GeoGebra på vgs. Versjon 2.7
|
|
- Ingrid Nesse
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 GeoGebra på vgs. Versjon 2.7 Nynorsk Lær å bruke eit gratis program for grafteikning, funksjonsanalyse og dynamisk geometri. av Sigbjørn Hals
2 GeoGebra på vgs. Innhald: KVA ER GEOGEBRA?... 3 KVAR KAN EG FÅ TAK I DETTE PROGRAMMET?... 3 KORLEIS KJEM EG I GONG MED Å BRUKE PROGRAMMET?... 4 KOMPETANSEMÅL I LK-06 SOM GEOGEBRA PASSAR TIL OPPGÅVER OG LØYSINGAR MED GEOGEBRA Oppgåve 1. Grafen til ein funksjon. Funksjonsanalyse Løysing på oppgåve Oppgåve 2. Skjeringspunkt og areal mellom grafar Løysing på oppgåve Oppgåve 3. To likningar med to ukjende Løysing på oppgåve Oppgåve 4. Andregradsfunksjonen ax 2 +bx+c. Integral og sum av rektangel Løysing på oppgåve Oppgåve 5. Medianar, midtnormalar og halveringslinjer for vinklar i trekantar Løysing på oppgåve Oppgåve 6. Konstruksjonsoppgåver Løysing på oppgåve Oppgåve 7. Vektorrekning Løysing på oppgåve Oppgåve 8. Litt algebra Løysing på oppgåve Vedlegg med løysing av utforskande oppgåve Stikkordregister
3 Kva er GeoGebra? GeoGebra er eit gratis dataprogram for dynamisk geometri, laga av Markus Hohenwarter frå Austerrike og Yves Kreis frå Luxemburg. Namnet er sett saman av orda geometri og algebra. Med GeoGebra kan ein lett konstruere ulike geometriske figurar i planet og teikne og analysere grafar og funksjonar. GeoGebra finst på ei rekkje språk, og er omsett til både bokmål og nynorsk. Programmet kan brukast med både Windows, Linux og Mac. I februar 2006 tok Markus Hohenwarter doktorgrad i matematikkdidaktikk på bruken av dette programmet. Dei som er flinke i tysk kan laste ned og lese doktoravhandlinga frå Du kan endre språket på sida frå arabisk til engelsk, og om kort tid til norsk. Då eg spurde Markus Hohenwarter om kvifor han ikkje ville ta betalt for dette kvalitetsprogrammet, svara han at han meinte utdanning i prinsippet burde vere gratis. Programmet har vunne ei rad med prisar: EASA 2002: European Academic Software Award (Sverige.) Learnie Award 2003: Austrian Educational Software Award (Austerrike.) digita 2004: German Educational Software Award (Tyskland.) Comenius 2004: German Educational Media Award (Tyskland.) Learnie Award 2005: Austrian Educational Software Award for Spezielle Relativitätstheorie mit GeoGebra (Austerrike.) Trophées du Libre 2005: International Free Software Award, category Education (Frankrike.) etwinning Award 2006: 1 st prize for Crop Circles Challenge with GeoGebra (Austerrike.) Learnie Award 2006: Austrian Educational Software Award (Austerrike.) Kvar kan eg få tak i dette programmet? Den lettaste måten å skaffe og installere GeoGebra på, er å gå til klikke på Start GeoGebra og deretter på GeoGebra WebStart. Då blir programmet installert på maskina di automatisk, samtidig som du opnar det frå nettsida første gongen. Det legg seg eit ikon på skrivebordet. Når du seinare klikkar på dette ikonet, blir GeoGebra opna frå di eiga maskin. Då treng du ikkje bruke nettsida. Ein alternativ måte å installere programmet på, er å gå til klikke på Download og laste ned den installasjonsfila som passar til ditt operativsystem. Viktig: For at GeoGebra skal fungere, treng du å ha installert ei ny utgåve av Java på datamaskina. Java kan lastast ned gratis frå 3
4 Korleis kjem eg i gong med å bruke programmet? For å komme raskt i gong, er det lurt å starte med å gjere seg kjend med dei ulike vindauga og verktøya i GeoGebra. Nedanfor finn du ei oversikt over desse: Verktøylinja. Kvart ikon har ein trekant i nedste høgre hjørne. Ved å klikke på denne trekanten, får du fram fleire verktøy. Vi skal sjå på fleire av desse etter kvart. 2 Angreknapp. Ved å klikke på desse pilene, kan du gå eitt steg fram eller eitt tilbake. 3 Algebravindauget. Her kjem likningane eller funksjonsuttrykka du har skrive inn i inntastingsfeltet (4). Her ser vi òg lengder på linjestykke, areal av mangekantar og alle målingar eller utrekningar som du ber programmet om å utføre. 4 Teikneflata. Her får du teikna geometriske figurar eller grafar. Du kan ta av og på aksar og rutenett ved å klikke på Vis og fjerne eller ta på hakar framfor desse orda i menyen. Ved å høgreklikke på teikneflata, kan du endre verdiane langs aksane og justere mange andre eigenskapar. 5 Inntastingsfeltet. I dette feltet skriv du inn kommandoar for å få fram det du ønskjer på teikneflata. Du kan t.d. skrive f(x)=x^2-5x+6 og trykkje Enter. Då får du fram grafen til denne funksjonen. Skriv du dei to første bokstavane i Nullpunkt, kjem dette fram i inntastingsfeltet: Nullpunkt[]. For å finne nullpunkta til f(x), klikkar du 4
5 mellom hakeparentesane og skriv inn f, slik at det står Nullpunkt[f]. Då finn GeoGebra nullpunkta automatisk, markerer dei på grafen, og skriv koordinatane i algebravindauget. 6 Kommandofeltet. Dersom du klikkar på pila til høgre for dette feltet, kjem det fram ein alfabetisk kommandomeny som du kan velje frå. Vel du t.d. Ekstremalpunkt, kjem Ekstremalpunkt[] fram i inntastingfeltet. Då klikkar du mellom parentesane og skriv inn namnet på funksjonen du vil finne ekstremalverdiane til. Det kan t.d. stå ekstremalpunkt[f]. Kompetansemål i LK-06 som GeoGebra passar til Eg vil først liste opp nokre mål i læreplanen LK-06, der GeoGebra med fordel kan nyttast. Kompetansemål etter Vg1T Tal og algebra Mål for opplæringa er at eleven skal kunne tolke, tilarbeide og vurdere det matematiske innhaldet i ulike tekstar bruke matematiske metodar og hjelpemiddel til å løyse problem frå ulike fag og samfunnsområde rekne med potensar med rasjonal eksponent og tal på standardform, bokstavuttrykk, formlar, parentesuttrykk og rasjonale og kvadratiske uttrykk med tal og bokstavar, og bruke kvadratsetningane til å faktorisere algebrauttrykk løyse likningar, ulikskapar og likningssystem av første og andre grad og enkle likningar med eksponential- og logaritmefunksjonar, både med rekning og med digitale hjelpemiddel (Mål VG1T-T-4) omforme ei praktisk problemstilling til ei likning, ein ulikskap eller eit likningssystem, løyse det og vurdere kor gyldig løysinga er Funksjonar Mål for opplæringa er at eleven skal kunne gjere greie for funksjonsomgrepet og teikne grafar ved å analysere funksjonsomgrepet (VG1T-F-1) berekne nullpunkt, skjeringspunkt og gjennomsnittleg vekstfart, finne tilnærma verdiar for momentan vekstfart og gje nokre praktiske tolkingar av desse aspekta (VG1T-F-2) gjere greie for definisjonen av den deriverte, bruke definisjonen til å utleie ein derivasjonsregel for polynomfunksjonar og bruke denne regelen til å drøfte funksjonar (Mål VG1-T-F-3) lage og tolke funksjonar som beskriv praktiske problemstillingar, analysere empiriske funksjonar og finne uttrykk for ein tilnærma lineær funksjon bruke digitale hjelpemiddel til å drøfte polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar (VG1T-F-5) 5
6 Kompetansemål etter Vg1P Geometri Mål for opplæringa er at eleven skal kunne bruke formlikskap og setninga til Pytagoras til utrekningar og i praktisk arbeid (VG1P-G-1) løyse praktiske problem som gjeld lengd, vinkel, areal og volum bruke varierte måleiningar og målereiskapar, og analysere og drøfte presisjon og målenøyaktigheit tolke og framstille arbeidsteikningar, kart, skisser og perspektivteikningar knytte til yrkesliv, kunst og arkitektur (VG1P-G-4) lage og kjenne att mønster av like eller ulike former som kan fylle heile planet Funksjonar Mål for opplæringa er at eleven skal kunne undersøkje funksjonar som beskriv praktiske situasjonar, ved å fastsetje skjeringspunkt, nullpunkt, ekstremalpunkt og stiging, og tolke den praktiske verdien av resultata (VG1P-F-1) omsetje mellom ulike representasjonar av funksjonar gjere greie for omgrepet lineær vekst, vise gangen i slik vekst og bruke dette i praktiske døme, også digitalt (VG1P-F-3) Kompetansemål etter Vg2T Geometri Mål for opplæringa er at eleven skal kunne gjere greie for det geometriske biletet av vektorar som piler i planet, og berekne sum, differanse og skalarprodukt av vektorar og produktet av tal og vektor (VG2T-G-1) rekne med vektorar i planet skrivne på koordinatform, berekne lengder, avstandar og vinklar med vektorrekning og avgjere når to vektorar er parallelle eller ortogonale (VG2T-G-2) teikne og beskrive kurver på parameterform og berekne skjeringspunkt mellom slike kurver Kompetansemål etter Matematikk R1 Geometri Mål for opplæringa er at eleven skal kunne bruke linjer og sirklar som geometriske stadar saman med formlikskap og setninga om periferivinklar i geometriske resonnement og utrekningar utføre og analysere konstruksjonar definert av rette linjer, trekantar og sirklar i planet, med og utan bruk av dynamisk programvare (Mål R1-G-2) utleie og bruke skjeringssetningane for høgdene, halveringslinjene, midtnormalane og medianane i ein trekant (Mål R1-G-3) 6
7 gjere greie for forskjellige bevis for setninga til Pytagoras, både matematisk og kulturhistorisk (Mål R1-G-4) rekne med vektorar i planet, både geometrisk som piler og analytisk på koordinatform (Mål R1-G-5) berekne og analysere lengder og vinklar til å avgjere parallellitet og ortogonalitet ved å kombinere reknereglar for vektorar (Mål R1-G-6) Funksjoner Mål for opplæringa er at eleven skal kunne gjere greie for omgrepa grenseverdi, kontinuitet og deriverbar, og gje eksempel på funksjonar som ikkje er kontinuerlege eller deriverbare bruke formlar for den deriverte til potens-, eksponential- og logaritmefunksjonar, og derivere summar, differansar, produkt, kvotientar og samansettingar av desse funksjonane bruke førstederiverte og andrederiverte til å drøfte forløpet til funksjonar og tolke dei deriverte i modellar av praktiske situasjonar (Mål R1-F-3) teikne grafar til funksjonar med og utan digitale hjelpemiddel, og tolke grunnleggande eigenskapar til ein funksjon ved hjelp av grafen (Mål R1-F-4) finne likninga for horisontale og vertikale asymptotar til rasjonale funksjonar og teikne asymptotane (Mål R1-F-5) bruke vektorfunksjonar med parameterframstilling for ei kurve i planet, teikne kurva og derivere vektorfunksjonen for å finne fart og akselerasjon Kompetansemål etter Matematikk R2 Funksjonar Mål for opplæringa er at eleven skal kunne forenkle og løyse lineære og kvadratiske likningar i trigonometriske uttrykk ved å bruke samanhengar mellom dei trigonometriske funksjonane derivere sentrale funksjonar og bruke førstederiverte og andrederiverte til å drøfte slike funksjonar (Mål-R2-F-2) omforme trigonometriske uttrykk av typen a sin kx + b cos kx, og bruke dei til å modellere periodiske fenomen gjere greie for definisjonen av bestemt integral som grense for ein sum og ubestemt integral som antiderivert (Mål R2-F-4) rekne ut integral av dei sentrale funksjonane ved antiderivasjon og ved hjelp av variabelskifte, ved delbrøkoppspalting med lineære nemnarar og ved delvis integrasjon tolke det bestemte integralet i modellar av praktiske situasjonar og bruke det til å rekne ut areal av plane område og volum av omdreiiningslekamar (Mål R2-F- 6) I dette korte heftet kan eg sjølvsagt ikkje få vist alt som GeoGebra kan brukast til i forhold til læreplanmåla i LK-06. Her vil eg berre gje nokre varierte illustrerande eksempel, og håpar at dette gje ei innføring i programmet og vere til inspirasjon for vidare arbeid på eiga hand. 7
8 Oppgåver og løysingar med GeoGebra Oppgåve 1. Grafen til ein funksjon. Funksjonsanalyse a) Teikn grafen til funksjonen f(x)= 1 3 x3 + 2x 2 3x 18. (Mål VG1T-F-1) b) Finn nullpunkta til funksjonen. (Mål VG1T-F-2, VG1T-F-5, VG1P-F-1) c) Finn ekstremalpunkta. (Mål VG1T-F-2, VG1T-F-5, VG1P-F-1) d) Finn vendepunktet og likninga for vendetangenten. (Mål VG1T-F-1, VG1T-F-5) e) Finn arealet som er avgrensa av x-aksen og grafen over x-aksen. (Mål R2-F-6) f) Bruk GeoGebra til å studere korleis den deriverte endrar seg med x. (Mål VG1T-F-3, R1-F-3) Løysing på oppgåve 1 a) Opne GeoGebra. Klikk på Vis. Hak av for Rutenett. Skriv i inntastingsfeltet nedst på skjermen: f(x)=1/3x^3+2x^2-3x-18. Trykk Enter. Vi ser no at viktige delar av grafen ikkje er med på teikneflata. Høgreklikk ein plass på teikneflata, vel Eigenskapar og la x gå frå 8 til 5. Klikk på y-aksen og la y gå frå 20 til 10. Klikk på Bruk. 8
9 b) Skriv i inntastingsfeltet: Nullpunkt. Når du har skrive dei to første bokstavane kjem heile ordet fram automatisk. Klikk mellom klammeparentesane og skriv f (fordi funksjonen heiter f ). Trykk Enter. Du kan no lese av nullpunkta i algebravindauget. (Feltet til venstre for der grafen er teikna.) GeoGebra merkar og av nullpunkta på grafen. Alternativt kan du klikke på pila ved Kommando til høgre for inntastingsfeltet og bla deg nedover til du finn ordet Nullpunkt. c) Skriv inn Ekstremalpunkt[f] og klikk Enter. Du finn ekstremalpunkta på grafen og i algebravindauget. d) Skriv inn Vendepunkt[f] og trykk Enter. Klikk på den vesle trekanten nede i høgre hjørne på dette ikonet, og vel Tangentar. Klikk på vendepunktet F og deretter på grafen. Likninga for vendetangenen kjem opp i algebravindauget. e) Skriv i inntastingsfeltet: Integral[f,-6,-3] og trykk Enter. Arealet er 11,25. 9
10 Oppgåve 2. Skjeringspunkt og areal mellom grafar a) Teikn grafane til desse funksjonane: (Mål VG1T-T-4, VG1T-F-1) f(x) = x 2 g(x) = x + 6 b) Finn skjeringspunkta mellom grafane. (VG1T-F-1, VG1P-F-1) c) Finn arealet som er avgrensa av dei to grafane. (Mål R2-F-6) Løysing på oppgåve 2 a) Lag ei ny teikning ved å klikke Fil, Ny og svar Nei på spørsmålet om du vil lagre fila du har jobba med. Skriv inn f(x)=x^2 og trykk Enter. Skriv inn g(x)=x + 6 og trykk Enter. Dersom du vil flytte litt på teikninga for å få grafane meir midt på skjermen, kan du klikke på dette ikonet og dra koordinatsystemet med grafane dit du vil. 10
11 b) Skriv i inntastingsfeltet: Skjæring[f,g] og trykk Enter. c) Skriv i inntastingsfeltet: Integral[g,f,-2,3] og trykk Enter. Vi skriv g føre f, fordi grafen til g ligg høgst. Oppgåve 3. To likningar med to ukjende a) Bruk GeoGebra til å løyse likningssettet (Mål VG1T-T-4) 2x + y = 13 4x 5y = 5 b) La GeoGebra ordne likningane på forma y = a x + b. (Mål VG1T-T-4) c) Finn den minste vinkelen mellom desse linjene. d) Opne ei ny fil og bruk GeoGebra til å lære om stigningstal og konstantledd for lineære funksjonar, slik instruksane nedanfor viser. Klikk på Fil og vel Ny. Svar Nei for å lagre fila. Skriv i inntastingsfeltet nede på sida i programmet: a = 2 og trykk Enter. Skriv i inntastingsfeltet b = 3 og trykk Enter. Skriv f(x) = a*x + b OBS. Ikkje gløym stjerne som gangeteikn mellom a og x. Du må ha * når det er a, b, c osv som konstantar i staden for tal. Høgreklikk på a i algebravindauget og vel Vis objekt. Du får no ein glidar på teikneflata. 11
12 Gjer det same og lag ein glidar for b. Flytt på ein glidar i gongen og sjå kva som skjer når du endrar a og når du endrar b. Forklar med eigne ord korleis stigningstalet og konstantleddet påverkar grafen til funksjonen. (Mål VG1P-F-3) Løysing på oppgåve 3 a) Skriv 2x+y=13 i inntastingsfeltet og trykk Enter. Skriv 4x-5y=5 i inntastingsfeltet og trykk Enter. Vi ser no at grafane skjer kvarandre når x = 5 og y = 3 Om vi vil, kan vi klikke på ikonet for å setje inn punkt, føre musa over skjeringspunktet, slik at begge linjene blir mørkare, og klikke. Då får vi koordinatane til skjeringspunktet (5, 3) i algebravindauget. b) Høgreklikk på ei av likningane i algebravindauget og vel y = ax+b. Gjer det same med den andre likninga. Då får du dei på denne forma: c) Lag eit punkt på kvart av vinkelbeina, slik figuren til venstre øvst på neste side viser. Klikk på ikonet for å måle vinklar. Klikk så på punktet på høgre vinkelbein, på skjeringspunktet mellom linjene og til slutt på punktet på venstre vinkelbein. Altså: høgre, spissen, venstre eller B, A og C. Då får du storleiken på vinkelen mellom dei i to linjene, i algebravindauget. 12
13 d) Følg oppskrifta i oppgåveteksten. Dersom du vil utvide området for glidaren, høgreklikkar du på han og vel Eigenskapar. Du kan då t.d. endre området til intervallet frå 10 til 10. Oppgåve 4. Andregradsfunksjonen ax 2 +bx+c. Integral og sum av rektangel a) Bruk GeoGebra til å lære kva effekt endring av konstantane a, b og c har for grafen til funksjonen f(x) = a x 2 + b x + c. (Mål VG1T-F-1, VG1T-F-5) b) Bruk GeoGebra til å lære om samanhengen mellom integral og sum av rektangel. (Mål R2-F-4) Løysing på oppgåve 4 a) Opne ei ny fil i GeoGebra. Skriv inn a = 1 og trykk Enter, skriv inn b= -6 og trykk Enter og skriv inn c = 5 og trykk Enter. Skriv inn f(x) =a*x^2+b*x+c. Trykk Enter. Høgreklikk på konstanten a i algebravindauget og merk av for Vis objekt. Du få no ein glidar på teikneflata. Gjenta det same for konstantane b og c. Høgreklikk på glidaren a, vel Eigenskapar og endre minimumsverdien til 10 og maksimumsverdien til 10. Høgreklikk på glidaren b, vel Eigenskapar og endre minimumsverdien til 30 og maksimumsverdien til 30. Gjenta det same for glidaren c som for b. Skriv Ekstremalpunkt[f] i inntastingsfeltet og trykk Enter. Høgreklikk på botnpunktet (3,-4), vel Eigenskapar og hak ut for Vis spor. Flytt på glidaren c. Prøv å finne eit uttrykk for likninga til den beine linja som botnpunktet lagar når vi endrar på c og held dei andre konstantane uendra. 13
14 Dersom du vil styre glidaren meir nøyaktig, kan du klikke på c i algebravindauget og bruke pilene på tastaturet for å flytte glidaren. (Sjå vedlegget bak i dette heftet for forklaring og fasit på denne utforskande oppgåva.) Klikk på denne pila for å fjerne spora og få grafen tilbake til utgangspunktet. Flytt på glidaren a. Prøv å finne eit uttrykk for likninga til den beine linja som botnpunktet lagar når vi endrar på a og held dei andre konstantane uendra. Klikk på tilbakepila for å få grafen tilbake til utgangspunktet. Flytt på glidaren b. Prøv å finne eit uttrykk for likninga til den kurva som botnpunktet lagar når vi endrar på b og held dei andre konstantane uendra. b) Klikk på Fil, vel Ny og svar Nei på om du vil lagre. Skriv inn funksjonen f(x) = x 3 8x 2 + x Høgreklikk ein plass på grafvindauget og vel Eigenskapar. La verdiane på x- aksen gå frå 3 til 9 og verdiane på y-aksen frå 40 til 50. Klikk Bruk. Finn nullpunkta slik du gjorde i oppgåve 1 b. Du ser at nullpunkta er ( 2, 0) og (3, 0). For å finne det ubestemte integralet, skriv du Integral[f] og trykkjer Enter. Vi får no både plotta grafen til fjerdegradsfunksjonen og får uttrykket for denne i algebravindauget. Alle uttrykka i algebravindauget blir oppgjevne med desimalar (dersom det ikkje er heile tal.) Vil du ha eksakte uttrykk for eit integral eller den deriverte av ein funksjon, slik at det inneheld brøk, rotteikn, e eller π, kan du heller bruke t.d. Derive 6.0. For å finne det bestemte integralet når x [ 2,3], skriv du Integral[f,-2,3] Då får du denne figuren. (Sjå figuren på neste side. Der er det teke med ein tangent òg på teikninga.) 14
15 Verdien av integralet står både på figuren og i algebravindauget. Vi kan utnytte glidarane til å sjå at integralet er det same som summen av uendeleg mange rektangel. Skriv n=100, høgreklikk på n i algebravindauget og merk av Vis objekt. Høgreklikk på glidaren for n, vel Eigenskapar og la n gå frå 1 til 100 med Animasjonssteg lik1. Skriv SumOver[f,-2,3,n] og flytt på glidaren for å sjå korleis summen av rektangla nærmar seg verdien for integralet når n aukar. Vi kan sjølvsagt gjere det same for SumUnder[f,-2,3,n]. 15
16 Oppgåve 5. Medianar, midtnormalar og halveringslinjer for vinklar i trekantar I læreplanen for R1 står det at ein skal kunne utleie og bruke skjeringssetningane for høgdene, halveringslinjene, midtnormalane og medianane i ein trekant (Mål R1-G-3) Denne oppgåva er eigna som ei innleiande innføring i problema, før ein går laus på dei teoretiske bevisa. a) Bruk GeoGebra til å finne ut om medianane (linjestykka frå eit hjørne til midt på motståande side) alltid vil skjere kvarandre i same punkt. (Mål R1-G-3) b) Bruk GeoGebra til å finne ut om midtnormalane på sidene i ein trekant alltid vil skjere kvarandre i same punkt. (Mål R1-G-3) c) Bruk GeoGebra til å finne ut om halveringslinjene for vinklane i ein trekant alltid vil skjere kvarandre i same punkt. (Mål R1-G-3) Løysing på oppgåve 5 a) Opne ei ny fil i GeoGebra og teikn ein vilkårleg trekant. Det gjer du slik: Klikk på den vesle trekanten nede til høgre på ikonet for linjer og vel Mangekant. Klikk på teikneflata om lag slik figuren viser i rekkefølgja A, B, C, A. OBS. Det er viktig å klikke i det same punktet som vi starta med for å avslutte trekanten. Avsett punkta i rekkefølgje mot klokka. 16
17 Klikk på den vesle trekanten nede i høgre hjørne på ikonet for punkt, og vel Midtpunkt eller sentrum. Klikk etter tur på kvar av sidene i trekanten. Vel Linjestykke mellom to punkt og trekk opp dei tre medianane. Plasser eit punkt i skjeringspunktet ved å velje verktøyet for skjering mellom to objekt. Klikk etter tur på to av medianane. Prøv å flytte på hjørna og sjå korleis skjeringspunktet flyttar seg. OBS. Hugs å klikke på flytteverktøyet (pila oppe til venstre) først. b) Opne ei ny fil og lag ein tilfeldig trekant med verktøyet Mangekant. Bruk verktøyet Midtnormal og klikk etter tur på kvar av sidene i trekanten. 17
18 Plasser eit punkt i skjeringspunktet, slik det er forklara i oppgåve 5 a). Flytt på hjørna for å sjå korleis skjeringspunktet mellom midtnormalane flyttar seg. b) Opne ei ny fil og lag ein tilfeldig trekant med verktøyet Mangekant. Bruk verktøyet Halveringslinje for vinkel og klikk på hjørna i denne rekkefølgja: A : BAC B : CBA C : ACB 18
19 Oppgåve 6. Konstruksjonsoppgåver Oppgåvene a, b, c og d er henta frå oppgåveheftet cosinus 3MX frå Cappelen. (a = 6.207, b, c og d = 6.200) a) Sirkelen S er gjett ved likninga x 2 + y 2 = 100. (Mål R1-G-2) S har to tangentar l og m som går gjennom punktet A(2, 14). Tangentane rører S i punkta B og C. Finn koordinatane til B og C. b) I eit koordinatsystem er ein sirkel S 1 gjett ved likninga x 2 + y 2 22x +4y +61 = 0. Finn sentrum og radien i sirkelen. (Mål R1-G-2) c) Ein annan sirkel S 2 har sentrum i ( 1, 3) og radien 5. Vis at sirklane S 1 og S 2 tangerer kvarandre. (Mål R1-G-2) d) Finn koordinatane til tangeringspunktet. (Mål R1-G-2) e) Konstruer nipunktsirkelen. (Mål R1-G-2) Løysing på oppgåve 6 a) Opne ei ny fil i GeoGebra. Vis aksar og rutenett. Skriv x^2+y^2=100 i inntastingsfeltet og trykk Enter. Gje sirkelen nytt namn frå c til S ved å høgreklikke på han, velje Eigenskapar og Gje nytt namn. Klikk på Bruk. Vel forminskingsverktøyet og klikk ein gong ca. på origo. Skriv A=(2,14) i inntastingsfeltet og trykk Enter. (OBS. Dersom du skriv a = (2,14) får du ikkje eit punkt, men ein vektor.) Klikk på verktøyet for tangentar, klikk på punktet A og deretter på sirkelen. 19
20 Finn tangeringspunkta ved å bruke verktøyet for Skjering mellom to objekt, slik det er forklara i oppgåve 5a. Vi les av i algebravindauget at tangeringspunkta er ( 6, 8) og (8, 6). b) Opne ei ny fil i GeoGebra. Vis aksar og rutenett. Skriv i inntastingsfeltet x^2+y^2-22x+4y+61=0 og trykk Enter. Omdøyp sirkelen frå c til S 1 ved å skrive S_1 i vindauget for å gje nytt namn. Klikk Bruk. Zoom ut ved å velje Forminsk og klikk i origo som i oppgåve 6a. Vel verktøyet Midtpunkt eller sentrum og klikk på sirkelen. Vi kan no lese av i algebravindauget at sentrum er (11, 2). 20
21 c) Skriv i inntastingsfeltet: C=(-1,3) og trykk Enter. Likninga for sirkelen er omforma slik at vi kan lese av både sentrum og radius direkte. Vi ser at radius er 64 = 8. Ein alternativ måte å finne radius på er å velje verktøyet Linjestykke mellom to punkt, klikke i sentrum og deretter på ein stad på sirkelen. Vi får då at lengda på linjestykket (radius) er 8. Omdøyp dette linjestykket til r 1. Vel Sirkel definert ved sentrum og radius, klikk i punktet C, skriv inn 5 i feltet for radius og klikk Bruk. Omdøyp sirkelen til S 2. Trekk eit linjestykke mellom A og C. Vi ser at lengda på dette blir 13. Sidan radius i S 1 er 8 og radius i S 2 er 5, må desse to sirklane berre ha eitt felles punkt. d) Ein alternativ måte å vise at desse tangerer kvarandre på, er å velje verktøyet Skjering mellom to objekt. Klikkar vi etter tur på dei to sirklane, ser vi at skjeringspunkta D og E har felles koordinatar (3,62, 1,08) Dette er tangeringspunktet. 21
22 e) Her er ein punktvis framgangsmåte for å konstruere nipunktsirkelen: Klikk på Vis og pass på at det ikkje er haka av for Aksar og Rutenett. Klikk på nedtrekkstrekanten nede i høgre hjørne på knappen for linjer. Vel Linjestykke. Lag ein trekant ved å trekkje opp linjestykka AB, BC og CA. Dersom du vil ta bort namna på linjestykka, høgreklikkar du på eitt av dei og fjernar haken for Vis objekt. Gjenta for alle linjestykka. Finn no midtpunkta på kvart av linjestykka. Det gjer du ved å klikke på nedtrekkstrekanten på punktknappen A. Vel Midtpunkt eller sentrum. Klikk på dei to endepunkta for eit linjestykke. Gjenta for alle linjestykka No kan du finne fotpunkta for høgdene frå kvart av punkta A, B og C. Dette gjer du ved å velje verktøyet Vinkelrett linje. Start med å klikke på punktet A og deretter på linjestykket BC. Gjenta for dei to andre punkta B og C. Vi vil no markere fotpunkta. Vi vel då verktøyet for å finne skjeringspunkt. Klikk etter tur på skjeringspunkta for linjene, der fotpunkta er. Pass på at begge linjene blir mørke og tjukkare før du klikkar. Klikk òg på punktet der alle tre høgdene skjer kvarandre i trekanten. Dette punktet kallar vi ortosenteret. Trekanten skulle no sjå slik ut: Vi vil ikkje ha høgdene som lange linjer, men som linjestykke. Høgreklikk etter tur på desse lange linjene og fjern hakane for Vis objekt. 22
23 Vel no verktøyet for linjestykke igjen, og merk av slike linjestykke mellom eit hjørne og fotpunktet for høgda. Gjenta for alle tre høgdene. Høgreklikk på linjestykka og fjern hakane for Vis namn. Vi kan få høgdene stipla ved å høgreklikke på dei, velje Eigenskapar, velje ei stipla linje under Linjestil og klikke Bruk. No gjenstår det å finne midtpunkta mellom kvart av hjørna og ortosenteret. Vel verktøyet for midtpunkt (sjå punkt 6 i denne oppskrifta) og finn dei siste tre punkta. Figuren skal no sjå slik ut: Til slutt skal vi teikne sirkelen gjennom dei 9 aktuelle punkta. Vi vel no verktøyet for å teikne ein sirkel ut frå tre punkt: Klikk på tre fritt valde punkt av dei ni som ligg på nipunktsirkelen. Då er figuren ferdig. Klikk på pila oppe til venstre på skjermen (verktøyet for å flytte på punkt og andre delar av figuren.) Klikk på eitt av hjørna i trekanten, flytt på punktet med musetasten nede og sjå korleis nipunktsirkelen endrar seg. 23
24 Oppgåve 7. Vektorrekning a) Vi har vektorane v =[6,4] og u = [-2,3]. Teikn vektorane som piler i koordinatsystemet. (Mål VG2T-G-1, R1-G-5) b) Finn ut om vektorane står på kvarandre. (Mål VG2T-G-2, R1-G-6) c) Kva blir summen av vektorane? (Mål VG2T-G-2, R1-G-6) d) Rekn ut w = 1 v + 2 u. (Mål VG2T-G-2, R1-G-6) 2 e) Du startar i punktet A, som har koordinatane (10,1) Kva er koordinatane til B om w = AB. (Mål VG2T-G-2, R1-G-6) Løysing på oppgåve 7 Først litt om vektorar i GeoGebra: Dersom du skriv A=(2,5), får du punktet A. Dersom du skriv a=(7,3), får du vektoren a avteikna som ei pil med start i origo og som endar i punktet (7, 3). Dersom du skriv A + a, får du avteikna eit punkt B, som har koordinatane til endepunktet for ein vektor a med start i A. Skriv du v = A+a, får du teikna ein vektor med start i origo og som endar i punktet B. a) Opne ei ny GeoGebra-fil. Vis aksar og rutenett. Skriv v=(6,4) og trykk Enter. Skriv u=(-2,3) og trykk Enter. 24
25 b) Skriv inn: Skalarproduktet=u*v og trykk Enter. Vi ser at Skalarproduktet blir 0. u v. c) Skriv: sum=u+v og trykk Enter. Vi ser at summen av vektorane blir [4, 7], men GeoGebra skriv verktorkoordinatar slik: (4,7). Skriv vi Sum i staden for sum, får vi eit punkt fordi vi starta med stor bokstav. Vi treng ikkje skrive Skalarproduktet= eller sum=, men det gjer det lettare å sjå kva vi har rekna ut. Vi kunne ha skrive berre u*v og u+v. Då hadde GeoGebra gjett namn på resultata. d) Skriv w=1/2*v+2*u og trykk Enter. Vi får teikna svaret som ein vektor med start i origo og som endar i (-1,8). I algebravindauget står det w=(-1,8). Vi kan sjå at dette stemmer med utrekningane: 1 [6,4] + 2 [-2,3] = [3,2] + [-4,6]=[3 4,2+6]=[-1,8] 2 e) Skriv A=(10,1). Skriv B=A+w og trykk Enter. Vi ser at koordinatane til B blir (9,9). 25
26 Dersom vi skriv vektor[a,b] og trykkjer Enter, finn vi at denne vektoren (som GeoGebra kallar z) har koordinatane [ 1, 8]. Dette skriv GeoGebra slik: (-1,8). Vi ser at z = w. Oppgåve 9 Oppgåve 8. Litt algebra Hittil har det vore mykje funksjonar og geometri og lite av algebra. Algebra-delen til GeoGebra avgrensar seg stort sett til å finne uttrykk for den deriverte, ubestemte integral og utrekning av parentesar som inneheld x. GeoGebra kan altså utføre litt algebra med bokstaven x. Alle andre bokstavar må vere definerte talverdiar. a) Du skal finne ein tredjegradsfunksjon som har ekstremalpunkt for x 1 = -3 og x 2 = 7. Konstantleddet i tredjegradsfunksjonen er 0. b) Finn den femtederiverte av x 2 sin(x). c) Multipliser ut (x 2) 4. Løysing på oppgåve 8 a) Opne ei ny GeoGebra-fil. Merk av for Vis algebravindauge. Klikk og dra i kanten 26
27 mellom algebravindauget og teikneflata slik at algebravindauget blir litt breiare. Skriv: f(x)=(x+3)(x-7) og trykk Enter. Skriv: Integral[f] og trykk Enter. Du får at den søkte funksjonen g(x) = 1 3 x3 2x 2 22x. Høgreklikk på f(x) i algebravindauget og fjern haken for Vis objekt. Høgreklikk på teikneflata, klikk på x-akse:y-akse og la forholdet vere 1:10 Bruk verktøyet for å flytte teikneflata og flytt på grafen slik at du får med både toppunktet og botnpunktet. b) Opne ei ny GeoGebra-fil. Skriv f(x) = x^2*sin(x) og trykk Enter. Vi finn den deriverte ved å skrive f (x), den dobbelderiverte ved å skrive f (x) og den femtederiverte ved å skrive f (x) Skriv g(x) =f (x) og trykk Enter. Vi får då at g(x) = -20 cos(x) +x 2 cos(x) +10 x sin(x) c) Lag ny GeoGebra-fil. Skriv Polynom[(x-2)^4] og trykk Enter. Då får du at (x 2) 2 = x 4 8x 3 +24x 2 32x +16 Her er ein interessant variant, der vi utnyttar glidarar og kan bruke dette til å finne binomialkoeffisientar. Skriv inn n=1 og trykk Enter. Skriv a=1 og trykk Enter. Skriv f(x) = (x-a)^n og trykk Enter. Høgreklikk etter tur på n og a og lag glidarar for desse ved å hake av for Vis objekt. Høgreklikk på glidarane, vel Eigenskapar og la dei gå frå 1 til 5. La animasjonsstega vere 1. Klikk på verktøyet for å flytte objekt, og flytt på glidaren for n. 27
28 Vi finn binomialkoeffisientane når a = 1. Flytt på glidaren for a og sjå korleis utrekninga endrar seg. Dette var nokre smakebitar på korleis ein kan bruke GeoGebra i forhold til dei nye læreplanmåla i LK-06. Lykke til med bruken av programmet i klasserommet. Her er det nesten berre fantasien som set grenser for kva ein kan få til. Send gjerne spørsmål, innspel og kommentarar til: sigbjorn.hals@sfj.no Sigbjørn Hals Mobilnr
29 Vedlegg. Utfyllande forklaring og fasit på den utforskande oppgåva (nr. 4 a) Når vi endrar konstanten c i funksjonen f(x) = a x 2 + b x + c, vil ekstremalpunktet bli løfta opp eller ned langs symmetrilinja for grafen. Symmetrilinja har likninga x = b 2 a. Når vi endrar konstanten a i funksjonen f(x) = a x 2 + b x + c, vil ekstremalpunktet følgje ei bein linje med likninga y = b 2 x + c. 29
30 Når vi endrar konstanten b i funksjonen f(x) = a x 2 + b x + c, vil ekstremalpunktet følgje ein parabel med likninga y = a x 2 + c. 30
31 Stikkordregister: A Algebra Algebravindauget Andregradsfunksjonen Angreknapp... 4 Animasjonssteg Areal under ein graf B Binomialkoeffesientar D Den deriverte E Ekstremalpunkt... 8 Endre namn på objekt F f(x) Forstørring og forminsking G Glidar Grafen til ein funksjon... 8 I Innstillingar av tal langs aksane... 8 Inntastingsfeltet Integral og sum av rektangel Integral J Java... 3 K Kommandofeltet Kompetansemål i LK Konstruksjonsoppgåver L Likninga for ein sirkel Linux... 3 M Mac... 3 Mangekant Markus Hohenwarter... 3 Medianar, midtnormalar og halveringslinjer for vinklar Midtpunkt eller sentrum...17; 21; 23 N Nipunktsirkelen Nullpunkt... 8 O Ortosenteret P Polynom S Sentrum i ein sirkel Skalarproduktet Skjeringspunkt SumOver SumUnder T Teikneflata... 4 To likningar med to ukjende Tredjegradsfunksjon U Utforskande oppgåve Utforskande oppgåve. Løysing V Vektorkoordinatar Vektorrekning Vendepunkt Verktøylinja
GeoGebra på vgs. Versjon 3.0
GeoGebra på vgs. Versjon 3.0 Bokmål Lær å bruke et gratis program for graftegning, funksjonsanalyse og dynamisk geometri. av Sigbjørn Hals GeoGebra på vgs. Innhold: HVA ER GEOGEBRA?... 3 HVOR KAN JEG FÅ
DetaljerGeoGebra på vgs. Versjon 2.7
GeoGebra på vgs. Versjon 2.7 Bokmål Lær å bruke et gratis program for graftegning, funksjonsanalyse og dynamisk geometri. av Sigbjørn Hals GeoGebra på vgs. Innhold: HVA ER GEOGEBRA?... 3 HVOR KAN JEG FÅ
DetaljerPlotting av grafer og funksjonsanalyse
Opplæringshefte i GeoGebra Innholdsfortegnelse: Plotting av grafer og funksjonsanalyse... 2 Oppgave 1... 2 Oppgave 2... 4 Oppgave 3... 8 Å plassere et bilde i GeoGebra... 8 Oppgave 4... 8 Vektorregning
DetaljerBrukermanual i GeoGebra
Brukermanual i GeoGebra for Vg1T, Vg1P, Vg2T, Vg2P, R1 og R2. GeoGebra er et program for Geometri og AlGebra. GeoGebra er en dynamisk matematisk programvare, som binder sammen geometri, algebra og utregninger.
DetaljerSpørsmål og svar om GeoGebra, versjon 2.7 nynorsk
Spørsmål og svar om GeoGebra, versjon 2.7 nynorsk Eg har lasta ned ei installasjonsfil frå www.geogebra.org og installert programmet, men får det ikkje til å fungere. Kva kan dette skuldast? Den mest vanlege
DetaljerSpørsmål og svar om GeoGebra, versjon 2.7 bokmål
Spørsmål og svar om GeoGebra, versjon 2.7 bokmål Jeg har lastet ned en installasjonsfil fra www.geogebra.org og installert programmet, men får det ikke til å fungere. Hva kan dette skyldes? Den vanligste
DetaljerOmråder Kompetansemål Operasjonaliserte læringsmål Tema/opplegg (eksempler, forslag), ikke obligatorisk Tall og algebra
FAGPLANER Breidablikk ungdomsskole FAG: Matte TRINN: 9.trinn Områder Kompetansemål Operasjonaliserte læringsmål Tema/opplegg (eksempler, forslag), ikke obligatorisk Tall og algebra Eleven skal kunne -
DetaljerÅRSPLAN FOR 9. TRINN 2015-2016
ÅRSPLAN FOR 9. TRINN 2015-2016 Lindås ungdomsskule 5955 LINDÅS Tlf. 56375054 Klasse: 9.trinn Fag: Matematikk Faglærar: Turid Åsebø Angelskår, Hanne Vatshelle og Anne Britt Svendsen Hovudkjelder: Nye Mega
DetaljerMatematikk 1T. Matematikk 1T. Tal og algebra. tolke, bearbeide, vurdere og drøfte det matematiske innhaldet i ulike tekstar
Matematikk 1T Matematikk 1T Tal og algebra tolke, bearbeide, vurdere og drøfte det matematiske innhaldet i ulike tekstar vurdere, velje og bruke matematiske metodar og verktøy til å løyse problem frå ulike
DetaljerGeoGebra 3.0. for. mellomtrinnet
GeoGebra 3.0 for mellomtrinnet av Sigbjørn Hals 1 Innhald: Innhald:... 2 Kva er GeoGebra?...3 Kvar kan eg få tak i dette programmet?...3 Korleis kjem eg i gong med å bruke programmet?...4 Å hente og legge
DetaljerLær å bruke GeoGebra 4.0
Lær å bruke GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold: Generelt om GeoGebra... 2 Innstillinger... 2 Likninger og ulikheter... 5 Implisitte likninger... 5 Ulikheter... 9 Statistikkberegninger i regnearket...
DetaljerGeoGebra eit matematisk kinderegg
Sigbjørn Hals, Måløy vidaregåande skule GeoGebra eit matematisk kinderegg Ungdomstrinnet Innhald: Kva er eit matematisk kinderegg? s. 1 Litt om GeoGebra s. 1 Kompetansemål i LK-06 som passar for GeoGebra
DetaljerEksamen i matematikk. Hvordan har eksamen i R1 høsten 2011 endret all læreplantolkning?
Eksamen i matematikk Hvordan har eksamen i R1 høsten 2011 endret all læreplantolkning? Samarbeidet udir/forlag Før reform 94: En representant fra hvert matematikkverk var med på å lage eksamensoppgavene
DetaljerHvordan forandrer jeg på innstillingene langs aksene, slik at hele grafen viser? Dette kan du gjøre på seks ulike måter:
Spørsmål og svar om GeoGebra, versjon 3.0 bokmål. Jeg har lastet ned en installasjonsfil fra www.geogebra.org og installert programmet, men får det ikke til å fungere. Hva kan dette skyldes? Den vanligste
DetaljerHalvårsplan i matematikk fellesfag; Notodden voksenopplæring våren 2013
Halvårsplan i matematikk fellesfag; Notodden voksenopplæring våren 2013 Periodens tema Uke 1-2 Innhold Arbeidsmåter Evaluering/ vurdering Tegning og konstruksjon Mål for det du skal lære: Geometriske ord
DetaljerGeoGebra 3.0. for. ungdomstrinnet
GeoGebra 3.0 for ungdomstrinnet av Sigbjørn Hals 1 Innhald: Innhald:... 2 Kva er GeoGebra?...3 Kvar kan eg få tak i dette programmet?...3 Korleis kjem eg i gong med å bruke programmet?...4 Å hente og legge
DetaljerGeoGebra 3.2. for. ungdomstrinnet
GeoGebra 3.2 for ungdomstrinnet av Sigbjørn Hals 1 Innhold: Hva er GeoGebra?... 3 Hvor kan jeg få tak i dette programmet?... 3 Hvordan kommer jeg i gang med å bruke programmet?... 4 Å hente og legge til
DetaljerSkoleåret 2015/16 UKE KAPITTEL EMNER HOVEDOMRÅDE. Naturlige tall. Primtall. Faktorisering. Hoderegning. Desimaltall. Overslagsregning.
MATEMATIKK 8. KLASSE ÅRSPLAN Skoleåret 2015/16 UKE KAPITTEL EMNER HOVEDOMRÅDE 34 35 36 Kapittel 1 Naturlige tall Primtall Faktorisering Hoderegning Tall og algebra punkt: 1, 2, 3 og 4 37 38 Tall og tallforståelse
DetaljerEksamen 28.05.2008. REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 8.05.008 REA30 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del : Vedlegg: Framgangsmåte Rettleiing om vurderinga: 5 timar: Del 1
DetaljerÅrsplan i matematikk for 10. trinn
Årsplan i matematikk for 10. trinn Uke 34-40 Geometri undersøkje og beskrive eigenskapar ved to- og tredimensjonale figurar og bruke eigenskapane i samband med konstruksjonar og berekningar Begreper. Utregning
DetaljerEksamen 22.05.2009. REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål
Eksamen.05.009 REA30 Matematikk R Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del : Hjelpemiddel på Del : Bruk av kjelder: Vedlegg: Framgangsmåte: Rettleiing om vurderinga:
DetaljerEksempeloppgåve/ Eksempeloppgave 2009
Eksempeloppgåve/ Eksempeloppgave 2009 MAT1013 Matematikk 1T Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Bruk av kjelder: Vedlegg: Framgangsmåte:
DetaljerEksempeloppgåve / Eksempeloppgave
Eksempeloppgåve / Eksempeloppgave Matematikk R April 007 Programfag i studiespesialiserande utdanningsprogram / Programfag i studiespesialiserende utdanningsprogram Elevar/Elever Privatistar/Privatister
DetaljerMatematikk, ungdomstrinn 8-10
Matematikk, ungdomstrinn 8-10 Tal og algebra samanlikne og rekne om mellom heile tal, desimaltal, brøkar, prosent, promille og tal på standardform, uttrykkje slike tal på varierte måtar og vurdere i kva
DetaljerEksamen 28.11.2013. REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 8.11.013 REA30 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del : 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter timar. Del skal leverast
DetaljerGeoGebra. brukt på eksamensoppgåver i 10. kl. Sigbjørn Hals
GeoGebra brukt på eksamensoppgåver i 10. kl. Sigbjørn Hals Innhald Kva er GeoGebra?... 2 Kva nytte har elevane av å bruke GeoGebra?... 2 Kvar finn vi GeoGebra?... 2 Oppbygginga av programmet... 3 Løysing
DetaljerÅrsplan matte 9. trinn 2015/2016 Bryne ungdomsskule
Veke Periode/emne Kompetansemål Læremiddel/lærestoff/ læringsstrategi: Vurdering Innhald/metode/ VFL 34-37 1. bruke faktorar, potensar, kvadratrøter og primtal i berekningar samanlikne og rekne om mellom
DetaljerÅRSPLANAR FOR 8.TRINN 9.TRINN 10.TRINN ÅRSPLAN MATEMATIKK 8. TRINN STRANDA UNGDOMSSKULE
ÅRSPLANAR FOR 8.TRINN 9.TRINN 10.TRINN ÅRSPLAN MATEMATIKK 8. TRINN STRANDA UNGDOMSSKULE HOVUDEMNE UNDEREMNE MÅL KAP 1 Tal (s.9-62) Kap 2 Brøk (s.63-86) Kap 3 Prosent og promille (s.87-102) Kap 4 Teikning
DetaljerEksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten 2014
Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten 01 Oppgåve 1 (1 poeng) Rekn ut og skriv svaret på standardform 50000000000,0005 10 10 ( ) 6 7,510 5,010,55,010 1,510 1,510 Oppgåve (1 poeng) Løys likninga 16 lg lg16
DetaljerMenylinje og de vanligste funksjonene. Her gjør du de tilpasningene du trenger.
GeoGebra GeoGebra 1 GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Ved hjelp av dette programmet kan du framstille forskjellige geometriske figurer, forskjellige likninger (likningssett) og ulike funksjonsuttrykk,
Detaljer03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS
03.10.2013 Manual til GeoGebra Ungdomstrinnet Ressurs til Grunntall 8 10 Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS Innhold Verktøy... 4 Hva vinduet i GeoGebra består av...
DetaljerEksamen 25.05.2011. MAT1008 Matematikk 2T. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 25.05.2011 MAT1008 Matematikk 2T Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Framgangsmåte: 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter 2 timar.
DetaljerFAG: Matematikk TRINN: 10
FAG: Matematikk TRINN: 10 Områder Kompetansemål Fra Udir Operasjonaliserte læringsmål - Breidablikk Vurderingskriteri er Tall og algebra *kunne samanlikne og rekne om heile tal, desimaltal, brøkar, prosent,
DetaljerGeometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets
2 Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets Eksamensoppgaver 0 Innholdsfortegnelse INTRODUKSJON GEOGEBRA...
DetaljerMATEMATIKK FOR REALFAG PROGRAMFAG I STUDIESPESIALISERENDE UTDANNINGSPROGRAM
MATEMATIKK FOR REALFAG PROGRAMFAG I STUDIESPESIALISERENDE UTDANNINGSPROGRAM Fastsatt som forskrift av Utdanningsdirektoratet 27. mars 2006 etter delegasjon i brev 26. september 2005 fra Utdannings- og
DetaljerAKERSHUS FYLKESKOMMUNE FROGN VIDEREGÅENDE SKOLE MATEMATIKK 1T & 1P
AKERSHUS FYLKESKOMMUNE FROGN VIDEREGÅENDE SKOLE MATEMATIKK 1T & 1P 1 INNHOLDSFORTEGNELSE MATEMATIKK... 1 1T & 1P... 1 Nye matematikkurs... 3 Matematikk for studieforberedende utdanningsprogrammer... 3
DetaljerEksamen 23.11.2011. MAT1008 Matematikk 2T. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 23.11.2011 MAT1008 Matematikk 2T Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Framgangsmåte: 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter 2 timar.
DetaljerEksamen MAT1013 Matematikk 1T Va ren 2014
Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Va ren 014 Oppgåve 1 (1 poeng) Rekn ut og skriv svaret på standardform,5 10 3,0 10 15 5 15 ( 5) 10,5 3,0 10 7,5 10 Oppgåve ( poeng) Rekn ut og skriv svaret så enkelt som mogleg
DetaljerEksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2013
DEL 1 Utan hjelpemiddel Oppgåve 1 (1 poeng) Rekn ut og skriv svaret på standardform 750 000 0,005 5 7,510 7,5 5 3 8 3 10 1,5 10 510 5 Oppgåve (1 poeng) Løys likningssystemet x3y7 5xy8 Vel å løyse likninga
DetaljerÅrsplan i matematikk, 8. klasse, 2015-2016
Innhald/Lære v. 34-38 Samanlikne og rekne om mellom heile tal, desimaltal, og uttrykkje slike tal på varierte måtar. Bruke faktorar, potensar og primtal i berekningar Utvikle, bruke og gjere greie for
DetaljerEksamen 23.05.2014. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 23.05.2014 MAT1013 Matematikk 1T Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Framgangsmåte: Rettleiing om vurderinga: Andre opplysningar:
DetaljerEksamen 28.11.2011. REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 28.11.2011 REA3022 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Vedlegg: 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter 2 timar. Del
DetaljerEksamen 30.11.2010. REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 30.11.010 REA30 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del : Framgangsmåte: 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter timar. Del
DetaljerFARNES SKULE ÅRSPLAN
Fag : Matematikk Lærek : Cappelen Damm Faktor 2 Klasse/ trinn: 9A / 9.klasse Skuleåret : 2016-17 Lærar : Bjarne Søvde FARNES SKULE ÅRSPLAN Veke / Månad Kompetansemål Innhald/ Lærestoff Arbeidsmåter Vurdering
Detaljer[2017] FAG - OG VURDERINGSRAPPORT. Matematikk. 10a & 10b. For kommunane: Gjesdal Hå Klepp Sola Time. 40 elevar. Lye ungdomsskule
Nynorsk utgåve FAG - OG VURDERINGSRAPPORT Matematikk 10a & 10b 40 elevar Lye ungdomsskule Beate Gederø Torgersen og Jørn Serigstad [2017] For kommunane: Gjesdal Hå Klepp Sola Time Fag og vurderingsrapporten
DetaljerUtkast til veiledende nasjonale kjennetegn på måloppnåelse i fellesfag i matematikk (1P og 1T) i videregående opplæring
Utkast til veiledende nasjonale kjennetegn på måloppnåelse i fellesfag i matematikk (1P og 1T) i videregående opplæring Utkastet er utarbeidet av en faggruppe bestående av lærere fra ulike skoler i utprøvingen
Detaljer1T eksamen hausten 2017 Løysing
1T eksamen hausten 017 Løysing Tid: 3 timar Hjelpemiddel: Vanlege skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmålar er tillatne. Oppgåve 1 ( poeng) Rekn ut og skriv svaret på standardform. 105000 0,15
DetaljerLæringsressurser Arbeidsmåter og tilpasset opplæring egnet til å nå kompetansemålene
Fag: Matematikk Faglærere: Bjørn Helge Søvde og Simen Håland Trinn: 10. trinn Skoleår: 2016/2017 Periode Kompetansemål Grunnleggende ferdigheter Læringsressurser Arbeidsmåter og tilpasset opplæring egnet
DetaljerFAGPLANER Breidablikk ungdomsskole FAG: Matematikk 8. trinn
FAGPLANER Breidablikk ungdomsskole FAG: Matematikk 8. trinn Områder Kompetansemål Operasjonaliserte læringsmål Tema/opplegg (eksempler, forslag), ikke obligatorisk Vurderingskriterier vedleggsnummer Samanlikne
DetaljerÅkra ungdomsskole- Helårsplan matematikk 2016
Åkra ungdomsskole- Helårsplan matematikk 2016 Halvårsplan i matematikk Klasse: 10F Semester: Haust + vår Lærebok : Grunntal 10 Hovedområde Kompetansemål Antall uker. Arbeidsmetode (Forslag) Vurdering Grunntal
Detaljer1T eksamen våren 2017 løysingsforslag
1T eksamen våren 017 løysingsforslag Tid: timer Hjelpemiddel: Vanlege skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmålar er tillatne. Oppgåve 1 ( poeng) Rekn ut og skriv svaret på standardform 0,710
DetaljerÅrsplan matematikk 10. trinn
Periode - uke Hovedområde (K-06) Kompetansemål (K-06) Delmål/læringsmål (settes på ukeplan) Lærestoff Grunnl. ferdigheter 6 uker 34-39 Geometri -utføre og grunngje geometriske konstruksjonar og avbildingar
DetaljerEksamen REA3022 R1, Våren 2009
Eksamen REA0 R, Våren 009 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonene ) f x x 4 4 8 f x x x x x ) g x x
DetaljerFag: Matematikk. Periode Kompetansemål Grunnleggende ferdigheter. emner
Fag: Matematikk Faglærere: Solveig og Tore Trinn: 10. trinn Skoleår: 2015/2016 Periode Kompetansemål Grunnleggende ferdigheter 1. lage funksjonar som beskriv numeriske samanhengar og praktiske situasjonar,
DetaljerMenylinje og dei vanlegaste funksjonane. Her gjer du dei tilpassingane du treng.
GeoGebra GeoGebra 1 GeoGebra er eit dynamisk geometriprogram. I programmet kan du framstille forskjellige geometriske figurar, forskjellige likningar (likningssett) og ulike funksjonsuttrykk, og du kan
DetaljerKurshefte GeoGebra. Barnetrinnet
Kurshefte GeoGebra Barnetrinnet GeoGebra Geometri og algebra Dynamisk geometriverktøy Algebraisk verktøy Gratis Brukes på alle nivåer i utdanningssystemet Finnes på både bokmål og nynorsk Kan lastes ned
DetaljerFag: Matematikk. Underveisvurdering Tverrfaglige emner. Periode Kompetansemål Grunnleggende ferdigheter
Fag: Matematikk Faglærere: Nils J. Helland og Tore H. Evje Trinn: 10. trinn Skoleår:2017/2018 Periode Kompetansemål Grunnleggende ferdigheter 1. samanlikne og rekne om mellom heile tal, desimaltal, brøkar,
DetaljerFag: MATEMATIKK Årstrinn: 10.klasse Skoleår: 18/19
Fag: MATEMATIKK Årstrinn: 10.trinn Skoleår: 18/19 Å R S P L A N Vormedal ungdomsskole Fag: MATEMATIKK Årstrinn: 10.klasse Skoleår: 18/19 Kjernen i faget: Praktisk og teoretisk kunnskap danner grunnlaget
DetaljerS1 eksamen våren 2016 løysingsforslag
S1 eksamen våren 016 løysingsforslag Tid: timar Hjelpemiddel: Vanlege skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmålar er tillate. Oppgåve 1 (4 poeng) Løys likningane a) x x 0 4 1 x 1 9 8 x 1 x x 1
DetaljerH. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1
1 Bli kjent med GeoGebra GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Det vil si at vi kan gjøre en del endringer på figurene vi tegner, uten å måtte tegne dem på nytt, figuren endres dynamisk. Dette gir oss
DetaljerAnna lærestoff: Fagbøker, aviser, video, Excel,Geogebra, internett
34 Tal og algebra behandle, faktorisere og forenkle algebrauttrykk, knyte uttrykka til praktiske situasjonar, rekne med formlar, parentesar og brøkuttrykk og bruke kvadratsetningane samanlikne og rekne
DetaljerÅrsplan i matematikk 9.klasse
Heile året Tal og algebra Mål for opplæringa er at eleven skal kunne: analysere samansette problemstillingar, identifisere faste og variable storleikar, kople samansette problemstillingar tilkjende løysingsmetodar,
DetaljerGeoGebra eit matematisk kinderegg
GeoGebra eit matematisk kinderegg Barnetrinnet Innhald: Kva er eit matematisk kinderegg? s. 1 Litt om GeoGebra s. 1 Kompetansemål i LK-06 som passar for GeoGebra s. 2 Oppgåve 1. Plassering av koordinatar
DetaljerLær å bruke GeoGebra 4. Karlstad, 19.04.12 Sigbjørn Hals
Lær å bruke GeoGebra 4 Karlstad, 19.04.12 Sigbjørn Hals Lær å bruke GeoGebra 4 Innhaldet i denne økta: 1. Kort presentasjon av nye verktøy i GeoGebra 4 2. Jobbing med sjølvinstruerande hefte 3. Spørsmål
DetaljerR1 eksamen høsten 2015 løsning
R1 eksamen høsten 15 løsning Løsninger laget av Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) f
DetaljerKORT INNFØRING I GEOGEBRA
Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER... 9 ØVELSE 2. TEGNE GRAFER TIL RASJONALE FUNKSJONER... 11 ØVELSE 3. LIKNINGSLØSNING... 15 ØVELSE 4. TANGENTER OG MAKS OG MIN
DetaljerÅRSPLAN I MATEMATIKK 10. TRINN 2014 / 2015
Læreverk: : Faktor 3 matematikk for ungdomstrinnet, Hjardar og Pedersen, Cappelen Vi gjør oppmerksom på at det kan bli forandringer i årsplanen, men emnene vil bli de samme. Frosta skole, 08.09.2014 Faglærer:
DetaljerUndervisningsopplegg for ungdomstrinnet om likningar og annan algebra
Undervisningsopplegg for ungdomstrinnet om likningar og annan algebra Kjelde: www.clipart.com 1 Likningar og annan algebra. Læraren sitt ark Kva seier læreplanen? Tal og algebra Mål for opplæringa er at
DetaljerGeoGebra-opplæring i Matematikk R1
GeoGebra-opplæring i Matematikk R1 Emne Underkapittel Vektorer 1.4 Lengden av vektorer 1.5 Skalarprodukt og vinkel mellom to vektorer 1.6 Forenkle uttrykk 2.1 Faktorisering 2.1 Grafisk løsning av eksponentiallikninger
DetaljerHARALDSVANG SKOLE Årsplan 10.trinn FAG: Matematikk
HARALDSVANG SKOLE Årsplan 10.trinn 2018-19 FAG: Matematikk Uke Kompetansemål Emne Arbeidsmåte Læremidler Annet 34-36 Samanlikne og rekne om mellom heile tal, desimaltal, brøkar, prosent, promille og tal
DetaljerEksamen 25.05.2012. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 5.05.01 MAT1013 Matematikk 1T Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del : Framgangsmåte: 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter timar. Del
DetaljerGeometri med GeoGebra
Geometri med GeoGebra Del 1 Bli kjent med GeoGebra GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Det vil si at vi kan gjøre en del endringer på figurene vi tegner, uten å måtte tegne dem på nytt, figuren endres
DetaljerEksempeloppgåve/ Eksempeloppgave Desember 2007
Eksempeloppgåve/ Eksempeloppgave Desember 007 REA30 Matematikk R Programfag Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid Hjelpemiddel på Del Hjelpemiddel på Del Vedlegg Vedlegg som skal leverast
DetaljerSammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009
Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A
DetaljerLær å bruke GeoGebra 4.0
Lær å bruke GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold: Generelt om GeoGebra... 2 Innstillinger... 2 Statistikkberegninger i regnearket... 5 Nye muligheter for funksjonsanalyse... 8 Nullpunkt og ekstremalpunkt...
DetaljerAnna lærestoff: Fagbøker, aviser, video, Excel,Geogebra, internett
34 behandle, faktorisere og forenkle algebrauttrykk, knyte uttrykka til praktiske situasjonar, rekne med formlar, parentesar og brøkuttrykk og bruke kvadratsetningane samanlikne og rekne om mellom heile
DetaljerDel 1. Generelle tips
Innhold Del 1. Generelle tips... 2 Bruk en "offline installer"... 2 Øk skriftstørrelsen... 3 Sett navn på koordinataksene... 3 Vis koordinater til skjæringspunkt, ekstremalpunkt m.m.... 4 Svar på spørsmålene
DetaljerÅrsplan matematikk 10. trinn
Periode - uke Hovedområde (K-06) Kompetansemål (K-06) Delmål/læringsmål (settes på ukeplan) Lærestoff Grunnl. ferdigheter 3 uker 34-36 Statistikk, sannsynlighet og kombinatorikk gjennomføre undersøkingar
DetaljerOpplæringshefte i GeoGebra. for mellomtrinnet og. ungdomstrinnet
Opplæringshefte i GeoGebra for mellomtrinnet og ungdomstrinnet av Sigbjørn Hals Bokmål 1 Innhold: Del 1. Generell informasjon om GeoGebra...3 Kva er GeoGebra?...3 Kvar kan eg få tak i dette programmet?...3
DetaljerEksamen 23.11.2011. MAT1017 Matematikk 2T. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 23.11.2011 MAT1017 Matematikk 2T Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Framgangsmåte: 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter 2 timar.
DetaljerEksamen 02.12.2009. REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 0..009 REA0 Matematikk R Nnorsk/Bokmål Nnorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del : Hjelpemiddel på Del : Bruk av kjelder: Vedlegg: Framgangsmåte: Rettleiing om vurderinga: timar:
DetaljerFK208 Matematikk, tresemester Undervisningsplan 2017
Lærebok: Tore Oldervoll, Odd Orskaug, Audhild Vaaje, Otto Svorstøl og Sigbjørn Hals: «Sinus Forkurs Grunnbok 2016», for ingeniørutdanning. Cappelen Damm forlag, ISBN 9788202509057 Oppgåvesamling: Same
DetaljerUndervisningsopplegg for ungdomstrinnet om koordinatsystem og rette linjer
Undervisningsopplegg for ungdomstrinnet om koordinatsystem og rette linjer Kjelde: www.clipart.com 1 Funksjoner. Læraren sitt ark Kva seier læreplanen? Funksjonar Mål for opplæringa er at eleven skal kunne
DetaljerØRSTA UNGDOMSSKULE MATEMATIKK
ØRSTA UNGDOMSSKULE MATEMATIKK Årsplan for : 8. trinn Revidert Våren 2014 LÆRINGSGRUNNLAG - Kompetansemål Tal og algebra samanlikne og rekne om mellom heile tal, desimaltal, brøkar, prosent, promille og
DetaljerEksamen S1 hausten 2015 løysing
Eksamen S1 hausten 015 løysing Oppgåve 1 (5 poeng) Løys likningane nedanfor a) x 3x 0 x(x3) 0 x 0 x 3 0 3 x 0 x b) 3 1 17 x 4 lg 3 x1 34 lg 3 x1 34 3x 1 lg 34lg 3x 1 lg lg 34 lg lg 3x 1 34 3 x 33 3 3 x
DetaljerQED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen
QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 1 og 2 GeoGebra-øvelser i funksjonslære Av Peer Sverre Andersen Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER...
Detaljer1T eksamen våren 2018 løysingsforslag
1T eksamen våren 018 løysingsforslag DEL 1 Utan hjelpemiddel Tid: Del 1 skal leverast inn etter timar. Hjelpemiddel: Del 1 Vanlege skrivesaker, passar, linjal med centimetermål og vinkelmålar. Oppgåve
DetaljerFaktor terminprøve i matematikk for 8. trinn
Faktor terminprøve i matematikk for 8. trinn Haust 2009 nynorsk Namn: Gruppe: Informasjon Oppgåvesettet består av to delar der du skal svare på alle oppgåvene. Del 1 og del 2 blir delte ut samtidig, men
DetaljerEksamen matematikk S1 løysing
Eksamen matematikk S1 løysing Oppgåve 1 (3 poeng) Løys likningane a) 6 4 0 6 6 44 6 36 3 4 6 4 1 b) lg lg lg4 lg lg4 lg 10 10 lg4 4 8 0 4 4 8 6 4 må vere større enn null fordi den opphavlege likninga inneheld
DetaljerEr det forskjell på ml og mg? Yrkesretting i praksis for HO
Er det forskjell på ml og mg? Yrkesretting i praksis for HO Susanne Stengrundet 17. 11.2014 1 Utfordring for matematikklæreren Vi må lære elevene noe som de "har hatt"! Alt som vi skal lære dem i geometri
DetaljerEksamen 1T hausten 2015 løysing
Eksamen 1T hausten 015 løysing Tid: timar Hjelpemiddel: Vanlege skrivesaker, passar, linjal med centimetermål og vinkelmålar er tillate. Oppgåve 1 (1 poeng) Rekn ut og skriv svaret på standardform 1 1,8
DetaljerFunksjoner og andregradsuttrykk
88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter
DetaljerÅRSPLAN I MATEMATIKK 10. TRINN 2015 / 2016. Uke Fagemne Delmål Arbeidsmetoder Mål fra Kunnskapsløftet Vurdering
trinn 2015 /2016 ÅRSPLAN I MATEMATIKK 10. TRINN 2015 / 2016 Læreverk: : Faktor 3 matematikk for ungdomstrinnet, Hjardar og Pedersen, Cappelen Vi gjør oppmerksom på at det kan bli forandringer i årsplanen,
DetaljerDel 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
DetaljerHurtigstart. Hva er GeoGebra? Noen fakta
Hurtigstart Hva er GeoGebra? En dynamisk matematisk programvare som er lett å ta i bruk Er egnet til læring og undervisning på alle utdanningsnivå Binder interaktivt sammen geometri, algebra, tabeller,
DetaljerEksamen REA3022 R1, Høsten 2010
Eksamen REA30 R1, Høsten 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (0 poeng) a) Deriver funksjonene 1) f x x e x e x
DetaljerÅRSPLAN I MATEMATIKK 9. TRINN 2015/ 2016
Læreverk: Faktor 2 matematikk for ungdomstrinnet, Hjardar og Pedersen, Cappelen Vi gjør oppmerksom på at det kan bli forandringer i årsplanen, men emnene vil bli de samme. Frosta skole, 20.08.2015 Faglærere:
DetaljerFarnes skule, årsplan
Fag : Matematikk Læreverk : Faktor 3, Cappelen Klasse/ trinn: 10 A, 10 B /10.KLASSE Skuleåret : 2016-2017 Lærar : Bjarne Søvde / Rigmor Skrede Tal og algebra 34 behandle, faktorisere og forenkle algebrauttrykk,
DetaljerÅRSPLAN I MATEMATIKK 9. TRINN 2014/ 2015
Læreverk: Faktor 2 matematikk for ungdomstrinnet, Hjardar og Pedersen, Cappelen Vi gjør oppmerksom på at det kan bli forandringer i årsplanen, men emnene vil bli de samme. Frosta skole, 18.08.2014 Faglærere:
Detaljer