Arbeidsnotat. Trigonometri. Kyrre Johannesen. Ver. Høgskolen i Nord-Trøndelag Arbeidsnotat nr 215

Transkript

1 Arbeidsna Ver Trignmeri Kyrre Jhannesen Høgslen i Nrd-Trøndelag Arbeidsna nr 5 Seinjer 007

2 Trignmeri Kyrre Jhannesen Høgslen i Nrd-Trøndelag Arbeidsna nr 5 Avdeling fr syepleier- ingeniør- g lærerudanning ISBN ISSN Seinjer 007

3 Funsjnsanalyse : Trignmeri Kyrre Jhannesen 0. Frrd Hvr sr er månen g hvr lang bre er den? Dee hefe ble sreve sm e supplemen il ilgjengelig lieraur fr urse Maemai i årsenheen i maemai ved lærerudanningen. Hefe deer e av innledningsemnene il funsjnslæra nemlig rignmeri i plane g rignmerise funsjner. T hvedaspeer av rignmeri er behandle i denne framsillingen : Gemerise definisjner g anvendelser av frhldsallene sinus csinus g angens il en vinel (apiel g 7) g definisjner g anvendelser av de rignmerise funsjnene. (apiel 5 g 7). Siden dee sal være en elemenær innføring i emne er un funsjnene sinus csinus g angens behandle i dee hefe. De andre funsjnene berøres bare rfae i framsillingen. Fr helheens syld er de gså a med en rfae behandling av den derivere il de rignmerise funsjnene. (apiel 8) Dee emne blir bredere behandle i resen av funsjnslæredelen i maemai. Siden dee er e av de mer elemenære innledningsemnene sm i nen grad er jen fr nen av sudenene mens andre ie jenner sffe er hefes innhld frsø ufrme sli a en sal unne lese de på egen hånd uen å følge all undervisning i Maemai. Dee beyr blan anne a framsillingen beviss har en senere prgresjn (g flere esempler g ppgaver) enn hva sm fr esempel er vanlig i universiesurs der emne inngår. Faglærerne vil lievel undersree a de nrmale sudiefrløp i sr grad beinger a en følger undervisningen på vanlig måe gså fr dee emne. I framsillingen er de a med mange esempler g øvingsppgaver g en fasi (il de flese av ppgavene) finnes baers i hefe. I srivende sund er fasi il ppgavesamlingen i ap.9 ie lar g vil bli del u sm pi senere. I framsillingen er de a med bru av IKT i frm av såal dynamis prgramvare. Vi har velag å brue sli prgramvare i sede fr mer radisjnell grafeegningsprgrammer frdi vi mener denne ype prgramvare gir en bedre visuell g dynamis læringssøe ree m begrepsfrsåelse innenfr emne. Med hefe følger en CD med demnsrasjner g arbeidsppgaver framsil ved hjelp av prgrammene Cabri gemeri II Augraph g Excel. Referanser il disse i framsillingen er mere med ine. Oversi finnes i ap.0. Freliggende hefe er en førseugave g frfaeren er derfr anemlig fr innspill fra leserne både når de gjelder frslag il endringer g nye vinlinger g mulige feil i framsillingen. Levanger. Sepember 00. Kyrre Jhannesen. 00 : Kyrre Jhannesen. HiNT. yrre.jhannesen@hin.n HiNT side av 75

4 Funsjnsanalyse : Trignmeri Kyrre Jhannesen Innhld 0. Frrd s.. Trignmeri.. Treanberegning s... sin cs g an fr nen vinler s. 5.. Nen anvendelser s... Bru av alular s. 8. Vinler g vinelbuer.. Vinelmålall i grader s... Vinelmålall i radianer s... Krdinaer på enhessirelen s. 5.. Dynamis perspeiv på cs g sin s..5. Å finne verdier il de rignmerise funsjnene s. 9. Grafer il de rignmerise funsjnene.. Grafen il y sin s... Grafen il y cs s... Grafen il y an s... Definisjnsmengder g verdimengder il sin cs g an s Sammenseninger av de rignmerise funsjnene s. 5.. Grafer il summer av rignmerise funsjner s.. Trignmerise idenieer g lininger.. Fundamenale rignmerise idenieer s. 8.. Flere rignmerise idenieer s Trignmerise lininger 5.. Trignmerise grunnlininger s. 5.. Flere rignmerise lininger s.. Inverse rignmerise funsjner.. Inverse funsjner s. 7.. Funsjnene sin cs g an s Anvendelser av rignmeri 7.. Sinusseningen s Csinusseningen s. 7.. Arealseningen s. 7.. Harmnise svingninger s Kmbinasjner av sinus- g csinussvingninger s Den derivere il de rignmerise funsjnene 8.. Den derivere il en funsjn s En viig grenseverdi s Den derivere il sin cs g an s Øvingsppgaver s Dynamise IKT-appliasjner s.. Fasi il uvalge ppgaver s. 8 Udrag fra frsiden av Caspar Wessels avhandling Om Direcinens analyise Beregning fra 798. Arielen har senere bli berøm blan anne frdi Wessel sm den førse her gir en gemeris represenasjn av mplese all. HiNT side av 75

5 Funsjnsanalyse : Trignmeri Kyrre Jhannesen. Trignmeri Orde rignmeri beyr riangel-måling. På en ree mråder søer vi på fenmener sm er peridise de vil si fenmener sm gjenar seg selv regelmessig. I fysilgien jenner vi fr esempel hjereslag g åndedre g fra fysien jenner vi frsjellige svingefenmener g fr esempel månefasene. Også i ønmi jenner vi peridise fenmener sm fr esempel njunursvingninger. Når vi sal besrive denne ypen fenmener maemais får vi bru fr de såale rignmerise funsjnene. La ss imidlerid førs se nærmere på grunnlage fr definisjnen av denne ypen funsjner sm er nær nye il gemerise beraninger. Hisris har dee si uspring blan anne i arlegging av jrd-mråder ved bru av såal riangulering der en med ugangspun i en jen basislengde bygger pp e ne av reaner med jene vinler. De ujene sidene an så beregnes ved hjelp av rignmerise meder sm vi besriver i følgende avsni.. Treanberegning Bera den revinlede reanen i fig... il vensre. I lieraur m emne vil du møe følgende navn på sideanene i slie revinlede reaner : Lengse siden i reanen (sm allid er msa den ree vinelen) alles hypenusen (b) g rsidene (a g c) sm allid ugjør de vinelbeina il den ree vinelen alles reanens aeer. Vinlene A (dvs. BAC ) g C (dvs. ACB ) i reanen må begge være spisse siden vinel B er re g siden vinelsummen i reanen er 80. Tar vi ugangspun i vinel A blir BC være den msående aeen il vinelen g AB vil være den hsliggende aeen il vinelen. Tar vi derim ugangspun i vinel C vil AB være den msående aeen il vinelen mens BC vil være den hsliggende aeen il vinelen. Vi definerer nå re viige frhldsall sinus il vinelen csinus il vinelen g angens il vinelen fr hver av vinlene i en rean. Tilsvarende an du definere sinus csinus g angens il vinel C. (g vinel B.) Def... Til enhver spiss vinel A i en revinle rean ABC svarer de re frhldsall sin A cs A g an A definer sm vis venfr. HiNT side av 75

6 Funsjnsanalyse : Trignmeri Kyrre Jhannesen Den nøyaige leser vil sier undre seg på m disse frhldsallene un avhenger av vinelen A eller m de gså avhenger av sideanlengdene i den revinlede reanen. La ss gi e bevis fr a frhldsallene un er avhengig av A g ie av sideanlengdene AB BC g AC : (*) I fig... il vensre har vi egne frmlie reaner ABC g A B C. Treanene har vinel A felles. (A A.) A reanene er frmlie beyr a de finnes e lineær frhldsall r sli a AB' r AB B'C' r BC g AC' r AC. B'C' r BC BC Da blir : sin A' sin A AC' r AC AC AB' r AB AB Dessuen blir cs A' sin A g AC' r AC AC B'C' r BC BC an A' an A AB' r AB AB Oppg... Hen inn Cabri-filen Treandef.fig fra CD-en M. Varier sideanlengdene (samidig sm vinel A hldes nsan) ved å endre psisjnen il hjørne B g suder frhldsallene sin cs g an. Hva ser du? Disuer g frlar med egne rd. Oppg...5 I rean ABC er vinel B re g AB cm g BC cm. a. Finn lengden av hypenusen AC. Hvilen sening bruer du? b. Finn frhldsallene sin A cs A g an A. c. Finn frhldsallene sin C cs C g an C. d. Sammenlin sin A med cs C g cs A med sin C. Hva ser du? Frlar. Oppg... Hen inn igjen Cabri-filen Treandef.fig fra CD-en M. Suder ved å endre psisjnen il hjørne C frhldsallene sina csa g ana fr ulie vinler A i rean ABC. Hva ser du? Disuer g frlar med egne rd.. sin cs g an fr nen enle vinler Vi an brue Pyhagras sening il å finne sin cs g an fr vinlene 0 5 g 0. Bera reanene i fig... Oppg... Finn ved å brue Pyhagras sening e ury fr hypenusen i reanen il vensre g e ury fr lengse ae i reanen il høyre. a I den liebeinede reanen il vensre blir sin A sin 5 g a a a cs A cs 5 g an A an 5. I reanen il høyre er a a vinlene 0 0 g 90 sli a hypenusen er dbbel så lang sm rese ae. HiNT side 5 av 75

7 Funsjnsanalyse : Trignmeri a Dee gir ss a sin A sin 0 a a a an A an 0 g sin B sin 0 a a a an B an 0. a Kyrre Jhannesen a cs A cs 0 a a cs B cs 0 a Vi an see resulaene inn i en versiig abell : Dersm du sal finne frhldsallene sin cs g an fr andre vinler an du selvfølgelig brue alularen. Om du vil sudere mer dynamis hvrdan frhldsallene endrer seg fr ulie vinler A er e regnear bedre. Oppgave.. Hen inn regneare Trigabell.xls (fig. nedenfr) g suder frhldsallene sin cs g an fr ulie vinler i mråde 80 grader il 80 grader. Ner vinlene i de ilfeller du får helalls eller brøsvar. Du an gså gå msa veg ved hjelp av dee regneare. Legger du inn en verdi mellm g fr sinus il vinel A får du u vinelen sm har denne sinus-verdien. ( se (*) venfr). Nen anvendelser Es... Ana a du ønser å måle bredden på en elv uen å bli vå på føene. Her er en måe å gjøre de på. Velg u e landemere C (re eller lignende) på den andre siden av elven. Se e mere B (med pinne eller sen eller lignende) på din side av elven re venfr C. Se e anne landemere A på din side av elven i en passende avsand fra B sli a AB er nenlunde vinelre på BC. Bru en vinelmåler g si fra A m B g dereer m C g mål vinelen mellm siereningene AB g AC (dvs. A ). b b Da har du a : an A b 50 an A. AB 50 Fr esempel dersm vinel A ble mål il 9 ville b 50 an 9 77 meer. Es... En sige på 0 m sår pp langs en vegg. Den sår a meer fra husveggen. Hvr høy reer sigen på veggen? La h høyden av sigen på veggen g la α være vinelen sigen danner med baen. Da er cs α 0. Her jenner du alså frhlds- 0 alle cs α g an dermed finne vinelen α. (se ppgave..5) HiNT side av 75

8 Funsjnsanalyse : Trignmeri Kyrre Jhannesen Oppg...5 Hen inn regneare Trigabell.xls fra CD-en M g legg inn 0 sm cs A g finn vinelen α. Her får du α 85. h Nå an du brue an α fr å finne høyden av sigen på veggen : an A h an 85. Es... Du sal finne u hvr høy e ireårn rager ver baen mens du er på baenivå. (fig...7) Du an gå fram sli : Se en meresein ved pun B på baen lddre under årnes ppun C. Se så en meresein ved e pun A i en jen avsand fra B fr esempel 50 m. Mål dereer sievinlene m årnes ppun C g dereer pun D der årne møer ae. (Sievinlene er vinlene mellm vannre g sielinjen m de pune du sier på.) Dee an fr esempel gjøres ved hjelp av e Klinmeer. (se Cabrippg... nedenfr) Dee er all infrmasjn du renger frusa a du an din rignmeri. La x være høyden av årne fra ae g pp (dvs. DC på fig.) g la y være høyden fra baen il der årne møer ae.(dvs. BD på fig.) Bruer du angens il de måle sievinlene (reanene ABC g ABD) får du : x y y [I] an α x y 50 an α g [II] an β y 50 an β Seer du urye fr y i lining II inn i lining I får du : x 50 an β 50 an α x 50 an α 50 an β 50( an α an β). Dee gir e ury fr årnhøyden ved hjelp av angens il de måle vinlene. Dersm du ved målingen fr esempel fi α 5 g β vil ( an α an β) 50 ( an 5 an ) 0 x 50 g y 50 an β 50 an Dee gir ss a årne rager 0 m m 5 m ver baen. Oppg...8 Las inn filen Klinmeer.fig fra CD-en M g undersø hvrdan Klinmeere an brues il å besemme elevasjnsvinler (veriale sievinler). Oppg...9 Hen inn regneare Trigabell.xls fra CD-en M g legg inn 0 sm cs A g finn vinelen α. Her får du α 85. Nå an du brue angens il α fr å finne høyden av sigen på veggen (se esempel..) : h an A h an Kan du ene deg en annen måe å finne denne høyden på? Disuer g frlar med egne rd. Oppg...0 I syelrie Tur de France er baene i de såale lareeappene inndel i aegrier (I II III eller IV) eer hvr brae de er. Fig. il vensre viser e ar ver en bae i en av lareeappene. HiNT side 7 av 75

9 Funsjnsanalyse : Trignmeri Kyrre Jhannesen Arrangøren ppgir a den er en aegri I bae ne sm beyr a den sal ha en signing på mellm 9 % g 0 %. a. Regn u den %-vise signingen baen har. b. Regn u baens signingsvinel.. Bru av alular Sm idligere nevn an du selvfølgelig brue alularen din fr å finne frshldsallene sin cs g an fr en valg vinel. I illegg an du gså gå msa veg g finne den vinel A sm ilfredssiller frhldsalle sin A li e valg all mellm g. (Se gså apiel ) Tilsvarende an du gså gå msa veg når de gjelder frhldsallene cs g an. I de følgende besriver vi hvrdan du an brue alularen CASIO (mdell CFX-9850 GB eller ilsvarende). Fr andre alularer sm fr esempel TI må du selv finne u framgangsmåene fra manualen. Es... Du bruer asene sin cs g an på asaure. Du må imidlerid passe på a alularen er sa pp sli a vinler måles i grader. Vi mmer i avsni. ilbae il hvrdan du an regne med vinler mål i radianer. Fr å see pp alularen med vinler mål i grader gjør du sli : Ta fram menyen ved å rye på MENU-asen g ry EXE. Hld SHIFT-asen nede mens du ryer MENU-asen ( dee ilsvarer SETUP) Bla nedver i menyen sm frammmer il linjen mere Angle. Til høyre fr Angle sår de valge vinelmåle sm enen er Deg (fr Degrees eller grader) Rad (fr Radianer) eller Grad (fr Grades). Neders i displaye sår en meny med disse re valgene Deg Rad g Grad plasser re ver funsjnsasene F F g F henhldsvis. Fr å velge grader ryer du F. Dereer an du beregne eer å ha rye EXIT-asen. Es... Fr å finne den vinel A sm ilsvarer sin A 05 går du fram sli : Hld SHIFT-asen nede mens du ryer sin-asen. (Dee aiverer funsjnen sin ) Tas målalle 05 Try EXE-asen. Vinelmålalle 0 vises i displaye. Knrller dereer ved å ase SIN 0 g rye EXE-asen. Du an gå fram på ilsvarende måe fr frhldsallene cs g an. Oppg... a. Finn sin g cs 577 ved hjelp av alularen. b. Finn sin 9 g cs 77 ved hjelp av alularen. Hva ser du? c. Prøv med flere vinler g finn u m din hypese semmer. d. Finn en vinel A sm ppfyller an A 08. HiNT side 8 av 75

10 Funsjnsanalyse : Trignmeri Kyrre Jhannesen Oppg...5 Bru regneare Triggabell eller alularen g finn a. sin cs 59 g an 5. b. vinel A når sin A 0 g når cs A 095 g når an 009 g 0 A 80 Oppg... Oppg...7 Oppg...8 Fra ppen av e 0 m høy fyrårn ses en bå i en vinel på 9 under hrisnal rening. Hvr lang bre fra fyrårne er båen? En regulær 8-an er innsreve i en sirel med radius r. (Se fig.) Finn mresen il 8-anen ury ved r. Finn mresen av 8-anen dersm r 5 cm. I denne ppgaven sal vi regne med en vinelsørrelse al slhøyden. (Se fig.) Dee er minse vinelen mellm hrisnal rening g sielinja m sla. En persn sm er 5 m høy aser ved e idspun en sygge sm er 0 m lang. Finn slhøyda (vinel α på fig.) ved dee idspune. Oppg...9 Nen speidere vil finne høyden h il en lippe ved have. I en avsand x fra lippens f måles sievinelen m ppen av lippen il 0. Dereer går speiderne m lippen g i avsand y fra lippen måles sievinelen m ppen igjen denne gang il 0. Speiderne måle disansen på baen mellm de målingspunene il 0 m. a. Vis a an 0 h x g an 0 b. Bru abellen på s. il å vise a dee beyr a h y x h g y c. Bru a d x y 0 m il å finne høyden h av lippen. h Es...0 Finn alle ujene sideanlengder g vinler i rean ABC i fig... il vensre. Vi sal alså finne a c g β. ( 90 ) 58 β 80 sin cs a c a c sin cs HiNT side 9 av 75

11 Funsjnsanalyse : Trignmeri Kyrre Jhannesen Es... Finn alle ujene sideanlengder g vinler i rean ABC i fig. Vi sal her finne b α g β. 8 an α 058 α 5 9 β 80 ( 90 5 ) sin α c c sin α sin Oppg... I en revinle rean ABC er a AB 9 m AC b 5 m g ABC 90. Tegn hjelpefigur g se på mål. Finn alle ujene sideanlengder g vinler i rean ABC. Oppg... E vegsil viser en signing på 0 % Hva beyr dee? Finn signingsvinelen. Oppg...5 Figuren il vensre viser e par hisrise esempler på a rignmerise resnnemener har ha sr beydning i dee ilfelle innen rigføring. Ta fr deg hver av esemplene eer ur. Ner ujene sørrelser sm sal besemmes jene g måle sørrelser g frsø å see pp maemaise mdeller ved hjelp av frhldsallene sin cs g an fr å besemme de sørrelser sm en ønser å finne. HiNT side 0 av 75

12 Funsjnsanalyse : Trignmeri Kyrre Jhannesen. Vinler g vinelbuer I gemeri ener vi fe på vinler på en sais måe. En vinel er ganse enel sammenseningen av sråler med felles sarpun. I rignmeri ener vi fe på vinler på en dynamis måe. En vinel frammmer ved å rere en sråle mring si sarpun fra en sarpsisjn il en slupsisjn. Fr å regne u ujene sider g vinler i en revinle rean renger vi fe bare å berae vinler med gradall mellm 0 g 90 grader. Men fr en bredere uviling av rignmerien renger vi e mer dynamis syn på vinelsørrelser. Ie bare illaer vi vilårlig sre vinler men gså negaive vinler. Hvis en vinel genereres ved å rere en sråle fra en ugangspsisjn m urviseren er vinelen psiiv g dersm den genereres ved en rasjn med urviseren er den negaiv.. Vinelmålall i grader Tar vi en sirel g deler dens periferi (selve sirellinja) inn i 0 lie deler vil vinelen med pppun i sirelens senrum g med vinelåpning besem av en av disse delene så vil vinelen måle grad (srives ). Denne måen å måle vinler på sammer fra de gamle Babylnerne g er så familiær fr de flese i dag a vi i dee hefe har bru den uen mmenarer. Babylnerne brue gså en finere inndeling av vinelmålall ved a de dele grad inn i 0 (bue-)minuer (sreve )g minu inn i 0 (bue-)seunder (sreve ). Disse enheene er fremdeles i bru når vi angir psisjnen il e sed på jrdverflaen dvs. lengdegrad g breddegrad. I rignmerien sal vi imidlerid bare brue hele grader eller grader angi sm desimalall. Fr esempel vil vi srive 5 heller enn 0 '. De er viig å bli familiær med både psiive g negaive vinler fr å få e gd læringsubye av denne delen av urse. Es... I figuren il vensre er re vinler egne: Alle re har samme ppun samme ugangspsisjn g samme slu-psisjn men har uli gradall. Oppg... Tegn e bilde sm viser de ppgie vinlene nedenfr : a. 5 b. 5 c. 75 Oppg... Tegn en vinel på 5 g en på 5. Sammenlin vinlene g disuer.. Vinelmålall i radianer Vi har allerede nevn a alularen gir mulighe fr å måle vinler på re ulie måer nemlig i grader i radianer g i grades. Den sise enheen bygger på a vi deler inn sirelen i 00 lie deler i sede fr i 0 sm fr enheen grader. Denne enheen sal vi ie brue i denne framsillingen. HiNT side av 75

13 Funsjnsanalyse : Trignmeri Es... Bera fig... nedenfr : Kyrre Jhannesen Bli med på følgende aneesperimen. Rund en rinse med radius r er e au lag. Taue dras pp en lengde sm ilsvarer radiens lengde r. OP vrir seg da en vinel v. Denne vinelen sier vi måler radian v radian. Mer a vinelen v ie er li 0! (Se ppg...5) Da har pune P besreve en (vinel-)bue b sm har lengden b r. Drar vi aue pp en lengde r vil OP ha vridd seg en halv mdreining dvs. 80. Siden halvparen av sirelens mres er r får vi a v 80 radianer. Buen b er da b r. Med bagrunn i esemple definerer vi radian sli : Def... Oppg...5 Vinelen med ppun i senrum av en sirel med en buelengde li sirelens radius sier vi måler en radian. Finn u gradalle fr en vinel sm måler radian. Es... Siden vi ve a sirelperiferien er gange med radius-lengden vil en vinel på 0 måle radianer. Vi an lage en abell fr å sammenline vinelmålene grader g radianer : Oppg...7 a. Fyll u resen av abellen venfr. b. Regn m vinelmålalle 5 il radianer. Es...8 Ten deg a vi har mål en vinel il. Hvr sr er vinelen mål i radianer? Vi ve a 80 radianer. Dividerer vi denne liningen med 80 på begge sider får vi liheen radianer. 80 Vi får da a radianer radianer 0897 radianer Sen radianer radian grader Es... radianer 78 Radian-måler nyige frdi de er e mer reel mål enn grader. Inndelingen av sirelen i 0 lie deler var mer ilfeldig mens de er naurlig å dele inn sirelen eer hver mange radiuslengder de går på periferien. Radian-måle gir en enel måe å beregne buelengder på. HiNT side av 75

14 Funsjnsanalyse : Trignmeri Kyrre Jhannesen Buelengder Es... Ana er radian-måle il en vinel θ med ppun i senrum i en sirel med radius r. Vinelen uer en vinelbue s av sirelen sm ilfredssiller liningen b r Dee frdi en vinel på radian uer en vinelbue med buelengde r. Oppg... Hen fram filen Vinelmaal.fig fra CD-en M. Varier vinelen g suder sammenhengen mellm gradalle g radianalle fr vinelen. Kan du finne (ilnærme) hvile radianall sm ilsvarer en vinel på 0 g hvile gradall en vinel på radian ilsvarer. Enhessirelen Enhessirelen dvs. en sirel med radius er e svær viig redsap fr å frså frhldsallene sin cs g an fr en vinel g senere fr å frså funsjnene y sin y cs g y an fr vilårlige vinler. Vi nevner a dersm en sirel har radius li blir buelengdefrmelen i es... spesiel enel nemlig b. Sen...5 På enhessirelen er lengden av en vinelbue de samme sm radian-måle il vinelen den besemmer. Hva nå hvis > eller er negaiv? Fr å frså dee en deg e uendelig lang au sm represenerer den reelle allinjen. Ten deg a vi surrer aue rund enhessirelen sli sm fig... viser. Da vil lengden av aue sm ilsvarer en vinel på 8 radianer være nepp 8. Den au-bien reer aura ganger rund enhessirelen m urviseren. En aubi sm ilsvarer en vinel på radianer ville surres med urviseren nøyaig ganger rund enhessirelen g lengden vil være nepp. Oppg...7 Gjør m følgende vinelsørrelser il radianer a. 0 b. 0 c d. e. 0 HiNT side av 75

15 Funsjnsanalyse : Trignmeri Kyrre Jhannesen Oppg...8 Oppg...9 Gjør m følgende vinler il grader 5 a. radianer b. radianer c. radianer 7 d. radianer e. radianer f. radianer Finn radian-måle fr vinelen med ppun i senrum av en sirel med radius cm sm uer en vinelbue på cm. Es...0 Ten deg a pune P beveger seg på enhessirelen m urviseren fra pune (0) på x-asen. I hvilen vadran er P når de har bevege seg enheer. Eller 0 enheer? Disansen P beveger seg er li radianmåle sm OP beveger seg fra ugangssillingen. En avsand på enheer fører il a P havner i. vadran siden < < g siden 0 8 g < < så er P i. vadran eer å ha bevege seg 0 enheer langs enhessirelen. Oppg... Vis a areale A av sirelseren på fig. il vensre er gi ved A r r er sirelens radius er radian-måle il sesrens senralvinel. (HiNT : Finn u hvr sr del av hele sirelen sirelseren ugjør.) Oppg... I denne ppgaven anar vi a Jrda er en ule med radius r 70 m Ten deg a du br e sed på 5 nrdlig bredde. Regn u hvr lang fra Nrdplen du br. Levanger ligger på 7 nrdlig bredde mens Osl ligger på ca. 0 nrdlig bredde. Hvr mye lengre nrd mål i m ligger Levanger enn Osl. Oppg... Fra Jrda ser vi månen under en vinel på 0 5. (Se fig. il vensre) Finn avsanden mellm Jrda g månen mål m når måneradius er mål il 755 m. HiNT side av 75

16 Funsjnsanalyse : Trignmeri Kyrre Jhannesen Oppg...5 Seundviseren på en le er cm lang. Hvr lang beveger viserspissen seg på 0 seunder?. Krdinaer på enhessirelen Vi har hiil definer sin α csα g an α fr spisse vinler dvs. vinler α sli a 0 < α < 90. I dee avsnie sal vi gi en definisjn sm er mer generell g sm dermed an brues i en bredere sala. Ten deg a vi plasserer en vinel α med ppune i rig i e revinle rdinasysem. (fig...) g ugangspune Q (0) på den psiive x-asen. La (xy) være sjæringspune P mellm vensre vinelbein il vinelen α g enhessirelen med senrum i rig. Da blir sin α y x y g csα x. Alså er P ( cs α sin α). Dee danner grunnlage fr en mer generell definisjn av sin α csα g an α. Def... La α være en vinel med radianmål g med ppun i rig g ugangspsisjn langs psiiv x-ase. La P (xy) være sjæringspune mellm vensre vinelbein il α g enhessirelen ( plasser med senrum i rig). Da definerer vi sin α sin y g csα cs x P csαsin α cs sin sli a ( ) ( ) På bagrunn av de sening.. sier an vi i denne definisjnen la være e hvile sm hels psiiv eller negaiv reel all sli a sin α g csα er definer fr vinler med alle mulige reelle radianmål. Mer deg gså a på grunn av de vi vise i (*) på side 5 er den nye definisjnen av sin α g csα er nsisen med den gamle. Overbevis deg selv ved å berae fig... il vensre. Vi an nå regne u rdinaene il puner på enhessirelen svarende il vinler med enle radianmål. (fig...) Du an ene på denne figuren sli : Når e pun P (xy) sarer på enhessirelen i (0) g vandrer m urviseren vil rdinaene il P endre seg ninuerlig eer sm vinelen α øer. De an være en frdel m du lærer deg rdinaene il de flese av de angie vinler i. vadran med ane på arbeide med de rignmerise funsjnene. HiNT side 5 av 75

17 Funsjnsanalyse : Trignmeri Kyrre Jhannesen Oppg...5 Se nøye på fig... på frrige side. Mer deg hvrdan sammenhengen mellm 5 rdinaene il fr esempel sv. g er. Bru figuren il å finne andre slie sammenhenger. Vi ser nå a så snar vi jenner rdinaene il e pun på enhessirelen an vi finne sinus g csinus il den rrespnderende vinelen : Oppg... Hen inn filen Enhssirelen.fig fra CD-en M. Varier vinel u g suder sammenhengen mellm P s rdinaer g sinus g csinus il vinelen. Disuer g frlar med egne rd.. Dynamis perspeiv på sin g cs Vi sal nå frsøe å se dynamis på hvrdan sinus g csinus il en vinel endrer seg når vi beveger ss rund på enhessirelen. Måle er alså å ende pp med en ninuerlig funsjns-besrivelse av både sinus il vinelen g csinus il vinelen. Es... Når øer fra 0 dvs. når pune P beveger seg fra (0) langs periferien il enhessirelen m urviseren sarer x på verdien g avar dereer ninuerlig m 0 (når ) g videre il sin lavese verdi (når ) g øer dereer il 0 igjen (når ) g videre m (når ). Siden x cs har vi derfr nepp besreve hvrdan cs varierer når varierer. På samme måe an vi besrive hvrdan sin varierer når varierer. Mer spesiel a x- g y-rdinaene hele iden ligger mellm g (inlusive). Vi har alså følgende egensaper : Sen... a. sin g cs. b. sin cs. Bevis fr b. : Siden P ligger på enhessirelen er OP nsan li. Bruer vi Pyhagras sening på rean OQP får vi a x y eller siden x cs g y sin a sin cs. Liheen i b. er en lihe sm vil gjelde fr alle reelle. HiNT side av 75

18 Funsjnsanalyse : Trignmeri Sen... sin( ) cs g cs( ) sin Kyrre Jhannesen Bevisanydning gjennm e esempel : Bera de reanene OQ P g OQP på fig... De er pplag ngruene. Dermed er sin 70 cs 0 g cs70 sin 0. Eller : u OP'Q' 80 ( ) 0 g OQ' sin u OQ' så sin u sin 0 OQ'. OP' OQ' På den annen side er cs70 OQ'. OP' Dermed blir cs 70 OQ' sin 0. De er lar a hver av disse argumenene vil gjelde uanse sørrelse på vinelen QOP. Fr å se a argumene vil gjelde fr vilårlige vinelsørrelser (psiive eller negaive) er de n å mere seg a ± ±... alle besemmer samme pun på enhessirelen g derfr har samme sinus g csinus. Vi uryer dee ved å si a sin g cs er peridise funsjner med peride. Sen... sin g cs er peridise funsjner med peride dvs. sin( ) sin g cs( ) cs 7 Es...7 Vi sal finne sin g cs ved hjelp av enhessirelen. De pune P på enhesirelen sm ilsvarer vinelen har rdinaer sli a sin. Siden 7 7 vil cs cs cs. Krdinaene il pune P på enhessirelen sm ilsvarer vinelen er sli a 7 cs cs Oppg...8 Bru enhessirelen g sen... il å finne a. sin 9 b. sin c. 9 cs d. cs Oppg...9 Bru a sin g cs il å finne sin(-87) g cs(-87). Oppg...0 a. Bru fig. il vensre på nese side il å vise a sin( ) sin g cs( ) cs. b. Bru fig. il høyre på nese side il å vise a sin( ) sin g cs( ) cs Mer deg a punene sm ilsvarer vinlene g ligger symmeris m rig. HiNT side 7 av 75

19 Funsjnsanalyse : Trignmeri Kyrre Jhannesen Oppg... Bru enhessirelen il å finne re vinler θ (mål i grader) sli a a. sin θ 0 b. cs θ 0 Oppg... Vis ved regning a pune P ligger på enhessirelen. 5 5 La Q (0) g la θ QOP (regne i psiiv mløpsrening). Besem sin θ csθ cs( θ) sin( θ) g sin θ g cs θ. Oppg... Bru a punene på enhessirelen sm ilsvarer vinlene g symmeris m y-asen (egn) il å vise a sin sin g cs( ) cs. ( ) ligger Oppg... Ten deg a du sal finne de vinler i. mløp (dvs. i [ ] sin 08. Da an du gå fram sli : 0 ) sm er sli a Mer av A (0.80) på.-asen. Tre ei re linje gjennm A parallell med.-asen. Der denne linja sjærer enhessirelen finner vi puner sm hver besemmer vinler α g β sm begge har sinus li 08. Gå frem sm vis venfr g finn de vinler i førse mløp sm ppfyller ) sin 05 ) cs 05 Oppg...5 Hen inn filen Enhessirelen.fig fra CD-en M. Varier vinelen fra 0 radianer il radianer. Suder hvrdan sin g cs endrer seg når øer. Hvr øer cs g hvr miner cs? Hvr er cs psiiv g hvr er cs negaiv? Tilsvarende fr sin. Disuer g besriv. HiNT side 8 av 75

20 Funsjnsanalyse : Trignmeri Kyrre Jhannesen.5 Å finne verdier il de rignmerise funsjnene Fr å gjøre full bru av de rignmerise funsjnene må vi unne finne verdiene fr andre vinler enn de spesielle vi har se på i de fregående avsniene. Den enlese måen å gjøre dee på er selvfølgelig å rye på de ree asene på alularen din sli sm vi har sisser i es... g es.... De enese du da må huse på er a alularen sal vise re vinelmdus grader eller radianer avhengig av hva vi ønser å regne med. Vi mener lievel a du fr å unne ha en gd frsåelse av de rignmerise funsjnene bør unne ne mer enn dee. Redsape fr å frså hvrdan alularen regner u er en gd frsåelse av bru av enhessirelen il å finne verdier sli sm vi anyde i ppgave.. venfr. Oppg..5. Hen inn filen GrafeSinCsTan.fig fra CD-en M. Slå på alle napper under g g bru 5 il å endre vinelen. Suder sinusverdien eer sm vinelen endres. Slå dereer av nappen Vis sinus-grafe under g slå på Vis csinus-grafe under pun. Suder csinus-verdien eer sm vinelen endres. Grunnvinler g grunnverdier La θ være en vilårlig vinel g la være radianmåle il θ. Til vinelen θ hører allid en grunnvinel θ0 sm er den minse psiive vinelen mellm slupsisjnen il θ g x-asen. (fig..5. øvers). Radianmåle 0 il θ 0 alles grunnverdien. Es Grunnverdien il er (Nes øvers i fig..5.) 0. Når vi jenner 0 an vi finne sin cs sv. uanse hva er. Es..5. Hver vinel θ i figurene B C g D har θ0 sm sin grunnvinel g hver har 0 sm grunnverdi. Es..5.5 Es..5. Hvis vi ønser å regne u cs må vi førs finne grunnverdien fr : Da er cs cs (se ppg...) Fr å finne an 95 bserverer vi førs a 95 8 Grunnverdien fr er Derfr får vi a : an 95 an an Fregne mmer her av a an er negaiv i. vadran. HiNT side 9 av 75

21 Funsjnsanalyse : Trignmeri Kyrre Jhannesen Es..5.7 ) Vi sal finne sin (med vinelen mål i rad) Grunnvinelen blir θ Dessuen er sin θ 0 sin Da blir sin sin ) Vi sal finne cs Grunnvinelen blir θ Dessuen er csθ 0 cs Da blir cs cs Vi an nrllere resulaene i disse esemplene ved å ase sin g cs diree. Vi får : sin cs Oppg..5.9 Finn sin 79 g cs 00 (vinlene er mål i radianer) Es..5.0 Vi sal finne (i førse mløp) når ) sin 0908 ) cs Løsning : ) Taser vi SHIFT SIN g dereer 0908 på alularen (hus vinelmdus RAD) får vi 00. Dee gir ss den førse vinelen sm ppfyller sin Den andre vinelen sm ppfyller sin 0908 ligger i. vadran siden sinus er psiiv bare i. g. vadran. Denne vinelen blir ) Taser vi SHIFT COS g dereer på alularen (hus vinelmdus RAD) får vi 85. Dee gir ss den førse vinelen sm ppfyller cs Den andre vinelen sm ppfyller sin 0908 ligger i. vadran siden csinus er negaiv bare i. g. vadran. Denne vinelen blir 85 Oppg..5. Bru alular g gå fram sm i es..5.0 g finn én vinel når : a. sin - 07 b. cs 0 c. sin Oppg..5. Finn alle løsninger i førse mløp av de rignmerise liningene nedenfr : a. sin θ 0 b. cs θ c. csθ d. sin θ 0 5 e. sin θ 0 98 f. cs θ 0 9 HiNT side 0 av 75

22 Funsjnsanalyse : Trignmeri Kyrre Jhannesen. Grafer il de rignmerise funsjnene I dee avsnie sal vi sudere grafene il funsjnene sin cs g an. Du bør bli såpass jen med disse grafene a du an deres senrale araerisia g an sissere dem ras når du renger dem. Grafene vil hjelpe deg på frsjellige måer. Fr de førse vil du unne gjenjenne g huse viige egensaper il de rignmerise funsjnene ved hjelp av grafene g fr de andre vil de hjelpe deg il å egne grafene il andre mer sammensae rignmerise funsjner.. Grafen il y sin Vi begynner med en abell med funsjnsverdier fr vinler i inervalle [ 0 ] : Pler vi disse punene i rdinasyseme g reer en sammenhengende urve får vi urven sm er vis il høyre i fig... nedenfr. I fig... har vi gså vis sammenhengen mellm på enhessirelen g grafen il funsjnen y sin. I figuren er grafen egne bare i inervalle [ 0 ] dvs. en peride. Fra denne an vi frsee grafen i de uendelige i begge reninger på en gjenaende måe på grunn av a sin( ) sin. HiNT side av 75

23 Funsjnsanalyse : Trignmeri Oppg... Bru fig... g sammenlin av grafen. Kmmener. sin med sin g 5 sin med Kyrre Jhannesen 7 sin ved hjelp Oppg... Hen inn filen GrafeSinCsTan.fig fra CD-en M. Slå på alle napper under g g bru 5 il å endre vinelen. Suder sinusverdien eer sm vinelen endres. Når er sinus il vinelen li 0 når er den psiiv g når er den negaiv. Hvr har den sine pp- g bunn-puner.. Grafen il y cs Vi sarer gså her med en abell : Sammenliner vi med abellen fr sin finner vi de samme funsjnsverdiene bare frsjøve i - verdi med m vensre. Grafen i inervalle [ ] 0 vil se u sli : I figuren er igjen grafen egne bare i inervalle [ ] 0 dvs. en peride. Fra denne an vi frsee grafen i de uendelige i begge reninger på en gjenaende måe på grunn av a cs( ) cs. Grunnen il a cs ligger frsjøve i frhld il sin med er frdi cs sin Sen... cs sin Bevis : sin sin cs( ) cs. (Sje sen...5 g ppg...) HiNT side av 75

24 Funsjnsanalyse : Trignmeri Kyrre Jhannesen Fra begge disse grafene er de le å se a : Sen.... Både sin g cs er peridise funsjner med peride.. sin g cs.. sin n n Z. 5 cs 0... n n O.. sin > 0 i. g. vadran. cs > 0 i. g. vadran. 5. sin( ) sin g cs( ) cs sin er symmeris m rig. cs er symmeris m y-asen. Vi sal il slu i dee avsnie se nærmere på grafen il y an. Oppg...5. Hen inn filen GrafeSinCsTan.fig fra CD-en M. Slå på alle napper under g alle unna Vis sinus-grafe under g slå på Vis csinus-grafe under pun. Suder csinus-verdien eer sm vinelen endres. Når er csinus il vinelen li 0 når er den psiiv g når er den negaiv. Hvr har den sine pp- g bunn-puner.. Grafen il y an Tabell g grafe fr an vil se sli u i inervalle [ ] 0 : Førs bserverer vi a de finnes en viig sammenheng mellm an u g sin u g cs u fr alle vinler u : Sen... an u sin u cs u Bevis : Bera fig... il vensre. Vi ser a PQ PQ OQ sin u an u. OP OP cs u OQ HiNT side av 75

25 Funsjnsanalyse : Trignmeri Kyrre Jhannesen Vi ser av dee a når u blir cs u 0 sli a an u blir udefiner når u. De samme sjer fr alle dde mulipla av. Dee beyr a grafen har veriale asymper fr 5... sv. Bera igjen enhessirelen il vensre i fig... De viser seg a an u RS fr hver u! Fr å vise dee bserverer vi a rean ORS er frmli med rean OPQ. Dee gir ss a : RS PQ PQ RS RS. Dee gir ss a : an u RS. OR OP OP OR Vi ser gså a når u vil RS.De samme sjer når u nærmer seg sv. Vi ser gså a dersm u > (fig...) vil vi siden rean ORS er frmli med rean OPQ ha a PQ RS RS an u RS sm før men her går RS msa veg sli a an u bli negaiv. Sm OP OR vi ser semmer dee med grafen il høyre. Bru selv figuren il å finne u hva sm sjer når u passerer henhldsvis g g nrller m grafen il høyre. Vi ser av grafen a an er peridis med peride. Dessuen ser vi a an i msening il sin g cs har en ubegrense verdimengde V an R. Oppg... Hen inn filen GrafeSinCsTan.fig fra CD-en M. Slå på alle napper under g alle unna Vis sinus-grafe under g alle unna Vis csinus-grafe under pun. Slå så på alle napper under g varier vinelen. Suder verdien il y an eer sm vinelen endres. Når er angens il vinelen li 0 når er den psiiv g når er den negaiv. Har den pp- g bunn-puner? HiNT side av 75

26 Funsjnsanalyse : Trignmeri Kyrre Jhannesen. Definisjnsmengder g verdimengder fr sin cs g an Vi har allerede nevn a vi an velge hvilen sm hels vinelsørrelse g både sin g cs vil finnes. Fr an siller seg saen imidlerid ne annerledes i g med a an ie er definer når er e ddealls muliplum av. På bagrunn av dee får vi a D sin R D cs R g D an R \ Når de gjelder verdimengdene ve vi a både sin g cs vil ligge mellm eller være idenis li V sin V cs eller mens an an inna alle reelle verdier. Dermed får vi a [ ] [ ] g V an R. Vi ppsummerer : Sen... D sin R g V sin [ ] R V cs D cs g [ ] D an R \ g V an R.5 Sammenseninger av de rignmerise funsjnene Es..5. Vi sal egne grafene il følgende sinus-relaere funsjner i inervalle [ ] : ) y sin ) y sin ) y sin ) Grafen il y sin : Vi ser a grafen il y sin svinger mellm g har de samme nullpuner sm y sin g har samme peride sm y sin nemlig. ) Grafen il y sin : HiNT side 5 av 75

27 Funsjnsanalyse : Trignmeri Kyrre Jhannesen Vi ser a sin har en peride på sm fr sin. Dee anyder a Sen..5. Periden il y sin B er B ) Grafen il y sin : Her ser vi a uslage på svingningene er g periden er (frdi ). B Oppg..5. Sisser grafene il funsjnene i de ppgie inervallene : a. y cs når b. y sin når c. y cs når d. y sin når e. y cs når f. y cs når g. y sin når. Grafer il summer av rignmerise funsjner Es... Vi sal sissere grafen il funsjnen y sin cs. Fr sammenliningens syld egner vi grafen il y sin g il y cs i samme rdinasysem sm fr y sin cs. Her an vi ene sli når vi sal egne grafen il y sin cs : Fr hver verdi av regner vi u funsjns-verdien il y sin g il y cs g adderer dem fr å få y-verdien il y sin cs. Grafen il y sin cs har peride på. Oppg... Velg e pun på -asen på fig. (dvs. velg en verdi fr vinelen ). Knrller ved å egne en lddree linje på -asen i pune g måle a addisjnsprinsippe semmer på figuren. HiNT side av 75

28 Funsjnsanalyse : Trignmeri Kyrre Jhannesen Oppg... Hen inn filen GrafeSumSinCs.fig fra CD-en M. Slå på både grafen il y sin il y cs g il y sin cs. Finn sammenheng mellm funsjnsverdiene il y sin g y cs i frhld il funsjnsverdien il y sin cs. Disuer g frlar med egne rd. Oppg...5 Sisser grafen il følgende funsjner i inervalle [ ] : a. y sin cs b. y sin cs c. y sin sin d. y sin cs e. y sin cs f. y cs cs Oppg... Sisser grafen il hver av funsjnene i de angie inervalle : a. y cs når b. y sin når c. y cs når Oppg...7 Finn peridene g masimaluslagene fr hver av funsjnene i ppgave... Oppg...8 Sisser grafen il funsjnen y cs sin fr. Bru meden med å addere funsjnsverdier fr hver av delfunsjnene. Oppg...9 Sisser grafen il funsjnen y sin fr. Bru meden med å addere funsjnsverdier fr hver av delfunsjnene. Oppg...0 Sisser grafen il funsjnen y cs fr 0. Regn u funsjnsverdiene fr g pl funsjnsgrafen. Oppg... Finn ilnærmede løsninger av liningen sin i inervalle [ ] 0 ved å egne grafene il y g y sin i samme rdinasysem. HiNT side 7 av 75

29 Funsjnsanalyse : Trignmeri Kyrre Jhannesen. Trignmerise idenieer g lininger.. Fundamenale rignmerise idenieer Vi liser pp nen fundamenale rignmerise liheer. Vi nevner gså a de er vanlig å definere re andre rignmerise funsjner (7. 9.) i illegg il de re vi har arbeide med i dee hefe (vi sal ie velegge sudie av disse i denne framsillingen) : sin. an 7. cs. sin cs 8.. sin cs 9.. cs sin 5. sin( ) sin cs cs. ( ) cs c (cangens) sin an sec csc cs sin.. Flere rignmerise idenieer I dee avsnie ber vi leseren være ppmersm på a de fremmer en del uledninger sm rever sierhe i algebrais mfrming av ury. Dersm leseren føler seg usier underveis bør man gå ilbae il den delen av urse der grunnlagselemenene i algebra ble behandle. Es... HiNT side 8 av 75

30 Funsjnsanalyse : Trignmeri Kyrre Jhannesen I fig... på frrige side er rdene i de enhessirlene lie lange. Fra før jenner du ansje frmelen fr avsanden d mellm puner ( x y) g (x y ) i plane : d ( x x ) ( y y ) eller d ( x x ) ( y ). y Bruer vi denne frmelen fr å finne lengden d av rden mellm de punene på enhessirelen il høyre på fig... får vi : d cs α β sin α β cs α β cs α β sin α β ( ( ) ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) cs ( α β) sin ( α β) cs α β cs α β cs α β [ ] ( ) ( ) ( ) Bruer vi samme frmel på enhessirelen il vensre på fig... får vi : d csα csβ sin α sin β cs α csα csβ cs β sin ( ) ( ) [ cs α sin α] csα csβ sin αsin β [ sin α sin β] ( csα csβ sin αsin β) α sin αsin β sin csα csβ sin αsin β Siden rdelengdene er de samme får vi : cs( α β) ( cs α csβ sin α sin β) eller cs( α β) cs α csβ sin αsin β Denne uledningen er baser på en figur der vinlene α g β begge er valg å være psiive vinler. Små mdifiasjner i denne uledningen vil unne gi ss samme resula fr vilårlige vinler g dermed fr vilårlige radian-mål s g. Sen... a. cs( s ) css cs sin s sin b. cs( s ) css cs sin s sin Bevis fr b. : Idenieen i b. følger fra idenieen i a. ved å ersae med g brue fundamenal idenieene cs( ) cs g sin( ) sin. Gjør uledningen selv i ppgave..5. Sen... a. sin( s ) sin s cs css sin b. sin( s ) sin s cs css sin Bevis : a. Siden sin u cs u får vi gså a sin( s ) cs (s ) cs s cs s cs sin s sin cs css sin sin s cs css sin 0 sin s cs css sin ( ) sin s cs css sin b. Ersaer vi med i a. får vi resulae i b. Vis dee selv i ppg...5. Oppg...5 a. Sriv uledningen i bevise fr resulae i sening...b. b. Sriv uledningen i bevise fr resulae i sening...b. De finnes en del andre nyige idenieer fr rignmerise funsjner : β HiNT side 9 av 75

31 Funsjnsanalyse : Trignmeri Kyrre Jhannesen Sen... a. cs cs sin g cs sin g cs cs b. sin sin cs Bevis : a. Fra sen...b får vi : cs( ) cs cs sin sin cs sin De andre idenieene i a. fås enel ved å brue asin cs. Vis dee selv i ppgave..7. b. Fra sen...a får vi : sin( ) sin cs cs sin sin cs. Oppg...7 Vis uledningen av de reserende idenieene i sening...a. Vi avsluer denne delen med en idenie fr angens il en sum av vinler : Sen...8 an ( s ) an s an an s an Bevis : an ( s ) sin(s ) cs(s ) an s an an s an sin s cs css sin css cs sin s sin sin s cs css sin css cs css cs css cs sin s sin css cs css cs Oppg...9 a. Bru sening...a g sening...b il å vise a sin( ) sin sin. b. Bru sening...b g sening...a il å vise a cs( ) cs cs HiNT side 0 av 75. Oppg...0 Finn en esa verdi av hver av uryene : a. ) sin sin sin b. ) cs cs cs c. ) sin sin sin d. ) cs cs cs Oppg... Sriv hver av uryene nedenfr sm e enel sinus-ury eller csinus-ury : a. cs cs sin sin b. cs cs sin sin c. 7 7 sin cs cs sin d. cs cs 7 sin sin 7

32 Funsjnsanalyse : Trignmeri Kyrre Jhannesen Oppg... Bru idenieene vi har vis i dee avsnie il å vise a flg. idenieer gså gjelder : a. sin( ) sin b. cs( ) cs c. sin cs d. cs sin Oppg... La i denne ppgaven α g β være vinler i. vadran g ana a 5 sin α g csβ. Regn u hver av uryene : 5 a. cs α b. sin β c. sin ( α β) d. cs ( α β) e. sin ( α β) f. cs ( α β) an α β g. ( α β) an h. ( ) Oppg... Bru idenieer eabler i dee avsnie il å srive hver av uryene sm e enel ury : a. sin cs b. sin cs c. cs sin d. sin Oppg...5 Regn u følgende ury når sin g < < 5 a. cs b. sin c. cs d. an : Oppg... Bru sening..8 il å vise følgende idenieer : an s an a. an ( s ) b. an ( s ) an s an s an c. Disuer g frlar med egne rd hva liheen i b. uryer. Tegn gjerne figur il å illusrere anegangen din eller bru fig... Oppg...7 Bru addisjns- g subrasjnsfrmlene sm ble vis i sening.. g i sening.. il å regne u flg. uen bru av alular : a. cs 75 (HiNT : ) b. sin 05 c. sin 5 (HiNT : ) Oppg...8 I denne ppgaven sal vi behandle e ury vi får bru fr når vi sal finne den derivere il sin g cs. Ury hver av uryene nedenfr sm en sum av prduer : a. sin( x h) sin x b. cs( x h) cs x HiNT side av 75

33 Funsjnsanalyse : Trignmeri Kyrre Jhannesen 5. Trignmerise lininger Hva har maurprbleme med rignmerise lininger å gjøre? Vel leseren er sier enig i a eer seunder er den seine mauren sm da har bevege seg enheer langs enhessirelen i pune ( cs sin ). Den rase muren er derim i pune ( cs sin ). Videre vil den ene mauren være re venfr den andre dersm deres. rdinaer er idenise dvs. dersm cs cs. Vi må alså finne den førse verdi > 0sli a liningen cs cs hlder. Vi sal løse denne liningen senere i dee avsnie men sarer med å løse nen enlere rignmerise lininger. 5. Trignmerise grunnlininger Es.5.. Vi sal løse liningen sin. Vi har idligere vis a er en løsning av liningen g på 5 grunn av resulae i ppgave.. er gså en løsning av denne liningen i førse mløp men de er ie de enese. 5 Vi ser a... g... g g alle er løsninger i illegg il de løsningene i førse mløp. Fr å finne alle løsningene har vi bru a sinusfunsjnen er peridis med peride. Vi an samle dee i én srivemåe : 5 sin har løsningene Z g Z der srivemåen Z beyr a an ana alle psiive g negaive helallsverdier. Generel har vi a løsningen il grunnliningen sin a når 0 an finnes ved å :. Tegne linja y a g mere av sjæringspunene P g P med enhessirelen.. Punene P g P besemmer vinler α g α sm er løsninger av liningen i førse mløp.. De andre løsningene finnes ved å legge il eller subrahere e vilårlig psiiv eller negaiv helallsmuliplum av il disse vinlene. HiNT side av 75

34 Funsjnsanalyse : Trignmeri Kyrre Jhannesen Oppg.5.. Hen inn filen Grunnlinsin.fig fra CD-en M. Velg sinus-verdi g vis g suder løsningene i førse mløp.vis gså grafen il y sin g finn u hvrdan løsningene endrer seg når du endrer sinus-verdi. Disuer g frlar med egne rd de du finner u. Es.5.. Vi sal løse liningen cs. Vi har idligere vis a er en løsning av denne liningen. Bera så fig.5... Her ser vi a vinelen gså vil være en løsning av liningen. Krever vi a begge disse ugangsløsningene sal ligge i førse psiive mløp vil vinelen ilsvare vinelen 7. Siden csinusfunsjnen er peridis med peride vil alle illegg av helallsmulipla av il disse løsningene være løsninger av liningen cs. Vi an samle dee i én srivemåe : cs 7 har løsningene Z g Z der srivemåen Z beyr a an ana alle psiive g negaive helallsverdier. Generel har vi a løsningen il grunnliningen cs b når 0 an finnes ved å :. Tegne linja x b g mere av sjæringspunene P g P med enhessirelen.. Punene P g P besemmer vinler α g α sm er løsninger av liningen i førse mløp.. De andre løsningene finnes ved å legge il eller subrahere e vilårlig psiiv eller negaiv helallsmuliplum av il disse vinlene. Oppg.5.. Hen inn filen Grunnlincs.fig fra CD-en M. Velg csinus-verdi g vis g suder løsningene i førse mløp.vis gså grafen il y cs g finn u hvrdan løsningene endrer seg når du endrer csinus-verdi. Disuer g frlar med egne rd de du finner u. Es.5..7 Vi sal løse liningen an. Vi ser av fig.5..8 a er en løsning i førse psiive mløp. Dessuen er i. vadran en løsning. Krever vi a begge disse løsningene sal ligge i førse psiive 7 mløp vil den sise løsningen ilsvare. HiNT side av 75

35 Funsjnsanalyse : Trignmeri Kyrre Jhannesen Nå huser vi fra avsni. a angensfunsjnen er peridis med peride. Dermed blir alle helallsillegg av il disse løsningene gså løsninger av liningen an. Vi an samle dee i én srivemåe : an har løsningene 7 Z g Z der srivemåen Z beyr a an ana alle psiive g negaive helallsverdier. Oppg.5..9 Løs liningene nedenfr når 0. Du an brue alular i c. g f. (Se es...) a. sin b. sin c. sin 0 8 d. cs e. cs f. cs 0 Oppg.5..0 Finn den generelle løsningen il liningene nedenfr. Du an brue alular i c. a. an b. an c. an Flere rignmerise lininger Es.5.. Vi sal løse liningen cs an cs. Es.5.. Førs bserverer vi a liningen an srives sm e prdu : cs an cs cs an cs 0 cs ( an ) 0 Dernes bserverer vi a A B 0 A 0 eller B 0 eller begge 0. Dee gir ss a : cs ( an ) 0 cs 0 eller an 0. Med en mfrming av angensliningen ender vi derfr pp med en grunnlining i csinus g en grunnlining i angens : cs 0 Z eller m m Z an 0 an n n Z eller Z Hlder vi ss f.es. il løsningene i førse psiive mløp får vi : 7 cs an cs eller eller eller. Hvrdan an vi løse den vadraise liningen cs? Vi løser den aura sm en vanlig vadrais lining. Fr å se dee an vi subsiuere y cs. Da har vi cs y g y cs g cs y g y cs y ± g y cs cs ± cs eller cs 5 7 el. eller el. dersm vi hlder ss il løsningene i førse psiive mløp. HiNT side av 75

36 Funsjnsanalyse : Trignmeri Kyrre Jhannesen Es.5... La ss så løse den vadraise liningen sin sin 0. Vi subsiuerer y sin g får : sin sin 0 y y y el. y sin eller sin Hlder vi ss il løsningene i førse psiive mløp får vi : 7 sin eller sin el. eller. 0 g y g y sin sin Es.5.. Vi sal så løse maurprbleme sm vi sare avsni 5. med. Prbleme resulere i liningen cs cs. Her an vi brue den sise idenieen fra sening...a. il å gjøre liningen m il en vadrais lining i cs : cs cs cs cs cs cs 0 y y y 0 g el. y y g y cs cs cs eller cs Dersm vi hlder ss il førse psiive mløp blir løsningene el. eller 0 Den minse psiive løsningen er dermed. Eer li ver seunder vil dermed den seine mauren være lddre venfr den rase. Finn selv u hvr lang hver av maurene har bevege seg i løpe av dee idsrmme. Es Vi sal nå løse en rignmeris lining ved å vadrere begge sidene i liningen. ( ) ( ) cs sin cs sin i førsemløp. ( ) HiNT side 5 av 75 cs cs sin cs cs cs cs cs cs 0 y y 0 g y cs y el.y g y cs cs eller cs eller eller 0 Siden vi ved å vadrere an ha få med false løsninger er de nå viig å sjee alle re løsningene fr å se m de passer i liningen. Da vil vi se a ie passer sli a løsningene av liningen cs sin er eller 0.

37 Funsjnsanalyse : Trignmeri Es.5.. Kyrre Jhannesen Til slu i dee avsnie sal vi finne alle løsninger il liningen cs. Her an vi brue subsiusjnen y fr å få en gjenjennelig lining å løse. Mer hvrdan vi subsiuerer ilbae il en lining med sm ujen førs eer a vi har funne y-løsningene. cs cs y g y y 5 Z eller y n n Z g y 5 Z eller n n Z 5 Z eller n n Z Hlder vi ss il førse psiive mløp derim får vi løsningene Når vinelargumene er får vi alså 8 løsninger i førse mløp mens vi får løsninger når argumene er. Funsjnen y cs går alså gjennm hele perider på inervalle 0. Oppg.5..7 Finn alle løsninger il liningene nedenfr : a. sin b. cs c. an 0 d. sin 0 e. cs 0 f. sin g. cs h. an i. an 0 Oppg.5..8 Finn alle løsninger i inervalle [ ] 0 il liningene nedenfr : a. cs cs sin 0 b. sin sin c. sin sin 0 d. cs 0 e. sin cs sin 0 f. cs cs 0 Oppg.5..9 Finn alle løsninger il liningene nedenfr : sin an b. cs 0 5 a. ( ) ( ) 0 Oppg.5..0 Bru en alular g finn alle løsningene il liningene : a. sin 089 b. cs 0877 Oppg.5.. En lyssråle fra laserlampen L (se fig.) blir refleer i M i e speil il pune O på ei plae. a Se pp ei lining sm gjør a du an finne vinelen θ. b Løs liningen g besem vinelen θ. Oppg.5.. Tm g Jn har gå seg vill i sgen g er ved pune A mil fra mrvegen. Tm g Jn legger u i hver sin rening m mrvegen g Tm når mrvegen i pun B g Jn i C mil lenger nedver vegen. Se pp ei lining fr å besemme vinel θ g løs den. HiNT side av 75

38 Funsjnsanalyse : Trignmeri Kyrre Jhannesen. Inverse rignmerise funsjner I es... vise vi hvrdan du ved hjelp av alularen an finne vinelen når du har gi sinusverdien csinusverdien eller angensverdien il vinelen. Dee gjrde vi ved hjelp av innebygde funsjner på alularen al sin cs g an. Disse funsjnene er i en viss frsand mvende eller inverse funsjner il funsjnene sin cs g an.. Inverse funsjner Def... a. En funsjn f er en-il-en dersm f ( ) f ( ) b. funsjn g er en invers funsjn il f (i e mråde) dersm g(f()) (fr alle i mråde). Når g er en invers funsjn il f sriver vi fe g smf. Vi har alså a f (f ()) fr alle i mråde. Sen... Dersm funsjnen f er en-il-en (i e mråde) har f en invers funsjn f ( i mråde). Hver gang en funsjn f er en-il-en vil de fr hver x- verdi finnes en g bare en f()-verdi. Dermed an vi finne en funsjn sm går msa veg dvs. sm avbilder f() på : f (f ()).. Funsjnene sin cs g an Hva så med sinusfunsjnen har den en inversfunsjn sin? Vel fr de førse er ie sinus-funsjnen en-il-en veral i si definisjnsmråde. Se fig.... Dermed må vi begrense definisjnsmengden dersm sin sal ha en invers. Sm vi ser av figuren er de mange mulige valg av inervall sm gjør sin en-il-en. De er vanlig å velge inervalle. I dee inervalle er sinus-funsjnen en-il-en g dermed finnes de en invers funsjn sin på dee inervalle. HiNT side 7 av 75

39 Funsjnsanalyse : Trignmeri Kyrre Jhannesen Her ser vi a i dee inervalle vil de il enhver y-verdi svare en g bare en -verdi sm vi aller sin y. Es... sin sin () I nen lærever sriver en arcsin i sede fr sin. sin ( ) Def... Def... a. cs ( y) y cs g 0 b. an ( y) sin sin ( y) y sin g sin( sin (y)) y når y sin ( sin() ) når y Her er de sise liheene en diree følge av den førse. y an g Oppg...7. Hen inn filen GrafeInvSin.fig fra CD-en M. Vis grafen il y sin i mråde g dereer grafen il y sin i samme mråde. Sammenlin grafene g frsø å frlare a de er symmerise m linja y. Disuer g frlar med egne rd de du finner u. Oppg...8 Tegn grafer g verbevis deg selv på samme måe sm fr sinus-funsjnene m a definisjnene i.. er meningsfulle. Oppg...9 Finn en esae verdi il hver av følgende ury (uen å brue alular) : a. sin b. sin c. cs d. an (0) e. an () f. an ( ) Oppg...0 Bru alularen g finn verdiene i ppgave. HiNT side 8 av 75