Vektorer og matriser

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Vektorer og matriser"

Transkript

1 DUMMY Vektorer og matriser Lars Sydnes 1.september 2014 OBS: UNDER UTVIKLING Oppgaver Det finnes passende oppgaver og løsningsforslag til dette notatet. 1 Innledning La oss se på et system av tre lineære ligninger i tre ukjente: (1 0 ) 2x + 4y z = 1 (2 0 ) x y + z = 2 (3 0 ) 3x + y z = 2 Vi skal se hvordan vi kan skrive dette som en matriseligning der x er den ukjente vektoren A er matrisen og b er vektoren Ax = b, x x = y, z A = b = 2 2

2 Når vi skriver Ax, mener vi produktet av matrisen A og vektoren x. Vi definerer en multiplikasjonsoperasjon for matriser og vektorer slik at produktet Ax av matrisen A og vektoren x er lik 2x + 4y z Ax = x y + z 3x + y z Senere skal vi definere hva vi mener med den inverse matrisen A 1 til A. Det lar oss uttrykke løsningen av ligningen slik: x = A 1 b Før vi kommer så langt, skal vi ta et raskt overblikk over vektor- og matrisealgebra. 2 Vektorrom Vi er allerede vant med å arbeide med 2-dimensjonale og 3-dimensjonale vektorer, d.v.s vektorer av typen [ a, og b x y z Vi er vant til at disse representerer (1) forflytninger i planet/rommet og (2) posisjoner (d.v.s. forflytningsvektor i forhold til et utvalgt punkt origo ). Vi har etablert visse operasjoner for slike vektorer: Addisjon Skalering (multiplikasjon med skalar 1 ) Disse operasjonene utføres komponentvis. Det vil si at vi behandler x-, y- og z-komponentene hver for seg. Vi har for eksempel: [ [ 4 = 2 [ = I tillegg har vi vektoroperasjonen subtraksjon, som vi kan definere slik: 1 En skalar er et vanlig reelt tall. u v = u + ( 1)v.

3 Disse operasjonene respekterer det vi kan kalle vanlige regneregler. Hvis u, v er vektorer, så vil for eksempel alltid 2(v + 2u) v = 2v + 4u v = 2u + 3v. Her brukte vi flere lover (regneregler), som vi kan beskrive som følger: Anta at a, b, c er vektorer og at r, s er skalarer. De assosiative lovene (a + b) + c = a + (b + c) og r(sa) = (rs)a De distributive lovene: ra + sa = (r + s)a og ra + rb = r(a + b) Den komuttative loven: a + b = b + a. Vi vil nå utvide vektorbegrepet til å omfatte andre klasser av objekter som oppfører seg på denne måten. Dette kan ses i lys av objektorientert programmering: Vi definerer et grensesnitt som definerer hva en vektor er. Senere skal vi se hvordan dette kan løses i java. 2.1 Definisjon av vektorrom Et vektorrom V er en mengde med vektoroperasjoner addisjon, subtraksjon og skalering som tilfredsstiller lovene beskrevet over, d.v.s de assosiative lovene, de distributive lovene og den kommutative loven. Videre krever vi at det finnes et utvalgt element 0, som kalles nullvektoren. Nullvektoren skal oppføre seg slik: 0 + a = a r0 = 0 0a = 0 Legg merke til skillet mellom nullvektoren 0 og skalaren 0. Begrepet vektorrom er faktisk veldig viktig: For at vi skal kunne legge sammen to vektorer, er det avgjørende at vektorene tilhører samme 2.2 Eksempeler på vektorrom Funksjoner Mengden av funksjoner f definert for a < x < b, kan betegnes F b a. Hvis f, g er elementer i F b a og α er et reelt tall, kan vi definere nye funksjoner: f + g er definert ved at (f + g)(x) = f(x) + g(x) αf er definert ved at (αf)(x) = α f(x). Man kan enkelt sjekke at disse operasjonene er assosiative, distributive og kommuttative, samt at funksjonen 0(x) = 0 fungerer fint som nullvektor. Vi kan altså snakke om et vektorrom.

4 2.2.2 Deriverbare funksjoner Fra matematikk R1 kjenner vi til at (αf(x) + βg(x)) = αf (x) + βg (x) når α og β er konstanter. Dette betyr at hvis f og g er deriverbare i punktet x, så er også kombinasjonen αf + βg deriverbar i punktet x. Dette kan vi oppsummere ved å si at mengden av funksjoner som er deriverbare på intervallet a < x < b utgjør et vektorrom. Vi kan bruke symbolet D b a til å betegne dette vektorrommet Tidsserier La oss si at vi er interessert i å studere temperaturen på ulike steder de siste 1000 dagene. Disse temperaturene kan organiseres i vektorer med 1000 komponenter. t = [ Målinger vi gjør på Blindern kan organiseres i en vektor t b, mens målinger vi gjør i Trondheim kan organiseres i en vektor t t. Det gir mening å bruke komponentvise vektoroperasjoner på slike vektorer. Temperaturforskjellen mellom disse stedene er representert av vektoren t b t t, mens gjennomsnittstemperaturen kan representeres slik: 1 2 t b t t. Her ser vi altså på vektorer med 1000 komponenter, som behandles komponentvis Det n-dimensjonale standardrom. Til nå har vi sett på vektorer med 2, 3 og 1000 komponenter. Vektorene med n komponenter organiseres i det n-dimensjonale standardrommet, som vi betegner med symbolet R n. Nå kan vi si at Rommet av vektorer med 2 komponenter = R 2. Rommet av vektorer med 3 komponenter = R 3. Rommet av vektorer med 1000 komponenter = R Her har vi brukt symbolet R, som vanligvis brukes for å betegne mengden av reelle tall (skalarer, eller om man vil: vektorer med 1 komponent).

5 2.2.5 Skalarprodukt av n-dimensjonale vektorer En vanlig operasjon for vektorer med n komponenter er skalarproduktet: (x 1, x 2,..., x n ) (y 1, y 2,..., y n ) = x 1 y 1 + x 2 y x + + x n y n I java-kode kunne vi uttrykke det slik: double scalarproduct(double[ x, double[ y){ product = 0; for (int i = 0; i < n; i++) product+=x[i*y[i; return product; Skalarproduktet går under mange navn: indreproduktet / inner product prikkproduktet / dot product skalarproduktet / scalar product Etterhvert skal vi se at skalarproduktet kan forstås som en variant av matrisemultiplikasjon. 2.3 Lineære transformasjoner Dersom V og W er to vektorrom og T : V W er en funksjon, så kalles T en lineær transformasjon dersom Dette betyr at vi kan velge mellom T (αv + βu) = αt v + βt u. å først bruke vektoroperasjoner i V og deretter transformere med T eller å først transformere med T for så å gjøre vektoroperasjoner i W. 2.4 Eksempler på lineære transformasjoner Skalering Derom r er et reelt tall, så får vi en tranformasjon S r : u ru. Denne transformasjonen er lineær, siden S r (αu + βv) = r(αu + βv) = rαu + rβv = αru + βrv = αs r u + βs r v. Her bruker vi den distributive loven, samt den kommutative loven for skalarmultiplikasjon.

6 2.4.2 Derivering La oss se på rommet D b a av deriverbare funksjoner på intervallet a < x < b og rommet F b a av funksjoner på det samme intervallet. Da kan vi se på derivering som en lineær transformasjon T d : D b a F b a, der T d f = f T d f er altså funksjonen som er definert ved at (T d f)(x) = f (x). Dette er kanskje litt heftig: En funksjon som opererer på funksjoner Matrisemultiplikasjon Vi skal senere se at en n m-matrise A gir en lineær transformasjon T A : R m R n. Vi skriver det gjerne slik: T A u = Au. Det er faktisk slik at enhver lineære transformasjon fra R m til R n kan uttrykkes på denne måten ved en n m-matrise. 3 Matriser En n m-matrise A er rett og slett en rektangulær oppstilling av tall. Her har vi en 2 3-matrise: [ Her har vi en 4 2-matrise: Mengden av n m-matriser kan vi betegne med R n m. Dette kalles rommet av n m-matriser. 3.1 Matriserom er vektorrom Hvis A og B er n m-matriser, så kan vi definere en ny n m-matrise αa + βb. Vi gjør her komponentvise operasjoner. Et eksempel på dette er [ [ [ [ ( 4) ( 2) = = Vi kan altså kombinere matriser med vektoroperasjoner.

7 3.2 n-vektorer er matriser Vi kan representere vektorer med n komponenter ved matriser på følgende måte: Som radvektorer, d.v.s. som 1 n-matriser. D.v.s. matriser med 1 rad: (x 1, x 2,..., x n ) [ x 1 x 2 x n Som søylevektorer (kolonnevektorer), d.v.s som n 1-matriser: x 1 x 2 (x 1, x 2,..., x n ). x n Vi kan altså se på matrisebegrepet som en utvidelse av vektorbegrepet. 3.3 Matrisemultiplikasjon Hvis A er en n k-matrise og B er en k m-matrise, så definerer vi matriseproduktet AB til å være en n m-matrise som er definert som følger: La oss betegne matriseelementet i rad i og kolonne j i A og B henholdsvis som a ij og b ij. Da er matriseelementet c ij i rad i og kolonne j i produktet AB definert som c ij = a i1 b 1j + a i2 b2 j + + a ik b kj = k a is b sj (1) s= Eksempel: Matrise og vektor. Vi kan representere vektoren [x, y, z ved 3 1-matrisen x x = y, z som vi har lov til å multiplisere med 3 3-matrisen A =

8 Resultatet skal være en 3 1-matrise, som altså kan fortolkes som en 3-vektor. Slik matriseproduktet er definert, får vi 2x + 4y z Ax = x y + z 3x + y z Vi kan altså representere ligningsystemet vårt (1 0 ), (2 0 ), (3 0 ) ved den kompakte ligningen 1 Ax = 2 2 Vi kan også multiplisere en 1 3-matrise med en 3 3-matrise: [ = [ Som vi ser, er resultatet en 1 3-matrise. 3.4 Ulike fremstillinger av matriseproduktet La A være en n m-matrise. Vi kan skrive A på radform: r 1 A = r 2, r n en vertikal liste over n radvektorer r i som alle har m komponenter. La B være en m k-matrise, som vi skrive på kolonneform: B = [ x 1 x 2 x k, en horisontal liste over k kolonnevektorer x j som alle har m komponenter. Produktet AB kan nå uttrykkes på flere måter: Kolonneformen er AB = [ Ax 1 Ax 2 Ax k, mens radformen er r 1 B r 2 B AB =.. r n B

9 Vi kan skrive rad i (en 1 m-matrise) i denne matrisen på kolonneform r i B = [ r i x 1 r i x 2 r i x n Siden r i er en 1 m-matrise (radvektor) og x j er en m 1-matrise (kolonnevektor), ser vi at elementene i denne listen er 1 1-matriser, altså skalarer. Nå er r i = [ a i1 a im Dermed er element i, j i matrisen, som vi kjenner igjen fra (1). og x j = b 1j. b mj r i x j = a i1 b1j + a i2 b 2j + + a im b mj,. 3.5 Den inverse matrisen Her skal vi innføre identitetsmatrisen I n n = standardbasisvektorene e 1 =. e 1 2 =. e 0 n = i R n. Med disse vektorene kan vi skrive identitestmatrisen på kolonneform: I = [ e 1 e 2 e n Hvis A og B er n n-matriser slik at AB = BA = I, så kalles de inverse matriser. I dette tilfellet vil vi også si at B er en invers til A, og vi skriver som regel B = A 1. Hvilken nytte kan vi ha av inverse matriser? Over så vi at ligningsystemet (1 0 ), (2 0 ), (3 0 ) kunne skrives som en matriseligning Ax = b,

10 der x er en ukjent 3D-vektor og A = og b = Hvis vi kjenner den inverse matrisen A 1, kan vi multiplisere begge sidene av ligningen med denne. Det gir: A 1 (Ax) = A 1 b Når vi utnytter det faktum at matrisemultiplikasjonen er assosiativ, får vi A 1 (Ax) = (A 1 A)x = Ix = x. Vi kan altså konkludere med at x = A 1 b. Da gjenstår det bare å finne den inverse matrisen A Å finne den inverse matrisen ved hjelp av Gauss-eliminasjon Her tar vi altså utgangspunkt i en n n-matrise A. Den inverse matrisen, som vi skal lete etter, skriver vi på kolonneform: Vi tar utgangspunkt i betingelsen A 1 = [ x 1 x 2 x n. AA 1 = I Ved å bruke kolonneformen til A 1 og I, kan vi skrive dette som [ Ax1 Ax 2 Ax n = [ e1 e 2 e n. Hvis vi skriver dette ut kolonne for kolonne, får vi n matriseligninger Ax 1 = e 1, Ax 2 = e 2,... Ax n = e n med n ukjente vektorer. Hver og en av disse ligningene kan vi løse hver for seg ved Gauss-eliminasjon. Det involverer radoperasjoner på de n tilhørende koeffesientmatrisene [ A e1 [ A e2 [ A en Her gjør vi et lite knep: Det er matrisen A som bestemmer hvilke radoperasjoner vi gjør, og derfor vil vi ende opp med å gjøre de samme radoperasjonene n ganger. Derfor innfører vi en hendig forkortelse for de n systemene i ligning (??): [ A e1 e 2 e n = [ A I Nå denne matrisen representerer altså n matrise-ligninger i n ukjente vektorer.

11 Det neste steget er å gjøre radoperasjoner til vi får den venstre blokken på trappeform: [A I [I B = [e 1 e n b 1 b n Den resulterende matrisen representerer de n koeffesientmatrisene altså ligningsystemene [I b 1, [I b 2,... [I b n, Ix 1 = b 1, Ix 2 = b 2,... Ix n = b n Eller, siden multiplikasjon med identitestmatrisen ikke har noen effekt, x 1 = b 1, x 2 = b 2,... x n = b n Men de ukjente vektorene x i er kolonnene i A 1. Vi har med andre ord bestemt den inverse matrisen: A 1 = [ b 1 b n Denne fremgangsmåten kan oppsummeres slik: Vi finner den inverse matrisen ved å gjøre radoperasjoner [A I [I A Inversjon og trappeform Da vi så på Gauss-eliminasjon, lærte vi at ligningen Ax = b har eksakt én løsning presis når vi kan få A på trappeform ved å gjøre radoperasjoner. Men, kolonnene i dne inverse matrisen var karakterisert ved n ligninger av den formen (jfr. ligning (??)). Det betyr at Vi kan få matrisen på trappeform hvis og bare hvis vi kan finne en invers Å finne den inverse matrisen ved hjelp av determinanter Se læreboka (Dunn & Parberry) kap Tillegg 4.1 Tillegg 1: Matrisemultiplikasjon i java Her har vi et godt utgangspunkt for å implementere matrisemultiplikasjon. Det som mangler her er å regne ut selve matriseelementene i resultatet. Se /* calculate c[i[j */.

12 import java.util.arrays; public class MatrixOperations { public static double[[ multiply(double[[ a,double[[ b){ if (a[0.length!= b.length) //Dimension check throw new RuntimeException("Invalid matrix dimensions"); double[[ c = new double[a.length[b[0.length; for (int i = 0; i < a.length;i++) for(int j = 0; j < b[0.length;j++); /*calculate c[i[j */ return c; Vi kan også lage metoder for å representere vektorer som matriser: public static double[[ columnvector(double[ vector){ double[[ output = new double[vector.length[1; for (int i = 0; i < vector.length; i++) output[i[0 = vector[i; return output; public static double[[ rowvector(double[ vector){ return new double[[{vector; Vi ønsker å kunne skrive ut matriser på en oversiktlig måte: public static void print(double[[ matrix){ for (double[ row: matrix) System.out.println(Arrays.toString(row)); System.out.println(); Til slutt kan vil lage oss en liten test: public static void main(string[ args){ double[ x = new double[{1.0,0.0,1.0; double[[ A = new double[[{ {2.0,4.0,-1.0,

13 ; {1.0,-1.0,1.0, {3.0,1.0,-1.0 print(multiply(a,columnvector(x))); // END OF CLASS MatrixOperations Dersom du implementerer multiply på den rette måten, så vil du få bekreftelse på at x = [1, 0, 1 er en løsning av matriseligningen Ax = b som vi så på over. 4.2 Tillegg 2: Vektorer og vektorrom i java Dersom vi skal definere hva vi mener med vektorer i java, kan vi ønske oss et grensesnitt interface Vector { Vector add(vector other); Vector subtract(vector other); Vector scalarmultiple(vector other) Problemet med dette grensesnittet er at det lover oss at vi skal kunne addere alle vektorer. Vi vet at det finnes ulike typer vektorer, og at de lever i ulike vektorrom. For eksempel ønsker vi ikke å addere en 2d-vektor med en 3d-vektor. Ideelt sett skulle vi ønske at kompilatoren kunne sjekke dette for oss. En løsning kan være å innføre et grensesnitt av typen: interface Vect<S extends Vect<S>> { S add(s other); // Vector addition S mul(double s); // Scalar multiplication double dot(s other); // Scalar product Nå kan vi behandle vektorer som vektorer: class Vectors { static <T extends Vect<T>> Vect<T> add(t a, T b){ return a.add(b); static <T extends Vect<T>> T sub(t a, T b){ return a.add(b.mul(-1.0));

14 static <T extends Vect<T>> T mul(double s, T a){ return a.mul(s); static <T extends Vect<T>> double dot(t a, T b){ return a.dot(b); static <T extends Vect<T>> T proj(t dir, T v){ double s = dot(dir,v)/dot(dir,dir); return mul(s,dir); static <T extends Vect<T>> double norm(t v){ return Math.sqrt(dot(v,v)); Her har vi en implementasjon av dette grensnittet: final class Vector2D implements Vect<Vector2D>{ public final double x; public final double y; Vector2D(double d,double e){x = d;y = e; public Vector2D add(vector2d other){ return new Vector2D(this.x+((Vector2D)other).x,this.y + ((Vector2D)other) public Vector2D mul(double d){ return new Vector2D(this.x*d,this.y*d); public double dot(vector2d other){ return this.x*other.x + this.y*other.y; public String tostring(){ return String.format("[ %f, %f ",x,y);

15 Legg merke til at vi bruker nøkkelordet final her. Det mefører at vi ikke kan lage subklasser av Vector2D. Dersom vi lager en subklasse av Vector2D, så kan vi lett lage rot i systemet. Her har vi et annet eksempel. final class Vector1D implements Vect<Vector1D>{ public final double x; Vector1D(double d){x = d; public Vector1D add(vect<vector1d> other){return new Vector1D(this.x+((Vector public Vector1D mul(double d){return new Vector1D(this.x*d); public double dot(vect<vector1d> other){ Vector1D vother = (Vector1D) other; return this.x*vother.x; public String tostring(){ return String.format("[ %f ",x); Til slutt kan vi bruke klassene våre: public class Vector { public static void main(string args[){ Vector1D a = new Vector1D(2.1); Vector1D b = new Vector1D(1.0); Vector2D d = new Vector2D(2.1,2.3); Vector2D x = new Vector2D(1.0,0.0); Vector2D y = new Vector2D(0.0,1.0); System.out.println(a.add(b)); System.out.println(Vectors.proj(a,b)); System.out.println(d); System.out.println(Vectors.proj(x,d)); System.out.println(Vectors.proj(y,d));

16 Til slutt kan vi definere grensensitt for transformasjoner: interface Transformation<A extends Vect<A>,B extends Vect<B>> { B transform(a element); class Projection implements Transformation<Vector2D,Vector1D> { public Vector1D transform(vector2d v){ return new Vector1D(v.x);

Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon

Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon DUMMY Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon Lars Sydnes 9 september 2015 Sammendrag Dette notatet handler om hvordan man løser lineære ligningssystemer, altså systemer av flere ligninger i flere ukjente,

Detaljer

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom Lineær algebra Siden dette temaet er alt for stort til å kunne gjennomgås på en halvtime, med alle de teoremene og denisjonene som skal til, har jeg laget dette notatet. Det bygger hovedsakelig på notatene

Detaljer

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable

Detaljer

RF5100 Lineær algebra Leksjon 1

RF5100 Lineær algebra Leksjon 1 RF5100 Lineær algebra Leksjon 1 Lars Sydnes, NITH 20.august 2013 I. INFORMASJON FAGLÆRER Kontakt: Lars Sydnes lars.sydnes@nith.no 93035685 Bakgrunn: Doktorgrad i Matematikk fra NTNU (2012), Siv.ing. Industriell

Detaljer

I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer.

I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer. Kapittel 2 Matriser I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer. 2.1 Definisjoner og regneoperasjoner

Detaljer

Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts.

Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts. Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno En matrise vil normalt være radekvivalent med flere echelonmatriser; med andre

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Første utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. Selv om løsningen av lineære likingsystem i prinsippet er elementært blir det fort

Detaljer

RF5100 Lineær algebra Leksjon 1

RF5100 Lineær algebra Leksjon 1 RF5100 Lineær algebra Leksjon 1 Lars Sydnes, NITH 20.august 2013 I. INFORMASJON FAGLÆRER Kontakt: Lars Sydnes lars.sydnes@nith.no 93035685 Bakgrunn: Doktorgrad i Matematikk fra NTNU (2012), Siv.ing. Industriell

Detaljer

Øving 2 Matrisealgebra

Øving 2 Matrisealgebra Øving Matrisealgebra Gå til menyen Edit Preferences... og sett Format type of new output cells til TraditionalForm hvis det ikke allerede er gjort. Start med to eksempelmatriser med samme dimensjon: In[]:=

Detaljer

Lineære likningssystemer og matriser

Lineære likningssystemer og matriser Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger

Detaljer

Seksjonene : Vektorer

Seksjonene : Vektorer Seksjonene 10.2-3: Vektorer Andreas Leopold Knutsen 22. mars 2010 Vektorer i R 3 Vektor = objekt med både størrelse (lengde) og retning. Lengden til en vektor v betegnes med v Nullvektoren 0 er vektoren

Detaljer

Lineær algebra-oppsummering

Lineær algebra-oppsummering Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:

Detaljer

Seksjonene : Vektorer

Seksjonene : Vektorer Seksjonene 10.2-3: Vektorer Andreas Leopold Knutsen 22. mars 2010 Vektorer i R 3 Vektor = objekt med både størrelse (lengde) og retning. Lengden til en vektor v betegnes med v Nullvektoren 0 er vektoren

Detaljer

Repetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay

Repetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay Repetisjon: Om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon. La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p. Produktet AB er m p matrisen definert

Detaljer

Repetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay

Repetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay Repetisjon: om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p der b j -ene er i R n for hver j. Produktet

Detaljer

Matriseoperasjoner. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September 22, 2009

Matriseoperasjoner. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September 22, 2009 Matriseoperasjoner E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 22, 2009 Addisjon av matriser Hvis A = [a ij ] og B = [b ij ] er matriser med samme størrelse, så er summen A + B matrisen

Detaljer

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2 Forelesning 22 M0003, Mandag 5/-202 Invertible matriser Lay: 2.2 Invertible matriser og ligningssystemet x b Ligninger på formen ax b, a 0 kan løses ved å dividere med a på begge sider av ligninger, noe

Detaljer

Projeksjoner av vektorer Analyse av værdata

Projeksjoner av vektorer Analyse av værdata Projeksjoner av vektorer Analyse av værdata Lars Sydnes 11. september 2013 1 Osloserien Ved værstasjoner rundt omkring i verden måler man temperaturen hver eneste dag. Vi har tilgang til målinger gjort

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Andre utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. I prinsippet er det enkelt, men det blir fort veldig mange regneoperasjoner som

Detaljer

1 Gauss-Jordan metode

1 Gauss-Jordan metode Merknad I dette Kompendiet er det gitt referanser både til læreboka og til selve Kompendiet Hvordan å gjenkjenne dem? Referansene til boka er 3- tallede, som Eks 3 Vi kan også referere til 22, kap 22 eller

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

Matematikk og fysikk RF3100

Matematikk og fysikk RF3100 DUMMY Matematikk og fysikk RF3100 Løsningsforslag, Øving 11 8mai 201 Tidsfrist: 18mai 201 klokken 1400 Oppgave 1 Obs: I denne oppgaven reperesenterer vi vektorer med 1 n-matriser, altså radvektorer I hele

Detaljer

x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder

x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder 4 Noen merknader 4. Lineære systemer Ax = b Gitt systemet Ax = b, A = [a i,j ] i=,,...,m, j=,,...,n x = b = Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder b i. Med det finnes

Detaljer

En rekke av definisjoner i algebra

En rekke av definisjoner i algebra En rekke av definisjoner i algebra Martin Strand, martin.strand@math.ntnu.no 11. november 2010 Definisjonene som er gitt her, kommer i MA2201 Algebra og MA3201 Ringer og moduler. Forhåpentligvis blir det

Detaljer

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler:

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Tallene i en matrise kalles matriseelementer eller bare elementer. En matrise har

Detaljer

RF5100 Lineær algebra Leksjon 2

RF5100 Lineær algebra Leksjon 2 RF5100 Lineær algebra Leksjon 2 Lars Sydnes, NITH 27.august 2013 I. LINEÆRE SYSTEM SKJÆRINGSPUNKTET FOR TO LINJER l 1 : x + y = 1 P l 2 : x + y = 3 Geometri: (i) P ligger på linjen l 1 (ii) P ligger på

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 23.08.2015 Fjerde utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. I prinsippet er løsing av linære likningsystem enkelt, men det blir fort veldig

Detaljer

Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene.

Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene. Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene. 1) Løsning av lineære ligningssystem. Finne løsning hvis den fins og også avgjøre om løsning ikke fins. Entydig, flertydig løsning. 2) Overføre en matrise

Detaljer

Elementær Matriseteori

Elementær Matriseteori Elementær Matriseteori Magnus B. Botnan NTNU 3. august, 2015 Kursinfo - Foreleser: Magnus B. Botnan http://www.math.ntnu.no/~botnan/ - Hjemmeside: https: //wiki.math.ntnu.no/tma4110/2015h/forkurs/start

Detaljer

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Kompendium i MAT00 Matematikk Høsten 2008 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Velkommen til Universitetet i Oslo, og til MAT00! Selv om

Detaljer

Mer om kvadratiske matriser

Mer om kvadratiske matriser Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi

Detaljer

MAT1120 Repetisjon Kap. 1

MAT1120 Repetisjon Kap. 1 MAT1120 Repetisjon Kap. 1 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Idag skal vi repetere fra kap. 1 i Lays bok. Det handler bl.a. om : Matriser Vektorer

Detaljer

Oppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver

Oppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver Oppgaver og løsningsforslag for 4t eksamen 10.mai 006 i LO510D Lineær algebra med grafiske anvendelser. Fra og med oppgave skal alle svar begrunnes. Oppgave 1 (5 %) - Flervalgsoppgaver Denne oppgaven består

Detaljer

Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser

Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser Eivind Eriksen 25. mars 2010 Lineære likningssystemer Vi minner om at ethvert lineært likningssystem Ax = b kan løses ved hjelp av Gauss eliminasjon, som er

Detaljer

UNIVERSITET I BERGEN

UNIVERSITET I BERGEN UNIVERSITET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet BOKMÅL Løsningsforslag eksamen MAT - Lineær algebra H Med forbehold om skrivefeil. Oppgave. Betrakt A = 6 5, b = 6 b (a) (b) Finn den reduserte

Detaljer

Kapittel 7: Mer om arv

Kapittel 7: Mer om arv Kapittel 7: Mer om arv Redigert av: Khalid Azim Mughal (khalid@ii.uib.no) Kilde: Java som første programmeringsspråk (3. utgave) Khalid Azim Mughal, Torill Hamre, Rolf W. Rasmussen Cappelen Akademisk Forlag,

Detaljer

Lineære ligningssystemer. Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9. Lineære ligningssystemer (forts.) Eksempler

Lineære ligningssystemer. Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9. Lineære ligningssystemer (forts.) Eksempler Lineære ligningssystemer Generell form; m ligninger i n ukjente, m n-system: Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

Hvordan forklare datamaskinen hva en vektor er

Hvordan forklare datamaskinen hva en vektor er Hvordan forklare datamaskinen hva en vektor er Lars Sydnes 20. mars 2013 1 Introduksjon Det finnes mange måter å presentere vektorbegrepet. Ulike stikkord kan være (i) En vektor er en pil AB som går fra

Detaljer

Inverse matriser. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September, 2009

Inverse matriser. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September, 2009 Inverse matriser E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September, 2009 Inverse 2 2 matriser En 2 2 matrise [ ] a b A = c d er inverterbar hvis og bare hvis ad bc 0, og da er [ ] A 1 1 d b

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk

Lineær algebra. H. Fausk Lineær algebra H. Fausk 11.02.2016 Sjuende utkast Flere lineære likninger som samtidig skal oppfylles kalles lineære likningssystem. I prinsippet er løsing av lineære likningsystem enkelt, det benytter

Detaljer

RF5100 Lineær algebra Løsningsforslag til prøveeksamen

RF5100 Lineær algebra Løsningsforslag til prøveeksamen RF5 Lineær algebra Løsningsforslag til prøveeksamen NITH 6. desember Oppgave (a) Jeg skal løse et system av tre ligninger med tre ukjente. Dette gjør jeg ved å utføre radoperasjoner på matrisen tilhørende

Detaljer

DAFE ELFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2015 Antall oppgaver: 10 + 3

DAFE ELFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2015 Antall oppgaver: 10 + 3 Innlevering DAFE ELFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2 Antall oppgaver: + 3 For hver av matrisene nedenfor nn den ekvivalente matrisen som er på redusert

Detaljer

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for informatikk og e-læring AITeL

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for informatikk og e-læring AITeL HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for informatikk og e-læring AITeL Delprøve Kandidatnr: Prøvedato: 2. mars 2005 Varighet: 3 timer (9:00 12:00) Fagnummer: LO196D Fagnavn: Videregående programmering med

Detaljer

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler:

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Tallene i en matrise kalles elementer. En matrise har rader (vannrett, horisontalt)

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

Emne 7. Vektorrom (Del 1)

Emne 7. Vektorrom (Del 1) Emne 7. Vektorrom (Del 1) Første del av dette emnet innholder lite nytt regnemessig, men vi innfører en rekke nye begreper. Avbildning (image). R m T R n n image(t) Vi kan starte med samme skjematiske

Detaljer

PENSUM MAT1100 H11 Flervariabel analyse med lineær algebra, Tom Lindstrøm og Klara Hovberg Kalkulus, Tom Lindstrøm, 3. Utgave Joakim Myrvoll Johansen

PENSUM MAT1100 H11 Flervariabel analyse med lineær algebra, Tom Lindstrøm og Klara Hovberg Kalkulus, Tom Lindstrøm, 3. Utgave Joakim Myrvoll Johansen PENSUM MAT1100 H11 Flervariabel analyse med lineær algebra, Tom Lindstrøm og Klara Hovberg Kalkulus, Tom Lindstrøm, 3. Utgave Joakim Myrvoll Johansen MAT1100 Pensum fra Kalkulus KAP3 KOMPLEKSE TALL 3.1

Detaljer

Matriser og Kvadratiske Former

Matriser og Kvadratiske Former Eivind Eriksen Matriser og Kvadratiske Former 15 mars 2012 Handelshøyskolen BI Innhold 1 Matriser og vektorer 1 11 Matriser 1 12 Matriseaddisjon 2 13 Matrisesubtraksjon 3 14 Skalarmultiplikasjon 3 15

Detaljer

Kapittel 3. Mer om egenverdier og egenvektorer. 3.1 Komplekse n-tupler og vektorer

Kapittel 3. Mer om egenverdier og egenvektorer. 3.1 Komplekse n-tupler og vektorer Kapittel 3 Mer om egenverdier og egenvektorer I neste kapittel skal vi lære å løse systemer av difflikninger. Da vil vi trenge egenverdier og egenvektorer, og selv om vi skal løse reelle problemer, vil

Detaljer

KOMPLEKSE TALL. hvor x og y er reelle tall. x = Re z og y = Im z

KOMPLEKSE TALL. hvor x og y er reelle tall. x = Re z og y = Im z KOMPLEKSE TALL. Innledning og definisjoner Mengden av komplekse tall danner en utvidelse av den reelle tallmengden. Denne utvidelsen skjer ved at vi innfører en ny størrelse (et tall) i som er slik at

Detaljer

RF3100 Matematikk og fysikk Leksjon 6

RF3100 Matematikk og fysikk Leksjon 6 RF3100 Matematikk og fysikk Leksjon 6 Lars Sydnes, NITH 4.oktober 2013 I. FUNKSJONER TILFELDIGE EKSEMPLER x-koordinaten er en funksjon av t når startposisjon x 0 og startfart v x er gitt: x = x 0 + v x

Detaljer

RF5100 Lineær algebra Leksjon 12

RF5100 Lineær algebra Leksjon 12 RF5100 Lineær algebra Leksjon 12 Lars Sydnes, NITH 26. november 2013 I. GAUSS-ELIMINASJON 2x + 3y + z = 1 2x + 5y z = 1 4x + 7y + 4z = 3 x + 3/2 y + 1/2 z = 1/2 x + 2z = 2 y z = 1 3z = 2 x + 2z = 2 y z

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk

Lineær algebra. H. Fausk Lineær algebra H. Fausk 04.02.2016 Sjuende utkast Lineære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. I prinsippet er løsing av lineære likningsystem enkelt, det benytter bare de

Detaljer

Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser

Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser (Reelle) ortogonale matriser La A være en reell, kvadratisk matrise, dvs. en (n n)-matrise hvor hvert element Da vil A være ortogonal dersom: og Med menes

Detaljer

Lineære likningssystemer

Lineære likningssystemer Kapittel 1 Lineære likningssystemer Jeg tenker på et tall slik at π ganger tallet er 12. 1.1 Lineære likninger Matematikk dreier seg om å løse problemer. Problemene gjøres ofte om til likninger som så

Detaljer

4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner

4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner 4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner Utover Span {v 1, v 2,..., v p } er det en annen måte vi får lineære underrom på! Ser nå på V = R n. Skal se at det er visse underrom knyttet til en

Detaljer

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 Innlevering BYPE000 Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 4. april 014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 1 Regn ut determinanten til følgende matriser. (Det er også

Detaljer

Matriser og vektorrom

Matriser og vektorrom Matriser og vektorrom Dan Laksov & Roy Skjelnes Notater for et gymnaskurs Skrevet som en del av et prosjekt år 2000-2006 støttet av: Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Versjon VII-II Juli 2009 Matematiska

Detaljer

Lineære likningssett.

Lineære likningssett. Lineære likningssett. Forelesningsnotater i matematikk. Lineære likningssystemer. Side 1. 1. Innledning. La x 1, x, x n være n ukjente størrelser. La disse størrelsene være forbundet med m lineære likninger,

Detaljer

Kapittel 8: Programutvikling

Kapittel 8: Programutvikling Kapittel 8: Programutvikling Redigert av: Khalid Azim Mughal (khalid@ii.uib.no) Kilde: Java som første programmeringsspråk (3. utgave) Khalid Azim Mughal, Torill Hamre, Rolf W. Rasmussen Cappelen Akademisk

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. Kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

Generelle teoremer og denisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H. & Rorres, C.: Elementary Linear Algebra, 11.

Generelle teoremer og denisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H. & Rorres, C.: Elementary Linear Algebra, 11. Generelle teoremer og denisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H. & Rorres, C.: Elementary Linear Algebra, 11. utgave Jonas Tjemsland 19. november 2014 1 Lineære likningssystemer

Detaljer

Løsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3

Løsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3 Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 27. mai 26 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene [ 2 A 4 B [ 2 og C [ 2

Detaljer

EKSAMEN I MA1202 OG MA6202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER

EKSAMEN I MA1202 OG MA6202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Carl Fredrik Berg (975 05 585) EKSAMEN I MA1202 OG MA6202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER

Detaljer

Eksamen Objektorientert Programmering 2013

Eksamen Objektorientert Programmering 2013 Eksamen Objektorientert Programmering 2013 Høgskolen i Østfold 2013-01-07 Emnekode Emne ITF10611 Dato 2013-01-07 Eksamenstid 09:00-13:00 Hjelpemidler Faglærer Objektorientert Programmering To A4-ark (fire

Detaljer

Projeksjoner av vektorer Analyse av værdata

Projeksjoner av vektorer Analyse av værdata Projeksjoner av vektorer Analyse av værdata Lars Sydnes NITH 12. september 2013 1 Osloserien Ved værstasjoner rundt omkring i verden måler man temperaturen hver eneste dag. Vi har tilgang til målinger

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 6. juni 2006 Tid for eksamen: 1430 1730 Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg: INF1010 Objektorientert programmering

Detaljer

MAT-INF 1100: Obligatorisk oppgave 1

MAT-INF 1100: Obligatorisk oppgave 1 8. september, 2005 MAT-INF 1100: Obligatorisk oppgave 1 Innleveringsfrist: 23/9-2005, kl. 14:30 Informasjon Den skriftlige besvarelsen skal leveres på ekspedisjonskontoret i 7. etg. i Niels Henrik Abels

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. Kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform Tom Lindstrøm 10/5, 2006: MAT 1110: Bruk av redusert trappeform I Lays bok brukes den reduserte trappeformen til matriser til å løse en rekke problemer knyttet til ligningssystemer, lineærkombinasjoner,

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk 2008

Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-

Detaljer

MAT Prøveeksamen 29. mai - Løsningsforslag

MAT Prøveeksamen 29. mai - Løsningsforslag MAT0 - Prøveeksamen 9 mai - Løsningsforslag Oppgave Sett A = 4 4 0 x 0, x = x, b =, x 0 og la v, v, v betegne kolonnevektorene til A a) Skriv A x = y som en vektorlikning x Svar : Siden A x = [v v v ]

Detaljer

Matematikk R1 Oversikt

Matematikk R1 Oversikt Matematikk R1 Oversikt Lars Sydnes, NITH 20. mai 2014 I. ALGEBRA ANNENGRADSLIGNINGER Annengradsformelen: ax 2 + bx + c = 0 x = b ± b 2 4ac 2a (i) 0 løsninger hvis b 2 4ac < 0 (ii) 1 løsning hvis b 2 4ac

Detaljer

TDT4100 Objektorientert programmering

TDT4100 Objektorientert programmering Eksamensoppgave i TDT4100 Objektorientert programmering Torsdag 12. august 2010, kl. 09:00-13:00 Oppgaven er utarbeidet av faglærer Hallvard Trætteberg og kvalitetssikret av Svein Erik Bratsberg. Kontaktperson

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 11 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 11 Transcendentale funksjoner Vi begynner nå på temaet transcendentale funksjoner. I dagens forelesning

Detaljer

TDT4100 Objektorientert programmering

TDT4100 Objektorientert programmering Eksamensoppgave i TDT4100 Objektorientert programmering Tirsdag 2. juni 2009, kl. 09:00-13:00 Oppgaven er utarbeidet av faglærer Hallvard Trætteberg og kvalitetssikrer Trond Aalberg. Kontaktperson under

Detaljer

Stack. En enkel, lineær datastruktur

Stack. En enkel, lineær datastruktur Stack En enkel, lineær datastruktur Hva er en stack? En datastruktur der vi til enhver tid kun har tilgang til elementet som ble lagt inn sist Et nytt element legges alltid på toppen av stakken Skal vi

Detaljer

TDT4102 Prosedyre og Objektorientert programmering Vår 2014

TDT4102 Prosedyre og Objektorientert programmering Vår 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap TDT4102 Prosedyre og Objektorientert programmering Vår 2014 Øving 5 Frist: 2014-02-21 Mål for denne øvinga:

Detaljer

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Kompendium 1 i MAT1001 Matematikk 1 Høsten 2008 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Velkommen til Universitetet i Oslo, og til MAT1001!

Detaljer

INF1000 oppgaver til uke 38 (17 sep 23 sep)

INF1000 oppgaver til uke 38 (17 sep 23 sep) INF1000 oppgaver til uke 38 (17 sep 23 sep) Formål: Øve på programmering med forgreninger, løkker og arrayer. Teoritimer (plenumsøvinger): 1. Oppgave 4 og 6 i kapittel 4 i læreboka. 2. En blokk er en samling

Detaljer

INF1010. Grensesnittet Comparable

INF1010. Grensesnittet Comparable<T> INF1010 21. februar 2013 Grensesnittet Comparable Stein Michael Storleer Institutt for Informatikk Universitetet i Oslo Interface med parametre interface Utkledd { // T er klassen jeg er utkledd

Detaljer

Matriser og vektorrom

Matriser og vektorrom Matriser og vektorrom Dan Laksov Notater for gymnaset Del av et prosjekt år 2000 støttet av: Carl Tryggers Stifelse og Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Versjon 2 Januar 2001 Matematiska Institutionen

Detaljer

GENERELLE VEKTORROM. Hittil har vi bare snakket om vektorrom av type

GENERELLE VEKTORROM. Hittil har vi bare snakket om vektorrom av type Emne 8 GENERELLE VEKTORROM Hittil har vi bare snakket om vektorrom av type og underrom av dette. Vi definerte en mengde V som et underrom av hvis det inneholdt og var lukket under addisjon og skalar multiplikasjon.

Detaljer

INF 1010, vår 2005 Løsningsforslag uke 11

INF 1010, vår 2005 Løsningsforslag uke 11 INF 1010, vår 2005 uke 11 Anders Brunland 11. april 2005 Oppgave 1 Oppgave 1 i kapittel 19, Rett på Java Er følgende metoder lovlige? Hovorfor/hvorfor ikke? a) void koknverter ( int mnd ) { konverterdato

Detaljer

EKSAMEN med løsningsforslag

EKSAMEN med løsningsforslag EKSAMEN med løsningsforslag Emnekode: ITF20006 Emne: Algoritmer og datastrukturer Dato: Eksamenstid: 20. mai 2009 kl 09.00 til kl 13.00 Hjelpemidler: 8 A4-sider (4 ark) med egne notater Kalkulator Faglærer:

Detaljer

EKSAMEN I FAG TDT4100 Objekt-orientert programmering. Fredag 3. juni 2005 KL. 09.00 13.00

EKSAMEN I FAG TDT4100 Objekt-orientert programmering. Fredag 3. juni 2005 KL. 09.00 13.00 Side 1 av 6 NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet BOKMÅL Fakultet for informasjonsteknologi, matematikk og elektroteknikk Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap EKSAMEN I FAG

Detaljer

Eksekveringsrekkefølgen (del 1) Oppgave 1. Eksekveringsrekkefølgen (del 2) Kommentar til oppgave 1. } // class Bolighus

Eksekveringsrekkefølgen (del 1) Oppgave 1. Eksekveringsrekkefølgen (del 2) Kommentar til oppgave 1. } // class Bolighus // class Bygning Oppgave 1 System.out.println( Bolighus ); // class Bolighus Hva blir utskriften fra dette programmet? class Blokk extends Bolighus{ // class Blokk IN105subclassesII-1 Eksekveringsrekkefølgen

Detaljer

PG4200 Algoritmer og datastrukturer Lab 1. 8.januar 2014. I dag skal vi undersøke en rekke velkjente databeholdere i Java:

PG4200 Algoritmer og datastrukturer Lab 1. 8.januar 2014. I dag skal vi undersøke en rekke velkjente databeholdere i Java: PG4200 Algoritmer og datastrukturer Lab 1 8.januar 2014 Innledning I dag skal vi undersøke en rekke velkjente databeholdere i Java: java.util.arraylist java.util.linkedlist java.util.hashset java.util.treeset

Detaljer

Digital Arbeidsbok i ELE 3719 Matematikk

Digital Arbeidsbok i ELE 3719 Matematikk Eivind Eriksen Digital Arbeidsbok i ELE 3719 Matematikk 3. april 215 Handelshøyskolen BI Innhold Del I Forelesninger i ELE3719 Matematikk 1 Vektorer og vektorregning......................................

Detaljer

NTNU MA0003. Ole Jacob Broch. Norwegian University of Science and Technology. MA0003 p.1/29

NTNU MA0003. Ole Jacob Broch. Norwegian University of Science and Technology. MA0003 p.1/29 MA0003 Ole Jacob Broch Norwegian University of Science and Technology MA0003 p.1/29 Oversikt, torsdag 13/1 Avsnitt 1.3: intervaller og intervallnotasjon definisjons- og verdimengden til en funksjon Avsnitt

Detaljer

Eksamensoppgave i TDT4100 Objektorientert programmering med Java

Eksamensoppgave i TDT4100 Objektorientert programmering med Java Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap Eksamensoppgave i TDT4100 Objektorientert programmering med Java Faglig kontakt under eksamen: Rune Sætre Tlf.: 452 18 103 Eksamensdato: 2013, torsdag

Detaljer

TMA4123M regnet oppgavene 2 7, mens TMA4125N regnet oppgavene 1 6. s 2 Y + Y = (s 2 + 1)Y = 1 s 2 (1 e s ) e s = 1 s s2 s 2 e s.

TMA4123M regnet oppgavene 2 7, mens TMA4125N regnet oppgavene 1 6. s 2 Y + Y = (s 2 + 1)Y = 1 s 2 (1 e s ) e s = 1 s s2 s 2 e s. NTNU Institutt for matematiske fag TMA43/5 Matematikk 4M/N, 8 august, Løsningsforslag TMA43M regnet oppgavene 7, mens TMA45N regnet oppgavene 6 a) Andre forskyvningsteorem side 35 i læreboken) gir at der

Detaljer

MAT Grublegruppen Notat 6

MAT Grublegruppen Notat 6 MAT00 - Grublegruppen Notat 6 Jørgen O. Lye Vektorrom og indreprodukt Vektorrom Vi trenger å si litt om vektorrom og indreprodukt for å formulere Fourierrekker. Denisjonen av vektorrom kan man tenke på

Detaljer

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for informatikk og e-læring - AITeL Kandidatnr: Eksamensdato: 4.mai 2011 Varighet: 0900-1300 Emnekode: Emnenavn: Klasse(r): LO191D / LC191D Campus: LC191D Videregående

Detaljer

INF110 Algoritmer og datastrukturer TRÆR. Vi skal i denne forelesningen se litt på ulike typer trær:

INF110 Algoritmer og datastrukturer TRÆR. Vi skal i denne forelesningen se litt på ulike typer trær: TRÆR Vi skal i denne forelesningen se litt på ulike typer trær: Generelle trær (kap. 4.1) Binærtrær (kap. 4.2) Binære søketrær (kap. 4.3) Den siste typen trær vi skal behandle, B-trær (kap. 4.7) kommer

Detaljer

INF1010 våren Arv og subklasser del 1

INF1010 våren Arv og subklasser del 1 INF1010 våren 2015 Torsdag 12. februar Arv og subklasser del 1 Stein Gjessing Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 1 Når du har lært om subklasser kan du programmere med: Første uke: Spesialisering

Detaljer

LC191D/LO191D Videregående programmering mai 2010

LC191D/LO191D Videregående programmering mai 2010 LC191D/LO191D Videregående programmering mai 2010 Løsningsforslag Oppgave 1 Transporttype er en tekst som er felles for klassene AnnenEgenTransport og Kollektivtransport. Vi legger den derfor i klassen

Detaljer

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode.

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. 3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. Vi fortsetter med minste kvadraters problem. Nå skal vi se nærmere på noen teoretiske spørsmål, bl.a. hvordan normallikningene utledes. Minner om MK problemstillingen:

Detaljer

Tom Lindstrøm og Klara Hveberg. Tilleggskapitler til. Kalkulus. 3. utgave. Universitetsforlaget,

Tom Lindstrøm og Klara Hveberg. Tilleggskapitler til. Kalkulus. 3. utgave. Universitetsforlaget, Tom Lindstrøm og Klara Hveberg Tilleggskapitler til Kalkulus 3 utgave Universitetsforlaget, Oslo 3 utgave Universitetsforlaget AS 2006 1 utgave 1995 2 utgave 1996 ISBN-13: 978-82-15-00977-3 ISBN-10: 82-15-00977-8

Detaljer