Statistikk 2. Tabellen nedenfor viser oljeproduksjonen i et OPEC-land i perioden 1990 til Produksjonen er i 1000 tonn.

Transkript

1 Statistikk Innledning Begrepet statistikk skriver seg fra tiden da en stat samlet inn opplysninger som myndighetene hadde bruk for. Opplysningene eller dataene som ble samlet inn, dreide seg for det meste om inntekter og størrelse på eiendommer. Disse dataene ble lagt til grunn for beregninger av skatt. I krigstider var det dessuten viktig å registrere antall menn som kunne brukes som soldater. I dag omfatter statistikk systematiske metoder for å samle inn og studere datamateriale. Hensikten med å analysere datamaterialet ved hjelp av statistiske metoder, er blant annet for å kunne begrunne avgjørelser. ClassPad 300 har innebygd en rekke kommandoer som kan brukes til statistiske beregninger. I dette kapitlet vil vi studere de mest sentrale kommandoene, Vi berører ikke emner som estimering, hypotesetesting og konfidensintervall, men gjør imidlertid oppmerksom på at ClassPad 300 er utrustet for å kunne håndtere disse viktige temaene. Kurvediagram Tabellen nedenfor viser oljeproduksjonen i et OPEC-land i perioden 1990 til 005. Produksjonen er i 1000 tonn. Årstall Produksjon Produksjonsutviklingen i denne perioden kan framstilles som et kurvediagram. Vi skal gjøre det ved hjelp av ClassPad 300. Årstallene fra 1995 til og med 005 legger vi inn i list1 ved hjelp av seq. Dette gjøres i Main. Vi sparer svært mye arbeid ved å benytte seq på denne måten. 149

2 Når vi går inn i Statistics ser vi at årstallene ligger i rekkefølge i list1. Tallene for produksjon må vi legge inn i list tall for tall. Vi trykker på ikonet for valg av graf. Dette ikonet finner vi som nummer fire fra venstre. Da kommer følgende skjerm opp. Se skjermbildet til venstre nedenfor. Vi velger xyline som Type og ldot som Mark. Disse valgene er vist på bilde nummer to ovenfor. Deretter trykker vi på Set og kommer tilbake til listene. Etter å ha trykket på ikonet for å tegne graf får vi dette kurvediagrammet. Tegneikonet ligger øverst, helt til venstre. Årstallene fra 1995 og fram til og med 005 ligger langs den horisontale aksen. Oljeproduksjonen i 1000 tonn kan vi lese på den vertikale aksen. 150

3 Sortering av statistisk tallmateriale. Hvilket år var oljeproduksjonen minst og hvilket år var produksjonen størst? I et så begrenset tallmateriale som vi arbeider med her, er det mulig å finne dette uten hjelp av lommeregner. Men vi kan jo tenke oss at tallmaterialet var mye større. Da kan denne framgangsmåten komme til stor nytte. Vi velger først å trykke Edit etterfulgt av Sort (Ascending), som betyr sortert i stigende rekkefølge. På bilde nummer to nedenfor, må vi fortelle at det er to lister som skal sorteres samtidig. Årstall og produksjon skal ikke skille lag, men holde sammen under sorteringen. Videre må vi velge list som baseliste. list1 blir vår Select Second List. Vi avslutter med OK og ser at oljeproduksjonen er sortert i stigende rekkefølge. Det betyr at vi lett kan besvare vårt spørsmål ovenfor. Oljeproduksjonen er minst i 1997 og størst i 003. Senere skal vi se at vi kan få svar på dette uten å ha sortert tallmaterialet. 151

4 Histogram I en skoleklasse er det 5 elever. På en matematikkprøve fikk elevene følgende karakterer: 3, 5, 4, 1, 3, 4,, 3,, 6, 3, 3, 5, 3,, 4, 3, 1, 5,, 3, 4,, 3, 3 Det usorterte tallmaterialet med karakterer må vi legge inn tall for tall. Vi legger karakterene inn i list1 og får bildet som vist nedenfor. Vi følger samme prosedyre som i eksemplet med oljeproduksjon, men denne gangen velger vi Histogram som type. Se bilde i midten ovenfor. Etter å ha trykket på tegneikonet setter vi Hstart og Hstep til 1. Diagrammet nedenfor viser karakterfordelingen på denne matematikkprøven. Diagrammet viser tydelig at det er flest med karakter 3. Bare én elev fikk 6, mens to elever strøk på denne prøven. Men hva ble gjennomsnittskarakteren på denne matematikkprøven? 15

5 Gjennomsnitt Vi skal nå finne gjennomsnittskarakteren på matematikkprøven. Uten bruk av lommeregner må vi legge sammen alle karakterene og dele på antall elever. I et større tallmateriale kan dette være svært arbeidsomt og tidkrevende. Ved hjelp av ClassPad 300 finner vi gjennomsnittet ved å trykke på Calc på øverste linje. Vi velger One-Variable med XList lik list1 og Freq lik 1. Stat Calculation er vist på det tredje bildet nedenfor. Gjennomsnittskarakteren er altså 3,16. Relativ frekvens i prosent Vi ser av både tabellen og diagrammet for karakterfordeling at av 5 elever fikk karakteren 1. Det betyr at 100% = 8% fikk karakter. Dette er et eksempel på det vi 5 kaller relativ frekvens i prosent. Hvordan skal vi få ClassPad 300 til å regne ut den relative frekvensen i prosent for alle karakterene? Tallmaterialet ligger jo allerede i list1. Først sorterer vi karakterene i stigende orden. Frekvensen for de ulike karakterene fører vi inn i list. Så tar vi en svipptur innom list 100% Main og utfører regneoperasjonen 5 og legger dette inn i list3 ved hjelp av tilordningssymbolet. Den relative frekvens i prosent kommer da ut i list3. Vi kan også list 100% legge formelen 5 direkte inn i list3. En slik framgangsmåte vil vi vise senere i dette kapitlet. 153

6 Vi ser at for eksempel 16 % av elevene fikk karakteren 4. Typetall akteren som forekommer hyppigst på denne matematikkprøven er karakter 3. Et resultat eller en observasjon som forekommer hyppigst, kaller vi for typetallet i tallmaterialet. Vi bruker kommandoen mode for å finne typetallet. list1 på figuren nedenfor inneholder samlingen av karakterer. Resultatet av mode(list1) ligger i øverste celle i list. Som vi ser, er karakteren 3 den mest typiske. Vi sier at 3 er typetallet for tallmaterialet. I neste avsnitt får vi se mode i en samling av flere fakta. 154

7 Median Vi studerer lønnsforholdene i en bedrift med 17 ansatte. Sjefen har 1, millioner kroner i årsinntekt. Noen få ansatte tjener godt, mens de aller fleste har relativt lav årsinntekt. Inntektene er lagt inn i list1 og sortert i stigende orden. ClassPad 300 har beregnet gjennomsnittsinntekten til kroner. Men dette kan gi et skjevt inntrykk av lønnsforholdene i denne bedriften. Det er klart at sjefen og et par andre ansatte drar opp gjennomsnittslønnen. I slike tilfelle gir medianen et bedre bilde av forholdene. Medianen i et tallmateriale er verdien i midten når materialet er sortert. Arbeideren som havner på 9.plass har 8 kolleger som tjener mindre enn seg og 8 kolleger som tjener mer. Vi ser av den sorterte tabellen at denne arbeideren tjener kroner. Derfor er kroner medianlønnen i denne bedriften. Når vi ruller skjermbildet i Stat Calculation nedover, ser vi at Med = Vi ser også at Mode = Det er nemlig to arbeidere som tjener De øvrige har forskjellig inntekt. Derfor er typetallet i dette tallmaterialet. Men hva skjer dersom en arbeider slutter? Da har vi en liste med 16 lønnsmottakere og det er ingen som ligger akkurat på midten. Medianen blir i dette tilfellet gjennomsnittet av lønnen til de to som ligger på 8. og 9.plass. I list1 har arbeideren på 15.plass sluttet i bedriften. Da ser vi at arbeiderne på 8. og 9. plass tjener henholdsvis kroner og kroner. Gjennomsnittet av disse to inntektene er kroner. Dette finner vi ved å lese av Med på ClassPad 300. Dersom antall observasjoner N er et partall, er medianen gjennomsnittet av observasjonsverdiene til observasjon nummer N/ og nummer N/

8 Vi ser også at Stat Calculation finner laveste og høyeste inntekt. Tallene blir presentert som henholdsvis minx = og maxx = Nå har vi sett hvordan vi ved hjelp av ClassPad 300 kan finne gjennomsnitt, typetall og median. Siden disse tre måleverdiene sier noe om hvor vi finner midten av materialet, kaller vi disse verdiene for sentralmål. Nå skal vi studere spredningsmål. Variasjonsbredde Variasjonsbredden er differansen mellom den største og den minste verdien i et statistisk tallmateriale. I eksemplet i avsnittet ovenfor, finner vi altså variasjonsbredden ved maxx minx = = , det vil si kroner. ClassPad 300 kan også finne variasjonsbredden til et tallmateriale i Main. Det forutsetter at vi har lagt tallmaterialet inn i en liste. Våre tall ligger i list1. Framgangsmåten er som følger. 156

9 Differansen mellom høyeste og laveste inntekt i denne bedriften er altså kroner. Kvartiler Vi skal se på nok et spredningsmål. I et statistisk tallmateriale kan vi finne kvartiler. Vi skiller mellom nedre og øvre kvartil. Definisjon: Nedre kvartil: Observasjonsverdien som er slik at ¼ av observasjonsverdiene har lavere verdi. Øvre kvartil: Observasjonsverdien som er slik at ¾ av observasjonsverdiene har lavere verdi. Kvartilbredden er differansen mellom øvre- og nedre kvartil. La oss finne kvartilene i tallmaterialet som inneholder årsinntektene. Vi gjennomfører operasjonene med 16 lønnsmottakere. Det betyr at nedre kvartil blir gjennomsnittet av inntektene til de to arbeiderne som ligger på 4. og 5. plass i den sorterte listen over inntekter. Årsinntekten for 4.plass er kroner og årsinntektene for 5.plass er kroner. Vi regner ut nedre kvartil: = 7500, det vil si kroner. Øvre kvartil blir gjennomsnittet av inntektene til de to arbeiderne som ligger på 1. og 13. plass i den sorterte listen over inntekter. Årsinntekten for 1.plass er kroner og årsinntektene for 13.plass er kroner. Vi regner ut øvre kvartil: = , det vil si kroner. På ClassPad 300 er nedre kvartil symbolisert med og øvre kvartil med Q. Q

10 Vi ser av Stat Calculation at ClassPad 300 får samme svar som de vi regnet ut for hånd. Nedre kvartil Q 7500 og øvre kvartil Q = = 3 Q1 = 7500 ClassPad 300 har beregnet gjennomsnittsinntekten i denne bedriften til kroner. Men både medianen og kvartilene forteller oss at lønningene i denne bedriften er svært skjevt fordelt. Vi kan illustrere denne skjeve fordelingen ved hjelp av en grafisk framstilling på ClassPad 300. I Set StatGraphs som vi har vært innom før, kan vi velge Type lik MedBox. Etter Set trykker vi på tegneikonet og den grafiske illustrasjonen kommer fram. MedBox viser tydelig den skjeve lønnsfordelingen i bedriften. Vi ser også at verdien for medianen ligger nærmere nedre kvartil enn øvre kvartil. Det er to lønnsmottakere som skiller seg klart ut fra de øvrige 14 arbeidere i bedriften. Vi kan derfor lage en illustrasjon som kompenserer for dette og samtidig viser at variasjonene blant det store flertallet, ikke er særlig spredt. Da benytter vi den modifiserte utgaven av MedBox. 158

11 Denne kalles ModBox. Den modifiserte MedBox luker ut alle verdier i det statistiske materialet som ligger 1.5 kvartilbredden over øvre kvartil eller 1.5 kvartilbredden under nedre kvartil. Så beregnes sentralmål og spredingsmål for det gjenværende tallmaterialet. Lønnsforholdene i bedriften illustreres som vist på figuren til venstre nedenfor. De to høytlønte blir her markert med små kvadrater. Resterende lønnsmottakere har nå liten variasjonsbredde. akterer Vi vender tilbake eksemplet med matematikkprøve og karakterer. Søylediagrammet for karakterene på matematikkprøven viser en mer normal spredning eller fordeling. Her er fordelingen mye jevnere og dette kommer tydelig fram ved hjelp av MedBox. Vi henter fram karakterlisten igjen og velger MedBox som type i Set StatGraphs. Da får vi følgende illustrasjon. Figuren til høyre forklarer hvor vi finner minx, Q 1, medianverdien, Q 3 og maxx. 159

12 Standardavvik Tabellen nedenfor viser et utsnitt av en karakterstatistikk. I kolonnen helt til høyre ser vi standardavviket. akterfordeling i prosent Kode Faggruppe Type kar Kjønn Ant Gj.sn St.av MAT Matematikk St.pkt. G, 15,9 6,8 9,6,8, ,4 1,1 MAT Matematikk St.pkt. J,3 18,4 9,5 9,4 18,5, ,5 1,1 MAT Matematikk Avg.pr. G 3,4 14,8 7,9 8,5,3 3, ,4 1, MAT Matematikk Avg.pr. J 3,4 16,7 7,4 8,8 1,, ,4 1, MUS Musikk St.pkt. G 3, 6,4 37,3 3,7 8,4 1, ,9 1,0 MUS Musikk St.pkt. J 6,9 46,1 31,8 11,9,9 0, ,4 0,9 Natur- og NAM miljøfag St.pkt. G 3,5,9 9, 7,0 15,4, ,7 1,1 Hva betyr det at standardavviket for musikkfaget er mindre enn standardavviket for matematikk? Standardavvik er et mål på hvor stor variasjon det er i det statistiske tallmaterialet vi behandler. Siden standardavviket for karakterene i musikk er forholdsvis lite, betyr det at mange av elevene har en karakter som ligger i nærheten av gjennomsnittskarakteren. I matematikk er standardavviket noe større. Det betyr at flere av elevene har fått karakterer som ligger lengre unna gjennomsnittet. Variabelen vi måler, kan vi kalle X. Da kaller vi ofte standardavviket for σ x, SD(x) eller s x. Vi antar at vi har et sett målinger av verdien X. Disse kan vi kalle x 1, x,..., x n. For å regne ut standardavviket må vi først regne ut gjennomsnittet x eller ˆx µ. Formelen for å regne ut standardavviket er: 160

13 SD( x) = n i= 1 ( x x) i n Standardavviket er kvadratroten av variansen gitt ved VAR( x) = n i= 1 ( x x) I vår formel for standardavvik har vi valgt å dividere med n. Noen ganger dividerer vi kvadratsummen med n - 1. Når vi dividerer kvadratsummen med n, finner vi standardavviket til en populasjon. Utvalgsstandardavvik finner vi ved å dividere med n 1. Hvis utvalget er stort, altså stor n, spiller det ikke så stor rolle om vi dividerer med n eller n 1. Class Pad 300 skiller mellom populasjonsstandardavvik og utvalgsstandardavvik. Standardavvik for en populasjon skrives xσ n, mens standardavvik for et utvalg skrives xσ n 1. Først skal vi foreta en del håndregning. i n Eksempel Honningproduksjon En honningprodusent har 53 bikuber. For å gjøre tabellen mer praktisk har birøkteren delt materialet inn i klasser. Vi skal altså behandle klassedelt materiale. Tabellen nedenfor viser blant annet honningproduksjonen i kilogram per bikube i løpet av en sesong. Det er ikke mulig å finne den nøyaktige gjennomsnittsvekten ut fra tallene i tabellen, men vi kan finne en tilnærmet riktig gjennomsnittsverdi ved hjelp av klassemidtpunktene. Klassemidtpunktet er gjennomsnittet av nedre og øvre verdi i intervallet. Vi antar at alle bikubene i en klasse, veier akkurat dette midtpunktet. Vi får følgende tabell: Vekt [kg] Frekvens f Klassemidtpunkt x m Klassesum f x m [10,0> [0,30> [30,40> [40,50> [50,60> [60,70> [70,100> Sum Kvadratisk avvik f ( x x) Før vi kan fylle inn verdien i siste kolonne må vi ha regnet ut gjennomsnittet. Vi finner f x 195 gjennomsnittet ved x = m = 36, det vi si tilnærmet 36 kg. n 53 m 161

14 Standardavviket: x = n i= 1 σ n ( x x) i n = = 18,84, det vil si 18,84 kg. 53 Hvordan kan vi bruke ClassPad 300 som et nyttig verktøy i denne problemstillingen? Vi ønsker selvfølgelig å kunne mate lommeregneren med vektklassene og frekvensen for deretter å la lommeregneren ta seg av det tidkrevende regnearbeidet. Men hvordan skal ClassPad 300 finne klassemidtpunktene? Vi legger nedre grense for klassene inn i list1 og øvre grense inn i list. Frekvensene legger vi list3. Så legger vi formelen list1+list i list4. Det betyr at list4 vil komme til å inneholde klassemidtpunktene. ClassPad 300 finner at gjennomsnittet x = 36,3 og at standardavviket xσ n = 18,84. Lommeregneren bekrefter vår håndregning. I forbindelse med behandling av statistisk tallmateriale med svært mange målinger, er det godt å vite at det finnes verktøy som kan ta seg av beregningene. 16

15 Normalfordeling Ofte sier vi at statistisk tallmateriale er tilnærmet normalfordelt. Da mener vi at histogrammet med de relative frekvensene faller omtrent sammen med grafen til normalfordelingsfunksjonen f gitt ved 1 f( x) = e πσ ( x x) σ der σ er standardavviket til tallmaterialet og x er gjennomsnittet. Hvordan ser en slik graf ut? Vi setter i første omgang σ = 1, og x = 3, 4. Da ser grafen ut slik som figuren nedenfor til venstre viser. Dersom vi øker standardavviket til for eksempel 1,9, vil grafen strekker seg og flate ut. Det illustrerer at flere resultater ligger langt fra gjennomsnittet. Figuren til høyre viser dette. Høyden til alle norske rekrutter er et eksempel på normalfordelt materiale. Vi kommer tilbake til det litt senere. Eksempel Avgangsprøve Vi skal nå undersøke om karakteren til avgangsprøven i matematikk er normalfordelt. Nedenfor har vi valgt ut resultatet for gutter. akterfordeling i prosent Kode Faggruppe Type kar Kjønn Ant Gj.sn St.av MAT Matematikk Avg.pr. G 3,4 14,8 7,9 8,5,3 3, ,4 1, Vi legger karakterene fra 1 til 6 inn i list1 og fordelingen inn i list på ClassPad

16 Så trykker vi Set StatGraphs, velger Histogram som Type og list1 som Xlist og list som Freq, dvs. frekvens. Både Hstart og Hstep settes lik 1. Til slutt trykker vi på tegneikonet. Dette gir oss histogrammet for karakterfordelingen i prosent. Nå skal vi undersøke om karakterfordelingen er tilnærmet normalfordelt. I Set StatGraphs velger vi Type lik NDist. Se neste side. 164

17 Grafen får den karakteristiske klokkeformen som viser at karakterene til avgangsprøven i matematikk er til nærmet normalfordelt. Sannsynlighet i en normalfordeling Eksempel Myntkast Vi kan la ClassPad 300 kaste mynt for oss 50 ganger. Mynt setter vi til 1 og krone til. Resultatet av første runde med 50 kast legger vi inn i list1. Etter en sortering i for eksempel stigende orden, er det lett å få rede på antall mynt og krone. Vi kan ta en ny runde med 50 kast. Denne gangen legger resultatene list. Slik kan vi fortsette med å legge i list3, list4 osv. I første runde fikk ClassPad 300 mynt 30 ganger, i andre runde mynt 4 ganger og i tredje runde mynt 0 ganger. Slik kan vi eksperimentere med ClassPad 300 for å vekke interessen for spørsmål av typen: 165

18 1. Hva er sannsynligheten for at vi får krone akkurat 15 ganger når vi kaster mynten 50 ganger?. Eller hva er sannsynligheten for å få krone 0 ganger eller færre? Vi lar X være antall ganger vi får krone. Sannsynlighetsfordelingen til X blir en binomisk fordeling. Sannsynligheten for suksess er nøyaktig p = 0,5. Enten får vi krone eller mynt i et kast. Sannsynligheten for det ene utfallet er like stor som sannsynligheten for det andre utfallet. La oss se på sannsynligheten for få krone x ganger. 50 x 50 Sannsynlighet: ( ) 0,5 0,5 50 x PX= x= = 0,5 50. x x Spørsmål 1. kan vi besvare ved å sette direkte inn i formelen. På ClassPad 300 får vi da Sannsynligheten for å få 15 krone i 50 kast er altså 0, ,%. ClassPad 300 har en egen kommando for punktsannsynligheten i et binomisk forsøk, nemlig BinomialPD. Vi får: 166

19 Vi får bekreftet at sannsynligheten for å få 15 krone i 50 kast er altså 0, , %. Før vi besvarer spørsmål ser vi på sannsynlighetsfordelingen til X. Her legger vi utfallsrommet inn i list1 og punktsannsynlighetene for å få mynt fra null til 50 ganger inn i list. På figuren nedenfor har vi framstilt fordelingen i et histogram. Spørsmål kan vi besvare ved å summere punktsannsynlighetene fra null til og med 0. Da lister vi først ut sannsynlighetene og summerer alle elementene i denne listen. Listen legges enkelt inn bak sum-kommandoen ved hjelp av kopiering og liming. 167

20 Sannsynligheten for å få krone 0 ganger eller færre er altså 0,101 = 10,1%. Dersom vi ikke er interessert i sannsynlighetsfordelingen, men ønsker kun å få direkte svar på spørsmål av denne kategorien, kan vi enkelt benytte kommandoen BinomialCD. BinomialCD bekrefter at sannsynligheten for å få krone 0 ganger eller færre er 0,101 = 10,1%. Dersom vi ønsker å få svar på spørsmål av typen hva er sannsynligheten for å få mynt flere ganger enn 0, men færre ganger enn 40, er det best å benytte framgangsmåten med å summere punktsannsynligheter. Eksempel Terningkast La oss oppsummere med en typisk problemstilling. Vi kaster en terning 7 ganger og lar X være antall seksere. Terningen er ikke trikset med og vi kan anta at sannsynligheten for å få 168

21 seks i et kast er 1. Nå lurer vi på hvor stor sannsynlighet det er for å få seks mellom 10 og 14 6 ganger. Altså er vi ute etter P(10 X 14). Da får vi: Vi ser av resultatet på Class Pad 300 at P(10 X 14) = 0,57 = 57% Eksempel Høyden til rekrutter Et typisk eksempel på en normalfordeling er høyden til rekrutter. Blant norske rekrutter er forventningsverdien µ = 180cm og standardavviket σ = 7cm. Hvordan kan vi ved hjelp av ClassPad 300 finne hvor stor del av norske rekrutter som er lavere enn 190 cm? Vi leser av skjermen at 9,3 % av norske rekrutter er lavere enn 190 cm. 169

22 Men hvordan kan vi finne ut hvor stor del av rekruttene som er høyere enn 170 cm? Når vi ved hjelp av NormCD har funnet hvor mange rekrutter som er lavere enn 170 cm, kan vi finne hvor stor del av rekruttene som er høyere enn 170 cm ved å regne ut 1 PX ( < 170). I stedet for ved hjelp av DispStat henter vi nå fram sannsynligheten ved hjelp av prob. Da får vi: Vi ser at omtrent 9,4 % av norske rekrutter er høyere enn 170 cm. Det kan være av interesse å finne ut hvor stor del av rekruttene som befinner seg innenfor intervallet [ µ σ, µ + σ ], altså innenfor ett standardavvik til høyre og venstre for forventningsverdien på 180 cm. Vi ser at omtrent 68,3 % av rekruttene ligger innenfor ett standardavvik på begge sider av forventningsverdien. Det betyr at 68.3 % av rekruttene har en høyde mellom 173 cm og 187 cm. ( x x) 1 σ Vi kan også benytte normalfordelingsfunksjonen f gitt ved f( x) = e til å finne πσ sannsynligheter. La oss se hvordan vi finner sannsynligheten for at en tilfeldig valgt rekrutt har en høyde som avviker ett standardavvik fra forventningsverdien. 170

23 Vi integrerer normalfordelingsfunksjonen fra 173 til 187 og ser at vi får samme svar som ovenfor. 171