Faktor - en eksamensavis utgitt av ECONnect
|
|
- Merete Slettebakk
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Faktr - e eksamesavis utgitt av ECONect Pesumsammedrag: SØK3005 Ifrmasjs- g markedsteri Frfatter: Drag Berghlt E-pst: berghlt@stud.tu. Skrevet: Våre 2009 Atall sider: 45
2 Om ECONect: ECONect er e frivillig studetrgaisasj fr studetee på samfusøkmi- g fiasøkmistudiet ved NTNU. Vi arbeider fr økt faglig kmpetase blat våre studeter samt tettere ktakt med ærigslivet. Det gjør vi ved å arragere fagdager, gjestefrelesiger, bedriftspresetasjer m.m. I dag går det ca. 200 studeter på bachelrivå (1.-3. klasse) g ca. 70 studeter på masterivå (4.-5. klasse). Studetee på masterivå er frdelt på de t lijee samfusøkmi (ca. 50 stk) g fiasiell økmi (ca. 20 stk). Mer m ECONect g aktuelle arragemeter på ECONect består av følgede perser ved utgivelsestidspukt: Bjør Berghlt (Leder) Sphie S. Strømma (Bedriftsasvarlig) Maike Weidle (Fagdagsasvarlig) Jakim Bjørkhaug (Økmi- g IT-asvarlig) Elise Casperse Tiril Tftedahl Luis Dieffethaler Adreas H. Jug Mari Beedikte Elligse Herma Westrum Thrse bjr@ecect-tu. sphie@ecect-tu. maike@ecect-tu. jakim@ecect-tu. elise@ecect-tu. tiril@ecect-tu. luis@ecect-tu. adreas@ecect-tu. mari@ecect-tu. herma@ecect-tu. Pst- g besøksadresse: Orgaisasjsummer: Hjemmeside: ECONect, NTNU Dragvll NO Istitutt fr samfusøkmi Bygg 7, Nivå Trdheim Merk: Alle pesumsammedrag g tekster sm utgis av Faktr er skrevet av g fr studeter. ECONect står ikke asvarlig fr selve fagihldet. Spørsmål m tekste ka rettes til tekstfrfattere. 1 Orgaisasj: ECONect NTNU Hjemmeside:
3 1. Statiske spill med kmplett ifrmasj 1.1. Gruleggede teri: Spill på rmalfrm g Nash-likevekte - Spill: E beslutigssituasj med flere aktører sm bevisst påvirker hveradre gjem sie hadliger. - Strategi: Et sett av istruksjer sm sier hvilke hadlig e spiller skal velge i hver tekelige situasj. - Payff: Nytte sm følger med hvert ekelt sett med hadliger. - Nash-likevekt: Tilstad der ige spillere agrer sie strategivalg år mtpartes valg av strategi blir kjet. Delspillperfekt Nash-likevekt: Tilstad sm gir Nash-likevekt både fr hele spillet g i hvert tri av spillet. - Spillets trekkrekkefølge: Statiske spill: Spill med é hadlig per spiller, spillere hadler simultat. Dyamisk spill: Spill med mer e é peride, spillere hadler simultat eller sekvesielt. - Payff-matrise: B Hadlig B 1 Hadlig B 2 A Hadlig A 1 A 1 B 1, B 1 A 1 A 1 B 2, B 2 A 1 Hadlig A 2 A 2 B 1, B 1 A 2 A 2 B 2, B 2 A 2 - Sekvesielt spill på rmalfrm: B S1 S2 S3 S4 A Hadlig A 1 A 1, B 1 A 1 A 1, B 1 A 1 A 1, B 2 A 1 A 1, B 2 A 1 Hadlig A 2 A 2, B 1 A 2 A 2, B 2 A 2 A 2, B 1 A 2 A 2, B 2 A 2 - Sekvesielt spill på ekstesiv frm: 2 Drag Berghlt
4 Spiller A Spiller B Pay-ff Hadlig A1 A2 B1(A1) B2(A1) B1(A2) B2(A2) A1, B1(A1) A1, B2(A1) A2, B1(A2) A2, B2(A2) - Spill på rmalfrm: Spesifiserer: Spillere i spillet. Strategiee tilgjegelig fr hver spiller: 3 Drag Berghlt S i = s 1,, s s i S i Pay-ff tilkyttet hver ekelt strategikmbiasj fr hver ekelt spiller: u i s 1,, s Hver spiller trekker simultat, kmbiasje av spilleres strategier bestemmer hver ekelts pay-ff. Spillet: G = S 1,, S ; u 1,, u - Iterert elimierig: Beregig av samme prsess flere gager med take på å fie best mulige resultat. - Stregt dmierede strategi: Strategi sm gir spillere høyere payff e ehver ae strategi, uasett hva mtparte velger. Ata at s i g s i begge igår i S i. Da er strategi s i stregt dmierede strategi ver s i hvis u i s 1,, s i 1, s i, s i+1,, s > u i s 1,, s i 1, s i, s i+1,, s. - Stregt dmiert strategi: Strategi sm gir spillere lavere payff e ehver ae strategi, uasett hva mtparte velger. Ata at s i g s i begge igår i S i. Da er strategi s i stregt dmiert av strategi s i hvis u i s 1,, s i 1, s i, s i+1,, s < u i s 1,, s i 1, s i, s i+1,, s. - Nash-likevekt: s i er e Nash-likevekt hvis dette er spiller i s beste resps på strategiee til de 1 adre spillere: u i s 1,, s i 1, s i, s i+1,, s u i s 1,, s i 1 s i løser prblemet max si S i u i s 1,, s i 1, s i, s i+1,, s der s i S i, s i, s i+1,, s
5 1.2. Avedelse - Curt-mdell med dupl: Prisfuksj fr markedet: P Q = A bq = A b q i + q j Prfittfuksj: π i = P Q c i q i F i = A b q i + q j c i q i F i Reaksjsfuksj ved prfittmaksimerig: q i = A c i 2b 1 2 q j R i q j Fier prfittmaksimerede kvatum ved å sette R j Q i i i R i Q j g løse ut fr Q i. Dette gir: q i = A 2c i+c j 3b Likevektspris: P = A+c i+c j 3 Prfitt: Hvis c i = c j = c π i = A c 2 F i 9b Hvis c i c j π i = A 2c i+c j A 2c j +c i 9b F i q j R i q j R j q i - Curt-mdell med bedrifter: Atar c 1 = c 2 = = c c. Dette gir q 1 = q 2 = = q q C Ttalt kvatum i markedet: Q = q C = 1 q C + q i der q i = q C Prisfuksj fr markedet: P Q = A bq = A b 1 q C + q i Prfitt fr bedrift i: Prfittfuksj: π i = A b 1 q C + q i c q i F i q i 4 Drag Berghlt
6 π i q i = A b 1 q C 2bq i c = A c q C b 1 + 2b = 0 gitt q i = q C Gir ptimalt kvatum i Curt-kkurrase: q c = A c b +1 Prfitt: π i = A b 1 A c b +1 + A c b +1 c A c b +1 F i = A c +1 2 Fi - Bertrad-mdell med dupl - hmgee prdukter: Etterspørselsfuksje fr markedet: Q p i,j = A b mi p i, p j Etterspørselsfuksje fr bedrift i: q i = A bp i gitt p i < p j A bp i 2 gitt p i = p j 0 gitt p i > p j Prfittfuksje fr bedrift i: π i = p i c i q i F i gitt p i < p j p i c i q i 2 F i gitt p i = p j F i gitt p i > p j Ser av uttrykket at c i = c j g F i,j = 0 gir ullprfitt fr begge bedriftee. Ser av uttrykket at Nash-likevekt gir prfitt fr bedrifte med lavest gresekstader, der prise settes lik: c i < p i c j = p j P i,j A b c j c i q i q i p i,j - Bertrad-mdell med dupl - differesierte prdukter: Ttalt kvatum i markedet: Q = q i + q j Etterspørselsfuksje fr bedrift i: q i = A bp i + kp j der 0 < k < b Prfittfuksj: π i = p i c i q i F i = p i c i A bp i + kp j F i Reaksjsfuksj ved prfittmaksimerig: p i = A+bc i 2b + k 2b p j R i p j 5 Drag Berghlt
7 Fier prfittmaksimerede pris ved å sette i fr p j g løse ut fr p i. Dette gir: p i = A 2b k + b 2bc i+kc j 2b+k 2b k Hvis c i = c j = c: p i = p j = A+bc 2b k P j R i p j R j p i P i - Fial-Offer Arbitrati: System: Arbeidsgiver- g arbeidstakerside fremstiller løskravee w f g w u, state velger det kravet sm ligger ærmest x. States valg: x < w f +w u 2 x > w f +w u 2 w f w u Ata at x er ukjet fr arbeidslivsrgaisasjee, me at dee verdie er rmalfrdelt med sitt m g varias σ 2. I så fall er tetthetsfuksje gitt ved: f x = 1 2πσ 2 exp 1 2 x m 2 w f +w u 2 = m w f = m πσ2 2 w u = m + πσ2 2 Dest større spredig i states fretrukkede x, dest større avstad vil det være i kravee til arbeidslivsrgaisasjee. - Rasjell atferd fr idividet ka gi et kllektivt irrasjelt utfall: Fellesskapets tragedie: Bøder g geiter Bødee hlder geiter; bde i hlder g i atall geiter. Ttalt atall geiter på jrdet: G = i=1 g i 6 Drag Berghlt
8 Kstad per geit: c Verdie per geit: v g g i 1 + g i + g i g = v g i + g i = v G Fr G < G max : v G 0; v G 0. v G v G G Prfittfuksj fr bde i: π i = g i v g i + g i cg i = g i v G cg i Når bødee tilpasser seg i Nash-likevekt: Nash-likevekt fr bde i: g i Førsterdesbetigelse: π i = v g g i + g i + g i v g i + g i c = i v G + g i v G c = v G + G v G c = 0 Ttalt atall geiter: G c v G = v G Samfusptimal tilpasig: Maksimerig av Π = Gv G cg Førsterdesbetigelse: Π G = v G + Gv G c = 0 Ttalt atall geiter: G = c v G v G Ser her at G > G, altså at fr mage geiter beiter i Nash-likevekt. Prisers dilemma : T perser arresteres g blir stilt verfr følgede valg: Agi kamerat (velge 1): Du får e mild straff hvis ha ikke agir deg. Du får e mderat straff hvis ha gså agir deg. Ikke agi kamerat (velge 2): Du går fri hvis ha ikke agir deg. Du får e streg straff hvis ha agir deg. 7 Drag Berghlt
9 B B 1 B 2 A A 1 A 1 B 1, B 1 A 1 A 1 B 2, B 2 A 1 A 2 A 2 B 1, B 1 A 2 A 2 B 2, B 2 A 2 Spiller A: A 2 B 2 > A 1 B 2 > A 1 B 1 > A 2 B 1 Spiller B: B 2 A 2 > B 1 A 2 > B 1 A 1 > B 2 A 1 Payff-matrise viser e Nash-likevekt der begge persee agir hveradre, på trss av at dette er dette ikke er de kllektivt beste løsige. Hvrda frhidre fages dilemma: Gjetatte spill. Legge i mekaismer sm edrer payff: Møt kkurrase-klausul: Peget er å gjøre det midre løsmt fr rivale å seke prise. Prisgarati-klausul: Peget er å gjøre det mer kstbart fr e selv å seke prise. Må iebære e frm fr møt kkurrase-klausul. Redusere kudembilitete: Peget er å gjøre det mer kstbart fr kudee å bytte prduset Bladede strategier: - Strategityper: Re strategi: Regel sm sier hvrda spillere velger. Bladet strategi: Regel sm sier hvilke sasylighet det er fr at spillere skal velge e re strategi. B B 1 B 2 A A 1 A 1 B 1, B 1 A 1 A 1 B 2, B 2 A 1 A 2 A 2 B 1, B 1 A 2 A 2 B 2, B 2 A 2 8 Drag Berghlt
10 - Sasylighet fr hadlig: A 1 : p A 2 : 1 p B 1 : q B 2 : 1 q - Frvetet pay-ff fr A: E π A = pqa 1 B 1 + p 1 q A 1 B p qa 2 B p 1 q A 2 B 2 - Effektiv radmiserig fr B sm gjør at A er idifferet mellm ege valg: E π A p = qa 1 B q A 1 B 2 qa 2 B 1 1 q A 2 B 2 = 0 q = 1 q = 1 A 2 B 2 A 1 B 2 A 1 B 1 A 1 B 2 A 2 B 1 +A 2 B 2 A 2 B 2 A 1 B 2 A 1 B 1 A 1 B 2 A 2 B 1 +A 2 B 2 - Spillsituasjer der bladede strategier gir Nash-likevekt: Geerelt m Nash-likevekt med bladede strategier g t spillere: p, q er e Nash-likevekt hvis hver spillers bladede strategi er beste resps på de adre spilleres bladede strategi, det vil si hvis u A p, q u A p, q g u B p, q u B p, q. Eksempel 1: Matchig Peies Spiller A øsker å trekke ulikt fra spiller B. Spiller B øsker å trekke likt sm spiller A. Ige likevekt i ree strategier, me likevekt med bladet strategi. B B 1 B 2 A A 1 A 1 B 1, B 1 A 1 A 1 B 2, B 2 A 1 A 2 A 2 B 1, B 1 A 2 A 2 B 2, B 2 A 2 Spiller A: A 1 B 2 = A 2 B 1 > A 1 B 1 = A 2 B 2 Spiller B: B 1 A 1 = B 2 A 2 > B 1 A 2 = B 2 A 1 Eksempel der ma ppår Nash-likevekt: Payff: 9 Drag Berghlt
11 Heads B Tails A Heads 1, 1 1, 1 Tails 1, 1 1, 1 A trekker heads med p g tails med 1 p. B trekker heads med q g tails med 1 q. Frvetet payff fr A: E π A = pq 1 + p 1 q p q1 + 1 p 1 q 1 = 2p + 2q 4pq 1 Effektiv radmiserig fr B sm gjør at A er idifferet mellm ege valg: E π A p = 2 4q = 0 q = q = = 1 2 Hvis q = 1 2 : E π A = 2p + 2q 4pq 1 = 2p p = 0 Hvis q > 1 2 Hvis q < 1 2 A velger p = 0 A velger p = 1 Samme gjelder fr A. Kklusje blir således at hvis A velger p = 1 2 g B velger q = 1, er begge frøyde med eget valg år ma bserverer de 2 adres valg. Eksempel 2: Battle f the sexes Spiller A øsker 1, me først g fremst å være samme med spiller B. Spiller B øsker 2, me først g fremst å være samme med spiller A. Ige dmierede strategi fr e av spillere, imidlertid t Nashlikevekter med ree strategier g é Nash-likevekt med bladede strategier. 10 Drag Berghlt
12 B B 1 B 2 A A 1 A 1 B 1, B 1 A 1 A 1 B 2, B 2 A 1 A 2 A 2 B 1, B 1 A 2 A 2 B 2, B 2 A 2 Spiller A: A 1 B 1 > A 2 B 2 > A 1 B 2 > A 2 B 1 Spiller B: B 2 A 2 > B 1 A 1 > B 2 A 1 > B 1 A 2 Eksempel der ma ppår Nash-likevekt: Payff: Ole Opera Ki Ida Opera 2, 1 0, 0 Ki 0, 0 1, 2 Ida trekker pera med p g ki med 1 p. Ole trekker Opera med q g ki med 1 q. Frvetet payff fr Ida: E π Ida = pq2 + p 1 q p q0 + 1 p 1 q 1 = 3pq p q + 1 Effektiv radmiserig fr Ole sm gjør at Ida er idifferet mellm ege valg: E π Ida p = 3q 1 = 0 q = q = = 2 3 Hvis q = 1 3 : E π Ida = 3pq p q + 1 = 3p 1 3 p = 2 3 Hvis q > 1 3 Hvis q < 1 3 Ida velger p = 0 Ida velger p = 1 11 Drag Berghlt
13 Samme gjelder fr Ida. Kklusje blir således at hvis Ida velger p = 2 g Ole velger q = 1, er begge frøyde med eget valg år ma 3 3 bserverer de adres valg. Da er gså E π Ida = E π Ole = 2 3. Geerelt: I et spill på rmalfrm med spillere der spillet er gitt sm G = S 1,, S ; u 1,, u, g g S i er et edelig atall, eksisterer mist é (muliges med bladede strategier) Nash-likevekt. 12 Drag Berghlt
14 2. Dyamiske spill med kmplett ifrmasj 2.1. Dyamiske spill med kmplett g perfekt ifrmasj - Kjeeteg: Alle hadliger skjer i sekves. Alle hadliger bserveres før este hadlig. Spilleres payff fra hver mulige kmbiasj av hadliger er allmet kjet. - Dyamiske spill løses ved hjelp av baklegs iduksj: Spiller A velger e hadlig a 1i A 1. Spiller B bserverer a 1i g velger e hadlig b 1i B 1 gitt a 1i. Spiller A bserverer b 1i g velger e hadlig a 2i A 2 gitt a 1i g b 1i. Osv. Tperidespill: Spiller B b 11 Payff A,B (a 11,b 11 ) a 11 b 12 Payff A,B (a 11,b 12 ) Spiller A a 12 Spiller B b 11 Payff A,B (a 12,b 11 ) b 12 Payff A,B (a 12,b 12 ) - Stackelberg-mdelle fr dupl: Markedsetterspørsel: P = A bq = A b q i + q j Baklegs iduksj - spiller j: Prfittfuksj: π j = A b q i + q j c j q j F j Reaksjsfuksj: q j = A c j 2b 1 2 q i R j q i Baklegs iduksj - spiller i: Prfittfuksj: π i = A b q i + R j q i c i q i F i = A b q i + A c j 2b 1 2 q i c i q i F i = A 2c i+c j 2 bq i q i F i Prfittmaksimerede kvatum: 13 Drag Berghlt
15 Spiller i: q i = A 2c i+c j 2b Spiller j: q j = A+2c i 3c j 4b Prfitt: Spiller i: π i = A b q i + q j c i q i F i = A 2c i+c 2 j F i Spiller j: π j = A b q i + q j c i q j F j = A+2c i 3c 2 j F j Likevektskvatum ved Stackelberg: Q S = A 2c i+c j 2b 8b 16b + A 3c j +2c i 4b = 3A 2c i c j 4b Likevektspris ved Stackelberg: P S = A b A 2c i+c j 2b + A 3c j +2c i 4b = A+2c i+c j 4 q j R i q j R j q i q i - Til sammeligig: Kvatumssamarbeid - mplistisk pptrede: Atar c i = c j = c M Kvatum i markedet: Q M = q i + q j = QM 2 + QM 2 Markedsetterspørsel: P M = A bq M = A b QM 2 + QM 2 Prfittfuksj ved mpl: π M = A bq M c M Q M F Mplkvatum: Q M = A c M 2b Bedrift i: q i = QM A cm = 2b 2 2 = A c M 4b Bedrift j: q j = QM A cm = 2b 2 2 = A c M Mplprfitt: π M A c M M A c M = A b c F = 2b 2b 4b A c M 2 4b F 14 Drag Berghlt
16 Bedrift i: π i = A c M 2 4b 2 F i = A c M 2 8b F i Bedrift j: π j = A c M 2 4b 2 F j = A c M 2 8b F j Pris: P M A c M = A b 2b = A+c M 2 q j R i q j R j q i q i - Sammeligig av Stackelberg, Curt g mpl (atar c i = c j = c M = c): Pris: P S = A+3c 4 P C = A+2c 3 P M = A+c 2 P S < P C < P M Kvatum: Q S = A 2c i+c j 2b Q C = A 2c i+c j 3b Q M = A c 2b Q S > Q C > Q M Prfitt: Stackelberg: 15 Drag Berghlt + A+2c i 3c j 4b + A 2c j +c i 3b = 3 A c 4b = 2 A c 3b Spiller i: π S i = A 2c i+c 2 j F i = A c 2 F i 8b Spiller j: π S j = A+2c i 3c 2 j F j = A c 2 F j 16b 8b 16b
17 Curt: Mpl: Spiller i: π i C = A 2c i+c j A 2c j +c i 9b Spiller j: π j C = A 2c i+c j A 2c j +c i 9b Spiller i: π M i = A c 2 F i Spiller i: π i C < π i S < π i M Spiller j: π j S < π j C < π j M 4b F i = A c 2 F i 9b F j = A c 2 F j 9b - Lø g sysselsettig i fagrgaisert bedrift Fagfreig med mpl på arbeidskraft, bedrift med mpl på arbeidsplasser. Fagfreiges yttefuksj: U w, L ; U w 0; U L 0 Bedriftes prfitt: π w, L = R L wl; R L 0; R LL 0 Spillet: Fagfreige setter w. Bedrifte bserverer w g fastsetter L. Payff er U w, L g π w, L. Løsig av spillet - baklegs iduksj: Bedriftes maksimerigsprblem: max π w, L = R L wl L 0 π L = R L w = 0 R L = w R w R L Sammehege mellm ptimal sysselsettig g ptimal lø fr bedrifte: L 16 Drag Berghlt
18 w L w π 1 L π 2 Fagfreiges maksimerigsprblem: max w 0 U w, L = U w, L w U w = 0 w, L w Sammehege mellm ptimal sysselsettig g ptimal lø fr fagfreige: w U 1 U 2 L Tilpasige: w w L w U 2 U 1 π 1 L L π 2 Kklusj: Tilpasige er ikke paret-ptimal; bedrifte kue fått økt prfitt til π 2 ute at fagfreige hadde tapt ytte fra U 2. - Sekvesielle frhadliger: 17 Drag Berghlt
19 Spillet: Spiller A g B frhadler ver 1 kre sm eddiskteres med δ = 1 per rude. Rude 1: A freslår at de t skal få hehldsvis s 1 g 1 s 1 av kre. B aksepterer eller avslår. Spillet eder hvis B aksepterer. Rude 2: B freslår at de t skal få hehldsvis s 2 g 1 s 2 av kre. A aksepterer eller avslår. Spillet eder hvis A aksepterer. Rude 3: A mttar s g B mttar 1 s av kre. Ekstere bestemmer s. Løsig ved hjelp av baklegsiduksj: Rude 3: A mttar s g B mttar 1 s av kre. Rude 2: A vil ku akseptere s 2 hvis s 2 δs. Hvis B freslår s 2 = δs vil A akseptere, g B får 1 s 2 = 1 δs. B vil derfr tilby s 2 = δs i peride 2 frdi 1 δs > δ 1 s. Rude 1: B vil ku akseptere s 1 hvis 1 s 1 δ 1 s 2, altså hvis s 1 1 δ 1 s 2. Hvis A freslår s 1 = 1 δ 1 s 2 vil B akseptere, g A får 1 δ 1 s 2. A vil derfr tilby s 1 = 1 δ 1 s 2 i peride 1 frdi 1 δ 1 s 2 > δs 2. Payff fr A g B blir følgelig s 1, 1 s 1 ; spillet eder i peride 1. 1+r 2.2. Dyamiske spill med kmplett, me imperfekt ifrmasj - Kjeeteg: Spill ver flere perider, me med simultae trekk i hver peride. Spiller A g B trekker simultat a 1 A 1 g b 1 B 1. Spiller C g D bserverer a 1 g b 1, g trekker c 1 C 1 g d 1 D 1. Payff fr spiller i: u i a 1, b 1, c 1, d 1 = u i a 1, b 1, c 1 a 1, b 1, d 1 a 1, b 1 Sub-spillperfekt Nash-likevekt: a 1, b 1, c 1 a 1, b 1, d 1 a 1, b 1 - Eksempel 1: Bakkrise T ivestrer plasserer iskudd i bake. Ntasj: Iskudd fra hver ivestr: D Bruttutbytte etter edt ivesterig fr hver ivestr: R Utbetalt frdrig fr hver ivestr ved kkurs: r Atar: 18 Drag Berghlt D 2 < r < D < R 2r D < r
20 Ivestree ka frdre iskuddee etter peride 1, 2 eller 3. Peride 1: Frdre Ikke frdre Frdre r, r D, 2r D Ikke frdre 2r D, D Neste peride Peride 2: Frdre Ikke frdre Frdre R, R 2R D, D Ikke frdre D, 2R D R, R Baklegs iduksj: I peride 2 vil frdre være stregt frdelaktig side 2R D > R; begge frdrer i dee peride. Dette gir følgede matrise fr peride 1: Frdre Ikke frdre Frdre r, r D, 2r D Ikke frdre 2r D, D R, R T Nash-likevekter: r, r R, R Hvilke likevekt sm velges avheger av ivestrees frvetiger til hveradre. Spillet frteller ikke m det blir bakkrise, me det åper fr bakkrise. 19 Drag Berghlt
21 2.3. Gjetatte spill - T-tris gjetatte spill: Fages dilemma: Ata følgede payff-matrise fr spiller 1 g 2 sm repeteres é gag: L 2 R 2 L 1 1, 1 5, 0 R 1 0, 5 4, 4 Ser her at Nash-likevekt gir ikke-samarbeid (L 1, L 2 ) i rude 2. Payff (1,1) ka derfr settes i i matrise til rude 1: L 2 R 2 L 1 2, 2 6, 1 R 1 1, 6 5, 5 Ser her at gså rude 1 gir ikke-samarbeid. Geerelt: I spill med et edelig atall repetisjer der siste rude har é uik løsig, har gså hvert delspill e uik løsig. Geerelt: I spill med et edelig atall repetisjer med mer e é Nashlikevekt, ka hvert ekelt delspill ha e uik løsig sm ikke er Nash-likevekt. Utvider fages dilemma-eksemplet med é kle g é rad. L 2 M 2 R 2 L 1 1, 1 5, 0 0, 0 M 1 0, 5 4, 4 0, 0 R 1 0, 0 0, 0 3, 3 Ata at spillere frveter (R 1, R 2 ) i adre rude hvis (M 1, M 2 ) er utfallet i første rude, g (L 1, L 2 ) ellers. Dette gir følgede matrise fr første rude: 20 Drag Berghlt
22 L 2 M 2 R 2 L 1 2, 2 6, 1 1, 1 M 1 1, 6 7, 7 1, 1 R 1 1, 1 1, 1 4, 4 Her har vi tre subspill-perfekte likevekter fr hele spillet; L 1, L 2, L 1, L 2, M 1, M 2, R 1, R 2 g R 1, R 2, L 1, L 2 - Spill med uedelig atall ruder: Geerelt: Selv m hvert ekelt delspill bare har é Nash-likevekt, ka ma ppå et subspill-perfekt utfall der ige delspill eder i Nash-likevekte. Gjepptar fages dilemma, me å med uedelig atall ruder: L 2 R 2 L 1 1, 1 5, 0 R 1 0, 5 4, 4 Ifører e diskterigsrate δ = 1 1+r < 1 Gitt pegemegde i dag er midre verdt e tilsvarede pegemegde i fremtide. Sasylighete fr at spillet vil frtsette i este rude er alltid midre e 1. Ata at spillere følger e grim-trigger-strategi: Spiller i velger samarbeid R i i første delspill, g deretter samarbeid så lege mtspillere velger det samme. I det øyeblikket e av spillere velger ikke-samarbeid L i, vil de adre velge ikke-samarbeid i all fremtid. Payff: Ikke-samarbeid: V NC = 5 + 1δ + 1δ = 5 + δ Samarbeid: V C = 4 + 4δ + 4δ = δ Samarbeid er løsmt hvis: 1 δ 1 δ 21 Drag Berghlt
23 4 + 4 δ 1 δ 5 + δ 1 δ 4 δ 1 δ 1 + δ 1 δ 4δ 1 δ + δ δ 1 4 Flk-teremet: Så lege diskterigsrate er tilstrekkelig høy vil alltid samarbeid gi likevekt i et uedelig spill. - Delspillperfekt Nash-likevekt: Nash-likevekt i hvert ekelt delspill. - Friedmas terem: La G være et edelig, statisk spill med kmplett ifrmasj g atall spillere. Hvis δ er tilstrekkelig ærme 1 gir grim-trigger-strategie Nash-likevekt, g dee likevekte er delspillperfekt. Bevis: Grim-trigger-strategi fr spiller i: Spiller samarbeid a xi i rude 1. I hver påfølgede rude t spilles a xi så lege utfallet av alle fregåede ruder er a xi ; ellers spilles ikke-samarbeid a di. Atar at alle adre spillere har e grim-trigger-strategi. Payff: La π xi være payff i rude t fr spiller i år alle spillere velger samarbeid. La π di være payff i rude t fr spiller i år dee velger ikkesamarbeid, mes de adre velger samarbeid. La π ei være payff i hver ekelt rude t fr spiller i år e har brutt samarbeidet i mist é av alle de t 1 peridee. Diskterigsfaktre: Nåverdie V i av all kmmede payff fr spiller i i peride t år utfallet i alle fregåede ruder er a x1,, a x : Samarbeid: V i = π x i 1 δ Payff i rude t er x i, deretter står spillere verfr tilsvarede situasj este rude: V i = π xi + δv i Ikke-samarbeid: V i = π di + π ei δ 1 δ V i = π x i 1 δ 22 Drag Berghlt
24 Samarbeid er ku løsmt hvis: π xi 1 δ π d i + π ei δ 1 δ π xi π di 1 δ + π ei δ = π di δ π di π ei δ π di π ei π di π xi δ π d i π xi π di π ei Grim-trigger-strategi er Nash-likevekt fr alle spillere hvis: δ max i π di π xi π di π ei - Eksempel: Samarbeid mellm ligplister: Geerelt krav til samarbeid i dupl (jamfør Friedma): π x i 1 δ π d i + π ei Her: Ved samarbeid i kartell gis halvparte av mplprfitte: π xi = 1 2 A c 2 = 4b A c 2 8b Ved brudd på samarbeidet gis e egags økig i prfitte: max π di = A b QM q i 2 + q i c q i = A b q i = 3 A c 8b π di = A b A c 4b + 3 A c 8b c 3 A c 8b A c 4b = 3 A c 8 + q i c q i 3 A c 8b = 9 A c 2 64b Etter brudd på samarbeidet er all fremtidig prfitt Curt-prfitt: π ei = A c 2 9b Samarbeid krever altså: A c 2 8b 1 δ 9 A c 2 64b δ 1 δ δ δ δ δ + 64δ 9 A c 2 δ 9b 1 δ δ 1 δ δ Drag Berghlt
25 δ δ 9 17 Avsluttede: De sm øsker samarbeid mest er de sm har legst tidshrist. Frhld sm taler fr vellykket prissamarbeid (str δ): Tålmdige bedrifter Krt peridelegde Hard kkurrase hvis samarbeidet brytes Begreset atall prduseter Høye etablerigskstader 24 Drag Berghlt
26 3. Ifrmasjsteri e grumdell 3.1. Iledig: - Prsesse: Prisipale lager e ktrakt. Agete aksepterer ktrakte hvis dette gir mist like str frvetet avkastig sm alterativavkastige. Agete gjør e isats på vege av prisipale, g prisipale betaler lø fr isatse. - Målkflikter mellm prisipal g aget: Prisipal Aget Lø + Isats + - Bechmark: Symmetrisk ifrmasj: Prisipale g agete har de samme ifrmasje, me dee ifrmasje er ikke ødvedigvis perfekt. Agetes isats g resultatet er bserverbart. Det er dermed mulig å ikludere disse variablee i ktrakte eksplisitt. P lager ktrakt A aksepterer eller avviser A gjør e isats N bestemmer utfallet Utfall g payff Løsig av spillet: Delspillperfekt likevekt: Hver spiller velger ptimal strategi til ehver tid gitt allerede kjete utfall, g hver spiller frveter samtidig at alle adre spillere gså ppfører seg på samme måte. 25 Drag Berghlt
27 Baklegs iduksj: Gitt at agete aksepterer ktrakte vil ha velge de isatse sm maksimerer de frvetede ytte. Basert på frvetiger til isatse gitt av ktrakte avgjør agete å ete akseptere eller ikke akseptere ktrakte. Agete vil ku akseptere hvis dette gir større frvetet avkastig e alterativavkastige. Gitt agetes frvetede adferd fr hver mulige ktrakt, vil prisipale tilby de ktrakte sm maksimerer prisipalytte Grumdelle - E bilateral ktrakt: Prisipale P desiger e ktrakt g krever et pegeverdimessig resultat x. Agete A bidrar med isats e g får betalt løe w. Resultatet avheger både av isatse g aturlige tilfeldigheter. Sasylighete fr å få et bestemt resultat x i X gitt isatse e: Prb x = x i e = p i e, i 1,2,, der - Risikaversj: i p i e = 1 Teker ss t mulige utfall x i 1 g x i + 1 med lik sasylighet fr begge utfallee, det vil si p = 1 p = 1. 2 Risikavers aktør: Nytte av frvetet resultat er større e frvetet ytte: u 1 2 x i x i + 1 > 1 u x 2 i u x 2 i + 1 u x i > 1 u x 2 i u x 2 i + 1 2u x i > u x i 1 + u x i + 1 u x i + u x i > u x i 1 + u x i + 1 u x i u x i 1 > u x i + 1 u x i Frståelse: Et gitt tapsbeløp betyr mer e tilsvarede beløp i gevist, det er altså avtagede greseytte av geviste: 26 Drag Berghlt
28 Nytte u x i + 1 u x i u x i 1 u x Beløp Risikøytral aktør: Nytte av frvetet resultat er lik frvetet ytte: u 1 2 x i x i + 1 = 1 u x 2 i u x 2 i + 1 u x i = 1 u x 2 i u x 2 i + 1 2u x i = u x i 1 + u x i + 1 u x i + u x i = u x i 1 + u x i + 1 u x i u x i 1 = u x i + 1 u x i Frståelse: Et gitt tapsbeløp betyr like mye sm tilsvarede beløp i gevist, det er altså kstat greseytte av geviste: Nytte u x i + 1 u x u x i u x i 1 Beløp - Nytte til aktøree: Prisipale: B x w Risikavers: B > 0; B < 0 Risikøytral: B > 0; B = 0 Agete: U w, e = u w v e Risikavers: U > 0; U < 0 Risikøytral: U > 0; U = 0 27 Drag Berghlt
29 Margialbetydige av lø g isats: Lø: u w > 0; u w 0 Isats: v e > 0; v e 0 - Prisipales ptimerigsprblem: max w xi,e i=1 p i e B x i w x i uder bibetigelse i=1 p i e u w x i v e L w x i, e, λ = i=1 p i e B x i w x i + λ i=1 p i e u w x i v e L w x i w x i, e, λ = p i e B x i w x i + λ p i e u w x i = 0 λ = B x i w x i u w x i - Kuh-Tucker: = kstat La f g g i være kkave fuksjer av w. Da er w løsige på max w f uder betigelse g i 0 hvis, g bare hvis, det fies e vektr λ slik at følgede Kuh-Tucker-krav ppfylles: a. L w, λ L w, λ fr alle x D b. λ i 0 fr alle i = 1,, m c. g i w = 0 fr alle i = 1,, m, λ d. g i w 0 fr alle i = 1,, m U U 3.3. Optimale betaligsmekaismer - Geerelt der ifrmasje er symmetrisk: Frutsetter at brudd på ktrakte aldri er løsmt. Paret-effektivitet: λ = B x i w x i u w x i = B x j w x j u w x j B x i w x i B x j w x j = u w x i u w x j i=1 p i e u w x i v e U Edgewrth byttebks år det er t mulige resultater x 1 g x 2 der x 1 < x 2. Tilsvarede løiger er w 1 g w 2 : 28 Drag Berghlt
30 x 2 w 2 0 P x 1 w 1 x 1 w 1 0 A w 2 x 2 - Hvis prisipale er risikøytral g agete er risikavers utledes ktrakte sm følger: B > 0; B = 0 B = kstat u w > 0; u w 0 w x i = w x j = w Frståelse: Av λ = B x i w x i u w x i = kstat ser vi at kstat krever kstat u w x i fr alle i. Dette betyr at u w x 1 = u w x 2, altså at w x 1 = w x 2 = w. Her er betalige til agete ku avhegig av agetes reservasjsytte g agetes isats: u w v e = U u w = U + v e w = u 1 U + v e (teremet m e ivers fuksj: y = f x x = f 1 y ) Det ptimale fr e risikøytral prisipal er altså å ta all risik. Edgewrth byttebks i tresultattilfellet: x 2 w 2 0 P x 1 w 1 x 1 w 1 0 A w 2 29 Drag Berghlt x 2
31 Nytteivået sm det er ptimalt fr prisipale å kreve: Gitt ptimal lø w = u 1 U + v e g symmetrisk ifrmasj ka vi utlede prisipales maksimerigsprblem: max π e = e π e e i=1 p i e x i w = i=1 p i e x i u 1 U + v e = i=1 p i e x i u 1 U + v e v e = 0 i=1 p i e x i = u 1 U + v e v e e i=1 p i e i=1 p i e x i = x i = w e v e u w e frdi de deriverte av e ivers er lik de iverse av de deriverte: Geerelt: x = f 1 y x = 1 y y x Her: w = u 1 U + v e w e = Grafisk fremstillig: i=1 p i e x i w = kstat 1 u w e v e = v e u w e u w v e = U w - Hvis prisipale er risikavers g agete er risikøytral: u w > 0; u w = 0 u = kstat B > 0; B 0 x i w x i = x j w x j = k Frståelse: Av λ = B x i w x i u w x i = kstat ser vi at kstat u krever kstat B x i w x i fr alle i. Dette betyr at B x 1 w x 1 = B x 2 w x 2, altså at x 1 w x 1 = x 2 w x 2 = k. Geerelt: w x i = x i k. 30 Drag Berghlt
32 Det ptimale fr e risikavers prisipal er altså e frachise-ktrakt der det kreves et visst beløp k fra agete, g lar dee ta all øvrig avkastig. De risikøytrale agete vil ku delta hvis: i=1 p i e w x i v e i=1 i=1 i=1 p i e x i k p i e x i k U v e U U + v e p i e x i k = U v e k = i=1 p i e x i U v e Frståelse: Prisipale velger k sm er differase mellm frvetet prfitt g miimumskravet fra agete fr å akseptere ktrakte. Nytteivået sm det er ptimalt fr prisipale å kreve: Gitt ptimal lø w x i = x i k g symmetrisk ifrmasj ka vi utlede prisipales maksimerigsprblem: max e k max e i=1 p i e i=1 p i e x i v e = 0 i=1 p i e x i = v e x i v e Frvetet margial økig i avkastige er lik margialkstade ved isatse. x 2 w 2 0 P x 1 w 1 x 1 w 1 0 A w 2 - Hvis både prisipale g agete er risikaverse: B < 0 g u < 0 x 2 L w x i = B x i w x i + λ u w x i = 0 Differesierer med hesy på x i : B 1 dw x i dx i 31 Drag Berghlt + λ u dw x i dx i = 0 der λ = B x i w x i u w x i
33 B 1 dw x i dx i B B 1 dw x i dx i + B u u dw x i dx i = 0 + u u dw x i dx i = 0 u u + B B dw x i dx i = B B dw x i dx i = B B u rp u +B r P +r A B Dest større risikaversj hs prisipale i frhld til agete, dest mer burde løe styres av resultatet: x 2 w 2 0 P x 1 w 1 x 1 w 1 0 A w 2 x 2 32 Drag Berghlt
34 4. Mral Hazard 4.1. Iledig: - Mral Hazard (mralsk risik): Type 1: Agetes hadliger er ikke fullt ut verifiserbare. Eksempel: Lathet uder fast lø. P lager ktrakt A aksepterer eller avviser A gjør e ikkeverifiserbar isats N bestemmer utfallet Utfall g payff Type 2: Agete mttar privat ifrmasj etter at ktrakte er sigert. P lager ktrakt A aksepterer eller avviser N bestemmer situasje sm bare bserveres av A A gjør e isats Utfall g payff - Utgagspukt i mral hasard: Side prisipale ikke ka bservere agetes isats ka ikke isatse ikluderes i ktrakte eksplisitt. Hvis prisipale tilbyr e ktrakt med fast lø vil alltid agete velge det laveste isatsivået: u w v e mi u w v e Dette vet prisipale, sm derfr alltid vil tilby de laveste løe sm tilfredsstiller deltagerbetigelse fr det laveste isatsivået år løe er fast: w mi = u 1 U + v e mi - Prblemet i mral hasard ppstår i siste fase av spillet: Når ktrakte først er sigert, g side isats ikke bserveres av prisipale, vil agete velge det isatsivået sm maksimerer ege ytte. Derfr må agete legge i et isetiv fr agete til å velge øsket isatsivå. Isetivbetigelse fr alle isatsivåer sm ikke prefereres av prisipale: p i e u w x i v e p i e u w x i v e i=1 i=1 i=1 p i e u w x i i=1 p i e u w x i v e v e 33 Drag Berghlt
35 4.2. Mdelle: - Maksimerigsprblemet til prisipale: Løs prblemet: max w xi i=1 p i x i w x i uder følgede betigelser 1. Deltagerbetigelse: i=1 p i u w x i v e U 2. Isetivbetigelser: i=1 p i u w x i v e i=1 p i u w x i Løsig: L w x i, λ, μ L = p i x i w x i i=1 m + μ j p i u w x i j i=1 + λ p i u w x i i=1 v e i=1 v e U p i e j u w x i v e + v e j w x i = p i + λp i u w x i + μ p i p i u w x i = 0 (1) L λ = L μ j = i=1 p i u w x i v e U = 0 (2) i=1 p i u w x i v e i=1 p i e j u w x i + v e j = 0 (3) Frståelse av likigee: Av (1): p i u w x i = λp i + μ p i p i p i i=1 = i=1 λp i + μ p i p i = λ λ > 0 p i u w x i u w x i = λp i + μ 1 p i p i μ 0 Jamfør Kuh-Tucker b.; μ 0: μ > 0 Av (1), (2) g (3): m atall likiger fr å bestemme alle w i, λ g alle μ j. I t-resultattilfellet: (2) g (3) ka brukes til å fie w i e. - Sammeligig av mral hazard g symmetrisk ifrmasj: I mral hazard må e risikøytral prisipal belaste de risikaverse agete med e risik, g slik sett miste e prfitt, fr å gi agete isetiv m å yte ptimal isats. - Mral hazard type 2: Agete mttar privat ifrmasj etter at ktrakte er sigert. 34 Drag Berghlt
36 Prblem: Ige kjeer sasylighete fr et gitt resultat før ktrakte er sigert, ku agete kjeer dee sasylighete etter at ktrakte er sigert. Hvis sasylighete viser seg å gjøre frvetet ytte fr agete lavere e reservasjsytte har agete isetiv til å bryte ktrakte. Ex ate deltagelsesbetigelse: Iebærer at agete ikke ka bryte ktrakte år de først er sigert. Ex pst deltagelsesbetigelse: Iebærer at agete aldri får frvetet ytte lavere e reservasjsytte. Hvis det viser seg at sasylighete fr å lykkes er høy, vil agetes frvetede ytte være større e reservasjsytte. Hvis det viser seg at sasylighete fr å lykkes er lav, vil agetes frvetede ytte være lik reservasjsytte. 35 Drag Berghlt
37 5. Adverse Selecti 5.1. Iledig: - Adverse Selecti (baklegs seleksj): Agete hlder på privat ifrmasj før ktrakte sigeres. Eksempel: Kvalitete på kmmuale tjeester tilbudt fra private aktører. N bestemmer type A P lager ktrakt A aksepterer eller avviser A gjør e isats N bestemmer utfallet Utfall g payff - Prisipale ka løse prblemet ved å etablere spesifikke ktrakter fr hver agettype, der de ekelte ktrakt er slik at hver agettype vil velge de ktrakte sm er met fr ham. Iebærer at agete med verst isats vil ppå ytte lik reservasjsytte, mes de adre agetee får e psitiv avkastig. - Atar t agettyper: A G g A B. U G w, e = u w v e U B w, e = u w kv e der k > Ved fravær av adverse selecti: - Hvis symmetrisk ifrmasj: Hvis A G asettes må prisipale løse følgede prblem: max e,w u P e w uder deltagerbetigelse u w v e U. Løsig: L e, w, λ = u P e w + λ u w v e U L w L = 1 + λu w = 0 (1) e = u P e λv e = 0 (2) L λ Av (1): λ = 1 u w = u w v e U = 0 (3) 36 Drag Berghlt
38 Av (2): λ = u P e v e Av (1) g (2): u P e = v e u w Av (3): u w v e = U w = u 1 U + v e Hvis A B asettes må prisipale løse følgede prblem: max e,w u P e w uder deltagerbetigelse u w kv e U. Løsig: L e, w, λ = u P e w + λ u w kv e U L w L = 1 + λu w = 0 (1) e = u P e λkv e = 0 (2) L λ Av (1): λ = 1 u w Av (2): λ = u P e kv e = u w kv e U = 0 (3) Av (1) g (2): u P e = kv e u w Av (3): u w kv e = U w = u 1 U + kv e Grafisk fremstillig: e w G, e G w B, e B u p e w = kstat u p e w = kstat u w v e = U u w kv e = U w - Ved adverse selecti er ikke ktrakte beskrevet ver ptimal fr prisipale. Da vil emlig A B velge ktrakte met fr ham, mes A G vil velge ktrakte met fr A B frdi U G w B, e B = u w B v w B > u w B kv w B = U. - Prisipale ka løse prblemet ved å ata at A = A G har sasylighete p g at A = A B har sasylighete 1 p. Med utgagspukt i disse sasylighetee ka 37 Drag Berghlt
39 prisipale etablere e selvselekterede mey av ktrakter der hver agettype velger de ktrakte sm er met fr seg. w G, e G, w B, e B 5.3. Mdelle: - Maksimerigsprblemet til prisipale: Løs prblemet: max w G,e G, w B,e B p u P e G w G + 1 p u P e B w B uder følgede betigelser 1. Deltagerbetigelse fr A G : u w G v e G U 2. Deltagerbetigelse fr A B : u w B kv e B U 3. Isetivbetigelse fr A G : u w G v e G u w B v e B 4. Isetivbetigelse fr A G : u w B kv e B u w G kv e G Begresig av restriksjer: Betigelse 1. ka fjeres; hvis A B er villig til å igå e gitt ktrakt må gså A G være villig til dette. Av 3., 2. g 1.: u w G v e G u w B v e B u w B kv e B U Betigelse 4. ka fjeres; større isats kreves av A G e av A B. Av 3. g 4.: u w G v e G u w B v e B u w G u w B v e G v e B u w B kv e B u w G kv e G k v e B v e B u w G u w B k v e B v e B u w G u w B v e G v e B v e G v e B side k > 1 Løsig: L w G, e G, w B, e B = p u P e G w G + 1 p u P e B w B + λ u w B kv e B U + μ u w G v e G u w B + v e B 38 Drag Berghlt
40 L w G = p + μu wg = 0 (1) L w B = 1 p + λu w B μu w B = 0 (2) L e G = pu P e G μv e G = 0 (3) L e B = 1 p u P e B λkv e B + μv e B = 0 (4) Frståelse av likigee: Av (1): μ = p u w G Av (2): λ μ = 1 p u w B Av (3): μ = pu P e G v e G Av (4): λk μ = 1 p u P e B v e B Av (3) g (4) fier vi e G g e B. Når disse er fuet ka vi fie w G g w B ved å sette i i betigelsee 2. g 3. fr e G g e B. Merk at disse betigelsee hlder ved likhet Når prisipaler kkurrerer m ageter: - Spillet: Atar at prisipaler kkurrerer m ageter. Atar t typer ageter A G g A B g t mulige utfall av arbeidet; suksess x S g fiask x F. Begge agetee yter samme isats, me de gde agete har større sjase fr suksess. Derav er sasylighete fr at e aget skal klare å ppå x S hehldsvis p G g p B, der p G > p B. Utfallee er bserverbare, g prisipale beløer dem med hehldsvis w S g w F. Payff: Frvetet avkastig fr e risikøytral prisipal: E π = p x S w S + 1 p x F w F Frvetet ytte fr e risikavers aget: E gd aget: E U G = p G u w S + 1 p G u w F E dårlig aget: E U B = p B u w S + 1 p B u w F Ktrakte vil bestå av w G G S, w F, w B B S, w F. 39 Drag Berghlt
41 - Bechmark: Symmetrisk ifrmasj: Agetes maksimerigsprblem fr e gitt agettype T G, B : max E π = pt T x w T S,w T S w S + 1 p T T x F w F F uder betigelse m at E U T = p T u w S T + 1 p T u w F T U T Løsig: L = p T x S w S T + 1 p T x F w F T + λ p T u w S T + 1 p T u w F T U T L w S T = p T + λp T u w S T = 0 (1) L w F T = 1 p T + λ 1 p T u w F T = 0 (2) L Av (1) g (2): λ = pt u w S T + 1 p T u w F T U T = 0 (3) λ = 1 u w S T = 1 u w F T w S T = w F T Frikkurrase mellm prisipalee iebærer ull frvetet prfitt: w T S = w T F = p T x S + 1 p T x F w G S = w G F = p G x S + 1 p G x F w B S = w B F = p B x S + 1 p B x F Grafisk fremstillig: w F U B = kstat U G = kstat 45 U B π G = 0 = kstat π B = 0 w S Ser her at hvis ifrmasje er asymmetrisk, vil A B fremstille seg selv sm A G. Da blir prisipales frvetede prfitt egativ. - Prisipale må pprette et sett med ktrakter C G, C B uder følgede betigelser: Ige ktrakt ka eksistere sm fretrekkes fra C G av A G, g ikke fra C B av A B, sm gir psitiv prfitt fr prisipale, gitt at bare A G vil velge de. 40 Drag Berghlt
42 Ige ktrakt ka eksistere sm fretrekkes fra C B av A B, g ikke fra C G av A G, sm gir psitiv prfitt fr prisipale, gitt at bare A B vil velge de. Ige ktrakt ka eksistere sm fretrekkes fra C G av A G, g fra C B av A B, sm gir psitiv prfitt fr prisipale, gitt at begge agettypee vil velge de. - Hvis C G = C B har vi e samlede (plig) likevekt, hvis C G C G har vi e separerede (separatig) likevekt. - Bevis på at samlede likevekt ikke fies i dette spillet: Hvis e samlede likevekt fies g prisipale har ullprfitt må dee ktrakte ppfylle følgede: E π = p I x S w S + 1 p I x F w F = 0 der p I = qp G + 1 q p B er sasylighete fr x S. Grafisk fremstillig: w F π G = 0 π I = 0 45 U B = kstat U G = kstat w S Ser at e ktrakt i mrådet uder U B = kstat ver U G = kstat gir mer fr x S g midre fr x F. Ser gså at dette ktrakter i dette mrådet er fretrukket fr A G, me ikke fr A B. Side ku A G vil akseptere C I, g dette gir psitiv prfitt fr prisipale, ka ikke dette være e likevekt. - Grafisk fremstillig av e ptimal ktrakt: w F 45 C B π B = 0 C G U G = kstat U B = kstat π G = 0 w S 41 Drag Berghlt
43 Frståelse av at C G må ligge i skjærigspuktet mellm C B g π G = 0: C G må ligge på lije π G = 0 fr å være e likevekt. C G må ligge uder eller på C B fr at ikke A B skal øske de fremfr C B. Ehver ktrakt uder C G er ret dmiert av C G fr A G. Samlet sett må altså C G w G G S, w F ppfylle følgede: u w B = p B G u w S + 1 p B G u w S p G x S w S + 1 p G x F w F = 0 42 Drag Berghlt
44 6. Sigallig 6.1. Iledig: - Sigalig (sigaliserig): Asymmetrisk ifrmasj er ikke alltid øskelig fr de ifrmerte. De sm frsøker å sede sigaler gjør dette fr å gi mtparte mer ifrmasj. Sigaliserig fra agete: N bestemmer type A A seder et sigal P lager ktrakt A aksepterer eller avviser A gjør e isats N bestemmer utfallet Utfall g payff Gde ageter ka ha sede et sigal m si ege type. Hvis sigalet skal være ifrmativt fr prisipaler, må kstadee tilkyttet sigalet være fr stre fr dårlige ageter, me samtidig tilstrekkelig små fr gde ageter. Et eksempel er utdaig sm sigal. Sigaliserig fra prisipale: N bestemmer type P P lager ktrakt g bruker dee sm et sigal A aksepterer eller avviser A gjør e isats N bestemmer utfallet Utfall g payff Av g til har agete midre ifrmasj e prisipale m situasje kyttet til frhldet deres. Dette påvirker agetes vilje til å akseptere ktrakte. Spesielt vil gde prisipaler få midre avkastig år dårlige prisipaler frsøker å fremstå sm gde. Dette ka gde prisipaler løse ved å tilby ktrakter sm dårlige prisipaler aldri ville vært tjet med Sigaliserig fra agete: - Eksempel: Utdaig sm et sigal: 43 Drag Berghlt
45 Atar t typer arbeidere G g B med prduktivitet e G = 2 g e B = 1. Bedrifte sm skal asette gis følgede prfitt: π G = 2 w gitt G π B = 1 w gitt B Atar full kkurrase mellm bedrifter, slik at bedrifte ville tilbudt w = 2 til G g w = 1 til B ved symmetrisk ifrmasj. Før de etrer arbeidsmarkedet har arbeidstakere mulighet til å ta utdaig. Vi atar at dee utdaige ikke har e ivirkig på arbeideres prduktivitet, de fugerer ku sm et sigal. Agetees kstad ved å ta y eheter utdaig: c G = 1 y fr G 2 c B = y fr B Bedrifte atar at arbeidere er G hvis y y, g B hvis y < y. Dermed vil arbeidstakere velge ete y = 0 eller y = y. Krav fr at y skal være et effektivt sigal m arbeidstakeres type: Isetivbetigelse fr G: G må velge y = y : y 1 0 y 2 Isetivbetigelse fr B: B må velge y = 0: y y 1 Samlet gir dette følgede krav fr y : 1 y 2 Side all utdaig kster vil det altså være mest løsmt med y = 1. - Tar pp igje eksemplet fra adverse selecti med A G g A B, der resultatee ka bli ete x S eller x F : Uder symmetrisk ifrmasj får agetee: U G = u w G = u p G π S + 1 p G π F U B = u w B = u p B π S + 1 p B π F Uder asymmetrisk ifrmasj får agetee: E U G = p G G u w s + 1 p G G u w F < U G U B = U B Ifører mulighete fr å sigalisere gd gjem utdaig: 44 Drag Berghlt
46 Kstade ved utdaig fr de t typee ageter er hehldsvis v G g v B. Prisipale atar at det å ta utdaig iebærer at agete er A G, mes ige utdaig iebærer A B. Krav fr at utdaig skal fugere sm et effektivt sigal fr A G : v G U G U B v B U G U B 45 Drag Berghlt
Mer om utvalgsundersøkelser
Mer om utvalgsudersøkelser I uderkapittel 3.6 i læreboka gir vi e kort iførig i takegage ved utvalgsudersøkelser. Vi gir her e grudigere framstillig av temaet. Populasjo og utvalg Ved e utvalgsudersøkelse
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004
Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Side av 0 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004 Oppgave Midtveiseksame a) X er e stokastisk variabel
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 5
ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2010 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 12. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 59
DetaljerFaktor - en eksamensavis utgitt av ECONnect
Faktr - en eksamensavis utgitt av ECONnect Pensumsammendrag: SØK2004 Næringsøknmi Frfatter: Drag Berghlt E-pst: berghlt@stud.ntnu.n Skrevet: Våren 2008 Antall sider: 1 SØK2004 - Pensumsammendrag Om ECONnect:
DetaljerUkeoppgaver i BtG207 Statistikk, uke 4 : Binomisk fordeling. 1
Ukeoppgaver i BtG20 Statistikk, uke 4 : Biomisk fordelig. 1 Høgskole i Gjøvik Avdelig for tekologi, økoomi og ledelse. Statistikk Ukeoppgaver uke 4 Biomisk fordelig. Oppgave 1 La de stokastiske variable
DetaljerARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK
ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK Temahefte r Hvorda du reger med poteser Detaljerte forklariger Av Matthias Loretze mattegriseforlag.com Opplsig: E potes er e forkortet skrivemåte for like faktorer. E potes består
DetaljerEKSAMEN Løsningsforslag
..4 EKSAMEN Løsigsforslag Emekode: ITF75 Dato: 6. desember Eme: Matematikk for IT Eksamestid: kl 9. til kl. Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt ihold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer:
DetaljerKapittel 7: Noen viktige sannsynlighetsfordelinger
Kapittel 7: Noe viktige sasylighetsfordeliger I mage situasjoer ka feomeet vi ser på beskrives med e bestemt type sasylighetsfordelig e sasylighetsfordelig gitt ved e bestemt formel. Vi skal se på oe av
DetaljerLØSNING: Eksamen 17. des. 2015
LØSNING: Eksame 17. des. 2015 MAT100 Matematikk, 2015 Oppgave 1: økoomi a I optimum av T Rx er dt Rx 0 1 som gir d Ix Kx 0 2 dix dix dkx dkx 0 3 4 dvs. greseitekt gresekostad, q.e.d. 5 b Gresekostad ekstrakostade
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2016
TMA44 Statistikk Høst 16 Nrges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt fr matematiske fag Abefalt øvig 7 Løsigsskisse Oppgave 1 a) Reger først ut de kumulative frdeligsfuksje til X: F X (x) = Z x
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. Noen viktige sannsynlighetsmodeller. Binomisk modell. Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable
ÅMA Saslighetsregig med statistikk, våre K. 3 Diskrete tilfeldige variable Noe viktige saslighetsmodeller Noe viktige saslighetsmodeller ( Sas.modell : å betr det klasse/te sas.fordelig.) Biomisk modell
DetaljerPåliteligheten til en stikkprøve
Pålitelighete til e stikkprøve Om origiale... 1 Beskrivelse... 2 Oppgaver... 4 Løsigsforslag... 4 Didaktisk bakgru... 5 Om origiale "Zuverlässigkeit eier Stichprobe" på http://www.mathe-olie.at/galerie/wstat2/stichprobe/dee
DetaljerKapittel 7: Noen viktige sannsynlighetsfordelinger
Kapittel 7: Noe viktige sasylighetsfordeliger I mage situasjoer ka feomeet vi ser på beskrives med e bestemt type sasylighetsfordelig (e sasylighetsfordelig gitt ved e bestemt formel. Vi skal se på oe
DetaljerLøsning eksamen R1 våren 2010
Løsig eksame R våre 00 Oppgave a) ) f ( ) l f ( ) ' l l l l f ( ) (l ) ) g( ) 4e g( ) 4 e ( ) 4 e ( ) g( ) 4( ) e b) ( ) 4 4 6 P ) P() 4 4 6 8 6 8 6 0 Divisjo med ( ) går opp. 4 4 6 : ( ) 8 4 4 8 6 8 6
DetaljerFØLGER, REKKER OG GJENNOMSNITT
FØLGER, REKKER OG GJENNOMSNITT Espe B. Lagelad realfagshjoret.wordpress.com espebl@hotmail.com 9.mars 06 Iledig E tallfølge er e serie med tall som kommer etter hveradre i e bestemt rekkefølge. Kvadrattallee
DetaljerKommentarer til oppgaver;
Kapittel - Algebra Versjo: 11.09.1 - Rettet feil i 0, 1 og 70 og lagt i litt om GeoGebra-bruk Kommetarer til oppgaver; 0, 05, 10, 13, 15, 5, 9, 37, 5,, 5, 59, 1, 70, 7, 78, 80,81 0 a) Trykkfeil i D-koloe
DetaljerUtvidet løsningsforslag Eksamen i TMA4100 Matematikk 1, 16/12 2008
Utvidet løsigsforslag Eksame i TMA4 Matematikk, 6/ 8 Oppgave i) Vi gjør substitusjoe u = si θ og får π/ [ u si θ cos θ dθ = u du = E ae løsigsmetode er π/ si θ cos θ dθ = π/ ] si θ dθ = 4 = 4 ( ( ) ( ))
DetaljerEcon 2130 uke 15 (HG) Poissonfordelingen og innføring i estimering
Eco 130 uke 15 (HG) Poissofordelige og iførig i estimerig 1 Poissofordelige (i) Tilærmig til biomialfordelige. Regel. ( Poissotilærmelse ) Ata Y ~ bi(, p) E( Y ) = p og var( Y ) = p(1 p). Hvis er stor
DetaljerIntroduksjon. Hypotesetesting / inferens (kap 3) Populasjon og utvalg. Populasjon og utvalg. Populasjonsvarians
Hypotesetestig / iferes (kap ) Itroduksjo Populasjo og utvalg Statistisk iferes Utvalgsfordelig (samplig distributio) Utvalgsfordelige til gjeomsittet Itroduksjo Vi øsker å få iformasjo om størrelsee i
DetaljerKapittel 8: Estimering
Kaittel 8: Estimerig Estimerig hadler kort sagt om hvorda å aslå verdie å arametre som,, og dersom disse er ukjete. like arametre sier oss oe om oulasjoe vi studerer (dvs om alle måliger av feomeet som
DetaljerRisikostyring i staten
Metdedkuet Risikstyrig i state Hådterig av risik i ål- g resultatstyrige SSØ 01/2008, 2. pplag 3000 eks. Risikstyrig i state Hådterig av risik i ål- g resultatstyrige Frrd Ka du s leder svare på følgede
DetaljerCONSTANT FINESS SUNFLEX SMARTBOX
Luex terrassemarkiser. Moterig- og bruksavisig CONSTNT FINESS SUNFLEX SMRTBOX 4 5 6 7 8 Markises hovedkompoeter og mål Kombikosoll og plasserig rmklokker og justerig Parallelljusterig Motordrift og programmerig
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 4. Hypotesetesting, del 4
ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6, del 4 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 19. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 27 Bjør
DetaljerEksamen INF3350/INF4350 H2006 Løsningsforslag
Eksame INF3350/INF4350 H2006 Løsigsforslag Oppgave. Score (eller bit score) S' er e statistisk idikator på hvor sigifikat e match er. Høyere bit score svarer til høyere sigifikas. Idikatore er uavhegig
Detaljer2.1 Polynomdivisjon. Oppgave 2.10
. Polyomdivisjo Oppgave. ( 5 + ) : = + + ( + ):( ) 6 + 6 8 8 = + + c) ( + 5 ) : = + 6 6 d) + + + = + + = + + + 8+ ( ):( ) + + + Oppgave. ( + 5+ ):( ) 5 + + = + ( 5 ): 9 + + + = + + + 5 + 6 9 c) ( 8 66
DetaljerHypotesetesting, del 5
Oversikt, del 5 Kofidesitervall p-verdi Kofidesitervall E (tosidig test ka gjeomføres vha. av et kofidesitervall. For eksempel, dersom vi i målemodell 1 vil teste: H 0 : μ = μ 0 mot H 1 : μ μ 0, ka vi
DetaljerNoen vanlige. Indikatorfordeling: 1, dersom suksess. I mange situasjoner kan fenomenet vi ser på. 0, dersom ikke suksess
Kapittel 5: Noe valige sasylighetsfordeliger I mage situasjoer ka feomeet vi ser på beskrives med e bestemt type sasylighets- fordelig (e sasylighetsfordelig gitt ved e bestemt formel. Vi skal se på oe
DetaljerDriftsinstruks. Montering vinterdrift. www.novemakulde.no. Vi håper de får stor glede av et Novema kulde produkt!
Driftsistruks Mterig viterdrift Vi håper de får str glede av et Nvema kulde prdukt! www.vemakulde. w w. Ihld MONTASJE... 1 Dkumetasj... 2 Mtasje av viterdrift på mii splitter... 3 Hvrfr viterdrift....
DetaljerMetoder for politiske meningsmålinger
Metoder for politiske meigsmåliger AV FORSKER IB THOMSE STATISTISK SETRALBYRÅ Beregigsmetodee som brukes i de forskjellige politiske meigsmåliger har vært gjestad for mye diskusjo i dagspresse det siste
DetaljerSTK1100: Kombinatorikk
1100: ombiatorikk auar 2009 Ørulf orga Matematisk istitutt Uiversitetet i Oslo 1 Uiform sasylighetsmodell: t stokastisk forsøk har N utfall Det er de mulige utfallee for forsøket i atar at de N utfallee
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen mai 2017
TMA445 Statistikk Eksame mai 07 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsskisse Oppgave a Når vi reger ut disse tre sasylighetee må ma huske på at de mulige verdiee
Detaljer8 + 2 n n 4. 3n 4 7 = 8 3.
Seksjo 4. Oppgave (). Fi greseverdiee: 8 a) 4 + 4 7 b) 4 +7 5 c) + 7 4 ( ) d) 5 4 44 + 5 4 e) 5 + si() e +6 5 Løsig. Vi vil bruke samme metode som i Eksempel 4..5 fra boke i disse oppgavee. Når vi skal
DetaljerEmnenavn: Eksamenstid: 4 timer. Faglærer: Hans Kristian Bekkevard
EKSAMEN Emekode: SFB107111 Emeav: Metode 1, statistikk deleksame Dato: 7. mai 2018 Hjelpemidler: Godkjet kalkulator og vedlagt formelsamlig m/tabeller Eksamestid: 4 timer Faglærer: Has Kristia Bekkevard
DetaljerMA1101 Grunnkurs Analyse I Høst 2017
Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag MA0 Grukurs Aalyse I Høst 07 Løsigsforslag Øvig..b) Vi skriver om 7 = 4 4 7 Korollar.. gir at 7 4 er irrasjoal (side vi vet 7 4 er
DetaljerEcon 2130 Forelesning uke 11 (HG)
Eco 130 Forelesig uke 11 (HG) Mer om ormalfordelige og setralgreseteoremet Uke 1 1 Fra forrige gag ~ betyr er fordelt som. ~ N( µσ, ) E( ) = µ, og var( ) = σ Normalfordelige er symmetrisk om μ og kotiuerlig
DetaljerEksamen REA3028 S2, Våren 2011
Eksame REA08 S, Våre 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeg) a) Deriver fuksjoee ) f 5 f 6 5 ) g g ) h l 9 9 6 4 h l
DetaljerLeica Lino Presis selvhorisonterende punkt- og linjelaser
Impex Produkter AS Verkseier Furuluds vei 15 0668 OSLO Tel. 22 32 77 20 Fax 22 32 77 25 ifo@impex.o www.impex.o Leica Lio Presis selvhorisoterede pukt- og lijelaser Still opp, slå på, klar! Med Leica Lio
DetaljerECON240 Statistikk og økonometri
ECON240 Statistikk og økoometri Arild Aakvik, Istitutt for økoomi 1 Mellomregig MKM Model: Y i = a i + bx i + e i MKM-estimator for b: b = = Xi Y i 1 Xi Yi Xi 1 ( X i ) 2 (Xi X)(Y i Ȳi) (Xi X) 2 hvor vi
DetaljerEksamen 20.05.2009. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål
Eksame 20052009 REA3024 Matematikk R2 Nyorsk/Bokmål Nyorsk Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Bruk av kjelder: Vedlegg: Framgagsmåte: Rettleiig om vurderiga: 5 timar:
DetaljerKap. 9: Inferens om én populasjon. Egenskaper ved t-fordelingen. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere. I Kapittel 8 brukte vi observatoren
2 Kap. 9: Iferes om é populasjo I Kapittel 8 brukte vi observatore z = x μ σ/ for å trekke koklusjoer om μ. Dette krever kjet σ (urealistisk). ST0202 Statistikk for samfusvitere Bo Lidqvist Istitutt for
DetaljerInnhold og forelesningsplan Eksempler på LP Begreper Løsning av enkelt eksempel Praktisk relevans Leksjon 2: Simpleksmetoden for løsning av LP
Lekso 2 Mål for kurset teoretisk forståelse, gruleggede optimerig løsigsmetoder LP og utvidelser algoritmisk forståelse avedelser LP og utvidelser modellerig og løsig v.h.a. verktøy Ihold og forelesigspla
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 5. Hypotesetesting, del 5
ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 7 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 26. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 59 Bjør
DetaljerPrinsipal-agent-modeller
Prinsipal-agent-modeller gent: Person som utfører oppdrag for andre Prinsipal: Den som gir oppdraget Eksempler (oppgave, prinsipal, agent): o Helse, pasient, lege o nvestering, aksjeeier, bedriftsleder
DetaljerForventningsverdi. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk
MAT0100V Sasylighetsregig og kombiatorikk Forvetigsverdi Sasylighetsfordelige til e tilfeldig variabel X gir sasylighete for de ulike verdiee X ka ata Forvetig, varias og stadardavvik Tilærmig av biomiske
DetaljerKonsumentteori. Grensenytte er økningen i nytte ved å konsumere én enhet til av et gode.
Konsumentteori Nyttefunksjonen U(x 1, x 2 ) forteller oss hvordan vår nytte avhenger av konsumet av x 1 og x 2. En indifferenskurve viser godekombinasjonene som gir konsumenten samme nytte. Grensenytte
DetaljerOM TAYLOR POLYNOMER. f x K f a x K a. f ' a = lim x/ a. f ' a z
OM TAYLOR POLYNOMER I dette otatet, som utfyller avsitt 6. i Gullikses bok, skal vi se på Taylor polyomer og illustrere hvorfor disse er yttige. Det å berege Taylor polyomer for håd er i prisippet ikke
DetaljerStatistikk og økonomi, våren 2017
Statistikk og økoomi, våre 07 Obligatorisk oppgave 6 Løsigsforslag Oppgave E terig kastes 0 gager, og det registreres hvor mage 6-ere som oppås i løpet av disse 0 kastee. Vi ka kalle atall 6-ere i løpet
DetaljerFagdag 2-3mx 24.09.07
Fagdag 2-3mx 24.09.07 Jeg beklager at jeg ikke har fuet oe ye morsomme spill vi ka studere, til gjegjeld skal dere slippe prøve/test dee gage. Istruks: Vi arbeider som valig med 3 persoer på hver gruppe.
DetaljerEKSAMEN løsningsforslag
05.0.08 EKSAMEN løsigsforslag Emekode: ITF0705 Dato: 5. desember 07 Hjelpemidler: - To A4-ark med valgfritt ihold på begge sider. Emeav: Matematikk for IT Eksamestid: 09.00 3.00 Faglærer: Christia F Heide
DetaljerForsvarets personell - litt statistikk -
Forsvarets persoell - litt statistikk - Frak Brudtlad Steder Sjefsforsker Oslo Militære Samfud 8.11.21 Forsvarets viktigste ressurs Bilder: Forsvarets mediearkiv Geerell omtale i Forsvaret, media og taler
DetaljerØ^ h ^ c^ c^ ST. OLAVS HOSPITAL 0 UNIVERSITETSSYKEHUSET I TRONDHEIM. St. OLAVS HOSPITAL HF. SAMARBEIDSAVTALE på institusjonsnivå mellom
ST. OLAVS HOSPITAL 0 UNIVERSITETSSYKEHUSET I TRONDHEIM SAMARBEIDSAVTALE på istitusjosivå mellom HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG (HiST) og St. OLAVS HOSPITAL HF Trodheim Dato : 6. mai 2010 Ø^ h ^ c^ c^ Høgskole
DetaljerProsedyre for løsning av oppgaver Jeg skal ved hjelp av noen oppgaver/eksempler fra produsentens tilpasning, gi
Jo Vislie; mars 07 ECO 00 07 Prosedyre for løsig av ogaver Jeg sal ved hjel av oe ogaver/esemler fra rodusetes tilasig, gi forslag til rosedyre/hjel/veivalg til å løse ogaver i ECO 00. Det er tre tyer
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5
ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2008 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 3. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 56
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 5
ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2006 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 3. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1 / 56
DetaljerEksamen REA3028 S2, Våren 2010
Eksame REA308 S, Våre 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave 1 (6 poeg) a) Deriver fuksjoee: 1) f x x lx f x x lx x x f
DetaljerLøsningsforslag for andre obligatoriske oppgave i STK1100 Våren 2007 Av Ingunn Fride Tvete og Ørnulf Borgan
Løsigsforslag for adre obligatoriske oppgave i STK11 Våre 27 Av Igu Fride Tvete (ift@math..uio.o) og Ørulf Borga (borga@math.uio.o). NB! Feil ka forekomme. NB! Sed gjere e mail hvis du fier e feil! Oppgave
DetaljerS2 kapittel 1 Rekker Utvalgte løsninger oppgavesamlingen
Utvlgte løsiger oppgvesmlige S kpittel Rekker Utvlgte løsiger oppgvesmlige 0 Vi k prøve med differsemetode Differsee mellom leddee utover er 4,6,8, så det er rimelig t differse mellom femte og fjerde ledd
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014
Norges tekiskaturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag MA Grukurs i aalyse II Vår 4 Løsigsforslag Øvig..4 f ) Skriver om, og får Reger ut ved L'Hopitals regel at cos/) cos/)) = /. cos/)
DetaljerEksamen R2, Høsten 2010
Eksame R, Høste 00 Del Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (6 poeg) a) Deriver fuksjoee ) f l f ( ) l l (l ) ) g( ) si cos f si
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL ØVING NR. 4, HØST 2009
NTNU Nrges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Fakultet fr aturviteskap g teklgi Istitutt fr materialteklgi TMT411 KJEMI LØSNINGSFORSLAG TIL ØVING NR. 4, HØST 009 OGAVE 1 a) V = 50 ml, c = 0.150 M m KMO4
DetaljerTerminprøve R2 Høsten 2014 Løsning
Termiprøve R Høste 04 Løsig Del Tid: 3 timer Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave (6 poeg) E flate i rommet er gitt ved likige: x 4x y 6y z 8z 0 0 a) Vis at puktet P3, 5, ligger på flate Puktet P3, 5, ligger
DetaljerEstimering 1 -Punktestimering
Estimerig 1 -Puktestimerig Dekkes av kap. 8, 9.1-9.3 og 9.15/9.14. Vi har til å settpå e rekke forskjellige sasylighetsfordeliger og sett hvorda disse ka brukes til å modellere mage forskjellige typer
DetaljerOppgaven består av 9 delspørsmål, A,B,C,., som anbefales å veie like mye, Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom <<.. >>.
ECON 130 EKSAMEN 008 VÅR - UTSATT PRØVE SENSORVEILEDNING Oppgave består av 9 delspørsmål, A,B,C,., som abefales å veie like mye, Kommetarer og tallsvar er skrevet i mellom . Oppgave 1 Ved e spørreudersøkelse
DetaljerEstimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Kapittel 10. Ett- og toutvalgs hypotesetesting
3 Estimerig og hypotesetestig Kapittel 10 Ett- og toutvalgs hypotesetestig TMA445 V007: Eirik Mo Feome Bilkjørig Høyde til studeter Estimator ˆp = X, X atall ˆµ = X gjeomsittlig høyde. som syes de er flikere
DetaljerMOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011
MOT310 Statistiske metoder 1, høste 2011 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 24. august, 2011 Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 1 / 32 Repetisjo; 9.1,
DetaljerFotball krysser grenser (konfirmanter Ålgård og Gjesdal)
1 Fotball krysser greser (kofirmater Ålgård og Gjesdal) Øsker du e ide til et praktisk rettet prosjekt/aksjo der kofirmater ka bidra til de fattige dele av verde? Her har du et ferdig opplegg for hvorda
DetaljerEKSAMEN Løsningsforslag
7. jauar 7 EKSAMEN Løsigsforslag Emekode: ITF75 Dato: 4. desember 6 Hjelpemidler: - To A4-ark med valgfritt ihold på begge sider. Emeav: Matematikk for IT Eksamestid: 9. 3. Faglærer: Christia F Heide Kalkulator
DetaljerEstimering 1 -Punktestimering
Estimerig 1 -Puktestimerig Dekkes av kap. 8, 9.1-9.3 og 9.15/9.14. Vi har til å settpå e rekke forskjellige sasylighetsfordeliger og sett hvorda disse ka brukes til å modellere mage forskjellige typer
DetaljerLuktrisikovurdering fra legemiddelproduksjon på Fikkjebakke Screening
Luktrisikovurderig fra legemiddelproduksjo på Fikkjebakke Screeig Aquateam COWI AS Rapport r: 14-046 Prosjekt r: O-14062 Prosjektleder: Liv B. Heige Medarbeidere: Lie Diaa Blytt Karia Ødegård (Molab AS)
DetaljerLøsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder
Løsigsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder 6. mai 00 Iledig Vi skal betrakte det såkalte grafdeligsproblemet (graph partitioig problem). Problemet ka ekelt formuleres som følger: Gitt e graf
DetaljerB Bakgrunnsinformasjon om ROS-analysen.
RI SI KO- O G SÅRBARH ET SANALYSE (RO S) A Hva som skal utredes Beredskapog ulykkesrisiko(ros) vurderesut fra sjekklistefra Direktoratetfor samfussikkerhetog beredskap.aalyse blir utført ved vurderigav
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UIVERSITETET I OSLO Det matematisk-aturviteskapelige fakultet Eksame i: ST 105 - Iførig i pålitelighetsaalyse Eksamesdag: 8. desember 1992 Tid til eksame: 0900-1500 Tillatte hjelpemidler: Rottma: "Matematische
DetaljerDetaljert løsningsveiledning til ECON1310 seminaroppgave 9, høsten der 0 < t < 1
Detaljert løsigsveiledig til ECON30 semiaroppgave 9, høste 206 Dee løsigsveiledige er mer detaljert e det et fullgodt svar på oppgave vil være, og mer utfyllede e e valig fasit. De er met som e guide til
DetaljerProsedyre for løsning av oppgaver Jeg skal ved hjelp av noen oppgaver/eksempler fra produsentens tilpasning, gi
1 Jo Vislie; aril 015 ECO 00 015 Prosedyre for løsig av ogaver Jeg sal ved hjel av oe ogaver/esemler fra rodusetes tilasig, gi forslag til rosedyre/hjel/veivalg til å løse ogaver i ECO 00. Det er tre tyer
DetaljerLØSNING, EKSAMEN I STATISTIKK, TMA4240, DESEMBER Anta at sann porøsitet er r. Måling med utstyret gir da X n(x; r, 0,03).
LØSNING, EKSAMEN I STATISTIKK, TMA440, DESEMBER 006 OPPGAVE 1 Ata at sa porøsitet er r. Målig med utstyret gir da X (x; r, 0,03). a) ( ) X r P(X > r) P 0,03 > 0 P(Z > 0) 0,5. ( X r P(X r > 0,05) P 0,03
DetaljerLsningsforslag ved Klara Hveberg Lsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 4 I seksjon 4.1 gir de innledende oppgavene deg trening i a lse diere
Lsigsforslag til utvalgte ogaver i kaittel 4 I seksjo 4. gir de iledede ogavee deg treig i a lse dieresligiger, og jeg reger med at det ikke er behov for a utdye lrebokas eksemler og fasit her. Me like
DetaljerKraftforsyningsberedskap. Roger Steen Seniorrådgiver Beredskapsseksjonen NVE, rost@nve.no
Kraftforsyigsberedskap Roger Stee Seiorrådgiver Beredskapsseksjoe NVE, rost@ve.o Beredskapsasvar Olje- og eergidepartemetet har det overordede asvaret for ladets kraftforsyig. Det operative asvaret for
DetaljerSensorveiledning eksamen ECON 3610 Høst 2017
J; oember 07 a) Sesoreiledig eksame ECON 360 Høst 07 I dette problemet skal plalegger maksimere (, ) gitt at c G( ) og. i har tre ariable (,, ), og to bibetigelser; dermed har i é frihetsgrad som muliggjør
DetaljerX = 1 5. X i, i=1. som vil være normalfordelt med forventningsverdi E( X) = µ og varians Var( X) = σ 2 /5. En rimelig estimator for variansen er
Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalte oppgaver 11, blokk II Løsigsskisse Oppgave 1 a) E rimelig estimator for forvetigsverdie µ er gjeomsittet X = 1 X i, som
DetaljerMatematikk for IT. Oblig 7 løsningsforslag. 16. oktober
Matematikk for IT Oblig 7 løsigsforslag. oktober 7..8 a) Vi skal dae kodeord som består av sifree,,,, 7. odeordet er gldig dersom det ieholder et like atall (partall) -ere. Dee løses på samme måte som..:
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-aturviteskapelige fakultet Eksame i: STK2100 Løsigsforslag Eksamesdag: Torsdag 14. jui 2018. Tid for eksame: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerEksempeloppgave 2014. REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)
Eksempeloppgave 2014 REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksame våre 2015 etter y ordig Ny eksamesordig Del 1: 3 timer (ute hjelpemidler) Del 2: 2 timer (med hjelpemidler) Mistekrav til digitale verktøy
DetaljerUke 12 IN3030 v2019. Eric Jul PSE-gruppa Ifi, UiO
Uke 12 IN3030 v2019 Eric Jul PSE-gruppa Ifi, UiO Oblig 5 Kovekse Ihylliga Itroduksjo De kovekse ihylliga til pukter Oblig 5 Hva er det, defiisjo Hvorda ser de ut Hva brukes de til? Hvorda fier vi de? 24
DetaljerRepetisjon; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og Repetisjon; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10
Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 og Geerell defiisjo av : Situasjo: Data x 1,...,x ;utfallav:x 1,...,X ; u.i.f. tilfeldige variable Ukjet parameter i fordelige til X i ee: θ Dersom L og U L
DetaljerHøgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 12. desember 2008
Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL. desember 8 EKSAMEN I MATEMATIKK, Utsatt røve Modul 5 studieoeg Tid: 5 timer Ogavesettet er å sider (ikludert formelsamlig).
DetaljerS2 kapittel 1 Rekker Løsninger til innlæringsoppgavene
Løsiger til ilærigsoppgavee kapittel Rekker Løsiger til ilærigsoppgavee a Vi ser at differase mellom hvert ledd er 4, så vi får det este leddet ved å legge til 4 Det este leddet blir altså 6 + 4 = 0 b
DetaljerKap. 9: Inferens om én populasjon
2 ST0202 Statistikk for samfusvitere Bo Lidqvist Istitutt for matematiske fag Ka. 9: Iferes om é oulasjo Hvis σ er ukjet bytter vi ut σ med s i Ny observator blir t = x μ s/ z = x μ σ/ der s = Σx 2 (Σx)
DetaljerINF3400 Digital Mikroelektronikk Løsningsforslag DEL 9
IF00 Digital Mikroelektroikk Løsigsforslag DEL 9 I. Oppgaver. Oppgave 6.7 Teg trasistorskjema for dyamisk footed igags D og O porter. gi bredde på trasistoree. va blir logisk effort for portee?. Løsigsforslag
DetaljerIN3030 Uke 12, v2019. Eric Jul PSE, Inst. for informatikk
IN3030 Uke 12, v2019 Eric Jul PSE, Ist. for iformatikk 1 Hva skal vi se på i Uke 12 Review Radix sort Oblig 4 Text Program Parallellizig 2 Oblig 4 Radix sort Parallelliser Radix-sorterig med fra 1 5 sifre
DetaljerHunstad Sør Utbyggingsselskap AS(HUS) Utredning fremtidige energiløsninger Hunstad Sør
Hustad Utbyggigsselskap AS(HUS) Utredig fremtidige eergiløsiger Hustad Utredig Utredig fremtidige eergiløsiger Hustad Utredig r.: Oppdg r.: Dat: U01 5600 0.0.01 Kude: Hustad Utbyggigsselskap AS(HUS) Utredig
DetaljerECON 3610/4610 Veiledning til oppgaver seminaruke 43. Planleggingsproblemet for en planlegger med en utilitaristisk velferdsfunksjon er her
Jo Vislie; oktober 07 CON 360/460 Veiledig til oppgaer semiaruke 43 Oppgae Plaleggigsproblemet for e plalegger med e utilitaristisk elferdsfuksjo er her rett frem, med de atakelsee som er gjort: Max H
DetaljerKap. 9: Inferens om én populasjon
2 ST0202 Statistikk for samfusvitere Bo Lidqvist Istitutt for matematiske fag Ka. 9: Iferes om é oulasjo Hvis σ er ukjet bytter vi ut σ med s i Ny observator blir t = x μ s/ z = x μ σ/ der s = Σx 2 (Σx)
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2016
Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalt øvig 11 Løsigsskisse Oppgave 1 a) E rimelig estimator for forvetigsverdie µ er gjeomsittet X = 1 X i, som vil være ormalfordelt
DetaljerRente og pengepolitikk. 8. forelesning ECON 1310 21. september 2015
Rete og pegepolitikk 8. forelesig ECON 1310 21. september 2015 1 Norge: lav og stabil iflasjo det operative målet for pegepolitikke, ær 2,5 proset i årlig rate. Iflasjosmålet er fleksibelt, dvs. at setralbake
DetaljerRegistrarseminar 1. april 2003. Ingrid Ofstad Norid
Registrarsemiar 1. april 2003 Igrid Ofstad Norid Statistikk 570 har fått godkjet søkad om å bli registrar ca. 450 registrarer er aktive i dag 2 5 ye avtaler hver uke på semiaret deltar både registrarer
DetaljerVi skal hovedsakelig ikke bestemme summen men om rekken konvergerer. det vil si om summen til rekken er et bestemt tall
Kapittel 8 Oppsummerig-Rekker Rekker er summe til edelig eller uedelig mage ledd i e tallfølge. Potesrekker ka beyttes til å uttrykke vaskelige fuksjoer om et pukt. Ma ka skreddesy potesfuksjoer ved hjelp
DetaljerECON 2200 VÅREN 2014: Oppgaver til plenumsøvelse den 12.mars
Jo Vislie; mars 04 Ogave ECO 00 VÅRE 04: Ogaver til leumsøvelse de.mars E bedrift har rodutfusjoe = - b, der b er e ositiv ostat. Sisser grafe til dee og agi egesaee til rodutfusjoe (ved gjeomsittsrodutivitet,
DetaljerKLMED8004 Medisinsk statistikk. Del I, høst Estimering. Tidligere sett på. Eksempel hypertensjon
Tidligere sett på KLMED8004 Medisisk statistikk Del I, høst 008 Estimerig Hvorda kjete sasylighetsfordeliger (biomialfordelig, ormalfordelig) med kjete populasjosparametrer (forvetig, varias osv.) ka gi
DetaljerEksamen REA3028 S2, Våren 2012
Eksame REA08 S, Våre 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (4 poeg) a) Deriver fuksjoee ) f f ) g e 4 4 4 g e e 4 g e e g e
DetaljerSignifikante sifre = alle sikre pluss ett siffer til
Sigifikate siffer og stadardavvik behadles i kap. Disse to emee skal vi ta for oss i dag. Kofidesgreser behadles i kap 4. Dette skal vi ta for oss i osdag. Presetasjo av aalysedata ka gjøres på følgede
Detaljer