MATEMATIKK FOR ØKONOMER (3. avdeling) Eksamensoppgaver

Transkript

1

2 MATEMATIKK FOR ØKONOMER (3. avdeling) Eksamensoppgaver Sosialøkonomisk institutt 22

3 Forord Dette heftet er beregnet på studenter som forbereder seg til eksamen i kurset Matematikk for økonomer i 3. avdeling. Vi har samlet komplette eksamenssett fra dette kurset og fra forgjengeren, Forberedende prøve i matematikk i 2. avdeling etter studieordningen av Pensumet ved den gamle prøven var ikke helt likt dagens pensum, men vi har likevel tatt med de fullstendige settene. I noen av oppgavene har vi gjort små endringer, blant annet for å ajourføre henvisningene til lærebøkene. Noen av oppgavene er helt eller delvis tatt med i K. Sydsæter et al.: Matematisk analyse II eller K. Sydsæter & B. Øksendal: Lineær algebra. Disse oppgavene er merket med * etter oppgavenummeret. Bak i heftet er det fasit til de fleste av oppgavene (men ikke til noen av oppgavene fra 1998). Samlingen er ajourført til og med eksamen i august Oslo, august 22 Arne Strøm og Knut Sydsæter xm3sam

4 Sett 1 (Forberedende prøve i 2. avdeling 12/6 1981) Oppgave 1* I en modell for studium av optimal utvinning av naturressurser opptrer differensiallikningen ( ) ẍ 2 α a2 aẋ + x = (α 1,a ) 1 α 1 α (a) Vis at den karakteristiske likningen har røttene a og a/(1 α), og still opp den allmenne løsningen av likningen når α. Hva blir den allmenne løsningen når α =? (b) Erstatt høyresiden i ( ) med ac/(1 α). Finn den allmenne løsningen til den tilhørende inhomogene differensiallikningen i dette tilfellet. (c) Finn den allmenne løsningen av differensiallikningen Oppgave 2 Definer funksjonen F for alle T ved ẍ 2aẋ + a 2 x = a 2 sin at. F (T )= T f(t)e r(t T ) dt, der f er en gitt funksjon og r er et gitt tall. Finn et uttrykk for F (T ) og vis at F (T ) rf(t )=f(t ). Oppgave 3 (a) Gitt minimeringsproblemet når y 1 +6y 2 15 y 1 + y 2 5 y 1 + y 2 5 y 1 2y 2 2 minimer (y 1 +2y 2 ) og y 1, y 2 Skraver mulighetsområdet og løs problemet. (b) Still opp det duale til problemet i (a) og løs det ved å bruke komplementær slakkhet (dualitetssetningen). 1

5 Oppgave 4* Betrakt variasjonsproblemet maks 1 (4xt ẋ 2 ) dt, x()=2, x(1)=2/3. Finn Euler-likningen tilordnet problemet, og finn den eneste løsningen av den som tilfredsstiller begge randbetingelsene. Sett 2 (Forberedende prøve i 2. avdeling 2/1 1982) Oppgave 5 La f være definert for alle (x, y) ved (1) f(x, y) =2 (x 1) 2 e y2 (a) Beregn Hesse-matrisen til f og påvis at f er konkav. (b) Finn den største verdien f antar. (c) Betrakt det ikke-lineære programmeringsproblemet (2) maks f(x, y) når x 2 + y 2 a (a positiv konstant) Still opp Kuhn Tucker-betingelsene for løsning av dette problemet. (d) Finn løsningen av problemet (2). Oppgave 6* En bedrift produserer to varer A og B. Bedriften har tre fabrikker som per time produserer begge varene i de mengder som er antydet i følgende tabell (fabrikkene har koblet produksjon): Fabrikk Vare A Vare B Bedriften får bestilling på 3 enheter av A og 5 enheter av B. Det koster henholdsvis 1 kr., 8 kr. og 11 kr. per time å drive fabrikkene 1, 2 og 3. (a) La antall timer en skal drive de tre fabrikkene være henholdsvis y 1, y 2 og y 3. Still opp det lineære programmeringsproblemet å minimere kostnadene når en skal produsere minst så mye av de to varene som er bestilt. (Gi en forklaring av oppstillingen.) 2

6 (b) Vis at det duale til problemet i (a) er maks (3x 1 + 5x 2 ) når 1x 1 +2x 2 1 2x 1 +1x 2 8 2x 1 +2x 2 11 x 1, x 2 (c) Løs dette problemet og finn deretter løsningen av problemet i (a). Med hvor mye vil de minimale produksjonskostnadene øke hvis kostnadene per time i fabrikk nr. 1 øker med 1 kr.? Oppgave 7 I mange modeller i anvendelsene får en bruk for å studere differensiallikningen (1) dx dt = a(x A)(x B), (A <B,a ). (a) Finn den allmenne løsningen av likningen. 1 (Vink: (x A)(x B) = 1 B A Undersøk stabiliteten av disse like- (b) Likning (1) har to likevektstilstander. vektstilstandene. ( 1 x A + 1 x B ).) Oppgave 8 Betrakt variasjonsproblemet T minimer e rt[ g(ẋ)+c(t)x ] dt, x()=, x(t )=B der g og c er gitte funksjoner, T, r og B er gitte positive tall, mens x = x(t) er den ukjente funksjonen. (a) Still opp Euler-likningen for dette problemet. (b) Finn løsningen av problemet når r>, g(ẋ) =ẋ 2, c(t) =2. (c) Problemet ovenfor kan gis følgende tolkning: Man skal skaffe til veie B enheter av et produkt ved tidspunktet T. Produksjonen per tidsenhet er ẋ, g(ẋ) angir produksjonskostnadene per tidsenhet, c(t) angir lagringskostnadene per tidsenhet og r er rentefoten. Denne tolkningen fungerer godt bare hvis løsningen av problemet har egenskapen ẋ(t) i[,t]. Finn i tilfellet i (b) betingelser på parametrene som er nødvendige og tilstrekkelige for at ẋ(t) i[,t]. 3

7 Sett 3 (Forberedende prøve i 2. avdeling 15/6 1982) Oppgave 9 Definer funksjonen f for alle x, y ved f(x, y) = 3 sin 2x +3y 3y 2 +8 (a) Vis at f er konkav over rektanglet R = { (x, y) :<x<π/2, <y<1 } (b) Finn maksimum av f over R. (c) Vis at f har minst ett lokalt maksimumspunkt utenfor R. Oppgave 1 Definer funksjonen F for alle x>ved F (x) = x e xt2 dt (a) Finn uttrykk for F (x) ogf (x). (b) Påvis at F er strengt konveks over (, ). Oppgave 11 En bedrift produserer biler og traktorer. La x 1 og x 2 være henholdsvis produksjonen av biler og traktorer per måned. Vi antar at produksjonen av en bil bruker.4% av kapasiteten per måned i karosseriavdelingen,.25% av kapasiteten per måned i motoravdelingen og.5% av kapasiteten i bilsammensetningsavdelingen. De tilsvarende tall for traktorer er.3% i karosseriavdelingen,.5% i motoravdelingen og.8% i traktorsammensetningsavdelingen. Per måned kan bedriften dermed bare levere x 1 biler og x 2 traktorer dersom følgende beskrankninger gjelder: (1).4x 1 +.3x 2 1 (2).25x 1 +.5x 2 1 (3).5x 1 1 (I) (4).8x 2 1 (5) x 1 (6) x 2 Anta at fortjenesten per bil er (5 ax 1 ) der a er en konstant, mens fortjenesten per traktor er 25. Profitten per måned blir da ved å produsere (og selge) x 1 biler og x 2 traktorer: (II) (5 ax 1 )x x 2 Anta at bedriften søker å maksimere (II) under bibetingelsene (I). (a) Løs problemet grafisk når a =. (b) Begrunn at setning 4.26 i læreboken kan anvendes på problemet (for enhver a ), og still opp Kuhn Tucker-betingelsene for løsning av problemet. (c) Bruk Kuhn Tucker-betingelsene til å finne ut for hvilke verdier av a løsningen av problemet blir den samme som når a =. 4

8 Oppgave 12 Betrakt variasjonsproblemet min T [ px 2 + q ( 1 b (ẋ ax)) 2] dt, x() = x, x(t )=x T der p, q, a, b, T, x og x T er ikke-negative konstanter, b,q. (a) Still opp Euler-likningen for problemet. (b) Finn den generelle løsningen av Euler-likningen. (c) Velg p =,q =1,a =1,b =1,T =1,x =,x T = 1. Finn løsningen av problemet i dette tilfellet. Sett 4 (Forberedende prøve i 2. avdeling 2/1 1983) Oppgave 13 Finn den generelle løsningen av differensiallikningen ẍ 8ẋ +17= Oppgave 14 I teorien for økonomisk vekst forekommer variasjonsregningsproblemet T maks eẋ ax dt når x() = C, x(t )=D Her er T, a, C og D gitte konstanter, T>oga>. (a) Still opp Euler-likningen for dette problemet. (b) Finn løsningen med de gitte verdier av x() og x(t ). Oppgave 15* Betrakt det ikke-lineære programmeringsproblemet ( ) maks x + ay når x 2 + y 2 1, x+ y (a er en konstant). (a) Still opp Kuhn Tucker-betingelsene for løsning av dette problemet. (b) Finn løsningen av problemet ( ) for alle verdier av konstanten a. 5

9 Oppgave 16* I denne oppgaven skal vi undersøke det lineære programmeringsproblemet x 1 + x 2 3 2x 1 + x 2 x 3 1 (P) maks 3x 1 +2x 2 når x 1 +2x 2 2x 3 1 x 1, x 2, x 3 (a) Betrakt det LP-problemet vi får når vi i problemet (P) over tenker oss at x 3 er en gitt konstant. Løs dette problemet for x 3 = og for x 3 =3. (b) Løs problemet i (a) for alle verdier av x 3 i[, ). Det funne maksimum av 3x 1 +2x 2 blir en funksjon av x 3. Finn denne funksjonen og finn deretter eventuelle maksimumspunkter for den. (c) Kan vi av resultatene i (b) si noe om løsningen av problemet (P)? Sett 5 (Forberedende prøve i 2. avdeling 15/6 1983) Oppgave 17 Finn den allmenne løsningen av likningen ẍ +2ẋ +5x =. Oppgave 18 Definer funksjonen g ved for x>. Vis at g (1)=. g(x) = 2π π sin(xt) t dt Oppgave 19 Betrakt variasjonsproblemet maks 1 (2xe t 2xẋ ẋ 2 ) dt, x()=, x(1)=1. (a) Still opp Euler-likningen for problemet. (b) Finn den løsningen av Euler-likningen som tilfredsstiller x()=,x(1)= 1. 6

10 Oppgave 2 La D være mengden av punkter (x, y) ixy-planet som er slik at 1 <x<1og 1 <y<1, og la f(x, y) = 1 12 (x y)4 (x y) 2 (x + y) 2. (a) Undersøk om f er konveks eller konkav i D. (b) Finn maksimum av f i D. Oppgave 21 I denne oppgaven skal du se på det lineære programmeringsproblemet x 1 +4x 2 k (P) maks 2x 1 +3x 2 +2x 3 når x 1 x 2 +3x 3 5 x 1, x 2, x 3 der k er en konstant. (a) Still opp det duale problemet til (P). Bruk dette til å løse (P) når k =4. (b) For hvilke verdier av k har (P) en optimal løsning med x 1 > ogx 3 >? Sett 6 (Forberedende prøve i 2. avdeling 2/1 1984) Oppgave 22 (a) Finn den allmenne løsningen av differensiallikningen ẍ + 7 2x =. 2ẋ (b) Finn den allmenne løsningen av differensiallikningen ẍ + 7 2x = t + sin t. 2ẋ (Vink: Likningen har en spesiell løsning på formen u = At + B + C sin t + D cos t.) 7

11 Oppgave 23 (a) Betrakt variasjonsproblemet (1) maks 1 ( 2ẋ ẋ 2 )e t/1 dt, x()=1, x(1)=. Finn Euler-likningen og vis at dens allmenne løsning kan skrives på formen x(t) =Ae t/1 t + B. Løs så problemet (1). (b) Et oljereservoar inneholder ved tidspunktet t = x enheter olje. Vi ønsker å tappe ut all oljen i et gitt tidsrom [,T]. Er x(t) antall liter olje som er igjen ved tidspunktet t, såer ẋ(t) uttappingshastigheten (som er positiv når x(t) avtar). Vi antar at verdensmarkedets pris per liter olje er gitt og lik ae αt. Kostnadene per tidsenhet ved utvinningen forutsetter vi er lik (ẋ(t)) 2 e βt. Profitten per tidsenhet er da π = ẋ(t)ae αt (ẋ(t)) 2 e βt Her er a, α og β konstanter, a>. Gi en økonomisk tolkning av variasjonsproblemet maks T [ ẋ(t)ae αt (ẋ(t)) 2 e βt] e rt dt, x() = x, x(t )=, (c) der r er en positiv konstant. Still opp Euler-likningen til variasjonsproblemet, og vis at i optimum vil π ẋ = cert for en konstant c. Oppgave 24* I et problem i forbindelse med optimal kapasitetsutnyttelse i en bedrift oppstår problemet (1) maksimer (x 1 +3x 2 x 2 1 x 2 2 k 2 ) når x 1 k x 2 k x 1, x 2, k Her er x 1, x 2,så vel som k, variabler som skal bestemmes. (a) Påvis at dette er et konkavt programmeringsproblem og vis at vi kan benytte Setning (b) Still opp de nødvendige og tilstrekkelige betingelsene for at (x 1,x 2,k )skal løse problemet (1). (c) Vis at k = er umulig, og løs så problemet. 8

12 Sett 7 (Forberedende prøve i 2. avdeling 15/6 1984) Oppgave 25 (a) Løs differensiallikningene (i) (ii) ẍ aẋ +(a 2)x = ẍ aẋ +(a 2)x = t (a 2) (b) Finn Euler-likningen til variasjonsproblemet min 1 [ (x ẋ) 2 + x 2] e at dt, x()=, x(1)=1 og finn den eneste funksjonen som kan løse problemet. Oppgave 26 (a) Finn for hver verdi av k rangen til 3 4-matrisen A = k 2 (b) Betrakt likningssystemet Ax = b, der b = 2k 1 8 For hvilke verdier av k har systemet løsninger? Angi antall frihetsgrader i de tilfellene der systemet har løsninger. (c) La b 1 og b 2 være to n-vektorer og la a 1 =2b 1 +b 2, a 2 = b 1 +2b 2, a 3 = b 1 +3b 2. Vis at a 1, a 2 og a 3 er lineært avhengige. Oppgave 27 Betrakt LP-problemet (1) minimer (pu + v) når 3u + v 3 u +2v 4 u +6v 6 u, v (a) Løs problemet for p = 2 ved en geometrisk betraktning. (b) Løs det duale problemet (p = 2) ved å bruke teorien for komplementær slakkhet. (c) Finn mulige løsninger av (1) for alle verdier av parameteren p. 9

13 Oppgave 28 (a) Hvis f(x 1,...,x n ) er konkav, for hvilke verdier av konstantene a og b er af(x 1,...,x n )+b konkav? (b) Hvis f(x 1,...,x n ) er konkav og bare antar positive verdier, avgjør om funksjonene h(x 1,...,x n )=lnf(x 1,...,x n ) og g(x 1,...,x n )=e f(x1,...,xn) er konkave/kvasikonkave. Oppgave 29 La y(t) være definert ved uttrykket y(t) = t ( sin(t + x) ) 2 dx Ved å derivere ovenstående uttrykk to ganger, vis at ÿ(t) = 6 sin 2t cos 2t +2t 4y(t) Sett 8 (Forberedende prøve i 2. avdeling 18/1 1985) Oppgave 3 I forbindelse med et problem i nytteteorien oppstår følgende to differensiallikninger: (1) g (t) = 1 4 g (t) (2) g (t) = 2 t +1 g (t) Finn de allmenne løsningene av disse likningene. Oppgave 31 (a) Finn Euler-likningen til følgende variasjonsproblem: t1 min (b(t)x + a(t)ẋ 2 ) dt, x(t )=x, x(t 1 )=x 1 t Her er t, t 1, x og x 1 konstanter, mens a(t) ogb(t) er gitte positive, deriverbare funksjoner. (b) Vis at den generelle løsningen til Euler-likningen kan skrives på formen ( C x(t) = a(t) + 1 ) b(t) dt dt + D, 2a(t) der C og D er vilkårlige konstanter. (c) Finn x(t) når a(t) =t, b(t) =t 2, t =1,t 1 =3,x(1)=,x(3)=2. 1

14 Oppgave 32 (a) Beregn rangen til følgende matrise for alle verdier av t: t 1 2 t 3 D t = 1 2 t 2t 1 3 (b) La A, B og C være n n-matriser der A og C er invertible. Løs følgende matriselikning mhp. X: CB + CXA 1 = A 1 Oppgave 33 Betrakt problemet ( ) maksimer (2x + y) når { (x +1) 2 + y 2 4 x 2 +(y +1) 2 4 x, y (a) La S være mengden av alle (x, y) som tilfredsstiller alle de fire bibetingelsene. Skraver S i xy-planet, og tegn inn noen nivålinjer for f(x, y) =2x + y. (b) Løs problemet ( ) ved å bruke et geometrisk resonnement. (c) Vis at Setning 4.26 kan brukes på problemet ( ). Still opp Kuhn Tuckerbetingelsene. Verifiser at det punktet (x,y ) du fant i (b) tilfredsstiller Kuhn Tucker-betingelsene. (d) Anta at betingelsen x 2 +(y +1) 2 4i( ) erstattes med x 2 +(y +1) Anslå endringen i den maksimale verdien av 2x + y. Sett 9 (Forberedende prøve i 2. avdeling 3/5 1985) Oppgave 34* Gitt differensiallikningen ẍ ẋ + x =lnt 1 t 1 t 2 +1 (a) Likningen har en spesiell løsning av formen u = A + B ln t. Bestem denne. (b) Finn den allmenne løsningen av likningen. 11

15 Oppgave 35 Betrakt variasjonsproblemet ( ) maks 1 [ ln(ax ẋ) ] e bt dt, x()=1, x(1)=1, der a og b er positive konstanter. (a) Still opp Euler-likningen tilordnet problemet. (b) Finn den eneste mulige løsningen av problemet ( ). Oppgave 36 Produksjonen av tre varer krever bruk av to maskiner. Maskin nr. 1 har en kapasitet på b 1 timer, mens maskin nr. 2 har en kapasitet på b 2 timer. Den tiden produksjonen av en enhet av hver vare krever på de to maskinene er gitt i følgende tabell: Maskin 1 Maskin 2 Vare Vare Vare Fortjenesten per enhet av de tre varene er henholdsvis 6, 3 og 4. (a) Still opp det lineære programmeringsproblemet som en ledes til. (b) Vis at det duale problemet kan skrives på formen min (b 1 y 1 + b 2 y 2 ) når 3y 1 +2y 2 6 y 1 +2y 2 3 4y 1 + y 2 4 y 1, y 2 Løs dette problemet geometrisk for b 1 = b 2 = 1. (c) Løs problemet i (a) når b 1 = b 2 = 1. (d) Hvis maskin 1 øker kapasiteten til 11, mens b 2 maksimale fortjenesten? = 1, hva blir den nye (e) Maksimumsverdien for profitten i problemet i (a) vil bli en funksjon F av b 1 og b 2. F er homogen av hvilken grad? (f) Den optimale verdien av kriteriefunksjonen i det duale blir også F (b 1,b 2 ). Vis at F (b 1,b 2 ) = min ( 4b 2, 2 5 b b 2, 3 2 b b ) 2, 3b 1, og at F (b 1,b 2 ) er konkav. (Vi antar at b 1 og b 2 er positive.) 12

16 Oppgave 37 Betrakt problemet maksimer (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ) når (1) 1 3 x x x x 4 3 (2) x 1 x 2 x 3 x (3) x 1, x 2, x 3, x 4 alle (a) Still opp Kuhn Tucker-betingelsene for at (x 1,x 2,x 3,x 4) skal løse dette problemet, idet du lar λ og µ være multiplikatorer tilordnet henholdsvis (1) og (2). (Bruk Setning Føringsbetingelsen trenger du ikke undersøke.) (b) Forutsett at problemet har løsning og finn denne. (Vink: Se på de to tilfellene (I): (2) er inaktiv, (II): (2) er aktiv.) (c) Anta at høyresiden i bibetingelse (1) endres fra 3 til 3.1. Hva blir tilnærmet den tilhørende endringen i den maksimale verdien av x 1 +x 2 +x 3 +x 4? Hva blir den tilsvarende virkningen av en liten endring i høyresiden i bibetingelse (2)? Sett 1 (Forberedende prøve i 2. avdeling 17/1 1986) Oppgave 38 Betrakt problemet maksimer x 2 ye x y når x 1, y 1, x+ y 4. (a) Still opp Kuhn Tucker-betingelsene for problemet. (En trenger ikke se på føringsbetingelsen.) (b) Finn alle løsningene av disse betingelsene. (c) (Kan sløyfes). Har du i (b) funnet maksimum i problemet? Oppgave 39 Betrakt variasjonsproblemet min 1 (x 2 +2xtẋ +ẋ 2 ) dt, x()=1, x(1)=1. (a) Finn Euler-likningen for problemet. (b) Finn den eneste mulige løsningen på problemet. (c) Vis at 1 [ (x(t)) 2 +2x(t) t ẋ(t)+(ẋ(t)) 2] 1 dt =1+ (ẋ(t)) 2 dt for alle tillatte funksjoner x(t) i problemet. d (Hint: dt (tx2 )=x 2 +2txẋ.) (d) Kan vi av (c) slutte at løsningen i (b) faktisk gir minimum i problemet? 13

17 Oppgave 4 (a) Betrakt likningssystemet ( ) a 11 x a 15 x 5 = c 1 a 21 x a 25 x 5 = c 2 a 31 x a 35 x 5 = c 3 der koeffisientmatrisen har rang 3 og der x 1,..., x 5 er ukjente. Har ( ) alltid løsning, og i tilfelle, hvor mange frihetsgrader har det? (b) Føy likningen a 41 x a 45 x 5 + a 46 x 6 = c 4 til likningssystemet ( ), der x 6 er en ny ukjent. Beskriv eventuelle muligheter for løsninger, inklusive frihetsgrader, i det nye systemet. (Løsningene skal ikke finnes.) Formuler betingelser for når de ulike mulighetene foreligger. Oppgave 41* Gitt funksjonen f(x, y) = (ln x) a (ln y) b definert for x>1, y>1, a>, b>, a + b<1. Beregn Hesse-matrisen til f. Vis at f er strengt konkav. Sett 11 (Forberedende prøve i 2. avdeling 29/5 1986) Oppgave 42 Betrakt variasjonsproblemet min 2 1 (2tx +3xẋ + tẋ 2 ) dt, x(1)=, x(2)=1. (a) Finn Euler-likningen tilordnet problemet. (b) Finn den eneste mulige løsningen av problemet. (Vink: Innfør u = ẋ som ny variabel.) Oppgave 43* Betrakt problemet ( ) maks f(x, y) =y x 2 når y, y x 2, y 2 x. (a) Skriv opp Kuhn Tuckers nødvendige betingelser for løsningen av problemet ( ). Bruk setning 4.25 i læreboken. (Se bort fra føringsbetingelsen.) (b) Finn alle punktene som tilfredsstiller betingelsene i (a). (c) Gi begrunnelse for at du i (b) har funnet løsningen av problemet. (Vink: Ekstremverdisetningen.) 14

18 Oppgave 44* I en lagerholdsanalyse studerer en problemet å minimere funksjonen g(q) =c(q I)+h Q (Q D)f(D) dd + p a Q (D Q)f(D) dd, der c, I, h, p og a er positive konstanter og f en gitt ikke-negativ funksjon. (a) Finn et uttrykk for g (Q). (b) Vis at g er konveks. (c) Funksjonen f er en sannsynlighetstetthet ved at Definer a F (Q) = f(d) dd =1 Q f(d) dd, der Q er minimumspunktet for g(q). Bruk førsteordensbetingelsen for minimum av g til å finne en likning for F (Q). Finn F (Q) av denne likningen. Oppgave 45 (a) Gitt likningssystemet a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + a 14 x 4 = b 1 ( ) a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + a 24 x 4 = b 2 a 33 x 3 + a 34 x 4 = b 3 a 44 x 4 = b 4 Anta at a 33,a 44 oga 11 a 22 a 21 a 12. Har likningssystemet entydig løsning? Begrunn svaret. (b) Erstatt den nederste likningen i ( ) med Anta at a 43 x 3 + a 44 x 4 = b 4 ( ) a 11 a 22 a 21 a 12 og a 33 a 44 a 34 a 43. (c) Har det nye likningssystemet entydig løsning? Begrunn svaret. Gitt matrisen a 11 a 12 a 13 a 14 a A = 21 a 22 a 23 a 24 a 33 a 34 a 43 a 44 og anta at ( ) er oppfylt. Finn rangen til A. 15

19 Sett 12 (Forberedende prøve i 2. avdeling 16/1 1987) Oppgave 46 I en stabiliseringsmodell støter en på differensiallikningen αl + β ( ) Ÿ +(αl + β)ẏ + αβ(l + m)y = αβt l + m der α, β, l og m er positive konstanter. (a) Sett α =1/4, β =3/4, l =1ogm =17/3, og finn den allmenne løsningen av likningen i dette tilfellet. (b) Finn en spesiell løsning av ( ). (c) Drøft betingelser som sikrer at løsningen av ( ) innebærer svingninger. Hva nærmer løsningen av ( ) seg når t går mot uendelig i dette tilfellet? Oppgave 47 Bedriften Kaos produserer en vare i to kvaliteter A og B, som begge krever en viss bearbeidelsestid på tre maskiner U, V og W. Anta at U, V og W har kapasiteter på 15, 2 og 18 maskintimer per uke. Den tiden produksjonen av en enhet av varen krever på de tre maskinene er gitt i følgende tabell (tidsforbruk i timer): U V W A 1 2 B Kaos tjener 5 kroner per enhet av A og 9 kroner per enhet av B. (a) Hvis vi lar x og y betegne det antallet som produseres per uke av henholdsvis A og B, still opp det lineære programmeringsproblemet bedriften ledes til når den ønsker å maksimere sin fortjeneste, og løs problemet. (b) Kaos ønsker å leie ut maskinene. Den ønsker å sette leieprisen på hver av maskinene så høyt at de kan tjene minst like mye på å leie ut maskinene som påå bruke dem selv. Hvis π 1, π 2 og π 3 betegner leieprisene per time på maskinene U, V og W, forklar hvorfor bedriften må velge π 1, π 2 og π 3 slik at π 1 +2π 2 5 ( ) 2π 1 + π 2 +3π 3 9 π 1, π 2, π 3 alle (c) Bedriften Kosmos overveier å leie de tre maskinene av Kaos og vil innrette seg slik at de totale leieutgiftene per uke blir minst mulig. Den ønsker dermed å løse problemet ( ) minimer (15π 1 + 2π π 3 )når (π 1,π 2,π 3 ) tilfredsstiller ( ). Hvilke leiepriser innebærer dette, og hva blir de totale ukentlige utgiftene? Kommenter resultatet fra økonomisk synspunkt. 16

20 Oppgave 48 Betrakt variasjonsproblemet maksimer T U( c ẋe rt ) dt, x() = x, x(t )=, der x = x(t) er den ukjente funksjonen, T, c, r og x er positive konstanter og U er en gitt deriverbar funksjon. (a) Still opp Euler-likningen tilordnet dette problemet. (b) Sett U(c) = 1 1 v c1 v, der v er en konstant mellom og 1. Løs Eulerlikningen i dette tilfellet. Oppgave 49 (a) Betrakt matrisen (der s er et vilkårlig tall): 1 2s s D(s) = 1 1 s s 3 Finn en betingelse for at matrisen skal ha rang 4. Hva blir rangen når s =1? (b) Betrakt likningssystemet ( ) x +2y + z + w = 2x + y 2z +3w = x z +5w = x +2y + z 3w = Hvor mange frihetsgrader har systemet? Sett 13 (Forberedende prøve i 2. avdeling 29/5 1987) Oppgave 5 Finn de allmenne løsningene av følgende differensiallikninger: (a) (b) 4ẍ 15ẋ +14x = 4ẍ 15ẋ +14x = t + sin t 17

21 Oppgave 51 Gitt problemet ( ) minimer (y 1 +2y 2 ) når y 1 +6y 2 15 y 1 + y 2 5 y 1 + y 2 5 y 1 2y 2 2 y 1, y 2 (a) Skraver mulighetsområdet og løs problemet. (b) Still opp det duale til problemet ( ), idet du kaller variablene x 1, x 2, x 3 og x 4. Løs det duale problemet. (c) Hva skjer med optimumsverdien i det duale dersom beskrankningen y 1 +6y 2 15 endres til y 1 +6y ? Oppgave 52* (a) Still opp Kuhn Tucker-betingelsene for problemet maksimer (x + y e x e x+y ) når x + y 4, x 1, y 1. (b) Finn det eneste punktet som tilfredsstiller betingelsene i (a). (Du kan gå ut fra at føringsbetingelsen er oppfylt.) (c) Forklar hvorfor punktet du fant i (b) virkelig løser problemet. Oppgave 53* Betrakt variasjonsproblemet T [ ( ) maks ln(2k K) ] e 1 4 t dt, K() = K, K(T )=K T (a) Still opp Euler-likningen tilordnet problemet, og påvis at den kan skrives på formen a K + b K + ck =, der a, b og c er konstanter. (b) Finn den eneste mulige løsningen av problemet ( ). Sett 14 (Matematikk for økonomer 3/ ) Oppgave 54 Løs følgende problem med hjelp av Kuhn Tuckers betingelser: minimer f(x, y) =e x+y + e y +2x + y når x 1, y 1, x+ y. Oppgave 55 Betrakt problemet maksimer T ( x(t) (u(t)) 2 ) dt gitt at ẋ(t) =x(t) +u(t), x()=,u(t) (, ), x(t ) fri. Finn en optimal kontroll u (t), med tilhørende bane x (t). 18

22 Oppgave 56 La matrisen A være definert ved ( ) A = ( ) (a) Beregn A 2 og A 3. (b) Finn egenverdiene til A og tilhørende egenvektorer. (c) La P være definert ved ( ) 2 1 P = 3 1 Beregn P 1, og vis at A = P ( ) 2 P 1 3 (d) Vis generelt at dersom A og P er n n-matriser, og A = PDP 1 for en passende matrise D, daera 2 = PD 2 P 1, og generelt, A t = PD t P 1 (t naturlig tall) (e) Bruk resultatet i (d) til å regne ut A t, der t er et vilkårlig naturlig tall og A er gitt i ( ). Oppgave 57 (a) Løs differenslikningen x t+2 x t+1 6x t = c, x =1, x 1 =1 for c =ogc =1. (b) Betrakt følgende system av differenslikninger: ( ) x t+1 = x t +2y t y t+1 =3x t (c) der t =,1,2,..., x =1,y =. Utled av dette systemet en annenordens differenslikning i x t, og løs denne likningen. Systemet i ( ) kan skrives på matriseform slik: ( ) X(t +1)=AX(t), der A er gitt i ( ) i Oppgave 56. Vis at løsningen av ( ) kan skrives på formen X(t) =A t X(). Bruk resultatet i Oppgave 56 (e) til å regne ut X(t) i det tilfellet der ( ) 1 X() =. Sammenlikn med løsningen du fant i (a). 19

23 Oppgave 58 (Bør tas til slutt) (a) La A være en symmetrisk n n-matrise med A,laB være en 1 n- matrise, og la X være en n 1-matrise. Betrakt uttrykket ( ) (X A 1 B ) A(X A 1 B ) 1 4 BA 1 B Multipliser ut uttrykket, og forenkle det mest mulig. (b) Anta at A er symmetrisk og positiv definitt (dvs. at Y AY > for alle n 1- matriser Y ). Finn med hjelp av ( ) den matrisen X som minimerer uttrykket X AX + BX. Sett 15 (Matematikk for økonomer 9/5 1988) Oppgave 59 (a) Finn den løsningen av følgende differensiallikning som oppfyller den gitte initialbetingelsen: ẋ = t(x 1) 2, x()=3. (b) Finn den allmenne løsningen av ẍ 6ẋ +25x = t. Oppgave 6* Betrakt problemet maksimer f(x, y) =12ln(x + y +2) x + y når x y og x +2y 5/2. Still opp Kuhn Tucker-betingelsene og løs problemet. Oppgave 61 (a) Diskuter rangen til matrisen t 1 2 t 3 A t = 1 2 t 2t 1 3 (b) Er produktet av to symmetriske matriser nødvendigvis symmetrisk? 2

24 Oppgave 62 Betrakt kontrollproblemet (fra økonomisk vekstteori) maks 1 ( K u K ) dt, K = u K, K()=1, K(1) fri, u 1. (a) Still opp maksimumsprinsippets betingelser for at (K (t),u (t)) skal løse problemet. (b) Finn den eneste mulige løsningen av problemet og den tilhørende adjungerte funksjonen p(t). (Vink: Vis at p(t) er avtakende.) Sett 16 (Matematikk for økonomer 29/ ) Oppgave 63 Løs lineær-programmeringsproblemet maks 1x 1 8x 2 +6x 3 +2x 4 når x 1 x 2 +2x 3 +4x 4 1 2x 1 +2x 2 + x 3 +5x 4 4 og x 1, x 2, x 3, x 4. (Hint: Løs det duale problemet først.) Oppgave 64* Betrakt maksimeringsproblemet maks ln x 1 + x 2 + x 3 når x 1 + x 2 + x 3 1 x 1 1 x x (a) Still opp de nødvendige førsteordensbetingelsene. (b) Finn alle løsninger som passer i førsteordensbetingelsene. (c) Er løsningene optimale? Oppgave 65 Gitt matrisen A = ( ) (a) Finn egenverdiene og tilhørende egenvektorer til matrisen. (b) La matrisen P ha som kolonner to egenvektorer svarende til to ulike egenverdier til A. Hva blir da P 1 AP? 21

25 Oppgave 66 Betrakt differensiallikningen ẋ =(2x +1) 4 t 3 sin(t 2 ) Finn løsningen gjennom (t, x) =(, ) Oppgave 67* Betrakt det dynamiske programmeringsproblemet T maks (x t u t ) når x t+1 = u t x t, u t [, 2], x gitt, t= der u,..., u T er kontrollene som skal velges. (a) Finn J(T,x), u T (x), J(T 1,x), u T 1 (x) ogj(t 2,x), u T 2 (x). (Hint: Skisser J(T 1,x) som funksjon av x.) (b) Prøv å finne J(T k, x) ogu T k (x), k =,1,2,..., T. Oppgave 68 Løs kontrollproblemet maks 2 Sett 17 (Matematikk for økonomer 2/5 1989) (u 2 x) dt når ẋ = u, u 1, x()=, x(2) er fri. Oppgave 69 Finn den allmenne løsningen av differenslikningen x t+2 6x t+1 +25x t =1 Oppgave 7 (a) Gitt tre lineært uavhengige vektorer a, b og c i R n.era b, b c og a c lineært uavhengige? (b) La d =4a b c. Finnes det tall x, y og z slik at x(a b)+y(b c)+z(a c) =d? Oppgave 71* Betrakt Kuhn Tucker-problemet maks xe y x 2ey når x, y 1+ x 2. (a) Still opp Kuhn Tucker-betingelsene for problemet. (b) Finn alle mulige løsninger av disse betingelsene. (c) Bevis at maksimeringsproblemet virkelig har en løsning. 22

26 Oppgave 72 I forbindelse med utnyttelsen av et oljefelt oppstår problemet maks x y [ e y t (e rt c) D ] e ρt dt når e x y =2 Her er r, ρ, c og D positive konstanter, og ρ>r. (a) Vis at problemet kan omformes til problemet å maksimere funksjonen F (y) =Ae (r ρ)y Be ρy, der A og B er passende positive konstanter. (b) Vis at F har et globalt maksimumspunkt, og finn dette uttrykt ved A og B. Sett 18 (Matematikk for økonomer 28/ ) Oppgave 73 (a) Løs differenslikningen x t x t+1 + x t =1 3 t, t =, 1, 2,... Bestem spesielt løsningen som gir x =,x 1 =2. (b) I et problem i dynamisk konsumentteori opptrer differenslikningen αx t+1 +(1+α 2 )x t αx t 1 = Kβ t, t =1, 2,... (c) der α, K og β er konstanter, α og β positive. Bestem den allmenne løsningen av likningen. Vis at den allmenne løsningen i (a) kan fåes som et spesialtilfelle av løsningen i (b). Oppgave 74 Gitt LP-problemet min (5x + y) når 4x + y 4 2x y 3 3x +2y 2 x 2y 2 x, y (a) Løs problemet. (b) Still opp det duale problemet og løs det. 23

27 Oppgave 75 (a) Løs kontrollproblemet maks 5 3u 2 e.15t dt, ẋ = u, x()=, x(5) = 15, u. (b) En kommune ønsker å nydyrke et område i løpet av 5 år. La x(t) være antall mål som er nydyrket ved tidspunktet t og la u(t) være nydyrkingshastigheten slik at ẋ(t) =u(t). La kostnadene per tidsenhet ved nydyrking være gitt ved funksjonen C(u, t). Den totale neddiskonterte kostnaden ved nydyrkingen i perioden fra t = til t =5når renten er r, erda 5 C(u, t)e rt dt. Betrakt problemet min 5 C(u, t)e rt dt, ẋ = u, x()=, x(5) 15, u. Skriv ned de betingelsene maksimumsprinsippet gir. (c) Løs problemet når r = ogc(u, t) = g(u), med g() =, g(u) og g (u) >. Oppgave 76 Betrakt problemet [ maks ln(x 2 +2y) 1 ] 2 x2 y når y 2/x, x 1, y 1. (a) Still opp Kuhn Tucker-betingelsene for problemet. (Se bort fra føringsbetingelsen.) (b) Løs problemet. Sett 19 (Matematikk for økonomer 3/5 199) Oppgave 77 Betrakt differensiallikningen ( ) 3ẍ +1ẋ +3x = f(t) Finn den allmenne løsningen i følgende tilfeller: (i) f(t) =, (ii) f(t) =8e t +6, (iii) f(t) = 8e 3t Oppgave 78 Gitt matrisen A = ( 1 1 ) (a) Finn rangen til A, vis at (AA ) 1 eksisterer, og finn denne matrisen. 24

28 (b) Beregn matrisen C = A (AA ) 1, og vis at ACb = b for enhver 2 1-vektor b. (c) Bruk det ovenstående til å finne en løsning av likningssystemet x 1 + x 2 + x 3 =1 x 1 +2x 2 +3x 3 =1 (d) Betrakt generelt et lineært likningssystem ( ) Ax = b, der A er en m n matrise, m n Det kan vises at hvis r(a) =m, så er også r(aa )=m. Hvorfor vil da (AA ) 1 eksistere? Sett C = A (AA ) 1, og vis at om v er en vilkårlig m 1-vektor, da er ACv = v. Bruk dette til å vise at x = Cb må være en løsning av ( ). Oppgave 79 Betrakt problemet maks (4z x 2 y 2 z 2 ) når { z xy x 2 + y 2 + z 2 3 (a) Still opp Kuhn Tucker-betingelsene for løsning av problemet. (Se bort fra føringsbetingelsene.) (b) Begrunn at maksimeringsproblemet har en løsning, og finn løsningen. (c) Hvilken endring får en tilnærmet av maksimumsverdien av 4z x 2 y 2 z 2 hvis den første bibetingelsen endres til z xy +.1? Oppgave 8 (a) La ϕ(u) = u + A 1 u, der A er en positiv konstant. Vis at den største verdien ϕ(u) antar når u [, 1], er 1+A 2. (b) La x t betegne den kapitalen en person har ved tidspunktet t. Ved hvert av tidspunktene t =,1,..., T 1 skal han bestemme seg for hvor stor andel u t han skal konsumere, og derved hvor stor andel han skal la bli igjen av kapitalen. Vi antar at kapitalen forrentes med en faktor ρ>1, slik at (1) x t+1 = ρ(1 u t )x t, x er et gitt positivt tall, t =, 1,...,T 1 Vi tenker oss at den nytten personen har av å konsumere u t x t er lik u t x t, og stiller problemet: T (2) maks ut x t når (1) gjelder og u t [, 1] for t =,1,..., T t= La J s (x) betegne (den optimale) verdifunksjonen, og finn J T (x), u T (x), J T 1 (x) ogu T 1 (x) for x. (c) Prøv å finne de generelle uttrykkene for J s (x) ogu s(x) for s =,1,..., T. 25

29 Sett 2 (Matematikk for økonomer 7/12 199) Oppgave 81 Betrakt differensiallikningen e 2t ẋ + e 2t (2 2t)x = et2 +t 1+e t Finn den løsningen x(t) av likningen som går gjennom (t,x )=(, 3). Oppgave 82 Anta at A er en kvadratisk matrise slik at A 3 =2A 2 A. (a) Finn A 4 og A 5 uttrykt ved A 2 og A. (b) Vis at for n =2,3,... er A n = a n A 2 + b n A, der ( ) a n+1 =2a n + b n, b n+1 = a n (c) med a 2 =1,b 2 =. Utled av ( ) en annenordens differenslikning i a n, og løs denne. Benytt resultatet til å finne eksplisitte uttrykk for a n og b n. Oppgave 83 La f være en funksjon av to variable, gitt ved f(x, y) = x 4 cx 2 +6xy 6y 2 der c er en konstant. (a) For hvilke verdier av c vil f være konkav i hele planet? I resten av denne oppgaven skal vi studere problemet ( ) maks ( x 4 y 4 4x 2 +6xy 6y 2 + ax + by) når x + y 2 1ogy 1. Her er a og b konstanter. (b) Still opp Kuhn Tucker-betingelsene for at et punkt (x, y) skal løse ( ). (c) Finn nødvendige og tilstrekkelige betingelser på a og b for at maksimumspunktet i ( ) skal være (x, y) =(, 1). 26

30 Oppgave 84 Betrakt kontrollproblemet (1) maks T (x 2 x) dt (T gitt positiv konstant) (2) ẋ = u, x()=, x(t ) fri (3) u = u(t) [, 1] (a) Still opp de betingelsene maksimumsprinsippet gir. (b) Klargjør hvilke mulige forløp den adjungerte funksjonen p(t) kan ha, og finn de tilhørende forslag til optimale løsninger som maksimumsprinsippet gir. (Vink: p(t) er konkav.) En kan vise (det skal ikke gjøres) at det fins en optimal løsning. Finn denne. Sett 21 (Matematikk for økonomer 16/5 1991) Oppgave 85 Betrakt differensiallikningen ẋ +3t 2 x = te t2 t 3 Finn den løsningen x(t) av likningen som går gjennom (t,x )=( 1, ). Oppgave 86 Gitt matrisen A = (a) Vis at x 1 = 1, x 2 = 1 1 og x 3 = 1 1 er egenvektorer for A, og 1 1 finn de tilhørende egenverdiene. (b) La B = AA. Vis at Bx 2 = x 2 og Bx 3 = x 3.ErBx 1 = x 1? (c) La C være en vilkårlig n n-matrise slik at C 3 = C 2 + C. Vis at om λ er en egenverdi for C, daerλ 3 = λ 2 + λ. Vis at C + I n har en invers. 27

31 Oppgave 87 La f og g være funksjoner av to variable, gitt ved f(x, y) =ax + by 6x 2 5xy 5y 2, g(x, y) =3 (x 2 + y 2 ) 2 der a og b er konstanter. (a) Vis at både f og g er konkave i hele planet. I resten av denne oppgaven skal vi studere problemet ( ) maks ( f(x, y)+g(x, y) ) når x 1 og y x (b) Still opp Kuhn Tucker-betingelsene for at et punkt (x, y) skal løse ( ). (c) Finn nødvendige og tilstrekkelige betingelser på a og b for at maksimumspunktet i ( ) skal være (x, y) =(1, ). (d) La a = 3. For hvilken verdi av b vil ( ) ha løsningen (x, y) =(4, 2)? Oppgave 88 Betrakt kontrollproblemet (1) maks T (2x 2 e 2t ue t ) dt (T gitt positiv konstant) (2) ẋ = ue t, x()=1, x(t ) fri (3) u = u(t) [, 1] (a) Finn den eneste mulige løsningen av problemet. (b) Vis at om (x (t),u (t)) er løsningsparet i (a) og V (T )= T ( 2(x (t)) 2 e 2t u (t)e t) dt, H (T )=H(T,x (T ),u (T ),p(t )) (der H er Hamiltonfunksjonen), da er V (T )=H (T ). Sett 22 (Matematikk for økonomer 6/ ) Oppgave 89* La a være en konstant og betrakt LP-problemet 3x +4y 12 (P) maksimer (1 a 2 )x +2ay når 2x +3y 26 2x y 1 x, y (a) Still opp det duale problemet (D) til (P), og løs både (P) og (D) når a =1/2 og når a =1. (b) For hvilke verdier av a vil de optimale verdiene x og y av x og y i (P) være de samme som for a =1/2? 28

32 Oppgave 9 I en modell som beskriver bedrifters adferd i et marked forekommer differensiallikningen ( ) 1 2 σ2 x 2 V (x)+µxv (x) ρv (x) =w x (x >) Her er σ, µ, ρ og w positive konstanter, ρ µ, mens V (x) er den ukjente funksjonen. (a) Vis at den tilhørende homogene likningen til ( ) kan løses ved at en prøver med en løsning av formen V (x) =x a. Finn den allmenne løsningen. (b) Finn en spesiell løsning av ( ). (c) Finn den allmenne løsningen av likningen x 2 V (x)+xv (x) 4V (x) =1 x Oppgave 91 (a) Beregn determinantene til matrisene A 1 =(a), A 2 = ( ) a 1, A 1 a 3 = a 1 a 1 1 a 1 1 a 1, A 4 = 1 a 1 1 a 1 a (b) Definer matrisen A n for hvert naturlig tall n ved a a a a... A n = a a a Vis at A n = a A n 1 A n 2, n =3, 4,... (c) Finn den allmenne løsningen av differenslikningen x n+2 = ax n+1 x n, n =1, 2,... for a = 2. Bruk resultatet til å beregne A n for a =2. (d) Finn et uttrykk for A n for a > 2. 29

33 Oppgave 92 La T være en gitt positiv konstant og betrakt kontrollproblemet maksimer T e βt udt når ẋ(t) =αx(t) u(t), u(t), x()=1, x(t )=, der α og β er positive konstanter. (a) Still opp de betingelsene som maksimumsprinsippet gir, og løs problemet. (Du kan gå ut fra at det finnes en optimal løsning.) (b) Under hvilke betingelser vil den optimale kontrollfunksjonen u være konstant? (c) Hva skjer hvis terminalbetingelsen x(t ) = endres til x(t )? Sett 23 (Matematikk for økonomer 14/5 1992) Oppgave 93 (a) Finn den allmenne løsningen av differenslikningen x t+2 + x t+1 6x t =5 t + t (b) Betrakt differensiallikningen ( ) tẍ +(t +2)ẋ + x =5, t > Hvis en setter x = z/t, der x og z er funksjoner av t, vis at da blir ẍ = z/t 2ż/t 2 +2z/t 3. Overfør nå ( ) til en differensiallikning i z, og finn deretter den allmenne løsningen av ( ). Oppgave 94 La matrisene A k og P være gitt ved A k = 1 k og P = 1/ 1 3/ 35 3/ 14 5/ 35 2/ / 1 1/ 35 1/ 14 (a) Bestem rangen til A k for forskjellige verdier av k. (b) Finn den karakteristiske likningen til A k og bestem de verdiene av k som gjør alle egenverdiene reelle. (c) Vis at kolonnevektorene i P er egenvektorer for A 3, og beregn matriseproduktet P A 3 P. 3

34 Oppgave 95 Betrakt problemet ( ) maksimer a ln(z +1) z 2x y når x, y, z og z 2 x + y der a er en positiv konstant. (a) Still opp Kuhn-Tucker-betingelsene for løsning av ( ). (b) Finn løsningene av Kuhn-Tucker-betingelsene. Se på tilfellene a > 1oga 1 hver for seg. (c) Begrunn hvorfor det eller de punktene du fant i (b) virkelig gir maksimum i problemet ( ). Oppgave 96 Betrakt variasjonsproblemet T ( ) 1 maks tx ẋ2 e t/1 dt, x()=, x(t )=S 1 (a) Finn Euler-likningen tilordnet problemet og finn dens allmenne løsning. (b) Sett T =1ogS = 2 og finn løsningen av problemet i dette tilfellet. Påvis at du virkelig har funnet den optimale løsningen. (c) Hvis løsningen du fant i (b) kalles x (t), vis at ẋ (t) > 1 for alle t [, 1]. (d) Betrakt kontrollproblemet T ( ) 1 maks tx u2 e t/1 dt 1 ẋ = u, x()=, x(t )=2, u 1 (e) (f) Still opp maksimumsprinsippets betingelser for løsning av problemet. Hva blir den eneste mulige løsningen dersom vi forutsetter at den optimale kontrollen u (t) > 1 for alle t [,T]? Påvis at dette bekrefter løsningen du fant i (b). Kan det tenkes at den optimale kontrollen i problemet i (d) kan anta verdien 1 i et intervall? 31

35 Sett 24 (Matematikk for økonomer 7/ ) Oppgave 97 Definer matrisen A a for alle reelle tall a ved A a = a 1 a a (a) Beregn rangen til A a for alle verdier av a. (b) Finn alle egenverdiene til A. (NB! Her er a =.) (c) Finn egenvektorene til A og vis at de er parvis ortogonale. (d) Drøft rangen til matriseproduktet A a A b for alle mulige verdier av a og b. Oppgave 98 (a) Finn den løsningen av differenslikningen x t+2 +4x t+1 12x t =7t 2 +2t 6 som er slik at x = 3 ogx 1 =9. (b) Løs differensiallikningen t z + ż =, t >. (c) Betrakt differensiallikningen tẍ +(2t +1)ẋ +(t +1)x =, t > Sett x = z(t)e αt og overfør likningen til en differensiallikning med z = z(t) som den nye ukjente funksjonen. Prøv å finne en verdi av α som er slik at den nye differensiallikningen er enkel å løse. Finn derved den allmenne løsningen av den opprinnelige likningen. (Vink: Du kan ha nytte av resultatet fra (b).) Oppgave 99 (a) Beregn dobbeltintegralet (b) Definer z(t) = 2t t 2π π π x ( x 2 ) y 3 cos dx dy. y x(τ)e τ r(s) ds t dτ, p(t) =e 2t t der alle funksjonene som inngår er deriverbare. Vis at ż(t) r(t)z(t) =2p(t)x(2t) x(t) 32 r(s) ds

36 Oppgave 1 Betrakt kontrollproblemet max T (ax bu)dt, ẋ = x + u, x() = x, x(t ) fri, u [, 2] der alle konstantene er positive. (a) Løs problemet. (Vink: Du vil måtte skille mellom tilfellene b<a(e T 1) og b a(e T 1).) (b) La J(x,T) betegne den optimale verdifunksjonen. Vis at J(x,T)/ x = p(), der p(t) er den adjungerte funksjonen, og at J(x,T)/ T = H (T ), når vi lar H (t) betegne Hamiltonfunksjonen utregnet langs den optimale banen. Sett 25 (Matematikk for økonomer 19/5 1993) Oppgave 11 Betrakt differensiallikningen ( ) ẍ 2(k 1)ẋ +(k 2 4)x =2e (4 k)t der k er et reelt tall. (a) Finn den allmenne løsningen av den homogene likningen svarende til ( ) for alle verdier av k. (b) Finn en spesiell løsning av ( ) for hver verdi av k. (c) La k = 3. Finn den integralkurven for ( ) som går gjennom origo, og som tangerer t-aksen der. (d) Undersøk om t = er et lokalt ekstrempunkt for den løsningen av ( ) som du fant i (c). Oppgave 12 (a) Finn rangen til 4 4-matrisen (b) For hvilke verdier av x, y og z er de tre vektorene lineært uavhengige? (x, 1,, 1), (2,y, 1, ) og (, 2, 2x, z) 33

37 Oppgave 13 Betrakt problemet ( ) maksimer y e x når e x + e y 6, x y (a) Still opp Kuhn-Tucker-betingelsene for løsning av ( ). (b) Finn løsningen av problemet. Oppgave 14 Betrakt kontrollproblemet maksimer 1 (2x x 2 ) dt når ẋ = u, x()=, x(1)=, u [ 1, 1] (a) Still opp maksimumsprinsippets betingelser for løsning av problemet. (b) Forklar hvorfor et tillatt par (x(t),u(t)) som tilfredstiller betingelsene i (a) må være en optimal løsning. (c) Finn en optimal løsning. (Vink: Vis at p(t) må være strengt avtagende.) Oppgave 15 Sett 26 (Matematikk for økonomer 3/ ) Betrakt differensiallikningen ẍ +2ẋ + x = t 2 (a) Finn en spesiell løsning av likningen. (b) Finn den allmenne løsningen. (c) En av integralkurvene går gjennom origo og har der en tangent med stigningstall 2. Finn denne integralkurven. Oppgave 16 Betrakt matrisen A = (a) Vis at det karakteristiske polynomet til A kan skrives som (4 λ)(λ 2 +aλ+b) for passende konstanter a og b. Finn egenverdiene til A. 34

38 (b) Påvis at 1/ 2 1/, 1/ 6 2/ 6 2 1/ og 1/ 3 1/ 3 6 1/ er egenvektorer for A. 3 La C være matrisen med de tre vektorene i punkt (b) som kolonner. (c) Påvis at CC = I 3 (identitetsmatrisen av orden 3), og finn dermed den inverse til C. Beregn C 1 AC. (Dette blir en diagonalmatrise.) (d) La D = d 1 d 2 være en diagonalmatrise, og sett B = CDC 1. Vis d 3 at B 2 = CD 2 C 1,ogatB 2 = A for passende verdier av d 1, d 2 og d 3. Oppgave 17 Betrakt problemet maksimer xz + yz når x 2 + y 2 + z 2 1 (a) Still opp de nødvendige Kuhn Tucker-betingelsene for løsning av problemet. (b) Finn løsningen av problemet. Oppgave 18 Betrakt problemet maksimer T (x t u t ) når x t+1 = x t + u t, u t [, 1] t= (a) Bestem optimale kontrollfunksjoner u t (x) og de tilhørende verdifunksjonene J t (x) for t = T, t = T 1,..., t = T 4. (b) Forsøk å finne uttrykk for u T k (x) ogj T k (x) for alle k =,1,2,..., T. Oppgave 19 Betrakt kontrollproblemet ( ) maksimer T (1 u)x 2 dt når ẋ = ux, u [, 1], x()=1, x(t )erfri (a) Still opp maksimumsprinsippets betingelser for at et tillatt par (x (t),u (t)) skal løse problemet ( ). (b) Vis at den adjungerte funksjonen p(t) må være strengt avtagende. (c) Det kan vises (men du skal ikke gjøre det) at ( ) har en optimal løsning. Finn denne løsningen når T>1/2. 35

39 Oppgave 11 Sett 27 (Matematikk for økonomer 27/5 1994) (a) Finn den allmenne løsningen av differensiallikningen ẋ = 2 t +1 x. (b) Betrakt differensiallikningen ( ) (t +1)ẋ 2(t +1)=2x +(t +1) 5. Innfør en ny variabel u = u(t) ved å sette x =(t +1) 2 u, og overfør likning ( ) til en enkel differensiallikning i den ukjente funksjonen u = u(t). Finn derved den allmenne løsningen av ( ). Hvordan kunne du løst likning ( ) på annen måte? (Du skal ikke gjøre det.) (c) Løs differenslikningen 4x t+2 +4x t+1 +17x t =25t 2 t 17. Oppgave 111 (a) Beregn de inverse til matrisene ( ) 2 1, (b) Kan du på bakgrunn av svarene i (a) gjette hva den inverse til følgende n n- matrise er? Vis at det forslaget du har kommet fram til er den inverse. (c) La A være en 3 3-matrise slik at A 3 = A. Vis at da må λ = være en egenverdi for A. Oppgave 112 (a) Beregn integralene (i) x 2 cos xdx (ii) sin n x cos xdx (n naturlig tall). (b) Skisser området A = {(x, y) : x 2π, x y sin x} i xy-planet. Beregn så dobbelintegralet 2y cos xdxdy A 36

40 Oppgave 113 Betrakt kontrollproblemet maksimer T (24x ux) dt når ẋ = ux 3, u [, 1], x()=1, x(t ) fri. (a) Still opp de nødvendige betingelsene som maksimumsprinsippet gir for at (x (t),u (t)) skal være en løsning av problemet. (b) Finn den eneste mulige løsningen av problemet når T = 1/3. (Vink: Vis at p(t) ( (x (t) ) 2 må være strengt avtagende.) (c) Undersøk problemet når T = 1. Sett 28 (Matematikk for økonomer 9/8 1994) Oppgave 114 ( ) 1 2 La A være matrisen A =. 2 1 (a) Finn egenverdiene og et sett av tilhørende egenvektorer for A. (b) La x, x 1, x 2,... være en følge av vektorer gitt ved at ( ) 1 x = og x 2 t+1 = Ax t for t =, 1, 2,... Vis at x kan skrives som en lineær kombinasjon av egenvektorer for A. Bruk dette til å finne x t for t =1,2,3,... Oppgave 115 I en konjunkturmodell antar vi at prisfunksjonen p = p(t) oppfyller likningen t [ ] ṗ(t) =β D(p(τ)) S(p(τ)) e α(t τ) dτ, hvor D(p) = a bp er en etterspørselsfunksjon, S(p) = c + dp er en tilbudsfunksjon, og α, β, a, b, c og d er positive konstanter. (a) Vis at p tilfredsstiller differensiallikningen (1) p + αṗ + β(b + d)p = β(a + c). (b) Bestem likevektsverdien p for (1) og finn den allmenne løsningen av differensiallikningen. (c) Vis at (1) er stabil. Avgjør for hvilke verdier av parameterne løsningene gir dempede svingninger om p. 37

41 Oppgave 116 Betrakt det ikke-lineære programmeringsproblemet y (x 1) 2 1 (P) maksimer 4x + y når y (x 2) 2 1 x 2, y, x 2 (a) Skisser mulighetsområdet, dvs. mengden av tillatte punkter (x, y), og noen nivåkurver for kriteriefunksjonen. (b) Benytt figuren fra (a) til å vise at (1, ) løser problemet (P). (c) Still opp de nødvendige Kuhn Tucker-betingelsene for en løsning av (P), og vis at (1, ) tilfredsstiller disse betingelsene. Oppgave 117 Betrakt kontrollproblemet (K) maksimer T x(2 u)e t dt når { ẋ = ux, u [1/2, 3/4], x()=1, x(t ) fri der T er et gitt tall 1. (a) Vis at hvis (x(t),u(t)) er et tillatt par i problemet (K), så har vi x(t) e t/2 for alle t [,T]. (b) Still opp de nødvendige betingelsene som maksimumsprinsippet gir for en løsning av (K). (c) Løs problemet (K). (Vink: p(t) e t blir en strengt avtakende funksjon av t.) (d) Sett nå T = og foreslå en løsning av (K) i dette tilfellet. Er tilstrekkelige betingelser oppfylt? (Vink: For åfå et forslag til løsning med tilhørende adjungert funksjon, la T i resultatene du fant i (c).) Sett 29 (Matematikk for økonomer 2/ ) Oppgave 118 Gitt problemet ( ) min (4u 1 +6u 2 +12u 3 )når (1) 5u 1 u 2 +2u 3 5 (2) 4u 1 +2u 2 u 3 6 (3) 9u 1 + u 2 + u 3 11 u i, i=1, 2, 3 (a) Begrunn at problemet ( ) er ekvivalent med det problemet vi får om beskrankningen (3) sløyfes. (b) Finn løsningen av problemet ( ). (c) Still opp Kuhn-Tuckers tilstrekkelige betingelser for løsning av problemet ( ), og påvis at løsningen du fant i (b) tilfredsstiller disse betingelsene. 38

42 Oppgave La matrisen A være gitt ved A = (a) Beregn egenverdiene til A. Vink: Du kan benytte (uten bevis) at a + b a... a a a+ b... a = b n 1 (na + b) a a... a+ b der n er ordenen til determinanten. (b) En av egenverdiene har multiplisitet 3. Finn tre lineært uavhengige egenvektorer tilordnet denne egenverdien. Finn også en egenvektor tilordnet den siste egenverdien. Oppgave 12 Betrakt det simultane differensiallikningssystemet ( ) ẋ = x ẏ = xy y 2 (a) Tegn et fasediagram og noen typiske løsningskurver. (b) Finn eventuelle likevektspunkter og avgjør, om mulig, hvilken type de er av (lokalt stabilt?, lokalt sadelpunkt?). (c) Løs likningssystemet ( ) med x() = 1, y() = 1. (Et av integralene kan ikke regnes ut.) Finn lim t (x(t),y(t)). Oppgave 121 Betrakt kontrollproblemet max 1 (x(t)) 2 dt, ẋ =1 (u(t)) 2, x()=4,x(1)=4, u(t) [ 1, 2] (a) Skriv opp betingelsene maksimumsprinsippet gir for problemet. (b) Finn den eneste mulige løsningen av problemet. 39

43 Sett 3 (Matematikk for økonomer 31/5 1995) Oppgave 122 Betrakt LP-problemet ( ) min (16y 1 +6y 2 8y 3 15y 4 ) når { y1 + y 2 2y 3 4y 4 1 2y 1 2y 2 y 3 5y 4 1 der y i, i =1,2,3,4. (a) Still opp det duale problemet og løs det. (b) Finn løsningen av ( ). (c) Hvis den første beskrankningen endres til y 1 + y 2 2y 3 4y 4 k, for hvilke verdier av k vil løsningen av det duale problemet bli i det samme punktet som for k = 1? Oppgave 123 Betrakt det dynamiske programmeringsproblemet { T 1 } ( e γut ) αe γx T maks u t (, ) x t+1 =2x t u t, x gitt, t=, 1,...,T 1 der α og γ er positive konstanter. (a) Beregn J T 1 (x) ogj T 2 (x). (b) Vis at J t (x) kan skrives på formen t= og finn en differenslikning for α t. J t (x) = α t e γx Oppgave 124 (a) Løs kontrollproblemet { 1 maks (x u) dt + 1 } 2 x(1), ẋ = u, x()=1/2, x(1) fri, u [, 1] (b) Erstatt kriteriefunksjonen med 1 (x u) dt 1 (x(1) 2)2 4 Løs problemet i (a) med denne nye kriteriefunksjonen. 4

44 Oppgave 125 Gitt den andre ordens differensiallikningen ( ) t 2 ẍ + tẋ x =, t > (a) Innfør substitusjonen z = tx og finn en andre ordens differensiallikning for z. Løs denne likningen og finn derved den allmenne løsningen av ( ). (b) Finn løsningen av ( ) der x(1) = 1 og ẋ(1)=1. Oppgave 126 (a) Løs differensiallikningen Sett 31 (Matematikk for økonomer 8/8 1995) ẍ +1ẋ +25x =5e kt + sin t for alle verdier av k. Er likningen stabil? (b)* Finn den allmenne løsningen av den partielle differensiallikningen y 2 z x + y z y = 1 z, y >, z> 2 Oppgave 127 (a) Gitt matrisen A = a b der a, b og c er forskjellig fra. Finn A 1. c (b) Gitt en 3 3 matrise B der kolonnevektorene er innbyrdes ortogonale, og ikke lik null-vektoren. Sett A = B B og påvis at A er en diagonalmatrise. (c) Finn B 1 uttrykt ved A = B B og B. (d) Vis at P = har innbyrdes ortogonale kolonnevektorer. Finn P 1 ved bruk av resultatene ovenfor. Oppgave 128 { x + y 2, (a) Løs problemet minimer [(x 2) 2 +(y 2) 2 ] når x 2 4x + y 2. (b) Kan du gi en geometrisk tolkning av problemet og derved bekrefte svaret i (a)? 41

45 Oppgave 129 Betrakt følgende problem, der A>, r>ogα (, 1) er konstanter: (1) maksimer T e rt ln c(t) dt (2) K(t) =A(K(t)) α c(t), K() = K,K(T )=K T K(t) betegner kapitalbeholdningen i en økonomi ved tidspunktet t og c(t) betegner konsumet. (a) Overfør problemet til et variasjonsproblem, og finn den tilordnede Eulerlikningen. (Du kan forutsette at c(t) > for alle t.) (b) Still opp maksimumsprinsippets betingelser for løsning av problemet, idet du antar at p =1ogc(t) > for alle t. (c) Vis at skal K = K (t) >, c = c (t) > løse problemet, må følgende likningssystem være oppfylt: (3) K = AK α c ċ = c(αak α 1 r) (d) Foreta en faseplananalyse av systemet (3) når A =2,α =1/2 ogr =.5. Vis at likevektspunktet er et sadelpunkt. (e) Kan du antyde på diagrammet en mulig optimal bane for kontrollproblemet når K = 1 og K T = 6? Hva tror du løsningen av problemet blir dersom K = 1, T =, og vi ikke har noe krav på K(T )når T? (Anta at alle tillatte K(t) >.) Prøv å begrunne ditt forslag. Oppgave 13 Sett 32 (Matematikk for økonomer 5/ ) Betrakt LP-problemet maksimer 3ax + y når ax + y a +3ab 2ax + y 2a +3ab 4ax + y 4a +4ab x, y (a) Finn løsningen av problemet når a = b =1. (b) La a>ogb>, og finn løsningen i dette generelle tilfellet. 42