Sampling. Jan Egil Kirkebø. Universitetet i Oslo 14. oktober 2019

Transkript

1 Sampling Jan Egil Kirkebø Universitetet i Oslo janki@ifi.uio.no 14. oktober 2019 Jan Egil Kirkebø (Inst. for Inf.) IN3190/IN oktober / 25

2 Sampling Periodisk sampling av et kontinuerlig-tid signal defineres ved x[n] = x c (nt ) t=nt = x c (nt ), < n <, hvor T er samplingsperioden (F s = 1/T er samplingsraten). Normalisert digital frekvens defineres som f = F /F s. Samplene x[n] sier ingenting om verdiene til x c (t) mellom samplene. Et uendelig antall kontinuerlig-tid signaler kan gi opphav til et bestemt diskret-tid signal. Jan Egil Kirkebø (Inst. for Inf.) IN3190/IN oktober / 25

3 Sampling En analog-til digital (A/D) konverter et kontinuerlig-tid signal til et diskret-tid signal. Input til en A/D-konverter er et reelt kontinuerlig-tid signal. Output fra en A/D-konverter er en diskret-tid sekvens. En A/D-konverter inneholder følgende tre komponenter: 1 Kontinuerlig-til-diskret (C/D) konverter Konverterer et kontinuerlig-tid signal til et diskret-tid signal. 2 Kvantiserer Transformerer kontinuerlig amplitude til diskret amplitude (f.eks. byte, short, int, float, double). 3 Enkoder Transformerer hvert sample til binære koder. x C (t) C/D Kvantiserer Enkoder x[n] Jan Egil Kirkebø (Inst. for Inf.) IN3190/IN oktober / 25

4 Fouriertransformen til et periodisk samplet signal For at et diskret-tid signal x[n] entydig skal representere et kontinuerlig-tid signal x c (t) så må det være noen begrensninger på egenskapene til x c (t). Vi sammenligner spektrene til x c (t) og x[n]. Vi har at forholdet mellom X c (jω) og X (e jωt ) = X (e jω ) og må tilfredsstille ( ) X e jωt = 1 ( X c jω j 2π ) T T k k= = 1 ( X c j ω T T j 2π ) T k = X ( e jω). k= Vi ser at spekteret til X (e jω ) består av periodiske kopier av X c (jω) med periode Ω s = 2π/T. Jan Egil Kirkebø (Inst. for Inf.) IN3190/IN oktober / 25

5 Periodisk sampling i frekvensdomenet Jan Egil Kirkebø (Inst. for Inf.) IN3190/IN oktober / 25

6 Nyquist-Shannon samplingsteorem La x c (t) være et kontinuerlig-tid båndbegrenset signal hvor Fourier-transformen tilfredsstiller X c (jω) = 0 for Ω > Ω H. Da kan x c (t) gjenskapes entydig fra samplene til dets diskret-tid signal x[n] = x c (nt ), hvor n = 0 ± 1, ±2,..., hvis samplingsfrekvensen Ω s tilfredsstiller betingelsen Ω s = 2π T 2Ω H. Samplingsfrekvensen Ω s = 2Ω H kalles for Nyquistraten. Jan Egil Kirkebø (Inst. for Inf.) IN3190/IN oktober / 25

7 Nyquist-raten Samples signalet med F s < 2F H vil vi få feil signal ved rekonstruksjon. I praksis oversamples et signal for å få god rekonstruksjon. Jan Egil Kirkebø (Inst. for Inf.) IN3190/IN oktober / 25

8 Rekonstruksjon Et signal x c (t) kan rekonstrueres fra x[n] ved x r (t) = n= x[n]g r (t nt ), hvor x r (t) er det rekonstruerte signalet og g r (t) er en interpolerende rekonstruksjonsfunksjon. Fouriertransformen blir Setter vi blir X r (jω) = X c (jω). X r (jω) = G r (jω)x (e jωt ). G r = { T, Ω Ωs /2 0, Ω > Ω s /2 Jan Egil Kirkebø (Inst. for Inf.) IN3190/IN oktober / 25

9 Rekonstruksjon (forts.) Vi får ideell rekonstruksjon av et båndbegrenset signal x c (t) ved x c (t) = n= sin(π(t nt )/T ) x[n]. π(t nt )/T }{{} g r (t)=sin(πt/t )/(πt/t ) Jan Egil Kirkebø (Inst. for Inf.) IN3190/IN oktober / 25

10 Aliasering Dersom to sinusoider får samme frekvens ved sampling så kalles dette aliasering. En ideell digital-til-analog konverter vil alltid rekonstruere en sinusoide til en frekvens i intervallet F s /2 < F 0 F s /2. Vi har at cos(2π(kf s + F 0 )nt ) = cos(2πkn + 2πF 0 nt ) = cos(2πf 0 nt ). Etter sampling og rekonstruksjon med raten F s = 1/T s vil en sinusoide med frekvens F > F s bli en sinusoide med frekvens F 0 = F kf S, hvor k velges slik at 0 F 0 F s Tilsynelatende frekvens F a vil være i intervallet 0 F 0 F s /2, eller det prinsipale området kan defineres som f = F 0 /F s < 0.5. Jan Egil Kirkebø (Inst. for Inf.) IN3190/IN oktober / 25

11 Aliasering av sinusoider Jan Egil Kirkebø (Inst. for Inf.) IN3190/IN oktober / 25

12 Spektrumsrepresentasjon av aliasering Jan Egil Kirkebø (Inst. for Inf.) IN3190/IN oktober / 25

13 Spektrumsrepresentasjon av aliasering (forts.) Jan Egil Kirkebø (Inst. for Inf.) IN3190/IN oktober / 25

14 Folding Jan Egil Kirkebø (Inst. for Inf.) IN3190/IN oktober / 25

15 Eksempel Amplitude Amplitude Amplitude 1 0 Lydsignal oversamplet. F 0 : 700 Hz, Fs: 2800 Hz Tid [s] Lydsignal undersamplet. F 0 : 700 Hz, Fs: 1190 Hz Tid [s] Lydsignal ekstremt undersamplet. F 0 : 700 Hz, Fs: 490 Hz Tid [s] Jan Egil Kirkebø (Inst. for Inf.) IN3190/IN oktober / 25

16 Eksempel (forts.) Magnituderespons Magnituderespons Magnituderespons Lydsignal oversamplet. F 0 : 700 Hz, Fs: 2800 Hz Frekvens [Hz] Lydsignal undersamplet. F 0 : 700 Hz, Fs: 1190 Hz Frekvens [Hz] Lydsignal ekstremt undersamplet. F 0 : 700 Hz, Fs: 490 Hz Frekvens [Hz] Jan Egil Kirkebø (Inst. for Inf.) IN3190/IN oktober / 25

17 Aliasering av en chirp Jan Egil Kirkebø (Inst. for Inf.) IN3190/IN oktober / 25

18 Sampling og rekonstruksjon i praksis Jan Egil Kirkebø (Inst. for Inf.) IN3190/IN oktober / 25

19 Sampling av båndpassignal Båndpassignal brukes i mange anvendelser, slik som kommunikasjon, radar og ultralyd. Et båndpassignal har frekvensspekteret { 0, Ω ΩL X c (jω) =, 0, Ω Ω H med senterfrekvens Ω c = (Ω L + Ω H )/2 og båndbredde B = (Ω H Ω L )/(2π). Signalet kan rekonstrueres hvis 2B F s 4B, og F s kan være 2B hvis F H /B er et heltall. Jan Egil Kirkebø (Inst. for Inf.) IN3190/IN oktober / 25

20 Sampling av båndpassignal F H /B = heltall Jan Egil Kirkebø (Inst. for Inf.) IN3190/IN oktober / 25

21 Sampling av båndpassignal F H /B heltall Jan Egil Kirkebø (Inst. for Inf.) IN3190/IN oktober / 25

22 Bildesampling og rekonstruksjon Bilder lagres som 2D-matriser s[m, n] ved å sample et fysisk bilde s c (x, y) på et rektangulært grid med punkter: hvor ( x, y) angir samplingen. s[m, n] = s c (m x, n y), Vi sier at s c (x, y) er båndbegrenset hvis S c (F x, F y ) = 0, for F x > B x og F y > B y. Da kan s c (x, y) gjenskapes entydig fra samplene til det samplede bildet s[m, n] dersom F sx 2B x og F sy 2B y. Jan Egil Kirkebø (Inst. for Inf.) IN3190/IN oktober / 25

23 2D sampling i frekvensdomenet Jan Egil Kirkebø (Inst. for Inf.) IN3190/IN oktober / 25

24 Moiré-mønster Jan Egil Kirkebø (Inst. for Inf.) IN3190/IN oktober / 25