)25(/(61,1*6Ã2*Ã 9,1*63/$1 9,1*63/$1 'HOÃ,,9Ã(OHNWULVNHÃPRWRUGULIWHU. Målet med emnet SIE 1025 SIE1025 ELEKTRISKE MOTORDRIFTER

Transkript

1 5(/(6,*6Ã*Ã 9,*6/$ Folgpo: 5 E5 EEKRKE OORRFER Fglæ: Po. Roy Nl l : E:.: ototyp, lt tltoopot, otot Alyto 4 Avl, t ool, o 5 oltt, tytooo, opp 6 Hlo, tovå oo, två oo, olto Cotot ollg og tjoæ ttt Cotot glg 8 og tgt 9 Folg V yooto y oll, ovto, C tot oll. Oo oll, ollg V v Cllot, C tjoæ ttt Rgltott og tgt V V Ayo ollg; y oll og tot oll. Oo oll og llot ollg 4 V ttt og gltott AC 5 V Cglg. Fl og ttlltg AC Fglæ: Po. Roy Nl, o E4 l oy.l@lt.t.o Vt..: R, o E4 ( t vt..: og go, o E4 Folg: Og 8.5.og Bgg E. l o l o 9,*6/$ 'HOÃ,Ã(OHNWVNHÃPRWRGWH t l tt tt l t øvg. Av v 5 øvg gojt o å gå opp tl. tllgg l t lt t pojtoppgv løpt v vå (ylgv 9 o tll % v t. l v øvg l t lg tl/l, tt tø på ttpc l Glo. Næ o o tt l gjot o v lt øvg. tlvg v øvg: Og olgt. Øvg ogå o 4.tg. Elo. Vlg v øvg: og l. 46 E. lvg v øvg: Påølg og o 4.tg. Elo. Øvg og løgolg t yttg o på: ttp:// YJVO YJ 8WOHYHJ 9HOHGJ,OHYHJ Øvg.. 9. Øvg Øvg 6... Øvg Øvg Øvg Øvg. 4.. t l ogå jø loppgv: C otot og. Ayootot 4 og 5. ojo o tt. t..: Wll Gllv, Ro F9, l: wllg@t.t.o t A, Ro F9, l: t@t.t.o YWVVÃ5FKGÃ/XG. FOROR.... NNHOFOREGNEE.... E : EEKRKE OORRFER...5. lg...5. t vlg typ lt oto.... lt tlto opot... 'RGH \VWRH 6W\EÃVYWV.4 t vlg typ otot...6 /NHVW PVÃPRWRGWH 6\NRPRWRGWH $V\NRPRWRGWH 6YWVHWÃ5HOXNWVÃPRWRGWH.5 Alyto og vtøy...8 6WVR HÃRKROGÃRJÃGPHVRHJ '\PVNÃVPXOHJ $/$%ÃRJÃ6PXON 6$%(5.6 Avl, ltjo, g og otovlg...6 RHÃW\VNHÃYHGHOVHÃRJÃGHHVÃOVWXNVRH 6YJJHÃÃPHNVNHÃV\VWHP * 9OJÃYÃPRWR. ool otot...46 RWRH.WHOHNWRNNÃNRPRHWHH.RGHVWRHH.8 o...5 HPHWXÃVHVRH 6W PÃRJÃVHJVVHVRH XWOOVÃRJÃRVVRVVHVRH 4. ERARREFERANER...58 l o l 4 o 'HOÃ,,9Ã(OHNWVNHÃPRWRGWH ålt t E 5 4. E : KRAFEEKRONKE ENERGOFORERE o ltt yto ltt og vltt tyt oo... &KRH KOYER ÃKHOER WHVHÃRPRPH WHYÃRPRPH 4.4 Glt o oljoto... G glgg otål o/jp tl : 5. E : KERØ OORRFER lg ollg tjoæ ttt Rgltott Etgt E V: YNKRON OORRFER lg ollg... \VVNHÃPRGHOO VRPHWHÃPRGHOO PRPHÃPRGHOOH RGHOOHJÃYÃ'&PHOORPNHWV 6. tjoæ ttt Rgltott Etgt... Hovopot lt otot Fyl ool/gg otot Alyto og vtøy yttt o ly og g v o otot o glgt to o lt otot. E V: AYNKRON OORRFER.... lg.... ollg... \VVNHÃPRGHOO VRPHWHÃPRGHOO PRPHÃPRGHOOH RGHOOHJÃYÃ'&PHOORPNHWV. tjoæ ttt....4 Rgltott....5 Etgt og loll... l 5 o l 6 o

2 Hov opot lt otot (HJRPRPH Kvtgpt otttll plt (HJRPRPH P NOGH Egoog ll t ot Pæ Ktlto Ktlto Elt Gto Eg Kl Oo Oo oto Opjo: No pl på pæ gl: olt Vøll Eglg G t Bl ll ( t gto RWR t lt tt ( t gto Eglg: Btt p oto Bytt o å v otot v tl å op o oto ll gto to tg Fottt t v v jlp v g HÃ>P@ ÃNYGW *HHWRGW ÃNYGW ÃRWRGW ÃNYGW ÃRWRGW Ã>P@ ÃNYGW *HHWRGW l o l 8 o Hovl oo tylto to Ktt: o,tyto, tto, t. Koto t Kjølt tylto: Gtv, ålot Poo ot, P,FPGA På 6 og tllt: Hlt log glto og t log På ltt v tllt l o v yt løy lt å opoo g: Ogå tøglto l µc ll P Rt v l FPGA ll AC RC poo l 9 o l o tøoto ltvlg Ytl < W tl W yp oto: oto v tjo ptgtt oto v t v go y tøoto pt gt og øt Ytl < W Bytt y lt y yttt o å oto tto t o ytl l o l o

3 Pt gt øtlø oto BC yooto ltvlg Ytl < W t tp oto tt å jøl ttovlg Ktlto oo påv gt l P yo læt ott lt tpg pol: Vtgto og pptv tgå ooto: Gt, pp, opo W l o l 4 o Pt gt yo oto P Pt gt yo oto P tto o vlg yooto Ovlt ott gt Btlt gtg v jøp v oto t tp oto Bytt ot oo No pvlg tto o vlg yooto gt på oto ot oto oto ltot tt å ltv Bytt ot oo No å pvlg l 5 o l 6 o Ayooto vlg jooto Ayooto vlg jooto.. tto o vlg yooto Roto ot tøpt l ltv o l gt ot og llg 9 % v ll toto v typ l o l 8 o

4 Ayooto vlg jooto.. tt Ayooto lpg tto A oto tto o vlg jooto Vlt oto lpg t t å, oyt t 5 % y jooto l 9 o l o vtjt ltoto gt ot og llg Kott vlg tto B l oto E l ttllvgg ot ppl At tøy t vt o å otoytl lt tlto opot o yto ty vtj: Gt O tyto OFE lt Gt Bpol to GB ll vtj l o l o o ltt l tpt og jølg P (t (t (t o (t R (t Ntlg ovjo vgt ovjo ( v vt Kotv jølg P, p p p (t (t t o (t t R (t t p p p P, o, R, l o l 4 o

5 o v ovy gp yto ltt ÃÃÃÃÃÃÃ R ø to /t vlg (ø l R po o å tø gå tl ll g ovpg på topot ÃÃÃÃÃÃ l 5 o l 6 o ty vtj ll vtj N J J ÃÃÃÃÃÃ* ÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃEÃ6( FÃ,*%ÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃGÃ,GHHOOHÃVYWV GO: yto o lå v å vl o på 8 V 5 A. yp vtjv 5 Hz. GC: E vtvlg v GO. yp Hz vtjg. OFE: pgtyt vtj. Opptl. V og A. gt vtjg; opptl o Hz. GB: pgtyt vtj. Opptl 4.56 V og A. vtjt typ.5 Hz. Ogå vl opptl 5 Hz. J F H N J Blo gt to pg oov å vl o v tg ll tø å vlått gt to tø ll pgll å pålått vtj vtlt tl påtlt (og ovt lg t > g vtjtp tø vtg å pålått EN K KOPONEN FNNE KKE!! l o l 8 o vtjoløp ty vtj vtjtp tyt vtj E w(o (t (t (t t w(o P w (t (E w(o (t E w(o (t w (t (t (t t w w(o w(o Pw (t (t (t w Ew(o Ew(o p p P, (t w t w (t t, w p p l 9 o l o

6 t vlg otot p Potto Voltg got yt pt o PW t gl V to Alog v o o Ct vto t ltg gtzto llto glto to otol plwt olto t Roto t tto t oto V Pow t pply Roto poto Poto t vt C Ct o Poto o oto tø otot yo otot Ayo otot vtjt Rlt otot l o l o tøoto ltvlg tø otot Ytl < W tl W yp oto: oto v tjo ptgtt oto v t v go y o oto oy ACttt ytt ot tyto ltt op vt plt V ll vtt v to l tpllll ll v tgv 8Ã>9@ y y y5 ÃNYGW 9HNVHOHWWHGW ÃNYGW Ã/NHHWWHGW,Ã>$@ t y y4 y6 ÃNYGW Ã/NHHWWHGW ÃNYGW 9HNVHOHWWHGW l o l 4 o tø otot. Fll 4 vtt ogå oppå v jlp v tgv > otlø tvll: Rtgv t:... Rtgv ltt:..5.5 Hvl l plt oo påv vl oå otttll plt otot op Rtgv g 4. vtt Kvtgpt otttll plt Ω ÃNYGW *HHWRGW ÃNYGW ÃRWRGW HÃ>P@ ÃNYGW ÃRWRGW ÃNYGW *HHWRGW Ã>P@ l 5 o l 6 o

7 P t El *opt* ttt El t p ool_ ool_ot El _p ttt p t P t E l *opt* v ttt E l t p v ool_ ool_ot E l v v v v _p ttt p t tø otot Fltvg v oto o oto l oy tt ll l ojllg typ tto oo ytt: Copp (tpow ovt, B ovt Hlvo Fllo Kopot: OFE og GB y ; Ω < Ω,ltvgg Ω > Ω ;,ltvgg Ω. y y5 ~/ gt gt.8.6 v_ t v_.4 gt gt gt y y4 y l o l 8 o t vlg otot tø otot yo otot Ayo otot vtjt Rlt otot yo otot Bytt ot o to t Etoå W pgvå V (? Kopot: Ot tyto l 9 o l 4 o C yo otot Vlg t v C o Cott vt tototo tt ty tø llot Vltt t vl tø l gå llotttg t lv ttlloåt ÃÃÃÃÃÃÃKVHÃ WK\VWRÃEGJH WK\VWRÃEGJH ÃÃÃÃÃÃÃKVHÃ WK\VWRÃEGJH ÃÃÃÃÃÃÃKVHÃ ÃÃÃÃÃÃÃKVHÃ WK\VWRÃRÃ6 6\FKRRXV PRWR ÃÃÃÃÃÃÃKVHÃ WK\VWRÃEGJH ÃÃÃÃÃÃÃKVHÃ WK\VWRÃRÃ6 6\FKRRXV PRWR l 4 o l 4 o

8 P t E l *opt* v ttt E l t p v ool_ ool_ot E l v _p ttt p t llot ttg yloovt t yo otot WK\VWRÃEGJH ÃÃÃÃÃÃÃKVHÃ ÃÃÃÃÃÃÃKVHÃ WK\VWRÃRÃ6 ÃÃÃÃÃÃÃKVHÃ WK\VWRÃEGJH 6\FKRRXV PRWR o tpllll tytoo v > 6 tyto K ty opp tl. lv ttv > 5 Hz otpljo/ ppl C l 4 o l 44 o yloovt og vo t vlg otot tø otot yo otot Ayo otot vtjt Rlt otot l 45 o l 46 o Ayo otot.5 W 8 W Kopot: GB, GO/GC C tt Ayo otot Ct o vt og t to v V ot ppl o C ålg y V l 4 o l 48 o

9 6 v_ v_ v_ w_l4 w_l4 6 5 pwl pwl 4 4 w_l4 w_l4 pwl pwl 6 5 w_l4 w_l4 4 4 pwl pwl t pgtt Ayo otot pgtt Ayo otot Koto llot ptv oto ol tl ll tl på oto Cl/Cllot t ot ppl gtt v vtjv oo ggt: oo, tytoo ll tv ltt v/t, tll vt *K ÃÃ WV XBVWB ÃÃ WV XVBV,GXFWRÃPRWR ÃÃ WV VBV ÃÃ WV PBH ÃWV l 49 o l 5 o Ayo otot Flvå oo Rt v/t o lt Byttt llopt otot. 6 V Kvo o vå oo *K 9 ÃÃ WV ÃÃ WV XV NPC OO ÃWV l 5 o l 5 o ltoo topolog A B C Ayooto lpg Ct o vt ll yloovt ytt A tto tt Cyloovt oto N l 5 o l 54 o

10 t vlg otot vtjt Rlt otot t vt o å ytl Avloå: V, vtøy, t. tø otot yo otot Ayo otot vtjt Rlt otot N N Ã65PRWRÃPHGÃÃVWWRROHÃRJÃÃRWRROHÃÃVHÃPRWR l 55 o l 56 o No ootopolog o Roto Kp..5: Alyto og vtøy tjoæ ool og jog y lg glø pog Ktly ott pog tl og l l 5 o l 58 o tjoæ ool og jog Bg ttt tl otot g opp vtog Optl tytt, t. jog v opot otot Vtøy: AAB El p vto t AH.5.5 All vto [p..] R AAB p vto t AH tot All vto [p..] tl tot pog tot lot v t K lt v pog g to ttt AFFg,t. Ajo l 59 o l 6 o

11 5 4 El >P@ [V] [A] El Got gt o gg o l gjt ot og vo y t l pt jog og tvttly y lg Fo ll otot t tt opp y oll på o: t (,t oll læ og lø v jlp lg to: gløpog Ktlyott pog l 6 o l 6 o gløpog lg t t lott o løg v oæ llg (. NAG, ått lv v: Rt o å å ggt Rt o tll po o l l Rt o ll g ptjo v ltt glø pog OK å: Bytt lv ttg o oo l l oll g gg Ktly ott pog pog å ot å g vtj volvt og ttopolog g lg ol opp tlt o t lt vvlt j Kjt pog Pp, og K g t t v t g pt o å ltt lgt å vl o otjo ppot. All pog g g otpt l 6 o l 64 o Ktly ott pog Hvo t tly pog g. A v tl o vtg v vlg v pog: G gtt P N tltt glø og v ttt lgt o å lg g oll/ol Blg v ottt og pot (tpt o pltlg g v topolog l 65 o l 66 o

12 g v v v v v v 4 l l l g l4 : 5 g v v v v v v 4 l l l g l4 : 5 AAB og l to pog gg lgløpog AAB : tgt lglø Fg t o plottg B å lg l o lg v t, ll opp lglø og plott ltt l tgt l v tl og : G pt Blott lgt o å lg g oll ttll [/] ot [N ] 5 5 %XNÃYÃWOEÃRÃVPXOHJ YÃHÃYWHÃGHYHWÃYÃHÃHOHNWVNÃPRWR lgltt tl t [] t [] Ω J lt Ω t J J otoj lt [g ] F t ot o å tl o t oto l o opp / løpt v. tl lt Ω [N], vo Ω [/] l 6 o l 68 o ttll [/] ot [N ] 5 5 %XNÃYÃ6PXONÃRÃVPXOHJ YÃHÃYWHÃGHYHWÃYÃHÃHOHNWVNÃPRWR lgltt tl t [] t [] Ω J lt Ω t t pol lø l. tl %XNÃYÃ6EHÃRÃVPXOHJ : G pt lgt o å lg g oll v tplt g g g yol tot lot gtl og log yt lp: gt yt J J otoj lt [g ] lt Ω [N], vo Ω [/] l 69 o l o %XNÃYÃ.HÃRÃVPXOHJ K K : lgt o å lg g oll v ol g g g yol tot lot gtl og log yt lp: g pt, ytt CAAR N to to tlæ løg v t otlg yt Oo ytt gtlg tl t tyt t t yt væ tlt lv o t otlg tlt; og ovt Vlg v ttlg og øytgt Polplg l o l o

13 Kp..6: Avl, ljo, g og otovlg *HHHOOÃVHNNOVWHÃRÃPRWRGWH /VW. l otlg t ll ot v. t oov og v tg. oto og/ll t 4. y ll gtv g 5. jog o ovlt t y tl vgt 6. pgl ll. Hvl v?. yp glg: ot, ttll, pojo, t. No typ vl og ltjo vgg yt G Vlg v oto 6W\HV\VWHP 6\VWHPNY O NY 8. Nøytgt glg v ot, ttll, pojo, t. 9. Kv ot/tgtot ool, ljo og tjo, t.. G ll t vt yt. Pog: tllog pojopol, votoll, t.. t ovo tyyt, yt, t.. Påltlgt og v opot 4. V ot og lt l og ol tool 5. Kv tl tålt og lgå Eltogt tøy (E/EC 6. Kv tl o tl på ttt og oto. l tlltt t tøy 8. Kv p. pg, tpt, tgt, og, jølyt,t. 9. t /YVO VNRVWGH. jøpot ll ttot. tot. Vlolot. pogot l o l 4 o Vt, tgl pp og opo lttyp vt lttt ot ttll plt: t Ω Bgg v tgtot o yl og yt : V π J ρ V ρ l π π ρ l ρ l ρ l π J, ( vo 4 4 ( H og t Ktl o læ vgl: F t v F Ft Fv Fw g t yp jo tt jo, tø jo og vø jo: Ft µ t g o g(v Fv v v Fw w v Vl vl llo t pl vg g lg og ootl plt,, l 5 o l 6 o H og t... jo: og, t og ll, t.. Oog tl ot vgl g ot v å ltpl på tol: t µ t g o g( Ω ot l o lt:, Ω v v Ω t t v w g t, Ω w w Ktl oto tl jl: tot ρ v η tot g(v g o w A v g t Rltv opot ll tgtopot: J, vo J J J J G R A otl tt oto: Ω t v w (J t g t P P BVWÃ /HÃR[PWR 6HJPHWÃ 6HJPHWÃ ÃYBYHKÃPV l o l 8 o

14 Eltæ tøl lg (OHNWVNHÃV\VWHP t HNVNHÃV\VWHP Vlpojo Ω t vgg t yt v tøl Rpo tøl pg tø ot Vltgt Ω J J R Vtp Rt R Fjoot B B Ω B Eglgg lt t t tgtot J Ω J t J Ω /K ÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃ ot t gt g Koto C P W P t t C t W t W t C ojoott K P W P t K Ω t W Ω t t W Ω t t opptå o lg llo oto og lt Ett v oto ll tt v lt Rltt l lg oll: ojo llo yt oto N N P P G Ω Ω P P Ω Ω Ω Ω Ω J B ( Ω Ω K ( t Ω J B ( Ω Ω K ( t Ω t Ω t l 9 o l 8 o ytt tjo Plot v tjo H, [/] H, [/] Ω ( H H ( H H ( H ( ( ( H ( ( ( Ω ( H ( ( H ( ( P (g; gt (B o: Y( Fo: ( 4 P (g; gt (B o: Y( Fo: ( 4 6 H ( H ( J B K B( J J K ( J J ( B K B( J J K ( J J ( J J ( J J P (g; gt (B o: Y( Fy ( / H, [/] Fo: ( 4 6 P (g; gt (B o: Y( Fy (/ H, [/] Fo: ( Fy ( / Fy (/ l 8 o l 8 o G G Et g tt o ll to: Ω Pt ηg P t ηg ηg g Ω t ot vvlt pg og ttll tø Ogg v tgtot vvlt ogg v t Ogg v gl: Ω J Ω J Ω J J g J Ω t tot tgtot ogå v å oo lg o otl: Ω J t (g Ω J t g Ω g J g g t Ω J t J J g g l 8 o l 84 o

15 Gvlg Vlg v oto Et g vlg o t l å llgt totl yt ll Bt lg vgg ll l ljo tl Oppgv: F o gtt oto t g otgool o g ljo å lt tgt ott J og oto tgtott J. øg: Ω Ω, g (J g J, g t t J g J g J J Vlg yooto o vlg t lt g ojøvt vlg Fo p polp l t /p g llo vlg ø l po p. o å å olt og lt Ω Ω l 85 o l 86 o olt vlg og tøolg Bgg Blt t l lt Blt.8 vo t? t l Blt ltgpt.9. l Blt.5 ÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃ l 8 o l 88 o Bgg tøtttt tvlt ot O tp l l ot. vt lv o v C øt vlgtpt Bgt Blt og gt tø g gg ott ot t * K tty o FB Bltt t lt o tt opp v l tø lv tøtttt j ( A/ lg ttoot ot ltgpt. Vlgv vl llo ototø og ttotø ot R Kt tø Fltttt π p (j ( l B ( j ( j, o( og B ( π p p l Bˆ j, o( (, p π l Bˆ j, 4 Bˆ ( l 89 o l 9 o

16 ot p. Roto Vol (RV l ott på oto vol : RV p Bˆ j, RWRÃW\HÃRJÃVW HOVH oto < W.44 oto o o W 5 tll vooto 45 oto o lttvl 455 Vlg to væjølt oto (tgto t. lg v tø oto tllt opt tø tøtttt A/ lg tto ot: p π l Bˆ j,(,l 4 VR p Bˆ j,(,l p Bˆ l j, l tt ty t jøl to å ytt l 9 o l 9 o lg v... Evvlt j l 9 o l 94 o Kp..: ool otot p, ot og tlo vtgt opot p tp : oto tlto opot Koto tp ty ot opot på g v øt ttttt tt g llg otot tlo g å øoo og ljøvlg l 95 o l 96 o

17 oto oto og to pt vlgoljo vtg: C øg v tpt lv lvt No EC 4 98 g l lg: A: 6 g B: 8 g F: 5 g H: 5 g pttgg ov 4 g ogvltp. tllgg tl t o EC 4 tpt l å ogå o 9: : Kotlg t tt ty t oto jø tll påtplt t otlg v gtt ogvl tpt : tttt t (5% tt ty t oto jø påtplt ytl KW 5% v po på tt 4: tttt t tt (4% o tttø t å g y oppvg ø to p v tllg v oto l 9 o l 98 o Kl tl tp oto oll o yo Folg v tp: ttot, t t v jtpt, pl o O tp ttovlg pl o 4 No v tp ttovlg pl vlg tto, v. o 6 O tp otovlg vtll jtp oto pl o 8 oll og ål ltt. pt ttovlg (4 og vlg (6 l 99 o l o p tto og o p o og tto tty typ lg, å o ltp og vtjtp Øylv v tp: P (t (t (t (t R (t,o o l ltp: p p p P,o, (t (t t o (t t R (t t p p p P,o, o, R, l vtjtp: P,w (t (t (t w E w(o E w(o p p P,w, (t w t w (t t, w p p jog v tto og o At tpow opp o v ltø: F t pt o jo o og t pt o jo tto. F w Hz Bg tpt opot v 6 C ol At. ototø på A At ttpg på V v_ gt l o l o

18 P_tto [,,,8,,8] j Ct_.84 Rt_. ol Rt_ ol.9 Ct_ol. _CB Rt_CB.4 Ct_CB.88 _AlN Rt_ AlN.9 Ct_AlN.56 _C Rt_C. Ct_C 4.45 _g Rt_g.5 t Rt_.5 Ct_ o jlp jg t o t... o jlp jg t tto t... l o l 4 o t ol. t ol. Fojllg t tvl ot ojllg tl ol g pol v tptyg lv v ( 5Hz Fv ( 5Hz otå t v o tt t p l 5 o l 6 o lg v t l.. Koto Bt på g øyltp og t oll l t l v ytt *K ÃWV : ÃÃ WV RZH & ÃÃ WV WBO W & ÃÃ WV ÃKHWVN WBFX Koto på gg tl opp ot v typ ltolytt oto. øy µf/. Bg tpt ot pot tl oto At ogvl tpt 4 C Bg o væt ttlll At t ll ppltø gå oto, ltø o ttt. l o l 8 o

19 Koto.. tp Koto.. tp ott tl oto v og tpt vgg At lpot og t ll v j v vt lttgt /, op. ott. gg tl t lt t v lttgt pgl l 9 o l o Koto.. tp Koto.. tp ott. gg tl t lt t v lttgt pt og v vgg ER l o l o pt o Kp..8: o to: yp Ngtv pt ot NC ( tl 5%/C yp Potv pt ot PC ( 6%/C Pt : vtgt o : ott lgt v plt og v O v C. Potv tpt ot.4 O/C olt: pt o tø og pgo tll og pojoo B g på ottpotlt llo to ojllg tl. g pll lto o otg v gl. l o l 4 o

20 g v v v 4 l l l g 5 l4 : 5 tø og pg o tllo O ålt: Ctot: yp 6 V v tø. glv ll tøtoto: K ytt o ålg v vltø,. tjo v jol ot: ål å og tø glv ll Atv og pv vt. Cloloop og oploop og t øt. Rpplpg typ 6 %. Bøtlø op opptl. /. Bytt ltt. tll o: Opt. Plt l po. ytt o og ototto. o pltog. pl tllg. Ogå lto løg. ålg oppløg ÃÃ l 5 o l 6 o Pojoo tll : løg o o tll ttllo oltt: o ov, pl Aoltt: Rolv og gv gyo v Kp.4: Ktlto goo ålt pttlt t tt: Fotå vo l oo ytt o å ty pg på oto Fotå t t tvl tp l oo og t t o gt vo y tø t t l o l 8 o ol oltt oltt yto ltt og vltt Oo t på ty vtj: Boo Hlvo oo Fllo oo ovå t oo vå t oo 4 6 tt vlg Boolg 6 o (B6 K.vt plt p ytt l gg to på gg tgg jot o g (o lg t på tgg llt Glt o oljoto Ogå oolg (B4 l 9 o l o

21 g v v v 4 l l l g 5 l4 : 5 g v v v 4 l l l g 5 l4 : g 5 v v v 4 l l l g 5 l4 : 5 oltt tø og pgo oolg g 5 All øv o ll topg: o ÃK \HVW potl på RGH vl l à à *K 9à WV XG à WV XV XV XV All o ll opg: o OYHVW potl på NWRGH vl l ÃWV *K ' ' ' *K OO OO OO ÃWV ÃWV l o l o Oppgv Oppgv g opp pg på to v ool tl tjpt o pgl g opp pg på o v ool tl tjpt o pgl l l4 : g opp tø og pgo o o og g opp pg 4 6 o to på tt: Hvo ljtø på tt v Y/Y olt to? Hv o /Yll Y/olt to? v v g 4 g 5 g opp tøo pgl ( v vl på tt Hvl tttø to t g t tøy på ttt ( : ll? l o l 4 o lv og tvv.. Kotg à *K o 9 à WV XG lv v : π 6 π π 6 o( t ( t.5 π lv og tvv v tø: 4 6 Nå, og (ll l lg v NNH tø NRPPXWHH ov o tl ott. At ltt 4 ottt to, : à ÃWV à WV XV XV XV π ( t π π ( t.8,, (t (t (t (t t t (t (t (t (t t t (t (t t l 5 o l 6 o

22 Rt l pg.. (t (t (t (t t t (t (t (t (t t t (t (t P (t *K 9 Ãà WV XG ;à ;à Ãà WV XV XV8/ XV ;à ;à ;à ;à OO Evvlt pgll på g v otg.. pgt tgl: (t (t (t (t (t P µ ( oµ t t ( t F tglt o otgtvll tlv: (t t µ ( t ( t ( o µ ÃWV l o l 8 o Evvlt pgll på g v otg.. pg l v o: o o o R π Evvlt oll t Hz opot E y lv oll: R (t π o R (t (t t π R π 6 o o( t ( t.5 π π π 6,G R µ (t (t ( t π π o l 9 o l o J$ à Ho og tlvg på ttt à à à à *K à N N N N N Ã],, J$ Ãà ] OO Fttø på tt ol ovo: 6, 5,,,... og, π Fo å tttl vg ytt ol ll lt to: ol 4% pgll v tø t o ot lt på 5% Hv tt o å lt ytt lytl v lg ltt 4 H *K 9 Ãà WV XG / ' ' ÃWV l o l o

23 g v l v v l v v l v 4 g l4 : 5 Hvoo pg tø o? yto ltt/vltt Ã$ Ã$ Ã9 Ã$ *K à ÃX 9 Ãà WV YFF ' ' OO E tyto lo lttg tl tpl g: o tg ool tl t tlg otgpt o o V å o ttptt ty l pg t oo. tt gjø v å ty tvl à à *K ÃWV 9à WV XG à WV XV XV XV ÃWV l o l 4 o vl : Øt vl lpg t lltt v o : < < 8 å g tl 8 o å gå lotg yto å l 8 γ 8 ( µ t WXOJ NRPPXWHJVXNW OPPGAVE: F l tggpg o jo v tvl og tvv v ljpg Hvo to oϕ på ttt vg v? l o ltt. Hvo vg µ v? g o 8 l 5 o l 6 o lv oll: y oll o o o o R π Gg v tpl µ µ o o( µ Vlg o o tyvl: t o o o o t å t y tl tol tyg K l o l 8 o

24 Atpllll tytoo tt t.5 t ÃÃÃÃÃÃÃKVHÃ WK\VWRÃEGJH.5 v El t ÃÃÃÃÃÃÃKVHÃ WK\VWRÃEGJH El l 9 o l 4 o y oll.. v.6 v o o t t p v (t (t t (t R (t o v t R π π R,G R ol oltt yto ltt og vltt Oo t på ty vtj: Boo Hlvo oo Fllo oo ovå t oo vå t oo Glt o oljoto v l 4 o l 4 o E oo ty vtj Boo PWglt Boo lt oo ty vtj Boo. A v på oo : tpow ovt, tpow opp lgg vtj på potv ll gtv l potl Oo væ: Pl olt (PW tyt v yt tøglto t o på t t v ( w ( t w w *K ÃX GB ÃÃ WV XÃ YBVZWRRWK XBVW w_l4 XÃ 9 ÃÃ WV YBGFB _ X X X X ÃWV l 4 o l 44 o

25 XPEH XPEH t.6 w 5 _t _ w E *opt* _ El _ y _ l l: :. v [,,,,,5,,5] XPEH XPEH t.6 w 5 Bgg_ t ot _ t _t _ w t:. E *opt* ot _ El to:. to:. _ y v R t.5 _ l l: :. v_ PWglt Boo,,, (, y lv oll. vt (t (t t (t v, v w /, t og *K XBGF v t t v à Ã' * t (t v B X X X X ÃWV l 45 o l 46 o Boo yt tøglto (BgBg glto to:. to:. _ R t Hyt tøglto _ [,,,,,5,,5] Bgg_ ot t t t:. ot v.5 K\VWHHVHÃHJXOWR RXW *K à à à à Ãà WV Ãà WV RXWFBZOBH O5/Ã/VW K\VWHHVHÃHJXOWR ÃWV l 4 o l 48 o Hlvo oo OPPGAVE g tø vtj og o oo ogå l gtv tø: tggt ytt v tpp t v lvo oo At otlg t.5. Kopltæ tyg på gl tl øv vtj v gtv tø At o lt t l t tø l ll ø vtj lå på gj (.5. g tø vtj og o. 6ZÃWRRWKÃ:à RÃKOEGJHÃFRYHWH 6ZÃWRRWKÃ:à RÃKOEGJHÃFRYHWH l 49 o l 5 o

26 XPEH XPEH t.6 XPEH XPEH p E w 5 t E *opt* _t _l l KVH El y G GE _l l El l l:.6 :5 y W X XE g l l: : g 4 y 8 y 4 y y l oll o lvo oo Hvl lg å væ o tl øy? lg v Hlvo oo *K Ã Ã ÃÃ WV XBVW ' ' OO ÃWV l 5 o l 5 o y lv oll o lvo oo (. og. vt (t (t t (t v, v w /, t v t t v * t (t v :ÃRÃXOOEGJH FRYHWH Fllo oo Allt opltæ tyg og olt PW: ol tv vtjv tt t o tyg v g, og t o g. t væ ll ot l 5 o l 54 o vtjgl, pg og lttø *K Ã GEO GEX GO GX 9 ÃÃ WV 8/ / ÃWV _ Fllo oo t KVHÃVKW PRGXOWR Allt opltæ tyg og.5 v og ty llo to og Bytt ø øyvt tpg (to l 55 o l 56 o

27 XPEH XPEH t.6 w 5 _t _ w E *opt* _ El _ y _ l l: :. v_ XPEH XPEH t.6 w 5 _t _ w E *opt* _ El _ y _ l l: :. v_ vtjgl, pg og lttø y lv oll o lo oo (Fll 4 vt *K Ã Ã Ã (t (t t (t v, v w / GEO GEX GX 9 ÃÃ WV 8/ Ã ÃÃ WV KVH Ã Ã Ã / ÃX Ã ÃWV v t v * t (t v t l 5 o l 58 o Hlvo oo OPPGAVE g tø vtj og o oo ogå l gtv tø: tggt ytt v tpp t v lvo oo At otlg t.5. Kopltæ tyg på gl tl øv vtj v gtv tø At o lt t l t tø l ll ø vtj lå på gj (.5. g tø vtj og o. 6ZÃWRRWKÃ:Ã RÃKOEGJHÃFRYHWH 6ZÃWRRWKÃ:Ã RÃKOEGJHÃFRYHWH l 59 o l 6 o l oll o lvo oo Hvl lg å væ o tl øy? lg v Hlvo oo *K Ã Ã ÃÃ WV XBVW ' ' OO ÃWV l 6 o l 6 o

28 t.6 XPEH XPEH w 5 t _t E *opt* l l El y W X XE l l: : g y 8 y y y p v t.6 XPEH XPEH El w 5 t _t E *opt* l l El y W X XE w_l4 w_l4 l l: : g pwl pwl y 8 y w_l4 w_l4 y y pwl pwl w_l4 w_l4 pwl pwl y lv oll o lvo oo (. og. vt (t (t t (t v, v w /, t v t t v * t (t v :ÃRÃXOOEGJH FRYHWH Fllo oo Allt opltæ tyg og olt PW: ol tv vtjv tt t o tyg v g, og t o g. t væ ll ot l 6 o l 64 o :ÃRÃXOOEGJH FRYHWH Oppgv tø opot og å t vlpg ogå tø t vltø vl på g tvt vtjgl, pg og lttø *K Ã GEO GEX GO GX 9 ÃÃ WV 8/ / ÃWV l 65 o l 66 o y lv oll o lo oo (Fll 4 vt (t (t t (t v, v w / v t t v ovå t oo øt oo o tyt v tl pg vltt Aplt v popojol l pg o l tyt v tyto ltt ÃÃÃÃÃÃÃKVHÃ WK\VWRÃEGJH * t (t v l 6 o l 68 o

29 p v El yttt vltt tl å ty å plt og vv Fo l otot gg væ oltt vtj tyt v PW: t (t t o( ζ(t o v l t (t t o( ζ(t t tygl t (t t o( ζ(t 4 ttv t.64 t [V ] ttv o ll w_l4 w_l4 pwl pwl w_l4 w_l4 pwl pwl w_l4 w_l4 pwl pwl ovå t oo pg t tp o, øt å vtj jlt på g v y vtjtp øt opot y o tø og ott g tyg 6 π.8 [V ] *K ÃWV Ãà WV XV 9 Ãà WV 8 ovå t oo PW å o vtj tp l 69 o l o GBX GBO ovå t oo PW Nå vtjv w. *, Ayo oljo ytt æ g llo t og. o v tggpg opp tl t. *K à à à à ÃWV Ãà WV YBW XBVWB t (t t o( ζ(t t (t t o( ζ(t t (t t o( ζ(t 4 GBX GBO ovå t oo PW å ovo pg og tø Fvopot vl væ ltpl v vtjv w å v ttov j w ± *K à à [Hz] à Ã, π Ãà WV YBW XBVWB Ovo g: p tøppl o å t y tl v ålg yot plg ÃWV l o l o p oo Kvo v ACt à *K Ãà WV YBW o ttlll ll g t: Ct, v. v ACt v ov 5 Hz ÃÃÃÃÃÃÃKVHà WK\VWRÃEGJH oool: vtjpo w oool: go po Fo t jog å l tp ov po g à à ÃWV *K Ãà WV OB B $Ãà WV $Ãà WV ' $Ãà WV $Ãà WV ' ÃWV l o l 4 o

30 Påt v vtj og o pgg o vtj lyt tty t v oljojo p gtt v lttø, oljojo og opot t ( t ( t (t ( t o( ζ ( t o( t *K ÃÃ WV ;Ã ;Ã ;Ã YBW OB tp g o v tp ll vtjpo t t (pz / (pz / P, (t (t t (t t R (t t t t ϕ t ( ;Ã ;Ã ;Ã ' Fottg: yt glæ plg Nllgjogg o tøø v vl ϕ v tt og ltt v plgtvll pz / w,,,,. ÃWV l 5 o l 6 o oop l og tvv Fo å lyt ol gjø tlæl: oop tp tt tlæg tty: P, (t t w R (t t w w w, (t (t t (t (t, (t (t t (t (t *K ÃÃ WV ;Ã ;Ã ;Ã YBW OB P, ϕπ ϕπ, (t t R, (t t ϕ ϕ ;Ã ;Ã ;Ã ' t t P, o ϕ R o ϕ π 4 8 π t t P, o ϕ R o ϕ π 4 8 π ÃWV l o l 8 o vtjtp: otl tp ϕπ,, P,w w E,w ( t ( t w π ϕ π 4 ϕπ,, P E ( t ( t,w w,w w π ϕ π 4 Kototø E,w (t (,, P P P,,w P tot 6 P 6 P l 9 o l 8 o

31 *opt* *opt* vå t oo vå t oo *K ÃÃ WV YBW YBW NPC XBVWB 9 ÃÃ WV B OO ÃWV l 8 o l 8 o vå t oo *K ÃWV ' ' ' yot oljo *K ÃWV ' ' ' l 8 o l 84 o Kp.5: tø otot ålt pttlt t tt: l tt opp y oll o ltøotot l tvl poll l væ t tl å jo glto l otot væ t tl å l l Fotå gg lv oll v oo ol ollg: oto oll Oo oll jooll tjoæ ttt Rgltott: Pglto llv opt yt opt Atll jolo ototyg gtl glto y ly v otot: ot og tøglg tllglg Pojoglg Etgt l 85 o l 86 o

32 pt gtt C oto pt gtt C oto Vlg: : Fltvlg : Kopjovlg : Avlg 4: Vpolvlg 6 6 Roto og polo llt v lt l Rt v lgt v lt l o to Bov o y Ktlto tg og t l tø to l lttø Kopjovlg olg llo og l 8 o l 88 o B o tt oll tt oll o C oto oll og ltvlg: Vpolvlg og opjovlg oll o l v vlg lt oll: glj gt tg t tpt vgg ott pg/tp oll o l v lt å lgt t l g gjø ytt ølg otjo: to otv o oltt tøl: v. [V], [A], ov. å otv o ptøl:, tt oll v 4. o: o lt tlt t pgl o ; ttll otl og pojo o tglt v ttllt. l 89 o l 9 o tt oll o C oto pgl o v v to vlg: R t E R t Blojt tllg v Coto oll otl: J Ω t tot t Ω p Ω p p Flolygg vlgt o tltvl o ltt å t y tl tg l l 9 o l 9 o

33 Hvoo l oll? lg v t t ltt å o oto ovltt ool tl t ltt ovø g oto ytl tl : t g typ p tl 45 p lt tl to å l ålv å l plt glto poo. lt oll lgjø ogå ltt gj v otw l på pg t, t gg ov og v o t: R t R p ( / Ω,,,, t p Ω,, Vlg v v:,r, p Ω,, Ω,Ω, [/] π/ N [/] Pt tøl:, R, l, p Ω,, p Ω, l t l 9 o l 94 o lg v ltt lg v ltt.. l på pg ltt, t gg ov og v o t: R t R,, ( /,,,,, t l på to v:,,,,,,,,,,,,,, Vlg v v:,, >,R,, Ø ølg g: l l l l l å ogå l lolygglg: å ølg g llo v:,, l,,,, l 95 o l 96 o poll o ltt lg v otl pgl l:, t R, t, H og v v t p v t l l l l vo R l t l på ott, t gg ov og v o t: Ω J tot t J tot Ω, ( Ω / Ω, P t p,, Hvo ott : P,, p Ω,,, p,, Ω, Ω, Ω, tott og pt ot: J tot Ω,N PN og t p p,, t l 9 o l 98 o

34 lltg poll F poll å: Oppgv l t t t t l l l l l V A R Ω H V A J.8 g N / polp At t lt o tgtot V lttø og ttll ål V togg l 99 o l o lg v oo oll tyto oo lg v oo oll pgtt oo t på ll vtj lg v lv oll: (t o (t ( (t / t (t v R t lt pt: lv oll o (llo: (t (t t (t v, v w / Fo ltt (Boo: (t (t t, (t v,, v, w, /, og t, R pt oll: R R π R N (t (t o t (t v (t t pt oll: (t (t (t t (t v, v w /, (t, (t (t, (t t, (t v, v, w, /,, (t,,, > (t(t (t(t l o l o poll v oo og oto jooll o, ( ( v o, ( ll v v, v, t, ( t, ( tgt ttt gjl pltojo o læ yt: l otoolll Bytt y oll pl og ltpljo H vl v ytt y vt V ott lttø otooll læ v o ( ( o t ( ( ( v ( t ( ( ( ( l o l 4 o

35 jooll v oto og oo oll ott lttø v o ( o t ( ( v ( t ( ( ( ( l 5 o l 6 o jo o tø og ttll.9. Plg v pol Pol tl ytt gtt v: /* N ( ( Pol l :, ± ( o ( ( t ( ( ( v ( o ( t ( ( ( v ( R ζ pg og ov: ζ ζ 4 l o l 8 o.5.5 ottt o glt ( tjoæ tt: ottt o tøglt ( ( tjoæ tt:,..5.5 t ølot tø og ot v g v ttll..4.6 ot popojol tø ttlloå 4 6 Rt ølot ltvgoåt.8 Flttø t ~/ ltvgoåt l 9 o l o

36 Rgltott typogt vl ol: vtyg/logtyg Rglgløy vtyg: ty otto, l, jølvt, ol (l tgl tl tltoopot, tt gltot Rglgløy: tøglto, ttllglto, pojoglto, ltglto yp glto tlt: Ptyp Ptyp Ptyp Pglto llggjo tl Pglto: Bgg v tgg. ot t g v æ gl o gå øy å øv ll g. tlv tl tgto ll tgg vlg v Foovolg At wp l o l o Rlg v otlg Pglto l Rgltojog Fl to ytt o jog v Pglto: Bytt AFFg t l tt t åp løy tjo l 6 B plt g og 45 g g Polplg B v t o tllv opt og yt opt tt pttl ytt : tllv opt og yt opt l o l 4 o llv optg llv optg åp løy tjo: ( K p K Vlg v K p og : K p K P (g; gt (B o: Y( v tllv opt Fo: ( Fy (/ v t tott Kl og å: K pk ( ( ( K pk K pk P (g; gt (B o: Y( v tllv opt Fo: ( Fy (/ p ov og ltv pg l : ζ. l tjo ( l: ( l 5 o l 6 o

37 llv optg g t ot ovvg yt optg åp løy tjo: ( K p K P (g; gt (B o: Y( ( v yt opt Fo: ( v t tott K l. Vlg yt opt. 8 Fy (/ 4 K p K l o l 8 o yt optg yt optg g t tot ovvg Åp løy tjo (: ( 4 ( ( v yt opt Fo: ( P (g; gt (B o: Y( ( l tjo ( l: Fy (/ l 9 o l o Atll jolo ototyg gtl glto l l o l o

38 Epl på v t vå Epl på tg og gt tptt l l o l 4 o Epl på tg og gt tptt Folg tl plg v glto Nvå : ålg og ltg. tøglto o lg. Nvå : tllglto og lglto Nvå : vtyg o tt Nvå 4: Øvg tt jo l 5 o l 6 o Rgltopt gtl Pglto Kp.6: yo otot llvoptg: p K p v K ( p p p p γ ( yt opt: K p v K ( p p p 4 ålt pttlt t tt: l otå gpt ovto l væ t tl å pt ovto ojllg ootovto vgg v yt Fotå ppll ggåt o å tot oll l ly tjoæ ool l jo glto tl Pyo oto l o l 8 o

39 ol ollg: Fyl oto oll og ovtogpt ot oll Oo oll jooll tjoæ ttt pt gtt yo Pt gt yo y ly v otot: yootot Pt gt yo otot ot og tøglg tllglg Pojoglg Etgt ovtyp yo otot oto to ytl og lvt ttll: t v vlv og pll gv. Kv tl øy y. yloovt. otot to ytl og øy tgt: Kopo og pp. Ytl opp tl W og ttll opp tl 5 /. C, ogå pgt opp tl W. otot o lv ytl: Ytl W to v tl y. Potot. l 9 o l o B o yl oll Kolg o polt t vlg Nglj gt tg At t ll vlg tt opp t ot Blt At yt vlg og t yl olt vlg pt o ott vlg o g olt lt. Rt og t t å væ vgg v tpt og v. Ho v olg : N p F (, w o π p N N l o l o Kolg o og /. Ho v olg : N p F (, w o π p : :, og t ttovlg F (, N o π w p F (, N o π w p : F (, π w F (, N π w p N p o N F (, π w N p o( 4 F (, w N p o( π l o l 4 o

40 o l 5 Rovto tl K Rovto tl : P tg K lv g på vto l lv N π o N, ( F p w p w F N F π F tl o l 6 Rovto og pgl Rovto o tø: Bltolg: pgl: π µ µ µ o N g g F H, ( B p w p w p p p N g l N, B( l N A, B( N R π µ π π t R t R o l ojol ovto Kolg: Rlt ovto to ttovlg: lv v : Bvg g t ot på topp v ot ølg. ( π o N, ( F, ( F,, ( F p w ( p w N F F F π ( N o N, t, ( F p w p w π π o l 8 ojol ovto Rovto t oot: g på vto t otogolt yt: o l 9 ojol ovto Pol oot: og vl llo t og vo ε ε ε ξ ς o l 4 jol ovto Rovto t oot: Bvto: ( 5 / / / / / / / / tt o vto: tl

41 jol ovto pgl o yo Rovto pol oot: ε γ g v to øt opot: Vl llo to øt opot: ε t ( / γ pgl: R t R t R t R t R t R t l 4 o l 4 o t t. Egt tto: ( g o( ( g o( 4 ( ( g o( ( 4 Gjg t llo tto og otovlg: ( ( o ( ( o ( ( o( 9 Gjg t llo ttovlg: ( ( / g o( ( ( / g o( ( ( / g o( 4 Fo og j t og 4 g : ( ( o( ( ( o( ( ( ( o( t otovlg og tt llo otovlg: ( ( o( 4 ( ( o( 4 ( ( o( ( 4 l 4 o l 44 o pgl på vto o Btyg v øv pgl: R t R / R R R R R 5 Kootvto: R R vo R : At øv ty t yl ttovlg pt vlg o lgg VWÃ VWWR. to ty t t t vlg. H øv væt lt, vll t ty t t v to vlg tto (. {,, } R: At øv ty t yl otovlg pt vlg o lgg VWÃ RWR. to R ty t t vlg. { R, R, R } tt: ( ( ( R / ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( l 45 o l 46 o

42 otl ot oto oll otl: J Ω t p Ω tot t Ω p t lt ot: p R R / R ( Foålt tot oll: tvl oll o pojovgg t Rpt ll vlg t yt o oto tgt o ltt, v. t tv vlg t lt tjoæt. Clt tjoæt ty tø tjoæt tt l: ojllg tojo; t å vl o pol pt ovto ootvto ojllg yt/ tol og tot oll l 4 o l 48 o l 49 ojo llo t og pol oot Kt oot: pol oot: vo ε og ε t ε vl llo og F vto g : o ε ε ε t o l 5 ojo o vlg t y yt ot v : t tø ovto og ootvto to yt: [ ] [ ] o ojo o vlg. ojo o vlg. t tø og pg y vlg o ål å tv tø og pg {, } v jlp v tojo ojo v å tty vto {, } v jlp v {, } : Fo otovlg å tlv, t å ytt vl llo oto vlg og t y yt ojo v å tty vto {, } v jlp v {, } : o o o o [ o ] [ o ] [ o ] [ o ] o o o ( o o o ( o o p Ω t t l 5 o l 5 o

43 o l 5 ojo o vlg Fo t vlg lt tlv: [ ] [ ] [ ] γ γ γ γ o o [ ] [ ] [ ] 4 ( ( 4 o( o( o γ o l 54 ojo o vlg F Ptojo: / / / 4 ( ( 4 o( o( o 4 ( 4 o( ( o( o v Ptojo: o l 55 ojo o oto vlg yo F Ptojo: v Ptojo: / / / 4 ( ( 4 o( o( o 4 ( 4 o( ( o( o o l 56 ojo o oto vlg yo F tojo: v tojo:,,,, o l 5 Elt lg og otl tot oll Fyl oll: tlg v tot oll: t R R R R R R R 5 / ( R R R p / t R R R R R R R / 5 R R R R ( R R R R t t t t t R o l 58 Elt lg og otl tot oll. ot oll: ott og tt: t R R R R / / / / / / / R R R R R R / 5

44 o l 59 Elt lg og otl tot oll. Følg vlg gt olt: ttovlg, pvlg og ltvlg ttovlg og pvlg Nllytt t olt o v ( ( g g / / o l 6 Elt lg og otl tot oll. ot oll: t R o l 6 Elt lg og otl tot oll. ot oll på opot o: t R t R t R t R t R t R / / / o l 6 Elt lg og otl tot oll. olg v ovto o ojllg vlgtt: { } { } { }, tl ootvto, tl ootvto,, tl ootvto γ γ o l 6 Elt lg og otl tot oll. ot ttyt: ( R R R p / ( ( ( R R p p / / ( ( p p p ε o l 64 lt oll poll G o å ø poll: t ltt å o oto ovltt ltt t g otoytl. Pt p g å y. Nå l plt glto å llvl l vl. llggv o poll o yo: Vlg l t å l oll All gol l l v ll All pgt l v o pl lt ll o pl lt

45 o l 65 lt oll poll Øt o på tt: ( ( Û Î / Û Î / g g [ o l 66 lt oll poll Vlg v v o tto vlg: Û Î,, Û Û, π Vlg v v o vlg gtt v v tl o på tt [ ] [ ] [ ],,,,,,,,,,,,,,,,,, g g g otl 8 v å vlg o l 6 lt oll poll Fo ltpl lgt, t tt pot v lgt og v: Elg o l: t t t o l 68 lt oll poll å o t ll vlg: lt lg o ott:,,,,,, Î Û, Î p Î Û p Ω ( Î p p o l 69 Rlt poll o yo t t t t t t, t J t Ω o l Rlt poll o Pt gt yo ( t t t

46 ,/,G F,F,/,GF,F p p v El El w_l4 w_l4 w_l4 w_l4,/ pwl pwl pwl pwl w_l4 w_l4 w_l4 w_l4,gf,f pwl pwl pwl pwl w_l4 w_l4 w_l4 w_l4 pwl pwl pwl pwl ol ollg: Fyl oto oll og ovtogpt ot oll Oo oll jooll tjoæ ttt pt gtt yo Pt gt yo y ly v otot: yootot Pt gt yo otot ot og tøglg tllglg Pojoglg Etgt Fvoo o pgt oto ggtt oltt ll tytoo Fo å t tl på ttt ytt o gg tpllll tytoltt Atv ot ÃÃÃÃÃÃÃKVHÃ WK\VWRÃEGJH l o l o lvoll o ltt P lvoll o ltt y lv oll: o t (t v R t C t R R R π R lt lg: N N o t (t v t N ( t N R NC R R Bv vlg ltt otot: v l o l 4 o Hvo vlg to? ollg v vltt R g llo v llot og vlg v to (% glv: o,.. Û π π Û. lvoll: Bytt v jog v glto t på PW oll t på vtjtlt: Bytt v tljly;.. v o og o tyg yt glto Î o p ø væ.. ÃÃÃÃÃÃÃKVHÃ WK\VWRÃEGJH l 5 o l 6 o

47 p v El w_l4 w_l4 pwl pwl w_l4 w_l4 pwl pwl w_l4 w_l4 pwl pwl lvoll oll t på vtjtlt l tlt pttl 4: oll t på vtjtlt: (t (t t (t v (t (t t (t v Poll: (t (t t (t v vo v w / (t ( (t (t (t (t ( (t (t (t (t ( (t (t (t (t (t ( (t (t ( (t (t ( (t && (t (t v t (t && (t (t v t (t && (t (t v t vo v w / (t (t (t (t (t (t && Û ÃÃÃÃÃÃÃKVHÃ WK\VWRÃEGJH l o l 8 o Poll t på vtjtlt Poll: g llo vtjtlt og ttopg ovto Poll: (t && (t && (t && (t ( (t ( (t ( && Û (t && (t && (t && (t ( (t ( (t ( && Û Vlg v v t på t llot o oto : && Û Û Î / Û Î Î && 4 tt Ptojo : / / / / / [ ] ( l 9 o l 8 o lg ttopg ovto.. & (t ( (t π( ν &, o ν,..., 6 ν [, ] o ν, ν pgpågt å væ ttoott oot A glto ytt ll t t ot ootyt å pågt to tl ttooot: y oo olt tl y vlg tto ojo t ll pol oot: t t o o t t o o l 8 o l 8 o

48 ol ollg: Fyl oto oll og ovtogpt ot oll Oo oll jooll tjoæ ttt pt gtt yo Pt gt yo y ly v otot: yootot Pt gt yo otot ot og tøglg tllglg Pojoglg Etgt jooll Bytt tl glgt ly otot og o pgglto jo v pt øvg o å g t pv vå oll ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( G( ( ( ( ( " ( ( ( ( " ( ( ( G( " ( ( ( " ( " l 8 o l 84 o g llo tott og ppt 5 " 4 " 6 olg v tott t tj l l l l o l l l l " " l o l l 85 o l 86 o olg v tott t tj olg v tt og tt t t tj l l l l l l o l l l l l l 8 o l 88 o

49 G V V V ' ' p v El w_l4 w_l4 ' ' pwl pwl w_l4 w_l4 pwl pwl V w_l4 w_l4 pwl pwl pgtt oll lltg oll tøtt oll lltg oll ( ( X X V [ ( [ G ( X X V P ( ( ( ( ( V [ X [ ( V X X G V P V X ( ( ( G( V V [ G V *(V ( V ( ( G( V *(V V V [ G ( V ( l 89 o l 9 o ol ollg: Fyl oto oll og ovtogpt ot oll Oo oll jooll tjoæ ttt pt gtt yo Pt gt yo y ly v otot: yootot Pt gt yo otot ot og tøglg tllglg Pojoglg Etgt Fvoo o pgt oto ggtt oltt ll tytoo Fo å t tl på ttt ytt o gg tpllll tytoltt Atv ot ÃÃÃÃÃÃÃKVHÃ WK\VWRÃEGJH l 9 o l 9 o pt gtt yo Rovtog tjoæ ool: [ G G [ [ G p [ V V [ G tt o lolygg: ( V XV V G V δ X V X V V V δ δ ϕ ϕ p o 9 ϕ V yt oto: G X G o( δ ϕ vo o( δ ϕ vo l 9 o l 94 o

50 V V vgg påg o yo tyg o ϕ. vgg pg: o vgg ttopg E ltpg K ty t vl: ott Fltt ttotø vl ool tl vto p o( δ ϕ o δ ϕ oδ p p ( ( o δ p p X V V Vltt på v o ϕ δ [ V V [ G p ( ( NVH l 95 o l 96 o tyg o ϕ. tyg v o jo v å og o ϕ o( og p og /.5 o(..8 Hv Poto?.6.4. o( og / p og Bø ty l t.5 p ( l 9 o l 98 o Plg v vto v. ϕ p tyg vto v. ϕ p o( δ ϕ ϕ δ ϕ p p o( og p og /. p ( X V [ NVH.8.6 Hv Poto? ( ( δ V.4. o( og / p og [ G ( ( l 99 o l o

51 tyg v o jo v å / og ϕ p C tt yo p Ø o ϕ og tyg å lt v otgg Vlg tyto:.4 Kott og p. o( tyg ϕ p å ot o yo ( ( ll og ott p ll og ott ll og γ l o l o ol ollg: Fyl oto oll og ovtogpt ot oll Oo oll jooll tjoæ ttt pt gtt yo Pt gt yo y ly v otot: yootot Pt gt yo otot ot og tøglg tllglg Pojoglg Etgt Pt gt yo o typ: Ovlt ott gt ott gt l o l 4 o Pt gt yo P ovlt ott gt H to vgg pgpåg: ty ot ty ttol ltvgoåt gt t å g ott l: lv å ott lttø vlg yo ( yt oto: Nå ltvg pl (ϕ p : G t ot p. p ( l 5 o l 6 o

52 P ovlt ott gt, l tlltt tø, ltvg å jø gtv opot v tø å å å t ltt: å opot tl å lg ot:,, ø tøt lg opot v ttotø ttt y tl gg l tlltt ttotø og l tlgjglg ttopg,,,,, (,,,,,,,, l o l 8 o lt tlgjglg ot P ott gt P.8 > g ogå t ltot: ( δ ϕ o( δ ϕ ( o( δ ϕ ( δ ϕ.6.4 Ø ottt t ot p. p p.4 å gtv.. opot v tø..4 ϕ p ogå ot!!!.4.6 l 9 o l o ttol vggt v optl og opot o gtt optl opot ( ot p. p: ( ( ( ( vo ( ± l o l o

53 l tlltt og tø t ot,, lt tlgjglg ot, (,,, / p l o l 4 o ol ollg: Fyl oto oll og ovtogpt ot oll Oo oll jooll tjoæ ttt pt gtt yo Pt gt yo y ly v otot: yootot Pt gt yo otot ot og tøglg tllglg Etgt yootot oϕ glg Pl tøvto vl δ o, l t l pg gt l t ttol l l p ± δ A t ± A t l 5 o l 6 o C yootot ott otgg γ ol ollg: Fyl oto oll og ovtogpt ot oll Oo oll jooll tjoæ ttt pt gtt yo Pt gt yo y ly v otot: yootot Pt gt yo otot ot og tøglg tllglg Etgt l o l 8 o

54 o l 9 y oll o P yo Fl o tltvl: tø o tltvl: ( t t ( t t o l y oll o P yo Kolg llo : g olg v ll ttll l oppv olg oovolg glg ( t t o l Bloj o P tø o tltvl o l Rgltott o P P gtot o l optl og opot o gtt optl opot ( ot p. p: ( vo ( ( ± o l 4 Fltvg Flglto: t t æ Pøv å påty gtv tø o å l tt gå på otg v tlltt tø,,, ( ( ( δ δ δ

55 tøglto o P yo ttoott glto ttoott glto: A tøl tjoæt Få v tot ytt ott glto: å to tgg glto ov tl ttoott yt y oo tto P g_ l 5 o l 6 o tøglto ytt olgttv o P yo Kolg llo : t t olgttv: t t l o l 8 o Pg:, o K p,, o K p, Åp løy tjo, v K p ( ( ( ( v K p ( (, ( (,, y tl tlltt ppl t tøglto Pg: ~ wˆ t π w w ~ wˆ t π w w l på glto o å lpp å oppt gltopt v v pg Bytt tllv optg K p K v v, p, ( ( l 9 o l o

56 Kp.6: yo otot ålt pttlt t tt: l otå gpt ovto l væ t tl å pt ovto ojllg ootovto vgg v yt Fotå ppll ggåt o å tot oll l ly tjoæ ool l jo glto tl Pyo oto ol ollg: Fyl oto oll og ovtogpt ot oll Oo oll jooll tjoæ ttt pt gtt yo Pt gt yo y ly v otot: yootot Pt gt yo otot ot og tøglg tllglg Pojoglg Etgt l o l o Rovto tl K Rovto og pgl N tl F Rovto tl : F (, N o π w p F w N p F π P tg K lv g på vto l lv Rovto o tø: Bltolg: pgl: F µ B (, µ H µ g g π N o w p π µ w l N p N p B(, A N p l B(, N p π π g R R R t t l o l 4 o ojol ovto ojol ovto Rovto t oot: g på vto t otogolt yt: Pol oot: ε vo ε vl llo og og ε t ς ξ l 5 o l 6 o

57 o l jol ovto Rovto t oot: Bvto: ( 5 / / / / / / / / tt o vto: tl Gl tj opot o l 8 jol ovto ot γ ll ytt Rovto t oot: Bvto: ( / / / / tt o vto: tl o l 9 jol ovto Rovto pol oot: g v to øt opot: Vl llo to øt opot: ε γ ( / t ε γ o l 4 pgl o yo pgl: t R t R t R t R t R t R o l 4 ot oto oll Foålt tot oll: tvl oll o pojovgg t Rpt ll vlg t yt o oto tgt o ltt, v. t tv vlg t lt tjoæt. Clt tjoæt ty tø tjoæt tt l: ojllg tojo; t å vl o pol pt ovto ootvto ojllg yt/ tol og tot oll o l 4 ojo llo t og pol oot Kt oot: pol oot: F vto g : og vl llo t og vo ε ε ε ε ε ε t o

58 o l 4 ojo o vlg t y yt ot v : tø ovto og ootvto to yt: t [ ] [ ] o l 44 ojo o vlg. t tø og pg y vlg o ål å tv tø og pg {, } v jlp v tojo ojo v å tty vto {, } v jlp v {, } : [ ] [ ] o o o o ( o o o o o l 45 ojo o vlg F Ptojo: / / / 4 ( ( 4 o( o( o 4 ( 4 o( ( o( o v Ptojo: o l 46 Elt lg og otl tot oll. Følg vlg gt olt: ttovlg, pvlg og ltvlg ttovlg og pvlg Nllytt t olt o v o l 4 Rlt poll o yo t t t t t t, t J t Ω o l 48 Rlt poll o Pt gt yo ( t t t

59 Kp.: Ayo otot ålt pttlt t tt: Fotå ppll ggåt o å tot oll Fotå voo vlg otolott oll l ly tjoæ ool l jo glto otolott tyg Fotå t glgg ppp C t o Cotol ol ollg: Fyl oto oll ot oll. lt oll Otg v yt Rotolott oll Aly v tjoæ ool Evvltj o yo tjoæ ttt y ly v otot: Rotolott glg ot og tøglg tllglg pll y v pltg v otolott glto t ot glg C Etgt l 49 o l 5 o ol ollg: Fyl oto oll ot oll. lt oll Otg v yt Rotolott oll Aly v tjoæ ool Evvltj o yo tjoæ ttt y ly v otot: Rotolott glg ot og tøglg tllglg pll y v pltg v otolott glto t ot glg C Etgt B o yl oll Nglj gt tg At t ll vlg tt opp t ot Blt At yt vlg og t yl olt vlg pt o ott vlg o g olt lt. Rt og t t å væ vgg v tpt og v l 5 o l 5 o pgl o yo t pgl: R t R t R t R t R t R t Egt tto: ( ( ( ( ( ( Gjg t llo ttovlg og gjg t llo otovlg : ( ( ( ( ( ( / ( ( ( ( ( ( / l 5 o l 54 o

60 t. pgl på vto o Gjg t llo tto og otovlg: ( ( o ( ( ( 4 o( 4 ( ( ( o( pgl: R t R / R R R R R 5 Kootvto: Fo og j t og 4 g : ( ( o( ( ( o ( ( ( 4 o( ( ( o( ( ( o ( ( o( R R vo tt: R / ( ( ( ( ( ( ( ( ( R ( ( ( ( ( ( ( ( ( l 55 o l 56 o Btyg v øv otl : At øv ty t yl ttovlg pt vlg o lgg VWÃ VWWR. to ty t t t vlg. H øv væt lt, vll t ty t t v to vlg tto (. {,, } R: At øv ty t yl otovlg pt vlg o lgg VWÃ RWR. to R ty t t vlg. { R, R, R } otl: J Ω t p Ω tot t Ω p t lt ot: p R R / R ( l 5 o l 58 o ot oto oll ot oto oll Foålt tot oll: tvl oll o pojovgg t Rpt ll vlg t yt o oto tgt o ltt, v. t tv vlg t lt tjoæt. Clt tjoæt ty tø tjoæt tt l: ojllg tojo; t å vl o pol pt ovto ootvto ojllg yt/ tol og tot oll Foålt tot oll: tvl oll o pojovgg t Rpt ll vlg t yt o oto tgt o ltt, v. t tv vlg t lt tjoæt. Clt tjoæt ty tø tjoæt tt l: ojllg tojo; t å vl o pol pt ovto ootvto ojllg yt/ tol og tot oll l 59 o l 6 o

61 ojo o vlg ojo o vlg Fo t vlg : [ ] [ ] [ ] γ γ γ γ [ o o( o( 4 ] [ ( ( 4 ] [ ] o o γ F Ptojo: o / o( / o( 4 ( 4 / ( v Ptojo: o o( o( 4 ( ( 4 l 6 o l 6 o ojo o oto vlg yo F Ptojo: o o( o( 4 ( ( 4 / / / v Ptojo: o o( o( 4 ( ( 4 Elt lg og otl tot oll Fyl oll: R R R R R R R 5 / t R R ( tlg v tot oll: R R R R R 5 t R p R R / R R R / R R R 5 ( R 5 t t t 5 t t R 5 5 l 6 o l 64 o Elt lg og otl tot oll. Elt lg og otl tot oll. 5 ot oll: R t t R R R / / / / ott og tt: R R R R R R / Følg vlg gt olt: tto og oto vlg tto og oto vlg γytt t olt o v vlg Θ l 65 o l 66 o

62 o l 6 Elt lg og otl tot oll. ot oll på opot o: t R t R t R t R t R t R γ γ γ γ γ γ ( ( ( ( / / / / / / / / γ γ γ γ p t t Ω o l 68 ot γytt. K ytt tojol ovto: p t t Ω ( ( ( / / / / p t R t R Ω o l 69 Elt lg og otl tot oll. ot ttyt: ( R R R p / ( ( ( R R p p / / ( ( p p p ε o l lt oll poll G o å ø poll: t ltt å o oto ovltt ltt t g otoytl. Pt p g å y. Nå l plt glto å llvl l vl. llggv o poll o yo: Vlg l t å l oll All gol l l v All pgt l v o pl lt o l lt oll poll Øt o på tt: [ o l lt oll poll Vlg v v o tto vlg: Û Î,, Û Û, π Vlg v v o oto vlg gtt v oolt llo tll t tto og otovlg lgt: [ ] [ ] [ ],,,,,,,,,,,,,,,,,, g g g

63 o l Rlt poll o yo på opoto t t ( t t ( t t γ γ γ γ γ γ ( t t γ γ γ γ o l 4 ot γytt. K ytt tojol ovto: t t J t Ω ( ( t t o l 5 jo v gtgtø g llo l og gtgtø: tt tty o lolygg: µ µ µ ( ( ( ( µ µ µ o l 6 Otg v yt Følg otg v yt vlg: ttoott oll; v. t ot tt tto vlg ; v. t Rotoott oll; v. t ot tt RWR vlg ; v. t Rovtootg; v. t ot tt ovto. t vlg å ytt otol ovto; v. t. tjoæt l N o l ttoott oll Aytt og NWYH tto og oto vlg pt t ool tl VWWR: tt tty o lolygg: t t ( t t Fo to jol ovto t ovto ttooot l ootvto o l 8 Rotolott oll A p t tl otolvto: N ξ ξ ξ ξ t Rovto : t

64 o l 9 Hvo t vl tl otol? gtt v otol v: o t ty o : F øv lg: t ξ ( t ( t t F lg: o l 8 Eljo v ototø.. F lolygglg: tyt o l : Fo otol plt: t o l 8 ot ot tyt o tot oll: H v yttt : ( ( ( ( ( ( o l 8 pgl tto l ttotøglto ø ttotø og otol o tltvl El å ttol og ototø pglg v jlp v ølg g: pgl tto: " " " t t ( ( o l 8 lltg otolott oll t t ( t t t t " " ξ o l 84 Hv l gl? V to vgg opot v ttopg: ty ott ty l plt Hvl lplt? tto tgpl Roto

65 o l 85 tlg v vvltj tjoæ ool: ( Fl og gtgtø: µ µ µ o l 86 tlg v vvltj.. tt pglg: ( µ µ V V [ V µ V [ K V V [ o l 8 Evvltj t på otol pgl: ( ( ( µ µ V V [ K V [ V R ( ( µ µ o l 88 Evvltj t på otol jo og g: V V [ K V [ V R ( ( µ µ µ µ ( µ o l 89 Kott ttol g pg, v og l: Kl tyg v l ot l tyt ttov: ( o l 9 Kott / g pg, v og l:.5.5 F vt:,.,.4,.6,.8,..,..4,..6,.,

66 g llo l Kott ltgpl tjoæt ot tty: ( ( ( ( (, l 9 o l 9 o Kott otol ottt tjoæt ot tty: l 9 o l 94 o Fltt ol ollg: Fyl oto oll ot oll. lt oll Otg v yt Rotolott oll Aly v tjoæ ool Evvltj o yo tjoæ ttt y ly v otot: Rotolott glg ot og tøglg tllglg pll y v pltg v otolott glto t ot glg C Etgt l 95 o l 96 o

67 o l 9 ojo o vlg F Ptojo: / / / 4 ( ( 4 o( o( o 4 ( 4 o( ( o( o v Ptojo: o l 98 ojo o oto vlg yo F Ptojo: v Ptojo: / / / 4 ( ( 4 o( o( o 4 ( 4 o( ( o( o o l 99 ot γytt. K ytt tojol ovto: t t J t Ω ( ( t t o l 4 Otg v yt Følg otg v yt vlg: ttoott oll; v. t ot tt tto vlg ; v. t Rotoott oll; v. t ot tt RWR vlg ; v. t Rovtootg; v. t ot tt ovto. t vlg å ytt otol ovto; v. t. tjoæt l N o l 4 ttoott oll Aytt og NWYH tto og oto vlg pt t ool tl VWWR: tt tty o lolygg: t t ( t t Fo to jol ovto t ovto ttooot l ootvto o l 4 Rotolott oll A p t tl otolvto: N ξ ξ ξ ξ t Rovto : t

68 o l 4 Hvo t vl tl otol? gtt v otol v: o t ty o : F øv lg: t ξ ( t ( t t F lg: o l 44 Eljo v ototø.. F lolygglg: tyt o l : Fo otol plt: t o l 45 ot ot tyt o tot oll: H v yttt : ( ( ( ( ( ( o l 46 pgl tto l ttotøglto ø ttotø og otol o tltvl El å ttol og ototø pglg v jlp v ølg g: pgl tto: " " " t t ( ( o l 4 lltg otolott oll t t ( t t t t " " ξ o l 48 Hv l gl? V to vgg opot v ttopg: ty ott ty l plt Hvl lplt? tto tgpl Roto

69 Rotolott glg Rotolott glg Oppt v Fl Bl : oto 969 Vlg å l logt o v o poo 8å g tlt t Bytt opot v tto tø ovto o tyg v l: t Bytt opot o tyg v ot: N l 49 o l 4 o Fltvg Yt Rgltott R opot v tto tø ovto o å ltt: t..8 ~/ K ø opot:,,,, (,, ,, ( Atll v l 4 o l 4 o Yt Rgltott ttoott oll Alttvt å ytt t glto jo t på ålt ttll: g g > g t t Ell ogå j lglto (ålg y: ( g g > g l 4 o l 44 o

70 o l 45 Rotol ott oll gt ξ ( t t t t o l 46 6W PHJXOHJÃÃOXNVRHWHWH NRRGWH t olt yt l o o P: Bytt olgl o o P : t t o l 4 6W PHJXOHJÃÃOXNVRHWHWH NRRGWH Pglto vl. O yt: Åp løy tjo : " " " t t ( ( K " ",, p o K,, p