TDT Grunnleggende visuell databehandling

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "TDT4195 - Grunnleggende visuell databehandling"

Transkript

1 TDT Grunnleggende visuell databehandling Håkon Åmdal November Grafikk 1.1 Computer Graphics Å lage et rasterbilde fra en scene. Scene Computer Graphics Raster image Visualisering Bruke en visuell presentasjon av data for å øke forståelse. Data Set Visualization Model Modellering Teknikker for å representere grafiske objekter. Model Graphics Pipeline Image Image buffer 2-dimensjonalt array med W x H, hvor hver piksel har et gitt antall bits (for å representere en farge/intensitet). I minnet er disse lineære. Et dobbeltbuffer er at man har to buffre (fyller opp det ene, viser det andre) Color look up table Et ekstra nivå med indireksjon, der fargene er lagret i en tabell ved siden av, og image buffer inneholder index til denne tabellen Hardware Grafikkort har gjerne Z-buffer og lar seg programmere med shaders (vertex og fragment). 1

2 1.2 Rasterisering Konvertering av 2D-primitiver til diskrete pikselrepresentasjoner. I utgangspunktet er kompleksiteten for rasterisering O(P p) der P er antall primitiver og p er antall piksler Midtpunkt og nabolag 2

3 1.3 Rasteriseringsalogritmer for linjer Må dele opp i oktanter. Det er lett å konvertere fra én oktant til en annen Suboptimal I en suboptimal algoritme akkumulerer man feil med stigningstallet. For hver x-verdi man skriver får man en ny feil i y-retningen. Dersom denne feilen er større enn 0.5, legger man til én på y, og trekker én fra feilen. Gjelder i 1. kvadrant. while ( x<=xe ) { x +=1; e +=dy/ dx ; #dy/ dx = s i f ( e >= 0. 5 ) { y += 1 e = 1 } } Dette inneholder for mye flyttalsaritmetikk, så hvis man ganger alt som har med bestemmelsesverdier å gjøre med dx, får man bare heltall. while ( x<=xe ) { x +=1; e +=dy ; i f ( e >= f l o o r ( 0. 5 dx ) ) { y += 1 e = dx } } 3

4 Ved å sette e til -0.5*dx i starten, er det enklere å se om man skal hoppe, siden man bare trenger å sjekke om e >= Rasteriseringsalgoritmer for sirkler En sirkel har en 8-veis-symmetri. Hver enkelt piksel settes til alle permutasjoner av [x, -x] og [y, -y]. Beskrevt algoritme tar utgangspunkt i oktant 2 og dekrementerer y. Bruk en sirkelfunksjon med sentrum i (0, 0.5) (vet ikke hvorfor): c(x, y) = x 2 + (y 0.5) 2 r 2 = 0 (1) Vi begynner på toppen av sirkelen og går med klokken. Siden x=0 her og vi har en radius på r, får vi da en startfeil: c(0, r) = (r 0.5) 2 r 2 = 0.25 r r (2) Vi fjerner 0.25 siden vi ønsker å operere med heltall. Vi bruker endelige differanser for endring i x og y, henholdsvis c(x + 1, y) c(x, y) = 2x + 1 (3) c(x, y + 1) c(x, y) = 2y + 2 (4) Dette er de to potensielle stegene vi kan få i algoritmen. x=0; y=r ; e= r ; while ( x <= y ) { s e t 8 p i x e l s ( x, y, c ) ; e += 2 x + 1 ; #f r e m o v e r d i f f e r a n s e n t i l x x += 1 ; i f ( e >= 0) { e = 2 y + 2 ; #f r e m o v e r d i f f e r a n s e n t i l y y = 1 ; } } 1.5 Point in polygon Parity test: Hvor mange kanter krysser jeg? Winding test: Følg kanten og snurr rundt. Odde er innefor, par er utenfor. For konvekse polygoner: Sett samme retning på alle kanter, sett inn punktkoordinatene i alle linjelikningene og sjekk om alle har samme tegn. 4

5 1.6 Polygon rasterization Enklest Regn ut I(x, y), alle punkter der scanline og kanter i polygonet krysser. Sorter etter (y, x), lag spans mellom pikslene i mellom. Her forekommer det noen problemer med noder som havner på skannelinjene. Løsning: Lukk linjer ved y min og åpne de ved y max. Ignorer horisontale kanter Scanline Polygon Rasterization ALgorithm Please, kan noen forklare meg denne? 5

6 1.6.3 Triangle rasterization Enkleste: Ta bounding box og bruk point in polygon test på alle piksler i denne boundingboksen. Point in polygon er enkelt med en trekant (konveks), bare sjekk om alle linjer har samme fortegn. Vanskeligere: Edge walking. Bruk Bresenham per linje. Synkroniser algoritmene slik at de får samme y- eller x-verdier Area Filling Man kan brke en rekursiv floodfill-algoritme som fyller ut farge fra et seedingpunkt. 1.7 Anti-aliasing Dette skjer fordi piksler ikke er matematiske punkter men små arealer. Uønskede effekter: Jagged appearance of object silhouettes Improperly rasterized small objects incorrectly rasterized detail Pre-filtering Dette består av å få ut høye frekvenser før sampling, og regne ut totalt bidrag Catmull s algorithm Klipp i hver piksel, og regn på hvor mye areal fra hver polygon som er synlig. Juster farge deretter Anti-aliased Line Rasterization En linje som spenner over to piksler ønsker: Topp-piksel har farge proposjonalt med A2. Bunnpikser har farge proposjonalt med 1-A1. 6

7 1.7.2 Post-filtering Virutelt bilde. feks. nidoble antall piksler, regne ut snittet av 3x3-ruter og legge dette i én piksel. Dette blir bedre om man bruker konvolusjonsfiltre (mer vekt på piksler i sentrum). Adaptiv: Bedre sampling ved høye frekvenser. Stokastisk: Lage støy av anti-aliasing. 1.8 Clipping Cohen-Sutherland Dette er en algoritme for å klippe linjer slik at de passer inn i et vindu. For hvert endepunkt i linjene du klipper, definér fire bits: 1. y>y max? 1 : 0 2. y<y min? 1 : 0 3. x>x max? 1 : 0 4. x<x min? 1 : 0 7

8 Triviell aksept To endepunkter er fullstendig på innsiden dersom: c 1 c 2 = Triviell forkastning To endepunkter er fullstendig på utsiden dersom: c 1 c Alle andre linjer klippes i to og behandles rekursivt til alle er helt inni eller utenfor Skala Legger på et ekstra bit ekstra informasjon per vertex når den klipper. Den ekstra bitten er 1 dersom fortegnet til linjen den klippes med er positiv. Den kan regne seg frem til hva som er på innsiden og hva som er på utsiden ved å gjøre en enkel sjekk. 1.9 Liang-Barsky Gjør om linjene til parameteriserte former. Merk at dette alltid på være tilfelle: Dette fører til: x min x 1 + t x x max (5) y min y 1 + t y y max (6) t x x 1 x min (7) t x x max x 1 (8) t x y 1 y min (9) t x y max y 1 (10) Ut ifra dette kan vi få punktsett (p i, q i ) fordi alle er på formen tp i q i. (p 1, q 1 ) = ( x, x 1 x min ) (11) (p 2, q 2 ) = ( x, x max x 1 ) (12) (p 3, q 3 ) = ( y, y 1 y min ) (13) (p 4, q 4 ) = ( y, y max y 1 ) (14) Hver av disse tuplene brukes på henholdsvis venstre, høyre, nedre og øvre kant av klipperammen. For å regne ut hvor linjen går inn, tar man maks av alle qi p i der p i er mindre enn null. t in kan heller ikke være mindre enn null. For å regne ut t out tar man minste verdi av qi p i der p i er større enn null. t out kan heller ikke være større enn 1. t in = max({ q i p i p i < 0, i : 1..4} {0}) (15) 8

9 t out = min({ q i p i p i > 0, i : 1..4} {1}) (16) Hvis t out t in bruker man disse verdiene for å få nye start- og stoppunkter. Hvis ikke, er linjen utenfor Sutherland-Hodgman Klipping av polygon i et annet konveks polygon. Denne algoritmen har m steg som tilsvarer m kanter i klippepolygonet. Klipp polygonet for hver kant. Når man klipper en linje med en linje, kan man få forskjellige outputs. Se svart piksel: Kompleksitet på SH er O(mn) der m er antall noder av klippepolygonet og n er antall noder av subjektpolygonet Greiner-Hornmann Støtter både clipping polygons og subject polygons 1. Gå igjennom polygon S, og skru en bryter av og på når du kommer inn i C (bruk winding number). 9

10 2. Gjør det samme med C med hensyn på S. 3. Unionen av linjene som er tegnet opp er resultatet ditt Enkelt å regne ut C S ved å endre starttilstand på av og på -bryterne Litt smått om koordinatsystemer og transformasjoner Gå fra object coordinates World coordinates eye coordinates Vi bruker høyrehånds koordinatsystemer. En transformasjon er en mapping til og fra masse sett (f.eks. E 3 til E 3 ) Affine transformation Affine transformasjoner tar vare på affine kombinasjoner. En kombinasjon av punkter er affin dersom: n p = a i p i (17) og i=0 n a i = 1 (18) i=0 En transformasjon er affin dersom den bevarer affine kombinasjoner, ergo: Φ( p) = n a i Φ( p i ) (19) i=0 Konsekvenser av dette er at man bare trenger å regne ut ekstremitetene av polygoner. 10

11 1.12 Homogene koordinater Vi trenger dette, fordi forflytting av et punkt ikke kan uttrykkes som en lineær kombinasjon av x og y i et punkt. Vi innfører derfor en ekstra dimensjon, w som ikke kan være w = 0. Når man bruker homogene koordinater unngår man også fixed point, altså at en transformasjon på et punkt i origo alltid vil resultere i et nytt punkt i origo Transformasjon i 3D Translation T ( d) = d x d y d z (20) T 1 ( d) = T ( d) (21) Scaling S(s x, s y, s z ) = s x s y s z (22) S 1 (s x, s y, s z ) = S( 1 s x, 1 s y, 1 s z ) (23) Rotation R x (θ) = R y (θ) = R z (θ) = cos(θ) sin(θ) 0 0 sin(θ) cos(θ) cos(θ) 0 sin(θ) sin(θ = 0 cos(θ) cos(θ) sin(θ) 0 0 sin(θ) cos(θ) (24) (25) (26) Likning 27 gjelder alle rotasjonsmatriser. R 1 (θ) = R( θ) (27) 11

12 Shear SH xy (a, b) = SH xz (a, b) = 1 0 a b a b (28) (29) SH yz (a, b) = a b For XY-shear blir x addert med a*z, og y addert med b*z. (30) Change of basis Hvis du har tre ortonormale vektorer (alle står vinkelrett på hverandre, er enhetsvektorer (lengde=1), kan du endre fra gjeldende koordinatsystem til dette koordinatsystemet. Husk at begge systemene må ha samme retning (høyreeller venstrehånd). i = [a, b, c] j = [d, e, f] k = [p, q, r] M BASIS = a b c 0 d e f 0 p q r a d p 0 M 1 BASIS = M T BASIS = b e q 0 c f r (31) (32) 1.14 Projeksjoner og sånn Vi tar koordinatsystemet gjennom: World Cordinate system Eye coordinate system Canonical screen system. 12

13 WCS to ECS Brukeren bestemmer her hva han vil se av verden, og gjør operasjoner som culling enklere ECS til CSS Ta alle objekter som har overlevd inn i en kube (-1,-1,-1) til (1,1,1). Behold høy flyttalspresisjon. Herifra kan objektene lett taes opp på skjermer Projeksjon Å ta noe fra 3D til 2D. To typer: Perspective: Distansen mellom center of projection og projeksjonsplan er endelig. Parallell: uendelig Distansen mellom center of projection og projeksjonsplan er Projeksjonsmappinger er ikke affine Perspective projection P P ER = (33) gjelder hvis planet står langs Z-aksen. d d d (33) Ortografisk projeksjon P ORT HO = (34) (34) fjerner effektivt z-koordinaten (punktene blir med andre ord projisert ned på xy-planet) Oblique Projection I stedet for å sende alle punkter ned med en vektor som står normalt på xy-planet (z-aksen), kan man sende dem med en retning DOP (Direction of projection). Vi får da: P = P + λdop (35) 13

14 Siden P z = 0, får vi at λ = DOP z. Av dette følger: z P OBLIQUE ( DOP ) = 1 0 DOPx DOP z DOPy DOP z (36) Projeksjon ned på en hvilken som helst flate P = c c c 0 n x n y n z 0 Her er c = n x x 0 +n y y 0 +n z z 0. Utgangspunktet i utregningen er at 1.15 WCS til ECS (37) OP = aop. Nok informasjon for å definere ECS er ( E, up, g) der E er origo, up er retningen opp, g er synsretningen. Vi ønsker å ha det inn i følgende koordinatsystem: x e er den horisontale aksen og øker til høyre. y e er den vertikale aksen og øker oppover. z e peker mot observatøren. Regnes ut slik (lett å se for seg hvis man tegner det): z e = g (38) x e = up z e (39) y e = z e x e (40) Forflytt med E. Gjør alle disse vektorene om til enhetsvektorer og endre basis med matrise (31) ECS til CSS Ortografisk Tanken bak dette er at du har et paralellepiped som er definert med koordinatene (l,b,n) (left, bottom, near) og (r,t,f) (right, top, far). Dette skal mappes inn i (-1, -1, -1), (1, 1, 1). 1. Flytt boksen din slik at midtpunktet er i origo med (20): T ( r+l 2, t+b 2, n+f 2 ) 2. Skalér slik at det får størrelse 2 med (22): S( 2 r l, 2 t b, 2 f n ) 14

15 Perspektiv Alt blir værre når det er snakk om perspektiv, men alt vi ønsker er å gjøre frustumet ( pyramiden ) vår om til en parallelepiped slik at vi kan bruke ortografisk transformasjon fra ECS til CSS. Se bilde: Som man ser, kan vi ikke kvitte oss med z-koordinaten som i (33). Et slikt view blir definert med θ, z e = n, z e = f og aspect. 15

16 Regner ut: t = n tan( θ 2 ) (41) b = t (42) r = t aspect (43) l = r (44) Vår nye z-koordinat blir: z s = A + B z e. Siden vi vet at z e = n må mappes 16

17 til z s = n og z e = f må mappes til z s = f, får vi følgende matrise: P V T = n n n + f nf (45) Nå er det bare å fortsette med CSS-konverteringen som i Husk at matrisen kun gjelder hvis pyramiden ligger langs z-aksen, så du trenger ikke å forflytte boksen i x- og y-retning Frustum culling Etter at vi har kommet i CSS, er det lett å sjekke om punkter er innenfor. Sørg for: w x, y, z w (46) Hvorfor klippe i 3D og ikke i 2D? I vanlig perspektivprojeksjon vil objekter på baksiden av E bli opp-ned (vi mister informasjon om klipping). Unngår potensielt perspektiv-deling på null. Blir lettere å allokere dybdebuffer, når vi vet at alle z-verdiene er mellom -1 og What happens next? CSS flyttes til viewport coordinate system med først en skalering, så en forflytning Hidden Surface Elimination To måter. O(P 2 ): f o r each p r i m i t i v e { f i n d v i s i b l e part render v i s i b l e part } O(P p): f o r each p i x e l { f i n d c l o s e s t primitve render p i x e l with c o l o r o f c l o s e s t primitve } Dette er tunge operasjoner. Mye kan fjernes. 17

18 Fjerne baksidepolygoner (back-face culling) Fjerne elementer som er helt på utsiden av frustum (frustum culling) Siden dette har kjøretid på enten O(P ) eller O(P v) (v er average number of vertices per primitive), ser vi at flaskehalsen er HSE-algoritmene Back-face culling Enkel operasjon. Hvis g er syssretningen og n er normalvektoren til et polygon, elliner alle som står mindre enn 90 grader på synsretningen Frustum culling g n > 0 (47) Som beskrevet i likning (46). Siden punkter ikke har konstant w, må denne interpoleres med Ulikhetene må også skrives om: (1 t)w 1 + tw 2 (48) ((1 t)w 1 + tw 2 ) (1 t)x 1 + tx 2 (1 t)w 1 + tw 2 (49) d clipping ((1 t)w 1 + tw 2 ) (1 t)y 1 + ty 2 (1 t)w 1 + tw 2 (50) ((1 t)w 1 + tw 2 ) (1 t)z 1 + tz 2 (1 t)w 1 + tw 2 (51) Algoritmene beskrevet i 1.8 kan utvides til 3D. For Cohen-Sutherland, utvid med to ekstra bits for z-verdier. Triviell aksept og triviell forkastning vil fortsatt fungere Z-buffer algorithm Veldig enkel algoritme. Grafikkort har, sammen med sitt display-buffer, tilknyttet et z-buffer med 1:1-korresponsdanse mellom piksler. 1. Initier z-bufferet med verdien til far clipping plane. 2. For hver piksel som skal tegnes, sjekk z-bufferet. Hvis z-verdien i bufferet er større enn pikselen som skal tegnes, oppdater både display- og z-buffer. Siden det er strevsomt å regne ut ny z-verdi for hver x- og y-verdi, tar man i bruk fremoverdifferanser. F (x, y) = z = d c a c x b c y (52) 18

19 Utledet fra den implisitte likningen for et plan. Fremoverdifferansen for x blir da F (x + 1, y) F (x, y) = a (53) c Dette gjør det lettere å regne ut z, trenger bare én addisjon per steg. I praksis blir z-verdi interpolert ut ifra z-verdier på kantene til et polygon. Komplkisiteten til algoritmen en O(P s) hvor s er gjennomsnittlig antall piksler dekket av et polygon. Dette er en veldig enkel algoritme, men den sliter med transparente objekter Bounding volumes Mange komplekse polygoner kan gjøre det dyrt med beregninger av linjekrysninger. Man kan da bruke bounding boxes, selv om de kan gi falsk alarm på grunn av void space. Men du kan vite at de går klar av hverandre hvis boundingboksene går klar av hverandre. Man vil ha minst mulig void space. Mulige løsninger: Lage parallelpiped som bounding box. Orienterte parallelepipeds. Hiearkiske bounding-bokser. Progressive hulls. Polygoner som er enkle, som blir vanskeligere jo større oppløsning man trenger. Man kommer til slutt til de faktiske polygonene og kan da beslutte Space subdivision Deles opp i celler. Der scenene er enkle, er cellene store, men blir mindre ved behov. Minste størrelse er en voxel Illuminering En illumineringsmodell belyser punkt p og tar høyde for mye: Direction of light Directon of observation Surface normal Materialegenskaper mye mer... Dette skjer etter at objektene har fått teksturer. Lyset i som beregnes skalerer fargevektoren. Forskjell på illumination model og illumination algorithm. Sistnevnte implementerer en modell i en effektiv algoritme. 19

20 1.24 Phong Illumination Model Denne modellen gjør om innkommende lys med styrke og vinkel (Θ i, φ i ) til utgående lys (Θ i, φ i ) for et punkt p. Tar ikke høyde for lys som er reflektert fra andre kilder. Fire komponenter: Emmision Ambient reflection Diffuse reflection Specular reflection Emmision I e For objekter som er selvlysende Ambient I g Gjør slik at en overflate uten direkte lys synes likevel. Hele scenen har I a, konstant ambient light, som gjør: k a er da ambient reflectance coefficient. I g = I a k a (54) Diffuse I d Lys som blir spredt i alle retninger, proposjonalt med vinkelen lyset treffer punktet på. I d = I i k d cosθ = I i k d ( n l) (55) Her er θ vinkelen mellom normalvektoren til pikselen og retningen på lyset. Disse må være enhetsvektorer for at (55) skal stemme. Det er også mulig å ha forskjellige k d for ulike bølgelengder, altså ulike fargeverdier Specular I s Her er det sammenheng mellom vektoren fra lyset til punktet og fra kamera til punktet. I s = I i k s cos n α = I i k s (ˆr ˆv) n (56) Her er ˆr vektoren som reflekteres av punktet for lyskilden. Vi ser at i jo større grad kameraretningen ˆv samsvarer med ˆr, jo kraftigere lys. For at lyset skal avta fortere, og vi får mer shinyness, legger vi på en eksponent n. Jo høyere n, jo mindre spredning, og mer shininess. Specular reflection tar fargen til lyskilden, ikke til objektet selv. 20

21 Sammenheng mellom diffuse og specular Specular og diffuse henger tett sammen. Koeffisientene henger tett sammen: 0 kd, ks 1, kd + ks 1 (57) Diffuse tilsvarer matte overflater, specular glatte overflater Distance factor En tilnærming til avtagende lys, der lyset blir svakere jo lenger unna du er. En modell med tre konstanter ser ut som dette: f(d) = 1 c 1 + c 2 d + c 3 d 2 (58) Funksjonen multipliseres med specular- og diffuse-leddene i Fargeavhengighet Man kan forskjellige koeffesienter for R, G og B. Dette gjelder ikke specular lightning, da dette skal simulere en hvit lyskilde Vektorer brukt i Phong Vi trenger følgende vektorer for å beregne lysverdier: n l n r eller h Normalvektor Normalvektoren til en implisitt overflate er gradienten til overflaten. n = f(x, y, z) (59) For likningen for et plan forenkles dette til: For en parametrisk variant har vi følgende: n = [a, b, c] T (60) Normalvektoren blir da x = f x (u, v) y = f y (u, v) z = f z (u, v) n = f u f v (61) (62) 21

22 Ofte vet vi bare nodene, ikke likningene. Bruk ordinært kryssprodukt for tre noder. Dersom man har flere noder som ikke er i plan, må man approksimere normalvektoren. Dette kan man gjøre ved hjelp av gjennomsnitt eller en metode som heter Martin-Newell s teknikk Martin-Newell s teknikk n i=1 n = (y i y i 1 )(z i + z i 1 ) n i=1 (z i z i 1 )(x i + x i 1 ) (63) n i=1 (x i x i 1 )(y i + y i 1 ) Nodenormaler Kan være greit å ha normaler per node, og ikke bare for overflatene (hvis man skal runde av kantene. Her kan man ta snittet av normalvektorene til polygonene som inneholder den gitte noden. Man kan også vekte normalvektorene, der de større bidrar mer. En siste metode er å la vinkelen bestemme hvor mye normalvektoren skal telle. Jo større vinkel, jo mer bidrag Refleksjonsvektorer Refleksjonsvektoren regnes ut som dette: r = 2 r 1 ˆl = 2ˆn(ˆn ˆl) ˆl (64) 22

23 1.25 Illumination algorithms Algoritmene bruker en illuminasjonsmodell og gjennomfører utregningene Constant shading Ingen specular reflection Lys- og kamera er plassert samme sted, og uendelig langt borte. ˆn ˆl er konstant for hvert polygon Gouraud Shading Regner ut intensiteter per node. Interpolerer kantene med lineær sammenheng mellom lystyrkene på hver side. Interpolerer hver scanline med verdiene regnet ut på kantene i punktet ovenfor Phong Shading Regner ut en ny lysstyrke for hver piksel Regner i stedet ut normalvektorene med interpolasjon (som beskrevet i Gouraud Shading) 1.26 Grayscale For å representere akromatisk lys (gråtone), er lineære intensiteter en dårlig idé, siden øyet vårt ikke fungere på den måten. Vi opererer heller med ratioer mellom påfølgene lysverdier. Φ 1 = λ Φ 0 Φ 2 = λ Φ 1 = λ 2 Φ 0... Φ n 1 = λ n 1 Φ 0 = 1 (65) 1.27 Gamma Correction Skjermer har et ikke-lineært forhold mellom input- og output-verdier. Gammacorrection er å justere input-verdiene slik at vi får et lineært forhold: input = input 1 γ (66) 23

24 1.28 Color model En mdell for å kunne gjøre følgende med farger: Beskrive Sammenligne Klassifisere Sortere Vi har både deviceavhengige og deviceuavhengige modeller. I en deviceuavhnegig modell vil en fargekoordinat representere en unik farge, og er nyttig for å konvertere mellom deviceavhengige modeller Perceptual linearity Forskjellen mellom to farger er propesjonal med forskjellen i fargeverdiene i fargemodellen CIE XYZ Color Model Beskriver faktiske farger med bølgelengder. X,Z inneholder informasjon om farge, mens Y inneholder lysstyrke RGB Color Model Additiv modell som begynner med svart og ender i hvit. Den er god på grunn av sin additive natur og at RGB er synlige farger, ikke teoretiske kvantiteter. Ikke perceptually linear, det er vanskelig å finne opp en hvilken som helst farge. 24

25 RGB Cube Enhetskube med alle farger i RGB-modellen. chromaticity, lengde er intensitet. Retning på vektor bestemmer RGB Triangle Du kan mappe alle farger i en triangel med hjørner (1,0,0), (0,1,0) og (0,0,1), eneste du mister er intensitet. Ved å bruke denne triangelen kan vi få nye begreper: Hue. Den dominerende bølgelengden. Saturation. Hvor mye vitt som er i en farge HSV Color model Deler opp i Hue, Saturation og Intensity i en kjegle Hue er et fargehjul, hvor vinkelen bestemmer farge. Jo lenger ut på kantene du kommer til hjulet, jo høyere saturation. Høyest intensitet på bunnen av kjeglen, lavest på toppen (spissen) 1.32 CMY Color model Invers av RGB. Er substraktiv, bra for printere (som begynner på hvit og gjør ting mørkere). CMYK legger på en svart komponent, for bedre sortkvalitet på skrivere High Dynamic Range Dynamisk rekkevide til et bilde er ratioen fra høyeste til laveste intensitetsverdi. Et vanlig RGB-bilde har en dynamisk rekkevidde på 90:1, øyet har på :1. Et vanlig RGB-bilde gjør en god jobb med å vise hva en monitor kan, men ikke hva et øye kan. For å lage HDR-bilder kan man for eksempel ta flere bilder med ulik eksponeringstid og sette sammen. 2 Bildebehandling Gir en verktøykasse for analyse av et bilde. Du kan dele opp i tre nivåer: High-level. Computer vision. Mid-level. Image understanding, segmentering. Low-level. Noise reduction og andre ting som får bildet bedre for prosessering. 25

26 2.1 Typical Image Processing Steps Dette har vært spørsmål på flere eksamenssett Image acquisition Få inn et digitalt bilde. Recording. Sampling. Skalering Image Enchancement Subjektiv prosess for å få bildet til å se bedre ut. Målet er å gjøre bildet passende for det det skal brukes til Image Restoration Målet er å bruke matematiske modeller for å gjøre bildet bedre (feks fjerne støy) Morphological Processing Hente ut bildekomponenter, gjerne lage binære bilder Segmentation Partisjonere bildet inn i meningsfulle biter, gjerne forgrunn/bakgrunn Representation and description Ta ut attributter for å skille objekter fra hverandre Object Recognition Finne ut hva et objekt er (er det en bil?) 2.2 Menneskeøyet Består av to forskjellige receptor classes, cones (6-7 millioner, fargesyn, hver har sin nervetråd) og rods ( millioner, sensitive for lavt lys, flere kan være knyttet til en enkelt nervetråd) 26

27 Den blinde flekken er en nervetråd som kommer ut (feil fra evolusjonen) som gjør at det ikke er noen cones eller rods på et lite område. 2.3 Sampling Gjøre om fra analogt til digitalt. De sier at sampling: discretization of a signal (spatial or temporal) og quantization: assign a discrete intensity value to the signal. Med andre ord; sampling er å skanne med diskrete koordinater (tid og rom), quantization er å gjøre om disse samplene til diskrete verdier. Nyquist-Shannon sampling theorem sier at: f s > 2f max (67) Samplefrekvensen må minst være dobbelt så stor som den høyeste frekvensen man finner i bildet. Vi foretrekker blur foran aliasing-effekter, så kjør over med et lavpassfilter før man skalerer ned et bilde. 2.4 Image Sensing and Acquisition Et kamera har en matrise med sensorer. For å få farger på disse, legger man på fargefiltre over hver sensor, gjerne to grønne per blå og rød, siden øyet vårt er mer sensitivt for grønn-farger. Vi kan gå fra RGB til grayscale med denne formelen: luminance = 0.30R G B (68) 2.5 Naboskap De to vanligste formene for naboskap er 4-nabo (kryss) eller 8-nabo (3x3-kvadrat med ramme). Vi har også avstandsfunksjoner: City block: D 4 (p, q) = x p x q + y p y q (69) 27

28 Chess-board: Euclidian: D 8 (p, q) = max( x p x q, y p y q ) (70) D E (p, q) = x p x q 2 + y p y q 2 (71) 2.6 Spatial image enhancement En operasjon i spatial domain blir uttrykt på følgende måte: g(x, y) = T [f(x, y)] (72) der f(x, y) er input image og T er en operasjon definert på nabolaget til (x, y). Hvis nabolaget bare består av en piksel, snakker vi om en intensity transformation eller en point processing operation: q = T (p) (73) Dette brukes til kontrastmanipulering og image thresholding. 2.7 Negativt bilde T (p) = 255 p (74) 2.8 Logarithmic Transform q = T (p) = c log(1 + p) (75) Denne kan komprimere den dynamiske rekkevidden til et bilde. 2.9 Gamma Transformations Veldig allsidig transformasjon for å utvide enten mørke eller lyse områder i et bilde. q = cp γ, c > 0, γ > 0 (76) γ < 1 Utvider lave intensiteter, γ > 1 utvider høye intensiteter. Kan hjelpe til å vise bilder bedre på skjermer ved å gamma-justere bildene før visning Histogrammet til et bilde Et histogram til et bilde gir informasjon om spredningen av intensitetsverdiene. En funksjon h(k) teller antall piksler med verdi k. h(k) = δ(i ij k) (77) (ij) Ω der δ er 1 dersom x = 0. man kan normalisere et histogram ved å dividere på antall piksler: p(k) = h(k) (78) MN 28

29 Mean and Variance Vi kan bruke histogrammet til å regne ut forventningsverdi og varians dersom vi allerede har et normalisert histogram, p(k). L 1 m = kp(k) (79) k=0 L 1 σ 2 = (k m) 2 p(k) (80) k= Histogram Equalization Vi ønsker oss en intensity transform-funksjon som sprer ut histogrammet vårt. Det viser seg at en skalert versjon av den kumulative intensitetsdistribusjonen gjør nytten. 1. Regn ut den kumulative fordelingen av grå-verdier. Siste verdi her skal tilsvare antall piksler i bildet (NM). 2. Normaliser, altså divider med antall piksler i bildet (NM). 3. Multipliser med antall gråverdier du har i bildet, og rund disse verdiene av til nærmeste heltall. 4. Siste rad (i punktet ovenfor) utgjør nå en mapping fra gamle til nye gråverdier Histogram Equalization med farger Hvis man kjører HE-algoritmen på fargene enkeltvis, vil fargene bli forskjøvet. En vanlig metode er å kjøre en kombinert HE på intensitet og saturation i HSI-fargemodellen 2.12 Støytyper Normal (Gaussian) noise. Vanlig type støy, hvor støyen per piksel er uavhengig av intensiteten på signalet. Uniform noise. Likt fordelt utover et gitt intervall [a,m] Salt-and-pepper noise. Svarte og hvite piksler, kan forekomme av overføringsfeil og lignende. Annet: Exponential, poisson, speckle noise, ayleight, gamma... 29

30 2.13 Bit plane slicing Høyere bits er mer viktige enn lavere bits Neighborhood Processing Beskrevet flott slik: 1. Definér et senterpunkt. 2. Gjør en operasjon på pikslene i nabolaget. 3. La responsen herifra bestemme verdien på valgt senterpiksel. 4. Rinse repeat på resten av pikslene i bildet. De fleste filtre er av odde størrelse, slik at naboene blir vektlagt likt Lineære filtre Dersom et filter representerer en lineær kombinasjon av intensitetene til nabolaget kan det kalles lineært. g i,j = 2.15 Average/box filter a s= a t= b b w s,t x x+s,j+t (81) Normalisert matrise med like elementer og summen er 1.0. Følge av at summen er 1.0, er at gjennomsnittlig gråverdi ikke er endret. 30

31 2.16 Korrelasjon og konvolusjon Korrelasjon: Konvolusjon: g i,j = g i,j = a s= a t= b a s= a t= b b w s,t x x+s,j+t (82) b w s,t x x s,j t (83) Sistnevnte ble introdusert for å la en enhetsrespons bli lik filteret. For å utføre en konvolusjon, må du snu masken 180 grader. Hvis filteret er symmetrisk er korrelasjon og konvolusjon det samme. Konvolusjon er lineært Padding Padding skjer når man ønsker å utvide kantene på et bilde (for eksempel hvis man skal kjøre et spatial filter). Vi har fire typer: Zero/Constant padding. Fyll inn resten av bildet med null eller gjennomsnittlig farge/gråverdi. Symmetric/Reflection padding. Reflekter kanten. Symmetrisk gjentar du alle pikslene i motsatt rekkefølge ( ), med reflection hopper du over første piksel ( ). Replicate padding. Kopiér pikselen som var på kanten. Circular padding. Gjenta bildet Smoothing Man kan smoothe med både lineære og ikke-lineære filtre. Et eksempel er Average/box filter. Man kan også bruke vektet gjennomsnittsverdi: (84) Et godt ikke-lineært filter for salt-and-pepper noise er median filtering, der man finner medianen til nabolaget Derivasjonsfiltre Et godt filter for den deriverte er [ 1 er [ ]. 1 ]. Et godt filter for den andrederiverte 31

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF330 Metoder i grafisk databehandling og diskret geometri Eksamensdag: 3. desember 010 Tid for eksamen: 14.30 18.30 Oppgavesettet

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i : INF2310 Digital bildebehandling Eksamensdag : Tirsdag 25. mars 2014 Tid for eksamen : 15:00 19:00 Oppgavesettett er på : 6 sider

Detaljer

Universitetet i Agder Fakultet for teknologi og realfag LØSNINGSFORSLAG. Dato: 11. desember 2008 Varighet: 0900-1300. Antall sider inkl.

Universitetet i Agder Fakultet for teknologi og realfag LØSNINGSFORSLAG. Dato: 11. desember 2008 Varighet: 0900-1300. Antall sider inkl. Universitetet i Agder Fakultet for teknologi og realfag LØSNINGSFORSLAG Emnekode: Emnenavn: DAT2 Grafisk Databehandling Dato:. desember 28 Varighet: 9 - Antall sider inkl. forside 7 OPPGAVE. (2%) a) b)

Detaljer

a. Hva er de inverse transformasjonene avfølgende tre transformasjoner T, R og S: θ θ sin( ) cos( ) Fasit: 1 s x cos( θ) sin( θ) 0 0 y y z

a. Hva er de inverse transformasjonene avfølgende tre transformasjoner T, R og S: θ θ sin( ) cos( ) Fasit: 1 s x cos( θ) sin( θ) 0 0 y y z Kommentar: Svar kort og konsist. Husk at eksamen har tre oppgaver. Poengene for hver (del-) oppgave bør gi en indikasjon på hvor me tid som bør benttes per oppgave. Oppgave 1: Forskjellige emner (40 poeng)

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO. Dette er et løsningsforslag

UNIVERSITETET I OSLO. Dette er et løsningsforslag Bokmål UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i : INF231 Digital bildebehandling Eksamensdag : Onsdag 3. juni 29 Tid for eksamen : 14:3 17:3 Løsningsforslaget er på :

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: INF-Digital bildebehandling Eksamensdag: Tirsdag. mars 5 Tid for eksamen: 5:-9: Løsningsforslaget er på: sider Vedlegg: Ingen

Detaljer

DIGITALISERING Et bilde er en reell funksjon av to (eller flere) reelle variable. IN 106, V-2001 BILDE-DANNING. SAMPLING og KVANTISERING

DIGITALISERING Et bilde er en reell funksjon av to (eller flere) reelle variable. IN 106, V-2001 BILDE-DANNING. SAMPLING og KVANTISERING IN 06, V-200 DIGITALISERING Et bilde er en reell funksjon av to (eller flere) reelle variable. BILDE-DANNING SAMPLING og KVANTISERING BILDE-FORBEDRING I BILDE-DOMENET 2/3 200 Fritz Albregtsen. Trinn: Legg

Detaljer

Oppgave 3c Konvolusjonsteoremet: f Λ g, F G og f g, F Λ G F rste del sier at konvolusjon i det romlige domenet (f Λ g) er det samme som pixelvis multi

Oppgave 3c Konvolusjonsteoremet: f Λ g, F G og f g, F Λ G F rste del sier at konvolusjon i det romlige domenet (f Λ g) er det samme som pixelvis multi Oppgave 3a 1 P N 1 N x=0 P N 1 y=0 f (x; y) e j2ß(ux+vy)=n Oppgave 3b 2D diskret konvolusjon for x =0to M for y =0to N h(x; y) =0 for m =0to M for n =0to N h(x; y)+ = f (m; n) Λ g(x m; y n) h(x; y) =h(x;

Detaljer

Intensitetstransformasjoner og Spatial Filtrering

Intensitetstransformasjoner og Spatial Filtrering Intensitetstransformasjoner og Spatial Filtrering Lars Vidar Magnusson January 23, 2017 Delkapittel 3.1 Background Delkapittel 3.2 Some Basic Intensity Tranformation Functions Spatial Domain Som vi allerede

Detaljer

Grunnleggende om Digitale Bilder (ITD33515)

Grunnleggende om Digitale Bilder (ITD33515) Grunnleggende om Digitale Bilder (ITD33515) Lars Vidar Magnusson January 13, 2017 Delkapittel 2.2, 2.3, 2.4 og 2.5 Lys og det Elektromagnetiske Spektrum Bølgelengde, Frekvens og Energi Bølgelengde λ og

Detaljer

Morfologiske operasjoner på binære bilder

Morfologiske operasjoner på binære bilder Digital bildebehandling Forelesning 13 Morfologiske operasjoner på binære bilder Andreas Kleppe Repetisjon av grunnleggende mengdeteori Fundamentale operatorer Sammensatte operatorer Eksempler på anvendelser

Detaljer

RF5100 Lineær algebra Leksjon 10

RF5100 Lineær algebra Leksjon 10 RF5100 Lineær algebra Leksjon 10 Lars Sydnes, NITH 11. november 2013 I. LITT OM LYS OG FARGER GRUNNLEGGENDE FORUTSETNINGER Vi ser objekter fordi de reflekterer lys. Lys kan betraktes som bølger / forstyrrelser

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i : INF2310 Digital bildebehandling Eksamensdag : Onsdag 4. juni 2008 Tid for eksamen : 14:30 17:30 (3 timer) Oppgavesettet er på

Detaljer

Motivasjon. Litt sett-teori. Eksempel. INF Mesteparten av kap i DIP Morfologiske operasjoner på binære bilder.

Motivasjon. Litt sett-teori. Eksempel. INF Mesteparten av kap i DIP Morfologiske operasjoner på binære bilder. 1 Motivasjon INF 2310 Mesteparten av kap 9.1-9.5 i DIP Morfologiske operasjoner på binære bilder Basis-begreper Fundamentale operasjoner på binære bilder Sammensatte operasjoner Eksempler på anvendelser

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i : INF2310 Digital bildebehandling Eksamensdag : Onsdag 2. juni 2010 Tid for eksamen : 09:00 12:00 Oppgavesettet er på : XXX sider

Detaljer

Repetisjon av histogrammer

Repetisjon av histogrammer Repetisjon av histogrammer INF 231 Hovedsakelig fra kap. 3.3 i DIP Histogramtransformasjoner Histogramutjevning Histogramtilpasning Standardisering av histogram for billedserier Litt om histogramtransformasjoner

Detaljer

EKSAMEN I EMNE TDT4195 BILDETEKNIKK ONSDAG 3. JUNI 2009 KL. 09.00 13.00

EKSAMEN I EMNE TDT4195 BILDETEKNIKK ONSDAG 3. JUNI 2009 KL. 09.00 13.00 Side 1 av 5 EKSAMEN I EMNE TDT4195 BILDETEKNIKK ONSDAG 3. JUNI 2009 KL. 09.00 13.00 Oppgavestillere: Kvalitetskontroll: Richard Blake Jo Skjermo Torbjørn Hallgren Kontakt under eksamen: Richard Blake tlf.

Detaljer

LØSNINGSANTYDNING EKSAMEN

LØSNINGSANTYDNING EKSAMEN Universitetet i Agder Fakultet for teknologi og realfag LØSNINGSANTYDNING EKSAMEN Emnekode: Emnenavn: DAT Grafisk Databehandling Dato: 5. desember Varighet: 9 - Antall sider inkl. forside 8 Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

KONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE TDT4195 BILDETEKNIKK ONSDAG 13. AUGUST 2008 KL. 09.00 13.00

KONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE TDT4195 BILDETEKNIKK ONSDAG 13. AUGUST 2008 KL. 09.00 13.00 Side 1 av 5 NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Fakultet for informasjonsteknologi, matematikk og elektroteknikk Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap KONTINUASJONSEKSAMEN

Detaljer

HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for ingeniørutdanning

HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for ingeniørutdanning HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for ingeniørutdanning Eksamen i SOD 165 Grafiske metoder Klasse : 3D Dato : 15. august 2000 Antall oppgaver : 4 Antall sider : 4 Vedlegg : Utdrag fra OpenGL Reference Manual

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: INF30-Digital bildebehandling Eksamensdag: Tirsdag 5. mars 06 Tid for eksamen: 09:00-3:00 Løsningsforslaget er på: 4 sider Vedlegg:

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Løsningsforslag UNIVERSIEE I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i : INF3 Digital bildebehandling Eksamensdag : irsdag 9. mars id for eksamen : 5: 9: Oppgavesettet er på : 5 sider

Detaljer

Gråtonehistogrammer. Histogrammer. Hvordan endre kontrasten i et bilde? INF Hovedsakelig fra kap. 6.3 til 6.6

Gråtonehistogrammer. Histogrammer. Hvordan endre kontrasten i et bilde? INF Hovedsakelig fra kap. 6.3 til 6.6 Hvordan endre kontrasten i et bilde? INF 230 Hovedsakelig fra kap. 6.3 til 6.6 Histogrammer Histogramtransformasjoner Histogramutjevning Histogramtilpasning Histogrammer i flere dimensjoner Matematisk

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Eksamen i UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet INF 160 Digital bildebehandling Eksamensdag: Mandag 12. mai - mandag 26. mai 2003 Tid for eksamen: 12. mai 2003 kl 09:00 26. mai

Detaljer

Lokale operasjoner. Omgivelser/naboskap/vindu. Bruksområder - filtrering. INF 2310 Digital bildebehandling FILTRERING I BILDE-DOMÈNET I

Lokale operasjoner. Omgivelser/naboskap/vindu. Bruksområder - filtrering. INF 2310 Digital bildebehandling FILTRERING I BILDE-DOMÈNET I Lokale operasjoner INF 30 Digital bildebehandling FILTRERING I BILDE-DOMÈNET I Naboskaps-operasjoner Konvolusjon og korrelasjon Kant-bevarende filtre Ikke-lineære filtre GW Kap. 3.4-3.5 + Kap. 5.3 Vi skal

Detaljer

Bildetransformer Lars Aurdal

Bildetransformer Lars Aurdal Bildetransformer Lars Aurdal FORSVARETS FORSKNINGSINSTITUTT Lars Aurdal. Forsvarets forskningsinstitutt (FFI), Kjeller. 5 ansatte. Ca. 3 forskere og ingeniører. Tverrfaglig institutt med vekt på arbeide

Detaljer

Algoritmer og datastrukturer Kapittel 2 - Delkapittel 2.1

Algoritmer og datastrukturer Kapittel 2 - Delkapittel 2.1 Delkapittel 2.1 Plangeometriske algoritmer Side 1 av 7 Algoritmer og datastrukturer Kapittel 2 - Delkapittel 2.1 2.1 Punkter, linjesegmenter og polygoner 2.1.1 Polygoner og internett HTML-sider kan ha

Detaljer

INF 1040 løsningsforslag til kapittel 17

INF 1040 løsningsforslag til kapittel 17 INF 1040 løsningsforslag til kapittel 17 Oppgave 1: Bilder og histogrammer Her ser du pikselverdiene i et lite bilde. Kan du regne ut histogrammet til bildet, dvs. lage en tabell over hvor mange piksler

Detaljer

Motivasjon. INF 2310 Morfologi. Eksempel. Gjenkjenning av objekter intro (mer i INF 4300) Problem: gjenkjenn alle tall i bildet automatisk.

Motivasjon. INF 2310 Morfologi. Eksempel. Gjenkjenning av objekter intro (mer i INF 4300) Problem: gjenkjenn alle tall i bildet automatisk. INF 230 Morfologi Morfologiske operasjoner på binære bilder:. Basis-begreper 2. Fundamentale operasjoner på binære bilder 3. ammensatte operasjoner 4. Eksempler på anvendelser flettet inn GW, Kapittel

Detaljer

EKSAMEN I EMNET TDT4195 BILDETEKNIKK ONSDAG 24. MAI 2006 KL. 09.00 13.00

EKSAMEN I EMNET TDT4195 BILDETEKNIKK ONSDAG 24. MAI 2006 KL. 09.00 13.00 NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Fakultet for informasjonsteknologi, matematikk og elektroteknikk Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap EKSAMEN I EMNET TDT4195 BILDETEKNIKK

Detaljer

Temaer i dag. Repetisjon av histogrammer II. Repetisjon av histogrammer I. INF 2310 Digital bildebehandling FORELESNING 5.

Temaer i dag. Repetisjon av histogrammer II. Repetisjon av histogrammer I. INF 2310 Digital bildebehandling FORELESNING 5. Temaer i dag INF 231 Digital bildebehandling FORELESNING 5 HISTOGRAM-TRANSFORMASJONER Fritz Albregtsen Histogramtransformasjoner Histogramutjevning Histogramtilpasning Standardisering av histogram for

Detaljer

Komplekse tall og komplekse funksjoner

Komplekse tall og komplekse funksjoner KAPITTEL Komplekse tall og komplekse funksjoner. Komplekse tall.. Definisjon av komplekse tall. De komplekse tallene er en utvidelse av de reelle tallene. Dvs at de komplekse tallene er en tallmengde som

Detaljer

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1103, 2.mars 2010

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1103, 2.mars 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA03,.mars 00 Oppgave Tegn figur og finn en parametrisering for skjæringskurven

Detaljer

For J kvantiseringsnivåer er mean square feilen:

For J kvantiseringsnivåer er mean square feilen: Slide 1 Slide 2 Kap. 6 Bilde kvantisering Kap. 6.1 Skalar kvantisering Desisons og rekonstruksonsnivåer velges ved å minimalisere et gitt kvantiseringsfeilmål mellom f og ˆf. Kvantisering: Prosessen som

Detaljer

Flater, kanter og linjer INF Fritz Albregtsen

Flater, kanter og linjer INF Fritz Albregtsen Flater, kanter og linjer INF 160-11.03.2003 Fritz Albregtsen Tema: Naboskaps-operasjoner Del 3: - Canny s kant-detektor - Rang-filtrering - Hybride filtre - Adaptive filtre Litteratur: Efford, DIP, kap.

Detaljer

Introduksjon. Morfologiske operasjoner på binære bilder. Litt mengdeteori. Eksempel: Lenke sammen objekter INF

Introduksjon. Morfologiske operasjoner på binære bilder. Litt mengdeteori. Eksempel: Lenke sammen objekter INF INF230 5.05.202 Morfologiske operasjoner på binære bilder Repetisjon av grunnleggende mengdeteori Fundamentale operatorer Sammensatte operatorer Eksempler på anvendelser er flettet inn DIP: 9.-9.4, 9.5.,

Detaljer

Lokal PVM. To små eksempler. Lokal PVM - 2. Sum av bilder

Lokal PVM. To små eksempler. Lokal PVM - 2. Sum av bilder Standardisering av bildets histogram INF 60-8.02.2003 Fritz Albregtsen Tema: Naboskaps-operasjoner Del : - Standardisering av bilder - Konvolusjon Litteratur: Efford, DIP, kap. 7. - 7.2 Hensikt: Sørge

Detaljer

Kantsegmentering NTNU

Kantsegmentering NTNU Kantsegmentering Lars Aurdal Norsk regnesentral aurdal@nr.no 19. april 24 Oversikt, kantsegmentering Litt praktisk informasjon. Motivasjon. Hva er en kant i et bilde? Hva er segmentering? Hva er kantsegmentering?

Detaljer

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009 Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG. Universitetet i Agder Fakultet for Teknologi og realfag. Dato: 03. desember 2009 Varighet: Antall sider inkl.

LØSNINGSFORSLAG. Universitetet i Agder Fakultet for Teknologi og realfag. Dato: 03. desember 2009 Varighet: Antall sider inkl. Universitetet i Agder Fakultet for Teknologi og realfag LØSNINGSFORSLAG Emnekode: Emnenavn: DAT2 Grafisk Databehandling Dato: 3. desember 29 Varighet: 9-3 Antall sider inkl. forside 8 Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 2014 kl. 14 Antall oppgaver: 13

Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 2014 kl. 14 Antall oppgaver: 13 Innlevering FO99A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 014 kl. 14 Antall oppgaver: 13 Løsningsforslag 1 Finn volumet til tetraederet med hjørner O(0,

Detaljer

2D Transformasjoner (s. 51 i VTK boken) Translasjon. Del 2 Grafisk databehandling forts. Rotasjon. Skalering. y x = x + d x, y = y + d y.

2D Transformasjoner (s. 51 i VTK boken) Translasjon. Del 2 Grafisk databehandling forts. Rotasjon. Skalering. y x = x + d x, y = y + d y. 2D Transformasjoner (s. i VTK boken) Translasjon Del 2 Grafisk databehandling forts. (, ) = + d, = + d På matriseform: d d (, ) P =, P =, T = d d P = P + T 24/2-3 IN229 / V3 / Dag 6 2 Skalering Rotasjon

Detaljer

Computer Graphics with OpenGL

Computer Graphics with OpenGL Computer Graphics with OpenGL 2. Computer Graphics Hardware Plasmapaneler baserer seg på gass som satt under spenning vil emittere lys. LCD-skjermer baserer seg på at lys kan polariseres og at krystaller

Detaljer

Lineære likningssystemer og matriser

Lineære likningssystemer og matriser Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger

Detaljer

Visualiseringsdelen - Oppsummering

Visualiseringsdelen - Oppsummering Visualiseringsdelen - Oppsummering Fenomen/prosess Visualisering i inf2340 Måling Mat. modell Simulering inf2340 - Simuleringsdelen inf2340 - Visualiseringsdelen 1.23E-08 2.59E-10 3.04E-08 3.87E-09 7.33E-06

Detaljer

INF februar 2017 Ukens temaer (Hovedsakelig fra kap. 3.1 og 3.2 i DIP) (Histogrammer omtales i kap. 3.3)

INF februar 2017 Ukens temaer (Hovedsakelig fra kap. 3.1 og 3.2 i DIP) (Histogrammer omtales i kap. 3.3) 8. februar 2017 Ukens temaer (Hovedsakelig fra kap. 3.1 og 3.2 i DIP) (Histogrammer omtales i kap. 3.3) Histogrammer Lineære gråtonetransformer Standardisering av bilder med lineær transform Ikke-lineære,

Detaljer

EKSAMEN I EMNE TDT4230 VISUALISERING TIRSDAG 18. DESEMBER 2007 KL LØSNINGSFORSLAG

EKSAMEN I EMNE TDT4230 VISUALISERING TIRSDAG 18. DESEMBER 2007 KL LØSNINGSFORSLAG Side 1 av 10 NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Fakultet for fysikk, informatikk og matematikk Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap EKSAMEN I EMNE TDT40 VISUALISERING TIRSDAG

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101)

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA0/MA60) Fredag 2. desember 202 Tid: 09:00 3:00 Hjelpemidler: Kode

Detaljer

INF2220: Time 12 - Sortering

INF2220: Time 12 - Sortering INF0: Time 1 - Sortering Mathias Lohne mathialo Noen algoritmer Vi skal nå se på noen konkrete sorteringsalgoritmer. Gjennomgående i alle eksempler vil vi sortere tall etter tallverdi, men som diskutert

Detaljer

Noen presiseringer mhp Diskret Fourier Transform. Relevant for oblig 1.

Noen presiseringer mhp Diskret Fourier Transform. Relevant for oblig 1. FYS2130 Våren 2008 Noen presiseringer mhp Diskret Fourier Transform. Relevant for oblig 1. Vi har på forelesning gått gjennom foldingsfenomenet ved diskret Fourier transform, men ikke vært pinlig nøyaktige

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i : INF2310 Digital bildebehandling Eksamensdag : Onsdag 4. juni 2008 Tid for eksamen : 14:30 17:30 (3 timer) Oppgavesettet er på

Detaljer

Neste to forelesninger. Bildefiler - bildeformater De aller fleste bildeformater 3/18/2009. Digitale bilder med spesielt fokus på medisinske bilder

Neste to forelesninger. Bildefiler - bildeformater De aller fleste bildeformater 3/18/2009. Digitale bilder med spesielt fokus på medisinske bilder 3/8/29 Digitale bilder med spesielt fokus på medisinske bilder Karsten Eilertsen Radiumhospitalet Neste to forelesninger Torsdag 29/: Enkel innføring i digitale bilder Eksempler på noen enkle metoder for

Detaljer

En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x).

En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Funksjoner En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Mengden D kalles definisjonsmengden (eng.: domain) til f. Merknad Dersom

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk 2008

Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-

Detaljer

INF februar 2017 Ukens temaer (Kap 3.3 i DIP)

INF februar 2017 Ukens temaer (Kap 3.3 i DIP) 15. februar 2017 Ukens temaer (Kap 3.3 i DIP) Kjapp repetisjon av gråtonetransformasjon Histogramtransformasjoner Histogramutjevning Histogramtilpasning/histogramspesifikasjon Standardisering av histogram

Detaljer

0.1 Kort introduksjon til komplekse tall

0.1 Kort introduksjon til komplekse tall Enkel introduksjon til matnyttig matematikk Vi vil i denne innledningen introdusere litt matematikk som kan være til nytte i kurset. I noen tilfeller vil vi bare skrive opp uttrykk uten å komme inn på

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Bokmål UNIVERSIEE I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i : INF2310 Digital bildebehandling Eksamensdag : irsdag 29. mars 2011 id for eksamen : 15:00 19:00 Oppgavesettet er på : 5

Detaljer

RF5100 Lineær algebra Leksjon 1

RF5100 Lineær algebra Leksjon 1 RF5100 Lineær algebra Leksjon 1 Lars Sydnes, NITH 20.august 2013 I. INFORMASJON FAGLÆRER Kontakt: Lars Sydnes lars.sydnes@nith.no 93035685 Bakgrunn: Doktorgrad i Matematikk fra NTNU (2012), Siv.ing. Industriell

Detaljer

Matematisk morfologi III

Matematisk morfologi III Matematisk morfologi III Lars Aurdal Norsk regnesentral Lars.Aurdal@nr.no 4. desember 2003 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Oversikt, kursdag 3 Sammensatte operasjoner: Hit-or-miss-transformen. Skjeletter.

Detaljer

Oversikt, kursdag 3. Matematisk morfologi III. Hit-or-miss transformen og skjeletter. Hit-or-miss transformen og skjeletter

Oversikt, kursdag 3. Matematisk morfologi III. Hit-or-miss transformen og skjeletter. Hit-or-miss transformen og skjeletter Matematisk morfologi III Lars Aurdal Norsk regnesentral Lars.Aurdal@nr.no 4. desember 2003 Sammensatte operasjoner: Hit-or-miss-transformen. Skjeletter. Oversikt, kursdag 3 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR

Detaljer

Sprettende ball Introduksjon Processing PDF

Sprettende ball Introduksjon Processing PDF Sprettende ball Introduksjon Processing PDF Introduksjon: I denne modulen skal vi lære et programmeringsspråk som heter Processing. Det ble laget for å gjøre programmering lett for designere og andre som

Detaljer

Kanter, kanter, mange mangekanter

Kanter, kanter, mange mangekanter Kanter, kanter, mange mangekanter Nybegynner Processing PDF Introduksjon: Her skal vi se på litt mer avansert opptegning og bevegelse. Vi skal ta utgangspunkt i oppgaven om den sprettende ballen, men bytte

Detaljer

x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder

x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder 4 Noen merknader 4. Lineære systemer Ax = b Gitt systemet Ax = b, A = [a i,j ] i=,,...,m, j=,,...,n x = b = Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder b i. Med det finnes

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte EMFE DAFE ELFE BYFE Dato: august 25 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave a) Gitt matrisene A = 2 3 2 4 2 Løsningsforslag og

Detaljer

Konvolusjon og filtrering og frevensanalyse av signaler

Konvolusjon og filtrering og frevensanalyse av signaler Høgskolen i Østfold Avdeling for informasjonsteknologi Fag IAD33505 Bildebehandling og mønstergjenkjenning Laboppgave nr 2 Konvolusjon og filtrering og frevensanalyse av signaler Sarpsborg 21.01.2005 20.01.05

Detaljer

Sammendrag kapittel 9 - Geometri

Sammendrag kapittel 9 - Geometri Sammendrag kapittel 9 - Geometri Absolutt vinkelmål (radianer) Det absolutte vinkelmålet til en vinkel v, er folholdet mellom buelengden b, og radien r. Buelengde v = b r Med v i radianer! b = r v Omregning

Detaljer

TDT4105/TDT4110 Informasjonsteknologi grunnkurs:

TDT4105/TDT4110 Informasjonsteknologi grunnkurs: 1 TDT4105/TDT4110 Informasjonsteknologi grunnkurs: Uke 38 Digital representasjon, del 2 - Representasjon av lyd og bilder - Komprimering av data Rune Sætre satre@idi.ntnu.no 2 Digitalisering av lyd Et

Detaljer

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra It s learning.

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra It s learning. Stavanger, 6. august 013 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE500 Signalbehandling, 013. Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra It s learning. Innhold 5.1 Implementering av IIR filter....................

Detaljer

Kodetime for Nordstrand barneskole

Kodetime for Nordstrand barneskole Kodetime for Nordstrand barneskole av Veronika Heimsbakk og Lars Erik Realfsen 1 Hva er Processing? Processing er et programmeringsspråk som er gratis, og tilgjengelig for alle! Man kan programmere i Processing

Detaljer

Sprettball Erfaren ComputerCraft PDF

Sprettball Erfaren ComputerCraft PDF Sprettball Erfaren ComputerCraft PDF Introduksjon Nå skal vi lære hvordan vi kan koble en skjerm til datamaskinen. Med en ekstra skjerm kan vi bruke datamaskinen til å kommunisere med verden rundt oss.

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

Prosjekt TDT 4195. av Kristian Høegh Mysen & Olav Aanes Fagerlund

Prosjekt TDT 4195. av Kristian Høegh Mysen & Olav Aanes Fagerlund Prosjekt TDT 4195 av Kristian Høegh Mysen & Olav Aanes Fagerlund 3. mai 2007 Kapittel 1 Bilde analyse delen Vi valgte å gjøre som anbefalt i oppgavetekseten; eksperimentere med forskjellige filtere i bildebehandlings

Detaljer

R2 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

R2 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka R kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka E Bruker formelen cos 36 cos( 8 ) E sin 8 v og sin8 5 cos v sin sin8 5 5 6 5 5 8 5 5 8 6 5 8 6 5 8 8 3 5 5 5 a f ( ) sin 5 cos f ( ) 5cos

Detaljer

EKSAMEN I EMNE TDT4195 BILDETEKNIKK TORSDAG 9. JUNI 2011 KL Løsningsforslag

EKSAMEN I EMNE TDT4195 BILDETEKNIKK TORSDAG 9. JUNI 2011 KL Løsningsforslag Side 1 av 1 EKSAMEN I EMNE TDT4195 BILDETEKNIKK TORSDAG 9. JUNI 011 KL. 09.00 13.00 Løsningsforslag OPPGAVE 1 Grafikk Planet a) En terning med hjørner som angitt har sidekant 1 og ligger i første oktant

Detaljer

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2 Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2 1 Bestem den naturlige denisjonsmengden til følgende funksjoner.

Detaljer

Løpende strekmann Erfaren Videregående Python PDF

Løpende strekmann Erfaren Videregående Python PDF Løpende strekmann Erfaren Videregående Python PDF Introduksjon I denne oppgaven skal du lage et spill der du styrer en strekmann som hopper over hindringer. Steg 1: Ny fil Begynn med å lage en fil som

Detaljer

SINUS R1, kapittel 5-8

SINUS R1, kapittel 5-8 Løsning av noen oppgaver i SINUS R1, kapittel 5-8 Digital pakke B TI-Nspire Enkel kalkulator (Sharp EL-506, TI 30XIIB eller Casio fx-82es) Oppgaver og sidetall i læreboka: 5.43 c side 168 5.52 side 173

Detaljer

EKSAMEN I EMNE TDT4195 BILDETEKNIKK TORSDAG 9. JUNI 2011 KL

EKSAMEN I EMNE TDT4195 BILDETEKNIKK TORSDAG 9. JUNI 2011 KL Side av 5 EKSAMEN I EMNE TDT495 BILDETEKNIKK TORSDAG 9. JUNI 0 KL. 09.00 3.00 Oppgavestillere: Richard Blake Torbjørn Hallgren Kontakt under eksamen: Richard Blake tlf. 93683/96 0 905 Torbjørn Hallgren

Detaljer

Oversikt, kursdag 5. Matematisk morfologi V. Hva er segmentering. Hva er segmentering. Lars Aurdal Norsk regnesentral

Oversikt, kursdag 5. Matematisk morfologi V. Hva er segmentering. Hva er segmentering. Lars Aurdal Norsk regnesentral Matematisk morfologi V Lars Aurdal Norsk regnesentral Lars.Aurdal@nr.no 4. desember 2003 Segmentering: Watershedtransformen. Oversikt, kursdag 5 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR

Detaljer

Norsk informatikkolympiade 2012 2013 1. runde

Norsk informatikkolympiade 2012 2013 1. runde Norsk informatikkolympiade 2012 2013 1. runde Uke 45, 2012 Tid: 90 minutter Tillatte hjelpemidler: Kun skrivesaker. Det er ikke tillatt med kalkulator eller trykte eller håndskrevne hjelpemidler. Instruksjoner:

Detaljer

INF 2310 Digital bildebehandling FORELESNING 5. Fritz Albregtsen. Pensum: Hovedsakelig 3.3 i DIP HISTOGRAM-TRANSFORMASJONER

INF 2310 Digital bildebehandling FORELESNING 5. Fritz Albregtsen. Pensum: Hovedsakelig 3.3 i DIP HISTOGRAM-TRANSFORMASJONER Temaer i dag INF 231 Digital bildebehandling FORELESNING 5 HISTOGRAM-TRANSFORMASJONER Fritz Albregtsen Histogramtransformasjoner Histogramutjevning Histogramtilpasning Standardisering av histogram for

Detaljer

1 Mandag 22. februar 2010

1 Mandag 22. februar 2010 1 Mandag 22. februar 2010 Vi begynner med litt repetisjon fra forrige gang, med å sjekke om et vektorfelt er konservativt og dersom svaret er ja, regne ut potensialfunksjonen. Videre skal vi se på en variant

Detaljer

Norges Informasjonstekonlogiske Høgskole

Norges Informasjonstekonlogiske Høgskole Oppgavesettet består av 9 (ni) sider. Norges Informasjonstekonlogiske Høgskole RF5100 Lineær algebra Side 1 av 9 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator, vedlagt formelark Varighet: 3 timer Dato: 11.desember

Detaljer

TMA4123 - Kræsjkurs i Matlab. Oppgavesett 3 Versjon 1.2

TMA4123 - Kræsjkurs i Matlab. Oppgavesett 3 Versjon 1.2 TMA4123 - Kræsjkurs i Matlab. Oppgavesett 3 Versjon 1.2 07.03.2013 I dette oppgavesettet skal vi se på ulike måter fouriertransformasjonen anvendes i praksis. Fokus er på støyfjerning i signaler. I tillegg

Detaljer

HamboHus 5.4 Rev. 1, 8. september 2005 A. Cordray

HamboHus 5.4 Rev. 1, 8. september 2005 A. Cordray HamboHus Technical Note Nr 10: Terreng HamboHus 5.4 Rev. 1, 8. september 2005 A. Cordray I HamboHus 5.4 er implementasjonen av terreng utvidet og forbedret. Det er lettere å lage terrengpunkter, og mye

Detaljer

Hensikt: INF Metode: Naboskaps-operasjoner Hvorfor: Hvor:

Hensikt: INF Metode: Naboskaps-operasjoner Hvorfor: Hvor: Standardisering av bildets histogram INF 60-8.02.2003 Fritz Albregtsen Tema: Naboskaps-operasjoner Del : - Standardisering av bilder - Konvolusjon Litteratur: Efford, DIP, kap. 7. - 7.2 Hensikt: Sørge

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

Kjeglesnitt. Harald Hanche-Olsen. Versjon

Kjeglesnitt. Harald Hanche-Olsen. Versjon Kjeglesnitt Harald Hanche-Olsen hanche@math.ntnu.no Versjon 1.0 2013-01-25 Innledning Kjeglesnittene sirkler, ellipser, parabler og hyperbler er klassiske kurver som har vært studert siden antikken. Kjeglesnittene

Detaljer

Eksamensoppgavehefte 1. MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler

Eksamensoppgavehefte 1. MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler Eksamensoppgavehefte 1 MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler Matematisk institutt, UiO, våren 2010 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor

Detaljer

Fig1. Den konvekse innhyllinga av 100 tilfeldige punkter i planet (de samme som nyttes i oppgaven.)

Fig1. Den konvekse innhyllinga av 100 tilfeldige punkter i planet (de samme som nyttes i oppgaven.) Oblig3 i INF2440 våren 2015-ver3. Den konvekse innhyllinga til en punktmengde - et rekursivt geometrisk problem. Innleveringsfrist fredag 27. mars kl. 23.59 En punktmengde P i planet består av n forskjellige

Detaljer

GeoGebraøvelser i geometri

GeoGebraøvelser i geometri GeoGebraøvelser i geometri av Peer Andersen Peer Andersen 2014 Innhold Innledning... 3 Øvelse 1. Figurer i GeoGebra... 4 Øvelse 2. Noen funksjoner i GeoGebra... 8 Øvelse 3. Omskrevet sirkelen til en trekant...

Detaljer

E K S A M E N S O P P G A V E

E K S A M E N S O P P G A V E HØGSKOLEN I AGDER Fakultet for teknologi E K S A M E N S O P P G A V E EMNE: FAGLÆRER: DAT 2 Grafisk Databehandling Morgan Konnestad Klasse(r): 2DTM, 2DT, 2 Siving, DT Dato: 8.2.6 Eksamenstid, fra-til:

Detaljer

RF5100 Lineær algebra Leksjon 12

RF5100 Lineær algebra Leksjon 12 RF5100 Lineær algebra Leksjon 12 Lars Sydnes, NITH 26. november 2013 I. GAUSS-ELIMINASJON 2x + 3y + z = 1 2x + 5y z = 1 4x + 7y + 4z = 3 x + 3/2 y + 1/2 z = 1/2 x + 2z = 2 y z = 1 3z = 2 x + 2z = 2 y z

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

Tempoplan: Kapittel 4: 8/11 14/12. Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver.

Tempoplan: Kapittel 4: 8/11 14/12. Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. Tempoplan: Kapittel 4: 8/11 14/1. Kapittel 5: /1 1/. Kapittel 6: 1/ 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 3: Vektorer Dette kapitlet er meget spesielt og annerledes enn den matematikken

Detaljer

Norsk informatikkolympiade runde. Sponset av. Uke 46, 2016

Norsk informatikkolympiade runde. Sponset av. Uke 46, 2016 Norsk informatikkolympiade 2016 2017 1. runde Sponset av Uke 46, 2016 Tid: 90 minutter Tillatte hjelpemidler: Kun skrivesaker. Det er ikke tillatt med kalkulator eller trykte eller håndskrevne hjelpemidler.

Detaljer

Talsnes ONE - 995850168 Enhver form for mangfoldiggjørelse av hele eller deler av innholdet av dette materiale er i henhold til norsk lov om

Talsnes ONE - 995850168 Enhver form for mangfoldiggjørelse av hele eller deler av innholdet av dette materiale er i henhold til norsk lov om 1 Eksponentielt vekst: En størrelse vokser eller avtar med en fast prosent per tidsenhet. Eulers tall e: En matematisk konstant, e=2,7 1828.. ln a gir det tallet du må opphøye Eulers tall e i for å få

Detaljer

Photoshop CC Guy M. Huste, IGM AS

Photoshop CC Guy M. Huste, IGM AS Photoshop CC Guy M. Huste, IGM AS 2 Når du skal sammenkopiere flere bilder, så må sluttresultatet se troverdig ut. Det holder ikke med å bare klippe-og-lime. Planleggingsfasen før sammenkopieringen er

Detaljer

Matematisk Morfologi Lars Aurdal

Matematisk Morfologi Lars Aurdal Matematisk Morfologi Lars Aurdal FORSVARETS FORSKNINGSINSTITUTT Motivasjon. Plan Grunnleggende setteori. Grunnleggende operasjoner. Dilasjon. Erosjon. Sammensatte operasjoner Åpning Lukning Algoritmer.

Detaljer

Oppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver

Oppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver Oppgaver og løsningsforslag for 4t eksamen 10.mai 006 i LO510D Lineær algebra med grafiske anvendelser. Fra og med oppgave skal alle svar begrunnes. Oppgave 1 (5 %) - Flervalgsoppgaver Denne oppgaven består

Detaljer