du leser dette kapitlet, bør du gjøre deg kjent med kapittel 6: Grafisk fremstilling av funksjoner.

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "du leser dette kapitlet, bør du gjøre deg kjent med kapittel 6: Grafisk fremstilling av funksjoner."

Transkript

1 Kapittel 10: Tredimensjonale grafer 10 Forhåndsvisning av tredimensjonale grafer Grafisk fremstilling av tredimensjonale ligninger Forskjeller mellom tredimensjonale grafer og funksjonsgrafer Bevege markøren i tredimensjonale grafer Rotere og heve synsvinkelen Animere tredimensjonale grafer interaktivt Bytte format på akser og stiler Plotting av konturer Eksempel: Konturer av en kompleks moduloverflate Implisitte plott Eksempel: Det implisitte plottet av en komplisert ligning Dette kapitlet beskriver hvordan du fremstiller tredimensjonale ligninger på TI-89 / TI-92 Plus. Før Z du leser dette kapitlet, bør du gjøre deg kjent med kapittel 6: (x,y,z) Grafisk fremstilling av funksjoner. z I en tredimensjonal graf av en ligning for z(x,y), er plasseringen av et punkt definert slik det er vist her. x y Det utvidete bildet lar deg studere en tredimensjonal graf mer inngående. Eksempel: Normalt bilde Utvidet bilde Tips: Hvis du vil vise grafen langs x, y,eller z-aksen, kan du trykke henholdsvis X, Y, eller Z. Tips: Hvis du skal skifte fra en formatstil til en annen (og hoppe over IMPLICIT PLOT), trykker du: TI-89: j [F] TI-92 Plus: F Du beholder den gjeldende visningen (utvidet/normal). Obs! Hvis du skal skifte til IMPLICIT PLOT (via dialogboksen GRAPH FORMATS), trykker du: Hvis du vil bytte mellom normalt og utvidet bilde, trykk på p (multiplikasjonstasten, ikke bokstaven X). Når du fremstiller en tredimensjonal graf, brukes det utvidete bildet automatisk hvis: Du definerer eller endrer det grafiske formatet til CONTOUR LEVELS eller IMPLICIT PLOT. Den forrige grafen brukte det utvidete bildet. Hvis du trykker en tast for å forandre grafen, bytter skjermen automatisk til normalt bilde. Du kan ikke forandre eller fremstille en graf i det utvidete bildet. Kapittel 10: Tredimensjonale grafer 153

2 Forhåndsvisning av tredimensjonale grafer Lag en graf av den tredimensjonale ligningen z(x,y) = (xò y ì yò x) / 390. Fremstill grafen ved å bruke markøren til å endre verdiene på vindusvariablene eye, som kontrollerer synsvinkelen. Vis deretter grafen i ulike grafiske formater. Fremgangsmåte ³ TI-89 Tastetrykk TI-92 Plus Tastetrykk Skjermbilde 1. Åpne dialogboksen MODE. Velg 3D for å få Graph-modus. 3 B 5 3 B 5 2. Vis og tøm Y= Editor. Definer deretter den tredimensjonale ligningen z1(x,y) = (xò y ì yò x) / 390. Legg merke til at implisitt multiplikasjon er brukt i tastetrykkene. # ƒ8 cxz3y YZ3Xd e390 # ƒ8 cxz3y YZ3Xd e Bytt grafisk format for å vise og merke aksene. Sett også Style = WIRE FRAME. Du kan tegne i alle grafiske formater, men WIRE FRAME er det raskeste formatet. 4. Velg visningskuben ZoomStd. Denne tegner automatisk opp en graf av ligningen. Mens ligningen beregnes (før den tegnes), vises en beregningsprosent i den øverste delen til venstre på skjermen. Obs! Hvis du allerede har brukt tredimensjonale grafer, kan det hende grafen vises i utvidet bilde. Når du fremstiller grafen, returnerer skjermen til normalt bilde automatisk. (Bortsett fra ved grafisk fremstilling, kan du gjøre de samme tingene i normalt og utvidet bilde.) Í DB2 DB2 DB1 F DB2 DB2 DB1 6 6 p (trykk på p for å bytte mellom utvidet og normalt bilde) p (trykk på p for å bytte mellom utvidet og normalt bilde) 5. Vis grafen ved å redusere variabelverdien eyef. D eller C kan påvirke eyeq og eyeψ, men i mindre grad enn eyef. Hvis du vil animere grafen, trykk og hold markøren nede i ca. 1 sekund, og slipp den opp igjen. Trykk for å stoppe. DDDD DDDD DDDD DDDD 154 Kapittel 10: Tredimensjonale grafer

3 Fremgangsmåte ³ TI-89 Tastetrykk TI-92 Plus Tastetrykk Skjermbilde 6. Sett grafen tilbake i den opprinnelige retningen. Flytt deretter synsvinkelen langs bildebanen rundt grafen. 0 (null, ikke bokstaven O) AAA 0 (null, ikke bokstaven O) AAA Hvis du vil vite mer om bildebanen, kan du se side Vis grafen langs x-aksen, y- aksen, og deretter z-aksen. X X Grafen har den samme formen langs y-aksen og x-aksen. Y Y Z Z 8. Returner til den opprinnelige retningen. 9. Vis grafen i ulike grafiske formater. 0 0 Í (trykk Í for å bytte fra én stil til den neste) F (trykk F for å bytte fra én stil til den neste) HIDDEN SURFACE CONTOUR LEVELS (kan kreve ekstra tid for å beregne konturer) WIRE AND CONTOUR WIRE FRAME Obs! Du kan også vise grafen som et implisitt plott ved å bruke dialogboksen GRAPH FORMATS (ƒ 9 eller ). Hvis du trykker TI-89: Í TI-92 Plus: F for å bytte mellom stiler, vises ikke det implisitte plottet. Kapittel 10: Tredimensjonale grafer 155

4 Grafisk fremstilling av tredimensjonale ligninger Når du skal fremstille tredimensjonale ligninger grafisk, bruker du samme fremgangsmåte som for y(x)-funksjonene beskrevet i kapittel 6: Grafisk fremstilling av funksjoner. De forskjellene som gjelder for tredimensjonale ligninger, er beskrevet nedenfor. Grafisk fremstilling av tredimensjonale ligninger Sett grafisk modus (3) til 3D. Velg også vinkelmodusen (Angle), om nødvendig. Definer tredimensjonale ligninger i Y= Editor ( #). Tips: Hvis du vil slå av statistiske plott (kapittel 16), trykk 5 eller bruk for å deaktivisere dem. Velg ( ) hvilken ligning som skal fremstilles grafisk. Du kan bare velge én tredimensjonal ligning. Obs! Når det gjelder tredimensjonale grafer, kalles skjermbildet "visningskuben". Zoom endrer også visningskuben. Tips: For å hjelpe deg med å se retningen på 3D-grafer, kan du slå på Axes og Labels. Obs! Før grafen vises, viser skjermen en beregningsprosent. Definer visningskuben ( $). Bytt grafisk format etter behov. ƒ 9 eller TI-89: Í Fremstill grafen for ligningen ( %). Studere grafen Tips: Du kan også regne ut z(x,y) under sporingen. Tast inn x-verdien og trykk på ; tast deretter inn y- verdien og trykk på. Fra Graph-skjermbildet kan du: Spore ligningen. Bruke Zoom-verktøyene på menyen til å forstørre eller forminske en del av grafen. Enkelte av menyvalgene er nedtonet fordi de ikke gjelder for tredimensjonale grafer. Bruke verktøymenyen Math til å beregne ligningen ved det angitte punktet. Bare 1:Value er tilgjengelig for tredimensjonale grafer. 156 Kapittel 10: Tredimensjonale grafer

5 Forskjeller mellom tredimensjonale grafer og funksjonsgrafer Dette kapitlet forutsetter at du allerede er kjent med hvordan du tegner grafer til y(x)-funksjoner, som beskrevet i kapittel 6: Grafisk fremstilling av funksjoner. Denne delen beskriver forskjellene ved tredimensjonale ligninger. Definere grafisk modus Bruk 3 for å sette Graph = 3D før du definerer ligninger eller Window-variabler. I Y= Editor og Window Editor kan du bare angi informasjon for den gjeldende modusinnstillingen Graph. Definere tredimensjonale ligninger i Y= Editor Du kan definere tredimensjonale ligninger for z1(x,y) til z99(x,y). Tips: Du kan bruke Definekommandoen i Homeskjermbildet (se tillegg A) til å definere funksjoner og ligninger for alle grafiske modi, uansett hva som er gjeldende modus. Y= Editor opprettholder en uavhengig funksjonsliste for hver innstilling av Graph-modus. Anta følgende: I den grafiske modusen FUNCTION definerer du et sett med y(x)- funksjoner. Du bytter til den grafiske modusen 3D, og definerer et sett med z(x,y)-ligninger. Når du returnerer til den grafiske modusen FUNCTION, vil y(x)- funksjonene fortsatt være definert i Y= Editor. Når du returnerer til den grafiske modusen 3D, vil z(x,y)-ligningene fortsatt være definert. Velge visningsstil Fordi du bare kan fremstille én tredimensjonal ligning om gangen, vil ikke visningsstilene være tilgjengelige. I Y= Editor er verktøymenyen Style nedtonet. Når det gjelder tredimensjonale ligninger, kan du imidlertid bruke: ƒ 9 eller til å sette Style-formatet til WIRE FRAME eller HIDDEN SURFACE. Se også Bytte format på akser og stiler på side 165. Kapittel 10: Tredimensjonale grafer 157

6 Window-variabler Window Editor opprettholder et uavhengig sett med Window-variabler for hver innstilling av Graph-modus (på samme måte som Y= Editor opprettholder uavhengige funksjonslister). Tredimensjonale grafer bruker følgende Window-variabler. Obs! Hvis du angir et desimaltall for xgrid eller ygrid, rundes det av til nærmeste hele tall 1. Obs! 3D-modus har ikke Window-variabler, så du kan ikke sette avstandsmerker på aksene. Variabel eyeq, eyef, eyeψ xmin, xmax, ymin, ymax, zmin, zmax xgrid, ygrid Beskrivelse Vinkler (alltid i grader) brukt til å presentere grafen. Se også Rotere og heve synsvinkelen på side 162. Grensene til visningskuben. Avstanden mellom xmin og xmax og mellom ymin og ymax er delt opp i det angitte antallet ruter. z(x,y)-ligningen beregnes ved hvert rutepunkt der rutelinjene møtes. Stigningsverdien langs x og y beregnes som: xmax ì xmin x-trinn = xgrid ymax ì ymin y-trinn = ygrid Antallet rutelinjer er xgrid + 1 og ygrid + 1. Hvis for eksempel xgrid = 14 og ygrid = 14, består xy-ruten av 225 (15 15) rutelinjer. z(xmin,ymin) z(xmin,ymax) z(xmax,ymin) z(xmax,ymax) ncontour Antall konturer som er jevnt fordelt i det viste intervallet av z-verdier. Se side 168. Standardverdiene (defineres når du velger 6:ZoomStd fra Zoom verktøymenyen) er: eyeq = 20. xmin = ë 10. ymin = ë 10. zmin = ë 10. eyef = 70. xmax = 10. ymax = 10. zmax = 10. eyeψ = 0. xgrid = 14. ygrid = 14. ncontour = 5. Obs! Hvis du øker gridvariablene, reduseres hastigheten på fremstillingen av grafen. Det kan bli nødvendig å øke standardverdiene til grid-variablene (xgrid, ygrid) for å sikre at et tilstrekkelig antall punkter plottes. 158 Kapittel 10: Tredimensjonale grafer

7 Definere det grafiske formatet Studere en graf Formatene for Axes og Style gjelder bare den grafiske modusen 3D. Se også Bytte format på akser og stiler på side 165. Som ved fremstilling av funksjonsgrafer, kan du studere en graf ved hjelp av følgende verktøy. De koordinatene som vises, presenteres i rektangulær eller sylindrisk form, som definert i det grafiske formatet. (I tredimensjonale grafer vises sylindriske koordinater når du bruker: ƒ 9 eller til å sette Coordinates = POLAR.) Verktøy Fri markør For tredimensjonale grafer: Den frie markøren er ikke tilgjengelig. Zoom Fungerer stort sett på samme måte som ved funksjonsgrafer, men husk at du nå bruker tre dimensjoner i stedet for to. Bare følgende zoom-stikkord kan velges: 2:ZoomIn 5:ZoomSqr A:ZoomFit 3:ZoomOut 6:ZoomStd B:Memory C:SetFactors Bare Window-variablene x (xmin, xmax), y (ymin, ymax) og z (zmin, zmax) påvirkes. Window-variablene grid (xgrid, ygrid) og eye (eyeq, eyef, eyeψ) påvirkes ikke, med mindre du velger 6:ZoomStd (som tilbakestiller disse variablene til standardverdiene). Tips: Se også Bevege markøren i tredimensjonale grafer på side 160 Tips: Under en sporing kan du også beregne z(x,y). Tast inn x-verdien og trykk ; tast deretter inn y- verdi og trykk. Trace Lar deg bevege markøren langs en rutelinje fra ett rutepunkt til det neste på den tredimensjonale overflaten. Når du begynner en sporing, vises markøren ved midtpunktet av xy-ruten. QuickCenter er tilgjengelig. Når som helst i løpet av en sporing og uansett hvor markøren er plassert, kan du trykke for å midstille visningskuben på markøren. Markørflytting er ikke tillatt i x- og y-retningene. Du kan ikke flytte markøren utenfor visningskubens grenser, som er definert av xmin, xmax, ymin og ymax. Math Bare 1:Value er tilgjengelig for tredimensjonale grafer, og viser z-verdien for en gitt x- og y-verdi. Etter at du har valgt 1:Value, tast inn x- verdien og trykk på. Tast deretter inn y- verdien og trykk på. Kapittel 10: Tredimensjonale grafer 159

8 Bevege markøren i tredimensjonale grafer Når du beveger markøren langs en tredimensjonal overflate, kan det virke litt merkelig hvorfor markøren beveger seg slik den gjør. Tredimensjonale grafer har to uavhengige variabler (x,y) i stedet for én, og x- og y-aksene har en annen retning enn i de andre grafiske modiene. Slik beveges markøren På en tredimensjonal overflate følger markøren alltid en rutelinje. Markørtast Flytter markøren til det neste rutepunktet i: Obs! Du kan bare bevege markøren innenfor x- og y- grensene definert av Windowvariablene xmin, xmax, ymin og ymax. B A C D Positiv x-retning Negativ x-retning Positiv y-retning Negativ y-retning Selv om reglene skulle være relativt klare, kan markørflytting virke forvirrende hvis du ikke kjenner aksenes retning. I todimensjonale grafer har x- og y- aksene alltid samme retning i forhold til Graph-skjermbildet. Tips: Hvis du skal vise aksene og etikettene fra Y= Editor, Window Editor eller Graph screen, bruk: I tredimensjonale grafer har x og y forskjellig retning i forhold til Graph-skjermbildet. I tillegg kan du rotere og/eller heve synsvinkelen. eyeq=20 eyef=70 eyeψ=0 Enkelt eksempel på markørflytting Følgende graf viser en skrånende overflate som har ligningen z1(x,y) = ë (x + y) / 2. Anta at du vil følge de viste yttergrensene. Tips: Ved å vise aksene og sette navn på dem, blir det enklere å se mønsteret ved bevegelse av markøren. B flytter i positiv x-retning, opp til xmax. Når du trykker på, vises sporingsmarkøren som midtpunktet av xy-ruten. Bruk markørtasten for å flytte markøren til en av kantene. D flytter i negativ y-retning, tilbake til ymin. C flytter i positiv y-retning, opp til ymax. A flytter i negativ x-retning, tilbake til xmin. Tips: Hvis du vil flytte rutelinjene nærmere hverandre, kan du øke Window-variablene xgrid og ygrid. Når sporingsmarkøren befinner seg på et indre punkt på den viste overflaten, flyttes markøren fra ett rutepunkt til det neste langs en av rutelinjene. Du kan ikke flytte markøren diagonalt, på tvers av ruten. Legg merke til at rutelinjene kanskje ikke vises parallelt med aksene. 160 Kapittel 10: Tredimensjonale grafer

9 Eksempel på markøren på en skjult overflate I mer kompliserte former kan det hende markøren vises som om den ikke skulle være på en rutelinje. Dette er et synsbedrag som skyldes at markøren befinner seg på en skjult overflate. Se for eksempel på sadelflaten til z1(x,y) = (xñìyñ) / 3. Grafen nedenfor viser bildet sett ovenfra og nedover langs y-aksen. Se nå på den samme formen 10 fra x-aksen (eyeq = 10). Tips: Hvis du vil ta bort fronten av sadelen i dette eksemplet, kan du sette xmax=0 for å vise bare de negative x-verdiene. Du kan flytte markøren slik at den ikke ser ut til å være på et rutepunkt. Hvis du går bort fra fronten, kan du se at markøren faktisk er plassert på et rutepunkt på den skjulte baksiden. Eksempel på en markør "utenfor kurven" Selv om markøren bare kan beveges langs et rutenett, vil du se mange situasjoner der det virker som om markøren ikke befinner seg på den tredimensjonale overflaten i det hele tatt. Dette skjer når z-aksen er for kort til at den kan vise z(x,y) for de tilhørende x- og y-verdiene. Anta at du sporer parabolgrafen for ligningen z(x,y) = xñ +.5yñ som er fremstilt med de angitte Window-variabler. Du kan enkelt flytte markøren til en posisjon, slik: Spormarkør Gyldige sporingskoordinater Tips: Med QuickCenter kan du midtstille visningskuben rundt markøren. Trykk på. Selv om markøren faktisk sporer den parabole grafen, vises den utenfor kurven fordi sporet koordinerer: xc og yc er innenfor visningskuben. men zc er utenfor visningskuben. Når zc er utenfor z-grensen av visningskuben, vises markøren fysisk ved zmin eller zmax (selv om skjermen viser de korrekte sporingskoordinatene). Kapittel 10: Tredimensjonale grafer 161

10 Rotere og heve synsvinkelen I tredimensjonal grafisk modus kan du bruke Window-variablene eyeq og eyef til å definere synsvinkelen, som bestemmer siktelinjen. Med Window-variabelen eyeψ kan du rotere grafen rundt denne siktelinjen. Hvordan synsvinkelen måles Synsvinkelen består av tre komponenter: eyeq vinkel i grader fra den positive x-aksen. eyef Z Obs! Når eyeψ=0, vil z- aksen være loddrett på skjermen. Når eyeψ=90, roteres z-aksen 90 mot klokka og vil være vannrett. eyef vinkel i grader fra den positive z-aksen. eyeψ vinkel i grader. Med denne vinkelen roterer grafen mot urviseren rundt synsvinkelen definert av eyeq og eyef. I Window Editor ( $) må du alltid angi eyeq, eyef og eyeψ i grader, uansett gjeldende vinkelmodus. X eyeψ eyeq Y Angi ikke et -symbol. Tast f.eks. inn 20, 70 og 0, ikke 20, 70 og 0. Virkningen av å endre eyeq Visningen på Graph-skjermbildet er alltid rettet inn etter synsvinkelen. Fra denne synsvinkelen kan du endre eyeq slik at synsvinkelen roteres rundt z-aksen. z1(x,y) = (x 3 y - y 3 x) / 390 I dette eksemplet er eyef = 70 Obs! Dette eksemplet øker eyeq i trinn på 30. eyeq = 20 eyeq = 50 eyeq = Kapittel 10: Tredimensjonale grafer

11 Virkningen av å endre eyef Ved å endre eyef, kan du heve synsvinkelen over xy-planet. Hvis 90 < eyef < 270, ligger synsvinkelen under xy-planet. z1(x,y) = (x 3 y - y 3 x) / 390 I dette eksemplet er eyeq = 20 Obs! Dette eksemplet starter på xy-planet (eyef = 90) og reduserer eyef i trinn på 20 for å heve synsvinkelen. eyef = 90 eyef = 70 eyef = 50 Virkningen av å endre eyeψ Visningen på Graph-skjermbildet er alltid rettet inn langs synsvinklene definert av eyeq og eyef. Du kan endre eyeψ slik at grafen roteres rundt denne synsvinkelen (siktelinjen). Obs! Under rotasjonen utvides eller trekkes aksene sammen for å få plass innenfor skjermens bredde og høyde. Dette kan føre til skjevheter, som vist i eksemplet. z=10 Når eyeψ=0, fyller z-aksen høyden av skjerme. z=ë10 z1(x,y)=(x 3 yì y 3 x) / 390 eyeψ=0 I dette eksemplet er eyeq=20 og eyef=70 eyeψ=45 Når eyeψ=90, fyller z-aksen bredden av skjermen. z=10 z=ë10 Når z-aksen roterer 90, utvides lengden (ë10 til 10 i dette eksemplet) til nær det dobbelte av den opprinnelige lengden. På samme måte utvides eller trekkes også x- og y-aksene sammen. Fra Home-skjermbildet eller et program eyeψ=90 Verdiene for eye lagres i systemvariablene eyeq, eyef og eyeψ. Du kan lese fra eller skrive til disse variablene etter behov. TI-89: Hvis du vil skrive f eller ψ, trykk på henholdsvis c j [F] eller c Ú. Du kan også trykke på 2 og bruke Greek-menyen. TI-92 Plus: For å skrive inn f eller ψ, trykker du på henholdsvis 2 G F eller 2 G Y. Du kan også trykke på 2 og bruke menyen for greske bokstaver. Kapittel 10: Tredimensjonale grafer 163

12 Animere tredimensjonale grafer interaktivt Etter plotting av en tredimensjonal graf kan du endre synsvinkelen interaktivt ved hjelp av markøren. Se også eksemplet på side 154. Bildebanen Obs! Bildebanen påvirker Window-variablene eye i ulik grad. Når du bruker A og B til å forandre (animere) en graf, kan du se på det som om du flytter synsvinkelen langs grafens bildebane rundt grafen. Bevegelser langs denne banen kan føre til at z-aksen vakler noe under fremstillingen (som du kan se i eksemplet på side 154). Animere grafen Obs! Hvis grafen vises i utvidet bilde, returnerer den til normalt bilde automatisk når du trykker en markørtast. Tips: Når du har animert grafen, kan du stoppe animasjonen og starte den på nytt i samme retning ved å trykke på: TI-89: eller j TI-92 Plus: eller mellomrom Tips: Under animasjonen kan du skifte til neste grafformatstil ved å trykke på: TI-89: Í TI-92 Plus: F Tips: Hvis du vil se en graf som viser eye-vinklene, kan du se side 162. Hvis du vil: Gjør dette: Forandre grafen trinnvis Trykk og slipp markøren raskt. Flytte langs bildebanen: A eller B Endre bildebanens stigning: C eller D (øker eller reduserer eyef) Animere grafen kontinuerlig Bytte mellom 4 tegnehastigheter(øke eller redusere de trinnvise endringene i Window-variablene eye) Bytte synsvinkelen for en graf som ikke er animert slik at den viser x-, y-, eller z-aksen Returnere til de opprinnelige eyevinkelverdiene Trykk og hold markøren nede i ca. 1 sekund, og slipp den deretter opp. TI-89: For å stoppe, trykker du på N,, eller (mellomrom). TI-92 Plus: For å stoppe, trykker du på N,, eller mellomrom. Trykk «eller. Trykk henholdsvis X, Y eller Z. Trykk 0 (null, ikke bokstaven O). Fremstille en serie av grafiske bilder Du kan også animere en graf ved å lagre en serie av grafiske bilder og deretter bla deg gjennom disse bildene. Se også Fremstille en serie av grafiske bilder i kapittel 12: Flere grafiske emner. Denne metoden gir deg bedre kontroll over verdiene på Window-variablene, og især eyeψ (side 162), som roterer grafen. 164 Kapittel 10: Tredimensjonale grafer

13 Bytte format på akser og stiler Med standardinnstillinger viser TI-89 / TI-92 Plus skjulte overflater på en tredimensjonal graf, men ikke aksene. Du kan imidlertid endre det grafiske formatet når som helst. Vise dialogboksen GRAPH FORMATS Fra Y= Editor, Window Editor eller Graph-skjermbildet: ƒ 9 eller Dialogboksen viser de gjeldende innstillingene for de grafiske formatene. Hvis du vil avslutte uten endringer, trykk på N. Hvis du vil endre noen av disse innstillingene, kan du bruke samme fremgangsmåte som når du endrer andre typer dialogbokser, for eksempel dialogboksen MODE. Eksempler på innstillinger av akser Tips: Det kan være nyttig å sette Labels = ON når du viser en av de tredimensjonale aksene. Hvis du vil vise de gyldige innstillingene på Axes, kan du merke den gjeldende innstillingen og trykke B. AXES Viser standard xyz-akser. BOX Viser tredimensjonale boksakser. Kantene på boksen bestemmes av Windowvariablene xmin, xmax, osv. z1(x,y) = xñ+.5yñ I mange tilfeller er origo (0,0,0) innenfor boksen, og ikke ved et hjørne. Hvis for eksempel xmin = ymin = zmin = ë10 og xmax = ymax = zmax = 10, vil origo være midtpunktet i boksen. Kapittel 10: Tredimensjonale grafer 165

14 Eksempler på innstillinger av stiler Tips: WIRE FRAME fremstiller grafer raskere og kan være mer praktisk når du eksperimenterer med ulike former. Vær forberedt på synsbedrag! Hvis du vil vise de gyldige Styleinnstillingene, kan du merke gjeldende innstilling og trykke B. WIRE FRAME Viser den tredimensjonale formen som et gjennomsiktig nett. HIDDEN SURFACES Bruker skygger for å skille de to sidene av den tredimensjonale formen fra hverandre. Lenger bak i dette kapitlet finner du beskrivelser av CONTOUR LEVELS, WIRE AND CONTOUR (side 167) og IMPLICIT PLOT (side 171). eye-vinklene som brukes til å vise en graf (Window-variablene eyeq, eyef og eyeψ), kan føre til synsbedrag som gjør at du mister perspektivet i en graf. De fleste synsbedrag oppstår normalt når eye-vinklene er i en negativ kvadrant av koordinatsystemet. Synsbedrag kan være lettere å oppdage med boksakser. Det er for eksempel ikke opplagt hva som er fronten av boksen. Sett ovenifra og ned langs xy-planet Sett nedenifra og opp langs xy- planet Obs! Disse eksemplene viser grafen slik den er fremstilt på skjermen. eyeq = 20, eyef = 55, eyeψ = 0 eyeq = 20, eyef = 120, eyeψ= 0 Obs! Disse eksemplene bruker kunstig skyggelegging (som ikke vises på skjermen) til å vise fronten av boksen. For å redusere virkningen av synsbedrag, kan du sette Style = HIDDEN SURFACE i dialogboksen GRAPH FORMATS. 166 Kapittel 10: Tredimensjonale grafer

15 Plotting av konturer I et konturplott tegnes en linje slik at den kobler sammen påfølgende punkter på den tredimensjonale grafen som har den samme z-verdien. I denne delen beskrives de grafiske formatene CONTOUR LEVELS og WIRE AND CONTOUR. Velge grafisk format Tips: Fra Graphskjermbildet kan du skifte fra en grafformatstil til den neste (og hoppe over IMPLICIT PLOT) ved å trykke på: TI-89: Í TI-92 Plus: F Obs! Å trykke: TI-89: Í TI-92 Plus: F for å velge CONTOUR LEVELS, påvirker ikke synsvinkelen, bildeformatet eller Labels-format slik det gjør når du bruker: Definer en ligning og fremstill grafen for den i tredimensjonal grafisk modus. Bruk samme fremgangsmåte som for andre tredimensjonale grafer, men med følgende unntak: Vis dialogboksen GRAPH FORMATS ved å trykke ƒ 9 fra Y= Editor, Window editor eller Graph-skjermbildet. Sett deretter: Style = CONTOUR LEVELS eller Style = WIRE AND CONTOUR Når det gjelder CONTOUR LEVELS, vises bare konturer. Synsvinkelen settes først, slik at du får vist konturene ved å se nedover langs z-aksen. Du kan endre synsvinkelen etter behov. Grafen vises i utvidet bilde. Hvis du vil bytte mellom utvidet og normalt bilde, trykk p. Labels-formatet settes automatisk til OFF. Når det gjelder WIRE AND CONTOUR, tegnes konturene i et nett. Synsvinkelen, bildeformatet (utvidet eller normalt) og Labelsformatet beholder sine tidligere innstillinger. Stil z1(x,y)=(xò yì yò x) / 390 z1(x,y)=xñ +.5yñ ì 5 Sett nedover langs z-aksen Obs! Disse eksemplene bruker de samme verdiene på Window-variablene x, y og z som visningskuben ZoomStd. Hvis du brukerzoomstd, kan du trykke Z for å se nedover langs z-aksen. CONTOUR LEVELS Bruker eyeq=20, eyef=70, eyeψ=0 CONTOUR LEVELS Obs! Bland ikke sammen konturer med rutelinjer. Konturene er mørkere. WIRE AND CONTOUR Kapittel 10: Tredimensjonale grafer 167

16 Hvordan finner man z- verdiene? Du kan sette Window-variabelen ncontour ( $ ) til å angi hvor mange konturer som skal fordeles jevnt langs det viste området av z- verdiene, der: zmax ì zmin økning = ncontour + 1 z-verdiene for konturene er: zmin + økning zmin + 2(økning) zmin + 3(økning) zmin + ncontour(økning) 5 er standard. Du kan sette denne mellom 0 og 20. Hvis ncontour=5 og du bruker standardvinduet (zmin=ë10 og zmax=10), vil økningen være Fem konturer tegnes opp for z=ë 6.666, ë 3.333, 0, og Legg imidlertid merke til at en kontur ikke tegnes opp for en z-verdi hvis den tredimensjonale grafen ikke er definert ved denne z-verdien. Tegne en kontur interaktivt for z-verdien av et valgt punkt Tips: Eventuelle eksisterende konturer beholdes på grafen. Hvis du vil fjerne standardkonturene, kan du vise Window editor ( $) og sette ncontour=0. Hvis det vises en konturgraf, kan du angi et punkt på grafen og tegne en kontur for den tilsvarende z-verdien. 1. For å åpne menyen Draw, trykker du på: TI-89: 2ˆ TI-92 Plus: ˆ 2. Velg 7:Draw Contour. 3. Enten: Skriv inn punktets x-verdi og trykk, og skriv deretter inn y verdien og trykk. eller Flytt markøren til et aktuelt punkt. (Markøren beveger seg langs rutelinjene.) Trykk deretter. Anta at den gjeldende grafen er z1(x,y)=xñ +.5yñì5. Hvis du angir at x=2 og y=3, tegnes det opp en kontur for z= Kapittel 10: Tredimensjonale grafer

17 Tegne konturer for angitte z-verdier Åpne menyen Draw fra Graph-skjermbildet og velg 8:DrwCtour. Home-skjermbildet vises automatisk med DrwCtour på tekstlinjen. Du kan deretter angi en eller flere z-verdier enkeltvis eller generere en sekvens av z-verdier. Noen eksempler: Tips: Hvis du vil fjerne standardkonturene, kan du bruke $og sette ncontour=0. DrwCtour 5 DrwCtour {1,2,3} DrwCtour seq(n,n,ë 10,10,2) Tegner en kontur for z=5. Tegner konturer for z=1, 2, og 3. Tegner konturer for en sekvens av z-verdier fra ë10 til 10 iitrinn på 2 (ë10, ë8, ë6, osv.). De angitte konturene tegnes på den gjeldende tredimensjonale grafen. (Det tegnes ingen kontur hvis den angitte z-verdien ligger utenfor visningskuben, eller hvis den tredimensjonale grafen ikke er definert ved denne z-verdien.) Merknader om konturplott For konturplott gjelder følgende: Du kan bruke markørtastene(se side 164) til å fremstille animere konturplott. Du kan ikke spore ( ) selve konturene. Du kan imidlertid spore nettverket slik det fremstår når Style=WIRE AND CONTOUR. Det kan ta litt tid å utføre beregningene. På grunn av mulig lang beregningstid bør du først eksperimentere litt med den tredimensjonale ligningen ved hjelp av Style=WIRE FRAME. Beregningstiden er langt kortere. Deretter, når du er sikker på at du har riktige verdier for vindusvariablene, åpner du dialogboksen Graph Formats og setter Style=CONTOUR LEVELS eller WIRE AND CONTOUR. Kapittel 10: Tredimensjonale grafer 169

18 Eksempel: Konturer av en kompleks moduloverflate Den komplekse moduloverflaten gitt ved z(a,b) = abs(f(a+bi)), viser alle de komplekse nullpunkter til polynomet y=f(x). Eksempel I dette eksemplet er f(x)=x Ved å erstatte x med den komplekse formen x+yi, kan du uttrykke den komplekse overflateligningen som z(x,y)=abs((x+yù i) 3 +1). 1. Bruk 3 til å sette Graph=3D. 2. Trykk #, og definer ligningen: z1(x,y)=abs((x+yù i)^3+1) 3. Trykk $, og angi Window-variablene som vist. 4. Åpne dialogboksen Graph Formats: Slå aksene på, sett Style = CONTOUR LEVELS, og gå tilbake til Window editor. 5. Trykk %for å fremstille grafen for ligningen. Det vil ta litt tid å beregne grafen. Når grafen vises, berører den komplekse moduloverflaten xy-planet nøyaktig ved de komplekse nullpunktene til polynomet: ë 1, i og 1 2 ì 3 2 i Obs! Du kan oppnå mer nøyaktige estimater ved å øke Window-variablene xgrid og ygrid. Dette vil imidlertid øke beregningstiden for grafen. Tips: Når du fremstiller grafen,endres skjermbildet til normalt bilde. Bruk p for å bytte mellom normalt og utvidet bilde. 6. Trykk, og flytt sporingsmarkøren til nullverdien i den fjerde kvadranten. Med koordinatene kan du estimere.428ì.857 i som null. 7. Trykk N. Bruk deretter markørtastene til å animere grafen og vise den fra andre eyevinkler. Nullverdien er eksakt når z=0. Dette eksemplet viser eyeq=70, eyef=70 og eyeψ= Kapittel 10: Tredimensjonale grafer

19 Implisitte plott Et implisitt plott brukes primært som en metode for å fremstille todimensjonale kurver som ikke kan fremstilles i vanlig funksjonsmodus. Teknisk sett er et implisitt plott et tredimensjonalt konturplott med en kontur tegnet bare for z=0. Eksplisitte og implisitte former I todimensjonal grafisk funksjonsmodus har ligninger den eksplisitte formen y=f(x), der y er entydig for hver verdi av x. Mange ligninger har imidlertid den implisitte formen f(x,y)=g(x,y), der du ikke eksplisitt kan løse y ved hjelp av x eller x ved hjelp av y. y er ikke entydig for hver x, så du kan ikke fremstille dette som en graf i grafisk funksjonsmodus. Tips: Du kan også tegne grafen til mange implisitt gitte kurver hvis du enten: Uttrykker dem som parametriske ligninger. Se også kapittel 7. Deler dem opp i separate, eksplisitte funksjoner. Se også eksemplet i kapittel 6. Ved å bruke implisitte plott i tredimensjonal grafisk modus, kan du fremstille disse kurvene grafisk uten å løse y eller x. Omorganiser den implisitte f(x,y)ì g(x,y)=0 formen som en ligning med null på høyre side. Skriv venstre side av ligningen inn på Y= Editor. Dette er gyldig fordi et implisitt plott automatisk setter ligningen til å være lik null. z1(x,y)=f(x,y)ì g(x,y) Anta at du har ellipseligningen vist til høyre, og velg den implisitte formen i Y= Editor. Hvis xñ +.5yñ =30, sett z1(x,y)=xñ +.5yñì30. Velge grafisk format Obs! Fra Graph-skjermbildet kan du trykke: TI-89: Í TI-92 Plus: F for å bytte til de andre grafiske formatene. Du må imidlertid bruke: for å returnere til IMPLICIT PLOT. Definer en ligning og fremstill den i tredimensjonal grafisk modus, på samme måte som for alle andre tredimensjonale ligninger, men med følgende unntak: Vis dialogboksen GRAPH FORMATS ved å trykke Ífra Y= Editor, Window editor eller Graph-skjermbildet. Sett deretter: Style = IMPLICIT PLOT Kapittel 10: Tredimensjonale grafer 171

20 Synsvinkelen settes innledningsvis slik at du får vist plottet ved å se nedover langs z-aksen. Du kan endre synsvinkelen etter behov. Plottet vises i utvidet bilde. Hvis du vil bytte mellom utvidet og normalt bilde, trykk p. Labels-formatet settes automatisk til OFF. Obs! Disse eksemplene bruker de samme verdiene på Window-variablene x, y og z som visningskuben ZoomStd. Hvis du bruker ZoomStd, kan du trykke Z for å se nedover langs z- aksen. Style IMPLICIT PLOT xñìyñ=4 z1(x,y)=xñìyñì4 (xù y) sin(x)+cos(y)= e (xù y) z1(x,y)=sin(x)+cos(y)ì e Merknader om implisitte plott Følgende gjelder ved implisitt plott: Window-variabelen ncontour (se side 168) har ingen effekt. Bare konturen z=0 tegnes, uansett verdien på ncontour. Det fremstilte plottet viser hvor den implisitte formen møter xy-planet. Du kan bruke markørtastene(se side 164) til å fremstille plottet. Du kan ikke spore ( ) det implisitte plottet. Du kan imidlertid spore det usynlige nettverket i grafen til en tredimensjonal ligning. Det kan ta litt tid å regne ut verdiene. På grunn av mulig lang beregningstid bør du først eksperimentere litt med den tredimensjonale ligningen med Style=WIRE FRAME. Da vil beregningstiden bli atskillig kortere. Når du er sikker på at du har de riktige verdiene på Window-variablene, kan du sette Style=IMPLICIT PLOT. 172 Kapittel 10: Tredimensjonale grafer

21 Eksempel: Det implisitte plottet av en komplisert ligning Du kan bruke det grafiske formatet IMPLICIT PLOT til å tegne og animere grafen til en komplisert ligning som ikke kan fremstilles på andre måter. Selv om det kan ta litt tid å beregne en slik graf, rettferdiggjør det visuelle resultatet den lange ventetiden. Eksempel Fremstill grafen til ligningen sin(x 4 +yìx 3 y) = Bruk 3 til å sette Graph=3D. 2. Trykk #, og definer ligningen: z1(x,y)=sin(x^4+yì x^3y)ì.1 3. Trykk $, og sett Window-variablene som vist. Obs! Hvis du vil ha et mer detaljert bilde, kan du øke verdiene på Windowvariablene xgrid og ygrid. Dette øker imidlertid beregningstiden. Tips: Når du tegner grafen, endres skjermbildet til normalt bilde. Trykk p for å bytte mellom normalt og utvidet bilde. 4. Trykk: slå på aksene, sett Style = IMPLICIT PLOT og returner til Window editor. 5. Trykk %for å fremstille en graf av ligningen. Vær oppmerksom på at det vil ta litt tid å beregne grafen. 6. Bruk markørtastene til å fremstille grafen og presenter den fra ulike eye-vinkler. Grafen viser hvor sin(x 4 +yìx 3 y) =.1 I utvidet bilde viser dette eksemplet eyeq=ë127.85, eyef=52.86 og eyeψ=ë Kapittel 10: Tredimensjonale grafer 173

22 174 Kapittel 10: Tredimensjonale grafer

Kapittel 10: Tredimensjonale grafer

Kapittel 10: Tredimensjonale grafer Kapittel 10: Tredimensjonale grafer 10 Forhåndsvisning av tredimensjonale grafer... 142 Grafisk fremstilling av tredimensjonale ligninger... 144 Forskjeller mellom tredimensjonale grafer og funksjonsgrafer...

Detaljer

Tabellen viser en serie med verdier for den uavhengige variabelen, og viser den tilhørende verdien til den avhengige variabelen.

Tabellen viser en serie med verdier for den uavhengige variabelen, og viser den tilhørende verdien til den avhengige variabelen. Kapittel 13: Tabeller 13 Oversikt over tabeller... 222 Oversikt over fremgangsmåten for å generere en en tabell... 223 Velge tabellparametre... 224 Vise en automatisk tabell... 226 Bygge en manuell tabell

Detaljer

Bruk en startverdi på 1:

Bruk en startverdi på 1: Kapittel 9: Grafisk fremstilling av følger 9 Oversikt over grafisk fremstilling av følger... 140 Fremgangsmåte for grafisk fremstilling av følger... 141 Forskjeller mellom grafisk fremstilling av følger

Detaljer

Kapittel 12: Flere grafiske emner 201

Kapittel 12: Flere grafiske emner 201 Kapittel 12: Flere grafiske emner 12 Flere grafiske emner... 202 Samle inn datapunkter fra en graf... 203 Fremstille grafen til en funksjon definert i Home-skjermbildet... 204 Fremstille en stykkvis definert

Detaljer

Numeric Solver er spesielt nyttig for slike ligninger.

Numeric Solver er spesielt nyttig for slike ligninger. Kapittel 19: Numeric Solver 19 Innledning til Numeric Solver... 334 Vise Numeric Solver og skrive inn en ligning... 335 Definere de kjente variablene... 337 Løse for den ukjente variabelen... 339 Fremstille

Detaljer

Selv om dette kapitlet konkret beskriver hvordan du fremstiller y(x)-funksjoner grafisk, gjelder den samme grunnleggende

Selv om dette kapitlet konkret beskriver hvordan du fremstiller y(x)-funksjoner grafisk, gjelder den samme grunnleggende Kapittel 6: Grafisk fremstilling av funksjoner 6 Introduksjon til grafisk fremstilling av funksjoner... 106 Fremgangsmåte for grafisk fremstilling av funksjoner... 107 Velge Graph-modus... 108 Definere

Detaljer

Kapittel 21: Minne og variabler

Kapittel 21: Minne og variabler Kapittel 21: Minne og variabler 21 Introduksjon til minne og variabler... 334 Kontrollere og tilbakestille minnet... 337 Vise VAR-LINK-skjermbildet... 338 Manipulere variabler og mapper med VAR-LINK...

Detaljer

Texas. Så trykker vi på zoom og velger 0:ZoomFit. Vi får fram det valget enten ved å trykke på tasten 0 eller ved å trykke på tasten noen ganger.

Texas. Så trykker vi på zoom og velger 0:ZoomFit. Vi får fram det valget enten ved å trykke på tasten 0 eller ved å trykke på tasten noen ganger. ON Lommeregnerstoff Texas 4.1 Rette linjer Her viser vi hvordan vi går fram for å få tegnet linja med likningen y = 2x 3 Vi trykker på Y= og legger inn likningen som vist nedenfor. Nå må vi velge vindu.

Detaljer

9 Parametrisk. plotting. Forhåndsvisning: Parametrisk plotting Definere en parametrisk graf Bruke grafverktøy i Param-plottemodus...

9 Parametrisk. plotting. Forhåndsvisning: Parametrisk plotting Definere en parametrisk graf Bruke grafverktøy i Param-plottemodus... 9 Parametrisk plotting Forhåndsvisning: Parametrisk plotting... 140 Definere en parametrisk graf... 142 Bruke grafverktøy i Param-plottemodus... 145 TI -86 M1 M2 M3 M4 M5 F1 F2 F3 F4 F5 140 Kapittel 9:

Detaljer

Texas Instruments TI-84

Texas Instruments TI-84 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Texas Instruments TI-84 Innhold 1 Regning 4 1.1 Tallet e...................................... 4 2 Sannsynlighetsregning

Detaljer

Om plotting. Knut Mørken. 31. oktober 2003

Om plotting. Knut Mørken. 31. oktober 2003 Om plotting Knut Mørken 31. oktober 2003 1 Innledning Dette lille notatet tar for seg primitiv plotting av funksjoner og visualisering av Newtons metode ved hjelp av Java-klassen PlotDisplayer. Merk at

Detaljer

Graftegning på lommeregneren

Graftegning på lommeregneren Graftegning på lommeregneren Vi starter med å tegne grafen til fx ( )= 05, x 3 2x 2 +2på lommeregneren for x-verdier mellom 2 og 5. Kontroller grunninnstillingene Før du starter, er det lurt å kontrollere

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P TI-84

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P TI-84 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-84 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Kvadratrot....................................

Detaljer

Lær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat. Av Sigbjørn Hals

Lær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat. Av Sigbjørn Hals Lær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat Av Sigbjørn Hals 1 Innhold Hva er matematikktillegget for Word?... 2 Nedlasting og installasjon av matematikktillegget for Word...

Detaljer

03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS

03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS 03.10.2013 Manual til GeoGebra Ungdomstrinnet Ressurs til Grunntall 8 10 Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS Innhold Verktøy... 4 Hva vinduet i GeoGebra består av...

Detaljer

Soloball. Steg 1: En roterende katt. Sjekkliste. Test prosjektet. Introduksjon. Vi begynner med å se på hvordan vi kan få kattefiguren til å rotere.

Soloball. Steg 1: En roterende katt. Sjekkliste. Test prosjektet. Introduksjon. Vi begynner med å se på hvordan vi kan få kattefiguren til å rotere. Soloball Introduksjon Scratch Introduksjon Vi skal nå lære hvordan vi kan lage et enkelt ballspill med Scratch. I soloball skal du styre katten som kontrollerer ballen, slik at ballen ikke går i nettet.

Detaljer

Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets

Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets 2 Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets Eksamensoppgaver 0 Innholdsfortegnelse INTRODUKSJON GEOGEBRA...

Detaljer

Plotting av data. Kapittel 6. 6.1 Plott med plot-funksjonen

Plotting av data. Kapittel 6. 6.1 Plott med plot-funksjonen Kapittel 6 Plotting av data MATLAB har mange muligheter for plotting av data. Vi skal her konsentrere oss om de viktigste funksjonene og kommandoene for 2-dimensjonale plott. Plottefunksjoner listes opp

Detaljer

Tallinjen FRA A TIL Å

Tallinjen FRA A TIL Å Tallinjen FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til tallinjen T - 2 2 Grunnleggende om tallinjen T - 2 3 Hvordan vi kan bruke en tallinje T - 4 3.1 Tallinjen

Detaljer

www.ir.hiof.no/~eb/viz.htm Side 1 av 11

www.ir.hiof.no/~eb/viz.htm Side 1 av 11 www.ir.hiof.no/~eb/viz.htm Side 1 av 11 Innhold Side MÅL. 1 OPPGAVE / RESULTAT. 1 BESKRIVELSE ØVING 5A. 2 BESKRIVELSE ØVING 5B. 6 VIKTIGE KOMMANDOER 9 MÅL Når du har utført denne øvingen, skal du kunne:

Detaljer

eller sammensatte førsteordens differensialligninger som for eksempel:

eller sammensatte førsteordens differensialligninger som for eksempel: Kapittel 11: Grafisk fremstilling av differensialligninger 11 Innledning til grafisk fremstilling av differensialligninger... 176 Oversikt over grafisk fremstilling av differensialligninger... 178 Forskjeller

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

Communicate SymWriter: R5. Brett og knapper

Communicate SymWriter: R5. Brett og knapper Communicate SymWriter: R5. Brett og knapper Innhold R5.1 Hva er et brett - en oversikt...2 R5.2 Lage et brett....................................................2 R5.3 Endre utseendet på et brett....6

Detaljer

Den krever at vi henter ned Maples plottekommandoer fra arkivet. Det gjør vi ved kommandoen

Den krever at vi henter ned Maples plottekommandoer fra arkivet. Det gjør vi ved kommandoen For å tegne grafen til en likning, skal vi bruke kommandoen Den krever at vi henter ned Maples plottekommandoer fra arkivet. Det gjør vi ved kommandoen with plots Gjør det (altså: trykk linjeskift med

Detaljer

Lær å bruke GeoGebra 4.0

Lær å bruke GeoGebra 4.0 Lær å bruke GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold: Generelt om GeoGebra... 2 Innstillinger... 2 Likninger og ulikheter... 5 Implisitte likninger... 5 Ulikheter... 9 Statistikkberegninger i regnearket...

Detaljer

Spøkelsesjakten. Introduksjon

Spøkelsesjakten. Introduksjon 1 Spøkelsesjakten All Code Clubs must be registered. Registered clubs appear on the map at codeclubworld.org - if your club is not on the map then visit jumpto.cc/ccwreg to register your club. Introduksjon

Detaljer

Kort norsk manual Hvordan komme i gang:

Kort norsk manual Hvordan komme i gang: Kort norsk manual Hvordan komme i gang: Det første du må gjøre er å laste inn et skip i programmet. Det gjør du ved å velge Open under File -menyen. Fra underkatalogen Ships Database velger du et skip,

Detaljer

Texas Instruments TI-84

Texas Instruments TI-84 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Texas Instruments TI-84 Innhold 1 Om lommeregneren 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

16 Programmere TI -86 F1 F2 F3 F4 F5 M1 M2 M3 M4 M5

16 Programmere TI -86 F1 F2 F3 F4 F5 M1 M2 M3 M4 M5 16 Programmere Skrive et program på TI-86... 248 Kjøre et program... 256 Arbeide med programmer... 258 Laste ned og kjøre et assemblerspråkprogram... 261 Skrive inn og lagre en streng... 263 TI -86 M1

Detaljer

13.03.2013 Manual til Excel. For ungdomstrinnet ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS

13.03.2013 Manual til Excel. For ungdomstrinnet ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS 13.03.2013 Manual til Excel 2010 For ungdomstrinnet ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS Innholdsfortegnelse Huskeliste... 3 Lage en formel... 3 Når du får noe uønsket som f.eks. en dato i en celle... 3

Detaljer

Inf109 Programmering for realister Uke 5. I denne leksjonen skal vi se på hvordan vi kan lage våre egne vinduer og hvordan vi bruker disse.

Inf109 Programmering for realister Uke 5. I denne leksjonen skal vi se på hvordan vi kan lage våre egne vinduer og hvordan vi bruker disse. Inf109 Programmering for realister Uke 5 I denne leksjonen skal vi se på hvordan vi kan lage våre egne vinduer og hvordan vi bruker disse. Før du starter må du kopiere filen graphics.py fra http://www.ii.uib.no/~matthew/inf1092014

Detaljer

EC-Styring med "Magelis" berøringsskjerm. 1. Oppstart og initialisering av maskin... 2

EC-Styring med Magelis berøringsskjerm. 1. Oppstart og initialisering av maskin... 2 Innhold 1. Oppstart og initialisering av maskin... 2 2. Drift av maskinen... 3 2.1 Beskrivelse av hovedmeny...3 2.2 Endre program...4 2.3 Opprette et program - eksempel på programmering av en profil...5

Detaljer

Undersøke modellen... 3

Undersøke modellen... 3 DDS-CAD 9 Undersøke modellen Kapittel 2 1 Innhold Side Kapittel 2 Undersøke modellen... 3 Vis alt... 3 Vis forrige utsnitt/forminsk bildet... 3 Zoom inn markert objekt... 3 Midterste musetast holdes nede...

Detaljer

Posisjonsystemet FRA A TIL Å

Posisjonsystemet FRA A TIL Å Posisjonsystemet FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til posisjonsystemet P - 2 2 Grunnleggende om posisjonsystemet P - 2 3 Titallsystemet P - 3 4 Posisjonsystemet

Detaljer

Brukerveiledning for student skoleeksamen HIST Oppdatert 27. oktober 2014

Brukerveiledning for student skoleeksamen HIST Oppdatert 27. oktober 2014 Brukerveiledning for student skoleeksamen HIST Oppdatert 27. oktober 2014 1 Innhold Innledning Pålogging Din oversikt over prøver og eksamener Valg av språk og skriftstørrelse m.m Besvare eksamen med sikker

Detaljer

Kanter, kanter, mange mangekanter

Kanter, kanter, mange mangekanter Kanter, kanter, mange mangekanter Nybegynner Processing PDF Introduksjon: Her skal vi se på litt mer avansert opptegning og bevegelse. Vi skal ta utgangspunkt i oppgaven om den sprettende ballen, men bytte

Detaljer

Nyheter i Office 2016 NYHETER, FUNKSJONER, FORKLARING

Nyheter i Office 2016 NYHETER, FUNKSJONER, FORKLARING Nyheter i Office 2016 NYHETER, FUNKSJONER, FORKLARING 1 Word 1.1 Gjør ting raskt med Fortell meg det Du vil legge merke til en tekstboks på båndet i Word 2016 med teksten Fortell meg hva du vil gjøre.

Detaljer

SINUS R1, kapittel 5-8

SINUS R1, kapittel 5-8 Løsning av noen oppgaver i SINUS R1, kapittel 5-8 Digital pakke B TI-Nspire Enkel kalkulator (Sharp EL-506, TI 30XIIB eller Casio fx-82es) Oppgaver og sidetall i læreboka: 5.43 c side 168 5.52 side 173

Detaljer

Del 1. Generelle tips

Del 1. Generelle tips Innhold Del 1. Generelle tips... 2 Bruk en "offline installer"... 2 Øk skriftstørrelsen... 3 Sett navn på koordinataksene... 3 Vis koordinater til skjæringspunkt, ekstremalpunkt m.m.... 4 Svar på spørsmålene

Detaljer

Slik administrerer du Ståstedsanalysen

Slik administrerer du Ståstedsanalysen Slik administrerer du Ståstedsanalysen For å kunne administrere Ståstedsanalysen (opprette brukernavn til personalet og hente ut rapporter) må du være registrert som administrator for den aktuelle skolen

Detaljer

Start et nytt Scratch-prosjekt. Slett kattefiguren, for eksempel ved å høyreklikke på den og velge slett.

Start et nytt Scratch-prosjekt. Slett kattefiguren, for eksempel ved å høyreklikke på den og velge slett. Hvor i All Verden? Del 1 Introduksjon Hvor i All Verden? er et reise- og geografispill hvor man raskest mulig skal fly innom reisemål spredt rundt i Europa. I denne første leksjonen vil vi se på hvordan

Detaljer

Komme i gang med den grafiske TI-84 Plus C Silver Editionkalkulatoren

Komme i gang med den grafiske TI-84 Plus C Silver Editionkalkulatoren Komme i gang med den grafiske TI-84 Plus C Silver Editionkalkulatoren Denne guideboken gjelder for TI-Nspire -programvareversjon 4.0. For å få den nyeste versjonen av dokumentasjonen, gå til education.ti.com/guides.

Detaljer

Kurshefte GeoGebra. Barnetrinnet

Kurshefte GeoGebra. Barnetrinnet Kurshefte GeoGebra Barnetrinnet GeoGebra Geometri og algebra Dynamisk geometriverktøy Algebraisk verktøy Gratis Brukes på alle nivåer i utdanningssystemet Finnes på både bokmål og nynorsk Kan lastes ned

Detaljer

SpeedSonic.dk. www.speedsonic.dk START / STOP RESET / EL NEXT / SAVE MODE / SET

SpeedSonic.dk. www.speedsonic.dk START / STOP RESET / EL NEXT / SAVE MODE / SET RAW SpeedSonic.dk RESET / EL START / STOP MODE / SET NEXT / SAVE Gratulerer med den nye Speed Sonic-sportsklokken! Speed Sonic-klokken er utviklet for å motivere deg og vise deg veien til bedre resultater.

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2

TMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2 TMA4 Matematikk, 4. august 24 Side av 2 Oppgave Den rasjonale funksjonen p er definert som p(x) x2 3x +2 3x 2 5x +2. Finn de tre grenseverdiene lim xæ p(x), lim xæ p(x) og lim xæœ p(x). Løsning: x 2 3x

Detaljer

Straffespark Introduksjon Scratch Lærerveiledning

Straffespark Introduksjon Scratch Lærerveiledning Straffespark Introduksjon Scratch Lærerveiledning Introduksjon Vi skal lage et enkelt fotballspill, hvor du skal prøve å score på så mange straffespark som mulig. Steg 1: Katten og fotballbanen Vi begynner

Detaljer

MP.com Isvannsaggregat

MP.com Isvannsaggregat MP.com Isvannsaggregat Kort brukerveiledning Mikroprosessor styringssystem for RC EASY/COLDPACK med nytt display Beskrivelse av regulatoren De forskjellige reguleringsfunksjoner er beskrevet nedenfor,

Detaljer

www.ir.hiof.no/~eb/viz.htm Side 1 av 12

www.ir.hiof.no/~eb/viz.htm Side 1 av 12 VIZhtm Side 1 av 12 Innhold Side MÅL 1 OPPGAVE / RESULTAT 1 BESKRIVELSE ØVING 6A 2 BESKRIVELSE ØVING 6B 9 BESKRIVELSE ØVING 6C 12 MÅL Når du har utført denne øvingen, skal du kunne: Benytte et kamera som

Detaljer

ENC - 100. ENKEL AKSE og KLIPPE LENGDE KONTROLLER for PLATESAKSER

ENC - 100. ENKEL AKSE og KLIPPE LENGDE KONTROLLER for PLATESAKSER ENC - 100 ENKEL AKSE og KLIPPE LENGDE KONTROLLER for PLATESAKSER 1. GENERELLE SPESIFIKASJONER Membran tastatur med lang levetid. Klart og lett lesbart display. Viser hver av de 6 sifrene for aktuell og

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P Emne Underkapittel Graftegning 2.1 Linje gjennom to punkter 2.1 Å finne y- og x-verdier 2.1 Lineær regresjon 2.3 Andregradsfunksjoner 2.4 Polynomregresjon 2.4 Eksponential-

Detaljer

Husk at du skal ha to vinduer åpne. Det ene er 'Python Shell' og det andre er for å skrive kode i.

Husk at du skal ha to vinduer åpne. Det ene er 'Python Shell' og det andre er for å skrive kode i. Skilpaddeskolen Steg 1: Flere firkanter Nybegynner Python Åpne IDLE-editoren, og åpne en ny fil ved å trykke File > New File, og la oss begynne. Husk at du skal ha to vinduer åpne. Det ene er 'Python Shell'

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Casio fx-9860

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Casio fx-9860 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx-9860 Innhold 1 Om lommeregneren 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Algoritmer og Datastrukturer

Algoritmer og Datastrukturer Eksamen i Algoritmer og Datastrukturer IAI 21899 Høgskolen i Østfold Avdeling for informatikk og automatisering Torsdag 3. november 2, kl. 9. - 14. Hjelpemidler: Alle trykte og skrevne hjelpemidler. Kalkulator.

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Casio fx-9860

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Casio fx-9860 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx-9860 Innhold 1 Om Casio fx-9860 4 2 Regning 4 2.1 Tallet e......................................

Detaljer

Høgskolen i Oslo og Akershus. sin 2 x cos 2 x = 0, x [0, 2π) 1 cos 2 x cos 2 x = 0 2 cos 2 x = 1 cos 2 x = 1 2 1 2

Høgskolen i Oslo og Akershus. sin 2 x cos 2 x = 0, x [0, 2π) 1 cos 2 x cos 2 x = 0 2 cos 2 x = 1 cos 2 x = 1 2 1 2 Innlevering i DAFE/ELFE 1000 Oppgavesett 1 Innleveringsfrist: 31. januar klokka 14:00 Antall oppgaver: 3 Løsningsforslag Oppgave 1 Løs disse likningene ved regning, og oppgi svarene eksakt: a) Vi kan for

Detaljer

Ekstraoppgave 11.6.1. with plots. Vi plotter først de to flatene x 2 C y 2 = 1 og z = 4 K x for å få en ide om hvordan T ser ut.

Ekstraoppgave 11.6.1. with plots. Vi plotter først de to flatene x 2 C y 2 = 1 og z = 4 K x for å få en ide om hvordan T ser ut. Ekstraoppgave 11.6.1. a) with plots Vi plotter først de to flatene x 2 C y 2 = 1 og z = 4 K x for å få en ide om hvordan T ser ut. P1 d plot3d x, sqrt 1 K x 2, z, x = 0..4, z = 0..4, color = blue, style

Detaljer

For en tid siden ble jeg konfrontert med følgende problemstilling:

For en tid siden ble jeg konfrontert med følgende problemstilling: Normat 55:, 3 7 (7) 3 Bøker på bøker En bokorms øvelse i stabling Ivar Farup Høgskolen i Gjøvik Postboks 9 N 8 Gjøvik ivar.farup@hig.no Innledning For en tid siden ble jeg konfrontert med følgende problemstilling:

Detaljer

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 1P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 1P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy Sinus 1P Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy GeoGebra 4.0 og 4.2 wxmaxima Microsoft Mathematics WordMat TI-Nspire CAS 1 Innhold Litt om programmene... 4 GeoGebra

Detaljer

FYS-MEK 1110 Løsningsforslag Eksamen Vår 2014

FYS-MEK 1110 Løsningsforslag Eksamen Vår 2014 FYS-MEK 1110 Løsningsforslag Eksamen Vår 2014 Oppgave 1 (4 poeng) Forklar hvorfor Charles Blondin tok med seg en lang og fleksibel stang når han balanserte på stram line over Niagara fossen i 1859. Han

Detaljer

Dette er nytt i GM EPC

Dette er nytt i GM EPC Dette er nytt i GM EPC GMs neste versjon av EPC har utallige nye funksjoner for å gjøre det raskere og enklere å finne den riktige delen. Velg Brukerhåndbok på Hjelp-menyen i EPC for å få nærmere instruksjoner

Detaljer

For more information please visit www.rollermouse.com

For more information please visit www.rollermouse.com For more information please visit www.rollermouse.com Contour Design, Inc. 10 Industrial Drive Windham New Hampshire, 03087, USA Phone: 800-462-6678 E-mail: ergoinfo@contourdesign.com Contour Design Europe

Detaljer

Utvidet brukerveiledning

Utvidet brukerveiledning Utvidet brukerveiledning for Akershus fylkeskommunes statistikkverktøy http://statistikk.akershus-fk.no Utarbeidet av Cathrine Bergjordet, analysestaben, AFK Sist oppdatert 14/3 2014 Viktige begreper og

Detaljer

ADDISJON FRA A TIL Å

ADDISJON FRA A TIL Å ADDISJON FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til addisjon 2 2 Grunnleggende om addisjon 3 3 Ulike tenkemåter 4 4 Hjelpemidler i addisjoner 9 4.1 Bruk av tegninger

Detaljer

: subs x = 2, f n x end do

: subs x = 2, f n x end do Oppgave 2..5 a) Vi starter med å finne de deriverte til funksjonen av orden opp til og med 5 i punktet x = 2. Det gjør vi ved å bruke kommandoen diff f x, x$n der f x er uttrykket som skal deriveres, x

Detaljer

Vegg/gulv. Kapittel 2 - Vegg/gulv... 3

Vegg/gulv. Kapittel 2 - Vegg/gulv... 3 20.10.2009 Kapittel 2... 1 Kapittel Innhold... Side Kapittel 2 -... 3 Yttervegg... 3 Gulv... 8 Innervegg... 11 Hvordan ser veggene ut?... 17 Referansepunkt i vegg på venstre/høyre side... 23 Start fra

Detaljer

Bruksanvisning. for. Vippebadekar Medicare K1, K2 og K3

Bruksanvisning. for. Vippebadekar Medicare K1, K2 og K3 Bruksanvisning for Vippebadekar Medicare K1, K2 og K3 Innhold Sikkerhetsråd... 3 Bruksområde... 3 Regler og forskrifter... 3 CE-merke/klassifisering... 3 Garanti... 3 Hvis det oppstår skade ved levering...

Detaljer

Spørsmål og svar om GeoGebra, versjon 2.7 bokmål

Spørsmål og svar om GeoGebra, versjon 2.7 bokmål Spørsmål og svar om GeoGebra, versjon 2.7 bokmål Jeg har lastet ned en installasjonsfil fra www.geogebra.org og installert programmet, men får det ikke til å fungere. Hva kan dette skyldes? Den vanligste

Detaljer

Lineære funksjoner. Skjermbildet

Lineære funksjoner. Skjermbildet Lineære funksjoner I dette opplæringsløpet lærer du å tegne funksjoner i GeoGebra samt å bruke verktøy til å løse oppgaver som dreier seg om funksjoner. Alle oppgavene handler om lineære funksjoner. I

Detaljer

Veileder i bruk av GoodReader

Veileder i bruk av GoodReader RISØR KOMMUNE Veileder i bruk av GoodReader Innhold 1. Laste ned dokument fra kommunens hjemmeside til GoodReader... 2 2. Bruke GoodReader... 7 3. Redigere filnavn... 8 4. Opprette kataloger / mapper...

Detaljer

Innhold KAPITTEL 1 - KONTROLL PANEL... 2

Innhold KAPITTEL 1 - KONTROLL PANEL... 2 Innhold KAPITTEL 1 - KONTROLL PANEL... 2 KAPITTEL 2 - START MASKINEN, HOVED MENY... 5 2.1 START MASKINEN...5 2.2 HOVED MENY...6 2.3 MENY "MANUELL"...7 2.4 MENY "MANUELL - FREMFØRINGS RULLER" -OPPSJON...9

Detaljer

Innredning. Kapittel 7 - Innredning...3

Innredning. Kapittel 7 - Innredning...3 21.10.2009 Kapittel 7... 1 Kapittel Innhold... Side Kapittel 7 -...3 Møbler... 3 Automatisk rotasjon... 5 Se inn i rommodellen... 7 Pipe... 7 Trapp... 10 Kjøkkeninnredning... 12 Speilvende objekt... 18

Detaljer

TDT4102 Prosedyreog objektorientert programmering Vår 2016

TDT4102 Prosedyreog objektorientert programmering Vår 2016 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap TDT4102 Prosedyreog objektorientert programmering Vår 2016 Øving 4 Frist: 2016-02-12 Mål for denne øvingen:

Detaljer

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015 Ekstranotat, februar 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser, brøk og potenser... Funksjoner...4 Tilvekstform (differensialregning)...5 Nyttige tilnærminger...8

Detaljer

Overgang til RT4 hjelp for saksbehandlere

Overgang til RT4 hjelp for saksbehandlere Overgang til RT4 hjelp for saksbehandlere I forbindelse med oppgradering av RT fra versjon 3.8 til 4, vil man kunne oppleve at menyer og funksjonalitet har endret seg noe. Dette dokumentet tar for seg

Detaljer

MAT 100a - LAB 3. Vi skal først illustrerere hvordan Newtons metode kan brukes til å approksimere n-te roten av et positivt tall.

MAT 100a - LAB 3. Vi skal først illustrerere hvordan Newtons metode kan brukes til å approksimere n-te roten av et positivt tall. MAT 100a - LAB 3 I denne øvelsen skal vi bruke Maple til å illustrere noen anvendelser av derivasjon, først og fremst Newtons metode til å løse likninger og lokalisering av min. og max. punkter. Vi skal

Detaljer

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009 Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne

Detaljer

Huldt & Lillevik Lønn endringer

Huldt & Lillevik Lønn endringer Innholdsfortegnelse Huldt & Lillevik Lønn endringer... 2 Arbeidsområdet... 2 Endre størrelse på arbeidsområdet... 3 Verktøylinjen... 3 Bruke søkebilder... 3 Endring i skjermbilder... 5 Navigering i skjermbilder...

Detaljer

1. Komme i gang. Må foreløpig brukes i Internet Explorer. Start opp Elverum kommunes standard kartløsning. Zoom inn til ønsket utsnitt.

1. Komme i gang. Må foreløpig brukes i Internet Explorer. Start opp Elverum kommunes standard kartløsning. Zoom inn til ønsket utsnitt. Bruk av 3D i web-kartet 1. Komme i gang Elverum kommune Må foreløpig brukes i Internet Explorer. Start opp Elverum kommunes standard kartløsning. Zoom inn til ønsket utsnitt. Klikk så på knappen Start

Detaljer

Klask-en-Muldvarp. Steg 1: Gjøre klart spillbrettet. Sjekkliste. Introduksjon

Klask-en-Muldvarp. Steg 1: Gjøre klart spillbrettet. Sjekkliste. Introduksjon Klask-en-Muldvarp Introduksjon App Inventor Introduksjon I denne oppgaven skal vi lage et veldig enkelt spill med litt animasjon. Det som skal skje er at en muldvarp hopper rundt på spillbrettet mens du

Detaljer

PowerPoint 2002/2003 videregående av Kine Rannekleiv

PowerPoint 2002/2003 videregående av Kine Rannekleiv PowerPoint 2002/2003 videregående av Kine Rannekleiv 2/6 1 Disposisjonsvisning... 3 2 Malsidevisning... 3 2.1 Bakgrunn i mal... 3 2.2 Tittelmal... 3 3 Bakgrunner... 4 3.1 Overstyre bakgrunn fra mal...

Detaljer

Menylinje og de vanligste funksjonene. Her gjør du de tilpasningene du trenger.

Menylinje og de vanligste funksjonene. Her gjør du de tilpasningene du trenger. GeoGebra GeoGebra 1 GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Ved hjelp av dette programmet kan du framstille forskjellige geometriske figurer, forskjellige likninger (likningssett) og ulike funksjonsuttrykk,

Detaljer

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom

Detaljer

1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at

1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at Ekstranotat, 7 august 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser og brøker... Funksjoner...3 Tilvekstform (differensialregning)...4 Telleregelen...7 70-regelen...8

Detaljer

http://www.nelostuote.fi/norja/discoveryregler.html

http://www.nelostuote.fi/norja/discoveryregler.html Sivu 1/6 Innhold 2 kart (spillebrett), 2 gjennomsiktige plastark (som legges oppå spillebrettene), Sjekkometer, 28 sjekkometerkort, 18 utstyrskort, 210 terrengbrikker, 2 tusjpenner. Hvem vinner? I Discovery

Detaljer

NTNU. TMA4105 Matematik 2 våren 2011. Maple-øving 1. Viktig informasjon. Institutt for matematiske fag. maple01 1.

NTNU. TMA4105 Matematik 2 våren 2011. Maple-øving 1. Viktig informasjon. Institutt for matematiske fag. maple01 1. NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematik 2 våren 2011 Maple-øving 1 Fyll inn studieprogram: Fyll inn navn: 1. 2. 3. 4. Viktig informasjon Besvarelsen kan leveres som gruppearbeid med maksimalt

Detaljer

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom

Detaljer

Casall R300 II bruksanvisning ROMASKIN

Casall R300 II bruksanvisning ROMASKIN Casall R300 II bruksanvisning ROMASKIN Før du fortsetter må du finne serienummer. Serienummer: - 3 - R300 II Monteringsdiagram UTVIDET DIAGRAM - 3 - Deleliste Nr. Beskrivelse Antall A DATAMASKIN 1 SETT

Detaljer

2-Port transmisjons målinger for Anritsu RF og mikrobølge håndholdte instrumenter

2-Port transmisjons målinger for Anritsu RF og mikrobølge håndholdte instrumenter Anritsu brukertips : 2-Port transmisjons målinger for Anritsu RF og mikrobølge håndholdte instrumenter Opsjon 21: Dette brukertips dokumentet beskriver bruk av opsjon 21, med navn Transmission Measurement

Detaljer

Del 1 - Uten hjelpemidler

Del 1 - Uten hjelpemidler Del 1 - Uten hjelpemidler Oppgaveteksten til del 1 ligger i: http://www.ulven.biz/r1/heldag/r1_hd_100516.docx (Oppgaveteksten til del er inkludert i dette dokumentet.) Oppgave 1 f x 3x 1 x 1 x (Husk: x

Detaljer

BRUKERMANUAL Digispiller

BRUKERMANUAL Digispiller BRUKERMANUAL Digispiller INNHOLDSFORTEGNELSE 3. Ved første gangs bruk 4. Hvitt kort med et? Husk alltid dette 5. Skru PÅ/AV Bytte digikort 6. Lade digispiller 7. Funksjonsknapper 8. - 9. Hovedmeny 10.

Detaljer

Introduksjonsprogram for Revu: Lagre revisjoner i Verktøykasse

Introduksjonsprogram for Revu: Lagre revisjoner i Verktøykasse Introduksjonsprogram for Revu: Lagre revisjoner i Verktøykasse Med Revus Tool Chest kan du raskt og effektivt legge til revisjoner i PDF-filer. Tool Chest lagrer vanlig brukte revisjoner, slik at du lett

Detaljer

Hvordan lage et sammensatt buevindu med sprosser?

Hvordan lage et sammensatt buevindu med sprosser? Hvordan lage et sammensatt buevindu med sprosser? I flere tilfeller er et vindu som ikke er standard ønskelig. I dette tilfellet skal vinduet under lages. Prinsippene er de samme for andre sammensatte

Detaljer

Din bruksanvisning DYMO LABELMANAGER 420P http://no.yourpdfguides.com/dref/3645396

Din bruksanvisning DYMO LABELMANAGER 420P http://no.yourpdfguides.com/dref/3645396 Du kan lese anbefalingene i bruksanvisningen, de tekniske guide eller installasjonen guide for DYMO LABELMANAGER 420P. Du vil finne svar på alle dine spørsmål på DYMO LABELMANAGER 420P i bruksanvisningen

Detaljer

2009 Thomas Haugland Rudfoss. PowerPoint 2007 En rask introduksjon

2009 Thomas Haugland Rudfoss. PowerPoint 2007 En rask introduksjon PowerPoint 007 En rask introduksjon Agenda PowerPoint vinduet PowerPoint vinduet Office Knappen Ny, åpne og lagre presentasjoner Skrive ut lysbilder, støtteark og notatark Egenskaper for presentasjonen

Detaljer

INF109 - Uke 1b 20.01.2016

INF109 - Uke 1b 20.01.2016 INF109 - Uke 1b 20.01.2016 1 Variabler Et program er ikke til stor hjelp hvis det er statisk. Statisk betyr at programmet bare bearbeider faste data som er lagt inn i programkoden. For å gjøre programmer

Detaljer

Brukerveiledning. For student hjemmeeksamen

Brukerveiledning. For student hjemmeeksamen Brukerveiledning For student hjemmeeksamen Oppdatert 26. oktober 2015 1 Innhold Innledning Pålogging Godkjente nettlesere Din oversikt over prøver og eksamener Gjennomføre eksamen Navigere i eksamensoppgaven

Detaljer

TDT4105 IT Grunnkurs Høst 2014

TDT4105 IT Grunnkurs Høst 2014 TDT4105 IT Grunnkurs Høst 2014 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap Øving 6 1 Teori a) Hva er 2-komplement? b) Hva er en sample innen digital

Detaljer

Kapittel 5 - Søyle, drager og balkongrekke... 3

Kapittel 5 - Søyle, drager og balkongrekke... 3 19.07.2012 Kapittel 5... 1 DDS-CAD Arkitekt Byggmester - innføring versjon 7 Søyle, drager og balkongrekke Kapittel Innhold... Side Kapittel 5 - Søyle, drager og balkongrekke... 3 Søyle... 3 Drager...

Detaljer

Batteriinformasjon... 576 Hvis det oppstår problemer... 579 Informasjon om service og garanti på TI-produkter... 580

Batteriinformasjon... 576 Hvis det oppstår problemer... 579 Informasjon om service og garanti på TI-produkter... 580 Tillegg C: Informasjon om service og garanti C Batteriinformasjon... 576 Hvis det oppstår problemer... 579 Informasjon om service og garanti på TI-produkter... 580 Dette tillegget inneholder tilleggsinformasjon

Detaljer

Enalyzer Norge. Nice to know - ESS

Enalyzer Norge. Nice to know - ESS Enalyzer Norge Nice to know - ESS Oversikt Generelle tanker omkring spørsmålsformulering Typiske utfordringer ved de forskjellige spørsmålstyper Typiske utfordringer i lanseringsdelen Husk at folk gjør

Detaljer