi AD er en normal til CD. Vi har også at BAD = 90, så CAD = = 60. Derfor er ABC formlik med ΔACD. 5. a) Figuren viser de seks speilsymmetriaksene. Dessuten er det rotasjonssymmetri med 60, 120, 180, 240, og 300 om punktet i sentrum. b) Høst a) i. sekstallsystemet ii. åttetallsystem iii. femtallsystem b) i fire ii. 11 tre iii. 400 seks c) i. X = 10 fem ii. X = 121 fem iii. X = 3 fem 3. b) 41 6,4 c) Omkretsen er ca. 24,6 cm, og arealet er ca. 32,8 cm b) F 6 = 120 c) F n = 3K n + 2n = 3n 2 + 2n (Dette kan være vanskelig å se umiddelbart, i så fall er metode 2 fra delkapittel velegnet å bruke her.) 5. a) Rotasjonssymmetri om midtpunktet med vinkler 90, 180 og 270. Hvis origo settes ved midtpunktet, har figuren speilsymmetri ved linjene x = 0, y = 0, y = x, og y = x. b) Et mangekant med åtte sider slik at alle sidene er like lange og alle vinklene er like store. c) 135 d) Ja, sidene i en rombe er parvis parallelle. Vår a) 251 seks betyr (Tilsvarende 251 ti = ) b) 320 seks = 120 i titallsystemet c) 1043 seks 2. b) 4n 3 d) N n = 1 + (n + 1) + (n + 1) + n 2 = n 2 + 2n + 3 (Dette kan være vanskelig å se umiddelbart, i så fall er metode 2 velegnet å bruke her.) 3. d) x = 3 og y = 5 41

42 4. a) Sirkel og midtnormal b) Rombe: fire like lange sider. Rombe er også et trapes, et parallellogram og en drake. 5. b) BC = 4 cm, korteste katet i en trekant med hypotenus som er 8 cm. AC = 4 3 6,9 cm. c) Vinkel B er felles og ACB = BDC = 90. Derfor er ΔABC = ΔBCD formlike. d) CD = 2 3 3,5 cm e) 1 4 = Arealet BCD Arealet ABC Høst a) 1 tre 2 tre 10 tre 11 tre 12 tre 20 tre 21 tre 22 tre 100 tre 101 tre 102 tre 110 tre 111 tre 112 tre 120 tre 121 tre 122 tre 200 tre 201 tre 202 tre 210 tre 211 tre 212 tre 220 tre 221 tre 222 tre 1000 tre b) 1100 tre c)i) 214 fem ii) fem d) 1421 fem 2. a) F.eks. b) F n = 2n 2 + 7n b) Forventet svar 10,1010 d) x = 5 4. b) Like lange sider. Alle vinkler er 60. c) 6 cm og 3 3 5,2 cm d) Sirkel og parallelle linjer. 42