Alle modeller og simuleringer i begge delprosjektene ble oppbygd ved hjelp av Matlab og Simulink

Transkript

1 Resumè I oppgaveformuleringen er prosjektet delt opp i to delprosjekter, klassisk modellering med konvensjonell regulering, og tilstandsmodellering med tilstandsregulering av hydraulisk utstyr til oljeboring, nærmere bestemt Cathead. I første delprosjekt modelleres og simuleres Cathead og det dimensjoneres forskjellige regulatorer for maskinen ved hjelp av konvensjonell regulator design. I det andre delprosjektet er Cathead modellert ved hjelp av tilstandsmodellering som bygger på en annen struktur/oppbygging enn den første. Det er også laget en LQregulator(Linear Quadratic Regulator)med feil integrator. Samt at det er lagd en observer for systemet. Alle modeller og simuleringer i begge delprosjektene ble oppbygd ved hjelp av Matlab og Simulink

2 Andre` Blom Mykland Side 2 of 153

3 Forord Denne rapport er et resultat av et 30 studiepoengs eksamensprosjekt på elektro avdelingen, Ørsted, ved Danmarks Tekniske Universitet. Prosjektet er skrevet i samarbeid med National Oilwell Norway AS i Kristiansand. Rapporten er laget av Andre` Blom Mykland våren 2006 som en avslutning på sivilingeniør utdanningen. Rapporten består av å modellere, simulere og analysere hydraulisk utstyr som påfører moment på drilling strengen under sammenstilling av to strenger under boring etter olje. Maskinen som skal undersøkes heter Cathead. En maskin ved navn Hydratong er den primære maskin som brukes til slike operasjoner, mens Cathead er en backup maskin som brukes hvis det er feil på primær utstyr eller ved spesielle operasjoner. Det blir foretatt regulering på maskinen for å oppnå riktig moment ved hjelp av klassisk regulering og tilstandsregulering. Modellen av Cathead samt reguleringssystemene er programmert og simulert i Matlab/Simulink. Jeg vil takke National Oilwell Norway AS for prosjektet samt veilederne Ole Erik Jannerup og Bernt Inge Øhrn for all hjelp underveis. Andre` Blom Mykland, s Andre` Blom Mykland Side 3 of 153

4 Andre` Blom Mykland Side 4 of 153

5 Innholdsfortegnelse 1 Innledning Problem beskrivelse Kravspesifikasjon Diagram over rapportens oppbygning Cathead- konvensjonell regulering Introduksjon System modell Proporsjonal retningsventil Sylinder Tilbehør til modelleringen Stabilitet Regulering P-regulator PI-regulator Differansetrykk Cathead- tilstandsregulering Introduksjon Tilstandsmodell Diskret LQR med integrator Diskret LQR med integrator og observer Konklusjon Perspektivering Referanser Vedlegg A Hydraulisk koplingsskjema- Cathead Vedlegg B Elektrisk koplingsskjema- Cathead Vedlegg C Bosch Proporsjonal ventil Vedlegg D Hydratech Sylinder Vedlegg E Trykktransmitter Vedlegg F Cathead- åpen sløyfe simulink modell Vedlegg G Cathead- åpen sløyfe m-fil Vedlegg H Cathead- med P-regulator Vedlegg I Cathead- med P-regulator(m-fil) Vedlegg J Cathead- med PI-regulator Vedlegg K Cathead- med PI-regulator(m-fil) Vedlegg L Cathead- differansetrykk(p-reg.) Vedlegg M Cathead- differansetrykk(m-fil) Vedlegg N Tilstandsmodell (m-fil/si-enhet) Vedlegg O Tilstandsmodell (m-fil/ny enhet) Vedlegg P LQR med integrator(m-fil) Vedlegg Q LQR med integrator og observer(m-fil) Andre` Blom Mykland Side 5 of 153

6 Andre` Blom Mykland Side 6 of 153

7 1 Innledning Dette avsnittet har til hensikt å gi leseren en forståelse av hvilke problemstillinger som der vil bli arbeidet med gjennom denne rapport. Innledningen er også ment for å gi en beskrivelse av strukturen og oppbyggingen i rapporten. 1.1 Problem beskrivelse Cathead er idag et åpen sløyfe system som ikke bruker tilbakekopling. Det vil si at systemets utgangsytelse utelukke er avhengig av karakteristikken til de individuelle komponentene og hvordan de reagerer med hverandre i systemet. Mesteparten av hydrauliske kretser er av åpen sløyfe typen som generelt ikke er så komplekse eller så presise som lukket sløyfe systemer. Disse systemene er også utsatt for en større feil hyppighet slik at det oppstår avvik mellom referanse og avlesing (her trykk/moment) på utgangen. Dette gjør at man må se ut vedlikeholdspersonell for å rette opp i dette, noe som igjen koster penger. Systemet kan gi feil på utgangen på grunn av at det oppstår glidning (oljelekkasje forbi pakninger) når systemet blir slitt, som igjen også gir mindre friksjon. Det kan også oppstå feil ved at viskositeten av den hydrauliske væsken minker (væsken blir tynnere) når temperaturen øker i oljen, dette igjen gir økt oljelekkasje forbi pakningene i pumpen som gjør at hastigheten til aktuatoren synker. I dag bruker National Oilwell Norway AS lineariseringskurver mellom ønsket referanse (moment /P 1 trykk) og hvor stort pådrag (Strøm/Ampere) som må gies ved det enkelte (moment /P 1 trykk), altså et åpen sløyfe system (se Figur 1.1-1). På maskinen i dag er det satt inn en trykk transmitter på stempelsiden for å måle P 1 trykket, dette trykket bruker de til å finne ut hvor mye pådrag (ampere) som de skal se inn på proporsjonal ventilen for å oppnå ønsket moment. Dette skjer ved at de måler i en testrigg momentet som oppnåes og skriver ned det aktuelle trykket og prosent pådrag av maksimalt ved disse forskjellige momentene. De prøver seg altså frem til riktige verdier. I referanse området kNm leses det av 10 målinger ved å øke Andre` Blom Mykland Side 7 of 153

8 pådraget med 10% for hver måling. Så hvis for eksempel man ønsker å oppnå et moment på 45kNm så ser man inn 30 % pådrag til proporsjonal ventilen, som vil si i min modell ca 1.8A*0.3 = 0,54A. Alle disse data lagres i tabeller i en PLC som styrer maskinen. Så når det oppstår feil på systemet ses det ut folk som må kalibrere systemet på nytt. Oppgaven går ut på å modellere systemene i Matlab/Simulink, for så å implementere en form for regulator som tar seg av å oppnå det ønskede trykk/moment selv når f.eks. systemet blir slitt og viskositeten forandres. Da vil variasjonene i systemet bli fanget opp og ingen ny kalibrering krevd. Det er gitt i oppgaven at man skal bruke trykk transmitteren som allerede er der til å generere et signal fra trykket på stempelsiden. Dette signalet skal fødes tilbake og bli sammenliknet med pådraget. Differansen mellom disse to signalene blir brukt til å kontrollere proporsjonal ventilen som igjen vil øke/minke flowet for å oppnå ønsket trykk/moment. Andre` Blom Mykland Side 8 of 153

9 Figur Lineariseringskurve mellom referanse(p 1 trykk) og pådrag(ampere) Andre` Blom Mykland Side 9 of 153

10 1.2 Kravspesifikasjon Det stilles følge krav til reguleringssystemet som skal dimensjoneres og utføre maskinenes oppgave på et tilfredsstille vis: 1. Systemet skal ikke ha noe oversving. 2. Krav til hvor nøyaktig systemet skal være er: Den stasjonære feil på trykket P 1 i forhold til referanse inngangen, skal være mindre enn 5 %, e < 5 %. 3. Systemet skal være stabilt og ikke ha rippel på utgangen. 4. Systemet skal designes slik at det får en fasemargin på γ M 30 og en forsterkningsmargin på K M > 6dB ved konvensjonell regulering. 5. Det skal lages et reguleringssystem både vha konvensjonell regulering og tilstandsregulering. Andre` Blom Mykland Side 10 of 153

11 1.3 Diagram over rapportens oppbygning Figur viser et diagram som har til hensikt å gi leseren et overblikk over rapportens oppbygning. Kapittel 1 Innledning Kapittel 2 Cathead- konvensjonell regulering Kapittel 3 Cathead- tilstandsregulering Kapittel 4 Konklusjon Kapittel 5 Perspektivering Referanser Vedlegg Figur Diagram over rapportens oppbygning Andre` Blom Mykland Side 11 of 153

12 2 Cathead- konvensjonell regulering 2.1 Introduksjon Den hydrauliske Cathead er designet for å påføre moment vinkelrett på en rør tang som brukes ved stramme og løsne operasjoner på bore strengen under boring etter olje. Et borerør består typisk av borestrengen, tungvekts borestreng, vektrør (nedre del av borestrengen) og bekledningen. Den grunnlegge konstruksjonen av den hydrauliske Cathead består av to vertikalt monterte sylindere(a og B) plassert på drill floor, med en kabelskive installert på en av stempel stangen. En stål kabel løper over kabelskiven der den ene kabel en er festet til sylinderens ramme og den andre kabel en blir festet fast i tang armen. Så når det påføres trykk på stempelsiden av sylinderen vil stempelet gå oppover og dra den en av kabelen (som er festet i moment tangen) mot seg. Dette vil resultere i at kabel vandringen blir dobbelt så lang som sylinderens slaglengde og man vil påføre et moment på borestrengen. På Figur og Figur er det illustrert hvordan operasjonen av Cathead B foregår ifra start til slutt operasjon når en skrur borestrengen ifra hverandre. Når en skal skru sammen borestrengen brukes Cathead A som sees på figuren, mens Cathead B står og holder sin moment tang stille. Andre` Blom Mykland Side 12 of 153

13 Figur Cathead B i startposisjon Figur Cathead B i sluttposisjon Andre` Blom Mykland Side 13 of 153

14 Når man bruker maskinen, så velger man det maksimale momentet som er ønsket for å skru sammen to rør på forhånd før man starter maskinen. Dette gjøres på en datamaskin der man har et skjermbilde som sees på Figur Her velges ønsket moment og den tanglengden som skal brukes. P 1 trykket blir målt og det beregnes moment ved hjelp av en matematisk formel i en PC som igjen viser det påførte moment opp mot det ønskede moment på den sorte skalaen. Figur Skjermbilde der man velger ønsket moment og tanglengde Når man så har valgt ønsket maksimalt moment stilles maskinen opp med at en velger en vinkelverdi α mindre enn 90, nærmere bestemt 80, (se Figur 2.1-4) og kjører maskinen til man har nådd α =100. Så stoppes maskinen og man setter opp på nytt ved å ta et nytt tak med tang armen der α = 80. Dette betyr at maskinen kjøres i området α = 90 ±10. Og slik fortsettes det til man oppnår ønsket momentverdi, og da stopper maskinen. Andre` Blom Mykland Side 14 of 153

15 Figur Skisse som viser drakraft i forhold til alfa vinkel. Ved å se på Figur kan man beregne seg frem til hvor lang sylinderens stempelvandring kan være per kjøring av maskinen. o o π α= 20 α= 20 = rad o 180 S α= S=α Lt = = m L t (2.1) Man ser at lengden kabelen kan gå er S = m pr. tak man tar med tangen. Dette vil igjen si at stempelet i sylinderen bare kan kjøre m pr. tak siden kabelen har dobbelt så stor vandring i forhold til stempelet ved kjøring. Figur Vinkel arbeidsområde for tangen som brukes i Cathead I denne rapport er det antatt at man oppnår det ønskede momentet ved en alfa verdi på ca 90 grader ved bare en utkjøring av stempelet. Operasjonen av Cathead er enten utført manuelt fra en kontroll stand eller fra borehuset. Andre` Blom Mykland Side 15 of 153

16 Den virkelige hydrauliske Cathead er vist på Figur Figur Den hydrauliske Cathead Andre` Blom Mykland Side 16 of 153

17 2.2 System modell I grove trekk består Cathead av en tank, en hydraulikk pumpe, en proporsjonal retningsventil og en hydraulisk sylinder. Så i dette prosjektet modelleres det med hovedvekt på disse komponentene, se Figur For en mer detaljert beskrivelse av systemets hydrauliske koplingsskjema, se vedlegg A. Figur Forenklet skisse av Cathead med lukket sløyfe tilbakekopling For å kunne modellere en passe modell av systemet må man først formulere de matematiske differensial likningene for sylinderen og retningsventilen. Andre` Blom Mykland Side 17 of 153

18 2.2.1 Proporsjonal retningsventil En proporsjonal retningsventil er elektrisk styrt ved hjelp av proporsjonale likestrømsspoler. Spolene styres i sin tur av en elektronisk krets som mottar og behandler de elektriske innsignalene. Den proporsjonale retningsventilen som er i Cathead er av typen HAWE Proportional directional spool valve, type PSLF D Men da produsenten ikke gir tilstrekkelig informasjon i sine datablad for å modellere denne, er det etter avtale med National Oilwell Norway AS valgt å erstatte denne med en proporsjonal retningsventil av typen BOSCH RSK WREE NG10. Retningsventilen er en type 4/3 ventil som betyr at den har 4 porter (her 5 men to av portene er koplet sammen tilbake til tank) og 3 styrestillinger. Retningsventilen er satt til å være kritisk sentrert (avstanden U=0/line-to-line), det vil si at bruker portene (A,B) er blokkert fra både retur (R) og forsyning (S) portene når ventilen står i midtstilling. Dette er gjort for å forenkle modelleringen av sleide posisjonsvirkningen. (se Figur 2.2-2) Figur Prinsippskisse av en 4/3 veis ventil med kritisk sentrert midtstilling Andre` Blom Mykland Side 18 of 153

19 For modellering av ventilens dynamikk antas det tilnærmelsesvis at ventilens sleide posisjon, x v, relatert til inngangsspenningen, U, kan modelleres som et 2. ordens system med overføringsfunksjonen: x(s) v Kt = 2 U(s) s 2 ζ s ωn ωn (2.2) Der: x v (s) = Den laplace transformerte av ventilens sleide posisjon U(s) = Den laplace transformerte av ventilens inngangsspenning K t = Ventil forsterkning [m/v] ζ = Dempings forhold [1] ω n = Ventilens naturlige egenfrekvens [rad/s] Ventilens dynamiske parametre som ζ og ω n finnes ut fra å lese ventilens bodeplot som finnes i databladet for ventilen (se vedlegg C). Ventilens egenfrekvens ble funnet til å være 35Hz, slik at ω n blir omregnet til: ω = 1 rad n 2 π f = n 2 π s = s (2.3) Har valgt ζ = 0.7 på grunnlag av å sammenlikne ventilens bodeplot(se vedlegg C) med et standard 2.ordens system bodeplot som er visst på Figur Andre` Blom Mykland Side 19 of 153

20 Figur Bodeplot for et 2.-ordenssystem Ved modelleringen av ventilen er forsyningstrykket, P s, antatt å være konstant hele tiden. Retur trykket, P T =P 0, er antatt å være neglisjerbart fordi det vanligvis er så mye mindre enn de andre trykkene som er involvert. Trykk tapet over belastningen er definert som P L =P 1 -P 2. Når sleideposisjonen x v er positiv, er strømningen gjennom ventil åpningene A 1 og A 2 definert av åpnings likningene: Q = C A 1 d 1 Q = C A 2 d 2 = C A d 2 ( ) 2 P P s 1 ( ) 2 P P 2P ρ 2 ρ 2 0 ρ (2.4) Andre` Blom Mykland Side 20 of 153

21 Der: C d = Utladningskoeffisient [1] Q 1 = Strømning gjennom ventil, side 1 [m 3 ] Q 2 = Strømning gjennom ventil, side 2 [m 3 ] A 1 = Åpningsareal på ventilen, side 1 [m 2 ] A 2 = Åpningsareal på ventilen, side 2 [m 2 ] P s = Forsyningstrykk [Pa] P 0 = Returtrykk [Pa] P 1 = Trykk på stempelsiden til sylinderen [Pa] P 2 = Trykk på stempelstangsiden til sylinderen [Pa] ρ = Oljens massetetthet [870 kg/m 3 ] Utladningskoeffisienten C d må bestemmes eksperimentelt for den spesifikke geometrien. Men når geometrien ikke er helt eksakt kjent, eller når eksperimentelle resultater ikke er tilgjengelige, brukes det C d = 0.62 for en skarp kantet åpning. Retningsventilen er antatt å være helt symmetrisk og tilpasset om innløpsporten, slik at for en gitt sleideforskyvning, x v, er de tilsvare proporsjonale åpningsarealene: A 1 (x v ) = A 2 (x v ) = w x v for X v > 0 (2.5) Der: w = ring areal stigningstall [m] x v = Ventilens sleide posisjon [m] Den maksimale sleideforskyvningen er oppgitt til å være x v = 3mm og den maksimale strømningen gjennom ventilen er satt til å være Q maks = 75 l/min. Dette gjør at man kan bestemme ring areal stigningstallet: 75 Q maks w = = = m 5 Ps 3 C d xv ρ 870 (2.6) Andre` Blom Mykland Side 21 of 153

22 Spolene i proporsjonal ventilen består av to parallelle elektriske motstander som er oppgitt til å være R 1 =R 2 =3Ω. Den maksimale strømmen som er tillatt å gå gjennom spolen er oppgitt til å være I=1.8A (se vedlegg C). Ved modelleringen beregnes det en felles motstand på: = + = + = R R R R = = 1.5Ω 2 (2.7) Ut fra disse to parametre beregnes spenningen, U, som proporsjonal ventilen maksimalt kan få på inngangen: U= R Imaks = = 2.7Volt (2.8) I analysen av et dynamisk kontroll system er det nødvig å bestemme ventil koeffisientene. Disse tre koeffisientene er veldig viktig ved bestemmelse av stabilitet, frekvens respons og andre dynamiske karakteristikker. Strømnings forsterkningen for eksempel berører direkte den åpne sløyfe forsterkningen og har derfor en direkte innflytelse på stabiliteten til systemet. Koeffisientene bestemmes ved å linearisere åpnings likningen for Q L, dette gjøres ved å bruke Taylor rekke utvidelse rundt et gitt arbeidspunkt (Q L0, x v0, P L0 ). Selve Taylor rekke utvidelsen vil ikke bli beregnet i denne rapport, bare gjengitt. Ved å neglisjere de høyere ordens uttrykk, kan den lineariserte trykk-strømnings likningen av sleide ventilen skrives som: Q Q Q = x + P L L L v L xv xv= x P v0 L xv= xv0 P L= P L0 P L= P L0 K x K P q v c L (2.9) Andre` Blom Mykland Side 22 of 153

23 Der: QL = QL Q L0, xv = xv x v0, PL = PL PL0 K q er strømnings forterkningen og K c er trykk-strømnings koeffisienten. Disse to til sammen utgir trykk- sensitivitets koeffisienten K p. QL Q Q x K K q =, K =, Kp = = x P K L L v q c v xv= x v0 L xv= x Q v0 L c PL= PL0 PL= PL0 PL xv= xv0 P L= P L0 (2.10) Det viktigste arbeidsspunktet er origo på trykk-strømnings kurvene som er vist på Figur 2.2-4, siden ventilen vanligvis arbeider i dette området. Figur Ventilkarakteristikk for ventilen Andre` Blom Mykland Side 23 of 153

24 Ved den kritiske sentrerte ventil som er modellert i dette prosjektet blir Q L her: Q = C w x L d v 1 xv 0 sign(x v) = 1 xv < 0 P sign(x )P ρ s v L (2.11) Slik at her blir ventil koeffisientene som følger: K = C w q d P sign(x )P ρ s v0 L0 K c P sign(x )P sign(x v0)c d w xv0 ρ = 2(P sign(x )P ) s v0 L0 s v0 L0 (2.12) K p sign(x v0)2(p s sign(x v0)p L0) = x v0 Siden arbeidspunktet er rundt origo(q L0 = x v0 = P L0 = 0), blir ventil koeffisientene: 5 2 s Kq = Cd w = = K = 0 c K = 0 p P m ρ 870 s (2.13) For å kunne beregne forsterkningen K t til ventilen, må man først beregne den totale ventil koeffisienten K som er et produkt av K t og K q. Denne finnes ved å ta den maksimale strømningen gjennom ventilen og dividere på maks spenning inn på ventilen Q m U 2.7 Vs maks 4 K = = = maks (2.14) Andre` Blom Mykland Side 24 of 153

25 K t beregnes nå til: 3 4 m K K Vs s 3 t = = = (2.15) 2 Kq m V m Nå er alle ventilens parametre bestemt og ventilen kan modelleres Sylinder For å kunne modellere systemet fullt ut må det også lages en modell av sylinderen. Sylinderen som brukes i dette systemet er av typen HYDRATECH 160/100 RHBX, som har en dobbeltvirke enkeltstang konfigurasjon (se Figur 2.2-5). For en mer detaljert beskrivelse av sylinderen, se vedlegg D. Figur Skisse av en sylinder med dobbeltvirke enkeltstang konfigurasjon Ut fra Figur defineres strømningene Q 1 og Q 2 ved hjelp av massebalanse for begge sylinder kammerne på arbeidssylinderen. Når det settes opp massebalansen, skal det taes hensyn til at væsken er kompressibel. Andre` Blom Mykland Side 25 of 153

26 Massebalansen blir da: d ( ρ V) =ρ & V +ρ V & =ρ Q ρ Q dt lekkasje d ( ρ V) =ρ& V +ρ V & = ρ Q +ρ Q dt lekkasje (2.16) Så brukes sammenhengen mellom tetthet ρ og trykk P i kompressible væsker under isoterme forhold: ρ ρ= & P& (2.17) β Setter så inn (2.16) for ρ& i (2.15), og dividerer med (ρ 1, ρ 2 i de respektive formlene) og får: V1 ρ& 1 V + V& = Q Q β lekkasje V2 ρ& 2 V + V& = Q + Q β lekkasje (2.18) Definerer så volumene i de respektive kammerne V 1 og V 2 (y = positiv retning oppover): V = V + A y V = V A y (2.19) Der: V 01 = Start volum av stempel kammer [m 3 ] V 02 = Start volum av stempelstang kammer [m 3 ] Deriverer (2.18), som gir: V& 1 = A1 y& V& = A y& 2 2 (2.20) Andre` Blom Mykland Side 26 of 153

27 Siden sylinderen er utstyrt med pakninger/stempelringer antaes det at lekkasjen over stempelet er lik null (Q lekkasje = 0). (2.18) og (2.19) settes så inn i (2.17) som fører til at (2.17) da kan skrives for både kammer 1 og 2: (V01+ A1 y) P& 1 Q1 = A1 y& + βe (V A y) P& Q2 = A2 y& β e (2.21) Der: Q 1 = Strømning stempel kammer [m 3 /s] Q 2 = Strømning stempelstang kammer [m 3 /s] Q lekkasje = Lekkasje strømning over stempelet [m 3 /s] A 1 = Areal på stempel kammer [m 2 ] A 2 = Areal på stempelstang kammer [m 2 ] V 1 = Volum av stempel kammer [m 3 ] V 2 = Volum av stempelstang kammer [m 3 ] P 1 = Trykk på stempel kammer [N/ m 2 ] P 2 = Trykk på stempelstang kammer [N/ m 2 ] β e = Effektiv bulk modulus [ N/ m 2 ] y = Stempelets posisjon [m] y& = Stempelets hastighet [m/s] Stempel arealene A 1 og A 2 er beregnet ut fra dimensjoner vist på vedlegg D: π 2 π 2 2 A1 = D = 0.16 = m 4 4 π π A 2 = (D d) = ( ) = m (2.22) Der: D = Stempel diameter [m] d = Stempelstang diameter [m] Andre` Blom Mykland Side 27 of 153

28 For å kunne definere sylinderen fullt ut må det også brukes Newton s 2. lov på kreftene som virker på stempelet: M && y= A P A P B y& F (2.23) load Der: F load = Ekstern kraft referert til momentet på borestrengen [N] B = Viskøs dempnings koeffisient [200 kns/m] y&& = Stempelets akselerasjon [m 2 /s] M = Den totale masse som sylinder skal løfte [kg] Massen stempelet skal løfte beregnes som følger: Stempel: d=0.16m, h=0.0955m, ρ jern = kg/m 3 π 2 π ( ) Vstempel = d h = 0.16m m= m kg 3 3 mstempel =ρjern Vstempel = m = 15kg 3 m (2.24) Stempelstang: d=0.1m, h=1.344m, ρ jern = kg/m 3 π 2 π ( ) 2 3 Vstempelstang = d h = 0.1m 1.344m= m kg 3 mstempelstang =ρjern Vstempelstang = m = 83kg 3 m (2.25) Topptrinse: d=0.4m, h=0.08m, ρ jern = kg/m 3 π 2 π ( ) 2 3 Vtopptrinse = d h = 0.4m 0.08m= 0.01m kg 3 mtopptrinse =ρjern Vtopptrinse = m = 78.5kg 3 m (2.26) M = mstempel + mstempelstang+ mtopptrinse = = 176.5kg (2.27) Andre` Blom Mykland Side 28 of 153

29 Modelleringen av momentet Modelleringen av momentet som virker på borestrengen i systemet, skjer ved hjelp av en ekstern kraft som virker på stempelet. Dette momentet vil jo være avhengig av hvor stempelets posisjon er til enhver tid. Så ved å tilbakekople posisjonen gjennom en kraftkoeffisient vil man kunne simulere momentet som virker på borestrengen og som igjen gir en kraft som virker på sylinder stempelet, F load = K kraftkoeffisient y. Den eksterne kraften F load blir beregnet tilbake til stempelet som følger (se Figur 2.2-1): T T = Lt F F = (ref tilborestreng) L 2T Fload = 2F = (ref tilstempel) L t t (2.28) Der: T = Moment påført borestrengen [knm] L t = Tang lengde [m] F = Kraft referert til momentet [N] F load = Kraft referert til stempelet [N] Ved å sette disse to lik hverandre får man et mål for hvor stor kraftkoeffisienten må være for å få det riktige momentet overført som en kraft til stempelet. T 2 = Kkraftkoeffisient y L t T 2 N Kkraftkoeffisient = L y m t (2.29) Prøver så ved forskjellige moment og tanglengder, for å beregne en gjennomsnittsverdi for kraftkoeffisienten (se Tabell 2.2-1). Det er også antatt at det maksimale moment skal oppnåes når stempelet har beveget seg ca 0.5 meter. Andre` Blom Mykland Side 29 of 153

30 T(kNm) Lt(m) Y(m) K kraftkoeffisient (N/m) Tabell Beregning av kraftkoeffisient Regner så ut en gjennomsnittsverdi for K kraftkoeffisient : K + K K N = = = (2.30) 12stk 12 m Kkraftkoeffisient Momentet som virker på borestrengen øker eksponentielt med posisjonen til kraften som lager momentet, slik at for å få med denne effekten er det plassert en eksponential funksjon (e y -1) som tar seg av dette. Det er trukket fra -1 slik at funksjonen starter i null, siden e 0 = 1. Andre` Blom Mykland Side 30 of 153

31 FL=K*y FL=K*(exp(y)-1) Fload ,075 0,15 0,225 0,3 0,375 0,45 0,525 Stempel posisjon 0,6 0,675 0,75 0,825 0,9 0,975 Figur Sammenlikning av Fload (med/uten eksponential effekten) På Figur ser man eksponential effekten sammenliknet med hvis man hadde modellert momentet proporsjonalt med posisjonen. Her vist ved kraften som er referert til stempelet, F load. Da blir (2.22): && & (2.31) y M y= A1 P1 A2 P2 B y K kraftkoeffisient (e 1) Har nå kommet frem til alle de matematiske formler/likninger (2.2, 2.4, 2.21 og 2.31), samt alle parametrene som skal til for å kunne modellere en modell av systemet. Den ikke lineære modellen som er modellert i Simulink kan sees på Figur Den fulle og mer detaljerte modellen kan sees i vedlegg F. Tilhøre m-fil kan sees i vedlegg G. Andre` Blom Mykland Side 31 of 153

32 Flow Q1 m^3/s Flow Q1 P1 P2 Referanse Strøm Posisjon Referanse1 Flow Q2 m^3/s Flow Q2 Hastighet Proporsjonal retningsventil Asymmetrisk Sylinder Figur Simulink modell av åpen sløyfe Cathead Tilbehør til modelleringen Trykktransmitter For å kunne regulere på momentet(p 1 -trykket) må man ha en trykktransmitter for å gi tilbakemelding om størrelsen på P 1 -trykket, det vil igjen si at man får et lukket sløyfe system. Denne sensoren er allerede påmontert stempel siden til sylinderen i dagens maskin. Dette gjør at man kan bruke denne til å generere et signal tilbake til regulatoren uten noen form for ekstra kostnad av hardware. De tekniske data for denne sensoren kan sees i vedlegg E. Utregning av forsterkningen til trykk transmitteren: Sensorens arbeidsområde: bar P= N/m 2 Utgangssignal: 4-20 ma I= A -3 2 I A -10 m A K= 1 = =4 10 P N N m 2 (2.32) Andre` Blom Mykland Side 32 of 153

33 Strømforsterker Når man så tilbakekopler signalet og sammenlikner dette med referanse signalet, får man en strøminput til proporsjonal ventilen som ligger for lavt i forhold til hva ventilen krever av strøm for å fungere (opererer i området 0-1.8A). Derfor måtte det lages en strømforsterker (K 2 ) som tok seg av å få strømmen opp i riktig arbeidsområde. Beregner denne ut fra midten av arbeidsområdet til systemet (T=80kNm 86.5bar) og uten noen form for regulator (K p =1). Utregning av strømforsterker der I=0.9A (referanse=86.5bar): I=referanse K K K 1 2 p I 0.9A K= 2 = = referanse K1 Kp 5 N -10 m A m N (2.33) P1 N/m^2 Flow Q1 m^3/s Flow Q1 P2 Referanse Referanse K1 K2 num(s) den(s) Regulator Strøm Flow Q2 m^3/s Flow Q2 Posisjon Hastighet Xv Fload Proporsjonal retningsventil Asymmetrisk Sylinder K1 Trykk transmitter Figur Simulink modell av lukket sløyfe Cathead Lukket sløyfe systemet kan sees på Figur 2.2-8, der man ser at P 1 -trykket er tilbakekoplet gjennom trykktransmitteren og videre til sammenlikning med referansen. Man ser også at feilsignalet blir forsterket gjennom strømforsterkeren, K 2. Andre` Blom Mykland Side 33 of 153

34 Referanse Nedenfor vises det hvordan referansen er beregnet ved de forskjellige momentene. Bruker newton s 1. lov på stempelet når Lt=1.35 og M=176.5 P1 A1 P2 A2 M g Fload= 0 1 P1= ( P2 A2+ M g+ Fload) A1 1 P1= ( P2 A2+ M g+ F2 ) A1 1 T P1= P2 A2+ M g+ 2 A1 Lt 1 T P1= P P1= P T (2.34) Det ble så gjennomført noen simuleringer med åpen sløyfe systemet uten noen form for regulator bare for å måle trykkene ved de forskjellige momentene (se tabell under). Her er også brukt Lt=1.35. Her ser man at P 1 vil minke med ca. 6 bar og P 2 vil øke med ca. 2.3 bar for hver gang man minker ønsket moment med 10 knm. Så ved å sammenlikne disse resultatene med likning 2.34 over vil man kunne si at disse stemmer noenlunde overens (se resultatene i Tabell 2.2-2). T(kNm) I(Ampere) Fload(N) P 1 (bar) P 1 diff P 2 (bar) P 2 diff ,19-28, , ,06 6,13 30,80 2, , ,89 6,17 33,09 2, , ,70 6,19 35,39 2, , ,48 6,22 37,70 2, , ,24 6,24 40,01 2, , ,98 6,26 42,34 2, , ,70 6,28 44,67 2, , ,40 6,30 47,01 2, , ,07 6,33 49,36 2, , ,73 6,34 51,72 2, , ,37 6,36 54,08 2, , ,00 6,37 56,45 2, , ,59 6,41 58,82 2, , ,16 6,43 61,19 2,37 Tabell Parametre etter åpen sløyfe simulering Andre` Blom Mykland Side 34 of 153

35 Noe som betyr at P 1 (referansen) må være lik med uttrykket på høyre side for at man skal få stempelet til å stå stille ved de respektive ønskede momentene: P 1 = P T I Tabell sees P 1 -trykket (referanse) beregnet ved formelen over. Tok utgangspunkt i startverdiene P 2 =28bar og økte denne med ca 2,3 bar for hver gang T minket med 10kNm og satte inn de forskjellige referansene. Ser også ved beregning at P 1 minker med ca. 6 bar for hver gang man minker momentet med 10kNm. T(kNm) Fload(N) P 1 (bar) Valgt referanse (bar) P 2 (bar) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,2 Tabell Beregnet referanse for lukket sløyfe simulering Systemet skal bruke ca. 10 sekunder på å nå det maksimale moment (T=150kNm, P 1 =128.5bar) ved en utkjøring, og referansen blir simulert vha. en rampe funksjon. Dette er også gjort for å gi systemet en jevn og fin bevegelse. Referansen kan sees på Figur Andre` Blom Mykland Side 35 of 153

36 Beregning av helningen på referansen: P Pa 6 Pa Helning= = = t 10s s (2.35) Figur Referanse (rampe) Andre` Blom Mykland Side 36 of 153

37 2.3 Stabilitet På grunn av at modellen er ulineær, lineariseres modellen i Matlab for å sjekke stabiliteten til systemet. Det ble gjort ved å simulere modellen med et konstant input (I=0.96Ampere) i midten av moment arbeidsområdet (T=80kNm), over så lang tid at de to trykkene (P 1 og P 2 ) ble stasjonære. Alle integratorene ble nummerert i ønsket prioritet, slik at ved å bruke Matlab funksjonen xfinal får man ut de stasjonære verdiene for tilstandene. Matlab ga ut de nedenfor visste xfinal verdiene der P 1 og P 2 er de to første verdiene. Plot av de to tilstandene kan også sees på Figur xfinal=[ ] 90 Stasjonære tilstander Pressure (Bar) Pressure (Bar) 89.5 P Time (sec) P Time (sec) Figur Plot av trykkene P 1 og P 2 sine stasjonære tilstander Lineariseringen gjennomføres så med disse stasjonære tilstandene ved bruk av Matlab kommandoen: [Aa,Bb,Cc,Dd]=linmodv5('Cathead1',xFinal) Andre` Blom Mykland Side 37 of 153

38 Det lineariserte system ble: Sys = s s s s+1445 s s s s s (2.36) Ut fra dette ble det funnet systemets åpen sløyfe poler og nullpunkter som kan sees i Tabell Poler i i i i Nullpunkt i i Tabell Systemets poler og nullpunkter På Figur kan man se polene og nullpunktene avbildet på den reelle og imaginære akse. Sirkler er nullpunkt og kryss er poler. 200 Pole-Zero Map Imaginary Axis Real Axis Figur Plot av poler og nullpunkt Andre` Blom Mykland Side 38 of 153

39 Alle poler og nullpunkt ligger i venstre komplekse halvplan, bortsett fra en pol. Det betyr at systemet er marginalt stabilt. Det ble lagt inn en redvec funksjon i m-filen for å kunne fjerne veldig små koeffisienter i overføringsfunksjonen. Dette ble gjort for lettere å kunne lage et bodeplot av systemet. Åpen sløyfe bodeplot for det ukompenserte lineariserte systemet sees på Figur Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Figur Åpen sløyfe Bodeplot av det lineariserte system Matlab kommandoene for å utføre lineariseringen og sjekke stabiliteten til systemet kan sees i den tilhøre m-filen til modellen i vedlegg G. Andre` Blom Mykland Side 39 of 153

40 2.4 Regulering Når så alt ved modelleringen er ferdiggjort og man har sjekket at systemet ikke er ustabilt, kan man begynne med å lage en regulator for systemet. Denne reguleringen gjøres i kontinuerlig tid. Som gitt i prosjekt formuleringen skal det først lages en regulator av den konvensjonelle typen. Med dette menes en PID-regulator, som er beskrevet under ved overføringsfunksjonen: τ s d G(s) c = K(1 p + + ) τis α τds 1 (2.37) Der: K p = Proporsjonal forsterkningen τ i = Integraltiden τ d = Derivattiden α = Koeffisient for begrense derivasjonsvirkningen Når man så skal designe en regulator må man tenke på hvilke kravspesifikasjoner systemet skal oppfylle. Det er ofte en hensiktsmessig prosedyre å først velge en ren P- regulator, der man bestemmer forsterkningen som gjør det mulig å oppfylle kravene til den stasjonære feilen. Kravet til den stasjonære feil i Cathead er at den skal være mindre enn 5 prosent. Noe som igjen viser at kravet til nøyaktighet ikke er så kjempestort hos denne maskinen. Grunnen til dette er at man bruker maskinen til å skru sammen borestrenger der momentet bare skal være innenfor en viss toleranse. Deretter kan det undersøkes om systemet med den valgte K p får tilfredsstille stabilitetsmarginer. Og til slutt kan det sjekkes om eventuelle krav til reguleringshastigheten er oppfylt. Klarer man ikke å tilfredsstille kravet til stasjonær feil med en P-regulator, bør man teste ut med en PI-regulator (Derivasjonsleddet er utelatt). Ved å innføre en ekstra ren integrator i systemet vil man oppnå null stasjonær feil. Andre` Blom Mykland Side 40 of 153

41 Å finne de beste parametrene for en PID-regulator går litt på prøve og feile metoden, inntil man er kommet innenfor de riktige spesifikasjonene. Når man så skal finjustere regulatoren finnes det enkelte retningslinjer å gå etter for å få den beste ytelsen. Disse er gitt nedenfor i Tabell Handling Stig tid Oversving Stabilitet Øke Kp Raskere Øker Dårligere Øke τ d Tregere Minker Bedre Minke τ i Raskere Øker Dårligere Tabell Retningslinjer for justering av parametre Andre` Blom Mykland Side 41 of 153

42 2.4.4 P-regulator En ren P-regulator ble først valgt som regulator(det vil si at man kun tar med proporsjonal leddet fra PID-regulatoren): G(s) = K (2.38) c p K p ble grovjustert slik at man kom innenfor kravene til stasjonær feil. Det er også et krav om at systemet ikke kan ha noe oversving, det vil si at den utgangssignalet ikke kan overstige referanse signalet. For å komme innenfor de gitte krav ble det etter å ha finjustert K p, funnet at forsterkningen må være K p = 50. Får også da en fasemargin på γ M = 60 og en forsterkningsmargin på K M = 9.31dB. Bodeplottet for systemet med de viste marginene kan sees på Figur Bode Diagram Gm = 9.31 db (at 401 rad/sec), Pm = 60 deg (at 223 rad/sec) Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Figur Bodeplot av Cathead med P-regulator Systemets båndbredde defineres som den frekvens der amplitudeforholdet har fallt med 3dB i forhold til den vannrette lavfrekvensasymptote. Her er ω B =200rad/s. Andre` Blom Mykland Side 42 of 153

43 e Lukket sløyfe poler ( λls)= e-5 (2.39) Ved å innføre tilbakekoplingen ble polen som lå i null kansellert og systemet er gått fra marginalt stabilt til stabilt. Den naturlige egenfrekvensen til prop.ventilen og sylinderen beregnes fra lukket sløyfe polene: ω = realdel( λ ) + imagdel( λ ) (2.40) 2 2 n ls ls ω n,pv = rad/s ω n,syl. = rad/s Dempningsforholdet beregnes også fra polene: ζ realdel( λls ) = (2.41) ω n ζ pv = 0.7 ζ syl. = Siden systemet skal fungere over et så stort moment arbeidsområde(t=10-150knm), velges det og undersøke utgangen (P 1 -trykket) ved ytterpunktene(t=10knm og T=150kNm) og i midten(t=80knm) av arbeidsområdet. Det er også plottet P 2 -trykket. Se plot av simuleringene på Figur 2.4-2, Figur 2.4-3, Figur og Figur Andre` Blom Mykland Side 43 of 153

44 150 Referanse(T=150kNm/128.5Bar) Pressure (Bar) Pressure (Bar) P1 Referanse Time (sec) P Time (sec) Figur Plot av P 1 og P 2 ved T=150kNm 60 Referanse(T=10kNm/44.5Bar) Pressure (Bar) Pressure (Bar) P1 Referanse Time (sec) P Time (sec) Figur Plot av P 1 og P 2 ved T=10kNm Andre` Blom Mykland Side 44 of 153

45 90 Referanse(T=80kNm/86.5Bar) Pressure (Bar) P1 Referanse Time (sec) Figur Plot av P 1 ved T=80kNm Pressure (Bar) P Time (sec) Figur Plot av P 2 ved T=80kNm Andre` Blom Mykland Side 45 of 153

46 Ved å se på responsen (P 1 -trykket) ser man at systemet er godt regulert og stabilt. Med det menes det at responset ikke oscillerer og at det stabiliseres innen for relativt kort tid. Det sees også at systemet tilfredsstiller kravet til å ikke ha noe oversving gjennom hele arbeidsområdet og den følger referansen meget godt. Responset, P 1 trykket, kommer også raskt innenfor kravet om en stasjonær feil på mindre enn 5 prosent. Det vil si at en ren P-regulator alene tilfredsstiller de angitte kravspesifikasjonene til systemet med god margin. Det eneste som kan forbedres er at responset skal følge referansen a bedre i helningen, med andre ord mindre avvik der. Begrensningene til hvor bratt helningen på rampen kan være ligger i proporsjonal ventilen. Ved tilfellet med et moment på 80kNm(86.5 Bar) vil det si at kravet til 5% er nådd ved Bar. Ved å se på Figur sees det at man kommer innenfor dette kravet etter sek. Den stasjonære feilen blir til slutt på 9e -4 Bar. Dette er en tilfredstille regulator. Strøm (A) Styre signal Plot av styre og feil signal Time (sec) Strøm (A) 1.5 x Feil signal Time (sec) Figur Plot av styre og feil signal ved T=80kNm Andre` Blom Mykland Side 46 of 153

47 12 x 104 Plot av kraften som simulerer momentet 10 8 Kraft(N) Fload Time(sec) Figur Plot av F load ved T=80kNm Figur viser styre og feilsignalet ved et ønsket moment på 80kNm(P 1 =86.5Bar) og Figur viser et plot av kraften som virker på sylinderens stempel, det vil si den kraften som er referert til det virkelige moment. Med andre ord øker momentet jo lengre man skyver stempelet ut som vist på figuren. Plottet viser at beregningen av K kraftkoeffisient (2.29) stemmer godt overens med virkeligheten. Plottet gir en kraft på e 5 N og beregnet kraft blir e 5 N, noe som stemmer bra overens. Den detaljerte lukket sløyfe simulink modellen med P-regulator kan sees i vedlegg H. Dens tilhøre m-fil sees i vedlegg I. Andre` Blom Mykland Side 47 of 153

48 100 Referanse(T=80kNm/86.5Bar) Pressure (Bar) Pressure (Bar) 50 P1 Referanse Time (sec) P Time (sec) Figur Plot av P 1 og P 2 ved bruk av step referanse På Figur er det tatt med en simulering ved bruk av et step i stedet for en rampe. Dette for å lese av tidkonstanten for systemet. Leser av τ = 1.71 s. ved 63% av sluttverdien. Her ser man også tydelig at det er begrensninger i hvor hurtig systemet kan være, disse begrensningene ligger i hvor stor flow prop.ventilen klarer å gi ut. Andre` Blom Mykland Side 48 of 153

49 2.4.5 PI-regulator For å få prøve å forbedre at responsen følger referansen a bedre, ble det også prøvd med en PI-regulator da dette skal gi en stasjonær feil lik null: K τ s+ K G(s) c = τ s p i p i (2.42) PI-regulatorens forsterkning K p ble satt lik P-regulatorens K p verdi til å begynne med. PI-regulatorens knekkfrekvens ω k, bestemmes ut fra P-regulatorens kryssfrekvens og settes til en tiedel av denne. At denne settes så lavt skylles at knekkfrekvenser omkring en fjerdedel av P-regulatorens kryssfrekvens gir urealistiske lave verdier for forsterkningen. PI-regulatorens integraltid, τ i, ble da funnet til å være: τ = 1 1 i 0.045sek 0.1 ω = c (2.43) PI-regulatorens forsterkning K p ble så satt til K p = 46.7 for å få en fasemargin på γ M = 60 og en forsterkningsmargin på K M = 9.16dB. Bodeplottet for systemet med PIregulator med de viste marginene kan sees på Figur Her sees det også at ved innførselen av integratoren blir fasedreiningen forskjøvet -90 som forventet. Andre` Blom Mykland Side 49 of 153

50 100 Bode Diagram Gm = 9.16 db (at 387 rad/sec), Pm = 60 deg (at 210 rad/sec) Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Figur Bodeplot av Cathead med PI-regulator Systemets respons med en PI-regulator er simulert ved et moment, T=80kNm/86.5Bar. Responset kan sees på Figur Referanse(T=80kNm/86.5Bar) Pressure (Bar) Pressure (Bar) 50 P1 Referanse Time (sec) P Time (sec) Figur Plot av P 1 og P 2 ved T=80kNm Andre` Blom Mykland Side 50 of 153

51 Her ser man også at systemets respons med en PI-regulator er godt regulert. Responset oscillerer ikke og den stabiliseres innen for relativt kort tid. Det sees også en stor forbedring i at responsen følger referansen veldig fint gjennom hele simuleringen(lite avvik). Det eneste som ikke klarer og komme innefor kravspesifikasjonen, er at responset får et oversving på 3.44 Bar, noe som er 3.98% over sluttverdien. Den stasjonære feilen blir her null. Detalj av dette er vist på Figur Mp P P 1,max 1, slutt = = = (2.44) P 1, slutt % 3.98% 86.5 Pressure (Bar) Referanse(T=80kNm) P1 Referanse Time (sec) Figur Detalj (oversving) av P 1 ved T=80kNm Den detaljerte lukket sløyfe simulink modellen med PI-regulator kan sees i vedlegg J. Dens tilhøre m-fil sees i vedlegg K. Andre` Blom Mykland Side 51 of 153

52 2.4.6 Differansetrykk Det er også som et forslag til forbedring, testet ut ved å regulere på differansetrykket(p 1 - P 2 ) på Cathead. Det vil si at man må installere en ny transmitter på stempelstang siden av sylinderen for å kunne måle P 2 -trykket. Dette er testet ut siden P 2 -trykket også har et betydelig bidrag med krefter på stempelet. Slik at ved å regulere på differansetrykket vil man også kunne fange opp de variasjonene som disse kreftene bidrar med. Den eneste forskjellen i Simulink modellen er at en tilbakekopler differansetrykket, P 1 -P 2, og sammenlikner det med referansen, i stedet for å tilbakekople kun P 1 trykket. Den detaljerte lukket sløyfe simulink modellen med P-regulator som regulerer på differansetrykket kan sees i vedlegg L. Dens tilhøre m-fil sees i vedlegg M. I Tabell sees differansetrykket (referanse) beregnet ved de forskjellige momentene for å få referansen. Tok utgangspunkt i de beregnede verdiene for trykkene i Tabell T(kNm) Fload(N) P1(bar) P2(bar) Referanse(P1-P2) Diff , , , , , , , , , , , , , , Tabell Beregnet referanse for differansetrykket Andre` Blom Mykland Side 52 of 153

53 Systemet skal bruke ca. 10 sekunder på å nå det maksimale moment (T=150kNm, P 1 - P 2 =100.5bar) ved en utkjøring, det vil si t=10sek. Referansen kan sees på figuren under. Beregning av helningen på referansen: P Pa 6 Pa Helning= = = t 10s s (2.45) Figur Referanse(rampe) for differansetrykket(p 1 -P 2 ) Andre` Blom Mykland Side 53 of 153

54 50 Differansetrykk (P1-P2) Pressure (N/m 2 ) P1-P2 Referanse Time (sec) Figur Plot av differansetrykket(p 1 -P 2 ) ved T=80kNm Regulatorene som ble testet var en P og PI-regulator. Her måtte man vente litt lenger til systemet hadde stabilisert seg, før man kunne starte referansen. Også her var det kun P- regulatoren som klarte å tilfredsstille kravspesifikasjonene til systemet, mens PIregulatoren gav et oversving som ikke er ønskelig. Systemets respons med en P- regulator er simulert ved et moment, T=80kNm/86.5Bar. Responset kan sees på Figur Ved å sammenlikne resultatene fra Figur og Figur ser man at responset oppfører seg noenlunde likt, forskjellen ligger i at det er større avvik i helningen av rampen når en regulerer på differansetrykket. Og at det ved bruk av differansetrykket tar det lenger tid å stabilisere seg før en simulering. Så innføringen av en ekstra trykk transmitter har ikke ført til noen forbedringer i reguleringen av systemet ved bruk av differansetrykket. Men det var heller ikke etter ønske fra National Oilwell Norway AS å teste ut dette. Andre` Blom Mykland Side 54 of 153

55 3 Cathead- tilstandsregulering 3.1 Introduksjon Tilstandsmodellering er en metode å beskrive en matematisk model av et fysisk system på, beskrevet ved et set av innganger, utganger og tilstandsvariabler relatert ved første ordens differensial likninger. For å skille mengden av innganger, utganger og tilstander er variablene uttrykt som vektorer og algebraiske likninger skrevet på matrise form. Tilstandspresentasjonen gir en passe og kompakt måte å beskrive og analysere systemer med mange innganger og utganger(mimo-multible Input Multible Output). Men fungerer også for systemer med bare en inngang og en utgang(siso-single Input Single Output). I Cathead sitt tilfelle vil det bli designet en SISO modell der spenningen inn på proporsjonal ventilen er inngangen og P1 trykket på stempelsiden av sylinderen er utgangen. Nedenfor følger modelleringen av tilstandsmodellen med innføringen av en LQ regulator med integrator, samt en LQ regulator med integrator og observer. Denne reguleringen er valgt å gjøre i diskret tid. 3.2 Tilstandsmodell Det første som må gjøres for å lage en tilstandsmodell av Cathead, er å oppstille en matematisk modell av systemet. De likninger som beskriver Cathead er forklart i kapittel 2.2. Derfor vil det i dette kapittelet kun bli gjentatt de likninger som er relevante for tilstandsmodelleringen. De data som brukes til modelleringen av systemet er de samme som ble brukt ved oppstillingen av den klassiske modellen i kapittel 2. Modellen er laget ut fra likningene 2.2, 2.4, 2.21, og Andre` Blom Mykland Side 55 of 153

56 Ventil dynamikken blir definert fra likning 2.2: x(s) K ω U(s) s 2 s 2 v t n = ζ ωn +ωn ( ) x(s) s + 2 ζ ω s+ω = K ω U(s) v n n t n x(s) s + x(s) 2 ζ ω s+ x(s) ω = K ω U(s) v v n v n t n Laplace transformerer denne, og får: && x + 2 ζ ω x& +ω x = K ω U 2 2 v n v n v t n && x = 2 ζ ω x& ω x + K ω U 2 2 v n v n v t n (3.1) Definerer strømningen fra ventilen og til sylinderen ut fra likning 2.21: A y P& β β & = Q V + A y V + A y e 1 e A y P& β β & = Q + V A y V A y e 2 e Setter uttrykket for Q 1 og Q 2 (likning 2.4) inn likning 2.21: ( ) 2 P P A y P& β β & = C w x V + A y ρ V + A y e s 1 1 e 1 d v P A y P& β β & = C w x + V A y ρ V A y e 2 2 e 2 d v (3.2) Andre` Blom Mykland Side 56 of 153

57 Setter til slutt opp uttrykket for akselerasjonen til stempelet ut fra likning 2.31: A1 A2 B Kkraftforst y && y= P1 P2 y & (e 1) (3.3) M M M M I tilstandsmodellen er det trykket P 1 som er den målte utgangen, som gir ut strømmen Y 1. Denne er også utgangen til systemet. Systemet har en referanse inngang U, som styrer utgang Y 1. Utgangene defineres til: Y1 = k1 X3 = k1 P1 (3.4) Tilstandsvektoren defineres til å være: X1 y X 2 y& X 3 P 1 X = = X4 P2 X x 5 v X6 x & v (3.5) Andre` Blom Mykland Side 57 of 153

58 Det kan nå oppstilles en tilstandsmodell etter de generelle tilstandslikninger med en inngang og en utgang: x(t) & = A x(t) + Bu(t) y(t) = C x(t) + Du(t) (3.6) Der: x(t) & = Første avledede av tilstandsvektoren x(t) y(t) = Utgangs variablen A= Systemmatrisen B= Ingangsmatrisen C= Utgangsmatrisen D= Direkte transmisjons matrisen Da det ikke benyttes en direkte fremkobling av inngangen kan det ses bort fra transmisjonsmatrisen D. Andre` Blom Mykland Side 58 of 153

59 Tilstandsmodellen blir da: X& = X 1 2 & A A B K M M M M 1 2 kraftforst X1 X2 = X3 X4 X 2 (e 1) X& X& 3 4 ( ) βe Cd w X 2 P 5 s X3 A1 βe X2 = V + A X ρ V + A X βe Cd w X5 2 X4 A2 βe X2 = + V A X ρ V A X (3.5) X& = X 5 6 X& = ω X 2 ζ ω X + k ω u n 5 n 6 t n [ ] Y = 00 k 0 00 (3.8) 1 Det er nå lagd en ikke lineær tilstandsmodell av Cathead. Den detaljerte simulink modellen av tilstandsmodellen kan sees på Figur Andre` Blom Mykland Side 59 of 153

60 1 U Ps beta -K- 6 Xv_dot 5 Xv Kt -K- 1/M 1 1 s s I6 I5 Saturation1 2*zeta -K- A1 Cd*w 2/rho sqrt 1 2/rho s I3 3 P1 beta Cd*w beta V01 1/(u(1)) A1 [X2] V02 Fcn1 From A1 [X1] From2 B sqrt A2 1 s I2 K_kraft 1/(u(1)) Fcn2 [X1] From3 2 V [X2] Goto exp(.01*u[1])-1 Fcn3 beta 1 s I1 A2 A2 1 s I4 1 Y [X2] From1 [X1] Goto1 4 P2 Figur Ikke lineær tilstandsmodell Andre` Blom Mykland Side 60 of 153

61 Bruker så Matlab funksjonen linmod for å linearisere modellen rundt de stasjonære verdiene av x0. Alle integratorene er nummerert med prioritet slik at disse vil få riktig nummerering under lineariseringen av modellen. x0=[ e5 46e5 3.5e-4-5.3e-4] (3.9) [A,B,C,D]=linmod('Tilstandsregulering',x0) Ved innsettelse av tallverdier for maskinens parametre blir tilstandsmodellen etter en linearisering ved T=80kNm: A = e e e -2.5e e e e B = e -10, C ( 0 0 4e 0 0 0) =, D=0 (3.10) Systemmatrisens egenverdier blir beregnet til å være: i Egenverdier(A)= (3.11) i Andre` Blom Mykland Side 61 of 153