Dette har vi lært i kapittel 1 Generelt grunnlag. Kursblogg med stikkord og læringsmål. Tall og størrelser. Matematikk i Praksis
|
|
- Toralf Aronsen
- 4 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Kursblogg med stikkord og læringsmål Det er viktig å komme i gang. Fristen for innleveringsoppgavene blir torsdagene kl i uke 36, 37, 39, 40, 4, 43, 44, 46 der 6 av 8 skal bli godkjente for å kunne ta eksamen og de siste må være godkjente. Uke 34 - Kapittel.-0 Stikkord:. Mengder, lukket og åpnet intervall. Tallinjen og de reelle tallene Reelle tall, gjeldende siffer, tall på standardform.3 Regning med reelle tall Regler for potensledd.4 Røtter.5 Relativ økning og vekstfaktor Vekstfaktor og vekstprosent (rentefot).6 Rasjonale og irrasjonale tall.7 Polynomdivisjon.8 Logiske slutninger.9 Løsning av likninger.0 Summetegn og geometriske rekker Dette har vi lært i kapittel Generelt grunnlag Tall og størrelser Tall på standard form: a 0 ±n der a < 0 og n = 0,,,
2 Noen grunnleggende regneregler a + b = a c c + b c a + b c = a c b c a b c = ac bc a b : c = a b c = a bc a : b c = a c b = ac b a b c d = a b c d = ad bc a b a c = a b c = a bc c b = ac b Potensregler a m a n = a m+n a m a = n am n (ab) n = a n b n n am = a m n a n = a n a n = a n (a n ) m = a nm a 0 = Vekstfaktor En verdi endrer seg fra x 0 til x. ) Absolutt endring: x x 0, ) Relativ endring: x x 0 x 0 3) Vekstfakror: x x 0 En verdi endrer seg med rentefot p prosent pr. tidsenhet (år, mnd, osv. ). Vekstfaktor er da + p 00 Rentefot (p) En verdi vokser med 5 %,5 En verdi synker med 5 %,58 En verdi vokser med 00 % Vekstfaktor
3 Hvis en verdi K 0 har endret seg med p % i i løpet av en tidsenhet, er verdien etter n tidsenheter gitt ved: K(n) = K 0 ( + p 00 )n Logiske slutninger Et utsagn p kan ha sannhetsveriden (sann) eller 0 (usann). Kunjuksjon p q og disjnuksjon p q p q er sann bare når både p og q er sanne. p q er usann bare når både p og q er usanne. Implikasjon p q p kalles premiss og q for konklusjon. Implikasjonen kan formuleres på mange måter: p impliserer q. p medfører q. p bare hvis q. Hvis p, så q. p er nødvendig betingelse for q og q er tilstrekkelig betingelse for p. En implikasjon er alltid sann unntatt bare når sann premiss (sannhetsverdi ) medfører usann konklusjon (sannhetsverdi 0). Ekvivalens p q Biimplikasjonen p q (leses "hvis og bare hvis") er sann bare hvis begge utsagn p og q er sanne eller begge er usanne. Andre gradsligninger LIgning a 0 ax + bx + c = 0 Løsning x = b ± 3 (b 4ac) a ax + bx = 0 x = 0 b a c ax + c = 0 x = ± a
4 Uke 35: Kapittel.,.-.4. Plangeometri og koordinatsystem - Rette linjer (parallelle (a = a og lodrette linjer) - Avstander og litt om geometriske figurer - Trekanter og Pytagoras. Funksjoner - Definisjons- og verdimengder - Lineære funksjoner - degradsfunksjoner og parabler - Potensfunksjoner. Invers funksjoner Hvilke funksjoner er inverterbare og hvordan man finner inversfunksjonen? - Monotonitet- strengt voksende/avtagende.3 Lineær programmering.4 Skifte av lineære skala Funksjoner En Funksjon f er en regel som tilordner et hvert element, x, fra en mengde kalt definisjonsmengde, til et entydig bestemt element, y, i en mengde kalt verdimengde: y = f (x) der x D f og y V f Noen spesielle funksjoner Lineære funksjoner: y = ax + b, Andre gradsfunksjoner funksjoner: y = ax + bx + c der a 0, Polynom funksjoner: p(x) = a 0 + a x + a x + + a n x n. Rasjonale funksjoner y = p(x) der q(x) 0, q(x) Eksponentialfunksjoner y = Ce kx, der C 0, Logaritme funksjoner y = log x, y = ln x,. Lineære funksjoner En punktsformel (et punkt (x 0, y 0 ) og stingsstallet, a, er kjent): y = y 0 + a(x x 0 ) To punktsformel((x 0, y 0 ) og (x, y ) er kjente): y = y 0 + a(x x 0 ) der a = y y 0 x x 0
5 Andre gradsfunksjoner For å tegne grafen til f (x) = ax + bx + c, finner man: Grafen smiler når a > 0 og er sur når a < 0., Nullpunkt(ene): x = b ± b 4ac a Symmetri linjen s = b a, For å bestemme bunnpunktet (a > 0 eller topppunktet (a < 0 er da: ( x= b a, y = f ( b a )) Inverse funksjoner Anta f er en kontinuerlig funksjon definert på et intervall. Da har f en invers funksjon hvis og bare hvis den er en-entydig funksjon. En en-entydig funksjon er strengt voksende/avtagende. La f og g være to funksjoner. Vi sier at f og g er inverse funksjoner dersom: f (g(x)) = x for alle x i definisjonsmengden, x D g, g(f (x)) = x for alle x i definisjonsmengden, og x D f. D f = V g, V f = D g. Da er g(x) = f (x) og f (x) = g (x). Skjæringssetningen La f være kontinuerlig i [a, b]. Dersom funksjonsverdiene i endepunktene har forskjellige fortegn, har da ligningen f (x) = 0 minst ett nullpunkt i dette intervallet. Dersom f er i tillegg monoton i intervallet, har f (x) = 0 kun ett nullpunkt i intervallet. Lineær programmering Lineær programmering (lineær optimalisering) er en matematisk metode for å bestemme en måte å oppnå det beste resultatet (for eksempel maksimal profitt eller lavest kostnad) i en gitt matematisk modell for noen liste over krav representert som lineære sammenhenger. Bestem største eller minste verdien til målfunksjonen f (x, y) = c x + c y, under betingelsene: x 0; y 0 a x + b y c a x + b y c a n x + b n y c n
6 - En ønsker å minimere eller å maksimere et mål. - En kan spesifisere målet som en lineær funksjon av spesifikke variable. - En kan spesifisere de tilgjengelige ressursene som ulikheter eller likheter på disse variablene. Hvis et problem tilfredsstiller de tre punktene over, kan det løses ved hjelp av lineær programmering. Skifte av lineær skala Tenk at vi har to forskjellige linære skalaer og to par samsvarende verdier: u 0 u u u-akse x 0 x x x-akse Omregningsformelen kan skrives som: u u 0 u u 0 = x x 0 x x 0 Lage en felles plattform - Mye er nok kjent for mange fra før. Du må kunne et punktsformel og topunktsformel og tegne en rett linje. Prøv å lage egne notater, og skriv detaljene som du synes det er viktig.
7 Uke 36: Kapittel Kap. 3 Periodiske fenomen - Trigonometriske funksjoner 3. Periodiske funksjoner. Sinus og cosinus Vinkelmål, sin, cosinus, tangens og enhetssirkel, kjente vinkler 3. Trigonometriske funksjoner Å bruke enhetssirkel til å tegne grafen til sin, cos og tan Å forklare sin, cos og tan til vinkelene α, π α, π + α, π α. Fra sin/cos og trekanter til trigonometriske funksjoner- Periodiske funksjoner- Grader og radianer- Enhetssirkelen- Formler for cos/sin- Odde og jamne funksjoner Inverse trigonometriske funksjoner- Trekantsetninger- Formlikhet I hvilke intervaller er sin x, cos x og tan x inverterbare? Trigonometriske formler: enhetsformel, sin, cos og tan til u ± v Bruke u ± v -formler til å sette opp trigonometriske formler for dobbel vinkel (x). Trigonometriske ligninger 3.3 Noen setninger om trekanter Arealsetning, sinussetning, cosinussetning 3.4 Harmoniske svingninger Middelverdi, amplitude, sirkelfrekvens (vinkelfrekvens), akrofase (fasevinkel) t 0 er avstanden fra første nullpunkt til origo. t 0 er avstanden fra første nullpunkt til origo. f (x) = C 0 + C sin(ω(t t 0 )) f (x) = C 0 + C cos(ω(t t 0 )) y y 0 x 0 x π 0 π 3π π π 0 π 3π π 3.5 Omskriving av harmoniske svingninger Omskriving av harmoniske funksjoner- Polarkoordinater (neste side) 3.6 Addisjon av harmoniske svingninger
8 Omregning fra polarkoordinater til punktet P(r, θ) til kartesiske koordinater(a, b): a = r cos θ b = r sin θ () r = a + b θ = tan ( b a ). Trigonometri (trekantm ling)i er læren om forholdet mellom vinkler og sider i en trekant. Trigonometriske funksjoner er nyttige for modellering av periodiske fenomener,. Vinkelmål: To kjente mål for vinkel er grader(d) og Radianerr(R). Forholdet mellom D grader og radiane(absolutt vinkelmål) er: 80 = R o π Trigonometri i grader a 3. Sinussetningen: sin A = b sin B = c sin c 4. Cosinussetningen: a = b + c bc cos A b = a + c ac cos B c = a + b ab cos C 5. Arealsetningen: A = bc sin A = ac sin B = ab sinc Trigonometri i radianer 6. Enhetssirkel :
9 7. Enhetsformel sin x + cos x = 8. Kjente vinkler: 9. Tangens: tan x = sin x cos x 0. Kvadranter. kv.. kv. 3.kv. 4.kv. sin + + cos + + tan + +. Komplementære- og supplementvinkler For en vinkel 0 θ π gjelder det: sin( θ) = sin(θ) sin(π θ) = sin(θ) cos( θ) = cos(θ) cos(π θ) = cos(θ). Formler for summen og differansen mellom to vinkler: sin(α ± β) = sin(α) cos(β) ± cos(α) sin(β) cos(α ± β) = cos(α) cos(β) sin(α) sin(β) tan(α) ± tan(β) tan(α ± β) = tan(α) tan(β) 3. Dobbelt vinkelformler: sin(α) = sin(α) cos(α) cos(α) = cos (α) = sin α 4. Kjente vinkler π 0 6 sin α 0 3 cos α 3 tan α 0 3 π 4 π π 3π π π
10 5. Trigonometriske funksjoner er ikke injektiv(en-entydig) i intervallet [0, π]. For å kunne definere inverse funksjoner må vi definere en del av definisjonsmengden slik at funksjonen er injektiv(en-entydig). Her er det et oversikt over intervallet der funksjoner er injektive: Injektivitet f (x) sin(x) D f [ π, π ] cos(x) [0, π] tan(x) ( π, π ) cot(x) (0, π) 6. Her er det grafen til: y = sin (x), y = cos (x), y = tan (x) og y = cot (x), der cot x = tan x
11 7. Omregning fra polarkoordinater til punktet P(r, θ) til kartesiske koordinater(a, b): a = r cos θ b = r sin θ r = a + b θ = tan ( b a ) 8. Omregning fra kartesiske koordinater (a, b) til polarkoordinater(r, θ): r = a + b og θ = tan ( b a ). 9. omskriving av a cos(ωt) + bsin(ωt) på formen: C cos ω(t t 0 ) der 0 t 0 < π C = a + b og tan ωt 0 = b a a = 0, b > 0 t 0 = ω (π ) a = 0, b < 0 t 0 = ω (3π ) a > 0, b > 0 t 0 = ω tan ( b a ) a < 0, b > 0 t 0 = ω (π tan ( b a ) a > 0, b = 0 t 0 = 0 a < 0, b = 0 t 0 = ω π a < 0, b < 0 t 0 = ω (π + tan ( b a ) a > 0, b < 0 t 0 = ω (π tan ( b a ) 0. Grafen til funksjonen y = C +Asin ω(t t 0 ) kan tegnes ved hjelp av C (likevektslinjen: y = C) A(amplitude), ω (vinkelfrekvens, sirkelfrekvens) og t 0 (akrofase). Perioden T er T = π ω. Bemerk at : Akrofasen t 0 er avstanden fra: i) første nullpunkt til y-aksen for: y = c + a sin ω(t t 0 ) ii) første topppunkt til y-aksen for: y = c + a cos ω(t t 0 )
12 Her ser vi grafen til: y(x) = 6 + sin π(x 0, 5) = 6 sin(πx) eller: y(x) = 6 + cos π(x ) Akrofasen til y = C + Asin(ωt t ) er t 0 = t ω.. Gitt to harmoniske funksjoner:f (t) = C cos(ωt φ ) og g(t) = C cos(ωt φ ), der C 0 og C 0. Funksjonen f (t) + g(t) amplituden: C = C + C + C C cos(φ φ ) Test deg selv: Sjekk at du klarer å tegne grafene til sin x, cos x, tan x, sin x, cos x, tan x på egen hand ut å sjekke boken. Hvordan kan man omgjøre (a, b) til (r, θ) polar når a, b eller begge er negative.
13 Uke Kontinuitet og grenser 4. Begrepene kontinuitet og grense Ensidige grenser Kontinuitet 4. Beregning av grenser 0 0 (faktorisering eller L Hopitals regel) (del telleren og nevneren med dominerende ledd) 4.3 Nullpunkter og ekstremalpunkter Skjæringssetningen (kan brukes til å undersøke om en ligning har minst en løsning på et intervall: dersom f (a) f (b) < 0, har ligningen f (x) = 0 minst en løsning i intervallet [a, b]) Ekstremalverdisetningen 4.4 Følger Konvergens av tallfølger 4.5 Rekker Geometiske rekker og summen Manipulasjon av rekker Grenseverdi og kontinuitet Grenseverdi beskriver en verdi funksjonærmer seg når x-verdi nærmer seg mot punktet x = a og betegnes ved lim f (x). Dersom denne verdien er et entydig bestemt tall når x x a nærmer seg mot x = a fra begge sider, eksisterer grenseverdien. lim f (x) = lim f (x) x a + x a Dersom denne grenseverdien er uendelig eller ikke et bestemt tall, har funksjonen ingen grenseverdi i dette punktet. Når man skal bestemme hvordan en funksjon oppfører seg når x går mot uendelig (horisonatal asymptote), regner man: lim x a f (x) g(x) = 0 0 lim f (x) x f (x) Dersom lim x a g(x) = 0 0 og f (x) og g(x) er polynom funksjoner, er det vanligvis telleren faktoriserbar med (x a), (x a) og i noen tilfeller med ( x a). Eksempel: x 9 lim x +3 lim x 5 x 3 = 0 0 = lim x +3 x 5 x + 5 = 0 0 = lim x +3 x 9 x 3 = 0. x 9 x 3 = 0.
14 lim x f (x) g(x) = Kontinuitet a m x m + a m x m + a x + a 0 lim x b n x n + b n x n + b x + b 0 a m = lim x m n = x + b n Eksempel: lim x + lim x + lim x + 0 hvis m < n, a m hvis m = n, b n (ingen grense) hvis m > n 6x + 7 x 3 + 5x = 0 6x + 7 x + 5x = 3 6x = (ingen grense) x + 5x Hvis en funksjon f (x) er kontinuerlig i x = a, er grafen til funksjonen sammenhengende(glatt) i dette punktet. Dette innebærer at funksjonsverdi er like grenseverdien i dette punktet: f (a) = lim f (x) = lim f (x) x a + x a Hvis funksjonen er kontinuerlig i alle punkt i et intervall I, er funksjonen kontinuerlig i intervallet. Sammensetningen av kontinuerlige funksjoner er kontinuerlige. For å undersøke om en oppdelt funksjon er kontinuerlig i et intervall, er det viktig å sjekke om funksjonen er kontinuerlig i endepunktene i intervalllene der funksjon er definert. Asymptoter En funksjon f (x) har en vertikal asymptote x = a når: lim f (x) = ± x a ± En rasjonalfunksjon kan ha vertikale asymptoter der nevneren har nullpunkt. En funksjon f (x) har en horisontal asymptote y = b når: lim f (x) = b x ± Test deg selv: Definer grenseverdi- og kontinuitets-begrepet Hva handler ensidige grenser om? Kan du regne videre oppgaver med [ 0 0 ] [ ] Formuler Skjæringssetningen (mellomverdi-setningen) og ekstremalverdisetningen.
15 Uke 38 - Eksponential og logaritme funksjoner ) a n a x = a x+ y ) (a x ) y = a x y 3) (ab) x = a x b x 4) a n = /a n 5) a /n = n a, n am = ( n a) m Vi så på grenseverdier lim x + ax = og lim x ax = 0 der a > lim x ax = 0 der a > og lim x ax = der a < Potensfunksjoner Potensfunksjoner kan skrives på formen f (x) = C x n der C, n er reelle tall og a > 0. Eksponentialfunksjoner Eksponential funksjoner kan skrives på formen f (x) = Ca x der grunntallet a > 0, eller på formen f (x) = Ce kx. Funksjonen f (x) = Ca x er stigende når: C > 0 og a > eller når C < 0 og 0 < a <. Funksjonen f (x) = Ca x er synkende når: C < 0 og a > eller når C > 0 og 0 < a <. Funksjonen f (x) = Ce kx er: stigende når C og k har samme fortegn, det vil si enten k > 0 og C > 0 elller k < 0 og C < 0. synkende når C og k har motsatt fortegn, det vil si enten k < 0 og C > 0 elller k > 0 og C < 0. Logaritmer og logaritmiske funksjoner Logaritmen av et tall er den eksponenten der annen fast verdi, den basen, må heves for å produsere det tallet. For eksempel er logaritmen 000 med basisen (grunntallet) 0 er 3, fordi 000 er 0 opphøyd 3: 0 3 = 000. Mer generelt: y = a x x = log a x, der a > 0.
16 Hvilket betyr logaritmiske funksjoner og eksponentialfunksjoner er inversfunksjoner. Som et resultat av f (f (x)) = x får vi: e ln x = x ln(e x ) = x Briggiske og naturlige logaritmer Inverse funksjonen til 0 x er log 0 x som kalles Briggske logaritmisk funksjonen og skrives som log x eller lg x. Inverse funksjonen til e x er log e x som kalles den naturlige logaritmisk funksjonen og skrives som ln x. Euler-tallet e kan defineres slikt: Regneregler for logaritmer e = lim n ( + n )n log A + log B = log AB log A log B = log A B log A n = n log A log A = log A ln A + ln B = ln AB ln A ln B = ln A B ln e A = A ln A = ln A log = 0, log 0 = ln = 0, ln e = Vekstfaktor og modellering. Hvis en verdi endrer seg med rentefot p prosent pr. tidsenhet (år, mnd, osv.), er vekstfaktoren da + p 00 Hvis en verdi K 0 har endret seg med p % i i løpet av en tidsenhet, er verdien etter n tidsenheter gitt ved: K(n) = K 0 ( + p 00 )n. Hvis en verdi y endrer seg med vekstfaktor b i løpet av tiden T, kan man sette opp funksjonen: t y(t) = y 0 b T 3. Hvis en verdi er b-doblet i løpet av T tidsenheter (T år, T mnd., ), kan man sette opp funksjonen for y(t) ved tiden t. t y(t) = y 0 b T
17 Fordoblingstid og halveringstid 4. Gitt funksjonen y(t) = y 0 a t. Fordoblingstiden er da T = ln ln a. Halveringstiden er da T (/) = ln ln a. b-doblingstiden er T (b) = ln b ln a 5. Gitt funksjonen y(t) = y 0 e λt. Fordoblingstiden er da T = ln λ. Halveringstiden er da T (/) = ln λ. b-doblingstiden er T (b) = ln b λ 6. En eksponential funksjon med grunntall a kan skrives som en eksponentialfunksjon med grunntall e: y(t) = y 0 a t = y 0 e (ln a)t. Nyttig å huske 7. Ved t = 0, har y verdien y 0. Verdien er halvert i løpet av T tidsenheter Man kan sette opp en funksjon ved tiden t: t y = y T 0 8. Ved t = 0, har y verdien y 0. Verdien er fordoblet i løpet av år. Man kan sette opp en funksjon ved tiden t: t y = y 0 T 9. Vekstfaktor (b) for en verdi som vokser eksponentielt med rentefot p% pr. tidsenhet er; b = ( + p 00 ) og dermed rentefoten uttrykt ved vekstfaktor b er p = (b ) 00). 0. En verdi y vokser eksponentielt med p% pr. år. Hvor mange prosent vokser den med: i) pr. mnd? ii) pr. 0 år? iii) pr. dag? i) ( + p 00 ) angir vekstfaktor pr. mnd og verdien vokser da med: [( + p 00 ) ] 00.
18 ii) ( + p 00 )0 angir vekstfaktor pr. 0 år og verdien vokser da med: [( + p 00 )0 ] 00. iii) ( + p 00 ) 365 angir vekstfaktor pr. dag og verdien vokser da med: [( + p 00 ) 365 ] 00. Aktuell for kapittel 9.4 Vi så nærmerer på grafen til y = Ce kx og nevnte at: Hvis C k > 0, er funksjonen stigende Hvis C k < 0, er funksjonen stigende Her er det tegnet 4 3 y a) y = e x og y = e x b) y = e x og y = e x 0 x Aktuell for kapittel 9.5 Her er det tegnet a) y = + e x og y = + e x b) y = e x og y = e x
19 4 3 y 0 x Grafen til eksponential funksjoner Grafen til funksjoner med negative eksponenter er tegnet stiplede. a) y = 3e x og y = 3e x b) y = 3e x og y = 3e x c) y = 4 3e x og y = 4 3e x c) y = 3 4e x og y = 3 4e x 3 y 3 y 0 x x
20 4 3 y 4 3 y 0 x x Aktuell for kapittel a) f (x) = + e x 3 b) f (x) = + e x Bemek at begge har skjæringspunkt med y-aksen i f (0) = : I del a) er nevneren synkende (negativ eksponent og positiv koeffisient()) dermed funksjonen stiger. I del b) er nevneren stigende (positiv eksponent og og positiv koeffisient()) dermed funksjonen synker. 3 y 0 x
21 Uke 39/40 Det har vi lært i kapittel 6 Derivasjon og anvendelser 6. Introduksjon 6. Infinitesimal-notasjon 6.3 Betydningen av den deriverte 6.4 Høyere ordens deriverte 6.5 Derivasjon av inverse funksjoner 6.6 Funksjonsdrøfting 6.7 Fysisk tolkning av derivasjon 6.8 L Hopitals regel 6.9 Taylorpolynomer og Taylorrekker Definisjon og formler Derivasjon kan fortelle oss hvor raskt en størrelse er i ferd med å endre seg ved et bestemt punkt: d f d x = f f (x + h) f (x) (x) = lim h 0 h Ved å finne den deriverte til en funksjon i et punkt på en kurve, finner man stigningstallet akkurat der, og denne kan kalles vekstraten for dette punktet eller momentan hastighet. En kontinuerlig funksjon er deriverbar i et punkt dersom man kan tegne bare og bare en tangent i dette punktet. En funksjon er ikke deriverbar der den er diskontinuerlig. Den er heller ikke deriverbar i et knekkpunkt eller i endepunkt. Regler. Linearitet regelen: (au + bv) = au + bv, der a, b er konstanter, u og v er funksjoner.. Produktregelen: (u v) = u v + uv 3. Kvotientregelen: ( u v ) = u v uv v 4. Kjerneregelen: f (u(x)) = d f du u eller d d x f (u(x)) = d f du du d x For eksempel endringshastigheten til volumet til en kule kan uttrykkes ved endringshastigheten til radien til kulen: d d t V (r(t)) = dv dr dr d t = d dr (4π 3 r3 ) dr d t = 4πr dr d t
22 Formler f (x) f (x) Kjerneregelen k 0 x n nx n (u n ) = nu n u e x e x (e u ) = e u u (e kx ) = ke kx a x a x ln a (a u ) = a u ln a u sin x cos x (sin u) = cos u u (sin kx) = k cos kx cos x sin x (cos u) = sin u u (cos kx) = k sin kx tan x + tan x (tan u) = ( + tan u) u = cos x (tan kx) = k( + tan kx) ln x sin x cos x tan x x x x Anvendelser (ln u) = u u (sin u) = u u (cos u) = u u (tan u) = + x + u u 5. Vekstraten til funksjonen y = f (x) i punktet x = x 0 : f (x 0 ). 6. Ligningen til tangentlinjen i et punkt x = a er da: y = f (a) + f (a)(x a) 7. Lineær approksimasjon f (x) f (a) + f (a)(x a) Denne formelen gir en god tilnærming for f (x) hvis x er nær nok til a.
23 8. L Hopitals regel: La f (x) og g(x) være to deriverbare funksjoner i x = a. Dersom gjelder det: lim f (x) = 0 og lim g(x) = 0, x a x a f (x) lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x) 9. Test for lokale ekstremalpunkter: Anta at D f er et åpent intervall, og at f er deriverbar i a. Hvis x = a er et lokalt ekstremalpunkt for f, så er f (a) = 0. (legg merke til at det gjelder ikke omvendt at hvis f (a) = 0, så x = a er en ekstremalpunkt, for eksempel f (x) = x 3 ). 0. Å bestemme største eller minste verdien til y = f (x) begrenset i intervallet [a, b] : ) Finn funksjonsverdiene for indre punktene i I der f (x) = 0 og der f (x) ikke eksisterer. ) Finn funksjonsverdiene i endepunktene. 3) Sammenlign disse og besteme Globale/Lokale maksimums- og minimumspunkt.. Optimeringsproblemer: I slike oppgaver skal man sette opp en funksjon f (x) og bestemme hvor f (x) = 0.. Hastighetskoblede oppgaver: Kjerneregelen kan ofte anvendes i slike oppgaver. For eksempel endringshastigheten til volumet til en kule kan uttrykkes ved endringshastigheten til radien til kulen. V (r(t)) = d dv dr d t dr d t Nyttig å huske og d representerer Lagrange og Leibniz notasjonen henholdsvis. d x er en infinitesimal d x endring for x. Det er ikke alle funksjoner som er deriverbare. Dersom funksjonen er diskontinuerlig eller har et loddrett tangent i et punkt, er funksjonen ikke deriverbar. Et kritisk punkt er der f (x) = 0. Lokalt maks/min punkt: et eller flere kritiske punkt som har de høyeste eller laveste verdiene innenfor et avgrenset definisjonsområde. Globalt maks/min punkt: et eller flere kritiske punkt som har de høyeste eller laveste verdiene, for alle definerbare verdier. Globale maks/min punkt kan i mange tilfeller ikke eksistere i det hele tatt. Rolles teorem nta at f er kontinuerlig på [a, b] og deriverbar på a, b. Hvis f (a) = f (b), så fins minst ett punkt c a, b slik at f (c) = 0 (det vil si funksjonen kan ha minst et ekstremalpunkt).
24 Middelverditeoremet La f være kontinuerlig på [a, b] deriverbar på a, b. Da fins c a, b slik at f (b) f (a) = f (c). b a Uke 40/4 Det har vi lært i kapittel 7 Integrasjon og anvendelser Oversikt: 7. Ubestemte integraler 7. Bestemte integraler 7.3 Anvendelser av det bestemte integralet 7.4 Integrasjon ved substitusjon 7.5 Delvis integrasjon 7.6 Alternativ teori for eksponensialfunksjoner og logaritmer Integrasjon og formler Det å integrere handler om å finne anti-deriverte til funksjoenen. En anti-derivert til en funksjon f (x) er en deriverbar funksjon F(x) slik at F (x) = f (x). f (x)d x = F(x) + C, der F (x) = f (x) f (x) kalles integrand. F(x) er antideriverte til f (x), d x er infinitesimalt lengde element og x er integrasjonsvariabel. Alle kontinuerlige funksjoner er integrerbare. Hvis f er begrenset i [a, b] og har et endelig antall diskontinuiteter i intervallet, så er f integrerbar i intervallet.
25 Formler f (x)d x = F(x) + C f (x) F(x) + C k kx + C x n n + x n+ + C x der n ln x + C e x e x + C a x ln a ax + C sin x cos x tan x x x cos x + C sin x + C ln cos x + C sin x + C cos x + C + x tan x + C Det kan lett vises ved help av substitusjon : e kx d x = k ekx + C a kx d x = k ln a akx + C cos(kx)d x = k sin(kx) + C sin(kx)d x = k cos(kx) + C Regler og integrasjonsmetoder ) Linearitet regelen: (a f (x) + bg(x))d x = a f (x)d x + b g(x)d x der a, b er konstanter, f og g er to funksjoner. ) Substitusjon metoden bygger på kjerneregelen: h(u(x))u (x)d x
26 Denne metoden benyttes når begge u og u dukker opp i integralet. Her velger man en hjelpevariabel u = u(x), som kan hjelpe oss å få forenkle integralet og husk å erstatte d x = u du. Her er det noen eksempler som kan vise hvordan man velger u: Integral u d x = u du x cos(x )d x u = x d x = x du xe x d x u = x d x = x du (ln x) n d x u = ln x d x = xdu x der n =., 3, 3) Delvis integrasjon: uv d x = uv u vd x Delvis integrasjon benyttes blant anne når: Integral u v (ax + b) sin(kx)d x ax + b sin(kx) (ax + b) cos(kx)d x ax + b cos(kx) (ax + b)e kx d x ax + b e kx (ax + b) ln xd x ln x ax + b x n ln xd x ln x x n x n e kx d x x n e kx e kx cos(αx)d x x n e kx Her kreves n ganger delvis integrasjon. Her kreves ganger delvis integrasjon. Regler for bestemt integral Anvendelser ) ) b b a a f (x)d x = f (x)d x = c a a b f (x)d x f (x)d x + b c f (x)d x, der a < c < b. Arealregning: Arealet avgrenset av kurven til y = f (x), x-aksen i intervallet a x b kan bestemmes ved:
27 A = b a f (x)d x. Arealet mellom to grafene til y = f (x) og y = g(x) kan regnes ved: A = x x [ f (x) g(x)]d x der x og x er skjæringspunktene mellom to grafene. 3. Volumregning: Når arealet avgrenset av kurven til y = f (x), x-aksen i intervallet a x b roterer en gang om x-aksen, er voulmet til omdreiningslegemet gitt ved V = π b a [ f (x)] d x 4. Samlet verdi La en funksjon l y = f (x) værre definert i intervallet a x b. Samletverdi til funksjonen i intervallet kan beregnes ved: S = b a f (x)d x 5. Middelverdi: La en funksjon y = f (x) være definert i intervallet a x b. Middelverdien til funksjonen i intervallet kan beregnes ved: f (x) = b f (x)d x b a a 6. En tank fylles med vann med en netto tilstrømningshastighet på v = v(t) volum enhet/tidsenhet. Endringen i vannvolumet i tanken i løpet av tidsintervallet [t 0, t ] kan bestemmes slik: V = t t 0 v(t)d t Hvis vannmengden i tanken ved t 0 er V (t 0 ), er vannvolumet ved tiden t (tidsenheter) gitt ved: V (t) = V (t 0 ) + t t 0 v(τ)dτ
28 Nytt å huske For en kontinuerlig funksjon y = f (t) gjelder det: F(t) = F(0) + t 0 f (τ)dτ der F er anti-deriverte til f. Uke 4/4 Det har vi lært i kapittel 9 Differensialligninger og anvendelser Differensiallikninger 9. Hva er en differensiallikning? 9. Differensiallikningsmodeller for populasjoner 9.3 Retningsdiagrammer og integralkurver 9.4 Differensiallikningen y =ay 9.5 Lineære første ordens likninger y 9.6 Differensiallikningen y = a y + b y + c 9.7 Separable differensiallikninger En differensialligning beskriver en sammenheng mellom en funksjon og dens deriverte. Klassifisering(type) En differensialligning er lineær dersom ligningen er lineær med hensyn til den ukjente funksjonen og dens deriverte. Lineær y + y cos x = e x y + x y = ln x Ikke lineær y + x cos y = e x y + y x = ln x Har differensialligningen minst et ledd uten den avhengige variabelen, er differensialligningen inhomogen ellers den er homogen. Homogen y + y cos x = 0 y + x y = ln x Ikke homogen y + x cos y = e x y + y x = ln y I læreboken vektlegges følgende differensialligninger:
29 ) Separable differensialligninger ) Første orden av typen: 3) Første orden av typen: y = f (x)g(y) y = a y + b y = a y + b y + c der a y + b y + c har to ulike reelle løsninger. (se oppgave 9.7. for dobbelløsning) Separable diff. ligninger på formen: d y d x = f (x)g(y) Ligningen kan løses ved separasjon: Løs integralet og bestem y = y(x). g(y)d y = f (x)d x Første orden differensialligninger, y = a y, y = a y + b og y = a y + b y + c Hvis vekstraten d y d y er proporsjonal med y, kan man få differensialligningen: d x d x er det løsning til noen differensialligninger av første orden: = a y. Her Differensialligning y = a y Løsning y = Ce at y = a y + b y = Ce at b a y = a y + b y + c B A y = A + + Ce a(b A)t Denne formelen kan brukes når a y + b y + c = a(y A)(y B), det vil si andregradsligningen har distinkte røtter. Start betingelser (initial krav) Som oftest studeres differensialligninger der det er gitt initial- eller randbetingelser. Intialbetingelser(startkrav) gir informasjon om den avhengige variabelen ved start: y(x 0 ) = y 0. For. orden differensialligning kan startkravet hjelper å bestemme konstanten C eller k.
30 Noen Eksempler (Startverdi problem) Løs følgende initalverdi problem: dy d t = y, gitt y(0) = 3 gir løsningen: y = y 0e at = 3e t dy d t = y, gitt y(0) = 3 gir løsningen: y = b a + C = + Ce t, og y(0) = 3 gir y = + e t. dy = y(3 y), gitt y(0) = d t dy B A = y(y 3) = a(y A)(y B) gir løsningen: y = A+ d t + Ce = 3 a(b A)t + Ce, 3t 3 og y(0) = gir y(t) = + e. 3t dy d t = (5 y), gitt y(0) = gir løsningen: y = b a + C = 5 + Ce t, og y(0) = 3 gir y = 5 3e t. 5. dy = y(5 y), gitt y(0) = d t dy B A = y(y 5) = a(y A)(y B) gir løsningen: y = A+ d t + Ce = 5 a(b A)t + Ce, 0t 5 og y(0) = gir y(t) = + 4e. 0t Gitt differensiallignignene d y a) d t = 3(0 y) b) d y = 0.05 (0 y) y d t Gitt y(0) = 5. Løs differensialligningene og skisser integralkurvene (tegn en grov skisse av grafen til løsningskurvene). d y = 3(0 y) = 30 3y d t d y d t = a y + b gir y = Ceat b a. Dermed: y(t) = Ce 3t 30 3 = Ce 3t + 0. S(0) = 5 gir C = 5 og dermed: y(t) = 5e 3t + 0. b) d y = 0.05 y(0 y) d t d y B A = a(y A)(y B). Løsning: y(t) = A + d t + Ce a(b A)t
31 S = 0 + Ce 0.5t. S(0) = 5 gir C = og dermed y = y 0 + e 0.5t S 0 t t
32 Noen anvendelser (Startverdi problem) Hvis vi i tillegg til en likning F(x, y, y ) = 0 har gitt at y 0 = y(x 0 ), så sier vi at vi har gitt et startverdi problem. Når vi løser likningen, vil det dukke opp en konstant C eller k (den kommer fra integrasjonen). Ved å bruke y 0 = y(x 0 ), finner en verdi for C eller k. Differensialligning Radioaktiv stråling N = λn Løsning N(t) = N 0 e λt (gitt N(0) = N 0 ) (gir C = N 0 ) Sykdomsspredning N = λ(b N) N = e λt + B (gitt N(0) = N 0 ) (gir C = N 0 B) Logistisk vekst N B = λn(b N) N(t) = + Ce λbt (gitt N(0) = N 0 ) (gir C = B ) N 0
33 Noen anvendelser (modellering) - Radioaktivstråling - Vekstmodeller - Newtonsavkjølingslov dy dt = k y dn = k(b N) dt dn = kn(b N) dt dt dt = k(t T 0) Flere Anvendelser differensiallikning Grafen til løsningskurve T 0 T 0 > T T T 0 < T Temperaturendring dt dt = k(t T ), k > 0 gitt T(0) = T 0 T t Løsning T(t) = T + (T 0 T )e kt
34 Anvendelser differensiallikning Grafen til løsningskurve y y 0 Radioaktiv stråling dy dt = k y gitt y(0) = y 0 Løsning y(t) = y 0 e kt Løsningskurven til dy = 3 y, dt gitty(0) = er tegnet her y(t) = e 3t t y y 0 Sykdomsspredning (vekstmodell) dy = k(b y), k > 0 dt gitt y(0) = y 0 Løsning y(t) = B + (y 0 B)e kt Løsningskurven til dy dt = y, gitty(0) = er tegnet her Grafen viser y(t) = + e t y 0 > B B y 0 < B y t B Sykdomsspredning (vekstmodell) dy = k y(b y), k > 0 dt gitt y(0) = y 0 y B Løsning y(t) = + Ce kt 3 Grafen viser y(t) = + e 3t
35
En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x).
Funksjoner En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Mengden D kalles definisjonsmengden (eng.: domain) til f. Merknad Dersom
DetaljerTMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven
TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven 10.10.09 Lars Sydnes sydnes@math.ntnu.no Institutt for matematiske fag October 1, 2009 L.S. (NTNU) TMA4100: Oversikt October 1, 2009 1 / 20 Kapittel 1: Funksjoner.
DetaljerSammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009
Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A
DetaljerSammendrag R1. 26. januar 2011
Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander
DetaljerSammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009
Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 009 Oppgave 1 Funksjonen g er definert ved g(x)
DetaljerKapittel 2. Antiderivering. 2.1 Derivasjon
Kapittel 2 Antiderivering I dette og neste kapittel skal vi bli kjent med noen typer difflikninger og lære hvordan disse kan løses. Til dette trenger vi derivering og antiderivering. 2.1 Derivasjon I Kapittel
DetaljerEksamen R2, Våren 2011 Løsning
R Eksamen, Våren 0 Løsning Eksamen R, Våren 0 Løsning Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeng) a) Deriver funksjonene
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA0/MA60) Fredag 2. desember 202 Tid: 09:00 3:00 Hjelpemidler: Kode
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 11 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 11 Transcendentale funksjoner Vi begynner nå på temaet transcendentale funksjoner. I dagens forelesning
DetaljerOppfriskningskurs i matematikk 2008
Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-
DetaljerNTNU MA0003. Ole Jacob Broch. Norwegian University of Science and Technology. MA0003 p.1/29
MA0003 Ole Jacob Broch Norwegian University of Science and Technology MA0003 p.1/29 Oversikt, torsdag 13/1 Avsnitt 1.3: intervaller og intervallnotasjon definisjons- og verdimengden til en funksjon Avsnitt
DetaljerMatematikk 1 Første deleksamen. Løsningsforslag
HØGSKOLEN I ØSTFOLD, AVDELING FOR INFORMASJONSTEKNOLOGI Matematikk Første deleksamen 4. juni 208 Løsningsforslag Christian F. Heide June 8, 208 OPPGAVE a Forklar kortfattet hva den deriverte av en funksjon
DetaljerMAT jan jan jan MAT Våren 2010
MAT 1012 Våren 2010 Mandag 18. januar 2010 Forelesning I denne første forelesningen skal vi friske opp litt rundt funksjoner i en variabel, se på hvordan de vokser/avtar, studere kritiske punkter og beskrive
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1101/MA
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 Løsningsforslag, eksamen MA0/MA60 07.2.09 Oppgave La f() = e 4 2 2 8. a) Finn alle ekstremalpunktene til funksjonen
DetaljerLøsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3
Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 27. mai 26 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene [ 2 A 4 B [ 2 og C [ 2
DetaljerEKSAMEN I EMNET Løsning: Mat Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 2015 Tid: 09:00 14:00
Universitetet i Bergen Det matematisk naturvitenskapelige fakultet Matematisk institutt Side 1 av 7 BOKMÅL EKSAMEN I EMNET Mat 111 - Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 15 Tid: 9: 14: Tillatte
DetaljerMatematikk 1 (TMA4100)
Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 6: Derivasjon Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 22. august, 2012 Stigningstallet i et punkt Stigningstallet i et punkt Vi vender nå tilbake til problemet med å finne
DetaljerEksamen R2, Høst 2012, løsning
Eksamen R, Høst 0, løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave ( poeng) Deriver funksjonene a) cos f e Vi bruker produktregelen
DetaljerEksamen R2 høst 2011, løsning
Eksamen R høst 0, løsning Oppgave (4 poeng) a) Deriver funksjonene f e ) Bruker produktregelen for derivasjon, uv uv uv f e e e e ) g sin Bruker kjerneregelen på uttrykket cos der u og g u sinu Vi har
Detaljerdifferensiallikninger-oppsummering
Kapittel 12 differensiallikninger-oppsummering I vår verden endres størrelsene og verdiene som populasjon, vekt, lengde, posisjon, hastighet, temperatur ved tiden eller ved en annen uavhengig variabel.
DetaljerMatematikk 1. Oversiktsforelesning. Lars Sydnes November 25, Institutt for matematiske fag
Matematikk 1 Oversiktsforelesning Lars Sydnes sydnes@math.ntnu.no Institutt for matematiske fag November 25, 2009 LS (IMF) tma4100rep November 25, 2009 1 / 21 Matematikk 1 Hovedperson Relle funksjoner
DetaljerFasit, Kap : Derivasjon 2.
Ukeoppgaver, uke 37, i Matematikk 10, Kap. 3.5-3.8: Derivasjon. 1 Fasit, Kap. 3.5-3.8: Derivasjon. Oppgave 1 a) f (x) =x. Denne eksisterer over alt (det er vanligvis punkter med null i nevner som kan skaffe
DetaljerDen deriverte og derivasjonsregler
Den deriverte og derivasjonsregler Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 3, 2014 Tangenten til en funksjon i et punkt (kap. 2.1) Sekant til en funksjon gjennom to punkter 25 20 f(c+h)
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN
Bokmål UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Løsningsforslag til Eksamen i emnet MAT - Grunnkurs i matematikk I Torsdag 22. mai 28, kl. 9-4. Dette er kun et løsningsforslag.
DetaljerOppsummering TMA4100. Kristian Seip. 26./28. november 2013
Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 26./28. november 2013 Forelesningene 26./28. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis
DetaljerLøsningsforslag: Eksamen i Brukerkurs for informatikere MA 0003, onsdag 30. november 2005
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 8 Løsningsforslag: Eksamen i Brukerkurs for informatikere MA 3, onsdag 3. november 5 Del Oppgave Funksjonen f(x) er
DetaljerBYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8
Innlevering BYFE DAFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 5. april 6 kl Antall oppgaver: 8 Funksjonen ft) er vist i guren over. Funksjonen F x) er denert som for x. F x)
DetaljerKapittel 1. Funksjoner. 1.1 Definisjoner
Kapittel 1 Funksjoner Kurset MAT1001 dreier seg kort sagt om å lage matematiske problemer av virkeligheten og deretter løse problemene. Hittil i kurset har vi allerede møtt mange problemer, og de har så
DetaljerEKSAMEN Løsningsforslag
5..7 EKSAMEN Løsningsforslag Emnekode: ITD5 Dato:. desember 7 Hjelpemidler: - To A-ark med valgfritt innhold på begge sider. - Formelhefte. - Kalkulator som deles ut samtidig med oppgaven. Emnenavn: Matematikk
DetaljerEKSAMEN BOKMÅL STEMMER. DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember :00-13: FAGKODE: IR Matematikk 1
EKSAMEN BOKMÅL DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember 15 9:-13: FAGKODE: FAGNAVN: IR151 Matematikk 1 HJELPEMIDLER: Del 1: kl 9.-11. Ingen Del : kl 11.-13. Lommeregner Lærebok etter fritt valg Matematisk
DetaljerEksamen R2, Våren 2009
Eksamen R, Våren 009 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f xlnx 3 uln x u x 3 u 6u g u g u f x g
DetaljerIR Matematikk 1. Utsatt Eksamen 8. juni 2012 Eksamenstid 4 timer
Utsatt Eksamen 8. juni 212 Eksamenstid 4 timer IR1185 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del 2 uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare
DetaljerOppgave 2 Løs oppgavene I og II, og kryss av det alternativet (a, b eller c) som passer best. En funksjon er ikke deriverbar der:
Oppgave a) Si kort hva deriverte til en funksjon forteller oss. Hva handler deriverbarhet om? b) Er f (x) = deriverbar for alle reelle x-verdier? x Bestem deriverte til f i sin definisjonsmengde. c) Tegn
DetaljerPrøve i Matte 1000 ELFE KJFE MAFE 1000 Dato: 02. desember 2015 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark
Prøve i Matte ELFE KJFE MAFE Dato: 2. desember 25 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Gitt matrisene A = 2 2 3 5 og B = [ 5 7 2 ] Regn
DetaljerEksamen R2 høsten 2014 løsning
Eksamen R høsten 04 løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (3 poeng) Deriver funksjonene a) f x cos3x Vi bruker kjerneregelen
DetaljerIR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer
Eksamen 8. desember 16 Eksamenstid 4 timer IR151 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare bruke
Detaljer3.1 Første ordens lineære difflikninger. y + f(x)y = g(x) (3.1)
Kapittel 3 Differensiallikninger 3.1 Første ordens lineære difflikninger Definisjon 3.1 En første ordens lineær difflikning er en likning på formen y + f(x)y = g(x) (3.1) der f og g er kjente funksjoner.
DetaljerFunksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. august 2011
Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 8. august 20 2 Definisjon av funksjon Definisjon En funksjon er en regel f som til et hvert tall i definisjonsmengden
DetaljerEksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 30. mars 2007 Tidspunkt Antall oppgaver 4 Sirkelskive i radianer.
Eksamen i FO99A Matematikk Underveiseksamen Dato 30. mars 007 Tidspunkt 09.00-14.00 Antall oppgaver 4 Vedlegg Tillatte hjelpemidler Sirkelskive i radianer Godkjent kalkulator Godkjent formelsamling Oppgave
DetaljerMatematikk 1 (TMA4100)
Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 7: Derivasjon (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 23. august, 2012 Den deriverte som momentan endringsrate Den deriverte som momentan endringsrate Repetisjon
DetaljerSammendrag kapittel 9 - Geometri
Sammendrag kapittel 9 - Geometri Absolutt vinkelmål (radianer) Det absolutte vinkelmålet til en vinkel v, er folholdet mellom buelengden b, og radien r. Buelengde v = b r Med v i radianer! b = r v Omregning
DetaljerOppsummering TMA4100. Kristian Seip. 17./18. november 2014
Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 17./18. november 2014 Forelesningene 17./18. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis
DetaljerLøsningsforslag. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver teller like mye.
Eksamen i FO929A - Matematikk Dato: 2013 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 3 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver teller
DetaljerR1 eksamen høsten 2015 løsning
R1 eksamen høsten 15 løsning Løsninger laget av Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) f
DetaljerAlle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.
Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom
DetaljerHeldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag
Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være
DetaljerFremdriftplan. I går. I dag. 1.1 Funksjoner og deres grafer 1.2 Operasjoner av funksjoner
1 Fremdriftplan I går 1.1 Funksjoner og deres grafer 1.2 Operasjoner av funksjoner I dag 1.3 Trigonometriske funksjoner 1.4 Eksponentialfunksjoner 1.5 Omvendte funksjoner, logaritmiske funksjoner, inverse
DetaljerMATEMATIKK FOR REALFAG PROGRAMFAG I STUDIESPESIALISERENDE UTDANNINGSPROGRAM
MATEMATIKK FOR REALFAG PROGRAMFAG I STUDIESPESIALISERENDE UTDANNINGSPROGRAM Fastsatt som forskrift av Utdanningsdirektoratet 27. mars 2006 etter delegasjon i brev 26. september 2005 fra Utdannings- og
DetaljerMAT Vår Oblig 2. Innleveringsfrist: Fredag 23.april kl. 1430
MAT 00 Vår 00 Oblig Innleveringsfrist: Fredag 3.april kl. 430 Oppgaven leveres stiftet med forsideark på ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt i 7. etg. i Niels Henrik Abels hus innen fristen.
DetaljerLøsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 2005
Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 5 Beregn grenseverdien Oppgave 1 (x 1) ln x x x + 1 Svar: Merk at nevneren er lik (x 1), så vi kan forkorte (x 1) oppe og nede og får (x 1) ln x ln x
DetaljerHøgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 25. mai 2012
Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 25. mai 2012 EKSAMEN I MATEMATIKK 2 Modul 1 15 studiepoeng Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 8 sider (inkludert formelsamling).
DetaljerLøsningsforslag. Prøve i Matematikk 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 29. mai 2017 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Oppgave 1 Gitt matrisene.
Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 29. mai 27 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene A = 2 2 B = [ 2 3 4 ] og C = Regn ut, om mulig, summene A + B, A + B T og A +
DetaljerTMA4100 Matematikk1 Høst 2008
TMA400 Matematikk Høst 008 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 4 4..3 Vi skal finne absolutt maksimum og absolutt minimum verdiene for funksjonen
DetaljerGrunnleggende notasjon ℕ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, ℤ =, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,
Grunnleggende notasjon ℕ,, 3, 4, 5, 6, ℤ, 3,,, 0,,, 3, ℝ 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑟𝑒𝑒𝑙𝑒 𝑡𝑎𝑙𝑙 ℚ 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑟𝑎𝑠𝑗𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒 𝑡𝑎𝑙𝑙 𝑎 𝑎, ℤ, 0 Induksjonsprinsippet Anta at for hver 𝑛 ℕ har vi gitt et utsagn 𝑃. Anta videre at vi vet at følgende
DetaljerFremdriftsplan for sommerkurset 2014 Planen er ment som et utgangspunkt, kan justeres underveis
Oldervoll m.fl. Sinus matematikk, Forkurs grunnbok, Cappelen Jerstad m.fl. Rom-Stoff-Tid, Forkurs grunnbok, Cappelen. Øving: EN/MMT (D3-11), PD (D3-15), EA/DA (D3-17) Fremdriftsplan for sommerkurset 2014
DetaljerOppsummering TMA4100. Kristian Seip. 16./17. november 2015
Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 16./17. november 2015 Forelesningene 17./18. november Denne forelesningen beskriver de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 noen tips for
DetaljerLøsningsforslag Eksamen M100 Våren 2002
Løsningsforslag Eksamen M00 Våren 00 Oppgave Evaluerer grensen cos( ) 0 ( sin( ) ) 0 6 0 6 5 0 sin( ) 0 sin( ) = Har brukt l Hôpitals regel (derivert teller og nevner hver for seg) i første og tredje overgang.
Detaljer1 MAT100 Obligatorisk innlevering 1. 1 Regn ut i) iii) ii) Regn ut i) ii)
1 MAT1 Obligatorisk innlevering 1 1 Regn ut 3 7 + 1 2. i) 13 14 ii) 11 14 iii) 9 14 2 Regn ut 8 9 + 3 4. i) 57 36 ii) 59 36 iii) 61 36 3 Regn ut 1 4 + 1 8. i) 3 16 ii) 3 8 iii) 5 8 4 Regn ut 1 8 + 1 16.
DetaljerFunksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 19. august 2010
Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. august 200 2 Funksjon som en maskin x Funksjon f f(x) 3 Definisjon- og verdimengde x f(x) 4 Funksjon som en
DetaljerFunksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner
Test, 4 Funksjoner Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjonstyper... 14 4.4 Vekstfart og derivasjon... 0 4.5 Drøfting av funksjoner på grunnlag av egenskaper hos den
Detaljervære en rasjonal funksjon med grad p < grad q. La oss skrive p(x) (x a)q(x) = A
MA 4: Analyse Uke 46, http://homehiano/ aasvaldl/ma4 H Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 73: Først skal vi delbrøkoppspalte (se Eksempel 5 side 558 i boka) 3t
DetaljerOppsummering MA1101. Kristian Seip. 23. november 2017
Oppsummering MA1101 Kristian Seip 23. november 2017 Forelesningen 23. november Denne forelesningen beskriver de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i MA1101 noen tips for eksamensperioden
DetaljerTRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD
TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD Abstract. Oppgaven tar for seg utvalgte temaer innenfor trigonometri, og retter seg mot lærere som skal undervise i fagene 1T og R2. Date: May 7,
DetaljerLøsningsforslag: Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I
Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 8. desember 006. Bokmål Løsningsforslag: Eksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag desember 8, 006, kl. 09-4. Oppgave Gitt funksjonen f(x) = ln(
DetaljerOversikt over Matematikk 1
1 Oversikt over Matematikk 1 Induksjon Grenser og kontinuitet Skjæringssetningen Eksistens av ekstrempunkt Elementære funksjoner Derivasjon Sekantsetningen Integrasjon Differensialligninger Kurver i planet
DetaljerEKSAMEN. Ingeniør- og Fleksibel ingeniørutdanning.
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Matematikk. EMNENUMMER: REA42/REA42F EKSAMENSDATO: Mandag 9. august 2 KLASSE: Ingeniør- og Fleksibel ingeniørutdanning. TID: kl. 9. 3.. FAGANSVARLIG: Hans Petter Hornæs
Detaljer3 Funksjoner R2 Oppgaver
3 Funksjoner R Oppgaver 3.1 Trigonometriske definisjoner... 3. Trigonometriske sammenhenger... 6 3.3 Trigonometriske likninger... 1 3.4 Trigonometriske funksjoner og funksjonsdrøfting... 14 3.5 Omforming
DetaljerEksamensoppgave i MA1101 Grunnkurs i analyse
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA1101 Grunnkurs i analyse Faglig kontakt under eksamen: Kari Hag Tlf: 48 30 19 88 Eksamensdato: 15. oktober 018 Eksamenstid (fra til): 17:30 19:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerEksamen R2 Høsten 2013 Løsning
Eksamen R Høsten 03 Løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (3 poeng) Deriver funksjonene a) f 5cos Vi bruker produktregelen
DetaljerOppfriskningskurs i matematikk Dag 1
Oppfriskningskurs i matematikk Dag 1 Petter Nyland Institutt for matematiske fag Mandag 6. august 2018 Om meg Bachelor- og mastergrad i matematiske fag (2014, 2016) Doktorgradsstipendiat i matematikk (2016
DetaljerLøsningsforslag. f(x) = 2/x + 12x
Prøve i FO929A - Matematikk Dato: august 212 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (2 deloppgaver) Antall sider: 3 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver
DetaljerHøgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 23. mai 2014
Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 23. mai 2014 ORDINÆR EKSAMEN I MATEMATIKK 2 Modul 1 15 studiepoeng Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 7 sider (inkludert
DetaljerArne B. Sletsjøe. Oppgaver, MAT 1012
Arne B. Sletsjøe Oppgaver, MAT 101 1 En-variabel kalkulus 1.1 I de følgende oppgavene, i) finn alle kritiske punkter til f(x), ii) beskriv monotoniegenskapene til funksjonene ved å se på fortegnet til
DetaljerLogaritmer og eksponentialfunksjoner
Logaritmer og eksponentialfunksjoner Harald Hanche-Olsen og Marius Irgens 20-02-02 Dette notatet ble først laget for MA02 våren 2008. Denne versjonen er omskrevet for MA02 våren 20. Du vil oppdage at mange
DetaljerLøsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100
Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 00 Dato: Tirsdag /0, 00 Tid: Kl. 9.00-.00 Vedlegg: Formelsamling Tillatte hjelpemidler: Ingen Oppgavesettet er på sider Eksamen består av 0 spørsmål. De 0 første
DetaljerMA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger
Høgskolen i Agder Avdeling for realfag MA40: Analyse - Notat om differensiallikninger Dato: Høsten 2000 Merknader: Dette notatet kommer i tillegg til 4.2 og 6. i læreboka. Ma 40: Analyse skal inneholde
DetaljerLøsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 10
Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 0 I kapittel 0 får du trening i å løse ulike typer differensialligninger, og her får du bruk for integrasjonsteknikkene du lærte i forrige kapittel. Men
DetaljerLøsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Oppgave 1 Løs ulikheten x + 6 5 x + 2 Strategien er å
Detaljerlny = (lnx) 2 y y = 2lnx x y = 2ylnx x = 2xlnx lnx
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4100 Matematikk 1 høsten 2012 Løsningsforslag - Øving 2 Avsnitt 3.7 95 Vi antar at > 0 og får Avsnitt 3.8 6 a) 2π/3 b) π/4 c) 5π/6 ln = (ln) 2 = 2ln = 2ln = 2ln ln.
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN, MAT 1001, HØSTEN (x + 1) 2 dx = u 2 du = u 1 = (x + 1) 1 = 1 x + 1. ln x
LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN, MAT 00, HØSTEN 06 DEL.. Hvilken av funksjonene gir en anti-derivert for f(x) = (x + )? Løsning. Vi setter u = x +, som gir du = dx, (x + ) dx = u du = u = (x + ) = x + a) x+ b)
DetaljerNotat om trigonometriske funksjoner
Notat om trigonometriske funksjoner Dette notatet ble først skrevet for MA000 våren 005 av Ole Jacob Broch. Dette er en noe omarbeidet versjon skrevet høsten 0. Radianer Anta at en vinkel A er gitt, f.eks
Detaljer1 Mandag 1. februar 2010
Mandag. februar 200 I dag skal vi fortsette med rekkeutviklinger som vi begynte med forrige uke. Vi skal se på litt mer generell rekker og vurdere når de konvergerer, bl.a. gi et enkelt kriterium. Dette
Detaljer9 + 4 (kan bli endringer)
Innlevering DAFE ELFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 4 Innleveringsfrist Onsdag 29. april 25 Antall oppgaver: 9 + 4 (kan bli endringer) Finn de ubestemte integralene a) 2x 3 4/x dx b) c) 2 5
DetaljerBYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 4 Innleveringsfrist Fredag 11. mars 2016 Antall oppgaver: Løsningsforslag
Innlevering BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 4 Innleveringsfrist Fredag 11. mars 2016 Antall oppgaver: 10 + 1 Løsningsforslag 1 Hvilken av de to funksjonene vist i guren er den deriverte
DetaljerAlle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.
Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom
DetaljerTMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010
TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010 Toke Meier Carlsen Institutt for matematiske fag 30. september 2010 2 Fremdriftplan I går 5.5 Ubestemte integraler og substitusjon
Detaljerx 2 2 x 1 =±x 2 1=x 2 x 2 = y 3 x= y 3
Obligatorisk om funksjonar og deriverte Oppgåve f 3 f = ±, =R Funksjonen f er ein parabel med botnpunkt på (,y) = (0,3) og definisjonsmengda er difor heile tallinja. Sidan f = f er funksjonen symmeterisk
DetaljerLøsningsforslag for Eksamen i MAT 100, H-03
Løsningsforslag for Eksamen i MAT, H- Del. Integralet cos( ) d er lik: Riktig svar: b) sin( ) + C. Begrunnelse: Vi setter u =, du = d og får: cos( ) d = cos u du = sin u + C = sin( ) + C. Integralet ln(
Detaljera) Blir produktet av to vilkårlige oddetall et partall eller et oddetall? Bevis det.
Prøve i R1 04.1.15 Del 1 Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Husk å begrunne alle svar. Det skal gå klart frem av besvarelsen hvordan du har tenkt. Oppgave
DetaljerHeldagsprøve R
Heldagsprøve R - 7.04. Løsningsskisser Versjon 03.05. Del - Uten hjelpemidler Oppgave a) Deriver funksjonene: ) fx x ln x ) gx 3 cos4x 3) hx ax ln x ) Produktregel: f x x ln x x x x ln x x x ln x ) Kjerneregel:
DetaljerLøsningsforslag MAT102 Vår 2018
Løsningsforslag MAT102 Vår 2018 Universitetet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT102 Tirsdag 12 juni 2018, kl 0900-1400 Oppgavesettet har fem oppgaver Hver deloppgave
DetaljerMatematikk R1 Oversikt
Matematikk R1 Oversikt Lars Sydnes, NITH 20. mai 2014 I. ALGEBRA ANNENGRADSLIGNINGER Annengradsformelen: ax 2 + bx + c = 0 x = b ± b 2 4ac 2a (i) 0 løsninger hvis b 2 4ac < 0 (ii) 1 løsning hvis b 2 4ac
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i fag MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I Høst 2008
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 9 Løsningsforslag til eksamen i fag MA111/MA611 Grunnkurs i analyse I Høst 2 Oppgave 1 Funksjonen g er definert ved
DetaljerEksempelsett R2, 2008
Eksempelsett R, 008 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f x x cosx f x cosx x s x f x cosx 6x sinx
DetaljerLøsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2
Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 1. juni 2012 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 2 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver
DetaljerR2 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka
R kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka E Bruker formelen cos 36 cos( 8 ) E sin 8 v og sin8 5 cos v sin sin8 5 5 6 5 5 8 5 5 8 6 5 8 6 5 8 8 3 5 5 5 a f ( ) sin 5 cos f ( ) 5cos
Detaljer