Eksamen UNIVERSITETETI AGDER. Emnekode: Fys 102. Emnenavn: Elektromagnetisme. Dato: 15. desember Varighet: 4 timer:

Transkript

1 UNIVERSITETETI AGDER Eksamen Emnekode: Emnenavn: Dato: Fys 10 Elektromagnetisme 15. desember 011 Varighet: 4 timer: Antall sider inkludert forside: 3 (oppgaven) + 15 (formelsamlingen) Tillatte hjelpemidler: Lommekalkulator Merknader: Alle regeneoppgavene teller likte mye

2 Oppgave1 + 5,00 ftc,00 cm 3,00 cm ,00 ILIC 5,00 gc Punktladingenei figurenoverer hjømenei en likebenettrekant.de to ladningene 5 00 p/c og kt.0 danner en dipol. Lengden av sidene i trekanten er gitt av figuren. Finn nettokraften (størrelse og retning) på dipolen som settes opp av ladningen R.c Finn kraftmomentet på dipolen (størrelse og retning) når omdreiningsaksen ligger midt på linjen mellom de to ladningene Finn potensialforskjellen mellom punktene A og B. Punktet A ligger på omdreiningsaksen (b). Punktet B ligger på linjen midt mellom de to negative ladningene. Punktet A ligger midt på "høyden i trekanten". Hvorstortarbeidutførerfeltkraftendersomenpunktladning( q = ) beveger seg fra A til B

3 3 Oppgave 1,00 1.0V,00 D 1, V 1,00 0 r 3,00 D,00 0 a b 1 i 1 I,00 D 1,00 D 8.0V Figuren viser tre batterier som er koplet sammen med fem ytre motstander. Batteriene ulik ems-verdi og lik indre motstand. Firm potesialforskjellen mellom punktene a og b i kretsen En kopperledning koples mellom a og b. Firm strømmen gjennom 1V - batteriet og potensialet i punkt c og d. Oppgave 3 En spole, en motstand og en spenningskilde er koplet i serie. Den indre resistansen i spolen er Rj, = 55nSpolens induktans er 1,1= H.Motstanden har resistansen R1 = 104- Generatorspenningen er v0 = 5.0.V. Spenningens frekvens er f = Tegn kretsen Finn kretsens fasevinkel og forklar hvorfor vi har en vinkel mellom generatorspenningen og strømmen i kretsen Finn strømmen i kretsen Tegn fasediagrammet for kretsen 3

4 1 Formelsamling Fys 10 Noen konstanter Massen av elektronet/posifionet: me.= kg Størrelsen på elektronets/protonets ladning: Konstanten i Coulombs lov qe:= k = k := N m 4-ix E0 C Permeabiliteten for vakum: - 7 Wb 47r-10 A.rn E0 = x 10-1 C Nm Noen prefikser p. := 10-6 Kap 1 Elektrisk ladning og elektrisk felt > Definisjonen av det elektriske feltet: -> Fo E = (10 > F0 Den fullstendige korrekte definisjonen på elektrisk felt: E = lim qo -> 0 c10 Couloms lov: Kraften mellom to punktladninger 1 (11.14 F = 4.7r E c E N m C > Det elektriske feltet i rommet rundt en punktladning, FO 1 retningengitt av enhetsvekroren: c10 4.7C-E0 r

5 Enhetsvektoren (posisjonsvektoren delt på sterrelen av posisjonvektoren): Det elektriske feltet i rommet rundt en punktladning, på kompleks form: r r, = = )cos(cx) i + sin(a)n 1 q E 4.7r E0 r Feltet når kilden er en ringladning: Fx = x Q 3 4 -so (x + a) Feltet når ladningen fordeler jevnt og a>>x Ex.7t Eo x Det elektriske feltet likeved en stor uniformt ladet skive: Kraftmomentet pr definisjon: -> rer posisjonsvektoren fta omdreiningspuktet til kraftens ( F) angrepspunkt Kraftmomentet for en elektrisk dipol: + + T =pxe Det elektr iske dipolmomentet + + p = q d Dipolens potensielle energi: + + ti = p-e Kap Gauss lov -> + Arealvektoren når arealets enhetsvektor er n A = n A Den elektriske fluksen når alle punktene på tlaten har samme feltstyrke og når areatvektoren danner en vinkel med feltvektoren. Den elektriske fluksen er skalarproduktet av feltvektoren og arealvektoren. Vinkelen 4) er vinkelen mellom de to vektorene 4)E= IEHAI cos(4))

6 3 Benyttes operatoren: skalarproduktet i MathCad, er den elektriske fluksen den reelle delen av den komplekse fluken. I formelen er E og A begge komplekse tall <DE= Re(E.A) Den elektrisk fluksen gjennom en flate er gitt av total ladning innenfor tlaten -> Qenel (DE E da - Feltet i rommet utenfor en kuleskall-ladning: 1 Q E = r Feltet inne i en metallkule der ladningen er uniform: E = 1 Qr 4.7r-so R3 Feltet nindt entynn sirkulær stang: E = tr-so r Feltet i rommet rundt en stor flat plate E.e0 Feltet i rommet utenfor en uniformt ladet kule: 1 Q E = 4.9-r EA v r Det elektriske feltet randt en lang rett lader leder: E X. 7C. eo r Kap 3 Elektrisk potensial > Forandringen i den potensielle energien når en konservativ kraft arbeider: du = -F.ds = -dw Når en konservativ kraft arbeider på en ladning: dw = -du dw = -q dv

7 4 Elektrisk potensiell energi for en ladning i et uniformt elektrisk felt (den konservative kraften utfører et negativt arbeid når den potensielle energien øker): b > Wab = F dl = Dy = q0 E.y = Når feket ikke er uniformt kan vi sette: q0-e-dy = du Når en konservativ kraft arbeider bevares energien (summen av den potensielle- ogden kinetiskeenergien) dk + du = 0 AK + = 0 (Kb Ka) + (Ub Ua) = 0 Ka Ua = Kb Elektrisk potensiell energi for to punktladninger (Den potensielle energien vil være positiv når de to ladningene positive eller begge er negative. Negativ potensiel Ienergi når de to ladningene har motsatt fortegn): 4.7r.E0 r Potensialet i et punkt er den potensielle energien for ladningen i punktet delt på ladningen: = qo PotensiaEct som en punktladning setter opp: 1 q V = zl-tr E0 r Potensialet som flere punktladninger setter opp (en sum av skalare størrelser): V = Potensialet som en ringsetter opp i et punkt på aksen (x) gjennom sentrum av ringen og normalt på ringens tlate. Ringcns radius er a: 4.7t.E0 Ix + a Potensialet når lederen er en kuleflate (r>r): V 1 q 4.7r. 0 r Potensialet når lederen er en kuleflate (r<r): V = I q E 4.7r E0 R R Forandring i det elektriske potensial i et > punkt gir clektrisk felt i punktet: dy = E.c11

8 5 Potensialet mellom to punkter på enfeltlinje: aat = b 3 EdI X Potensialet i en avstand r fra en Iinje med konstant ladningstetthet: Va Vb = In.7r-E0 rb \ ra Kap 4 Kapasitans og diele ktri kum Kapasitansen i en kondensator: c = Vba Det elekriske feltet mellom platene i en kondesator: Kapasitansen for en plate kondesator: ->-> Utledning: dy = -E di b I dv = (-E) dy Vb - Va = E d = E.d QQ A c = = Q= - Vab E'd cr 8 c) E0 E Potensialforskjell i et elektrisk felt: V ab = E-d Kapasitansen for en kulekondensator: ra'rb Va Vb rb ra Er avstanden mellom de to kuleflatene liten: rb - ra = d rarb=r 4.7r-r = A Kapasiteten for en kulekondensator er tilnærmet C = 4.7c-co = co- Iik kapas iteten for en platekondensator Kapasitansen pr. lengdeenhet for en syl inderkondensator: C (-1T.E0) rb ln \ ra)

9 6 Kapasitansen når vi seriekoplerto kondesatorer: 1 1 Ceq Cl Kapasitansen når vi parallellkoplerto kondesatorer: Ceq = + C Den potensielle energien som lagres i enkondesator: U = Q-V Den potensielle energitettheten iet elektrisk felt: u = I.so E Permitteivitetenfor et dielektrikum: E = K.Eo Kap 5 Strøm (DC), resistans og elektromotorisk kraft Definisjonen av elektrisk strøm: = dq dt Definisjonen av strømtettheten: Stromtetteheten(størrelsen) er avhengie av tettheten av de ledningselektronene(n), elektronets ladning og driftshastigheten Strømtetthetener en vektorstorrelse dq Iq I.dN q -(n.a.vd.dt) J == 1119I.vd dt.a A.dt dt-a > J = n q.vd Ohms lov (definisjon av resitiviteten): V = R 1 Relasjonenmellom resitivitet og resistans: R =

10 7 Resistansen for en leder som ikke følger Ohms lov: R(T) = Rofl + ot-(t - To)] Terminalspenning, elektromotorisk spenning(kraft) og indre resistans Vab = E - r.i Effekten som leveres til forbrukeren i kretsen (ytre og indre resistans : Energen som en spenningskilde leverer i lopet av tiden t: P = E 1 E = 511 Ved plusspolen i et bly batteri skjer Pb0, + 4H+ + SO4- -I e PbSO4 + H0 følgende utladning:: Ved minuspolen i et bly batteri skjer folgende utladning: Pb + SO4- - PbSO4 - e Ved plusspolen i et bly batteri skjer PbSO4 + H0 Pb0 + 4FFI + SO4- + e følgende oppladning:: Ved minuspolen i et bly batteri skjer følgende oppladning:: PbSO >Pb + SO4- Kap 6 Likestrømskretser 3 resitanser i serie: Req = R + R 3 resistanser i parallell: I II I = Req R I R R3 KirehholTs strømlov for et knutepunkt: Xl = 0 Kirehoffs spenningslov for en stromsloyfe: XV= 0 Oppladning av en kondesator: Ladningsfunksjonen: e R.0

11 8 Oppladning av en kondesator: Strømfunksjonen: i = 10 \e kc Tidskonstanten: T =R C Utladning av en konclesator: q = Qo R C >, i = 10 e R C Kap 7 Magnetfelt og magnetiske krefter Magnetisk krati på en ladning i bevegelse: -> -> F = q.v x B Gauss lov for den magnetiske fluksen gjennom en overflate: -> -> 4)B = B da = 0 Ladningen har en sirkelbevegelse (helix): F = lql -v.113= m Vinkelhastigheten for ladningen i den sirkulære banen: = v= ';r-f Cyclon-onfrekvensen: f = IqIB ' m.7c Kraften på en leder i et magnetfelt som fører størn. > -> -> df = Ld1 x B 4 -> Det magnetiske dipolmomentet for en strennsløyfe: = la Kraftmomentet eller dreiemomentet på en strømsløyfe: T = F.1X B

12 9 Stromsloyfens potensielle energi: U = -> Kap 8 Årsaken/kilden til magnetfeltet En ladning i bevegelse gir magnetfelt (m/enhetsvektor): -> > q v x r', r 4 -rr r r En ladning i bevegelse gir magnetfelt (m/posisjonsvektor): > > -> 110 cpv x r B = 4.1v r3 Det magnetiske feltetsom et stromelement genererer db - (Biot-Savarts lov): 4.7r ->\ ki.d1)x r Magnetfeltet rundt en rett strøm førende leder: B rr.a x. x + a Magnetfeltet rundt en rett strømførende leder (veldig lang leder, dvs a er stor): B - I TC r Kraften mellom to parallelle stromførende ledere: F " L ir.r Magnetfeltet på x-aksen for en sløyfe som fører strøm: B - [10.1a 3 ( x + a) Magnetfeltet på spoleaksen som fører strøm:.a

13 10 Amperes lov : Linjeintegralet av B-feltet lanas en lukket kurve: -> > B dl = Mgnetfeltet på utsiden (r>r) og innsiden (r<r) av en lang rett sylindrisk leder: Butsiden tto I -Tr.r Binnsiden.tr R Magnetfeltet inne i en solenoid: B - 17.r For et ferromagnetisk materialet har vi permeabiliteten: = Po'lcm Kap 9 Elektromagnetisk induksjon Den mapetiske fluksen: -> -> tfib B da = B cos(cp) da Faradays induksjonslov: E = d cl,b(t) dt Potensialforskj ellen mellom endepunktene for en rett leder som bevezer seg i et homogent magnetfelt: Vab = vb"l For en luket ledersloyfe som beveger seg i magnetfelt gjelder: gj. () 4 \ > = v x B) dl Forandringen av magnetfeltet er kilden til et elektrisk felt: --> > E dl d4)b dt For et sirkulært elektrisk felt har vi: -> > Ed1=-tr.r.E Det elektriske feltet som induseres når det homoeene feltet endrer seg: - 1 "}B -TC r dt

14 11 Maxwell generaliserer Amperes lov og innforer storrelsen han kaller forskyvningssfrom: > Bd = [.to.incl Forskyvningstrommen: Maxwells 4 likninger: ID s c14,d dt Gauss lov for E-feltet 3 Qenc E da EO Gauss lov for B-feltet -> -> B da = 0 Ampereslca, -> B dl = tto.[ic + E d(be dt encl Faradays lov 9 r clidb E d1 = clt Kap 30 Induktans Den gjensidige induktansen er konstant for de to spolene: N 1'11)B1 N4B M - 1 Indusert spenning i de to spolene: dij di E = dt dt Selvindusert spenning i en spole: di E = -L. dt Spolens induktans: L = NI tt B Energien i en spole når strømmen i spolen er I: U = Energitettheten (energi pr. volumenhet) i et magnetfelt som ligger i vakuurn:

15 1 Energitettheten (energi pr. volumenhet) i et magnetfelt 1.1 = 1-1 somligger i et materiale med magnetisk permeabilitet: Differensiallikningen for oppladning av en spole: E - R i L di. dt= o _ Stromvariasjonen i spolen ved "oppladninu": i = In \.1 e Strømvariasjonen i spolen ved "utladning": Svingelikningen for en LC-krets: dq + q = 0 L.0 dt Løsninuen av svingelikningen: q = Q.cos(w t) Svingningens vinkelfrekvens: LO= TIC Kap 31 Vekselstrøm (AC) Vekselstrømmen følger funksjonen: i = 1-cos(w t) w =.7r. f Spenningen over motstanden er i fase med strømmen: i en vekselstrømkrets vr VR cos(w t) Vekselstrømrnens (I ikerettet-reeiti fy-midde Iverdi) Irav = Tr.1 Vekselstrommens "root mean square": rms Spenningen over en spole uten resistans ligger 90 grader foran strømmen: vl = VL.cos(.Lo.t+ 71) Spenningen over en kondesator ligger 90 grader etter strømmen: ( TC\ V C = VCCOS LO't - ) Den induktive reaktans: XL = ts.).l

16 13 Den kapasitive reaktans: 1 Xc = w-c Impedansen i en L-R-C-krets (serie): Z =11 +L - XC) Ohms lov for vekselstrømmen Seriekretsens fasevinkel: VG Z 1 tan(ci)) w.l - 1 w.0 Strømmen i seriekretsen: i = Leos(wi) Generatorspenningen: v = V-cos(w + 4)) Den midlere effekten i en vekselstromkrets: P = V -1.eos(clå) rms rms Impedansen og fasevinkelen når seriekretsen er i resonans: Z = R cos(d)) = 1 Resonansfrekvensen (serie: L-R-C):.FT f =1.7r L C Vinkelfrekvensen: 1 For en ideell transformator gjelder likningene: V7 N V1 N1 V1-11 = V 1 Kap 3 Elektromagnetiske bølger Maxwells 4.1ov (Faradays lov) "Forandring i B-feltet gir E-felt: -> -d4)13 E di - dt For elektromagnetiske bølger i vakuum: E = e.b Maxwells 3.1ov (Amperes lov inkludert forskyvningsstrøm (Maxwell) "Forandring i E-felt gir B-felt: BdVt0s0 dt

17 14 For elektromagnetiske bølger i vakuurn: B = Eo kto e-e Bølgehastigheten i vakuum: c = 1 FoTI-Tto Bølgehastigheten i stoffer relativ v - permeabilitet(km)/permittivitet (K) forskjellig fra I: \IK-Eo-Km p.o Bølgelikningen for den elektromagnetiske bølgen: d d E( x ' t) = E(x, t) dx c dt -> Bølgefunksjonene for den elektromaunetiske bølgen: E(x,t) = j Emax cos(kx - w-t) -> B(x,t) = It-Bmax cos(kx - to t) Bølgetallet: k = -1-c X BoIgefarten: v = T Vinkelfrekvensen w = lov Energitettheten i vakuum for en elektromagnetisk bølge: u = so E Poyntingvektoren (energistrømmen eler effekten pr. S = E x B flateenhet): -> den totale energistrømmen (effekten) gjennom P = S da en overflate Strålingens intensitet: = Sav Emax'Bmax. jto

18 15 Strålngstrykket mot en flate dersom all strålingen blir absorbert: Prad = c Strålngstrykket mot en flate dersom all strålingen blir reflektert:.1 Prad = c E- og B-feltet for en stående elektromagnetisk bolge: Ey(x,t) =.Ernax.sin(kx).sin(w t) By(x,t) =.Bmax-cos(kx)-coses, Grunnfrekvensen: = = X L Frekvensene: fn = n f1