EKSAMEN I FY1005 og TFY4165 TERMISK FYSIKK: LØSNINGSFORSLAG

Transkript

1 NORGES TEKNISK-NATURITENSKAPELIGE UNIERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK EKSAMEN I FY1005 og TFY4165 TERMISK FYSIKK: LØSNINGSFORSLAG Mandag 11. august 2014 kl Ogave flervalgsogaver. (Poeng: 2 25 = 50) a) Hvor mange mol ideell gass er det i en kubikkmeter ved atmosfæretrykk (101 kpa) og god og lun romtemeratur (300 K)? For ideell gass er = nrt, dvs ) 40 n = /RT = /( ) 40. b) Hvis du lager et sirkulært hull med diameter 10 cm i en stållate utendørs i 30 kuldegrader, hva er hullets diameter når laten har akklimatisert seg inne i badstua, der temeraturen er 70 varmegrader? Stål har lineær utvidelseskoeffisient α = K 1. iameteren øker ved ovarming fra minus 30 til luss 70 grader, og den lineære utvidelseskoeffisienten avgjør med hvor mye: d(70) = d( 30) ( ) = cm. ) cm T c) arme tilføres et rent stoff i en lukket beholder. Tilført varme r tidsenhet er konstant. Figuren viser hvordan stoffets temeratur T endrer seg med tiden. Hva er forholdet mellom stoffets fordamningsvarme L f og stoffets smeltevarme L s? t Konstant temeratur ved smelting (1.0 tidsintervall) og ved fordamning (3.0 tidsintervaller) gir L f /L s = 3.0/1.0 = 3.0. ) L f /L s = 3.0 1

2 a b d) Figuren viser en reversibel kretsrosess der arbeidssubstansen er en gass. Hva er netto arbeid som utføres i kretsrosessen? Netto arbeid = omsluttet areal. d c ) Arealet omsluttet av kurven abcda. e) edrørende ligningen Q = U +W, hvilken åstand er feil? Q og W er rosessvariable, U er tilstandsvariabel. ) Mens W er en rosessvariabel, er både U og Q tilstandsvariable. a b f) Figuren viser en reversibel kretsrosess for en ideell gass, bestående av en isoterm (a til b), en adiabat (b til c), en isobar (c til d) og en isokor rosess. Ranger temeraturene T a, T b, T c og T d i de fire tilstandene (hjørnene) merket hhv a, b, c og d. d c Adiabat brattere enn isoterm, dvs T c < T b. idere er T d åenbart minst. A) T d < T c < T b = T a g) Hvis S(T,) = ln(t/t 0 ) +Nk ln(/ 0 ) +S 0 for en ideell gass med N molekyler, hva blir S(T,) for den samme gassen? (Her er S 0 = S(T 0, 0 ), og 0 0 = Nk T 0.) Forideellgasser = Nk. isetterinn = Nk T/og 0 = Nk T 0 / 0,dvs/ 0 = (T/)/(T 0 / 0 ): S = ( Nk )ln(t/t 0 )+Nk ln((t/)/(t 0 / 0 ))+S 0 = ln(t/t 0 ) Nk ln(t/t 0 )+Nk ln(t/t 0 ) Nk ln(/ 0 )+S 0 = ln(t/t 0 ) Nk ln(/ 0 )+S 0 ) S(T,) = ln(t/t 0 ) Nk ln(/ 0 )+S 0 h)hvis1litervannmedtemeraturt 0 ogvarmekaasitet (someruavhengigavt, ogslikat = = ) bringes i termisk kontakt med et varmereservoar med temeratur T 1, hva er endringen i vannets entroi når vannet har nådd samme temeratur som varmereservoaret? (Se bort fra volumendringer.) i neglisjerer endringer i volumet og bruker ds = dt/t: ) ln(t 1 /T 0 ) S vann = T1 T 0 dt T = ln(t 1/T 0 ). 2

3 i) Hva blir entroiendringen til varmereservoaret i forrige ogave? armereservoaret har (uendelig) stor varmekaasitet, slik at temeraturen ikke endres selv om varme fjernes eller tilføres. armen som ble tilført vannet i ogave 33 er Q = (T 1 T 0 ), ositiv hvis T 1 er større enn T 0 og vice versa. ette må da, ga energibevarelse, være varmen som varmereservoaret avgir, ved den konstante temeraturen T 1. ermed: A) (T 0 T 1 )/T 1 S res = Q/T 1 = (T 0 T 1 )/T 1. j) Hva kan du, uten videre, si om den totale entroiendringen i rosessen beskrevet i ogave 33? (vs, for vann og reservoar til sammen.) Prosessen som beskrives i ogave 33 er en naturlig, sontan rosess, som dermed er irreversibel. a vet vi at den totale entroiendringen er ositiv 2. hovedsetning. Rett svar er altså A) Positiv. k) I et system med N uavhengige artikler er det for hver artikkel to mulige (kvantemekaniske) tilstander, enten energi E 0 eller energi E 0. Hvor stor er da sannsynligheten for at en gitt artikkel har energi E 0, når systemets temeratur er T? I et system med temeratur T og mulige (tillatte) energinivåer E j (j = 1,2,3,...) er sannsynligheten for at en gitt artikkel har energi E j lik med artisjonsfunksjonen (tilstandssummen) π j = 1 Z e E j/k T, Z = j e E j/k T, slik at total sannsynlighet blir normert. Med de to tillatte energiverdiene ±E 0 blir Z = e E 0/k T +e E 0/k T = 2cosh(E 0 /k T), slik at sannsynligheten for at en gitt artikkel har energi E 0 blir π = ex( ( E 0 /k T))/[2cosh(E 0 /k T)], dvs rett svar blir ) ex(e 0 /k T)/[2cosh(E 0 /k T)] l) Hva blir indre energi for systemet i ogave k? (U = N E.) Midlere energi r artikkel er E = j E j π j = E 0ex(E 0 /k T)+E 0 ex( E 0 /k T) 2cosh(E 0 /k T) = E 0 2sinh(E 0 /k T) 2cosh(E 0 /k T) = E 0 tanh(e 0 /k T). 3

4 Med N artikler blir dermed systemets indre energi U = N E = NE 0 tanh(e 0 /k T), og rett svar er ) NE 0 tanh(e 0 /k T) m) Hvis temeraturen i en ideell gass halveres, hvordan endres molekylenes rms-hastighet? (v rms = v 2 ) Partiklenes midlere kinetiske energi, K = m v 2 /2, er roorsjonal med systemets temeratur T. En halvering av T betyr derfor en halvering av v 2, dvs v rms reduseres med faktoren 1/ 2 0.7, en reduksjon å ca 30 rosent. ) v rms reduseres med ca 30 rosent. n) Hvis trykket i en ideell gass fordobles samtidig som gassen resses sammen til halvarten så stort volum, hvordan endres v rms? Produktet er uendret hvis trykket dobles og volumet halveres. a er også temeraturen uendret, som igjen betyr at v rms er uendret. ) v rms blir uendret. o) En ideell gass utvider seg reversibelt og isotermt fra en tilstand (T 1, 1 ) slik at volumet blir dobbelt så stort, Arbeidet å omgivelsene er da W 0. ersom den samme gassen i stedet hadde utvidet seg reversibelt ved konstant trykk, fremdeles fra 1 til 2 1, hva kan du da si om arbeidet gjort å omgivelsene, W 1, i forhold til det isoterme arbeidet W 0? et isoterme arbeidet W 0 tilsvarer det dobbeltskraverte arealet i figuren nedenfor, mens arbeidet W 1 utført ved konstant trykk 1 tilsvarer hele det skraverte arealet. i ser at W 1 > W 0, og riktig svar er ) W 1 > W

5 ) armemengden Q > 0 tilføres en ideell gass ved konstant trykk. Gassens indre energi øker da med Tilførsel av varme ved konstant trykk betyr at gassen utfører et ositivt arbeid å omgivelsene (f.eks. hele det skraverte arealet i forrige ogave). a blir gassens økning i indre energi mindre enn tilført varme. A) en energimengde mindre enn Q. q) Luft er med god tilnærmelse en ideell blanding av O 2 - og N 2 -molekyler. Hva kan du si om v rms og midlere kinetiske energi K for de ulike molekylene? et ogis at oksygen er tyngre enn nitrogen. Siden temeraturen er roorsjonal med molekylenes midlere kinetiske energi, må K være den samme for både oksygen- og nitrogenmolekylene. Oksygen har større molekylmasse (ca 32 u) enn nitrogen (ca 28 u), så nitrogenmolekylene har i gjennomsnitt noe større hastighet enn oksygenmolekylene. (Her er u lik en atomær masseenhet, ca kg.) ) v rms (O 2 ) < v rms (N 2 ), K O2 = K N2 r) En ideell (reversibel) arnot-varmeume leverer en varmeeffekt å 2.0 kw ved å overføre varme fra utvendig luft ved 10 til husets varmluftforsyning ved +30. Hvor mye elektrisk effekt (arbeid r tidsenhet) bruker varmeuma? irkningsgraden til arnot-varmeuma er ε c = Q 2 / W = Q 2 /( Q 2 Q 1 ) = T 2 /(T 2 T 1 ) = 303/40, så den forbruker dvs 0.26 kw elektrisk energi (effekt). W = Q 2 /ε c = / , A) 0.26 kw s) Hvordan ser en arnot-rosess ut i et (S,T)-diagram? En arnot-rosess består av to isotermer og to isentroiske rosesser, dvs med hhv T konstant og S konstant. ermed et rektangel i et (S,T)-diagram. ) Et rektangel (med horisontale og vertikale linjer). t) For toatomige molekyler endres fra3k /2 til 5k /2 r artikkel ved en karakteristisk (lav!) temeratur T rot. Ranger molekylene H 2, Hl og l 2 med hensyn å verdien av denne karakteristiske temeraturen. (l har større masse enn H.) reieimulsen er kvantisert, L 2 = l(l + 1) h 2, med l = 0,1,2,... og h = h/2π Plancks ( reduserte ) konstant. Overgangstemeraturen T rot blir dermed omvendt roorsjonal med molekylets treghetsmoment I, som stiger i rekkefølgen H 2 Hl l 2. vs, T rot avtar i denne rekkefølgen. (Omtrentlige verdier for T rot er hhv 88, 15 og 0.4 K for disse tre molekylene.) ) H 2 > Hl > l 2 5

6 u) Et ideelt arnot-kjøleska holder konstant temeratur 4 ( lavtemeraturreservoaret ) i et kjellerromdertemeraturener 19 ( høytemeraturreservoaret ). Hvaer kjøleskaets effektfaktor, dvsforholdet mellom varmen som trekkes ut av kjøleskaet og arbeidet som kjøleskaets motor må utføre? (Tis: For syklisk reversibel rosess er S = 0 og U = 0.) ε K = Q 1 /W = Q 1 /(Q 1 + Q 2 ). i bruker at Q 1 /T 1 + Q 2 /T 2 = 0, dvs Q 2 = Q 1 T 2 /T 1, som innsatt i uttrykket for ε K gir ε K = T 1 /(T 1 T 2 ) = 277/ ) a v) Figuren viser et fasediagram i (,T) lanet for et rent stoff. e ulike fasene er angitt (1, 2, 3), sammen med sesielle unkter (4, 5) å koeksistenslinjene. Hvilket svaralternativ angir riktige faser, og unkter ved koeksistens? 2 T ) 3 = fast stoff, 1 = væske, 2 = gass, 4 = trielunkt, 5 = kritisk unkt o T ( ) A x (mm) w) En vegg mellom ei stue og et soverom har 15 mm tykke gislater å begge sider av et 75 mm tykt lag med glassvatt ( glava ). Gislater isolerer godt mot lyd og hemmer sredning av brann, men isolerer dårlig mot varmeledning: κ gis = 0.25 W/m K, mens κ glava = W/m K. (for x > 105 mm) hhv 22 og 12? Hvilken kurve viser da korrekt temeraturrofil gjennom veggen ved stasjonære(dvs tidsuavhengige) forhold og stuetemeratur (for x < 0) og soveromstemeratur (for x > 105 mm) hhv 22 og 12? Med 0.25/ ganger større varmeledningsevne i gis enn i glava har vi ca 7 ganger mindre temeraturendring r lengdeenhet i gis enn i glava. Kurve asser bra med dette. j x) Og for samme system som i ogave 48, hvilken kurve viser korrekt varmestrøm r tids- og r flateenhet, j, som funksjon av osisjon x gjennom veggen? (ilkårlige enheter langs vertikal akse.) 0 15 A x (mm) Kurve A er riktig, siden stasjonær varmestrøm innebærer at j er den samme gjennom hele veggen. 6

7 y) To (tilnærmet uendelig) store arallelle metalllater holdes å fast temeratur hhv 273 K og 373 K. (isse latene kan med andre ord betraktes som to varmereservoarer.) En tredje metalllate settes inn mellom disse, som vist i figuren. Alle latene kan betraktes som erfekt svarte legemer som emitterer elektromagnetisk stråling ( varmestråling ) i begge retninger. et er vakuum i rommet mellom latene. Når stasjonære (dvs tidsuavhengige) forhold er etablert, hva er temeraturen å den midterste laten? 273 K? 373 K ed stasjonære forhold er varmestrøm inn mot og ut fra midtlaten like store: σ(t 4 1 +T4 3 ) = 2σT4 2 T 2 = ((T 4 1 +T4 3 )/2)1/4 = 334 K. ) 334 K Ogave 2. Kretsrosess. (Poeng: ) α 0 Figuren viser en kvalitativ skisse av den såkalte Otto-rosessen, en reversibel idealisering av rosessen i en bensinmotor, bestående av to adiabater og to isokorer. Arbeidssubstansen er en fleratomig ideell gass. Faktoren α > 1 angir det såkalte komresjonsforholdet. a. egrunn hvorfor adiabatkonstanten γ = / har verdien 4/3 for en fleratomig gass. (Anta at molekylene ikke er lineære, og at molekylenes indre vibrasjonsfrihetsgrader ikke er eksitert ved de aktuelle temeraturer.) Ikkelineære molekyler har 3 rotasjonsfrihetsgrader og 3 translasjonsfrihetsgrader når vibrasjonsfrihetsgradene er frosset ut, dermed indre energi 6 kt/2 = 3kT r artikkel, og dermed varmekaasitet = U/ T = 3k rartikkel. Siden = k (rartikkel; ogitt iogaveteksten), følger detat = 4k ogγ = 4/3. 7