LÆRERENS BOK MATEMATIKK FOR UNGDOMSTRINNET

Transkript

1 9 LÆRERENS BOK MATEMATIKK FOR UNGDOMSTRINNET Grete Normann Tofteberg Janneke Tangen Ingvill Merete Stedøy-Johansen Bjørnar Alseth

2 Innhold Dette er Maximum.... III Grunnleggende ferdigheter.... III Grunnbok... IV Oppgavebok... V Lærerens bok.... V Digitale komponenter.... V Lærerrommet.... VI Underveis- og sluttvurdering... VI Kompetansemål og læringsmål.... X Emneoversikt... XII Forslag til årsplan....xiii 1 Tallregning...6 Prosent....8 Potenser og kvadratrot....8 Tierpotenser og tall på standardform...4 Tallmengder....5 Kort sagt...57 Bli bedre Tren tanken...65 Funksjoner Lineære funksjoner rette linjer Empiriske og ikke-lineære funksjoner Kort sagt Bli bedre Tren tanken Mål og enheter Regning med tid Målenheter....1 Nøyaktighet og avrunding Forholdsregning Sammensatte enheter Kort sagt Bli bedre Tren tanken Geometri og beregninger Areal og omkrets Sirkelens geometri...0 Tredimensjonale geometriske figurer 16 Kort sagt...8 Bli bedre Tren tanken Sannsynlighet og kombinatorikk Enkle sannsynligheter Kombinatorikk Kort sagt...78 Bli bedre Tren tanken...8 II Maximum 9 Lærerens bok

3 Dette er Maximum I læreverket Maximum har vi ønsket å gi elever variert og grundig matematikklæring. Læreverket legger opp til både samarbeidslæring og individuell læring. Vi har tro på at varierte tilnærminger vil motivere flere elever til å være aktive og deltagende i egen matematikklæring. Matematikk er et kreativt fag, teoretisk og strengt oppbygd, men logisk og meningsfylt. For å bli god i matematikk, må man kunne diskutere, resonnere, dele ideer, se det generelle i det spesielle samt gå via det kjente til det ukjente. Matematikk er et anvendt fag som kan gi rom for ulike tolkninger og et fag under stadig utvikling: Nye teorier legges til og kommer til anvendelse, men de gamle teoriene er fortsatt like gyldige. De nye teoriene blir en utvidelse og erstatter ikke det vi allerede har/allerede vet. Matematikk handler om mønstre, sammenhenger og systemer og har dessuten et strengt oppbygd språk. Maximum legger særlig vekt på tre aspekter: Å arbeide praktisk, utforskende og kreativt gjennom varierte aktiviteter. Å gi tilpasset opplæring innenfor et læringsfellesskap. Tydelig på grunnleggende ferdigheter og faglig progresjon i tråd med revidert læreplan. I Maximums oppbygning skapes en overgang fra det praktiske, utforskende og kreative arbeidet, til en gradvis økt fokusering på et mer spesifikt fagstoff. Lærestoffet introduseres som regel nokså konkret, så blir fokuset mer på det abstrakte og formelle etter hvert. Læreverkets oppbygning, med veksling mellom aktiviteter og øving på faktakunnskaper og ferdigheter, er med på å tydeliggjøre sammenhengen mellom forståelse, ferdigheter og anvendelse. Aktivitetene tjener både som grunnlag for økt forståelse i de emnene kapitlene fokuserer på, samtidig som elevene får oppleve at de får brukt sine matematiske kunnskaper og ferdigheter i praktiske situasjoner. Grunnleggende ferdigheter Maximum legger opp til mangfoldig opplæring i de grunnleggende ferdighetene. Regneferdigheter Fokuset på grunnleggende regneferdigheter er stort gjennom hele verket. Elevenes regneferdigheter utvikles ved å bruke matematiske begrep, fremgangsmåter og varierte strategier for å løse et vidt spekter av både matematiske og praktiske utfordringer. Å lære elever å stoppe opp ved egne løsninger, og å reflektere over og sjekke om løsningene er realistiske, er viktig. Å ta i bruk hensiktsmessige hjelpemidler i beregninger, modellering og kommunikasjon av prosess og resultat øves opp. Muntlige ferdigheter Elevene deltar i muntlige diskusjoner, gjennomganger og utveksler erfaringer med hverandre. Å arbeide med matematikk muntlig må gjøres jevnlig og ofte. Det er nødvendig å la elevene snakke matematikk og å sette ord på egne tanker, strategier og forståelse ut fra det de allerede kan. Da blir elevene bevisst på hva de kan fra før, og bygger på dette for å nå nye mål. For å tilpasse opplæringen trenger læreren også denne informasjonen. Det er derfor viktig at det vises interesse for ulike måter å tenke, argumentere og løse oppgaver på. Å stille spørsmål, kommunisere ideer og drøfte løsningsstrategier med andre. Samtalen foregår både mellom elev og lærer og mellom elevene selv. Når det blir vanlig å snakke matematikk vil elevene bli tryggere i egen begrepsbruk og får en mer presis fagterminologi. Hør etter hvordan elevene snakker om ulike tema, hvilke ord og begreper de er fortrolige med og hva som er utfordrende. La elevene snakke om matematikkordene og diskutere forklaringer på hva ordene betyr. Skriftlige ferdigheter Elevene lærer å beskrive og forklare tankene sine ved bruk av matematiske symboler og det matematiske språket gjennom fagtekster og eksempler med forslag til føring. Vi regner uten benevning, men oppgir alltid et benevnt og tekstet svar til slutt, der oppgaven krever det. La elevene bruke skisser og tegninger for å utvikle egne tanker videre og som redskap for å løse problemer. Elevenes skriveferdighet med bruk av matematisk notasjon og presis fagterminologi øves gjennom alle deler av boka. Leseferdigheter Fokus på forståelse ved å lære seg å lese og tolke eksempler, fagtekst og tekstoppgaver er stor. Elevene møter sammensatte tekster med matematiske uttrykk, grafer, diagram, tabeller, symboler, formler og logiske resonnement. Vær sammen med elevene i fagtekst og eksempler, les sammen, forklar ord og begreper som er ukjente. Varier ved å lese høyt, stille, to og to eller i små grupper etter tekstens kompleksitet. Elevene må arbeide systematisk med leseforståelse ved å lese og forklare og diskutere tema. Dette kan gjøres ved at elevene trekker frem ord og begreper i tekstene, og samarbeider om å finne forklaringer på disse. Snakk om hvordan elevene kan gripe an, finne og sortere informasjon i ulike matematikktekster. III

4 HER SKAL DU L kjenne igjen Hoderegning og overslag Digitale ferdigheter Grunnbok elevene får bruke fremgangsmåter Når du skal regne med prosent i hodet, kan det være lurt å tenke på prosent Elevenes digitale ferdigheter blir Maximum Grunnbok er elevenes bok. de som brøk. forstår og er fortrolige med. jevnlig og gjennomgående utviklet Vi ønsker at elevene skal lære å lese kjenne igjen Eksempel 1 0? 00 gjennom bruk av digitale verktøy til fagtekster og eksempler, og gjennom av lineære f Finn 75 % av % 50 % 75 % 100 % utforsking og problemløsning, til disse få grunnlag for å samtale om Løsningsforslag lage verdita analyse, modellering, beregning, matematikk og løse oppgaver. Boka Vi vet at 5 % er 1 4, da må 75 % være 4. bestemme o av 00 er halvparten av 00 pluss firedelen av 00. behandling og presentasjon av data. inneholder mange elementer som går 4 Det blir: = 5 Gjennom Maximum læres elevene igjen, og som tilfører innhold på ulikt opp til bruk av digitale verktøy som vis: 1. Skriv prosent som brøk og omvendt. En funksjon e kalkulator, regneark, dynamiske Ordforklaringene skal hjelpe a 40 % c 60 % e graftegnings- og geometriprogrammer og bruk av databaser for å finne samtalebilde knyttet til en problem- uttrykk og andre ord som er sjeldne Startoppslaget inneholder et elevene til å forstå nye faglige som kan ha u b d 4 f 87,5 % 8 5 informasjon. Elevene må ha erfaring løsningsoppgave. Oppgaven er ment eller 1.4 Regn krevende i hodet. Forklar hvordan på du andre tenker ved hjelp måter. av skriftlig hoderegning. a 40 % av 500 d 75 % av 80 g 0 % av 15 med bruk av digitale medier og som en samtaleoppgave og «teaser», en smakebit på hva kapitlet Lineære funksjonsverdi b 66,7 % av 10funksjoner e % av 900 For h 80 % at av 50det skal væ verktøy for selv å kunne vurdere og c 90 % av 60 f 8 % av 50 i 5 % av 190 rette tallsvaret linjer du får samme tall. Vi sie gjøre hensiktsmessige valg av inneholder. Det er viktig å formidle til Mål 1.5 når En bok du koster setter 50 kr. inn Du får 40 % rabatt. variere, det samm rabatt det samme redskap for læring, modellering, elevene at hvis de ikke får til en verdi for x HER SKAL Regn DU i hodet. LÆRE Å prisavslag kjenne Hvor igjen mye må og finne du betale formler boka? for rette linjer problemløsning og presentasjon. oppgaven med en gang, er det et mål hastighet som fun kjenne igjen situasjoner fra dagliglivet som kan beskrives ved hjelp at de skal klare den etter at de har Regler av lineære funksjoner og definisjoner løftes lage verditabell og tegne graf ut fra formelen for rette linjer Læringssyn jobbet seg gjennom kapitlet. Derfor tydelig bestemme frem om et punkt i ligger egne på en gitt rammer. rett linje En funksjon kan b Maximum Eksempel legger et sosiokonstruktivistisk læringssyn til grunn. Elevene denne oppgaven mot slutten av 1 Med ord: 17 er det naturlig å komme tilbake til Kapittel 1 Tallregning 9 En funksjon er en regel som viser sammenhengen mellom størrelser som kan ha ulike verdier, og som er avhengig av hverandre. konstruerer sin egen kunnskap i arbeidsperioden. Det er også en liste Funksjonen tredo funksjonsverdi Et rom skal være 4,0 m langt og,0 m bredt. Hvor mye mindre blir For at det skal være en funksjon, kan det ikke være flere funksjonsverdier til tallsvaret du får samme tall. Vi sier at funksjonen må være entydig. Symbolet for funksjonen kan samhandling med andre. Læringen med matematikkord på startoppslaget. Denne kan brukes i en matema- hint og påminnelser til elevene, og når du setter inn variere, Snakkeboblene det samme kan navnet på variabelen. kommuniserer For eksempel brukes og v(t) for arealet hvis vi måler 5 % for kort på lengdene? trekker tips, tallet 1 en verdi for x hastighet som funksjon av tiden. foregår i elevens eget hode, i et En funksjon kan beskrives på mange måter: sosialt samspill med andre. Alle tisk samtale for å bevisstgjøre 1 skal Med ord: bidra til å vise sammenhenger Som formel eller funksjonsuttrykk: Løsningsforslag: i Funksjonen tredobler et tall f(x) = x 1 elever er ressurser i læringsfellesskapet der det produseres kunnskap. det er et mål å lære seg. elevene på hva de kan fra før, og hva og faget. trekker tallet 1 fra svaret. Her er f symbolet for funksjonen, og x symbolet for variabelen. Som graf: 4 Som verditabell: Læreverket legger opp til både Som graf: y akse 6 samarbeidslæring og individuell Målt lengde: 4,0 m Smart 0,95 = Vurdering,8 m 5 % mindre x gir x 1 f(x) 5 førtest hjelper 1 ( 1) 1 = 1 4y akse 4 vekstfaktor 0, læring. Elevene må utfordres på et eleven og læreren til å sette både 6 Målt bredde:,0 m 0,95 = 1,9 m = 1 1 x akse 0 1 = nivå de kan mestre med en rimelig kollektive og individuelle mål, før Blandinger 4 grad av anstrengelse. Alle elever har klassen går i gang med kapitlet. 4 5 krav på tilpasset opplæring og å få Skal vi blande Figurer saft, 6 vil forholdet og hjelpetegninger mellom saft og vann være som et mål på hvor Forskjell i areal: 8,0 7, = 0,8 68sterk Maximum blandingen 9 er. utfordringer tilpasset sin nærmeste Læringsmålene i begynnelsen av støtte for forståelsen av begreper. 1 utviklingssone. Ved 5 % for korte lengder hvert delkapittel, blir arealet tar ca. utgangspunkt 0,8 m mindre Tegningen viser Halvkonkrete forholdet mellom tegninger saft og vann som og 1 figurer del saft og 6 deler 0 vann, 1 : 6. Det blir til sammen 7 deler utblandet saft. i kompetansemålene i læreplanen. kan sikre bedre forståelse i ulike Elevenes egne mål for læringen og Elevene skal selv kunne vurdere problemstillinger. Videre kan læringsfremmende vurdering med i hvilken grad målene er nådd, og Eksempel 1halvabstrakte ikoner som tellestreker, med totaktsmotor prikker osv. bruker være en blanding viktig av støtte olje og for tilbakemeldinger og fremovermeldinger, er nødvendige for at alle elever med å nærme seg høy grad av Til 5 L bensin begrepsforståelsen skal det fylles 1 dl olje. frem mot det kjenne igjen hvordan de arbeider En scooter 4 bensin. 5 skal forstå.69 hva de skal Hvor lære mye og mindre blir arealet måloppnåelse. Prosent om vi måler 10 % for kort på a hver Finn forholdet av abstrakte lengdene? mellom symbolspråket. olje og bensin. Ulike elever 6 hvorfor. Å hjelpe elever til å sette b Hvor mye trenger olje trengs i ulik det hvis grad det støtte fylles L på bensin veien på tanken? fra Mål a Et soverom på m m. c En idrettshall på 5 realistiske mål for læringen, er et av 68 m 70 HER SKAL DU LÆRE Å det konkrete Maximum m. til det 9abstrakte Løsningsforslag regne med prosent og promille, med og uten digitale hjelpemidler lærerens viktigste oppgaver. b Et klasserom på 9 m 7 m. tolke og regne med prosentpoeng d En åker på 50 m symbolspråket. 50 m. a 5 L = 50 dl e En stat i USA på 600 km 450 km. olje Når du regner med prosent, regner du egentlig med brøk. Siden prosent betyr «av Elevsyn 1 bensin = 1 50 hundre», vet du at = 1 %. Når vi regner prosent, regner vi alltid prosent av noe. 100 Maximum har tro på at elever vil Fagtekstene Derfor er prosenten avhengig forklarer av hva den regnes av. f En provins i Canada på 700 km 1100 km. og begrunner Forholdet mellom olje og bensin er 1 : 50 lære. De må delta aktivt i sin egen det 1.1 faglige Beskriv den fargede innholdet, delen av figuren som og brøk, gir som desimaltall elevene og som prosent. læring og hele tiden vite hva målet trening i å lese matematisk tekst. a b Vi kan illustrere dette ved å tegne opp en dobbel tallinje. for opplæringen er. Elevene må være b Aktiviteter Bensin.70 Hvor mye større blir volumet om vi måler 5 % for langt på hver av sidene? har flere formål. De skal 0 L L 5 L delaktig i å sette seg mål for Eksemplene c viser veien fra problemstilling m, d lengde til 4,0 løsning. m, og Det høyde er den,4 m. 0 dl? L 1 dl inspirere og motivere og samtidig gi læringsarbeidet og a være Et rom deltagende med bredde,0 elevene en alternativ innfallsvinkel Olje e i å velge læringsaktiviteter som fører delen av eksempelet som føres på til fagstoffet. Noen aktiviteter er b En eske med bredde 5 cm, lengde 70 cm og høyde 40 cm. Forholdet mellom olje og bensin kan vi lese ut av den dem mot målet. Å hjelpe elevene å rutenett 1. Tegn figurer som tilsvarende er figurene eksemplarisk i 1.1. Hvor mye er i egnet til å utforske matematikken, doble tallinja. Da vil hver liter bensin kreve 1 dl eller 0, dl olje. a halvdelen halv d 50 % av 50 % 5 sette seg realistiske c mål En og boks å være med bredde forhold,50 cm, til kravene lengde 6,75 til elevenes cm og føring. høyde,45 mens cm. andre gir elevene mengdetrening på en alternativ måte. Lærerens b en femdel av en firedel e 0 % av 5 % Til L bensin trengs det da 0, dl = 0,6 dl olje bevisst egen læring, sikrer en mer Unntak c en firedel fra av dette en femdel kan forekomme f 5 % av 0 % meningsfull matematikkopplæring innenfor konstruksjon og diagrammer. Eksemplene må sees på som hvert oppslag. bok inneholder flere aktiviteter til for hver elev. løsningsforslag. Det er viktig at 8 Maximum 9 IV Maximum 9 Lærerens bok 164 Maximum 9

5 Aktivitet Kort sagt oppsummerer det faglige Oppgavebok innholdet i kapitlet ved å vise Maximum Oppgavebok tilfører flere eksempler tilknyttet hvert av og enda mer varierte oppgaver. Hele Fordeling av drops læringsmålene. Når elevene har oppgaveboka er merket med de kommet hit, er det naturlig å gjennomføre samme fargekodene som brukes i Arbeid sammen i grupper på tre. midttesten, foreta en grunnboka. Hvert kapittel er delt i to Hvordan kan sju drops fordeles mellom tre elever Eksempel egenvurdering og sette seg mål for hoveddeler. Først finner du en del hvis alle skal få minst ett hver? det videre arbeidet. med fargemerkede oppgaver direkte Varierte Dere Eksempel trenger oppgavetyper skal tilknyttet delkapitlene og rekkefølgen i grunnboka. Disse kan brukes plastbrikker Gjennomsnittsfarten som «drops» på en etappe Kort i sagt en stafett var,5 m/s. stimulere elevenes kreativitet, ulike papir Hvor og blyant fort er dette målt i km/h? Du skal kunne Eksempel Løsningsforslag grunnleggende ferdigheter og parallelt med grunnboka til for måle og beregne a Finn omkretsen av rektanglet. a O = l + b Gjennomsnittsfarten på en etappe i en stafett var,5 m/s. omkretsen av = cm + cm Eksempel kompetanser Fremgangsmåte 19 kjente geometriske = 10 cm i faget. Muntlige figurer eksempel lekser. I Lærerens bok cm Finn 1 forholdet Fordel Hvor mellom dropsene/plastbrikkene lengden ferdigheter og Løsningsforslag fort av er lekebil dette som mellom er 8 målt cm lang, dere. og i kommunikasjonskom-petanse km/h? finner du henvisning til disse en virkelig bil som er 448 cm lang. cm Fordel de sju dropsene slik at alle får minst ett drops hver. Eksempel Løsningsforslag trenes I 1 gjennom time er gruppesamtaler og klassesamtaler Løsningsforslag tabell som viser alle de det 60 minutter, og i 1 Elev b Finn omkretsen minutt 1 av trekanten. Elev er b Omkrets det 60 Elev = summen sekunder. av sidene oppgavene på hvert oppslag. Den O = cm + 5 cm + 6 cm Lag en systematisert Forholdet mellom lengdene 8 : 448. Vi skriver forholdet med 1ulike = 14 cm 5 cm cm på måtene enkleste å måte: fordele Da sju er drops det på s = 600 s i 1 time. siste delen av hvert kapittel inneholder Blandede oppgaver, og er tenkt utgangspunkt i oppgavene. Tekstoppgaver 448 : 8 og = 16 Når vi sammenlikner 8 : Gjennomsnittsfarten I 1 time er det 60 8 = 1 på minutter, en etappe og i i en 1 minutt 6 cm stafett er var det,560 m/s. sekunder. Hvor mange ulike fordelinger finner dere? to størrelser, må vi bruke måle og samme beregne a Finn arealet av parallellogrammet. a A = cm cm = 6 cm Hvor oppgaver Da fort med diagrammer og målenhet. Gjennomsnittsfarten det dette 60 målt 60 s i = km/h? 600 er,5 s i 1 time. brukt i kombinasjon med Bli bedre i 600 = 9000 m/h (meter arealet av kjente 4 Bruk oversikten i tabellen deres. geometriske per time). Forholdet tabeller mellom lengden trener av lekebilen elevene og lengden i av den figurer: cm Finn virkelige sannsynligheten bilen er 1 : 16 for at elev 1 får fem drops. Smart Vurdering midtveistest grunnboka, eller til repetisjon. kvadrat cm rektangel grunnleggende Finn sannsynligheten leseferdigheter. at elev bare I får ett drops. Løsningsforslag Det er 1000 m i 1 km. hjelper parallellogram eleven b Finn arealet av og trekanten. læreren b A = til å sette Gjennomsnittsfarten er,5 600 = 9000 m/h 4 cm cm = 4 cm (meter trekant trapes Finn sannsynligheten for at elev får mer fire drops. per time). tillegg er det mange oppgaver som mål for den siste cm delen av arbeidet Lærerens bok Finn sannsynligheten for at elev 1 og elev til sammen.78 gir tilstrekkelig I 1 Skriv forholdene mellom mengdetrening time er 60 røde Gjennomsnittsfarten og grønne kuler på enklest innen minutter, og i 1 minutt er det 60 sekunder. mulig måte. målt i km/h er cm får færre drops enn Det elev er m i 1 km. med et kapittel. Elevene 1000 = 9 og læreren Maximum Lærerens bok er den boka Forkort med største felles faktor. grunnleggende Da regnetrening. er det s = 600 s i 1 time. 1 m/s = 600 m c Finn arealet av trapeset. c A = Finn sannsynligheten for at elev får flere enn to drops. kan sammen vurdere 1000 s a b c d e.51 To størrelser x og y er proporsjonale. Gjennomsnittsfarten Sant eller usant? målt er 9 i km/h er 9000 hvilke (a + b) h cm (4 = områder cm + cm) cm du holder i hånda nå. Gjennom cm =,6 km/h 1000 = 9 = 7 cm 5 Lag to egne sannsynlighetsoppgaver til tabellen deres. som er forstått og hvilke deler 4 cm av Lærerens bok får du forklaringer og 1 Bytt Når x oppgaver blir halvert, så med blir y halvert. annen gruppe. Gjennomsnittsfarten er kapittelet,5 600 og hvilke = 9000 oppgaver m/h (meter fra Bli per time). begrunnelser til hvordan 1 m/s = grunnboka 600 m 1000 s Når x øker med, så øker Gjennomsnittsfarten y med. er bedre 9 km/h eleven trenger å arbeide mer er tenkt brukt. Lærerens =,6 bok km/h følger.79 felles faktor. får du samme svar. 8 Maximum 9 Varianter i 1 km. a 6 : d 7 : 14 g 1 med. : Skriv Hvis forholdene du deler en så x-verdi enkelt som med mulig den tilhørende og forkort y-verdien, med største Løsningsforslag Det er 1000 m grunnboka side for side, og gir deg 4 Hvis du ganger en x-verdi med den tilhørende y-verdien, b 5 får : 5du samme svar. e 150 : 50 h 0 : 75 Fordel de sju For dropsene c 5 10 Grafen : 15som viser sammenhengen Gjennomsnittsfarten å regne på flere elever. gjennomsnittsfarten f 9 : 6 mellom x og y, er i rett : 1000 linje målt i km/h er målt 9000 i m/s 1000 = 9 også gode tips til hvordan lærestoffet kan forenkles, og hvordan du kan til km/h, multipliserer vi Fordel flere drops. Løsningsforslag Bli bedre er gjennom origo. med 600 og dividerer med 1000, 600 oppgaver 1 m/s = 600 m 1000 =,6. som skal brukes Finn en sammenheng mellom hvor mange ulike kombinasjoner til repetisjon det er og overlæring. Når gi de sterkest presterende 1000 elevene s.80 Hvem har rett? Diskuter For påstandene under med annen i klassen. av antall drops og Gjennomsnittsfarten antall å regne elever som deler. gjennomsnittsfarten er 9 km/h målt i m/s til km/h, multipliserer vi =,6 km/h.5 I trekantene nedenfor er lengdene av sidene med rød farge proporsjonale elevene D har Forholdet Forholdet med lengdene B av sidene med Omregningen 600 blå farge. og dividerer mellom m/s og km/h gjør vi derfor enklest ved å C med 1000, 600 gjennomført mellom gule og mellom Differensieringsmodellen røde og gule drops La x være Forholdet gjennom Forholdet røde drops 1000 =,6. Smart nye utfordringer. Du får også mange Vurdering midttest er. har de et bilde av tips til flere læringsaktiviteter. Det er lengdene av sidene i den lille trekanten, mens y er lengdene av mellom røde mellom røde er 4 : 16. multiplisere med,6: sidene i den store trekanten. og gule drops og gule drops er fargekoding, skal gjøre det mulig for er 4 : 1. 1 : 4. Skriv opp y som funksjon Omregningen av x hvert av tilfellene mellom 1 og. m/s hva og de km/h fremdeles gjør vi trenger derfor å enklest jobbe med, ved å fra forfatternes side ikke ment at alle at elever med Løsningsforslag ulikt prestasjonsnivå det er derfor ikke naturlig at alle skal gjøre alt, men at du som 1 multiplisere 1 km/h = 1 kan arbeide i det For samme å,5 regne,6 med læringsfellesskapet.,6 om = 9,6: gjennomsnittsfarten målt i m/s til km/h, multipliserer vi lærer Kapittel elevene 5 Sannsynlighet skal gjøre og alle kombinatorikk oppgavene 61 skal ha et rikt materiale å ta utgangspunkt Oppgaver i når du skal tilrettelegge 1,16,16 merket blått kan i denne delen. med 600 og dividerer med 1000, 600 Noen anses som relativt Gjennomsnittsfarten enkle, gule på er 9 km/h 1000 =,6. vil måtte 1 km/h =,5,6 = 9 m/s for konsentrere seg om ett eller to god læring.,6 middels nivå og Omregningen grønne mest mellom m/s delområder, og km/h gjør mens vi andre derfor bør enklest jobbe på ved å Gjennomsnittsfarten 4 4 er 9 km/h krevende. Umerkede multiplisere oppgaver med er,6: et bestemt nivå innen flere områder. Digitale komponenter tenkt å nå mange av elevene. Her må Det er naturlig å kombinere arbeid i s er vei Smartbok er en digital versjon av 1 læreren gjøre 4 4 sin egen vurdering. Vi denne fasen med bruk av oppgaver (av fra engelsk læreboka stretch) som 1 kan km/h brukes = på m/s flere,6 ønsker ikke at elever,5 skal,6 oppleve = 9 v s er fart vei 8 8 oppgavebokas del Blandede oppgaver. ulike plattformer. Det digitale seg selv som blå, gul eller grønn, men (av engelsk velocity) stretch).5 Hvilke av disse størrelsene Gjennomsnittsfarten er proporsjonale? er 9 km/h t tid at læreren a Omkretsen Gjennomsnittsfart kan av et kvadrat gjøre og lengden individuelle til siden i kvadratet. = vei v = s formatet gjør en rekke tilleggsfunksjoner mulig. Elevene kan notere Bli bedre v er fart (av time) avtaler b Prisen med på en vare elevene målt i norske om kroner hvilke og prisen på den tid t (av engelsk velocity) samme varen målt i euro. t er tid oppgaver c Prisen Gjennomsnittsfart på de pose bør peanøtter konsentrere og vekten av nøttene seg i = posen. om Prosent v = s og markere i teksten, få opplest 1.1 Regn i hodet. tekst og forstørret skrift. (av engelsk for å få et best mulig tilpasset utvalg. s er vei time) tid a 1,5 % av 160t d av 9 som prosent b 75 % av 48 e 100 % når 40 % er 60 (av engelsk stretch) Mange av de grønne oppgavene er Kapittel Funksjoner c av 15 som 9prosent f 1,5 % når 75 % er 81 Tid (s) v er fart laget.110 med tanke Gjennomsnittsfarten på å gi de sterkest til Adrian på sekstimeteren (av 1engelsk velocity) 4 5 presterende elevene var 6 m/s. mulighet og t er tid inspirasjon.110 til Gjennomsnittsfarten å strekke seg lengst = vei 1.1 Hvilken utregning Tren tanken til Adrian på v = sekstimeteren s nedenfor til venstre gir resultatet til høyre? inneholder varierte 1 Dele tallet på 5 A 5 % av tallet Tid (s) SMART problemløsningsoppgaver Gange tallet med der (av engelsk time) tid t mulig. Oppgaver Hvor på lang grønt tid krever brukte også han på sekstimeteren? B 50 % økning var 6 m/s. Doble tallet C 90 % reduksjon elevene i større grad må vise BOK 4 Dele tallet på 10 D 10 % økning Vei (m) ofte et høyere refleksjonsnivå hos sammensatt kompetanse og 5 Gange tallet med 1,1 E 0 % av tallet elevene. Hvor lang tid brukte han på sekstimeteren? kreativitet. 6 Gange tallet med F 100 % økning Vei (m) Tid (s) Ida Gjennomsnittsfarten løp 400 m på 1 min til 5 Adrian s. Tren Finn på gjennomsnittsfarten tanken sekstimeteren hennes Ved et lønnsoppgjør stiger lønningene i et firma slik tabellen viser: 1 Smart 4tavle 5 er et digitalt verktøy til Stilling Gammel årslønn (kr) Ny årslønn (kr).111 var Ida løp 6 m/s..159 Du har to timeglass. Det ene timeglasset måler nøyaktig 400 m på 1 min 5 s. Finn Direktørgjennomsnittsfarten hennes. bruk i undervisningssituasjonen. 7 minutter, det andre er større og måler nøyaktig 11 minutter. Sekretær Forklar hvordan du kan måle nøyaktig 15 minutter ved å bruke Avdelingsleder Hvor lang tid brukte han på sekstimeteren? 6 1 Verktøyet 18 6 er ideelt til bruk på en disse to timeglassene..11 Gjennomsnittsfarten til vinneren Fagarbeider av en 5 maraton 000 var km/h. Vei (m) digital tavle, men kan også brukes på Et maratonløp er m.160 langt. a Hvilken Du har to stilling Finn målebegre fikk det vinnertiden. som største ikke har kronetillegget? målestreker per desiliter. lerret og styres med ordinær mus. b Hvilken Når målebegrene stilling fikk er det fulle, største rommer prosentvise de 5 dl og tillegget? dl..11 Gjennomsnittsfarten til vinneren av en maraton var 17 km/h. Forklar hvordan du ved hjelp av disse to målebegrene kan fylle opp nøyaktig 7 dl i liten bøtte..111 Ida Et maratonløp 400 m på er 4 1 min 1955 m s Finn langt. Verdien av gjennomsnittsfarten et Finn maleri steg vinnertiden. med 50 % da maleren ble kjent. hennes. Maleriet kostet 4000 kr før. Kapittel Mål og enheter 167 A Du har to timeglass. Det ene timeglasset måler nøyaktig 4 minutter, Hva er verdien til maleriet nå? det andre er større og måler nøyaktig 7 minutter. Forklar hvordan du kan måle nøyaktig 9 minutter ved å bruke disse to timeglassene. Maximum 9.11 Gjennomsnittsfarten til vinneren av en maraton var 17 km/h..16 Fiskeren kom hjem og fortalte kona hvor stor fisk han hadde fått. Hodet var 15 cm, og halen var like lang som halve kroppen pluss hodet. Et maratonløp er m langt. Finn vinnertiden. Hele kroppen var like lang som halen og hodet til sammen. Finn ut hvor stor fisken var. Kapittel Mål og enheter 167 V

6 Lærerrommet Tavlerommet har bakgrunner som kan dras frem. Ulike typer ruteark, koordinatsystem og for eksempel prikkark. SMART TAVLE 1. Tall T og tallregning tallre egning Smart tavle har to delverktøy; bokrommet og tavlerommet. I bokrommet kan du hente opp bokoppslagene på skjerm. Verktøyet gir deg mulighet til å isolere og fremheve en enkeltoppgave, et eksempel eller en annen del av oppslaget. Deretter kan du notere og markere direkte i teksten. y-akse 9 y-akse x-akse a e y-akse y-akse x-akse x-akse Dette er et nettsted som gir deg tilgang til en rekke ressurser som det vises til i denne boka. På lærerrommet finner du: Kopioriginaler Fasit til Grunnbok og Oppgavebok Tilgangsstyring til digitale tester Papirversjoner av før- og midttester Kapittelprøver og halvårsprøver i redigerbart format. Fagartikler Alternative undervisningsopplegg Digitale kurs innen temaene regneark og dynamisk geometri Ba akgrunner Bakgrunner I tavlerommet finner du mange illustrasjoner, bilder og figurer som kan benyttes til konkretisering, diskusjon. 1. Tall og tallregning I tillegg finnes alle spillbrett og utstyr for å kunne spille spillene i grunnboka på tavla. 1. Tall Tall og tallregning KOM NÆRMEST NULL 158 Spill Bilder I tavlerommet finner du begreper med ordforklaringer som kan brukes f.eks. til å lage tankekart. 1. Tall og tallregning regneart overslag faktor rektangel negativ potens grunntall eksponent primtall Ord Et parallellogram der alle vinklene er 90º. Rektangel Det finnes en mengde interaktive elementer som terninger som kan snurre, spinnere, kalkulatorer og tallinjer. Med knappen La stå kan du forberede undervisningen ved å ta frem alt du trenger i bokrommet og tavlerommet og lagre det så det er klart til matematikktimen du skal ha neste dag. La stå Smart Vurdering, digitale før- og midttester gir både eleven og læreren raske tilbakemeldinger om ståsted og utvikling. Testene er en del av den underveisvurderingen elevene skal ha, og er ikke ment å være karaktergivende. 1. Tall Tall a og tallregning g C 1 F Interaktive elementer elemente r VI Lærerrom Maximum 9 Lærerens bok SMART VURDERING Via lærerrommet er du også velkommen som aktiv bruker av Maximum, og til å stille spørsmål og diskutere problemstillinger tilknyttet bruken av Maximum eller matematikkundervisning generelt. Underveis- og sluttvurdering All vurdering av elever på ungdomstrinnet helt frem til avslutning på 10. trinn, er underveisvurdering. Utdanningsdirektoratet skriver: I forskrift til opplæringsloven brukes begrepet underveisvurdering og sluttvurdering. Formålet med underveisvurdering er å fremme læring, utvikle kompetanse og gi grunnlag for tilpasset opplæring. All vurdering i fag som foregår i løpet av opplæringen fram til slutten av 10. årstrinn og i løpet av opplæringen på årstrinn i videregående opplæring defineres som underveisvurdering. Underveisvurdering er en rettighet for alle elever og lærlinger. Underveisvurdering skal gis løpende i opplæringen som veiledning. Gjennom underveisvurderingen får lærer og elev informasjon om elevens faglige progresjon. Informa-

7 sjon om hva elever og lærlinger kan og hva de må jobbe mer med, kan brukes til å tilrettelegge opplæringen etter deres ulike behov. Når underveisvurdering brukes til å fremme elevers læring og tilpasse opplæringen er det vurdering for læring. I Maximum legger vi opp til følgende vurderingsforløp: Hvert kapittel starter med Smart Vurdering digital førtest. Eleven og læreren får en rask tilbakemelding på om forutsetningene for å gå i gang med kapitlet er til stede. I førtesten møter elevene bare oppgaver og begreper som forutsettes kjent. Det er for eksempel en forutsetning å mestre brøk og desimaltall når en skal lære å finne sannsynlighet. Derfor testes eleven i brøk i førtesten til kapittel 5. Læreren kan ta ut resultatene fra Vokal og vurdere hvilke tilbakemelding elevene skal få. Hver elev får en grei oversikt ved fargekoding fra grønn til rød på hvert deltema. Grønn betyr da at forkunnskapene er gode for tema, gult at her er det en del forkunnskaper, rødt betyr at forkunnskapene er mangelfulle. Fornavn Elisabeth Eirik Per Evald Stine Ingeborg Markus Shayla Chris Emil Åsa Ragnhild Jonathan Sindre Magnus Marit Linnea Fagområder Vinkler Symmetri Koordinatsystemet Hele prøven Når læringsarbeidet går mot slutten, får elevene Smart Vurdering digital midttest. En del av oppgavene er like eller ligner på oppgavene fra førtesten, men nå blir også eleven testet i læringsmålene i kapitlet. Gjennom Smart Vurdering digital midttest får eleven og læreren et bilde på fremgang og om målene er nådd. På dette tidspunktet har det vært liten tid til fordypning og overlæring. På bakgrunnen av resultatet på midttesten, legger eleven (under veiledning av læreren) en plan for det videre arbeidet. Hvis måloppnåelsen så langt er høy, er det naturlig å kun jobbe med oppgaver merket med grønt nivå fra Bli bedre og Blandede oppgaver i oppgaveboka. Hvis eleven mestrer noen delområder godt og andre mindre godt, kan han velge å jobbe med bestemte temaer i Bli bedre. Elever som scorer svakt på midttesten, bør jobbe videre med det mest grunnleggende, og derfor konsentrere seg primært om umerkede og blå oppgaver i Bli bedre, og blått nivå i Blandede oppgaver i oppgaveboka. Det understrekes og dokumenteres gjennom forskning at elevene må vite hva som er målene for opplæringen for å kunne ta beslutninger som støtter egen utvikling og læring. De skal ikke bare få vite hva de skal gjøre, men også hva de skal lære. Derfor er det viktig å kommunisere målene på en måte som elevene forstår. Noen ganger er det vanskelig, fordi målene inneholder begreper som elevene skal lære. Da kan det være lurt å jevnlig snakke om målene underveis i kapitlet i tillegg til å ta frem målene etter at et kapittel er gjennomgått. La elevene øve på å lage seg egne mål for arbeidet. Hvis målene gjøres til elevenes egne mål, vil motivasjonen for å nå målene øke. Smart Vurdering digital førtest og midttest i hvert kapittel skal hjelpe både lærerne og elevene å gjøre gode valg for hvordan arbeidet i kapitlet skal planlegges. Egenvurdering er viktig for å bli bevisst på egen kompetanse. Tren elevene i å vurdere seg selv, både ut fra resultater på prøver, og i forhold til målene. Ut fra både egenvurdering og lærerens vurdering skal elevene få råd om hvordan de kan forbedre seg. Når elevene bestemmer seg for en plan for videre arbeid etter Smart Vurdering digital midttest, gjør de en egenvurdering med utgangspunkt i noen konkrete spørsmål: A. I hvilken grad er jeg fornøyd med resultatet på midttesten sammenlignet med målene mine i faget? B. Viser midttesten at det er noen bestemte emner jeg bør jobbe mer med, i så fall hvilke? C. Hvilket faglig nivå er det realistisk å nå for dette emnet nå? La elevene skrive ned en konkret arbeidsplan. Sjekk at den er både optimistisk og realistisk. Ta en ekstra samtale med elever som eventuelt ser ut til å underyte. Denne prosessen vil ta litt tid de første gangene, men gå stadig raskere når elevene venner seg til arbeidsmåten. Elevene skal få svar på spørsmålene: Hvor skal jeg? Hvor er jeg i min læringsprosess? Hva er neste skritt? Svar på det siste spørsmålet kalles for fremovermelding. Tilbakemeldinger som peker fremover har størst effekt for elevenes læring hvis de gis hyppig i den daglige undervisningen. Det kan gjøres ganske enkelt ved at elevene daglig skriver på et elektronisk skjema eller et papirskjema: To ting jeg har lært i dag: En ting jeg lurer på: Når du leser hva du skriver, kan du føye til en ny linje: Forslag til hva du kan gjøre for å forstå det du lurer på: Utdanningdirektoratet har sider som gir gode eksempler på vurderingsskjemaer og andre tips i vurderingsarbeidet: I underveisvurderingen vil det også være prøver og oppsummerende vurderinger (vurdering av læring) som gir informasjon om kompetanse VII

8 på et gitt tidspunkt. Det vil si at det er hvordan informasjonen fra en prøve brukes som avgjør hvilken hensikt prøven får. Smart Vurdering digital midttest i Maximum skal ikke være karaktergivende. Underveis i opplæringsløpet må elevene ha noen tester som er karaktergivende. Læreren må selv vurdere hvor mange vurderingspunkter som er ønskelig. Det er ikke sikkert det er nødvendig med mer enn to målepunkter per semester. Maximum tilbyr papirbaserte kapittelprøver og teminprøver som kan brukes til dette formålet. Kapittelprøvene er beregnet å ta ca. 40 minutter, og er laget i et redigerbart format, slik at de eventuelt kan settes sammen til sjeldnere prøver à 80 minutter. Hvorvidt elevene får bruke hjelpemidler på hele eller deler av en kapittelprøve, vil variere ut fra tema. Terminprøvene bygges opp i tråd med gjeldende eksamensmodell, slik at elevene kan være godt trent på eksamensformen den dagen dette blir aktuelt. Helårsprøve Vår Prøvetid: Inntil 5 klokketimer. Prøven består av to delprøver: Delprøve 1 gjennomføres uten andre hjelpemidler enn vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Du skal skrive svarene rett inn i oppgaveheftet. Der det er oppgitt føringsruter, skal du vise fullstendig utregning. Du kan bruke inntil klokketimer på delprøve 1. Delprøve føres oversiktlig på egne ark. Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Bruk blå eller svart penn på begge delprøvene. Konstruksjoner som utføres uten digitale hjelpemidler, føres med blyant. Bokmål Det er viktig å formidle til elevene at alle karakterer de får underveis i opplæringsløpet er underveisvurderinger, at de stadig har mulighet til å utvikle seg og at det derfor til enhver tid vil bli lagt mest vekt på siste måling som tester alt de har lært så langt. Den avgjørende prøven for sluttvurdering, vil være årsprøven på 10. trinn. Denne vil være så lik en skriftlig eksamen som mulig. 9 Kapittelpr ø ve 1 9 Grunnbok Bruk blå eller svart penn. Tidsramme ca. 40 minutter. Delprøve 1: Totalt 0 poeng. Ingen hjelpemidler tillatt. Alle svar føres på oppgavearket. Delprøve : Totalt 8 poeng. Tillatte hjelpemidler: Kalkulator. Vis utregning på alle oppgaver og før dem ryddig på eget innføringsark. Bokmål VIII Maximum 9 Lærerens bok

9 IX

10 Kap. 9.1 Kap. 9. Kap. 9. Kompetansemål Mål for opplæringa er at eleven skal kunne Tal og algebra samanlikne og rekne om mellom heile tal, desimaltal, brøkar, prosent, promille og tal på standardform, uttrykkje slike tal på varierte måtar og vurdere i kva for situasjonar ulike representasjonar er formålstenlege rekne med brøk, utføre divisjon av brøkar og forenkle brøkuttrykk bruke faktorar, potensar, kvadratrøter og primtal i berekningar Funksjonar lage funksjonar som beskriv numeriske samanhengar og praktiske situasjonar, med og utan digitale verktøy, beskrive og tolke dei og omsetje mellom ulike representasjonar av funksjonar, som grafar, tabellar, formlar og tekstar identifisere og utnytte eigenskapane til proporsjonale, omvendt proporsjonale, lineære og kvadratiske funksjonar og gje døme på praktiske situasjonar som kan beskrivast med desse funksjonane Måling gjere overslag over og berekne lengd, omkrins, vinkel, areal, overflate, volum, tid, fart og massetettleik og bruke og endre målestokk velje høvelege måleiningar, forklare samanhengar og rekne om mellom ulike måleiningar, bruke og vurdere måleinstrument og målemetodar i praktisk måling og drøfte presisjon og måleusikkerheit Læringsmål Her skal du lære å Prosent regne med prosent og promille, med og uten digitale hjelpemidler tolke og regne med prosentpoeng Potenser og kvadratrot regne med potenser forklare hva kvadratroten til et tall er finne verdien av kvadratroten til et tall kjenne igjen og bruke kubikktall forklare hvordan totallssystemet er bygd opp Tierpotenser og tall på standardform forklare hvordan titallssystemet er bygd opp skrive og regne med store og små tall på standardform regne med tierpotenser i noen praktiske situasjoner Tallmengder sortere tallene på tallinja i forskjellige tallmengder kjenne igjen rasjonale, irrasjonale og reelle tall Lineære funksjoner rette linjer kjenne igjen og finne formler for rette linjer kjenne igjen situasjoner fra dagliglivet som kan beskrives ved hjelp av lineære funksjoner lage verditabell og tegne graf ut fra formelen for rette linjer bestemme om et punkt ligger på en gitt rett linje Empiriske og ikke-lineære funksjoner beskrive og kjenne igjen funksjoner lage og bruke tabeller med empiriske data til å tegne funksjoner i et koordinatsystem beskrive situasjoner fra dagliglivet med funksjoner Regning med tid gjøre om timer, minutter og sekunder til desimalform beregne tidsforskjell regne om mellom tidssoner Målenheter bruke riktige målenheter gjøre om mellom ulike målenheter for lengde, areal og volum regne med og gjøre om mellom enheter for masse velge og bruke riktige måleinstrumenter Nøyaktighet og avrunding vurdere hvor nøyaktig et svar er, og bruke regler for avrunding anslå feil ved målinger bruke måleinstrumenter og vurdere feilkilder ved måling i praksis Forholdsregning gjenkjenne og regne med forholdstall i praktiske situasjoner regne med forholdstall i blandinger regne med vei, fart og tid regne med tetthet regne med valuta X Maximum 9 Lærerens bok

11 Kap. 9.4 Kap. 9.5 Kompetansemål Mål for opplæringa er at eleven skal kunne Geometri undersøkje og beskrive eigenskapar ved to- og tredimensjonale figurar og bruke eigenskapane i samband med konstruksjonar og berekningar utføre, beskrive og grunngje geometriske konstruksjonar med passar og linjal og dynamisk geometriprogram Måling gjere overslag over og berekne lengd, omkrins, vinkel, areal, overflate, volum, tid, fart og massetettleik og bruke og endre målestokk velje høvelege måleiningar, forklare samanhengar og rekne om mellom ulike måleiningar, bruke og vurdere måleinstrument og målemetodar i praktisk måling og drøfte presisjon og måleusikkerheit gjere greie for talet π og bruke det i berekningar av omkrins, areal og volum Statistikk, sannsyn og kombinatorikk finne og diskutere sannsyn gjennom eksperimentering, simulering og berekning i daglegdagse samanhengar og spel beskrive utfallsrom og uttrykkje sannsyn som brøk, prosent og desimaltal drøfte og løyse enkle kombinatoriske problem Læringsmål Her skal du lære å Areal og omkrets måle og beregne omkretsen av kjente geometriske figurer måle og beregne arealet av kjente geometriske figurer Sirkelens geometri finne tilnærmede verdier for konstanten π (pi) regne ut areal og omkrets av sirkler konstruere rettvinklete trekanter ved å bruke sirkelens egenskaper konstruere tangenter til sirkler bruke konstruksjon til å finne sentrum i en sirkel Tredimensjonale geometriske figurer kjenne igjen og beskrive rette prismer, pyramider, kjegler, sylindrer og kuler måle og beregne overflate og volum av tredimensjonale figurer regne med ulike mål for volum Enkle sannsynligheter beregne sannsynlighet i enkle, dagligdagse situasjoner uttrykke sannsynlighet som brøk, desimaltall og prosent se forskjellen på en uniform og en ikke-uniform sannsynlighetsmodell Kombinatorikk bestemme utfallsrommet for en hendelse skille mellom uavhengige og avhengige hendelser beregne antallet kombinasjoner av hendelser ordne data i krysstabeller og i valgtrær sortere data i et venndiagram finne union, snitt og komplement i en datamengde Kapittel 1 XI

12 Emneoversikt fordelt på kapitler på trinn 8. trinn 9. trinn 10. trinn Kapittel 1 Tall og tallregning potenser egenskaper ved tall faktorisering, delbarhet regnerekkefølge hoderegning og overslag negative tall Tall og tallregning potenser med negative eksponenter tall på standardform irrasjonale tall, kvadratrøtter prosentpoeng mer enn 100 prosent Personlig økonomi budsjett og regnskap lån og sparing verdiendring Kapittel Geometri punkt, linje, vinkel klassisk konstruksjon geometriske steder måling og beregning av vinkler koordinat-systemet symmetrier, i og utenfor koordinatsystemet Funksjoner funksjons- og variabelbegrepene ulike representasjoner for funksjoner (tabeller, grafer, formler, tekst) f(x) lineære funksjoner, stigningstall og konstantledd ekstremal-punkter funksjoner og grafer som matematiske modeller Geometri og design trekantberegning kart og målestokk perspektivtegning teknologi, kunst og arkitektur Kapittel Brøk, desimaltall, prosent regning i hodet og på papiret de fire regneartene med brøk og desimaltall Største felles faktor og minste felles multiplum oversette mellom brøk, desimaltall og prosent avgjøre størrelsesforhold Måling avrunding og gjeldende siffer forholdsregning regning med tid regning med sammensatte enheter Algebra og likninger bokstavregning ulikheter likningssystemer Kapittel 4 Statistikk innsamling og presentasjon av data sentralmål og spredningsmål Sannsynlighet venndiagram, union, snitt og komplement sannsynlighetsberegning ved opptelling krysstabeller og valgtrær store talls lov permutasjoner, utvalg med og uten tilbakelegging Funksjoner kvadratiske funksjoner omvendt proporsjonale størrelser Kapittel 5 Algebra og likninger tallmønster, generalisering bokstavregning med og uten parenteser lineære likninger, oppstilte og uoppstilte Geometri areal og omkrets sirkelgeometri flere geometriske steder tredimensjonal geometri, egenskaper og beregninger Sannsynlighet sammensatte hendelser eksperimentering og simulering sannsynlighet i spill XII Maximum 9 Lærerens bok

13 Forslag til årsplan Maximum 9 Uke nr. Kapittel Tema Vurdering 4 1 Tallregning Prosent Førtest kap Potenser og kvadratrot 7 Tierpotenser og tall på standardform 8 9 Tallmengder Midttest kap HØSTFERIE 41 Bli bedre 4 Bli bedre/tren tanken Ev. kapittelprøve 1 4 Funksjoner Lineære funksjoner rette linjer Førtest kap Empiriske og ikke-lineære funksjoner Midttest kap. 48 Bli bedre 49 Bli bedre/tren tanken Halvårsprøve 50 Mål og enheter Regning med tid Førtest kap JULEFERIE 1 JULEFERIE Nøyaktighet og avrunding 4 Sammensatte enheter og forholdstall 5 Midttest kap. 6 Bli bedre 7 Bli bedre/tren tanken Ev. kapittelprøve 8 VINTERFERIE 9 4 Geometri Areal og omkrets Førtest kap Sirkelens geometri 11 1 Tredimensjonale geometriske funksjoner 1 Midttest kap PÅSKE Bli bedre 17 Bli bedre/tren tanken Ev. kapittelprøve Sannsynlighet og kombinatorikk Enkle sannsynligheter Førtest kap Kombinatorikk 1 Midttest kap. 5 Bli bedre Bli bedre/tren tanken Årsprøve Kapittel 1 XIII

14 Tallregning Kapitlet bygger videre på innhold fra Maximum 8, Kapittel 1 og Kapittel. Kunnskap om tall utvides til alle reelle tall. Nye tallformater, som promille, standardform og kvadratrot, innføres. Elevene skal utvikle forståelse for at tallstørrelser uttrykkes på ulike måter avhengig av situasjon, og at det kan være ulike tradisjoner i ulike fag. Forkunnskaper Sammenhengen mellom brøk, prosent og desimaltall Plassverdisystem titallssystemet Potenser som skrivemåte for gjentatt multiplikasjon Gjennomfør den digitale førtesten i Smart Vurdering. Testen kartlegger hvilke ferdigheter elevene har i forkant av arbeidet med kapitlet. Resultatene kan brukes for å planlegge læringsarbeidet med din klasse. Prøvene kartlegger hvilke forkunn skaper elevene har som kan være viktige for innlæringen av stoffet i dette kapitlet. 1 Tallregning Tallene er grunnlaget for matematikken. Å kunne uttrykke mengder og størrelser, og å kunne gjøre beregninger på grunnlag av dette, er en forutsetning for vår kultur. I dette kapitlet skal vi regne med mange slags tall på mange slags måter, både med og uten datamaskinen som hjelpemiddel. Faglige sammenhenger Prosentregning bygger direkte videre på elevenes forkunnskaper fra Maximum 8, Kapittel. Det er vesentlig at de forstår at promilleregning foregår nøyaktig som prosentregning, ved at det handler om tusendeler i stedet for hundredeler. Bruken av kvadratrot vil være viktig i behandlingen av enkle andregradslikninger på 10. trinn, særlig knyttet til bruk av Pytagoras læresetning. I delkapitlet Tallmengder illustreres fagteksten med bruk av venndiagram. Begrepet venndiagram vil bli nærmere belyst i Kapittel 5, Sannsynlighet og kombinatorikk. Praktisk anvendelse Prosent- og promilleregning knyttes i stor grad til situasjoner fra dagligliv, økonomi og media. Prosentpoeng er et begrep som ofte brukes i forbindelse med meningsmålinger, valg og økonomi. Behandlingen av totallssystemet er knyttet til forståelse av begrepet digital og av hvordan digital lagring og dataoverføring er kodet. Bruk av store og små tall skrevet på standardform er særlig aktuelt innen ulike naturvitenskapelige fagområder, som blant annet astronomi, biologi og kjemi. Grunnleggende ferdigheter Leseferdigheter I tillegg til å få lesetrening i fagtekster, eksempler og oppgavetekster, skal elevene lære å lese nye former for diagrammer, symboler og figurer. Et partibarometer uttrykker en endring i form av prosentpoeng. Venndiagram brukes til å sortere tall i ulike tallmengder. Tallmengder symboliseres av bokstaver i en særskilt utførelse, og kvadratrottegnet vil være et nytt symbol for elevene. Det er viktig at de forstår at enkelte symboler, slik som kvadratrottegnet, bare har verdi sammen med tall eller variabler, og at de dermed ikke gir mening alene. Elevene må også kunne lese korrekt tallverdi, uansett hvilken skriveform tallet har. Ser de tallet 10 4, skal de vite like godt at dette er «ti tusen» som om de ser tallet Når tallene blir veldig store, er det ikke like lett å si hva det heter, og det er heller ikke nødvendig. Muntlige ferdigheter Diskuter oppgaver og løsninger med elevene, og la elevene diskutere med hverandre. En del enkeltoppgaver er laget spesielt med tanke på samtale, og ellers er det viktig at elever får diskutere løsningsstrategier med hverandre. Digitale ferdigheter I dette kapitlet skal elevene jobbe med å utvikle digitale ferdigheter knyttet til bruk av regneark som verktøy. Å utnytte dynamikken i et regneark ved bruk av gode formler med cellereferanser blir særlig vektlagt. I tillegg er det flere situasjoner der det er aktuelt for elevene å finne data fra ulike kilder på Internett og selv bearbeide og 6 Maximum 9 Lærerens bok

15 Matematikkord Prosentpoeng Promille Kvadratrot Kubikktall Tallsystem Binær Standardform Rasjonal Irrasjonal Utforskende oppgave Dette er en klassisk problemløsningsoppgave som enklest lar seg forklare gjennom å tegne en modell. Oppfordre derfor elevene til å tegne situasjonen for en av løypene først. Månestien: 9 km 40 % Når figuren er på plass, er det ikke vanskelig å se at 9 km må tilsvare 60 %, noe som gjør 0 % til km og 40 % til 6 km. Dermed er hele løypa 15 km.? Pia skal ut og gå på ski. Hun kan velge mellom to løyper. Månestien er 9 km + 40 % av sin egen lengde, og Nattfrostlia er 4 km + 75 % av sin egen lengde. Pia vil velge den lengste løypa. Hvilken av løypene er det? Ved å lage en liknende figur for Nattfrostlia kan elevene sammenlikne lengden av de to løypene. Løsning: Nattfrostlia er 16 km lang, og er dermed den lengste av løypene. Forenkling Her er en alternativ formulering av oppgaven: Når Pia har gått 9 km, har hun gått 60 % av løypa Månestien. Hvor lang er Månestien? Når Pia har gått 4 km, har hun gått 5 % av løypa Nattfrostlia. Hvor lang er Nattfrostlia? presentere disse. I den forbindelse er det vesentlig å vektlegge kildekritikk. Skriftlige ferdigheter Skriveferdigheter er knyttet til korrekt symbolbruk på samme måte som leseferdigheter. Matematikk er et eget, og svært presist, språk. For å kunne uttrykke seg gjennom det matematiske symbolspråket kreves det innsikt både i symbolenes betydning og de matematiske sammenhengene symbolene brukes i. I mange av tekstoppgavene vil elevene ha nytte av å tegne modeller i form av figurer eller grafer som visualiserer situasjonen. Regneferdigheter Gjennom hele kapitlet vektlegges å utvikle elevenes regneferdigheter. Det å ha regneferdigheter handler også om å kunne vurdere hvilke hjelpemidler som er hensiktsmessige i ulike situasjoner, og om å kunne vurdere rimeligheten av svar. Faglig innhold Introduksjon til temaet tallregning, og dele med prosent Kommentarer Matematikkord Bruk matematikkordene til å kartlegge elevenes forkunnskaper og eventuelle misoppfatninger. Skriv opp matematikkordene slik at alle elevene ser dem. Del ut tre papirlapper til hver elev: en grønn, en gul og en rød. La elevene vise med tegn for hvert ord om de er: Grønn sikker på hva ordet betyr Gul har en idé, men er litt usikker på hva ordet betyr Rød husker ikke eller har aldri hørt om ordet Skriv opp statistikken for hvert ord, og la en «grønn» elev prøve seg på å forklare for klassen. La elevene vurdere om de som gruppe har mange eller få nye begreper å lære. Mer utfordring / Flere aktiviteter Finn 100 % Utstyr: Fyrstikker, tellebrikker eller liknende og konvolutter Gjør ferdig konvolutter med et antall fyrstikker i. Skriv på hver konvolutt hvor mange fyrstikker det opprinnelig er i, og hvor mange prosent disse fyrstikkene utgjør. Elevene jobber i par og skal fylle opp konvoluttene til 100 %. La så hvert elevpar bytte konvolutt med et annet par og kontrollere for hverandre. Forslag: 1 fyrstikker utgjør 60 % skal fylles til 0 7 fyrstikker utgjør 5 % skal fylles til 8 7 fyrstikker utgjør 75 % skal fylles til 6 6 fyrstikker utgjør 80 % skal fylles til 45 6 fyrstikker utgjør 0 % skal fylles til 0 Kapittel 1 Tallregning 7

16 Faglig innhold Sammenhengen mellom brøk og prosent Hoderegningsstrategier Utstyr Terning Prosent Mål HER SKAL DU LÆRE Å regne med prosent og promille, med og uten digitale hjelpemidler tolke og regne med prosentpoeng Når du regner med prosent, regner du egentlig med brøk. Siden prosent betyr «av 1 hundre», vet du at = 1 %. Når vi regner prosent, regner vi alltid prosent av noe. 100 Derfor er prosenten avhengig av hva den regnes av. 1.1 Beskriv den fargede delen av figuren som brøk, som desimaltall og som prosent. a b c d e 1. Tegn figurer tilsvarende figurene i 1.1. Hvor mye er a halvdelen av en halv b en femdel av en firedel c en firedel av en femdel d 50 % av 50 % e 0 % av 5 % f 5 % av 0 % 8 Maximum 9 Kommentarer Innledningsvis repeterer vi sammenhengen mellom brøk og prosent. Når en skal regne i hodet eller gjøre overslag, er det ofte enklere å se for seg for eksempel femdeler eller firedeler fremfor hundredeler. 1. Oppgavene er laget parvis, slik at to og to oppgaver egentlig er samme oppgave, bare formulert henholdsvis med tekst og med tall. Snakk med elevene om dette. Ser dere noen likheter mellom noen av oppgavene? Hvilke brøker i oppgavene tilsvarer hvilke prosenttall? Blir det forskjell på å regne x % av y % eller y % av x %? (Eller enklere: 10 % prosent av 0 eller 0 % av 10?) (Det blir ingen forskjell.) Eksempel 1 Eksemplet viser en bestemt hoderegningsstrategi. Utfordre elevene på alternative strategier, og diskuter hva som er mest effektivt. 1. Få elevene med på å diskutere ulike løsningsstrategier. For å gjøre om fra brøk til prosent kan det være til hjelp for dem å tenke med utgangspunkt i stambrøkene. Når en vet at 1 5 er 0 %, må 4 være 4 ganger så mye, 5 altså 80 %. For å gå fra prosent til brøk kan det noen ganger være lurt å skrive prosent som hundredeler og forkorte, eller kjenne igjen tidelene som 10 % eller kjenne igjen tallet som et multiplum av en kjent stambrøk. Hva velger elevene å gjøre? Kanskje de har helt andre løsningsstrategier? 1.4 Skriftlig hoderegning er ment å vise hvordan hoderegningen foregår. Det er fort gjort for elevene å misbruke likhetstegnet i en slik sammenheng, fordi de tenker sekvensielt. Hoderegningsstrategiene kan en skrive ned på mange ulike måter, men elevene bør unngå slikt som dette: 500 : 10 = 50 4 = 00 Forslag til rett skrivemåte: 10 % av 500 er = 00 8 Maximum 9 Lærerens bok

17 Oppgavebok Hoderegning og overslag 1.1 Når du skal regne med prosent i hodet, kan det være lurt å tenke på prosent som brøk. Eksempel 1 Finn 75 % av 00. Løsningsforslag 0? 00 5 % 50 % 75 % 100 % 1. Vi vet at 5 % er 1, da må 75 % være 4 4. av 00 er halvparten av 00 pluss firedelen av Det blir: = 5 Vi forklarer hvordan vi tenker ved hjelp av skriftlig hoderegning. 1. Skriv prosent som brøk og omvendt. a 40 % b 8 c 60 % d 4 5 e f 87,5 % 1.4 Regn i hodet. Forklar hvordan du tenker ved hjelp av skriftlig hoderegning. a 40 % av 500 b 66,7 % av 10 c 90 % av 60 d 75 % av 80 e % av 900 f 8 % av 50 g 0 % av 15 h 80 % av 50 i 5 % av En bok koster 50 kr. Du får 40 % rabatt. Regn i hodet. Hvor mye må du betale for boka? rabatt det samme som prisavslag Kapittel 1 Tallregning 9 eller 500 : 10 = = 00 Forklar for elevene at skriftlig hoderegning ikke tilfredsstiller alle krav til skriftlig regning i en vurderingssituasjon, men gir nyttige strategier til bruk i hverdagen. Grunnleggende ferdigheter Regneferdigheter God tallforståelse og gode hoderegningsstrategier er nær knyttet til grunnleggende regneferdigheter. Muntlige ferdigheter Elevene skal lære å sette ord på sin egen tankegang, gjennom å forklare hoderegningsstrategier for hverandre. Forenkling Bruk tegninger eller konkreter, for eksempel brøkbrikker. Mer utfordring / Flere aktiviteter Prosentsjansespillet Et spill for tre-fire elever. Utstyr: En terning Alle spillerne starter med 100 poeng hver. Spillerne kaster terning, og regner etter følgende regler: Ener: Spilleren mister 50 % av poengsummen han har. Toer: Spilleren mister 5 % av poengsummen han har. Treer: Spilleren mister 10 % av poengsummen han har. Firer: Spilleren legger til 10 % av poengsummen han har. Femmer: Spilleren legger til 5 % av poengsummen han har. Sekser: Spilleren legger til 50 % av poengsummen han har, og kan i tillegg få kaste en gang til om han vil. All utregning skal foregå som hoderegning, men elevene noterer den nye poengsummen for hver runde. Alle svar rundes av til nærmeste hele tall etter vanlige avrundingsregler. En spiller et avtalt antall runder eller et avtalt antall minutter før poengene telles opp. Den med høyest poengsum vinner. Variant: Lag tilsvarende spill med mer utfordrende prosenttall. Kapittel 1 Tallregning 9

18 Faglig innhold Hoderegning og overslag i prosentregning Aktivitet Matto Du trenger papir og blyant Fremgangsmåte Tegn et rutenett med 16 ruter, slik: Del 1 Læreren skriver 16 tall på tavla. Plasser tallene tilfeldig i rutenettet slik at det står ett tall i hver rute. Når hele klassen har gjort det, har dere hvert deres mattobrett som ikke er like. Læreren leser opp 16 oppgaver i tilfeldig rekkefølge. Svaret på hver oppgave tilsvarer ett tall på mattobrettet ditt. Kryss av ruta med svaret på oppgavene etter hvert som læreren leser. Den som først har fire kryss på rad, vannrett, loddrett eller diagonalt, roper høyt: «MATTO!» Den som først får Matto, har vunnet omgangen. Del Lag tre fire forslag til nye mattooppgaver med svar. Læreren samler inn oppgavene til alle elevene i klassen og velger ut 16 oppgaver som dere spiller med. Variant 1: Utvid mattobrettet til 5 ruter, bruk 5 oppgaver og spill til fem på rad. Variant : Spill videre til fullt «bilde» og/eller «ramme». Kommentarer Matto Spillet har blitt presentert tidligere, i Maximum 8, Lærerens bok, side 1 1. Denne gangen er hoderegningsoppgavene basert på regning med brøk eller prosent. Bruk for eksempel oppgavene nedenfor. 16 tall i stigende rekkefølge: 1 8, 1,,,56,, 4, 9, 10, 18, 1, 6, 4 4, 48, 60, 96, oppgaver som hører til disse tallene: Tre åttedeler av 48 5 % av % av en firedel 15 % av 60 5 % mer enn 0 Tre firedeler av % av 16 0 % av 0 5 % av 5 7 % av % av 50 Fire sjudeler av 54 0 % mer enn % av % av 0 40 % av 5 Side 11 Overslag ble behandlet første gang på side 14 i Maximum 8, Lærerens bok. Avrundingsregler ved overslag skiller seg fra regler for å avrunde svar. Poenget med avrundingen er å gjøre det lett å regne samtidig som svaret ikke skal bli for unøyaktig. Snakk med elevene om overslagsregning: Hvorfor er det viktig å kunne gjøre overslag? (For å finne et anslag i dagligdagse situasjoner uten hjelpemidler eller for å kontrollere rimeligheten av svar vi regner ut.) Hvordan runder vi av når vi gjør overslag? (Alltid før vi regner. I positive regnearter (pluss og gange) rundes tallene hver sin vei, i negative regnearter (minus og dele) rundes tallene samme vei.) Grunnleggende ferdigheter Regneferdigheter Overslagsregning er knyttet til grunnleggende regneferdigheter. 10 Maximum 9 Lærerens bok

19 Oppgavebok 1. Når vi gjør overslag, avrunder vi tallene slik at de blir lette å regne med i hodet. Vi runder av tallene hver sin vei når vi ganger, og samme vei når vi deler. 1., 1.4 Eksempel Omtrent hvor mye er 4 % av 11? 1.4 Løsningsforslag Vi runder ett tall ned og ett tall opp siden vi skal gange: 4 % 40 % og 40 % = av 150 = 50. Da er av 150 = % av Eksempel 47 av 118 spillere i en håndballturnering sliter med kneskade. Omtrent hvor mange prosent av spillerne har kneskade? Løsningsforslag Vi runder begge tallene opp, slik at brøken blir lett å forkorte = 50 : 5 15 : 5 = 5 = 40 % Omtrent 40 % av håndballspillerne har kneskade 1.6 Gjør overslag. Forklar hvordan du tenker ved hjelp av skriftlig hoderegning. a 51 % av 988 b 6 % av 76 c 89 % av 105 d 4 % av 50 e 79 % av 516 f 67 % av 90 g 14 % av 970 h 48 % av 140 i 5 % av 9 4 Kapittel 1 Tallregning 11 Skriveferdigheter I eksempel vises bruk av tegn for «tilnærmet lik» og «er lik». Det er viktig å lære å bruke slike symboler på en riktig måte, fordi dette er en viktig del av det matematiske skriftspråket. Eksemplet viser også hvordan en tekstoppgave skal besvares med et svar skrevet i tekstform. 1.6 I oppgavene på grønt nivå møter elevene prosentdeler som er større enn 100 %. For elever med et høyt faglig nivå bør ikke dette være noe problem, men elever som stusser på dette, kan henvises til fagteksten på side 1. Forenkling 1.6 Bruk enklere tall, slik at bare ett av tallene må rundes av: a 50 % av 988 b 6 % av 400 c 90 % av 105 d 4 % av 500 e 80 % av 516 f 70 % av 90 Mer utfordring / Flere aktiviteter Matto utvidet Spill Matto med 5 ruter i stedet for 16. Bruk følgende ni nye tall: 1, 0,64, 1, 8, 45, 49, 55, 6, 64 Ni nye oppgaver som hører til disse tallene: Åtte nideler av 7 5 % av 15 % av 80 Sju tjuedeler av % mer enn 44 0 % mindre enn 90 Tre femdeler av 75 8 % av 8 95 % av 40 Alternativ: La elevene lage sine egne Matto-oppgaver. Del så klassen i grupper, og la dem spille sine egne Matto-spill. Kapittel 1 Tallregning 11

20 Faglig innhold Overslag i prosentregning Prosentvis forandring 1.7 Prisen på en sofa blir satt ned med 99 kr fra 1 99 kr. Omtrent hvor mange prosent avslag er dette? Utstyr Terning Kortstokk 1.8 En bukse kostet før 899 kr, nå koster den 599 kr. Omtrent hvor mange prosent avslag er det på buksa? 1.9 Hvilken rabatt kan interiørbutikken reklamere med hvis en vare som før kostet 1499 kr, nå koster 149 kr? Eksempel 4 På en fotballkamp utgjør supporterne for bortelaget personer. Det tilsvarer omtrent % av tilskuerne. Omtrent hvor mange tilskuere var det på kampen? Løsningsforslag Vi runder av begge tallene nedover: % avrundes til 0 % avrundes til ~ 0 % 7500 ~ 10 % ~ 100 % ? % Det var omtrent tilskuere på kampen Vi regner i hele tusener. NRK1 8,8 % NRK 4 % TV 19, % TVN 8, % TV 7,1 % Andre,5 % Tall hentet fra Medienorge, I april 010 hadde nettstedet Facebook 540 millioner unike brukere. Dette tilsvarer 5 % av nettets brukere totalt. Omtrent hvor mange unike brukere var det på Internett denne måneden? 1.11 En uke hadde ulike TV-kanaler markedsandelene som du ser i tabellen til venstre. Undersøkelsen gjelder 8 % av befolkningen på 4,7 millioner mennesker. Omtrent hvor mange mennesker så på de ulike kanalene på et tilfeldig tidspunkt denne uka? 1 Maximum 9 Kommentarer Side 1 Problemstillingene i tekstoppgavene varierer. Repeter med elevene at vi må finne forskjellen/differansen (dersom denne ikke er oppgitt) før vi kan regne ut prosentdelen. Side 1 En del elever tror at 100 % er det største mulige prosenttallet. Årsaken til dette kan være at de alltid har regnet prosent som ekte brøker av en hel mengde. Kontekstene har vært rabatt, skatt og liknende. Elevene vil oppleve at det er uvant å snakke om prosenttall som større enn 100. Dere kan gjerne snakke om alternative måter å si dette på. Hvis en størrelse er 150 % mer enn en annen størrelse, er det like naturlig å si at den er,5 ganger så stor (se nedenfor) Samtal med elevene om resultatet: Kan vi uttrykke det å øke med 100 % på en annen måte? (Ja, det er det samme som å fordoble.) Hvor mange prosent øker vi med når vi tredobler? (00 %) Poengter at ved en økning har vi allerede 100 % i utgangspunktet. Dette er på samme måte som det at utgangspunktet før en reduksjon også alltid er definert som 100 %. Går det an å trekke fra 00 %? Grunnleggende ferdigheter Leseferdigheter / Muntlige ferdigheter La elevene jobbe med tekstoppgavene først individuelt og deretter med bruk av parsjekk. Parsjekk innebærer at elevene jobber to og to, forklarer hverandre fremgangsmåten sin og kontrollerer hverandres svar. Forenkling Oppgaveboka til Maximum 9 inneholder oppgaver for elever som trenger å repetere prosentregning fra 8. trinn. Oppgavene finnes i blå del av delkapitlet Prosent. Bruk modelltegninger eller doble tallinjer for å illustrere. 1 Maximum 9 Lærerens bok