Verdens beste håndball-lag?

Transkript

1 Klassebesøk i matematikk Verdens beste håndball-lag? Litt om håndball, kombinatorikk og optimering Geir Dahl, Matematisk inst. og Inst. for informatikk, Universitetet i Oslo et problem fra håndball tilordningsproblemet: hva er det? en smart metode! Jessheim videregående skole, 23.mars 2000 Håndball, kombinatorikk og optimering: #1 of 17

2 Håndball Har vi det beste håndball-landslaget? keeper: alternerer Leganger og Tjugum utespillere velges fra de 13 spillerne Hilmo, Larsen, Duvholt, Sørlie, Davidsen, Rokne, Sættem, Eriksen, Grini, Hundvin, Goksør, Haltvik og Hausmann 6 uteplasser: H VING, V VING, H BEKK, V BEKK, M BEKK og SENTER hver spiller har en viss kvalitet på hver plass hvilket lag er best, og hvem spiller hvor? antall kombinasjoner: = Dette er et kombinatorisk optimeringsproblem! Håndball, kombinatorikk og optimering: #2 of 17

3 Håndball param kvalitet: H V V V H B V B M B SENT := Hilmo Larsen Duvholt Sørlie Davidsen Rokne Sættem Eriksen Grini Hundvin Goksør Haltvik Hausmann Man kan finne den beste løsningen ved hjelp av en viss matematisk metode som programmeres på datamaskin. Kommer tilbake til dette. Håndball, kombinatorikk og optimering: #3 of 17

4 Håndball Men hva med litt sunn fornuft!? Ja, man kan finne en optimal løsning her direkte ved åsepå hvilken spiller som passer best på hver plass + litt drøfting. Betyr dette at alle slike problemer er enkle å løse direkte? Nei, det var enkle data som gjorde det mulig her. Et problem: Grini kan være er best på flere plasser. Hvilken bør hun spille på? Videre: å finne bestemann på en gitt plass kan gi dårlig løsning, avhengig av rekkefølgen man velger for plassene: Plass 1 Plass 2 Spiller Spiller < 18 Håndball, kombinatorikk og optimering: #4 of 17

5 Hvilke firma bør vi velge? Oslo kommune skal sette igang 18 ulike byggeprosjekter 18 firmaer gir anbud på hvert byggeprosjekt hvert firma kan bare ta på seg ett prosjekt (fordi det er store prosjekt) Prosjekt F1: F2: F3: F17: F18: Håndball, kombinatorikk og optimering: #5 of 17

6 Tilordningsproblemet Tabell (matrise): størrelse 4 4 Vi kan ha tabeller av ulike størrelser, 5 5 eller 6 6osv.(n n) Vannrett linje i tabellen: Loddrett linje i tabellen: Håndball, kombinatorikk og optimering: #6 of 17

7 Tilordning: et utvalg med nøyaktig ett tall fra hver vannrett linje og fra hver loddrett linje. Hvilke er tilordninger? Den første tilordningen har sum: = 310. Oppgave: finn noen andre tilordninger regn ut summen for hver tilordning hvor mange tall er det i en tilordning? Håndball, kombinatorikk og optimering: #7 of 17

8 Tilordningsproblemet: finn en tilordning med lavest mulig sum. Spørsmål: hvordan løse tilordningsproblemet? Direkte metode: finn først alle tilordninger og regn ut summen for hver. Velg en med lavest sum! Dette går greit for små tabeller, men blir håpløst for større tabeller. F.eks. for en 7 7tabellerdet 5040 ulike tilordninger. En bedre metode kommer nå! Håndball, kombinatorikk og optimering: #8 of 17

9 Prinsipp: gjør en rekke linjeforenklinger inntil løsningen er opplagt! Poenget er altså å forenkle problemet Linjeforenkling: trekk fra samme tall (her : 75) overalt i en linje. Når vi trekker fra det minste tallet i linjen dukker det opp nuller. MERK: en linjeforenkling betyr at alle tilordninger får en lavere sum (her:75), men rekkefølgen på tilordningene (basert på summen) er den samme!!!! Vi fortsetter og linjeforenkler også i de to siste vannrette linjene. Resultat: Håndball, kombinatorikk og optimering: #9 of 17

10 Har nå minst en null i hver vannrette linje. Fortsettelse: linjeforenkler i hver loddrette linje. Har allerede nuller i de tre første, men må fikseden siste linjen ved å trekke fra 5. Får: En god idé: Hvis vi klarer å finne en tilordning med bare nuller, så har vi løst problemet! Hvorfor? Men: det fins ingen tilordning med bare nuller. Synd! Men nå skal vi fortsette med linjeforenklinger inntil det fins en tilordning med bare nuller!!!! Håndball, kombinatorikk og optimering: #10 of 17

11 1. Dekk over alle nullene med færrest mulig linjer! Vi klarer dette med tre linjer som vi kaller blå linjer : Finn det minste tallet som ikke er dekket! Det er Trekk 20 fra alle udekkede tall (svarte tall over). 4. Legg 20 til alle tall som ligger i kryssene (de tallene som dekkes både av en vannrett og en loddrett linje, her er det 15 og 35). Resultat: Håndball, kombinatorikk og optimering: #11 of 17

12 Forklaring: Det vi gjør i skritt 2 og 3 er det samme som 3. trekke 20 fra hver hver vannrett linje som ikke er ensfarvet blå, og 4. legge 20 til hver dekket loddrett linje som er ensfarvet blå. Altså: vi har igjen bare brukt linjeforenkling. Hvordan fortsetter vi nå? Svar: Vi gjentar skrittene 1 4 foran: DEKK-FINN-TREKK-LEGG! 1. DEKK: Tre blå linjer nok en gang FINN: minste udekkede tall er 5. Håndball, kombinatorikk og optimering: #12 of 17

13 3 og 4.TREKK og LEGG:Resultatet blir Etter dette starter vi på endaenny DEKK-FINN-TREKK-LEGG-runde. Men nå ser vi at det må 4 linjer til for å dekke alle nullene! Da kan vi stoppe, for nå fins en tilordning med bare nuller. Den er da (optimal) løsning! Finner derfor løsningen (i opprinnelig tabell) og summen er 275. (Kan dere finne en annen optimal tilordning?) Håndball, kombinatorikk og optimering: #13 of 17

14 Dere har lært den ungarske tilordningsalgoritmen! Denne kan programmeres på datamaskin og (med litt endringer) er en av de raskeste måtene å løse tilordningsproblemet på. Mye brukt! Tilordningsproblemet er et eksempel på et optimeringsproblem. Verdenerfullav optimeringsproblemer! Slike problemer er bl.a. viktige i økonomi. Nobel prisen i økonomi har blitt gitt til arbeid med optimeringsproblemer som minner om transportproblemet (T.J.Koopmans og L.V.Kantorovich, 1975). H. Markowitz fikk Nobel prisen i økonomi i 1990 for sitt arbeid med porteføljeoptimering (finn beste sammensetning av aksjer). Håndball, kombinatorikk og optimering: #14 of 17

15 Håndball Modell: set SPILLER; set PLASS; param kvalitet {SPILLER,PLASS}; var Bruk {SPILLER,PLASS} 0; maximize total kvalitet: sum {i in SPILLER, j in PLASS} kvalitet[i,j] * Bruk[i,j]; subject to spillerbruk {i in SPILLER}: sum {j in PLASS}Bruk[i,j] 1; subject to plassbruk {j in PLASS}: sum {i in SPILLER} Bruk[i,j] = 1; Data: set SPILLER := Hilmo Larsen Duvholt Sørlie Davidsen Rokne Sættem Eriksen Grini Hundvin Goksør Haltvik Hausmann; set PLASS := H VING V VING H BEKK V BEKK M BEKK SENTER; Håndball, kombinatorikk og optimering: #15 of 17

16 Håndball Verdens beste håndball-landslag (!!???) ampl: display Bruk: H B H V M B SENT V B V V:= Davidsen Duvholt Eriksen Goksør Grini Haltvik Hausmann Hilmo Hundvin Larsen Rokne Sættem Sørlie Score: 28.5 (regnetid 1/100 sek.) Laget: Sørlie Hundvin Grini Haltvik Sættem Duvholt Håndball, kombinatorikk og optimering: #16 of 17

17 Avsluttende kommentarer matematiske problemer er viktige! kombinere matematikk, informatikk, økonomi studier ved Universitetet i Oslo svært gode jobbmuligheter!!!! velg full fordypning i matematikk Matematisk institutt, UiO: Institutt for Informatikk, UiO: Geir Dahl, telefon , Webside: geird/ Inneholder div. informasjon om optimering, forskning, studier, Web optimering. Også dette foredraget. Håndball, kombinatorikk og optimering: #17 of 17