Kapittel 37 ARVEN FRA PYTAGORAS

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Kapittel 37 ARVEN FRA PYTAGORAS"

Transkript

1 Kapittel 37 ARVEN FRA PYTAGORAS Glimt fra matematikkens historie Etter det første tusenårsskiftet begynte Europa å "våkne opp" etter en periode som ofte blir kalt "de mørke århundrene". Parallelt med denne oppvåkningen vokste interessen for fortiden. I et forsøk på å finne seg selv i en historisk sammenheng begynte en å studere det som hadde skjedd i Hellas i hundreårene før Kristi fødsel. En studerte gresk historie, gresk mytologi, og en leste det som var skrevet av og om greske statsmenn, filosofer og vitenskapsmenn. Dette slo så godt an at det, sammen med arven etter romerne, kom til å danne utgangspunktet for utviklingen av det nye Europa. Dermed ble den gamle greske matematikken også utgangspunktet for vår matematikk. Først i nyere tid er vi blitt oppmerksomme på andre typer matematikk som andre kulturer hadde utviklet. Fordi dagens matematikk er en ren videreutvikling av det en klarte å finne ut om den gamle greske matematikken, er det enkelt å si hvor og når det hele startet. Ikke nok med det, vi kan faktisk ta og føle på "vår matematikks vugge" den dag i dag. Det er restene av Hera-tempelet som ble bygd i det sjette århundret f.kr. på den greske øya Samos. Sjefen for de greske gudene het Zeus, og tempelet ble bygd til ære for kona hans. Hun het Hera. På denne øya ble stamfaren til vår matematikk født i året 569 f.kr. Han het Pytagoras. Kanskje inspirert av det religiøse miljøet på øya under oppveksten, utviklet han en slags religion der tall var nøkkelen til forståelse av den guddommelige verdensordning. Denne religionen fortalte om en harmonisk matematisk verdensordning der alt kunne telles. Det en så, hørte, luktet osv., bestod av så og så mange eller så og så mye av et eller annet, det fantes enheter for alt. Ved å studere tall fikk en større innsikt, og en kom dermed nærmere guddommen. Dette studiet kunne teoretisk drives så langt at en selv ble guddommelig. Pytagoras sin heltallsreligion var kanskje også starten på den utviklingen som har resultert i vår vestlige musikk. Med tall som utgangspunkt utviklet Pytagoras en harmonilære som stemmer bra med de harmoniene som har slått an hos oss. Utgangspunktet var at dersom en delte en streng i like lange stykker, dvs. et heltallig antall like lange strenger, og spilte på en av de kortere strengene, så ville den gi en tone som passet sammen med den tonen som den opprinnelige strengen hadde gitt. Egentlig mente han vel at det var guddommen som hadde gjort at det var slik. Kapittel 37 GLIMT FRA MATEMATIKKENS HISTORIE MATEMATIKKFORLAGET Side 676

2 Tallreligionen til Pytagoras baserte seg ikke bare på tro. Påstander om at noe av det vi sanser rundt oss, kan forklares som tallforhold, måtte begrunnes eller bevises. Som det første matematiske beviset regner vi gjerne et som forteller noe om alle rettvinklete trekanter, uansett størrelse. Det slår fast at når vi ser en rettvinklet trekant, kan vi være sikre på at kvadratet av hypotenusen er lik summen av kvadratene av de to katetene. Et par av de kildene vi hadde tilgang til da vi skulle sette oss inn i den gamle greske matematikken, antyder at det var Pytagoras som oppdaget og beviste dette. I dag kaller vi matematiske forhold eller påstander som er bevist, for teorem eller setninger. Forholdet foran kalles derfor Pytagoras setning. I dag vet vi at andre kulturer hadde kjent det lenge før. Pytagoras innførte bevis som et krav i matematikken, men det slo tilbake. Et bevis må godtas enten en liker det eller ikke. Et bevis som virker harmløst på oss, fikk det religiøse byggverket til Pytagoras til å ryste i grunnvollene. Vi tar oss tid til å se på beviset, det gir deg ekstra trening i å følge algebraiske resonnement: Problemet startet med følgende "uskyldige" lille rettvinklete trekant: Ifølge Pytagoras setning må kvadratet av hypotenusen være Den pytagoreiske religionen fortalte om en verden der alle forhold skulle kunne uttrykkes med hele tall. Brøker passer også inn her, brøker er bare en måte å skifte målenhet på. Sju femdeler angir for eksempel at vi har delt én enhet i fem, og at vi har sju av den nye enheten. Fordi hver av katetene hadde lengde 1, og fordi hypotenusen var lengre, men ikke dobbelt så lang, måtte den enheten som hypotenusen skulle kunne måles med, være mindre, kanskje femdeler. Lengden av hypotenusen skulle være et visst antall av denne mindre enheten, "på øyemål" kunne en forvente noe i nærheten av sju femdeler. Kapittel 37 GLIMT FRA MATEMATIKKENS HISTORIE MATEMATIKKFORLAGET Side 677

3 La oss prøve å finne denne brøken. I første omgang kaller vi telleren a og nevneren b og forutsetter at brøken er forkortet så mye som mulig. Det gir følgende lengder på sidene i trekanten: Ifølge Pytagoras setning må følgende gjelde: a ( ) b 2 2 = = = 2 Kvadratet av brøken a på b skal altså være lik 2: a ( ) b 2 = 2 a 2 a a a a Vi prøver oss fram: ( ) = = = 2 b b b b b Hvis brøken a a b b skal være lik 2, må telleren være dobbelt så stor som nevneren, og brøken må kunne forkortes. Men vi har forutsatt at brøken a b er forkortet så mye som mulig på a a a a forhånd. Den kan ikke forkortes mer. Da kan heller ikke brøken ( = ) forkortes. b b b b Konklusjonen må derfor bli at lengden på denne hypotenusen ikke kan skrives som en brøk. Det må derfor finnes en type tall som ikke kan skrives på brøkform. Dette forvirret Pytagoras og medarbeiderne hans. Når så matematikken for dem også var religion, skapte dette en krise. De hadde ingen forklaring og reagerte med en slags panisk proteksjonisme. Inntil religionen kunne tilpasses den nye oppdagelsen, forsøkte de å holde oppdagelsen hemmelig. Det klarte de selvfølgelig ikke, og de klarte heller ikke å få orden på religionen sin. Kapittel 37 GLIMT FRA MATEMATIKKENS HISTORIE MATEMATIKKFORLAGET Side 678

4 I dag kaller vi tall som ikke kan skrives på brøkform, for irrasjonale tall. Hvis vi skulle skrive dem som desimalbrøk, ville vi aldri bli ferdige, de har uendelig mange desimaler. Det mest berømte irrasjonale tallet er tallet π (pi), som forteller hvor mange ganger diameteren i en sirkel kan legges langs sirkelbuen. Tallet i eksemplet foran, lengden på hypotenusen, er tallet 2, som vi leser "kvadratrota av to". Grekerne visste at det fantes noen merkelige tall, de vi i dag kaller irrasjonale, men de ville så gjerne at verden skulle kunne forklares med hele tall. Derfor prøvde de, så godt det lot seg gjøre, å forklare den slik. Tankegangen til Pytagoras hadde slått rot. Det er en hovedgrunn til at grekerne brukte passer, linjal og linjealgebra i stedet for bokstavalgebra. En linje kan ha en hvilken som helst lengde. Men uansett hvilken målenhet vi velger, får vi problem med å tallfeste noen lengder. Skifter vi målenhet, får vi problem med andre lengder. Dette var uforståelig for grekerne, de valgte en defensiv holdning og prøvde å styre unna irrasjonale størrelser ved å bruke linjealgebra. Rundt år 300 f.kr. oppsummerte og systematiserte grekeren Euklid utviklingen til da i boka Elementer. Det er i hovedsak denne boka som har formidlet den gamle greske matematikken til oss. For å få satt alt i system tok Euklid utgangspunkt i det beviskravet som Pytagoras hadde innført. Deretter fant han fram til et passende utvalg grunnpåstander (ti stykker) som var slik at alt av datidens matematikk kunne utledes (bevises) fra dem. Dermed innførte han det vi i dag kaller aksiom. Et aksiom var for Euklid en påstand som var så selvinnlysende at det ikke var nødvendig å bevise den. Dermed kunne alle enes om utgangspunktet, og det som ble bevist ut fra det, måtte være sant. I dag har vi et litt annet forhold til aksiomer. Vi stoler ikke så mye på oss selv at vi vil gjøre oss til dommere over hva som er sant og hva som er usant. Når nye grener av matematikken skal utvikles, prøver vi oss fram med å ta utgangspunkt i et tilsynelatende passende utvalg aksiomer. Hvis den matematikken som kan utledes fra dem virker interessant, og spesielt dersom den kan anvendes til noe praktisk, så er den enn så lenge god matematikk. Det er blant annet en kritisk undersøkelse av matematikken til Euklid som har fått oss til å være varsomme med å slå fast at noe er sant. Euklid beviser for eksempel at summen av vinklene i en trekant er 180, og det virker sant. Men hvis vi tar hensyn til at Jorda er en kule, så kan vi si at det er galt. Summen av vinklene i en trekant på en kule, er større enn 180. Kapittel 37 GLIMT FRA MATEMATIKKENS HISTORIE MATEMATIKKFORLAGET Side 679

5 Denne "vær varsom"-holdningen er en av grunnene til at bildene til den nå avdøde billedkunstneren Maurits C. Escher er populære hos matematikerne. Mange av bildene hans understreker på en humoristisk måte at selv om noe ved første øyekast virker logisk og sant, så holder det kanskje ikke likevel. Her er ett av dem: Euklid samlet den klassiske greske matematikken i boka Elementer rundt år 300 f.kr., og det var på høy tid. Den greske matematiske blomstringstiden skulle snart ta slutt. Vi regner Arkimedes som den siste av de store greske matematikerne. Han levde fra år 287 f.kr til år 212 f.kr. Sett med våre øyne og i et historisk perspektiv var den greske matematiske aktiviteten fra Pytagoras til Arkimedes i stor grad et lokalt fenomen. Årsaken har blant annet med holdning å gjøre. Grekerne så på matematikken som en slags filosofi, den var bare for tanken. De la stort sett lite vekt på å finne ut og forklare hva den kunne brukes til rent praktisk. Et unntak var Arkimedes. Han var både teoretiker og praktiker, men selv ikke Arkimedes kunne endre det bildet grekerne selv hadde gitt av matematikken som ren tenkelek. De fleste andre syntes det var fint at grekerne tok seg av filosofien, men selv var de mer opptatt av praktisk nytteverdi. Det var også den romerske kulturen som etter hvert overtok mer og mer. Fordi den greske matematikken ble sett på som en del av filosofien, ofret romerne den liten oppmerksomhet. Dermed var det en stor fare for at den greske matematikken skulle gå tapt for ettertiden, men i det nære Østen skjedde det noe som skulle få stor betydning på mange områder, også for matematikken. I år 630 erobret Muhammed Mekka. Hans ideer om hvordan mennesker skal tenke og oppføre seg, som han mente å ha fått fra Gud (Allah), er oppsummert i boka Koranen. De som vil leve etter disse reglene, kaller vi muslimer. De muslimske levereglene eller den muslimske lære kaller vi samlet for islam. Islam slo an i områdene syd og øst for Middelhavet, vi kan si hos araberne. Kapittel 37 GLIMT FRA MATEMATIKKENS HISTORIE MATEMATIKKFORLAGET Side 680

6 Denne læren utviklet seg etter hvert i flere retninger, men de toneangivende retningene satte pris på kunnskap, og i dette ligger det store for matematikken. De greske matematikkbøkene ble oversatt til arabisk og brukt. Sett med våre øyne tok araberne vare på den greske matematikken da det meste av den greske originallitteraturen forsvant. Hvis vi igjen skiller mellom anvendt matematikk og ren matematikk, kan vi si at araberne videreutviklet den anvendte matematikken (spesielt navigasjon), men ikke den rene matematikken i vesentlig grad, med ett unntak. Unntaket er den arabiske matematikeren al-khuwãrizmi som arbeidet i Bagdad rundt år 800 e.kr. I en bok som ble mye brukt av ettertiden, forklarte han hvordan ligninger kunne løses med en metode som han kalte gjenoppbygging. Det arabiske ordet for gjenoppbygging, aljabr, har gitt oss ordet algebra. al-khuwãrizmi har indirekte gitt oss enda et ord. Fra navnet hans har vi utledet ordet algoritme. al-khuwãrizmi skrev tall på en ny måte. I stedet for den tungvinte greske måten brukte han indiske siffer. På tolvhundretallet gjorde italieneren Fibonacci det samme for å ha et bedre tallsystem enn det romerske. På femtenhundretallet forenklet den tyske perspektivmaleren Albrecht Dürer skrivemåten for disse indiske sifrene, og det er dette forslaget (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9) vi bruker i dag. Mange kilder forteller oss at våre siffer har indisk opprinnelse. En engelsk matematikkbok som kom ut i det fjortende århundret, sier det slik: forthermore ye most vndirstonde that in this craft ben vsed teen figurys, as here bene writen for esampul in the quych we vse teen figurys of Inde. Questio. why teen fyguris of Inde? Solucio. For as I have sayd afore thei were fonde fyrst in Inde. Den arabiske kulturen spredte seg langs sydkysten av Middelhavet og nådde Spania før tusenårsskiftet. Der skjedde det noe interessant som vi kan ta lærdom av i dag. Forskjellige grupper, deriblant muslimer og kristne, levde og arbeidet sammen i et stort sett harmonisk fellesskap. Derfor ble Spania, og spesielt byen Toledo, en viktig kanal for formidling av den klassiske greske litteraturen til det nye Europa. Euklids bok Elementer ble oversatt fra arabisk, og den ble etter hvert Boka med stor B i matematikken. Matematikk var i lang tid ensbetydende med innholdet i Elementer. Den allmenne holdningen var også i hovedsak slik at alt som kom fra det klassiske Hellas, var bra og udiskutabelt. Det var også det bildet av universet som grekeren Ptolemaios hadde gitt rundt år 150 e.kr. Ifølge han stod Jorda i sentrum. Sola og Månen var planeter på lik linje med de andre planetene, og alle kretset i perfekte sirkelbaner rundt Jorda. Jorda stod stille i sentrum av universet, Jorda var universets sentrum. Bokstavelig talt alt dreide seg om den eller kanskje heller om oss. Fordi astronomien fikk stor betydning for den videre utviklingen av matematikken, skal vi vie den oppmerksomhet her. Kapittel 37 GLIMT FRA MATEMATIKKENS HISTORIE MATEMATIKKFORLAGET Side 681

7 Ptolemaios sitt bilde av universet, med Jorda i sentrum, ble godtatt uten innvendinger, ideen kom jo fra det klassiske Hellas. Kirken likte også dette universet med Jorda og menneskene (skapt i Guds bilde) i sentrum, og dermed ble det samtidig farlig å mene noe annet. Inkvisisjonen, en kirkelig domstol, kunne idømme strenge straffer for kjetteri, dvs. å mene noe annet enn det kirken sa var rett. Tortur ble brukt for å tvinge fram tilståelser, og etter tilståelse var brenning på bål en vanlig dom. Polakken Nicolaus Copernicus ( ) likte også Ptolemaios sitt bilde av universet, men han fant at observasjonene ble lettere å forklare hvis Sola ble plassert i sentrum. Kanskje Ptolemaios tok feil. Men det torde han ikke si, ikke før han lå for døden, sytti år gammel. Da publiserte han ideene sine i boka "De Revolutionibus Orbium Coelestium" (Om det himmelske kretsløps omdreininger). Reformatoren Martin Luther skal ha kommentert boka slik: Denne idioten prøver å snu opp-ned på hele den astronomiske vitenskap. Tyskeren Johannes Kepler ( ) videreutviklet ideene til Copernicus. I stedet for sirkelbaner foreslo han at planetene gikk rundt Sola i elliptiske baner. Det gav enda bedre overensstemmelse med observasjonene. Den norske dikteren André Bjerke ( ) har en versjon av hvordan Kepler fant at planetbanene var elliptiske. Den kan du lese om i diktet Kepler og Marsbanen. Kepler hadde tilgang til mange og meget pålitelige observasjoner. Årsaken til det var at Kepler, etter en del om og men, fikk tilgang til notatene til en av hans læremestere, dansken Tycho Brahe. Fordi Brahe var skandinav, og fordi hans liv på mange måter var et eventyr, skal vi gi ham litt ekstra stor plass her. Tycho Brahe ble i 1546 født inn i en rik adelsfamilie i Skåne, som på den tiden var en del av Danmark. I Ystad kan vi i dag besøke den skolestua der han var elev i gutteårene. Tycho ble sendt til Tyskland for å studere jus, men det ble det ikke noe av. Astronomi fascinerte ham, og astronom ville han være. I 1572 ble han verdensberømt da han oppdaget en ny stjerne, en supernova, i stjernebildet Cassiopeia. Han vurderte å bosette seg i utlandet, men danskekongen Fredrik 2. ville at denne berømte vitenskapsmannen skulle arbeide i hjemlandet. Derfor tilbød kongen han øya Ven, som ligger utenfor den i dag svenske byen Landskrona (hvis du kjenner Evert Taubes vise Flickan från Backafall, vet du kanskje at flickan bodde på Ven). Dette var et tilbud Tycho ikke kunne avslå, han aksepterte det og flyttet til øya. Der bygde han et observatorium som han kalte Uranienborg, og senere et bedre som han kalte Stjerneborg. Enormt mange meget nøyaktige observasjoner ble gjort i Uranienborg og Stjerneborg, med stadig bedre instrumenter som Tycho selv konstruerte. For å publisere teoriene sine etablerte han papirproduksjon og et trykkeri på øya. Øya Ven ble et samlingspunkt for tidens ledende vitenskapsmenn, mange besøkte Tycho der for å diskutere med han og lære av han. Kapittel 37 GLIMT FRA MATEMATIKKENS HISTORIE MATEMATIKKFORLAGET Side 682

8 Tycho Brahe er i dag ikke så allment kjent som Copernicus og Kepler, men hans innsats blir husket. En representant for den amerikanske romfartsorganisasjonen NASA delte æren for en vellykket romferd med Tycho ved å rulle ut et kart, peke på øya Ven og si: Here it all started. Observasjonene til Tycho bekreftet at Copernicus hadde et godt poeng, observasjonene ble mer logiske hvis en tenkte seg Sola i sentrum. Men Tycho sa seg likevel ikke helt enig med Copernicus. Måten han argumenterte på, er interessant psykologisk. Den forteller oss mye om tidsånden, hvordan folk tenkte på den tiden. Selv om observasjonene stemte godt med Copernicus sitt verdensbilde med Sola i sentrum og planetene, inklusive Jorda, i bane rundt Sola, så kunne det ikke være slik, det var for lite guddommelig. Mennesket er skapt i Guds bilde, og da kan det ikke være plassert på en planet som har en så lite framtredende plass i universet (lignende argument ble brukt mot Charles Darwins bok, Artenes opprinnelse ( On the Origin of Species by Means of Natural Selection ) da den kom ut over 250 år senere, i 1859). Tycho foreslo et slags kompromiss. Sola og Månen kretset rundt Jorda. De andre planetene var en slags måner til Sola og kretset rundt den. Tycho Brahe fikk dyrke sin vitenskap uforstyrret på Ven så lenge Fredrik 2. levde, men da Kristian 4. overtok kongemakten, fikk Tycho problemer. Kristian 4. likte ikke den måten Tycho regjerte øya Ven på. Tycho var en hard herre for bøndene på øya, og han vanskjøttet øyas faste installasjoner, deriblant et viktig fyr. Konflikten tilspisset seg, og Tycho forlot Ven i Etter en tid slo han seg ned i Praha der han ble personlig astronom for keiseren. Han fikk gode arbeidsforhold og de assistentene han ville ha. En av dem var Johannes Kepler som, i likhet med de andre assistentene, fikk et begrenset innsyn i det store observasjonsmateriale Tycho hadde samlet. Samarbeidet med Kepler ble ikke langvarig, i året 1601 døde Tycho Brahe etter at han måtte forlate en middag på grunn av magesmerter. Før vi forlater Tycho Brahe, tar vi med at han hele sitt voksne liv hadde en sølvplate montert på neseryggen for å skjule skadene etter en duell i ungdomsårene. Etter Tychos død fikk Kepler tilgang til alle observasjonene Tycho hadde gjort. Han studerte dem nøye og konkluderte med at de planetene som da var kjent, Merkur, Venus, Jorda, Mars, Jupiter og Saturn, gikk i ellipseformede baner rundt Sola. Italieneren Galileo Galilei ( ) var enig med Copernicus i at Sola stod i sentrum, og med Kepler i at planetene beveget seg i elliptiske baner. Galilei var berømt, anerkjent, selvsikker og frittalende, og det han skrev og sa, ble lagt merke til. Han var også en dyktig praktiker og konstruerte stjernekikkerter som bidrog til å sannsynliggjøre teoriene. Kirken følte at den måtte reagere. I 1633, 69 år gammel, ble han brakt til et torturkammer, men historien kjenner ikke til hva som foregikk der. Vi tror at han bare ble truet med at instrumentene ville bli brukt på ham dersom han ikke fornektet det universet som Copernicus hadde foreslått. Han skrev under på at Jorda stod stille i sentrum av universet, men historien kan (selvfølgelig) også fortelle at de som stod nærmest, såvidt kunne høre ham si "e pur si muove" (men den beveger seg nå likevel). Kapittel 37 GLIMT FRA MATEMATIKKENS HISTORIE MATEMATIKKFORLAGET Side 683

9 Ptolemaios, Copernicus, Kepler, Brahe og Galilei kunne bruke matematikk som grekeren Apollonius (ca. 262 f.kr. ca. 190 f.kr.) publiserte i boka Kjeglesnitt (engelsk On conics ). Der forklarte Apollonius hvordan en kunne gjøre beregninger med forskjellige typer kurver ved å la kjegler bli snittet av en plan flate. Ved å endre plasseringen av snittflaten kan vi få fram sirkler, ellipser, parabler og hyperbler. Galilei brukte også observasjoner og Apollonius matematikk til å begrunne at et objekt som blir kastet eller skutt ut, vil følge en parabelbane. På jorda er dette bare tilnærmet sant for tunge gjenstander. På månen vil det være sant for alle typer gjenstander. Hvorfor? Copernicus, Kepler og Galilei fikk problemer da de rokket ved etablerte sannheter. I dag stiller en del fysikere seg kritiske til tolkningen av den rødforskyvingen vi registrerer når vi observerer fjerne himmellegemer og til teorien om Big Bang. Noen av dem mener at det hemmer deres karrieremuligheter. Kapittel 37 GLIMT FRA MATEMATIKKENS HISTORIE MATEMATIKKFORLAGET Side 684

10 Kirkens sterke stilling på kontinentet på sekstenhundretallet bidro til å flytte begivenhetenes sentrum nordover, og nå nærmer vi oss startskuddet for matematikkens neste blomstringstid. Scenen er England, og alt er klart for en av tidenes betydeligste forestillinger. Hovedrolleinnehaveren heter Isaac Newton. Han ble født i året 1642, det samme året som Galilei døde. Isaac Newton satte på en elegant måte sammen det puslespillet som blant andre Copernicus, Brahe, Kepler og Galilei hadde levert biter til. Bitene ble "limt" sammen av en ny type matematikk som han, inspirert av den franske matematikeren Pierre Fermat, utviklet for anledningen. Det er denne matematikken vi i dag kaller derivasjon og integrasjon. Newton var også en religiøs tenker. På nettet kan du finne mye om det. Her forteller vi deg at noen kilder mener at han så på Skaperen som den som sparket det hele i gang, og at han var den privilegerte som fant de fysiske lovene Skaperen ( the Grand Architect ) hadde bestemt at Universet skulle følge. Som matematiker og fysiker var Isaac Newton en gigant, men det å være menneske taklet han ikke bedre enn de fleste andre, kanskje heller dårligere. En berømt uttalelse "Hypothesis non fingo" (Jeg lager ingen hypoteser) forteller oss mye om ham. Han presenterte ikke teorier om universet, men endelige sannheter, trodde han. Et annet sitat, "Hvis jeg har kunnet se lenger enn andre, er det fordi jeg har kunnet stå på skuldrene til kjemper," forteller oss at Newton også kunne være ydmyk, men da kanskje spesielt hvis det lå en slags storhet i å være det. Newton kom lett på kant med kolleger. Berømt er krangelen mellom han og den tyske matematikeren Gottfried Wilhelm Leibniz ( ) om hvem av dem som skulle ha æren for den nye matematikken. Krangelen hemmet kanskje utviklingen av matematikken. Så lenge den pågikk, hadde matematikkmiljøene på kontinentet og matematikkmiljøene i England lite kontakt med hverandre. Ettertiden har kommet til at Newton og Leibniz utviklet den nye matematikken omtrent samtidig og uavhengig av hverandre. Leibniz bedrev ren matematisk forskning, mens Newton utviklet den matematikken han trengte for blant annet å begrunne at universet var slik han sa. Ettertiden husker Newton best, men den terminologien og de symbolene vi bruker, stammer i hovedsak fra Leibniz. Før vi avslutter denne sladrehistorien, nevner vi, i rettferdighetens navn, at hovedpersonene ikke deltok så aktivt i krangelen om opphavsretten. Den ble i hovedsak ført av tilhengerne til henholdsvis Newton og Leibniz. Newton og Leibniz avfyrte startskuddet for en utvikling, eller rettere flere, som ved å anvende den nye matematikken forandret verden. Den industrielle revolusjonen er et eksempel. Den rene matematikken gikk samtidig inn i en ny blomstringstid, og den blomstrer fortsatt. Kapittel 37 GLIMT FRA MATEMATIKKENS HISTORIE MATEMATIKKFORLAGET Side 685

11 En matematisk disiplin som opptar matematikere i dag, er fraktal geometri. Mens klassisk geometri er éndimensjonal, todimensjonal osv., er "dimensjonene" i fraktal geometri ikke nødvendigvis heltallige. I klassisk geometri blir vi før eller senere ferdige med en figur, men det er ikke alltid tilfellet i fraktal geometri. Mange fraktalgeometriske "figurer" er mer prosesser som aldri tar slutt. Under har vi latt et PC-program gi en bildetolkning av et gitt stadium i en slik prosess: Vi supplerer bildet med noen tanker fra den fraktale geometriens far, polakken Benoit B. Mandelbrot (1924 ): The boundary between the set of truths and the set of fantasies is meant to suggest a randomly meandering coastline which, no matter how closely you examine it, always has finer levels of structure and is consequently impossible to describe exactly in any finite way Kapittel 37 GLIMT FRA MATEMATIKKENS HISTORIE MATEMATIKKFORLAGET Side 686

12 Fraktal geometri befinner seg ennå på forskningsstadiet. Deler av denne forskningen kalles også kaosforskning (en del fraktalgeometriske "figurer" kan virke temmelig kaotiske). I denne forskningen dukker et par spesielle tall opp såpass ofte at vi mistenker dem for å være to nye irrasjonale naturkonstanter (slektninger til π). Det er tallene 2, , Når vi lar en datamaskin framstille (tolke) stadier i fraktalgeometriske prosesser som todimensjonale bilder, blir resultatene ofte overraskende kjente mønstre. Blant disse er det for eksempel noen som ligner planter, og andre som rett og slett er vakre landskapsbilder. Denne likheten med verden rundt oss gir forventninger om at fraktal geometri kan bli et nyttig verktøy i naturfagene. Men ennå er det mange ubesvarte spørsmål, og det inspirerer til mange forskjellige typer forslag og teorier. En gruppe blander igjen religion og matematikk (tilbake til Pytagoras). Det at så mange fraktalgeometriske figurer ligner objekt vi kan observere, sannsynliggjør at skaperen tenker "fraktalgeometrisk", foreslår "nypytagoreerne". Andre grupper, noen av dem er kanskje overraskende store, forsøker på forskjellige måter å løsrive seg fra den newtonske måten å tenke på, og det gjør egentlig fraktal geometri og kaosteori til noe langt mer enn en ren matematisk disiplin. Enkelte mener at vi i dag er vitne til et paradigmeskifte (paradigme betyr måte å tenke på) i vitenskapen. Den store tyske dikteren Johann Wolfgang von Goethe ( ), eller rettere den mindre kjente vitenskapsmannen Goethe, "deltar" faktisk i denne paradigmedebatten. Goethe likte ikke teoriene til Newton, de gav et for enkelt bilde av virkeligheten. Derfor publiserte han en del alternative konkurrerende teorier, deriblant en fargelære som gjorde farger til noe mer enn bestemte bølgelengder (Newton brukte betegnelsen lysarter) hos lys. Denne fargelæren arbeidet han med i ti år. Kapittel 37 GLIMT FRA MATEMATIKKENS HISTORIE MATEMATIKKFORLAGET Side 687

13 Uenigheten med Newton i synet på lys og farger formulerte Goethe slik (vi har supplert med en engelsk gjendiktning): Freunde, flieht die dunkle Kammer, Wo man euch das Licht verzwickt Und mit kümmerlichstem Jammer Sich verschroben Bildern bückt. Abergläubische Verehrer Gab s die Jahre her genug. In den Köpfen eurer Lehrer Laßt Gespenst und Wahn und Trug. Wenn der Blick an heitern Tagen Sich zur Himmelbläue lenkt, Beim Sirok der Sonnenwagen Purpurrot sich niedersenkt: Da gebt der Natur die Ehre, Froh, an Aug und Herz gesund, Und erkennt der Farbenlehre Allgemeinen ewigen Grund. Friends, escape the dark enclosure, where they tear the light apart and in wreched bleak exposure twist, and cripple Natur s heart. Superstitions and confusions are with us since ancient times leave the specters and delusions in the heads of narrow minds. When you turn your eyes to heaven skyward to the azure flow, when at dusk the Sun is driven down in crimson fireglow Then in Nature s deepest kernel healthy, glad of the heart and sight you perceive the great eternal essence of chromatic light. Det at Goethe ikke var enig med Newton, hadde liten eller ingen effekt. Teoriene til Newton var allerede etablerte "sannheter". En så på Goethes naturvitenskapelige teorier som mer eller mindre fikse ideer hos en stor forfatter. Noen har i dag et annet syn. Blant de mange teoriene som presenteres i forbindelse med fraktal geometri og kaosteori, er noen inspirert av vitenskapsmannen Goethes måte å tenke på. Men det er også mange som advarer mot å ha store forventninger. De påpeker at kaosteori og fraktal geometri så langt har forklart lite i naturen, og at det at enkelte fraktalgeometriske figurer ligner objekt i naturen, ikke nødvendigvis betyr at kaosteori og fraktal geometri kan forklare hvorfor disse objektene ser ut og oppfører seg som de gjør. Kanskje vil fraktal geometri vise seg nyttig på områder en ennå ikke har tenkt på. I dag blir det forsket på å bruke fraktal geometri til å lagre bilder. Det er en forholdsvis ny ide. Vi avrunder med en skisse som samler kronologisk sentrale personer i en produktiv periode i fysikkens og matematikkens historie. Kapittel 37 GLIMT FRA MATEMATIKKENS HISTORIE MATEMATIKKFORLAGET Side 688

Tycho Brahe Observatoriet på UiA - 2010

Tycho Brahe Observatoriet på UiA - 2010 Tycho Brahe Observatoriet på UiA - 2010 Etter Tycho Brahes død overtok Johannes Kepler (1571-1630) observasjonsmaterialet til Tycho Brahe. Kepler fikk i oppgave av Brahe å studere Marsbanen litt nøyere,

Detaljer

AST En kosmisk reise Forelesning 3: Fra middelalderen via Kopernikus til Galilei og Newton

AST En kosmisk reise Forelesning 3: Fra middelalderen via Kopernikus til Galilei og Newton AST1010 - En kosmisk reise Forelesning 3: Fra middelalderen via Kopernikus til Galilei og Newton De viktigste punktene i dag Kopernikus: Sola i sentrum, men fremdeles episykler. Brahe: Nøyaktige målinger

Detaljer

Pi er sannsynligvis verdens mest berømte tall. Det har engasjert kloke hoder og fascinert både matematikere og filosofer gjennom tusener av år.

Pi er sannsynligvis verdens mest berømte tall. Det har engasjert kloke hoder og fascinert både matematikere og filosofer gjennom tusener av år. 1 Pi er sannsynligvis verdens mest berømte tall. Det har engasjert kloke hoder og fascinert både matematikere og filosofer gjennom tusener av år. De fleste av oss kjenner pi som størrelsen 3,14, og mange

Detaljer

Logikk. Utsagn. Kapittel 1. Kapittel 1 LOGIKK Side 1

Logikk. Utsagn. Kapittel 1. Kapittel 1 LOGIKK Side 1 Kapittel 1 Logikk Logikk er viktig i mange sammenhenger, for eksempel når vi skal argumentere for en sak, når vi skal bygge, programmere og bruke datamaskiner og når vi skal gjennomføre bevis i matematikken.

Detaljer

AST En kosmisk reise Forelesning 2: De viktigste punktene i dag. Det geosentriske verdensbildet 1/23/2017

AST En kosmisk reise Forelesning 2: De viktigste punktene i dag. Det geosentriske verdensbildet 1/23/2017 AST1010 - En kosmisk reise Forelesning 2: Litt astronomihistorie Det geosentriske verdensbildet Det heliosentriske verdensbildet De viktigste punktene i dag Geosentrisk: Jorden i sentrum Heliosentrisk:

Detaljer

Kosmologi og astronomi i antikken

Kosmologi og astronomi i antikken Kosmologi og astronomi i antikken Aristoteles (& Platon): geosentrisme Det supralunare sfæren består av et femte element, eter. Jorden ligger i universets sentrum, ubevegelig Begrunnelse: observasjon Himmellegemene

Detaljer

AST En kosmisk reise Forelesning 3: Fra middelalderen via Kopernikus til Galilei og Newton

AST En kosmisk reise Forelesning 3: Fra middelalderen via Kopernikus til Galilei og Newton AST1010 - En kosmisk reise Forelesning 3: Fra middelalderen via Kopernikus til Galilei og Newton Hvorfor drev man egentlig med astronomi? Middelalderen: Ikke fullt så mørk som mange tror. Kopernikus: Ikke

Detaljer

Temaer fra vitenskapen i antikken

Temaer fra vitenskapen i antikken Temaer fra vitenskapen i antikken Matematikkens utvikling i det gamle Hellas. Etablering av begrepet om aksiomatisk system. Utvikling av astronomien som et geosentrisk matematisk system. 1 Nøkkelmomenter

Detaljer

De punktene i dag

De punktene i dag AST1010 - En kosmisk reise Forelesning 3: Fra middelalderen via Kopernikus @l Galilei og Newton De vik@gste punktene i dag Kopernikus: Sola i sentrum, men fremdeles episykler. Brahe: Nøyak@ge målinger

Detaljer

JUBILEUMSÅRET 2011, OSLO UNIVERSITET 200 ÅR, 50 ÅR ETTER DET FØRSTE MENNESKET VAR I ROMMET

JUBILEUMSÅRET 2011, OSLO UNIVERSITET 200 ÅR, 50 ÅR ETTER DET FØRSTE MENNESKET VAR I ROMMET JUBILEUMSÅRET 2011, OSLO UNIVERSITET 200 ÅR, 50 ÅR ETTER DET FØRSTE MENNESKET VAR I ROMMET Romfartsfestivalen 2006 inviterer til EN REISE I ASTRONOMIENS HISTORIE Tycho Brahes Ven og Ole Rømers København

Detaljer

Forelesning 1 mandag den 18. august

Forelesning 1 mandag den 18. august Forelesning 1 mandag den 18 august 11 Naturlige tall og heltall Definisjon 111 Et naturlig tall er et av tallene: 1,, Merknad 11 Legg spesielt merke til at i dette kurset teller vi ikke 0 iblant de naturlige

Detaljer

Figurtall en kilde til kreativitet

Figurtall en kilde til kreativitet Vigdis Brevik Petersen Figurtall en kilde til kreativitet I læreplanen er det lagt vekt på at elevene skal bruke initiativ, kreativitet og utforskning for å etablere kjennskaper og innsikt i matematikkfaget.

Detaljer

Et løst og et par uløste matematiske problem

Et løst og et par uløste matematiske problem Kapittel 35 Et løst og et par uløste matematiske problem I dette kapitlet skal vi fortelle deg om et berømt matematisk problem som nylig ble løst etter 35 år, og om et par som fortsatt er uløste. Et løst

Detaljer

Den vitenskapelige revolusjon

Den vitenskapelige revolusjon Den vitenskapelige revolusjon Nicolaus Kopernikus 1473-1543 Francis Bacon 1561-1626 Gallileo Gallilei 1564-1642 Johannes Kepler 1571-1630 Thomas Hobbes 1588-1679 Descartes 1596-1650 Newton 1642-1727 Det

Detaljer

1 Historien om det heliosentriske Univers

1 Historien om det heliosentriske Univers 1 Historien om det heliosentriske Univers Det er umulig for en observatør uten teleskop å observere om det er Jorden som roterer rundt Solen eller om det er Solen som roterer rundt Jorden. På Jorden opplever

Detaljer

www.skoletorget.no Fortellingen om Jesu fødsel KRL Side 1 av 5 Juleevangeliet

www.skoletorget.no Fortellingen om Jesu fødsel KRL Side 1 av 5 Juleevangeliet Side 1 av 5 Tekst/illustrasjoner: Ariane Schjelderup/Clipart.com Filosofiske spørsmål: Ariane Schjelderup Sist oppdatert: 17. desember 2003 Juleevangeliet Julen er i dag først og fremst en kristen høytid

Detaljer

Pytagoras, Pizza og PC

Pytagoras, Pizza og PC Øistein Gjøvik Pytagoras, Pizza og PC Skal vi bestille en stor eller to små? Eller kanskje en medium og en liten? Magnus har helt klart tenkt seg å få mest for pengene. Kan du regne ut hvor stor forskjellen

Detaljer

AST En kosmisk reise Forelesning 3:

AST En kosmisk reise Forelesning 3: AST1010 - En kosmisk reise Forelesning 3: Fra middelalderen via Kopernikus Al Galilei og Newton Hvorfor drev man egentlig med astronomi? Middelalderen: Ikke fullt så mørk som mange tror. Kopernikus: Ikke

Detaljer

Matematikk i astronomien

Matematikk i astronomien Matematikk i astronomien KULTURPROSJEKT MAT4010 - VÅR 2014 ASTRI STRAND LINDBÆCK CAMILLA HELVIG PIA LINDSTRØM Date: 7. mai 2014. 1 2 1. Teorier om vårt solsystem Det har vært utviklet svært mange teorier

Detaljer

Pytagoras fra Samos. Gunnar Gjone: Matematikk på frimerker. (ca. 572 497 f.kr) TANGENTEN 3/1999 15

Pytagoras fra Samos. Gunnar Gjone: Matematikk på frimerker. (ca. 572 497 f.kr) TANGENTEN 3/1999 15 TANGENTEN 3/1999 15 Gunnar Gjone: Matematikk på frimerker Pytagoras fra Samos (ca. 57 497 f.kr) Det finnes få skriftlige dokumenter fra den eldste greske matematikken (fra før år 300 f.kr.). Det finnes

Detaljer

AST En kosmisk reise Forelesning 3: De vikagste punktene i dag 8/24/15. Hvordan finne sted og Ad uten GPS og klokke? Astronomi er svaret!

AST En kosmisk reise Forelesning 3: De vikagste punktene i dag 8/24/15. Hvordan finne sted og Ad uten GPS og klokke? Astronomi er svaret! AST1010 - En kosmisk reise Forelesning 3: Fra middelalderen via Kopernikus Al Galilei og Newton De vikagste punktene i dag Kopernikus: Sola i sentrum, men fremdeles episykler. Brahe: NøyakAge målinger

Detaljer

ESTETIKK I MATEMATIKK. 1. Om det vakre - Er du opptatt av estetikk? - Hva mener du, om jeg ser mye på kunst? - Ja, nei...

ESTETIKK I MATEMATIKK. 1. Om det vakre - Er du opptatt av estetikk? - Hva mener du, om jeg ser mye på kunst? - Ja, nei... ESTETIKK I MATEMATIKK KRISTIAN RANESTAD Abstract. Det vakre spiller en vesentlig motiverende og veiledende rolle i matematikken. Med eksempler fra geometri, tallteori og et gammelt puslespill viser jeg

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 9A og 9B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 9A Kapittel A GEOMETRI Regulære mangekanter Når alle sidene er like lange og alle vinklene er like store i en mangekant, sier vi

Detaljer

Holte skole besøker stjernelaben 16. februar 2012

Holte skole besøker stjernelaben 16. februar 2012 Holte skole besøker stjernelaben 16. februar 2012 Holte skole er Universitets Lektor 2-partner. Lektor 2 prosjektet har som mål å øke interessen for realfagene. Elever fra Holte skole på toppen av realfagbygget,

Detaljer

Domssøndag/ Kristi kongedag 2016 Joh 9,39-41.

Domssøndag/ Kristi kongedag 2016 Joh 9,39-41. Domssøndag/ Kristi kongedag 2016 Joh 9,39-41. Domssøndagen heter denne søndagen. At det er siste søndag i kirkeåret minner oss om at alt en dag skal ta slutt. Selv om kirkeåret i seg selv er en sirkel

Detaljer

3 Største felles faktor og minste felles multiplum

3 Største felles faktor og minste felles multiplum 3 Største felles faktor og minste felles multiplum 3.1 Største felles faktor og minste felles multiplum. Metodiske aspekter Største felles faktor og minste felles multiplum er kjente matematiske uttrykk

Detaljer

Læreplanene for Kunnskapsløftet

Læreplanene for Kunnskapsløftet Læreplanene for Kunnskapsløftet Hvordan få samsvar mellom intensjon og praksis? Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen Leder i Lamis Lærebokforfatter; MULTI 21-Mar-06 Intensjoner

Detaljer

Dedekind introduserer nå en spesiell klasse snitt som han kaller rasjonale snitt:

Dedekind introduserer nå en spesiell klasse snitt som han kaller rasjonale snitt: DE IRRASJONALE TALLENE EUDOXUS TESTAMENTE. Dedekind s snitt. Vi så tidligere at de greske matmatikerene kom til klarhet over at ikke alle forhold kunne beskrives som de vi kaller rasjonale tall dvs at

Detaljer

Verdensrommet. Ola Normann

Verdensrommet. Ola Normann Verdensrommet Ola Normann Verdensrommet Ola Normann Copyright 2007 Ola Normann Forord I denne boken vil du finne en rekke informasjon om verdensrommet. iv Del I. Vi ser på verdensrommet Kapittel I.1.

Detaljer

Verdensrommet. Ola Normann

Verdensrommet. Ola Normann Verdensrommet Ola Normann Verdensrommet Ola Normann Copyright 2007 Ola Normann Innholdsfortegnelse Forord... v I. Vi ser på verdensrommet... 1 1. Vår plass i universitetet... 3 2. De første stjernekikkerne...

Detaljer

Kan vi stole på sansene? Drøftet ut ifra Descartes, Hume og Kant.

Kan vi stole på sansene? Drøftet ut ifra Descartes, Hume og Kant. Kan vi stole på sansene? Drøftet ut ifra Descartes, Hume og Kant. Spørsmålet om det finnes noe der ute som er absolutt sannhet har vært aktuelle siden tidlig gresk filosofi, men det er etter Descartes

Detaljer

: og betyr det samme. Begge er divisjonstegn. 1 pizza eller 1 : 4 = 4. 1 pizza : 4 = 1 teller brøkstrek 4 nevner

: og betyr det samme. Begge er divisjonstegn. 1 pizza eller 1 : 4 = 4. 1 pizza : 4 = 1 teller brøkstrek 4 nevner Kapittel BRØK pizza : pizza eller : teller brøkstrek nevner : og betyr det samme. Begge er divisjonstegn. Ofte bruker vi divisjonstegnet : når mange eller mye skal fordeles på et visst antall, og brøkstrek

Detaljer

Big Bang teorien for universets skapelse. Steinar Thorvaldsen Universitetet i Tromsø 2015

Big Bang teorien for universets skapelse. Steinar Thorvaldsen Universitetet i Tromsø 2015 Big Bang teorien for universets skapelse Steinar Thorvaldsen Universitetet i Tromsø 2015 Astronomi er den enste vitenskapsgrenen som observerer fortiden. Universet ~1-2 milliarder år etter skapelsen. Universet

Detaljer

(Advarsel: Mennesker som allerede er i reell konflikt med hverandre, bør muligens ikke spille dette spillet.)

(Advarsel: Mennesker som allerede er i reell konflikt med hverandre, bør muligens ikke spille dette spillet.) Scener fra en arbeidsplass et spill om konflikt og forsoning for tre spillere av Martin Bull Gudmundsen (Advarsel: Mennesker som allerede er i reell konflikt med hverandre, bør muligens ikke spille dette

Detaljer

5.4 Den estetiske dimensjonen

5.4 Den estetiske dimensjonen 5.4 Den estetiske dimensjonen I et brev til sin elskerinne, Sophie Volland, skriver redaktøren av Encyclopedi, Denis Diderot (1713 1774): «Michelangelo søker etter hvilken form han skal gi kuppelen i St.

Detaljer

Tallenes historie fra sten og ben til null og én

Tallenes historie fra sten og ben til null og én Side 1 av 5 Tekst/illustrasjoner: Anne Schjelderup/Clipart.com Filosofiske spørsmål: Anne Schjelderup og Øyvind Olsholt Sist oppdatert: 15. november 2003 Tallenes historie fra sten og ben til null og én

Detaljer

MA1301 Tallteori Høsten 2014

MA1301 Tallteori Høsten 2014 MA1301 Tallteori Høsten 014 Richard Williamson 1. august 015 Innhold Forord 7 1 Induksjon og rekursjon 9 1.1 Naturlige tall og heltall............................ 9 1. Bevis.......................................

Detaljer

Eksamen 13.05.2009. Stortinget. Arkimedes. MAT0010 Matematikk Elever (10. årstrinn) Del 2. Bokmål

Eksamen 13.05.2009. Stortinget. Arkimedes. MAT0010 Matematikk Elever (10. årstrinn) Del 2. Bokmål Eksamen 13.05.2009 MAT0010 Matematikk Elever (10. årstrinn) Del 2 Stortinget Bokmål Arkimedes Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 2: 5 timer totalt: Del 1 skal du levere innen 2

Detaljer

RELIGION, LIVSSYN OG VITENSKAP

RELIGION, LIVSSYN OG VITENSKAP 1 RELIGION, LIVSSYN OG VITENSKAP Hva krever vitenskap? Side 104, avsnitt 2, linje 1 og 2. Hva bruker vi for å finne årsak til sykdommer i dag? Side 105, teksten til bildene, linje 2. Hva var vanlig å tro

Detaljer

MÅLING AV TYNGDEAKSELERASJON

MÅLING AV TYNGDEAKSELERASJON 1. 9. 2009 FORSØK I NATURFAG HØGSKOLEN I BODØ MÅLING AV TYNGDEAKSELERASJON Foto: Mari Bjørnevik Mari Bjørnevik, Marianne Tymi Gabrielsen og Marianne Eidissen Hansen 1 Innledning Hensikten med forsøket

Detaljer

ESERO AKTIVITET LAG DITT EGET TELESKOP. Lærerveiledning og elevaktivitet. Klassetrinn 7-8

ESERO AKTIVITET LAG DITT EGET TELESKOP. Lærerveiledning og elevaktivitet. Klassetrinn 7-8 ESERO AKTIVITET Klassetrinn 7-8 Lærerveiledning og elevaktivitet Oversikt Tid Læremål Nødvendige materialer 65 min Å vite at oppfinnelsen av teleskopet gjorde at vi fant bevis for at Jorden ikke er sentrumet

Detaljer

Til frihet. Jesus kom for å sette de undertrykte og de som er i fangenskap fri. Du kan også si at kom slik at vi kan oppleve frihet.

Til frihet. Jesus kom for å sette de undertrykte og de som er i fangenskap fri. Du kan også si at kom slik at vi kan oppleve frihet. Til frihet (Galaterne 5:1 NB) Til frihet har Kristus frigjort oss. Stå derfor fast, og la dere ikke igjen legge under trelldommens åk. Gal 5:1 Stå derfor fast i den frihet som Kristus har frigjort oss

Detaljer

Hvorfor kiler det ikke når vi kiler oss selv?

Hvorfor kiler det ikke når vi kiler oss selv? Hvorfor kiler det ikke når vi kiler oss selv? Innlevert av 7.trinn ved Bispehaugen skole (Trondheim, Sør-Trøndelag) Årets nysgjerrigper 2011 Da sjuende trinn startet skoleåret med naturfag, ble ideen om

Detaljer

Tor Fretheim. Leons hemmelighet

Tor Fretheim. Leons hemmelighet Tor Fretheim Leons hemmelighet 1 Jeg har aldri trodd på tilfeldigheter. Men det var sånn vi møttes. Det var utenfor en kino. Jeg hadde ingen å gå sammen med. Det gjorde ingenting. Jeg likte å gå alene.

Detaljer

Innsamling. Hypoteser. Utforskning. Konklusjoner. Formidling. Figur01.01

Innsamling. Hypoteser. Utforskning. Konklusjoner. Formidling. Figur01.01 Figur s. 9??? Innsamling Hypoteser Utforskning Konklusjoner Formidling Figur01.01 Det ligger mye og nøyaktig naturvitenskapelig arbeid bak den kunnskapen vi har om verden omkring oss. Figur s. 10 Endrede

Detaljer

Prøveinformasjon. Høsten 2014 Bokmål

Prøveinformasjon. Høsten 2014 Bokmål Høsten 2014 Bokmål Navn: Gruppe: Prøveinformasjon Prøvetid: Hjelpemidler på Del 1 og Del 2: Framgangsmåte og forklaring: 5 timer totalt. Del 1 og Del 2 blir utdelt samtidig. Del 1 skal du levere innen

Detaljer

Det skjer noe når noe gis fra et menneske til et annet. Det er noe som begynner å røre på seg. Noe som vokser.

Det skjer noe når noe gis fra et menneske til et annet. Det er noe som begynner å røre på seg. Noe som vokser. Preken 4. S etter påske 26. april 2015 Kapellan Elisabeth Lund Gratisuka har blitt en festuke her på Fjellhamar, og vi er veldig glad for alle som har bidratt og alle som har kommet innom. Alt er gratis.

Detaljer

Forelesning 14 torsdag den 2. oktober

Forelesning 14 torsdag den 2. oktober Forelesning 14 torsdag den 2. oktober 4.1 Primtall Definisjon 4.1.1. La n være et naturlig tall. Da er n et primtall om: (1) n 2; (2) de eneste naturlige tallene som er divisorer til n er 1 og n. Eksempel

Detaljer

Matematisk juleverksted

Matematisk juleverksted GLASSMALERI Matematisk juleverksted Mona Røsseland 1 2 GLASSMALERI GLASSMALERI Slik går du frem: Fremgangsmåte for å lage ramme Lag en ramme av svart papp. Lag strimler av svart papp, som skal brukes til

Detaljer

11 Nye geometriske figurer

11 Nye geometriske figurer 11 Nye geometriske figurer Det gylne snitt 1 a) Mål lengden og bredden på et bank- eller kredittkort. Regn ut forholdet mellom lengden og bredden. Hvilket tall er forholdet nesten likt, og hva kaller vi

Detaljer

Religionen innenfor fornuftens grenser

Religionen innenfor fornuftens grenser IMMANUEL KANT Religionen innenfor fornuftens grenser Oversatt av Øystein Skar Innledning av Trond Berg Eriksen Religionen innenfor fornuftens grenser Humanist forlag 2004 OMSLAG: Valiant, Asbjørn Jensen

Detaljer

4. søndag i fastetiden, 2. april 2017

4. søndag i fastetiden, 2. april 2017 4. søndag i fastetiden, 2. april 2017 Denne boken her (holder frem bibelen) den er gammel, sammensatt, på en del felter utdatert og ubrukelig som rettesnor for liv og lære, men samtidig er den å full av

Detaljer

Modul nr. 1203 Gjør Matte! 1-4 trinn.

Modul nr. 1203 Gjør Matte! 1-4 trinn. Modul nr. 1203 Gjør Matte! 1-4 trinn. Tilknyttet rom: Newton Alta 1203 Newton håndbok - Gjør Matte! 1-4 trinn. Side 2 Kort om denne modulen Formålet med denne modulen er å skape interesse og plante en

Detaljer

Det står skrevet i evangeliet etter Lukas i kapittel 16:

Det står skrevet i evangeliet etter Lukas i kapittel 16: Preken 21. s i treenighet 18. oktober 2015 i Fjellhamar kirke Kapellan Elisabeth Lund Det står skrevet i evangeliet etter Lukas i kapittel 16: Det var en rik mann som kledde seg i purpur og fineste lin

Detaljer

Bokens tittel: Å ha evig liv Undertittel: Du kan ikke kjøpe det eller oppnå det, men du kan motta det! Forfatter: Benjamin Osnes

Bokens tittel: Å ha evig liv Undertittel: Du kan ikke kjøpe det eller oppnå det, men du kan motta det! Forfatter: Benjamin Osnes Bokens tittel: Å ha evig liv Undertittel: Du kan ikke kjøpe det eller oppnå det, men du kan motta det! Forfatter: Benjamin Osnes 1 Bibelversene er fra: Bibelen Guds Ord. Bibelforlaget AS. Copyright av

Detaljer

1. π π er forholdet mellom sirkelens omkretsen (den er lengde av sirkelpereferi) og diameteren.

1. π π er forholdet mellom sirkelens omkretsen (den er lengde av sirkelpereferi) og diameteren. Geometri før Euklid og Euklids Elementene Mye av material ned er fra matematikk.no Antikk Geometri før Grekerne (Egypt, Kina, Babylonia) 1. π π er forholdet mellom sirkelens omkretsen (den er lengde av

Detaljer

Kristendommen og andre kulturer

Kristendommen og andre kulturer Side 1 av 5 Bede Griffiths en engelsk munk i India Sist oppdatert: 1. desember 2003 Når en religion sprer seg til nye områder, tar den ofte til seg en del av kulturen på stedet den kommer. Og med tiden

Detaljer

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform 1 10 Tall og tallregning Studentene skal kunne gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall definere og benytte de anerkjente skrivemåtene for åpne, halvåpne og lukkede intervaller

Detaljer

Dette hellige evangelium står skrevet hos evangelisten Johannes i det 1. kapittel:

Dette hellige evangelium står skrevet hos evangelisten Johannes i det 1. kapittel: Preken i Fjellhamar kirke 10. januar 2010 1. s. e. Kristi Åpenbaringsdag Kapellan Elisabeth Lund Noe nytt er på gang! Nå er jula over, og vi er i gang med et nytt år. Jesusbarnet har blitt hjertelig mottatt

Detaljer

Forelesning 1, 10.01: Geometri før Euklid

Forelesning 1, 10.01: Geometri før Euklid Forelesning 1, 10.01: Geometri før Euklid Antikk Geometri før Grekerne (Egypt, Kina, Babylonia) 1. er forhold mellom sirkelens omkretsen (den er lengde av sirkelpereferi) og diameteren, SIRKELEN = omkretsen

Detaljer

Pedagogisk arbeid med tema tristhet og depresjon i småskolen

Pedagogisk arbeid med tema tristhet og depresjon i småskolen Pedagogisk arbeid med tema tristhet og depresjon i småskolen (basert på «Rettleiingshefte for bruk i klasser og grupper») Undersøkelser har vist at for å skape gode vilkår for åpenhet og gode samtaler

Detaljer

Tre av disiplene fikk se litt mer av hvem Jesus er. Peter, Jakob og Johannes. Nå har de blitt med Jesus opp på et fjell.

Tre av disiplene fikk se litt mer av hvem Jesus er. Peter, Jakob og Johannes. Nå har de blitt med Jesus opp på et fjell. Preken 3. februar 2013 I Fjellhamar kirke Kristi forklarelsesdag Kapellan Elisabeth Lund Det står skrevet i evangeliet etter Lukas I det 9. Kapittel: Omkring åtte dager etter at han hadde sagt dette, tok

Detaljer

Talen er blitt redigert og kalt Bergprekenen, og mannen heter Jesus. Det som er prekenteksten i dag er avslutningen på den talen han holdt.

Talen er blitt redigert og kalt Bergprekenen, og mannen heter Jesus. Det som er prekenteksten i dag er avslutningen på den talen han holdt. Preken 25. juli i Skårer kirke 9. s e pinse Kapellan Elisabeth Lund En gang gikk en mann opp på et fjell. Han holdt en tale. En lang tale som mange tusen mennesker lyttet til. Han talte mot egoismen og

Detaljer

Kjære unge dialektforskere,

Kjære unge dialektforskere, Kjære unge dialektforskere, Jeg er imponert over hvor godt dere har jobbet siden sist vi hadde kontakt. Og jeg beklager at jeg svarer dere litt seint. Dere har vel kanskje kommet enda mye lenger nå. Men

Detaljer

Innsamling. Hypoteser. Utforskning. Konklusjoner. Formidling. Figur01.01

Innsamling. Hypoteser. Utforskning. Konklusjoner. Formidling. Figur01.01 1: Utforskingen av vår verden Figur side 9??? Innsamling Hypoteser Utforskning Konklusjoner Formidling Figur01.01 Det ligger mye og nøyaktig naturvitenskapelig arbeid bak den kunnskapen vi har om verden

Detaljer

Det står skrevet hos evangelisten Markus, i det 9. kapittel:

Det står skrevet hos evangelisten Markus, i det 9. kapittel: Preken Kristi forklarelsesdag. Fjellhamar kirke 8. februar 2015 Kapellan Elisabeth Lund Det står skrevet hos evangelisten Markus, i det 9. kapittel: Seks dager senere tok Jesus med seg Peter, Jakob og

Detaljer

Vi anbefaler at elevene blir introdusert for likninger via en praktisk problemstilling. Det kan for eksempel være:

Vi anbefaler at elevene blir introdusert for likninger via en praktisk problemstilling. Det kan for eksempel være: Likninger og algebra Det er større sprang fra å regne med tall til å regne med bokstaver enn det vi skulle tro. Vi tror at både likninger og bokstavregning (som er den algebraen elevene møter i grunnskolen)

Detaljer

Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner

Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Hensikten med Analysedrypp er å bygge en bro mellom MAT1100 og MAT1110 på den ene siden og MAT2400 på den andre. Egentlig burde det være unødvendig med en slik

Detaljer

TILBAKE MOT GUD 6 SNU MAX LUCADO 7

TILBAKE MOT GUD 6 SNU MAX LUCADO 7 SNU TILBAKE MOT GUD Hvis da dette folket som mitt navn er nevnt over, ydmyker seg og ber, søker meg og vender seg bort fra sine onde veier, skal jeg høre dem fra himmelen, tilgi dem syndene og lege landet.

Detaljer

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Geometri Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke geometri i planet til å analysere og løse sammensatte teoretiske og praktiske problemer knyttet til lengder, vinkler og areal 1.1 Vinkelsummen

Detaljer

FORELDRE- OG LÆRERVEILEDNING

FORELDRE- OG LÆRERVEILEDNING FORELDRE- OG LÆRERVEILEDNING Møt Isa og Bea, to venner som aldri i livet skulle like hverandre. av Annie Barrows + Sophie Blackall OM BOKEN Fra første gang de så hverandre, visste Isa og Bea at de ikke

Detaljer

Vi ser på verdensrommet

Vi ser på verdensrommet Vi ser på verdensrommet Vår plass i universitetet Før i tiden mente man at planeten Jorden var det viktigste stedet i hele universet. Men Jorden er ganske ubetydelig - den er bare spesiell for oss fordi

Detaljer

6: Trigonometri. Formlikhet bør kanskje repeteres. Og Pytagoras læresetning. Se nettsidene! Oppgaver Innhold Dato

6: Trigonometri. Formlikhet bør kanskje repeteres. Og Pytagoras læresetning. Se nettsidene! Oppgaver Innhold Dato Plan for hele året: - Kapittel 7: Mars - Kapittel 8: Mars/april 6: Trigonometri - Repetisjon: April/mai - Økter, prøver, prosjekter: Mai - juni Ordet geometri betyr egentlig jord- (geos) måling (metri).

Detaljer

Atle Næss. I Grunnlovens hus. En bok om prinser og tjenestejenter, riksforsamlingen og 17. mai. Illustrert av Lene Ask

Atle Næss. I Grunnlovens hus. En bok om prinser og tjenestejenter, riksforsamlingen og 17. mai. Illustrert av Lene Ask Atle Næss I Grunnlovens hus En bok om prinser og tjenestejenter, riksforsamlingen og 17. mai Illustrert av Lene Ask To gutter og en kongekrone VED VINDUET I DEN SVENSKE KONGENS slott sto en gutt på nesten

Detaljer

Parallell 1: Rapportskriving i utforskende arbeidsmåter

Parallell 1: Rapportskriving i utforskende arbeidsmåter Parallell 1: Rapportskriving i utforskende arbeidsmåter Lære å argumentere naturvitenskapelig 15.00 16.00 Prof. Stein Dankert Kolstø Stip. Idar Mestad Universitetet i Bergen, Institutt for fysikk og teknologi

Detaljer

Artikkel 17 - De fire universmodellene

Artikkel 17 - De fire universmodellene Artikkel 17 - De fire universmodellene Jupiter med alle sine måner er et solsystem i miniatyr. Bildet (UiA/TP) viser Jupiter og de fire galileiske måner: Ganymede, Io, Europa og Callisto (fra venstre mot

Detaljer

Hannametoden en finfin nybegynnermetode for å løse Rubik's kube, en såkalt "layer-by-layer" metode og deretter en metode for viderekommende.

Hannametoden en finfin nybegynnermetode for å løse Rubik's kube, en såkalt layer-by-layer metode og deretter en metode for viderekommende. Hannametoden en finfin nybegynnermetode for å løse Rubik's kube, en såkalt "layer-by-layer" metode og deretter en metode for viderekommende. Olve Maudal (oma@pvv.org) Februar, 2012 Her er notasjonen som

Detaljer

Deborah Borgen. Ta tak i livet ditt før noen andre gjør det

Deborah Borgen. Ta tak i livet ditt før noen andre gjør det Deborah Borgen Ta tak i livet ditt før noen andre gjør det Forord Med boken Magisk hverdag ønsket jeg å gi mennesker det verktøyet jeg selv brukte og bruker, og som har hjulpet meg til å skape et godt

Detaljer

Det står skrevet i evangeliet etter Johannes i det 10. Kapittel:

Det står skrevet i evangeliet etter Johannes i det 10. Kapittel: Preken 26. april 2009 I Fjellhamar kirke. 2.s e påske og samtalegudstjeneste for konfirmanter Kapellan Elisabeth Lund Det står skrevet i evangeliet etter Johannes i det 10. Kapittel: Jeg er den gode gjeteren.

Detaljer

Dette hellige evangelium står skrevet hos Johannes i det 9. Kapittel:

Dette hellige evangelium står skrevet hos Johannes i det 9. Kapittel: Preken 4. s i åpenbaringstiden Fjellhamar kirke 25. januar 2015 Kapellan Elisabeth Lund Dette hellige evangelium står skrevet hos Johannes i det 9. Kapittel: Da Jesus kom gående, så han en mann som var

Detaljer

Sannsynlighetsbegrepet

Sannsynlighetsbegrepet Sannsynlighetsbegrepet Notat til STK1100 Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo Januar 2004 Formål Dette notatet er et supplement til kapittel 1 i Mathematical Statistics and Data Analysis

Detaljer

P12: Naturvitenskapens egenart gjennom førstehånds kunnskap

P12: Naturvitenskapens egenart gjennom førstehånds kunnskap P12: Naturvitenskapens egenart gjennom førstehånds kunnskap Erfaringer fra to ulike prosjekter der elevene skulle lære naturvitenskapelig tenke- og arbeidsmåte 11.15 12.00 Stipendiat Birgitte Bjønness

Detaljer

Da dukket Sokrates ham under igjen. Denne gangen i 30 sekunder. Og spurte: Hva var det du ba om? Den unge mannen svarte anpustent: Visdom.

Da dukket Sokrates ham under igjen. Denne gangen i 30 sekunder. Og spurte: Hva var det du ba om? Den unge mannen svarte anpustent: Visdom. Preken i Fjellhamar kirke 2. jan 2011 Kristi Åpenbaringsdag Kapellan Elisabeth Lund 4-500 år før Kristus levde filosofen Sokrates i Athen. Det fortelles at det en gang kom en ung mann til ham og ba om

Detaljer

LGU51005 A, Matematikk

LGU51005 A, Matematikk Skriftlig eksamen i LGU51005 A, Matematikk 1 5-10 15 studiepoeng ORDINÆR EKSAMEN 10. desember 2013. BOKMÅL Sensur faller innen torsdag 9. januar 2014. Resultatet blir tilgjengelig på studentweb første

Detaljer

ALF VAN DER HAGEN KJELL ASKILDSEN. ET LIV FORLAGET OKTOBER 2014

ALF VAN DER HAGEN KJELL ASKILDSEN. ET LIV FORLAGET OKTOBER 2014 ALF VAN DER HAGEN KJELL ASKILDSEN. ET LIV FORLAGET OKTOBER 2014 «Man trenger noen ganger å være alene, så man slipper å gjøre seg mindre enn man er.» KJELL ASKILDSEN, notatbok, 24. februar 2007 INNHOLD

Detaljer

Arne B. Sletsjøe. Halden 18.09.2013

Arne B. Sletsjøe. Halden 18.09.2013 Arne B. Sletsjøe Universitetet i Oslo Halden 18.09.2013 Akkurat det samme som gårsdagens måtte ha, dvs. fagkunnskap, entusiasme, innsikt i matematikkens egenart og et vidt spekter av pedagogiske virkemidler,

Detaljer

ESERO AKTIVITET LIV PÅ ANDRE PLANETER. Lærerveiledning og elevaktivitet. Klassetrinn 5-6

ESERO AKTIVITET LIV PÅ ANDRE PLANETER. Lærerveiledning og elevaktivitet. Klassetrinn 5-6 ESERO AKTIVITET Klassetrinn 5-6 Lærerveiledning og elevaktivitet Oversikt Tid Læremål Nødvendige materialer 80 min. Å: oppdage at forskjellige himmellegemer har forskjellige betingelser når det gjelder

Detaljer

Kurskveld 6: Hvorfor skapte Gud verden?

Kurskveld 6: Hvorfor skapte Gud verden? Kurskveld 6: Hvorfor skapte Gud verden? Introduksjonsaktiviteter (10 minutter) Alternativer Beskrivelse Hva jeg sier Hva jeg trenger Fortell om en god venn Hva er en god venn? Hvorfor er vennskap så viktig

Detaljer

Evolusjonen - egentlig vitenskap?

Evolusjonen - egentlig vitenskap? Evolusjonen - egentlig vitenskap? Forskning vil si å bytte ut en form for uvitenhet med en annen Sannhet uforanderlig, absolutt Vitenskapelig kunnskap under stadig forandring Ingenting i naturvitenskapen

Detaljer

Analysedrypp III: ɛ-δ og alt det der

Analysedrypp III: ɛ-δ og alt det der Analysedrypp III: ɛ-δ og alt det der Mange strever med ɛ-δ-argumenter. Det er flere grunner til dette: Noen har problemer med å forstå den underliggende tankegangen, mens andre sliter med de grunnleggende

Detaljer

Elevaktiv matematikk. hvorfor og hvordan? Retningslinjer for undervisningen. Intensjoner med ny læreplan. Hvilke utfordringer gir dette lærerne?

Elevaktiv matematikk. hvorfor og hvordan? Retningslinjer for undervisningen. Intensjoner med ny læreplan. Hvilke utfordringer gir dette lærerne? Elevaktiv matematikk Hvordan får vi aktive, engasjerte og motiverte elever og lærere i matematikk? hvorfor og hvordan? Mona Røsseland Leder i Lamis Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen Lærebokforfatter

Detaljer

ADDISJON FRA A TIL Å

ADDISJON FRA A TIL Å ADDISJON FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til addisjon 2 2 Grunnleggende om addisjon 3 3 Ulike tenkemåter 4 4 Hjelpemidler i addisjoner 9 4.1 Bruk av tegninger

Detaljer

Noen kvinner er i dyp sorg. De kommer med øynene fylt med tårer til graven hvor deres Mester og Herre ligger.

Noen kvinner er i dyp sorg. De kommer med øynene fylt med tårer til graven hvor deres Mester og Herre ligger. Preken 1. Påskedag 2006 Tekst: Lukas 24,1-12 Antall ord: 2114 Han er oppstanden! Ved daggry den første dagen i uken kom kvinnene til graven og hadde med seg de velluktende oljene som de hadde laget i stand.

Detaljer

HUND BET MANN. Av kandidat 7

HUND BET MANN. Av kandidat 7 HUND BET MANN Av kandidat 7 Innhold: 1 Innledning 2 Spillets start 2.0.1 Valgfri regel: Mysterier 2.1 Hovedpersoner 2.1.1 Valgfri regel: Saker uten hovedperson. 2.2 Spillederen 2.2.1 Valgfri regel: Fast

Detaljer

Geometri Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI Geometri i skolen Geometri etter 4.

Geometri Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI Geometri i skolen Geometri etter 4. Geometri Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI 15-Apr-07 Geometri i skolen dreier seg blant annet om å analysere egenskaper ved to- og tredimensjonale

Detaljer

Et lite svev av hjernens lek

Et lite svev av hjernens lek Et lite svev av hjernens lek Jeg fikk beskjed om at jeg var lavmål av deg. At jeg bare gjorde feil, ikke tenkte på ditt beste eller hva du ville sette pris på. Etter at du gikk din vei og ikke ville se

Detaljer

«Følg mannen som ikke vet hvor han skal, og du vil havne rett»

«Følg mannen som ikke vet hvor han skal, og du vil havne rett» I dag skal vi tale over emnet «Følg mannen som ikke vet hvor han skal, og du vil havne rett» I tillegg skal vi tale om hvordan du kan ta imot ditt mirakel. Siden vi er i oppstarten av en nytt «menighetsår»

Detaljer

ESERO AKTIVITET UNIVERSETS HISTORIE. Lærerveiledning og elevaktivitet. Klassetrinn 7-8

ESERO AKTIVITET UNIVERSETS HISTORIE. Lærerveiledning og elevaktivitet. Klassetrinn 7-8 ESERO AKTIVITET Klassetrinn 7-8 Lærerveiledning og elevaktivitet Oversikt Tid Læremål Nødvendige materialer 60 min Å: lære at universet er veldig kaldt oppdage at Jorden ble dannet relativt nylig lære

Detaljer

Eksamensoppgave i LVUT8091 Matematikk 1 (1-7) emne 1 KFK

Eksamensoppgave i LVUT8091 Matematikk 1 (1-7) emne 1 KFK Fakultet for lærer- og tolkeutdanning Eksamensoppgave i LVUT8091 Matematikk 1 (1-7) emne 1 KFK Faglig kontakt under eksamen: Siri-Malén Høynes Tlf.: 73412621 Eksamensdato: 30. november 2016 2. desember

Detaljer

Logikk. Utsagn. Hvis vi definerer utsagnene p og q slik (< leses mindre enn og > større enn ):

Logikk. Utsagn. Hvis vi definerer utsagnene p og q slik (< leses mindre enn og > større enn ): Logikk Logikk er viktig i mange sammenhenger, for eksempel når vi skal argumentere for en sak, når vi skal bygge, programmere og bruke datamaskiner og når vi skal gjennomføre bevis i matematikken. Logikkens

Detaljer