Kapittel 5 MAGNETOSTATISKE FEL- TER
|
|
- Benedikte Lindberg
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 MAGNETOSTATISKE FEL- TER At et magnetisk feltproblem er statisk tilsier at eventuell tidsvariasjon er liten nok til at den ikke får betydning for løsningen. Det forutsetter da at eventuelle forskyvningstrømmer kan neglisjeres og at induserte strømmer på grunn av den eventuelle lille tidsvariasjonen ikke har praktisk betydning for feltfordelingen. 5.1 Innledning Maxwells ligninger reduseres i dette tilfellet til: E 0 H J Faradays induksjonslov (5-1) Ampères lov (5-2) D ρ Gauss lov (5-3) B 0 Alle flukslinjer lukkes (5-4) De 95
2 MAGNETOSTATISKE FELTER 5.2 Valg av potensial ved modellering av magnetiske problem Bruk av vektorpotensial Fra Maxwells ligninger vet vi at flukstettheten ikke har divergens, dvs: B 0 (5-5) Ligning (5-5) vil automatisk bli tilfredstilt dersom vi velger å definere et vektorpotensial slik at B er gitt som curl av dette. Et slikt valg er da basert på at divergens av noe som er curl til noe alltid er lik null, dvs: ( x C ) 0. Ut fra dette defineres: B A (5-6) - der A er et vektorpotensial som vi skal se egner seg godt som "regnestørrelse" i de analyser vi skal utføre. Figur 5 1: A er curl-kilden til B. Dvs. B "virvler" rundt A. Det finnes en rekke andre potensialer " i bruk", og ikke alle disse har noen spesiell fysikalsk tolkning. Vektorpotensialet A har egenskaper som gjør det lett å direkte knytte det til den magnetiske energien og fluksbegrepet. Ethvert vektorfelt må ha både curl og divergens definert for å være entydig. Ligning (5-6) definere curl for A. Hvilken divergens vi velger for A er derimot ikke avgjørende for beregningen av B. Ofte velges div(a)0, som ofte kalles Coloumbs valg. Fra Maxwell har vi Amperes lov: B H --- J µ dersom vi benytter (5-6) og antar at µ er konstant får vi: (5-7) Ved å benytte vektorligning: B --- µ 1 - A J µ (5-8) så reduseres ligning (5-9) til C 2 C + C (5-9) 96
3 Seksjon 5.2 Valg av potensial ved modellering av magnetiske problem 1 -( 2 A + A) J µ (5-10) så reduseres lign (5-10) vi- Dersom vi innfører Coloumbs valg dere til A 0 1 -( 2 A) µ 1 A --- z A z + µ x 2 y 2 J (5-11) Om vi gjennomfører den samme prosessen for sylindersymmetriske problem, får vi ligningen: 1 A - A θ θ1 A -- θ A θ + + µ r 2 r r r 2 z 2 J (5-12) Beregning av vektorpotensialet ved hjelp av Biot Savart lov I et homogent materiale (konstant permeabilitet) kan en beregne vektorpotensialet direkte fra strømmen som flyter i ledere i rommet. For enkelhets skyld antas her at lederne er tynne. I dette tilfellet kan en integrere over leder 1, L 1, og bestemmet vektorpotensialet i et punkt: Figur 5 2: Kildepunkt og observasajonspunkt A Iµ π (5-13) og som allerede vist i det innledende kapittelet kan vi beregne flukstettheten B på følgende måte: L 1 dl ---- r µ B π J r dv Lign. (5-14) får en ved å ta curl av ligning (5-13). V r 3 (5-14) Bruk av skalarpotensial Dersom en har problemer som kan beskrives uten frie strømmer (J), kan en benytte et skalart potensial som for elektriske felter. Utgangspunktet er da at vi har et konservativt felt: GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 97
4 MAGNETOSTATISKE FELTER H J f 0 (5-15) Vi kan da innføre det skalare magnetiske potensialet, Φ m, og uttrykke feltstyrke ved hjelp av dette: H Φ m (5-16) Tar vi i tillegg i bruk materialegenskapen beskrevet av B µ 0 ( H + M ) µ 0 ( H + M lin + Mperm ) (5-17) Gauss lov for magnetfeltet gir da: B ( µ 0 ( H + M lin + Mperm )) µ 0 µ r H )) + µ 0 Mperm 0 µ r 2 Φ m M (5-18) (5-19) Høyresiden av denne ligningen tolkes til tider som magnetisk ladningstetthet. 5.3 Grensebetingelser Grensebetingelser for vektorpotensialet. For magnetostatiske felter må en også oppgi grensebetingelser når de aktuelle partielle differensialligningene skal løses. I og med at bruk av vektorpotensialet er noe uvant skal vi her også prøve å gi dette en fysikalsk tolkning slik at grensebetingelsene også blir mer fysikalsk forstålige. Grensebetingelsene knyttes til definisjonen av vektorpotensialet. Vi har at: B A (5-20) I det todimensjonale planet, med B z 0, får vi B det i j j x y z 0 0 A z (5-21) Flukstettheten uttrykt ved deriverte av vektorpotensialet blir da: 98
5 Seksjon 5.3 Grensebetingelser A B ib x + jb y i y A j x Som medfører at delkomponentene kan skrives som (5-22) B x A A B y y x og (5-23) Mer generelt kan vi sette gjøre dette om til tangensial og normalkomponenter i forhold til randen: B n A A B t t n og (5-24) I praksis settes en av disse betingelsene lik null langs en rand. B n A 0 t (5-25) impliserer at fluksen går langs randen (ingen normalkomponent), og at vektorpotensialen ikke har variasjon langs randen. Dette betyr at randen er en ekvipotensialflate, som spesifiseres ved hjelp av en Dirichletbetingelse. Vi får da en flukslinje langs randen. B t A 0 n (5-26) impliserer at fluksen står normalt på randen (ingen tangensialkomponent). Vektorpotensialet endres da langs randen, og ikke i retning mot randen. Figur 5 3: Den totale fluksen kan beregnes ved å beregne linjeintegralet av A rundt flaten Fluksbegrepet og det tilknytning til grensebetingelsene Den totale fluksen som flyter gjennom en flate er gitt ved: Φ B ds (5-27) Fluksen er en skalar (ikkevektoriell) størrelse, og har kun tallstørrelse og fortegn. Ved hjelp av Stokes teorem kan vi skrive (5-27) om til S GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 99
6 MAGNETOSTATISKE FELTER Figur 5 4: Integrasjonsveien brukt ved beregning av fluksen Φ Φ ( A) ds S (5-28) Ut fra dette kan vi direkte studere vektorpotensialets tilknytning til fluksbegrepet. Dersom vi benytter kartesiske koordinater med A x og A y lik null, kan et linjeintegral gjennomføres svært enkelt, se fig. 5 4 Γ Adl Φ Adl ( ) l Γ A z, 1 A z, 2 Legg her merke til at bidraget til integralet er null i xy-planet. (5-29) Dersom vi regner pr. meter (l1) i ligning (5-29), så får vi det enkle uttrykket: Figur 5 5: Fluks mellom to punkter er gitt av forskjell A i vektorpotensialets verdi Φ ( A z, 1 A z, 2 ) (5-30) som igjen betyr at fluksen som flyter mellom to punkter er gitt av differensen i vektorpotensial. Ut fra dette kan en se at ekvipotensiallinjer for A er det samme flukslinjer Dirichletbetingelsen Når en kjenner verdien av vektorpotensialet på randen kan denne oppgis direkte - dvs en Dirichlet betingelse. I de fleste tilfeller vil en angi konstante verdier av vektorpotensialet langs en rand. Som vist over er dette det samme som at det går en flukslinje langs den aktuelle randen. Den vanligste bruken av Dirichlet betingelsen er altså: A(x,y) langs randen konstant (5-31) Hvilke verdier en skal sette på vektorpotensialet kommenteres mer i følgende eksempler Neumannbetingelen Neumanbetingelsen forteller direkte hvilken tangensialverdi flukstettheten har på randen,: 100
7 Seksjon 5.3 Grensebetingelser B t A 0 n (5-32) Setter vi homogen Neumann får vi at fluksen står normalt på den aktuelle flaten Eksempler: Spole med jernkjerne og luftgap I dette tilfellet kan vi studere en enkel reaktor (induktor-spole) med jernkjerne og luftgap, se fig Antar at jernet i kjernen har svært høy permeabilitet. I dette tilfellet vil vi et fluksbilde som vist på Figur 5 6: Spole med jernkjerne og luftgap Figur 5 7: Fluksbilde rundt reaktorer Som fig. 5 7 vil det i dette tilfellet være en horisontal symmetrilinje i problemet. Videre står flukslinjene normalt på jernkjernen på grunn av den høye permeabiliteten. Dette betyr at modellen kan reduseres, som vist på fig Figur 5 8: Utsnitt som viser flukslinjene rundt reaktoren GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 101
8 MAGNETOSTATISKE FELTER Når en arbeider magnetiske felter vil de følgende reglene være aktuelle: Figur 5 9: Fluksen går korteste veg Flukslinjer vil, som ved elektrisk strøm, alltid følge den minste resistans veg. I magnetisk terminologi betyr dette at flukslinjene vil følge vegen med den største permeans ( laveste reluktans). Flukslinjer alltid følge den korteste vegen gjennom et et hvilken som helst medium. Flukslinjer som flyter i samme retning frastøter hverandre. Flukslinjer vil aldri krysse hverandre. Flukslinjer vil i praksis komme ut og komme inn av et ferromagnetisk materiale i rette linjer. Dette skyldes den store µ r en finner i ferromagnetiske materialer Alle ferromagnetiske materialer har en begrenset evne til å lede fluks. Når de når denne grensen, er de mettet og oppfører seg som om de ikke eksisterer ( som luft, aluminium etc.). Når metning oppstår, kan flukslinjene flyte like lett gjennom luft som gjennom det aktuelle materialet. Flukslinjer vil alltid flyte fra den nærmeste nordpolen til den nærmeste sørpolen i lukkede sløyfer. Monopoler finnes ikke slik at en alltid har et polpar. 5.4 Magnetiske kretser Elementer i en magnetisk konstruksjon En magnetisk krets er oppbygd av en eller flere permanent- eller elektromagneter og ofte sammen med noen bløte magnetiske materialer som leder fluksen der vi ønsker det. Med bløte magnetiske materialer mener en materialer med høy permeabilitet, µ r. Når ingen bløte magnetiske materialer er til stede, sier man at magneten er i en åpen krets, (luftspoler) hvor fluksen sprer seg gjennom luft.. Dersom bløte magnetiske materialer former minst en lukket sløyfe som leder fluks, sier man at det er i en lukket magnetkrets. For å gjøre et nyttig arbeid, har en magnetisk konstruksjon normalt en eller flere luftgap hvor det arbeidet blir utført. En magnetisk krets kan bli analysert ved hjelp av teknikker analoge til de som brukes ved analyse av elektriske kretser. Det er imidlertid en kritisk forskjell som kompliserer magnetisk kretsmodellering. Siden 102
9 Seksjon 5.4 Magnetiske kretser det ikke finnes en perfekt magnetisk isolator, må man alltid ta i betraktning lekkfluks og spredefluks i konstruksjonen. Mykt magnetisk materiale Luftgap Elektromagnet Permanentmagnet Figur 5 10: Typisk magnetisk konstruksjon Ampers lov gir oss det formelverk som benyttes til å analysere magnetiske kretser. Dersom vi har en enkel konstruksjon, se fig. 5 11, vil vi kunne bruke følgende betraktning: Figur 5 11: Enkel jernkjerne med luftgap H d l I f 0 Integralets bane går gjenom jernet og luft, se fig Hdl Introduserer så flukstettheten - ( µ r,luft 1) C C Hdl + Hdl NI jern luft (5-33) (5-34) Figur 5 12: Integralets bane gjennom jern og luft jern B ---dl B dl NI µ luft (5-35) Fluksen Φ og arealet A antas å være det samme i både jern og luftgap. Fluksen er analog med strømmen i en elektrisk krets. µ 0 jern φ φ dl dl NI µa j µ 0 A luft luft φl j φ δ NI µa j µ 0 A luft Innfører så definisjonen for magnetisk motstand - reluktans; (5-36) GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 103
10 MAGNETOSTATISKE FELTER R m l m µa m (5-37) Kretsligningen blir: φr j + φr δ NI (5-38) Figur 5 13: Enkel kretsmodell for en magnetiske konstruksjon Følgende tabell viser analoge størrelser i elekriske og magnetiske kretser: Elektriske kretsparametre Elektromotorisk kraft (Spenning), EMF, U Resistans, R Strøm, I Magnetisk kretsparametre Magnetomotorisk kraft, MMF, NI Reluktans, R Fluks, Φ Tabell 5 1: Analoge størrelser Reluktansen i jernet er ofte liten i forhold til reluktansen i luftgapet, og blir derfor ofte neglisjert. Magnetiske kretser kan være i serie eller i parallell, slik som elektriske kretser. Samme regler for analyse kan brukes. 104
11 Seksjon 5.4 Magnetiske kretser Modellering av en enkel magnetisk konstruksjon Dersom en skal regne nøyaktig må en inkludere mange kretskomponenter i modellen. Figur 5 14: Kretsekvivalent for en enkel magnetisk konstruksjon. I fig er det valgt å benytte relativt mange komponenter til å modellere den magnetiske konstruksjonen. Lekkfeltet er ikludert i modellen. Lekkfeltet fra øvre jernkjerne til nedre jernkjerne modelleres ofte med en egen lekkpermeans. Mange ganger er det tilstrekkelig å kun inkludere luftapenes reluktans i modellen. Figur 5 15: Forenklet magnetkrets der kun relukatansen i luftgapene er inkluder Jernets reluktans er da neglisjert på grunn av den høye permeabiliteten. En slik forenklet modell er vist på fig Legg merke til at ved metning vil de magnetiske reluktansene være ulineære. En kan da løse kretsene på samme måte som ved elektriske modeller med iterasjon. Dette vil bli behandlet sammen med elementmetoden. GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 105
12 MAGNETOSTATISKE FELTER 5.5 PERMANENTE MAGNETER Figur 5 16: Permanenmagne ter i elektrisk motor Anvendelser Permanente magneter benyttes i stadig større grad. Kanskje spesielt ser en en dramatisk økning i bruk av små motorer der permanent magneter benyttes for å lage det mangetiske feltet Permanente magneter benyttes også mye i en rekke andre enkle konstruksjoner som dørlåser, relleer, høgtalere, filtre for magnetiske partikler etc. Før vi behandler permanente magneter teoretisk, skal vi studere noe praktiske anvendelser. I fig er det presentert en elektrisk motor med magneter monter direkte mot ytre skall. Dette arrangementet er enkelt og bill og bruke på små motorer. Kan du tenke deg hvorfor en med denne løsningen kan få relativt mye tap i magnetene. Figur 5 17: Permanente magneter i motor, I dette tilfellet ligger magnetene i hjørnene i stator I fig er magneten lagt i hvert hjørne av stator. Dette gjøres får å oppnå fluksforsterkning. Dette er vanlig for magneter som ikke har så stor flukstetthet (typisk for feritter). I dette tilfellet får vi mindre pulsasjoner i magnetfeltet gjennom magneten og dermed også mindre tap. I fig kan en se en moderne PM-motor med 6 poler og utstrakt bruk av magneter. Dette er maskin hvor en legger magnetene slik at det blir en kraftig feltforsterkning i luftgapet. Stator er preget av at det er mange poler og at åket (stators åk (bakkant) er tynn). I eksempelvis direktedrevne (uten gir) generatorer for vind kan vi komme opp mot 300 poler. Figur 5 18: Permanentmagnet synkronmaskin med 6 poler. 106
13 Seksjon 5.5 PERMANENTE MAGNETER I fig er det presentert en aksialmagnetisert PM-maskin. Maskinen har ikke jern i rotor og derfor svært lite treghetsmoment. I figuren vises: 1-rotovikling, 2 åk av jern som leder fluksen fra pol til pol, 3 permanentmagneter, 8 kommutator Figur 5 19: Aksialmagnetisert maskin Inkludering av permanente magneter i analytiske regnemodeller Når en skal bruke permanentmagneter må en kunne inkludere disse som kilder i magnetiske kretser eller som komponenter i en numeriske (FEM-modell). I første omgang er det viktig å forstå hvordan permamentmagneter blir en del av en magnetiske krets. I fig er det montert en magnet i en magnetiske krets. Magnetens lengde er l m og luftgapslengden er δ. Figur 5 20: Permanentmagn et montert i en magnetkrets Permanentmagnet l m l g I dette tilfellet har vi har en fluks som kun er gitt av permanentmagnetes kraft. Det er ingen frie ladninger(strømmer) problemet. GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 107
14 MAGNETOSTATISKE FELTER Figur 5 21: Magnetiseringskurven for en permanent magnet B Arbeidspunkt lastlinje H H l I f 0 H J f 0 Dersom vi da bruker Amperes lov får vi: og d (5-39) (5-40) Der l m er permanentmagnetens lengde og l g er luftgapets lengde. Dette gir da: C H m l m + H g l g 0 H m eller l g ---- (5-41) l H g B g ---- H m m l m µ 0 l m dersom vi omformer lign. (5-41) kan vi legge inn lastlinjen i karakteristikken, se fig l µ 0 H m m ---- B m l g (5-42) NB Denne lastlinjen kan bli litt mer vanskelig å beregne ved mer kompliserte geometrier og tilfeller der jernets metning kommer sterkt inn i bildet. Magnetiseringkurven for en permanent magnet er tegnet i fig Figur 5 22: Karakteristikker for de mest kjente type permanentmagneter. For den rette linjen mellom flukstetthetens nullgjennomgang til remanensflukstettheten kan vi bruke ligningen: 108
15 B m B r + µ r µ 0 H m (5-43) Med dette har vi etablert to ligninger med de to ukjente størrelsene H m og B m. Bruk av permanentmagneter vil bli presentert senere i form av eksempler Hvordan bestemme permanentmagnetens nødvendige lengde? En ønsker å benytte en magnet som er lang nok til at den klarer å levere en øsnket flukstetthet over luftgapet. Flukstettheten blir alltid noe mindre enn B r. For å kunne bestemme lengden på magneten kan man ta utgangspunkt i: H m B l m g ---- µ l m og + (5-44) B m B r µ r µ 0 H m Eliminerer vi H m fra ligninengen over får vi: B B m B r µ r µ m l g µ 0 l m (5-45) eller uttrykt ved lengden på luftgapet B m µ l m l r g B r B m (5-46) hvor (5-47) l m magnetens lengde B g B m flukstettheten ønsket i luftgapet l g luftgapslengden ved et antatt arbeidspunkt på demagnetiseringskurva Hvordan finne magnetarealet? For å kunne bestemme arealet på magneten kan man bruke GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 109
16 MAGNETOSTATISKE FELTER A m B g A g B d (5-48) hvor A m nødvendig areal for magneten i cm B g flukstettheten ønsket i luftgapet A g arealet i luftgapet i cm, normalt på flukslinjene B d flukstettheten i magneten, hentet fra arbeidspunktet på demagnetiserings kurven Hvordan finne lastlinjen Når størrelsen og utformingen av magneten er bestemt, kan lastlinjen, B/H, bli funnet. Lign. 3-4 gir : B d B g A g A m og lign. 3-3 gir : H d B g l g l m En kombinering av disse to gir: B d H d B g A g A m A g l m B g l g A m l g l m (5-49) Hvordan finne flukstettheten Tegn en linje med stigningstall B d /H d gjennom origo og andre kvadrant. Les av verdien på B d der denne linjen krysser demagnetiserings kurven for å finne det virkelige arbeidspunktet for magneten. Sett verdien inn i følgende formel: 110
17 B g A m B d A g (5-50) Bytt ut de nye arbeidspunkt dataene (B d, H d ) inn i lign. 3-5 inntil den ønskede B g er funnet Beregning av magnetiseringen M Magnetiseringen M blir ofte etterpspurt i slike beregninger. Dersom vi tar utgangspunkt i ligning (5-43) så ser vi at den fluksen vi får om vi ikke har noe ytre påtrykt felt er gitt ved B r. Videre er M bestemt av følgende ligning B µ 0 ( H + M lin + M PM ) (5-51) M lin er kun knyttet til materialets permeabilitet og dermed inkludert i ligning (5-43) andre ledd. Magnetiseringen er dermed gitt som M B r µ 0 (5-52) Inkludering av permanente magneter i numeriske regnemodeller Når en skal få permanente magneter inkludert som en del av en FEMmodell benyttes ofte bundne strømmer som tankemodell. Magnetiseringen M kan likestilles med en tenkt bunden strøm som flyter i magneten. I fig er det vist en sirkulær magnet med konstant magnetisering M. Idette tilfellet kan en modellere dette som en strøm i overflaten av magneten. De lilla pilene angir bundne strømmer og de grønne angir M. Figur 5 23: Bundne strømmer i en PermanentMagnet Amperes lov angir forholdet mellom H og den frie strømmen J f, H J f (5-53) Dersom vi tar curls av B får en utvidet ligning: GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 111
18 MAGNETOSTATISKE FELTER B µ 0 ( H + M lin + M PM ) ( µ 0 µ r H + µ 0 M PM ) ( µ 0 µ r J f + µ 0 J bund ) (5-54) Dette betyr at den bundne strømmen er gitt ved: M PM J bund (5-55) Dersom vi benytter bundne strømmer knyttet til magnetiseringen M får vektorpotensialligningen B A µ 0 ( J fri + J bund ) (5-56) Elementmetoden vil bli presentert i et senere kapittel. Det er likevel her på sin plass å forklare hvordan magnetiseringen M kan inluderes elementvis. Figur 5 24: Magnetisering M kan modelleres som bundne strømmer. Ved homogen M får vi kun kantstrømmer (ocurl) I fig vises en fordelt magnetisering M. En kan for hvert element beregne curl M og finne den bundne strømmen. NB! Dersom M er konstant (homogen) er curl M 0!. I dette tilfellet får vi et sprang i M i det vi forlater elementet, som gir en uendelig derivert på randen. Dette blir ofte behandlet som en overflatecurl (ocurl), som tolkes som en overflatestrøm Energi lagret i det magnetiske feltet En kan enten bruke vektorpotensialet direkte eller benytte feltstørrelsene H og B ved beregning av den magnetiske energien. Fordelen med å benytte vektorpotensialet direkte er at A løses direkte i FEM-beregniunger. I tillegg vil bruk av A gi en bedre nøyaktighet fordi en ikke må derivere størrelsen før en beregner energien. Bruk av A har også den fordelen at en kun trenger å integrere over det området hvor en har strøm (noe som ofte en svært liten del av det totale volumet). Energien beregnet ved hjelp av A er gitt som 1 W magn -- ( J A ) dv 2 dersom en tar utgangspunkt i B og H får vi: V (5-57) 1 W magn -- ( B H ) dv 2 Begge disse uttrykkene forutsette konstante materialegenskaper. V (5-58) 112
19 Seksjon 5.5 PERMANENTE MAGNETER Beregning av induktanser Induktansebegrepet angir hvor mye fluks som produseres, gitt at det går en strøm i den aktuelle spolen. Selvinduktansen forteller hvor mange fluksforslyngninger som settes opp i spolen selv, og gjensidig induktans angir hvor mange fluksfoslyngninger som påvirker andre spoler i nærheten. Selvinduktansen. Fra den magnetiske energien satt opp av en spole kan en beregne selvinduktansen: L 2 W magn I 2 (5-59) Dersom en tar utgangspunkt i fluksforslyngningene kan en bruke følgende uttrykk: L (5-60) der Ψ er den totale antall fluksfoslyngninger. Εn må huske at de forskjellige turnene i spolne vil ha ulik fluks gjennom seg. Dette er grunnen til at Ψ er innført som en egen regnestørrelse. Ψ ---- i Dersom en har en enkel spole eller at all fluksen flyter gjennom alle vindingen kan en beregne induktansen på følgende måte: For en mer komplisert spole med fordelt fluks får vi: L Ψ ---- i Adl c I (5-61) Selvinduktansen for spolen blir da: Ψ N i 1 Φ i Jds Adl i c (5-62) der v c er volumet av spolen. Ψ 1 L JAdv i i 2 Vc (5-63) Gjensidig Induktans. Denne induktansen kan ut fra energibetraktninger bestemmes fra: GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 113
20 MAGNETOSTATISKE FELTER W magn M 12, L 2 11, I 1 --L 2 22, I I 1 I 2 (5-64) Der W magn er den magnetiske energien en lagrer når en setter strøm på begge spolene. L 1,1 og L 2,2 beregnes først ved å kun sette strøm på de aktuelle spolene alene. Den gjensidige induktansen beregnet ut fra fluksforslyngninger bestemmes ved: Ψ M 1 12, i 2 (5-65) der vi setter strøm på spole 2 og måler fluksforslyngningene i spole 1. Fluksforslyngningene er best bestemt ved hjelp av en referansestrøm, slik at fordelingen av viklingen blir inkludert i form av en veiefaktor. Dette kan gjøres ved å anta at en liten strøm også flyter i spole 1 mens fluksforslyngningene beregnes. Merk likevel at vektorpotensialet A først bestemmes med strøm kun i spole 2 (i 1 0). De gjensidige fluksforslyngningene er da gitt ved: Den gjensidige induktansen blir: Ψ 1 A J dv v c I 1 (5-66) 1 M 12, I A J dv En annen elegant metode for å bestemme den gjensidige induktansen kalles Neumanns formel. Denne er spesielt egnet når en eksempelvis har spoler uten jern i et rom med homogen permeabilitet - typisk i luft. Neumanns formel tar utgangspunkt i beregningen av fluksen i spole 1 når det går strøm i spole 2. v c I 1 Φ 1 BdS ( A ) ds A dl og gjensidig induktans er da gitt som: S 1 S 1 L 11 (5-67) 114
21 Seksjon 5.6 KRAFT BEREGNINGER M 1 12, i BdS ( A) ds Adl 1 S 1 i 2 (5-68) NB! Vektorpotensialet A i ligning (5-68) oppstår på grunn av strømmen i spole 2 og kan beregnes ved hjelp av Biot Savarts lov, (presentert i lign (5-13)). Dersom vi bruker denne formelen får vi : S 1 i 2 L 1 1 ( i µdl1 dl2) π r L L M π i 2 L 1 L 2 ( i 2 µdl1 dl2) r (5-69) Magnetiske krefter Magnetiske krefter kan beregnes ut fra feltstørrelsene som B og H, eller ved energibetraktninger. I motsetning til elektriske krefter på ladning, kan magnetiske krefter bli svært store og er derfor ofte brukt i elektromekaniske konstruksjoner. De fleste typer motorer og generatorer utnytter de magnetiske kreftene. 5.6 KRAFT BEREGNINGER Grovt setter finnes det tre innfallsvinkler ved beregning av magnetiske krefter Maxwells tensorer Virtuelle forskyvningers metode (energibetraktninger) Beregning av krefter som virker direkte på primærkildene (Lorentz krefter) Det er mulig å gi en fullstendig beskrivelse av disse metodene innenfor rammen av denne boken. Velger derfor å kort oppsummerer hovedpoenget med de forskjellige metodene. Maxwells tensorer. Dette er en metode som baserer seg på legge en mer eller mindre tilfeldig flate rundt det objektet der en forventer at det skal oppstå krefter, se fig Figur 5 25: Et legeme som er omsluttet av en flate i luft. Flaten kan ligge på overflaten av legemet eller i luften rundt. En studerer så hvilke tangensial- og normalkrefter en har på denne flaten. Total kraft eller moment beregnes så ved å integrere opp kreftene på flaten. Dersom vi holder oss til et lokalt xy-koordinatsystem kan en vise at kreftene i henholdsvis x og y retningen er gitt ved: GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 115
22 MAGNETOSTATISKE FELTER og df x µ 0 H x H y ds (5-70) µ df y -----H ( 2 y H x )ds Den totale kraften pr flateenhet er gitt ved (5-71) Figur 5 26: Den magnetiske feltstyrken i overflaten df µ 2 0 ( H y + H x )ds 1 --µ 2 0 ( H 2 )ds (5-72) Dersom en vil finne delkompoentene av F får en det enkle forholdet: tan α tan 2θ (5-73) der α df x tan og α H x tan df y H y En mye brukt formel for å estimere holdekraft er mulig å utlede fra lign fig. 5-72: F 40B 2 A (5-74) hvor B er flukstettheten i T og A er arealet av overflaten i cm 2. Kraften F regnes i Newton. I dette tilfellet antar vi at vi kun har normalkomponenter inn mot flaten. En konstruksjon hvor på bruk av denne formelen er aktuell er vist i fig Dette er en løftemagnet utformet som en pottekjerne med en sylindrisk kjerne i midten. I fig er halve konstruksjonen skjært bort for å vise hvordan viklingen ligge rundt kjernen. Figuren viser også en stålplate som løftes av magneten. Figur 5 27: Løftemagnet set fra løftesiden 116
23 Seksjon 5.6 KRAFT BEREGNINGER Jernkjerne Jernkjerne B 1 B 2 Figur 5 28: Holdemagnet. For holde magneten i fig er den magnetiske holdekraften: 2 2 F 40(B 1A1 + B 2A2 ) (5-75) Virtuelt arbeid Denne metoden baserer seg på å bestemme hvilken energiforandring en får dersom en gjør en liten bevegelse i en kjent retning. Prinsippet baserer seg da på at energien er gitt ved: dw F dl (5-76) Avhengig av hvordan en styrer kildene i problemet vil en kunne få endring av fortegnet på energiforandringen. Vi får da følgende kraft/momentuttrykk: F ξ dw mag dξ I konstan t (5-77) F ξ dw mag dξ Φ konstan t (5-78) Uttrykt som moment får vi GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 117
24 MAGNETOSTATISKE FELTER T θ dw mag dθ I konstan t (5-79) T θ dw mag dθ Φ konstan t (5-80) I praksis må en gjøre en slik derivasjon med en endelig endring i posisjon eller vinkel. F W 1 W (5-81) der W 1 er W 2 er relativt store og like i verdi. Dette medfører ofte problemer når skal regne fordi resualtet av en subtraksjon av to store like verdier direkte dividert med en liten verdi lett bli unøyaktig. x 12, Krefter direkte på strømførende ledere eller bundne strømmer. F ( J B ) dv (5-82) Dette integralet utføres kun der vi har strøm. Imidlertid vil en raskt oppdage at en ofte har krefter på magnetiske legemer der en ikke har frie strømmer. Dette skyldes de bundne strømmen som sette opp i tilknytning til magnetiseringen M. Som vist tidligere kan en beregne denne bundnes strømmen ut fra curl M, og bruke, og + (5-83) hvor J f er den frie strømtettheten og J b er den bundne strømtettheten. Som nevnt vil den bundne strømmen kunne tilnæremes med overflatestrømmer langs kanten av magneten. Det er da ingen bundne strømmer inne i magneten. I dette tilfellet kan vi bruke, J m M x n hvor n er normalvektoren ut fra flaten. J b V M J J f J b 118
EKSAMENSOPPGAVE. Eksamen i: FYS- 1002 Elektromagnetisme Fredag 31. august 2012 Kl 09:00 13:00 adm. Bygget, rom B154
side 1 av 6 sider FAKULTET FOR NATURVITENSKAP OG TEKNOLOGI EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: FYS- 1002 Elektromagnetisme Dato: Tid: Sted: Fredag 31. august 2012 Kl 09:00 13:00 adm. Bygget, rom B154 Tillatte hjelpemidler:
DetaljerKONTIUNASJONSEKSAMEN I EMNE TFE 4120 ELEKTROMAGNETISME
NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet ide 1 av 7 Fakultet for informatikk, matematikk og elektroteknikk Institutt for fysikalsk elektronikk Bokmål/Nynorsk Faglig/fagleg kontakt under eksamen:
DetaljerLaboratorieoppgave 8: Induksjon
NTNU i Gjøvik Elektro Laboratorieoppgave 8: Induksjon Hensikt med oppgaven: Å forstå magnetisk induksjon og prinsipp for transformator Å forstå prinsippene for produksjon av elektrisk effekt fra en elektrisk
DetaljerEKSAMEN FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME I Mandag 5. desember 2005 kl
NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Side 1 av 6 Kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 41 43 39 30 EKSAMEN FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME
DetaljerEKSAMEN FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME Mandag 4. desember 2006 kl
NOGES TEKNSK- NATUVTENSKAPELGE UNVESTET NSTTUTT FO FYSKK Side 1 av 5 Kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 EKSAMEN FY1003 ELEKTSTET OG MAGNETSME Mandag 4. desember
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE. Tillatte hjelpemidler: Kalkulator med tomt dataminne Rottmann: Matematisk Formelsamling A.T. Surenovna: Norsk russisk ordbok
EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: FYS-1002 Dato: Fredag 12.juni 2015 Tid: Kl 09:00 13:00 Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator med tomt dataminne Rottmann: Matematisk Formelsamling A.T. Surenovna:
DetaljerKONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE TFE 4120 ELEKTROMAGNETISME
Norges teknisk naturitenskapelige uniersitet Institutt for elektronikk og telekommunikasjon ide 1 a 8 Bokmål/Nynorsk Faglig/fagleg kontakt under eksamen: Robert Marskar (48222091) Hjelpemidler: C - pesifiserte
DetaljerKONTINUASJONSEKSAMEN TFY4155 ELEKTROMAGNETISME Fredag 11. august 2006 kl
NOGES TEKNSK- NATUVTENSKAPELGE UNVESTET NSTTUTT FO FYSKK Side 1 av 5 Kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 KONTNUASJONSEKSAMEN TFY4155 ELEKTOMAGNETSME Fredag 11.
DetaljerKONTINUASJONSEKSAMEN TFY4155 ELEKTROMAGNETISME Onsdag 17. august 2005 kl
NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Side 1 av 6 Kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 41 43 39 30 KONTINUASJONSEKSAMEN TFY4155 ELEKTROMAGNETISME
DetaljerEKSAMEN FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME I Mandag 17. desember 2007 kl K. Rottmann: Matematisk formelsamling (eller tilsvarende).
NOGES TEKNSK- NATUVTENSKAPELGE UNVESTET NSTTUTT FO FYSKK Side 1 av 5 Kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 EKSAMEN FY1003 ELEKTSTET OG MAGNETSME Mandag 17. desember
DetaljerEKSAMEN FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME TFY4155 ELEKTROMAGNETISME Tirsdag 27. mai 2008 kl
NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Side 1 av 5 Kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 EKSAMEN FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME
DetaljerØving 15. H j B j M j
Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2007 Veiledning: Uke 17 Innleveringsfrist: Mandag 30. april Øving 15 Oppgave 1 H j j M j H 0 0 M 0 I En sylinderformet jernstav
DetaljerFjæra i a) kobles sammen med massen m = 100 [kg] og et dempeledd med dempningskoeffisient b til en harmonisk oscillator.
Oppgave 1 a) Ei ideell fjær har fjærkonstant k = 2.60 10 3 [N/m]. Finn hvilken kraft en må bruke for å trykke sammen denne fjæra 0.15 [m]. Fjæra i a) kobles sammen med massen m = 100 [kg] og et dempeledd
DetaljerEKSAMEN I EMNE SIE4015 BØLGEFORPLANTNING EKSAMEN I FAG 44061 BØLGEFORPLANTNING LØRDAG/LAURDAG 19. MAI 2001 TID: KL 0900-1400
Side 1 av 8 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKALSK ELEKTRONIKK Faglig/fagleg kontakt under eksamen: Navn: Helge E. Engan Tlf.: 9440 EKSAMEN I EMNE SIE4015 BØLGEFORPLANTNING
DetaljerMandag 7. mai. Elektromagnetisk induksjon (fortsatt) [FGT ; YF ; TM ; AF ; LHL 24.1; DJG 7.
Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2007, uke19 Mandag 7. mai Elektromagnetisk induksjon (fortsatt) [FGT 30.1-30.6; YF 29.1-29.5; TM 28.2-28.3; AF 27.1-27.3; LHL 24.1;
DetaljerEKSAMEN TFY4155 ELEKTROMAGNETISME FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME Tirsdag 30. mai 2006 kl
NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Side 1 av 5 Kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 EKSAMEN TFY4155 ELEKTROMAGNETISME FY1003
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE. ü Kalkulator med tomt dataminne ü Rottmann: Matematisk Formelsamling. rute
Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAE Eksamen i: FYS-1002 Dato: 26. september 2017 Klokkeslett: 09.00-13.00 Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: ü Kalkulator med tomt dataminne
DetaljerKap. 27 Kjapp historie. Kap. 27 Magnetisk felt og magnetiske krefter. Kap. 27 Magnetisme. Kraft på ledningsbit. Kap 27
Kap. 27 Magnetisk felt og magnetiske krefter Kortfatta målsetning: Forstå at magnetiske monopoler ikke fins, kun dipoler. (mens elektriske monopoler fins, dvs. +q, -q) Lære at permanente magneter og elektromagneter
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS1120 Elektromagnetisme Eksamensdag: Prøveeksamen 2017 Oppgavesettet er på 9 sider Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: Formelark
DetaljerKap. 27 Magnetisk felt og magnetiske krefter. Magnetiske monopoler fins ikke: Kap. 27 Kjapp historie. Kap. 27 Magnetisme. Kap 27
Kap. 27 Magnetisk felt og magnetiske krefter Magnetiske monopoler fins ikke: Kortfatta målsetning: Lære at permanente magneter og elektromagneter har samme årsak: -- ladninger i bevegelse / strømsløyfer
DetaljerKap. 27 Magnetisk felt og magnetiske krefter. Magnetiske monopoler fins ikke: Kortfatta målsetning:
Kap. 27 Magnetisk felt og magnetiske krefter Magnetiske monopoler fins ikke: Kortfatta målsetning: Lære at permanente magneter og elektromagneter har samme årsak: -- ladninger i bevegelse / strømsløyfer
DetaljerEKSAMEN TFY4155 ELEKTROMAGNETISME FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME Tirsdag 31. mai 2005 kl
NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Side 1 av 5 Kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 41 43 39 30 EKSAMEN TFY4155 ELEKTROMAGNETISME FY1003
DetaljerNORGES LANDBRUKSHØGSKOLE Institutt for matematiske realfag og teknologi LØSNING TIL PRØVE 2 I FYS135 - ELEKTRO- MAGNETISME, 2004.
NOGES LANDBUKSHØGSKOLE Institutt for matematiske realfag og teknologi LØSNING TIL PØVE 2 I FYS3 - ELEKTO- MAGNETISME, 2004. Dato: 20. oktober 2004. Prøvens varighet: 08:4-09:4 ( time) Informasjon: Alle
DetaljerEKSAMEN FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME I TFY4155 ELEKTROMAGNETISME Fredag 8. juni 2007 kl
NOGES TEKNISK- NATUVITENSKAPELIGE UNIVESITET INSTITUTT FO FYSIKK Side 1 av 5 Kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 EKSAMEN FY1003 ELEKTISITET OG MAGNETISME I TFY4155
DetaljerTirsdag 15. april. et stykke materie er bygd opp av atomer, dvs av atomære magnetiske dipoler med magnetisk dipolmoment j = 1...n. m j. m
Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2008, uke 16 Tirsdag 15. april agnetisme [FGT 31.1-31.4; YF 28.8; T 27.5; AF 26.3; LHL 26.1-26.5; DJG 6.4] Atomer er små magnetiske
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE. Adm.bygget, Aud.max. ü Kalkulator med tomt dataminne ü Rottmann: Matematisk Formelsamling. rute
Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAE Eksamen i: Fys-1002 Dato: 30. september 2016 Klokkeslett: 09.00-13.00 Sted: Tillatte hjelpemidler: Adm.bygget, Aud.max ü Kalkulator med tomt dataminne
DetaljerFelter i Elkraftteknikken
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet NTNU INST. FOR ELKRAFTTEKNIKK Faggruppe: Energiomforming og Elektriske Anlegg (EEA) Adresse: 734 Trondheim Telefon: 735 9441 Telefa: 735 9479 Løsningsforslag
DetaljerSammendrag, uke 13 (30. mars)
nstitutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2005 Sammendrag, uke 13 (30. mars) Likestrømkretser [FGT 27; YF 26; TM 25; AF 24.7; LHL 22] Eksempel: lommelykt + a d b c + m Spenningskilde
DetaljerKap. 27 Kjapp historie. Kap. 27 Magnetisk felt og magnetiske krefter. Kap. 27 Magnetisme. Kraft på ledningsbit. Kap 27
Kap. 27 Magnetisk felt og magnetiske krefter Kortfatta målsetning: Forstå at magnetiske monopoler ikke fins, kun dipoler. (mens elektriske monopoler fins, dvs. +q, -q) Lære at permanente magneter og elektromagneter
DetaljerFYS1120 Elektromagnetisme H10 Midtveiseksamen
FYS1120 Elektromagnetisme H10 Midtveiseksamen Oppgave 1 a) Vi ser i denne oppgave på elektroner som akselereres gjennom et elektrisk potensial slik at de oppnår en hastighet 1.410. Som vist på figuren
DetaljerElektrisk og Magnetisk felt
Elektrisk og Magnetisk felt Kjetil Liestøl Nielsen 1 Emner for i dag Coulombs lov Elektrisk felt Ladet partikkel i elektrisk felt Magnetisk felt Magnetisk kraft på elektrisk eladninger Elektromagnetiske
DetaljerPunktladningen Q ligger i punktet (3, 0) [mm] og punktladningen Q ligger i punktet ( 3, 0) [mm].
Oppgave 1 Finn løsningen til følgende 1.ordens differensialligninger: a) y = x e y, y(0) = 0 b) dy dt + a y = b, a og b er konstanter. Oppgave 2 Punktladningen Q ligger i punktet (3, 0) [mm] og punktladningen
DetaljerVelkommen til Eksamenskurs matematikk 2
Velkommen til Eksamenskurs matematikk 2 Haakon C. Bakka Institutt for matematiske fag 12.-13. mai 2010 Introduksjon Begin with the end in mind - The 7 Habits of Highly Effective People (Stephen R. Covey)
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE. Fys-1002 Elektromagnetisme. Adm.bygget B154 Kalkulator med tomt dataminne, Rottmann: Matematisk formelsamling
Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAE Eksamen i: Fys-1002 Elektromagnetisme Dato: Onsdag 26. september 2018 Klokkeslett: Kl. 9:00-13:00 Sted: Tillatte hjelpemidler: Adm.bygget B154 Kalkulator
DetaljerFYS1120 Elektromagnetisme - Ukesoppgavesett 2
FYS1120 Elektromagnetisme - Ukesoppgavesett 2 7. september 2016 I FYS1120-undervisningen legger vi mer vekt på matematikk og numeriske metoder enn det oppgavene i læreboka gjør. Det gjelder også oppgavene
DetaljerKONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE SIE 4010 ELEKTROMAGNETISME
NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Side 1 av 6 Fakultet for informatikk, matematikk og elektroteknikk Institutt for fysikalsk elektronikk Bokmål/Nynorsk Faglig/fagleg kontakt under eksamen:
DetaljerForelesning nr.7 INF 1410. Kondensatorer og spoler
Forelesning nr.7 IF 4 Kondensatorer og spoler Oversikt dagens temaer Funksjonell virkemåte til kondensatorer og spoler Konstruksjon Modeller og fysisk virkemåte for kondensatorer og spoler Analyse av kretser
Detaljer41307 Kraftelektroniske motordrifter Løsningsforslag Kapittel 4 Roterende elektriske maskiner
47 Kraftelektroniske motordrifter Løsningsforslag Kapittel 4 Roterende elektriske maskiner OPPGAVE. Den magnetiske ekvivalenten for den roterande maskina i figur. på oppgåve arket, er vist på figuren under.
DetaljerLøsningsforslag TFE4120 Elektromagnetisme 13. mai 2004
Løsningsforslag TFE4120 Elektromagnetisme 13. mai 2004 Oppgae 1 a) Speilladningsmetoden gir at potensialet for z > 0 er summen a potensialet pga ladningen Q i posisjon z = h og potensialet pga en speillanding
Detaljera) Bruk en passende Gaussflate og bestem feltstyrken E i rommet mellom de 2 kuleskallene.
Oppgave 1 Bestem løsningen av differensialligningen Oppgave 2 dy dx + y = e x, y(1) = 1 e Du skal beregne en kulekondensator som består av 2 kuleskall av metall med samme sentrum. Det indre skallet har
DetaljerOnsdag og fredag
Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2009, uke 13 Onsdag 25.03.09 og fredag 27.03.09 Amperes lov [FGT 30.1, 30.3; YF 28.6, 28.7; AF 26.2; H 23.6; G 5.3] B dl = µ 0
DetaljerMaxwell s ligninger og elektromagnetiske bølger
Maxwell s ligninger og elektromagnetiske bølger I forelesningene og i læreboken er Coulombs lov for the elektriske felt E formulert på følgende form: v da E = Q/ε 0 (1) Integralet til venstre går over
DetaljerForelesning nr.7 IN 1080 Elektroniske systemer. Spoler og induksjon Praktiske anvendelser Nøyaktigere modeller for R, C og L
Forelesning nr.7 IN 1080 Elektroniske systemer Spoler og induksjon Praktiske anvendelser Nøyaktigere modeller for R, C og L Dagens temaer Induksjon og spoler RL-kretser og anvendelser Fysiske versus ideelle
DetaljerKontinuasjonseksamensoppgave i TFY4120 Fysikk
Side 1 av 10 Bokmål Institutt for fysikk Kontinuasjonseksamensoppgave i TFY4120 Fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ragnvald Mathiesen Tlf.: 97692132 Eksamensdato: 13.08.2014 Eksamenstid (fra-til): 09:00-13:00
DetaljerKONTIUNASJONSEKSAMEN I EMNE TFE 4120 ELEKTROMAGNETISME
NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet ide 1 av 7 Fakultet for informatikk, matematikk og elektroteknikk Institutt for elektronikk og telekommunikasjon Bokmål/Nynorsk Faglig/fagleg kontakt
DetaljerEKSAMEN I EMNE TFE 4120 ELEKTROMAGNETISME
NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet ide 1 av 7 Fakultet for informatikk, matematikk og elektroteknikk Institutt for fysikalsk elektronikk Bokmål/Nynorsk Faglig/fagleg kontakt under eksamen:
DetaljerMandag qq 4πε 0 r 2 ˆr F = Elektrisk felt fra punktladning q (følger av definisjonen kraft pr ladningsenhet ): F dl
Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2007, uke 6 Mandag 05.02.07 Oppsummering til nå, og møte med Maxwell-ligning nr 1 Coulombs lov (empirisk lov for kraft mellom to
DetaljerDen mest fundamentale ligningen som beskriver tidsvarierende magnetiske felter er Faradays lov,
Kapittel 6 TIDSVARIERENDE MAGNETISKE FELTER induserte strømmer og spenninger 6.. Tidsvarierende magnetiske felter 6. I elektrisk energiteknikk utnyttes ofte det tidsvarierende magnetiske FARADAYS LOV feltet.
DetaljerLøsning IM3 15.06.2011.
Løsning IM 15611 1 Oppgave 1 Innsetting viser at både teller og nevner er i origo, så uttrykket er ubestemt Siden det ikke er noen umiddelbar omskriving som forenkler uttrykket satser vi på å vise at grensen
Detaljer3. Hvilken av Maxwells ligninger beskriver hvordan en leder som fører en jevn strøm genererer et magnetisk felt?
Flervalgsoppgaver 1. En stavmagnet slippes gjennom ei strømsløyfe som vist i venstre del av figuren under. Pilene i sløyfa viser valgt positiv strømretning. Husk at magnetiske feltlinjer går ut fra nordpol
DetaljerKap. 27 Magnetisk felt og magnetiske krefter. Magnetiske monopoler fins ikke: Kap. 27 Kjapp historie. Kap. 27 Magnetisme. Kortfatta målsetning:
Kap. 27 Magnetisk felt og magnetiske krefter Magnetiske monopoler fins ikke: Kortfatta målsetning: Lære at permanente magneter og elektromagneter har samme årsak: -- ladninger i bevegelse / strømsløyfer
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Side 1 Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Kontinuasjonseksamen i: FYS 1000 Eksamensdag: 16. august 2012 Tid for eksamen: 09.00 13.00, 4 timer Oppgavesettet er på 5 sider inkludert
DetaljerFysikk 3FY AA6227. Elever og privatister. 26. mai 2000. Videregående kurs II Studieretning for allmenne, økonomiske og administrative fag
E K S A M E N EKSAMENSSEKRETARIATET Fysikk 3FY AA6227 Elever og privatister 26. mai 2000 Bokmål Videregående kurs II Studieretning for allmenne, økonomiske og administrative fag Les opplysningene på neste
DetaljerElektrisk potensial/potensiell energi
Elektrisk potensial/potensiell energi. Figuren viser et uniformt elektrisk felt E heltrukne linjer. Langs hvilken stiplet linje endrer potensialet seg ikke? A. B. C. 3 D. 4 E. Det endrer seg langs alle
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME I Mandag 17. desember 2007 kl
NOGES TEKNISK- NATUVITENSKAPELIGE UNIVESITET INSTITUTT FO FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 LØSNINGSFOSLAG TIL EKSAMEN I FY1003 ELEKTISITET OG
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE. Dato: Fredag 01. mars 2013. Tid: Kl 09:00 13:00. Administrasjonsbygget B154
side 1 av 6 sider FAKULTET FOR NATURVITENSKAP OG TEKNOLOGI EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: FYS-1001 Mekanikk Dato: Fredag 01. mars 2013 Tid: Kl 09:00 13:00 Sted: Administrasjonsbygget B154 Tillatte hjelpemidler:
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I TFY4155 ELEKTROMAGNETISME FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME Tirsdag 31. mai 2005 kl
NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPEIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 41 43 39 30 ØSNINGSFORSAG TI EKSAMEN I TFY4155 EEKTROMAGNETISME
DetaljerModul nr. 1479 Produksjon av elektrisk energi 8.-10.kl
Modul nr. 1479 Produksjon av elektrisk energi 8.-10.kl Tilknyttet rom: Newton Steigen 1479 Newton håndbok - Produksjon av elektrisk energi 8.-10.kl Side 2 Kort om denne modulen Modulen tar for seg grunnleggende
DetaljerFelttur 2016 Elektromagnetisme
Felttur 2016 Elektromagnetisme August Geelmuyden Universitetet i Oslo Teori I. Påvirkning uten berøring Når to objekter påvirker hverandre uten å være i berøring er det ofte naturlig å introdusere konseptet
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL KONTINUASJONSEKSAMEN I TFY4155 ELEKTROMAGNETISME Onsdag 17. august 2005 kl
NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 41 43 39 30 LØSNINGSFORSLAG TIL KONTINUASJONSEKSAMEN I TFY4155
DetaljerNORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR ELEKTRONIKK OG TELEKOMMUNIKASJON
Side 1 av 7 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR ELEKTRONIKK OG TELEKOMMUNIKASJON Faglig kontakt under eksamen: Navn: Helge E. Engan Tlf.: 94420 EKSAMEN I EMNE TFE4130 BØLGEFORPLANTNING
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE. 7 (6 sider med oppgaver + 1 side med formler)
Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAE Eksamen i: FYS-1002 (elektromagnetisme) Dato: 9. juni 2017 Klokkeslett: 09.00-13.00 Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: ü Kalkulator med tomt
DetaljerBatteritenningsanlegg. Med stifter. Storfjordens Automobil Klubb
Batteritenningsanlegg Med stifter Storfjordens Automobil Klubb Tenningsanleggets oppgaver 1. Tennpluggens oppgave: Lage en gnist i forbrenningsrommet. 2. Batteriets oppgave: Levere strøm til tennings-anlegg
DetaljerNORGES LANDBRUKSHØGSKOLE Institutt for matematiske realfag og teknologi EKSAMEN I FYS135 - ELEKTROMAGNETISME
NORGES LANDBRUKSHØGSKOLE Institutt for matematiske realfag og teknologi EKSAMEN I FYS135 - ELEKTROMAGNETISME Eksamensdag: 10. desember 2004 Tid for eksamen: Kl. 09:00-12:30 (3,5 timer) Tillatte hjelpemidler:
DetaljerFYS 1120: Labøvelse 2 Magnetisering
FYS 1120: Labøvelse 2 Magnetisering I denne øvelsen skal vi undersøke om vismut er en dia- eller paramagnetisk material. I slike materialer blir magnetiseringen M en lineær funksjon av den magnetiske feltstyrken
DetaljerEKSAMEN I EMNE TFE 4120 ELEKTROMAGNETISME
NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet ide 1 av 7 Fakultet for informatikk, matematikk og elektroteknikk Institutt for elektronikk og telekommunikasjon Bokmål/Nynorsk Faglig/fagleg kontakt
DetaljerD i e l e ktri ku m (i s o l a s j o n s s to ff) L a d n i n g i e t e l e ktri s k fe l t. E l e ktri s ke fe l tl i n j e r
1 4.1 FELTVIRKNINGER I ET ELEKTRISK FELT Mellom to ledere eller to plater med forskjellig potensial vil det virke krefter. Når ladningen i platene eller lederne er forskjellige vil platene tiltrekke hverandre
DetaljerEKSAMEN I EMNE TFE 4120 ELEKTROMAGNETISME
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for elektronikk og telekommunikasjon ide 1 av 8 Bokmål/Nynorsk Faglig/fagleg kontakt under eksamen: Guro vendsen 73592773) Hjelpemidler: C - pesifiserte
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I TFY4155 ELEKTROMAGNETISME FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME Tirsdag 30. mai 2006 kl
NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I TFY4155 ELEKTROMAGNETISME
DetaljerEKSAMEN I EMNE TFE 4120 ELEKTROMAGNETISME
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for elektronikk og telekommunikasjon ide 1 av 7 Bokmål/Nynorsk Faglig/fagleg kontakt under eksamen: Guro vendsen (73592773) Hjelpemidler: C - pesifiserte
DetaljerNORGES TEKNISKNATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK EKSAMEN I EMNE TFY4120 FYSIKK. Fredag 9. desember 2005 Tid: kl 09.00-13.
Bokmål Side 1 av 1 Studentnummer: Studieretning: NORGES TEKNISKNATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK EKSAMEN I EMNE TFY4120 FYSIKK Fredag 9. desember 2005 Tid: kl 09.00-13.00 Faglig kontakt
DetaljerINF L4: Utfordringer ved RF kretsdesign
INF 5490 L4: Utfordringer ved RF kretsdesign 1 Kjøreplan INF5490 L1: Introduksjon. MEMS i RF L2: Fremstilling og virkemåte L3: Modellering, design og analyse Dagens forelesning: Noen typiske trekk og utfordringer
DetaljerDen franske fysikeren Charles de Columb er opphavet til Colombs lov.
4.5 KREFTER I ET ELEKTRISK FELT ELEKTRISK FELT - COLOMBS LOV Den franske fysikeren Charles de Columb er opphavet til Colombs lov. Kraften mellom to punktladninger er proporsjonal med produktet av kulenes
DetaljerMagnetisme. Magnetostatikk (ingen tidsvariasjon): Kap 27. Magnetiske krefter Kap 28: Magnetiske kilder
Magnetisme Magnetostatikk (ingen tidsvariasjon): Kap 27. Magnetiske krefter Kap 28: Magnetiske kilder Elektrodynamikk (tidsvariasjon): Kap 29: Elektromagnetisk induksjon Kap 30: Induktans Kap 31: Vekselstrømskretser
DetaljerModul nr Produksjon av elektrisk energi kl
Modul nr. 1729 Produksjon av elektrisk energi 8.-10.kl Tilknyttet rom: Newton Meløy 1729 Newton håndbok - Produksjon av elektrisk energi 8.-10.kl Side 2 Kort om denne modulen Modulen tar for seg grunnleggende
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME TFY4155 ELEKTROMAGNETISME Onsdag 3. juni 2009 kl
NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FY003 ELEKTRISITET
DetaljerFYS-MEK 1110 Løsningsforslag Eksamen Vår 2014
FYS-MEK 1110 Løsningsforslag Eksamen Vår 2014 Oppgave 1 (4 poeng) Forklar hvorfor Charles Blondin tok med seg en lang og fleksibel stang når han balanserte på stram line over Niagara fossen i 1859. Han
DetaljerTFE4101 Vår 2016. Løsningsforslag Øving 3. 1 Teorispørsmål. (20 poeng)
TFE411 Vår 216 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for elektronikk og telekommunikasjon Løsningsforslag Øving 3 1 Teorispørsmål. (2 poeng) a) Beskriv følgende med egne ord: Nodespenningsmetoden.
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME Mandag 4. desember 2006 kl
NOGES TEKNISK- NATUVITENSKAPEIGE UNIVESITET INSTITUTT FO FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 ØSNINGSFOSAG TI EKSAMEN I FY1003 EEKTISITET OG MAGNETISME
DetaljerBegrep. Protoner - eller Hvordan få et MR-signal? Kommunikasjon. Hoveddeler. Eksempel: Hydrogen. Hvordan få et signal?
Begrep Protoner - eller Hvordan få et MR-signal? Rune Sylvarnes NORUT Informasjonsteknologi Høgskolen i Tromsø MR - fenomenet magnetisk resonans NMR - kjerne MR, vanligvis brukt om MR på lab (karakterisering
DetaljerKondensator. Symbol. Lindem 22. jan. 2012
UKE 5 Kondensatorer, kap. 12, s. 364-382 RC kretser, kap. 13, s. 389-413 Frekvensfilter, kap. 15, s. 462-500 og kap. 16, s. 510-528 Spoler, kap. 10, s. 289-304 1 Kondensator Lindem 22. jan. 2012 Kondensator
DetaljerOppgaver som illustrerer alle teknikkene i 1.4 og 1.5
Oppgaver som illustrerer alle teknikkene i 1.4 og 1.5 Gitt 3 punkter A 1,1,1,B 2,1,3,C 3,4,5 I Finne ligning for plan gjennom 3 punkt Lager to vektorer i planet: AB 1, 0,2 og AC 2,3, 4 Lager normalvektor
DetaljerSIF5005 Matematikk 2, 13. mai 2002 Løsningsforslag
SIF55 Matematikk, 3. mai Oppgave Alternativ : At de to ligningene skjærer hverandre vil si at det finnes parameterverdier u og v som, innsatt i de to parametriseringene, gir samme punkt: Vi løser hver
DetaljerForelesning nr.4 INF 1410
Forelesning nr.4 INF 1410 Flere teknikker for kretsanalyse og -transformasjon 1 Oversikt dagens temaer inearitet Praktiske Ekvivalente Nortons Thévenins Norton- og superposisjonsprinsippet (virkelige)
DetaljerYoung-Laplace si likning
Young-Laplace si likning Dette er Appendiks A i hovedoppgaven til Leiv Magne Siqveland, Høgskolen i Stavanger, Sivilingeniørutdanningen, innlevert 8. juni 996. Krumme flater z Z (a,b) X Y y x Figur : Flate
DetaljerEKSAMEN FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME TFY4155 ELEKTROMAGNETISME Onsdag 3. juni 2009 kl
NOGES TEKNISK- NATUVITENSKAPEIGE UNIVESITET INSTITUTT FO FYSIKK Side 1 av 6 Kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 EKSAMEN FY1003 EEKTISITET OG MAGNETISME TFY4155
DetaljerOnsdag og fredag
Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2009, uke 7 Onsdag 11.02.09 og fredag 13.02.09 Gauss lov [FGT 23.2; YF 22.3; TM 22.2, 22.6; AF 25.4; LHL 19.7; DJG 2.2.1] Gauss
DetaljerModul nr Produksjon av elektrisk energi kl
Modul nr. 1729 Produksjon av elektrisk energi 8.-10.kl Tilknyttet rom: Newton Meløy 1729 Newton håndbok - Produksjon av elektrisk energi 8.-10.kl Side 2 Kort om denne modulen Modulen tar for seg grunnleggende
DetaljerInnhold. Innledning 13
Innledning 13 13 Temperatur, varme og tilstand 17 13.1 Temperatur 19 13.2 Varme 21 13.3 Ideelle gasser; tilstandsligningen 26 13.4 Reelle gasser 29 13.5 Arbeid 33 13.6 Indre energi 36 13.7 Reversible og
DetaljerMagnetisme. Magnetostatikk (ingen tidsvariasjon): Kap 27. Magnetiske krefter Kap 28: Magnetiske kilder
Magnetisme Magnetostatikk (ingen tidsvariasjon): Kap 27. Magnetiske krefter Kap 28: Magnetiske kilder B/ t = 0 Elektrodynamikk (tidsvariasjon): Kap 29: Elektromagnetisk induksjon Kap 30: Induktans Kap
DetaljerLøsningsskisse til eksamen i TFY112 Elektromagnetisme,
Løsnngssksse tl eksamen TFY11 Elektromagnetsme, høst 003 (med forbehold om fel) Oppgave 1 a) Ved elektrostatsk lkevekt har v E = 0 nne metall. Ellers bruker v Gauss lov med gaussflate konsentrsk om lederkulen.
DetaljerKrefter, Newtons lover, dreiemoment
Krefter, Newtons lover, dreiemoment Tor Nordam 13. september 2007 Krefter er vektorer En ting som beveger seg har en hastighet. Hastighet er en vektor, som vi vanligvis skriver v. Hastighetsvektoren har
DetaljerEksamen, høsten 13 i Matematikk 3 Løsningsforslag
Eksamen, høsten 3 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave. a) Fra ligningen x 5 + y 3 kan vi lese ut store og lille halvakse a 5 og b 3. Fokus til senter avstanden er da gitt ved c a b 5 3 5 9 6 4. ermed
DetaljerFelter i Elkraftteknikken
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet NTNU INST. FOR ELKRAFTTEKNIKK Faggruppe: Energiomforming og Elektriske Anlegg (EEA) Adresse: 7034 Trondheim Telefon: 735 94241 Telefax: 735 94279 Fag 41051
DetaljerMagnetostatikk Elektrodynamikk:
Magnetisme Magnetostatikk (ingen tidsvariasjon): Kap 27. Magnetiske krefter Kap 28: Magnetiske kilder Elektrodynamikk: Kap 29-32: Tidsvariasjon: Induksjon mm. Kap 28: Magnetiske kilder Elektrostatikk:
DetaljerMassegeometri. Vi skal her se på noen begreper og utregninger som vi får stor bruk for videre i mekanikken.
Massegeometri Vi skal her se på noen begreper og utregninger som vi får stor bruk for videre i mekanikken. Tyngdepunktets plassering i ulike legemer og flater. Viktig for å kunne regne ut andre størrelser.
DetaljerLøsningsforslag til øving 9
FY1002/TFY4160 Bølgefysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2010. Løsningsforslag til øving 9 Oppgave 1 a) Forplantning i z-retning betyr at E og B begge ligger i xy-planet. La oss for eksempel velge
DetaljerModul nr Elektrisk energi - 7. trinn
Modul nr. 1371 Elektrisk energi - 7. trinn Tilknyttet rom: Newton Alta 1371 Newton håndbok - Elektrisk energi - 7. trinn Side 2 Kort om denne modulen 7. klassetrinn Modulen tar for seg produksjon av elektrisk
Detaljer1. En tynn stav med lengde L har uniform ladning λ per lengdeenhet. Hvor mye ladning dq er det på en liten lengde dx av staven?
Ladet stav 1 En tynn stav med lengde L har uniform ladning per lengdeenhet Hvor mye ladning d er det på en liten lengde d av staven? A /d B d C 2 d D d/ E L d Løsning: Med linjeladning (dvs ladning per
Detaljer