Et epistemologisk perspektiv på matematikkundervisning - et eksempel fra algebra

Transkript

1 Et epistemologisk perspektiv på matematikkundervisning - et eksempel fra algebra Heidi Strømskag (Måsøval) HiST, NTNU

2 Lærerkunnskap det eksisterer en kunnskapsbase for undervisning Lee Shulman Shulman, L. S. (1986). Those who understand: Knowledge growth in teaching. Educational Researcher, 15(2), Shulman, L. S. (1987). Knowledge and teaching. Foundations of the new reform. Harvard Educational Review, 57(1), 1-22.

3 Kategorier i kunnskapsbasen (Shulman, 1987) Fagkunnskap Generell pedagogisk kunnskap Læreplankunnskap Fagdidaktisk kunnskap (Pedagogical content knowledge) Kunnskap om elever Kunnskap om utdanningskontekster Kunnskap om utdanningsmål, hensikter og verdier, og deres filosofiske og historiske bakgrunn

4 Transformasjon: fagkunnskap fagdidaktisk kunnskap Fagdidaktisk kunnskap: det spesielle amalgam av fagkunnskap og pedagogisk kunnskap som er spesielt for lærere, deres spesielle form for profesjonell forståelse the key to distinguishing the knowledge base of teaching lies at the intersection of content and pedagogy, in the capacity of a teacher to transform the content knowledge he or she possesses into forms that are pedagogically powerful (Shulman, 1987, s. 15)

5 Allmenn fagkunnskap Fagdidaktisk kunnskap - videreutviklet av Ball et al. (2008) Kunnskap om fagstoff og studenter Kunnskap om fagstoff og undervisning Spesialisert fagkunnskap Eks. et desimaltall kan skrives som en sum av tierpotenser; definerer relasjoner mellom sifrene Ball, D. L., Thames, M. H., & Phelps, G. (2008). Content knowledge for teaching: What makes it special? Journal of Teacher Education, 59,

6 Vitenskapelig matematisk kunnskap - oversatt til klasserommet Didaktisk transposisjon (Chevallard, 1985) Transformasjon av offisiell matematisk kunnskap til en skolekontekst Yves Chevallard ATD: Antropologisk teori for det didaktiske de institusjonelle betingelsene som er forbundet med undervisning og læring av matematikk (Chevallard, 1992; 2012)

7 Vitenskapelig matematisk kunnskap - oversatt til klasserommet TDS: Teorien for didaktiske situasjoner i matematikk (Brousseau, 1997) Vitenskapelig tilnærming til problemene knyttet til undervisning og læring av matematikk, der de spesielle egenskapene til målkunnskapen spiller avgjørende rolle Guy Brousseau

8 TDS metodologisk prinsipp En matematisk kunnskap er representert av en situasjon som involverer oppgaver som kan løses på en optimal måte ved å bruke målkunnskapen. Hva er de nødvendige betingelsene for at en situasjon skal implementere den kunnskapen som den definerer? Hvordan kan situasjoner designes, og utviklingen av dem håndteres, i en gitt utdanningsinstitusjon? epistemologisk perspektiv 8

9 Epistemologisk modell Eks. forstørre puslespillbrikker for å lære at formlikhet er en multiplikativ struktur

10 Epistemologisk modell 1. Modell av målkunnskapen Modell av elevers læringsbane 8 10

11 Modell av elevenes læringsbane Adderer 3 til alle lengder, og får ikke-kompatible biter Observerer at for tre sider i puslespillet, a, b, and c, slik at så er det (med additiv tankegang) slik at f a f b f c a b c behov for å oppfylle kravet om linearitet (avbildningen av summen av to lengder må være lik summen av avbildningene av lengdene) f 5 8 f f 1 f 1 f 1 f 1 f f 1 1, 6 5 Sidene må multipliseres med faktoren 1,6. 11

12 Design Modellen av læringsbane design av aktivitet Adidaktisk situasjon miljø (TDS begreper) 12

13 Et eksempel fra algebra generalisering av figurmønster Hvorfor algebra? (Hva ER algebra?) Hvorfor figurmønster? (Hva ER figurmønster?) Kunnskapsmål? Matematisk objekt? Begreper? Hvordan kan aktiviteten designes? Epistemologisk analyse Fagdidaktisk basis 13

14 Hvorfor algebra? Hva er algebra? Algebra er språket som GENERALISERING av kvantiteter og relasjoner i mønster kan uttrykkes, manipuleres og bevises gjennom. (Whitehead, 1947; Kieran, 2004) Ulike innholdsdefinisjoner - Mason et al. (1985) 4 elementer - Kaput & Blanton (2001) 5 elementer - Kieran (2004) 3 elementer 14

15 Hvorfor generalisering av mønster? Amit & Neria (2008, s. 128): «The importance of pattern problems linear, and particularly nonlinear ones lies in their extensive mathematical potential. They not only encourage generalization, they also require students to pool their existing knowledge resources and build upon them. Thus, they are a gateway to new knowledge, in this case, algebraic knowledge.» Whitehead (1947); Hardy (1940/1992); Devlin (1994, 2002) 15

16 Hva er et figurmønster? Et figurmønster: representert ved noen påfølgende geometriske konfigurasjoner oppstilt på linje, der utviklingen tenkes å fortsette i det uendelige En konfigurasjon refereres til som et element i mønsterfølgen, og bestanddelene i hvert element refereres til som komponenter. Algebraisk generalisering av et figurmønster: å finne et matematisk uttrykk for det generelle elementet i tallfølgen som er avbildet fra figurmønsteret. kontekst for å gjøre algebraiske uttrykk meningsfylte arbeide med uendelighet og invariante strukturer Svar på hvorfor 16

17 Analyse av mønsteret Funksjonstenkning Dekomposisjon Sammenheng mellom posisjon og antall kuler Hvordan ser de neste elementene ut? Element nr. 100? Et vilkårlig element? (Det n-te elementet, elementet på en ubestemt plass, elementet i posisjon n, elementet med rang n)? Aritmetisk representasjon: 2+1, 2+2, 2+3, 2+4, Algebraisk tenkning: antall kuler i en posisjon er lik 2 pluss posisjonen antall kuler 2 n kuler n 2 n f n 2 n k 2 n n n 17

18 En annen dekomposisjon Antall kuler i en posisjon er lik tre pluss én mindre enn posisjonen 3 n 1 f n I klasserommet: vise at de to algebraiske uttrykkene er ekvivalente Referansekontekst som gir mening til algebraiske symboler Symbolmanipulasjon som er meningsfylt samme mønster 18

19 Rekursiv relasjon k k 1, der k 3 n n 1 1 Tilbøyelighet til å se etter rekursive sammenhenger (Orton & Orton, 1996; Orton et al., 1999; Lannin et al., 2006; Stacey & MacGregor, 2001) Sammenheng mellom eksplisitte og rekursive relasjoner 19

20 Typiske oppgaver med figurmønster Hvor mange komponenter? 20

21 MØNSTERFØLGER TO TYPER (Måsøval, 2011) Vilkårlige mønstre INSTITUSJONALISERING relasjonen mellom det algebraiske uttrykket og dets referent Påstandsmønstre INSTITUSJONALISERING generell relasjon mellom tallfølger Formel Teorem for det n-te elementet matematisk setning om en generelt avbildet fra mønsteret numerisk sammenheng f n 2 2 n (funksjon) n k 1 (2k 1) n (likhet) generisk eksempel) 21

22 Med intensjon om ulike matematiske objekter Vilkårlige mønstre Funksjoner Påstandsmønstre Mathematiske setninger 22

23 Hva må studentene kunne? Vite kunnskapsmålet for elevene Hvorfor? ( Forbi læreplanen) Hvordan skape situasjoner der kunnskapen er nødvendig/kan utvikles/brukes? (epistemologiske modeller krever epistemologisk analyse) Hvilken interaksjon (hvem skal snakke med hvem etc.), med hvilke verktøy (fysiske og semiotiske)? Institusjonalisering 23

24 Hva sier forskningen? Elever og studenter i alle aldre synes algebra er vanskelig (eks., Bishop & Stump, 2000; Kieran, 1992; Lannin et al., 2006; Sfard, 1991; Stacey, 1989; Stacey & MacGregor, 2001) Generaliseringsoppgaver i algebra: Vanskeligheter i designet og selve undervisningen (eks., Lee, 1996; Moss & Beatty, 2006; Måsøval, 2011; 2013; Noss, Healy, & Hoyles, 1997; Stacey & MacGregor; 2001) 24

25 Referanser Amit, M., & Neria, D. (2008). Rising to the challenge : Using generalization in pattern problems to unearth the algebraic skills of talented pre-algebra students. ZDM The International Journal on Mathematics Education, 40, Ball, D. L., Thames, M. H., & Phelps, G. (2008). Content knowledge for teaching: What makes it special? Journal of Teacher Education, 59(5), Brousseau, G. (1997). The theory of didactical situations in mathematics: Didactique des mathématiques, (N. Balacheff, M. Cooper, R. Sutherland, & V. Warfield, Red. & Overs.). Dordrecht, Nederland: Kluwer. Chevallard, Y. (1992). Fundamental concepts in didactics: Perspectives provided by an anthropological approach. I R. Douady & A. Mercier (Red.), Research in didactique of mathematics: Selected Papers [Ekstra hefte av Recherches en Didactique des Mathématiques] (s ). Grenoble, Frankrike: La Pensée Sauvage. Chevallard, Y. (2012). Teaching mathematics in tomorrow s society: A case for an oncoming counterparadigm. Plenary lecture at The 12th International Congress on Mathematical Education (ICME 12), Seoul, Korea. 25

26 Devlin, K. (1994). Mathematics: The science of patterns. New York, NY: Scientific American Library. Devlin, K. (2002). The language of mathematics: Making the invisible visible. New York, NY: Freeman. Hardy, G. H. (1992). A mathematician s apology. Cambridge, UK: Cambridge University Press. (Originalt arbeid publisert i 1940) Kaput, J. J., & Blanton, M. (2001). Algebrafying the elementary mathematics experience. Part I: Transforming task structures. I H. Chick, K. Stacey, J. Vincent, & J. Vincent (Red.), Proceedings of the 12th ICMI Study Conference (Vol. 1, s ). Melbourne, Australia: The University of Melbourne. Kieran, C. (2004). The core of algebra: Reflections on its main activities. I K. Stacey, H. Chick, & M. Kendal (Red.), The future of the teaching and learning of algebra: The 12th ICMI Study (s ). Dordrecht, Nederland: Kluwer. Lannin, J. K., Barker, D. D., & Townsend, B. E. (2006). Recursive and explicit reasoning: How can we build student algebraic understanding? Journal of Mathematical Behavior, 25,

27 Mason, J., Graham, A., Pimm, D., & Gowar, N. (1985). Routes to / Roots of algebra. Milton Keynes, UK: The Open University Press. Moss, J., & Beatty, R. (2006). Knowledge building in mathematics: Supporting collaborative learning in pattern problems. Computer-Supported Collaborative Learning, 1, Måsøval, H. S. (2011). Factors constraining students appropriation of algebraic generality in shape patterns: A case study of didactical situations in mathematics at a university college. Doctoral dissertation at University of Agder (38), Kristiansand, Norway. Måsøval, H. S. (2013). Shortcomings in the milieu for algebraic generalisation arising from task design and vagueness in mathematical discourse. In C. Margolinas (Ed.), Task design in mathematics education. Proceedings of ICMI Study 22 (pp ). Oxford. Noss, R., Healy, L., & Hoyles, C. (1997). The construction of mathematical meanings: Connecting the visual with the symbolic. Educational Studies in Mathematics, 33,

28 Orton, A., & Orton, J. (1996). Making sense of children s patterning. In L. Puig & A. Gutiérrez (Eds.), Proceedings of the 20th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 4, pp ). València, Spain: PME. Orton, A., Orton, J., & Roper, T. (1999). Pictorial and practical contexts and the perception of pattern. In A. Orton (Ed.), Pattern in the teaching and learning of mathematics (pp ). London, UK: Cassel Wellington House. Shulman, L. S. (1986). Those who understand: Knowledge growth in teaching. Educational Researcher, 15(2), Shulman, L. S. (1987). Knowledge and teaching. Foundations of the new reform. Harvard Educational Review, 57(1), Whitehead, A. N. (1947). Essays in science and philosophy. New York, NY: Philosophical Library. 28

29 TAKK FOR OPPMERKSOMHETEN! 29