Mandag E = V. y ŷ + V ẑ (kartesiske koordinater) r sin θ φ ˆφ (kulekoordinater)

Transkript

1 Institutt fo fysikk, NTNU TFY4155/FY13: Elektisitet og magnetisme Vå 26, uke 6 Mandag Beegning av E fa V [FGT 24.4; YF 23.5; TM 23.3; F 21.1; LHL 19.9; DJG 2.3.1, 1.2.2] Gadientopeatoen : V = V V ˆx + x = V ˆ + 1 E = V y ŷ + V ẑ (katesiske koodinate) z V θ ˆθ + 1 V sin θ φ ˆφ (kulekoodinate) (NB: Det e ikke meningen at du skal gå undt og huske på hvodan gadientopeatoen se ut i kulekoodinate. Den vil bli oppgitt desom det f.eks. skulle bli buk fo den til eksamen.) Hvis vi ha kulesymmeti (dvs E og V kun avhengig av, ikke av vinklene θ og φ): Betydning av gadientopeatoen E = E()ˆ = V ˆ Vektoen V peke i den etningen de V øke askest, dvs i den etningen de den etningsdeivete til V e støst. Ettesom E = V, bety det at det elektiske feltet peke i den etningen de V avta askest. Eksempel: Desom en punktladning q plassees et sted de V =, bli den ikke utsatt fo noen elektisk kaft, fo da e F = qe = q V =. Oppsummeing til nå, og møte med Maxwell-ligning n 1 Coulombs lov (empiisk lov fo kaft mellom to ladninge q og q i innbydes avstand ): F = qq 4πε 2 ˆ Elektisk felt fa punktladning q (følge av definisjonen kaft p ladningsenhet ): E = F q = q 4πε 2 ˆ 1

2 Konsevativ kaft: F dl e uavhengig av integasjonsveien, dvs veien mellom punktene og B. Demed: F dl = (dvs nå vi integee undt en lukket kuve) Med definisjonen av E følge det da at det elektostatiske feltet også e konsevativt, dvs: E dl e uavhengig av integasjonsveien, og demed E dl = Dette e en av Maxwells ligninge (vel å meke, fo statiske felt, dvs felt som ikke ende seg med tiden). Et konsevativt vektofelt kan alltid avledes fa et skalat potensial: E = V Potensialfoskjellen mellom to punkte og B kan beegnes desom vi kjenne det elektiske feltet i omådet mellom og B: V = V B V = E dl upeposisjonspinsippet gjelde fo elektisk kaft F (ekspeimentelt esultat): F i = F ij = kaft på ladning q i fa ladninge q j (j = 1, 2,... n) Da følge det at supeposisjonspinsippet også gjelde fo elektisk felt E, og fo elektisk potensial V, E = E j V = V j He e E j og V j bidag til henholdsvis felt og potensial fa ladning numme j. 2

3 Fedag Elektisk fluks [FGT 23.1; YF 22.1; TM 22.2; F 25.3; LHL 19.7; DJG 2.2.1] φ = E d Noen gange skive vi φ E fo å pesisee at det e snakk om elektisk fluks. Vi ha tidligee definet elektiske feltlinje slik at den elektiske feltstyken E = E skulle væe poposjonal med tettheten av feltlinje, elle antall feltlinje p flateenhet. v ovenstående definisjon av elektisk fluks φ kan vi da slutte at φ epesentee antall feltlinje som kysse flaten. Følgende figu illustee hva dette gå ut på: d θ flate E ^ d = n d ^ n = enhetsvekto nomalt til flaten d = flateelement (f.eks. dx dy ) Flaten e en vilkålig tenkt elle valgt flate i ommet. Det elektiske feltet eksistee i omådet de flaten e plasset. (E kan væe null elle foskjellig fa null.) Flaten tenkes så delt inn i små flateelemente d = ˆnd, med aeal d og oienteing i ommet spesifiset ved flatenomalen ˆn. Fluksen dφ gjennom flaten d e da lik E d. Den totale fluksen gjennom hele flaten få vi ved å integee opp bidagene dφ, altså ligningen ove. Mek at fluksen e en skala støelse. Den kan imidletid væe positiv elle negativ, avhengig av om vinkelen mellom vektoene E og d e minde elle støe enn 9 gade. En lukket flate e en flate som omslutte et veldefinet volum V, f.eks. et kuleskall, et peanøttskall e.l. Den elektiske fluksen gjennom en lukket flate skive vi slik (jf. notasjonen fo veiintegal undt lukket kuve): φ c = E d Indeksen c stå fo closed. Den e fosåvidt unødvendig så lenge vi skive ned integalet. Ringen på integasjonssymbolet e tilstekkelig fo å undesteke at det e snakk om en lukket flate. Med en lukket flate kan vi gjøe unna fotegnspoblemet en gang fo alle: Vi velge positiv etning på d ut av flaten. Demed kan vi konkludee med at E d > fluks ut gjennom flaten E d < fluks inn gjennom flaten 3

4 Dessuten: φ c > netto fluks ut gjennom flaten φ c < netto fluks inn gjennom flaten Fo en ikke lukket flate ha vi ingen tilsvaende mulighet fo å velge positiv etning på d. Flaten ha to side, og ingen av disse kan sies å væe me inne elle ute i fohold til den ande. I enkelte tilfelle velge vi imidletid en positiv etning på (den lukkede!) kuven (linjen) som gå undt kanten av. Da definee vi positiv etning på d ved hjelp av høyehåndsegelen: La høyehåndas fie øvige finge peke i positiv etning fo flatens omsluttende kuve. Da peke tommelen i positiv etning fo d. Gauss lov [FGT 23.2; YF 22.3; TM 22.2, 22.6; F 25.4; LHL 19.7; DJG 2.2.1] Gauss lov (på såkalt integalfom; senee i kuset, hvis vi få tid, skal vi se at vi også ha en vesjon av Gauss lov på såkalt diffeensialfom): E d = q in ε He e integalet på venste side av ligningen et flateintegal ove en lukket flate, mens q in e total (netto) ladning innenfo den lukkede flaten ( gaussflaten ). Gauss lov e en av Maxwells ligninge. (Vi konsentee oss femdeles om elektostatikk en god stund famove, men faktisk e det slik at Gauss lov også gjelde selv om E skulle finne på å vaiee med tiden.) Innholdet i ligningen kan fomulees slik: Netto antall feltlinje ut av et volum, dvs ut gjennom den lukkede flaten som avgense dette volumet, e bestemt av, og diekte poposjonal med netto ladning inne i volumet, dvs innenfo den lukkede flaten. Gauss lov følge diekte av Coulombs lov, og epesentee således ingen ny fysikk. I fobindelse med beviset fo Gauss lov fikk vi buk fo det vi kalte en omvinkel Ω. På samme måte som en liten sekto i et plan utspenne en vinkel dφ vil en liten kjegle i ommet utspenne en omvinkel dω. Videe: På samme måte som at buelengden dl i avstand fa sentum da bli dl = dφ bli aealet d av flaten som stå nomalt på og som avgenses av den lille kjeglen da lik d = 2 dω. I planet: dl = dϕ I ommet: d = 2 d Ω 4

5 La vi sektoen i planet utspenne en hel omdeining, tilsvae det en vinkel dφ = 2π dφ = 2π Tilsvaende: La vi kjeglen i ommet utspenne en hel kuleflate, tilsvae det en omvinkel dω = 2π π dφ sin θ dθ = 4π (He ha vi bukt kulekoodinate, de d = 2 sin θ dθ dφ (se øving 4!), slik at dω = sin θ dθ dφ.) 5