GeoGebra på vgs. Versjon 3.0

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "GeoGebra på vgs. Versjon 3.0"

Transkript

1 GeoGebra på vgs. Versjon 3.0 Bokmål Lær å bruke et gratis program for graftegning, funksjonsanalyse og dynamisk geometri. av Sigbjørn Hals

2 GeoGebra på vgs. Innhold: HVA ER GEOGEBRA?... 3 HVOR KAN JEG FÅ TAK I DETTE PROGRAMMET?... 3 HVORDAN KOMMER JEG I GANG MED Å BRUKE PROGRAMMET?... 4 KOMPETANSEMÅL I LK-06 SOM GEOGEBRA PASSER TIL... 5 OPPGAVER OG LØSNINGER MED GEOGEBRA...8 Oppgave 1. Grafen til en funksjon. Funksjonsanalyse... 8 Løsning på oppgave Oppgave 3. To likninger med to ukjente...11 Løsning på oppgave Oppgave 4. Andregradsfunksjonen ax+bx+c. Integral og sum av rektangler Løsning på oppgave Oppgave 5. Medianer, midtnormaler og halveringslinjer for vinkler i trekanter Løsning på oppgave Oppgave 6. Konstruksjonsoppgaver...18 Løsning på oppgave Oppgave 7. Vektorregning...3 Løsning på oppgave Oppgave 8. Litt algebra...6 Løsning på oppgave UTFYLLENDE FORKLARING OG FASIT PÅ DEN UTFORSKENDE OPPGAVEN (NR. 4 A)... 8 STIKKORDREGISTER:...30

3 Hva er GeoGebra? GeoGebra er et gratis dataprogram for dynamisk geometri, laget av Markus Hohenwarter fra Østerrike og Yves Kreis fra Luxemburg. Navnet er satt sammen av ordene geometri og algebra. Med GeoGebra kan man lett konstruere ulike geometriske figurer i planet og tegne og analysere grafer og funksjoner. GeoGebra finnes på en rekke språk, og er omsatt til både bokmål og nynorsk. Programmet kan brukes med både Windows, Linux og Mac. I februar 006 tok Markus Hohenwarter doktorgrad i matematikkdidaktikk på bruken av dette programmet. De som er flinke i tysk kan laste ned og lese doktoravhandlingen fra Du kan forandre språket på siden fra arabisk eller engelsk til norsk. Da jeg spurte Markus Hohenwarter om hvorfor han ikke ville ta betalt for dette kvalitetsprogrammet, svarte han at han mente utdanning i prinsippet burde være gratis. Programmet har vunnet en rekke med priser: EASA 00: European Academic Software Award (Sverige.) Learnie Award 003: Austrian Educational Software Award (Østerrike.) digita 004: German Educational Software Award (Tyskland.) Comenius 004: German Educational Media Award (Tyskland.) Learnie Award 005: Austrian Educational Software Award for Spezielle Relativitätstheorie mit GeoGebra (Østerrike.) Trophées du Libre 005: International Free Software Award, category Education (Frankrike.) etwinning Award 006: 1 st prize for Crop Circles Challenge with GeoGebra (Østerrike.) Learnie Award 006: Austrian Educational Software Award (Østerrike.) Hvor kan jeg få tak i dette programmet? Den letteste måten å skaffe og installere GeoGebra på, er å gå til klikke på Start GeoGebra og deretter på GeoGebra WebStart. Da blir programmet installert på datamaskinen din automatisk, samtidig som du åpner det fra nettsida første gang. Det legger seg et ikon på skrivebordet. Når du senere klikker på dette ikonet, blir GeoGebra åpnet fra din egen maskin. Da trenger du ikke bruke nettsida. En alternativ måte å installere programmet på, er å gå til klikke på Download og laste ned den installasjonsfila som passer til ditt operativsystem. Viktig: For at GeoGebra skal fungere, trenger du å ha installert en ny utgave av Java på datamaskinen. Java kan lastes ned gratis fra 3

4 Hvordan kommer jeg i gang med å bruke programmet? For å komme raskt i gang, er det lurt å starte med å gjøre seg kjent med de ulike vinduene og verktøyene i GeoGebra. Nedenfor finner du en oversikt over disse: Verktøylinja. Hvert ikon har en trekant i nederste høyre hjørne. Ved å klikke på denne trekanten, får du fram flere verktøy. Vi skal se på disse etter hvert. Angreknapp. Ved å klikke på pilene her, kan du gå et skritt fram eller et tilbake. 3 Algebravinduet. Her kommer likningene eller funksjonsuttrykkene som du har skrevet inn i inntastingsfeltet (4). Her ser vi også lengder på linjestykker, areal av mangekanter og alle målinger eller utregninger som du ber programmet om å utføre. 4 Tegneflaten. Her får du tegnet geometriske figurer eller grafer. Du kan ta av og på akser og rutenett ved å klikke på Vis og fjerne eller ta på haker foran disse ordene i menyen. Ved å høyreklikke på tegneflaten, kan du forandre verdiene langs aksene og justere mange andre egenskaper. 5 Inntastingsfeltet. I dette feltet skriver du inn kommandoer for å få fram det du ønsker på tegneflaten. Du kan for eks. skrive f(x) = x^ - 5x + 6 og trykke Enter. Da får du fram grafen til denne funksjonen. Skriver du de to første bokstavene i 4

5 Nullpunkt, kommer dette fram i inntastingsfeltet: Nullpunkt[]. For å finne nullpunktene til f(x), klikker du mellom hakeparentesene og skriver inn f, slik at det står Nullpunkt[f]. Da finner GeoGebra nullpunktene automatisk, markerer dem på grafen, og skriver koordinatene i algebravinduet. 6 Kommandofeltet. Dersom du klikker på pila til høyre for dette feltet, kommer det fram en alfabetisk kommandomeny som du kan velge fra. Velger du f. eks. Ekstremalpunkt, kommer Ekstremalpunkt[] fram i inntastingfeltet. Da klikker du mellom parentesene og skriver inn navnet på funksjonen du vil finne ekstremalverdiene til. Det kan da stå Ekstremalpunkt[f]. Kompetansemål i LK-06 som GeoGebra passer til. Jeg vil først liste opp noen mål i læreplanen LK-06, der GeoGebra med fordel kan brukes. Kompetansemål etter Vg1T Tall og algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, tilarbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder regne med potenser med rasjonal eksponent og tall på standardform, bokstavuttrykk, formler, parentesuttrykk og rasjonale og kvadratiske uttrykk med tall og bokstaver, og bruke kvadratsetningene til å faktorisere algebrauttrykk løse likninger, ulikheter og likningssystemer av første og andre grad og enkle likninger med eksponential- og logaritmefunksjoner, både med regning og med digitale hjelpemidler (Mål VG1T-T-4) omforme et praktisk problem til en likning, en ulikhet eller et likningssystem, løse det og vurdere hvor gyldig løsingen er Funksjoner Mål for opplæringen er at eleven skal kunne gjøre greie for funksjonsbegrepet og tegne grafer ved å analysere funksjonsbegrepet (VG1T-F-1) beregne nullpunkter, skjæringspunkter og gjennomsnittlig vekstfart, finne tilnærmete verdier for momentan vekstfart og gi noen praktiske tolkinger av disse aspektene (VG1T-F-) gjøre greie for definisjonen av den deriverte, bruke definisjonen til å utlede en derivasjonsregel for polynomfunksjoner og bruke denne regelen til å drøfte funksjoner (Mål VG1-T-F-3) lage og tolke funksjoner som beskriver praktiske problemstillinger, analysere empiriske funksjoner og finne uttrykk for en tilnærmet lineær funksjon bruke digitale hjelpemidler til å drøfte polynomfunksjoner, rasjonale funksjoner, eksponentialfunksjoner og potensfunksjoner (VG1T-F-5) 5

6 Kompetansemål etter Vg1P Geometri Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke formlikhet og Pytagoras setning til utregninger og i praktisk arbeid (VG1P-G-1) løse praktiske problemer som gjelder lengde, vinkel, areal og volum bruke varierte måleenheter og måleredskaper, og analysere og drøfte presisjon og målenøyaktighet tolke og fremstille arbeidstegninger, kart, skisser og perspektivtegninger knyttet til yrkesliv, kunst og arkitektur (VG1P-G-4) lage og kjenne igjen mønster av like eller ulike former som kan fylle hele planet Funksjoner Mål for opplæringen er at eleven skal kunne undersøke funksjoner som beskriver praktiske situasjoner, ved å fastsette skjæringspunkter, nullpunkter, ekstremalpunkter og stigning, og tolke den praktiske verdien av resultatene (VG1P-F-1) omsette mellom ulike representasjoner av funksjoner gjøre greie for begrepet lineær vekst, vise gangen i slik vekst og bruke dette i praktiske eksempler, også digitalt (VG1P-F-3) Kompetansemål etter VgT Geometri Mål for opplæringen er at eleven skal kunne gjøre greie for det geometriske bildet av vektorer som piler i planet, og beregne sum, differanse og skalarprodukt av vektorer og produktet av et tall og en vektor (VGT-G-1) regne med vektorer i planet skrevet på koordinatform, beregne lengder, avstander og vinkler med vektorregning og avgjøre når to vektorer er parallelle eller ortogonale (VGT-G-) tegne og beskrive kurver på parameterform og beregne skjæringspunkt mellom slike kurver Kompetansemål etter Matematikk R1 Geometri Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke linjer og sirkler som geometriske steder sammen med formlikhet og setningen om periferivinkler i geometriske resonnement og utregninger utføre og analysere konstruksjoner definert av rette linjer, trekanter og sirkler i planet, med og uten bruk av dynamisk programvare (Mål R1-G-) utlede og bruke skjæringssetningene for høydene, halveringslinjene, midtnormalene og medianene i en trekant (Mål R1-G-3) gjøre greie for forskjellige bevis for setningen til Pytagoras, både 6

7 matematisk og kulturhistorisk (Mål R1-G-4) regne med vektorer i planet, både geometrisk som piler og analytisk på koordinatform (Mål R1-G-5) beregne og analysere lengder og vinkler til å avgjøre parallellitet og ortogonalitet ved å kombinere regneregler for vektorer (Mål R1-G-6) Funksjoner Mål for opplæringen er at eleven skal kunne gjøre greie for begrepene grenseverdi, kontinuitet og deriverbar, og gi eksempler på funksjoner som ikke er kontinuerlige eller deriverbare bruke formler for den deriverte til potens-, eksponential- og logaritmefunksjoner, og derivere summer, differanser, produkter, kvotienter og sammensetninger av disse funksjonene bruke førstederiverte og andrederiverte til å drøfte forløpet til funksjoner og tolke de deriverte i modeller av praktiske situasjoner (Mål R1-F-3) tegne grafer til funksjoner med og uten digitale hjelpemidler, og tolke grunnleggende egenskaper til en funksjon ved hjelp av grafen (Mål R1-F-4) finne likningen for horisontale og vertikale asymptoter til rasjonale funksjoner og tegne asymptotene (Mål R1-F-5) bruke vektorfunksjoner med parameterframstilling for en kurve i planet, tegne kurven og derivere vektorfunksjonen for å finne fart og akselerasjon Kompetansemål etter Matematikk R Funksjoner Mål for opplæringen er at eleven skal kunne forenkle og løse lineære og kvadratiske likninger i trigonometriske uttrykk ved å bruke sammenhenger mellom de trigonometriske funksjonene derivere sentrale funksjoner og bruke førstederiverte og andrederiverte til å drøfte slike funksjoner (Mål-R-F-) omforme trigonometriske uttrykk av typen a sin kx + b cos kx, og bruke de til å modellere periodiske fenomener gjøre greie for definisjonen av bestemt integral som grense for en sum og ubestemt integral som antiderivert (Mål R-F-4) regne ut integral av de sentrale funksjonene ved antiderivasjon og ved hjelp av variabelskifte, ved delbrøkoppspaltning med lineære nevnere og ved delvis integrasjon tolke det bestemte integralet i modeller av praktiske situasjoner og bruke det til å regne ut areal av plane områder og volumer av omdreiiningslegemer (Mål R-F-6) I dette korte heftet kan jeg selvsagt ikke få vist alt som GeoGebra kan brukes til i forhold til læreplanmålene i LK-06. Her vil jeg bare gi noen varierte illustrerende eksempler, og håper at dette gir en innføring i programmet og være til inspirasjon for videre arbeid på egen hånd. 7

8 Oppgaver og løsninger med GeoGebra. Oppgave 1. Grafen til en funksjon. Funksjonsanalyse. 1 x3 + x 3x 18 (Mål VG1T-F-1) 3 b) Finn nullpunktene til funksjonen (Mål VG1T-F-, VG1T-F-5, VG1P-F-1) a) Tegn grafen til funksjonen f(x)= c) Finn ekstremalpunktene (Mål VG1T-F-, VG1T-F-5, VG1P-F-1) d) Finn vendepunktet og likningen for vendetangenten (Mål VG1T-F-1, VG1T-F-5) e) Finn arealet som er avgrenset av x-aksen og grafen over x-aksen (Mål R-F-6) f) Bruk GeoGebra til å studere hvordan den deriverte forandrer seg med x (Mål VG1T-F-3, R1-F-3) Løsning på oppgave 1 a) Åpne GeoGebra. Klikk på Vis. Hak av for Rutenett. Skriv i inntastingsfeltet nederst på skjermen: f(x)=1/3x^3+x^-3x-18. Trykk Enter. Vi ser nå at viktige deler av grafen ikke er med på tegneflaten. Høyreklikk en plass på tegneflaten, velg Egenskaper og la x gå frå -8 til 5. Klikk på y-akse og la y gå fra -0 til 10. Klikk på Bruk. 8

9 b) Skriv i inntastingsfeltet: Nullpunkt. Når du har skrevet de to første bokstavene kommer hele ordet fram automatisk. Klikk mellom klammeparentesene og skriv f (fordi funksjonen heter f). Trykk Enter. Du kan nå lese av nullpunktene i algebravinduet. (Feltet til venstre for der grafen er tegnet.) GeoGebra merker også av nullpunktene på grafen. Alternativt kan du klikke på pila ved Kommando til høyre for inntastingsfeltet og bla deg nedover til du finner ordet Nullpunkt. c) Skriv inn Ekstremalpunkt[f] og klikk Enter. Du finner ekstremalpunktene på grafen og i algebravinduet. d) Skriv inn Vendepunkt[f] og trykk Enter. Klikk på den lille trekanten nede i høyre hjørne på dette ikonet, og velg Tangenter. Klikk på vendepunktet F og deretter på grafen. Likningen for vendetangenten kommer opp i algebravinduet. 9

10 e) Skriv i inntastingsfeltet: Integral[f,-6,-3] og trykk Enter. Arealet er 11,5 f) Velg punktverktøyet og plasser et punkt på grafen. Lag en tangent til grafen i punktet, slik det er beskrevet i løsningen på oppgave 1 d. Dersom GeoGebra kaller denne tangenten for c, skriver du i inntastingsfeltet Stigning[c]. Flytt på punktet og se hvordan verdien for stigningstallet til tangenten forandrer seg. Oppgave. Skjæringspunkt og areal mellom grafer. a) Tegn grafene til disse funksjonene: (Mål VG1T-T-4, VG1T-F-1) f(x) = x g(x) = x + 6 b) Finn skjæringspunktene mellom grafene. (VG1T-F-1, VG1P-F-1) c) Finn arealet som er avgrenset av de to grafene. (Mål R-F-6) Løsning på oppgave a) Lag en ny tegning ved å klikke Fil, Ny og svar Nei på spørsmålet om du vil lagre fila du har jobbet med. Skriv inn f(x)=x^ og trykk Enter. Skriv inn g(x)=x + 6 og trykk Enter. 1

11 Dersom du vil flytte litt på tegningen, for å få grafene mer midt på skjermen, kan du klikke på dette ikonet og dra koordinatsystemet med grafene dit du vil. b) Skriv i inntastingsfeltet: Skjæring[f,g] og trykk Enter. c) Skriv i inntastingsfeltet: Integral[g,f,-,3] og trykk Enter. Vi skriver g foran f, fordi grafen til g ligger lengst oppe. Oppgave 3. To likninger med to ukjente. a) Bruk GeoGebra til å løse likningssettet (Mål VG1T-T-4) x + y = 13 4x - 5y = 5 b) La GeoGebra ordne likningene på formen y = a x + b (Mål VG1T-T-4) c) Finn den minste vinkelen mellom disse linjene. 1

12 d) Åpne ei ny fil og bruk GeoGebra til å lære om stigningstall og konstantledd for lineære funksjoner slik instruks nedenfor viser Klikk på Fil og velg Ny. Svar Nei for å lagre fila. Skriv i inntastingsfeltet nede på siden i programmet: a = og trykk Enter. Skriv i inntastingsfeltet b = 3 og trykk Enter. Skriv f(x) = a*x + b OBS. Ikke glem stjerne som gangetegn mellom a og x. Du må ha * når det er a, b, c osv som konstanter i stedet for tall. Høyreklikk på a i algebravinduet og velg Vis objekt. Du får nå en glider på tegneflaten. Gjør det samme og lag en glider for b. Flytt på en glider om gangen og se hva som skjer når du forandrer a og når du forandrer b. Forklar med egne ord hvordan stigningstallet og konstantleddet påvirker grafen til funksjonen. (Mål VG1P-F-3) Løsning på oppgave 3. a) Skriv x + y = 13 i inntastingsfeltet og trykk Enter. Skriv 4x - 5y = 5 i inntastingsfeltet og trykk Enter. Vi ser nå at grafene skjærer hverandre når x = 5 og y = 3 Om vi vil, kan vi klikke på ikonet for å sette inn punkt, føre musa over skjæringspunktet, slik at begge linjene blir mørkere, og klikke. Då får vi koordinatene til skjæringspunktet (5,3) i algebravinduet. b) Høyreklikk på en av likningene i algebravinduet og velg y = ax + b Gjør det samme med den andre likningen. Då får du de på denne formen: 1

13 c) Lag et punkt på hvert av vinkelbeina, slik figuren til venstre øverst på neste side viser. Klikk på ikonet for å måle vinkler. Klikk så på punktet på høyre vinkelbein, på skjæringspunktet mellom linjene og til slutt på punktet på venstre vinkelbein. Altså: høyre, spissen, venstre eller B, A og C. Da får du størrelsen på vinkelen mellom de i to linjene, i algebravinduet. d) Følg oppskriften i oppgaveteksten. Dersom du vil utvide området for glideren, høyreklikker du på den og velger Egenskaper. Du kan da f. eks forandre området til intervallet -10 til 10. Oppgave 4. Andregradsfunksjonen ax+bx+c. Integral og sum av rektangler. a) Bruk GeoGebra til å lære hvilken effekt forandring av konstantene a, b og c har for grafen til funksjonen f(x) = a x + b x + c (Mål VG1T-F-1, VG1T-F-5) b) Bruk GeoGebra til å lære om sammenhengen mellom integral og sum av rektangler. (Mål R-F-4) Løsning på oppgave 4 a) Åpne ei ny fil i GeoGebra. Skriv inn a = 1 og trykk Enter, skriv inn b= -6 og trykk Enter og skriv inn c = 5 og trykk Enter. Skriv inn f(x) =a*x^+b*x+c. Trykk Enter. Høyreklikk på konstanten a i algebravinduet og merk av for Vis objekt. Du få nå en glider på tegneflaten. Gjenta det samme for konstantene b og c. Høyreklikk på glideren a, velg Egenskaper og forandre minimumsverdien til -10 og maksimumsverdien til 10 1

14 Høyreklikk på glideren b, velg Egenskaper og forandre minimumsverdien til -30 og maksimumsverdien til 30. Gjenta det samme for glideren c som for b. Skriv Ekstremalpunkt[f] i inntastingsfeltet og trykk Enter. Høyreklikk på bunnpunktet (3,-4), velg Egenskaper og merk av for Vis spor. Flytt på glideren c. Prøv å finne et uttrykk for likningen til den beine linja som bunnpunktet lager når vi forandrer på c og holder de andre konstantene uendret. Dersom du vil styre glideren mer nøyaktig, kan du klikke på c i algebravinduet og bruke pilene på tastaturet for å flytte glideren. (Se vedlegget bak i dette heftet for forklaring og fasit på denne utforskende oppgaven.) Klikk på denne pila for å fjerne sporene og få grafen tilbake til utgangspunktet. Flytt på glideren a. Prøv å finne et uttrykk for likningen til den beine linja som bunnpunktet lager når vi forandrer på a og holder de andre konstantene uendret. Klikk på tilbake-pilen for å få grafen tilbake til utgangspunktet. Flytt på glideren b. Prøv å finne et uttrykk for likningen til den kurva som bunnpunktet lager når vi forandrer på b og holder de andre konstantene uendret. b) Klikk på Fil, velg Ny og svar Nei på om du vil lagre. Skriv inn funksjonen f(x) = x3-8x + x + 4 Høyreklikk en plass på grafvinduet og velg Egenskaper. La verdiene på xaksen gå frå -3 til 9 og verdiene på y-aksen frå -40 til 50. Klikk Bruk. Finn nullpunktene slik du gjorde i oppgave 1 b. Du ser at nullpunktene er (-,0), (3,0) og (7,0). For å finne det ubestemte integralet, skriver du Integral[f] og trykker Enter. Vi får nå både plottet grafen til fjerdegradsfunksjonen og får uttrykket for denne i algebravinduet. Alle uttrykkene i algebravinduet blir oppgitt med desimaler (dersom det ikke er hele tal.) Vil du ha eksakte uttrykk for et integral eller den deriverte av en funksjon, slik at svaret inneholder brøk, rottegn, e eller π, kan du heller bruke for eksempel Derive 6.0.) For å finne det bestemte integralet når x [-,3], skriver du Integral[f,-,3] Da får du denne figuren. (Se figuren på neste side. Der er det tatt med en tangent også på tegningen.) 1

15 Verdien av integralet står både på figuren og i algebravinduet. Vi kan utnytte gliderne til å se at integralet er det samme som summen av uendelig mange rektangler. Skriv n=100, høyreklikk på n i algebravinduet og merk av Vis objekt. Høyreklikk på glideren for n, velg Egenskaper og la n gå frå 1 til 100 med Animasjonsskritt lik1. Skriv SumOver[f,-,3,n] og flytt på glideren for å se hvordan summen av rektanglene nærmer seg verdien for integralet når n øker. Vi kan selvsagt gjøre det samme for SumUnder[f,-,3,n]. 1

16 Oppgave 5. Medianer, midtnormaler og halveringslinjer for vinkler i trekanter. I læreplanen for R1 står det at en skal kunne utlede og bruke skjæringssetningene for høydene, halveringslinjene, midtnormalene og medianene i en trekant (Mål R1-G-3) Denne oppgaven er egnet som en innledende innføring i problemene, før en går løs på de teoretiske bevisene. a) Bruk GeoGebra til å finne ut om medianene (linjestykkene fra et hjørne til midt på motstående side) alltid vil skjære hverandre i samme punkt (Mål R1-G-3) b) Bruk GeoGebra til å finne ut om midtnormalene på sidene i en trekant alltid vil skjære hverandre i samme punkt. (Mål R1-G-3) c) Bruk GeoGebra til å finne ut om halveringslinjene for vinklene i en trekant alltid vil skjære hverandre i samme punkt. (Mål R1-G-3) Løsning på oppgave 5. a) Åpne ei ny fil i GeoGebra og tegn en vilkårlig trekant. Det gjør du slik: Vel dette ikonet for å lage en trekant. Klikk på tegneflaten omtrent slik figuren viser, i rekkefølge A, B, C, A. OBS. Det er viktig å klikke i det samme punktet som vi startet med for å avslutte trekanten. Avsett punktene i rekkefølge mot klokka. Klikk på den vesle trekanten nede i høyre hjørne på ikonet for punkt, og velg Midtpunkt eller sentrum. 1

17 Klikk etter tur på hver av sidene i trekanten. Velg Linjestykke mellom to punkt og trekk opp de tre medianene. Plasser et punkt i skjæringspunktet ved å velge verktøyet for skjæring mellom to objekt. Klikk etter tur på to av medianene. Prøv å flytte på hjørnene og se hvordan skjæringspunktet flytter seg. OBS. Husk å klikke på flytteverktøyet (pila oppe til venstre) først. b) Åpne ei ny fil og lag en tilfeldig trekant med verktøyet Mangekant. Bruk verktøyet Midtnormal og klikk etter tur på hver av sidene i trekanten. Plasser et punkt i skjæringspunktet, slik det er forklart i oppgave 5 a) Flytt på hjørnene for å se hvordan skjæringspunktet mellom midtnormalene flytter seg. 1

18 b) Åpne ei ny fil og lag en tilfeldig trekant med verktøyet Mangekant. Bruk verktøyet Halveringslinje for vinkel og klikk på hjørnene i denne rekkefølgen: BAC, CBA og til slutt ACB Oppgave 6. Konstruksjonsoppgaver. a) Sirkelen S er gitt ved likningen x + y = 100 (Mål R1-G-) S har to tangenter l og m som går gjennom punktet A(,14) Tangentene rører S i punktene B og C. Finn koordinatene til B og C. b) I et koordinatsystem er en sirkel S1 gitt ved likningen x + y -x +4y +61 = 0 Finn sentrum og radien i sirkelen. (Mål R1-G-) c) En annen sirkel S har sentrum i (-1,3) og radien 5. Vis at sirklene S1 og S tangerer hverandre. (Mål R1-G-) d) Finn koordinatene til tangeringspunktet. (Mål R1-G-) e) Konstruer nipunktsirkelen (Mål R1-G-) Løsning på oppgave 6. a) Åpne ei ny fil i GeoGebra. Vis akser og rutenett. Skriv x^+y^=100 i inntastingsfeltet og trykk Enter. Gi sirkelen nytt navn fra c til S ved å høyreklikke på den, og velge Gi nytt navn. Klikk på Bruk. 1

19 Vel forminskingsverktøyet og klikk en gang omtrent på origo. Skriv A=(,14) i inntastingsfeltet og trykk Enter. (OBS. Dersom du skriver a = (,14) får du ikke et punkt, men en vektor.) Klikk på verktøyet for tangenter, klikk på punktet A og deretter på sirkelen. Finn tangeringspunktene ved å bruke verktøyet for Skjæring mellom to objekt, slik det er forklart i oppgave 5a, Vi leser av i algebravinduet at tangeringspunktene er (-6,8) og (8,6) 1

20 b) Åpne ei ny fil i GeoGebra. Vis akser og rutenett. Skriv i inntastingsfeltet x^ + y^ - x + 4y + 61 = 0 og trykk Enter. Omdøp sirkelen fra c til S1 ved å skrive S_1 i vinduet for å gi nytt navn. Klikk Bruk. Zoom ut ved å velge Forminsk og klikk i origo som i oppgave 6a. Velg verktøyet Midtpunkt eller sentrum og klikk på sirkelen. Vi kan nå lese av i algebravinduet at sentrum er (11,-) Likningen for sirkelen er omformet slik at vi kan lese av både sentrum og radius direkte. Vi ser at radius er 64 = 8 En alternativ måte å finne radius på, er å velge verktøyet Linjestykke mellom to punkt, klikke i sentrum og deretter på et sted på sirkelen. Vi får da at lengden på linjestykket (radius) er 8. Omdøp dette linjestykket til r1 c) Skriv i inntastingsfeltet: C=(-1,3) og trykk Enter.

21 Velg Sirkel definert ved sentrum og radius, klikk i punktet C, skriv inn 5 i feltet for radius og klikk Bruk. Omdøp sirkelen til S Trekk et linjestykke mellom A og C. Vi ser at lengden på dette blir 13. Da radius i S1 er 8 og radius i S er 5, må disse to sirklene bare ha ett felles punkt. d) En alternativ måte å vise at disse tangerer hverandre på, er å velge verktøyet Skjæring mellom to objekt. Klikker vi etter tur på de to sirklene, ser vi at skjæringspunktene D og E har felles koordinater (3,6, 1,08) Dette er tangeringspunktet. e) Her er en punktvis fremgangsmåte for å konstruere nipunktsirkelen: Klikk på Vis og pass på at det ikke er haket av for Akser og Rutenett. Klikk på nedtrekkstrekanten nede i høyre hjørne på knappen for linjer. Velg Linjestykke. Lag en trekant ved å trekke opp linjestykkene AB, BC og CA. Dersom du vil ta bort navnene på linjestykkene, høyreklikker du på ett av dem og fjerner haken for Vis navn. Gjenta for alle linjestykkene.

22 Finn nå midtpunktene på hvert av linjestykkene. Det gjør du ved å klikke på nedtrekkstrekanten på punktknappen A. Velg Midtpunkt eller sentrum. Klikk på et av linjestykkene. Gjenta for alle tre linjestykkene. Nå kan du finne fotpunktene for høydene fra hvert av punktene A, B og C. Dette gjør du ved å velge verktøyet Normal. Start med å klikke på punktet A og deretter på linjestykket BC. Gjenta for de to andre punktene B og C. OBS. En raskere måte å finne høydene på, er å laste ned verktøyet hoyde.ggb fra nettsidene til Sinus. Vi vil nå markere fotpunktene. Vi velger da verktøyet for å finne skjæringspunkt. Klikk etter tur på skjæringspunktene for linjene, der fotpunktene er. Pass på at begge linjene blir mørke og tykkere før du klikker. Klikk også på punktet der alle tre høydene skjærer hverandre i trekanten. Dette punktet kaller vi ortosenteret. Trekanten skulle nå se slik ut: Vi vil ikke ha høydene som lange linjer, men som linjestykker. Høyreklikk etter tur på disse lange linjene og fjern merkene foran Vis objekt. Velg nå verktøyet for linjestykker igjen, og merk av slike linjestykker mellom et hjørne og fotpunktet for høyden. Gjenta for alle tre høydene. Høyreklikk på linjestykkene og fjern merkene foran Vis navn. Vi kan få høydene stiplet ved å høyreklikke på dem, velge Egenskaper, velge ei stiplet linje under Linjestil og klikke Bruk. Nå gjenstår det å finne midtpunktene mellom hvert av hjørnene og ortosenteret. Velg verktøyet for midtpunkt (se punkt 6 i denne forklaringen) og finn de siste tre punktene. Figuren skal nå se ut som den du finner øverst på neste side:

23 Til slutt skal vi tegne sirkelen gjennom de 9 aktuelle punktene. Vi velger nå verktøyet for å tegne en sirkel ut fra tre punkt: Klikk på tre fritt valgte punkt av de ni som ligger på nipunktsirkelen. Da er figuren ferdig. Klikk på pila oppe til venstre på skjermen (verktøyet for å flytte på punkt og andre deler av figuren.) Klikk på ett av hjørnene i trekanten, flytt på punktet med musetasten nede og se hvordan nipunktsirkelen forandrer seg. Oppgave 7. Vektorregning. a) Vi har vektorene v = [6,4] og u = [-,3] Tegn vektorene som piler i koordinatsystemet. (Mål VGT-G-1, R1-G-5) b) Finn ut om vektorene står på hverandre. (Mål VGT-G-, R1-G-6) c) Hva blir summen av vektorene? (Mål VGT-G-, R1-G-6) 1 d) Regn ut w = v + u (Mål VGT-G-, R1-G-6)

24 e) Du starter i punktet A, som har koordinatene (10,1) Hva er koordinatene til B om w = AB (Mål VGT-G-, R1-G-6) Løsning på oppgave 7 Først litt om vektorer i GeoGebra: Dersom du skriver A=(,5) får du punktet A. Dersom du skriver a=(7,3) får du vektoren a avtegnet som ei pil med start i origo og som ender i punktet (7,3) Dersom du skriver A + a, får du avtegnet et punkt B, som har koordinatene til endepunktet for en vektor a med start i A. Skriver du v = A + a, får du tegnet en vektor med start i origo og som ender i punktet B. a) Åpne en ny GeoGebra-fil. Vis akser og rutenett. Skriv v=(6,4) og trykk Enter. Skriv u=(-,3) og trykk Enter. b) Skriv inn: Skalarproduktet=u*v og trykk Enter. Vi ser at Skalarproduktet blir 0. u v c) Skriv: sum=u+v og trykk Enter. Vi ser at summen av vektorene blir [4,7], men GeoGebra skriver verktorkoordinater slik: (4,7)

25 Skriver vi Sum i stedet for sum, får vi et punkt fordi vi startet med stor bokstav. Vi trenger ikke skrive Skalarproduktet= eller sum=, men det gjør det lettere å se hva vi har regnet ut. Vi kunne ha skrevet bare u*v og u+v. Da hadde GeoGebra gitt navn på resultatene. d) Skriv w=1/*v+*u og trykk Enter. Vi får tegnet svaret som en vektor med start i origo og som ender i (-1,8). I algebravinduet står det w=(-1,8) Vi kan se at dette stemmer med utregningene: 1 [6,4] + [-,3] = [3,] + [-4,6] = [3 4, + 6] = [-1,8] e) Skriv A=(10,1) Skriv B=A+w og trykk Enter. Vi ser at koordinatene til B blir (9,9) Dersom vi skriver vektor[a,b] og trykker Enter, finner vi at denne vektoren (som GeoGebra kaller z) har koordinatene [-1,8]. Dette skriver GeoGebra slik: (-1,8) Vi ser at z = w

26 Oppgave 8. Litt algebra. Hittil har det vært mye funksjoner og geometri og lite av algebra. Algebra-delen til GeoGebra avgrenser seg stort sett til å finne uttrykk for den deriverte, ubestemte integral og utregning av parenteser som inneholder x. GeoGebra kan altså utføre litt algebra med bokstaven x. Alle andre bokstaver må være definerte tallverdier. a) Du skal finne en tredjegradsfunksjon som har ekstremalpunkt for x1 = -3 og x = 7. Konstantleddet i tredjegradsfunksjonen er 0. b) Finn den femtederiverte av x sin(x) c) Multipliser ut (x-)4 Løsning på oppgave 8 a) Åpne ei ny GeoGebra-fil. Merk av for Vis algebravindu. Klikk og dra i kanten mellom algebravinduet og tegneflaten slik at algebravinduet blir litt bredere. Skriv: f(x)=(x+3)(x-7) og trykk Enter. Skriv: Integral[f] og trykk Enter.

27 1 3 x - x 1x 3 Høyreklikk på f(x) i algebravinduet og fjern haken for Vis objekt. Høyreklikk på tegneflaten, klikk på x-akse:y-akse og la forholdet være 1:10 Bruk verktøyet for å flytte tegneflaten og flytt på grafen slik at du får med både toppunktet og bunnpunktet. Du får at den søkte funksjonen g(x) = b) Åpne ei ny GeoGebra-fil. Skriv f(x) = x^*sin(x) og trykk Enter. Vi finner den deriverte ved å skrive f (x), den dobbelderiverte ved å skrive f (x) og den femtederiverte ved å skrive f (x) Skriv g(x) =f (x) og trykk Enter. Vi får da at g(x) = -0 cos(x) + x cos(x) + 10 x sin(x) c) Lag ei ny GeoGebra-fil. Skriv Polynom[(x-)^4] og trykk Enter. Da får du at (x ) = x 8x + 4x 3x+ 16 Her er en interessant variant, der vi utnytter glidere og kan bruke dette til å finne binomialkoeffisienter. Skriv inn n=1 og trykk Enter. Skriv a=1 og trykk Enter. Skriv f(x) = Polynom[(x-a)^n] og trykk Enter. Høyreklikk etter tur på n og a og lag glidere for disse ved å hake av for Vis objekt. Høyreklikk på gliderne, velg Egenskaper og la dem gå frå 1 til 5. La animasjonsskrittene være 1. Klikk på verktøyet for å flytte objekt, og flytt på glideren for n. Vi finner binomialkoeffisientene når a = 1. Flytt på glideren for a og se hvordan utregningen forandrer seg. Dette var noen smakebiter på hvordan en kan bruke GeoGebra i forhold til de nye læreplanmålene i LK-06. Lykke til med bruken av programmet i klasserommet. Her er det nesten bare fantasien som setter grenser for hva en kan få til. Send gjerne spørsmål, innspill og kommentarer til: Mobilnr

GeoGebra på vgs. Versjon 2.7

GeoGebra på vgs. Versjon 2.7 GeoGebra på vgs. Versjon 2.7 Bokmål Lær å bruke et gratis program for graftegning, funksjonsanalyse og dynamisk geometri. av Sigbjørn Hals GeoGebra på vgs. Innhold: HVA ER GEOGEBRA?... 3 HVOR KAN JEG FÅ

Detaljer

Brukermanual i GeoGebra

Brukermanual i GeoGebra Brukermanual i GeoGebra for Vg1T, Vg1P, Vg2T, Vg2P, R1 og R2. GeoGebra er et program for Geometri og AlGebra. GeoGebra er en dynamisk matematisk programvare, som binder sammen geometri, algebra og utregninger.

Detaljer

GeoGebra på vgs. Versjon 2.7

GeoGebra på vgs. Versjon 2.7 GeoGebra på vgs. Versjon 2.7 Nynorsk Lær å bruke eit gratis program for grafteikning, funksjonsanalyse og dynamisk geometri. av Sigbjørn Hals GeoGebra på vgs. Innhald: KVA ER GEOGEBRA?... 3 KVAR KAN EG

Detaljer

Plotting av grafer og funksjonsanalyse

Plotting av grafer og funksjonsanalyse Opplæringshefte i GeoGebra Innholdsfortegnelse: Plotting av grafer og funksjonsanalyse... 2 Oppgave 1... 2 Oppgave 2... 4 Oppgave 3... 8 Å plassere et bilde i GeoGebra... 8 Oppgave 4... 8 Vektorregning

Detaljer

Hvordan forandrer jeg på innstillingene langs aksene, slik at hele grafen viser? Dette kan du gjøre på seks ulike måter:

Hvordan forandrer jeg på innstillingene langs aksene, slik at hele grafen viser? Dette kan du gjøre på seks ulike måter: Spørsmål og svar om GeoGebra, versjon 3.0 bokmål. Jeg har lastet ned en installasjonsfil fra www.geogebra.org og installert programmet, men får det ikke til å fungere. Hva kan dette skyldes? Den vanligste

Detaljer

GeoGebra 3.2. for. ungdomstrinnet

GeoGebra 3.2. for. ungdomstrinnet GeoGebra 3.2 for ungdomstrinnet av Sigbjørn Hals 1 Innhold: Hva er GeoGebra?... 3 Hvor kan jeg få tak i dette programmet?... 3 Hvordan kommer jeg i gang med å bruke programmet?... 4 Å hente og legge til

Detaljer

Spørsmål og svar om GeoGebra, versjon 2.7 bokmål

Spørsmål og svar om GeoGebra, versjon 2.7 bokmål Spørsmål og svar om GeoGebra, versjon 2.7 bokmål Jeg har lastet ned en installasjonsfil fra www.geogebra.org og installert programmet, men får det ikke til å fungere. Hva kan dette skyldes? Den vanligste

Detaljer

Lær å bruke GeoGebra 4.0

Lær å bruke GeoGebra 4.0 Lær å bruke GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold: Generelt om GeoGebra... 2 Innstillinger... 2 Likninger og ulikheter... 5 Implisitte likninger... 5 Ulikheter... 9 Statistikkberegninger i regnearket...

Detaljer

MATEMATIKK FOR REALFAG PROGRAMFAG I STUDIESPESIALISERENDE UTDANNINGSPROGRAM

MATEMATIKK FOR REALFAG PROGRAMFAG I STUDIESPESIALISERENDE UTDANNINGSPROGRAM MATEMATIKK FOR REALFAG PROGRAMFAG I STUDIESPESIALISERENDE UTDANNINGSPROGRAM Fastsatt som forskrift av Utdanningsdirektoratet 27. mars 2006 etter delegasjon i brev 26. september 2005 fra Utdannings- og

Detaljer

KORT INNFØRING I GEOGEBRA

KORT INNFØRING I GEOGEBRA Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER... 9 ØVELSE 2. TEGNE GRAFER TIL RASJONALE FUNKSJONER... 11 ØVELSE 3. LIKNINGSLØSNING... 15 ØVELSE 4. TANGENTER OG MAKS OG MIN

Detaljer

Spørsmål og svar om GeoGebra, versjon 2.7 nynorsk

Spørsmål og svar om GeoGebra, versjon 2.7 nynorsk Spørsmål og svar om GeoGebra, versjon 2.7 nynorsk Eg har lasta ned ei installasjonsfil frå www.geogebra.org og installert programmet, men får det ikkje til å fungere. Kva kan dette skuldast? Den mest vanlege

Detaljer

SINUS R1, kapittel 5-8

SINUS R1, kapittel 5-8 Løsning av noen oppgaver i SINUS R1, kapittel 5-8 Digital pakke B TI-Nspire Enkel kalkulator (Sharp EL-506, TI 30XIIB eller Casio fx-82es) Oppgaver og sidetall i læreboka: 5.43 c side 168 5.52 side 173

Detaljer

Hurtigstart. Hva er GeoGebra? Noen fakta

Hurtigstart. Hva er GeoGebra? Noen fakta Hurtigstart Hva er GeoGebra? En dynamisk matematisk programvare som er lett å ta i bruk Er egnet til læring og undervisning på alle utdanningsnivå Binder interaktivt sammen geometri, algebra, tabeller,

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 1 og 2 GeoGebra-øvelser i funksjonslære Av Peer Sverre Andersen Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER...

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T Emne Underkapittel Rettvinklede trekanter 2.4 Ikke-rettvinklede trekanter I 2.6 Ikke-rettvinklede trekanter II 2.7 Graftegning 3.2 Graftegning med definisjonsmengde 3.2

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk R1

GeoGebra-opplæring i Matematikk R1 GeoGebra-opplæring i Matematikk R1 Emne Underkapittel Vektorer 1.4 Lengden av vektorer 1.5 Skalarprodukt og vinkel mellom to vektorer 1.6 Forenkle uttrykk 2.1 Faktorisering 2.1 Grafisk løsning av eksponentiallikninger

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus 1P. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus 1P. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus 1P av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 GeoGebra som kalkulator. Eksempel side 55... 3 Omforming av formler. Side 82 i læreboka... 4 Rette linjer. Side 89 i læreboka...

Detaljer

Lær å bruke GeoGebra 4.0

Lær å bruke GeoGebra 4.0 Lær å bruke GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold: Generelt om GeoGebra... 2 Innstillinger... 2 Statistikkberegninger i regnearket... 5 Nye muligheter for funksjonsanalyse... 8 Nullpunkt og ekstremalpunkt...

Detaljer

Eksamen i matematikk. Hvordan har eksamen i R1 høsten 2011 endret all læreplantolkning?

Eksamen i matematikk. Hvordan har eksamen i R1 høsten 2011 endret all læreplantolkning? Eksamen i matematikk Hvordan har eksamen i R1 høsten 2011 endret all læreplantolkning? Samarbeidet udir/forlag Før reform 94: En representant fra hvert matematikkverk var med på å lage eksamensoppgavene

Detaljer

Hva er nytt i GeoGebra 3.0? Sigbjørn Hals

Hva er nytt i GeoGebra 3.0? Sigbjørn Hals Hva er nytt i GeoGebra 3.0? Sigbjørn Hals 1 Dersom du vil ha en fullstendig oversikt over det som er nytt i versjon 3.0, kan du gå til denne nettsida: http://www.geogebra.org/static/geogebra_release_notes_prerelease.txt

Detaljer

Kurs. Kapittel 2. Bokmål

Kurs. Kapittel 2. Bokmål Kurs 8 Kapittel 2 Bokmål D.8.2.1 1 av 4 Introduksjon til dynamisk geometri med GeoGebra Med et dynamisk geometriprogram kan du tegne og konstruere figurer som du kan trekke og dra i. I noen slike programmer

Detaljer

Kurshefte GeoGebra. Ungdomstrinnet

Kurshefte GeoGebra. Ungdomstrinnet Kurshefte GeoGebra Ungdomstrinnet GeoGebra Geometri og algebra Dynamisk geometriverktøy Algebraisk verktøy Gratis Brukes på alle nivåer i utdanningssystemet Finnes på både bokmål og nynorsk Kan lastes

Detaljer

1 Introduksjon GeoGebra 2 Speiling, rotasjon og parallellforskyvning 3 Perspektivtegning 4 Symmetriakser

1 Introduksjon GeoGebra 2 Speiling, rotasjon og parallellforskyvning 3 Perspektivtegning 4 Symmetriakser 1 Geometri i kunsten: 1 Introduksjon GeoGebra 2 Speiling, rotasjon og parallellforskyvning 3 Perspektivtegning 4 Symmetriakser MKH GeoGebra - Geometri i kunsten Innhold 1 Introduksjon GeoGebra... 1 1.1

Detaljer

03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS

03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS 03.10.2013 Manual til GeoGebra Ungdomstrinnet Ressurs til Grunntall 8 10 Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS Innhold Verktøy... 4 Hva vinduet i GeoGebra består av...

Detaljer

GeoGebra for Sinus 2T

GeoGebra for Sinus 2T GeoGebra for Sinus 2T Innhold Vektorer med GeoGebra Skalarproduktet med GeoGebra Parameterframstilling med GeoGebra Ordnede utvalg eksempelet på side 89 med GeoGebra Uordnede utvalg eksempelet på side

Detaljer

Opplæringshefte i GeoGebra. for mellomtrinnet og. ungdomstrinnet

Opplæringshefte i GeoGebra. for mellomtrinnet og. ungdomstrinnet Opplæringshefte i GeoGebra for mellomtrinnet og ungdomstrinnet av Sigbjørn Hals Bokmål 1 Innhold: Del 1. Generell informasjon om GeoGebra...3 Kva er GeoGebra?...3 Kvar kan eg få tak i dette programmet?...3

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 2 Regning 4 2.1 Tallet e...................................... 4 3 Sannsynlighetsregning

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets

Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets 2 Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets Eksamensoppgaver 0 Innholdsfortegnelse INTRODUKSJON GEOGEBRA...

Detaljer

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål Eksempel på løsning 010 Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk T Eksamen 30.11.009 Bokmål MAT1008 Matematikk T HØSTEN 009 Eksempel på løsning med vekt på bruk av digitale verktøy Hva er en

Detaljer

GEOGEBRA (3.0) til R1-kurset

GEOGEBRA (3.0) til R1-kurset GEOGEBRA (3.0) til R1-kurset INNHOLD Side 1. Konstruksjon 2 1.1 Startvinduet 2 1.2 Markere punkter 3 1.3 Midtpunkt 4 1.4 Linje mellom punkter 5 1.5 Vinkelrett linje 6 1.6 Tegne en mangekant 6 1.7 Høyden

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk S1

GeoGebra-opplæring i Matematikk S1 GeoGebra-opplæring i Matematikk S1 Emne Underkapittel Utregning av algebraiske uttrykk 1.4 Forenkle uttrykk 1.5 Faktorisering 1.5 Kvadratsetningene 1.6 Grafisk løsning av eksponentiallikninger 1.8 Grafisk

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Mer øving

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus 1T. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus 1T. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus 1T av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Faktorisering. Side 55 i læreboka... 3 Rette linjer. Side 73 i læreboka... 3 Digital løsning av likninger. Side 77 i læreboka...

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Eksamen.05.009 REA30 Matematikk R Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del : Hjelpemidler på Del : Bruk av kilder: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: 5

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Løsning eksamen 2T våren 2008

Løsning eksamen 2T våren 2008 Løsning eksamen 2T våren 2008 Del 2 løst med pc Noen gode grunner til å lære å utnytte pc-en effektivt på eksamen: I eksamensinformasjonen står det: Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt

Detaljer

Funksjoner med GeoGebra

Funksjoner med GeoGebra Funksjoner med GeoGebra Wallace Anne Karin 2015 G e o G e b r a 5. 0 Innhold Oppsett for arbeid med funksjoner... 2 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 4 Flytt inntastingsfeltet øverst... 4

Detaljer

GeoGebra. brukt på eksamensoppgaver i 10. kl. Sigbjørn Hals

GeoGebra. brukt på eksamensoppgaver i 10. kl. Sigbjørn Hals GeoGebra brukt på eksamensoppgaver i 10. kl. Sigbjørn Hals Innhold Hva er GeoGebra?... 2 Hvilken nytte har elevene av å bruke GeoGebra?... 2 Hvor finner vi GeoGebra?... 2 Oppbyggingen av programmet...

Detaljer

Kurs. Kapittel 2. Bokmål

Kurs. Kapittel 2. Bokmål Kurs 9 Kapittel 2 Bokmål 1 av 9 Kurs i GeoGebra Funksjoner og grafer I dette kurset skal vi se nærmere på hvordan vi kan bruke GeoGebra som en graftegner. Grunnleggende innstillinger Når vi skal bruke

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Utforsking av funksjonsuttrykk og de tilhørende grafene ved hjelp av GeoGebra

Utforsking av funksjonsuttrykk og de tilhørende grafene ved hjelp av GeoGebra Anne-Mari Jensen Utforsking av funksjonsuttrykk og de tilhørende grafene ved hjelp av GeoGebra Innledning I ungdomsskolen kommer funksjoner inn som et av hovedområdene i læreplanen i matematikk. Arbeidet

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010

Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010 Eksamen REA30 R1, Høsten 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (0 poeng) a) Deriver funksjonene 1) f x x e x e x

Detaljer

H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1

H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1 1 Bli kjent med GeoGebra GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Det vil si at vi kan gjøre en del endringer på figurene vi tegner, uten å måtte tegne dem på nytt, figuren endres dynamisk. Dette gir oss

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

EKSAMEN I 3MX-R2 (3MZ-S2), SPØRREUNDERSØKELSE AUGUST 2014

EKSAMEN I 3MX-R2 (3MZ-S2), SPØRREUNDERSØKELSE AUGUST 2014 EKSAMEN I 3MX-R2 (3MZ-S2), SPØRREUNDERSØKELSE AUGUST 2014 Matematikk R2 Oversikt over hovedområdene: Programfag Hovedområder Matematikk R1 Geometri Algebra Funksjoner Matematikk R2 Geometri Algebra Funksjoner

Detaljer

Menylinje og de vanligste funksjonene. Her gjør du de tilpasningene du trenger.

Menylinje og de vanligste funksjonene. Her gjør du de tilpasningene du trenger. GeoGebra GeoGebra 1 GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Ved hjelp av dette programmet kan du framstille forskjellige geometriske figurer, forskjellige likninger (likningssett) og ulike funksjonsuttrykk,

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Mer øving

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold Funksjonstegner... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 3 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 4 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Mer øving

Detaljer

GeoGebraøvelser i geometri

GeoGebraøvelser i geometri GeoGebraøvelser i geometri av Peer Andersen Peer Andersen 2014 Innhold Innledning... 3 Øvelse 1. Figurer i GeoGebra... 4 Øvelse 2. Noen funksjoner i GeoGebra... 8 Øvelse 3. Omskrevet sirkelen til en trekant...

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 1.1 Innstillinger................................... 5 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 1P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 1P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy Sinus 1P Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy GeoGebra 4.0 og 4.2 wxmaxima Microsoft Mathematics WordMat TI-Nspire CAS 1 Innhold Litt om programmene... 4 GeoGebra

Detaljer

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være

Detaljer

Lineær optimering med GeoGebra

Lineær optimering med GeoGebra Lineær optimering med GeoGebra av Sigbjørn Hals Eksempler fra læreboka Sinus S1 Cappelen, 2007 1 Før vi viser fremgangsmåten for lineær optimering, vil vi vise noen nyttige kommandoer og menyvalg i GeoGebra,

Detaljer

3 GeoGebra 1. Fartsdiagrammer 2. Likningsett 3. Funksjoner Maks og min punkter

3 GeoGebra 1. Fartsdiagrammer 2. Likningsett 3. Funksjoner Maks og min punkter 3 GeoGebra 1. Fartsdiagrammer 2. Likningsett 3. Funksjoner Maks og min punkter MKH Innholdsfortegnelse 1. Graftegner - GeoGebra... 2 1.1 Introduksjon GeoGebra... 2 1.2 Endre innstillinger på aksene...

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P Emne Underkapittel Perspektivtegning I 3.8 Perspektivtegning II 3.8 Regulære mangekanter 3.9 Flislegging I 3.9 Flislegging II 3.9 Flislegging III 3.9 Terningkast 4.1

Detaljer

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009 Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold DYNAMISK GEOMETRIPROGRAM... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Oppsett av skjermbildet... 4 Verktøylinja... 4 PUNKT OG SIRKLER... 5 Punkt... 5 Sirkel... 6 Linjer... 7 NYTTIGE VERKTØY... 8 Lagre...

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2T

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2T GeoGebra-opplæring i Matematikk 2T Emne Underkapittel Vektorer 1.4 Lengden av vektorer 1.5 Skalarprodukt. Vinkel mellom to vektorer 1.6 Parameterframstilling 1.8 Binomialkoeffisient I 2.7 Binomialkoeffisient

Detaljer

Utkast til veiledende nasjonale kjennetegn på måloppnåelse i fellesfag i matematikk (1P og 1T) i videregående opplæring

Utkast til veiledende nasjonale kjennetegn på måloppnåelse i fellesfag i matematikk (1P og 1T) i videregående opplæring Utkast til veiledende nasjonale kjennetegn på måloppnåelse i fellesfag i matematikk (1P og 1T) i videregående opplæring Utkastet er utarbeidet av en faggruppe bestående av lærere fra ulike skoler i utprøvingen

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk S2

GeoGebra-opplæring i Matematikk S2 GeoGebra-opplæring i Matematikk S Emne Underkapittel Faktorisering.1 Grafisk løsning av likningssett I.3 Størst mulig overskudd 3. Vendepunkter 3.4 Den naturlige eksponentialfunksjonen 3.5 3.6 Den naturlige

Detaljer

GeoGebra i 1T. Grafer. Å tegne grafen til en funksjon. GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10.

GeoGebra i 1T. Grafer. Å tegne grafen til en funksjon. GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10. 2 Grafer Å tegne grafen til en funksjon Akser Rutenett Avrunding GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10. Funksjonen får automatisk navnet f. Hvis grafen ikke vises, kan du høyreklikke i grafikkfeltet

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Våren 2010

Eksamen REA3022 R1, Våren 2010 Eksamen REA0 R1, Våren 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 a) Deriver funksjonene 1) ln f 1 f ) g ln ln ln 1 4e

Detaljer

Læreplan, nivå 1. Innhold / tema. Hovedområde Kompetansemål Elevene skal kunne: Tall og algebra:

Læreplan, nivå 1. Innhold / tema. Hovedområde Kompetansemål Elevene skal kunne: Tall og algebra: Kartlegging / vurdering av nivå Begynn året med et kort kurs i tall-lære og matematiske symboler. Deretter kartlegging som plasserer elevene i nivågruppe. De som kan dette, jobber med tekstoppgaver / problemløsning.

Detaljer

Løsning eksamen R1 våren 2009

Løsning eksamen R1 våren 2009 Løsning eksamen R1 våren 009 Oppgave 1 a) 1) f( ) ( 1) 4 f ( ) 4( 1) ( 1) 4( 1) 8 ( 1) ) g ( ) e 3 3 3 g( ) e ( e ) 1 e e ( ) 1e e (1) e b) ( ) lim lim lim ( ) 4 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) ( )

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Geometri med GeoGebra Del 2

Geometri med GeoGebra Del 2 Geometri med GeoGebra Del 2 Å endre linjestil eller farge, og vise navn på objekt Vi kan endre farge og stil på hjelpelinjer for å framheve det objektet vi egentlig skal lage. Ved hjelp av ikonene på stilmenyen

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Flytt inntastingsfeltet

Detaljer

Innføring i GeoGebra (2 uv-timer)

Innføring i GeoGebra (2 uv-timer) 03/06/17 1/5 Innføring i GeoGebra (2 uv-timer) Innføring i GeoGebra (2 uv-timer) GeoGebra er et dynamisk matematikkprogram for skolebruk som forener geometri, algebra og funksjonslære. Programmet er utviklet

Detaljer

I Katalog velger du: Ny eksamensordning i matematikk våren 2015

I Katalog velger du: Ny eksamensordning i matematikk våren 2015 CAS teknikker H-P Ulven 10.12.2014 Innledning Våren 2015 gjelder nye regler for bruk av digitale hjelpemidler: Når det står "Bruk CAS", så må kandidaten bruke CAS, og når det står "Bruk graftegner", så

Detaljer

Eksempeloppgave 2014. REA3024 Matematikk R2 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)

Eksempeloppgave 2014. REA3024 Matematikk R2 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Eksempeloppgave 014 REA04 Matematikk R Eksempel på eksamen våren 015 etter ny ordning Ny eksamensordning Del 1: timer (uten hjelpemidler) Del : timer (med hjelpemidler) Minstekrav til digitale verktøy

Detaljer

Skolelaboratoriet for matematikk, naturfag og teknologi. Kurshefte i GeoGebra. Ungdomstrinnet

Skolelaboratoriet for matematikk, naturfag og teknologi. Kurshefte i GeoGebra. Ungdomstrinnet Skolelaboratoriet for matematikk, naturfag og teknologi Kurshefte i GeoGebra Ungdomstrinnet Astrid Johansen - NTNU Skolelaboratoriet - 29.10.2013 GeoGebra Geometri og algebra Dynamisk geometriverktøy Algebraisk

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Introduksjon og installasjon Tegninger i motsetning til geometriske konstruksjoner

Introduksjon og installasjon Tegninger i motsetning til geometriske konstruksjoner Introduksjon og installasjon Tegninger i motsetning til geometriske konstruksjoner GeoGebra arbeidsark 1 Judith og Marcus Hohenwarter www.geogebra.org Oversatt av Anders Sanne og Jostein Våge Tilpasset

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P Emne Underkapittel Perspektivtegning I 3.8 Perspektivtegning II 3.8 Terningkast 4.1 Valgtre I 4.3 Valgtre II 4.7 Graftegning 5.2 Linje gjennom to punkter 5.2 Nullpunkter

Detaljer

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN I MATEMATIKK 9. TRINN SKOLEÅR 2014-2015

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN I MATEMATIKK 9. TRINN SKOLEÅR 2014-2015 Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN I MATEMATIKK 9. TRINN SKOLEÅR 2014-2015 Periode 1: UKE 34-38 Tema: Kap.1 «Tall og tallforståelse» sammenligne og omregne hele tall ( ) og tall på standardform,

Detaljer

Eksempelsett R2, 2008

Eksempelsett R2, 2008 Eksempelsett R, 008 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f x x cosx f x cosx x s x f x cosx 6x sinx

Detaljer

Eksamen 28.11.2013. REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 28.11.2013. REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål Eksamen 8.11.013 REA30 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del : 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter timar. Del skal leverast

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk 2008

Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-

Detaljer

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE I MATEMATIKK 9.TRINN SKOLEÅR Side 1 av 9

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE I MATEMATIKK 9.TRINN SKOLEÅR Side 1 av 9 Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE I MATEMATIKK 9.TRINN SKOLEÅR 2016-2017 Side 1 av 9 Periode 1: UKE 33-UKE 39 Tema: Tall og tallforståelse sammenligne og omregne hele tall,

Detaljer

Matematikk 1T. Matematikk 1T. Tal og algebra. tolke, bearbeide, vurdere og drøfte det matematiske innhaldet i ulike tekstar

Matematikk 1T. Matematikk 1T. Tal og algebra. tolke, bearbeide, vurdere og drøfte det matematiske innhaldet i ulike tekstar Matematikk 1T Matematikk 1T Tal og algebra tolke, bearbeide, vurdere og drøfte det matematiske innhaldet i ulike tekstar vurdere, velje og bruke matematiske metodar og verktøy til å løyse problem frå ulike

Detaljer

Matematisk visualisering

Matematisk visualisering 02/01/17 1/5 Matematisk visualisering Matematisk visualisering GLU 1.-7. trinn: Matematisk visualisering og konstruksjon - GeoGebra Innføring i GeoGebra (2 uv-timer) Denne delen er direkte knyttet til

Detaljer

Eksamen 22.05.2009. REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 22.05.2009. REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål Eksamen.05.009 REA30 Matematikk R Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del : Hjelpemiddel på Del : Bruk av kjelder: Vedlegg: Framgangsmåte: Rettleiing om vurderinga:

Detaljer

Grafisk løsning av ligninger i GeoGebra

Grafisk løsning av ligninger i GeoGebra Grafisk løsning av ligninger i GeoGebra Arbeidskrav 2 Læring med digitale medier 2013 Magne Svendsen, Universitetet i Nordland Innholdsfortegnelse INNLEDNING... 3 GRAFISK LØSNING AV LIGNINGER I GEOGEBRA...

Detaljer

Geometri med GeoGebra

Geometri med GeoGebra Geometri med GeoGebra Del 1 Bli kjent med GeoGebra GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Det vil si at vi kan gjøre en del endringer på figurene vi tegner, uten å måtte tegne dem på nytt, figuren endres

Detaljer

AKERSHUS FYLKESKOMMUNE FROGN VIDEREGÅENDE SKOLE MATEMATIKK 1T & 1P

AKERSHUS FYLKESKOMMUNE FROGN VIDEREGÅENDE SKOLE MATEMATIKK 1T & 1P AKERSHUS FYLKESKOMMUNE FROGN VIDEREGÅENDE SKOLE MATEMATIKK 1T & 1P 1 INNHOLDSFORTEGNELSE MATEMATIKK... 1 1T & 1P... 1 Nye matematikkurs... 3 Matematikk for studieforberedende utdanningsprogrammer... 3

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka T. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka T. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka T av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Nullpunkt. Side 11 i læreboka... 3 Andregradslikninger. Side 18 i læreboka... 3 Momentan vekstfart. Side 47 i læreboka...

Detaljer

Løsning av typeoppgaver og eksamensoppgaver med Microsoft Mathematics, WordMat og GeoGebra. Av Sigbjørn Hals

Løsning av typeoppgaver og eksamensoppgaver med Microsoft Mathematics, WordMat og GeoGebra. Av Sigbjørn Hals Løsning av typeoppgaver og eksamensoppgaver med Microsoft Mathematics, WordMat og GeoGebra Av Sigbjørn Hals 1 Innhold Innledning... 3 Typeoppgave 1... 3 Oppgaven... 3 Fremgangsmåten... 4 Løsningen... 4

Detaljer

SINUS R1, kapittel 1-4

SINUS R1, kapittel 1-4 Løsning av noen oppgaver i SINUS R1, kapittel 1-4 Digital pakke B TI-Nspire Enkel kalkulator (Sharp EL-506, TI 30XIIB eller Casio fx-82es) Oppgaver og sidetall i læreboka: 1.13 e, side 13 1.31 a, side

Detaljer

R1 Eksamen høsten 2009 Løsning

R1 Eksamen høsten 2009 Løsning R1 Eksamen, høsten 009 Løsning R1 Eksamen høsten 009 Løsning Del 1 Oppgave 1 3 a) Deriver funksjonen f( x) 5e x f( x) 5e 3 15e 3 x 3x b) Deriver funksjonen gx x 3 ln x x x g( x) 3x ln x x 3 x 3ln 1 3 c)

Detaljer

Kurshefte GeoGebra. Barnetrinnet

Kurshefte GeoGebra. Barnetrinnet Kurshefte GeoGebra Barnetrinnet GeoGebra Geometri og algebra Dynamisk geometriverktøy Algebraisk verktøy Gratis Brukes på alle nivåer i utdanningssystemet Finnes på både bokmål og nynorsk Kan lastes ned

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Hjelp til GeoGebra. Offisiell manual for 3.0. Norsk, bokmål

Hjelp til GeoGebra. Offisiell manual for 3.0. Norsk, bokmål Hjelp til GeoGebra Offisiell manual for 3.0 Norsk, bokmål Markus Hohenwarter og Judith Preiner www.geogebra.org, august 2007 Hjelp til GeoGebra 3.0 Sist forandret: 1. august, 2007 GeoGebra Website: www.geogebra.org

Detaljer

MATEMATIKK kjennetegn på måloppnåelse HOVEDOMRÅDE Tall og algebra:

MATEMATIKK kjennetegn på måloppnåelse HOVEDOMRÅDE Tall og algebra: MATEMATIKK kjennetegn på måloppnåelse HOVEDOMRÅDE Tall og algebra: 1. sammenligne og regne om mellom hele tall, desimaltall, brøker, prosent, promille og tall på standardform, uttrykke slike tall på varierte

Detaljer

Del 1. Generelle tips

Del 1. Generelle tips Innhold Del 1. Generelle tips... 2 Bruk en "offline installer"... 2 Øk skriftstørrelsen... 3 Sett navn på koordinataksene... 3 Vis koordinater til skjæringspunkt, ekstremalpunkt m.m.... 4 Svar på spørsmålene

Detaljer

5.A Digitale hjelpemidler i geometri

5.A Digitale hjelpemidler i geometri 5.A Digitale hjelpemidler i geometri Geometri handler om egenskapene til punkter, linjer og figurer i planet og i rommet. I alle tider har blyant og papir samt passer og linjal vært de viktigst hjelpemidlene

Detaljer