Vektorer og matriser

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Vektorer og matriser"

Transkript

1 DUMMY Vektorer og matriser Lars Sydnes 1.september 2014 OBS: UNDER UTVIKLING Oppgaver Det finnes passende oppgaver og løsningsforslag til dette notatet. 1 Innledning La oss se på et system av tre lineære ligninger i tre ukjente: (1 0 ) 2x + 4y z = 1 (2 0 ) x y + z = 2 (3 0 ) 3x + y z = 2 Vi skal se hvordan vi kan skrive dette som en matriseligning der x er den ukjente vektoren A er matrisen og b er vektoren Ax = b, x x = y, z A = b = 2 2

2 Når vi skriver Ax, mener vi produktet av matrisen A og vektoren x. Vi definerer en multiplikasjonsoperasjon for matriser og vektorer slik at produktet Ax av matrisen A og vektoren x er lik 2x + 4y z Ax = x y + z 3x + y z Senere skal vi definere hva vi mener med den inverse matrisen A 1 til A. Det lar oss uttrykke løsningen av ligningen slik: x = A 1 b Før vi kommer så langt, skal vi ta et raskt overblikk over vektor- og matrisealgebra. 2 Vektorrom Vi er allerede vant med å arbeide med 2-dimensjonale og 3-dimensjonale vektorer, d.v.s vektorer av typen [ a, og b x y z Vi er vant til at disse representerer (1) forflytninger i planet/rommet og (2) posisjoner (d.v.s. forflytningsvektor i forhold til et utvalgt punkt origo ). Vi har etablert visse operasjoner for slike vektorer: Addisjon Skalering (multiplikasjon med skalar 1 ) Disse operasjonene utføres komponentvis. Det vil si at vi behandler x-, y- og z-komponentene hver for seg. Vi har for eksempel: [ [ 4 = 2 [ = I tillegg har vi vektoroperasjonen subtraksjon, som vi kan definere slik: 1 En skalar er et vanlig reelt tall. u v = u + ( 1)v.

3 Disse operasjonene respekterer det vi kan kalle vanlige regneregler. Hvis u, v er vektorer, så vil for eksempel alltid 2(v + 2u) v = 2v + 4u v = 2u + 3v. Her brukte vi flere lover (regneregler), som vi kan beskrive som følger: Anta at a, b, c er vektorer og at r, s er skalarer. De assosiative lovene (a + b) + c = a + (b + c) og r(sa) = (rs)a De distributive lovene: ra + sa = (r + s)a og ra + rb = r(a + b) Den komuttative loven: a + b = b + a. Vi vil nå utvide vektorbegrepet til å omfatte andre klasser av objekter som oppfører seg på denne måten. Dette kan ses i lys av objektorientert programmering: Vi definerer et grensesnitt som definerer hva en vektor er. Senere skal vi se hvordan dette kan løses i java. 2.1 Definisjon av vektorrom Et vektorrom V er en mengde med vektoroperasjoner addisjon, subtraksjon og skalering som tilfredsstiller lovene beskrevet over, d.v.s de assosiative lovene, de distributive lovene og den kommutative loven. Videre krever vi at det finnes et utvalgt element 0, som kalles nullvektoren. Nullvektoren skal oppføre seg slik: 0 + a = a r0 = 0 0a = 0 Legg merke til skillet mellom nullvektoren 0 og skalaren 0. Begrepet vektorrom er faktisk veldig viktig: For at vi skal kunne legge sammen to vektorer, er det avgjørende at vektorene tilhører samme 2.2 Eksempeler på vektorrom Funksjoner Mengden av funksjoner f definert for a < x < b, kan betegnes F b a. Hvis f, g er elementer i F b a og α er et reelt tall, kan vi definere nye funksjoner: f + g er definert ved at (f + g)(x) = f(x) + g(x) αf er definert ved at (αf)(x) = α f(x). Man kan enkelt sjekke at disse operasjonene er assosiative, distributive og kommuttative, samt at funksjonen 0(x) = 0 fungerer fint som nullvektor. Vi kan altså snakke om et vektorrom.

4 2.2.2 Deriverbare funksjoner Fra matematikk R1 kjenner vi til at (αf(x) + βg(x)) = αf (x) + βg (x) når α og β er konstanter. Dette betyr at hvis f og g er deriverbare i punktet x, så er også kombinasjonen αf + βg deriverbar i punktet x. Dette kan vi oppsummere ved å si at mengden av funksjoner som er deriverbare på intervallet a < x < b utgjør et vektorrom. Vi kan bruke symbolet D b a til å betegne dette vektorrommet Tidsserier La oss si at vi er interessert i å studere temperaturen på ulike steder de siste 1000 dagene. Disse temperaturene kan organiseres i vektorer med 1000 komponenter. t = [ Målinger vi gjør på Blindern kan organiseres i en vektor t b, mens målinger vi gjør i Trondheim kan organiseres i en vektor t t. Det gir mening å bruke komponentvise vektoroperasjoner på slike vektorer. Temperaturforskjellen mellom disse stedene er representert av vektoren t b t t, mens gjennomsnittstemperaturen kan representeres slik: 1 2 t b t t. Her ser vi altså på vektorer med 1000 komponenter, som behandles komponentvis Det n-dimensjonale standardrom. Til nå har vi sett på vektorer med 2, 3 og 1000 komponenter. Vektorene med n komponenter organiseres i det n-dimensjonale standardrommet, som vi betegner med symbolet R n. Nå kan vi si at Rommet av vektorer med 2 komponenter = R 2. Rommet av vektorer med 3 komponenter = R 3. Rommet av vektorer med 1000 komponenter = R Her har vi brukt symbolet R, som vanligvis brukes for å betegne mengden av reelle tall (skalarer, eller om man vil: vektorer med 1 komponent).

5 2.2.5 Skalarprodukt av n-dimensjonale vektorer En vanlig operasjon for vektorer med n komponenter er skalarproduktet: (x 1, x 2,..., x n ) (y 1, y 2,..., y n ) = x 1 y 1 + x 2 y x + + x n y n I java-kode kunne vi uttrykke det slik: double scalarproduct(double[ x, double[ y){ product = 0; for (int i = 0; i < n; i++) product+=x[i*y[i; return product; Skalarproduktet går under mange navn: indreproduktet / inner product prikkproduktet / dot product skalarproduktet / scalar product Etterhvert skal vi se at skalarproduktet kan forstås som en variant av matrisemultiplikasjon. 2.3 Lineære transformasjoner Dersom V og W er to vektorrom og T : V W er en funksjon, så kalles T en lineær transformasjon dersom Dette betyr at vi kan velge mellom T (αv + βu) = αt v + βt u. å først bruke vektoroperasjoner i V og deretter transformere med T eller å først transformere med T for så å gjøre vektoroperasjoner i W. 2.4 Eksempler på lineære transformasjoner Skalering Derom r er et reelt tall, så får vi en tranformasjon S r : u ru. Denne transformasjonen er lineær, siden S r (αu + βv) = r(αu + βv) = rαu + rβv = αru + βrv = αs r u + βs r v. Her bruker vi den distributive loven, samt den kommutative loven for skalarmultiplikasjon.

6 2.4.2 Derivering La oss se på rommet D b a av deriverbare funksjoner på intervallet a < x < b og rommet F b a av funksjoner på det samme intervallet. Da kan vi se på derivering som en lineær transformasjon T d : D b a F b a, der T d f = f T d f er altså funksjonen som er definert ved at (T d f)(x) = f (x). Dette er kanskje litt heftig: En funksjon som opererer på funksjoner Matrisemultiplikasjon Vi skal senere se at en n m-matrise A gir en lineær transformasjon T A : R m R n. Vi skriver det gjerne slik: T A u = Au. Det er faktisk slik at enhver lineære transformasjon fra R m til R n kan uttrykkes på denne måten ved en n m-matrise. 3 Matriser En n m-matrise A er rett og slett en rektangulær oppstilling av tall. Her har vi en 2 3-matrise: [ Her har vi en 4 2-matrise: Mengden av n m-matriser kan vi betegne med R n m. Dette kalles rommet av n m-matriser. 3.1 Matriserom er vektorrom Hvis A og B er n m-matriser, så kan vi definere en ny n m-matrise αa + βb. Vi gjør her komponentvise operasjoner. Et eksempel på dette er [ [ [ [ ( 4) ( 2) = = Vi kan altså kombinere matriser med vektoroperasjoner.

7 3.2 n-vektorer er matriser Vi kan representere vektorer med n komponenter ved matriser på følgende måte: Som radvektorer, d.v.s. som 1 n-matriser. D.v.s. matriser med 1 rad: (x 1, x 2,..., x n ) [ x 1 x 2 x n Som søylevektorer (kolonnevektorer), d.v.s som n 1-matriser: x 1 x 2 (x 1, x 2,..., x n ). x n Vi kan altså se på matrisebegrepet som en utvidelse av vektorbegrepet. 3.3 Matrisemultiplikasjon Hvis A er en n k-matrise og B er en k m-matrise, så definerer vi matriseproduktet AB til å være en n m-matrise som er definert som følger: La oss betegne matriseelementet i rad i og kolonne j i A og B henholdsvis som a ij og b ij. Da er matriseelementet c ij i rad i og kolonne j i produktet AB definert som c ij = a i1 b 1j + a i2 b2 j + + a ik b kj = k a is b sj (1) s= Eksempel: Matrise og vektor. Vi kan representere vektoren [x, y, z ved 3 1-matrisen x x = y, z som vi har lov til å multiplisere med 3 3-matrisen A =

8 Resultatet skal være en 3 1-matrise, som altså kan fortolkes som en 3-vektor. Slik matriseproduktet er definert, får vi 2x + 4y z Ax = x y + z 3x + y z Vi kan altså representere ligningsystemet vårt (1 0 ), (2 0 ), (3 0 ) ved den kompakte ligningen 1 Ax = 2 2 Vi kan også multiplisere en 1 3-matrise med en 3 3-matrise: [ = [ Som vi ser, er resultatet en 1 3-matrise. 3.4 Ulike fremstillinger av matriseproduktet La A være en n m-matrise. Vi kan skrive A på radform: r 1 A = r 2, r n en vertikal liste over n radvektorer r i som alle har m komponenter. La B være en m k-matrise, som vi skrive på kolonneform: B = [ x 1 x 2 x k, en horisontal liste over k kolonnevektorer x j som alle har m komponenter. Produktet AB kan nå uttrykkes på flere måter: Kolonneformen er AB = [ Ax 1 Ax 2 Ax k, mens radformen er r 1 B r 2 B AB =.. r n B

9 Vi kan skrive rad i (en 1 m-matrise) i denne matrisen på kolonneform r i B = [ r i x 1 r i x 2 r i x n Siden r i er en 1 m-matrise (radvektor) og x j er en m 1-matrise (kolonnevektor), ser vi at elementene i denne listen er 1 1-matriser, altså skalarer. Nå er r i = [ a i1 a im Dermed er element i, j i matrisen, som vi kjenner igjen fra (1). og x j = b 1j. b mj r i x j = a i1 b1j + a i2 b 2j + + a im b mj,. 3.5 Den inverse matrisen Her skal vi innføre identitetsmatrisen I n n = standardbasisvektorene e 1 =. e 1 2 =. e 0 n = i R n. Med disse vektorene kan vi skrive identitestmatrisen på kolonneform: I = [ e 1 e 2 e n Hvis A og B er n n-matriser slik at AB = BA = I, så kalles de inverse matriser. I dette tilfellet vil vi også si at B er en invers til A, og vi skriver som regel B = A 1. Hvilken nytte kan vi ha av inverse matriser? Over så vi at ligningsystemet (1 0 ), (2 0 ), (3 0 ) kunne skrives som en matriseligning Ax = b,

10 der x er en ukjent 3D-vektor og A = og b = Hvis vi kjenner den inverse matrisen A 1, kan vi multiplisere begge sidene av ligningen med denne. Det gir: A 1 (Ax) = A 1 b Når vi utnytter det faktum at matrisemultiplikasjonen er assosiativ, får vi A 1 (Ax) = (A 1 A)x = Ix = x. Vi kan altså konkludere med at x = A 1 b. Da gjenstår det bare å finne den inverse matrisen A Å finne den inverse matrisen ved hjelp av Gauss-eliminasjon Her tar vi altså utgangspunkt i en n n-matrise A. Den inverse matrisen, som vi skal lete etter, skriver vi på kolonneform: Vi tar utgangspunkt i betingelsen A 1 = [ x 1 x 2 x n. AA 1 = I Ved å bruke kolonneformen til A 1 og I, kan vi skrive dette som [ Ax1 Ax 2 Ax n = [ e1 e 2 e n. Hvis vi skriver dette ut kolonne for kolonne, får vi n matriseligninger Ax 1 = e 1, Ax 2 = e 2,... Ax n = e n med n ukjente vektorer. Hver og en av disse ligningene kan vi løse hver for seg ved Gauss-eliminasjon. Det involverer radoperasjoner på de n tilhørende koeffesientmatrisene [ A e1 [ A e2 [ A en Her gjør vi et lite knep: Det er matrisen A som bestemmer hvilke radoperasjoner vi gjør, og derfor vil vi ende opp med å gjøre de samme radoperasjonene n ganger. Derfor innfører vi en hendig forkortelse for de n systemene i ligning (??): [ A e1 e 2 e n = [ A I Nå denne matrisen representerer altså n matrise-ligninger i n ukjente vektorer.

11 Det neste steget er å gjøre radoperasjoner til vi får den venstre blokken på trappeform: [A I [I B = [e 1 e n b 1 b n Den resulterende matrisen representerer de n koeffesientmatrisene altså ligningsystemene [I b 1, [I b 2,... [I b n, Ix 1 = b 1, Ix 2 = b 2,... Ix n = b n Eller, siden multiplikasjon med identitestmatrisen ikke har noen effekt, x 1 = b 1, x 2 = b 2,... x n = b n Men de ukjente vektorene x i er kolonnene i A 1. Vi har med andre ord bestemt den inverse matrisen: A 1 = [ b 1 b n Denne fremgangsmåten kan oppsummeres slik: Vi finner den inverse matrisen ved å gjøre radoperasjoner [A I [I A Inversjon og trappeform Da vi så på Gauss-eliminasjon, lærte vi at ligningen Ax = b har eksakt én løsning presis når vi kan få A på trappeform ved å gjøre radoperasjoner. Men, kolonnene i dne inverse matrisen var karakterisert ved n ligninger av den formen (jfr. ligning (??)). Det betyr at Vi kan få matrisen på trappeform hvis og bare hvis vi kan finne en invers Å finne den inverse matrisen ved hjelp av determinanter Se læreboka (Dunn & Parberry) kap Tillegg 4.1 Tillegg 1: Matrisemultiplikasjon i java Her har vi et godt utgangspunkt for å implementere matrisemultiplikasjon. Det som mangler her er å regne ut selve matriseelementene i resultatet. Se /* calculate c[i[j */.

12 import java.util.arrays; public class MatrixOperations { public static double[[ multiply(double[[ a,double[[ b){ if (a[0.length!= b.length) //Dimension check throw new RuntimeException("Invalid matrix dimensions"); double[[ c = new double[a.length[b[0.length; for (int i = 0; i < a.length;i++) for(int j = 0; j < b[0.length;j++); /*calculate c[i[j */ return c; Vi kan også lage metoder for å representere vektorer som matriser: public static double[[ columnvector(double[ vector){ double[[ output = new double[vector.length[1; for (int i = 0; i < vector.length; i++) output[i[0 = vector[i; return output; public static double[[ rowvector(double[ vector){ return new double[[{vector; Vi ønsker å kunne skrive ut matriser på en oversiktlig måte: public static void print(double[[ matrix){ for (double[ row: matrix) System.out.println(Arrays.toString(row)); System.out.println(); Til slutt kan vil lage oss en liten test: public static void main(string[ args){ double[ x = new double[{1.0,0.0,1.0; double[[ A = new double[[{ {2.0,4.0,-1.0,

13 ; {1.0,-1.0,1.0, {3.0,1.0,-1.0 print(multiply(a,columnvector(x))); // END OF CLASS MatrixOperations Dersom du implementerer multiply på den rette måten, så vil du få bekreftelse på at x = [1, 0, 1 er en løsning av matriseligningen Ax = b som vi så på over. 4.2 Tillegg 2: Vektorer og vektorrom i java Dersom vi skal definere hva vi mener med vektorer i java, kan vi ønske oss et grensesnitt interface Vector { Vector add(vector other); Vector subtract(vector other); Vector scalarmultiple(vector other) Problemet med dette grensesnittet er at det lover oss at vi skal kunne addere alle vektorer. Vi vet at det finnes ulike typer vektorer, og at de lever i ulike vektorrom. For eksempel ønsker vi ikke å addere en 2d-vektor med en 3d-vektor. Ideelt sett skulle vi ønske at kompilatoren kunne sjekke dette for oss. En løsning kan være å innføre et grensesnitt av typen: interface Vect<S extends Vect<S>> { S add(s other); // Vector addition S mul(double s); // Scalar multiplication double dot(s other); // Scalar product Nå kan vi behandle vektorer som vektorer: class Vectors { static <T extends Vect<T>> Vect<T> add(t a, T b){ return a.add(b); static <T extends Vect<T>> T sub(t a, T b){ return a.add(b.mul(-1.0));

14 static <T extends Vect<T>> T mul(double s, T a){ return a.mul(s); static <T extends Vect<T>> double dot(t a, T b){ return a.dot(b); static <T extends Vect<T>> T proj(t dir, T v){ double s = dot(dir,v)/dot(dir,dir); return mul(s,dir); static <T extends Vect<T>> double norm(t v){ return Math.sqrt(dot(v,v)); Her har vi en implementasjon av dette grensnittet: final class Vector2D implements Vect<Vector2D>{ public final double x; public final double y; Vector2D(double d,double e){x = d;y = e; public Vector2D add(vector2d other){ return new Vector2D(this.x+((Vector2D)other).x,this.y + ((Vector2D)other) public Vector2D mul(double d){ return new Vector2D(this.x*d,this.y*d); public double dot(vector2d other){ return this.x*other.x + this.y*other.y; public String tostring(){ return String.format("[ %f, %f ",x,y);

15 Legg merke til at vi bruker nøkkelordet final her. Det mefører at vi ikke kan lage subklasser av Vector2D. Dersom vi lager en subklasse av Vector2D, så kan vi lett lage rot i systemet. Her har vi et annet eksempel. final class Vector1D implements Vect<Vector1D>{ public final double x; Vector1D(double d){x = d; public Vector1D add(vect<vector1d> other){return new Vector1D(this.x+((Vector public Vector1D mul(double d){return new Vector1D(this.x*d); public double dot(vect<vector1d> other){ Vector1D vother = (Vector1D) other; return this.x*vother.x; public String tostring(){ return String.format("[ %f ",x); Til slutt kan vi bruke klassene våre: public class Vector { public static void main(string args[){ Vector1D a = new Vector1D(2.1); Vector1D b = new Vector1D(1.0); Vector2D d = new Vector2D(2.1,2.3); Vector2D x = new Vector2D(1.0,0.0); Vector2D y = new Vector2D(0.0,1.0); System.out.println(a.add(b)); System.out.println(Vectors.proj(a,b)); System.out.println(d); System.out.println(Vectors.proj(x,d)); System.out.println(Vectors.proj(y,d));

16 Til slutt kan vi definere grensensitt for transformasjoner: interface Transformation<A extends Vect<A>,B extends Vect<B>> { B transform(a element); class Projection implements Transformation<Vector2D,Vector1D> { public Vector1D transform(vector2d v){ return new Vector1D(v.x);

Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon

Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon DUMMY Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon Lars Sydnes 9 september 2015 Sammendrag Dette notatet handler om hvordan man løser lineære ligningssystemer, altså systemer av flere ligninger i flere ukjente,

Detaljer

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable

Detaljer

RF5100 Lineær algebra Leksjon 1

RF5100 Lineær algebra Leksjon 1 RF5100 Lineær algebra Leksjon 1 Lars Sydnes, NITH 20.august 2013 I. INFORMASJON FAGLÆRER Kontakt: Lars Sydnes lars.sydnes@nith.no 93035685 Bakgrunn: Doktorgrad i Matematikk fra NTNU (2012), Siv.ing. Industriell

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Første utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. Selv om løsningen av lineære likingsystem i prinsippet er elementært blir det fort

Detaljer

Lineær algebra-oppsummering

Lineær algebra-oppsummering Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:

Detaljer

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2 Forelesning 22 M0003, Mandag 5/-202 Invertible matriser Lay: 2.2 Invertible matriser og ligningssystemet x b Ligninger på formen ax b, a 0 kan løses ved å dividere med a på begge sider av ligninger, noe

Detaljer

Projeksjoner av vektorer Analyse av værdata

Projeksjoner av vektorer Analyse av værdata Projeksjoner av vektorer Analyse av værdata Lars Sydnes 11. september 2013 1 Osloserien Ved værstasjoner rundt omkring i verden måler man temperaturen hver eneste dag. Vi har tilgang til målinger gjort

Detaljer

RF5100 Lineær algebra Leksjon 2

RF5100 Lineær algebra Leksjon 2 RF5100 Lineær algebra Leksjon 2 Lars Sydnes, NITH 27.august 2013 I. LINEÆRE SYSTEM SKJÆRINGSPUNKTET FOR TO LINJER l 1 : x + y = 1 P l 2 : x + y = 3 Geometri: (i) P ligger på linjen l 1 (ii) P ligger på

Detaljer

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Kompendium i MAT00 Matematikk Høsten 2008 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Velkommen til Universitetet i Oslo, og til MAT00! Selv om

Detaljer

Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser

Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser Eivind Eriksen 25. mars 2010 Lineære likningssystemer Vi minner om at ethvert lineært likningssystem Ax = b kan løses ved hjelp av Gauss eliminasjon, som er

Detaljer

Kapittel 7: Mer om arv

Kapittel 7: Mer om arv Kapittel 7: Mer om arv Redigert av: Khalid Azim Mughal (khalid@ii.uib.no) Kilde: Java som første programmeringsspråk (3. utgave) Khalid Azim Mughal, Torill Hamre, Rolf W. Rasmussen Cappelen Akademisk Forlag,

Detaljer

Hvordan forklare datamaskinen hva en vektor er

Hvordan forklare datamaskinen hva en vektor er Hvordan forklare datamaskinen hva en vektor er Lars Sydnes 20. mars 2013 1 Introduksjon Det finnes mange måter å presentere vektorbegrepet. Ulike stikkord kan være (i) En vektor er en pil AB som går fra

Detaljer

Emne 7. Vektorrom (Del 1)

Emne 7. Vektorrom (Del 1) Emne 7. Vektorrom (Del 1) Første del av dette emnet innholder lite nytt regnemessig, men vi innfører en rekke nye begreper. Avbildning (image). R m T R n n image(t) Vi kan starte med samme skjematiske

Detaljer

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler:

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Tallene i en matrise kalles elementer. En matrise har rader (vannrett, horisontalt)

Detaljer

PENSUM MAT1100 H11 Flervariabel analyse med lineær algebra, Tom Lindstrøm og Klara Hovberg Kalkulus, Tom Lindstrøm, 3. Utgave Joakim Myrvoll Johansen

PENSUM MAT1100 H11 Flervariabel analyse med lineær algebra, Tom Lindstrøm og Klara Hovberg Kalkulus, Tom Lindstrøm, 3. Utgave Joakim Myrvoll Johansen PENSUM MAT1100 H11 Flervariabel analyse med lineær algebra, Tom Lindstrøm og Klara Hovberg Kalkulus, Tom Lindstrøm, 3. Utgave Joakim Myrvoll Johansen MAT1100 Pensum fra Kalkulus KAP3 KOMPLEKSE TALL 3.1

Detaljer

DAFE ELFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2015 Antall oppgaver: 10 + 3

DAFE ELFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2015 Antall oppgaver: 10 + 3 Innlevering DAFE ELFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2 Antall oppgaver: + 3 For hver av matrisene nedenfor nn den ekvivalente matrisen som er på redusert

Detaljer

Matriser og Kvadratiske Former

Matriser og Kvadratiske Former Eivind Eriksen Matriser og Kvadratiske Former 15 mars 2012 Handelshøyskolen BI Innhold 1 Matriser og vektorer 1 11 Matriser 1 12 Matriseaddisjon 2 13 Matrisesubtraksjon 3 14 Skalarmultiplikasjon 3 15

Detaljer

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for informatikk og e-læring AITeL

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for informatikk og e-læring AITeL HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for informatikk og e-læring AITeL Delprøve Kandidatnr: Prøvedato: 2. mars 2005 Varighet: 3 timer (9:00 12:00) Fagnummer: LO196D Fagnavn: Videregående programmering med

Detaljer

RF5100 Lineær algebra Leksjon 12

RF5100 Lineær algebra Leksjon 12 RF5100 Lineær algebra Leksjon 12 Lars Sydnes, NITH 26. november 2013 I. GAUSS-ELIMINASJON 2x + 3y + z = 1 2x + 5y z = 1 4x + 7y + 4z = 3 x + 3/2 y + 1/2 z = 1/2 x + 2z = 2 y z = 1 3z = 2 x + 2z = 2 y z

Detaljer

Matriser og vektorrom

Matriser og vektorrom Matriser og vektorrom Dan Laksov & Roy Skjelnes Notater for et gymnaskurs Skrevet som en del av et prosjekt år 2000-2006 støttet av: Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Versjon VII-II Juli 2009 Matematiska

Detaljer

Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser

Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser (Reelle) ortogonale matriser La A være en reell, kvadratisk matrise, dvs. en (n n)-matrise hvor hvert element Da vil A være ortogonal dersom: og Med menes

Detaljer

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 Innlevering BYPE000 Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 4. april 014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 1 Regn ut determinanten til følgende matriser. (Det er også

Detaljer

KOMPLEKSE TALL. hvor x og y er reelle tall. x = Re z og y = Im z

KOMPLEKSE TALL. hvor x og y er reelle tall. x = Re z og y = Im z KOMPLEKSE TALL. Innledning og definisjoner Mengden av komplekse tall danner en utvidelse av den reelle tallmengden. Denne utvidelsen skjer ved at vi innfører en ny størrelse (et tall) i som er slik at

Detaljer

Eksamen Objektorientert Programmering 2013

Eksamen Objektorientert Programmering 2013 Eksamen Objektorientert Programmering 2013 Høgskolen i Østfold 2013-01-07 Emnekode Emne ITF10611 Dato 2013-01-07 Eksamenstid 09:00-13:00 Hjelpemidler Faglærer Objektorientert Programmering To A4-ark (fire

Detaljer

Projeksjoner av vektorer Analyse av værdata

Projeksjoner av vektorer Analyse av værdata Projeksjoner av vektorer Analyse av værdata Lars Sydnes NITH 12. september 2013 1 Osloserien Ved værstasjoner rundt omkring i verden måler man temperaturen hver eneste dag. Vi har tilgang til målinger

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 6. juni 2006 Tid for eksamen: 1430 1730 Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg: INF1010 Objektorientert programmering

Detaljer

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver.

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver. Kapittel 4 Anvendelser av lineære likningssystemer Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver 4 Populasjonsdynamikk

Detaljer

Kapittel 8: Programutvikling

Kapittel 8: Programutvikling Kapittel 8: Programutvikling Redigert av: Khalid Azim Mughal (khalid@ii.uib.no) Kilde: Java som første programmeringsspråk (3. utgave) Khalid Azim Mughal, Torill Hamre, Rolf W. Rasmussen Cappelen Akademisk

Detaljer

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Kompendium 1 i MAT1001 Matematikk 1 Høsten 2008 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Velkommen til Universitetet i Oslo, og til MAT1001!

Detaljer

Matematikk R1 Oversikt

Matematikk R1 Oversikt Matematikk R1 Oversikt Lars Sydnes, NITH 20. mai 2014 I. ALGEBRA ANNENGRADSLIGNINGER Annengradsformelen: ax 2 + bx + c = 0 x = b ± b 2 4ac 2a (i) 0 løsninger hvis b 2 4ac < 0 (ii) 1 løsning hvis b 2 4ac

Detaljer

TDT4102 Prosedyre og Objektorientert programmering Vår 2014

TDT4102 Prosedyre og Objektorientert programmering Vår 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap TDT4102 Prosedyre og Objektorientert programmering Vår 2014 Øving 5 Frist: 2014-02-21 Mål for denne øvinga:

Detaljer

TDT4100 Objektorientert programmering

TDT4100 Objektorientert programmering Eksamensoppgave i TDT4100 Objektorientert programmering Torsdag 12. august 2010, kl. 09:00-13:00 Oppgaven er utarbeidet av faglærer Hallvard Trætteberg og kvalitetssikret av Svein Erik Bratsberg. Kontaktperson

Detaljer

Tom Lindstrøm og Klara Hveberg. Tilleggskapitler til. Kalkulus. 3. utgave. Universitetsforlaget,

Tom Lindstrøm og Klara Hveberg. Tilleggskapitler til. Kalkulus. 3. utgave. Universitetsforlaget, Tom Lindstrøm og Klara Hveberg Tilleggskapitler til Kalkulus 3 utgave Universitetsforlaget, Oslo 3 utgave Universitetsforlaget AS 2006 1 utgave 1995 2 utgave 1996 ISBN-13: 978-82-15-00977-3 ISBN-10: 82-15-00977-8

Detaljer

Digital Arbeidsbok i ELE 3719 Matematikk

Digital Arbeidsbok i ELE 3719 Matematikk Eivind Eriksen Digital Arbeidsbok i ELE 3719 Matematikk 3. april 215 Handelshøyskolen BI Innhold Del I Forelesninger i ELE3719 Matematikk 1 Vektorer og vektorregning......................................

Detaljer

Matriser og vektorrom

Matriser og vektorrom Matriser og vektorrom Dan Laksov Notater for gymnaset Del av et prosjekt år 2000 støttet av: Carl Tryggers Stifelse og Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Versjon 2 Januar 2001 Matematiska Institutionen

Detaljer

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode.

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. 3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. Vi fortsetter med minste kvadraters problem. Nå skal vi se nærmere på noen teoretiske spørsmål, bl.a. hvordan normallikningene utledes. Minner om MK problemstillingen:

Detaljer

INF1010. Grensesnittet Comparable

INF1010. Grensesnittet Comparable<T> INF1010 21. februar 2013 Grensesnittet Comparable Stein Michael Storleer Institutt for Informatikk Universitetet i Oslo Interface med parametre interface Utkledd { // T er klassen jeg er utkledd

Detaljer

LC191D/LO191D Videregående programmering mai 2010

LC191D/LO191D Videregående programmering mai 2010 LC191D/LO191D Videregående programmering mai 2010 Løsningsforslag Oppgave 1 Transporttype er en tekst som er felles for klassene AnnenEgenTransport og Kollektivtransport. Vi legger den derfor i klassen

Detaljer

Eksekveringsrekkefølgen (del 1) Oppgave 1. Eksekveringsrekkefølgen (del 2) Kommentar til oppgave 1. } // class Bolighus

Eksekveringsrekkefølgen (del 1) Oppgave 1. Eksekveringsrekkefølgen (del 2) Kommentar til oppgave 1. } // class Bolighus // class Bygning Oppgave 1 System.out.println( Bolighus ); // class Bolighus Hva blir utskriften fra dette programmet? class Blokk extends Bolighus{ // class Blokk IN105subclassesII-1 Eksekveringsrekkefølgen

Detaljer

EKSAMEN med løsningsforslag

EKSAMEN med løsningsforslag EKSAMEN med løsningsforslag Emnekode: ITF20006 Emne: Algoritmer og datastrukturer Dato: Eksamenstid: 20. mai 2009 kl 09.00 til kl 13.00 Hjelpemidler: 8 A4-sider (4 ark) med egne notater Kalkulator Faglærer:

Detaljer

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for informatikk og e-læring - AITeL Kandidatnr: Eksamensdato: 4.mai 2011 Varighet: 0900-1300 Emnekode: Emnenavn: Klasse(r): LO191D / LC191D Campus: LC191D Videregående

Detaljer

TDT4100 Objektorientert programmering

TDT4100 Objektorientert programmering Eksamensoppgave i TDT4100 Objektorientert programmering Tirsdag 2. juni 2009, kl. 09:00-13:00 Oppgaven er utarbeidet av faglærer Hallvard Trætteberg og kvalitetssikrer Trond Aalberg. Kontaktperson under

Detaljer

2 Om statiske variable/konstanter og statiske metoder.

2 Om statiske variable/konstanter og statiske metoder. Litt om datastrukturer i Java Av Stein Gjessing, Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 1 Innledning Dette notatet beskriver noe av det som foregår i primærlageret når et Javaprogram utføres.

Detaljer

Argumenter fra kommandolinjen

Argumenter fra kommandolinjen Argumenter fra kommandolinjen Denne veiledningen er laget for å vise hvordan man kan overføre argumenter fra kommandolinjen til et program. Hvordan transportere data fra en kommandolinje slik at dataene

Detaljer

PG4200 Algoritmer og datastrukturer Lab 1. 8.januar 2014. I dag skal vi undersøke en rekke velkjente databeholdere i Java:

PG4200 Algoritmer og datastrukturer Lab 1. 8.januar 2014. I dag skal vi undersøke en rekke velkjente databeholdere i Java: PG4200 Algoritmer og datastrukturer Lab 1 8.januar 2014 Innledning I dag skal vi undersøke en rekke velkjente databeholdere i Java: java.util.arraylist java.util.linkedlist java.util.hashset java.util.treeset

Detaljer

Eksamen. Objektorientert Programmering IGR 1372

Eksamen. Objektorientert Programmering IGR 1372 + JVNROHQL1DUYLN $YGHOLQJIRU7HNQRORJL Eksamen i Objektorientert Programmering IGR 1372 7LG'HVHPEHU± 7LOODWWHKMHOSHPLGOHU 6NULYHVDNHU2UGE NHU -DYD6RIWZDUH6ROXWLRQV)RXQGDWLRQVRI3URJUDP 'HVLJQVNUHYHWDY/HZLV

Detaljer

NTNU MA0003. Ole Jacob Broch. Norwegian University of Science and Technology. MA0003 p.1/29

NTNU MA0003. Ole Jacob Broch. Norwegian University of Science and Technology. MA0003 p.1/29 MA0003 Ole Jacob Broch Norwegian University of Science and Technology MA0003 p.1/29 Oversikt, torsdag 13/1 Avsnitt 1.3: intervaller og intervallnotasjon definisjons- og verdimengden til en funksjon Avsnitt

Detaljer

EKSAMEN I FAG TDT4100 Objekt-orientert programmering. Fredag 3. juni 2005 KL. 09.00 13.00

EKSAMEN I FAG TDT4100 Objekt-orientert programmering. Fredag 3. juni 2005 KL. 09.00 13.00 Side 1 av 6 NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet BOKMÅL Fakultet for informasjonsteknologi, matematikk og elektroteknikk Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap EKSAMEN I FAG

Detaljer

Eksamensoppgave i TDT4100 Objektorientert programmering med Java

Eksamensoppgave i TDT4100 Objektorientert programmering med Java Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap Eksamensoppgave i TDT4100 Objektorientert programmering med Java Faglig kontakt under eksamen: Rune Sætre Tlf.: 452 18 103 Eksamensdato: 2013, torsdag

Detaljer

OPPGAVE 5b og 8b Java Kode

OPPGAVE 5b og 8b Java Kode OPPGAVE 5b og 8b Java Kode public class Kant boolean behandlereturavbil() BehandleReturAvBil behandler = new BehandleReturAvBil(this); String regnr; int kmstand, tanknivaa; boolean erskadet; // 1: Få verdiene

Detaljer

100 ENKLERE OPPGAVER MED HINT OG LØSNINGSFORSLAG I LINEÆR ALGEBRA (OG NOEN I DISKRET MATEMATIKK)

100 ENKLERE OPPGAVER MED HINT OG LØSNINGSFORSLAG I LINEÆR ALGEBRA (OG NOEN I DISKRET MATEMATIKK) ENKLERE OPPGAVER MED HINT OG LØSNINGSFORSLAG I LINEÆR ALGEBRA (OG NOEN I DISKRET MATEMATIKK) EIVIND ERIKSEN, TROND STØLEN GUSTAVSEN, AND HELGE HÜLSEN Introduksjon Dette kompendiet inneholder oppgaver med

Detaljer

INF1010 våren 2014. Arv og subklasser - del 2

INF1010 våren 2014. Arv og subklasser - del 2 INF1010 våren 2014 Onsdag 19. februar Arv og subklasser - del 2 Stein Gjessing Institutt for informatikk Dagens tema Virtuelle metoder som er det samme som Polymorfi Mer om arv / interface Mer om pekertilordninger

Detaljer

import java.util.arraylist;

import java.util.arraylist; import java.util.arraylist; * Klassen som generer TerminListe * @author young * * TODO To change the template for this generated type comment go to * Window - Preferences - Java - Code Style - Code Templates

Detaljer

Norges Informasjonsteknologiske Høgskole

Norges Informasjonsteknologiske Høgskole Oppgavesettet består av 6 (seks) sider. Norges Informasjonsteknologiske Høgskole PG4200 Algoritmer og datastrukturer Side 1 av 6 Tillatte hjelpemidler: Ingen Varighet: 3 timer Dato: 6. august 2014 Fagansvarlig:

Detaljer

Løsningsforslag B = 1 3 A + B, AB, BA, AB BA, B 2, B 3 C + D, CD, DC, AC, CB. det(a), det(b)

Løsningsforslag B = 1 3 A + B, AB, BA, AB BA, B 2, B 3 C + D, CD, DC, AC, CB. det(a), det(b) Innlevering BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Fredag 05. februar 2016 kl 14:00 Antall oppgaver: 5 Løsningsforslag 1 Vi denerer noen matriser A [ 1 5 2 0 B [ 1

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i INF1000 våren 2006

Løsningsforslag til eksamen i INF1000 våren 2006 Løsningsforslag til eksamen i INF1000 våren 2006 Oppgave 1 a) -1 false 7 b) 30 c) Verdien til j er: 4Verdien til k er: 3Verdien til n er: 7 d) Andre if-test er true Tredje if-test er true e) k = 4 k =

Detaljer

Algoritmer og datastrukturer Kapittel 1 - Delkapittel 1.6

Algoritmer og datastrukturer Kapittel 1 - Delkapittel 1.6 Delkapittel 1.6 Multidimensjonale tabeller og matriser Side 1 av 23 Algoritmer og datastrukturer Kapittel 1 - Delkapittel 1.6 1.6 Multidimensjonale tabeller og matriser 1.6.1 Endimensjonale tabeller Vi

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

PG4200 Algoritmer og datastrukturer Forelesning 7

PG4200 Algoritmer og datastrukturer Forelesning 7 PG4200 Algoritmer og datastrukturer Forelesning 7 Lars Sydnes, NITH 19. mars 2014 I. TERMINOLOGI FOR TRÆR TRÆR Lister: Lineære Trær: Hierarkiske Modell / Språk: Bestanddeler: Noder, forbindelser. Forbindelse

Detaljer

Algoritmer og datastrukturer Kapittel 3 - Delkapittel 3.1

Algoritmer og datastrukturer Kapittel 3 - Delkapittel 3.1 Delkapittel 3.1 Grensesnittet Liste Side 1 av 11 Algoritmer og datastrukturer Kapittel 3 - Delkapittel 3.1 3.1 En beholder 3.1.1 En beholder En pappeske er en beholder En beholder er noe vi kan legge ting

Detaljer

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009 Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være

Detaljer

1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at

1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at Ekstranotat, 7 august 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser og brøker... Funksjoner...3 Tilvekstform (differensialregning)...4 Telleregelen...7 70-regelen...8

Detaljer

EKSAMEN RF5100, Lineær algebra

EKSAMEN RF5100, Lineær algebra Side av 5 Oppgavesettet består av 5 (fem) sider. EKSAMEN RF500, Lineær algebra Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator og utdelt formelark Varighet: 3 timer Dato: 4. oktober 04 Emneansvarlig: Lars Sydnes

Detaljer

Løsningsforslag ukeoppg. 6: 28. sep - 4. okt (INF1000 - Høst 2011)

Løsningsforslag ukeoppg. 6: 28. sep - 4. okt (INF1000 - Høst 2011) Løsningsforslag ukeoppg. 6: 28. sep - 4. okt (INF1000 - Høst 2011) Løsningsforslag til oppgave 7, 8, og 9 mangler Klasser og objekter (kap. 8.1-8.14 i "Rett på Java" 3. utg.) NB! Legg merke til at disse

Detaljer

En algoritme for permutasjonsgenerering

En algoritme for permutasjonsgenerering Innledning La oss tenke oss at vi har en grunnskole-klasse på 25 elever der enkelte av elever er uvenner med hverandre. Hvis uvenner sitter nær hverandre blir det bråk og slåssing. Er det mulig å plassere

Detaljer

MED TIDESTIMATER Løsningsforslag

MED TIDESTIMATER Løsningsforslag Oppgavesettet består av 12 (mange) sider. Norges Informasjonsteknologiske Høgskole PG4200 Algoritmer og datastrukturer Side 1 av 12 Tillatte hjelpemidler: Ingen Varighet: 3 timer Dato: 6. august 2014 Fagansvarlig:

Detaljer

Sammendrag kapittel 9 - Geometri

Sammendrag kapittel 9 - Geometri Sammendrag kapittel 9 - Geometri Absolutt vinkelmål (radianer) Det absolutte vinkelmålet til en vinkel v, er folholdet mellom buelengden b, og radien r. Buelengde v = b r Med v i radianer! b = r v Omregning

Detaljer

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for informatikk og e-læring - AITeL Kandidatnr: Eksamensdato: 5.mai 200 Varighet: 0900-300 Emnekode: Emnenavn: Klasse(r): LO9D / LC9D LO9D Videregående programmering

Detaljer

Innlesning fra tastatur med easyio. INF1000 høst 2010. Vi må først skrive i toppen av programmet: import easyio.*;

Innlesning fra tastatur med easyio. INF1000 høst 2010. Vi må først skrive i toppen av programmet: import easyio.*; Innlesning fra tastatur med easyio INF1000 høst 2010 Forelesning 2: Innlesning fra terminal Boolean-variable if-setninger Løkker Litt mer om heltall: divisjon og modulo Vi må først skrive i toppen av programmet:

Detaljer

LO191D/LC191D Videregående programmering

LO191D/LC191D Videregående programmering LO191D/LC191D Videregående programmering Eksamen mai 2012 Løsningsforslag Oppgave 1 Klassen Destinasjon: // Oppgaven er uklar på hva som skal inn i klassen Destinasjon. // Her følger en minimumsutgave

Detaljer

Kapittel 9: Sortering og søking Kort versjon

Kapittel 9: Sortering og søking Kort versjon Kapittel 9: Sortering og søking Kort versjon Redigert av: Khalid Azim Mughal (khalid@ii.uib.no) Kilde: Java som første programmeringsspråk (3. utgave) Khalid Azim Mughal, Torill Hamre, Rolf W. Rasmussen

Detaljer

Geometri. Kapittel 3. 3.1 Vektorproduktet

Geometri. Kapittel 3. 3.1 Vektorproduktet Kapittel 3 Geometri I dette kapitlet skal vi benytte den teorien vi utviklet i kapittel 1 og 2 til å studere geometriske problemstillinger. Vi skal se på kurver og flater, og vi skal også studere hvordan

Detaljer

Matematikk og fysikk RF3100

Matematikk og fysikk RF3100 DUMMY Matematikk og fysikk RF3100 Løsningsforslag 16. mars 2015 Tidsfrist: 23. mars 2015 klokken 14.00 Oppgave 1 Her skal vi se på hvordan man kan sikte seg inn på stridsvogner i bevegelse. Ved t = 0 befinner

Detaljer

NB!!! Veldig korte svar er gitt her. Disse burde det vært skrevet mer på ved en eksamen..

NB!!! Veldig korte svar er gitt her. Disse burde det vært skrevet mer på ved en eksamen.. Løsningsforslag Eksamen V2007 Oppgave 1 NB!!! Veldig korte svar er gitt her. Disse burde det vært skrevet mer på ved en eksamen.. Oppgave 1.1 Klasse som pakke rinne n primitiv datatype, slik at vi kan

Detaljer

Det viktigste dataelementet som MATLAB benytter, er matriser, som også gjerne betegnes arrays.

Det viktigste dataelementet som MATLAB benytter, er matriser, som også gjerne betegnes arrays. Kapittel 5 Matriseoperasjoner Det viktigste dataelementet som MATLAB benytter, er matriser, som også gjerne betegnes arrays. I det etterfølgende vil begrepet vektor bli benyttet enkelte steder som betegnelse

Detaljer

Mål med kurset. Java i INF 2400. Dagens tema. GUI med Swing. Dokumentasjon

Mål med kurset. Java i INF 2400. Dagens tema. GUI med Swing. Dokumentasjon Mål med kurset Java i INF 2400 Introduksjon til signalbehandling Lyd som anvendelse Få programmeringserfaring Dagens tema Utplukk av Java (GUI, kode-konvensjon, polymorfisme, classpath, javadoc) Java og

Detaljer

INF1010 - Seminaroppgaver til uke 3

INF1010 - Seminaroppgaver til uke 3 INF1010 - Seminaroppgaver til uke 3 Oppgave 1 I denne oppgaven skal vi lage et klassehiearki av drikker. Alle klassene i hiearkiet skal implementere følgende grensesnitt p u b l i c i n t e r f a c e Drikkbar

Detaljer

Dagens forelesning. Java 13. Rollefordeling (variant 1) Rollefordeling (variant 2) Design av større programmer : fordeling av roller.

Dagens forelesning. Java 13. Rollefordeling (variant 1) Rollefordeling (variant 2) Design av større programmer : fordeling av roller. Dagens forelesning Java 13 Design av større programmer : fordeling av roller INF 101-13. mars 2003 Flere eksempler på bruk av objekter MVC-prinsippet MVC-prinsippet Flere eksempler på programmer med objekter

Detaljer

Eksamensoppgave i TDT4100 Objektorientert programmering med Java

Eksamensoppgave i TDT4100 Objektorientert programmering med Java Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap Eksamensoppgave i TDT4100 Objektorientert programmering med Java Faglig kontakt under eksamen: Rune Sætre Tlf.: 452 18 103 Eksamensdato: 2013, torsdag

Detaljer

Graphics. Grafikk. Praktisk sett: Koordinatsystemet. kodeeksempel

Graphics. Grafikk. Praktisk sett: Koordinatsystemet. kodeeksempel Grafikk Grafikk er den framstillingen vi gir objekter på en todimensjonal flate. Det er en regnemessig tung operasjon å regne ut hvordan man skal framstille to og tre dimensjonale objekt på en todimensjonal

Detaljer

PG4200 Algoritmer og datastrukturer Forelesning 2

PG4200 Algoritmer og datastrukturer Forelesning 2 PG4200 Algoritmer og datastrukturer Forelesning 2 Lars Sydnes, NITH 15. januar 2014 I. Forrige gang Praktisk eksempel: Live-koding II. Innlevering Innlevering 1 2.februar Offentliggjøring: 22.januar Innhold:

Detaljer

INF1010 Grafisk brukergrensesni3 med Swing og awt del 1 INF1010

INF1010 Grafisk brukergrensesni3 med Swing og awt del 1 INF1010 Grafisk brukergrensesni3 med Swing og awt del 1 GUI (Graphical User Interface)- programmering Hvordan lage et vindu på skjermen Hvordan legge ulike komponenter i vinduet (trykknapper, tekseelter, tekst,

Detaljer

Avdeling for ingeniørutdanning Institutt for teknologi

Avdeling for ingeniørutdanning Institutt for teknologi Avdeling for ingeniørutdanning Institutt for teknologi Oppgavetittel: Lab Fag(nr./navn): DOPS2021 - Operativsystemer Gruppemedlemmer: T. Alexander Lystad Faglærer: Karoline Moholth Dato: 15. oktober 2009

Detaljer

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. august 2011

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. august 2011 Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 8. august 20 2 Definisjon av funksjon Definisjon En funksjon er en regel f som til et hvert tall i definisjonsmengden

Detaljer

Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09

Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09 Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09 Oppgave 1 Du ar fått deg en jobb i et firma og skal kjøre til en konferanse med overnatting. Du drar jemmefra på mandag kl 07:15 og ankommer 11:07. Du overnatter

Detaljer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Definisjon: Vi starter med en lineær transformasjon fra til, hvor Dersom, hvor, sier vi at: er egenverdiene til A er tilhørende egenvektorer. betyr at er et reelt eller

Detaljer

Algoritmer og datastrukturer Kapittel 1 - Delkapittel 1.8

Algoritmer og datastrukturer Kapittel 1 - Delkapittel 1.8 Delkapittel 1.8 Algoritmeanalyse Side 1 av 12 Algoritmer og datastrukturer Kapittel 1 - Delkapittel 1.8 1.8 Algoritmeanalyse 1.8.1 En algoritmes arbeidsmengde I Delkapittel 1.1 ble det definert og diskutert

Detaljer

Obligatorisk oppgave 1 MAT1120 H15

Obligatorisk oppgave 1 MAT1120 H15 Obligatorisk oppgave MAT20 H5 Innleveringsfrist: torsdag 24/09-205, innen kl 4.30. Besvarelsen leveres på Matematisk institutt, 7. etasje i N.H. Abels hus. Husk å bruke forsiden som du finner via hjemmesiden.

Detaljer

REGEL 1: Addisjon av identitetselementer

REGEL 1: Addisjon av identitetselementer REGEL 1: Addisjon av identitetselementer Addisjon av identitetselementer a + 0 = a x + 0 = x Et identitetselement (nøytralt element) er et element som ikke medfører noen endring når det kombineres med

Detaljer

INF1010, 21. januar 2016. Klasser med parametre = Parametriserte klasser = Generiske klasser

INF1010, 21. januar 2016. Klasser med parametre = Parametriserte klasser = Generiske klasser INF1010, 21. januar 2016 Klasser med parametre = Parametriserte klasser = Generiske klasser Stein Gjessing Inst. for Informatikk Universitetet i Oslo Først litt repetisjon fra i går class LagBiler { public

Detaljer

Øving 4 Egenverdier og egenvektorer

Øving 4 Egenverdier og egenvektorer Øving Egenverdier og egenvektorer En egenvektor til en matrise A er løsning av likningen A.x = Λ x hvor Λ er en konstant. Det betyr at virkningan av å multiplisere en matirse med en vektor gir en ny vektor

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte EMFE DAFE ELFE BYFE Dato: august 25 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave a) Gitt matrisene A = 2 3 2 4 2 Løsningsforslag og

Detaljer

INF1010, 15. januar 2014 2. time. Parametriserte klasser (generiske klasser) Stein Gjessing Inst. for Informatikk Universitetet i Oslo

INF1010, 15. januar 2014 2. time. Parametriserte klasser (generiske klasser) Stein Gjessing Inst. for Informatikk Universitetet i Oslo INF1010, 15. januar 2014 2. time Parametriserte klasser (generiske klasser) Stein Gjessing Inst. for Informatikk Universitetet i Oslo Repetisjon fra gamle dager: Metoder med parametre En metode uten parameter:

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte Dato: vår 5 ENDRE Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver ar lik vekt. Oppgave a Gitt matrisene A regn ut A + B, AB. Løsningsforslag 4 og B 7 5 Vi

Detaljer

TOD063 Datastrukturer og algoritmer

TOD063 Datastrukturer og algoritmer TOD063 Datastrukturer og algoritmer Øving : 3 Utlevert : Uke 7 Innleveringsfrist : 26. februar 2010 Klasse : 1 Data og 1 Informasjonsteknologi Gruppearbeid: 2-3 personer pr. gruppe. Oppgave 1 Vi skal lage

Detaljer

MAT 1120: Obligatorisk oppgave 1, H-09

MAT 1120: Obligatorisk oppgave 1, H-09 MAT 110: Obligatorisk oppgave 1, H-09 Innlevering: Senest fredag 5. september, 009, kl.14.30, på Ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt (7. etasje NHA). Du kan skrive for hånd eller med datamaskin,

Detaljer

Utkast til løsningsforslag til eksamen i emnet MAT 121 - Lineær algebra Utan ansvar for feil og mangler Mandag 31. mai 2010, kl. 09-14.

Utkast til løsningsforslag til eksamen i emnet MAT 121 - Lineær algebra Utan ansvar for feil og mangler Mandag 31. mai 2010, kl. 09-14. Utkast til løsningsforslag til eksamen i emnet MAT 2 - Lineær algebra Utan ansvar for feil og mangler Mandag 3. mai 2, kl. 9-4. Oppgave En bisverm flyr mellom to kuber, A og B, på dagtid, og hver bi blir

Detaljer

INF1010 våren 2016. Arv og subklasser - del 2

INF1010 våren 2016. Arv og subklasser - del 2 INF1010 våren 2016 Onsdag 10. februar Arv og subklasser - del 2 pluss litt om feil og unntak hvis tid Stein Gjessing Institutt for informatikk Dagens tema Virtuelle metoder som er det samme som Polymorfi

Detaljer

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Matriser. Løsningsforslag

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Matriser. Løsningsforslag Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Matriser Løsningsforslag Oppgave 1 Redusert trappeform og løsning av lineære likningssystemer a) Totalmatrisa blir Vi tilordner dette i MATLAB: 5 1 1

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer