Vår/2013/skriftlig hjemmeeksamen utsatt eksamen. Matematikk 2. 4MX Vedlegg 1. Vedlegg 2. Vedlegg 3 SENSURVEILEDNING OPPGAVETEKSTEN*

Transkript

1 SENSURVEILEDNING EMNEKODE OG NAVN* SEMESTER/ ÅR/ EKSAMENSTYPE* Matematikk 2. 4MX25-10 Vedlegg 1 OPPGAVETEKSTEN* Vår/2013/skriftlig hjemmeeksamen utsatt eksamen Vedlegg 2 RELEVANT PENSUMLITTERATUR * EKSAMENSKRAV* Innhold o Hva bør være med i besvarelsen? o Vedlegg 3

2 Form/ struktur/ språklig fremstilling og logisk sammenheng OPPGAVENS KARAKTER TOLKING AV OPPGAVETEKSTEN Sted/ dato: Navn: FAGLÆRER/ OPPGAVEGIVER Trondheim, Heidi Strømskag Måsøval, Frode Rønning Bente Østigård

3 Vedlegg 1 1 Skriftlig hjemmeeksamen i MATEMATIKK 2, 4MX studiepoeng UTSATT EKSAMEN mai Sensur faller innen Resultatet blir tilgjengelig på studentweb første virkedag etter sensurfrist, dvs (se Timer: 16 (forventet tidsbruk). Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt. En gruppe elever på 10. trinn arbeider med oppgaven gjengitt i rammen nedenfor. Oppgave a) I den rettvinklede trekanten ABC er AB = 7 cm og BC = 8 cm. Finn AC. b) Punktet D ligger på AB og E ligger på BC slik at DE står vinkelrett på AB og trekanten DBE har halvparten så stort areal som trekanten ABC. Hvor lang er DB, BE og DE? Linda, Tor, Helen og Jacob jobber sammen. Første del av samtalen deres er gjengitt på sidene 2 og 3: Du skal analysere episoden etter føringer som er presentert på sidene 3 og 4. Transkripsjonskoder: _ tekst i kursiv (tekst i parentes) representerer en pause på opptil tre sekunder representerer avbrytelse representerer trykk informasjon om ikke-verbal handling

4 2 Transkripsjonen er normalisert så nært opp til elevene sitt talespråk som mulig. 1. Tor: Vi tar a) først. BC er den lengste sida, og AC er den korteste. Så da må jo AC være fire. 2. Linda: Hvorfor det? Hvorfor fire? 3. Tor: Jo, for den lengste er jo dobbelt så lang som den korteste. 4. Linda: Jeg trodde vi måtte bruke Pytagoras. 5. Tor: Ja, det går vel også an. (Linda skriver: ) 6. Linda: Kvadratet av sju, førtini, kvadratet av åtte, sekstifire, sekstifire minus førtini, det er femten. Og rota av det jeg har ikke kalkulator. Tor, hva blir rota av femten? 7. Tor: (trykker på kalkulatoren) Det blir fire. 8. Linda: Akkurat fire? 9. Tor: Nja, tre komma åtte og noe, men dette blir jo ikke helt nøyaktig, så det er fire, akkurat som jeg sa. 10. Jacob: Da er vi ferdig med a). Vi skriver at sidene er sju, fire og åtte. DBE skal være halvparten av ABC. Ja, da blir det jo tre og en halv, to og fire på den da. 11. Linda: (markerer D midt på AB, E midt på BC og trekker DE ) Den ser mye mindre ut enn halvparten. 12. Tor: Ja, den gjør egentlig det, men den er nå halvparten da, på en måte. Sidene er halvparten. 13. Helen: Ja, men vi skulle jo ha arealet. Det kan vi regne ut. (skriver ) ABC grunnlinja sju, høyden fire, sju ganger fire er tjueåtte, delt på to fjorten. Arealet av ABC er fjorten. Så blir det tre og en halv ganger to hva er det? 14. Tor: (regner på kalkulatoren) Det er sju. 15. Helen: Ja, og så delt på to. 16. Tor: (regner på kalkulatoren) Tre komma fem. 17. Helen: Arealet av DEF er tre komma fem. 18. Tor: Men det skulle jo ha vært sju. Vi må ha regnet feil. 19. Jacob: OK, arealet skal være sju. Arealet av DBE er grunnlinja ganger høyden delt på to. Grunnlinja er DB, høyden er DE (skriver ), er lik sju. Men her er det jo to ukjente. Det må være noe vi har gjort galt. 20. Linda: Jeg synes fortsatt dette med at den lengste sida er dobbelt så lang som den korteste er rart. Det er da ikke alltid sånn med Pytagoras?

5 21. Helen: I læreboka står det noe om at når vinklene i en trekant er tretti, seksti og nitti grader, så er den korteste kateten halvparten av hypotenusen. Vi vet ikke om de er det her. 22. Tor: Nei, vi vet ikke det. Kan vi finne det ut? Er det noen som har gradskive? 23. Jacob: Ikke jeg. 24. Linda: Ikke jeg heller. Men kanskje det går an å regne det ut? 25. Jacob: Aner ikke. 26. Helen: Nå kom jeg på noe. Jeg var på et skikurs i vinter, og der lærte vi at hvis vi stod i en bakke og satte skistavene slik 3 (tegner figuren ), slik at når staven bortover settes halvveis opp på den oppover, og da når akkurat borti bakken, så er det fare for at det kan gå snøras. Betyr det at det er 30 grader bratt da? 27. Tor: Det var snedig. Da er den (peker på nederste del av den loddrette staven) halvparten av den (peker på den vannrette staven). 28. Linda: Ja, den korte er halve av den lange, akkurat som på figuren i læreboka, tretti, seksti og nitti. Men tretti grader er vel ikke så bratt. Jeg har da sikkert stått på ski i brattere bakker enn det. 29. Jacob: Ja, men, hysj nå da. Se her. Det er noe med sånn (skriver ) 30. Linda: Men AC er ikke akkurat fire. 31. Jacob: Ja, ja, samme det. Men det blir i hvert fall sånn (skriver ). Og da er det på en måte ikke to ukjente. Så hvis vi klarer å regne ut dette. Eksamensbesvarelsen skal inneholde følgende deler: Del I Du skal først løse oppgaven som elevene arbeidet med selv. Gjennomfør så en faglig, matematisk analyse av det temaet som observasjonen er basert på. Her forventes en faglig redegjørelse for viktige begrep, definisjoner, algoritmer/prosedyrer, sammenhenger og resultater (setninger, formler) med bevis, som er relevante for den faglige konteksten som den gitte observasjonen er hentet fra (der du tar utgangspunkt i oppgaven til elevene). Du skal gi en sammenhengende framstilling som er basert på at du forklarer sammenhenger på din egen måte. Det er liten verdi i å resitere fra en matematisk tekst uten at du forklarer elementene i teksten på en måte som viser at du selv har en forståelse for elementene, og sammenhengen mellom dem. Del II En matematikkdidaktisk analyse av det temaet som observasjonen er basert på. I denne delen skal du redegjøre for hvordan de matematiske elementene fra Del I kan transformeres slik at de kan undervises (og læres) på det aktuelle klassetrinnet. Her forventes en didaktisk redegjørelse for viktige begrep, definisjoner, algoritmer/prosedyrer, sammenhenger og

6 resultater (setninger, formler) med bevis. Dette innebærer blant annet en redegjørelse for ulike representasjoner av matematiske objekter som er relevante for temaet. Videre er det naturlig å komme inn på didaktiske utfordringer som kan være knyttet til temaet og hvordan du tenker at disse kan løses. Del III En analyse av dialogen som utgjør observasjonen. Her skal du komme inn på følgende: - Karakteriser interaksjonen mellom elevene med tanke på innspill de kommer med (forslag, spørsmål, svar og forklaringer av matematiske sammenhenger) og utnyttelse (eller manglende utnyttelse) av hverandres innspill. - Hva tolker du som utfordringer for elevene i deres arbeid med oppgaven? Begrunn. - Identifiser ytringer som har et potensial med tanke på å nå målkunnskapen, slik du tolker det. Begrunn. - Identifiser ytringer som virker forhindrende med tanke på å nå målkunnskapen, slik du tolker det. Begrunn. - Redegjør for hvordan episoden gir muligheter for læringsfremmende tilbakemeldinger. Tenk deg at du var lærer i denne klassen og observerte Linda, Tor, Helen og Jacob sitt arbeid med oppgaven. Hvilke innspill ville du ha kommet med som lærer (vær tydelig på hvor i dialogen du ville ha kommet med de enkelte innspillene)? Begrunn dine standpunkter. Det er forventet at besvarelsens Del III skal bygge på det du har presentert i Del I og Del II. I alle de tre delene skal du bruke teori og oppgi kilder i henhold til krav til fagtekster ved HiST ALT (se I Del II og Del III er det også relevant å bruke teori (f.eks. læringsteori og teori om interaksjon i det matematiske klasserommet) fra Matematikk 1 (5-10). Besvarelsen skal ikke overstige 4000 ord. Totalt antall ord skal settes inn til slutt i besvarelsen (se nedenfor hvordan dette gjøres i MS-Word). Innleveringsfrist: Torsdag 16. mai kl Lykke til! 4

7 5

8 Vedlegg 2 Pensumliste for 4MX25-10-A studieåret Pensumlitteratur Blomhøj, M. (1997). Funktionsbegrebet og 9. klasse elevers begrebsforståelse. Nordisk Matematikkdidaktikk, 5(1), Fosnot, C. T., & Jacob, B. (2010). Young mathematicians at work: Constructing algebra. Portsmouth, NH: Heinemann. Kap. 5 og 8. Gulliksen, T., & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Oslo: Universitetsforlaget. Kap 4, Kompendiet «Kontinuitet, deriverbarhet og integrerbarhet» (hentet fra Kap 2, 5 og 6). Hansen, H. C., Skott, J., & Jess, K. (2007). Matematik for lærerstuderende: Ypsilon. Basisbog (Bind 1 og 2). Frederiksberg: Forlaget Samfundslitteratur. Kap. 1, 11, 15 og 18. Hodgen, J., & Wiliam, D. (2006). Mathematics inside the black box. Assessment for learning in the mathematics classroom. London: GL assessment. Hole, A. (2006). Grunnleggende matematikk i skoleperspektiv. Oslo: Universitetsforlaget. Kap. 3, 4, 6, og 8. Niss, M., Jensen, T. H. Kompetencer og matematiklæring. Ideer og inspiration til udvikling av matematikundervisning i Danmark. København: Undervisningsministeriet. Kap. 3 og 4. Rønning, F. (2009). Hvor mange kanter har en firedimensjonal terning? Nämnaren, 36(3), Schou, J., Skott, J., Jess, K., & Hansen, H. C. (2008). Matematik for lærerstuderende: Omega klassetrin. Frederiksberg: Forlaget Samfundslitteratur. Kap. 7, 8, 9, 13 og 14 (til side 338). Skott, J., Jess, K., & Hansen, H. C. (2008). Matematik for lærerstuderende: Delta. Fagdidaktik. Frederiksberg: Forlaget Samfundslitteratur. Kap. 8 og 9. Wiliam, D. (2002). Formative assessment in mathematics. I L. Haggarty (red.), Aspects of teaching secondary mathematics. Perspectives on practice (s ). Oxon: RoutledgeFalmer. Stoff som er behandlet i undervisningen og i obligatoriske arbeidsoppdrag er også aktuelt under eksamen. Kap. 2, 3 og 7 fra Delta (Skott, Jess, & Hansen, 2008), som var pensum i Matematikk 1, er også aktuelle til eksamen.

9 Vedlegg 3 Matematikk 2 (5-10) Individuell hjemmeeksamen, utsatt eksamen, H2012-utfyllende informasjon Som eksempel på en klasseromssituasjon som kunne ha vært grunnlag for eksamen er i dette notatet gjengitt dialogen Defending Reasonableness. Division of Fractions, hentet fra (Boaler & Humphreys, 2005). Elevene i episoden er år gamle, og episoden handler om divisjon med brøk. I dette notatet gis det eksempler på momenter som det ville være naturlig å komme inn på i en eksamensbesvarelse med utgangspunkt i den gitte klasseromssituasjonen. Notatet må ikke oppfattes som et løsningsforslag. Det trekker fram en del fagbegrep som bør være med i besvarelsen, men går ikke inn på å forklare disse begrepene. F.eks. når det nedenfor står at en besvarelse må inneholde en beskrivelse av delingsdivisjon og målingsdivisjon, så forklarer ikke notatet hva som ligger i disse begrepene, men en eksamensbesvarelse må inneholde en slik forklaring. Del I. Faglig matematisk analyse Utgangspunktet for episoden er regneoppgaven 1: 2 =. Denne inneholder to 3 matematikkfaglige tema, divisjon og brøk. I besvarelsen vil det derfor være rimelig å legge opp til én del om divisjon og én del om brøk der en gjør rede for generelle aspekter ved de to begrepene, men etter hvert utvikler teksten slik at begrepene kobles sammen. Divisjon Besvarelsen må her beskrive de to hovedmodellene for divisjon, delingsdivisjon og målingsdivisjon, og hva som kjennetegner disse. Det kan være naturlig å vise et eksempel på hver av modellene som tydelig viser hvordan de skiller seg fra hverandre. Videre må det gjøres rede for hvordan de to modellene kan realiseres i situasjoner der brøk inngår, enten som dividend eller divisor (disse begrepene må gjøres rede for), eller begge deler. Sammenhengen mellom multiplikasjon og divisjon bør også diskuteres. Brøk Her må det gjøres rede for ulike aspekter ved brøkbegrepet, såsom del av helhet, tall på tallinja, operator, resultat av divisjon, forholdstall. Videre må en komme inn på selve brøknotasjonen og de ulike elementene i den, inkludert notasjon som blandet tall. En bør også drøfte ulike representasjoner av brøk, og spesielt drøfte hvilke representasjoner som vil egne seg for de ulike aspektene ved brøk. I hele teksten er det viktig å begrunne det som sies, f.eks. hva er det som gjør én bestemt representasjon gunstig eller ugunstig i forbindelse med ett bestemt aspekt av brøkbegrepet. I forbindelse med brøk som del av helhet er det spesielt viktig å diskutere betydningen av en klar bevissthet om hva som er helheten, og hvordan man kan veksle mellom å betrakte ulike størrelser som helheten, og hvilke konsekvenser dette har. Regning med brøk Det vil være rimelig å gjennomgå sentrale elementer knyttet til brøk og de fire regneartene. Her vil det være naturlig å legge hovedvekten på divisjon, men multiplikasjon bør også gis en del oppmerksomhet. Det bør gjøres spesielt rede for regelen for å dividere med en brøk, og hvorfor det å multiplisere med den omvendte brøken fungerer. I den sammenheng bør regelen for å multiplisere en brøk med en brøk diskuteres. En bør koble regning med brøk til aspekter ved brøkbegrepet og bl.a. komme inn på hvilke aspekter som er gunstige eller ugunstige i forbindelse med de ulike regneoperasjonene.

10 Del II. Matematikkdidaktisk analyse Her må du ta utgangspunkt i det aktuelle klassetrinnet som episoden er hentet fra og sette deg inn i hva elevene på dette trinnet er forventet å ha arbeidet med i matematikk i henhold til læreplanen. Siden du ikke kjenner de aktuelle elevene, må du ut fra episoden danne deg et inntrykk av hva de faktisk behersker både når det gjelder begreper, representasjoner og algoritmer/prosedyrer. Hvis du ikke synes du får tilstrekkelig innsikt i denne gjennom episoden, kan du, med basis i læreplanen, gjøre antakelser som du bygger den videre drøftingen på. Dette vil være den bakgrunnen som du må gjøre rede for og som, sammen med den matematikkfaglige konteksten, danner grunnlaget for de valg du gjør om matematikkdidaktiske tema som du vil drøfte mer inngående. Du skal redegjøre for hvordan de matematiske elementene fra Del I kan transformeres slik at de kan undervises (og læres) på det aktuelle klassetrinnet. I forbindelse med dette bør du, med støtte i læreplanen, formulere relevante læringsmål for elevene i det emnet som behandles. I tilknytning til den foreliggende episoden kan følgende tema være aktuelle å ta opp: aspekter ved brøk som er relevante i den gitte konteksten representasjoner av brøk som er spesielt nyttige modeller for divisjon som er relevante Videre bør du her gi eksempel på realistiske kontekster som kan være aktuelle å bruke for å diskutere divisjon med brøk allment, og regnestykket 1: 2 3 spesielt. Du bør også nevne kontekster som ikke er tjenlige, og begrunne hvorfor de ikke fungerer. Du må drøfte hvordan du vil forholde deg til regneregler, spesielt regelen om å multiplisere med den omvendte brøken. I sammenheng med dette bør du også drøfte hvordan du vil behandle regelen for å multiplisere en brøk med en brøk. Her kan det være naturlig å komme inn på begrepene instrumentell og relasjonell forståelse og/eller begrepene begrepskunnskap og prosedyrekunnskap. I forbindelse med divisjon bør du drøfte hvordan du vil forholde deg til bruk av sammenhengen mellom multiplikasjon og divisjon. Hvilke fordeler og ulemper kan det være med å legge stor vekt på å se divisjon som det omvendte av multiplikasjon? Du bør vise at du har kunnskap om didaktiske utfordringer knyttet til både brøk og divisjon. Det kan f.eks. være naturlig å diskutere eventuelle utfordringer knyttet til utbredte oppfatninger som multiplikasjon gjør større og divisjon gjør mindre. Del III. Analyse av klasseromsobservasjon Her er det viktig å sette seg grundig inn i teksten i eksamensoppgaven og den tilhørende dialogen. I eksamensoppgaven vil det bli gitt føringer for analysen, og disse vil variere mellom de ulike eksamensoppgavene. Les dialogen nøye, og skaff deg en oversikt over hva som foregår i episoden. Identifiser ytringer som du mener er spesielt relevante i forhold til de føringene som er gitt i oppgaveteksten. I en slik analyse bør du ta utgangspunkt i en teori for læring som du mener er forenlig med den situasjonen som dialogen handler om, og så, under analysen, bruke språk og begreper som hører hjemme i den læringsteorien du velger som grunnlag. Du skal underbygge påstandene dine ved å henvise til konkrete hendelser i dialogen; ytringer, det som skrives, eller andre handlinger. Se også informasjonsnotatet om individuell hjemmeeksamen.

11 Defending Reasonableness. Division of Fractions (Boaler & Humphreys, 2005) 1. TEACHER: What would this one be? (skriver 1: 2 = på tavla.) Without doing a rule 3 that you know, like, see if you can make sense of why, what one divided by two- thirds is. 2. STUDENTS: (in small group) It s one and a half TEACHER: Yeah, but why does it make sense, visually?... (Addressing the whole class) All right, let s hear what some people have to say. Leslie. 4. LESLIE: What is the answer? 5. TEACHER: Yeah, say what you think it is. 6. LESLIE: I think it s six. 7. TEACHER: And you think it s six because LESLIE: Because a third goes into one three times and then two times three is six. 9. TEACHER: All right. Um, other thoughts about this? Um, Claire. 10. CLAIRE: I got one and a half. I switched around the three and the two. 11. TEACHER: I can t hear. 12. CLAIRE: Um, I got one and a half because I made the three the numerator and the two the denominator TEACHER: You used the reciprocal of three- halves of two- thirds. 14. CLAIRE: Yeah. 15. TEACHER: Why? 16. CLAIRE: Because on the other one we switched around the numerator and denominator TEACHER: Yeah, and so see what s, here s what, here s where I m going with this today. Before the end of class today you re going to have a rule and some people already know the rule, but I don t care about the rule right now. What I want to know is, can anybody make sense of this? Let s just, so right now we have two different answers. We have the answer six and Leslie s saying it s because you divide, there s three one- thirds in one and then two times three is six. And then we have the other theory that the... Put your hands down... The other theory is that the answer s one and a half, but we don t know why except the rule works. So the rule working is not good enough today. All right, so why does it make sense? Why does Leslie s answer make sense? Why does one and a half make sense? I want to know why it makes sense... OK. I ve got almost one hand up in every group but not quite. I want every group to come up with what makes sense. Some reason, why. Put those heads together. 18. JESSE: (In small group) It s like, uh, how many two- thirds are in one. Two thirds, so that s one, and then half of two- thirds is one- third, two- thirds plus one- third is three- thirds, which is one, right? That s what I thought! TEACHER: Excuse me. This is really interesting. The side of the room that I talked to, about half of the people thought it was six and about half of the people thought it was one and a half. And then I found Sam willing to make an argument for one and a half, so, Sam, would you go to the board and draw your picture and you can erase the other pictures so far. And would you erase the other arithmetic, too, so we start with a new problem? 20. SAM: Well, if you have, if you have this... OK, that s not equal but, if that s one whole and if these two parts are shaded, then that s two- thirds, right? Of that. And this one

12 doesn t count now, so that s two- thirds and this is the other one- third and so if you draw... this is a whole. See, that s the whole, right? And if you take these two and put them here, like it was, and then you still have these, then you still have the one- third left and one- third is half of two- thirds and so you just add one- half. And that s what I was thinking. Sam tegner først den høyre figuren og markerer med kryss i hver av to deler. Så tegner han den venstre figuren og markerer med kryss i den øverste og den nedre venstre delen. Til slutt markerer han med kryss i den nedre høyre delen. 21. TEACHER: Now, remember the day we talked about convince yourself, convince a friend, and convince a skeptic. Anybody want to, let s see if anybody can challenge Sam or push on his thinking a little bit. 22. MICHAEL: OK. Well, that s exactly what I was thinking and that s how I convinced our table because we had a couple people here who thought it was six. But then I pretty much convinced them that it wasn t. 23. TEACHER: Zach or Ben, are you willing to talk about what Michael Ann said that convinced you? 24. BEN: Everything. 25. ZACH: I thought it was one and a half at the beginning. He was the skeptic. 26. TEACHER: You were the skeptic? Now really, this would be really great. What made you change your mind? 27. BEN: Um, it made more sense to me than before. 28. TEACHER: Can you explain it now? 29. BEN: I think so. 30. TEACHER: OK. Would you try, please? Because if you can explain what somebody else said then you are one notch further up in your ability to understand it. OK. 31. BEN: Well, it s two- thirds and two- thirds goes into one, one whole time. And there s still a little half left over, or a little one- third left over. And so you try to fit it in there. Not all of it fits, only half of it fits and so it s one and one half times. 32. TEACHER: Anyone want to comment to Ben? 33. EVAN: I agree with you and Sammy and Michael, I just thought of it in a line way. Where it s on a line. 34. TEACHER: Could you show your line way, then? So, the more ways we have it... We re going to have to hear from the six people then because there s got to be maybe some people who are still thinking the answer is six. 35. EVAN:... one and so right here there s a two- thirds mark. So, from like here to here it goes into it one time, one full time, like Ben said. So that s like considered one. Then here is one- third left and one- third is one- half of two- thirds, so times two- thirds equals... oh wait. One- third is one- half of two- thirds. Evan tegner en figur og skriver på tall som vist nedenfor. Han markerer de to første tredelene med én bue og den neste tredelen med en annen bue.

13 TEACHER: How would you write that? One- third is half of two- thirds? 37. EVAN: Oh, I think... no wait. I m not sure. 38. TEACHER: Maybe you could get help from someone in the class. 39. EVAN: All right, Cheryl. 40. CHERYL: Two- thirds, you write two- thirds times one- half and then you get one- third. Evan skriver på tavla etter Cheryls diktat: = 2 6 = EVAN: OK, yeah. So then two- sixths is equal to one- third and that s that part. One- third. So that one- third is like one- half of the two- thirds, so then you can consider it one and a half. 42. TEACHER: Cheryl. 43. CHERYL: I had another way of thinking about it, like as in a number sentence way. 44. TEACHER: Will you go up? 45. CHERYL: OK. So, the problem is one divided by two- thirds and that equals blank. And then also regarding, you know how you can go the inverse, so it can go either way. So then you can do this times two- thirds equals one. And so, that s going to be three over two, which is also one and a half. 1: 2 3 = Cheryl skriver på tavla mens hun snakker: 2 3 = TEACHER: Why does that make sense? Or does it make sense? 47. CHRISTINE: I don t really understand, like, I still think it s six because, um, I TEACHER: Oh wait, Christine. And I know you ve had your hand up and I want to call on you about why it s six but just, what method is Cheryl using here for this one?... OK. Since people aren t remembering, remember yesterday we talked about that fam..., the four related number sentences? Can anybody, well, OK, so you chose another number sentence to show why that would be true. OK. Um, Christine, and you still think it s six? 49. CHRISTINE: Yeah because me and Alicia kind of have the same method. Well, what we did TEACHER: You and who have the same method? 51. CHRISTINE: Alicia. 52. TEACHER: OK. 53. CHRISTINE: And like well, we, multiplied the numerator by the denominator and then multiplied that by the whole number, which equals, because two times three equals six.

14 54. TEACHER: Could you go up and show what you did?... Is this the kind of problem that you can have two different answers to? 55. STUDENTS: No. 56. TEACHER: No. Some problems could have more than one answer or a range of answers, but in this case we agree that there has to be, so the question is which is the most sensible way of interpreting this problem? 57. CHRISTINE: Um, two times three equals six and um, six times one equals six. 58. TEACHER: And why does that make sense, Christine? 59. CHRISTINE: I don t... um TEACHER: Leslie, what do you think about, what do you think about your original answer? 61. LESLIE: Well, I thought it was six but then I don t think it can be that big. 62. TEACHER: Ah, why don t you think it could be that big? 63. LESLIE: Well, because you re doing, like, one divided by two- thirds, and it would be less than six. I don t know any other way to do it. 64. TEACHER: So you were trying to figure out, and you re trying to figure out, something to do with numbers. 65. CHRISTINE: I was thinking about Cheryl s method and I don t really understand it that much, but I m trying to, I was looking at it and it makes sense now. 66. TEACHER: OK, we ve got two people who are just about having a fit over here. Would you call on a few people? 67. CHRISTINE: Um, Amy. 68. AMY: Well, if you multiply six by two- thirds, it wouldn t equal one. 69. TEACHER: Oh, you re checking the inverse operation. 70. AMY: Yeah. 71. CHERYL: You know you wrote two times three. That wouldn t be right because the line um, is, means divide so it would be two divided by three, kind of- ish. Because the line separating the two and the three is a divide sign. 72. TEACHER: OK. So I m going to stop this right now because here s something that really, I think is the biggest danger in math is that you follow rules, you do things with numbers. It s kind of like waving your magic wand. Referanse Boaler, J., & Humphreys, C. (2005). Connecting mathematical ideas. Middle school video cases to support teaching and learning. Portsmouth, NH: Heinemann.