TDT Grunnleggende visuell databehandling

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "TDT4195 - Grunnleggende visuell databehandling"

Transkript

1 TDT Grunnleggende visuell databehandling Håkon Åmdal November Grafikk 1.1 Computer Graphics Å lage et rasterbilde fra en scene. Scene Computer Graphics Raster image Visualisering Bruke en visuell presentasjon av data for å øke forståelse. Data Set Visualization Model Modellering Teknikker for å representere grafiske objekter. Model Graphics Pipeline Image Image buffer 2-dimensjonalt array med W x H, hvor hver piksel har et gitt antall bits (for å representere en farge/intensitet). I minnet er disse lineære. Et dobbeltbuffer er at man har to buffre (fyller opp det ene, viser det andre) Color look up table Et ekstra nivå med indireksjon, der fargene er lagret i en tabell ved siden av, og image buffer inneholder index til denne tabellen Hardware Grafikkort har gjerne Z-buffer og lar seg programmere med shaders (vertex og fragment). 1

2 1.2 Rasterisering Konvertering av 2D-primitiver til diskrete pikselrepresentasjoner. I utgangspunktet er kompleksiteten for rasterisering O(P p) der P er antall primitiver og p er antall piksler Midtpunkt og nabolag 2

3 1.3 Rasteriseringsalogritmer for linjer Må dele opp i oktanter. Det er lett å konvertere fra én oktant til en annen Suboptimal I en suboptimal algoritme akkumulerer man feil med stigningstallet. For hver x-verdi man skriver får man en ny feil i y-retningen. Dersom denne feilen er større enn 0.5, legger man til én på y, og trekker én fra feilen. Gjelder i 1. kvadrant. while ( x<=xe ) { x +=1; e +=dy/ dx ; #dy/ dx = s i f ( e >= 0. 5 ) { y += 1 e = 1 } } Dette inneholder for mye flyttalsaritmetikk, så hvis man ganger alt som har med bestemmelsesverdier å gjøre med dx, får man bare heltall. while ( x<=xe ) { x +=1; e +=dy ; i f ( e >= f l o o r ( 0. 5 dx ) ) { y += 1 e = dx } } 3

4 Ved å sette e til -0.5*dx i starten, er det enklere å se om man skal hoppe, siden man bare trenger å sjekke om e >= Rasteriseringsalgoritmer for sirkler En sirkel har en 8-veis-symmetri. Hver enkelt piksel settes til alle permutasjoner av [x, -x] og [y, -y]. Beskrevt algoritme tar utgangspunkt i oktant 2 og dekrementerer y. Bruk en sirkelfunksjon med sentrum i (0, 0.5) (vet ikke hvorfor): c(x, y) = x 2 + (y 0.5) 2 r 2 = 0 (1) Vi begynner på toppen av sirkelen og går med klokken. Siden x=0 her og vi har en radius på r, får vi da en startfeil: c(0, r) = (r 0.5) 2 r 2 = 0.25 r r (2) Vi fjerner 0.25 siden vi ønsker å operere med heltall. Vi bruker endelige differanser for endring i x og y, henholdsvis c(x + 1, y) c(x, y) = 2x + 1 (3) c(x, y + 1) c(x, y) = 2y + 2 (4) Dette er de to potensielle stegene vi kan få i algoritmen. x=0; y=r ; e= r ; while ( x <= y ) { s e t 8 p i x e l s ( x, y, c ) ; e += 2 x + 1 ; #f r e m o v e r d i f f e r a n s e n t i l x x += 1 ; i f ( e >= 0) { e = 2 y + 2 ; #f r e m o v e r d i f f e r a n s e n t i l y y = 1 ; } } 1.5 Point in polygon Parity test: Hvor mange kanter krysser jeg? Winding test: Følg kanten og snurr rundt. Odde er innefor, par er utenfor. For konvekse polygoner: Sett samme retning på alle kanter, sett inn punktkoordinatene i alle linjelikningene og sjekk om alle har samme tegn. 4

5 1.6 Polygon rasterization Enklest Regn ut I(x, y), alle punkter der scanline og kanter i polygonet krysser. Sorter etter (y, x), lag spans mellom pikslene i mellom. Her forekommer det noen problemer med noder som havner på skannelinjene. Løsning: Lukk linjer ved y min og åpne de ved y max. Ignorer horisontale kanter Scanline Polygon Rasterization ALgorithm Please, kan noen forklare meg denne? 5

6 1.6.3 Triangle rasterization Enkleste: Ta bounding box og bruk point in polygon test på alle piksler i denne boundingboksen. Point in polygon er enkelt med en trekant (konveks), bare sjekk om alle linjer har samme fortegn. Vanskeligere: Edge walking. Bruk Bresenham per linje. Synkroniser algoritmene slik at de får samme y- eller x-verdier Area Filling Man kan brke en rekursiv floodfill-algoritme som fyller ut farge fra et seedingpunkt. 1.7 Anti-aliasing Dette skjer fordi piksler ikke er matematiske punkter men små arealer. Uønskede effekter: Jagged appearance of object silhouettes Improperly rasterized small objects incorrectly rasterized detail Pre-filtering Dette består av å få ut høye frekvenser før sampling, og regne ut totalt bidrag Catmull s algorithm Klipp i hver piksel, og regn på hvor mye areal fra hver polygon som er synlig. Juster farge deretter Anti-aliased Line Rasterization En linje som spenner over to piksler ønsker: Topp-piksel har farge proposjonalt med A2. Bunnpikser har farge proposjonalt med 1-A1. 6

7 1.7.2 Post-filtering Virutelt bilde. feks. nidoble antall piksler, regne ut snittet av 3x3-ruter og legge dette i én piksel. Dette blir bedre om man bruker konvolusjonsfiltre (mer vekt på piksler i sentrum). Adaptiv: Bedre sampling ved høye frekvenser. Stokastisk: Lage støy av anti-aliasing. 1.8 Clipping Cohen-Sutherland Dette er en algoritme for å klippe linjer slik at de passer inn i et vindu. For hvert endepunkt i linjene du klipper, definér fire bits: 1. y>y max? 1 : 0 2. y<y min? 1 : 0 3. x>x max? 1 : 0 4. x<x min? 1 : 0 7

8 Triviell aksept To endepunkter er fullstendig på innsiden dersom: c 1 c 2 = Triviell forkastning To endepunkter er fullstendig på utsiden dersom: c 1 c Alle andre linjer klippes i to og behandles rekursivt til alle er helt inni eller utenfor Skala Legger på et ekstra bit ekstra informasjon per vertex når den klipper. Den ekstra bitten er 1 dersom fortegnet til linjen den klippes med er positiv. Den kan regne seg frem til hva som er på innsiden og hva som er på utsiden ved å gjøre en enkel sjekk. 1.9 Liang-Barsky Gjør om linjene til parameteriserte former. Merk at dette alltid på være tilfelle: Dette fører til: x min x 1 + t x x max (5) y min y 1 + t y y max (6) t x x 1 x min (7) t x x max x 1 (8) t x y 1 y min (9) t x y max y 1 (10) Ut ifra dette kan vi få punktsett (p i, q i ) fordi alle er på formen tp i q i. (p 1, q 1 ) = ( x, x 1 x min ) (11) (p 2, q 2 ) = ( x, x max x 1 ) (12) (p 3, q 3 ) = ( y, y 1 y min ) (13) (p 4, q 4 ) = ( y, y max y 1 ) (14) Hver av disse tuplene brukes på henholdsvis venstre, høyre, nedre og øvre kant av klipperammen. For å regne ut hvor linjen går inn, tar man maks av alle qi p i der p i er mindre enn null. t in kan heller ikke være mindre enn null. For å regne ut t out tar man minste verdi av qi p i der p i er større enn null. t out kan heller ikke være større enn 1. t in = max({ q i p i p i < 0, i : 1..4} {0}) (15) 8

9 t out = min({ q i p i p i > 0, i : 1..4} {1}) (16) Hvis t out t in bruker man disse verdiene for å få nye start- og stoppunkter. Hvis ikke, er linjen utenfor Sutherland-Hodgman Klipping av polygon i et annet konveks polygon. Denne algoritmen har m steg som tilsvarer m kanter i klippepolygonet. Klipp polygonet for hver kant. Når man klipper en linje med en linje, kan man få forskjellige outputs. Se svart piksel: Kompleksitet på SH er O(mn) der m er antall noder av klippepolygonet og n er antall noder av subjektpolygonet Greiner-Hornmann Støtter både clipping polygons og subject polygons 1. Gå igjennom polygon S, og skru en bryter av og på når du kommer inn i C (bruk winding number). 9

10 2. Gjør det samme med C med hensyn på S. 3. Unionen av linjene som er tegnet opp er resultatet ditt Enkelt å regne ut C S ved å endre starttilstand på av og på -bryterne Litt smått om koordinatsystemer og transformasjoner Gå fra object coordinates World coordinates eye coordinates Vi bruker høyrehånds koordinatsystemer. En transformasjon er en mapping til og fra masse sett (f.eks. E 3 til E 3 ) Affine transformation Affine transformasjoner tar vare på affine kombinasjoner. En kombinasjon av punkter er affin dersom: n p = a i p i (17) og i=0 n a i = 1 (18) i=0 En transformasjon er affin dersom den bevarer affine kombinasjoner, ergo: Φ( p) = n a i Φ( p i ) (19) i=0 Konsekvenser av dette er at man bare trenger å regne ut ekstremitetene av polygoner. 10

11 1.12 Homogene koordinater Vi trenger dette, fordi forflytting av et punkt ikke kan uttrykkes som en lineær kombinasjon av x og y i et punkt. Vi innfører derfor en ekstra dimensjon, w som ikke kan være w = 0. Når man bruker homogene koordinater unngår man også fixed point, altså at en transformasjon på et punkt i origo alltid vil resultere i et nytt punkt i origo Transformasjon i 3D Translation T ( d) = d x d y d z (20) T 1 ( d) = T ( d) (21) Scaling S(s x, s y, s z ) = s x s y s z (22) S 1 (s x, s y, s z ) = S( 1 s x, 1 s y, 1 s z ) (23) Rotation R x (θ) = R y (θ) = R z (θ) = cos(θ) sin(θ) 0 0 sin(θ) cos(θ) cos(θ) 0 sin(θ) sin(θ = 0 cos(θ) cos(θ) sin(θ) 0 0 sin(θ) cos(θ) (24) (25) (26) Likning 27 gjelder alle rotasjonsmatriser. R 1 (θ) = R( θ) (27) 11

12 Shear SH xy (a, b) = SH xz (a, b) = 1 0 a b a b (28) (29) SH yz (a, b) = a b For XY-shear blir x addert med a*z, og y addert med b*z. (30) Change of basis Hvis du har tre ortonormale vektorer (alle står vinkelrett på hverandre, er enhetsvektorer (lengde=1), kan du endre fra gjeldende koordinatsystem til dette koordinatsystemet. Husk at begge systemene må ha samme retning (høyreeller venstrehånd). i = [a, b, c] j = [d, e, f] k = [p, q, r] M BASIS = a b c 0 d e f 0 p q r a d p 0 M 1 BASIS = M T BASIS = b e q 0 c f r (31) (32) 1.14 Projeksjoner og sånn Vi tar koordinatsystemet gjennom: World Cordinate system Eye coordinate system Canonical screen system. 12

13 WCS to ECS Brukeren bestemmer her hva han vil se av verden, og gjør operasjoner som culling enklere ECS til CSS Ta alle objekter som har overlevd inn i en kube (-1,-1,-1) til (1,1,1). Behold høy flyttalspresisjon. Herifra kan objektene lett taes opp på skjermer Projeksjon Å ta noe fra 3D til 2D. To typer: Perspective: Distansen mellom center of projection og projeksjonsplan er endelig. Parallell: uendelig Distansen mellom center of projection og projeksjonsplan er Projeksjonsmappinger er ikke affine Perspective projection P P ER = (33) gjelder hvis planet står langs Z-aksen. d d d (33) Ortografisk projeksjon P ORT HO = (34) (34) fjerner effektivt z-koordinaten (punktene blir med andre ord projisert ned på xy-planet) Oblique Projection I stedet for å sende alle punkter ned med en vektor som står normalt på xy-planet (z-aksen), kan man sende dem med en retning DOP (Direction of projection). Vi får da: P = P + λdop (35) 13

14 Siden P z = 0, får vi at λ = DOP z. Av dette følger: z P OBLIQUE ( DOP ) = 1 0 DOPx DOP z DOPy DOP z (36) Projeksjon ned på en hvilken som helst flate P = c c c 0 n x n y n z 0 Her er c = n x x 0 +n y y 0 +n z z 0. Utgangspunktet i utregningen er at 1.15 WCS til ECS (37) OP = aop. Nok informasjon for å definere ECS er ( E, up, g) der E er origo, up er retningen opp, g er synsretningen. Vi ønsker å ha det inn i følgende koordinatsystem: x e er den horisontale aksen og øker til høyre. y e er den vertikale aksen og øker oppover. z e peker mot observatøren. Regnes ut slik (lett å se for seg hvis man tegner det): z e = g (38) x e = up z e (39) y e = z e x e (40) Forflytt med E. Gjør alle disse vektorene om til enhetsvektorer og endre basis med matrise (31) ECS til CSS Ortografisk Tanken bak dette er at du har et paralellepiped som er definert med koordinatene (l,b,n) (left, bottom, near) og (r,t,f) (right, top, far). Dette skal mappes inn i (-1, -1, -1), (1, 1, 1). 1. Flytt boksen din slik at midtpunktet er i origo med (20): T ( r+l 2, t+b 2, n+f 2 ) 2. Skalér slik at det får størrelse 2 med (22): S( 2 r l, 2 t b, 2 f n ) 14

15 Perspektiv Alt blir værre når det er snakk om perspektiv, men alt vi ønsker er å gjøre frustumet ( pyramiden ) vår om til en parallelepiped slik at vi kan bruke ortografisk transformasjon fra ECS til CSS. Se bilde: Som man ser, kan vi ikke kvitte oss med z-koordinaten som i (33). Et slikt view blir definert med θ, z e = n, z e = f og aspect. 15

16 Regner ut: t = n tan( θ 2 ) (41) b = t (42) r = t aspect (43) l = r (44) Vår nye z-koordinat blir: z s = A + B z e. Siden vi vet at z e = n må mappes 16

17 til z s = n og z e = f må mappes til z s = f, får vi følgende matrise: P V T = n n n + f nf (45) Nå er det bare å fortsette med CSS-konverteringen som i Husk at matrisen kun gjelder hvis pyramiden ligger langs z-aksen, så du trenger ikke å forflytte boksen i x- og y-retning Frustum culling Etter at vi har kommet i CSS, er det lett å sjekke om punkter er innenfor. Sørg for: w x, y, z w (46) Hvorfor klippe i 3D og ikke i 2D? I vanlig perspektivprojeksjon vil objekter på baksiden av E bli opp-ned (vi mister informasjon om klipping). Unngår potensielt perspektiv-deling på null. Blir lettere å allokere dybdebuffer, når vi vet at alle z-verdiene er mellom -1 og What happens next? CSS flyttes til viewport coordinate system med først en skalering, så en forflytning Hidden Surface Elimination To måter. O(P 2 ): f o r each p r i m i t i v e { f i n d v i s i b l e part render v i s i b l e part } O(P p): f o r each p i x e l { f i n d c l o s e s t primitve render p i x e l with c o l o r o f c l o s e s t primitve } Dette er tunge operasjoner. Mye kan fjernes. 17

18 Fjerne baksidepolygoner (back-face culling) Fjerne elementer som er helt på utsiden av frustum (frustum culling) Siden dette har kjøretid på enten O(P ) eller O(P v) (v er average number of vertices per primitive), ser vi at flaskehalsen er HSE-algoritmene Back-face culling Enkel operasjon. Hvis g er syssretningen og n er normalvektoren til et polygon, elliner alle som står mindre enn 90 grader på synsretningen Frustum culling g n > 0 (47) Som beskrevet i likning (46). Siden punkter ikke har konstant w, må denne interpoleres med Ulikhetene må også skrives om: (1 t)w 1 + tw 2 (48) ((1 t)w 1 + tw 2 ) (1 t)x 1 + tx 2 (1 t)w 1 + tw 2 (49) d clipping ((1 t)w 1 + tw 2 ) (1 t)y 1 + ty 2 (1 t)w 1 + tw 2 (50) ((1 t)w 1 + tw 2 ) (1 t)z 1 + tz 2 (1 t)w 1 + tw 2 (51) Algoritmene beskrevet i 1.8 kan utvides til 3D. For Cohen-Sutherland, utvid med to ekstra bits for z-verdier. Triviell aksept og triviell forkastning vil fortsatt fungere Z-buffer algorithm Veldig enkel algoritme. Grafikkort har, sammen med sitt display-buffer, tilknyttet et z-buffer med 1:1-korresponsdanse mellom piksler. 1. Initier z-bufferet med verdien til far clipping plane. 2. For hver piksel som skal tegnes, sjekk z-bufferet. Hvis z-verdien i bufferet er større enn pikselen som skal tegnes, oppdater både display- og z-buffer. Siden det er strevsomt å regne ut ny z-verdi for hver x- og y-verdi, tar man i bruk fremoverdifferanser. F (x, y) = z = d c a c x b c y (52) 18

19 Utledet fra den implisitte likningen for et plan. Fremoverdifferansen for x blir da F (x + 1, y) F (x, y) = a (53) c Dette gjør det lettere å regne ut z, trenger bare én addisjon per steg. I praksis blir z-verdi interpolert ut ifra z-verdier på kantene til et polygon. Komplkisiteten til algoritmen en O(P s) hvor s er gjennomsnittlig antall piksler dekket av et polygon. Dette er en veldig enkel algoritme, men den sliter med transparente objekter Bounding volumes Mange komplekse polygoner kan gjøre det dyrt med beregninger av linjekrysninger. Man kan da bruke bounding boxes, selv om de kan gi falsk alarm på grunn av void space. Men du kan vite at de går klar av hverandre hvis boundingboksene går klar av hverandre. Man vil ha minst mulig void space. Mulige løsninger: Lage parallelpiped som bounding box. Orienterte parallelepipeds. Hiearkiske bounding-bokser. Progressive hulls. Polygoner som er enkle, som blir vanskeligere jo større oppløsning man trenger. Man kommer til slutt til de faktiske polygonene og kan da beslutte Space subdivision Deles opp i celler. Der scenene er enkle, er cellene store, men blir mindre ved behov. Minste størrelse er en voxel Illuminering En illumineringsmodell belyser punkt p og tar høyde for mye: Direction of light Directon of observation Surface normal Materialegenskaper mye mer... Dette skjer etter at objektene har fått teksturer. Lyset i som beregnes skalerer fargevektoren. Forskjell på illumination model og illumination algorithm. Sistnevnte implementerer en modell i en effektiv algoritme. 19

20 1.24 Phong Illumination Model Denne modellen gjør om innkommende lys med styrke og vinkel (Θ i, φ i ) til utgående lys (Θ i, φ i ) for et punkt p. Tar ikke høyde for lys som er reflektert fra andre kilder. Fire komponenter: Emmision Ambient reflection Diffuse reflection Specular reflection Emmision I e For objekter som er selvlysende Ambient I g Gjør slik at en overflate uten direkte lys synes likevel. Hele scenen har I a, konstant ambient light, som gjør: k a er da ambient reflectance coefficient. I g = I a k a (54) Diffuse I d Lys som blir spredt i alle retninger, proposjonalt med vinkelen lyset treffer punktet på. I d = I i k d cosθ = I i k d ( n l) (55) Her er θ vinkelen mellom normalvektoren til pikselen og retningen på lyset. Disse må være enhetsvektorer for at (55) skal stemme. Det er også mulig å ha forskjellige k d for ulike bølgelengder, altså ulike fargeverdier Specular I s Her er det sammenheng mellom vektoren fra lyset til punktet og fra kamera til punktet. I s = I i k s cos n α = I i k s (ˆr ˆv) n (56) Her er ˆr vektoren som reflekteres av punktet for lyskilden. Vi ser at i jo større grad kameraretningen ˆv samsvarer med ˆr, jo kraftigere lys. For at lyset skal avta fortere, og vi får mer shinyness, legger vi på en eksponent n. Jo høyere n, jo mindre spredning, og mer shininess. Specular reflection tar fargen til lyskilden, ikke til objektet selv. 20

21 Sammenheng mellom diffuse og specular Specular og diffuse henger tett sammen. Koeffisientene henger tett sammen: 0 kd, ks 1, kd + ks 1 (57) Diffuse tilsvarer matte overflater, specular glatte overflater Distance factor En tilnærming til avtagende lys, der lyset blir svakere jo lenger unna du er. En modell med tre konstanter ser ut som dette: f(d) = 1 c 1 + c 2 d + c 3 d 2 (58) Funksjonen multipliseres med specular- og diffuse-leddene i Fargeavhengighet Man kan forskjellige koeffesienter for R, G og B. Dette gjelder ikke specular lightning, da dette skal simulere en hvit lyskilde Vektorer brukt i Phong Vi trenger følgende vektorer for å beregne lysverdier: n l n r eller h Normalvektor Normalvektoren til en implisitt overflate er gradienten til overflaten. n = f(x, y, z) (59) For likningen for et plan forenkles dette til: For en parametrisk variant har vi følgende: n = [a, b, c] T (60) Normalvektoren blir da x = f x (u, v) y = f y (u, v) z = f z (u, v) n = f u f v (61) (62) 21

22 Ofte vet vi bare nodene, ikke likningene. Bruk ordinært kryssprodukt for tre noder. Dersom man har flere noder som ikke er i plan, må man approksimere normalvektoren. Dette kan man gjøre ved hjelp av gjennomsnitt eller en metode som heter Martin-Newell s teknikk Martin-Newell s teknikk n i=1 n = (y i y i 1 )(z i + z i 1 ) n i=1 (z i z i 1 )(x i + x i 1 ) (63) n i=1 (x i x i 1 )(y i + y i 1 ) Nodenormaler Kan være greit å ha normaler per node, og ikke bare for overflatene (hvis man skal runde av kantene. Her kan man ta snittet av normalvektorene til polygonene som inneholder den gitte noden. Man kan også vekte normalvektorene, der de større bidrar mer. En siste metode er å la vinkelen bestemme hvor mye normalvektoren skal telle. Jo større vinkel, jo mer bidrag Refleksjonsvektorer Refleksjonsvektoren regnes ut som dette: r = 2 r 1 ˆl = 2ˆn(ˆn ˆl) ˆl (64) 22

23 1.25 Illumination algorithms Algoritmene bruker en illuminasjonsmodell og gjennomfører utregningene Constant shading Ingen specular reflection Lys- og kamera er plassert samme sted, og uendelig langt borte. ˆn ˆl er konstant for hvert polygon Gouraud Shading Regner ut intensiteter per node. Interpolerer kantene med lineær sammenheng mellom lystyrkene på hver side. Interpolerer hver scanline med verdiene regnet ut på kantene i punktet ovenfor Phong Shading Regner ut en ny lysstyrke for hver piksel Regner i stedet ut normalvektorene med interpolasjon (som beskrevet i Gouraud Shading) 1.26 Grayscale For å representere akromatisk lys (gråtone), er lineære intensiteter en dårlig idé, siden øyet vårt ikke fungere på den måten. Vi opererer heller med ratioer mellom påfølgene lysverdier. Φ 1 = λ Φ 0 Φ 2 = λ Φ 1 = λ 2 Φ 0... Φ n 1 = λ n 1 Φ 0 = 1 (65) 1.27 Gamma Correction Skjermer har et ikke-lineært forhold mellom input- og output-verdier. Gammacorrection er å justere input-verdiene slik at vi får et lineært forhold: input = input 1 γ (66) 23

24 1.28 Color model En mdell for å kunne gjøre følgende med farger: Beskrive Sammenligne Klassifisere Sortere Vi har både deviceavhengige og deviceuavhengige modeller. I en deviceuavhnegig modell vil en fargekoordinat representere en unik farge, og er nyttig for å konvertere mellom deviceavhengige modeller Perceptual linearity Forskjellen mellom to farger er propesjonal med forskjellen i fargeverdiene i fargemodellen CIE XYZ Color Model Beskriver faktiske farger med bølgelengder. X,Z inneholder informasjon om farge, mens Y inneholder lysstyrke RGB Color Model Additiv modell som begynner med svart og ender i hvit. Den er god på grunn av sin additive natur og at RGB er synlige farger, ikke teoretiske kvantiteter. Ikke perceptually linear, det er vanskelig å finne opp en hvilken som helst farge. 24

25 RGB Cube Enhetskube med alle farger i RGB-modellen. chromaticity, lengde er intensitet. Retning på vektor bestemmer RGB Triangle Du kan mappe alle farger i en triangel med hjørner (1,0,0), (0,1,0) og (0,0,1), eneste du mister er intensitet. Ved å bruke denne triangelen kan vi få nye begreper: Hue. Den dominerende bølgelengden. Saturation. Hvor mye vitt som er i en farge HSV Color model Deler opp i Hue, Saturation og Intensity i en kjegle Hue er et fargehjul, hvor vinkelen bestemmer farge. Jo lenger ut på kantene du kommer til hjulet, jo høyere saturation. Høyest intensitet på bunnen av kjeglen, lavest på toppen (spissen) 1.32 CMY Color model Invers av RGB. Er substraktiv, bra for printere (som begynner på hvit og gjør ting mørkere). CMYK legger på en svart komponent, for bedre sortkvalitet på skrivere High Dynamic Range Dynamisk rekkevide til et bilde er ratioen fra høyeste til laveste intensitetsverdi. Et vanlig RGB-bilde har en dynamisk rekkevidde på 90:1, øyet har på :1. Et vanlig RGB-bilde gjør en god jobb med å vise hva en monitor kan, men ikke hva et øye kan. For å lage HDR-bilder kan man for eksempel ta flere bilder med ulik eksponeringstid og sette sammen. 2 Bildebehandling Gir en verktøykasse for analyse av et bilde. Du kan dele opp i tre nivåer: High-level. Computer vision. Mid-level. Image understanding, segmentering. Low-level. Noise reduction og andre ting som får bildet bedre for prosessering. 25

26 2.1 Typical Image Processing Steps Dette har vært spørsmål på flere eksamenssett Image acquisition Få inn et digitalt bilde. Recording. Sampling. Skalering Image Enchancement Subjektiv prosess for å få bildet til å se bedre ut. Målet er å gjøre bildet passende for det det skal brukes til Image Restoration Målet er å bruke matematiske modeller for å gjøre bildet bedre (feks fjerne støy) Morphological Processing Hente ut bildekomponenter, gjerne lage binære bilder Segmentation Partisjonere bildet inn i meningsfulle biter, gjerne forgrunn/bakgrunn Representation and description Ta ut attributter for å skille objekter fra hverandre Object Recognition Finne ut hva et objekt er (er det en bil?) 2.2 Menneskeøyet Består av to forskjellige receptor classes, cones (6-7 millioner, fargesyn, hver har sin nervetråd) og rods ( millioner, sensitive for lavt lys, flere kan være knyttet til en enkelt nervetråd) 26

27 Den blinde flekken er en nervetråd som kommer ut (feil fra evolusjonen) som gjør at det ikke er noen cones eller rods på et lite område. 2.3 Sampling Gjøre om fra analogt til digitalt. De sier at sampling: discretization of a signal (spatial or temporal) og quantization: assign a discrete intensity value to the signal. Med andre ord; sampling er å skanne med diskrete koordinater (tid og rom), quantization er å gjøre om disse samplene til diskrete verdier. Nyquist-Shannon sampling theorem sier at: f s > 2f max (67) Samplefrekvensen må minst være dobbelt så stor som den høyeste frekvensen man finner i bildet. Vi foretrekker blur foran aliasing-effekter, så kjør over med et lavpassfilter før man skalerer ned et bilde. 2.4 Image Sensing and Acquisition Et kamera har en matrise med sensorer. For å få farger på disse, legger man på fargefiltre over hver sensor, gjerne to grønne per blå og rød, siden øyet vårt er mer sensitivt for grønn-farger. Vi kan gå fra RGB til grayscale med denne formelen: luminance = 0.30R G B (68) 2.5 Naboskap De to vanligste formene for naboskap er 4-nabo (kryss) eller 8-nabo (3x3-kvadrat med ramme). Vi har også avstandsfunksjoner: City block: D 4 (p, q) = x p x q + y p y q (69) 27

28 Chess-board: Euclidian: D 8 (p, q) = max( x p x q, y p y q ) (70) D E (p, q) = x p x q 2 + y p y q 2 (71) 2.6 Spatial image enhancement En operasjon i spatial domain blir uttrykt på følgende måte: g(x, y) = T [f(x, y)] (72) der f(x, y) er input image og T er en operasjon definert på nabolaget til (x, y). Hvis nabolaget bare består av en piksel, snakker vi om en intensity transformation eller en point processing operation: q = T (p) (73) Dette brukes til kontrastmanipulering og image thresholding. 2.7 Negativt bilde T (p) = 255 p (74) 2.8 Logarithmic Transform q = T (p) = c log(1 + p) (75) Denne kan komprimere den dynamiske rekkevidden til et bilde. 2.9 Gamma Transformations Veldig allsidig transformasjon for å utvide enten mørke eller lyse områder i et bilde. q = cp γ, c > 0, γ > 0 (76) γ < 1 Utvider lave intensiteter, γ > 1 utvider høye intensiteter. Kan hjelpe til å vise bilder bedre på skjermer ved å gamma-justere bildene før visning Histogrammet til et bilde Et histogram til et bilde gir informasjon om spredningen av intensitetsverdiene. En funksjon h(k) teller antall piksler med verdi k. h(k) = δ(i ij k) (77) (ij) Ω der δ er 1 dersom x = 0. man kan normalisere et histogram ved å dividere på antall piksler: p(k) = h(k) (78) MN 28

29 Mean and Variance Vi kan bruke histogrammet til å regne ut forventningsverdi og varians dersom vi allerede har et normalisert histogram, p(k). L 1 m = kp(k) (79) k=0 L 1 σ 2 = (k m) 2 p(k) (80) k= Histogram Equalization Vi ønsker oss en intensity transform-funksjon som sprer ut histogrammet vårt. Det viser seg at en skalert versjon av den kumulative intensitetsdistribusjonen gjør nytten. 1. Regn ut den kumulative fordelingen av grå-verdier. Siste verdi her skal tilsvare antall piksler i bildet (NM). 2. Normaliser, altså divider med antall piksler i bildet (NM). 3. Multipliser med antall gråverdier du har i bildet, og rund disse verdiene av til nærmeste heltall. 4. Siste rad (i punktet ovenfor) utgjør nå en mapping fra gamle til nye gråverdier Histogram Equalization med farger Hvis man kjører HE-algoritmen på fargene enkeltvis, vil fargene bli forskjøvet. En vanlig metode er å kjøre en kombinert HE på intensitet og saturation i HSI-fargemodellen 2.12 Støytyper Normal (Gaussian) noise. Vanlig type støy, hvor støyen per piksel er uavhengig av intensiteten på signalet. Uniform noise. Likt fordelt utover et gitt intervall [a,m] Salt-and-pepper noise. Svarte og hvite piksler, kan forekomme av overføringsfeil og lignende. Annet: Exponential, poisson, speckle noise, ayleight, gamma... 29

30 2.13 Bit plane slicing Høyere bits er mer viktige enn lavere bits Neighborhood Processing Beskrevet flott slik: 1. Definér et senterpunkt. 2. Gjør en operasjon på pikslene i nabolaget. 3. La responsen herifra bestemme verdien på valgt senterpiksel. 4. Rinse repeat på resten av pikslene i bildet. De fleste filtre er av odde størrelse, slik at naboene blir vektlagt likt Lineære filtre Dersom et filter representerer en lineær kombinasjon av intensitetene til nabolaget kan det kalles lineært. g i,j = 2.15 Average/box filter a s= a t= b b w s,t x x+s,j+t (81) Normalisert matrise med like elementer og summen er 1.0. Følge av at summen er 1.0, er at gjennomsnittlig gråverdi ikke er endret. 30

31 2.16 Korrelasjon og konvolusjon Korrelasjon: Konvolusjon: g i,j = g i,j = a s= a t= b a s= a t= b b w s,t x x+s,j+t (82) b w s,t x x s,j t (83) Sistnevnte ble introdusert for å la en enhetsrespons bli lik filteret. For å utføre en konvolusjon, må du snu masken 180 grader. Hvis filteret er symmetrisk er korrelasjon og konvolusjon det samme. Konvolusjon er lineært Padding Padding skjer når man ønsker å utvide kantene på et bilde (for eksempel hvis man skal kjøre et spatial filter). Vi har fire typer: Zero/Constant padding. Fyll inn resten av bildet med null eller gjennomsnittlig farge/gråverdi. Symmetric/Reflection padding. Reflekter kanten. Symmetrisk gjentar du alle pikslene i motsatt rekkefølge ( ), med reflection hopper du over første piksel ( ). Replicate padding. Kopiér pikselen som var på kanten. Circular padding. Gjenta bildet Smoothing Man kan smoothe med både lineære og ikke-lineære filtre. Et eksempel er Average/box filter. Man kan også bruke vektet gjennomsnittsverdi: (84) Et godt ikke-lineært filter for salt-and-pepper noise er median filtering, der man finner medianen til nabolaget Derivasjonsfiltre Et godt filter for den deriverte er [ 1 er [ ]. 1 ]. Et godt filter for den andrederiverte 31

Universitetet i Agder Fakultet for teknologi og realfag LØSNINGSFORSLAG. Dato: 11. desember 2008 Varighet: 0900-1300. Antall sider inkl.

Universitetet i Agder Fakultet for teknologi og realfag LØSNINGSFORSLAG. Dato: 11. desember 2008 Varighet: 0900-1300. Antall sider inkl. Universitetet i Agder Fakultet for teknologi og realfag LØSNINGSFORSLAG Emnekode: Emnenavn: DAT2 Grafisk Databehandling Dato:. desember 28 Varighet: 9 - Antall sider inkl. forside 7 OPPGAVE. (2%) a) b)

Detaljer

Morfologiske operasjoner på binære bilder

Morfologiske operasjoner på binære bilder Digital bildebehandling Forelesning 13 Morfologiske operasjoner på binære bilder Andreas Kleppe Repetisjon av grunnleggende mengdeteori Fundamentale operatorer Sammensatte operatorer Eksempler på anvendelser

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i : INF2310 Digital bildebehandling Eksamensdag : Onsdag 4. juni 2008 Tid for eksamen : 14:30 17:30 (3 timer) Oppgavesettet er på

Detaljer

RF5100 Lineær algebra Leksjon 10

RF5100 Lineær algebra Leksjon 10 RF5100 Lineær algebra Leksjon 10 Lars Sydnes, NITH 11. november 2013 I. LITT OM LYS OG FARGER GRUNNLEGGENDE FORUTSETNINGER Vi ser objekter fordi de reflekterer lys. Lys kan betraktes som bølger / forstyrrelser

Detaljer

EKSAMEN I EMNE TDT4195 BILDETEKNIKK ONSDAG 3. JUNI 2009 KL. 09.00 13.00

EKSAMEN I EMNE TDT4195 BILDETEKNIKK ONSDAG 3. JUNI 2009 KL. 09.00 13.00 Side 1 av 5 EKSAMEN I EMNE TDT4195 BILDETEKNIKK ONSDAG 3. JUNI 2009 KL. 09.00 13.00 Oppgavestillere: Kvalitetskontroll: Richard Blake Jo Skjermo Torbjørn Hallgren Kontakt under eksamen: Richard Blake tlf.

Detaljer

INF 1040 løsningsforslag til kapittel 17

INF 1040 løsningsforslag til kapittel 17 INF 1040 løsningsforslag til kapittel 17 Oppgave 1: Bilder og histogrammer Her ser du pikselverdiene i et lite bilde. Kan du regne ut histogrammet til bildet, dvs. lage en tabell over hvor mange piksler

Detaljer

LØSNINGSANTYDNING EKSAMEN

LØSNINGSANTYDNING EKSAMEN Universitetet i Agder Fakultet for teknologi og realfag LØSNINGSANTYDNING EKSAMEN Emnekode: Emnenavn: DAT Grafisk Databehandling Dato: 5. desember Varighet: 9 - Antall sider inkl. forside 8 Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Bildetransformer Lars Aurdal

Bildetransformer Lars Aurdal Bildetransformer Lars Aurdal FORSVARETS FORSKNINGSINSTITUTT Lars Aurdal. Forsvarets forskningsinstitutt (FFI), Kjeller. 5 ansatte. Ca. 3 forskere og ingeniører. Tverrfaglig institutt med vekt på arbeide

Detaljer

KONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE TDT4195 BILDETEKNIKK ONSDAG 13. AUGUST 2008 KL. 09.00 13.00

KONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE TDT4195 BILDETEKNIKK ONSDAG 13. AUGUST 2008 KL. 09.00 13.00 Side 1 av 5 NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Fakultet for informasjonsteknologi, matematikk og elektroteknikk Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap KONTINUASJONSEKSAMEN

Detaljer

Lokale operasjoner. Omgivelser/naboskap/vindu. Bruksområder - filtrering. INF 2310 Digital bildebehandling FILTRERING I BILDE-DOMÈNET I

Lokale operasjoner. Omgivelser/naboskap/vindu. Bruksområder - filtrering. INF 2310 Digital bildebehandling FILTRERING I BILDE-DOMÈNET I Lokale operasjoner INF 30 Digital bildebehandling FILTRERING I BILDE-DOMÈNET I Naboskaps-operasjoner Konvolusjon og korrelasjon Kant-bevarende filtre Ikke-lineære filtre GW Kap. 3.4-3.5 + Kap. 5.3 Vi skal

Detaljer

HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for ingeniørutdanning

HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for ingeniørutdanning HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for ingeniørutdanning Eksamen i SOD 165 Grafiske metoder Klasse : 3D Dato : 15. august 2000 Antall oppgaver : 4 Antall sider : 4 Vedlegg : Utdrag fra OpenGL Reference Manual

Detaljer

EKSAMEN I EMNET TDT4195 BILDETEKNIKK ONSDAG 24. MAI 2006 KL. 09.00 13.00

EKSAMEN I EMNET TDT4195 BILDETEKNIKK ONSDAG 24. MAI 2006 KL. 09.00 13.00 NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Fakultet for informasjonsteknologi, matematikk og elektroteknikk Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap EKSAMEN I EMNET TDT4195 BILDETEKNIKK

Detaljer

Algoritmer og datastrukturer Kapittel 2 - Delkapittel 2.1

Algoritmer og datastrukturer Kapittel 2 - Delkapittel 2.1 Delkapittel 2.1 Plangeometriske algoritmer Side 1 av 7 Algoritmer og datastrukturer Kapittel 2 - Delkapittel 2.1 2.1 Punkter, linjesegmenter og polygoner 2.1.1 Polygoner og internett HTML-sider kan ha

Detaljer

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1103, 2.mars 2010

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1103, 2.mars 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA03,.mars 00 Oppgave Tegn figur og finn en parametrisering for skjæringskurven

Detaljer

Komplekse tall og komplekse funksjoner

Komplekse tall og komplekse funksjoner KAPITTEL Komplekse tall og komplekse funksjoner. Komplekse tall.. Definisjon av komplekse tall. De komplekse tallene er en utvidelse av de reelle tallene. Dvs at de komplekse tallene er en tallmengde som

Detaljer

Kantsegmentering NTNU

Kantsegmentering NTNU Kantsegmentering Lars Aurdal Norsk regnesentral aurdal@nr.no 19. april 24 Oversikt, kantsegmentering Litt praktisk informasjon. Motivasjon. Hva er en kant i et bilde? Hva er segmentering? Hva er kantsegmentering?

Detaljer

Computer Graphics with OpenGL

Computer Graphics with OpenGL Computer Graphics with OpenGL 2. Computer Graphics Hardware Plasmapaneler baserer seg på gass som satt under spenning vil emittere lys. LCD-skjermer baserer seg på at lys kan polariseres og at krystaller

Detaljer

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009 Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være

Detaljer

Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 2014 kl. 14 Antall oppgaver: 13

Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 2014 kl. 14 Antall oppgaver: 13 Innlevering FO99A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 014 kl. 14 Antall oppgaver: 13 Løsningsforslag 1 Finn volumet til tetraederet med hjørner O(0,

Detaljer

Neste to forelesninger. Bildefiler - bildeformater De aller fleste bildeformater 3/18/2009. Digitale bilder med spesielt fokus på medisinske bilder

Neste to forelesninger. Bildefiler - bildeformater De aller fleste bildeformater 3/18/2009. Digitale bilder med spesielt fokus på medisinske bilder 3/8/29 Digitale bilder med spesielt fokus på medisinske bilder Karsten Eilertsen Radiumhospitalet Neste to forelesninger Torsdag 29/: Enkel innføring i digitale bilder Eksempler på noen enkle metoder for

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i : INF2310 Digital bildebehandling Eksamensdag : Onsdag 4. juni 2008 Tid for eksamen : 14:30 17:30 (3 timer) Oppgavesettet er på

Detaljer

RF5100 Lineær algebra Leksjon 1

RF5100 Lineær algebra Leksjon 1 RF5100 Lineær algebra Leksjon 1 Lars Sydnes, NITH 20.august 2013 I. INFORMASJON FAGLÆRER Kontakt: Lars Sydnes lars.sydnes@nith.no 93035685 Bakgrunn: Doktorgrad i Matematikk fra NTNU (2012), Siv.ing. Industriell

Detaljer

Konvolusjon og filtrering og frevensanalyse av signaler

Konvolusjon og filtrering og frevensanalyse av signaler Høgskolen i Østfold Avdeling for informasjonsteknologi Fag IAD33505 Bildebehandling og mønstergjenkjenning Laboppgave nr 2 Konvolusjon og filtrering og frevensanalyse av signaler Sarpsborg 21.01.2005 20.01.05

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101)

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA0/MA60) Fredag 2. desember 202 Tid: 09:00 3:00 Hjelpemidler: Kode

Detaljer

0.1 Kort introduksjon til komplekse tall

0.1 Kort introduksjon til komplekse tall Enkel introduksjon til matnyttig matematikk Vi vil i denne innledningen introdusere litt matematikk som kan være til nytte i kurset. I noen tilfeller vil vi bare skrive opp uttrykk uten å komme inn på

Detaljer

Prosjekt TDT 4195. av Kristian Høegh Mysen & Olav Aanes Fagerlund

Prosjekt TDT 4195. av Kristian Høegh Mysen & Olav Aanes Fagerlund Prosjekt TDT 4195 av Kristian Høegh Mysen & Olav Aanes Fagerlund 3. mai 2007 Kapittel 1 Bilde analyse delen Vi valgte å gjøre som anbefalt i oppgavetekseten; eksperimentere med forskjellige filtere i bildebehandlings

Detaljer

Matematisk morfologi III

Matematisk morfologi III Matematisk morfologi III Lars Aurdal Norsk regnesentral Lars.Aurdal@nr.no 4. desember 2003 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Oversikt, kursdag 3 Sammensatte operasjoner: Hit-or-miss-transformen. Skjeletter.

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte EMFE DAFE ELFE BYFE Dato: august 25 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave a) Gitt matrisene A = 2 3 2 4 2 Løsningsforslag og

Detaljer

Sprettende ball Introduksjon Processing PDF

Sprettende ball Introduksjon Processing PDF Sprettende ball Introduksjon Processing PDF Introduksjon: I denne modulen skal vi lære et programmeringsspråk som heter Processing. Det ble laget for å gjøre programmering lett for designere og andre som

Detaljer

TDT4105/TDT4110 Informasjonsteknologi grunnkurs:

TDT4105/TDT4110 Informasjonsteknologi grunnkurs: 1 TDT4105/TDT4110 Informasjonsteknologi grunnkurs: Uke 38 Digital representasjon, del 2 - Representasjon av lyd og bilder - Komprimering av data Rune Sætre satre@idi.ntnu.no 2 Digitalisering av lyd Et

Detaljer

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2 Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2 1 Bestem den naturlige denisjonsmengden til følgende funksjoner.

Detaljer

SINUS R1, kapittel 5-8

SINUS R1, kapittel 5-8 Løsning av noen oppgaver i SINUS R1, kapittel 5-8 Digital pakke B TI-Nspire Enkel kalkulator (Sharp EL-506, TI 30XIIB eller Casio fx-82es) Oppgaver og sidetall i læreboka: 5.43 c side 168 5.52 side 173

Detaljer

Sammendrag kapittel 9 - Geometri

Sammendrag kapittel 9 - Geometri Sammendrag kapittel 9 - Geometri Absolutt vinkelmål (radianer) Det absolutte vinkelmålet til en vinkel v, er folholdet mellom buelengden b, og radien r. Buelengde v = b r Med v i radianer! b = r v Omregning

Detaljer

Norsk informatikkolympiade 2012 2013 1. runde

Norsk informatikkolympiade 2012 2013 1. runde Norsk informatikkolympiade 2012 2013 1. runde Uke 45, 2012 Tid: 90 minutter Tillatte hjelpemidler: Kun skrivesaker. Det er ikke tillatt med kalkulator eller trykte eller håndskrevne hjelpemidler. Instruksjoner:

Detaljer

Kanter, kanter, mange mangekanter

Kanter, kanter, mange mangekanter Kanter, kanter, mange mangekanter Nybegynner Processing PDF Introduksjon: Her skal vi se på litt mer avansert opptegning og bevegelse. Vi skal ta utgangspunkt i oppgaven om den sprettende ballen, men bytte

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

Eksamensoppgavehefte 1. MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler

Eksamensoppgavehefte 1. MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler Eksamensoppgavehefte 1 MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler Matematisk institutt, UiO, våren 2010 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor

Detaljer

Løpende strekmann Erfaren Videregående Python PDF

Løpende strekmann Erfaren Videregående Python PDF Løpende strekmann Erfaren Videregående Python PDF Introduksjon I denne oppgaven skal du lage et spill der du styrer en strekmann som hopper over hindringer. Steg 1: Ny fil Begynn med å lage en fil som

Detaljer

Matematisk Morfologi Lars Aurdal

Matematisk Morfologi Lars Aurdal Matematisk Morfologi Lars Aurdal FORSVARETS FORSKNINGSINSTITUTT Motivasjon. Plan Grunnleggende setteori. Grunnleggende operasjoner. Dilasjon. Erosjon. Sammensatte operasjoner Åpning Lukning Algoritmer.

Detaljer

TMA4123 - Kræsjkurs i Matlab. Oppgavesett 3 Versjon 1.2

TMA4123 - Kræsjkurs i Matlab. Oppgavesett 3 Versjon 1.2 TMA4123 - Kræsjkurs i Matlab. Oppgavesett 3 Versjon 1.2 07.03.2013 I dette oppgavesettet skal vi se på ulike måter fouriertransformasjonen anvendes i praksis. Fokus er på støyfjerning i signaler. I tillegg

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Første utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. Selv om løsningen av lineære likingsystem i prinsippet er elementært blir det fort

Detaljer

Turingmaskiner en kortfattet introduksjon. Christian F Heide

Turingmaskiner en kortfattet introduksjon. Christian F Heide 13. november 2014 Turingmaskiner en kortfattet introduksjon Christian F Heide En turingmaskin er ikke en fysisk datamaskin, men et konsept eller en tankekonstruksjon laget for å kunne resonnere omkring

Detaljer

Tempoplan: Kapittel 4: 8/11 14/12. Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver.

Tempoplan: Kapittel 4: 8/11 14/12. Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. Tempoplan: Kapittel 4: 8/11 14/1. Kapittel 5: /1 1/. Kapittel 6: 1/ 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 3: Vektorer Dette kapitlet er meget spesielt og annerledes enn den matematikken

Detaljer

Leksjon G2: Transformasjoner

Leksjon G2: Transformasjoner Programmering grunnkurs TDAT: Grafikkdel Leksjon G: Transformasjoner Fra modell til tegning på skjerm side Modell Plantransformasjoner/translasjon side 3 Modell Plantransformasjoner/skalering side 4 Modell

Detaljer

Sprettball Erfaren ComputerCraft PDF

Sprettball Erfaren ComputerCraft PDF Sprettball Erfaren ComputerCraft PDF Introduksjon Nå skal vi lære hvordan vi kan koble en skjerm til datamaskinen. Med en ekstra skjerm kan vi bruke datamaskinen til å kommunisere med verden rundt oss.

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

RF5100 Lineær algebra Leksjon 12

RF5100 Lineær algebra Leksjon 12 RF5100 Lineær algebra Leksjon 12 Lars Sydnes, NITH 26. november 2013 I. GAUSS-ELIMINASJON 2x + 3y + z = 1 2x + 5y z = 1 4x + 7y + 4z = 3 x + 3/2 y + 1/2 z = 1/2 x + 2z = 2 y z = 1 3z = 2 x + 2z = 2 y z

Detaljer

Norsk informatikkolympiade 2012 2013 1. runde

Norsk informatikkolympiade 2012 2013 1. runde Norsk informatikkolympiade 2012 2013 1. runde Uke 45, 2012 Tid: 90 minutter Tillatte hjelpemidler: Kun skrivesaker. Det er ikke tillatt med kalkulator eller trykte eller håndskrevne hjelpemidler. Instruksjoner:

Detaljer

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2 Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 1. juni 2012 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 2 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Casio fx 9860

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Casio fx 9860 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx 9860 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Tallet π.....................................

Detaljer

Talsnes ONE - 995850168 Enhver form for mangfoldiggjørelse av hele eller deler av innholdet av dette materiale er i henhold til norsk lov om

Talsnes ONE - 995850168 Enhver form for mangfoldiggjørelse av hele eller deler av innholdet av dette materiale er i henhold til norsk lov om 1 Eksponentielt vekst: En størrelse vokser eller avtar med en fast prosent per tidsenhet. Eulers tall e: En matematisk konstant, e=2,7 1828.. ln a gir det tallet du må opphøye Eulers tall e i for å få

Detaljer

Sannsynlighetsregning og Statistikk.

Sannsynlighetsregning og Statistikk. Sannsynlighetsregning og Statistikk. Leksjon Velkommen til dette kurset i sannsynlighetsregning og statistikk! Vi vil som lærebok benytte Gunnar G. Løvås:Statistikk for universiteter og høyskoler. I den

Detaljer

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger Høgskolen i Agder Avdeling for realfag MA40: Analyse - Notat om differensiallikninger Dato: Høsten 2000 Merknader: Dette notatet kommer i tillegg til 4.2 og 6. i læreboka. Ma 40: Analyse skal inneholde

Detaljer

Hvordan lage et sammensatt buevindu med sprosser?

Hvordan lage et sammensatt buevindu med sprosser? Hvordan lage et sammensatt buevindu med sprosser? I flere tilfeller er et vindu som ikke er standard ønskelig. I dette tilfellet skal vinduet under lages. Prinsippene er de samme for andre sammensatte

Detaljer

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2014

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2014 Eksamen MAT1005 Matematikk P-Y Høsten 014 Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 0,0003 500000000 0,00,0 10,0 4 8 3,0 10 5,0 10 3,0 5,0 4 8 ( 3) 7 3 10 7,5 10 Oppgave (1 poeng) Prisen

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

Hvordan påvirker valg av glattingsfilter PET-avbdildning av små svulster? Eksperimenter og simuleringer

Hvordan påvirker valg av glattingsfilter PET-avbdildning av små svulster? Eksperimenter og simuleringer Hvordan påvirker valg av glattingsfilter PET-avbdildning av små svulster? Eksperimenter og simuleringer Arne Skretting 1, Otto Glomset 1, Trond V Bogsrud 1 Seksjon for diagnostikkfysikk Avdeling for nukleærmedisin,

Detaljer

Innføring i bildebehandling

Innføring i bildebehandling Høgskolen i Østfold Avdeling for informasjonsteknologi Fag IAD33506 Bildebehandling og mønstergjenkjenning Laboppgave nr 1 Innføring i bildebehandling Halden 24.08.2010 23.08.10 Revidert Log GKS 20.08.09

Detaljer

Photoshop CC Guy M. Huste, IGM AS

Photoshop CC Guy M. Huste, IGM AS Photoshop CC Guy M. Huste, IGM AS 2 Når du skal sammenkopiere flere bilder, så må sluttresultatet se troverdig ut. Det holder ikke med å bare klippe-og-lime. Planleggingsfasen før sammenkopieringen er

Detaljer

Løsning IM3 15.06.2011.

Løsning IM3 15.06.2011. Løsning IM 15611 1 Oppgave 1 Innsetting viser at både teller og nevner er i origo, så uttrykket er ubestemt Siden det ikke er noen umiddelbar omskriving som forenkler uttrykket satser vi på å vise at grensen

Detaljer

Innføring i bildebehandling

Innføring i bildebehandling Høgskolen i Østfold Avdeling for informasjonsteknologi Fag IAD33506 Bildebehandling og mønstergjenkjenning Laboppgave nr 1 Innføring i bildebehandling Halden 27.08.2013 20.08.13 Revidert Log GKS 22.08.12

Detaljer

Dato: Tirsdag 28. november 2006 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: Kun standard enkel kalkulator, HP 30S

Dato: Tirsdag 28. november 2006 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: Kun standard enkel kalkulator, HP 30S DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon Dato: Tirsdag 28. november 2006 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Farger Introduksjon Processing PDF

Farger Introduksjon Processing PDF Farger Introduksjon Processing PDF Introduksjon På skolen lærer man om farger og hvordan man kan blande dem for å få andre farger. Slik er det med farger i datamaskinen også; vi blander primærfarger og

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 9A og 9B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 9A Kapittel A GEOMETRI Regulære mangekanter Når alle sidene er like lange og alle vinklene er like store i en mangekant, sier vi

Detaljer

Kapittel 3. The fun starts

Kapittel 3. The fun starts Kapittel 3 The fun starts Introduksjon I dette kapittelet vil jeg prøve å gjøre ting på en annen måte. Siden vi nå skal begynne å faktisk lage noe, tenkte jeg at jeg vil gjøre det slik at kapittelet blir

Detaljer

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. august 2011

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. august 2011 Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 8. august 20 2 Definisjon av funksjon Definisjon En funksjon er en regel f som til et hvert tall i definisjonsmengden

Detaljer

HamboHus 5.4 Rev. 1, 8. september 2005 A. Cordray

HamboHus 5.4 Rev. 1, 8. september 2005 A. Cordray HamboHus Technical Note Nr 10: Terreng HamboHus 5.4 Rev. 1, 8. september 2005 A. Cordray I HamboHus 5.4 er implementasjonen av terreng utvidet og forbedret. Det er lettere å lage terrengpunkter, og mye

Detaljer

Oppgaver som illustrerer alle teknikkene i 1.4 og 1.5

Oppgaver som illustrerer alle teknikkene i 1.4 og 1.5 Oppgaver som illustrerer alle teknikkene i 1.4 og 1.5 Gitt 3 punkter A 1,1,1,B 2,1,3,C 3,4,5 I Finne ligning for plan gjennom 3 punkt Lager to vektorer i planet: AB 1, 0,2 og AC 2,3, 4 Lager normalvektor

Detaljer

Løsningsforslag til kapittel 15 Fargerom og fargebilder

Løsningsforslag til kapittel 15 Fargerom og fargebilder Løsningsforslag til kapittel 15 Fargerom og fargebilder Oppgave 1: Representasjon av et bilde Under har vi gitt et lite binært bilde, der svart er 0 og hvit er 1. a) Kan du skrive ned på et ark binærrepresentasjonen

Detaljer

Den krever at vi henter ned Maples plottekommandoer fra arkivet. Det gjør vi ved kommandoen

Den krever at vi henter ned Maples plottekommandoer fra arkivet. Det gjør vi ved kommandoen For å tegne grafen til en likning, skal vi bruke kommandoen Den krever at vi henter ned Maples plottekommandoer fra arkivet. Det gjør vi ved kommandoen with plots Gjør det (altså: trykk linjeskift med

Detaljer

3D Modellering og Animasjon Velkommen

3D Modellering og Animasjon Velkommen 3D Modellering og Animasjon Velkommen Om meg: Jarl Schjerverud Jobbet med 3D modellering siden 1994 Jobbet i spillindustrien i 14 år (Funcom) Har undervist ved NITH i spilldesign siden 2009 og spilldesign

Detaljer

REGEL 1: Addisjon av identitetselementer

REGEL 1: Addisjon av identitetselementer REGEL 1: Addisjon av identitetselementer Addisjon av identitetselementer a + 0 = a x + 0 = x Et identitetselement (nøytralt element) er et element som ikke medfører noen endring når det kombineres med

Detaljer

MAT1030 Diskret matematikk

MAT1030 Diskret matematikk MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 3: Ukeoppgaver fra kapittel 2 & 3 Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 31. januar 2008 Oppgave 2.7 - Horners metode (a) 7216 8 : 7 8+2 58

Detaljer

Inf109 Programmering for realister Uke 5. I denne leksjonen skal vi se på hvordan vi kan lage våre egne vinduer og hvordan vi bruker disse.

Inf109 Programmering for realister Uke 5. I denne leksjonen skal vi se på hvordan vi kan lage våre egne vinduer og hvordan vi bruker disse. Inf109 Programmering for realister Uke 5 I denne leksjonen skal vi se på hvordan vi kan lage våre egne vinduer og hvordan vi bruker disse. Før du starter må du kopiere filen graphics.py fra http://www.ii.uib.no/~matthew/inf1092014

Detaljer

Tilstandsestimering Oppgaver

Tilstandsestimering Oppgaver Telemark University College Department of Electrical Engineering, Information Technology and Cybernetics Tilstandsestimering Oppgaver HANS-PETTER HALVORSEN, 2012.01.27 Faculty of Technology, Postboks 203,

Detaljer

Rapport i faget SIF 8066 - Datasyn. Segmentering av fargebilder

Rapport i faget SIF 8066 - Datasyn. Segmentering av fargebilder Rapport i faget SIF 8066 - Datasyn Segmentering av fargebilder Trondheim, 06.05.2002 Oppgavebeskrivelse Oppgaven går ut på å skrive et program som kjenner igjen og trekker ut segmenter i et fargebilde.

Detaljer

. 2+cos(x) 0 og alle biter som inngår i uttrykket er kontinuerlige. Da blir g kontinuerlig i hele planet.

. 2+cos(x) 0 og alle biter som inngår i uttrykket er kontinuerlige. Da blir g kontinuerlig i hele planet. MA 1410: Analyse Uke 47, 001 http://home.hia.no/ aasvaldl/ma1410 H01 Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 11.1: 7. f(x, y) = 1 16 x y. a) Definisjonsområde D: f

Detaljer

FORSØK I OPTIKK. Forsøk 1: Bestemmelse av brytningsindeks

FORSØK I OPTIKK. Forsøk 1: Bestemmelse av brytningsindeks FORSØK I OPTIKK Forsøk 1: Bestemmelse av brytningsindeks Hensikt I dette forsøket skal brytningsindeksen bestemmes for en sylindrisk linse ut fra måling av brytningsvinkler og bruk av Snells lov. Teori

Detaljer

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål Eksempel på løsning 010 Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk T Eksamen 30.11.009 Bokmål MAT1008 Matematikk T HØSTEN 009 Eksempel på løsning med vekt på bruk av digitale verktøy Hva er en

Detaljer

R2 2011/12 - Kapittel 2: 19. september 19. oktober 2011

R2 2011/12 - Kapittel 2: 19. september 19. oktober 2011 R 011/1 - Kapittel : 19. september 19. oktober 011 Plan for skoleåret 011/01: Kapittel : 17/9-0/10. Kapittel 3:5/10 19/11. Kapittel 4: 19/11 1/1. Kapittel 5: 1/1 11/. Kapittel 6: 11/ 9/3. Kapittel 7: 19/3

Detaljer

Geometri Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI Geometri i skolen Geometri etter 4.

Geometri Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI Geometri i skolen Geometri etter 4. Geometri Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI 15-Apr-07 Geometri i skolen dreier seg blant annet om å analysere egenskaper ved to- og tredimensjonale

Detaljer

Korteste vei problemet (seksjon 15.3)

Korteste vei problemet (seksjon 15.3) Korteste vei problemet (seksjon 15.3) Skal studere et grunnleggende kombinatorisk problem, men først: En (rettet) vandring i en rettet graf D = (V, E) er en følge P = (v 0, e 1, v 1, e 2,..., e k, v k

Detaljer

Rekursiv programmering

Rekursiv programmering Rekursiv programmering Babushka-dukker En russisk Babushkadukke er en sekvens av like dukker inne i hverandre, som kan åpnes Hver gang en dukke åpnes er det en mindre utgave av dukken inni, inntil man

Detaljer

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable

Detaljer

Norges Informasjonstekonlogiske Høgskole

Norges Informasjonstekonlogiske Høgskole Oppgavesettet består av 10 (ti) sider. Norges Informasjonstekonlogiske Høgskole RF3100 Matematikk og fysikk Side 1 av 10 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator, vedlagt formelark Varighet: 3 timer Dato: 11.desember

Detaljer

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1 Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 6. juni 2014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene

Detaljer

Sentralverdi av dataverdi i et utvalg Vi tenker oss et utvalg med datapar. I vårt eksempel har vi 5 datapar.

Sentralverdi av dataverdi i et utvalg Vi tenker oss et utvalg med datapar. I vårt eksempel har vi 5 datapar. Statistisk behandling av kalibreringsresultatene Del 4. v/ Rune Øverland, Trainor Elsikkerhet AS Denne artikkelserien handler om statistisk behandling av kalibreringsresultatene. Dennne artikkelen tar

Detaljer

TDT4105 IT Grunnkurs Høst 2014

TDT4105 IT Grunnkurs Høst 2014 TDT4105 IT Grunnkurs Høst 2014 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap Øving 6 1 Teori a) Hva er 2-komplement? b) Hva er en sample innen digital

Detaljer

System av likninger. Den andre likningen løses og gir x=1, hvis man setter x=1 i første likning får man

System av likninger. Den andre likningen løses og gir x=1, hvis man setter x=1 i første likning får man System av likninger System av likninger er en mengde likninger med flere ukjente. I økonomiske sammenheng er disse svært vanlige ved optimering. Ofte må vi kreve deriverte lik null for å optimere. I kurset

Detaljer

Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser

Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser (Reelle) ortogonale matriser La A være en reell, kvadratisk matrise, dvs. en (n n)-matrise hvor hvert element Da vil A være ortogonal dersom: og Med menes

Detaljer

EKSAMEN med løsningsforslag

EKSAMEN med løsningsforslag EKSAMEN med løsningsforslag Emnekode: ITF20006 Emne: Algoritmer og datastrukturer Dato: Eksamenstid: 20. mai 2009 kl 09.00 til kl 13.00 Hjelpemidler: 8 A4-sider (4 ark) med egne notater Kalkulator Faglærer:

Detaljer

SIF8010 ALGORITMER OG DATASTRUKTURER

SIF8010 ALGORITMER OG DATASTRUKTURER SIF8010 ALGORITMER OG DATASTRUKTURER KONTINUASJONSEKSAMEN, 1999; LØSNINGSFORSLAG Oppgave 1 (12%) Anta at du skal lage et støtteprogram som umiddelbart skal varsle om at et ord blir skrevet feil under inntasting

Detaljer

OVERFLATE FRA A TIL Å

OVERFLATE FRA A TIL Å OVERFLATE FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til overflate... 2 2 Grunnleggende om overflate.. 2 3 Overflate til:.. 3 3 3a Kube. 3 3b Rett Prisme... 5 3c

Detaljer

Fotorealistisk fremstilling... 3

Fotorealistisk fremstilling... 3 DDS-CAD 9 Fotorealistisk fremstilling Kapittel 4 1 Innhold Side Kapittel 4 Fotorealistisk fremstilling... 3 Perspektiv... 3 Rendere konturmodell... 4 Rendere sjattert - sanntid... 5 Materialer... 5 Teksturkobling...

Detaljer

Uke 4: z-transformasjonen

Uke 4: z-transformasjonen Uke 4: z-transformasjonen Jo Inge Buskenes Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF3470/4470, høst 2011 2/26 Dagens temaer z-dometet; ett av tre domener z-transformasjonen; definisjon og egenskaper

Detaljer

GEOGEBRA (3.0) til R1-kurset

GEOGEBRA (3.0) til R1-kurset GEOGEBRA (3.0) til R1-kurset INNHOLD Side 1. Konstruksjon 2 1.1 Startvinduet 2 1.2 Markere punkter 3 1.3 Midtpunkt 4 1.4 Linje mellom punkter 5 1.5 Vinkelrett linje 6 1.6 Tegne en mangekant 6 1.7 Høyden

Detaljer

Mars Robotene (5. 7. trinn)

Mars Robotene (5. 7. trinn) Mars Robotene (5. 7. trinn) Lærerveiledning Informasjon om skoleprogrammet Gjennom dette skoleprogrammet skal elevene oppleve og trene seg på et teknologi og design prosjekt, samt få erfaring med datainnsamling.

Detaljer

Idag. Hvis bildet f(x,y) er reelt og symmetrisk, vil Fourier transformen bestå av reelle koeffisienter korresponderende til cosinus leddene.

Idag. Hvis bildet f(x,y) er reelt og symmetrisk, vil Fourier transformen bestå av reelle koeffisienter korresponderende til cosinus leddene. Slide Slide Idag Cosinus transform Cosinus transform Sinus transform Hvis bildet f(,y) er reelt og symmetrisk, vil Fourier transformen bestå av reelle koeffisienter korresponderende til cosinus leddene.

Detaljer

NIO 1. runde eksempeloppgaver

NIO 1. runde eksempeloppgaver NIO 1. runde eksempeloppgaver Oppgave 1 (dersom du ikke klarer en oppgave, bare gå videre vanskelighetsgraden er varierende) Hva må til for at hele det følgende uttrykket skal bli sant? NOT(a OR (b AND

Detaljer