f (x) = sin(x) f (0) = 0 P 4 (x) =x x3 3!, R 4(x) = x5

Transkript

1 NTNU Istitutt for matematiske fag SIF53 Matematikk for F høste Løsigsforslag - Øvig 9 Fra Edwards & Peey, avsitt.4 Gitt fuksjoe f(x) =six og =4harvi: f(x) =six f() = f (x) =cosx f () = f (x) = si(x) f () = f (3) (x) = cos x f (3) () = f (4) (x) =six f (4) () = f (5) (x) =cosx Altså er Taylorpolyomet og restleddet gitt som for e z mellom og x. P 4 (x) =x x3 3!, R 4(x) = x5 5! cos z 56 Ata at <x. Vi har gitt følgede idetitet: +t = t + t t 3 + +( ) t + ( )+ t + +t Dee ka lett kotrolleres ved å multiplisere begge sider med + t. Vi itegrer opp begge sider fra t =tilt = x og får: +t dt = ( t + t t 3 + +( ) t + ( )+ t + )dt; +t [ ] x [l( + t)] x = t t + t3 t+ +( ) + R 3 + Der ( ) + t + R = dt +t Vi har at R t + dt = x+ + Side x vilaltså R år Derfor ka vi ved å sette i gresee i itegralet kokludere med: ( ) + x l ( + x) = dersom <x. = lfov9 3. oktober Side

2 SIF53 Matematikk for F høste Fra Edwards & Peey, avsitt.5 4 Vi har rekka = (l ) 3 og vil teste om ho kovergerar. Alle ledd er positive, og fuksjoe f(x) = x(l x) 3 gjev oss ledda i rekka for x N og er ei mikade fuksjo. Då ka vi ytte itegralteste. Vi itegrerar ved substitusjo: u =lx og du dx = x. Dette gjev [ f(x)dx = x(l x) 3 dx = l u 3 du = ] u =+ l (l ) < slik at rekka kovergerer. 4 Vi krever at R <. Dette holder år dx < x3 fordi R ifølge Teorem ikke ka overstige dette itegralet. Derfor krever vi at [ ] 5x 5 < Ved isettig følger det at 5 > og dermed at >. Det vil si at det miste heltall som garaterer at R <Eer. Fra Edwards & Peey, avsitt.6 8 Det er kjet at p-rekka = (p = ) kovergerer. Dessute er = for. Ved sammeligigskriteriet for positive rekker er dermed rekka også koverget. = Ligig (7) i kapittel 5.3 gir oss at for hvert positivt heltall er = ( +) lfov9 3. oktober Side

3 SIF53 Matematikk for F høste Ved å bruke dette resultatet får vi: = = ( +) Dee rekka er domiert av p-rekka med p =: ( +) Ved sammeligigskriteriet for positive rekker er dermed rekka i oppgave koverget. Oppgaver fra eksamesoppgavesamlige 59 a) Vi skriver og skal altså vise a = a < = 3 5 ( ) 4 6 () +, =,, 3,... For = er dee ulikhete < /, som åpebart er riktig. Vi atar så iduksjoshypotese /(k) a k < / k +foregittk. Ved multiplikasjo med (k + )/(k + )får vi ulikhete Vi treger åvise k + (k)(k +) a k+ < k + a k+ < k + (k +) k +. k +. I følge det vi har vist er det ok å vise de to ulikhetee k + k + (k)(k +) og k + (k +) k + k +. De første er triviell, me de adre krever arbeid. Side alle ledd er positive får vi e ekvivalet ulikhet ved å kvadrere begge sider og så multiplisere med fellesevere, som gir (k +) (k +) (k +) (k +). Vi multipliserer ut og får 4k 3 +k +9k + 4k 3 +k +k +4 som er riktig ok, og dermed er iduksjostriet fullført. b) Rekke = ( ) a er ikke koverget fordi a /(), og sammeligig med ( gager) de harmoiske rekke viser at = a divergerer. Me rekke er koverget ved teste for altererede rekker, side de virkelig er altererede, leddee avtar (side a + /a =( +)/( +)< ) og de går mot ull (side <a < / +). Altså er rekke betiget koverget. lfov9 3. oktober Side 3

4 SIF53 Matematikk for F høste 6 Vi fier Maclaurirekke for e x ved å bytte ut x med x irekkefore x : ( x ) e x =! = ( ) = x.! = Geerelt fier vi Maclaurirekke for f(x) = g(t) dt ved å itegrere leddvis, såmaclaurirekke for f blir ( ) t ( ) x + dt =!! +. = Det geerelle utsaget over ka vi vise slik: At Maclaurirekke for g er = b x betyr at b = g () ()/!. Vi søker Maclaurirekke = a x der a = f () ()/!. Da blir a = f() =, mes for blir = a = f () ()! slik at Maclaurirekke for f blir = g( ) ()! = ( )!b! = b a x = = = som påstått. Med x = i Taylorrekke fier vi b x = f() = = = b + x+ = ( )!( +) = b t dt som er e altererede rekke der absoluttverdie av -te ledd avtar med og går mot år. Dermed har feile samme forteg som, og ikke større absoluttverdi e, este ledd i rekke. Vi treger altsåå bestemme slik at Vi stiller opp e lite tabell: <,5, det vil si!( +).!( +) ! 6 4 7!( + ) Leddet med = 6 er altså tilstrekkelig lite, så vi ka øye oss med å summere fra = til = 5. I alt 6 ledd. 74 (i) Vi skal udersøke rekke = ( ), som er e altererede rekke med a =. Vi udersøker først om de er absolutt koverget. For alle er, og side de harmoiske rekke divergerer sier sammeligigsteste oss at rekke (i) ikke er absolutt koverget. (i) lfov9 3. oktober Side 4

5 SIF53 Matematikk for F høste For å udersøke betiget koverges beytter vi oss av altererede rekke teste. Side + for alle er a = + = a + >. Videre er lim a = lim =, slik at kriteriee i teste er oppfylt. Følgelig er rekke betiget koverget. (ii) Vi skal udersøke rekke ( ) l(e + e ), = som er e altererede rekke med a =(l(e + e )). Vi ser at ettersom vokser seg stor går leddet e mot ull, slik at a = l(e + e ) l e =. Vi bruker derfor gresesammeligigsteste med b =. L = lim l(e +e ) = lim L Hopital l(e + e = lim ) e + e e =. e Side grese L eksisterer og er edelig, og de harmoiske rekke b divergerer, er ikke rekke (ii) absolutt koverget. Som over oppfyller a kriteriee i altererede rekke teste slik at rekke er betiget koverget. (iii) Tilslutt skal vi udersøke rekke (ii) = si +. (iii) Vi udersøker først absolutt koverges, og fier si + + for alle. Side rekke er koverget, gir sammeligigsteste oss at rekke (iii) er absolutt koverget. 6 Sammehege mellom legemets høyde h og fart v er gitt ved differesialligige v dv ( ) b dh = +h a) Vi skal løse differesialligige med iitialbetigelse v() =. Vi skriver om ligige til ( ) b vdv = dh +h lfov9 3. oktober Side 5

6 SIF53 Matematikk for F høste og itegrer begge sider for å oppå v = b +h + C Ved å sette i h = og bruke iitialbetigele fier vi at kostate C = b /. Isettig av dette gir v = b +h b = b ( ) h = b ( + h) h +h = b Vi tar kvadratrot på begge sider og kommer edelig frem til h v = b ( + h h ( + h) Farte i det legemet treffer jordoverflate er gitt ved v() = b. b) Vi skal å fie falltide T. Vi vet at fart er de tidsderiverte av avstad, og i dette problemet betyr det at vi har sammehege dh dt = v Ved å sette i dette for v i resultatet fra oppgave a) fier vi differesialligige dh h dt = b +h Videre maipulerig og itegrasjo gir +h dh = bdt h Vi splitter opp itegralet på vestre side. Første del er lik (se Rottma) dh =arcsih + C h Adre del fier vi ved hjelp av substitusjo h dh = h + C h Totalt får vi altså sammehege arcsi h h = bt + C Kostate C fies fra iitialbetigelse t =år h = (tide er ull i tidspuktet legemet slippes fra høyde ). C =arcsi = π Altså, sammehege mellom t og h er gitt ved t = b (π + h arcsi h) Falltide T fier vi ved å sette h =. De blir lik T = b (π + ) som vi skulle vise. lfov9 3. oktober Side 6