Overgang fra design til implementering av matematiske oppgaver i undervisning: å utvikle innsikt i samarbeidet mellom forskere og lærere

Transkript

1 Overgang fra design til implementering av matematiske oppgaver i undervisning: å utvikle innsikt i samarbeidet mellom forskere og lærere Claire Vaugelade Berg I denne artikkelen presenterer jeg resultater fra forskningsprosjektet Teaching Better Mathematics (TBM), som undersøker samarbeidet mellom forskere/ didaktikere fra Universitetet i Agder (UiA) og matematikklærere fra barne- og ungdomsskoler. Virksomhetsteori anvendes som en teoretisk ramme for å konseptualisere prosessene fra didaktikernes presentasjon av en bestemt matematikkoppgave til lærernes implementering av samme oppgave i egen matematikkundervisning. Spesielt introduseres begrepene «didaktisk mål» og «pedagogisk redskap» som sentrale teoretiske redskap til å analysere både didaktikernes/lærernes mål og gjennomføring av samarbeid med lærere/ undervisning. Jeg betrakter denne forskningen som relevant når det gjelder å utvikle en bedre forståelse av prosessene bak samarbeidet mellom didaktikere og matematikklærere. I tillegg åpner den for muligheten til å utvikle et kritisk perspektiv på egen undervisning og dermed øke lærernes bevisstgjøring rundt valg av egne undervisningsstrategier. Claire Vaugelade Berg Institutt for matematiske fag, Universitetet i Agder Claire.V.Berg@uia.no Nøkkelord: design og implementering av matematiske oppgaver, samarbeid mellom forskere og lærere, virksomhetsteori, didaktisk mål, pedagogisk redskap Innledning I forskningsprosjektet TBM (Teaching Better Mathematics) er det grunnleggende målet å fremme bedre muligheter for elevenes læring i matema- Berg, C.V. (2011). Overgang fra design til implementering av matematiske oppgaver i undervisning: å utvikle innsikt i samarbeidet mellom forskere og lærere. Tidsskriftet FoU i praksis, 5(2),

2 FoU i praksis nr tikk i skolen. Dette målet er en respons på signaler fra internasjonale studier som PISA og TIMSS, som viser svake resultater for norske elever i matematikk. Sentralt i prosjektet står muligheten for lærere og didaktikere 1 til sammen å utforske hvordan man kan oppnå dette målet. Å erkjenne hverandres kompetanse og ekspertise er grunnleggende (Wagner, 1997), og prosjektets filosofi er å skape et spørrende og utforskende fellesskap basert på inquiry (Jaworski, 2006). Begrepet inquiry-fellesskap (inquiry community) kommer fra Wells (1999) og Jaworski (2006) og er brukt for å understreke en undrende, spørrende og undersøkende tilnærming til matematikkfaget. Dette gjelder både elevenes og lærernes arbeid med matematiske oppgaver, lærernes arbeid med planlegging av og refleksjon over egen undervisning og didaktikernes forskning på de to nevnte nivåene. Jeg kommer tilbake til dette senere i artikkelen. I TBM-prosjektet samarbeider vi med fire barnehager, seks barne- og ungdomsskoler og tre videregående skoler. Samarbeidet med lærerne skjer gjennom verksteder og skolebesøk. Organiseringen av verkstedene består av en plenumspresentasjon etterfulgt av gruppearbeid hvor lærerne jobber med kolleger fra samme skoletrinn. I tillegg finnes det en TBM-gruppe som består av to til tre lærere på hver skole (Berg, under utgivelse). Målet mitt i denne artikkelen er å analysere prosessene bak design og implementering av en bestemt oppgave (T-skjorteoppgaven, se Figur 2) for å få en dypere forståelse av prosessene bak samarbeidet som er utviklet mellom didaktikere fra universitetet og matematikklærere fra barne- og ungdomsskolen. Spesielt analyserer jeg hvordan T-skjorteoppgaven ble designet av didaktikere ved UiA og implementert i to matematikklæreres undervisning. Prosessene bak implementeringen av matematiske oppgaver har vært behandlet i forskningslitteraturen. For eksempel rapporterer Stein, Smith, Henningsen og Silver (2009) om at det skjer en svekkelse av oppgavenes kognitive krav når de implementeres i undervisning. Dette fenomenet er også observert av Artigue (1994) som karakteriserer disse forandringene som «distortions», og som understreker hvor viktig det er å differensiere forskningsaktivitet fra undervisningsaktivitet. I denne artikkelen følger jeg i Artigues spor og sikter mot å identifisere forandringene som oppstår når T-skjorteoppgaven implementeres både i barne- og ungdomsskolen. En mulighet for å konseptualisere disse prosessene er å anvende virksomhetsteori og således betrakte gruppen av forskere ved UiA som ett virksomhetssystem, mens lærerne ved de forskjellige skolene danner et annet virksomhetssystem. Videre beskriver jeg forbindelsen med disse to virksomhetssystemene som består av verksteder der lærere og didaktikere 1 I denne artikkelen bruker jeg «didaktikere» for å referere til forskere fra UiA, siden jeg betrakter både didaktikere og lærere som forskere i TBM-prosjektet. 8

3 Claire Vaugelade Berg: Overgang fra design til implementering av matematiske oppgaver i undervisning møtes regelmessig, og også av skolebesøk. Disse aspektene presenteres i detalj senere i artikkelen. For å tilpasse teorien til den praktiske læringen og undervisningen av matematikk foreslår jeg å videreutvikle og presisere sentrale begreper fra virksomhetsteori og innføre begrepene didaktisk mål og pedagogisk redskap. I neste avsnitt gir jeg en kort presentasjon av virksomhetsteori. Deretter viser jeg hvordan virksomhetsteori presiseres og anvendes i analysen av samarbeidet mellom didaktikere og matematikklærere. Mer spesifikt illustreres bruken av virksomhetsteori ved å analysere prosessene bak overgangen fra design til implementering av en bestemt matematisk oppgave (Tskjorteoppgaven, se Figur 2). Virksomhetsteori som et redskap for å beskrive utvikling og læring Den kulturelle historiske virksomhetsteorien (cultural historical activity theory, forkortet CHAT) kan sees på som en multidisiplinær teori om menneskelig aktivitet. Leont ev (1989) og Virkkunen og Kuutti (2000) presenterer et historisk perspektiv på CHAT, og selv om det er ikke mulig å presentere alle aspekter av teorien i denne artikkelen, skal jeg trekke fram hovedideene. Leont ev skriver at in a society, humans do not simply find external conditions to which they must adapt their activity. Rather these social conditions bear with them the motives and goals of their activity, its means and modes. In a word, society produces the activity of the individuals it forms. (Leont ev, 1979, s ) Dermed står begrepet aktivitet sentralt i virksomhetsteori, og et fundamentalt aspekt i teorien er at aktivitet er stimulert av motivet bak den. Dette punktet er understreket av Virkkunen og Kuutti (2000) som presenterer og utdyper sentrale aspekter av teorien: The key element of an activity system is the object of that activity. The object is the societal motive of the activity, it defines the activity and separates activities from each other. The object can be a material thing, but it can also be less tangible (like a plan) or totally intangible (like common ideas) as long as it can be shared for manipulation and transformation by the participants of the activity. [ ] The outcome of an activity will become a part of another activity system: an object to be further transformed in the «value chain», a subject (the outcome of a training activity), a tool, a rule 9

4 FoU i praksis nr etc. There is always a network of functionally linked activity systems. (Virkkunen & Kuutti, 2000, s. 301) Ifølge CHAT er objektet et nøkkelelement i virksomhetssystemet og representerer det sosiale motivet for aktivitet. Engeström (1999) videreutviklet Vygotskys grunnleggende trekant (subject object mediating artifacts) ved å vektlegge de sosiale elementene i virksomhetsteori og introdusere begrepene regler (rules), fellesskap (community), og arbeidsdeling (division of labour). Samtidig understreket han viktigheten av å analysere samspillet mellom disse komponentene/dimensjonene. Videre foreslår virksomhetsteorien en hierarkisk struktur for aktivitet som beskrives som aktivitet og motiv, aksjoner og mål, og operasjoner og betingelser (activity and motive, actions and goals, operations and conditions). I denne artikkelen betrakter jeg som nevnt ovenfor gruppen av forskere/ didaktikere fra UiA som ett virksomhetssystem (activity system), heretter kalt virksomhetssystem 1 (V1), og matematikklærere fra enten barne- eller ungdomsskole som et annet virksomhetssystem, heretter kalt virksomhetssystem 2 (V2). Virksomhetsobjektet og resultatet for V1 refererer til verksteder som er regelmessig organisert ved UiA, og til matematikkundervisning for V2 (se Figur 1). Forbindelsen mellom disse to virksomhetssystemene etableres på forskjellige måter. Den etableres først i verkstedene som arrangeres regelmessig (2 3 per semester) der lærere og didaktikere får anledning til å diskutere et bestemt matematisk emne og jobbe sammen med matematiske oppgaver. Målet for verkstedene er å gi en plenumspresentasjon av et bestemt matematisk emne (for eksempel algebra, proporsjonalitet, geometri eller funksjoner). Deretter jobber didaktikere sammen med lærere om oppgaver knyttet til emnet som ble presentert. Denne arbeidsformen illustrerer også hva inquiry i matematikk kan bety, siden oppgavene som er valgt, skal være inquiry-basert (åpne spørsmål og ikke rutineproblemstillinger, se T-skjorteoppgaven). En annen type forbindelse mellom de to virksomhetssystemene skjer når didaktikere kommer på besøk til de forskjellige lærerne for å studere eventuelle forandringer i lærernes praksis. Slik er det mulig å studere og analysere prosessene bak samarbeidet mellom disse to virksomhetssystemene. Jeg fokuserer spesielt på hvordan «[t]he outcome of an activity will become a part of another activity system» (Virkkunen & Kuutti, 2000, s. 301). Med andre ord undersøker jeg hvordan en bestemt matematisk oppgave, som er en del av resultatet av aktiviteten fra V1, integreres i V2 og blir til resultatet i dette virksomhetssystemet i form av lærernes undervisning. Dermed er det mulig å studere prosessene bak implementeringen av oppgaven. Resultatene fra analysen presenteres senere i artikkelen. 10

5 Claire Vaugelade Berg: Overgang fra design til implementering av matematiske oppgaver i undervisning Figur 1: Sentrale begreper fra virksomhetsteori i relasjon til TBM-prosjektet (videreutviklet fra Jaworski, 2007) Å anvende virksomhetsteori muliggjør en studie av de forskjellige faktorene som påvirker resultatet (outcome), og relasjonene mellom disse faktorene, som for eksempel hvilke fellesskap man fokuserer på, hva slags arbeidsfordeling man har innenfor fellesskapet, og hvilke regler som gjelder. Som presentert ovenfor er sentrale begreper innenfor CHAT (aktivitet, aksjoner og operasjoner) organisert i en hierarkisk struktur. Hvis vi først ser på V1, forstår jeg motivet bak aktiviteten vår som å fremme bedre muligheter for elevenes læring i matematikk i skolen ved å danne inquiryfellesskap i matematikk der samarbeidet mellom lærere i skolen og didaktikere ved universitetet står sentralt. I tillegg ønsker vi å utforske muligheter for å utvikle matematikkundervisningen i skolen. Som didaktikere består våre aksjoner blant annet i å organisere verksteder hvor vi møtes sammen med lærerne, å utvikle matematiske oppgaver som brukes i deler av verkstedene, og å organisere og gjennomføre skolebesøk. Når det gjelder begrepet operasjon, relateres det til det praktiske arbeidet, som å lete etter relevante oppgaver for verkstedene og studere forskningslitteratur. Når det gjelder V2, forstår jeg motivet bak lærernes aktivitet som å tilrettelegge matematikkundervisning best mulig slik at elevene får mulighet til å utvikle en dyp og meningsfylt forståelse av matematikkfaget. Med andre ord skal elevene ikke bare kunne memorere algoritmer, men det skal også legges til rette for at de kan utvikle en relasjonell forståelse av matematiske begreper (Skemp, 1976). Videre består læreres aksjoner i den praktiske planleggingen og gjennomføringen av undervisningen. Operasjonene relateres til den detaljerte tilpasningen av undervisningsopplegg for lærernes respektive klasser. Som et forsøk på å videreutvikle begrepene fra virksomhetsteori slik at de kan anvendes innenfor matematikkdidaktikk, foreslår jeg som sagt å innføre begrepene didaktisk mål og pedagogisk redskap som sentrale teoretiske redskaper for å analysere både didaktikernes og lærernes for- og etterarbeid til verksted eller undervisning. Disse begrepene ble utviklet i forbin- 11

6 FoU i praksis nr delse med mitt doktorgradsarbeid (Berg, 2009), og jeg vil hevde at de er relevante for å øke bevisstheten rundt didaktikernes og lærernes planlegging og evaluering av egen virksomhet/undervisning. Didaktisk mål refererer til valget av et bestemt emne eller tema innenfor matematikk, som for eksempel symmetri, algebra, proporsjonalitet eller kommunikasjon i matematikklasserommet. Begrepet kan relateres til begreper fra virksomhetsteori på følgende vis: Målet for våre aksjoner som didaktikere eller lærere er et bestemt didaktisk mål. På tilsvarende måte refererer begrepet pedagogisk redskap til en bestemt oppgave eller et bestemt opplegg som er valgt og brukt av didaktikere eller lærere som et redskap for å nå det valgte didaktiske målet (Berg, s ). Her betrakter jeg didaktisk mål som et teoretisk begrep som hjelper meg å uttrykke sentrale momenter i planleggingen og gjennomføringen av samarbeidet mellom didaktikere og lærere i verkstedene, eller mellom lærere og elever i selve undervisningen. På samme måte bruker jeg pedagogisk redskap som et teoretisk begrep som hjelper meg å uttrykke prosessene bak valg, forandring og tilpasning av en bestemt oppgave. Tabell 1 viser hvordan disse to begrepene anvendes i tilknytning til V1 og V2. Tabell 1: Videreutvikling av begrepene fra virksomhetsteori for anvendelse innenfor matematikkdidaktikk Aktivitet og motiv V1: Motiv: å fremme bedre muligheter for elevenes læring av matematikk i skolen V2: Motiv: å tilrettelegge matematikkundervisning best mulig slik at elevene får mulighet til å utvikle en dyp og meningsfylt forståelse av matematikkfaget (relasjonell forståelse) Aksjoner og didaktisk mål Forberedelse og gjennomføring av verksted med valgte didaktiske mål og av skolebesøk Planlegging og gjennomføring av matematikkundervisning med valgte didaktiske mål på bakgrunn av ideer og oppgaver presentert under verksteder Operasjoner og betingelser: Utvikling av pedagogisk redskap Se etter mulige oppgaver for de forskjellige gruppene i verksteder, studere relevant forskningslitteratur Forandre og tilpasse ideer og oppgaver til den respektive klasse i henhold til valgte didaktiske mål Videre introduseres begrepet «matematisk miljø», som defineres slik: «[B]y presenting a particular task within a specific social setting, a didactician 12

7 Claire Vaugelade Berg: Overgang fra design til implementering av matematiske oppgaver i undervisning creates a mathematical environment whose characteristics depends both on the mathematical task and on the social setting» (Berg, 2009, s. 103). I denne artikkelen presenterer jeg tre forskjellige matematiske miljøer (mathematical environments) som et redskap for å eksemplifisere hvordan «[t]he outcome of an activity will become a part of another activity system: an object to be further transformed in the value chain» (Virkkunen & Kuutti, 2000, s. 301). I dette tilfellet refererer «an object» til en bestemt matematisk oppgave (T-skjorteoppgaven). Det første matematiske miljøet knyttes til et bestemt verksted der T-skjorteoppgaven ble presentert av didaktikerne, mens de to andre miljøene relateres til hvordan oppgaven ble implementert i to forskjellige klasser, en i barneskolen og en i ungdomsskolen. Dermed betraktes T-skjorteoppgaven som en del av resultatet (outcome) fra V1 som deretter blir integrert i V2. Bakgrunnen for at jeg har valgt å fokusere på dette verkstedet og presentere denne oppgaven, er denne: I desember 2008 ble jeg kontaktet av en lærer fra en barneskole som inviterte meg til å følge henne i klasserommet, hvor hun planla å implementere en oppgave som var presentert i løpet av forrige verksted (3. desember 2008). I mai 2009 ble jeg kontaktet av en lærer fra en ungdomsskole som også inviterte meg til å følge hans undervisning hvor han planla å implementere en oppgave fra et tidligere verksted. Det viste seg at begge lærerne var inspirert av samme oppgave (T-skjorteoppgaven), og dette ga meg en anledning til å fokusere på denne oppgaven i min forskning. Dette medførte at jeg gikk tilbake til måten den ble presentert på i verkstedet, og til hvordan organiseringen av verkstedet ble planlagt (TBMmøte, 26. november 2008). Metodologi Innsamlingen av data for forskningen som presenteres her, ble gjort som en del av datainnsamlingen for TBM-prosjektet. Dataene består av enten lydbånd (TBM-møter) eller videoopptak (verksteder og klasseromsobservasjoner). Siden vi samler data fra samtlige møter, verksteder og klasseromsobservasjoner, er det mulig for meg å finne tilbake til dataene fra presentasjonen av T-skjorteoppgaven i det aktuelle verkstedet i desember 2008 og deretter gå tilbake til forberedelsesmøtet for verkstedet (TBM-møte i november 2008). Fra et metodologisk perspektiv følger TBM-prosjektet utviklingsforskningsparadigmet (developmental research paradigm), hvor utviklingssyklusen og forskningssyklusen står i en dialektisk relasjon. Hovedideen i denne tilnærmingsmåten til forskning finnes i Gravemeijer (1994) og Goodchild (2008). Utviklingsforskningssyklusen beskrives som: 13

8 FoU i praksis nr Theory and evidence from prior research leads to an envisaging of development, this leads to actions which are evaluated and feed back into a new cycle of envisaging and action. (Goodchild, 2008, s. 208) Innenfor utviklingssyklusen finnes det en syklisk prosess mellom tankeeksperiment (thought experiment) og praktisk eksperiment (practical experiment). Jeg forstår begrepet tankeeksperiment som knyttet både til didaktikernes planlegging av verkstedene og til lærernes planlegging av egen undervisning. Praktisk eksperiment refererer på sin side til den konkrete gjennomføringen av enten didaktikernes verksteder eller lærernes undervisning. Dermed er det mulig å betrakte verkstedene og læreres undervisning som resultater («outcomes») av V1 eller V2. Disse begrepene tankeeksperiment og praktisk eksperiment eksemplifiseres senere i artikkelen. Tilsvarende finnes det innenfor forskningssyklusen en syklisk prosess mellom globale teorier og lokale teorier. Dette medfører at global theory is concretized in local theories. Vice versa, the more general theory can be reconstructed by analysing local theories. (Gravemeijer, 1994, s. 451) I TBM-prosjektet svarer globale teorier til virksomhetsteori. Ved å stille spørsmål om hvordan sentrale begreper i teorien kan anvendes og forstås i vår forskning, starter prosessen med å utvikle lokale teorier. Dette illustreres ved at begrepene aksjoner og mål fra virksomhetsteori (global theory), som i vårt tilfelle betyr didaktikernes og lærernes aksjoner i relasjon til læring og undervisning av matematikk, videreutvikles og spesifiseres ved å bruke didaktiske mål. På samme måte betrakter jeg begrepene operasjoner og betingelser i denne spesifikke konteksten som didaktikernes og lærernes utvikling av pedagogiske redskaper og hvilke betingelser disse er utviklet under. Det første matematiske miljøet: Verksted fra 3. desember 2008 Tema for verkstedet som ble organisert i desember 2008, var «kommunikasjon i matematikk». Dette temaet ble valgt blant andre forslag sendt til oss didaktikere fra lærerne i prosjektskolene. Som et ledd i forberedelsen til verkstedet hadde vi et møte (TBM-møte, 26. november 2008) hvor vi diskuterte hvordan vi kunne organisere et verksted med fokus på kommunikasjon. Blant annet diskuterte vi hvordan vi kunne stimulere lærere til å bli engasjert i dette temaet, og jeg betrakter disse møtene som en del av tankeeksperimentet vårt i forbindelse med planleggingen av neste verksted. I 14

9 Claire Vaugelade Berg: Overgang fra design til implementering av matematiske oppgaver i undervisning løpet av møtet ble vi enige om at det kunne være en fordel å kontekstualisere diskusjonen rundt kommunikasjon ved å knytte den til en bestemt oppgave. I tillegg bemerket en didaktiker at når det gjelder kommunikasjon i matematikk, er det å spørre en langt mer effektiv måte å kommunisere på enn å fortelle. [ ] Elevene må ta ansvaret for å utforske, dvs. å spørre andre elever eller læreren. Hjørnesteinen i kommunikasjon i matematikk er å stille spørsmål. (Didaktiker1, TBMmøte 26. november 2008, oversatt fra engelsk av forfatteren) Vi ble enige om å introdusere «kommunikasjon i matematikk» i tilknytning til hvordan man stiller spørsmål ut ifra et inquiry-perspektiv (Jaworski, 2006; Wells, 1999). Det praktiske eksperimentet ble gjennomført i løpet av verkstedet (3. desember 2008) hvis tittel var Å stille gode spørsmål i matematikk. I løpet av presentasjonen snakket vi om hva inquiry i matematikk kan bety, om inquiry som en holdning til matematikken og til undervisning i matematikk, og om hvordan vi kan stille «gode» spørsmål. I tillegg diskuterte vi følgende spørsmål: Kan vi lære mer om hvordan man kan formulere spørsmål som stimulerer elevene? Etter plenumspresentasjonen ble deltagerne inndelt i forskjellige grupper ut ifra hvilket nivå de underviser på, og de ble invitert til å jobbe med T-skjorteoppgaven (se Figur 2). Konteksten rundt T- skjorteoppgaven er en telefonsamtale hvor en person forklarer til en annen person logoen som skal reproduseres til en T-skjorte. Det er kun mulig å kommunisere via telefon, og dermed gjelder det å gi en best mulig beskrivelse av logoen til den andre personen. Felles for gruppene var at det ble diskutert hvordan figuren kunne analyseres (kvadrat, sirkel, trekanter), og om det kunne være en fin strategi å gi den andre personen i telefonsamtalen en første oversikt over logoen, og deretter gå mer inn i detaljene. I tillegg diskuterte gruppene måten logoen er presentert på, og spesielt at selve logoen er tegnet med et rutenett i bakgrunnen. Flere lærere nevnte muligheten til å bruke rutenett eller introdusere et koordinatsystem som et redskap for å kunne angi en nøyaktig beskrivelse av logoen. Fra gruppediskusjonen er det mulig å se hvordan lærerne undersøkte oppgaven ut ifra en inquiry-tilnærming til matematikk. Med andre ord diskuterte lærerne flere forslag om hvilke muligheter elever hadde for å jobbe med oppgaven; forskjellige måter å starte beskrivelsen av logoen, bruk av rutenett eller ikke, innføring av koordinatsystem, muligheter for å forandre oppgaven ved å gjøre den lettere eller vanskeligere. Dermed ser jeg på lærernes diskusjon som en del av deres tankeeksperiment i forbindelse med en eventuell implementering av T-skjorteoppgaven i deres undervisning. 15

10 FoU i praksis nr Figur 2: T-skjorteoppgaven Ser man tilbake på prosessen bak designet av T-skjorteoppgaven og presentasjonen i løpet av verkstedet i desember 2008, kan sentrale elementer beskrives ut ifra et spesielt fokus på «kommunikasjon i matematikkundervisning» (TBM-møte, 26. november 2008). Tilsvarende under verkstedet (3. desember 2008), som jeg betrakter som det første matematiske miljøet, var fokus på «kommunikasjon og å stille gode spørsmål i matematikk». I tillegg var T-skjorteoppgaven valgt som et relevant eksempel for å kunne sette diskusjonene i gruppene inn i en sammenheng. Ved å bruke to av begrepene som ble introdusert tidligere, vil jeg hevde at vi i løpet av designprosessen hadde «kommunikasjon i matematikk» som didaktisk mål, og at T-skjorteoppgaven ble brukt som pedagogisk redskap til å oppfylle vårt didaktiske mål (se Tabell 2). 16

11 Claire Vaugelade Berg: Overgang fra design til implementering av matematiske oppgaver i undervisning Tabell 2: Sentrale elementer fra tankeeksperiment og praktisk eksperiment (outcome) for V1 V1: Tankeeksperiment (Didaktikere/forskere ved UiA) Forbindelse mellom V1 og V2: Praktisk eksperiment (Didaktikere/forskere ved UiA sammen med lærere) Aksjoner og mål: utvikling av didaktisk mål TBM-møtet (planlegging av verksted): Didaktisk mål: kommunikasjon i matematikk Det første matematiske miljøet (Verkstedet, desember 2008): Tittelen «å stille gode spørsmål i matematikk» Didaktisk mål: kommunikasjon i matematikk Operasjoner og betingelser: Utvikling av pedagogisk redskap TBM-møtet (planlegging av verksted): Diskusjon og evaluering av T-skjorteoppgaven som pedagogisk redskap for å kontekstualisere det valgte didaktiske mål. Bruk av koordinatsystem er et av flere aspekter ved oppgaven. Det første matematiske miljøet Verkstedet, desember 2008: Praktisk organisering med forberedelse til plenumspresentasjonen og gruppeinndeling. Presentasjon av T- skjorteoppgaven der koordinatsystem er en av flere aspekter ved oppgaven. De to andre matematiske miljøene: Implementering i barneskole (11. desember 2008) og ungdomsskole (5. mai 2009) I denne seksjonen presenterer jeg resultater fra analysen av måten T-skjorteoppgaven ble implementert på i to forskjellige klasser, først i en sjette klasse og deretter i en åttende klasse. I tillegg til klasseromsobservasjoner hadde jeg anledning til å intervjue begge lærerne både før og etter undervisningen. I første avsnitt presenterer jeg hvordan læreren fra barnetrinnet implementerte T-skjorteoppgaven. I andre avsnitt ser jeg på implementeringen på ungdomstrinnet. 17

12 FoU i praksis nr Med Kari i sjette klasse I desember 2008 fikk jeg muligheten til å besøke Karis klasse for å studere måten hun tilpasset T-skjorteoppgaven til sin klasse. I intervjuet før undervisningen forklarte Kari følgende: Ja, den [oppgaven] fanget meg, og så, når jeg begynte å tenke på at dette kunne være koordinatsystemet, så, så tenkte jeg at dette er en oppgave som jeg skal bruke. Fordi, da har vi gått inn og så har vi jobba litt med koordinatsystemet. [ ] Jeg knytter det til min undervisning, så jeg har knyttet det opp mot det som ligger på dette trinnet. [ ] Elevene får bruke sitt matematiske språk. De kan snakke om, he, vi kan snakke om sirkler, vi kan snakke om trekanter, vi kan snakke om en del, en del begreper som jeg har lyst til at de skal ha. (Intervju med Kari, 11. desember 2008) Ut ifra Karis utsagn ser det ut til at hun valgte T-skjorteoppgaven først og fremst fordi hun så muligheten til å relatere oppgaven til sin undervisning, og mer spesielt til undervisningen om koordinatsystem. Dette er et tema elevene hadde jobbet med tidligere, slik at Kari betraktet T-skjorteoppgaven som en anledning for elevene til å utdype forståelsen av de forskjellige aspektene ved bruk av koordinatsystem. Dermed gir hun innsyn i sitt tankeeksperiment i implementeringen av T- skjorteoppgaven. I tillegg nevner hun muligheten for elevene til å bruke riktig matematisk terminologi når de skal beskrive logoen. Ved å observere undervisningen i klasserommet var det mulig å følge hvordan Kari hadde modifisert oppgaven slik at den kunne tilpasses hennes klasse. Hun startet timen med å presentere en oversikt over hovedpunkter ved bruk av koordinatsystem, blant annet definisjon av origo og hvordan man bruker koordinatene til et punkt for å gi en entydig plassering av punktet i planet. Før timen hadde Kari laget en enklere versjon av logoen (med punktene på den positive x-aksen, se Figur 3) som hun introduserte etter repetisjonen. På den måten er det mulig å gjenfinne noen elementer fra gruppearbeidsdiskusjonen i Karis tankeeksperiment; logoens kompleksitet og muligheten for å forenkle den ble diskutert i verkstedet. I det praktiske eksperimentet bad hun elevene om å sitte parvis, der én av elevene hadde logoen og skulle simulere en telefonsamtale med den andre eleven, som satt rett foran den første. Etter at elevene fikk tid til å øve seg med forskjellige logoer, introduserte Kari T-skjortelogoen til hele klassen ved å simulere en telefonsamtale med samtlige elever. Videre observerte jeg hvordan en gruppe elever jobbet med den enklere logoen (Figur 3). Den første eleven (Ivar) var i stand til å bruke koordinatsystemet til å angi plasseringen av de forskjellige punktene i logoen. Problemer oppstod da den andre eleven (Dag) skulle forbinde punktene. Analysen av videoopptakene viser at Ivar prøvde å peke på Dags figur for å vise 18

13 Claire Vaugelade Berg: Overgang fra design til implementering av matematiske oppgaver i undervisning hvordan han skulle forbinde de forskjellige punktene. Da Kari oppdaget dette, understreket hun at konteksten for oppgaven var en telefonsamtale, og at det derfor ikke var mulig å peke på den andres figur. Dermed var Ivar nødt til å referere til punktene ved hjelp av deres koordinater. Dette problemet ble tatt opp under intervjuet etter undervisningen: Jeg var imponert over det de holdt på med i begynnelsen, det var jeg veldig imponert over. Jeg synes de var veldig flinke, flinke og stødige på koordinatsystemet. Det hadde jeg ikke trodd skulle gå. Jeg var redd det ikke skulle gå så lett. [ ] Hvis jeg skulle gjøre det om igjen, akkurat den [oppgaven], så ville jeg nok ha stilt dem opp så de ikke kunne se på hverandre. For det var jo det jeg sa, hva kan du si gjennom telefonen, jeg stilte dem spørsmål på det. Gjennom telefon, kan du si streken skal gå ned der? For det kan du ikke, for da må de også inn og bruke koordinatene. (Intervju med Kari, 11. desember 2008) Jeg vurderer Karis refleksjoner etter undervisningen som en illustrasjon av utviklingssyklusen, hvor hun ser tilbake på hvilke tanker hun hadde for undervisningsperioden (tankeeksperiment), og sammenligner disse med hva som skjedde i timen (praktisk eksperiment). Fra hennes perspektiv ble elevene engasjert i oppgaven og var i stand til å bruke koordinatsystemet for å reprodusere forskjellige figurer. I siste delen av sitt utsagn tar Kari utgangspunkt i sin erfaring for å se hvordan opplegget kunne forandres og forbedres om det skulle brukes en gang til. Spesielt refererer hun til hvordan elevene satt, og at den ene hadde mulighet til å hjelpe den andre med å peke på elevens tegning. Dette medførte at konteksten for oppgaven telefonsamtalen ble forandret. Jeg betrakter hennes refleksjoner som en illustrasjon av det sykliske aspektet i utviklingssyklusen, hvor erfaring fra praktisk eksperiment brukes i planlegging og videreutvikling av framtidig undervisning (Berg, under utgivelse). Min forståelse av måten Kari implementerte T-skjorteoppgaven på, er denne: Etter at denne oppgaven ble presentert på verkstedet den 3. desember, valgte Kari å forandre, forenkle og tilpasse den siden hun så muligheter for å knytte oppgaven til sin aktuelle undervisning og spesielt til bruk av koordinatsystem. Fra hennes utsagn ser det ut til at hun allerede hadde introdusert koordinatsystem i sin klasse, og dermed så hun en anledning til å utdype elevenes forståelse av dette emnet ved å implementere T-skjorteoppgaven. Ved å observere Karis undervisning fikk jeg også mulighet til å studere hvordan hun først ga en repetisjon av hovedaspekter ved bruk av koordinatsystem, og deretter introduserte den modifiserte versjonen av T- skjorteoppgaven (se Figur 3). 19

14 FoU i praksis nr Figur 3: Presentasjon av en enklere versjon av T-skjortelogoen i Karis klasse Derfor er min tolkning av hennes refleksjoner før undervisningen og måten hun gjennomførte undervisningen på, at hun valgte «bruk av koordinatsystem» som sitt didaktiske mål, og introduserte den modifiserte versjonen av T-skjorteoppgaven som sitt pedagogiske redskap. Samtidig viser analysen av klasseromsobservasjoner at det matematiske miljøet som Kari skapte ved først å repetere sentrale aspekter av koordinatsystem og deretter presentere enklere versjoner av T-skjortelogoen ga henne muligheten til å diskutere hvordan man kommuniserer i matematikk. Spesielt gjaldt dette begrensninger når det gjaldt å peke (gestures). Når det gjelder Karis operasjoner, henviser dette begrepet til hennes forarbeid, det vil si hennes måte å planlegge, utarbeide og presentere enklere versjoner av logoen på. Jeg ser Karis modifiserte T-skjorteoppgave som et pedagogisk redskap som hun utviklet for å kunne adressere sitt didaktiske mål (se Tabell 3). I tillegg kunne hun legge vekt på kommunikasjon i matematikk ved å påpeke 20

15 Claire Vaugelade Berg: Overgang fra design til implementering av matematiske oppgaver i undervisning begrensningene som oppgavens kontekst telefonsamtalen medførte, blant annet umuligheten av å bruke håndbevegelser (Berg, under utgivelse). Tabell 3: Sentrale elementer fra det andre matematiske miljøet: Karis didaktiske mål og pedagogiske redskap Praktisk eksperiment: Det andre matematiske miljøet, Karis undervisning med implementering av T- skjorteoppgaven Aksjoner og didaktisk mål Gjennomføring av undervisning Didaktisk mål: bruk av koordinatsystem Operasjoner og betingelser: Utvikling av pedagogisk redskap Tilpasse og forenkle T- skjorteoppgaven ved å lage en enklere versjon av oppgaven med fokus på bruk av koordinatsystem. Organisering av elevene i grupper på to for å simulere en telefonsamtale. Mulighet for Kari til å diskutere kommunikasjon i matematikk siden noen elever bruker håndbevegelser. Med Rikard i åttende klasse I mai 2009 fikk jeg anledning til å besøke Rikards klasse og observere hvordan han implementerte T-skjorteoppgaven. I tillegg intervjuet jeg ham både før og etter undervisningen. I intervjuet før undervisningen startet, understreket Rikard følgende: Fra Kunnskapsløftet så er det først og fremst de to momentene som jeg kommer til å prøve å ha som mål for timen, det er det å bruke koordinatsystemet. Det andre er jo dette som går mot funksjoner da. [ ] Og du kan si at det som jeg ønsker å få fram, det er kommunikasjon, for jeg vil at elevene skal bli litt, kan du si, få en forståelse for åssen du kommuniserer i matematikk, åssen du bruker språket. [ ] Hva skjer med kommunikasjon når du har uten, og med koordinatsystem? (Intervju med Rikard, 5. mai 2009) 21

16 FoU i praksis nr Ut ifra Rikards utsagn ser det ut til at han valgte T-skjorteoppgaven fordi han så muligheten til å knytte oppgaven til retningslinjene fra Kunnskapsløftet, og spesielt til bruken av koordinatsystem og til introduksjonen av funksjonsbegrepet. Det faktum at han ventet til begynnelsen av mai for å invitere meg til å observere hvordan han implementerte oppgaven, understreker etter min mening at han ville knytte den til sin undervisning av koordinatsystem og funksjoner. I tillegg ser det ut til at Rikard planla å legge vekt på hvordan man kommuniserer i matematikk. Disse aspektene gir innsyn i hans tankeeksperiment når det gjelder implementering av T-skjorteoppgaven. Det var det første aspektet bruken av koordinatsystem som Rikard valgte å fokusere på da jeg observerte i hans klasse. Før timen hadde Rikard laget to forskjellige versjoner av T-skjortelogoen: Den ene versjonen var presentert med rutenett i bakgrunnen (Rikard hadde lagt inn tall på rutenettet slik at det kunne fungere som et koordinatsystem), mens den andre versjonen var uten rutenett. Som i Karis tilfelle hevder jeg at det er mulig å gjenfinne elementer i hans tankeeksperiment fra gruppearbeidsdiskusjonen som fant sted i verkstedet, og som blant annet dreide seg om fordeler med å innføre et koordinatsystem som bakgrunn for logoen. Undervisningen ble organisert på følgende vis: Rikard hadde en dobbelttime til disposisjon, og han delte undervisningen i to deler. I den første delen presenterte han først en repetisjon av hovedaspekter ved bruk av koordinatsystem, og spesielt gjentok han at ethvert punkt i planet har to koordinater, og at det første refererer til x-aksen, mens det andre refererer til y-aksen. Deretter bad Rikard en elev om å forklare T-skjortelogoen uten koordinatsystem til en annen elev som satt bak en skjerm, og som dermed ikke kunne se logoen. I den andre delen gjentok Rikard det samme opplegget med to andre elever, denne gangen med logoen tegnet med koordinatsystem i bakgrunnen. Før timen forklarte Rikard at målet ved å presentere disse to versjonene av T- skjorteoppgaven var å fokusere på hvor nyttig et koordinatsystem er når man skal beskrive en figur eller en logo til en annen person. Fra klasseromsobservasjoner var det mulig å studere hvordan elevene løste problemene. I det første tilfellet, der logoen ble presentert uten koordinatsystem, strevde eleven med å forklare til den andre eleven hvordan figuren var bygget opp, og spesielt sirkelens plassering i forhold til trekantene. Elevens tegning vitner om store problemer med å tegne en nøyaktig representasjon av logoen (se Figur 4). I den andre del av timen var det derimot mulig å observere at den andre eleven klarte å gjengi en mer nøyaktig beskrivelse av logoen (se Figur 5). 22

17 Claire Vaugelade Berg: Overgang fra design til implementering av matematiske oppgaver i undervisning Figur 4: Elevenes tegning av T- skjortelogoen uten koordinatsystem Figur 5: Elevenes tegning av T- skjortelogoen med koordinatsystem Analysen av observasjonene viser at eleven brukte koordinatsystemet som Rikard hadde satt inn, til å beskrive posisjonen både av sirkelen og trekantene. I løpet av hele undervisningsperioden satt resten av klassen og fulgte med i de to elevenes dialog. Etter undervisningen fikk jeg muligheten til å intervjue Rikard. Han påpekte følgende: Jeg oppfatter jo at det er en del, de er veldig usikre i de geometriske begrepene, det er tydelig at der var det jo noe surr ute og går. Han hadde veldig problemer med å definere [figuren], kan du si hvor midten er, sa hun, i stedet for sentrum, og, ikke sant, hvis han bare hadde sagt radiusen er det og det, så hadde problemet vært løst, men han gjorde det ikke. Jeg tror faktisk, det som jeg følte var mest vellykket, det var jo det at jeg tror de begynner å bli ganske sikre på koordinatsystemet, at de glemte vekk det der hvem som skulle være først [x-aksen] og sist [y-aksen], nå lå det litt mer i blodet, ja, veldig i forhold til forrige time, for de brukte det jo helt konsekvent. På samme måte som i Karis tilfelle ser jeg på Rikards refleksjoner etter undervisning som en illustrasjon av utviklingssyklusen der han ser tilbake på hvilke tanker han hadde for undervisningsperioden (tankeeksperiment), og sammenligner disse med hva som skjedde i timen (praktisk eksperiment). Fra hans perspektiv ser det ut til at elevene ble engasjert i oppgaven og var i stand til å bruke koordinatsystem uten store vanskeligheter. Rikard nevnte spesielt at elevene så ut til å takle problemet knyttet til hvilken koordinat som refererer til hvilken akse. Samtidig kommer det tydelig fram fra Rikards utsagn at elevene var usikre på en del geometriske begreper, og at 23

18 FoU i praksis nr denne usikkerheten medførte problemer når de skulle forklare figuren til andre. I motsetning til Kari gir imidlertid ikke Rikard uttrykk for hvordan han ville ha forandret oppgaven om den skulle brukes en gang til. Jeg forstår hans utsagn som en sammenligning av hva han hadde tenkt på forhånd (tankeeksperiment), og hva som faktisk skjedde i timen (praktisk eksperiment), og dermed illustrerer begge intervjuene med Rikard den sykliske egenskapen ved utviklingsforskningssyklusen. Min forståelse av måten Rikard implementerte T-skjorteoppgaven på, er denne: Etter at denne oppgaven ble presentert på verkstedet den 3. desember, valgte Rikard å vente helt til mai med å implementere oppgaven i sin undervisning, slik at han kunne knytte den til bruken av koordinatsystem og funksjoner. Videre valgte Rikard å forandre og tilpasse oppgaven fordi han så muligheter til å dekke emner fra Kunnskapsløftet, spesielt koordinatsystem og funksjoner. Derfor er min tolkning av hans refleksjoner før undervisning og måten han gjennomførte undervisningen på, at han valgte «bruk av koordinatsystem» som sitt didaktiske mål, og at han brukte de to modifiserte versjonene av T-skjorteoppgaven som sitt pedagogiske redskap. Videre fikk jeg gjennom klasseromsobservasjon anledning til å studere hvordan Rikard adresserte bruken av koordinatsystemet. Samtidig viser analysen av klasseromsobservasjonene at det matematiske miljøet som Rikard skapte ved å presentere to alternativer av logoen (med eller uten koordinatsystem), ga ham muligheten til å diskutere måten man kommuniserer på i matematikk gjennom elevenes upresise bruk av matematiske begreper. Her ser det ut til at Rikard valgte å legge mer vekt på dette aspektet enn Kari siden resten av klassen ble invitert til å følge med de to elevenes forsøk på å beskrive logoen. Når det gjelder Rikards operasjoner, henviser dette begrepet til hans forarbeid, det vil si hans måte å planlegge to forskjellige logoer på, den ene med koordinatsystem, den andre uten. Jeg ser på Rikards modifiserte T-skjorteoppgave som et pedagogisk redskap som han utviklet for å kunne adressere sitt didaktiske mål (se Tabell 4). I tillegg kunne han legge vekt på hvor effektiv kommunikasjon i matematikk kan være ved å sammenligne hvordan elevene jobbet med de to forskjellige logoene. 24

19 Claire Vaugelade Berg: Overgang fra design til implementering av matematiske oppgaver i undervisning Tabell 4: Sentrale elementer fra det tredje matematiske miljøet: Rikards didaktiske mål og pedagogiske redskap Praktisk eksperiment: Det tredje matematiske miljøet: Rikards implementering av T- skjorteoppgaven Aksjoner og didaktisk mål Gjennomføring av undervisning Didaktisk mål: bruk av koordinatsystem Operasjoner og betingelser: Utvikling av pedagogisk redskap Tilpasse og forandre T- skjorteoppgaven ved å lage to forskjellige versjoner av oppgaven (en med og en uten koordinatsystem). Organisering av klassen, to elever jobber med beskrivelsen av logoen, resten av klassen følger med i diskusjonen. Mulighet for Rikard til å diskutere kommunikasjon i matematikk siden noen elever er upresise i bruk av matematiske begreper. Diskusjon og konklusjon I dette avsnittet ser jeg først tilbake på organiseringen av det første matematiske miljøet (verkstedet i desember 2008) sammenlignet med organiseringen av de andre matematiske miljøene på barneskole og ungdomsskole, og jeg velger å fokusere på valgte didaktiske mål og pedagogiske redskap. Deretter går jeg tilbake til bruken av virksomhetsteori som en teoretisk ramme for å konseptualisere prosessene bak samarbeidet mellom didaktikere og lærere. Til slutt vil jeg oppsummere hvordan jeg videreutviklet sentrale begreper for å tilpasse teorien til den spesifikke konteksten som læring og undervisning i matematikk tilbyr. Ved å sammenligne resultater fra analysen av hvordan T-skjorteoppgaven ble designet av didaktikerne, og hvordan den ble implementert både i barne- og ungdomsskolen, er det mulig å observere en ombytting mellom didaktisk mål og en av egenskapene ved det valgte pedagogiske redskapet når man sammenligner disse to matematiske miljøene (se Tabell 5). Hvis vi ser på kjennetegnene ved det første matematiske miljøet, er didaktisk mål 25

20 FoU i praksis nr «kommunikasjon i matematikk», mens «bruk av koordinatsystem» er ett av mange aspekter ved det valgte pedagogiske redskapet som i dette tilfellet er T-skjorteoppgaven. Hvis vi derimot ser på det andre og tredje matematiske miljøet, er didaktisk mål «bruk av koordinatsystem», og «kommunikasjon i matematikk» er blitt et av aspektene ved det valgte pedagogisk redskapet (T-skjorteoppgaven). Dermed ser vi at T-skjorteoppgaven er blitt brukt som pedagogisk redskap både i det første, i det andre og i det tredje matematiske miljøet. Det vesentlige er grunnen (didaktisk mål) til at oppgaven ble valgt. Det medfører at den samme oppgaven er blitt satt i to forskjellige kontekster, den ene er kommunikasjon i matematikk, den andre er bruk av koordinatsystem. Tabell 5: Sammenligning av didaktisk mål og pedagogisk redskap i de tre matematiske miljøene Aktivitet og motiv Det første matematiske miljøet: (Didaktikere/forskere ved UiA) Motiv: å fremme bedre muligheter for elevenes læring av matematikk i skolen Aksjoner og didaktisk mål TBM-møtet (planlegging av verksted) Didaktisk mål: kommunikasjon i matematikk Verkstedet: tittelen «å stille gode spørsmål i matematikk» Didaktisk mål: kommunikasjon i matematikk Operasjoner og betingelser: Utvikling av pedagogisk redskap TBM-møtet: diskusjon og evaluering av T- skjorteoppgaven som pedagogisk redskap for å kontekstualisere det valgte didaktiske mål. Diskusjon av oppgaven i grupper der bruk av koordinatsystem er en av flere aspekter. Verkstedet: praktisk organisering med forberedelse til plenumspresentasjon og gruppeinndeling. 26

21 Claire Vaugelade Berg: Overgang fra design til implementering av matematiske oppgaver i undervisning Tabell 5: Forts. Sammenligning av didaktisk mål og pedagogisk redskap i de tre matematiske miljøene Det andre og tredje matematiske miljøet: (To lærere, én fra barneskole, én fra ungdomsskole) Motiv: å tilrettelegge matematikkundervisning best mulig slik at elevene får mulighet til å utvikle en dyp og meningsfylt forståelse av matematikkfaget (relasjonell forståelse) Gjennomføring av undervisning Didaktisk mål: bruk av koordinatsystem Tilpasse og forandre T-skjorteoppgaven med fokus på bruk av koordinatsystem. Organisering av klassen med mulighet for å diskutere kommunikasjon i matematikk (elevenes bruk av håndbevegelser eller mangel på bruk av presis terminologi) En mulig forklaring på ombyttingen består i å ta hensyn til hvilket virksomhetssystem didaktikerne og lærerne er en del av. Ved å erkjenne at didaktikerne og lærerne tilhører to forskjellige virksomhetssystemer, kan man stille følgende spørsmål: Hvordan kan virksomhetsteori hjelpe oss som forskere til å forstå den observerte ombyttingen? I begynnelsen av artikkelen presenterte jeg hvordan Engeström (1999) definerer et virksomhetssystem ved hjelp av følgende dimensjoner: regler (rules), fellesskap (community) og arbeidsfordeling (division of labour). Jeg ser på disse dimensjonene som mulige retninger for å utvikle en dypere forståelse av prosessene bak den observerte ombyttingen av didaktisk mål og pedagogisk redskap og dermed for videre forskning. For eksempel ville det være aktuelt å undersøke rollen læreplanen spiller i lærernes planlegging av undervisning. I begynnelsen av artikkelen argumenterte jeg for å bruke virksomhetsteori som en teoretisk ramme for å konseptualisere samarbeidet mellom didaktikere og lærere. Videre foreslo jeg en videreutvikling av sentrale begreper fra virksomhetsteori som tilpasning til den spesifikke konteksten innenfor læring og undervisning i matematikk. Jeg vil hevde at ved å introdusere begrepene aktivitet og motiv, aksjoner og didaktisk mål, og operasjoner og betingelser ved utvikling av pedagogisk redskap er det mulig å danne en relevant og tilpasset teoretisk ramme med en hierarkisk struktur for aktivitet innenfor læring og undervisning i matematikk. Ved å anvende disse begrepene er det mulig å følge prosessene fra design til implementering av en bestemt matematisk oppgave. I disse prosessene står inquiry sentralt på tre nivåer. For det første står inquiry sentralt i gruppearbeid i verkstedet der lærerne ble gradvis oppmerksomme på T-skjortelogoens kompleksitet, og i klasserommet der elevene prøvde å gjengi logoen fra T-skjorteoppgaven. 27

22 FoU i praksis nr For det andre er inquiry viktig i lærernes gruppearbeidsdiskusjoner i verkstedet fordi disse er knyttet til deres planlegging og tilrettelegging av undervisning. I Karis tilfelle materialiserte dette forarbeidet seg i at hun forenklet logoen og laget en enklere figur (se Figur 3), og i Rikards tilfelle førte det til at han kunne presentere to logoer for klassen, en med og en uten koordinatsystem. Jeg ser på Karis og Rikards aksjoner og valg av didaktisk mål som tegn på inquiry både når det gjelder deres tankeeksperiment og praktiske eksperiment. Gjennom Karis og Rikards implementering av T-skjorteoppgaven er det dermed mulig å studere prosessene bak hvordan «the outcome of an activity will become part of another activity system» (Virkkunen & Kuutti, 2000, s. 301), eller, som i dette tilfellet, hvordan en bestemt matematisk oppgave, som er en del av resultatet av aktiviteten fra V1, integreres inn i V2 med tilsvarende ombytting av didaktisk mål og en av egenskapene ved det utvalgte pedagogiske redskapet. For det tredje gjenfinnes inquiry i didaktikernes forskning som presentert i denne artikkelen. Jeg argumenterer for at man bør ta hensyn til resultatene fra denne forskningen for å få dypere innsikt i forskjellige aspekter ved didaktikeres og læreres samarbeid. Dessuten gir den innblikk i lærernes for- og etterarbeid ved planlegging og gjennomføring av matematikkundervisning, samt hvilke kriterier som ligger til grunn for deres valg av undervisningstema og arbeidsmetoder. I tillegg åpner den for muligheter til å utvikle et kritisk perspektiv på egen undervisning og dermed øke lærernes bevisstgjøring rundt valg av undervisningsstrategier. Litteratur Artigue, M. (1994). Didactical engineering as a framework for the conception of teaching products. I R. Biehler, R.W. Scholz, R. Sträßer, & B. Winkelmann (red.), Didactics of mathematics as a scientific discipline (s ). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Berg, C.V. (2009). Developing algebraic thinking in a community of inquiry: Collaboration between three teachers and a didactician. Upublisert doktorgradsavhandling, Universitetet i Agder, Kristiansand. Berg, C.V. (2010). Le projet TBM: un exemple de modalité de collaboration entre chercheurs et praticiens en Norvège. I S. Kahn, M. Hersant, & D.O. Ravachol (red.), Recherches en Education, Hors Série n o 1 (s ). Nantes: Centre de Recherche en Education de Nantes (CREN). Berg, C.V. (under utgivelse). Adopting an inquiry approach to teaching practice: The case of a primary school teacher. Proceedings of the 7th Conference of the European Society for Research in Mathematics Education, February 2011, University of Rzeszów, Polen. Engeström, Y. (1999). Activity theory and individual social transformation. I Y. Engeström, R. Miettinen, & R.-L. Punamäki (red.), Perspectives on activity theory (s ). Cambridge: Cambridge University Press. 28